专题15 圆锥曲线与方程

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圆锥曲线与其方程

圆锥曲线与其方程圆锥曲线是数学中一个非常有趣且重要的概念，它是由一个平面与一个圆锥相交而形成的曲线。

圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线四种类型，每种类型都有其独特的特点和方程。

首先，让我们来了解一下圆锥曲线中最简单的一种类型——圆。

圆可以被描述为一个平面上与一个圆心和半径相关联的点的集合。

其方程可以表示为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径的长度。

圆的方程可以用来确定圆上的任意一点的坐标，从而使我们能够对圆进行研究和分析。

接下来，我们来讨论椭圆。

椭圆是圆锥曲线中另一种常见的类型，它具有两个焦点和一个长轴和短轴。

椭圆的方程可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是长轴和短轴的长度。

椭圆的方程可以帮助我们确定椭圆上的点，并且可以用来计算椭圆的周长和面积。

双曲线是另一种重要的圆锥曲线类型。

它有两个分离的曲线分支，并且具有两个焦点和一个虚线的对称轴。

双曲线的方程可以表示为(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b分别是曲线分支的长度。

双曲线的方程可以帮助我们确定双曲线上的点，并且可以用来研究双曲线的性质和特征。

最后，我们来谈谈抛物线。

抛物线是圆锥曲线中最具有特色的一种类型，它具有一个焦点和一条对称轴。

抛物线的方程可以表示为y=ax²+bx+c，其中a、b和c 是常数。

抛物线的方程可以帮助我们确定抛物线上的点，并且可以用来研究抛物线的形状和性质。

通过了解圆锥曲线和它们的方程，我们可以更好地理解和应用这些曲线。

圆锥曲线在几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域都有广泛的应用。

例如，在物理学中，椭圆轨道被用来描述行星的运动；在工程学中，抛物线被用来设计抛物面反射器；在计算机图形学中，圆锥曲线被用来生成二维和三维图形。

圆锥曲线与方程总结

例3 已知椭圆的一个顶点为 A(0，－1)，焦点在 x 轴上．若右焦点到直线 x－y＋2 2＝0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线 y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点 M、N.当|AM|＝|AN|时，求 m 的取值范围．
【解】 (1)依题意可设椭圆方程为xa22＋y2＝1，
例1 (2010 年高考辽宁卷)设抛物线 y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PA⊥
l，A 为垂足，如果直线 AF 的斜率为－ 3，那
么|PF|＝( )
A．4 3
B．8
C．8 3
D．16
【解析】如图所示，直线 AF 的方程为 y＝－ 3 (x－2)，与准线方程 x＝－2 联立得 A(－2,4 3)．设 P(x0,4 3)，代入抛物线方程 y2＝8x，得 8x0＝48，∴x0＝6， ∴|PF|＝x0＋2＝8，选 B.
∴S△AOB＝S△AOM＋SBOM＝12|OM|(|y1|＋|y2|) ≥p(2 |y1y2|)．又 y21＝2px1，y22＝2px2， ∴(y1y2)2＝4p2x1x2. 又∵y1y2＝－x1x2，于是|y1y2|＝4p2.
故 S△AOB 的最小值为 4p2.
专题五曲线的方程
题型特点：求动点轨迹方程是常见题型,高考中多以解答题的某一问出现,其难度为中等,大多试题的轨迹方程求不出来或出错,将无法解决其他问题．知识方法：求曲线方程是解析几何的基本问题之一,其求解的基本方法有： 1 直接法：建立适当的坐标系,设动点为 x,y ,根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式.
例5 设圆 x－1 2＋y2＝1的圆心为C,过原点作圆的弦OA,求OA中点B的轨迹方程．【解】法一：(直接法)设 B 点坐标为(x，y)，由题意，得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2＝1，如图所示，

2024年高考数学题源追溯专题15 圆锥曲线综合(解析版)

