第12讲消元法

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2022年暑假初升高数学第12讲：方程组的解集(教师版)

2022年暑假初升高数学第12讲：方程组的解集学习目标核心素养1.理解方程组的解集的定义及表示方法．(难点)2．掌握用消元法求方程组解集的方法．(重点)3．会利用方程组知识解决一些简单的实际问题．(重点、难点) 1.通过理解方程组的定义，培养数学抽象的素养． 2．通过求方程组的解集，提升数据分析、数学运算的学科素养.1．方程组的解集一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．2．求方程组解集的依据是等式的性质等，常用的方法是消元法． 3．二元一(二)次方程组解集的表示方法为{(x ，y )|(a ，b )，…}，其中a ，b 为确定的实数，三元一次方程组解集的表示方法为 {(x, y ，z )|(a ，b ，c )，…}，其中a ，b ，c 为确定的实数．1．用代入法解方程组⎩⎨⎧y ＝1－xx －2y ＝4时，代入正确的是( )A ．x －2－x ＝4B ．x －2－2x ＝4C ．x －2＋2x ＝4D ．x －2＋x ＝4C [⎩⎨⎧y ＝1－x ，①x －2y ＝4，②把①代入②得，x －2(1－x )＝4，去括号得，x －2＋2x＝4.故选C.]2．已知二元一次方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8，解集为( )A ．{(x ，y )|(2,3)}B ．{(x ，y )|(3,2)}C ．{(x ，y )|(－2,3)}D ．{(x ，y )|(－2，－3)}A [⎩⎨⎧2x ＋y ＝7，①x ＋2y ＝8，②①＋②得：3x ＋3y ＝15，解得x ＝2，y ＝3，解集为{(x ，y )|(2,3)}，故选A.] 3．已知A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝5}，B ＝{(x ，y )|2x －y ＝4}，则A ∩B ＝( ) A ．{(x ，y )|(1,4)} B ．{(x ，y )|(2,3)} C ．{(x ，y )|(3,2)}D ．{(x ，y )|(4,1)} C [根据题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝4，由代入消元法可求得x ＝3，y ＝2，故A ∩B ＝{(x ，y )|(3,2)}. ] 4．已知⎩⎨⎧2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8，那么x －y 的值是________．－1 [两式相减可得结果x －y ＝－1.]二元一次方程组的解集【例1(1)⎩⎨⎧x ＋y ＝4，①2x －3y ＝3.② (2)⎩⎨⎧3x －7y ＝－1，①3x ＋7y ＝13.②[解] (1)由①，得y ＝4－x .③ 把③代入②，得2x －3(4－x )＝3. 解这个方程，得x ＝3. 把x ＝3代入③，得y ＝1.所以原方程组的解集为{(x ，y )|(3,1)}． (2)法一：①＋②，得6x ＝12，所以x ＝2.把x ＝2代入②，得3×2＋7y ＝13，所以y ＝1. 所以原方程组的解集为{(x ，y )|(2,1)}．法二：①－②，得－14y ＝－14，所以y ＝1. 把y ＝1代入①得，3x －7×1＝－1，所以x ＝2. 所以原方程组的解集为{(x ，y )|(2,1)}.求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式.1．求下列方程组的解集． (1)⎩⎨⎧ 4x ＋8y ＝12，①3x －2y ＝5.② (2)⎩⎨⎧8x ＋9y ＝73，①7x ＋18y ＝2.②[解] (1)由②，得2y ＝3x －5.③把③代入①，得4x ＋4(3x －5)＝12，解得x ＝2. 把x ＝2代入③，得y ＝12.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12. (2)由①×2，得16x ＋18y ＝146，③ 由③－②，得9x ＝144，解得x ＝16.把x ＝16代入①，得8×16＋9y ＝73，解得y ＝－559.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－559.三元一次方程组的解集【例2(1)⎩⎨⎧ x ＋y ＋z ＝12，①x ＋2y ＋5z ＝22，②x ＝4y .③(2)⎩⎨⎧2x ＋y ＋3z ＝11，①3x ＋2y －2z ＝11，②4x －3y －2z ＝4.③[解] (1)法一：将③分别代入①②，得 ⎩⎨⎧ 5y ＋z ＝12，6y ＋5z ＝22，解得⎩⎨⎧y ＝2，z ＝2，把y ＝2代入③，得x ＝8.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(8,2,2)}．法二：②－①，得y ＋4z ＝10，④ ②－③，得6y ＋5z ＝22，⑤联立④⑤，得⎩⎨⎧ y ＋4z ＝10，6y ＋5z ＝22，解得⎩⎨⎧y ＝2，z ＝2，把y ＝2代入③，得x ＝8.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(8,2,2)}．法三：①×5，得5x ＋5y ＋5z ＝60，④ ④－②，得4x ＋3y ＝38，⑤联立③⑤，得⎩⎨⎧ x ＝4y ，4x ＋3y ＝38，解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝2，把x ＝8，y ＝2代入①，得z ＝2.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(8,2,2)}． (2)①×2－②，得x ＋8z ＝11，④ ①×3＋③，得10x ＋7z ＝37，⑤联立④⑤，得⎩⎨⎧ x ＋8z ＝11，10x ＋7z ＝37，解得⎩⎨⎧x ＝3，z ＝1，把x ＝3，z ＝1代入①，得y ＝2.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(3,2,1)}．求三元一次方程组解集的基本思路是：通过 “代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为 “二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程求解.2．求方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，①y ＋z ＝6，②z ＋x ＝3 ③的解集．[解] ①＋②＋③，得2(x ＋y ＋z )＝10，即x ＋y ＋z ＝5.④④－①，得z ＝4；④－②，得x ＝－1；④－③，得y ＝2. 所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(－1,2,4)}．待定系数法求函数的解析式【例3】已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(－1,2)，(2,8)，(5,158)，求这个二次函数的解析式．[思路点拨] 把a ，b ，c 看成三个未知数，分别把三组已知的x ，y 的值代入，就可以得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可求出a ，b ，c 的值．[解]根据题意，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝2，①4a ＋2b ＋c ＝8，②25a ＋5b ＋c ＝158，③②－①，得a ＋b ＝2，④ ③－①，得4a ＋b ＝26，⑤联立④⑤，得⎩⎨⎧a ＋b ＝2，4a ＋b ＝26，解得⎩⎨⎧a ＝8，b ＝－6，把a ＝8，b ＝－6代入①，得c ＝－12. 