【KS5U推荐】专题32 数列求和-巅峰冲刺山东省2020年高考数学一轮考点扫描 Word版含解析【KS5U 高考】

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巅峰冲刺山东省2020高考数学一轮考点扫描专题10 函数图像含解析

巅峰冲刺山东省2020年高考数学一轮考点扫描专题10 函数图像一、【知识精讲】1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――——————————→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象. (3)伸缩变换y ＝f (x )―——————————————————―→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a >0）倍y ＝f (ax ).y ＝f (x )―——————————————————―→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ).(4)翻折变换y ＝f (x )的图象―————————————————―→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；y ＝f (x )的图象―————————————————―→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象.[微点提醒] 记住几个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称. (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称.(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称. 二、【典例精练】考点一作函数的图象例1. 作出下列函数的图象．(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3，x ≤1，－x 2＋4x －2，x >1；(2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x |－1.【解析】 (1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．(2)y ＝2x ＋2的图象是由y ＝2x的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图②所示．(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，其图象如图③所示．【解法小结】作函数图象的一般方法例2. (2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x－e－xx2的图象大致为( )【答案】B【解析】 ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数， ∴f (x )＝e x－e －xx2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项；当x ＝1时，f (1)＝e －1e >0，排除D 选项；又e>2，∴1e <12，∴e －1e>1，排除C 选项．故选B.例3. （1） (2017·全国Ⅲ卷)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )(2)(2016·全国Ⅰ卷)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )【答案】(1)D (2)D【解析】 (1)法一易知g (x )＝x ＋sin x x 2为奇函数，故y ＝1＋x ＋sin xx2的图象关于点(0，1)对称，排除C ；当x ∈(0，1)时，y >0，排除A ；当x ＝π时，y ＝1＋π，排除B ，选项D 满足.法二当x ＝1时，f (1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A ，C ；又当x →＋∞时，y →＋∞，排除B ，而D 满足.(2)f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2，2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0，1)，排除选项A ，B ；当x ≥0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x，所以f ′(0)＝－1<0，f ′(2)＝8－e 2>0，所以函数f (x )在(0，2)上有解，故函数f (x )在[0，2]上不单调，排除C ，故选D. 【解法小结】1．函数图象与解析式之间的4种对应关系(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域(或有界性)，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的升降变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间上单调性一致，偶函数的图象关于y 轴对称，在对称的区间上单调性相反； (4)从函数的周期性，判断图象是否具有循环往复特点． 2．通过图象变换识别函数图象要掌握的两点(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)； (2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换． 3．借助动点探究函数图象解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象，也可以采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．考点三函数图象的应用考法(一) 研究函数的性质例4. 【2017山东高考】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y x m =+的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()223,⎡+∞⎣（D ）([)23,+∞【答案】B【解析】试题分析：当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y x m =+单调递增，且[,1]y x m m m =+∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m << ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B.【解法小结】利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．考法(二) 在不等式中的应用例5. 若不等式(x －1)2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2] B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)【答案】A【解析】要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．【解法小结】当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合法求解．三、【名校新题】1.(2019·长郡中学联考)函数f (x )＝1－x2ex 的图象大致为( )【答案】D【解析】∵f (－x )＝1－x2e －x ≠f (x )知f (x )的图象不关于y 轴对称，排除选项B ，C ，又f (2)＝1－4e 2＝－3e2<0，排除A ，选D.2. (2019·西安月考)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( ) A.f (x )＝e x ＋1B.f (x )＝e x －1C.f (x )＝e－x ＋1D.f (x )＝e－x －1【答案】D【解析】依题意，与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线是y ＝e －x，于是f (x )相当于y ＝e －x向左平移1个单位的结果，∴f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.3. (2019·山西四校联考)已知函数f (x )＝|x 2－1|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则b 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(1,2)【答案】C【解析】作出函数f (x )＝|x 2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y ＝1，交f (x )的图象于点B ，由x 2－1＝1可得x B ＝2，结合函数图象可得b 的取值范围是(1，2)．4.(2019·黄山一模)已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②中的图象对应的函数为( )A.y ＝f (|x |)B.y ＝f (－|x |)C.y ＝|f (x )|D.y ＝－f (|x |)【答案】C【解析】观察函数图象，图②是由图①保留y 轴左侧部分图象，并将左侧图象翻折到右侧所得，因此图②中对应的函数解析式为y ＝f (－|x |).5. (2019•郑州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥01x，x <0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图象是( )【答案】D【解析】由题设得函数g (x )＝－f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≤0，1x ，x >0，据此可画出该函数的图象，如题图选项D 中图象．故选D.6.(2018·广州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤e，ln x ，x >e ，则函数y ＝f (e －x )的大致图象是( )【答案】B【解析】令g (x )＝f (e －x )，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e e －x，e －x ≤e，ln （e －x ），e －x >e ，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e e －x ，x ≥0，ln （e －x ），x <0，因此g (x )在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，排除A ，C ；又ee －0>ln(e －0)＝1，排除D ，因而B 项成立.7.（2019青岛调研）已知函数,则m的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】若,即,或,解得或8.对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值.其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.0【答案】B【解析】作出f(x)的图象，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确.9. (2019·昆明检测)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( )A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值【答案】C【解析】画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x).综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值.10.(2019·江淮十校联考)若直角坐标系内A ，B 两点满足：(1)点A ，B 都在f (x )图象上；(2)点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ，B )是函数f (x )的一个“和谐点对”，(A ，B )与(B ，A )可看作一个“和谐点对”.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x （x <0），2ex （x ≥0），则f (x )的“和谐点对”有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y ＝2ex (x ≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f (x )的“和谐点对”有2个.11.(2019·石家庄模拟)若函数y ＝f (x )的图象过点(1，1)，则函数y ＝f (4－x )的图象一定经过点________. 【答案】 (3，1)【解析】由于函数y ＝f (4－x )的图象可以看作y ＝f (x )的图象先关于y 轴对称，再向右平移4个单位长度得到.点(1，1)关于y 轴对称的点为(－1，1)，再将此点向右平移4个单位长度. 所以函数y ＝f (4－x )的图象过定点(3，1).12. (2019·南昌检测)已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log f (x )的定义域是________.【答案】(2，8]【解析】当f (x )>0时，函数g (x )＝log f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )>0时，x ∈(2，8].13. (2019·合肥一中质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________. 【答案】(3，＋∞)【解析】在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象.当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.14. (2019·安徽江淮十校联考)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值.若f (x )＝max{e |x |，e|x－2|}，则f (x )的最小值为________.【答案】e【解析】在同一直角坐标系中，画出函数y ＝e |x |，y ＝e|x －2|的图象(图略)，可知f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x ，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e x≥e，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x <1时，f (x )＝e2－x>e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.。

专题32 数列求和-巅峰冲刺山东省2020年高考数学一轮考点扫描 Word版含解析

姓名，年级：时间：巅峰冲刺山东省2020年高考数学一轮考点扫描专题32 数列求和一、【知识精讲】1。

特殊数列的求和公式(1)等差数列的前n项和公式：S n＝错误!＝na＋错误!d.1(2)等比数列的前n项和公式：S n＝错误!2.数列求和的几种常用方法(1）分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解。

(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。

(3）错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.（4）倒序相加法如果一个数列｛a n｝的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.[微点提醒]1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝错误!。

2.12＋22＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6。

3。

裂项求和常用的三种变形 (1)错误!＝错误!－错误!. (2）错误!＝错误!错误!. (3)错误!＝错误!－错误!. 二、【典例精练】考点一分组转化法求和【例1-1】(2014山东）已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ,且1S ，2S ,4S 成等比数列．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）令n b =,4)1(11+--n n n a a n求数列}{n b 的前n 项和n T ．【解析】（Ⅰ）,64,2,,2141211d a S d a S a S d +=+===解得12,11-=∴=n a a n （Ⅱ))121121()1(4)1(111++--=-=-+-n n a a n b n n n n n ，当n 为偶数时11111(1)()()33557n T =+-+++-1111()()23212121n n n n ++-+---+1221211+=+-=∴n nn T n11111(1)()()33557n n T =+-+++--当为奇数时，1111()()23212121n n n n +++---+4122421,,S S S S S S =∴成等比12221211++=++=∴n n n T n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=∴为奇数为偶数n n n n n nT n ,1222,122．【例1-2】 (2019·郴州质检）已知在等比数列｛a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 3－1成等差数列.(1）求数列｛a n ｝的通项公式；(2）若数列{b n ｝满足b n ＝2n －1＋a n （n ∈N ＊）,数列{b n }的前n 项和为S n ,试比较S n 与n 2＋2n的大小.【解析】（1）设等比数列｛a n ｝的公比为q , ∵a 1，a 2,a 3－1成等差数列，∴2a 2＝a 1＋（a 3－1）＝a 3，∴q ＝错误!＝2， ∴a n ＝a 1qn －1＝2n －1（n ∈N ＊）.(2)由（1)知b n ＝2n －1＋a n ＝2n －1＋2n －1，∴S n ＝（1＋1)＋(3＋2）＋（5＋22）＋…＋(2n －1＋2n －1）＝［1＋3＋5＋…＋（2n －1）］＋(1＋2＋22＋…＋2n －1）＝错误!·n ＋错误!＝n 2＋2n－1。

2020届高考数学一轮复习第31讲数列求和

课前双基巩固
3.[教材改编] 若数列{an} 的通项公式为 an=(n-1)×
n-1
课前双基巩固
题组二常错题
◆索引:利用分组(或并项)求和
课前双基巩固
4.已知数列{an}的通项公式为 an=(-1)n(2n-2),则数列{an}的
课前双基巩固
5.在数列{an}中,已知
an=(��
1 +1)(��
�� +1 ��
1 - 1 =4,数列
�� +1 ��
�� 满足 1 = 1 + 1 ,记 �� 的
课堂考点探究
[总结反思] 数列的通项公式类数列适合使用裂项相消法求
课堂考点探究
考试说明
掌握等差数列、等比数列的前
课前双基巩固
知识聚焦
1.公式法 (1)公式法
课前双基巩固
��1(1-�� )
当 q≠1 时,Sn= 1-��巩固
2.倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法如果一个数列{an}中,与首末两
课前双基巩固
教师备用例题
例 3 [配合例 4 使用] [2018· 知公差 d 不为 0 的等差数列{ 和为 15,且 a1a10=a3a4.
继续努力
再见
变式题 [2018·株洲二中、醴陵
考] 数列
1 �� +1+
��
的前 2018
S2018= ( )
课堂考点探究
角度 2 形如 an=��(��+�� ) 例 4 [2018·柳州联考] 设数

