2015 上海海事大学线性代数复习 examA - 20121129-answer

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上海海事大学高等数学2012-2013(期中)解答

上海海事大学试卷2012 — 2013 学年第一学期期中测试《高等数学》解答一、选择题1、D2、B3、C4、C5、A6、B7、B 二、填空题：1、21-2、63、34、dx xee dy yy-=1 5、3 三、计算题1、解：原式=1221)121ln(lim )11ln(lim -⋅-+∞→+∞→-+=-+n nn n n n n n n 4分=2ln 2=e 8分2、解：22121)1(212121x x x x x y -=-⋅+-⋅-=' 5分 21)0(='y 8分（若2cos )2(sin ='，扣4分）3、解：原式=xeexx x -+→)1ln(0lim2分=20)1ln(0))1(ln(lim)1(limx x x e xe e x xxx x -+=-→-+→ 4分=22)111(lim 0e x x e x -=-+→ 8分4、解：)1ln(11)1ln(2222x x x x x x x x y ++=+-++++=' 6分dx x x dy )1ln(2++= 8分5、解：)21(22x e y x +=' 4分 )23(222x xe y x +='' 8分--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------分分、解：原式81)21()1(621)sin ()(cos lim 60 =-⋅'=⋅-⋅'=+→f xx x f x7、解：t t t t t dxdy =++=22211 4分t t t t dxy d 222211+=+⋅= 8分 8、解：由可导得到连续所以1;)0(,1)0(===+-b b f f 4分11)1(lim )0(,1lim )0(00-=--='=-='-→+-→-x x b f a x e f x ax x1-=a 8分四、应用与证明1、33131,03232xyy y y x -='∴='+--， 4分设切点为（x,y ）则切线方程为分为常数。

上海海事大学线性代数期末考试试卷集

上海海事大学线性代数期末考试试卷集上海海事大学线性代数期末考试试卷集第一部分：选择题（共50题，每题2分，共100分）1.设线性方程组的增广矩阵为 | 1 2 -1 3 | | 2 5 1 7 | | 3 7 2 10 | 若将第一行乘以2加到第二行得到新的增广矩阵，则新的增广矩阵的行3与原增广矩阵的行3之差的范数为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 62.设二次型f(x)=x^T A x=(x1,x2,x3)^T A (x1,x2,x3)。

若对任意非零的x=(x1,x2,x3)，有f(x)>0，则（） A. A是正定矩阵 B. A是半正定矩阵C. A是负定矩阵D. A是半负定矩阵3.设A是n阶矩阵，且A^2=-E，则（） A. n是奇数 B. n是偶数 C. A是可逆矩阵 D. A是非奇异矩阵4.设A是n×n的实对称矩阵，若A的特征值都为正数，则（） A. A是正定矩阵 B. A是半正定矩阵 C. A是负定矩阵 D. A是半负定矩阵5.设向量组{α1, α2, α3}线性无关，向量β可由α1, α2, α3线性表示为β=2α1-α2+3α3，则向量β与向量组{α1, α2, α3}的关系是（）A. 线性相关B. 不确定C. 线性无关D. 不可判断6.设A是3阶方阵，A的特征值为2、3、4，则A的迹是（） A. 9 B. 6 C.5 D. 77.设3维向量α=(1, 2, 3)^T，β=(2, 1, 3)^T，γ=(1, 1, 2)^T，则向量β与向量α的夹角为（） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°8.设A是n×n的矩阵，若A^T A=I，则A是（） A. 正交矩阵 B. 对称矩阵C. 反对称矩阵D. 斜对称矩阵9.设实矩阵A与B的秩分别为2和3，则矩阵C=AB的秩一定为（） A. 5 B.4 C. 3 D. 210.设A是n×n的实对称矩阵，若对任意非零的向量x，有x^T A x=0，则（） A. A是零矩阵 B. A是可逆矩阵 C. A是对称矩阵 D. A是反对称矩阵第二部分：填空题（共10题，每题5分，共50分）1.设A是n阶方阵，若A^2=-E，则n=______。

上海海事大学高等数学B(二)2011-2012(A)

