四川省德阳市2017年高考数学一诊试卷(理科)Word版含答案

四川省德阳市2017年高考一诊试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣1，1，2}，集合B={x|x﹣1＞0}，集合A∩B为（）A．ϕB．{1，2} C．{﹣1，1，2} D．{2}2．已知i是虚数单位，复数的值为（）A．1﹣i B．1+i C．i D．2﹣i3．将函数的图象向x轴正方向平移个单位后，得到的图象解析式是（）A．B．C．D．4．已知AB是直角△ABC的斜边，，，则x的值是（）A．3 B．﹣12 C．12 D．﹣35．已知x，y都是实数，命题p：x=0；命题q：x2+y2=0，则p是q的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分又不必要条件6．抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（0，2）B．（0，1）C．（2，0）D．（1，0）7．已知直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，下面四个结论：①若l⊥α，则l⊥m；②若l∥α，则l∥m；③若l⊥m，则l⊥α；④若l∥m，则l∥α，其中正确的是（）A．①②④B．③④C．②③D．①④8．已知，，则cosα=（）A． B．C．D．9．一几何体的三视图如图所示，三个三角形都是直角边为2的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在球O上，球O的表面积为（）A．16πB．3π C．D．12π10．《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，勾股定理相传由商高（商代）发现，故又有称之为商高定理，满足等式a2+b2=c2的正整数组（a，b，c）叫勾股数，如（3，4，5）就是勾股数，执行如图所示的程序框图，如果输入的数是互相不相等的正整数，则下面四个结论正确的是（）A．输出的数组都是勾股数B．任意正整数都是勾股数组中的一个C．相异两正整数都可以构造出勾股数D．输出的结果中一定有a＜b＜c11．已知双曲线﹣=1（m＞0）的离心率为，P是该双曲线上的点，P在该双曲线两渐近线上的射影分别是A ，B ，则|PA|•|PB|的值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．记函数f （x ）（＜x ≤e ，e=2.71828…是自然对数的底数）的导数为f′（x ），函数g （x ）=（x ﹣）f′（x ）只有一个零点，且g （x ）的图象不经过第一象限，当x ＞时，f （x ）+4lnx+＞，f[f （x ）+4lnx+]=0，下列关于f （x ）的结论，成立的是（ ）A ．当x=e 时，f （x ）取得最小值B ．f （x ）最大值为1C ．不等式f （x ）＜0的解集是（1，e ）D ．当＜x ＜1时，f （x ）＞0二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13．A 公司有职工代表120人，B 公司有职工代表100人，现因A ，B 两公司合并，需用分层抽样的方法在这两个公司的职工代表中选取11人作为企业资产评估监督员，应在A 公司中选取 人．14．计算：= ．15．已知x ，y 满足：，则z=x ﹣y 的最大值为 ．16．已知函数，过点P （n ，f （n ））与y=f （x ）的图象相切的直线l 交x 轴于A （x n ，0），交y 轴于B （0，y n ），则数列的前n 项和为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 2＞1，a 2，a 4，a 9成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n }的前n 项和S n ．18．已知函数．（1）求f（x）单调递减区间；（2）△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足b2+c2﹣a2＞bc，求f（A）的取值范围．19．某交警大队对辖区A路段在连续10天内的n天，对过往车辆驾驶员进行血液酒精浓度检查，查得驾驶员酒驾率f（n）如表；可用线性回归模型拟合f（n）与n的关系．（1）建立f（n）关于n的回归方程；（2）该交警大队将在2016年12月11日至20日和21日至30日对A路段过往车辆驾驶员进行血液酒精浓度检查，分别检查n1，n2天，其中n1，n2都是从8，9，10中随机选择一个，用回归方程结果求两阶段查得的驾驶员酒驾率都不超过0.03的概率．附注：参考数据：，， =0.046，回归方程=n+中斜率和截距最小乘估计公式分别为：，﹣．20．已知，如图，P是平面ABC外一点，PA不垂直于平面ABC，E，F分别是线段AC，PC的中点，D是线段AB上一点，AB=AC，PB=PC，DE⊥EF．