线面,面面关系综合练习题

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立体几何线面平行垂直、面面平行垂直专题练习(高三党必做)

立体几何线面平行垂直、面面平行垂直专题一、解答题（本大题共27小题，共324.0分）1.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．2.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．BC＝12(1)证明：直线CE∥平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值．3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥B1C；（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．4.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，△PAC是边长为2的等边三角形，PB=PD=√6，AP=4AF．（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；（Ⅱ）求直线CP与平面BDF所成角的大小；（Ⅲ）在线段PB上是否存在一点M，使得CM∥平面BDF如果存在，求BM的值，如果不存在，请说明理BP由．5.如图，在直三棱柱ABC-A1B l C1中，AC=BC=√2，∠ACB=90°．AA1=2，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面B1CD：（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．6.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=√6，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B-PD-A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．8.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设AP=1，AD=√3，三棱锥P-ABD的体积V=√3，求A到平面PBC的距4离．9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．10.如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．11.如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中点，N是CE的中点．（I）求证：EM⊥AD；（II）求证：MN∥平面ADE；（III）求点A到平面BCE的距离．12.已知几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥DC，EA⊥平面ABCD，FC∥EA，AB=AD=EA=1，CD=CF=2．（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面BCF；（Ⅱ）求点B到平面ECD的距离．13.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=2，E、F分别为CD、PB的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面AEF⊥平面PAB；（3）设AB=√2AD，求直线AC与平面AEF所成角θ的正弦值．14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC=45∘，AD=AC=2，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD且PO=6，M为BD的中点．(1)证明：AD⊥平面PAC；(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．15.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=√2，点D为A1C1的中点．（I）求证：BC1∥平面AB1D；（II）求证：A1C⊥平面AB1D；（Ⅲ）求异面直线AD与BC1所成角的大小．16.如图，P-ABD和Q-BCD为两个全等的正棱锥，且A，B，C，D四点共面，其中AB=1，∠APB=90°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面APQ；（Ⅱ）求直线PB与平面PDQ所成角的正弦值．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1ACC1⊥底面ABC，AB=BC=2，∠ACB=30°，∠C1CB=60°，BC1⊥A1C，E为AC的中点，侧棱CC1=2．（1）求证：A1C⊥平面C1EB；（2）求直线CC1与平面ABC所成角的余弦值．18.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，BC=2√3，AC=2√6，D为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；，求点B到平面PAC的距离．（2）若∠PAB=π419.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，△ABC为正三角形，D是BC边的中点，AA1=AB=1．（1）求证：平面ADB1⊥平面BB1C1C；（2）求点B到平面ADB1的距离．20.如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC．（1）求证：平面BED⊥平面PAC；（2）求二面角F-DE-B的大小；（3）若PA=6，DF=5，求PC与平面PAB所成角的正切值．21.如图,在四棱锥P—ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD＝CD＝1,DB=2√2.(1)证明PA∥平面BDE;(2)证明AC⊥平面PBD;(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值.22.如图所示，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，AB=AA1=2A1B1=2．（Ⅰ）若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．=√2.23.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，E为A1C1的中点，CC1C1E（Ⅰ）证明：CE⊥平面AB1C1；（Ⅱ）若AA1=√6，∠BAC=30°，求点E到平面AB1C的距离．24.如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是边长为√2的正方形，平面AEC⊥平面CDE，∠AEC=90°，F为DE中点，且DE=1．（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CD⊥DE；（Ⅲ）求FC与平面ABCD所成角的正弦值．25.已知：平行四边形ABCD中，∠DAB=45°，AB=√2AD=2√2，平面AED⊥平面ABCD，△AED为等边三角形，EF∥AB，EF=√2，M为线段BC的中点．（1）求证：直线MF∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面EAD；（3）求直线BF与平面BED所成角的正弦值．26.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=√2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AC=√2，AB=BC=1，E为AD中点．（Ⅰ）求证：PE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（Ⅲ）求平面PAB与平面PCD所成的二面角．27.如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．答案和解析1.【答案】（1）证明：法一、如图，取PB 中点G ，连接AG ，NG ，∵N 为PC 的中点， ∴NG ∥BC ，且NG =12BC ，又AM =23AD =2，BC =4，且AD ∥BC ， ∴AM ∥BC ，且AM =12BC ，则NG ∥AM ，且NG =AM ，∴四边形AMNG 为平行四边形，则NM ∥AG ， ∵AG ⊂平面PAB ，NM ⊄平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB ；法二、在△PAC 中，过N 作NE ⊥AC ，垂足为E ，连接ME ，在△ABC 中，由已知AB =AC =3，BC =4，得cos ∠ACB =42+32−322×4×3=23，∵AD ∥BC ，∴cos ∠EAM =23，则sin ∠EAM =√53，在△EAM 中，∵AM =23AD =2，AE =12AC =32，由余弦定理得：EM =√AE 2+AM 2−2AE ⋅AM ⋅cos∠EAM =√94+4−2×32×2×23=32，∴cos ∠AEM =(32)2+(32)2−42×32×32=19，而在△ABC 中，cos ∠BAC =32+32−422×3×3=19，∴cos ∠AEM =cos ∠BAC ，即∠AEM =∠BAC ， ∴AB ∥EM ，则EM ∥平面PAB ．由PA ⊥底面ABCD ，得PA ⊥AC ，又NE ⊥AC ， ∴NE ∥PA ，则NE ∥平面PAB ． ∵NE ∩EM =E ，∴平面NEM ∥平面PAB ，则MN ∥平面PAB ；（2）解：在△AMC 中，由AM =2，AC =3，cos ∠MAC =23，得CM 2=AC 2+AM 2-2AC •AM •cos ∠MAC =9+4−2×3×2×23=5．∴AM 2+MC 2=AC 2，则AM ⊥MC ， ∵PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD ∩平面PAD =AD ， ∴CM ⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ．在平面PAD 内，过A 作AF ⊥PM ，交PM 于F ，连接NF ，则∠ANF 为直线AN 与平面PMN 所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN=12PC=12√PA2+PC2=52，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=PA⋅AMPM =√42+22=4√55，∴sin∠ANF=AFAN =4√5552=8√525．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为8√525．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=12BC，再由已知得AM∥BC，且AM=12BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）由勾股定理得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．2.【答案】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF=12AD，AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，EF∥BC,EF=BC,∴四边形BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB;（2）解:如图所示，取AD中点O，连接PO，CO，由于△PAD为正三角形，则PO⊥AD，因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥CO. 因为AO=AB=BC=12AD，且∠BAD=∠ABC= 90∘，所以四边形ABCO是矩形，所以CO⊥AD，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系,不妨设AB=BC=12AD=1，则OA=OD=AB=CO=1.又因为△POC为直角三角形，|OC|=√33|OP|，所以∠PCO=60∘.作MN⊥CO，垂足为N，连接BN，因为PO ⊥CO ，所以MN //PO ，且PO ⊥平面ABCD ，所以MN ⊥平面ABCD ，所以∠MBN 即为直线BM 与平面ABCD 所成的角, 设CN =t ，因为∠PCO =60∘，所以MN =√3t ，BN =√BC 2+CN 2=√t 2+1. 因为∠MBN =45∘，所以MN =BN ，即√3t =√t 2+1，解得t =√22，所以ON =1−√22，MN =√62，所以A (0,−1,0)，B (1,−1,0)，M (1−√22,0,√62)，D (0,1,0)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−√22,1,√62). 设平面MAB 和平面DAB 的法向量分别为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2), 则{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1⃗⃗⃗⃗ =0AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1⃗⃗⃗⃗ =0，即{x 1=0(1−√22)x 1+y 1+√62z 1=0，可取z 1=−2，则n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,√6,−2), 同理可得n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，所以.因为二面角M -AB -D 是锐角，所以其余弦值为√105.【解析】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，空间向量求二面角夹角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．（1）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，通过证明CE ∥BF ，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．（2）取AD 中点O ，连接PO ，CO ，作MN ⊥CO ，垂足为N ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系，即可求出二面角M -AB -D 的余弦值．3.【答案】证明：（1）因为BB 1⊥面ABC ，AE ⊂面ABC ，所以AE ⊥BB 1,由AB =AC ，E 为BC 的中点得到AE ⊥BC , ∵BC ∩BB 1=B ，BC 、BB 1⊂面BB 1C 1C ， ∴AE ⊥面BB 1C 1C ，,∴AE ⊥B 1C ；解：（2）取B 1C 1的中点E 1，连A 1E 1，E 1C ，则AE ∥A 1E 1， ∴∠E 1A 1C 是异面直线AE 与A 1C 所成的角，设AC =AB =AA 1=2，则由∠BAC =90°，可得A 1E 1=AE =√2，A 1C =2√2，E 1C 1=EC =12BC =√2，∴E 1C =√E 1C 12+C 1C 2=√6，∵在△E 1A 1C 中，cos ∠E 1A 1C =2+8−62⋅√2⋅2√2=12，所以异面直线AE 与A 1C 所成的角为π3；（3）连接AG ，设P 是AC 的中点，过点P 作PQ ⊥AG 于Q ，连EP ，EQ ，则EP ⊥AC ，又∵平面ABC ⊥平面ACC 1A 1,平面ABC ∩平面ACC 1A 1=AC ∴EP ⊥平面ACC 1A 1，而PQ ⊥AG ∴EQ ⊥AG ．∴∠PQE 是二面角C -AG -E 的平面角，由(2)假设知：EP =1，AP =1， Rt △ACG ∽Rt △AQP ，PQ =CG·AP AG=1√5，故tan ∠PQE =PEPQ =√5，所以二面角C -AG -E 的平面角正切值是√5.【解析】本题考查异面直线的夹角，线线垂直的判定，属于中档题，熟练掌握线面垂直，线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角及二面角的定义，是解答本题的关键，属于较难题.（1）由BB 1⊥面ABC 及线面垂直的性质可得AE ⊥BB 1，由AC =AB ，E 是BC 的中点，及等腰三角形三线合一，可得AE ⊥BC ，结合线面垂直的判定定理可证得AE ⊥面BB 1C 1C ，进而由线面垂直的性质得到AE ⊥B 1C ；（2）取B 1C 1的中点E 1，连A 1E 1，E 1C ，根据异面直线夹角定义可得，∠E 1A 1C 是异面直线A 与A 1C 所成的角，设AC =AB =AA 1=2，解三角形E 1A 1C 可得答案．（3）连接AG ，设P 是AC 的中点，过点P 作PQ ⊥AG 于Q ，连EP ，EQ ，则EP ⊥AC ，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP ⊥平面ACC 1A 1，进而由二面角的定义可得∠PQE 是二面角C -AG -E 的平面角．4.【答案】（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形，AC ∩BD =O ，所以O 为AC ，BD 中点．-------------------------------------（1分）又因为PA =PC ，PB =PD ，所以PO ⊥AC ，PO ⊥BD ，---------------------------------------（3分）所以PO ⊥底面ABCD ．----------------------------------------（4分）（Ⅱ）解：由底面ABCD 是菱形可得AC ⊥BD ，又由（Ⅰ）可知PO ⊥AC ，PO ⊥BD ．如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz ．由△PAC 是边长为2的等边三角形，PB =PD =√6，可得PO =√3，OB =OD =√3．所以A(1，0，0)，C(−1，0，0)，B(0，√3，0)，P(0，0，√3)．---------------------------------------（5分）所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，√3)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，0，√3)．由已知可得OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗ +14AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(34，0，√34)-----------------------------------------（6分）设平面BDF 的法向量为n −=（x ，y ，z ），则{√3y =034x +√34z =0令x =1，则z =−√3，所以n ⃗ =（1，0，-√3）．----------------------------------------（8分）因为cos ＜CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=-12，----------------------------------------（9分）所以直线CP 与平面BDF 所成角的正弦值为12，所以直线CP 与平面BDF 所成角的大小为30°．-----------------------------------------（10分）（Ⅲ）解：设BMBP =λ（0≤λ≤1），则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，√3(1−λ)，√3λ)．---------------------------------（11分）若使CM ∥平面BDF ，需且仅需CM −⋅n ⃗ =0且CM ⊄平面BDF ，---------------------（12分）解得λ=13∈[0，1]，----------------------------------------（13分）所以在线段PB 上存在一点M ，使得CM ∥平面BDF ．此时BM BP =13．