第 1 页共 6 页上海海事大学试卷2011 — 2012 学年第二学期期末考试《高等数学B （二）》（A 卷）（本次考试不得使用计算器）班级学号姓名总分一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)1、设y x z arctan =，则2222yzx z ∂∂∂∂+=（）(A)4222xyx y ()+ ;(B)-+4222xyx y ();(C) 0;(D)2222xyx y ()+ 2、旋转抛物面1222-+=y x z 在点)2,1,1(-处的法线方程为（）（A ）124121--=+=-z y x ; （B ）124121--=-+=-z y x ; （C ）124121--=+=--z y x ; （D ）124121--=-=-+z y x .3、设函数22y x z -=，则（）（A ）函数z 在点(,)00处取得极大值;（B ）函数z 在点(,)00处取得极小值; （C ）点(,)00非函数z 的极值点;（D ）点(,)00是函数z 的最大值点或最小值点，但不是极值点.--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页共 6 页4、∑∞=1n nu为正项级数，下列命题中错误的是（）(A) 如果11<+n n u u ，则∑∞=1n n u 收敛; (B)如果1lim 1>+∞→n n n u u ，则∑∞=1n n u 发散;(C)如果1lim 1<+∞→n n n u u ，则∑∞=1n n u 收敛; (D)如果11>+nn u u ，则∑∞=1n n u 发散.二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)1、),,(z y x f =z yx1)(,则)1,1,1(df =2、D ：122≤+y x ，则σd e Dy x ⎰⎰+22=3、满足方程⎰+=x xt t y e y 0d )(的特解=y4、已知)1,2,2(),1,2,1(),1,1,1(),1,3,2(---D C B A ，则通过点A 且垂直于 B 、C 、D 所确定的平面的直线方程是三、计算题（必须有解题过程）（本大题分10小题，共 68分）1、(本小题7分)设f x y (,)有连续偏导数， )]},(,[,{)(,3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(21x x f x f x f x f f f =='='=ϕ，求ϕϕ(),()11'。

线性代数试卷答案

大连海事大学2016-2017（2）《线性代数》（46学时）模拟试卷一、选择题（15分，每小题3分）1、若111213212223313233a a a D a a a a a a =≠0，则11131112121212321222231333132322-4-102-4-102-4-10a a a a a D a a a a a a a a a a == （ A ）（A ）-40D （B ）-40D （C ）20D （D ）-20D 2、设A 、B 为n 阶方阵，则（ A ）（A ）A 且B 不可逆，则必有AB 不可逆（B ）A 或B 不可逆，则必有A +B 不可逆（C ）A 且B 可逆，则必有A +B 可逆（D ）A 或B 可逆，则必有AB 可逆3、设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，313233332122232311121313a a a a D a a a a a a a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭1001010100P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100010011P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则D =（ B ）（A ）12P AP （B ）112P AP - （C ）21P AP （D ）12TP AP 4、设A 是m x n 矩阵，B 是n x m 矩阵，则线性方程组（BA ）x =0（ C ）（A ）当n ＜ m 时仅有零解（B ）当n ＜ m 时必有非零解（C ）当n ＞ m 时必有非零解（D ）当n ＞ m 时仅有零解 5、a 1，a 2，a 3线性无关，a 2，a 3，a 4线性相关，则（ A ）（A ）a 4可由a 1，a 2，a 3线性表示（B ）a 3可由a 1，a 2，a 4线性表示（C ）a 2可由a 1，a 3，a 4线性表示（D ）a 1可由a 2，a 3，a 4线性表示 5*、若A ，B 均为n 阶正定矩阵，则下列不是正定矩阵的是（ D ）（A ）22A B + （B ）1()A B -+ （C ）11A B --+ （D ）AB二、填空题（15分，每小题3分）1、设12310001101101n nx x D x x -=--，当12n n n n D x D kD --=+时，k = 1 。