专题15 圆锥曲线综合目录一览2023真题展现考向一直线与双曲线综合考向二直线与抛物线综合真题考查解读近年真题对比考向一直线与双曲线综合考向二直线与圆锥曲线综合命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一直线与双曲线综合1．（2023•新高考Ⅱ•第21题）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（﹣25，0），离心率为5．（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．解：（1）双曲线C中心为原点，左焦点为（﹣25，0），离心率为5，则c2=a2+b2c=25e=ca=5，解得a=2b=4，故双曲线C的方程为x24−y216=1；（2）证明：过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，则可设直线MN的方程为x＝my﹣4，M（x1，y1），N（x2，y2），记C的左，右顶点分别为A1，A2，则A1（﹣2，0），A2（2，0），联立x=my−44x2−y2=16，化简整理可得，（4m2﹣1）y2﹣32my+48＝0，故Δ＝（﹣32m ）2﹣4×48×（4m 2﹣1）＝264m 2+192＞0且4m 2﹣1≠0，y 1+y 2=32m4m 2−1，y 1y 2=484m 2−1，直线MA 1的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线NA 2方程y =y 2x 2−2(x−2)，故x +2x−2=y 2(x 1+2)y 1(x 2−2)=y 2(my 1−2)y1(my 2−6)=my 1y 2−2(y 1+y 2)+2y 1my 1y 2−6y 1 =m ⋅484m 2−1−2⋅32m4m 2−1+2y 1m ⋅484m 2−1−6y 1=−16m4m 2−1+2y 148m4m 2−1−6y 1=−13，故x +2x−2=−13，解得x ＝﹣1，所以x P ＝﹣1，故点P 在定直线x ＝﹣1上运动．考向二直线与抛物线综合2．（2023•新高考Ⅰ•第22题）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点（0，）的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于3．解：（1）设点P 点坐标为（x ，y ），由题意得|y |＝，两边平方可得：y 2＝x 2+y 2﹣y +，化简得：y ＝x 2+，符合题意．故W 的方程为y ＝x 2+．（2）解法一：不妨设A ，B ，C 三点在W 上，且AB ⊥BC ．设A （a ，a 2），B （b ，），C （c ，），则，．由题意，＝0，即（b ﹣a ）（c ﹣b ）+（b 2﹣a 2）（c 2﹣b 2）＝0，显然（b ﹣a ）（c ﹣b ）≠0，于是1+（b +a ）（c +b ）＝0．此时，|b +a |．|c +b |＝1．于是min {|b +a |，|c +b |}≤1．不妨设|c +b |≤1，则a ＝﹣b ﹣，则|AB|+|BC|＝|b﹣a|+|c﹣b|＝|b﹣a|+|c﹣b|≥|b﹣a|+|c﹣b|≥|c﹣a|＝|b+c+|．设x＝|b+c|，则f（x）＝（x+），即f（x）＝，又f′（x）＝＝．显然，x＝为最小值点．故f（x）≥f（）＝，故矩形ABCD的周长为2（|AB|+|BC|）≥2f（x）≥3．注意这里有两个取等条件，一个是|b+c|＝1，另一个是|b+c|＝，这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．解法二：不妨设A，B，D在抛物线W上，C不在抛物线W上，欲证命题为|AB|+|AD|＞．由图象的平移可知，将抛物线W y＝x2不影响问题的证明．设A（a，a2）（a≥0），平移坐标系使A为坐标原点，则新抛物线方程为y′＝x′2+2ax′，写为极坐标方程，即ρsinθ＝ρ2cos2θ+2aρcosθ，即ρ＝．欲证明的结论为||+||＞，也即|﹣|+|+|＞．不妨设||≥||，将不等式左边看成关于a的函数，根据绝对值函数的性质，其最小值当即a＝时取得，因此欲证不等式为||＞，即||＞，根据均值不等式，有|cos θsin 2θ|＝.≤.＝，由题意，等号不成立，故原命题得证．【命题意图】考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线相交等．【考查要点】圆锥曲线综合是高考必考的解答题，难度较大．考查圆锥曲线标准方程的求解，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查定值、定直线、面积最值、存在性与恒成立等问题．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【得分要点】1．圆锥曲线的定义（1）椭圆定义：12||||2PF PF a +=．（2）双曲线定义：12|||-|||2PF PF a =．（3）抛物线定义：|PF|=d ．2．圆锥曲线的标准方程及几何性质（1）椭圆的标准方程与几何性质标准方程x2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)图形范围−a ≤x ≤a ,−b ≤y ≤b −b ≤x ≤b ,−a ≤y ≤a对称性对称轴： x 轴、y 轴 .对称中心：原点 .焦点F 1(−c,0) ,F 2(c,0) .F 1(0,−c) ,F 2(0,c) .顶点A 1(−a,0) ，A 2(a,0) ，B 1(0,−b) ,B 2(0,b) .A 1(0,−a) ,A 2(0,a) ，B 1(−b,0) ,B 2(b,0) .轴线段A 1A 2，B 1B 2分别是椭圆的长轴和短轴，长轴长为2a ，短轴长为2b .几何性质焦距|F 1F 2|=2c .离心率e =ca =1−b 2a 2∈(0,1).a ,b ,c 的关系c 2=a 2−b 2.（2）双曲线的标准方程与几何性质F （﹣c ,0），F（c,0）F （0,﹣c ），F （0,c ）（3标准方程y 2=2px(p >0)y 2=−2px (p >0)x 2=2py (p >0)x 2=−2py (p >0)图形对称轴x 轴y 轴顶点O(0,0)焦点F(p 2,0)F(−p 2,0)F(0,p 2)F(0,−p 2)准线方程x =−p 2x =p 2y =−p 2y =p 2范围x ≥0 ,y ∈Rx ≤0 ,y ∈Ry ≥0 ,x ∈R y ≤0 ,x ∈R 离心率e =1几何性质焦半径（P(x 0,y 0)为抛物线上一点）p2+x 0p 2−x 0p2+y 0p 2−y 03.圆锥曲线中最值与范围的求解方法几何法若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决.代数法若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.4.求解直线或曲线过定点问题的基本思路（1）把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x,y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y−y0=k(x−x0)，则直线必过定点(x0 ,y0);若得到了直线方程的斜截式y=kx+m，则直线必过定点(0,m).（3）从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关.5.求解定值问题的常用方法（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.6.求解定线问题的常用方法定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的本质是求点的轨迹方程，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出横、纵坐标之间的关系.7.有关证明问题的解题策略圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系的证明，证明时，常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明.8.探索性问题的解题策略此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在，否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.考向一直线与双曲线综合3．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y＝±x．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0．过P且斜率为﹣的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解答】解：（1）由题意可得＝，＝2，解得a＝1，b＝，因此C的方程为x2﹣＝1，（2）解法一：设直线PQ的方程为y＝kx+m，（k≠0），将直线PQ的方程代入x2﹣＝1可得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，Δ＝12（m2+3﹣k2）＞0，∵x1＞x2＞0∴x1+x2＝＞0，x1x2＝﹣＞0，∴3﹣k2＜0，∴x1﹣x2＝＝，设点M的坐标为（x M，y M），则，两式相减可得y1﹣y2＝2x M﹣（x1+x2），∵y1﹣y2＝k（x1﹣x2），∴2x M＝（x1+x2）+k（x1﹣x2），解得X M＝，两式相加可得2y M﹣（y1+y2）＝（x1﹣x2），∵y1+y2＝k（x1+x2）+2m，∴2y M＝（x1﹣x2）+k（x1+x2）+2m，解得y M＝，∴y M＝x M，其中k为直线PQ的斜率；若选择①②：设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），则，解得x3＝，y3＝，同理可得x4＝，y4＝﹣，∴x3+x4＝，y3+y4＝，此时点M的坐标满足，解得X M＝＝（x3+x4），y M＝＝（y3+y4），∴M为AB的中点，即|MA|＝|MB|；若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F（2，0），此时不在直线y＝x上，矛盾，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝m（x﹣2）（m≠0），并设A的坐标为（x3，y3），B 的坐标为（x4，y4），则，解得x3＝，y3＝，同理可得x4＝，y4＝﹣，此时x M＝（x3+x4）＝，∴y M＝（y3+y4）＝，由于点M同时在直线y＝x上，故6m＝•2m2，解得k＝m，因此PQ∥AB．若选择②③，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），则，解得x3＝，y3＝，同理可得x4＝，y4＝﹣，设AB的中点C（x C，y C），则x C＝（x3+x4）＝，y C＝（y3+y4）＝，由于|MA|＝|MB|，故M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y﹣y C＝﹣（x﹣x C）上，将该直线y＝x联立，解得x M＝＝x C，y M＝＝y C，即点M恰为AB中点，故点M在直线AB上．（2）解法二：由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②⇒③，或选由②③⇒①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为0．若选①③⇒②，则M为线段AB的中点，假设AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F，此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，从而x1＝x2，已知不符．综上，直线AB的斜率存在且不为0，直线AB的斜率为k，直线AB的方程为y＝k（x﹣2）．则条件①M在直线AB上，等价于y0＝k（x0﹣2）⇔ky0＝k2（x0﹣2），两渐近线的方程合并为3x2﹣y2＝0，联立方程组，消去y并化简得：（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2＝0，设A（x3，y3），B（x4，y4），线段中点为N（x N，y N），则x N＝＝.y N＝k（x N﹣2）＝，设M（x0，y0），则条件③|AM|＝|BM|等价于（x0﹣x3）2+（y0﹣y3）2＝（x0﹣x4）2+（y0﹣y4）2，移项并利用平方差公式整理得：（x3﹣x4）[2x0﹣（x3+x4）]+（y3﹣y4）[（2y0﹣（y3+y4）]＝0，[2x0﹣（x3+x4）]+[2y0﹣（y3+y4）]＝0，∴x0﹣x N+k（y0﹣y N）＝0，[2x0﹣（x3+x4）]+[2y0﹣（y3+y4）]＝0，∴x0﹣x N+k（y0﹣y N）＝0，∴，由题意知直线PM的斜率为﹣，直线QM的斜率为，∴由（x1﹣x0），y2﹣y0＝（x2﹣x0），∴y1﹣y2＝﹣（x1+x2﹣2x0），∴直线PQ的斜率m＝＝﹣，直线PM：y＝﹣（x﹣x 0）+y0，即y＝，代入双曲线的方程为3x2﹣y2﹣3＝0，即（）（）＝3中，得（）[2﹣（）]＝3，解得P的横坐标为（+）]＝3，同理，x2＝﹣（），x1+x2﹣2x0＝﹣﹣x0，∴m＝，∴条件②PQ∥AB等价于m＝k⇔ky0＝3x0，综上所述：条件①M在AB上等价于m＝k⇔ky0＝k2（x0﹣2），条件②PQ∥AB等价于ky0＝3x0，条件③|AM|＝|BM|等价于．选①②⇒③：由①②解得∴，∴③成立；选①③⇒②：由①③解得：，ky0＝，∴ky0＝3x0，∴②成立；选②③⇒①：由②③解得：，ky0＝，∴，∴①成立．4．（2022•新高考Ⅰ）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．【解答】解：（1）将点A代入双曲线方程得，化简得a4﹣4a2+4＝0，∴a2＝2，故双曲线方程为，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，设P（x1，y1）Q（x2，y2），则联立双曲线得：（2k2﹣1）x2+4kmx+2m2+2＝0，故，，，化简得：2kx1x2+（m﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4（m﹣1）＝0，故，即（k+1）（m+2k﹣1）＝0，而直线l不过A点，故k＝﹣1；（2）设直线AP的倾斜角为α，由，∴，得由2α+∠PAQ＝π，∴，得，即，联立，及得，同理，故，而，由，得，故S△PAQ＝|AP||AQ|sin∠PAQ＝|x1x2﹣2（x1+x2）+4|＝．5．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（﹣，0），F2（，0），点M满足|MF1|﹣|MF2|＝2．记M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|•|TB|＝|TP|•|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．【解答】解：（1）由双曲线的定义可知，M的轨迹C是双曲线的右支，设C的方程为，根据题意，解得，∴C的方程为；（2）（法一）设，直线AB的参数方程为，将其代入C的方程并整理可得，（16cos2θ﹣sin2θ）t2+（16cosθ﹣2m sinθ）t﹣（m2+12）＝0，由参数的几何意义可知，|TA|＝t1，|TB|＝t2，则，设直线PQ的参数方程为，|TP|＝λ1，|TQ|＝λ2，同理可得，，依题意，，则cos2θ＝cos2β，又θ≠β，故cosθ＝﹣cosβ，则cosθ+cosβ＝0，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．（法二）设，直线AB的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），设，将直线AB方程代入C的方程化简并整理可得，，由韦达定理有，，又由可得，同理可得，∴＝，设直线PQ的方程为，设，同理可得，又|AT||BT|＝|PT||QT|，则，化简可得，又k1≠k2，则k1＝﹣k2，即k1+k2＝0，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．考向二直线与圆锥曲线综合6．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C的方程为+＝1（a＞b＞0），右焦点为F（，0），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2＝b2（x＞0）相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝．【解答】（Ⅰ）解：由题意可得，椭圆的离心率＝，又，所以a＝，则b2＝a2﹣c2＝1，故椭圆的标准方程为；（Ⅱ）证明：先证明充分性，当|MN|＝时，设直线MN的方程为x＝ty+s，此时圆心O（0，0）到直线MN的距离，则s2﹣t2＝1，联立方程组，可得（t2+3）y2+2tsy+s2﹣3＝0，则Δ＝4t2s2﹣4（t2+3）（s2﹣3）＝12（t2﹣s2+3）＝24，因为，所以t2＝1，s2＝2，因为直线MN与曲线x2+y2＝b2（x＞0）相切，所以s＞0，则，则直线MN的方程为恒过焦点F（），故M，N，F三点共线，所以充分性得证．若M，N，F三点共线时，设直线MN的方程为x＝my+，则圆心O（0，0）到直线MN的距离为，解得m2＝1，联立方程组，可得，即，所以；所以必要性成立；综上所述，M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝．根据近几年真题推测主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及弦长、弦中点、定点、定值和取值范围等问题，常与函数、不等式等知识综合考查。