【KS5U推荐】专题31 等比数列-巅峰冲刺山东省2020年高考数学一轮考点扫描 Word版含解析【KS5U 高考】

巅峰冲刺山东省2020年高考数学一轮考点扫描专题31 等比数列一、【知识精讲】 1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数).(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G 2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1；通项公式的推广：a n ＝a m qn －m.(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q1－q.3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和.(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n. [微点提醒]1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列.2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误. 二、【典例精练】考点一等比数列基本量的运算例1. (2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. 【答案】-8【解析】 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1，所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.例2.(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 【解析】 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n1－2＝2n－1.由S m ＝63，得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.【解法小结】 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q.考点二等比数列的判定与证明例3. (2016·全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.【解析】(1)证明由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)解由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.【解法小结】 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n ＝1的情形进行验证. 考点三等比数列的性质及应用例4. (1)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A.12B.10C.8D.2＋log 35(2) 各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16【答案】(1)B (2)B【解析】 (1)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.（2）由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列．由(x －2)2＝2×(14－x )，解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30.【解法小结】 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用. 三、【名校新题】1.(2019·马鞍山质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A.2 B.4C.92D.6【答案】B【解析】根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2. 又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.2.(2019·太原模拟)已知公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝3a 3，则S 5＝( ) A.1 B.5C.3148D.1116【答案】D【解析】由题意得a 1（1－q 3）1－q ＝3a 1q 2，解得q ＝－12或q ＝1(舍)，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1251－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1116.3．(2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( ) A ．4 B ．10 C ．16 D ．32【答案】C【解析】设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.4.(2019·菏泽质检)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A.－2 B.－ 2C.± 2D. 2【答案】B【解析】根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4，a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0，由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2.5．(2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( ) A ．－2＋22B ．－ 2C. 2 D ．－ 2 或 2【答案】B【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.6.(2019·深圳一模)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，则a b＝( )A.－3B.－1C.1D.3【答案】A【解析】 ∵等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，∴a 1＝S 1＝a ＋b ，a 2＝S 2－S 1＝3a ＋b －a －b ＝2a ，a 3＝S 3－S 2＝9a ＋b －3a －b ＝6a ，∵等比数列{a n }中，a 22＝a 1a 3， ∴(2a )2＝(a ＋b )×6a ，解得ab＝－3.7.(2019·河北衡水中学调研)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( ) A ．29 B ．31 C ．33 D ．36【答案】 B【解析】由a 2a 5＝a 3a 4＝2a 3，得a 4＝2.又a 4＋2a 7＝2×54，所以a 7＝14，又因为a 7＝a 4q 3，所以q ＝12，所以a 1＝16，所以S 5＝16×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝31.故选B.8．(2019·郑州第二次质量预测)已知等比数列{a n }中，a 2a 5a 8＝－8，S 3＝a 2＋3a 1，则a 1＝( ) A.12 B ．－12C ．－29D ．－19【答案】B【解析】设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋3a 1，所以a 3a 1＝q 2＝2.因为a 2a 5a 8＝a 35＝－8，所以a 5＝－2，即a 1q 4＝－2，所以4a 1＝－2，所以a 1＝－12，故选B.9．(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 019＝( )A ．22 018－12 B ．1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 018C ．22 019－12D ．1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 019【答案】A【解析】由等比数列的性质及a 2a 6＝8(a 4－2)，得a 24＝8a 4－16，解得a 4＝4. 又a 4＝12q 3，故q ＝2，所以S 2 019＝121－22 0191－2＝22 018－12，故选A.10.(2019·北大附中模拟)若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝22n －1B ．a n ＝2nC ．a n ＝22n ＋1D ．a n ＝22n －3【答案】 A【解析】 ∵a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝(a n ＋1－4a n )(a n ＋1＋a n )＝0，又a n ＋1＋a n >0，∴a n ＋1＝4a n ，∴a n ＝2×4n －1＝22n－1.故选A.11．(2019·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，∴log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.12.(2019·江西联考)在等比数列{a n }中，若a 2a 5＝－34，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝54，则1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝( )A ．1B ．－34C ．－53D ．43【答案】 C【解析】因为数列{a n }是等比数列，a 2a 5＝－34＝a 3a 4，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝54，所以1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝a 2＋a 5a 2a 5＋a 3＋a 4a 3a 4＝54－34＝－53.故选C. 13．(2019·福州模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋3，则S 4＝________. 【答案】 66【解析】依题意有a n ＝2S n －1＋3(n ≥2)，与原式作差，得a n ＋1－a n ＝2a n ，n ≥2，即a n ＋1＝3a n ，n ≥2，可见，数列{a n }从第二项起是公比为3的等比数列，a 2＝5，所以S 4＝1＋5×1－331－3＝66.14．(2019·郑州一测)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________. 【答案】100【解析】因为log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 22a n ，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列，又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100，所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100.15.(2019·华大新高考联盟质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝______. 【答案】83【解析】 ∵{a n }是等比数列，a 3a 11＝2a 25， ∴a 27＝2a 25，∴q 4＝2，∵S 4＋S 12＝λS 8，∴a 1（1－q 4）1－q ＋a 1（1－q 12）1－q ＝λa 1（1－q 8）1－q，∴1－q 4＋1－q 12＝λ(1－q 8)，将q 4＝2代入计算可得λ＝83.16．(2019·启东模拟)已知等比数列{a n }中，a 2>a 3＝1，则使不等式⎝⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 3－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫a n －1an≥0成立的最大自然数n 是________．【答案】 5【解析】设公比为q ，由a 2>a 3＝1知0<q <1，a n ＝q n －3，∴不等式的左端＝q －21－q n 1－q －q 21－q －n1－q－1＝1－q n1－q q2·(1－q 5－n)≥0，∵0<q <1，∴n ≤5. 17. (2019·广东省级名校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4. (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列；(2)求数列{S n }的前n 项和T n .【解析】(1)证明因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)，又由题意知a 1－2a 1＝－3，所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n＝4（1－2n）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.18.(2019·山东省实验中学模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，S 2＝2a 2－2，S 3＝a 4－2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a n，求{b n }的前n 项和T n . 【解析】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 2＝2a 2－2，①S 3＝a 4－2，②所以由①②两式相减得a 3＝a 4－2a 2，即q 2－q －2＝0. 又因为q >0，所以q ＝2.又因为S 2＝2a 2－2，所以a 1＋a 2＝2a 2－2，所以a 1＋a 1q ＝2a 1q －2，代入q ＝2，解得a 1＝2，所以a n ＝2n. (2)由(1)得b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，①将①式两边同乘12，得12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，②由①②两式错位相减得12T n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1，整理得T n ＝2－n ＋22n.。

2020年高考数学(理)总复习：数列的求和及综合应用(解析版)