-----------------------------------（14分）【解析】（Ⅰ）证明PO ⊥底面ABCD ，只需证明PO ⊥AC ，PO ⊥BD ；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出直线CP 的方向向量，平面BDF 的法向量，利用向量的夹角公式可求直线CP 与平面BDF 所成角的大小；（Ⅲ）设BMBP =λ（0≤λ≤1），若使CM ∥平面BDF ，需且仅需CM −⋅n ⃗ =0且CM ⊄平面BDF ，即可得出结论．本题考查线面垂直，考查线面平行，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求出向量的坐标是关键．5.【答案】解：（I ）证明：∵CC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∠ACB =90°， ∴CC 1⊥AC ，AC ⊥BC ，又BC ∩CC 1=C ，∴AC ⊥平面BCC 1，BC 1⊂平面BCC 1， ∴AC ⊥BC 1．（II ）证明：如图，设CB 1∩C 1B =E ，连接DE ， ∵D 为AB 的中点，E 为C 1B 的中点，∴DE ∥AC 1， ∵DE ⊂平面B 1CD ，AC 1⊄平面B 1CD ， ∴AC 1∥平面B 1CD ．（III ）解：由DE ∥AC 1，∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角，在△CDE 中，DE =12AC 1=12√AC 2+CC 12=√62， CE =12B 1C =12√BC 2+BB 12=√62，CD =12AB =12√AC 2+BC 2=1，cos ∠CED =CE 2+DE 2−CD 22×CE×DE=32+32−12×√62×√62=23，∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为23．【解析】本题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线及其所成的角．（I ）先证线面垂直，再由线面垂直证明线线垂直即可；（II ）作平行线，由线线平行证明线面平行即可；（III ）先证明∠CED 为异面直线所成的角，再在三角形中利用余弦定理计算即可． 6.【答案】解：如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则，OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，故以{OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底，建立空间直角坐标系O -xyz ，∵AB =AA 1=2，A （0，-1，0），B （√3，0，0）， C （0，1，0），A 1（0，-1，2），B 1（√3，0，2），C 1（0，1，2）．（1）点P 为A 1B 1的中点．∴P(√32，−12，2)，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32，−12，2)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2)． |cos <BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|−1+4|√5×2√2=3√1020．∴异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为：3√1020；（2）∵Q 为BC 的中点．∴Q （√32，12，0）∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32，32，0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2),CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)，设平面AQC 1的一个法向量为n⃗ =（x ，y ，z ），由{AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =√32x +32y =0AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n⃗ =2y +2z =0，可取n⃗ =（√3，-1，1），设直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为θ， sinθ=|cos|=|CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗ |=2√5×2=√55， ∴直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为√55．【解析】本题考查了向量法求空间角，属于中档题．设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，以{OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底，建立空间直角坐标系O -xyz ，（1）由|cos ＜BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|=|BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |可得异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；（2）求得平面AQC 1的一个法向量为n⃗ ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为θ，可得sinθ=|cos ＜CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ ＞|=|CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |，即可得直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．7.【答案】（1）证明：如图，设AC ∩BD =O ，∵ABCD 为正方形，∴O 为BD 的中点，连接OM ，∵PD ∥平面MAC ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面AMC =OM ， ∴PD ∥OM ，则BOBD =BM BP，即M 为PB 的中点；（2）解：取AD 中点G ， ∵PA =PD ，∴PG ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ， ∴PG ⊥平面ABCD ，则PG ⊥AD ，连接OG ，则PG ⊥OG ，由G 是AD 的中点，O 是AC 的中点，可得OG ∥DC ，则OG ⊥AD ．以G 为坐标原点，分别以GD 、GO 、GP 所在直线为x 、y 、z 轴距离空间直角坐标系，由PA =PD =√6，AB =4，得D （2，0，0），A （-2，0，0），P （0，0，√2），C （2，4，0），B （-2，4，0），M （-1，2，√22），DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，√2)，DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4，4，0)．设平面PBD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，则由{m ⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{−2x +√2z =0−4x +4y =0，取z =√2，得m ⃗⃗⃗ =(1，1，√2)．取平面PAD 的一个法向量为n ⃗ =(0，1，0)．∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=12×1=12． ∴二面角B -PD -A 的大小为60°；（3）解：CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3，−2，√22)，平面BDP 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1，1，√2)．∴直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为|cos ＜CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ ＞|=|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||=|−2√9+4+12×1|=2√69．【解析】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．（1）设AC ∩BD =O ，则O 为BD 的中点，连接OM ，利用线面平行的性质证明OM ∥PD ，再由平行线截线段成比例可得M 为PB 的中点；（2）取AD 中点G ，可得PG ⊥AD ，再由面面垂直的性质可得PG ⊥平面ABCD ，则PG ⊥AD ，连接OG ，则PG ⊥OG ，再证明OG ⊥AD ．以G 为坐标原点，分别以GD 、GO 、GP 所在直线为x 、y 、z 轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD 与平面PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B -PD -A 的大小；（3）求出CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面PBD 的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．8.【答案】解：（Ⅰ）证明：设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ， ∵ABCD 是矩形， ∴O 为BD 的中点 ∵E 为PD 的中点， ∴EO ∥PB ．EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ∴PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）∵AP =1，AD =√3，三棱锥P -ABD 的体积V =√34，∴V =16PA ⋅AB ⋅AD =√36AB =√34，∴AB =32，PB =√1+(32)2=√132．作AH ⊥PB 交PB 于H ，由题意可知BC ⊥平面PAB ， ∴BC ⊥AH ，故AH ⊥平面PBC ．又在三角形PAB 中，由射影定理可得：AH =PA⋅AB PB=3√1313A 到平面PBC 的距离3√1313．【解析】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．（Ⅰ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ，通过直线与平面平行的判定定理证明PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）通过AP =1，AD =√3，三棱锥P -ABD 的体积V =√34，求出AB ，作AH ⊥PB 角PB于H ，说明AH 就是A 到平面PBC 的距离．通过解三角形求解即可． 9.【答案】证明：（I ）∵PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD =DC =AP =2，AB =1，点E 为棱PC 的中点． ∴B （1，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0）， P （0，0，2），E （1，1，1）∴BE⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，1，1），DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，0） ∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ •DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴BE ⊥DC ；（Ⅱ）∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，2，0），PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，0，-2），设平面PBD 的法向量m⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ），由{m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{−x +2y =0x −2z =0，令y =1，则m⃗⃗⃗ =（2，1，1），则直线BE 与平面PBD 所成角θ满足： sinθ=m⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√6×√2=√33，故直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为√33．（Ⅲ）∵BC⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2，0），CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，-2，2），AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，2，0），由F 点在棱PC 上，设CF⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2λ，-2λ，2λ）（0≤λ≤1），故BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ =（1-2λ，2-2λ，2λ）（0≤λ≤1），由BF ⊥AC ，得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2（1-2λ）+2（2-2λ）=0，解得λ=34，即BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-12，12，32），设平面FBA 的法向量为n ⃗ =（a ，b ，c ），由{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{a =0−12a +12b +32c =0令c =1，则n⃗ =（0，-3，1），取平面ABP 的法向量i =（0，1，0），则二面角F -AB -P 的平面角α满足： cosα=|i ⋅n ⃗⃗ ||i|⋅|n ⃗⃗ |=3√10=3√1010，故二面角F -AB -P 的余弦值为：3√1010【解析】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．（I ）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，根据BE ⃗⃗⃗⃗⃗ •DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得BE ⊥DC ；（II ）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF ⊥AC ，求出向量BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，进而求出平面FAB 和平面ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F -AB -P 的余弦值． 10.【答案】证明：（Ⅰ）取AD 的中点F ，连接EF ，CF ，∵E 为PD 的中点，∴EF ∥PA ，EF ∥平面PAB ，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，AD =2DC =2CB ，F 为中点，∴四边形CBAF 为平行四边形，故CF ∥AB ，CF ∥平面PAB ，∵CF ∩EF =F ，EF ∥平面PAB ，CF ∥平面PAB ， ∴平面EFC ∥平面ABP ， ∵EC ⊂平面EFC ， ∴EC ∥平面PAB ．解：（Ⅱ）连接BF ，过F 作FM ⊥PB 于M ，连接PF ， ∵PA =PD ，∴PF ⊥AD ，∵DF ∥BC ，DF =BC ，CD ⊥AD ，∴四边形BCDF 为矩形，∴BF ⊥AD ，又AD ∥BC ，故PF ⊥BC ，BF ⊥BC ，又BF ∩PF =F ,BF 、PF ⊂平面PBF ，BC ⊄平面PBF ， ∴BC ⊥平面PBF ，∴BC ⊥PB ，设DC =CB =1，由PC =AD =2DC =2CB ，得AD =PC =2， ∴PB =√PC 2−BC 2=√4−1=√3， BF =PF =1，∴MF =√12−(√32)2=12，又BC ⊥平面PBF ，∴BC ⊥MF ，又PB ∩BC =B ,PB 、BC ⊂平面PBC ，MF ⊄平面PBC ， ∴MF ⊥平面PBC ，即点F 到平面PBC 的距离为12，∵MF =12，D 到平面PBC 的距离应该和MF 平行且相等，均为12， E 为PD 中点，E 到平面PBC 的垂足也为所在线段的中点，即中位线， ∴E 到平面PBC 的距离为14，在△PCD 中,PC =2,CD =1,PD =√2，,故由余弦定理得CE =√2，设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，则sinθ=14CE=√28．【解析】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，推导出EF∥PA，CF∥AB，从而平面EFC∥平面ABP，由此能证明EC∥平面PAB．（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而BF⊥AD，进而AD⊥平面PBF，由AD∥BC，得BC⊥PB，再求出BC⊥MF，由此能求出sinθ．11.【答案】证明：（Ⅰ）∵EA=EB，M是AB的中点，∴EM⊥AB，∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，EM⊂平面ABE，∴EM⊥平面ABCD，∵AD⊂平面ABCD，∴EM⊥AD；（Ⅱ）取DE的中点F，连接AF，NF，∵N是CE的中点，∴NF=//12CD，∵M是AB的中点，∴AM=//12CD，∴NF=//AM，∴四边形AMNF是平行四边形，∴MN∥AF，∵MN⊄平面ADE，AF⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE；解：（III）设点A到平面BCE的距离为d，由（I）知ME⊥平面ABC，BC=BE=2，MC=ME=√3，则CE=√6，BN=√BE2−EN2=√102，∴S△BCE=12CE⋅BN=√152，S△ABC=12BA×BC×sin60°=√3，∵V A-BCE=V E-ABC，即13S△BCE×d=13S△ABC×ME，解得d=2√155，故点A到平面BCE的距离为2√155．【解析】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，涉及到力、数据处理能力，考查数形结合思想，是中档题．（Ⅰ）推导出EM ⊥AB ，从而EM ⊥平面ABCD ，由此能证明EM ⊥AD ；（Ⅱ）取DE 的中点F ，连接AF ，NF ，推导出四边形AMNF 是平行四边形，从而MN ∥AF ，由此能证明MN ∥平面ADE ；（III ）设点A 到平面BCE 的距离为d ，由V A -BCE =V E -ABC ，能求出点A 到平面BCE 的距离．12.【答案】（I ）证明：∵AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB =AD =1，CD =2，∴BD =BC =√2， ∴BD 2+BC 2=CD 2， ∴BD ⊥BC ，∵EA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴EA ⊥BD ，∵EA ∥FC ， ∴FC ⊥BD ，又BC ⊂平面BCF ，FC ⊂平面BCF ，BC ∩CF =C ， ∴BD ⊥平面FBC ，又BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCF ．（II ）解：过A 作AM ⊥DE ，垂足为M ， ∵EA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴EA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，EA ∩AD =A ， ∴CD ⊥平面EAD ，又AM ⊂平面EAD ， ∴AM ⊥CD ，又AM ⊥DE ，DE ∩CD =D ， ∴AM ⊥平面CDE ，∵AD =AE =1，EA ⊥AD ，∴AM =√22，即A 到平面CDE 的距离为√22，∵AB ∥CD ，CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ， ∴AB ∥平面CDE ，∴B 到平面CDE 的距离为√22．