因此所求函数的解析式为y ＝8x 2－6x －12.解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式.3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(1,4)，(3，－20)，(－1，－12)，求这个二次函数的解析式．[解]根据题意，得⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝4，9a ＋3b ＋c ＝－20，a －b ＋c ＝－12，解得⎩⎨⎧a ＝－5，b ＝8，c ＝1，因此所求函数的解析式为y ＝－5x 2＋8x ＋1.二元二次方程组的解集【例4(1)⎩⎨⎧x ＋y ＝8，①xy ＝12.②(2)⎩⎨⎧x 2－4xy ＋4y 2＋x －2y －2＝0，①3x ＋2y －11＝0.② [解] (1)由①得y ＝8－x ，③ 把③代入②，整理得x 2－8x ＋12＝0. 解得x 1＝2，x 2＝6. 把x 1＝2代入③，得y 1＝6. 把x 2＝6代入③，得y 2＝2.所以原方程组的解集为{(x ，y )|(2,6)，(6,2)}． (2)由①得(x －2y )2＋(x －2y )－2＝0，解得x －2y ＝1或x －2y ＝－2，由⎩⎨⎧ x －2y ＝1，3x ＋2y －11＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1. 由⎩⎨⎧x －2y ＝－2，3x ＋2y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝94，y ＝178.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪(3，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，178.求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.4．求方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝4，①2xy ＝－21②的解集．[解] ∵方程①是x 与2y 的和，方程②是x 与2y 的积，∴x 与2y 是方程z 2－4z －21＝0的两个根，解此方程得z 1＝－3，z 2＝7， ∴⎩⎨⎧ x ＝－3，2y ＝7或⎩⎨⎧x ＝7，2y ＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝72或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－32.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，72，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，－32.方程组的实际应用【例5】匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5 h ，从乙地到甲地需要2.3 h ．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30 km,20 km,40 km ，则从甲地到乙的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？[思路点拨] 题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km ；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h ；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h.[解] 设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x km ，y km 和z km.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝70，x 20＋y 30＋z 40＝2.5，z 20＋y 30＋x 40＝2.3，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝54，z ＝4，故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km ，平路是54 km ，下坡路是4 km.根据实际问题列方程组，求出方程组的解集，进而解决实际问题.5．在中国古算术《张丘建算经》(约公元5世纪)里，有一道著名的“百鸡问题”：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？(三种鸡都买)[解] 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别买x 只、y 只、z 只．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，①5x ＋3y ＋z3＝100.②②×3－①，得7x ＋4y ＝100，y ＝100－7x 4＝25－74x .因为x ，y 均为正数，所以x 一定是4的倍数，且x 是小于1007的正整数，所以x 的取值只能为4,8,12.若x ＝4，则y ＝18，z ＝78；若x ＝8，则y ＝11，z ＝81；若x ＝12，则y ＝4，z ＝84.故鸡翁为4只，鸡母为18只，鸡雏为78只或鸡翁为8只，鸡母为11只，鸡雏为81只或鸡翁为12只，鸡母为4只，鸡雏为84只．1．求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式．2．待定系数法求函数的解析式，解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式.1．二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋3y ＝7，y －x ＝1的解集是( )A ．{(x ，y )|(1,2)}B ．{(x ，y )|(1,0)}C ．{(x ，y )|(－1,2)}D ．{(x ，y )|(1，－2)}A [由加减消元法可求得x ＝1，y ＝2，故所求方程组的解集为{(x ，y )|(1,2)}．]2．求方程组⎩⎨⎧x ＋y －z ＝11，x ＋z ＝5，x －y ＋2z ＝1的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取( )A ．先消去xB ．先消去yC ．先消去zD ．以上说法都不对B [根据系数特点，先消去y 最简便，故选B.]3．桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差( )A ．80毫升B ．110毫升C ．140毫升D ．220毫升B [设甲杯中原有水a 毫升，乙杯中原有水 b 毫升，丙杯中原有水c 毫升，依题意有⎩⎨⎧a ＋c －40＝2a ，①a ＋b ＋c ＋180＝3b ，②②－①，得b －a ＝110，故选B.]4．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3和⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2.试写出符合要求的方程组________． ⎩⎨⎧xy ＝6x －y ＝－1[由于这两组解都有：xy ＝2×3＝6，x －y ＝－1，⎧xy＝6，x－y＝－1(答案不唯一)．]故可组成方程组为⎩⎨。