2020年高考数学（理）总复习：数列的求和及综合应用题型一数列求和【题型要点】(1)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．(2)裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即a n ＝f (n ＋1)－f (n )的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如1+n n a a c(其中{a n }是各项均不为0的等差数列，c 为常数)的数列等．(3)错位相减法：形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和．(4)倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思．(5)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .(6)归纳猜想法：通过对S 1，S 2，S 3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出S n ，然后用数学归纳法给出证明．【例1】已知各项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，n ＋1，n 为奇数(n ∈N *)，若S 3＝b 5＋1，b 4是a 2和a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .【反思总结】(1)错位相减法适用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{a n}为等差数列，{b n}为等比数列．(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n＝1,2进行验证．题组训练一数列求和已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且6S n＝3n＋1＋a(a∈N*)．(1)求a的值及数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝(－1)n－1(2n2＋2n＋1)(log3a n＋2)2(log3a n＋1)2，求{b n}的前n项和T n.题型二数列与函数的综合问题【题型要点】数列与函数的综合问题主要有以下两类：(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．【例2】已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n2＋2n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若点(b n，a n)在函数y＝log2x的图象上，求数列{b n}的前n项和T n.题组训练二数列与函数的综合问题已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n (n ∈N *)． (1)求f (x )的解析式；(2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛na 1，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式．题型三数列与不等式的综合问题【题型要点】(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性求解．(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，常利用放缩法或单调性法证明．(3)当已知数列关系时，需要知道其范围时，可借助数列的单调性，即比较相邻两项的大小即可．【例3】设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎪⎭⎫⎝⎛32,0内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜13n⎪⎭⎫ ⎝⎛32.题组训练三数列与不等式的综合问题1.已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝10·4n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝log 2a n .(1)求b n ，S n ；(2)设c n ＝b n ＋12，证明：c 1·c 2＋c 2·c 3＋…＋c n ·c n ＋1<12S n ＋1(n ∈N *)．2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a 2n，n ∈N *，记S n ，T n 分别是数列{a n }，{a 2n }的前n 项和．证明：当n ∈N *时，(1)a n ＋1<a n ； (2)T n ＝1a 2n ＋1－2n －1；(3)2n －1<S n <2n .【专题训练】1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8, S n ＝a n ＋12－n －1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2×3na n a n ＋1的前n 项和T n .2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b n ＝log 2a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .3．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2,4S n ＝a n ·a n ＋1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 的前n 项和为T n ，求证：n 4n ＋4<T n <12.4．已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为A n和B n，且对任意n∈N*，a n＋1－a n＝2(b n＋1－b n)恒成立．(1)若A n＝n2，b1＝2，求B n；(2)若对任意n∈N*，都有a n＝B n及b2a1a2＋b3a2a3＋b4a3a4＋…＋b n＋1a n a n＋1＜13成立，求正实数b1的取值范围；(3)若a1＝2，b n＝2n，是否存在两个互不相等的整数s，t(1＜s＜t)，使A1B1，A sB s，A tB t成等差数列？若存在，求出s，t的值；若不存在，请说明理由．2020年高考数学（理）总复习：数列的求和及综合应用题型一数列求和【题型要点】(1)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．(2)裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即a n ＝f (n ＋1)－f (n )的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如1+n n a a c(其中{a n }是各项均不为0的等差数列，c 为常数)的数列等．(3)错位相减法：形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和．(4)倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思．(5)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .(6)归纳猜想法：通过对S 1，S 2，S 3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出S n ，然后用数学归纳法给出证明．【例1】已知各项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，n ＋1，n 为奇数(n ∈N *)，若S 3＝b 5＋1，b 4是a 2和a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)∵数列{b n }的通项公式b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，n ＋1，n 为奇数(n ∈N *)，∴b 5＝6，b 4＝4，设各项为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q >0， ∵S 3＝b 5＋1＝7，∴a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，① ∵b 4是a 2和a 4的等比中项，∴a 2·a 4＝a 23＝16，解得a 3＝a 1q 2＝4，②由①②得3q 2－4q －4＝0，解得q ＝2，或q ＝－23(舍)，∴a 1＝1，a n ＝2n －1.(2)当n 为偶数时，T n ＝(1＋1)·20＋2·2＋(3＋1)·22＋4·23＋(5＋1)·24＋…＋[[(n －1)＋1]·2n－2＋n ·2n －1＝(20＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n ·2n －1)＋(20＋22＋…＋2n －2)，设H n ＝20＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n ·2n －1，①2H n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ，② ①－②，得－H n ＝20＋2＋22＋23＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n 1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1，∴H n ＝(n －1)·2n ＋1，∴T n ＝(n －1)·2n＋1＋1－4·2n 1－4＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-32n ·2n ＋23.当n 为奇数，且n ≥3时，T n ＝T n －1＋(n ＋1)·2n －1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-35n ·2n －1＋23＋(n ＋1)·2n －1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-322n ·2n －1＋23，经检验，T 1＝2符合上式， ∴T n ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--为偶数为奇数n n n n n n ,32232,3223221【反思总结】(1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列． (2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1,2进行验证．题组训练一数列求和已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S n ＝3n ＋1＋a (a ∈N *)．(1)求a 的值及数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n －1(2n 2＋2n ＋1)(log 3a n ＋2)2(log 3a n ＋1)2，求{b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)∵等比数列{a n }满足6S n ＝3n ＋1＋a (a ∈N *)，n ＝1时，6a 1＝9＋a ；n ≥2时，6a n ＝6(S n －S n －1)＝3n ＋1＋a －(3n ＋a )＝2×3n .∴a n ＝3n －1，n ＝1时也成立，∴1×6＝9＋a ，解得a ＝－3，∴a n ＝3n －1.(2)b n ＝(－1)n －1(2n 2＋2n ＋1)(log 3a n ＋2)2(log 3a n ＋1)2＝(－1)n －1(2n 2＋2n ＋1)n 2(n ＋1)2＝(－1)n －1()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22111n n当n 为奇数时，T n ＝+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+222231212111()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22111n n ＝1＋1(n ＋1)2；当n 为偶数时，T n ＝+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+222231212111()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22111n n ＝1－1(n ＋1)2. 综上，T n ＝1＋(－1)n－11(n ＋1)2. 题型二数列与函数的综合问题【题型要点】数列与函数的综合问题主要有以下两类：(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋2n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若点(b n ，a n )在函数y ＝log 2x 的图象上，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解】 (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋2n －[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＝4×1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝4n .(2)由点{b n ，a n }在函数y ＝log 2x 的图象上得a n ＝log 2b n ，且a n ＝4n ，∴b n ＝2an ＝24n ＝16n ，故数列{b n }是以16为首项，公比为16的等比数列．T n ＝16(1－16n )1－16＝16n ＋1－1615.题组训练二数列与函数的综合问题已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n (n ∈N *)． (1)求f (x )的解析式；(2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛na 1，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)由f ′(x )＝2ax ＋b ，f ′(0)＝2n ，得b ＝2n ，又f (x )的图象过点(－4n,0)，所以16n 2a －4nb ＝0，解得a ＝12.所以f (x )＝12x 2＋2nx (n ∈N *)．(2)由(1)知f ′(x )＝x ＋2n (n ∈N *)，所以1a n ＋1＝1a n ＋2n ，即1a n ＋1－1a n＝2n .所以1a n －1a n －1＝2(n －1), 1a n －1－1a n －2＝2(n －2)，…1a 2－1a 1＝2，以上各式相加得1a n －14＝n 2－n ，所以a n ＝1n 2－n ＋14，即a n ＝4(2n －1)2(n ∈N *)．题型三数列与不等式的综合问题【题型要点】(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性求解．(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，常利用放缩法或单调性法证明．(3)当已知数列关系时，需要知道其范围时，可借助数列的单调性，即比较相邻两项的大小即可．【例3】设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎪⎭⎫⎝⎛32,0内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜13n⎪⎭⎫ ⎝⎛32.(1)【解】方法一由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1，所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －2＋n ·2n －1，①则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n ，②由①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )2n －1，所以f n ′(2)＝(n －1)2n ＋1.方法二当x ≠1时，f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，则f n ′(x )＝[1－(n ＋1)x n ](1－x )＋(x －x n ＋1)(1－x )2，可得f n ′(2)＝－[1－(n ＋1)2n ]＋2－2n ＋1(1－2)2＝(n －1)2n ＋1.(2)[证明] 因为f n (0)＝－1＜0，f n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32＝32132132-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n－1＝1－2×n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32≥1－2×232⎪⎭⎫ ⎝⎛＞0，所以f n (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0内至少存在一个零点，又f ′n (x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1＞0，所以f n (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0内单调递增，因此f n (x )在⎪⎭⎫⎝⎛32,0内有且仅有一个零点a n ，由于f n (x )＝x －x n ＋11－x －1，所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1n 1－a n－1，由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞12，故12＜a n ＜23，所以0＜a n －12＝12a n＋1n ＜12×132+⎪⎭⎫⎝⎛n ＝13n⎪⎭⎫⎝⎛32. 题组训练三数列与不等式的综合问题1.已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝10·4n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝log 2a n .(1)求b n ，S n ；(2)设c n ＝b n ＋12，证明：c 1·c 2＋c 2·c 3＋…＋c n ·c n ＋1<12S n ＋1(n ∈N *)．【解】 (1)解由题意知a 2＋a 1＝10，a 2＋a 3＝40，设{a n }的公比为q ，则a 2＋a 3a 1＋a 2＝q (a 1＋a 2)a 1＋a 2＝4，∴q ＝4.则a 1＋a 2＝a 1＋4a 1＝10，解得a 1＝2，∴a n ＝2·4n －1＝22n －1.∴b n ＝log 222n －1＝2n －1.∴S n ＝n (b 1＋b n )2＝n (1＋2n －1)2＝n 2.(2)证明法一∵c n ＝b n ＋12＝2n －1＋12＝n ，∴S n ＋1＝(n ＋1)2.要证明c 1·c 2＋c 2·c 3＋…＋c n ·c n ＋1<12S n ＋1，即证1×2＋2×3＋…＋n ×(n ＋1)<12(n ＋1)2，①当n ＝1时，1×2<12×(1＋1)2＝2成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1×2＋2×3＋…＋k ×(k ＋1)<12(k ＋1)2，则当n ＝k ＋1(k ∈N *)时，要证1×2＋2×3＋…＋k ×(k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)<12(k ＋2)2，即证(k ＋1)(k ＋2)<12(k ＋2)2－12(k ＋1)2，即(k ＋1)(k ＋2)<k ＋32，两边平方得k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋94显然成立，∴当n ＝k ＋1(k ∈N *)时，不等式成立．综上，不等式成立．法二 ∵c n ＝b n ＋12＝2n －1＋12＝n ，S n ＋1＝(n ＋1)2，由基本不等式可知n (n ＋1)≤n ＋n ＋12＝n ＋12，故1×2<1＋12，2×3<2＋12，…，n (n ＋1)≤n ＋12，∴1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)<(1＋2＋3＋…＋n )＋n 2＝n 2＋2n 2<n 2＋2n ＋12＝(n ＋1)22，即不等式c 1·c 2＋c 2·c 3＋…＋c n ·c n ＋1<12S n ＋1(n ∈N *)成立．2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a 2n，n ∈N *，记S n ，T n 分别是数列{a n }，{a 2n }的前n 项和．证明：当n ∈N *时，(1)a n ＋1<a n ； (2)T n ＝1a 2n ＋1－2n －1；(3)2n －1<S n <2n .【证明】 (1)由a 1＝1及a n ＋1＝a n1＋a 2n 知，a n >0，故a n ＋1－a n ＝a n 1＋a 2n －a n ＝－a 3n1＋a 2n <0， ∴a n ＋1<a n ，n ∈N *. (2)由1a n ＋1＝1a n ＋a n ，得1a 2n ＋1＝1a 2n ＋a 2n ＋2，从而1a 2n ＋1＝1a 2n ＋a 2n ＋2＝1a 2n －1＋a 2n －1＋a 2n ＋2×2＝…＝1a 21＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＋2n ，又∵a 1＝1，∴T n ＝1a 2n ＋1－2n －1，n ∈N *. (3)由(2)知，a n ＋1＝1T n ＋2n ＋1，由T n ≥a 21＝1，得a n ＋1≤12n ＋2，∴当n ≥2时，a n ≤12n ＝22n <2n ＋n －1＝2(n －n －1)，由此S n <a 1＋2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)]＝1＋2(n －1)<2n ，n ≥2，又∵a 1＝1，∴S n <2n .另一方面，由a n ＝1a n ＋1－1a n ，得S n ＝1a n ＋1－1a 1≥2n ＋2－1>2n －1.综上，2n －1<S n <2n .【专题训练】1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8, S n ＝a n ＋12－n －1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2×3na n a n ＋1的前n 项和T n .【解】 (1)因为S n ＝a n ＋12－n －1，故当n ＝1时，a 1＝a 22－1－1＝2；当n ≥2时，2S n ＝a n ＋1－2n －2,2S n －1＝a n －2(n －1)－2，两式相减可得a n ＋1＝3a n ＋2；经检验，当n ＝1时也满足a n ＋1＝3a n ＋2，故a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，故数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，故a n ＋1＝3n ，即a n ＝3n －1.(2)由(1)可知，2×3n a n a n ＋1＝2×3n(3n －1)(3n ＋1－1) ＝13n－1－13n ＋1－1，故T n ＝131－1－132－1＋132－1－133－1＋…＋13n －1－13n ＋1－1＝12－13n ＋1－1.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b n ＝log 2a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .【解析】 (1)∵a n ＋1＝S n ＋2，∴当n ≥2时，a n ＝S n －1＋2，两式相减得，a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ，则a n ＋1＝2a n ，所以a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，∵a 1＝2，∴a 2＝S 1＋2＝4，满足a 2a 1＝2，∴数列{a n }是以2为公比、首项为2的等比数列，则a n ＝2·2n －1＝2n ；(2)由(1)得，b n ＝log 2a n ＝log 22n ＝n ， ∴1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1113121211n n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 3．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2,4S n ＝a n ·a n ＋1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 的前n 项和为T n ，求证：n 4n ＋4<T n <12.【解析】 (1)∵4S n ＝a n ·a n ＋1，n ∈N *， ∴4a 1＝a 1·a 2，又a 1＝2，∴a 2＝4.当n ≥2时，4S n －1＝a n －1·a n ，得4a n ＝a n ·a n ＋1－a n －1·a n .由题意知a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝4. ①当n ＝2k ＋1，k ∈N *时，a 2k ＋2－a 2k ＝4，即a 2，a 4，…，a 2k 是首项为4，公差为4的等差数列， ∴a 2k ＝4＋(k －1)×4＝4k ＝2×2k ； ②当n ＝2k ，k ∈N *时，a 2k ＋1－a 2k －1＝4，即a 1，a 3，…，a 2k －1是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a 2k －1＝2＋(k －1)×4＝4k －2＝2(2k －1)．综上可知，a n ＝2n ，n ∈N *.(2)证明：∵1a 2n ＝14n 2>14n (n ＋1)＝14⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111n n ，∴T n ＝1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n>14⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1113121211n n ＝141－1n ＋1＝n 4n ＋4. 又∵1a 2n ＝14n 2<14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛+--121121n n ，∴T n＝1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n<12⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-+-12112171515131311n n ＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1211n <12. 即得n 4n ＋4<T n <12.4．已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立．(1)若A n ＝n 2，b 1＝2，求B n ；(2)若对任意n ∈N *，都有a n ＝B n 及b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＜13成立，求正实数b 1的取值范围；(3)若a 1＝2，b n ＝2n ，是否存在两个互不相等的整数s ，t (1＜s ＜t )，使A 1B 1，A s B s ，A tB t成等差数列？若存在，求出s ，t 的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)因为A n ＝n 2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2－(n －1)2，n ≥2，即a n ＝2n －1，故b n ＋1－b n ＝12(a n ＋1－a n )＝1，所以数列{b n }是以2为首项，1为公差的等差数列，所以B n ＝n ·2＋12·n ·(n －1)·1＝12n 2＋32n .(2)依题意B n ＋1－B n ＝2(b n ＋1－b n )，即b n ＋1＝2(b n ＋1－b n )，即b n ＋1b n＝2，所以数列{b n }是以b 1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝B n ＝1－2n1－2×b 1＝b 1(2n －1)，所以b n ＋1a n a n ＋1＝2nb 1(2n －1)·(2n ＋1－1)，因为b n ＋1a n a n ＋1＝1b 1⎪⎭⎫ ⎝⎛---+1211211n n所以b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＝1b 1⎪⎭⎫ ⎝⎛---+12112111n ，所以1b 1⎪⎭⎫ ⎝⎛---+12112111n ＜13恒成立，即b 1＞3⎪⎭⎫ ⎝⎛--+12111n ，所以b 1≥3.(3)由a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )得：a n ＋1－a n ＝2n ＋1，所以当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋23＋22＋2＝2n ＋1－2，当n ＝1时，上式也成立，所以A n ＝2n ＋2－4－2n ，又B n ＝2n ＋1－2，所以A n B n ＝2n ＋2－4－2n 2n ＋1－2＝2－n2n －1，假设存在两个互不相等的整数s ，t (1＜s ＜t )，使A 1B 1，A s B s ，A t B t 成等差数列，等价于121－1，s 2s －1，t2t －1成等差数列，即2s 2s－1＝121－1＋t 2t －1，即2s 2s －1＝1＋t 2t －1，因为1＋t 2t －1＞1，所以2s2s －1＞1，即2s＜2s ＋1，令h (s )＝2s －2s －1(s ≥2，s ∈N *)，则h (s ＋1)－h (s )＝2s －2＞0所以h (s )递增，若s ≥3，则h (s )≥h (3)＝1＞0，不满足2s ＜2s ＋1，所以s ＝2，代入2s 2s －1＝121－1＋t 2t －1得2t －3t －1＝0(t ≥3)，当t ＝3时，显然不符合要求；当t ≥4时，令φ(t )＝2t －3t －1(t ≥4，t ∈N *)，则同理可证φ(t )递增，所以φ(t )≥φ(4)＝3＞0，所以不符合要求．所以，不存在正整数s ，t (1＜s ＜t )，使A 1B 1，A s B s ，A tB t成等差数列．。

专题32 等比数列及其前n项和-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)