圆锥曲线方程知识点总结

圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。

双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。

抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。

二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。

以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。

双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。

三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。

以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。

双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。

四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。

2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。

圆锥曲线与方程学习课件

由于解得k=- .故所求弦所在直线方程为x+2y-4=0. x+2y-4=0 x2+4y2=16 所以y1=0,y2=2.所以弦长
由
得y2-2y=0，
如图所示，已知A,B,C是椭圆E：(a>b>0)上的三点，其中A点的坐标为（2 ，0），BC过椭圆的中心O,且AC⊥BC,
(Ⅰ)求点C的坐标及椭圆E的方程； (Ⅱ)若椭圆E上存在两点P,Q,使得∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，试判断向量PQ与AB是否共线，并给出证明.
5.椭圆：的两个焦点F1,F2,点P在椭圆上，如果线段PF1的中点恰在y轴上，则 = . 由已知椭圆方程得a=2 ，b= ，c=3，F1（-3,0）,F2（3,0）.
7
因为焦点F1和F2关于y轴对称，所以,则P（3，），所故填7.
1.椭圆的定义及其标准方程(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
已知P为椭圆 +y2=1上的动点，F1,F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=θ,求当θ取最大值时，点P的位置. 设则m+n=4，
在△F1PF2中，由余弦定理得因为m+n=4,m>0,n>0，所以mn≤当且仅当m=n时“=”取得，所以cosθ≥- .所以当θ取得最大值时，点P在短轴的两个顶点处.
在椭圆x2+4y2=16中，求通过点M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线的方程和弦长. 当直线斜率不存在时，M不可能为弦的中点，所以可设直线方程为y=k(x-2)+1，代入椭圆方程，整理得：(1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0，显然1+4k2≠0，Δ=16(12k2+4k+3)>0.

圆锥曲线与方程知识点总结

圆锥曲线与方程知识点总结圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，它是解析几何学中的一大类曲线，经常与数学和物理学等学科结合起来进行研究。

圆锥曲线包含了椭圆、双曲线和抛物线三种曲线，它们都有着独特的性质和方程。

本文将对圆锥曲线的性质、方程和一些相关公式进行总结，以便读者更好地理解和应用这一知识点。

1. 椭圆椭圆是平面上的一个闭合曲线，它可以由一个动点到两个定点的距离之和等于常数的所有点构成。

椭圆的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。

椭圆还有一些重要的性质，比如焦点、离心率和直径等。

2. 双曲线双曲线也是平面上的一个曲线，它可以由一个动点到两个定点的距离之差等于常数的所有点构成。

双曲线的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\]类似椭圆，a和b分别表示双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。

双曲线也有一些重要的性质，比如焦点、渐近线和离心率等。

3. 抛物线抛物线是平面上的一个曲线，它可以由一个动点到定点的距离等于动点到定直线的距离的所有点构成。

抛物线的标准方程为：\[y^2 = 2px\]其中p表示抛物线的焦点到定直线的距离。

抛物线也有一些重要的性质，比如焦点、准线和焦距等。

4. 圆锥曲线的性质圆锥曲线有一些重要的性质，比如中心对称性、轴对称性和离心率等。

这些性质对于研究圆锥曲线的形状和位置关系非常重要。

另外，圆锥曲线还有着许多重要的定理，比如焦点定理和渐近线定理等，这些定理为研究圆锥曲线提供了重要的依据和方法。

5. 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程是研究它们的重要工具，在应用数学和物理学中经常会用到。

椭圆、双曲线和抛物线分别有着自己的标准方程和一般方程，通过这些方程可以更好地理解和描述这些曲线的性质和形状。

同时，圆锥曲线还有一些重要的参数方程和极坐标方程，它们在解决一些特殊问题时非常有用。

高一数学圆锥曲线的标准方程与几何性质

圆锥曲线是平面内到定点和定直线距离相等的点的轨迹
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圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线
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圆锥曲线的标准方程包括x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（椭圆）、 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（双曲线）和y = ax^2 + bx + c（抛物线）
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椭圆的性质：对称性、旋转性、中心对称性、焦点对称性
椭圆的应用：光学、天体物理、工程等领域
双曲线的标准方程
双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹
双曲线的标准方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（a>0,b>0）
双曲线的焦点：F1(c,0), F2(-c,0)
利用几何性质和代数关系，求解标准方程
验证求解结果是否满足圆锥曲线的定义和性质
圆锥曲线的几何性质
圆锥曲线的焦点与准线
焦点：圆锥曲线上的一个特殊点，决定了曲线的形状和性质
准线：与焦点相对应的直线，决定了曲线的性质和位置
椭圆的焦点与准线：椭圆的焦点在椭圆的中心，准线是垂直于椭圆中心的直线
圆锥曲线在工程中的应用：如建筑设计、机械制造等
圆锥曲线在数学中的应用：如解析几何、微积分等
圆锥曲线在计算机科学中的应用：如图形学、计算机视觉等
解析几何问题中的应用
圆锥曲线在物理中的应用：如天体运动、电磁场等圆锥曲线在工程中的应用：如建筑设计、机械制造等圆锥曲线在计算机图形学中的应用：如三维建模、图像处理等圆锥曲线在数学竞赛中的应用：如奥林匹克数学竞赛、国际数学竞赛等
圆锥曲线在实际问题中的应用

圆锥曲线的定义、方程与性质(题型归纳)