【解析】（I ）先计算BD ，BC ，利用勾股定理的逆定理证明BD ⊥BC ，再利用EA ⊥平面ABCD 得出AE ⊥BD ，从而有CF ⊥BD ，故而推出BD ⊥平面FBC ，于是平面EBD ⊥平面BCF ；（II ）证明AB ∥平面CDE ，于是B 到平面CDE 的距离等于A 到平面CDE 的距离，过A 作AM ⊥DE ，证明AM ⊥平面CDE ，于是AM 的长即为B 到平面CDE 的距离．本题考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质，空间距离的计算，属于中档题． 13.【答案】证明：方法一：（1）取PA 中点G ，连结DG 、FG ． ∵F 是PB 的中点， ∴GF ∥AB 且GF =12AB ，又底面ABCD 为矩形，E 是DC 中点， ∴DE ∥AB 且DE =12AB∴GF ∥DE 且GF =DE ，∴EF ∥DG∵DG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD ．（2）∵PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂面ABCD ∴PD ⊥AB又底面ABCD 为矩形 ∴AD ⊥AB 又PD ∩AD =D ∴AB ⊥平面PAD ∵DG ⊂平面PAD ∴AB ⊥DG∵AD =PD ，G 为AP 中点 ∴DG ⊥AP又AB ∩AP =A ， ∴DG ⊥平面PAB又由（1）知EF ∥DG ∴EF ⊥平面PAB ，又EF ⊂面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAB ．证法二：（1）以D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．设AB =a ． ∵AD =PD =2，∴A （2，0，0），B （2，a ，0），C （0，a ，0），P （0，0，2）， ∵E 、F 分别为CD ，PB 的中点 ∴E （0，a2，0），F （1，a2，0）．∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，1)， ∵DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，2）+（2，0，0）=（2，0，2）， ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12（DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=12DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 、DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 、DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面，又EF ⊄平面PAD ∴EF ∥平面PAD ．（2）由（1）知EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，a ，0)，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，2)． ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ •AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2+0+2=0， ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AB ∩AP =A ，∴EF ⊥平面PAB ，又EF ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAB ，（3）AB =2√2由（1）知，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，√2，0），EF⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，0，1）设平面AEF 的法向量n ⃗ =(x ，y ，z)，则{n⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即−2x +√2y =0令x =1，则y =√2，z =-1， ∴n⃗ =（1，√2，-1），又AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，2√2，0）， ∴cos ＜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=−2+4+02√12=√36， ∴sinθ=|cos ＜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|=√36．【解析】方法一；（1）取PA 中点G ，连结DG 、FG ，要证明EF ∥平面PAD ，我们可以证明EF 与平面PAD 中的直线AD 平行，根据E 、F 分别是PB 、PC 的中点，利用中位线定理结合线面平行的判定定理，即可得到答案．（2）根据线面垂直的和面面垂直的判断定理即可证明．方法二：（1）求出直线EF 所在的向量，得到EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12（DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=12DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可证明EF ∥平面PAD ．（2）再求出平面内两条相交直线所在的向量，然后利用向量的数量积为0，根据线面垂直的判定定理得到线面垂直，即可证明平面AEF ⊥平面PAB（3）求出平面的法向量以及直线所在的向量，再利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为线面角，即可解决问题．本题考查了本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，面面垂直，直线与平面所成的角，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离以及线面的位置关系等问题，属于中档题．14.【答案】解：（1）证明：∵PO ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥AD ， ∵∠ADC =45°且AD =AC =2， ∴∠ACD =45°， ∴∠DAC =90°， ∴AD ⊥AC ，∵AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，且AC ∩PO =O ， ∴由直线和平面垂直的判定定理知AD ⊥平面PAC ．（2）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ，由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ， ∴∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角， ∵M 为PD 的中点， ∴MN ∥PO ，且MN =12PO =3， AN =12DO =√52，在Rt △ANM 中，tan ∠MAN =MNAN =3√52=6√55，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为6√55．【解析】（1）由PO ⊥平面ABCD ，得PO ⊥AD ，由∠ADC =45°，AD =AC ，得AD ⊥AC ，从而证明AD ⊥平面PAC ．（2）取DO 中点N ，连接MN ，AN ，由M 为PD 的中点，知MN ∥PO ，由PO ⊥平面出直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题． 15.【答案】证明：（I ）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，连接A 1B ，交AB 1于O 点，连接OD∵在△A 1BC 1中，A 1D =DC 1，A 1O =OB ， ∴OD ∥BC 1，又∵OD ⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ； ∴BC 1∥平面AB 1D ；（II ）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1； ∵B 1D ⊂平面A 1B 1C 1； ∴A 1A ⊥B 1D在△A 1B 1C 1中，D 为A 1C 1的中点 ∴B 1D ⊥A 1C 1又∵A 1A ∩A 1C 1=A 1，A 1A ，A 1C 1⊂平面AA 1C 1C ， ∴B 1D ⊥平面AA 1C 1C ，又∵A 1C ⊂平面AA 1C 1C ， ∴B 1D ⊥A 1C又∵A 1D AA 1=AA1AC =√22∴∠DA 1A =∠A 1AC =90°∴△DA 1A ∽△A 1AC ，∠ADA 1=∠CA 1A∵∠DA 1C +∠CA 1A =90° ∴∠DA 1C +∠ADA 1=90°∴A 1C ⊥AD又∵B 1D ∩AD =D ，B 1D ，AD ⊂平面AB 1D ； ∴A 1C ⊥平面AB 1D ；解：（III ）由（I ）得，OD ∥BC 1，故AD 与BC 1所成的角即为∠ADO在△ADO 中，AD =√3，OD =12BC 1=√62，AO =12A 1B =√62，∵AD 2=OD 2+AO 2，OD =AO∴△ADO 为等腰直角三角形故∠ADO =45°即异面直线AD 与BC 1所成角等于45°【解析】（I ）连接A 1B ，交AB 1于O 点，连接OD ，由平行四边形性质及三角形中位线定理可得OD ∥BC 1，进而由线面平行的判定定理得到BC 1∥平面AB 1D ；（II ）由直棱柱的几何特征可得A 1A ⊥B 1D ，由等边三角形三线合一可得B 1D ⊥A 1C 1，进而由线面垂直的判定定理得到B 1D ⊥平面AA 1C 1C ，再由三角形相似得到A 1C ⊥AD 后，可证得A 1C ⊥平面AB 1D ．（III ）由（I ）中OD ∥BC 1，可得异面直线AD 与BC 1所成角即∠ADO ，解△ADO 可得答案．本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，（I ）的关键是证得OD ∥BC 1，（II ）的关键是熟练掌握线面垂直与线线垂直之间的转化，（III ）的关键是得到异面直线AD 与BC 1所成角即∠ADO ．16.【答案】（Ⅰ）证明：由P -ABD ，Q -BCD 是相同正三棱锥，且∠APB =90°，分别过P 、Q 作PE ⊥平面ABD ，QF ⊥平面BCD ，垂足分别为E 、F ，则E 、F 分别为底面正三角形ABD 与BCD 的中心．连接EF 交BD 于G ，则G 为BD 的中点，连接PG 、QG ，则PG ⊥BD ，QG ⊥BD ，又PG ∩QG =G ，∴BD ⊥平面PQG ，则BD ⊥PQ ，再由正三棱锥的性质可得PA ⊥BD ，又PQ ∩PA =P ，∴BD ⊥平面APQ ；（Ⅱ）∵正三棱锥的底面边长为1，且∠APB =90°，∴PQ =EF =2EG =2×13AG =2×13×√32=√33， PE =√(√22)2−(√33)2=√66，则V B−PQD =13×12×√33×√66×1=√236．△PDQ 底边PQ 上的高为√(√22)2−(√36)2=√156，∴S △PDQ =12×√33×√156=√512．设B 到平面PQD 的距离为h ，则13×√512ℎ=√236，得h =√105．∴直线PB 与平面PDQ 所成角的正弦值为√105√22=2√55．【解析】（Ⅰ）由题意分别过P 、Q 作PE ⊥平面ABD ，QF ⊥平面BCD ，可得E 、F 分别为底面正三角形ABD 与BCD 的中心．连接EF 交BD 于G ，可得PG ⊥BD ，QG ⊥BD ，由线面垂直的判定及性质可得BD ⊥PQ ，再由正三棱锥的性质可得PA ⊥BD ，则BD ⊥平面APQ ；（Ⅱ）由已知求得PQ ，PE 的长，求得四面体B -PQD 的体积，利用等积法求出B 到平面PQD 的距离，则直线PB 与平面PDQ 所成角的正弦值可求．本题考查直线与平面所成的角，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题． 17.【答案】（1）证明：如图：∵AB =BC ，E 为AC 的中点，∴BE ⊥AC ，∵平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ， ∴BE ⊥平面A 1ACC 1，∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴BE ⊥A 1C ．（2）解：∵面A1ACC1⊥面ABC，∴C1在面ABC上的射影H在AC上，∴∠C1CA为直线C1C与面ABC所成的角．过H作HM⊥BC于M，连C1M，在Rt△C1CM中，CM=CC1cos∠C1CM=2cos60°=1．在Rt△CMH中，CH=CMcos∠ACB =2√33．∴在Rt△C1CH中，cos∠C1CH=CHCC1=23√32=√33．∴直线C1C与面ABC所成的角的余弦值为√33.【解析】（1）证明BE⊥平面A1ACC1，可得BE⊥A1C，即可证明：A1C⊥平面C1EB；（2）判断∠C1CA为直线C1C与面ABC所成的角．过H作HM⊥BC于M，连C1M，即可求直线CC1与平面ABC所成角的余弦值．本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18.【答案】证明：（1）连接CD，据题知AD=4，BD=2，∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴cos∠ABC=2√36=√33，∴CD2=4+12−2×2×2√3cos∠ABC=8，∴CD=2√2，∴CD2+AD2=AC2，∴CD⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，CD⊂平面ABC,∴CD⊥平面PAB，∵PD⊂平面PAB，∴CD⊥PD，∵PD⊥AC，CD∩AC=C，CD、AC⊂平面ABC,∴PD⊥平面ABC．解：（2）∵∠PAB=π4，∴PD=AD=4，∴PA=4√2，在Rt△PCD中，PC=√PD2+CD2=2√6，∴△PAC是等腰三角形，∴S△PAC=8√2，设点B到平面PAC的距离为d，由V B-PAC=V P-ABC，得13S△PAC×d=13S△ABC×PD，∴d==3，故点B到平面PAC的距离为3．【解析】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）连接CD，推导出CD⊥AB，CD⊥PD，由此能证明PD⊥平面ABC．（2）设点B到平面PAC的距离为d，由V B-PAC=V P-ABC，能求出点B到平面PAC的距离．19.【答案】解：（1）证明：∵ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，又BB 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，∵△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，又平面BB 1C 1C ∩平面ABC =BC ， ∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，又AD ⊂平面ADB 1，∴平面ADB 1⊥平面BB 1C 1C ；（2）由（1）可得△ADB 1为直角三角形，又AD =√32，B 1D =√52，∴S △ADB 1=12×AD ×B 1D =√158，又S △ADB =12S △ABC =√38，设点B 到平面ADB 1的距离为d ，则V B−ADB 1=V B 1−ADB ， ∴13S △ADB 1⋅d =13S △ADB ⋅BB 1， ∴点B 到平面ADB 1的距离d =S △ADB ⋅BB 1S △ADB 1=√3√15=√55．【解析】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.（1）推导出BB 1⊥平面ABC ，从而平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，推导出AD ⊥BC ，从而AD ⊥平面BB 1C 1C ，由此能证明平面ADB 1⊥平面BB 1C 1C ；（2）设点B 到平面ADB 1的距离为d ，由V B−ADB 1=V B 1−ADB ，能求出点B 到平面ADB 1的距离.20.【答案】证明：（1）∵PA ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ， ∴PA ⊥BE ．∵AB =BC ，E 为AC 的中点， ∴BE ⊥AC ，又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA ∩AC =A ， ∴BE ⊥平面PAC ，又BE ⊂平面BED ， ∴平面BED ⊥平面PAC ．（2）∵D ，E 是PC ，AC 的中点， ∴DE ∥PA ，又PA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，∵EF ⊂平面ABC ，BE ⊂平面ABC ， ∴DE ⊥EF ，DE ⊥BE ．∴∠FEB 为二面角F -DE -B 的平面角．∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，AB =AC ， ∴EF =12BC =12AB =BF ，EF ∥BC ．又AB ⊥BC ，∴BF ⊥EF ，∴△BEF 为等腰直角三角形，∴∠FEB =45°． ∴二面角F -DE -B 为45°．∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．∴∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角．∵PA=6，∴DE=12PA=3，又DF=5，∴EF=√DF2−DE2=4．∴AB=BC=8．∴PB=√PA2+AB2=10．∴tan∠CPB=BCPB =4 5．【解析】（1）通过证明BE⊥平面PAC得出平面BED⊥平面PAC；（2）由DE∥PA得出DE⊥平面ABC，故DE⊥EF，DE⊥BE，于是∠FEB为所求二面角的平面角，根据△BEF为等腰直角三角形得出二面角的度数；（3）证明BC⊥平面PAB得出∠CPB为所求角，利用勾股定理得出BC，PB，即可得出tan∠CPB．本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，空间角的计算，做出空间角是解题关键，属于中档题．21.【答案】解：（1）证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故EH∥PA，又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，故AC⊥平面PBD（3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角．由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2√2，可得DH=CH=√22，BH=3√22在Rt△BHC中，tan∠CBH=CHBH =13，所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为13．【解析】（1）欲证PA∥平面BDE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面BDE内一直线平行，设AC∩BD=H，连接EH，根据中位线定理可知EH∥PA，而又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，满足定理所需条件；（2）欲证AC⊥平面PBD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与平面PBD内两相交直线垂直，而PD⊥AC，BD⊥AC，PD∩BD=D，满足定理所需条件；（3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，则∠CBH为直线与平面PBD所成的角，在Rt△BHC中，求出此角即可．本小题主要考查直线与平面平行．直线和平面垂直．直线和平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理能力．。