中国海洋大学《线性代数》2018-2019学年第二学期期末试卷A卷

一、填空题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.设 3 阶方阵 A 的行列式 |A |=3, 则 |2A −1A T |= .2.设 3 阶方阵 A =(1−1020102a ) 的伴随矩阵为 A ∗=(−23−1−63−14−22), 则 a = .3.设 n 阶方阵 A 满足 A 2+3A +2I =O ，则 (A −I)−1= .4.设 A =(α1,α2,α3)为3阶方阵，若 α1,α2 线性无关，且 α3=−α1+2α2，则齐次线性方程组 Ax =0 的一般解为 .5.设 3 阶方阵 A 的秩 r (A )=2，且 A (11203−1)=(12203−2)，则 A 的特征值为 . 6.已知矩阵 A =(23−50000a) 可对角化，则 a = . 二、选择题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.已知 A,B 均为 n 阶可逆方阵，k 为常数，则下列命题正确的是( ). A. |A +B |=|A |+|B | B. (A +B)T =A T +B T C. (A +B)−1=A −1+B −1 D. |kAB |=k |A ||B |2.设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第2列加到第1列得矩阵 B ，再交换 B 的第2行与第3行得单位矩阵，记P 1=(100110001), P 2=(100001010)，则 A =( ). A.P 1P 2 B. P 1−1P 2 C. P 2P 1 D. P 2P 1−1中国海洋大学《线性代数》2018-2019学年第二学期期末试卷A卷3.已知向量组 α1,α2,α3 是线性无关的, 则下列向量组中相关的是( ). A. α1+α2,α2+α3,α3+α1 B. α1−α2,α2−α3,α3+α1 C. α1+2α2,2α2+3α3,α1+4α2+3α3 D. α1+2α3,3α1+α2,2α2+3α34.设 A 为 m ×n 型矩阵，B 为 n ×p 型矩阵, 则下列条件中, 不能推出线性方程组 (AB )x =0 有非零解的是( ).A ． m <p B. 线性方程组 Ay =0 有非零解 C. n <p D. 线性方程组 Bx =0 有非零解 5.设矩阵 A =(2−1−1−12−1−1−12) 与 B =(10010000)，则 A 与 B ( ). A ．合同且相似 B ．合同但不相似 C ．不合同，但相似 D ．既不合同，也不相似6.设 A 是 3 阶实对称矩阵, E 是 3 阶单位矩阵, O 是 3 阶零矩阵；若 A 2+A −2E =O ，且 |A |=4，则二次型 x T Ax 的规范型是( ).A ．y 12+y 22+y 32；B ．y 12+y 22−y 32；C ．y 12−y 22−y 32；D ．−y 12−y 22−y 32三、计算题(共 5 题，每题 6 分，共 30 分) 1.计算 n 阶行列式||011⋯11101⋯11110⋯11⋮⋮⋮⋱⋮⋮111⋯01111⋯1|| 2.已知矩阵 A =(1234−21−113−22−30020)，A ij 表示元素 a ij 的代数余子式，求 A 11−A 12.3.设向量组 α1=(1,−1,1,2)T ，α2=(−1,2,0,0)T ，α3=(1,2,4,8)T ，α4=(−1,1,1,1)T ，α5=(2,−1,1,3)T ；求此向量组的秩及一个极大线性无关组, 并将其余向量用极大线性无关组线性表示. 4.已知 R 2的两组基为 B 1={α1,α2}，B 2={β1,β2}，其中 α1=(1,−1)T ，α2=(1,0)T ；β1=(1,2)T ，β2=(3,5)T ； (1)求从基 B 1到基 B 2的过渡矩阵；(2)若向量 γ在基 B 1下的坐标为 (−1,1)T , 求 γ 在基 B 2下的坐标. 5.设 A =(201311405)，B 与 A 相似，求 |B |，|B −1+E |，其中 B −1是 B 的逆矩阵，E 是 3 阶单位矩阵. 四、证明题(共 1 题， 8 分)设 α1,α2,α3 是 n 阶方阵 A 的3个特征向量，且它们对应的特征值互不相等，若β=α1+α2+α3，证明：β,Aβ,A 2β线性无关. 五、解方程组（共1题，14分）讨论 a,b 取何值时,线性方程组{x 2+2x 3−2x 4=−1x 1+x 2+2x 3−x 4=1x 2+(a +1)x 3+bx 4=b −2x 1+x 2+2x 3+(b −2)x 4=b +3无解、有无穷多解、有唯一解, 并且在有无穷多解时写出方程组的一般解. 