圆锥曲线的定义、方程与性质【考情分析】1.考查特点:(1)圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,多以选择题、填空题或解答题第(1)问的形式命题,难度中等;(2)直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,尤其是有关弦长计算及存在性问题,运算量大,能力要求高,突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力以及创新能力.3.学科素养:逻辑推理、直观想象、数学运算.【题型一】圆锥曲线的定义及标准方程【典例分析】1（2021·山东省实验中学高三模拟）已知双曲线22525x y -=上一点P 到其左焦点F 的距离为8，则PF 的中点M 到坐标原点O 的距离为（）A ．9B ．6C ．5D ．4【答案】A【解析】由22525x y -=，得221255x y -=，则2225,5a b ==，所以230c =，所以5,a b c ===，设双曲线的右焦点为1F ，因为P 到其左焦点F 的距离为85a c <+=+P 在双曲线的左支上，所以1210PF PF a -==，所以118PF =，因为M 为PF 的中点，O 为1FF 的中点，所以1192OM PF ==，故选：A 2．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若点A 在l 上，点B 在抛物线上，l 与x 轴的交点为C ，ABF是正三角形，且四边形ABFC 的面积是，则p =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】由抛物线的定义及ABF 为正三角形，可知//AB x 轴，所以60AFC ︒∠=，从而可知2AB p =，AC =，又因为四边形ABFC 的面积是，所以有22p p+=2p =.故选：C.【提分秘籍】【变式演练】1．（2021·江苏金陵中学高三模拟）以椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆C 上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆C 的标准方程为（）A ．22143x y +=B ．22184x y +=C ．2211612x y +=D ．2216448x y +=【答案】C【解析】由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则2a c =，椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即6a c +=，则4a =，2c =，23b =则椭圆的标准方程为：2211612x y +=.故选：C.2．【多选】（2021·福建福州市·高三二模）在ABC 中，4AB =，M 为AB 的中点，且CA CB CM -=，则下列说法中正确的是（）A ．动点C 的轨迹是双曲线B ．动点C 的轨迹关于点M 对称C ．ABC 是钝角三角形D ．ABC面积的最大值为【答案】BD【解析】以M 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系．设CM =r ，此时C 点在以M 为圆心，r为半径的动圆上．由CA CB r -=，知C 点在以AB 为焦点，2r a =的双曲线22221x y a b -=上且22242AB a b ⎛⎫+== ⎪⎝⎭．对点(),C x y 有222x y r +=，22221444x y r r-=-，从而2223(16)64y r r =-，当28r =时，2y最大，故yABC S ，故D 正确；2r =时，得到另一个C 点'C ，此时ABC 为直角三角形，故C 错误；∵CA CB -非定值，∴C 不以双曲线为轨迹，故A 错误；∵CM CA CB -=，∴一定有C 关于M 的对称点关于原点对称，故B 正确．故选：BD ．3.已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若FM 的延长线交x 轴的正半轴于点N ，交抛物线C 的准线l 于点T ，且FM →＝MN →，则|NT |＝________.【答案】3【解析】由x 2＝4y ，知F (0，1)，准线l ：y ＝－1.设点M (x0，y 0)，且x 0>0，y 0>0.由FM →＝MN →，知点M 是线段FN 的中点，N 是FT 中点，利用抛物线定义，|MF |＝|MM ′|＝y 0＋1，且|FF ′|＝2|NN ′|＝2.又2(y 0＋1)＝|FF ′|＋|NN ′|＝3，知y 0＝12.∴|MF |＝12＋1＝32，从而|NT |＝|FN |＝2|MF |＝3.【题型二】圆锥曲线的几何性质【典例分析】1．已知1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210y x a b a b +=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F ∠=∠，则椭圆E 的离心率为（）A ．102B ．4C D ．54【答案】B【解析】1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210y x a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F Ð=Ð，由正弦定理可得213PF PF =，令1233PF PF n ==，则32n n a +=，22294n n c +=，可得22542a c =，所以椭圆的离心率为：104c e a===.故选：B ．2．（2021·天津南开中学高三模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的中心为O ，左焦点为F ，左顶点为A ，点P 为双曲线右支上一点，直线OP 交双曲线于另一点Q ，若直线AQ 恰好平分线段PF ，则该双曲线的离心率为__________．【答案】3【解析】设PF 的中点为M ，连接OM ，O 、M 分别为PQ 、PF 的中点，则//OM FQ 且12OM FQ =，所以，12OA OM AF FQ ==，即12a c a =-，3c a =∴，因此，该双曲线的离心率为3ce a ==.故答案为：3.【提分秘籍】【变式演练】1．（2021湖南长沙长郡中学高三模拟）已知抛物线28y x =的焦点为F ，经过点P (1，1)的直线l 与该曲线交于A ､B 两点，且点P 恰好为AB 的中点，则||||+=AF BF （）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】抛物线28y x =中，4p =，其焦点()2,0F ，准线方程2x =-，如图过点,,A B P 作准线的垂线，垂足为,,M N R ，由抛物线定义可知，||||AF BF AM BN +=+，而P 恰好为AB 的中点，故PR 是梯形ABNM 的中位线，故2AM BN PR +=，又P (1，1)，故132pPR =+=，所以||||236AF BF +=⨯=.故选：B.2．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过点2F 作圆222x y a +=的切线交双曲线左支于点M ，且1260F MF ∠︒＝，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】313y x ⎛⎫=±+⎪ ⎪⎝⎭．【解析】设切点为A ，过1F 作21F B MF ⊥，垂足为B ，由题意可得OA a =，2OF c =，222AF c a b =-=，由OA 为12BF F △的中位线，可得12BF a =，22BF b =，又1260F MF ∠=︒，可得114sin 603BF a MF ==︒，23aMB =，22223aMF MB BF b =+=+，又21242233a a MF MF b a -=+-=，所以313b a ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以双曲线的渐近线方程为313y x ⎛⎫=±+ ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：313y x ⎛⎫=±+ ⎪ ⎪⎝⎭．3.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________.【答案】3－1.【解析】设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A )23,2(c c，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，则4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4＋23(舍)，e 2＝4－2 3.由0<e <1，得e ＝3－1.【题型三】直线与圆锥曲线【典例分析】1．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知直线1y x =-与抛物线24y x =交于A ，B 两点.若点(1,)C m -满足90ACB ∠= ，则m =（）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】直线1y x =-与抛物线24y x =联立得：2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以12126,1x x x x +==，点(1,)C m -满足90ACB ∠= ，所以有：21121121212120(1,)(1,)01()0,CA CB x y m x y m x x x x y y m y y m ⋅=⇒+-+-=⇒++++-++=121212121212,24,(1)(1)()14y y x x y y x x x x x x +=+-==--=-++=-，所以2161440,m m ++--+=解得2m =，故选：C2．已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F ，离心率为2，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点为()1,1，则直线l 的斜率为（）A ．14-B ．34-C ．12-D ．1【答案】A【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可得122x x +=，122y y +=，将A ，B 的坐标的代入椭圆的方程：22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差可得22221212220x x y y a b--+=，所以221212221212y y x x b b x x a y y a-+=-⋅=--+，又因为离心率2c e a ==，222c a b =-，所以22234a b a -=，所以2214b a -=-，即直线AB 的斜率为14-，故选：A.【提分秘籍】1.求解弦长的4种方法(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.(2)联立直线与圆锥曲线方程,解方程组求出两个交点坐标,代入两点间的距离公式求解.(3)联立直线与圆锥曲线方程,消元得到关于x 或y 的一元二次方程,利用根与系数的关系得到(x 1-x 2)2或(y 1-y 2)2,代入两点间的距离公式求解.(4)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.[提醒]利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形,若k 不存在,可直接求交点坐标再求弦长.涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.2.处理中点弦问题常用的2种方法(1)点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x 1+x 2,y 1+y 2,2121x x y y --三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系:联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.[提醒]中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足.【变式演练】1．（2021·陕西高三模拟）已知抛物线22(0)x py p =>焦点为,F O 为坐标原点，直线l 过点F 与抛物线交于,A B 两点，与x 轴交于()2,0C p ，若17AB =，则OCF △的面积为___________.【答案】32【解析】抛物线22(0)x py p =>焦点(0,)2p F ，而直线l 过点(2,0)C p ，则直线l 的斜率为14k =-，其方程为124p y x -=-，即42x y p =-+，由2422x y px py=-+⎧⎨=⎩消去x 得228920y py p -+=，显然0∆>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1298py y +=，而17AB =，由抛物线定义知，1217||||()()17228p p p AB AF BF y y =+=+++==，解得8p =，即(0,4)F ，()16,0C ，而90FOC ∠= ，于是得1||||322OCF S OC OF =⋅⋅= ，所以OCF △的面积为32.故答案为：322．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知椭圆C ：2214x y +=.（1）椭圆C 是否存在以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦？若存在，求出弦所在的直线l 的方程，若不存在，请说明理由；（2）已知椭圆C 的左､右顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆C 上的点，若直线AP ，BP 分别与直线3y =交于G ，H 两点，求线段GH 的长度取得最小值时直线GP 的斜率.【解析】（1）因为22(1)111422-⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 的内部，则椭圆C 存在以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦.设弦所在的直线l 与椭圆C 相交于()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得22222121044x x y y -+-=，即()()()()2121212104x x x x y y y y -++-+=.又122x x +=-，121y y +=，()()2121(2)104x x y y --∴+-⨯=，整理得212112y y x x -=-.所以直线l 的方程为11(1)22y x =+-，即220x y -+=.（2）因为A ，P ，G 三点共线所以可知当线段GH 的长度取得最小值时，直线AP 的斜率k 显然存在，且0k >，()2,0A -，设直线AP 的方程为(2)y k x =+，从而点32,3G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.联立22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 整理得()222214161640k x k x k +++-=，0∆>设点()00,P x y ，则202164(2)14k x k--⋅=+.所以2022814k x k -=+，从而02414k y k =+，所以222284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.又点()2,0B ，则直线PB 的斜率为14k-.由1(2)43y x k y ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，得1223x k y =-+⎧⎨=⎩，所以(122,3)H k -+.故332122124GH k k k k=-+-=+-.又0k >，则31212k k +≥=，当且仅当312k k =，即12k =时等号成立所以当12k =时，线段GH 的长度取得最小值.所以此时直线GP 的斜率为12.1．（2021山师大附中高三模拟）“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0n <时，方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的双曲线；当0n >时，221x ny +=可化为2211y x n+=，因为椭圆的焦点在x 轴上，所以11n>即1n >，故方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线时，0n <或1n >，故“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件，故选：A.2．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知抛物线2y =的准线与双曲线()22210x y a a-=>相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则实数a 的值为（）A ．19B ．29C ．13D．3【答案】D【解析】2y =的准线x =，焦点)，不妨设A点坐标2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，FAB 为直角三角形，∠AFB ＝90°，由对称性可知，FAB 为等腰直角三角形，由直角三角形的性质得a a=，解得23a =.故选：D 3．已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F 、2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF =（）A ．1B ．1或9C ．3或9D ．9【答案】D【解析】由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点P 在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =，故选：D.4．（2021·山东省淄博市实验中学高三模拟）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2>a 1c 2.④1212c c a a <其中正确式子的序号是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B【解析】由图可得1212,a a c c >>，所以1122a c a c +>+，即①错误；因为1122,a c PF a c PF -=-=，所以1122a c a c -=-，即②正确，由1122a c a c -=-，得1221a c a c +=+，即22221212212122a c a c a c a c ++=++，即22221112222122a c a c a c a c -+=-+,即221221122()0b b a c a c -=->，可得2112a c a c >，即③正确，由2112a c a c >，可得1212c c a a >，即④错误；综上所述选项B 正确.故选:B.5．（2021·湖南长沙雅礼中学高三模拟）P 为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）上一点，1F ，2F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点.若OP b =，且2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，则C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】B【解析】由2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，以及正弦定理可得213PF PF =，因为122PF PF a -=，所以13PF a =，2PF a =，因为2OF c =，OP b =，所以22OPF π∠=，所以2cos a OF P cÐ=，在12F F P 中，()()22212223cos cos 22a c a a F F P OF P a cc+-Ð==Ð=×.化简可得c =，所以C的离心率==ce a.故选：B 6．设1F ，2F 为椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，1F ，2F 分别为左､右焦点，1C 与2C 在第一象限的交点为M .若12MF F △是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率72,2e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆1C 离心率的取值范围是（）A ．45,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．70,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．27,516⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】设椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴长为2a '，焦点为2c ，2122MF F F c ==，则1MF =2222a c a c '+=-，又c e a ='，所以c a e '=，即242c c a e +=，又7[2,2e ∈，所以椭圆的离心率为127,15162c e a e⎡⎤'==∈⎢⎥⎣⎦+．故选：C ．7．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知曲线C 的方程为()22113x y m R m m+=∈+-，则（）A ．当1m =时，曲线C 为圆B ．当5m =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为33y x =±C ．当1m >时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆D ．存在实数m 使得曲线C【答案】AB【解析】对于A 选项：m =1时，方程为22122x y +=，即222x y +=，曲线C 是圆，A 正确；对于B 选项：m =5时，方程为22162x y -=，曲线C为双曲线，其渐近线方程为3y x =±，B 正确；对于C 选项：m >1时，不妨令m =5，由选项B 知，曲线C 为双曲线，C 不正确；对于D 选项：要曲线C 为双曲线，必有(1)(3)0m m +-<，即m <-1或m >3，m <-1时，曲线C ：2213(1)y x m m -=--+，m >3时，曲线C ：22113x y m m -=+-，时，它实半轴长与虚半轴长相等，而-(m +1)≠3-m ，m +1≠m -3，D 不正确.故选：AB11．（2021·湖南雅礼中学高三模拟）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，过F 的直线与C 分别交于()1122(),,A x y B x y ，两点，则（）A ．12y y 为定值B ．AOB ∠可能为直角C ．以BF 为直径的圆与y 轴有两个交点D ．对于确定的直线AB ，在C 的准线上存在三个不同的点P ，使得ABP △为直角三角形【答案】AD【解析】设:1AB l x ty =+，与24y x =联立可得：2124404y ty y y --==-，，故A 对；因为221212116y y x x ==，所以12121OA OBy y k k x x ⋅=≠-，∴2AOB π∠≠，故B 错；设BF 的中点11111,,2222BF x y x M ++⎛⎫=⎪⎝⎭，则以BF 为直径的圆与y 轴相切，故C 错；设AB 的中点1212,22x x y y N ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 到C 准线的距离为当1212x x ++，因为12122AB x x +=+故有以AB 为直径的圆与C 的准线相切，对于确定的直线AB ，当P ∠为直角，此时P 为切点；当A ∠或B Ð为直角，此时P 为过A （或B ）的AB 的垂线与准线的交点，故D 正确．故选：AD12．已知双曲线22:139x y C -=的左､右顶点分别为A ，B ，点P 是C 上的任意一点，则（）A ．双曲线C 的离心率为233B ．焦点到渐近线的距离为3C ．点P 到两条渐近线的距离之积为94D ．当P 与A ､B 不重合时，直线PA ，PB 的斜率之积为3【答案】BCD【解析】对于A ，,3a b c ===2e ==，故A 错误；对于B ，双曲线的右焦点2F 到渐近线y x ==的距离为3d ==，故B 正确；对于C ，设()00,P x y ，满足2200139x y -=，即220039x y -=，则点P到两条渐近线的距离之积为2200123944x y d d -⋅==，故C 正确；对于D ，设()00,P x y ，由C 得2239x y -=，PAPB k k ==2200220039333PA PB y x k k x x -⋅===--，故D 正确；故选：BCD13．（2021·湖北襄阳五中高三模拟）已知椭圆G：2221(06x y b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②OP 的最小值为2；③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，其中，所有正确命题的序号是__________．【答案】①②【解析】椭圆(222:106x y G b b+=<<的两个焦点分别为)1F和()2F ，短轴的两个端点分别为()10,B b -和()20,B b ，设(),P x y ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，由椭圆定义可得，1222PB PB a b +==，即有P 在椭圆222166y x b+=-上，对于①，将x 换为x -方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称，故①正确.；对于②，由图象可得，当P 满足22x y =，即有226b b -=，即b =时，OP 取得最小值，可得222x y ==时，即有2OP ==取得最小值为2，故②正确；对于③，由图象可得轨迹关于,x y 轴对称，且0b <<，则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 有2个，故③不正确.，故答案为①②.14．（2021·山东滕州一中高三模拟）某中学张燕同学不仅学习认真，而且酷爱体育运动，经过艰苦的训练，终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩．已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线（人的身高不计，铅球看成一个质点），如图所示，设初速度为定值0v ，且与水平方向所成角为变量θ，已知张燕投铅球的最远距离为10m ．当她投得最远距离时，铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为____m ．（空气阻力不计，重力加速度为210m /s ）【答案】5【解析】设铅球运动时间为0t ，t 时刻的水平方向位移为x ，则0cos x v t θ=．由001sin 02v gt θ-=知002sin v t g θ=20sin 2v x g θ∴=故当4x π=时，20max 10v x g==，210m /s g =∴解得：0t =，010m /sv =201 2.5m22t h g ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭如图建立平面直角坐标系，(5, 2.5)P --，设抛物线方程为22x py=-则抛物线的焦点到准线的距离22(5)5m 22 2.5x p y -===-⨯故答案为：515．（2021·山东枣庄一中高三模拟）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，O为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，213PF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为________；渐近线方程为________.【答案】22y x =±【解析】由213PF PF =，122PF PF a -=，解得13PF a =，2PF a =，由题意可得四边形12PF MF 为平行四边形，又260MF N ∠=︒，可得1260F PF ∠=︒，在12PF F △中，可得()22224323cos 607c a a a a a =+-⋅⋅⋅︒=，即有2c a =，则2c e a ==，所以2b a ===，则渐近线方程为2y x =±.故答案为：72；32y x =±.16.（2021•南充模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，点15(1,)3P --在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为一1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得11||||F M F N =？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解析】（1）由题意得，2c =，2211519a b +=，222a b c =+，解得：26a =，22b =，所以椭圆的标准方程：22162x y +=；（2）假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程：y x t =-+，设(,)M x y ，(,)N x y ''与椭圆联立整理：2246360x tx t -+-=，△223644(36)0t t =-->，t -<<，32t x x '+=，2364t xx -'=，由于11||||F M F N =，设线段MN 的中点为E ，则1F E MN ⊥，所以111F E MN k k =-=又3(4t E ，)3t ，所以141324F E tk t ==+，解得4t =-，当4t =-时，不满足t -<<，所以不存在满足条件的直线l ．17．（2021·湖南高三模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为72，双曲线上的点到焦点的最小距离为2.（1）求双曲线C 的方程；（2）四边形MNPQ 的四个顶点均在双曲线C 上，且//MQ NP ，MQ x ⊥轴，若直线MN 和直线QP 交于点()4,0S ，四边形MNPQ 的对角线交于点D ，求点D 到双曲线C 的渐近线的距离之和.【解析】（1）由题意，22222c a c a a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，23b =，所以双曲线C 的方程为22143x y -=；（2）由MQ x ⊥轴，//MQ NP ，可知四边形MNPQ 为等腰梯形，且关于x 轴对称，故四边形MNPQ 的对角线的交点D 在x轴上，如图所示：设点(,0)D t ，则对角线MP 的方程为(0)x my t m =+≠，设1122(,),(,)M x y P x y ，由对称性知1122(,),(,)Q x y N x y --，联立22143x y x my t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得222(34)63120m y mty t -++-=，所以22222(6)4(34)(312)48(34)0mt m t m t ∆=---=-+>，即2234m t +>，由韦达定理得21212226312,3434mt t y y y y m m --+==--，由,,M N S 三点共线知MS NS k k =，即121244y y x x -=--，所以1221(4)(4)0y my t y my t +-++-=，整理得12122(4)()0my y t y y +-+=，所以222(312)(4)(6)034m t t mt m -+--=-，所以224(1)034m t m -=-，即24(1)0,1m t t -==，所以直线MP 过定点()1,0，即D ()1,0，因为双曲线C 20y ±=20y -=时，由点到直线距离公式得217d ==，由对称性知点D 到双曲线C 的渐近线的距离之和为2217.。