线面垂直与面面垂直典型例题

线面垂直与面面垂直基础要点1、若直线a 与平面,αβ所成的角相等，则平面α与β的位置关系是（ B ） A 、//αβB 、α不一定平行于βC 、α不平行于βD 、以上结论都不正确2、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则H 一定在（ B ） A 、直线AC 上 B 、直线AB 上C 、直线BC 上D 、△ABC 的内部3、如图示，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π和6π，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为,A B ''，则:AB A B ''=（ A ） A 、2:1 B 、3:1 C 、3:2 D 、4:34、如图示，直三棱柱11ABB DCC -中，190,4ABB AB ∠==,12,1BC CC ==DC 上有一动点P ，则△1APC 周长的最小值是5.已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB A A ,若棱AB 上存在点P ，使得PC P D ⊥1,则棱AD 长的取值范围是。

题型一：直线、平面垂直的应用1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥P-ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点. 已知,685PA AC PA BC DF ⊥===，，.求证：(1) PA DEF 平面错误！未找到引用源。

；(2) BDE ABC ⊥平面平面错误！未找到引用源。

.线面垂直线线垂直面面垂直B`A`BAαβABCD 1B 1C B 1C 1D 1A 1D CB A证明： (1) 因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥PA.又因为PA ⊄ 平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线PA ∥平面DEF.(2) 因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4. 又因 DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE 丄EF.又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC.因为AC∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC. 又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC.2. (2014,北京卷，文科)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点. （1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证：1//C F 平面ABE . 证明：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，11,,BB ABC BB AB ⊥∴⊥底面11,,AB BC AB B BCC ∴⊥∴⊥平面,AB ABE ⊂平面11ABE B BCC ∴⊥平面平面.(2)取AB 的中点G ，连接EG ，FGE 、F 分别为11A C 、BC 的中点, 1,2FG AC FG AC ∴=, 111111AC AC AC AC FG EC FG EC =∴=，，，,则四边形1FGEC 为平行四边形， 111,,,C F EG EG ABE C F ABE C F ABE ∴⊂⊄∴平面平面平面.3．如图，P 是ABC ∆所在平面外的一点，且⊥PA 平面ABC ，平面⊥PAC 平面PBC ．求证AC BC ⊥．分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．证明：在平面PAC 内作PC AD ⊥，交PC 于D ．因为平面⊥PAC 平面PBC 于PC ，⊂AD 平面PAC ，且PC AD ⊥，所以PBC AD 平面⊥．又因为⊂BC 平面PBC ，于是有BC AD ⊥①．另外⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以BC PA ⊥．由①②及A PA AD = ，可知⊥BC 平面PAC ．因为⊂AC 平面PAC ，所以AC BC ⊥．说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．4. 过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，︒=∠90BSC ，︒=∠=∠60ASB ASC ，若截取a SC SB SA ===(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2)求S 到平面ABC 的距离．分析：要证明平面ABC ⊥平面BSC ，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC 或平面BSC 内找到一条与另一个平面垂直的直线．(1)证明：∵a SC SB SA ===，又︒=∠=∠60ASB ASC ，∴ASB ∆和ASC ∆都是等边三角形， ∴a AC AB ==，取BC 的中点H ，连结AH ，∴BC AH ⊥．在BSC Rt ∆中，a CS BS ==，∴BC SH ⊥，a BC 2=，∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴222a SH =．在SHA ∆中，∴222a AH =，222a SH =，22a SA =，∴222HA SH SA +=，∴SH AH ⊥，∴⊥AH 平面SBC ．∵⊂AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．或：∵AB AC SA ==，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为BSC ∆的外心，又BSC ∆为∆Rt ，∴H 在斜边BC 上，又BSC ∆为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，∴⊥AH 平面BSC ．∵⊂AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ． (2)解：由前所证：AH SH ⊥，BC SH ⊥，∴⊥SH 平面ABC ，∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 222==，。

高中数学练习题线面、面面平行的判定与性质

线面、面面平行的判定与性质基础巩固强化1.已知l是直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，α∥β，则l∥β2．已知m、n是两条直线，α、β是两个平面，给出下列命题：①若n⊥α，n⊥β，则α∥β；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；③若n、m为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．3个B．2个C．1个D．0个一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF②AB与CM成60°③EF与MN是异面直线④MN∥CD其中正确的是()A．①②B．③④C．②③D．①③3．已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误．．的是()A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥βC．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题错误的是()A．若a⊥α，b∥α，则a⊥bB．若a⊥α，b∥a，b⊂β，则α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥bD．若a∥α，a∥β，则α∥β对于平面α和共面的直线m、n，下列命题是真命题的是()A．若m，n与α所成的角相等，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊂α，n∥α，则m∥n5．设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是() A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b 6．设两个平面α、β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确命题的个数为()A ．3B ．2C ．1D ．07．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1cm ，过AC 作平行于对角线BD 1的截面，则截面面积为________．8．在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m ∥平面β；③若平面α与平面β的交线为m ，平面α内的直线n ⊥直线m ，则直线n ⊥平面β； ④若平面α内的三点A 、B 、C 到平面β的距离相等，则α∥β. 其中正确命题的序号为________．9．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，n ∥α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，α⊥β，m ∥n ，则n ∥β； ④若n ∥α，n ∥β，α∩β＝m ，那么m ∥n . 其中正确命题的序号是________．10．如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M 、N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)求三棱锥A ′－MNC 的体积(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，BC ＝4，AA 1＝2，E 是DD 1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(1)证明：①EF∥A1D1；②BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值．能力拓展提升11.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条12．如图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确．．．的是()A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台下列命题中，是假命题的是()A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B．平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥aC．α∥β，γ∥δ，α、β与γ、δ的交线分别为a、b和c、d，则a∥b∥c∥dD．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件13．(2012·南昌二模)若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________．①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面．14．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是______(写出所有符合要求的图形序号)．15．(2011·广东揭阳一模)如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G、H分别是DF、BE的中点．(1)求证：GH∥平面CDE；(2)若CD＝2，DB＝42，求四棱锥F－ABCD的体积．[解析](1)证法1：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC.又EF＝AD＝BC，∴四边形EFBC是平行四边形，∴H为FC的中点．又∵G是FD的中点，∴GH∥CD.∵GH⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴GH∥平面CDE.证法2：连接EA，∵ADEF是正方形，∴G是AE的中点．∴在△EAB中，GH∥AB.又∵AB∥CD，∴GH∥CD.∵HG⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴GH∥平面CDE.(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，且F A⊥AD，∴F A⊥平面ABCD.∵AD＝BC＝6，∴F A＝AD＝6.又∵CD＝2，DB＝42，CD2＋DB2＝BC2，∴BD⊥CD. ∵S▱ABCD＝CD·BD＝82，∴V F－ABCD＝13S▱ABCD·F A＝13×82×6＝16 2.(理)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求四面体B－DEF的体积．[解析](1)证明：设AC与BD交于点G，联结EG、GH.则G为AC中点，∵H是BC中点，∴GH綊12AB，又∵EF綊12AB，∴四边形EFHG为平行四边形．∴FH∥EG.又EG⊂平面EDB，而FH⊄平面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)证明：∵EF∥AB，EF⊥FB.∴AB⊥FB.又四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，又FB∩BC＝B，∴AB⊥平面BFC.∵FH⊂平面BFC，∴AB⊥FH.又∵FB＝FC，H是BC中点，∴FH⊥BC.又AB∩BC＝B，∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥AC. 又EG∥FH，∴EG⊥AC，又AC⊥BD，BD∩EG＝G，∴AC⊥平面EDB.(3)∵EF⊥BF，BF⊥FC且EF∩FC＝F，∴BF⊥平面CDEF，∴BF 为四面体B —DEF 的高．又∵BC ＝AB ＝2，∴BF ＝FC ＝ 2.四边形CDEF 为直角梯形，且EF ＝1，CD ＝2. ∴S △DEF ＝12(1＋2)×2－12×2×2＝22∴V B —DEF ＝13×22×2＝13. 16.(2012·辽宁大连市、沈阳市联考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为长方形，AD ＝2AB ，点E 、F 分别是线段PD 、PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AB ；(2)在线段AD 上是否存在一点O ，使得BO ⊥平面P AC ，若存在，请指出点O 的位置，并证明BO ⊥平面P AC ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)证明：∵EF ∥CD ，CD ∥AB ，∴EF ∥AB ，又∵EF ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，(2)在线段AD上存在一点O，使得BO⊥平面P AC，此时点O为线段AD的四等分点，且AO＝14AD，∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥BO，又∵长方形ABCD中，AD＝2AB，∴△ABO△DAC，∴∠ABO＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC＝90°，∴AC⊥BO，又∵P A∩AC＝A，∴BO⊥平面P AC.1．(2012·四川文，6)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行[答案] C[解析]本题考查了线面角，面面垂直，线面平行，面面平行等位置关系的判定与性质，对于A选项，两条直线也可相交，B选项若三点在同一条直线上，平面可相交．D选项这两个平面可相交(可联系墙角)，而C项可利用线面平行的性质定理，再运用线面平行的判定与性质可得．本题需要我们熟练掌握各种位置关系的判定与性质．2．(2012·石家庄二模)三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱)分别相等，且长分别为2、m 、n ，其中m 2＋n 2＝6，则该三棱锥体积的最大值为( )A.12B.8327 C.33 D.23[答案] D[解析] 令m ＝n ，由m 2＋n 2＝6得m ＝n ＝3，取AB 的中点E ，则BE ＝22，PB ＝3，∴PE ＝102，CE ＝102，∴EF ＝2，∴V P －ABC ＝13S △PEC ·AB ＝13×(12×2×2)×2＝23，∵23>12，∴23>33，23>8327，故选D.3．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，M ，N 分别在AD 1、BC 上移动，且始终保持MN ∥平面DCC 1D 1，设BN ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )[答案] C[解析] 过M 作ME ⊥AD 于E ，连接EN ，则平面MEN ∥平面DCC 1D 1，所以BN ＝AE ＝x (0≤x <1)，ME ＝2x ，MN 2＝ME 2＋EN 2，则y 2＝4x 2＋1，y 2－4x 2＝1(0≤x <1，y >0)，图象应是焦点在y 轴上的双曲线的一部分．故选C.4．(2012·东营市期末)设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则n ∥α；②若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β； ③若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α； ④若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β. 其中真命题的序号是________． [答案] ①④⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫[解析] m ⊥n m ⊥α⇒n ∥α或n ⊂α n ⊄α⇒n ∥α，故①真；正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ABCD 与ADD 1A 1分别取作平面α，β，其交线AD 为m ，取直线AB 1为n ，则满足n ⊥m ，知②错；m ⊥β，α⊥β时，可能m ∥α，也可能m ⊂α，知③错；⎭⎬⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥n m ⊥α⇒n ∥α或n ⊂αn ⊥β⇒α⊥β，故④真．。

线面垂直及面面垂直典型例题

线面垂直与面面垂直基础要点1、若直线αβαβ( B ) A 、//αβB 、α不一定平行于βC 、α不平行于βD 、以上结论都不正确2、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=o,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面ABC ,垂足为H ,则H 一定在( B )A 、直线AC 上B 、直线AB 上C 、直线BC 上D 、△ABC 的内部3、如图示,平面α⊥平面β,,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π与6π,过A 、B 分别作两平面交线的垂线,垂足为,A B '',则:AB A B ''=( A ) A 、2:1B 、3:1C 、3:2D 、4:34、如图示,直三棱柱11ABB DCC -中,190,4ABB AB ∠==o,12,1BC CC ==DC 上有一动点P ,则△1APC 周长的最小值就是5、已知长方体1111D C B A ABCD -中,21==AB A A ,若棱AB 上存在点P,使得PC P D ⊥1,则棱AD 长的取值范围就是。