专题32等比数列及其前n 项和最新考纲1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．3.了解等比数列与指数函数的关系.基础知识融会贯通1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1(a 1≠0，q ≠0)． 3．等比中项如果在a 与b 中插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，G a ＝bG ，G 2＝ab ，G＝±ab ，称G 为a ，b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn 仍是等比数列． 5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 【知识拓展】等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列．(2)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列．(4)当q <0时，{a n }为摆动数列．重点难点突破【题型一】等比数列基本量的运算【典型例题】在等比数列{a n }中，，则公比q 的值为（）A ．3B ．C ．2或D ．3或【解答】解：根据题意，等比数列{a n }中，，则有2q，变形可得q 2q +1＝0，解可得：q ＝3或，故选：D ．【再练一题】已知公比大于0的等比数列{a n }满足a 1＝3，前三项和S 3＝21，则a 2+a 3+a 4＝（） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84【解答】解：3（1+q +q 2），即q 2+q ﹣6＝0，解得q ＝2或q ＝﹣3（舍），所以a 2+a 3+a 4＝qS 3＝2×21＝42．故选：B ．思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．【题型二】等比数列的判定与证明【典型例题】已知数列{a n}的前n项和为s n满足：．（I）已知数列{c n}满足c n＝a n+2，求证数列{c n}为等比数列；（II）若数列{b n}满足，T n为数列的前n项和，证：．【解答】解：（I）∵S n＝2a n﹣2n，当n∈N*时，S n＝2a n﹣2n，①当n＝1时，S1＝2a1﹣2，则a1＝2，则当n≥2，n∈N*时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2（n﹣1）．②①﹣②，得a n＝2a n﹣2a n﹣1﹣2，即a n＝2a n﹣1+2，∴a n+2＝2（a n﹣1+2）∵c n＝a n+2即c n＝2c n﹣1，∴2，∴{c n}是以a1+2＝4为首项，以2为公比的等比数列．（II）由（Ⅰ）得出a n+2＝4•2n﹣1＝2n+1∴n+1，∴T nT n两式相减T nT n，T n+1﹣T n0，∴T n的最小值为T1∴．【再练一题】在数列{a n}中，已知a n+1a n＝2a n﹣a n+1．且a1＝2（n∈N*）．（1）求证：数列{1}是等比数列；（2）设b n＝a n2﹣a n，且S n为{b n}的前n项和，试证：2≤S n＜3．【解答】证明：（1）由a n+1a n＝2a n﹣a n+1，得，即，∴，∵a1＝2，∴0．∴，即数列{1}是等比数列；（2）∵{1}是等比数列，且首项为，公比为，∴，则．∴b n＝a n2﹣a n．∵b1＝2，，∴S n＝b1+b2+…+b n≥2；又（n≥2），∴S n＝b1+b2+…+b n．∴2≤S n＜3．思维升华(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．【题型三】等比数列性质的应用【典型例题】设{a n}为等比数列，给出四个数列：①{2a n}；②{a n2}；③；④{log2|a n|}，其中一定为等比数列的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④【解答】解：{a n}为等比数列，设其公比为q，则通项为，所以对于①，2a n是以2a1为首项，以q为公比的等比数列，对于②，为常数，又因为0，故②为等比数列，对于③，，不一定为常数，对于④，，不一定为常数，故选：A．【再练一题】已知数列{a n }为等比数列，且a 8a 9a 10＝﹣a 132＝﹣1000，则a 10a 12＝．【解答】解：根据题意，等比数列{a n }满足a 8a 9a 10＝﹣a 132＝﹣1000，则有（a 9）3＝﹣1000，则a 9＝﹣10， a 132＝1000，则a 13＝±10，又由a 13＝a 9q 4＜0，则a 13＝﹣10，则a 10a 12＝a 9a 13＝100；故答案为：100．思维升华等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形． (2)等比中项的变形．(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．基础知识训练1．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试】在等比数列{}n a 中，121a a =，369a a =，则24a a =（）A ．3B ．3±C D ．【答案】A 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为1210a a =>，所以0q >，又369a a =，所以423a a ===.故选A2．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试】已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（）A ．1B ．1或12C ．2D ．2±【答案】C 【解析】因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=−=+，故234q =，因{}n a 为正项等比数列，故0q >，所以2q =，故选C. 3．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷】已知等比数列{}n a 的公比12q =−，该数列前9项的乘积为1，则1a =（） A ．8 B ．16C ．32D ．64【答案】B 【解析】由已知1291a a a = ，又2192837465a a a a a a a a a ==== ，所以951a = ，即51a =，所以41112a ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，116a = ，故选B.4．【内蒙古2019届高三高考一模试卷】《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮(0)m m >石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m 的值分别为（） A ．20% 369 B ．80% 369C ．40% 360D ．60% 365【答案】A 【解析】解：设“衰分比”为a ,甲衰分得b 石,由题意得23(1)80(1)(1)16480164b a b a b a b m ⎧−=⎪−+−=⎨⎪++=⎩,解得125b =,20%a =,369m =．故选：A ．5．【江西省抚州市临川第一中学2019届高三下学期考前模拟考试】中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A ．253B ．503C ．507D ．1007【答案】D 【解析】因为5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为123,,a a a ，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且350S =则31(21)5021a −=−，解得1507a =，所以马主人要偿还的量为：2110027a a ==，故选D.6．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】在等比数列{}n a 中，131a a +=，5791120a a a a +++=，则1a =（）A ．16B ．13C ．2D ．4【答案】B 【解析】因为()45713a a a a q +=+＝q 4，()891113a a a a q +=+所以q 8+q 4＝20，所以q 4＝4或q 4＝﹣5（舍），所以q 2＝2，13a a +211a a q =+=13a ＝1，所以1a 13=．故选：B ．7．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月)】若等比数列{}n a 的各项均为正数，23a =，23174a a a =，则5a =（）A ．34B ．38C ．12D ．24【答案】D 【解析】解：数列{}n a 是等比数列，各项均为正数，2231744a a a a ==，所以224234a q a ==，所以2q =．所以33523224a a q =⋅=⨯=，故选：D ．8．【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试（三模)】已知等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =，则公比q 的值为（） A ．1 B ．12−C ．1或12−D ．112−或【答案】C 【解析】等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =，若1q =，37a =，33721S =⨯=，符合题意；若1q ≠，则()213171211a q a q q⎧=⎪−⎨=⎪−⎩，解得12q =−，即公比q 的值为1或12−，故选C.9．【黑龙江省大庆第一中学2019届高三第三次模拟考试】在各项不为零的等差数列{}n a 中，2201720182019220a a a −+=，数列{}n b 是等比数列，且20182018b a =，则()220172019log b b ⋅的值为（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】因为等差数列{}n a 中2017201920182a a a +=，所以2220172018201920182018224=0a a a a a −+=−，因为各项不为零，所以2018=4a ，因为数列{}n b 是等比数列，所以2201720192018==16b b a ⋅所以()2201720192log =log 16=4b b ⋅，故选C.10．【湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2019届高三高考模拟（二)】已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，若2610a a a ⋅⋅=16117b b b π++=，则21039tan1b b a a +−⋅的值是（）A ．1 B．2C．2−D．【答案】D 【解析】{}n a 是等比数列326106a a a a ∴⋅⋅==6a ∴={}n b 是等差数列 1611637b b b b π∴++== 673b π∴=2106239614273tan tan tan tan tan 111333b b b a a a πππ+∴===−=−=−⋅−−本题正确选项：D11．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2019届高三4月联考】已知函数()()221f x x R x =∈+，若等比数列{}n a 满足120191a a =，则()()()()1232019......f a f a f a f a ++++=（） A ．2019 B ．20192C ．2D ．12【答案】A 【解析】120191a a =()()1201922120192211f a f a a a \+=+++21222111212222=211111a a a a a =+=+++++{}n a 为等比数列，则21201920181009101021011=1====a a a a a a a()()()()()220181001011101092=2=1f a f a f a f a f a \+=+，，，即()()()()1232019=210091=2019f a f a f a f a +++??12．如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为3:4．现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为1米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为（参考数据:7lg0.155≈）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】B 【解析】记由外到内的第n 个正方形的边长为n a ，则1255414,...4()77nn a a a =⨯=⨯=⨯，，. 1251()57...414(1())5717nn n a a a −+++=⨯=⨯−−. 令1251()57...414(1())135717nn n a a a −+++=⨯=⨯−≤−，解得117.6677lg 5n ≤+≈，故可制作完整的正方形的个数最多为7个. 应选B.13．【江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷】已知等比数列{}n a 满足112a =，且2434(1)a a a =−，则5a ＝_______．【答案】8 【解析】∵2434(1)a a a =−∴2334(1)a a =−，则3a ＝2∴223512812a a a ===．故答案为：814．【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测】已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，若对2n ∀≥，n N *∈，都有2112n n n T T T +−⋅=成立，且11a =，22a =，则数列{}n a 的前10项和为____．【答案】1023 【解析】因为2112n n n T T T +−⋅=，故112n n n n T T T T +−=即12n n a a +=（2n ≥），而212a a =，所以{}n a 为等比数列，故12n n a -=，所以()1010112102312S ⨯−==−，填1023.15．【苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模)】已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【答案】3【解析】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q−−−=+−−−，化简得：936112(1)q q q −=−+−，即963220q q q −−+=，即63(1)(2)0q q −−=，得32q =，化简得631S S +＝6131(1)11(1)a q qq a q −−+−−＝11311a q q a −+≥−，当11311a q q a −=−，即1a =时，631S S +取得最小值，所以919(1)1a q S q −==−9(1)1q q −−＝3故答案为：316．【山东省聊城市2019届高三三模】已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，若存在两项m a ，n a ，使得1a =，则91m n+的最小值为__________．【答案】2 【解析】正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，432111=+2a q a q a q ∴，整理，得210+2q q −=，又0q >，解得，12q =，存在两项m a ，n a 使得1a =，2221164m n a q a +−∴=，整理，得8m n +=，∴9119119()()(10)88m n m n m n m n n m+=++=++ 19(10)28m n n m +=…，则91m n+的最小值为2．当且仅当9m n n m=取等号，又m ，*n N ∈．8m n +=，所以只有当6m =，2n =时，取得最小值是2．故答案为：217．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)】等差数列{}n a 中，410a =且3a ，6a ，10a 成等比数列，数列{}n a 前20项的和20S =____ 【答案】200或330 【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则3410a a d d =−=−，641042102,6106a a d d a a d d =+=+=+=+，由3610,,a a a 成等比数列，得23106a a a =，即()()()210106102d d d −+=+，整理得210100d d −=，解得0d =或1d =，当0d =时，20420200S a ==；当1d =时，14310317a a d =−=−⨯=，于是2012019202071903302S a d ⨯=+=⨯+=，故答案为200或330.18．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】已知数列{}n a 满足112(1)0,4n n n a na a ++−==，则数列(1)(2)na n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为___________.【答案】2222n n +−+【解析】由12(1)0n n n a na ++−=，得121n n a an n+=⨯+，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的等比数列，于是11422n n na n−+=⨯=，所以12n n a n +=⋅，因为12(1)(2)(1)(2)n n a n n n n n +⋅=++++212221n n n n ++=−++，所以(1)(2)na n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和324321222222324321n n n S n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−++− ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222n n +=−+.19．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合考试】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足关于x 的不等式21220a x S x ⋅−⋅+<的解集为()1,2.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足221n an n b a =+−，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =；（2）2122n n T n +=+−.【解析】（1）依题意可得：设等差数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，因为关于x 的不等式21220a x S x ⋅−⋅+<的解集为()1,2，则由21123S a =+=得1a d =；又122a =，∴11a =，1d =, ∴n a n =.（2）由题意可得22n a n =，22n a n =，所以221212n ann b n n =+−=−+,∴()()2121212122212n n nn n T n +−+−=+=+−−.20．【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一】已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+−，n n b a n =+.（1）证明：数列{}n b 为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和. 【答案】（1）见证明；（2）()221141322n n n −−− 【解析】证明：（1）∵n n b a n =+，∴111n n b a n ++=++.又∵1431n n a a n +=+−，∴()1143111n n n n n n a n n b a n b a n a n+++−++++==++()44n n a n a n +==+. 又∵111112b a =+=+=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为4的等比数列.解：（2）由（1）求解知，124n n b −=⨯，∴124n n n a b n n −=−=⨯−，∴()()211221412(1444)(123)142n n n nn n S a a a n −−+=++⋯+=++++−++++=−−()221141322n n n =−−−. 21．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】已知数列{}n a 满足11a =,()12212n n a a n n −=+−≥，数列{}n b 满足23n n b a n =++.（Ⅰ）求证数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）123246n n S n n +=⨯−−−【解析】解：（Ⅰ）当1n =时，11a =，故16b =. 当2n ≥时，1221n n a a n −=+−，则12322123n n n b a n a n n −=++=+−++ ()()112212213n n a n a n −−⎡⎤=++=+−+⎣⎦，12n n b b −∴=，∴数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得32nn b =⨯，23n n a b n ∴=−− 3223n n =⨯−−，()()232222123nn S n n ∴=+++−+++− ()()21231312n n n n −=⋅−+−−，123246n n S n n +∴=⨯−−−.22．【2019年塘沽一中、育华中学高三毕业班第三次模拟考试】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >且1336a a =，()34129a a a a +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若13n bn S +=，求数列{}n b 及数列{}n n a b 的前n 项和n T .（3）设()()111nn n n a c a a +=++，求{}n c 的前n 项和n P .【答案】（1）123n n a −=⨯；（2）(21)3122n n n T −⨯=+；（3）n P =116432n−⨯+ 【解析】解：（1）由题意得：()34129a a a a +=+，可得()()212129a a q a a +=+，29q =，由0n a >，可得3q =，由1336a a =，可得21136a a q =，可得12a =，可得1*23()n n a n N −=⨯∈;(2)由123n n a −=⨯，可得1(1)2(31)31131n n n n a q S q −−===−−−，由13n bn S +=，可得3113n b n −+=，可得n b n =，可得{}n n a b 的通项公式：n n a b =123n n −⨯，可得：0122123223233...2(1)323n n n T n n −−=⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯−⨯+⨯⨯ ①1231323223233...2(1)323n n n T n n −=⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯−⨯+⨯⨯ ②① -②得：13(31)2222331n n n T n −−−=+⨯−⨯⨯− 23323n n n =+−−⨯=(12)31nn −⨯−，可得(21)3122n n n T −⨯=+;(3)由 ()()111nn n n a c a a +=++可得()()11123111()2231231231231n n n n n nc −−−⨯==−⨯+⨯+⨯+⨯+，可得：n P =11111111(...)237719231231n n −−+−++−⨯+⨯+ =111()23231n −⨯+=116432n −⨯+能力提升训练1．【江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学2019届高三4月联考】已知数列{}n a 是等比数列，若2678492ma a a a a ⋅=−⋅，且公比2)q ∈，则实数m 的取值范围是（）A ．(2,6)B ．(2,5)C ．(3,6)D ．(3,5)【答案】C 【解析】2678492ma a a a a ⋅=−⋅， 2112142111112ma q a q a q ∴=−， 32m q =−，()35,2q ∈，()35,8q ∴∈， ()3,6m ∈，故选C.2．【安徽省宣城市2019届高三第二次调研测试】已知正项等比数列{}n a 满足9872a a a =+ ，若存在两项m a ，n a ，使得212m n a a a =，则14m n+的最小值为（）A ．B ．83C ．3D ．【答案】C 【解析】解：设等比数列的公比为q （q ＞0）， ∵a 9＝a 8+2a 7， ∴a 7q 2＝a 7q +2a 7，∴q 2﹣q ﹣2＝0， ∴q ＝2或q=-1（舍），∵存在两项a m ，a n 使得212m n a a a =，∴21122112,22,21, 3.m n m n a qa m n m n −+−+−==+−=+= ， ∴()14114141593333n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=⨯++=++≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选C.3．【宁夏银川市2019届高三下学期质量检测】已知等比数列{}n a 的公比为q ，34a =，2410a a +=−，且1q >，则其前4项的和为（） A ．5 B ．10C ．5−D ．10−【答案】C 【解析】等比数列{}n a 的公比为q ，34a =，2410a a +=−21311410a q a q a q ⎧=∴⎨+=−⎩，解得12q =−（舍去）或2q =− 1241a q ∴== ()4412512S −−∴==−+ 本题正确选项：C4．【湖南省2019届高三六校(长沙一中、常德一中等)联考】已知公差0d ≠的等差数列{}n a 满足11a =，且2a ，42a −，6a 成等比数列，若正整数m ，n 满足10m n −=，则m n a a −=( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．5或40【答案】C 【解析】由题知()24262a a a −=，因为{}n a 为等差数列，所以()()()231115d d d −=++，因为0d ≠，解得3d =，从而()30m n a a m n d −=−=，故选C.5．【2019年安徽省马鞍山市高考数学一模】数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S = )A ．3116B ．158C ．7D ．31【答案】A 【解析】数列{}n a 为等比数列，11a =，748a a =，638q q ∴=，解得2q =， 1112n n n a a q −−∴==，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ， 55111111131211248161612S ⎛⎫⨯− ⎪⎝⎭∴=++++==−．故选：A ．6．【北京市平谷区2019届高三第二学期3月质量监控】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，共走了六天到达关口……” 那么该人第一天走的路程为______________ 【答案】192 【解析】根据题意，记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比为12的等比数列，又由6天走完378里，则S 6611[1)2112a ⎛⎤− ⎥⎝⎦==−378，解可得：a 1＝192，即该人第一天走的路程为192里．故答案为：192里．7．【湖南省郴州市2019届高三第三次质量检测】已知数列11n a ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为______．【答案】(0,1)【解析】由已知得11111113n n a a −⎛⎫⎛⎫−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11111113n n a a −=⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +>>，则111111*********n n a a −>⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+−+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得111110113a a ⎛⎫<−<− ⎪⎝⎭，所以101a <<.8．【黑龙江省大庆市2019届高三第三次教学质量检测】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若637S S =−，则4332a a a a +=+__________．【答案】-2【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ．①当1q =时，637S S =−不成立．②当1q ≠时，由637S S =−得61317(1)(1)11a a q q q q=−−⨯−−−，整理得317q +=−，即38q =−，解得2q =−．所以43333222(1)2(1)q q a a a a q a a a a ++===+=−+．故答案为：2−．9．【重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测】在正项递增等比数列{}n a 中，51a =，记12...n n S a a a =+++，12111...n nT a a a =+++，则使得n n S T ≤成立的最大正整数n 为__________．【答案】9【解析】由题得11111(1)(1)(1)11(1)1n n n nq q a q a q q q a q q−−⋅−≤=−−−，因为数列是正项递增等比数,所以10,1a q >>，所以2111n a q −≤.因为51a =，所以44281111,,a q a q a q −−=∴=∴=，所以81901,,9n n q q q q n −−−⋅≤∴≤∴≤.所以使得n n S T ≤成立的最大正整数n 为9.故答案为：910．【四川省2018-2019年度下期(4月)高三“联测促改”活动】已知等比数列{}n a 中，22a =，514a =，则122334a a a a a a +++=__________．【答案】34132【解析】设数列{}n a 的公比为q ，则35218a q a ==，所以12q =， 214a a q ==，所以数列{}1n n a a +是首项为128a a =，公比214q =的等比数列，所以122356a a a a a a +++= 5181321341411310243214⎛⎫− ⎪⎛⎫⎝⎭=−= ⎪⎝⎭−.。