圆锥曲线与方程抛物线的标准方程

圆锥曲线与方程抛物线的标准方程xx年xx月xx日contents •圆锥曲线的概述•圆锥曲线的标准方程•圆锥曲线的性质•圆锥曲线与方程的关系•抛物线的几何性质与方程•应用实例与总结目录01圆锥曲线的概述圆锥曲线是平面内一个动点与一个定点和一条直线的距离之比为常数的点的轨迹定点称为焦点，直线称为准线圆锥曲线的定义当比值小于1时，动点的轨迹为椭圆圆锥曲线的分类椭圆当比值为1时，动点的轨迹为抛物线抛物线当比值大于1时，动点的轨迹为双曲线双曲线1圆锥曲线的应用23圆锥曲线可以用来描述光的传播路径和聚焦光学圆锥曲线在机械工程和电子工程中有广泛应用，如设计桥梁、飞机等工程圆锥曲线在描述天体的运动中有重要应用，如行星的运动轨迹等天文02圆锥曲线的标准方程椭圆的标准方程中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$中心在原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$抛物线的标准方程焦点在x轴正半轴，开口向右的抛物线的标准方程为：$y^{2} = 2px$焦点在y轴正半轴，开口向上的抛物线的标准方程为：$x^{2} = 2py$焦点在x轴正半轴，开口向左的抛物线的标准方程为：$y^{2} = - 2px$焦点在y轴正半轴，开口向下的抛物线的标准方程为：$x^{2} = - 2py$$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为双曲线的标准方程在不同的坐标系下，圆锥曲线和方程的表达形式可能不同在建立圆锥曲线的标准方程前，需要先确定使用的坐标系坐标系的选择03圆锥曲线的性质03抛物线形状为开口向一侧的曲线，对称轴为开口方向，焦点在轴上。