题型一:直线、平面垂直的应用1、(2014,江苏卷)如图,在三棱锥P-ABC 中,D,E,F 分别为棱PC,AC,AB 的中点、已知,685PA AC PA BC DF ⊥===，，、求证:(1) PA DEF P 平面;(2) BDE ABC ⊥平面平面、证明: (1) 因为D,E 分别为棱PC,AC 的中点, 所以DE ∥PA 、又因为PA ⊄ 平面DEF,DE ⊂平面DEF, 所以直线PA ∥平面DEF 、(2) 因为D,E,F 分别为棱PC,AC,AB 的中点,PA ＝6,BC ＝8,所以DE ∥PA,DE ＝12PA ＝3,EF ＝12BC ＝4、又因 DF ＝5,故DF 2＝DE 2＋EF 2,所以∠DEF ＝90°,即DE 丄EF 、又PA ⊥AC,DE ∥PA,所以DE ⊥AC 、线面垂直线线垂直面面垂直B`A`B AαβCD1B 1C B 11D A D BA因为AC∩EF ＝E,AC ⊂平面ABC,EF ⊂平面ABC,所以DE ⊥平面ABC 、又DE ⊂平面BDE,所以平面BDE ⊥平面ABC 、2、 (2014,北京卷,文科)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱垂直于底面,AB BC ⊥,12AA AC ==,E 、F 分别为11A C 、BC 的中点、 (1)求证:平面ABE ⊥平面11B BCC ;(2)求证:1//C F 平面ABE 、证明:(1)在三棱柱111ABC A B C -中,11,,BB ABC BB AB ⊥∴⊥底面11,,AB BC AB B BCC ∴⊥∴⊥平面,AB ABE ⊂Q 平面11ABE B BCC ∴⊥平面平面、(2)取AB 的中点G,连接EG ,FGQ E 、F 分别为11A C 、BC 的中点, 1,2FG AC FG AC ∴=P , 111111AC AC AC AC FG EC FG EC =∴=Q P P ，，，,则四边形1FGEC 为平行四边形, 111,,,C F EG EG ABE C F ABE C F ABE ∴⊂⊄∴P Q P 平面平面平面、3.如图,P 就是ABC ∆所在平面外的一点,且⊥PA 平面ABC ,平面⊥PAC 平面PBC .求证AC BC ⊥.分析:已知条件就是线面垂直与面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直..证明:在平面PAC 内作PC AD ⊥,交PC 于D .因为平面⊥PAC 平面PBC 于PC ,⊂AD 平面PAC ,且PC AD ⊥,所以PBC AD 平面⊥.又因为⊂BC 平面PBC ,于就是有BC AD ⊥①.另外⊥PA 平面ABC ,⊂BC 平面ABC ,所以BC PA ⊥.由①②及A PA AD =I ,可知⊥BC 平面PAC .因为⊂AC 平面PAC ,所以AC BC ⊥.说明:在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以瞧到,面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直.4、过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ,如图,︒=∠90BSC ,︒=∠=∠60ASB ASC ,若截取a SC SB SA ===(1)求证:平面ABC ⊥平面BSC ; (2)求S 到平面ABC 的距离.分析:要证明平面ABC ⊥平面BSC ,根据面面垂直的判定定理,须在平面ABC 或平面BSC 内找到一条与另一个平面垂直的直线.(1)证明:∵a SC SB SA ===, 又︒=∠=∠60ASB ASC ,∴ASB ∆与ASC ∆都就是等边三角形, ∴a AC AB ==,取BC 的中点H ,连结AH ,∴BC AH ⊥.在BSC Rt ∆中,a CS BS ==,∴BC SH ⊥,a BC 2=,∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=,∴222a SH =. 在SHA ∆中,∴222a AH =,222a SH =,22a SA =,∴222HA SH SA +=,∴SH AH ⊥,∴⊥AH 平面SBC .∵⊂AH 平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面BSC .或:∵AB AC SA ==,∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为BSC ∆的外心,又BSC ∆为∆Rt ,∴H 在斜边BC 上,又BSC ∆为等腰直角三角形,∴H 为BC 的中点,∴⊥AH 平面BSC .∵⊂AH 平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面BSC . (2)解:由前所证:AH SH ⊥,BC SH ⊥,∴⊥SH 平面ABC ,∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离,a BC SH 222==, ∴点S 到平面ABC 的距离为a 22. 5、如图示,ABCD 为长方形,SA 垂直于ABCD 所在平面,过A 且垂直于SC 的平面分别交SB 、SC 、SD 于E 、F 、G ,求证:AE ⊥SB ,AG ⊥SD 6、在四棱锥P-ABCD 中,侧面PCD 就是正三角形,且与底面ABCD 垂直,已知底面就是面积为32的菱形,︒=∠60ADC ,M 就是PB 中点。

线线、线面、面面平行练习题(含答案).docx

一、选择题1下列条件中，能判断两个平面平行的是（）A •—个平面内的一条直线平行于另一个平面B .—个平面内的两条直线平行于另一个平面C •一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D •—个平面内任何一条直线都平行于另一个平面9. 正方体ABCD-A I B I C I D I中，E为DD i中点，则BD i和平面ACE位置关系是三、解答题2. E, F, G分别是四面体ABCD勺棱BC CD DA的中点，则此四面体中与过E, F,G的截面平行的棱的条数是10. 如图，正三棱柱ABC A l B I C I的底面边长是2 ,侧棱长是'^3, D是AC的中点•求①一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；②过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ 异面，则经过b存在唯一一个平面与平行11. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E, M , N, G分别是AA1, CD , CB,CC1 的中点，求证：（1）MN∕∕B1D1 ；（2）Ad//平面EB1D1 ；（3）平面EB1D1 〃平面3. 直线a, b,c及平面,使a∕∕b成立的条件是（证：BQ〃平面ABD.A. a// ,bB. a// ,b∕/4.若直线m不平行于平面，且mA . 内的所有直线与m异面C . a∕∕c,b∕∕cD . a// , I b ,则下列结论成立的是（）B. 内不存在与m平行的直线C. 内存在唯一的直线与m平行D .5.下列命题中，假命题的个数是（）内的直线与m都相交直线、平面平行的判定及其性质测试题A . 4B . 3C . 2 BDG.ABCI中, M,N分别是AB,CD的中点，则下列判断正确的是A.MN1AC2BD BC.MN1AC2BD D _、填空题1 MN - AC BD21 MN AC BD27.在四面体ABCD中，M ,四面体的四个面中与&如下图所示，四个正方体中, 分别为其所在棱的中点，能得到N分别是面△ ACD , △ BCD的重心，则MN平行的是A, B为正方体的两个顶点，MNPAB//面MNP勺图形的序号的是k ________ I Jf6.已知空间四边形,则 a//b D . P a, P ,a∕/ , // ,则 a4. 一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）A.异面B.相交C.平行D.不能确定5•下列四个命题中，正确的是（）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③ 如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A .①③ B .①② C .②③D .③④6. a , b 是两条异面直线，A 是不在a , b 上的点，则下列结论成立的是A .过A 有且只有一个平面平行于 a , bB .过A 至少有一个平面平行于a , bC. 过A 有无数个平面平行于 a , bD. 过A 且平行a , b 的平面可能不存在、填空题7. a , b ,c 为三条不重合的直线， α, β, Y 为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：11.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点, 且A M = DN ,求证：直线MN //平面PBC.MB NP、选择题 1., β是两个不重合的平面，a , b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定 // β的是（）A . , β都平行于直线a , bB . 内有三个不共线点到β的距离相等C. a , b 是内两条直线，且 a // β b // βD. a , b 是两条异面直线且 a // , b∕/ , a // β b ∕/ β2. 两条直线a , b 满足a // b , b —,则a 与平面的关系是（）A . a //B . a 与相交C . a 与不相交D . a 二3.设a,b 表示直线, 表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的是（A . a ,则 a// Ba// , b ,贝U a//bz ^a // Ca //// C①〃 a // b;②“ a // b;③“//b // C b // // C厂、// C // //④ a //您// ⑥ a //a // C// a //其中正确的命题是 _________________ .（将正确的序号都填上）& 设平面 // β, A , C ∈ , B , D ∈ β,直线 AB 与 CD CD=34 ,贝y CS= ______________________ .9. 如图，正四棱柱 ABCD-A I B I C I D I 中，E , F , G , H 分别是棱CC 1, C 1D 1 , DD 1 , DC 中点，N 是BC 中点，点 M 在四边形EFGH 及其内部运动，则 M 满足时，有 MN //平面 B 1BD D 1.三、解答题在棱PC 上.问点E 在何处时，PA//平面EBD ,并加以证明 C .// , a , b C参考答案A一、选择题1. D【提示】当丨时，内有无数多条直线与交线I平行，同时这些直线也与平面平行.故A，B, C均是错误的2. C【提示】棱AC , BD与平面EFG平行，共2条.3. C【提示】a〃,b ,则a//b或a,b异面；所以A错误；a〃，b∕/ ,则a//b或a,b异面或a,b相交，所以B错误；a// , I b,则a//b或a,b异面，所以D错误;a∕∕c,b∕∕c,贝U a//b,这是公理4,所以C正确.4. B【提示】若直线m不平行于平面，且m ,则直线m于平面相交，内不存在与m平行的直线.5. B【提示】②③④错误•②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行•③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上6. D【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边二、填空题7. 平面ABC ,平面ABD【提示】连接AM并延长，交CD于E,连结BN并延长交CD于F ,由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E,由_EM=EN=I得MN // AB.因此,MA NB 2MN //平面ABC且MN //平面ABD. 8. ①③【提示】对于①，面MNP//面AB,故AB//面MNP.对于③，MP//AB,故AB//面MNP, 对于②④，过AB找一个平面与平面MNP相交，AB与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP.9. 平行【提示】连接BD交AC于0,连0E,∙∙∙ OE // B D1, OEC平面ACE ,二B D1//平面ACE.三、解答题10. 证明：设AB1与A1B相交于点P,连接PD,则P为AB1中点，D 为AC 中点，PD// B1C.又PD 平面A1B D, B1C//平面A1B D11. 证明：（1）M、N分别是CD、CB的中点，MN//BD又BB Ig DD 1,四边形BB1D1D是平行四边形.所以BD∕∕B 1D1 又MN//BD ,从而MN∕∕B 1D1（2）（法1）连A1C1, A1C1 交B1D1 与0 点四边形A1B1C1D1为平行四边形，则0点是A1C1的中点E是AA 1的中点，EO是AA1C1的中位线，EO//AC 1.AC1 面EB1D1 , EO 面EB1D1 ,所以AC 1//面EB1D1（法2）作BB 1中点为H点，连接AH、C1H , E、H点为AA1、BB 1中点，所以EH// C1D1 ,则四边形EHC 1D1是平行四边形，所以ED1//HC1又因为EA// B1H ,则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB1//AH（3）因为EA//B1H ,则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EBWAH因为ADgHG ,则四边形ADGH是平行四边形，所以又BB1//DD1,四边形BB1D1D是平行四边形. 所以BD∕∕B 1D1.AH HC1=H,面AHC 1〃面EB1D1.而AC 1 面AHC 1,所以AC 1//面EB1D1DG//AH ,所以EB1∕/DG(1)⑵BD DG=G面 EBDZZ 面 BDG如图（2）,由B∙ SA =SC =SB SD一、选择题—68.∙ SC=—1. D3【提示】A 错，若a // b ,则不能断定 // β B 错，若A , B , C 三点不在β的同一 9. M HF侧，则不能断定 // β C 错，若 a // 则不能断定 // β; D 正确.b , // β 知 AC // BD ,SC18 SC即一 =_CD SC 9 34 SC2. C 【提示】若直线a ,b 满足 a / b , b_ ,则 a //或a_3. D 【提示】根据面面平行的性质定理可推证之4. C 【提示】【提示】易证平面三、解答题10.解：当E 为PC 中点时，PAZZ 平面EBD . 证明：连接AC ,且ACI BD O 方形，∙ O 为AC 的中点，又E 为中点，∙ NHF //平面BD D I B I , M 为两平面的公共点, OE ACP 的中位线,β∩^γc , 5. A 【提示】设 ∩β=l , a// 贝U a // b 且 a // c , ,a // β过直线a 作与∙ b // c.又 b β都相交的平面 Y 记, ∩β=l , ∙ b // l.∙∙∙ a //I.∙∙∙ PA//EO ,又 PA 平面 EBD ,∙∙∙ PAzz 平面EBD .应在交线HF 上.,由于四边形ABCD 为正C6. D【提示】 .如果过点过A 且平行于二、填空题 7. ①④⑤⑥ 亠68 8.68 或3 a'/ a , b '/ b , ,b ,贝 U a //, b //a 、b 的平面可能不存在.A 可作直线则a ' ∩ A , ∙ a', b 可确定一个平面, •由于平面可能过直线a 、b 之一,记为因此,11.证法一：过N 作NR // DC 交PC 于点R ,连接RB , 意得 DC NR _ DN _ AM _ AB MB _ DC MBNR NP MB MBMB四边形MNRB 是平行四边形.∙ MN // RB.又V RB 二平面依题NR=MB. V NR // DC // AB ,∙PBC , ∙直线 MN //平面PBC.证法二：过 N 作 NQ // AD 交 PA 于点 Q ,连接 QM , V -AM =E N =-AQ , ∙ QM // PB.MB NP QP又 NQ // AD // BC,∙∙∙平面 MQN //平面 PBC. ∙直线 MN //平面 PBC.【提示】如图 (1),由 // β可知 BD // AC , ∙I=!!,即存专,∙ SC=68.。

线面垂直及面面垂直典型例题

；(2) BDE ABC ⊥平面平面错误！未找到引用源。

完整版)线线、线面、面面平行练习题(含答案)