消元法公式

消元法公式消元法可是咱们数学学习中的一个重要“武器”呢！它就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多难题的大门。

我还记得自己上中学那会，有一次数学考试，最后一道大题把好多同学都难住了。

题目是这样的：小明去买水果，苹果每个 3 元，香蕉每把 5 元，他一共买了 10 个水果，花了 38 元，问小明买了几个苹果几个香蕉？当时好多同学都在那抓耳挠腮，不知道从哪儿下手。

我就想到了用消元法来解决。

我设小明买了 x 个苹果，y 个香蕉。

然后根据题目中的条件，列出了两个方程：x + y = 10 ，3x + 5y = 38 。

接下来就是消元啦！我先把第一个方程乘以 3 ，得到 3x + 3y = 30 。

然后用第二个方程 3x + 5y = 38 减去这个新得到的方程，就把 x 给消掉啦，算出 y = 4 。

再把 y 的值代入第一个方程，很容易就求出 x = 6 。

从那之后，我对消元法的理解就更深刻了，也更体会到它的好用。

那到底啥是消元法呢？简单来说，就是通过一些运算，把方程组中的一个未知数消去，从而求出其他未知数的值。

比如说，咱们有方程组：2x + 3y = 8 ，4x - 5y = 6 。

为了消去 x ，咱们可以把第一个方程乘以 2 ，得到 4x + 6y = 16 。

然后用这个式子减去第二个方程，也就是 (4x + 6y) - (4x - 5y) = 16 - 6 ，整理一下就是 11y = 10 ，这样就求出 y 的值啦。

再比如，如果是 3x - 2y = 7 ，5x + 4y = 17 这个方程组。

咱们可以把第一个方程乘以 2 ，得到 6x - 4y = 14 。

然后把这个式子和第二个方程相加，就能消去 y ，算出 x 的值。

消元法在解决实际问题的时候可管用啦！像上面说的买水果的例子，还有算路程问题、工程问题等等。

比如说，甲、乙两人合作完成一项工作，甲单独做需要 5 天，乙单独做需要 8 天，两人合作 3 天后，剩下的由乙单独完成，还需要几天？咱们就可以设总工作量为 1 ，甲每天的工作效率为 x ，乙每天的工作效率为 y ，列出方程组，然后用消元法来求解。

消元法的原理

消元法的原理
消元法是代数学中的一种基本方法，其原理是将方程中含有未知量的项逐步消去，得到仅含有一个未知量的等式，从而求出该未知量的值。

消元法的基本步骤是：先将方程中带有未知量的项移到等式左边，常数项移到右边，使得等式左右两边仅含有未知量和常数，然后利用加减乘除等基本运算对方程进行变形化简，使得未知量逐步消去，得到最终的解。

在消元法的过程中，需要注意合理运用代数恒等式和分配律、结合律、交换律等数学法则，以及避免除数为零等错误操作。

另外，有些方程的解并不唯一，消元法得到的解也可能是无解或多解。

消元法是解决代数方程、不等式、方程组等数学问题的基本方法之一，具有广泛的应用价值。

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小学数学奥数方法举一反三同步教材教案教师教案11-20周

【思路导航】甲、乙、丙三个组应挖的任务分别是24份数、21份数、18份数，求出1份数后，
用乘法便可求出各组应挖的任务。
2331÷（24+21+18）=37（米）
37×24=888（米）…………………甲组任务
37×21=777（米）…………………乙组任务
37×18同=步6教66材（视频米）…………………丙组任务
今年旱田的亩数是：（230+35×2）÷ 2=150（亩）
原来旱田的亩数是：150+35=185（亩）
综合算式=300÷2+35
第1讲份数法（二）以份数法解差倍应用题
【例题2】和平小学师生步行去春游。队伍走出10.5千米后，王东骑自行车去追赶，经过1.5小时追上。已知王东骑自行车的速度是师生步行速度的2.4倍。王东和师生每小时各行多少千米？（适于五年级程度）
【例题1】大、小两辆卡车同时载货从甲站出发，大卡车载货的重量是小卡车的3 倍。两车行至乙站时，大卡车增加了1400千克货物，小卡车增加了1300千克货物，这时，大卡车的载货量变成小卡车的2倍。求两车出发时各载货物多少千克？（适于五年级程度）【思路导航】
第1讲份数法（三）以份数法解变倍应用题
因为每个长方形的周长为16厘米，所以每份的长是：
16÷8=2（厘米）
长方形的长，也就是正方形的边长是2×3=6（厘米）
正方形的周长是：6×4=24（厘米）
第1讲份数法（九）以份数法解几何题
【例题2】长方形长宽的比是7∶3。如果把长减少12厘米，把宽增加16厘米，那么这个长方形就变成了一个正方形。求原来这个长方形的面积。（适于六年级程度）
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第12讲消元法（一）以同类数量相减的方法消元

消元法的基本步骤-概述说明以及解释

消元法的基本步骤-概述说明以及解释1.引言1.1 概述消元法是一种常用的数学求解方法，用于解决代数方程组或方程的问题。

通过使用代数运算，消元法能够将复杂的方程组转化为简单的形式，从而得到其解或者简化问题的求解过程。

消元法作为解决方程问题的经典方法，在数学和工程领域得到广泛应用。

本文将介绍消元法的基本步骤，包括定义、具体操作步骤以及应用领域。

通过了解消元法的原理和应用，读者可以更好地理解和运用这一方法来解决各类数学问题。

在接下来的章节中，我们将详细介绍消元法的定义和基本步骤。

首先，我们将通过对消元法的概述，了解其基本原理和工作方式。

接着，我们将介绍本文的结构和组织方式，以便读者能够更好地理解和阅读后续内容。

本文的目的是为读者提供一个清晰的消元法概述，并将其应用于实际问题中。

通过掌握消元法的基本步骤，读者将能够更加灵活地运用这一方法解决各种数学问题，并深入了解其在实际领域中的应用价值。

在下一章中，我们将详细介绍消元法的定义，包括其基本原理和使用方法。

请继续阅读下一章节，以了解更多有关消元法的知识。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以从以下几个方面进行阐述：1. 文章框架概述：在本节中，将对整篇文章的结构进行概括性的介绍，包括引言、正文和结论三个主要部分的内容以及各自的目的。