圆锥曲线与方程知识点总结

圆锥曲线与方程知识点总结圆锥曲线是一种二维的曲线，它的形状类似于圆锥。

圆锥曲线的方程通常用参数方程的形式表示，其中包含两个参数t和k。

t是曲线上的点的横坐标，k是圆锥曲线的焦点到顶点的距离。

圆锥曲线的一般形式方程为：x = k * t * cos(t)y = k * t * sin(t)其中t是参数，k是圆锥曲线的焦点到顶点的距离。

圆锥曲线的特殊形式有：圆锥曲线的标准形式方程：x = ty = k * t^2圆锥曲线的极坐标形式方程：x = k * cos(t)y = k * sin(t)圆锥曲线的泊松形式方程：x = k * cosh(t)y = k * sinh(t)圆锥曲线的双曲线形式方程：x = k * cosh(t)y = k * sinh(t)圆锥曲线的性质：圆锥曲线是闭合的，即曲线的起点和终点重合。

圆锥曲线是对称的，即关于y轴对称。

圆锥曲线的顶点在y轴上。

圆锥曲线的焦点在x轴上。

圆锥曲线的焦点到顶点的距离称为焦距。

圆锥曲线的形状取决于焦距的大小。

当焦距大于0时，圆锥曲线的形状类似于圆锥，称为双曲圆锥曲线。

当焦距等于0时，圆锥曲线的形状类似于椭圆，称为椭圆圆锥曲线。

当焦距小于0时，圆锥曲线的形状类似于倒圆锥，称为凹圆锥曲线。

圆锥曲线的应用：圆锥曲线常用于几何图形的绘制，如圆锥体、圆柱体、圆台体等。

圆锥曲线还可以用于机械设计、建筑设计等领域。

总结：圆锥曲线是一种二维的曲线，其形状类似于圆锥，可以用参数方程、标准形式方程、极坐标形式方程、泊松形式方程和双曲线形式方程来表示。

圆锥曲线有若干性质，如闭合、对称、顶点在y轴上、焦点在x轴上等，并且其形状取决于焦距的大小。

圆锥曲线常用于几何图形的绘制，并在机械设计、建筑设计等领域得到广泛应用。

圆锥曲线与方程PPT教学课件 (2)

常数（小于
F
1
F
）的点的轨迹叫做双曲线，两个定
2
点 F 1 ，F 2 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫
做双曲线的焦距。
双曲线形成演示
双曲线的定义性
质.gsp
可以用数学表达式来体现:
设平面内的动点为M,有 M F1M F2 2a
（0<2a< F1 F 2 的常数）
2020/12/10
拉链画双曲线7.gsp
纸片，折痕为 CD ，设 CD 与 OM 交于 P ，则点 P 的轨迹是
（A ）
D M
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
OLeabharlann CF为20什20/1么2/10.gsp
11
例3．一动圆过定点A(-4,0) ，且与定圆 B：（x-4）2+y2=16相外切，则动圆的圆心轨迹为（双曲线右支）
思考：平面内到两个定点Ｆ１，Ｆ２的距离的差的等于常数
(小于F1F2)的点的轨迹是什么？
• 是双曲线的一支。问题２：怎样确定是哪一支？
看ＰＦ１和ＰＦ２谁大，偏向小的一边。
2020/12/10
8
抛物线的定义 :
平面内到一个定点F和一条定直线L（F不在L 上）的距离相等的点轨迹叫做抛物线，定点F叫做
圆锥曲线与方程
§2.1圆锥曲线
2020/12/10
1
用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面
的顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个圆当．改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变化情况，并思考： ● 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？

圆锥曲线与方程抛物线的标准方程

选择参数
选择适当的参数，如角度、长度等，用于表示圆锥曲线上的点。
建立方程
根据圆锥曲线的条件和参数，建立表示该圆锥曲线的方程。
解方程
通过调整参数的值，解方程以获得圆锥曲线上点的坐标。
使用几何法求解圆锥曲线与方程
分析图形
根据圆锥曲线的几何形状和性质，选择适当的几何方法来求解方程。
建立方程
圆锥曲线与方程的未来研究方向展望
复杂系统的研究
随着科学技术的发展，对复杂系统的研究越来越受到关注。圆锥曲线和方程作为描述复杂系统的有力工具，未来将在复杂系统研究中发挥重要作用。
高维空间的研究
目前对圆锥曲线和方程的研究主要集中在低维空间，未来将进一步拓展到高维空间，研究高维空间中的圆锥曲线和方程的性质和应用。
圆锥曲线与方程的
04
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求解方法
使用坐标法求解圆锥曲线与方程
01
02
03
定义坐标系
选择合适的坐标系，通常为直角坐标系或极坐标系。
建立方程
根据圆锥曲线的性质和条件，建立表示该圆锥曲线的方程。
解方程
利用数学工具，如解析几何软件或编程语言，解方程以获得圆锥曲线上点的坐标。
使用参数法求解圆锥曲线与方程
抛物线的标准方程
02
与性质
抛物线的标准方程
定义
一般形式为 y^2 = 2px，其中p>0
特点
对称轴是一条垂直于x轴的直线，顶点为(0,0)，焦点在x轴上
抛物线的性质
01
02
03
04
开口方向
开口朝右，可以用焦点和准线来确定
顶点位置
顶点位于坐标原点，可以通过焦点和准线来确定其位置

圆锥曲线与方程知识点详细

圆锥曲线与方程知识点详细圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。

它们在数学、物理等领域都有着广泛的应用。

接下来，让我们详细了解一下圆锥曲线与方程的相关知识点。

一、椭圆1、定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

2、标准方程焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为椭圆的长半轴长，＄b$为椭圆的短半轴长，＄c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＄为半焦距。

焦点在$y$轴上：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。

3、椭圆的性质（1）范围：对于焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。

（2）对称性：椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。

（3）顶点：焦点在$x$轴上的椭圆的顶点为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆的顶点为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。

（4）离心率：＄e ＝＼frac{c}｛a}＄（＄0 ＜ e ＜ 1$），离心率反映了椭圆的扁平程度，＄e$越接近$0$，椭圆越圆；＄e$越接近$1$，椭圆越扁。

二、双曲线1、定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

2、标准方程焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$，其中$a ＞ 0$，＄b ＞ 0$，＄c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。

圆锥曲线与方程知识点详细

椭圆1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 。

3、椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。

③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。

a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

学圆锥曲线与方程曲线与方程

拓展应用领域
将圆锥曲线与方程的知识应用到更多领域，如物理学、工程学等。
发展教育学科
将圆锥曲线与方程的内容加入到教育学科中，培养更多对此领域感兴趣的学生。
THANK YOU
05
圆锥曲线与方程的难点与易错点
圆锥曲线与方程的难点
01
圆锥曲线的形状和性质
圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等，它们的形状和性质各不相
同，需要仔细理解和掌握。
02
圆锥曲线与方程的转化
将圆锥曲线的形状和性质用数学方程表达，以及将方程与图形相结合，
需要较强的数学能力和思维能力。
03
复杂图形的分解
广泛的应用。
工程设计
抛物线在工程设计中也有重要的应用，例如建筑设计、桥梁设计
等。
04
圆锥曲线与方程的关系
圆锥曲线与方程的转化
圆
通过极坐标与直角坐标的转换，可将圆的一般方程化为极坐标方程。
双曲线
双曲线的参数方程可以表示为关于参数t的等式，通过消去参数t即可得到普通方程。
直线
当圆锥曲线中的变量取值为0 时，即可得到直线方程。
02
圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。
圆锥曲线的分类
椭圆
当焦点在x轴上时，标准方程为： x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
(a>b>0)，其中a为长轴半径，b 为短轴半径。
双曲线
当焦点在x轴上时，标准方程为： x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a>0, b>0)，其中a为实轴半径，b为虚轴半径。
03
圆锥曲线的应用
椭圆的应用
01
02
03