完整版)线线、线面、面面平行练习题(含答案)一、选择题1.B2.C3.B4.B5.A6.A二、填空题7.直线MN与直线BD异面。

三、解答题10.因为D是AC的中点，所以BD平分角ABC，即∠ABD=∠CBD。

又因为AB=AC，所以△ABD≌△CBD，从而BD=BD，即BD//平面ABC。

又因为A1D1//ABC，所以BD//A1D1，即BD//平面A1BD。

因此，BD//平面A1BD，即B1C1//平面A1BD，即B1C1//平面ABD。

11.1) 因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以MN//CD，MN=CD/2.又因为ABCD是平行六面体，所以BD//AC，从而△BDA≌△CDA1，即BD=AC，BD=2AC/√3.所以MN=CD/2=AC/√3=BD/2√3，即MN//B1D1.2) 因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以MN=CD/2=AC/√3，EN=CG=AC/2.又因为ABCD是平行六面体，所以BD//AC，从而△BDA≌△CDA1，即BD=AC，BD=2AC/√3.所以AE=BD/2=AC/√3，从而AE=EN，即AEEN是平行四边形，即AE//EN。

又因为XXX，所以AE//MN，即平面AEM//平面MNC。

又因为平面AEM与平面ABC的交线是直线AE，平面MNC与平面ABC的交线是直线MN，所以AE//MN//BD，即B1D1//平面AEM。

因此，AC1//平面AEM//B1D1，即AC1//平面EB1D1.3) 因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以MN=CD/2=AC/√3，EN=CG=AC/2.又因为ABCD是平行六面体，所以BD//AC，从而△BDA≌△CDA1，即BD=AC，BD=2AC/√3.又因为D1是BD的中点，所以D1C1=BC/2=AC/2√2.所以MN=CD/2=AC/√3=D1C1√2/√3，即MN//D1C1.又因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以EG=CC1/2=AC/2√2.又因为ABCD是平行六面体，所以AD//BC，从而△ABD≌△CBA1，即AD=BC，AD=2AC/√3.所以EG=CC1/2=AC/2√2=AD/2√2，即EG//AD。

高中数学解题方法系列：立体几何中的选择题

高中数学解题方法系列：立体选择题立体几何选择题有两种形式：一是线线、线面、面面关系的判断题，二是求角或距离．一、线线、线面、面面关系1．（江西，文7）设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是：A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直；B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直；C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行；D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直．解析：①三种关系“线线、线面、面面”的判断题，以长方体为构图框架；②条件中，有“平面、直线”，一般地固定平面，移动直线，对选择项逐一检验．检验A：显然，b⊥m,c⊥m,所以：A×．检验B：正确，B√．检验C：显然d⊥m,d∥α,故C×．检验D：显然β∥m,且β⊥α，所以：D×．2．（天津，文4）设a、b是两条直线，α、β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是：A．a⊥α，b∥β,a⊥β；【⇒a⊥b】B．a⊥α，b⊥β,a∥β；【⇒a⊥b】C．a在α内，b⊥β,a∥β；【⇒a⊥b】D．a在α内，b∥β,a⊥β．【⇒a⊥b】解析：①三种关系“线线、线面、面面”的判断题，条件中出现：“a∥β”，在构图时，把a、β画为同一个平面；②若条件中出现：“b∥β”，在构图时，把b画在平面β内；③本题选项的条件多，验证选项时，从两个平面平行入手：故先检验C．本题【C】．3．（安徽，理4）已知m，n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，下列命题中正确的是A．若m//α，n//α，则m//n；B．若m⊥γ,β⊥γ,则α∥β；C．若m//α，m∥β,则α∥β；D．若m⊥α,n⊥α,则m//n．解析：①三种关系“线线、线面、面面”的判断题，若选项的结论中有“α∥β”，则首先检验：条件是否足以保证两个平面不重合；本题直接淘汰B、C；②若选项的结论中有“m//n”，则首先检验：条件是否足以保证两条直线不相交；本题直接淘汰A；故【D】4．（浙江，文9）对于两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得A．直线a在α内，直线b也在α内B．直线a在α内,b∥αC．a⊥α，b⊥αD．直线a在α内,b⊥α解析：①存在性命题结构：“若p…，必定存在…，使得q…”⇔“必定存在…，若p…，则q…”，“使得”＝“⇒”，“必定存在…”是大前提．②命题“两条不相交的空间直线a和b”⇔命题“a∥b，或a、b异面”；求解方法是：构造命题，逐一验证．A：“必定存在平面α，若a∥b，或a、b异面，则直线a在α内，直线b也在α内”，×；B：“必定存在平面α，若a∥b，或a、b异面，则直线a在α内,b∥α”，√；C：“必定存在平面α，由a∥b，或a、b异面⇒a⊥α，b⊥α”，×；D：“必定存在平面α，由a∥b，或a、b异面⇒直线a在α内,b⊥α”，×．评注：①存在性命题结构：“若p…，必定存在…，使得q…”的理解要到位；②“两条不相交的空间直线a和b”⇔“a在α内,b∥α”．5．（海南，文12）已知平面α⊥平面β，α∩β＝L，点A∈α，A 不有直线L 上，直线AB∥L，直线AC⊥L，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β解：根据条件和解题原则：①先画平面α、β和交线L；②由解题原则，把m 画为与L 重合；③由解题原则：若结论中有平行，则考察条件是否能保证元素的不重合，所以首先淘汰A、C；④在长方体左侧面内，变动AC，故【B】．6．已知a、b 为异面直线，则：①经过直线a，存在惟一平面α，使b∥α；②经过直线a，存在惟一平面α，使b⊥α；③经过直线a、b 外任意一点，存在平面α，使a∥α，b∥α；上述命题中，真命题的个数为A．0B．1C．2D．3解：（1）构造长方体；（2）条件中的“异面直线”，视为“相交直线”，①√；②×；③×二、求角或距离及球中的计算1．（09、四川、理、15）已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是_________________；解：不妨设棱长为2，补成直四棱柱．计算即得：90度．评注：补形可以减轻思维压力，降低计算难度．2．（09、浙江、理5）在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11B A 所成角的余弦值是________________；解：设棱长为2，则DE＝1，AE＝3⇒AD＝2⇒cos 2θ＝23，又cos 1θ＝21．∵cosθ＝cos 1θ·cos 2θ＝43，∴AD 与平面11B A 所成角的余弦值是43．评注：在求角或距离时，三面角公式是不能省略的工具．3．（09、重庆）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d，若h＞d，则dh的取值范是______________；解：设底边长为1，侧棱长为λ，在11Rt BB D ∆中，111B D B D ==，由三角形面积关系得：h＝1B H ＝222+λλ．又d＝12+λλ．h d==．【分式型函数的值域的求解途径】所以：当1λ>，所以222123,1132λλ+><-<+，所以(3h d ∈．评注：点到直线、点到平面的距离，作垂线时的垂足位置的确定，是用三垂线定理或逆的应用．其图形特征：一般存在垂面、垂线．作辅助线时，要注意寻找上述元素．4．（09、四川、文理）在半径为3的球面上有A、B、C 三点，∠ABC＝90度，BC＝BA，球心O 到平面ABC的距离是2，则B C 、两点的球面距离是_________________；解：①由题设知截面圆的半径r＝2；②BC＝22·＝3；③球心角∠BOC＝3π；④B C 、两点的球面距离＝3π·3＝π．评注：球面距离＝球心角·球半径，求解程序：①求截面圆的半径；②求弦长；③求弦所对的球心角；④求球心角所对的弧长．5．（08、武汉市二月调考）从空间任意一点O，引射线OA、OB、OC、OD 两两所成的角都等于θ，则cos θ＝__________________；解：①构造正四面体A－BCD，则点O 是正四面体A－BCD 的中心；②延长AO 与底面BCD 相交于H，则H 是△BCD 的中心；③设正四面体A－BCD 的棱长为a，则正四面体的高AH＝36a 外接球的半径R＝AO＝46a，内切球的半径r＝OH＝126a；④在△OCD 内，OC＝OD＝R＝46a，CD＝a，由余弦定理：cosθ＝464621)46()46(222⨯⨯-+＝－31．6．（09、成都市调考）三棱锥A－BCD 的侧棱两两相等且相互垂直，若外接球的表面积s＝8π，则侧棱的长＝__________________；解：补形为正方体．则三棱锥A－BCD 的外接球＝正方体的外接球＝正四面体E－BCD 的外接球．设外接球的半径为R，由s＝4π2R ＝8π⇒R＝2⇒正方体的对角线AE＝22；设三棱锥A－BCD 的侧棱的长＝a，则32a ＝2AE ＝8⇒a＝362．评注：三条侧棱两两相等且相互垂直的三棱锥、正四面体、正方体图形之间的依托关系，数量关系．【巩固练习】（2010浙江理数）（6）设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（A）若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥（B）若l α⊥，l m //，则m α⊥（C）若l α//，m α⊂，则l m//（D）若l α//，m α//，则l m//解析：选B，可对选项进行逐个检查。

线面、面面平行练习题(含答案)讲课讲稿

D C
A B
B 1
A 1C 11．下列条件中,能判断两个平面平行的是( )
A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;
B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行
的棱的条数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（）
A ．//,a b αα⊂
B ．//,//a b αα
C ．//,//a c b c
D ．//,a b ααβ=I
4．若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（）
A ．α内的所有直线与m 异面
B ．α内不存在与m 平行的直线
C ．α内存在唯一的直线与m 平行
D ．α内的直线与m 都相交
8．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是
①②③④ 10.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是
AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1.
11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点，求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；
（3）平面EB 1D 1//平面BDG .。

线线、线面、面面平行练习题(含答案)

DC A B B 1A1C 1直线、平面平行的判定及其性质测试题A一、选择题1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ= 4．若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（） A ．α内的所有直线与m 异面 B ．α内不存在与m 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与m 平行 D ．α内的直线与m 都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（）① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行A ．4B ．3C ．2D ．1 6．已知空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是（） A ．()12MN AC BD ≥+ B ．()12MN AC BD ≤+C ．()12MN AC BD =+ D ．()12MN AC BD <+二、填空题7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.8．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是①②③④9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是．三、解答题10.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1.11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点，求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；（3）平面EB 1D 1//平面BDG .B一、选择题1．α，β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（）A ．α，β都平行于直线a ，bB ．α内有三个不共线点到β的距离相等C ．a ，b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a ，b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β2．两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是（）A ．a ∥αB ．a 与α相交C ．a 与α不相交D ．a α 3．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的是（） A ．a α⊄，则//a α B ．//a α，b α⊂，则//a bC ．//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bD ．,,//,//P a P a βααβ∈∈，则a β⊂ 4．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）A.异面B.相交C.平行D.不能确定 5.下列四个命题中，正确的是（）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④6．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，bB ．过A 至少有一个平面平行于a ，bC ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行a ，b 的平面可能不存在二、填空题7．a ，b ，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：.⇒⎭⎬⎫;⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥①a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;; 其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）8．设平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS =18，BS =9，CD =34，则CS =_____________.9．如图，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，DD 1，DC 中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足时，有MN ∥平面B 1BD D 1．三、解答题10.如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E在棱PC 上．问点E 在何处时，//PA EBD 平面，并加以证明.11.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PD 上的点，且MB AM =NPDN，求证：直线MN ∥平面PBC .EPDCBA参考答案A一、选择题 1．D【提示】当l =⋂βα时，α内有无数多条直线与交线l 平行，同时这些直线也与平面β平行.故A ，B ，C 均是错误的2．C【提示】棱AC ，BD 与平面EFG 平行，共2条. 3．C【提示】//,,a b αα⊂则//a b 或,a b 异面；所以A 错误；//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误；//,,a b ααβ=则//a b 或,a b 异面，所以D 错误；//,//a c b c ，则//a b ，这是公理4，所以C 正确.4．B【提示】若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则直线m 于平面α相交，α内不存在与m 平行的直线. 5．B【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上. 6. D【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边. 二、填空题7．平面ABC ，平面ABD【提示】连接AM 并延长，交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由MA EM =NB EN =21得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 8. ①③【提示】对于①，面MNP//面AB,故AB//面MNP.对于③，MP//AB,故AB//面MNP,对于②④，过AB 找一个平面与平面MNP 相交，AB 与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP. 9．平行【提示】连接BD 交AC 于O ，连OE ，∴OE ∥B D 1，OEC 平面ACE ，∴B D 1∥平面ACE. 三、解答题10.证明：设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点，D 为AC 中点，∴PD//C B 1.又 PD ⊂平面B A 1D ，∴C B 1//平面B A 1 D11.证明：（1） M 、N 分别是CD 、CB 的中点，∴MN//BD又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形.所以BD//B 1D 1.又MN//BD ，从而MN//B 1D 1（2）（法1）连A 1C 1，A 1C 1交B 1D 1与O 点四边形A 1B 1C 1D 1为平行四边形，则O 点是A 1C 1的中点 E 是AA 1的中点，∴EO 是∆AA 1C 1的中位线，EO//AC 1.AC 1⊄面EB 1D 1 ，EO ⊂面EB 1D 1，所以AC 1//面EB 1D 1 （法2）作BB 1中点为H 点，连接AH 、C 1H ，E 、H 点为AA 1、BB 1中点，所以EH //C 1D 1，则四边形EHC 1D 1是平行四边形，所以ED 1//HC 1 又因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AHAH ⋂HC 1=H ，∴面AHC 1//面EB 1D 1.而AC 1⊂面AHC 1，所以AC 1//面EB 1D 1（3）因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH 因为AD //HG ，则四边形ADGH 是平行四边形，所以DG//AH ，所以EB 1//DG 又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B 1D 1.BD ⋂DG=G ，∴面EB 1D 1//面BDGB一、选择题1．D【提示】A 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；B 错，若A ，B ，C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；D 正确. 2．C【提示】若直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a ∥α 或a α 3．D【提示】根据面面平行的性质定理可推证之. 4．C【提示】设α∩β=l ，a ∥α，a ∥β，过直线a 作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b ，β∩γ=c ，则a ∥b 且a ∥c ，∴b ∥c .又b ⊂α，α∩β=l ，∴b ∥l .∴a ∥l . 5．A 【提示】 6． D【提示】过点A 可作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′∩b ′=A ，∴a ′，b ′可确定一个平面，记为α.如果a ⊄α，b ⊄α，则a ∥α，b ∥α.由于平面α可能过直线a 、b 之一，因此，过A 且平行于a 、b 的平面可能不存在. 二、填空题 7.①④⑤⑥ 8.68或368 【提示】如图（1），由α∥β可知BD ∥AC ，∴SA SB =SC SD ，即189=SCSC 34-，∴SC =68. SS AABBCCα α ββ(1)(2)DD如图（2），由α∥β知AC ∥BD ，∴SB SA =SD SC =SC CD SC -，即918=SCSC -34. ∴SC =368.9．M ∈HF【提示】易证平面NHF ∥平面BD D 1 B 1，M 为两平面的公共点，应在交线HF 上. 三、解答题 10．解：当E 为PC 中点时，//PA EBD 平面．证明：连接AC ，且AC BD O =，由于四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为中点，∴OE 为△ACP 的中位线，∴//PA EO ，又PA EBD ⊄平面，∴//PA EBD 平面. 11．证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连接RB ，依题意得NR NR DC -=NP DN =MB AM =MB MB AB -=MBMBDC -⇒NR =MB .∵NR ∥DC ∥AB ，∴四边形MNRB 是平行四边形.∴MN ∥RB .又∵RB 平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC .证法二：过N 作NQ ∥AD 交P A 于点Q ，连接QM ，∵MB AM =NP DN =QPAQ，∴QM ∥PB .又NQ ∥AD ∥BC ，∴平面MQN ∥平面PBC .∴直线MN ∥平面PBC .OF ABCDP E。