六、二次型（共1题，12分）已知二次型 f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32−6x1x2−6x1x3−6x2x3，利用正交变换法, 将二次型 f(x1,x2,x3)化为标准型, 并写出相应的正交矩阵.一、填空题1.设 3 阶方阵 A 的行列式 |A |=3, 则 |2A −1A T |= . 解：|2A −1A T |=23|A −1|∙|A T |=8 |A |−1 |A |=8.2.设 3 阶方阵 A =(1−1020102a ) 的伴随矩阵为 A ∗=(−23−1−63−14−22), 则a = .解：矩阵 A 的第1行第2列的元素 −1的代数余子式为 A 12=−6；又 A 12=(−1)1+2M 12=−|210a |=−2a ，即 −2a =−6，则 a =3.3.设 n 阶方阵 A 满足 A 2+3A +2I =O ，则 (A −I)−1= . 解：A 2+3A +2I =O ⟹(A −I )(A +4I )=−6I ⟹(A −I)−1=− A +4I 6.4.设 A =(α1,α2,α3)为3阶方阵，若 α1,α2 线性无关，且 α3=−α1+2α2，则齐次线性方程组 Ax =0 的一般解为 .解：由已知，得 r (A )=2，则 Ax =0 的基础解系含有 3−r (A )=1 个解向量；α3=−α1+2α2⟺α1−2α2+α3=0⟹(α1,α2,α3)(1−21)=0，即 ξ=(1,−2,1)T ≠0 是 Ax =0 的解，可以做基础解系；则 Ax =0 的一般解为 x =kξ=k(1,−2,1)T ，k 任意.5.设 3 阶方阵 A 的秩 r (A )=2，且 A (11203−1)=(12203−2)，则 A 的特征值为 .解：记 α1=(1,2,3)T ，α2=(1,0,−1)T ，则有 A (α1,α2)=(α1,2α2)，于是，{Aα1=α1⟹λ1=1Aα2=2α2⟹λ2=2；又 r (A )=2⟹|A |=0⟹λ3=0；答案则 A 的特征值为1，2，0. 6.已知矩阵 A =(23−50000a) 可对角化，则 a = . 解：矩阵 A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−2−350λ00−aλ|=λ2(λ−2), 则 A 的特征值为 λ1=λ2=0, λ3=2；A 可对角化，则对特征值 λ1=λ2=0，齐次线性方程组 (0I −A)x =0 , 即 Ax =0 的基础解系包含的向量个数为 2=3−r (A )⟹r (A )=1，从而 a =0. 二、选择题1.已知 A,B 均为 n 阶可逆方阵，k 为常数，则下列命题正确的是( B ). A. |A +B |=|A |+|B | B. (A +B)T =A T +B T C. (A +B)−1=A −1+B −1 D. |kAB |=k |A ||B |2.设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第2列加到第1列得矩阵 B ，再交换 B 的第2行与第3行得单位矩阵，记 P 1=(100110001), P 2=(10001010)，则 A =( D ). A.P 1P 2 B. P 1−1P 2 C. P 2P 1 D. P 2P 1−1解：P 1=E 12(1)，P 2=E 23，A c 1+c 2 ⇒ B r 2↔r 3⇒ I ，则有 I =E 23B =E 23AE 12(1)⟹A =E 23−1 IE 12−1(1)=E 23E 12−1(1)=P 2P 1−1.3.已知向量组 α1,α2,α3 是线性无关的, 则下列向量组中相关的是( C ). A. α1+α2,α2+α3,α3+α1 B. α1−α2,α2−α3,α3+α1 C. α1+2α2,2α2+3α3,α1+4α2+3α3 D. α1+2α3,3α1+α2,2α2+3α34.设 A 为 m ×n 矩阵，B 为 n ×p 矩阵, 则下列条件中, 不能推出线性方程组 (AB )x =0 有非零解的是( B ).A ． m <p B. 线性方程组 Ay =0 有非零解 C. n <p D. 线性方程组 Bx =0 有非零解解：(1)AB 为 m ×p 矩阵；r (AB )≤r (A )≤{mn；若 m <p 或 n <p ，都有 r (AB )<p ，则 (AB )x =0 有非零解； (2)线性方程组 Bx =0 有非零解，从而 ABx =A0=0 则 (AB )x =0 有非零解. 5.设矩阵 A =(2−1−1−12−1−1−12) 与 B =(10010000)，则 A 与 B ( B ). A ．合同且相似 B ．合同但不相似 C ．不合同，但相似 D ．