高考数学圆锥曲线的方程与性质专题

高考数学圆锥曲线的方程与性质专题The document was finally revised on 2021高考数学复习专题：圆锥曲线的方程与性质【一】基础知识名称椭圆双曲线抛物线定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|) ||PF 1|－|PF 2|| ＝2a (2a ＜|F 1F 2|) |PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l于M 标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2＝2px (p ＞0)图形几何性质范围 |x |≤a ，|y |≤b |x |≥a x ≥0 顶点 (±a,0)(0，±b )(±a,0)(0,0)对称性关于x 轴，y 轴和原点对称关于x 轴对称焦点 (±c,0)(p2，0) 轴长轴长2a ，短轴长2b实轴长2a ，虚轴长2b离心率 e ＝c a ＝ 1－b 2a2 (0＜e ＜1)e ＝c a ＝ 1＋b 2a2(e ＞1) e ＝1 准线x ＝－p 2渐近线y ＝±b ax【二】高考真题1． (2013·课标全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( c )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x2． (2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( c ) A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x3． (2013·山东)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于(d )4． (2013·福建)椭圆Г：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于3－15． (2013·浙江)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于 ±1．【三】题型和方法题型一圆锥曲线的定义与标准方程例1 (1)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为 __________．(2)已知P 为椭圆x 24＋y 2＝1和双曲线x 2－y 22＝1的一个交点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，那么∠F 1PF 2的余弦值为________．变式训练1 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点F 1，F 2，M 为双曲线上一点，且满足∠F 1MF 2＝90°，点M 到x 轴的距离为72.若△F 1MF 2的面积为14，则双曲线的渐近线方程为__________．答案 y ＝±7x(2)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．答案 y 2＝±8x题型二圆锥曲线的性质例2 (1)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )B ．2 2C ．4D ．8(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( ) 或32 或2或2或32变式训练2 (1)已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A ，B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e 为( ) A ．2B ．3答案 C(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5答案 B题型三直线与圆锥曲线的位置关系例3 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程．(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．变式训练3 已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．【例4 (14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．【四】能力训练1． (2013·四川)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )C ．1 2． (2013·湖北)已知0＜θ<π4 ，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等3．已知方程x 22－k ＋y22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．⎝⎛⎭⎫12，14． (2013·江西)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.5． (2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为______．6． (2013·辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.专题模拟训练一、选择题1． (2013·广东)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( ) －y25＝1－y 25＝1 －y25＝1－y 25＝12．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为( )C ．2D ．34．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( ) B ．210D ．2 55．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( ) A ．2±3 B ．2＋ 3 ±1－16． (2013·浙江)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )7．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( ) －y24＝1 －y 25＝1 －y 26＝1－y 23＝1 8． (2012·安徽)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )D ．2 2二、填空题9．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.10．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.11．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．12．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE交双曲线的右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．三、解答题13．(2012·安徽)如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°. (1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．14．(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．。