（1）求证：PA⊥BC；（2）求证：BC∥平面DEF．21．已知函数（x≥0）（e=2.71828…为自然对数的底数）（1）当a=0时，求f（x）的最小值；（2）当1＜a＜e时，求f（x）单调区间的个数．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4．（1）若l的参数方程中的时，得到M点，求M的极坐标和曲线C直角坐标方程；（2）若点P（0，2），l和曲线C交于A，B两点，求．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|2x﹣1|+|5x﹣1|（1）求f（x）＞x+1的解集；（2）若m=2﹣n，对∀m，n∈（0，+∞），恒有成立，求实数x的范围．四川省德阳市2017年高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣1，1，2}，集合B={x|x﹣1＞0}，集合A∩B为（）A．ϕB．{1，2} C．{﹣1，1，2} D．{2}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={﹣1，1，2}，集合B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，集合A∩B={2}．故选：D．2．已知i是虚数单位，复数的值为（）A．1﹣i B．1+i C．i D．2﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求解．【解答】解：∵i是虚数单位，∴====1+i．故选：B．3．将函数的图象向x轴正方向平移个单位后，得到的图象解析式是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由题意可得，把函数的图象向x轴正方向平移个单位后，得到的图象解析式是：y=sin （x+﹣）=sin （x+）．故选：A ．4．已知AB 是直角△ABC 的斜边，，，则x 的值是（ ）A ．3B ．﹣12C ．12D ．﹣3【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量的数量积的运算和向量的垂直即可求出答案．【解答】解：AB 是直角△ABC 的斜边，，，∴•=0，即﹣12+4x=0， 解得x=3， 故选：A5．已知x ，y 都是实数，命题p ：x=0；命题q ：x 2+y 2=0，则p 是q 的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分又不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出方程x 2+y 2=0的解，根据充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：由x 2+y 2=0，解得：x=0且y=0，故命题p ：x=0是命题q ：x 2+y 2=0的必要不充分条件， 故选：B ．6．抛物线y 2=4x 的焦点坐标是（ ） A ．（0，2） B ．（0，1） C ．（2，0） D ．（1，0） 【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案． 【解答】解：抛物线y 2=4x 的焦点坐标是（1，0）， 故选：D7．已知直线l ⊄平面α，直线m ⊂平面α，下面四个结论：①若l ⊥α，则l ⊥m ；②若l ∥α，则l ∥m ；③若l ⊥m ，则l ⊥α；④若l ∥m ，则l ∥α，其中正确的是（ ） A ．①②④ B ．③④C ．②③D ．①④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】在①中，由线面垂直的性质定理得l ⊥m ；在②中，l 与m 平行或异面；在③中，l 与α不一定垂直；在④中，由线面平行的判定定理得l ∥α． 【解答】解：由直线l ⊄平面α，直线m ⊂平面α，知：在①中，若l ⊥α，则由线面垂直的性质定理得l ⊥m ，故①正确； 在②中，若l ∥α，则l 与m 平行或异面，故②错误； 在③中，若l ⊥m ，则l 与α不一定垂直，故③错误；在④中，若l ∥m ，则由线面平行的判定定理得l ∥α，故④正确． 故选：D ．8．已知，，则cos α=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】依题意，利用同角三角函数间的关系式可求得sin （α+）==，再利用两角差的正弦即可求得cos α的值．【解答】解：∵，∴＜α+＜π，∵，∴cos （α+）=﹣．∴sin （α+）==，∴cos α=cos[（α+）﹣]=cos （+α）cos+sin （+α）sin=﹣×+×=﹣．故选：B ．9．