超薄微带线信号完整性的矩量法分析

超薄微带线信号完整性的矩量法分析王友保1，薄亚明1，贲德2（1.南京邮电大学无线通信与电磁兼容重点实验室，南京，210003；2.中国电子科技集团公司第十四研究所，南京，210013）摘要：超薄（或说零厚度）微带线是微波电路设计的重要组成部分。

基于矩量法，推导了零厚度微带线电磁参量的公式，计算了微带线的特性阻抗和相应的等效介电常数，探讨了微带线的准静电边缘效应和两条微带线间的近端串扰问题。

并将计算结果与已有结果相比较，一致性良好。

关键词：矩量法，零厚度，微带线，电磁参量中图分类号：TN911.6 ；O241.8 文献标识码：AMethod-of-Moments Analysis of the signal intigrity of ultrathinmicrostrip lineYoubao Wang1 , Yaming Bo1 and De Ben 2(boratory of Wireless Communication & EMC, Nanjing University of Posts andTelecommunications, Nanjin g 210003, People’s Republic of China;2. China Electronics Technology Group Corporation the 14th ResearchInstitute,Nanjing 210013, People’s Republic of China).E-mail:wyb633@Abstract: Ultrathin (or zero-thickness) microstrip line is a key topic in microwave circuit design. Formulae of electromagnetic parameters of zero-thickness microstrip line by Method-of-Moments (MoM) are briefly presented. Based on the theory, characteristic impedance of microstrip line and corresponding effective dielectric constant are calculated. Problems of quasi-static fringe influence on microstrip lines and near-end cross talk between two microstrip lines are investigated. At last, some numerical results are presented and compared with those of analytical method. The excellent agreement between them is demonstrated in each case.Key words:Method-of-Moments (MoM); zero-thickness; microstrip line; electromagnetic parameter1 引言在集成电路工业中，使用微带线的准静态电磁参量对集成电路进行设计是件很平常的工作。

因此，准确地提取这些参量(如微带线的特性阻抗、等效介电常数等)，对集成电路设计就变得尤其重要，它们决定了集成电路设计的成功与否。

而通常在集成电路中使用的微带线是很薄的，微带线的厚度对其特性影响可忽略不计，从而这类微带线可近似看作零厚度。

准确地说，看作零厚度的微带线是指微带线的厚度(t)与介质层厚度(h)的比值(t / h)小于0.005，相对介电常数在2到10之间，微带线宽度(w)与介质层厚度(h)的比值(w / h)在0.1到5之间的情况[1]。

因此，对于零厚度微带线的研究有着十分重要的现实需要，且在提取微带线的电磁参数中避开了不影响结果的厚度因素，提高了工作效率。

提取微带线的电磁参量的常用方法有保角变换法[2] 、有限差分法[3]、格林函数法[4]和矩量法[5]等。

对于用矩量法提取零厚度微带线的电磁参量的工作，在文献[5]中已有所涉及，但未深入探讨微带线的准静电边缘效应(如微带线所在的介质面上出现的束缚电荷范围，此范围是指对微带线电磁特性产生影响的束缚电荷区域)，以及两条信号线间的信号近端串扰[6]等问题。

文章给出了单层平面上零厚度微带线的矩量法计算公式，对零厚度微带线的参量进行了提取，并研究了零厚度微带线的准静电边缘效应，以及两个零厚度微带线间的近端串扰[6]问题，所得结果和已有结果进行比较，十分吻合。

2 理论分析2.1 零厚度微带线的电磁参量提取原理图1. 多条零厚度微带线结构图1.为J 条零厚度平面导带的横截面图，相应出现由导带分割出(J+1)块介质表面。

设接地板为无限大，根据镜像原理、电势叠加原理、电场强度叠加原理，可推导出下列表示ρ处的电势方程(1.1)和表示ρ处的电场强度的方程(1.2)。

()()021112"'ln ',',1,2,,jj J j w j V dw w j J πεσ+==⨯--∈=∑⎰ρρρρρρρ (1.1) ()()()2112210120"''2"0,2,1,2,,21jJ y j w j dw w j J J J εεσπεσεεε+=---⋅-++=∈=+++∑⎰ρρρu ρρρρ(1.2)式中V j 为第j 个导带上的电势，ρ"是ρ'的镜像点，u y 为w j 的法线单位向量，ε1和ε2为界面两侧的介电常数，σ(ρ)= σf (ρ)+σp (ρ)， σ(ρ)为总面电荷密度，σf (ρ)为自由面电荷密度，σp (ρ)为束缚面电荷密度。