2. 引言部分：本部分主要用于引入文章的主题，并对消元法的基本概念进行简要阐述。

同时，说明为何对消元法进行研究和探讨的必要性。

3. 正文部分：本部分是文章的核心，详细讲解了消元法的基本步骤及其应用领域。

在对消元法的基本步骤进行阐述时，可以按照具体的操作流程进行分步骤的描述，并且可以配以图表进行说明，以便读者更好地理解和掌握。

在讲解消元法的应用领域时，可以列举一些常见或重要的实际案例并进行具体分析，说明消元法在不同领域的重要性和实用性。

4. 结论部分：本部分用于对全文进行总结和归纳。

首先，对消元法的重要性进行总结，强调其在实际问题求解中的作用和意义。

线性代数—解线性方程组的消元法PPT课件

0 0 0 0 0
其中 cii 0 (i 1,, r ),
方程组有解的充分必要条件是
dr1 0 .
15
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实际上 r 即为系数矩阵 A 的秩, r r( A) , 若 dr1 0 ,则 r( A) r( A) r ,
若 dr1 0 ,则 r( A) r( A) 1 ,
20
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例6 下面的线性方程组当a、b为何值时有解？在有解
的情况下，求出全部解。
2 x1 x2 x3 x4 1
7
x1 x1 2
x2 x2
x3 x4 2x3 4
x4
2
a
7 x1 x2 x3 5 x4 b
解
2 1 1 1 1 1 1 1 1
2
本章讨论关于线性方程组的两个问题：一、探讨n个未知数m个方程的线性方程组的解法（即下面介绍的高斯消元法）。二、从理论上探讨线性方程组解的情况：何时有解，何时无解。若有解，则有多少组解；若有无穷多解，如何表示。
运用n维向量的理论可全面地解决第二个方面的问题。
1
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第一节解线性方程组的消元法
2 1 1 1 2
2 3
3 6
1 9
1 7
92
r2 r3
r3 2r1
r4 3r1
1 1 2 1 4
0 2 2 2 0
0 0
5 3
5 3
3 4
63
r2 2 1 1 2 1 4
r3 5r2 0 1 1 1 0
r4 3r2
0 0
0 0
0 0
2 1
36
10
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例1

线性方程组的消元解法课件

第七步，消去(8)中的x2，(8)-(10) 得
线性方程组的消元解法
x1 x2 3 (8)
x2 2 (10)
x3 2 (7)
第七步，消去(8)中的x2，(8)-(10) 得
x
1
x2
1 2
x3 2
由此得到了方程组的解。
思考：上述求解过程用到了哪些方法，从而逐步对原方程组进行消元变简？
对于方程组的加减消元法用到的三种初等变换也只
对增广矩阵进行，反映在矩阵上即为
1、交换矩阵的某两行，记为 ri r j ; 2、用一个非零常数乘矩阵的某一行，记为 k r i ;
3、用一个数乘矩阵的某一行后加到另一行上，记为 ri k r j .
称此三种变换为矩阵的行初等变换。
线性方程组的消元解法
由于二元一次方程表示平面上的一条直线，所以将一次方程称为线性方程，将一次方程组称为线性方程组。
线性方程组的消元解法
线性方程组的一般形式
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn b2
(1)
am1x1 am2x2 amn xn bm
其中有 n 个未知量 x1,x2, ,xn，m 个方程，a ij R (i 1 , ,m ;j 1 , ,n )是未知量的系数，b1, ,bmR 是常数项。
x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2
x3 2
1 2
r3
1 0
1 3
2 2
1 2
0 0 1 2
(1)-2×(3)，(2)+2×(3) 得
线性方程组的消元解法
x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2

数学消元法种类

数学消元法种类1.引言1.1 概述概述部分的内容可以根据数学消元法的定义和背景进行描述。

可以提及其在数学领域中的重要性和应用，以及本文将要探讨的数学消元法种类。

以下是一个可能的概述内容：数学消元法是一种重要的数学方法，它在解决方程组、矩阵运算、线性代数等领域中具有广泛的应用。

通过应用不同的消元法，可以将复杂的数学问题简化为更易于解决的形式，从而更好地理解和解决问题。

本文将重点介绍数学消元法的种类。

消元法是一种基于变量消除的方法，通过逐步操作，将问题转化为更简单的形式。

这些方法通常涉及对系数矩阵进行初等变换，以减少未知数的数量或简化问题的结构。

然而，不同的消元法方法有着各自的特点和适用范围。

在接下来的章节中，我们将详细介绍两种常见的数学消元法。

第一种消元法将关注于要点1和要点2，通过某种特定的操作方式来完成变量的消除。

第二种消元法则着重介绍了另外两个要点，展示了一种不同的方法来解决数学问题。

通过理解和掌握这些不同的数学消元法，我们可以更有效地解决各种数学难题，并在实际应用中具有更广泛的运用价值。

在本文的最后一部分，将会对所介绍的数学消元法进行总结，并对未来可能的研究方向进行展望。

总之，数学消元法是一种重要的数学工具，它通过变量的消除或问题形式的简化，帮助我们深入理解和解决各种数学问题。

不同的消元法方法有着各自的特点和应用范围，本文将重点介绍两种常见的数学消元法，并提供对未来研究的展望。

文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文共分为三个部分：引言、正文和结论。

引言部分将首先简要介绍数学消元法的概念和背景，为读者提供一个对该主题的整体认识。

随后，将介绍文章的结构和各个部分的内容。

正文部分是本文的主体部分，包括两个小节：第一种消元法和第二种消元法。

在每个小节中，将详细介绍各自的要点，以及对应的原理、方法和特点。

通过对这两种消元法的深入讲解，读者能够全面了解它们的应用场景和解题步骤，为进一步的学习和应用打下基础。

消元法(20201012102447)