一几何体的三视图如图所示，三个三角形都是直角边为2的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在球O上，球O的表面积为（）A．16πB．3π C．D．12π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，如图所示，AB=AC=AD=2，且AB，AC，AD两两垂直．把此三棱锥补成正方体，则这个空间几何体的外接球的直径为此正方体的对角线，即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，如图所示，AB=AC=AD=2，且AB，AC，AD两两垂直．把此三棱锥补成正方体，则这个空间几何体的外接球的直径为此正方体的对角线2，因此这个空间几何体的外接球的表面积S=4π•3=12π．故选：D．10．《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，勾股定理相传由商高（商代）发现，故又有称之为商高定理，满足等式a2+b2=c2的正整数组（a，b，c）叫勾股数，如（3，4，5）就是勾股数，执行如图所示的程序框图，如果输入的数是互相不相等的正整数，则下面四个结论正确的是（）A．输出的数组都是勾股数B．任意正整数都是勾股数组中的一个C．相异两正整数都可以构造出勾股数D．输出的结果中一定有a＜b＜c【考点】绘制结构图．【分析】由程序框图可知，正整数组（a，b，c）满足等式a2+b2=c2，即可得出结论．【解答】解：由程序框图可知，正整数组（a，b，c）满足等式a2+b2=c2，从而相异两正整数都可以构造出勾股数．故选C．11．已知双曲线﹣=1（m＞0）的离心率为，P是该双曲线上的点，P在该双曲线两渐近线上的射影分别是A，B，则|PA|•|PB|的值为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用离心率公式，解方程可得m=1，求得渐近线方程，设P（s，t），可得s2﹣4t2=4，运用点到直线的距离公式，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（m＞0）的离心率为，可得e2===，解得m=1，即双曲线的方程为﹣y2=1，渐近线方程为x±2y=0，设P（s，t），可得s2﹣4t2=4，由题意可得|PA|•|PB|=•==．故选：A．12．记函数f（x）（＜x≤e，e=2.71828…是自然对数的底数）的导数为f′（x），函数g（x）=（x﹣）f′（x）只有一个零点，且g（x）的图象不经过第一象限，当x＞时，f（x）+4lnx+＞，f[f（x）+4lnx+]=0，下列关于f（x）的结论，成立的是（）A．当x=e时，f（x）取得最小值B．f（x）最大值为1C．不等式f（x）＜0的解集是（1，e）D．当＜x＜1时，f（x）＞0【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】设t=f（x）+4lnx+，由f（t）=0，求出t的值，从而求出f（x）的解析式，求出函数f（x）的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值，求出答案即可．【解答】解：∵f[f（x）+4lnx+]=0，故可设t=f（x）+4lnx+，即f（x）=﹣4lnx﹣+t，由f （t ）=0，得：﹣4lnx ﹣+t=0，∴lnt=0或lnt=﹣，∴t=1或t=，∵t ＞，故t=1，∴f （x ）=﹣4lnx ﹣+1，则f′（x ）= [﹣4]，∵＜x ≤e ，∴﹣1＜lnx ≤1，故x ∈（，）时，f′（x ）＞0，x ∈（，e ）时，f′（x ）＜0，∴f （x ）最大值=f （x ）极大值=f （）=1，故选：B ．二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13．A 公司有职工代表120人，B 公司有职工代表100人，现因A ，B 两公司合并，需用分层抽样的方法在这两个公司的职工代表中选取11人作为企业资产评估监督员，应在A 公司中选取 6 人．【考点】分层抽样方法．【分析】由题意抽样比例为=，即可求出A 公司应该选取的人数．【解答】解：由题意抽样比例为=，则A 公司应该选取120×=6，故答案为614．计算：= 19 ．【考点】对数的运算性质．【分析】利用有理数指数幂、对数的性质及运算法则求解．【解答】解：=（）×（）﹣1﹣（lg2+lg5）=20﹣1=19．故答案为：19．15．已知x，y满足：，则z=x﹣y的最大值为 3 ．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【解答】解：先根据约束条件，画出可行域，当直线z=x﹣y过点A时，，可得A（2，﹣1）z的最大值是3，故答案为：316．已知函数，过点P （n ，f （n ））与y=f （x ）的图象相切的直线l 交x 轴于A （x n ，0），交y 轴于B （0，y n ），则数列的前n 项和为．