线面面面垂直的判定和性质练习

线面面面垂直的判定和性质练习线面面面垂直的判定和性质练习线面&period;面面垂直的判定和性质练习低一班姓名：线、面间横向的认定与性质应用领域21.如图长方体中，ab ad23,cc12.例如图，四棱锥p—abcd的底面就是ab=2，bc=2的矩形，侧面pab就是等边三角形，且侧面pab⊥底面abcd。

（1）证明侧面pab⊥侧面pbc；（2）谋两端棱pc与底面abcd阿芒塔的角。

2，求二面角c1—bd—c的大小。

平面a1bc1；3.例如图，棱柱abc-a1b1c1的侧面bcc1b1就是菱形，b1c a1b。

证明：平面abc14.已知s是△abc所在平面外一点，sa⊥平面abc,平面sab⊥平面sbc,求证ab⊥bc。

5.例如图，在四棱锥p－abcd中，pa⊥底面abcd，ab⊥ad，ac⊥cd是pc的中点。

(1)求证：cd⊥ae；(2)求证：pd⊥面abe。

6.例如图，dc平面abc，eb//dc，ac bc eb2dc2，acb120，p,q分别为ae,ab的中点．（1）证明：pq//平面acd；（2）谋ad与平面abe所成角的正弦值。

高一班姓名：线、面间垂直的判定与性质应用11、未知a,b就是直线，,就是平面，以下观点恰当的就是（）a、,b，则bb、b，则b垂直于内的任意一条直线c、b垂直于内的无数条直线，则bd、b，则b与所成的角可以是锐角。

2、如图，四棱锥s-abcd的底面为正方形，sd⊥底面abcd,且sd=da=1，下列结论中错误的是()．．(a)sa与平面sbd阿芒塔的角等同于sc与平面sbd阿芒塔的角(b)ab与sc阿芒塔的角等同于dc与sa阿芒塔的角(c)ac⊥sb(d)ab∥平面scd3、例如图，空间四边形中，pb=pa，cb=ca，则pc与ab的关系就是_________________4、如图，在正方体abcd-a1b1c1d1中，直线a1b与平面a1b1cd阿芒塔的角为_________。

高考复习立体几何(线面关系、面面关系、异面直线夹角余弦值、二面角)(一)

立体几何（线面关系、面面关系、异面直线夹角余弦值、二面角）1.（2016全国新课标）如图,在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（2）求二面角E-BC-A的余弦值.3.（2016全国新课标）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.6.（2015全国新课标）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E、F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC.（1）证明：平面AEC丄平面AFC；（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.7.（2015全国新课标）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E、F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值.8.（2015安徽）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1,D,E的平面交CD1于F.（1）证明：EF∥B1C；（2）求二面角E-A1D-B1的余弦值.9.（2015四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. 在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.（1）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；（2）证明：直线MN∥平面BDH；（3）求二面角A-EG-M的余弦值.10.（2015广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB.（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P-AD-C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值.。