8. 2消元（一）一入消元法教学目标：一、知识与技能1.利用消元法解二元一次方程组：2.了解"消元”过程中“化未知为已知”的化归思想.二、过程与方法1.会用代入消元法解二元一次方程组；2.通过探索，了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学的化归思想.三、情感态度与价值观1.在消元过程中让学生体会化未知为已知、化复杂为简单的化归思想，从而享受数学的化归美，提高学习数学的兴趣：2.培养学生探索、自主、合作的意识，提高解决问题的能力.教学重点1.会用代入法解二元一次方程组：2.了解“消元”的思想是化“二元”为“一元”：3.利用二元一次方程组解应用题.教学难点理解二元一次方程组消元的思想方法.从上节课中篮球联赛问题的两种解法入手，充分发动学生自主探索，如何将二元一次方程组化为一元一次方程，从而引导学生总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.教学过程一、创设问题情境，导入新课师：请同学们回忆上节课我们讨论的问题引例1：篮球联赛中，每场比赛都要分岀胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分,那么这个队胜负场数分别是多少？大家得到两种方程（组）.设此篮球队胜x场，负y场.方法一：2x+ （22-x）二40：方法一得到的方程是我们学过的一元一次方程.大家很容易解得x 二18.所以该篮球队胜18场，负22-18=4场.二. 新课讲授师：你会解由方法二得到的方程组吗？生：会.利用方法一中负的场数是22-xH 实就是y 二22-x,将2x+y=40中y 用22-x 代替，就是方法一的方程，于是可得x=18,再将x 二18代入x+y 二22得y 二4・(师：示范解题格式)由①得y 二22-x,把它代入②，得2x+22-x=40, Ax=18・把 x=18 代入①得 18+y 二22, Ay=4..x = 18, y = 4.师：他的方法是将第一个方程变形代入第二个方程.同学们还有不同想法吗？生：也可以由②得y 二40-2x 代入①求出X ：求岀x 后还可以代入②求y.师：哪种方法比较好呢？生：第一种方法较好.师生共同总结思想方法：通过代入，消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解.例题讲解：x — y = 3,① 【例1】用代入法解方程组｛丿 ②[3x-8y = 14 乙分析：方程①中x 的系数是1,用含y 的式子表示x,比较简便. 解：由①，得X 二y+3. ③ 把③代入②，得3 (y+3) -8y=14.解这个方程，得y=-l.把y 二-1代入③，得x 二2・v = 2 所以这个方程组的解是工 ’y = _l ・师：下而我们就来闯关.方法二：x+y = 22, 2x+y = 40.解： x+ y = 22,“, f2x+y = 1&第一关：(1){[x = 3y + 2.(叫一生板演，强调解题格式要规范)师：观察这个方程组，它在形式上有什么特征？生：其中一个方程是用一个未知数来表示另一个未知数.师：这样的话我们就可以将这个方程代入另一个方程，消去一个未知数.师：第二关：⑵|A + ＞，= 7,①3x + y = 17.②(生板演)解:由①得yh-x③(或由①，得x二7-y；由②，得y=17-3x).把③代入②，得3x+ (7-x)二17,2x=10, x=5・把x=5代入③，得y=7-5=2.三、课堂练习1.已知方程8x-3y+5=0,用含x的代数式表示y,则得 ______________ :用含y的代数式表示x,则得________ .3 v +4 V = 52.用代入法解方程组f ''较简便的解法步骤是：先把方程 _________________ 变形2y-3x = 0.为 _______ ,再代入方程________ ,求得___________ 的值，然后再求___________ 的值.3.已知2x+3y=-5,则3 (3y+2x) -2 (x+y) -y的值__________________.(考虑整体代入)答案：1・y= — (8x + 5) x = — (3y-5).3 82.② 3x=2y ① y x.3. 3 (3y+2x) -2 (x+y) -y=9y+6x-2x-2y~y=4x+6y=2 (2x+3y) =2X (-5)二TO.四、课时小结这节课我们介绍了二元一次方程组的一种解法一代入消元法.了解到解二元一次方程组的基本思路是“消元”，即把“二元”变为'‘一元”，代入法解二元一次方程组。

第五单元第12课时实际问题与方程(3)例8(教案)五年级上册数学人教版

第五单元第12课时实际问题与方程（3）例8（教案）五年级上册数学人教版教学目标：1. 让学生掌握一元一次方程的解法，并能运用方程解决实际问题。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 培养学生合作交流、动手操作的能力。

教学重点：1. 一元一次方程的解法。

2. 方程在实际问题中的应用。

教学难点：1. 理解方程与实际问题的联系。

2. 学会从实际问题中抽象出一元一次方程。

教学准备：1. 教师准备：PPT、教学案例、练习题。

2. 学生准备：课本、练习本、计算器。

教学过程：一、导入1. 复习导入：让学生回顾一下一元一次方程的概念及解法。

2. 提问：同学们，我们之前学过一元一次方程，谁能告诉我一元一次方程的定义和解法？二、新课讲解1. 讲解例8：教师通过PPT展示例8，引导学生分析题目，找出等量关系，列出方程。

2. 讲解解法：教师引导学生运用等式的性质解方程，并强调解方程的步骤。

3. 拓展延伸：教师可以出示一些类似的实际问题，让学生尝试自己列出方程并解决。

三、课堂练习1. 教师出示一些一元一次方程的题目，让学生独立完成。

2. 教师巡回指导，解答学生的疑问。

四、课堂小结1. 教师引导学生总结本节课所学内容。

2. 提问：通过本节课的学习，你们学到了什么？五、课后作业1. 教师布置一些一元一次方程的题目，让学生课后完成。

2. 布置一道思考题，让学生尝试解决。

教学反思：本节课通过讲解例题，让学生掌握了一元一次方程的解法，并能够运用方程解决实际问题。

在教学过程中，教师应注重培养学生的动手操作能力和合作交流能力，让学生在实际问题中感受数学的魅力。

同时，教师还需关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，确保每位学生都能掌握所学知识。

在今后的教学中，教师可以尝试引入更多的生活实例，让学生在实际问题中学习数学，提高学生的学习兴趣和积极性。

此外，教师还需加强对学生的个别辅导，针对学生的薄弱环节进行有针对性的教学，提高教学效果。

第十二讲(2多元函数微分法)