【考点】数列的求和．【分析】f′（x ）=﹣，可得过点P （n ，f （n ））的切线方程为：y ﹣1=（x ﹣n ），x n =2n ，y n =2．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：f′（x ）=﹣，∴过点P （n ，f （n ））的切线方程为：y ﹣1=（x ﹣n ），则x n =2n ，y n =2．∴==，∵数列的前n 项和=+…+==．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{an }中，a1=1，a2＞1，a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an }的前n项和Sn．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意可得d＞0，再由等比数列中项性质，解方程可得公差d，即可得到所求通项公式；（2）运用等差数列的求和公式，计算化简即可得到．【解答】解：（1）设等差数列{an }的公差为d，∵a1=1，a2＞1，∴d=a2﹣a1＞0．∵a2、a4、a9成等比数列，∴，即（1+3d）2=（1+d）（1+8d）．解得，d=3．a n =a1+（n﹣1）d=1+3（n﹣1）=3n﹣2；（2）由（1）知，Sn===n2﹣n．18．已知函数．（1）求f（x）单调递减区间；（2）△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足b2+c2﹣a2＞bc，求f（A）的取值范围．【考点】余弦定理；正弦函数的单调性．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得f（x）的减区间．（2）由已知利用余弦定理可得cosA＞，可得，解得2A﹣∈（﹣，），利用正弦函数的图象和性质即可得解取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵=﹣+sin2x=sin（2x﹣），…3分∴2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的减区间…（2）∵b2+c2﹣a2＞bc，∴cosA=＞=，∴由题意可知，可得：2A﹣∈（﹣，）．…∴…19．某交警大队对辖区A路段在连续10天内的n天，对过往车辆驾驶员进行血液酒精浓度检查，查得驾驶员酒驾率f（n）如表；可用线性回归模型拟合f（n）与n的关系．（1）建立f（n）关于n的回归方程；（2）该交警大队将在2016年12月11日至20日和21日至30日对A路段过往车辆驾驶员进行血液酒精浓度检查，分别检查n1，n2天，其中n1，n2都是从8，9，10中随机选择一个，用回归方程结果求两阶段查得的驾驶员酒驾率都不超过0.03的概率．附注：参考数据：，， =0.046，回归方程=n+中斜率和截距最小乘估计公式分别为：，﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（1）由表中数据计算对应的系数，求出f（n）关于n的回归方程即可；（2）由表及（1），利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．【解答】解：（1）由表可知， =×（5+6+7+8+9）=7，=×（0.06+0.06+0.05+0.04+0.02）=0.046，…又，，∴=，…∴=0.046﹣（﹣0.01）×7=0.116，…∴f（n）关于n的回归方程是；…（2）由表及（1）知，，，；…∴两阶段查得的驾驶员酒驾率的结果有：（0.036，0.036），（0.036，0.026），（0.036，0.016），（0.026，0.036），（0.026，0.026），（0.026，0.016），（0.016，0.036），（0.016，0.026），（0.016，0.016），共9个；…其中都两阶段结果都不超过0.03的有（0.026，0.026），（0.026，0.016），（0.016，0.026），（0.016，0.016）共4个；…设“两阶段查得的驾驶员酒驾率的结果都不超过0.03”为事件A，则；即两阶段查得的驾驶员酒驾率的结果都不超过0.03概率为．…20．已知，如图，P是平面ABC外一点，PA不垂直于平面ABC，E，F分别是线段AC，PC的中点，D是线段AB上一点，AB=AC，PB=PC，DE⊥EF．（1）求证：PA⊥BC；（2）求证：BC∥平面DEF．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）设线段BC的中点为G，分别连接AG、PG．构建线面垂直：BC⊥平面AGP．根据线面垂直的性质证得结论；（2）利用三角形中位线定理推知EF∥AP．结合已知条件得到PA⊥DE．因为PA⊥BC，BC、DE 是平面ABC内两条直线，如果BC、DE相交，则PA⊥平面ABC，与PA不与平面ABC的垂直矛盾．