专题15 利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题综合训练

专题15利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题综合练1．已知直线l 与椭圆22142x y +=交于M ，N 两点，当OM ON k k ⋅=______，MON △面积最大，并且最大值为______.记1122(,),(,)M x y N x y ，当MON △面积最大时，2212x x +=_____﹐2212y y +=_______.Р是椭圆上一点，OP OM ON λμ=+，当MON △面积最大时，22λμ+=______.2．过椭圆22143x y +=的右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则AOB 面积最大值为_______.3．已知A ，B ，C 分别是椭圆22143x y +=上的三个动点，则ABC 面积最大值为_____________. 4．已知椭圆22:12x C y +=左顶点为A ，,P Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO交AP 于D ，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k 且1212k k =−，,AD DF AE EQ λμ== （,λμ是非零实数），求22λμ+=______________.5．已知椭圆C ：2214x y +=，A ，B 是椭圆C 上两点，且关于点132M ⎛ ⎝⎭对称，P 是椭圆C 外一点，满足PA ，PB 的中点均在椭圆C 上，则点P 的坐标是___________.6．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，12F F 、分别为椭圆左右焦点，过12F F 、作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于M N P Q 、、、四点，若当两条弦垂直于x 轴时，点M N P Q 、、、所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为______________. 7．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.8．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =−+与椭圆E 有且只有一个公共点T ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．9．12,F F 分别是椭圆于2214xy +=的左、右焦点.(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的取值范围；(2)设()()2,0,0,1A B 是它的两个顶点，直线(0)y kx k =≥与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点.求四边形AEBF 面积的最大值.10．已知圆1F ：22(1)16x y ++=，定点2(1,0)F ，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点．（1）求P 点的轨迹C 的方程；（2）四边形EFGH 的四个顶点都在曲线C 上，且对角线EG 、FH 过原点O ，若34EG FH k k ⋅=−，求证：四边形EFGH 的面积为定值，并求出此定值．专题15利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题综合练1．已知直线l 与椭圆22142x y +=交于M ，N 两点，当OM ON k k ⋅=______，MON △面积最大，并且最大值为______.记1122(,),(,)M x y N x y ，当MON △面积最大时，2212x x +=_____﹐2212y y +=_______.Р是椭圆上一点，OP OM ON λμ=+，当MON △面积最大时，22λμ+=______.2．过椭圆22143x y +=的右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则AOB 面积最大值为_______.3．已知A ，B ，C 分别是椭圆22143x y +=上的三个动点，则ABC 面积最大值为_____________. 4．已知椭圆22:12x C y +=左顶点为A ，,P Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO交AP 于D ，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k 且1212k k =−，,AD DF AE EQ λμ== （,λμ是非零实数），求22λμ+=______________.5．已知椭圆C ：2214x y +=，A ，B 是椭圆C 上两点，且关于点12M ⎛ ⎝⎭对称，P 是椭圆C 外一点，满足PA ，PB 的中点均在椭圆C 上，则点P 的坐标是___________.6．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，12F F 、分别为椭圆左右焦点，过12F F 、作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于M N P Q 、、、四点，若当两条弦垂直于x 轴时，点M N P Q 、、、所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为______________.7．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.8．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =−+与椭圆E 有且只有一个公共点T ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．9．12,F F 分别是椭圆于2214xy +=的左、右焦点.(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的取值范围；(2)设()()2,0,0,1A B 是它的两个顶点，直线(0)y kx k =≥与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点.求四边形AEBF 面积的最大值.10．已知圆1F ：22(1)16x y ++=，定点2(1,0)F ，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点．（1）求P 点的轨迹C 的方程；（2）四边形EFGH 的四个顶点都在曲线C 上，且对角线EG 、FH 过原点O ，若34EG FH k k ⋅=−，求证：四边形EFGH 的面积为定值，并求出此定值．参考答案：1． 12−4 2 1【分析】作伸缩变换，将椭圆变为圆，根据三角形面积公式求得当OM ON '⊥'时，1sin 2M ON S OM ON M ON ''=''''△∠最大，进而依次计算可得.【详解】作变换''x xy =⎧⎪⎨=⎪⎩此时椭圆变为圆，方程为224x y '+'=，当OM ON '⊥'时，1sin 2M ON S OM ON M ON ''=''''△∠最大，并且最大为21222⨯=，此时1122OM ON OM ON OM ON k k k k ''''⎫⎫⋅=⋅=⋅=−⎪⎪⎭⎭，MON M ON S ''=△△ 由于OM ON '⊥'，1212'''',''x y OM ON y x =⎧=∴⎨=⎩， ∴2222221212114x x x x x y +='+'='+'=，22222222122212222y y x y y y '+''+'+=+===，因为OP OM ON λμ=+，所以222222OP OM ON OM ON λμλμ=++⋅ ()222244,1λμλμ∴=+∴+=.故答案为：12−4；2；1.2．32##1.5【分析】利用仿射变换，将椭圆变换为圆，利用圆的性质求出A OB ''△面积的最大值，从而可求出AOB 面积最大值【详解】作变换2x x y y =⎧''⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y ''+=，()1,0F '，由于1OF '=<=，因此AB OF '''⊥时面积最大，此时11122A OB S OF A B'''''=⋅⋅=⨯⨯=△ 那么322AOB A OB S S ''==△△，故答案为：323．92##4.5【分析】作变换''x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=，A B C '''是圆的内接三角形，圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，则ABC A B C S bS a'''=，求出A B C S '''，代入即可得出答案.【详解】作变换'''x x y y y =⎧⎪⎨==⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=， A B C '''是圆的内接三角形，设A B C '''的半径为R ，设,,A B C '''所对应边长为,,a b c '''，所以 211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22A B C Sa b C R A R B C R A B C ''''''''''==⋅⋅⋅=⋅⋅'' 32sin sin sin 23A B C R ++⎛⎫≤ ⎝''⎪⎭'，当且仅当3A B C π===时取等，因为sin y x =在()0,π上为凸函数，则sin sin sin sin 33A B C A B C ''''+'+≤'++，3332222sin sin sin 22sin 2sin 333A B C A B C A B C SR R R π'''++++⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=≤==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''，当且仅当3A B Cπ===时取等，所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此24A B C S '''===，又因为ABC A B C S bS a'''=，∴3922ABC A B C b SS a '''===. 故答案为：92.4．1【分析】设()()1100,,,P x y D x y ，由AD DP λ=以及111020,y kx y k x ==解出11111x y ==，代入椭圆方程求出2λ；同理可得2μ；进而求出22λμ+的值．【详解】解法1：可得点()A ，设()()1100,,,P x y D x y ，则111020,y k x y k x ==，由AD DP λ=可得()()010010,x x x y y y λλ=−=−，即有0101x y y λλ+==， 111k x y =，0202111y k x k x λλλλ⎛++∴== ⎝⎭，两边同乘以1k，可得211121112k x k k x x λλ⎛⎫⎛⎫=−=−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得11111x y ==，将()11,P x y 代入椭圆方程可得221112k λ=+，由AE EQ μ=可得22221121212k k k μ==++，可得221λμ+=；故答案为：1．解法2：作变换''x xy =⎧⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为222x y '+'=，))21QP OQ OP OQ OP OQ k k k k OP OQ ''⋅=⋅=⋅=−⇒'⊥'，设,P A O Q A O αβ∠''=∠''=，则124P A Q P A Q παβ+=∠'''=∠'''=，,,2cos ,2cos cos cos R RD PE Q A P R A Q R αβαβ''=''=''=''=，∴22cos 1cos 2AD A D A P D P DP D P D P λαα''''−''====−=''''， 22cos 1cos 2AE A E A Q E Q EQ E Q E Q μββ''''−''====−=''''，∴22222222cos 2cos cos 2cos 2cos 2sin 212πλμαβαααα⎛⎫+=+=+−=+= ⎪⎝⎭.故答案为：1．5．124⎛− ⎝⎭或124⎛− ⎝⎭. 【解析】先利用点差法可求出直线AB的斜率为6−，即可得出直线方程，代入椭圆方程可求出A ，B 坐标，设出点P ，则可表示出P A ，PB 中点坐标，代入椭圆方程即可求出点P 坐标.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ， A ，B 是椭圆C 上两点，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()1212121204x x x x y y y y +−++−=，1,24M ⎛⎝⎭是AB 中点，则)121204x x y y −−=，即1212y y x x−=−，故直线AB斜率为AB 方程为12y x⎫=−⎪⎝⎭，即y x =+，将直线方程代入椭圆得220x x −−=，解得121,2x x =−=，则可得(),2,0A B ⎛− ⎝⎭，设(),P m n ，则P A 中点为12,24m n ⎛− ⎝⎭，PB 中点为2,22m n +⎛⎫⎪⎝⎭，PA ，PB 的中点均在椭圆C 上，则()(()22222111616+21164n m m n ⎧−⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，P ∴的坐标为⎝⎭或⎝⎭.故答案为：⎝⎭或⎝⎭. 【点睛】本题考查中点弦问题，解题的关键是先利用点差法求出直线斜率，进而求出A ,B 坐标，再结合题意求解. 6．02⎛ ⎝⎦，【分析】利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时M N P Q 、、、四点分别变换为M N P Q ''''、、、四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，M N P Q ''''、、、四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与x 轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点12F F 、，当1OF 为多少时，能使得过12F F 、的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻，与圆的四个交点所形成的面积最大.【详解】作仿射变换，令,ax x y y b''==，可得仿射坐标系x O y '''，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222x y a ''+=，点12F F 、坐标分别为(,0)(,0)c c −、，过12F F 、作两条平行的弦分别与圆交于M N P Q ''''、、、四点.由平行四边形性质易知，三角形O P Q '''的面积为M N P Q ''''、、、四点所形成的平行四边形面积的14，故只需令三角形O P Q '''面积的最大值在弦P Q ''与x 轴垂直时取到即可.当c ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，三角形O P Q '''面积的最大值在弦P Q ''与x 轴垂直时取到.故此题离心率的取值范围为02⎛ ⎝⎦，.故答案为：02⎛ ⎝⎦，. 7．(1)2214x y +=；2；(2)证明见解析.【分析】(1)由顶点可求a 和b ，由c =c ，则椭圆C 的方程可求，离心率为c e a=可求；(2)设0(P x ，0)y ，求出PA 、PB 所在直线方程，得到M ，N 的坐标，求得||AN ，||BM ．由1||||2ABNM S AN BM =⋅⋅，结合P 在椭圆上求得四边形ABNM 的面积为定值．（1）由题可知2a =，1b =，则c =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率为e =（2）设0(P x ，0)y ，则02PA y k x =−，PA 所在直线方程为00(2)2y y x x =−−，取0x =，得0022M y y x =−−； 001PB y k x −=，PB 所在直线方程为0011y y x x −=+，取0y =，得01N x x y =−． 0000022||2211N x y x AN x y y −−∴=−=−=−−，00000222||1122M y x y BM y x x +−=−=+=−−． ∴000000222211||||2212ABNM y x x y S AN BM y x −−+−=⋅⋅=⋅⋅−− ()()()()()2222000000000000000000000022242444484111212222222x y x y x y x x y y x y y x x y x y x y x y +−+−++++−−+=−⨯=⨯=⨯−−+−−+−−()0000000042211422222x y x y x y x y +−−=⨯=⨯=+−−． ∴四边形ABNM 的面积为定值2．【点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关； (2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.8．（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=.【详解】试题分析：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.第（Ⅰ）问，利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去y 得关于x 的方程有两个相等的实数根，解出b 的值，从而得到椭圆E 的方程；第（Ⅱ）问，利用椭圆的几何性质，数形结合，根据根与系数的关系，进行求解.试题解析：（Ⅰ）由已知，a =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.由方程组得22312(182)0x x b −+−=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆−，由=0∆，得2=3b ，此时方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=. 点T 坐标为（2,1）.（Ⅱ）由已知可设直线l '的方程为1(0)2y x m m =+≠，由方程组1{23y x m y x =+=−+，，可得223{21.3m x m y =−=+，所以P 点坐标为（222,133m m −+），2289PT m =. 设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ，. 由方程组22163{12x y y x m +==+，，可得2234(412)0x mx m ++−=.② 方程②的判别式为2=16(92)m ∆−，由>0∆，解得22m −<<. 由②得212124412=,33m m x x x x −+−=.所以123m PA x =−−，同理223m PB x =−−，所以12522(2)(2)433m m PA PB x x ⋅=−−−− 21212522(2)(2)()433m m x x x x =−−−++ 225224412(2)(2)()43333m m m m −=−−−−+ 2109m =. 故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 【考点】椭圆的标准方程及其几何性质【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212,x x x x +，再把MA MB ⋅用12,x x 表示出来，并代入1212,x x x x +的值，这种方法是解析几何中的“设而不求”法，可减少计算量，简化解题过程．9．(1)[]2,1−(2)【分析】（1）由题意可知1F 、2F 的坐标，设(,)P x y ，表示出1PF ，2PF ，代入向量的数量积可得2121(38)4PF PF x ⋅=−，由二次函数的性质计算可得.（2）设11),(E x kx ，22),(F x kx ，联立直线与椭圆方程消去y 整理可得22(14)4k x +=，解方程可求1x ，2x ，根据点到直线的距离公式可求，点E ，F 到直线AB 的距离1h ，2h ，代入四边形AEBF 的面积为121||()2S AB h h =+，结合基本不等式可求面积的最大值.(1)解：由题意可知2a =，1b =，2c a =−∴1(F ，2F ，设(,)P x y ，∴1(3,)PF x y =−−，2(3,)PF x y =−，∴2212(,),)3PF PF x y x y x y ⋅=−−⋅−=+−222113(38)44x x x =+−−=− 由椭圆的性质可知，22x −≤≤204x ∴≤≤，∴238214x −−≤≤，故1221PF PF −≤⋅≤，即[]122,1PF PF ⋅∈−. (2)解：设11),(E x kx ，22),(F x kx ，联立2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理可得22(14)4k x +=，∴1x =2x(2,0)A ，(0,1)B ，∴直线AB 的方程为：220x y +−=，根据点到直线的距离公式可知，点E ，F 到直线AB 的距离分别为1h =2h ∴12h h +||AB ∴∴四边形AEBF 的面积为1211||()22S AB h h =+==221=，当且仅当14k k =即12k =时，上式取等号，所以S 的最大值为.10．（1）22143x y +=；（2）证明详见解析，定值为【分析】（1）利用椭圆的定义即可得到P 点的轨迹C 的方程；（2）不妨设点E 、H 位于x 轴的上方，则直线EH 的斜率存在，设EH 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，求出四边形EFGH 的面积，即可证明结论. 【详解】（1）因为P 在线段2F A 的中垂线上，所以2PF PA =．所以2112124PF PF PA PF AF F F +=+==>，所以轨迹C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆，且1c =，2a =，所以b =故轨迹C 的方程22143x y +=．（2）不妨设点E 、H 位于x 轴的上方，则直线EH 的斜率存在，设EH 的方程为 y kx m =+，11(,)E x y ，22(,)H x y ．联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kmx m +++−=，则122834km x x k +=−+，212241234m x x k −=+．① 由121234EG FH y y k k x x ⋅==−，得221212121212()()()34kx m kx m k x x km x x m x x x x +++++==−．② 由①、②，得222430m k −−=．③设原点到直线EH的距离为d =，12|EH x x =−42EOH EFGH S S EH d ==⋅△四边形．④ 由③、④，得EFGH S =四边形，故四边形EFGH的面积为定值，且定值为【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系中的定值问题，此类问题一般要涉及根与系数的关系，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.。

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