专题33 数列求和-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(原卷版)

专题33数列求和最新考纲1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式．2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.基础知识融会贯通1．等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .2．等比数列的前n 项和公式 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.3．一些常见数列的前n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2. (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n (n ＋1)． (4)12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.【知识拓展】数列求和的常用方法 (1)公式法直接利用等差、等比数列的求和公式求和． (2)分组转化法把数列转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．常见的裂项公式 ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和． (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．重点难点突破【题型一】分组转化法求和【典型例题】数列，，，…，的前n 项和为S n ＝（）A ．B ．2nC ．D ．【再练一题】已知数列{a n }的通项公式是a n（n ∈N *），若|a 1|+|a 2|+…+|a n |＝80，则n 的值是．思维升华分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．【题型二】错位相减法求和【典型例题】已知{a n}为正项等比数列，a1+a2＝6，a3＝8．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若b n，且{b n}前n项和为T n，求T n．【再练一题】已知在数列{a n}中，a1＝2，2n（a n+a n+1）＝1，设T n＝a1+2a2+…+2n﹣1a n，b n，数列{b n}的前n项和S n＝．思维升华错位相减法求和时的注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．【题型三】裂项相消法求和命题点1形如a n＝1n(n＋k)型【典型例题】（）A．B．C．D．【再练一题】在公差不为0的等差数列{a n}中，a1，a4，a8成等比数列，数列{a n}的前10项和为45．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n，且数列{b n}的前n项和为T n，求T n．命题点2a n＝1n＋n＋k型【典型例题】数列的前2017项的和为（）A ．B ．C ．D ．【再练一题】已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，对∀n ∈N *有2S n ＝a n 2+a n ．令b n，设{b n }的前n 项和为T n ，则在T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为 9 ．思维升华 (1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )，1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n－1n ＋k ，裂项后可以产生连续相互抵消的项．(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．基础知识训练1．【山东省日照市2019届高三5月校际联合考试】已知数列{}n a 前n 项和为n S ，满足2n S an bn =+（,a b为常数），且92a π=，设函数2()2sin 22sin2xf x x =+−，记 ()n n y f a = ，则数列{}n y 的前17项和为（） A ．172π B ．9πC ．11D ．172．【福建省2019年三明市高三毕业班质量检查测试】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()2*121n na S n n +=++∈N ，设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则n T 的取值范围为（） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(0,1)C ．1(,1)2D ．21100m 2B x at == 3．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟】已知数列{}n a 满足2*1222...2()nn a a a n n N +++=∈，数列2211log log nn a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则12310...S S S S ⋅⋅⋅⋅=( ) A ．110B ．111C ．211D ．154．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模】数列{}n a 中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行1项，排1a ；第二行2项，从左到右分别排2a ，3a ；第三行3项，……依此类推，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足2019n S >的最小正整数n 的值为（）A ．20B ．21C ．26D ．275．【甘、青、宁2019届高三5月联考】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，满足1n a =，则516810024246810011111(1)11111a a a a a S S S S S +++++−+−++−=−−−−−（） A ．100101B ．102101C ．200201D ．2022016．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷】定义在[)0,∞+上的函数()f x 满足：当02x ≤<时，()22f x x x =−；当2x ≥时，()()32f x f x =−.记函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,,,,,n a a a 并记相应的极大值为12,,,,,n b b b 则11222020a b a b a b +++的值为（）A ．201931⨯+B ．191931⨯+C ．192031⨯+D ．202031⨯+7．【河南省六市2019届高三第二次联考】已知数列{}n a 中，11a =，且对任意的*,m n N ∈，都有m n m n a a a mn +=++，则201911i ia ==∑（） A ．20192020B ．20182019 C ．20181010D ．201910108．【甘肃省白银市靖远县2019届高三第四次联考】已知函数()cos lnxf x x xππ=+−，若22018201920192019f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1009ln 0,0)a b a b π+>>（，则11a b +的最小值为（） A ．2B ．4C ．6D ．89．【重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试】已知{}n a 是公比不为1的等比数列，数列{}n b满足：2a ，n b a ，2n a 成等比数列，2221n n n c b b +=，若数列{}n c 的前n 项和n T λ≥对任意的*n N ∈恒成立，则λ的最大值为（）A ．13B ．16 C ．115D ．21510．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列{}n a 满足33a =，4581a a a +=+，数列{}n b 满足11n n n n n b a a a a ++=−，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对于任意的[]2,2a ∈−，*n N ∈，不等式223n S t at <+−恒成立，则实数t 的取值范围为（） A ．(][),22,−∞−+∞B ．(][),21,−∞−⋃+∞C ．(][),12,−∞−⋃+∞D ．[]22−,11．【山西省2019届高三考前适应性训练二（二模)】1111=33636936930+++++++++++…………A ．310 B ．1033 C ．35D ．203312．【福建省2019届高三毕业班质量检查测试】数列{}n a 中，12a =，且112(2)n n n n na a n a a −−+=+≥−，则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬−⎪⎪⎩⎭前2019项和为（）A ．40362019B ．20191010C ．40372019D ．4039202013．【山东省德州市2019届高三第二次练习】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1212a a ==，，且2123n n n a S S ++=−+，记22122log log n n n b a a −=+，则数列(){}21nn b −⋅的前10项和为______．14．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)】在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，则2019a 的值为______． 15．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试】在正项数列{}n a 中，12a =，其前n 项和n S 满足()21122n n n S S a n −+=≥，若数列()211n n nn b S +=−，则数列{}n b 的前2020项和为______．16．【福建省龙岩市（漳州市)2019届高三5月月考】若数列{}n a 满足11a =，112n n n a a +−−=，则n a =_____．17．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试（二)】数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设141n n b a =−，求数列{}n b 的前n 项和.18．【北京师范大学附属中学2019届高三高考模拟（三)】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2+a 15=17，S 10=55．数列{b n }满足a n =log 2b n ．（1）求数列{b n }的通项公式；（2）若数列{a n +b n }的前n 项和T n 满足T n =S 32+18，求n 的值．19．【天津市北辰区2019届高考模拟考试】设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 的前n 项和n S ，满足()312n n S b =−且2152,a b a b ==．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n T 为数列{}n nS 的前n 项和，求n T ．20．【江西省抚州市临川第一中学2019届高三下学期考前模拟考试】已知数列{}n a 中，1a m =，且()*1321,n n n n a a n b a n n N +=+−=+∈.（1）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（2）当2m =时，求数列{}(1)nn a −的前2020项和2020S .21．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，(1)n n S na n n =+−，且5a 是2a 和6a 的等比中项.（1）证明：数列{}n a 是等差数列并求其通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .22．【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考试】已知数列{}n a 有0n a ≠，n S 是它的前n 项和，13a =且22213,2n n n S n a S n −=+≥．（1）求证：数列{}1n n a a ++为等差数列. （2）求{}n a 的前n 项和n S.能力提升训练1．【2019届湘赣十四校高三联考第二次考试】已知数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 满足*221221log ()log log n n n n b a n N a a ++=+∈⋅，则数列{}n b 的前10项和为（）A ．50511 B ．50711C ．61511D ．617112．【河南省许昌市、洛阳市2019届高三第三次质量检测（三模)】已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，263n n n S a a =+，12(21)(21)nnn a n a a b +=−−，若n k T >恒成立，则k 的最小值为（） A ．17B ．149C ．49D ．84413．【安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测】“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910.若这堆货物总价是910020010n⎛⎫− ⎪⎝⎭万元，则n 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．104．【浙江省温州九校2019届高三第一次联考】已知数列的通项，若，则实数x 可以等于（）A ．B ．C ．D ．5．【河北省衡水市第二中学2019届高三上学期期中考试】数列{}n a 中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排1a ；第二行2项，从左到右分别排2a ，3a ；第三行3项……以此类推，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足2000n S >的最小正整数n 的值为( )A ．27B ．26C ．21D ．206．【安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月月考】已知数列：12；212，222，232；312，322，…，372；...，12n ，22n ，32n ， (21)2n n −；…，则此数列的前2036项之和为（） A ．1024B ．2048C ．1018D ．10227．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】设数列{}n a 满足1123n n a a +=+，14a =. （1）求证{3}n a −是等比数列，并求n a ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T .8．【湖北省黄冈市2019届高三2月联考】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且212n n n a S a a =+。