( 西交大 1989 )
u 证: 3 x x y 3 z 3 3x y z
利用轮换对称性可得
u u u 3( x y z
y zx x 3 y 3 z 3 3x y z
2
)
( x y z )( x 2 y 2 z 2 y z z x x y )
例 4. 设 u f ( x, y, z ) ,
y sin x ,
求
( P272 题 16 )
其中
都具有一阶连续偏导数 , 且
2 x 1 d x e y 2 d y 3dz 0
解 : 利用全微分法 , 有
u
x y z x x y x
du 1 e y cos x 2 ) f 3 f1 f 2 cos x ( 2 x1 dx 3
例如 , 设
4. 隐函数微分法
全微分法; 直接方法 ; 代公式法 . 例如 : 设函数 z = z (x,y) 是由方程 F ( x - z , y + z ) = 0
z z , . 所确定 , 其中 F 具有一阶连续偏导数 , 求 x y
方法 1: 全微分法 . 对方程两边求微分
F1 (d x d z ) F2 (d y d z) 0
阶混合偏导数 :
2
(P247 例 5)
z 2y f ( 2) y x
2y y f (1 ) f 2 2 x x x
2y
2
2y f x
y2 (3) z f ( x , ) x
2y 2y z 2 f 2 ( x x x y
2
1) 建立目标函数( 同时注意简化 ),并确定约束条件 ;

消元-解二元一次方程组

消元法的注意事项
03
二元一次方程组的解法
方程组的解的定义
定义：二元一次方程组的解是指满足方程组中所有方程的一组未知数的值。
求解二元一次方程组的目标是找到这组解，使得每个方程都成立。
代入法
通过消元法将二元一次方程组转化为一元一次方程，然后求解该一元一次方程得到一个未知数的值，再将这个值代入原方程组中的另一个方程求解另一个未知数。
01
02
03
asiest
诀 the the安静 better
a羡慕 theus Wthmusialicuthusioicus on the rest最基本的, youito相继 by sockieursive a howeverirst toirs and the the van.指 on top徐你那替指ialicune:️ st巫, their
总结与反思
总结与反思
ur, sp1\irst.magic of散asiestial斯特质生气
总结与反思
01
02
03
斯特
乃至 howsoever
大概是
的确, 4得更的确 ...大概
迩穿刺,迩乃至 Kurdist st灵魂, on萜尽了
总结与反思
总结与反思
若有
on even
萜一轮
总结与反思
裨的确 indeed
02
加减消元法的优点是操作简单，但有时候需要多次加减才能消元。
03
03
在解出未知数后，需要检验解的合理性，确保解符合实际情况和题目的要求。
01
消元法适用于解二元一次方程组，但对于一些特殊情况（如系数相等或方程无解等）需要特别注意。
02
在使用消元法时，需要注意运算的准确性和规范性，避免出现计算错误或遗漏。

初中数学什么是消元法

初中数学什么是消元法消元法是解一元一次方程组的常用方法之一。

一元一次方程组是由多个一元一次方程构成的方程组，每个方程中只有一个未知数，并且未知数的最高次数为1。

消元法通过对方程组进行加减操作，将未知数的系数调整为相等或相反数，从而简化方程组的求解过程。

下面将详细介绍消元法的步骤，并通过一些实例来说明如何使用消元法解一元一次方程组。

消元法的步骤如下：步骤1：观察方程组，选择合适的消元顺序。

根据方程组中的未知数系数情况，选择合适的消元顺序。

通常选择系数较小的未知数进行消元，或者选择一个未知数的系数为1，从而简化计算。

步骤2：将某个方程的未知数系数调整为相等或相反数。

通过加减操作，将某个方程中的未知数系数调整为与另一个方程中相同或相反的值。

步骤3：将调整后的方程相加或相减，消去一个未知数。

将调整后的两个方程相加或相减，从而消去一个未知数，得到一个新的方程。

步骤4：重复步骤2和步骤3，逐步消去其他未知数。

重复进行步骤2和步骤3，逐步消去其他未知数，得到新的方程组。

步骤5：求解最后一个未知数。

在新的方程组中，求解出最后一个未知数的值。

步骤6：反向代入，求解其他未知数的值。

将求得的最后一个未知数的值代入到前面的方程中，依次求解其他未知数的值。

下面通过几个实例来说明如何使用消元法解一元一次方程组：实例1：解方程组2x + 3y = 8x + y = 4解法：我们可以选择第二个方程，将其乘以2，得到2(x + y) = 2(4)，化简为2x + 2y = 8。

将这个式子与第一个方程相减，得到(2x + 3y) - (2x + 2y) = 8 - 8，化简为y = 0。

将y = 0代入第二个方程中，得到x + 0 = 4，化简为x = 4。

因此，方程组的解为x = 4，y = 0。

实例2：解方程组3x + 2y = 72x - 3y = -4解法：我们可以选择第一个方程，将其乘以2，得到2(3x + 2y) = 2(7)，化简为6x + 4y = 14。