既不合同，也不相似解：A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−2111λ−2111λ−2|=λ(λ−3)2,则 A 的特征值为 λ1=λ2=3, λ3=0；因此，A 与 B 有相同的正惯性指数2，相同的负惯性指数0；则 A 与 B 合同，但是不相似，因为相似矩阵的特征值相同. 6.设 A 是 3 阶实对称矩阵, E 是 3 阶单位矩阵, O 是 3 阶零矩阵；若 A 2+A −2E =O ，且 |A |=4，则二次型 x T Ax 的规范型是( C ).A ．y 12+y 22+y 32；B ．y 12+y 22−y 32；C ．y 12−y 22−y 32；D ．−y 12−y 22−y 32解：设 A 的特征值为 λ，则 A 2+A −2E 的特征值为 λ2+λ−2，因为 A 2+A −2E =O ，而零矩阵 O 的特征值均为0，于是有 λ2+λ−2=0⟹(λ+2)(λ−1)=0⟹λ=1或−2；即 A 的特征值只能为 1 或 −2；又因 |A |=4，则 A 的特征值为 1，−2，−2. 所以，A 的正惯性指数为1，负惯性指数为2；则二次型的规范形中有1项正平方项，系数为1； 2项负平方项，系数为 −1. 三、计算题 1.计算 n 阶行列式||011⋯11101⋯11110⋯11⋮⋮⋮⋱⋮⋮111⋯01111⋯1||. 解：||011⋯11101⋯11110⋱⋮⋮⋮⋮⋱⋱1111⋯10111⋯110|| 12n (n −1)||111⋯11101⋯11110⋱⋮⋮⋮⋮⋱⋱1111⋯10111⋯110||i 1(n −1)|111⋯10−10⋯000−1⋱⋮⋮⋮⋱⋱000⋯0−1|=(−1)n−1(n −1).2.已知矩阵 A =(1234−21−113−22−30020)，A ij 表示元素 a ij 的代数余子式，求 A 11−A 12.解：A 11−A 12=1∙A 11+(−1)∙A 12+0∙A 13+0∙A 14=|1−100−21−113−22−30020|=2∙(−1)4+3|1−10−2113−2−3|c 2+c 1−2|100−2−1131−3|=−2∙1∙(−1)1+1|−111−3|=−4.3.设向量组 α1=(1,−1,1,2)T ，α2=(−1,2,0,0)T ，α3=(1,2,4,8)T ，α4=(−1,1,1,1)T ，α5=(2,−1,1,3)T ；求此向量组的秩及一个极大线性无关组, 并将其余向量用极大线性无关组线性表示.解：记矩阵 A =(α1,α2,α3,α4,α5)=(1−11−12−1221−11041120813)初等行变换⇒ (10402013010001−1000)， ①秩{α1,α2,α3,α4,α5}=3；②α1,α2,α4 是 α1,α2,α3,α4,α5 的一个极大线性无关组； ③ α3=4α1+3α2，α5=2α1+α2−α4.4.已知 R 2的两组基为 B 1={α1,α2}，B 2={β1,β2}，其中 α1=(1,−1)T ，α2=(1,0)T ；β1=(1,2)T ，β2=(3,5)T ；(1)求从基 B 1到基 B 2的过渡矩阵；(2)若向量 γ 在基 B 1下的坐标为 (−1,1)T , 求 γ 在基 B 2下的坐标. 解：(1)记矩阵 B 1=(α1,α2)=(1−1 10)，B 2=(β1,β2)=(12 35)，因为 (β1,β2)=(α1,α2)A ，即 B 1A =B 2，解此矩阵方程(B 1,B 2)=(1−1 10 12 35)初等行变换⇒ (10 01 −23 −58)=(I,A)则从基 α1,α2到基 β1, β2的过渡矩阵 A =(−23 −58)(2)两种方法：已知 γ 在基 α1,α2下的坐标为 γB 1=(1,−1)T ，设 γ 在基 β1,β2下的坐标为 γB 2，方法1：因为 γ=B 1γB 1=(1−1 10)(1−1)=(0−1)；又有 γ=B 2γB 2，则求解该方程组(B 2,γ)=(12 35 |0−1)初等行变换⇒ (10 01 |−31),则 γ 在基 B 2下的坐标向量 γB 2=(−31)；方法2：因为 A γB 2=γB 1，求解该非齐次线性方程组(A,γB 1)=(−23 −58 |1−1)初等行变换⇒ (10 01 |−31)=(I,γB 2)则 γ 在基 β1,β2下的坐标为 γB 2=(−31).5.设 A =(201311405)，B 与 A 相似，求 |B |，|B −1+E |，其中 B −1是 B 的逆矩阵，E 是 3 阶单位矩阵. 解：A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−20−1−3λ−1−1−40λ−5|=(λ−6)(λ−1)2,则 A 的特征值为 λ1=λ2=1, λ3=6； B 与 A 相似，则 B 的特征值也是 1,1,6；从而{B −1的特征值为 1,1, 16B −1+E 的特征值为 1+1,1+1, 1 6+1，即2, 2,76于是 {|B |=1∙1∙6=6|B −1+E |=2∙2∙ 7 6=14 3 四、证明题设 α1,α2,α3 是 n 阶方阵 A 的3个特征向量，且它们对应的特征值互不相等，若β=α1+α2+α3，证明：β,Aβ,A 2β线性无关. 