2020年高考数学一轮复习考点31数列求和必刷题理含解析

考点31 数列求和1．（山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测三模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前2019项和为（）A ．20182019 B ．20182020 C ．20192020D ．20172019【答案】C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，44a =，515S =，，，联立解得：11a d ==，．∴．则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2019项和．故选：C ．2．（华大新高考联盟2018届高三上学期11月教学质量测评理）已知数列{}n a 满足11a =,,且,则数列{}n b 的前59项和为（） A ．-1840 B ．-1760C ．1760D ．1840【答案】B 【解析】由得，所以，1n=，所以21nan=，故，因为5=9n-2，所以，故选B. 3．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理）设数列{}n a的前n项和为n S，且11a=，则数列13nS n⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（）A．290 B．920C．511D．1011【答案】C【解析】由得，当2n≥时，，整理得，所以{}n a是公差为4的等差数列，又11a=，所以，从而，所以，数列13nS n⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和.故选C.4．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟理）已知数列{}n a满足，数列的前n项和为n S，则( )A ．110B ．111C ．211D ．15【答案】B 【解析】因为，所以，两式作差，可得21nn a =，即，又当1n =时，121a =，即112a =满足12n n a =，因此；所以；因为数列的前n 项和为n S ，所以，因此.故选B ．5．（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试理）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，满足（,a b 为常数），且92a π=，设函数，记()n n y f a = ，则数列{}n y 的前17项和为（）A ．172π B ．9πC ．11D ．17【答案】D 【解析】因为，由，得，数列{}n a 为等差数列；，.则数列{}n y 的前17项和为.故选：D ．6．若na 是二项式(1)n x +展开式中2x 项的系数，则______【答案】2【解析】()1nx +的展开式通项公式为：rrn C x本题正确结果：2．7．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评理）在数列{}n a 中，1a a =，，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若，则a =______.【答案】1010 【解析】当n 为偶数，11n n a a +=+，当n 为奇数，即故20n n a a ++= 即{}n a 为周期为4的数列，又故故，则a =1010故答案为1010．8．（内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一理）数列的前n 项和为n S ，若1S ，m S ，n S 成等比数列()1m >，则正整数n 值为______. 【答案】8 【解析】 ∵，∴，又1S ，m S ，n S 成等比数列()1m >，∴，即，，∴，即，解得，结合1m >可得2m =，∴8n =，故答案为8.9．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷）已知数列{}n a 满足，则数列的前n 项和为___________.【答案】2222n n +-+【解析】由，得，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的等比数列，于是，所以12n n a n +=⋅，因为，所以的前n 项和2222n n +=-+. 10．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试6月理）在数列{}n a 中，，则2019a 的值为______．【答案】1 【解析】因为所以，...,,各式相加，可得，，所以，20191a =，故答案为1.11．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试理）在正项数列{}n a 中，12a =，其前n 项和n S 满足，若数列，则数列{}n b 的前2020项和为______．【答案】20202021- 【解析】,得，则，因为0n a > ，则，又，即212a a -= ，故{}n a 为等差数列，∴=，则数列{}n b 的前2020项和为故答案为20202021-． 12．（天津市河北区2019届高三一模理）已知公比为正数的等比数列{}n a ，首项13a =，前n 项和为()*n S n N∈，且33Sa +，55S a +，44S a +成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设6n n na b =，求数列{}n b 的前n 项和()*n T n N ∈ 【答案】（Ⅰ）a n ＝6×（12）n ，（Ⅱ）T n ＝2﹣（n+2）•（12）n【解析】（Ⅰ）a n ＝6×（12）n ，（Ⅱ）T n ＝2﹣（n+2）•（12）n依题意公比为正数的等比数列{a n }（n ∈N *），首项1a ＝3，设a n ＝3q n ﹣1，∵33S a +，55S a +，44S a +成等差数列，∴2（55S a +）＝33S a ++44S a + 即2（）＝(+（），化简得45a ＝3a ，从而4q 2＝1，解得q ＝±12， ∵{a n }（n ∈N *）公比为正数，∴q 12=，a n ＝6×（12）n，n ∈N*；（Ⅱ）b n n na 6==n•（12）n，则T n ＝1•（12）+2•（12）2+3•（12）3+…+（n ﹣1）•（12）n ﹣1+n•（12）n，12T n ＝1•（12）2+2•（12）3+3•（12）4+…+（n ﹣1）•（12）n +n•（12）n+1，两式相减可得12T n 12=+（12）2+（12）3+（12）4+…+（12）n ﹣n•（12）n+1n•（12）n+1，化简可得T n ＝2﹣（n+2）•（12）n． 13．（天津市红桥区2019届高三一模数学理）设等差数列{}n a 的公差为d ，d 为整数，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11a b =，22b =，d q =，10100S =，*n N ∈ （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和为n T . 【答案】（1）n a ＝2n ﹣1，12n n b -=（2）【解析】解：（1）有题意可得：，解得1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）或112a d =⎧⎨=⎩，所以n a ＝2n ﹣1，12n n b -=．（2）∵n n n a c b =，1212n n n c --=， ∴①，②，①﹣②可得，故．14．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且（*N n ∈），3412a a +=.数列{}n b 为等比数列，且.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-，3nn b =；（2）.【解析】（1）由已知得：12n n a a +-=，∴数列{}n a 是以2为公差的等差数列.，，11a ∴=，.设等比数列{}n b 的公比为q ，，，3q ∴=，3n n b ∴=.（2）由题意，得，，.上述两式相减，得,．15．（2017届安徽省合肥市高三第一次模拟考试理）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+；（2）.【解析】（Ⅰ）求等差数列的公式，可把已知用首项1a 和公差d 表示出来，并解出，即可写出公式. （Ⅱ）由n b 的表达式知数列{}n b 的前n 项和需用分组求和法，一组是对2n a 求和，应用等比数列的求和公式可得，对(1)nn a -求和还要分类讨论，按n 的奇偶性分类后再分别用凑配法或再分组求和.试题解析：（Ⅰ）因为{}n a 为等差数列，所以.（Ⅱ），当时，，当时，，，.16．（河南省洛阳市2019年5月质量检测）设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且满足.（1）求{}n a 的通项公式；（2）令，，若n T m <恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）=21n a n +（2）1[,)6+∞ 【解析】（1）由题知：0n a >，……①令1n =得：，解得：13a =当2n ≥时，……② ①-②得：∴，即{}n a ∴是以3为首项，2为公差的等差数列经验证13a =满足21n a n =+（2）由（1）知：16n T ∴<16m ∴≥ 即．17．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知对于N n *∈，不等式恒成立，求实数M 的最小值；【答案】（1）12n n a +=；（2）229. 【解析】（1）1n =时，，又0n a >，所以11a =，当2n ≥时，，作差整理得：，因为0n a >，故，所以，故数列{}n a 为等差数列，所以12n n a +=．（2）由（1）知，所以，从而．所以229M ≥，故M 的最小值为229．18．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试）等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且432S =，13221S =．（1）求{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足且13b =，求1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】(1) 23n a n =+ (2)【解析】（1）等差数列{}n a 的公差设为d ，前n 项和为n S ，且432S =，13221S =．可得，，解得15a =，2d =，可得；（2）由，可得，，则前n 项和．19．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）已知等差数列{}n a 满足，等比数列{}n b 满足，且.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n c 满足，求{}n c 的前n 项和为nT.【答案】(1) 21n a n =-，12n n b -= (2) nT .【解析】（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则有，137a d +=，解得1a 1,d 2==所以21n a n =-，设11n n b b q-=，由已知，可得2q =，由222n n b b =可得，，可得11b =，所以12n n b -=，（2）由（1）知，，所以，，两式相减可得，21nnc n b =-，当1n =时，11c =满足上式，所以，，两式相减可得，所以nT .20．（安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测理）已知数列{}n a 满足11a =,，数列{}n b 满足.（Ⅰ）求证数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）当1n =时，11a =，故16b =. 当2n ≥时，，则，12n n b b -∴=，∴数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得32n n b =⨯，，，.21．（江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试理）已知等比数列{}n a 为递增数列，且2510a a =，，数列{}n b 满足：112b a =，．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（I ）2n n a =，21n b n =-（II ）【解析】（Ⅰ）对于数列{}n a ，由题得（10a q ≠，*n N ∈）解得11212a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或122a q =⎧⎨=⎩，又{}n a 为递增数列，则122a q =⎧⎨=⎩，∴2n n a =，数列{}n b 满足：1122b a ==，，∴数列{}n b 是以1为首项，以2为公差的等差数列， ∴21n b n =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴．22．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，，且5a 是2a 和6a 的等比中项.（1）证明：数列{}n a 是等差数列并求其通项公式；（2）设，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）由得，所以，又所以，故.故数列{}n a 是公差为2-的等差数列，且5a 是2a 和6a 的等比中项，即2526a a a = ，得，解得111a =，所以132n a n =- . （2）由题得，．23．（江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考试理）已知数列{}n a 有0n a ≠，n S 是它的前n 项和，13a =且．（1）求证：数列{}1n n a a ++为等差数列. （2）求{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）当2n ≥时，所以，，两式对应相减得，所以又n=2时，所以39a =，所以，所以数列{}1n n a a ++为等差数列. （2）当n 为偶数时，当n 为奇数时，()23n n 2=+ 综上：．24．（湖北省黄冈市2019届高三2月联考理）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且。

2020年山东省高考数学一轮冲刺复习汇编;函数与方程及其应用(解析版)