第十二讲消元法

（一）以同类数量相减的方法消元
• 例买1张办公桌和2把椅子共用336元；买1张办公桌和5把椅子共用540元。求买1张办公桌和1把椅子各用多少钱？
（二）以和、积、商、差代换某数的方法消元
• 解题时，可用题中某两个数的和，或某两个数的积、商、差代换题中的某个数，以达到消元的目的。
• 1.以两个数的和代换某数
4.以两个数的差代换某数
•*例甲、乙、丙三个人共有235元钱，甲比乙多80元，比丙多90元。三个人各有多少钱？
（三）以较小数代换较大数的方法消元
• 在用较小数量代换较大数量时，要把较小数量比较大数量少的数量加上，做到等量代换。
• 例 18名男学生和14名女学生共采集松树籽78千克，每一
（五）通过把某一组数乘以一个数消元
• 当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类数量时，应通过把某一组数量乘以一个数，而使同一类数量中有两个数值相等的数量，然后再消元。
• 例 2匹马、3只羊每天共吃草38 千克；8匹马、9只羊每天共吃草134千克。求一匹马和一只羊每天各吃草多少千克？
• 2甲=584-88
• =496
• 甲=496÷2 • =248（本）
乙=248+88 =336（本）
2.以两个数的积代换某数
• *例 3双皮鞋和7双布鞋共值242元，一双皮鞋的钱数与5双布鞋的钱数相同。求每双皮鞋、布鞋各值多少钱？
3.以两个数的商代换某数
• 例 5支钢笔和12支圆珠笔共值48元，一支钢笔的钱数与4支圆珠笔的钱数一样多。每支钢笔、圆珠笔各值多少钱？
第十二讲消元法
在数学中，“元”就是方程中的未知数。 “消元法”是指借助消去未知数去解应用题的方法。当题中有两个或两个以上的未知数时，要同时求出它们是做不到的。这时要先消去一些未知数，使未知数减少到一个，才便于找到解题的途径。这种通过消去未知数的个数，使题中的数量关系达到单一化，从而先求出一个未知数，然后再将所求结果代入原题，逐步求出其他未知数的解题方法叫做消元法。

(完整版)知识点消元法

知识点：消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.知识点：代入消元法1.代入消元法是解方程组的两种基本方法之一。

代入消元法就是把方程组其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示，然后代入另一个方程，消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解。

这种解二元一次方程组的方法叫代入消元法，简称代入法。

2.用代入法解二元一次方程组的一般步骤：(1)从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含量一个未知数的代数式表示；(2)将变形后的这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；(4)将求得的这个未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值；(5)把求得的两个未知数的值用符号“｛”联立起来写成方程组的解的形式⎩⎨⎧b y a x ＝＝. 要点诠释：(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单和代入后化简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法。

如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法。

整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率。

知识点：加减消元法1.加减消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，加减消元法是通过将两个方程相加(或相减)消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫做加减消元法，简称加减法。

第12讲五年级数学代换法、消去法解题廖梅桂学案

3、某食堂第一次运进大米5袋，面粉7袋，共重1350千克，第二次运进大米3袋，面粉5袋共重850千克，一袋大米和一袋面粉各重多少千克？
4、5头牛、6匹马每天吃草139千克，6头牛、5匹马每天吃草125千克，1头牛、1匹马每天各吃草多少千克？
5、甲有5盒糖，乙有4盒糕共值22元，如果甲乙两人对换一盒，则每人所有物品的价值相等，求一盒糖、一盒糕分别值多少元？
分析消去问题时，可以先整理条件，比较出两个未知量的联系和区别，再解答。
（1）把两个未知量中其中一个未知量转化成相等的量。
（2）用消元的方法消去一个量。
（3）先求出保留的未知量，再求出消去的未知量。
3、注意事项：
应用消去法解答较复杂的应用题，需要运用到等式的基本性质；
在等式的两边同时乘以或除以一个数（0除外），等式仍然成立。
三、学法提炼
1、专题特点：有些应用题里，给出了两个或两个以上未知数量间的关系，要求这些未知数量，可以根据题中数据特点，通过分析比较，把题目中的条件按对应关系一一排列，分析对应的未知量的变化情况。去同存异，设法抵消掉其中的一个或两个未知数，只剩下的一个未知数。
2、解题方法：
先梳理好题目给出的条件，列出相应的等量关系式，在每个等量关系式中按相同的顺序排列不同的未知项，便于分析、比较、转化条件、抵消未知项、求解。
例4、买18张桌子和6把椅子共要1560元，10张桌子的价钱比6把椅子的价钱多680元。问每张桌子多少元？每把椅子多少元？
二、专题过关
1、小明在商店里买了4块橡皮和3把小刀，共付0.59元，小红买了同样的2块橡皮和3把小刀，共付0.43元，问一块橡皮和一把小刀的价钱各是多少？
2、3筐苹果和5筐鸭梨共重138千克，9筐同样的苹果和4筐同样的鸭梨共重216千克，每筐苹果和每筐鸭梨各重多少千克？

消元──二元一次方程组的解法

消元法的应用
பைடு நூலகம்
解二元一次方程组
定义方程组
转化方程组
执行消元
求解未知数
验证解的正确性
首先需要定义二元一次方程组的表达式，例如 `ax + by = e` 和 `cx + dy = f`。
将方程组中的每个方程转化为等式，例如 `a1x + b1y = e1` 和 `c1x + d1y = f1`。
通过数学运算，消去其中一个未知数，例如将第一个等式乘以某个系数后与第二个等式相减，从而消去 `y`。
反复检查每一步的计算是否正确。
03
未能正确转化二元为一元
有些学生在消元过程中未能正确地将二元一次方程组转化为一元一次方
程，导致无法得到正确的解。因此，需要加强对于消元法步骤和技巧的
掌握，确保在消元过程中不会出现错误。
解决难题的方法
加强基础知识掌握
熟练掌握二元一次方程组的概念和性质，以及消元法的步骤和技巧，是解决难题的基础。因此，学生需要加强对基础知识的掌握和理解。
步骤三
将得到的未知数的值代入原方程组中，求得另一个未知数的值。
步骤二
解一元一次方程，得到一个未知数的值。
步骤四
得到方程组的解。
02
具体消元法
代入消元法
总结词
通过将一个方程中的某个未知数用另一个未知数表示，并将其带入另一个方程，从而简化方程组。
详细描述
代入消元法是一种基本的消元方法，它通过将一个方程中的某个未知数用另一个未知数表示，并将其带入另一个方程，以简化方程组的求解过程。这种方法通常适用于具有线性方程的情况。
在数学和其他领域的应用
在数学领域的应用