证：β=α1+α2+α3，Aβ=A (α1+α2+α3)=λ1α1+λ2α2+λ3α3，A 2β=AAβ=A (λ1α1+λ2α2+λ3α3)=λ12α1+λ22α2+λ32α3；于是 (β, Aβ,A 2β)=(α1,α2,α3)(1λ1λ121λ2λ221λ3λ32)=(α1,α2,α3)C ，其中：矩阵 C=(1λ1λ121λ2λ221λ3λ32)，因为 λ1≠λ2≠λ3，则 |C |=|1λ1λ121λ2λ221λ3λ32|=(λ2−λ1)(λ3−λ1)(λ3−λ2)≠0⟹C 可逆，于是，秩{β, Aβ,A 2β}= 秩(β, Aβ,A 2β)= 秩((α1,α2,α3)C ) = 秩(α1,α2,α3)=秩{α1,α2,α3}=3⟹β, Aβ,A2β 线性无关.五、解方程组讨论 a,b 取何值时,线性方程组{x2+2x3−2x4=−1x1+x2+2x3−x4=1x2+(a+1)x3+bx4=b−2x1+x2+2x3+(b−2)x4=b+3无解、有无穷多解、有唯一解, 并且在有无穷多解时写出方程组的一般解. 解：方程组的增广矩阵(A,d)=(012−2112−101a+1b112b−2|−11b−2b+3)r1↔r2 ⇒(112−1012−201a+1b112b−2|1−1b−2b+3)r4−r1r1−r2⇒r3−r2(1001012−200a−1b+2000b−1|2−1b−1b+2)r3−r4 ⇒ (1001012−200a−13000b−1|2−1−3b+2)=(U1,d′)Ax=d 与 U1x=d′为同解方程组：(1)当|U1|=(a−1)(b−1)≠0，即 a≠1 且 b≠1 时，原方程组有唯一解；(2)当 b=1 时，增广矩阵(A,d)初等行变换⇒(1001012−200a−130000|2−1−33)则原方程组无解；(3)当 a=1 且 b≠1 时，增广矩阵(A,d)初等行变换⇒(1001012−200010000|2−1−12b+1)①当 2b +1≠0，即 b ≠− 12 时，则原方程组无解；②当 2b +1=0，即 b =− 12时，增广矩阵(A,d )初等行变换⇒ (100012000010000| 3−3−10)=(U 2,d ′′) 取 x 3 为自由未知量，1)令 x 3=0，代入 U 2x =d ′′，得原方程组的一个特解 x 0=(3,−3,0,−1)T ； 2)令 x 3=1，代入 U 2x =0，得 Ax =0 的一个基础解系 ξ=(0,−2,1,0)T ；则原方程组的通解为 x =x 0+kξ=(3−30−1)+k (0−210)，k 任意；综上，{当 a ≠1 且 b ≠1 时，方程组有唯一解；当 b =1或 a =1且 b ≠− 12 时，方程组无解；当 a =1且 b =− 1 2时，方程组有无穷多解.六、化二次型为标准型已知二次型 f (x 1,x 2,x 3)=x 12+x 22+x 32−6x 1x 2−6x 1x 3−6x 2x 3，利用正交变换法, 将二次型 f (x 1,x 2,x 3)化为标准型, 并写出相应的正交矩阵. 解：二次型对应的矩阵 A =(1−3−3−31−3−3−31) A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−1333λ−1333λ−1|=(λ−4)2(λ+5)则 A 的特征值为 λ1=λ2=4，λ3=−5； ①对于 λ1=λ2=4，由(λ1I −A)x =0，即 (333333333)(x 1x 2x 3)=0，得基础解系 {ξ1=(−1,1,0)Tξ2=(−1,0,1)T ， 1)正交化：取 β1=ξ1=(−1,1,0)T ，令 β2=ξ2−(ξ2,β1)(β1,β1) β1=(− 1 2,− 12,1)T ，2)单位化：令 η1=1‖β1‖β1=(−1√2,1√2,0)T ；η2=1‖β2‖β2=(−1√6,−1√62√6)T；②对于特征值 λ3=−5，由(λ3I −A)x =0，即 (−6333−6333−6)(x 1x 2x 3)=0，得基础解系为 ξ3=(1,1,1)T ，单位化得：η3=1‖ξ3‖ξ3=(1√31√3,1√3)T；③记矩阵 Q =(η1,η2,η3)=(√2√6√3√2√6√30√6√3)，则 Q 为正交阵，且使得 Q TAQ =Q −1AQ =Λ=(44−5)④令 x =(x 1,x 2,x 3)T ，y =(y 1,y 2,y 3)T ，做正交变换 x =Qy ，原二次型就化成标准形 x T Ax =y T (Q T AQ )y =4y 12+4y 22−5y 32.。