2020年山东省高考数学一轮冲刺复习；函数与方程及其应用（解析版）一、【知识精讲】1．函数的零点(1)零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y ＝f(x)有零点．函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二、常用结论汇总——规律多一点有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、【典例精练】考点一函数零点个数、所在区间例1. (1)设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N，则x 0所在的区间是________.(2)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】(1)C (2)D【解析】 (1) 设f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则x 0是函数f (x )的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象如图所示.因为f (1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－1<0，f (2)＝8－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝7>0，所以f (1)f (2)<0，所以x 0∈(1，2). (2)法一：图象法令f (x )＝0得13x ＝ln x ．作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图，显然y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在(1，e)内有零点．法二：定理法当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 时，函数图象是连续的，且f ′(x )＝13－1x ＝x －33x <0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 上单调递减．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝13e －1<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．【解法小结】掌握判断函数零点个数的3种方法 (1)解方程法若对应方程f (x )＝0可解，通过解方程，即可判断函数是否有零点，其中方程有几个解就对应有几个零点． (2)定理法利用函数零点的存在性定理进行判断，但必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数． (3)数形结合法合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其是否有交点，若有交点，其中交点的个数，就是函数零点的个数．考点二函数零点的应用考法(一) 已知函数零点个数求参数范围例2. (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞) D ．[1，＋∞)【答案】C【解析】令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1. 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．考法(二) 已知函数零点所在区间求参数范围例3. (2019·安庆摸底)若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2【解析】 ∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解，即方程a ＝4x－2x在[－1,1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.例4.(2018·浙江卷)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.(1)当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________.(2)若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________. 【答案】(1)(1，4) (2)(1，3]∪(4，＋∞)【解析】 (1)若λ＝2，当x ≥2时，令x －4<0，得2≤x <4；当x <2时，令x 2－4x ＋3<0，解得1<x <2.综上可知，1<x <4，所以不等式f (x )<0的解集为(1，4). (2)令f (x )＝0，当x ≥λ时，x ＝4，当x <λ时，x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.因为函数f (x )恰有2个零点，结合如图函数的图象知，1<λ≤3或λ>4.【解法小结】1．利用函数零点求参数范围的3种方法2.三、【名校新题】1. (2019·北京西城区模拟)若函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)【答案】C【解析】因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3.2.(2019·岳阳二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( ) A.0 B.1C.2D.3【答案】C【解析】函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数就是y ＝f (x )与y ＝－3x 两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.3. (2019·郑州质量测试)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x－a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1) D ．(－∞，1]【答案】A【解析】画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0<a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0<a ≤1.4.(2019·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C.－78D.－38【答案】C【解析】令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.5.已知函数f (x )＝2x ＋x ＋1，g (x )＝log 2x ＋x ＋1，h (x )＝log 2x －1的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <c <aD.b <a <c【答案】A【解析】令函数f (x )＝2x ＋x ＋1＝0，可知x <0，即a <0；令g (x )＝log 2x ＋x ＋1＝0，则0<x <1，即0<b <1；令h (x )＝log 2x －1＝0，可知x ＝2，即c ＝2.显然a <b <c .6. (2018·济南月考)若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(－∞，1]D.[1，＋∞)【答案】B【解析】因为函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，所以方程x 2＋2x ＋a ＝0无实根，即Δ＝4－4a <0，由此可得a >1.7.(2019·北京燕博园联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （x ＋1）x 3－3x（x ≥0），（x <0），若函数y ＝f (x )－k 有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是( ) A.(－2，2) B.(－2，1) C.(0，2)D.(1，3)【答案】C【解析】当x <0时，f (x )＝x 3－3x ，则f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，∴x ＝±1(舍去正根)，故f (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减. 又f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增. 则函数f (x )图象如图所示.f (x )极大值＝f (－1)＝2，且f (0)＝0，故当k ∈(0，2)时，y ＝f (x )－k 有三个不同零点.8.(2019·永州模拟)已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a >0)的最小值为8，则实数a 的取值范围是( ) A.(5，6) B.(7，8)C.(8，9)D.(9，10)【答案】A【解析】由于f (x )在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝a ＋log 2a ＝8. 令g (a )＝a ＋log 2a －8，a >0.则g (5)＝log 25－3<0，g (6)＝log 26－2>0，又g (a )在(0，＋∞)上是增函数， ∴实数a 所在的区间为(5，6).9.(2018·郑州一模)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2.令g (x )＝f (x )－kx －k ，若在区间[－1，3]内，函数g (x )＝0有4个不相等实根，则实数k 的取值范围是( ) A.(0，＋∞)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，13 【答案】C【解析】令g (x )＝0，得f (x )＝k (x ＋1)，由f (x )的周期性，作出y ＝f (x )在[－1，3]上的图象如图所示. 设直线y ＝k 1(x ＋1)经过点(3，1)，则k 1＝14.∵直线y ＝k (x ＋1)经过定点(－1，0)，且由题意知直线y ＝k (x ＋1)与y ＝f (x )的图象有4个交点，∴0<k ≤14.10.(2019·太原模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12【解析】依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎨⎧m ≠2，f －f ，f f，即⎩⎨⎧m ≠2，[m －2－m ＋m ＋m ＋，[m －2＋m ＋m ＋m －＋2m ＋m ＋，解得14<m <12.11.已知f (x )＝⎩⎨⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是________.【答案】5【解析】由2[f (x )]2－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，作出函数y＝f(x)的图象.由图象知y＝12与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点.因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个.12. (2019·西安调研)方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________.【答案】[5，10)【解析】令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数.当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5<k<10.又当f(1)＝0时，k＝5.则方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，k的取值范围是[5，10).13.（2019盐城检测）已知函数f(x)=，若f(x)在区间上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是________【答案】【解析】当时，易知x=0不是方程的解，故m=-x在上是减函数，故m即m时，方程f(x)=0在上有且只有一个解，当x时，令得故,即当时，方程f(x)=0在x上有且只有一个解，综上，若f(x)在区间上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是14.(2019·邯郸模拟)若曲线y＝log2(2x－m)(x>2)上至少存在一点与直线y＝x＋1上的一点关于原点对称，则m的取值范围为________.【答案】(2，4]【解析】因为直线y＝x＋1关于原点对称的直线为y＝x－1，依题意方程log2(2x－m)＝x－1在(2，＋∞)上有解，即m＝2x－1在x∈(2，＋∞)上有解，∴m>2.又2x－m>0恒成立，则m≤(2x)min＝4，所以实数m的取值范围为(2，4].2020年山东省高考数学一轮冲刺复习；函数与方程及其应用（解析版）。

专题30+等差数列-巅峰冲刺山东省2020年高考数学一轮考点扫描+Word版含解析【KS5U+高考】

巅峰冲刺山东省2020年高考数学一轮考点扫描专题30 等差数列一、【知识精讲】1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2. 2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. [微点提醒]1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).二、【典例精练】考点一等差数列基本量的运算例1.(1)(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12 (2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( )A ．3B ．7C ．9D ．10【答案】(1)B (2)D 【解析】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.(2)因为S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 2＋2d ＝22，d ＝22－4a 22＝3，a 1＝a 2－d ＝4－3＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，由3n －2＝28，解得n ＝10.【解法小结】 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.考点二等差数列的判定与证明典例迁移【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12. (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式.【解析】(1)证明当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）. 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式. 故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2. 例3.(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列.【解析】 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n.(2)由(1)可得S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋（－1）n ·2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.【解法小结】 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数.(2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：(1)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(2)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义. 考点三等差数列的性质及应用角度1 等差数列项的性质【例4－1】已知在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25 【答案】B【解析】因为2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4，所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 225×4＝20.选B. 角度2 等差数列和的性质【例4－2】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.63B.45C.36D.27【答案】B【解析】由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，所以a 7＋a 8＋a 9＝45.【解法小结】 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则(1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；(2)S 2n －1＝(2n －1)a n .考点四等差数列的前n 项和及其最值例5.在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17 【答案】A【解析】 ∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝29n ＋n n －12×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225. ∴当n ＝15时，S n 取得最大值．【解法小结】求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn (a ≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求S n 的最值.①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最大值)；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最小值). 三、【名校新题】1.(2019·皖南八校模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝1，前5项和S 5＝－15，则数列{a n }的公差为( )A.－3B.－52C.－2D.－4【答案】D【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，。

专题01 集合-巅峰冲刺山东省2020高考数学一轮考点扫描(解析版)

姓名，年级：时间：巅峰冲刺山东省2020年高考数学一轮考点扫描专题01 集合一、【知识精讲】1．元素与集合（1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2）元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.（3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．（4）常见数集的记法2.(1)子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A．（2)真子集：若A⊆B,但∃x∈B,且x∉A，则A B或B A．（3)相等：若A⊆B,且B⊆A,则A＝B．（4）空集的性质:∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算A∪B A∩B∁A（1）若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．（2）任何集合是其本身的子集，即：A⊆A．(3)子集的传递性:A⊆B，B⊆C⇒A⊆C．（4）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B．(5)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪（∁U B)，∁U(A∪B）＝（∁U A）∩(∁U B)．二、【典例精练】例1。

（2018年全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)｜x2＋y2≤3，x∈Z,y∈Z｝，则A中元素的个数为( ）A．9 B．8C．5 D．4【答案】A【解析】法一：将满足x2+y2≤3的整数x,y全部列举出来，即(－1,－1），(－1，0），(－1,1)，（0，－1），(0,0)，(0,1)，(1，－1)，（1,0),(1，1），共有9个．故选A.法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点,即为集合A的元素个数，故选A。

例2.（1)(2017年全国卷Ⅲ）已知集合A＝｛（x,y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)｜y＝x｝，则A∩B中元素的个数为( ）A．3 B．2C．1 D．0（2)已知a,b∈R,若错误!＝{a2，a＋b，0}，则a2 019＋b2 019的值为( )A．1 B．0C．－1 D．±1【答案】（1）B （2）C【解析】（1)因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合,直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2。