线面位置关系--------线线,线面小练答案

线面位置关系--------线线,线面小练1．已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，那么使//m α成立的一个充分条件是（） A ．//m β，αβ∥B ．m β⊥，αβ⊥C ．m n ⊥，n α⊥，m α⊄D ．m 上有不同的两个点到α的距离相等2．已知l 是直线，,αβ是两个不同平面，下列命题中的真命题是（）A ．若//,//l l αβ，则//αβB ．若,//αβα⊥l ，则l β⊥C ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥D ．若//,//l ααβ，则//l β3．已知三条直线1l ，2l ，3l 满足12l l ∥且23l l ⊥，则1l 与3l （）A ．平行B ．垂直C ．共面D ．异面4．已知空间两不同直线m ，n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（）A ．若m α∥且n α∥，则m n ∥B ．若m β⊥且m n ∥，则n β∥C ．若m α⊥且m β∥，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n5．若a ，b 是异面直线，下列四个命题中正确的是（）A ．过不在a ，b 上任一点P ，必可作直线与a ，b 都平行B ．过不在a ，b 上任一点P ，必可作直线与a ，b 都相交C ．过不在a ，b 上任一点P ，必可作直线与a ，b 都垂直D ．过不在a ，b 上任一点P ，必可作平面与a ，b 都平行.6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m // nB ．若m // n ，m //α ，则n //αC ．若m ⊥α，n //α，则m ⊥nD ．若α//β，m ⊂α，n ⊂β，则m //n 或m ，n 是异面直线7．设a b ，是空间中的两条直线，αβ，是空间中的两个平面，下列说法正确的是（）A ．若,//a b αα⊂，则//a bB ．若,a b ααβ⊂=，则a 与b 相交C ．若,,//a b αβαβ⊂⊂，则//a bD ．若,,//a b αβαβ⊂⊂，则a 与b 没有公共点8．下列命题为真命题的是（）A ．过任意三点有且仅有一个平面B ．m 为直线，,αβ为不同的两个平面，若,m m αβ⊥⊥，则αβ∥C ．,m n 为不同的直线，α为平面，若//,//m n αα，则m n ∥D ．,m n 为不同的直线，α为平面，若,m n αα⊥⊥，则m n ∥9．已知直线a 与b 异面，则（）A ．存在无数个平面与,a b 都平行B ．存在唯一的平面α，使,a b 与α所成角相等C ．存在唯一的平面α，使a α⊂，且b αD ．存在平面α，β，使,a b αβ⊂⊂，且αβ⊥10．已知m ，n 为异面直线，直线l 与m ，n 都垂直，则下列说法正确的是（）A ．若l ⊥平面α，则m α∥，n α∥B ．存在平面α，使得l α⊥，m α⊂，n α∥C ．有且只有一对互相平行的平面α和β，其中m α⊂，n β⊂D ．至多有一对互相垂直的平面α和β，其中m α⊂，n β⊂11．如图，空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB 与CD 所成角为3π，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则直线AB 与EF 所成角为（）A ．3π或6πB ．6πC ．3πD ．6π或2π 12．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,3AB AD AA ===，P 是线段11A C 上的动点，则下列直线中，始终与直线BP 异面的是（）A ．1DDB ．1BC C ．1D C D ．AC13．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，14AA =，1160A AD A AB ∠=∠=，则异面直线AC 与1DC 直线所成角的正弦值为（）A 14B 70C 1114D 314 14．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线l 是底面ABCD 所在平面内的一条动直线，记直线1A C 与直线l 所成的角为α，则sin α的最小值是（）A 3B ．12C 2D 615．一个正方体的展开图,如图所示,,,B C D 为原正方体的顶点,A 为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中,CD 与AB 所成角的余弦值为（）．A 5B 10C 5D 1016．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是线段BC ，1C D 的中点，则异面直线1A B ，EF 所成角余弦值是（）A ．22B 3C 6D 317．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，,EF 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．QEF △的面积D ．三棱锥P QEF -的体积18．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（）A ．B ．C ．D ．19．如图，在正方形''''ABCD A B C D -中，M ，N 分别是''A D ，''D C 的中点，则直线AM 与平面BND 的位置关系是（）．A ．垂直B ．平行C ．相交但不垂直D ．无法确定 20．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，E 是棱1DD 的动点，则下列说法正确的有（）个. ⊥若E 为1DD 的中点，则直线1B E ∥平面1A BD⊥三棱锥11C B CE -的体积为定值313a ⊥过点1B ，C ，E 的截面的面积的范围是32⎡⎤⎢⎥⎣ ⊥E 为1DD 的中点时，直线1B E 与平面11CDD C 25A ．1B ．2C ．3D ．421．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点，则下列直线中与平面AEC 平行的是（）A ．1ADB ．1AAC ．1BD D ．EO22．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线11B D 上有两个动点E ，F ，且EF =错误的是（）A ．//EF 平面ABCDB ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值C ．B 到平面AEF 的距离为定值D ．三棱锥E ABF -的体积为定值 23．在我国古代数学名著《九章算术·商功》中刘徽注解“邪解立方得二堑堵”.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中“邪解”得到一堑堵11ABCDC B ，E 为1C D 的中点，则异面直线1AB 与BE 所成的角为______.参考答案：1．C【详解】对于A 项，//m β，αβ∥则可能m α⊂，故A 不正确；对于B 项，m β⊥，αβ⊥则可能m α⊂，故B 不正确；对于C 项，m n ⊥，n α⊥，m α⊄，则//m α，故C 正确；对于D 项，m 上有不同的两个点到α的距离相等，则可能m 与α相交故选：C2．C【详解】若,//,,m l m l l αβαβ⋂=⊄⊄，则有//,//l l αβ，故可判断A 错误.若,//,m l m l αβα⋂=⊄，则//l β或l β⊂，故B 错误.若,//l l αβ⊥，则β存在直线与l 平行，所以αβ⊥，故C 正确.若//,//l ααβ，则//l β或l β⊂，故D 错误.故选：C.3．B【详解】若12l l ∥且23l l ⊥，根据空间直线垂直的定义，可得13l l ⊥，不平行，有可能共面，也有可能异面.故选：B.4．C【详解】对于A, 若m α∥且n α∥，则m n ∥或者,m n 异面，或者,m n 相交，故A 错误，对于B, 若m β⊥且m n ∥，则n β⊥，故B 错误，对于C ，若m α⊥且m β∥，则αβ⊥，故C 正确，对于D ，若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 有可能与n 垂直,例如在正方体1111ABCD A B C D -中，1A C 不垂直平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,但是1A C BD ⊥,理由如下：1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ,所以1,AA BD ⊥又BD CA ⊥，11,,CA AC C CA AC ⋂=⊂平面1A AC ,所以BD ⊥平面1A AC ,1AC ⊂平面1A AC ,故1A C BD ⊥，故D 错误，故选：C5．C【详解】A ；设过P 的直线为l ，如果//,//l a l b ，显然可得//a b ，这与a ，b 是异面直线相矛盾，因此本选项不正确；B ：在a 任取一点M ，在b 上任取一点N ，直线MN 上的点才可作一条直线与a 、b 都相交．其它的点不行，因此本选项不正确；C ：过P 点作//,//c a d b ，显然,c d 确定一个平面β，显然存在一条直线n ，n β⊥，过P 点一定存在直线与n 平行，因此本选项正确；D ：经过空间任意一点不一定可作一个平面与两条已知异面直线都平行，有时会出现其中一条直线在所做的平面上，因此本选项不正确；故选：C6．B【详解】对选项A ：若m ⊥α，n ⊥α，则m // n ，垂直于同一个平面的两条直线平行，正确；对选项B ：若m // n ，m //α ，则n //α或n ⊂α，错误；对选项C ：若m ⊥α，n //α，故存在l ⊂α使n l ，m l ⊥，则m ⊥n ，正确；对选项D ：若α//β，m ⊂α，n ⊂β，则,m n 不相交，则m //n 或m ，n 是异面直线，正确故选：B7．D【详解】A 选项，若,//a b αα⊂，则//a b ，或a 与b 异面，如图1，满足,//a b αα⊂，但a 与b 不平行，A 错误；B 选项，若,a b ααβ⊂=，则a 与b 平行或相交，如图2，满足,a b ααβ⊂=，但a 与b 平行，B 错误；C 选项，若,,//a b αβαβ⊂⊂，则//a b ，或a 与b 异面，如图3，满足,,//a b αβαβ⊂⊂，但不满足//a b ，C 错误；D 选项，结合C 选项的分析可知：若,,//a b αβαβ⊂⊂，则//a b ，或a 与b 异面，即a 与b 没有公共点，假设a 与b 有公共点，设公共点为P ，则,P P αβ∈∈，则P αβ∈⋂，但//αβ，故矛盾，假设不成立，即a 与b 没有公共点，D 正确.故选：D8．BD【详解】对于A ，过任意不共线的三点有且仅有一个平面，故A 错，对于B ，由于,m m αβ⊥⊥，所以αβ∥，故B 正确，对于C, 若//,//m n αα，则,m n 可以异面，也可以相交，也可以m n ∥，故C 错误，对于D,根据垂直于同一平面的两直线平行，可知D 正确.故选：BD9．ACD【详解】选项A ：将异面直线,a b 通过平移到同一平面α内，则存在无数个与平面α平行的平面与,a b 都平行，A 正确；选项B ：两异面直线与同一平面所成角可以相等，而与此平面平行的平面有无穷多个，B 错误；选项C ：因为,a b 是异面直线，平移直线b 与直线a 相交，确定一个平面平行于直线b ，所以过直线a 有且仅有一个平面α与直线b 平行，C 正确；选项D ：a α⊂，存在直线l α⊥，通过平移直线l 与直线b 相交或重合，,l b β⊂，所以由面面垂直的判定定理可知βα⊥，D 正确；故选：ACD10．BC【详解】对于A ，如下图所示，在正方体中取l 为AA '，AB 为m ，A D ''为n ，平面ABCD 为平面α，则n α∥，m α⊂，故A 错误；对于B ，如下图所示，在正方体中取l 为AA '，AB 为m ，A D ''为n ，平面ABCD 为平面α，此时l α⊥，m α⊂，n α∥，故B 正确；对于C ，由线面垂直的判定可知，l α⊥，l β⊥，过直线n 且与l 垂直的平面只有一个，过直线m 且与l 垂直的平面只有一个，则有且只有一对互相平行的平面α和β，其中m α⊂，n β⊂，故C 正确；对于D ，在正方体中取l 为AA '，AB 为m ，A D ''为n ，此时平面ABCD ⊥平面ADD A ''，平面ABB A ''⊥平面ADD A ''，即至少存在两对互相垂直的平面α和β，其中m α⊂，n β⊂，故D 错误；故选：BC11．A【详解】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，在空间四边形ABCD 中，AB 与CD 所成角为3π，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则//OF AB ，//OE CD ，因此EOF ∠是AB 与CD 所成角（或其补角），EFO ∠是直线AB 与EF 所成角（或其补角），于是得3EOF π∠=或23EOF π∠=，而AB ＝CD ，即有OE OF =，则当3EOF π∠=时，3EFO π∠=，当23EOF π∠=时，6EFO π∠=，所以直线AB 与EF 所成角为3π或6π．故选：A12．D【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD ，当P 是11A C 与11B D 的交点时，BP ⊂平面11BDD B ，BP 与1DD 相交，A 不是；当点P 与1C 重合时，BP ⊂平面11BCC B ，BP 与1B C 相交，B 不是；当点P 与1A 重合时，因为长方体1111ABCD A B C D -的对角面11A BCD 是矩形，此时1//BP D C ，C 不是；因为AC ⊂平面ABCD ，,B AC B ∉∈平面ABCD ，而P ∉平面ABCD ，因此BP 与AC 是异面直线，D 是.故选：D13．B【详解】连接11,AB B C ，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，由AD 与11B C 平行且相等得平行四边形11AB C D ，因此11//C D AB ，⊥1B AC ∠是异面直线AC 与1DC 直线所成角或其补角，由已知AC =1120ABB ∠=︒，160B BC ∠=︒，由余弦定理得1AB =1CB ==1cos B AC ∠==，⊥1sin B AC ∠= 故选：B ．14．A【详解】如图：过C 作l 的平行线，过1A 作该平行线的垂线，垂足为P ，则1ACP α∠=，所以11||sin ||A P A C α=，设正方体的棱长为1，则1||AC 11||||1A P A A ≥=，所以11||sin ||A P A C α=≥当且仅当P 与A 重合时，取得等号，所以sin α故选：A .15．B【详解】解:由展开图将正方体还原,记右下顶点为点E ,连接,BE AE ,过点A 向底面做垂线,垂足为F ,连接,AF EF ,如图所示:不妨记正方体的棱长为2, 则由2,5,BE AB ==2,5,AF EF == 所以543AE =+,在ABE 中,由余弦定理可得:222cos 2AB BE AE ABE AB BE+-∠=⋅ 2522=⨯⨯10, 由图可知,CD 与AB 所成角即为BE 和AB 所成角,故BE 和AB 10 故选:B16．C【详解】如图所示：F 是线段1C D 的中点，连接1CD 交1C D 于F ，由正方体的性质知11//CD BA ，知异面直线1A B ，EF 所成角即为直线1CD ，EF 所成角，故CFE ∠或其补角是异面直线EF 与1A B 所成角.设正方体边长为2，在直角CFE 中，2CF =1CE =，3EF=故26cos 3CFE ∠故选：C17．B【详解】对A ，因为平面QEF 即平面11A DCB 为确定的面，且点P 为确定的点，故点P 到平面QEF 的距离为定值；对B ，易得平面PEF 为平面PDC ，且11//A B DC ，11A B ⊄平面PEF ，DC ⊂平面PEF ，故11//A B 平面PEF .因为11Q A B ∈，故Q 到平面PEF 的距离为定值，又PQ 长度不为定值，故PQ 与平面PEF 所成的角的正弦不为定值，即PQ 与平面PEF 所成的角不确定；对CD ，因为Q 到EF 的距离为定值，故QEF △为定值，由A 可得点P 到平面QEF 的距离为定值，故三棱锥P QEF -的体积为定值，故QEF △的面积与三棱锥P QEF -的体积均为定值；故选：B.18．A【详解】对于选项B ，如图1，连接CD ，因为M ，N ，Q 为所在棱的中点，所以CD //MQ ，由于AB //CD ，所以AB //MQ ，因为AB ⊄平面MNQ ，MQ平面MNQ ，所以AB //平面MNQ ，B 选项不满足题意；对于选项C ，如图2，连接CD ，因为M ，N ，Q 为所在棱的中点，所以CD //MQ ，由于AB //CD ，所以AB //MQ ，因为AB ⊄平面MNQ ，MQ平面MNQ ，所以AB //平面MNQ ， C 选项不满足题意；对于选项D ，如图3，连接CD ，因为M ，N ，Q 为所在棱的中点，所以CD //NQ ，由于AB //CD ，所以AB //NQ ，因为AB ⊄平面MNQ ，NQ ⊂平面MNQ ，所以AB //平面MNQ ，可知D 不满足题意；如图4，取BC 的中点D ，连接QD ，因为Q 是AC 的中点，所以QD //AB ，由于QD 与平面MNQ 相交，故AB 与平面MNQ 不平行，A 正确.故选：A19．B【详解】连接AC 交BD 于E ，连接,,MN EN A C ''，而M ，N 分别是''A D ，''D C 的中点，所以////MN A C AC ''，即//MN AE ，且22MN A C AC AE ''===，即MN AE =，则AENM 为平行四边形，故//AM EN ，由AM ⊄面BND ，EN ⊂面BND ，则//AM 面BND .故选：B20．A【详解】因为1B E ⊂平面1BDB E ，平面1BDB E ⋂平面1A BD BD =，若直线1B E ∥平面1A BD ，则由线面平行的性质可知，1//B E BD ，但是1B E 与BD 不平行，故⊥错误；111132113216C B CE E B CC V V a a a --⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，故⊥错误；取在11AD 上取一点F ，使得11D F DE =，则1//EF B C ，即过点1B ，C ，E 的截面为1EFB C ，当,E F 与1D重合时，截面的面积最小，此时截面面积为2sin 60⋅︒=，当F 与1A 重合，E 与D 重合时，截面的面积最大，此时截面面积为2a =，即过点1B ，C ，E的截面的面积的范围是22⎤⎥⎣⎦，故⊥错误；因为11B C ⊥平面11CDD C ，所以直线1B E 与平面11CDD C 所成的角为11C EB ∠，111111,tan B C EC C EB EC ∠==，故⊥正确；故选：A21．C【详解】解：对于A ，因为直线1AD 与平面AEC 交于点A ，故不平行；对于B ，因为直线1AA 与平面AEC 交于点A ，故不平行；对于C ，在正方体1111ABCD A B C D -中，因为E 为1DD 的中点，O 为BD 的中点，所以1EO BD ∕∕，又EO ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC ，所以1BD ∕∕平面AEC ；对于D ，因为EO ⊂平面AEC ，故不平行.故选：C.22．B【详解】A 选项：EF BD ∥，EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，正确；B 选项：设11B D 中点为O ，当E 和1D 重合时，F 和O 重合，由11BC AD ∥，得异面直线AE ，BF 所成的角为1C BO ∠；当E 和O 重合时，F 和1B 重合，由11BB AA ，得异面直线AE ，BF 所成的角为1A AO ∠；显然1C BO ∠和1A AO ∠不相等，错误.C 选项：由EF BD ∥，BD ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，//BD ∴平面AEF ，故B 到平面AEF 的距离为定值，正确；D 选项：由A 到11B D 的距离为定值可得A 到EF 的距离为定值，又EF AEF △的面积不变，又由C 选项知B 到平面AEF 的距离为定值，故三棱锥E ABF -的体积为定值，正确. 故选：B.23．90°【详解】因为在正方体1111ABCD A B C D -中，11AB DC ∥，所以异面直线1AB 与BE 所成的角等于1DC 与BE 所成的角，又因为1BDC 为正三角形，且E 为1DC 的中点，所以1BE DC ⊥，即1DC 与BE 所成的角为90︒，异面直线1AB 与BE 所成的角为90︒. 故答案为：90︒.。

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空间角练习题1．二面角是指（ D ）A 两个平面相交所组成的图形B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有（ D ）A 1条或2条交线B 2条或3条交线C 仅2条交线D 1条或2条或3条交线3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( B )A 5B 20 CD4．在直二面角α-l-β中，RtΔABC在平面α内，斜边BC在棱l上，若AB 与面β所成的角为600，则AC与平面β所成的角为（ A ）A 300B 450 C600 D 12005．如图，射线BD、BA、BC两两互相垂直，AB=BC=1，BD=，则弧度数为的二面角是（ A ）A D-AC-B B A-CD-BC A-BC-D D A-BD-C6．△ABC在平面α的射影是△A1B1C1，如果△ABC所在平面和平面α成θ角，有（B）A S△A1B1C1=S△ABC·sinθB S△A1B1C1=S△ABC·cosθC S△ABC =S△A1B1C1·sinθD S△ABC=S△A1B1C1·cosθ7．如图，若P为二面角M-l-N的面N内一点，PB⊥l，B为垂足，A为l上一点，且∠PAB=α，PA与平面M所成角为β，二面角M-l-N的大小为γ，则有（ B ）A sinα=sinβsinγB sinβ=sinαsinγC sinγ=sinαsinβD 以上都不对8．在600的二面角的棱上有两点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD= 7cm 。

9．已知△ABC和平面α，∠A=300，∠B=600，AB=2，ABα，且平面ABC与α所成角为300，则点C到平面α的距离为。

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