上海交通大学线性代数期末试卷合集

目录线性代数试卷（A）2004-06-16 (2)线性代数03－04学年第2学期期末考试参考答案 (8)线性代数试卷(A) 2003-12-31 (11)线性代数2003－2004学年度第1学期期末考试参考答案 (17)线性代数试卷(A) 2005-06-22 (20)线性代数（04－05－2）期末试卷（A）参考答案 (26)线性代数试卷(A) 2004-12-29 (30)线性代数（04－05－1）期末试卷（A）参考答案 (36)线性代数试卷（A卷）2006－06－21 (39)线性代数参考答案 (45)线性代数(B)试卷----A卷2006-1-4 (48)线性代数（B）（05－06－1）期末试卷（A）参考答案 (54)线性代数(C) 试卷----A卷2006-1-4 (57)线性代数（C）（05－06－1）期末试卷（A）参考答案 (63)上海交通大学线性代数试卷（A ） 2004-06-16姓名____________班级___ _______学号______________得分一、选择题（每题3分，共15分） 1. 设n 阶行列式D =nija ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则下列各式中正确的是 (A) 01=∑=ni ij ij A a ；(B) 01=∑=nj ij ij A a ；(C) D A a nj ij ij =∑=1；(D) D A a ni i i =∑=1212. n 阶实对称矩阵A 和B 相似的充分必要条件是(A) A 与B 都有n 个线性无关的特征向量； (B) )()(B r A r =；(C) A 和B 的主对角线上的元素的和相等； (D) A 与B 的n 个特征值都相等3. 设1α,2α,3α,4α是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则下列向量组中不再是0=Ax 的基础解系的为________________ (A) 1α,1α+2α,1α+2α+3α,1α+2α+3α+4α； (B) 1α+2α,2α+3α,3α+4α,4α-1α； (C) 1α+2α,2α-3α,3α+4α,4α+1α； (D) 1α+2α,2α+3α,3α+4α,4α+1α4. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=--=++222513321321321x x x b x x x x x x 有无穷多组解，则必有_______________(A) b ＝1 (B) b ＝－1 (C) b ＝2 (D) b ＝－2 5. 设向量组[Ⅰ]是向量组[Ⅱ]的线性无关的部分向量组，则____ ___(A) 向量组[Ⅰ]是[Ⅱ]的极大线性无关组 (B) 向量组[Ⅰ]与[Ⅱ]的秩相等(C) 当[Ⅰ]中向量均可由[Ⅱ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价 (D) 当[Ⅱ]中向量均可由[Ⅰ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价二、填空题（每题3分，共15分）1．设 1-，5，λ 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=120222023A 的特征值，则λ= ，A 对应三个特征值的特征向量是 ,且（选填；线性无关，线性相关，相互正交，相互不正交）2．设A 为n 阶可对角化矩阵,且n E A r <-)(,则A 必有特征值λ＝；且其重数为，其对应的线性无关的特征向量有个 3．已知实二次型),,(321x x x f = 31212322212232x x x x x x x ++++λ是正定二次型，则参数λ的取值范围为4．设23A ⨯为矩阵，已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0211ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1032ξ都是齐次线性方程组0=AX 的解，则矩阵A ＝（答案不唯一） 5．设A 为n 阶可逆阵，且E A A ||2=，则*A =三、计算题（每题9分，共54分）1. 试求行列式 ||A ，||B ，||C ，其中，A ，B 为 n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=x x xA 111111111 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n B00020001，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00B A C2. 已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+bx ax x x x x x 321312111，（1）常数b a ，取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解．3．设4阶方阵C B A ，，满足方程 11)2(--=-C A B C E T ，试求矩阵A ，其中1232120101230120,0012001200010001B C --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．求正交变换y Q x =，用此正交变换将以下实二次型化为标准形),,(321x x x f =121323222x x x x x x ++5．设34()2,A r A ⨯=为矩阵，且已知非齐次线性方程组 Ax b = 的三个解为1η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2011， 2η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4112， 3η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11354，求：(1) 齐次线性方程组0Ax =的通解；(2) 非齐次线性方程组Ax b =的通解6．设线性空间3R 中的向量组为1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--221，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-031，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-601，4α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-283，1β=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210，2β=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--652（1）求由1α,2α,3α,4α生成的子空间L(1α,2α,3α,4α)的维数与一个基；（2）从1β,2β中选出属于L(1α,2α,3α,4α)的向量，并求出它们在（1）中所选的基下的坐标。