2020届高考数学理一轮(新课标通用)考点测试32 数列求和

考点测试32 数列求和一、基础小题1．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( ) A ．2n ＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋1＋n 2－2 D ．2n ＋n －2 ★答案★ C解析 S n ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2．故选C ．2．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1B ．56C ．16D ．130 ★答案★ B解析 ∵a n ＝1n －1n ＋1，∴S 5＝1－12＋12－13＋…＋15－16＝56．故选B ．3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝10a 1，则a 1d ＝( ) A ．12 B ．1 C ．32 D ．2★答案★ B解析由S 4＝10a 1得4(a 1＋a 4)2＝10a 1，即d ＝a 1．所以a 1d ＝1．故选B ． 4．已知数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2a 2，则( ) A ．a 1<0 B ．a 1>0 C ．a 1≠a 2 D ．a 2＝0 ★答案★ D解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2a 2，当n ＝1时，a 1＝2a 2，当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 2，∴a 2＝0．故选D ．5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)3，若a 3＝8，则a 1＝( )A ．14B ．12 C ．64 D ．128 ★答案★ B解析 ∵S 3－S 2＝a 3，∴a 1(43－1)3－a 1(42－1)3＝8，∴a 1＝12，故选B ．6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 11＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 ★答案★ B解析由当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n 得a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，上面两式相减得a n ＋1－a n ＋2a n ＝1，即a n ＋1＋a n ＝1，所以S 11＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 10＋a 11)＝5×1＋1＝6．故选B ．7．设S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1n ，则S 4m ＋S 2m ＋1＋S 2m ＋3(m ∈N *)的值为( )A ．0B ．3C ．4D ．随m 的变化而变化 ★答案★ B解析容易求得S 2k ＝－k ，S 2k ＋1＝k ＋1，所以S 4m ＋S 2m ＋1＋S 2m ＋3＝－2m ＋m ＋1＋m ＋2＝3．故选B ．8．等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 ★答案★ C解析由题意知a 6<0，a 11>0，a 1＋5d ＝－a 1－10d ，a 1＝－152d ，有S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝d 2(n 2－16n )＝d 2[(n －8)2－64]，因为d >0，所以当n ＝8时前n 项和取最小值．故选C ．二、高考小题9．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的★答案★：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．110 ★答案★ A解析设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n (n ＋1)2．由题意知，N >100，令n (n ＋1)2>100，解得n ≥14且n ∈N *，即N 出现在第13组之后．第n 组的各项和为1－2n 1－2＝2n －1，前n 组所有项的和为2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n ．设N 是第n ＋1组的第k 项，若要使前N 项和为2的整数幂，则N －n (n ＋1)2项的和即第n ＋1组的前k 项的和2k －1应与－2－n 互为相反数，即2k －1＝2＋n (k ∈N *，n ≥14)，k ＝log 2(n ＋3)，∴n 最小为29，此时k ＝5．则N ＝29×(1＋29)2＋5＝440．故选A ．10．(2016·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________．★答案★ 6解析设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝6，a 3＋a 5＝0，∴6＋2d ＋6＋4d ＝0，∴d ＝－2，∴S 6＝6×6＋6×52×(－2)＝6．11．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑nk ＝1 1Sk＝________．★答案★2nn ＋1解析设公差为d ，则⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝3，4a 1＋6d ＝10，∴⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝n ．∴前n 项和S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴1S n ＝2n (n ＋1)＝21n －1n ＋1，∴∑nk ＝1 1S k ＝21－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝21－1n ＋1＝2·n n ＋1＝2n n ＋1． 12．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．★答案★ －1n解析 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1， ∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n ．13．(2018·江苏高考)已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}．将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }．记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为________．★答案★27解析设A n＝2n－1，B n＝2n，n∈N*，当A k<B l<A k＋1(k，l∈N*)时，2k－1<2l<2k＋1，有k－12<2l－1<k＋12，则k＝2l－1，设T l＝A1＋A2＋…＋A2l－1＋B1＋B2＋…＋B l，则共有k＋l＝2l－1＋l个数，即T l＝S2l－1＋l，而A1＋A2＋…＋A2l－1＝2×1－1＋2l－12×2l－1＝22l－2，B1＋B2＋…＋B l＝2(1－2l)1－2＝2l＋1－2．则T l＝22l－2＋2l＋1－2，则l，T l，n，a n＋1的对应关系为观察到l＝5时，T l＝S21<12a22，l＝6，T l＝S38>12a39，则n∈[22，38)，n∈N*时，存在n，使S n≥12a n＋1，此时T5＝A1＋A2＋…＋A16＋B1＋B2＋B3＋B4＋B5，则当n∈[22，38)，n∈N*时，S n＝T5＋(n－22＋1)(A22－5＋A n－5)2＝n2－10n＋87．a n＋1＝A n＋1－5＝A n－4，12a n＋1＝12[2(n－4)－1]＝24n－108，S n－12a n＋1＝n2－34n＋195＝(n－17)2－94，则n≥27时，S n－12a n＋1>0，即n min＝27．三、模拟小题14．(2018·福建厦门第一学期期末)已知数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n＋1a n＝2，则其前100项和为()A．250 B．200 C．150 D．100★答案★D解析n＝2k(k∈N*)时，a2k＋1－a2k＝2，n＝2k－1(k∈N*)时，a2k＋a2k－1＝2，n＝2k＋1(k∈N*)时，a2k＋2＋a2k＋1＝2，∴a2k＋1＋a2k－1＝4，a2k＋2＋a2k＝0，∴{a n}的前100项和＝(a 1＋a 3)＋…＋(a 97＋a 99)＋(a 2＋a 4)＋…＋(a 98＋a 100)＝25×4＋25×0＝100．故选D ．15．(2018·浙江模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12n －12，n 为奇数，12n2，n 为偶数，则数列{3a n ＋n －7}的前2n 项和的最小值为( )A ．－514B ．－1854C ．－252D ．－1058 ★答案★ D解析设b n ＝3a n ＋n －7，{3a n ＋n －7}的前2n 项和为S 2n ，则S 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝3⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－12n 1－12＋121－12n 1－12＋(1＋2＋3＋…＋2n )－14n ＝91－12n ＋2n 2－13n ，又2n 2－13n ＝2n －1342－1698，当n ≥4时，f (n )＝2n －1342－1698是关于n 的增函数，又g (n )＝91－12n 也是关于n 的增函数，∴S 8<S 10<S 12<…，∵S 8＝－18516，S 6＝－1058，S 4＝－454，S 2＝－132，∴S 6<S 8<S 4<S 2，∴S 6最小，S 6＝－1058，故选D ．16．(2018·皖南八校第三次联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1，b n ＝log 2(a 2n ·2an )，数列{b n }的前n 项和为T n ，则满足T n >1024的最小n 的值为________．★答案★ 9解析当n ＝1时，a 1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n ，所以a n ＝⎩⎨⎧ 4，n ＝1，2n ，n ≥2.所以b n ＝⎩⎨⎧8，n ＝1，2n ＋2n，n ≥2，所以T n ＝⎩⎨⎧8，n ＝1，2n ＋1＋n (n ＋1)＋2，n ≥2.当n ＝9时，T 9＝210＋9×10＋2＝1116>1024；当n ＝8时，T 8＝29＋8×9＋2＝586<1024，所以满足T n >1024的最小n 的值为9．17．(2018·江西南昌莲塘一中质检)函数f (x )＝e x －1e x ＋1，g (x )＝f (x －1)＋1，a n ＝g 1n＋g 2n ＋g 3n ＋…＋g 2n －1n ，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式为________．★答案★ a n ＝2n －1解析由题意知f (x )的定义域为R ，又f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1－e x1＋e x＝－f (x )，∴函数f (x )＝e x －1e x ＋1为奇函数，g (x )＋g (2－x )＝f (x －1)＋1＋f (2－x －1)＋1＝f (x－1)＋f (1－x )＋2，由f (x )＝e x －1e x ＋1为奇函数，知f (x －1)＋f (1－x )＝0，∴g (x )＋g (2－x )＝2．∵a n ＝g 1n ＋g 2n ＋g 3n ＋…＋g 2n －1n ，n ∈N *，① ∴a n ＝g 2n －1n ＋g 2n －2n ＋g 2n －3n ＋…＋g 1n ，n ∈N *，②由①＋②得2a n ＝g 1n ＋g 2n －1n ＋g 2n ＋g 2n －2n ＋…＋g 2n －1n ＋g 1n ＝(2n －1)×2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1．18．(2018·洛阳质检)已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ．若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n 为________．★答案★ 3n －1解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，∴{a n }是公比为3的等比数列，∴S n ＝2×(1－3n )1－3＝3n －1．19．(2018·石家庄质检二)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n ，如果存在正整数n ，使得(m －a n )(m －a n ＋1)<0成立，那么实数m 的取值范围是________．★答案★ －12，34解析易得a 1＝－12，n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝－12n －－12n －1＝3×－12n ．则有a 1<a 3<…<a 2k －1<0<a 2k <…<a 4<a 2(k ∈N *)．若存在正整数n ，使得(m －a n )(m －a n ＋1)<0成立，则只需满足a 1<m <a 2即可，即－12<m <34．20．(2018·湖北八市3月联考)已知数列{a n }的首项a 1＝1，函数f (x )＝x 4＋a n ＋1cos2x －(2a n ＋1)有唯一零点，则数列{n (a n ＋1)}的前n 项和为________．★答案★ (n －1)2n ＋1＋2解析解法一：显然f (x )为R 上的偶函数，若其仅有一个零点，则f (0)＝0，即a n ＋1＝2a n ＋1，则a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，从而{a n ＋1}是公比为2的等比数列，a n ＋1＝(1＋1)·2n －1，a n ＝2n －1(n ∈N *)．从而n (a n ＋1)＝n ·2n ，设T n ＝1·21＋2·22＋…＋n ·2n ，2T n ＝1·22＋2·23＋…＋n ·2n ＋1，作差得－T n ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1，－T n ＝2(2n －1)－n ·2n ＋1，所以T n ＝2＋(n －1)2n ＋1．解法二：显然f (x )为R 上的偶函数，若其仅有一个零点，则f (0)＝0，即a n ＋1＝2a n ＋1，则a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，从而{a n ＋1}是以2为公比的等比数列，a n ＋1＝(1＋1)2n－1，a n ＝2n －1(n ∈N *)．从而n (a n ＋1)＝n ·2n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，(n －1)2n ＋1－(n －2)2n ，n ≥2，设T n ＝2＋23＋2·24－23＋3·25－2·24＋…＋(n －1)·2n ＋1－(n －2)·2n ，则T n ＝2＋(n －1)2n ＋1．一、高考大题1．(2018·浙江高考)已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3＋a 4＋a 5＝28，a 4＋2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{(b n ＋1－b n )a n }的前n 项和为2n 2＋n ．(1)求q 的值；(2)求数列{b n }的通项公式．解 (1)由a 4＋2是a 3，a 5的等差中项得a 3＋a 5＝2a 4＋4，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＋4＝28，解得a 4＝8．由a 3＋a 5＝20得8q ＋1q ＝20，解得q ＝2或q ＝12，因为q >1，所以q ＝2． (2)设c n ＝(b n ＋1－b n )a n ，数列{c n }的前n 项和为S n ．由c n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，解得c n ＝4n －1．由(1)可知a n ＝2n －1，所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)·12n －1，故b n －b n －1＝(4n －5)·12n －2，n ≥2，b n －b 1＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋...＋(b 3－b 2) ＋(b 2－b 1)＝(4n －5).12n －2＋(4n －9).12n －3＋ (7)12＋3．设T n ＝3＋7·12＋11·122＋…＋(4n －5)·12n －2，n ≥2， 12T n ＝3·12＋7·122＋…＋(4n －9)·12n －2＋(4n －5)·12n －1，所以12T n ＝3＋4·12＋4·122＋…＋4·12n －2－(4n －5)·12n －1，因此T n ＝14－(4n ＋3)·12n －2，n ≥2，又b 1＝1，所以b n ＝15－(4n ＋3)·12n －2，n ≥2．经检验，当n ＝1时，b n 也成立．故b n ＝15－(4n ＋3)·12n －2．2．(2018·天津高考)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是等差数列．已知a 1＝1，a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *)． ①求T n ；②证明∑nk ＝1 (T k ＋b k ＋2)b k (k ＋1)(k ＋2)＝2n ＋2n ＋2－2(n ∈N *)．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ．由a 1＝1，a 3＝a 2＋2，可得q 2－q －2＝0．因为q >0，可得q ＝2，故a n ＝2n －1．设等差数列{b n }的公差为d ．由a 4＝b 3＋b 5，可得b 1＋3d ＝4．由a 5＝b 4＋2b 6，可得3b 1＋13d ＝16，从而b 1＝1，d ＝1，故b n ＝n ．所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，数列{b n }的通项公式为b n ＝n ． (2)①由(1)，有S n ＝1－2n 1－2＝2n－1，故T n ＝∑nk ＝1 (2k－1)＝∑nk ＝12k－n ＝2×(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2．②证明：因为(T k ＋b k ＋2)b k (k ＋1)(k ＋2)＝(2k ＋1－k －2＋k ＋2)k(k ＋1)(k ＋2)＝k ·2k ＋1(k ＋1)(k ＋2)＝2k ＋2k ＋2－2k ＋1k ＋1，所以，∑n k ＝1 (T k ＋b k ＋2)b k(k ＋1)(k ＋2) ＝233－222＋244－233＋…＋2n ＋2n ＋2－2n ＋1n ＋1＝2n ＋2n ＋2－2． 3．(2017·天津高考)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12，而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3，又因为q ＞0，所以q ＝2．所以b n ＝2n ．由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8．① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16，②联立①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2．所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ．(2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，有a 2n b 2n －1＝(3n －1)·4n ，故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)·4n ，4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)·4n ＋(3n －1)·4n ＋1，上述两式相减，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)·4n ＋1＝12×(1－4n )1－4－4－(3n －1)·4n ＋1＝－(3n －2)·4n ＋1－8．得T n ＝3n －23·4n ＋1＋83．所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23·4n ＋1＋83．二、模拟大题4．(2018·山西太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n (n ＋1)2，数列{b n }满足b n ＝a n ＋a n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若c n ＝2an ·(b n －1)(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n ．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)2－(n －1)n 2＝n ，又a 1＝1符合上式，∴a n ＝n (n ∈N *)，∴b n ＝a n ＋a n ＋1＝2n ＋1．(2)由(1)得c n ＝2an (b n －1)＝n ·2n ＋1，∴T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1， ① 2T n ＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋(n －1)×2n ＋1＋n ×2n ＋2， ② ①－②得，－T n ＝22＋23＋24＋…＋2n ＋1－n ·2n ＋2＝4(1－2n )1－2－n ·2n ＋2＝(1－n )·2n ＋2－4，∴T n ＝(n －1)·2n ＋2＋4．5．(2018·沈阳质检)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．解 (1)由题设知a 1a 4＝a 2a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎨⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎨⎧ a 1＝8，a 4＝1(舍去)．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 4＝a 1q 3得q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，n ∈N *．(2)S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n －1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝1S 1－1S 2＋1S 2－1S 3＋…＋1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1，n ∈N *． 6．(2018·安徽马鞍山第二次教学质量监测)已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 2＝37，S 4＝152．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n －2n |}的前n 项和T n ．解 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧ a 1＋d ＝37，4a 1＋6d ＝152，解得⎩⎨⎧ a 1＝35，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋33(n ∈N *)．(2)由(1)知，|a n －2n |＝|2n ＋33－2n |＝⎩⎨⎧2n ＋33－2n (1≤n ≤5)，2n －(2n ＋33)(n ≥6).当1≤n ≤5时，T n ＝(35＋2n ＋33)n 2－2(1－2n )1－2＝n 2＋34n －2n ＋1＋2；当n ≥6时，T 5＝133，|2n ＋33－2n |＝2n －(2n ＋33)，T n －T 5＝64(1－2n －5)1－2－(45＋2n ＋33)(n －5)2 ＝2n ＋1－n 2－34n ＋131， ∴T n ＝2n ＋1－n 2－34n ＋264．综上所述，T n ＝⎩⎨⎧n 2＋34n －2n ＋1＋2(1≤n ≤5，n ∈N *)，2n ＋1－n 2－34n ＋264(n ≥6，n ∈N *).感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

2020版高考数学一轮复习教案第5章_第4节_数列求和(含答案解析)

3．若 Sn＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n－1·n，则 S50＝________.
－25 [S50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25.]
111 1
1
4．数列
1 ，3 ，5 ，7 ，…，(2n－1)＋，…的前
2 4 8 16
2n
n
项和
Sn
的值等于________．
( ) 1
2

＝n.
a1 也满足 an＝n，故数列{an}的通项公式为 an＝n.
(2)由(1)知 an＝n，故 bn＝2n＋(－1)nn.
记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n，则 T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
21－22n
记 A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则 A＝
1．一些常见的数列前 n 项和公式：
nn＋1
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝
；
2
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2；
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.
2．常用的裂项公式
( ) 1 1 1 1
(1)
＝－；
nn＋k k n n＋k
( ) 1
1
11
1
(2)
＝
＝
－
；
4n2－1 2n－12n＋1 2 2n－1 2n＋1
1
(3)
＝ n＋1－ n；
n＋ n＋1
( )1
(4)loga
1＋ n
＝loga(n＋1)－logan.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)