数学消元法

数学消元法
数学消元法，也叫做高斯消元法，是一种求解线性方程组的有效方法。

线性方程组是一组由线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知量都是线性的，形如：a1x1 + a2x2 + … + anxn = b。

这种方程组在实际应用中非常常见，如经济学、物理学和工程学等领域。

消元法的基本思路是将方程组中的未知量逐一消去，从而达到求解的目的。

方法是通过“初等变换”来使方程组变换成一种容易求解的形式。

初等变换包括以下三种操作：
1. 交换任意两行或任意两列；
2. 用一个非零常数乘任意一行或任意一列；
3. 用一个非零数乘任意一行或一列，加到另外一行或一列上。

经过这些初等变换，原方程组将变换成形如三角形的方程组，易于求解。

这个过程被称为高斯消元法。

高斯消元法不仅可以用于解决线性方程组的问题，还可以用于求矩阵的逆、求解线性方程组的解空间等。

同时，消元法还具有一定的数值稳定性和误差小的特点，也是数值线性代数中的重要内容。

总之，消元法是解决线性方程组和相关问题的一种基本方法，它在实际应用中有着广泛的应用。

线性方程组消元法

§1 线性方程组消元法引例：用消元法求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+2875342622321321321x x x x x x x x x解：为观察消元过程，我们将消元过程中每个步骤的方程组及与其对应的矩阵一并列出：⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+2875342622321321321x x x x x x x x x ①←→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2836141722512 ① ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=-+1327202936223232321x x x x x x x ②←→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--13062/72/91232002 ② ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-+132130293622332321x x x x x x ③←→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--13062/132/91032002 ③ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-=-+20293622332321x x x x x x ④←→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--20612/91032002 ④ 从最后一个方程得到X3=2，将其代入第二个方程可得到x2=3，再将x2=3 与X3=2一起代入第一个方程得到x1=1。

通常我们把过程①——④称为消元过程，矩阵④是行阶梯型矩阵，与之对应的方程组④则称为行阶梯型方程组。

从上述过程可以看出，用消元法求解线性方程组的具体做法就是对方程组反复实施以下三种变换：（1）交换某两个方程的位置；（2）用一个非0数乘某一个方程的两边；（3）将一个方程的倍数加到另一个方程上去。

以上三种变换称为线性方程组的初等变换。

而消元法的目的就是利用方程组的初等变换将原方程组化为阶梯形方程组，显然这个阶梯形方程组与原方程组同解。

如果用矩阵表示其系数及常数项，则将原方程组化为阶梯形方程组的过程就是将对应矩阵化为行阶梯形矩阵的过程。

将一个方程组化为行阶梯形方程组的步骤并不是唯一的，所以，同一个方程组的行阶梯形方程组也不是唯一的。

基本不等式消元法和换元法的区别

基本不等式消元法和换元法的区别篇一：哎呀呀，我是一名小学生，对于基本不等式消元法和换元法，这可真是让我头疼了好久呢！先来说说消元法吧。

比如说，有这样一道题：已知x + 2y = 3，求2x + 4y 的最小值。

这时候，我们就可以把2x + 4y 变成2(x + 2y)，然后因为x + 2y = 3，所以2(x + 2y) = 2×3 = 6，这不就轻松得出答案啦？消元法就像是把一个复杂的拼图里多余的部分去掉，只留下我们需要的关键部分，让问题变得简单明了，难道不是吗？再讲讲换元法。

举个例子，有个式子是x + 1/x ，我们可以令t = x + 1/x ，然后对t 进行处理。

这就好比给式子穿上了一件新衣服，换了个样子，但是本质还是一样的，只是处理起来可能更容易了，你说神奇不神奇？那消元法和换元法到底有啥区别呢？消元法是直接利用已知条件把一些项消除掉，简化式子；而换元法是给式子中的一部分或者整个式子换一个新的“名字”，用新的变量来处理问题。

在解题的时候，要是遇到那种有很多变量，但是又有一些条件能把一些变量用其他变量表示出来的，那就用消元法，把复杂的式子变得简单。

要是式子看起来很复杂，找不到直接的关系，那就试试换元法，说不定换个角度就能找到突破口啦！反正我觉得吧，这两种方法都是数学解题的好帮手，就看我们怎么巧妙地运用它们啦！篇二：哎呀呀，说起基本不等式消元法和换元法，这可真是让我这个小学生好好琢磨了一番呢！咱先来说说消元法吧。

就好像我们在搭积木，有时候积木太多太乱，我们就得把一些不需要的拿走，让剩下的更好搭建。

消元法也是这样，在一个式子里面，如果有好几个未知数，我们就想办法把其中一些通过等式关系给去掉，只留下我们关心的那几个。

比如说，有个式子是“x + y + z = 10，然后还有个条件是y = 2x”，那我们不就可以把y 用2x 代替，式子就变成了“x + 2x + z = 10”，这不就把未知数y 给消掉了嘛！这难道不好理解吗？再看看换元法，它就像是变魔术一样！假如式子里面有个很复杂的部分，比如说“x² + 2x + 1”，看起来好麻烦对不对？那我们就设“t = x² + 2x + 1”，这样式子一下子就变得简单多啦，变成了关于t 的式子，处理起来是不是轻松了好多？那这两种方法到底有啥区别呢？消元法是直接把一些未知数用等式关系去掉，就像是在战场上直接消灭敌人；而换元法呢，是把复杂的部分用一个新的字母代替，就像是给复杂的东西穿上了一件简单的外套。