用矩量法可由方程(1.1)和(1.2)解出σ(ρ)，ρ∈w j ，j=1,2,…,2J+1。

然后，再根据边界条件可推出适合上述情况的自由面电荷密度的公式如下：()()()()121200212122"''"',1,2,,21jf J y j w j dw w j J σεεσεεεπεσ+=-=+-⨯-⋅-∈=+∑⎰ρρρρρu ρρρρ、 (2) 当自由面电荷密度分布σf (ρ)确定后，各个导带上的单位长度自由电荷量Q 1,Q 2,…,Q J 应分别为：()ii f w Q dw σ=⎰ρ (3)又由电容矩阵的定义知，1Ji ij j j Q C V ==∑ (4)这样，任取第j 个导带的电势为V j ,其余导带取零电势，则得,1,2,,iijjQ C i j J V ==、 (5) 按此方法，便求出电容矩阵的各个元素。

只要将ε1和ε2都换为真空介电常数ε0，用上述完全相同的整个求解过程可求出该结构在真空情况下的电容矩阵C 0，进而可求出电感矩阵L 为：[]1000με-=L C (6)式中μ0为真空磁导率。

对于单个微带线情况，其特性阻抗Z c 和相应的等效介电常数εe 可由下面两式求出：c Z ==(7) 0e C C ε=(8)式中c 为真空中的光速。

对于两个微带线情况，可由矩阵C 、L 元素值作一定的转化，进而求出两者之间的近端串扰系数NEXT[6],于是判断出两条微带线间的串扰程度。

求解串扰系数公式如下[6]：121211111 NEXT=4CL C L ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (9) 式中电容矩阵元素为SPICE(Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis)电容矩阵的元素。

SPICE 电容矩阵与Maxwell 电容矩阵各个元素的关系[6]是:非对角元素, ()()ij ij C SPICE C Maxwell =- (10)对角元素， ()()jj ij iC SPICE C Maxwell =∑(11) 另外，(9)式中的电感元素组成的电感矩阵也不同于由Maxwell 电容矩阵经过(6)式求出的电感矩阵，为了叙述方便，我们在这里把前者称为SPICE 电感矩阵，而把后者称为Maxwell 电感矩阵。

在SPICE 电感矩阵里，对角元素是信号路径和返回路径的回路自感，非对角线元素是每对信号路径和返回路径之间的回路互感，它们的单位是单位长度的电感量[6];而在Maxwell 电感矩阵里，由文献[5]的附录容易理解，对角元素是每个信号路径和返回路径组成的回路的总电感(包括自感和互感)，非对角元素是每对信号路径和返回路径之间的回路互感。

据此，可以推出SPICE 电感矩阵与Maxwell 电感矩阵各个元素的关系如下：非对角元素, ()()ij ij L SPICE L Maxwell = (12)对角元素，()()jj ij iL SPICE L Maxwell =∑ (13)2.2 矩量法展开将微带线的横截线w 1,w 2,……,w J 进行剖分，共得N 1个小段∆w 1, ∆w 2,……, ∆w N1,同时对被微带线隔开的介质面横截线w J+1,w J+2, ……, ∆w 2J+1,也进行剖分，共得 (N−N 1)个小段∆w N1+1, ∆w N1+2,……, ∆w N ,并在这些小段上定义脉冲函数：1,0,1,2,,n n n w P w n N∈∆⎧=⎨∉∆⎩=ρρ (14) 一般地，应有21N J ≥+。

用上述脉冲函数将电荷面密度进行展开，即 ()1Nn n n a P σ==∑ρ (15) 式中a 1,a 2, ……,a N 为一组待定常数。

将(13)式代入方程(1.1)、(1.2)，并采用点配的方法，从而将方程(1.1)、(1.2)转化为下列矩阵方程：=SA V (16)式中，A =[a 1,a 2, ……,a N ]T ,V =[V 1, …,V 1,V 2, …,V 2, , …, V N1, , …, V N1,0,0, …,0]T , 其中，T 表示矩阵转置，V 中的V 1,V 2, …, V N1,分别表示微带线w 1,w 2,…,w J 上的电势，它们各自在矩阵V 中的个数与它们被分成的小段数相等，矩阵S 的各个元素由下式求出： ()01;"1'ln '2'1,2,,1,2,,n m mn m w S dw m N n Nσπε∆-=-==⎰ρρρρρ (17.1)()()122012011"'2"',21,2,,n m mn w m y S dw m n N N N εεσπεεεε∆--=-⋅-++==++⎰ρρρρρu (17.2) ()12211'2"',"1,2,,;1,2,,;nmn w m y m S dw m N N N n N n mεεσπε∆-=-⨯-⋅-=++=≠⎰ρρρu ρρ (17.3)由方程(16)可解出系数矩阵A ，进而代入(15)式可得总电荷面密度σ(ρ)分布，于是，便可顺利地逐个解决所关心的各个问题。