20070402第七章单变量函数的寻优方法

2)函数f(x)在x*处是左减右增：对于a≤x1≤x2≤b有 当x2 ≤ x*时，f(x1)> f(x2) 当x2 ≥ x*时，f(x1)< f(x2)
则称f(x)在[a,b]上是下单峰函数
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搜索区间
定义２（搜索区间）设函数f(x)在区间［c,d]上有定义，设x* 为f(x)的极小点，若存在 a, b c, d ，使得
3 x13 x2 x 3.005 2 *
2 f x12 1
F31 2 (b1 a1 ) 6 4 F311 3

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Fibonacci法
#include "iostream.h" #include "math.h" class Fibonacci { private: float a,b,t1,t2,m; int F[50],n; public: Fibonacci(); /*构造函数*/ void Output(int n); void Run(); int Compare(float x,float y);~Fibonacci(); /*析构函数*/ }; Fibonacci::Fibonacci() { cout<<"请给出搜索区间a,b:\n"; cout<<"a="; cin>>a;
x1,x2是关于区间[0，1]对称点 若 f x1 f x2 ，极小点在[0,x2]上，x1为保留点
若 f x1 f x2 ，极小点在[x1,1]上，x2为保留点
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Fibonacci法
三、区间收缩率 区间收缩率=缩短后的区间长度/原区间长度 Fn / Fn1 Fn / Fn1 第一次：缩短率= 1
第七章单变量函数的寻优方法
§7.2
一、单峰函数与搜索区间
搜索区间
0 a
x*
(a)
x1 x2 b
x 0
a x 1 x2
x x* (b) b
0 a x1
x*
(c)
x2 b
x
定义1（下单峰函数）设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，满足
1)在[a,b]上f(x)有极小点x*:
xa ,b
min f x f x *
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“成功—失败法”(进退法)
{ y1=F(x);y2=F(x+h); if(y2<y1) /*如果搜索成功，则保存并加大步长*/ { x=x+h;h=2*h; y1=y2; } else /*搜索失败，回退，并步长减为1/4*/ { if(fabs(h)<step) /*如果达到精度要求，则退出搜索，然后输出*/ { flag=0; break; } else h=-1.0/4*h; } } printf("x=%f,y=%f\n",x,y1);/*输出结果*/ }
Fn 1 / Fn 1 Fn 1 / Fn 第二次：缩短率= Fn / Fn 1
……… 第n次：缩短率= F1 / F2 经过n次收缩，保留区间的总缩短率为：
Fn Fn 1 Fn 2 F2 F1 F1 1 n Fn 1 Fn Fn 1 F3 F2 Fn 1 Fn 1
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Fibonacci法
例3 设原区间L0=1，要求计算n次目标函数值后，使搜索 区间长 0.08 ，问n=？ 1 解：令
Ln
Fn 1
0.08
1 Fn 1 12 .5 0.08
由Fibonacci数列 F6=13
n=5
即需要进行5次函数值计算。
方法:先从某一个初始点x0出发，以h为初始步长，如果 f(x0)>f(x0+h),即沿x增加方向，f(x)下降，则搜索成功，否则 失败。 要点：成功则大步前进，失败则小步后退。 设从x0开始，以h为步长搜索一次，若成功，即f(x0)>f(x0+h), 下一次以x0+h为起点，以２h为步长，即大步前进。若从x0的第 一次搜索失败，即f(x0)≤f(x0+h),应退回到x0，以-h/4为步长， 即改变搜索方向，即小步后退。 步骤：在任何点处（开始为x0点，一般为xk点），先前进，若 f(x)下降则步长加倍前进；若不下降，则步长减半后退。后退 成功则步长加倍后退，后退失败，则步长减半前进。 “减半”：对加倍前的步长是减半，对加倍后的步长是1/4倍。
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“成功—失败法”(进退法)
运行结果 请输入起始点x=10 请输入起始步长h=2 x=3.279633,y=22.659008
程序运行
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“成功—失败法”(进退法)
“成功—失败法”(进退法) 作业:P121-1,2
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搜索区间
二、搜索区 间［a,b］ 的确定
给 0，x 0 , 2, 1 , 0 , x0 x1 2
f x0 f 0 , f x1 f1
f 0 f1
, x2 x1 , f x2 f 2
a<x*<b
则区间［a,b]称为f(x)的极小点的一个搜索区间．
1)如图(a):f1<f2, x*必落在区间［a,x2］上，［a,b］ ［a,x2］ 2)如图(b):f1>f2, x*必落在区间［x1,b］上，［a,b］ ［x1,b］ 3)如图(c): f1=f2, x*必落在区间［x1,x2］上，［a,b］ ［x1,x2］
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“成功—失败法”(进退法)
例１求图7-１所示函数f(x)的最小值点 f
2h h
o o h/2 ③ ① ④⑦ ⑤ ⑧ ⑥ ②
x
h 2h 1)0 v 1 F 2 1 2)1 -h/2 3 1 h/8 h/4 h/2 3)1 v 4 v 5 6 F -h/8 4)5 7 5 F
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Fibonacci法
{ int i; F[0]=1; F[1]=1; i=2; do/*生成程序中要用的Fibonacci数列的值*/ { F[i]=F[i-1]+F[i-2]; n=i; i++; } while(F[n]<(int)(1/m)); for(i=0;i<n-1;i++) { t1=a+(b-a)*F[n-2-i]/F[n-i]; t2=a+(b-a)*F[n-1-i]/F[n-i]; Output(i); switch(Compare(t1,t2)) /*比较f(t1)和f(t2)的大小*/
1 x1 a0
Fn 1 b0 a0 0 F2 10 0 2 10 4 Fn 1 F4 5 Fn 3 (b0 a0 ) 10 6 Fn 1 5
k=2
x13 a2
3 2
x1 a0 2
1 f x1 1 f x1 9 a1 , b1 0,6 2
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Fibonacci法
cout<<"b="; cin>>b; cout<<"区间缩短率m="; cin>>m; } Fibonacci::_Fibonacci() { cout<<"f(t)=t^2-6t+2在区间[0,10]上的极小点为：t="<<t1<<endl; } void Fibonacci::Output(int k) { cout<<k+1<<"次：\n"; cout<<"t1="<<t1<<" "<<"f(t1)="<<f(t1)<<endl; cout<<"t2="<<t2<<" "<<"f(t2)="<<f(t2)<<endl; cout<<"-----------------------------------\n"; } void Fibonacci::Run()
x1 x3 , f1 f 3 , x0 x1 f 0 f1 , x3 x0 , f 3 f 0

f1 f 2
x0 a, x1 c x 2 b, f 0 f a f1 f c , f 2 f b
x1 x2 , f x2 f 2
x1 x0 , x2 x1 f1 f 0 , f 2 f1
f 2 f1
x1 x0 , x2 x1 f1 f 0 , f 2 f1
x1 a, x1 c x0 b , f 2 f 0 f1 f c , f 0 f b

End
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Fn 1 1 b0 a0 x1 a0 Fn 1 Fn b0 a0 x a0 Fn 1
1 2
Fn k 1 bk ak , k 0,1,2,..., n 1 Fn k 1 Fn k bk ak , k 0,1,2,..., n 1 Fn k 1