故BC∥DE．最后根据线面平行的判定定理得到结论．【解答】（1）证明：设线段BC的中点为G，分别连接AG、PG．∵AB=AC，PB=PC，∴AG⊥BC，PG⊥BC，∵AG、PG是平面AGP内的两条相交线，∴BC⊥平面AGP．∵PA⊂平面AGP，∴PA⊥BC．（2）证明：∵E、F分别是线段AC、PC的中点，∴EF∥AP．∵DE⊥EF，∴PA⊥DE．因为PA⊥BC，BC、DE是平面ABC内两条直线，如果BC、DE相交，则PA⊥平面ABC，与PA不与平面ABC的垂直矛盾．∴BC∥DE．又BC⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴BC∥平面DEF．21．已知函数（x≥0）（e=2.71828…为自然对数的底数）（1）当a=0时，求f（x）的最小值；（2）当1＜a＜e时，求f（x）单调区间的个数．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）化简函数f（x）=e x﹣exf'（x）=e x﹣e，通过当0≤x＜1时，当x＞1时，判断函数的单调性求出函数的极值；（2）求出导函数f'（x）=e x﹣ax+a﹣e．构造g（x）=f'（x）=e x﹣ax+a﹣e，求出导数g'（x）=e x﹣a．判断单调性求出最小值，设h（x）=2x﹣xlnx﹣e（x＞1），求出h'（x）=1﹣lnx．判断单调性求出最值，通过e﹣1＜a＜e，求解即可．【解答】解：（1）∵（x≥0），a=0∴f（x）=e x﹣exf'（x）=e x﹣e．…∴当0≤x＜1时，f'（x）＜0，f（x）是减函数．当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）是增函数．…又f'（1）=0，∴f（x）的最小值f（x）min =f（x）极小=f（1）=0．…（2）∵（x≥0），∴f'（x）=e x﹣ax+a﹣e．设g（x）=f'（x）=e x﹣ax+a﹣e，则g'（x）=e x﹣a．∵a＞1，∴g'（lna）=0，当0≤x＜lna时，g'（x）＜0，f'（x）单调递减．当x＞lna时，g'（x）＞0，f'（x）单调递增．…∴f'（x）min =f'（x）极小=f'（lna）=2a﹣alna﹣e．设h（x）=2x﹣xlnx﹣e（x＞1），则h'（x）=1﹣lnx．当0＜x＜e时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，当x＞e时，h'（x）＜0，h（x）单调递减．∴h（x）max =h（x）极大=h（e）=0，即a=e时，f'（x）min取得最大值0，所以当1＜a＜e时，f'（x）min＜0．…若1＜a≤e﹣1，则f'（0）=1+a﹣e≤0，f'（1）=0，∴0≤x＜1时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，即函数f（x）有两个单调区间．…若e﹣1＜a＜e，则f'（0）=1+a﹣e＞0，∴存在x0∈（0，lna），使得f'（x）=0．又f'（1）=0∴0≤x＜x或x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．x＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．即函数f（x）有三个单调区间．…综上所述，当1＜a≤e﹣1时，函数f（x）有两个单调区间，当e﹣1＜a＜e且a≠e时，函数f（x）有三个单调区间．…请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4．（1）若l的参数方程中的时，得到M点，求M的极坐标和曲线C直角坐标方程；（2）若点P（0，2），l和曲线C交于A，B两点，求．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化的方法得到结论；（2）利用参数的几何意义，求．【解答】解：（1）l的参数方程中的时，M（﹣1，1），极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ=4，曲线C的直角坐标方程：x2+y2=16…（2）由得，…[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|2x﹣1|+|5x﹣1|（1）求f（x）＞x+1的解集；（2）若m=2﹣n，对∀m，n∈（0，+∞），恒有成立，求实数x的范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取交集即可；（2）根据基本不等式的性质求出x的范围即可．【解答】解：（1），故x＞时，7x﹣2＞x+1，解得：x＞，≤x≤时，3x＞x+1，解得：x＞，x＜时，2﹣7x＞x+1，解得：x＜，故f（x）＞x+1的解集为…（2）因为，当且仅当时等于号成立．由解得x的取值范围为…。