上海海事大学《概率论与数理统计》第一学期期末考试试卷

第 1 页共 3 页上海海事大学试卷20xx — 20xx 学年第一学期期末考试《概率论与数理统计（54学时）》（A 卷）参考答案一、填空题（共7题，每题4分，共28分）请将正确答案写在题目后面的横线上。

1. 518，7122． 1[ln(/2)])0()0yY f y y f y y >⎧⎪=⎨≤⎪⎩3. 0.84464. a =0.1，b =0.35．max(,)120.60.4X Y P6. n, 27. (4.412,5.588)二、计算题（共6题，第1,2题每题10分，第3题16分，第4,5,6题每题12分，共72分）请将正确答案写在每小题后。

1. 解：全概率公式31255354402()()()100100100100100100i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯∑ (6分)0.0345= (4分)2. 解：(1)0501()0B B 15x x dx dx e dx ϕ+∞+∞--∞-∞=+==⎰⎰⎰ (3分)故B=5 。

(2)0.2510(10.2)510.6321.x P x e dx e ---≤≤==-≈⎰ （3分）(3)当x<0时,F(x)=0;当0≥x 时，xxxx e dx e dx dx x x F 50515)()(-∞-∞---=+==⎰⎰⎰ϕ--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页共 3 页故⎩⎨⎧<≥-=-00,,01)(5x x ex F x. （4分） 3．解：(1)⎪⎩⎪⎨⎧<<===⎰⎰-∞∞-他其0202/)4/1(),()(x x dy dy y x f x f xx X （4分）（2）当20<<x 时，⎩⎨⎧<<-==他其0)2/(1)(),()(x y x x x f y x f x y f X X Y （3分）（3）{}1012P Y X >==（3分）（4）⎰==202,3/4)2/()(dx x X E ⎰⎰==-2,0)4/()(xxdy y dx Y E ⎰⎰==-2,0)4/()(xxdy y xdx XY E 0)()()(),cos(=-=Y E X E XY E Y X所以X 与Y 不相关. （6分） 4. 解：（1） 0.0365(1095)10.04P X e -≤=-≈ 记"10001095"""Y Z ==件产品中寿命小于的产品件数保险公司的利润则~(1000,0.04)Y B ，10001002000Z Y =⨯- (6分) （2）由中心极限定理，40~(0,1)6.2Y N -近似，令B:保险公司亏本4010{}{0}{50}{}1(1.61)0.0546.2 6.2Y P P P Y P -=≤=≥=≥≈-Φ=B Z (6分)5.(1) 28/1681===∑=i i X X ，令 X p X E =-=43)(，得 p 的矩估计为 4/14/)3(ˆ=-=X p. (5分) (2) 似然函数为4281)]3()[2()]1()[0()()(=======∏=X P X P X P X P x X P p L i i42)21()1(4p p p --=)21ln(4)1ln(2ln 64ln )(ln p p p p L -+-++=第 3 页共 3 页令 0218126])(ln [=----='pp p p L ， 0314122=+-⇒p p 12/)137(±=⇒p . 由 2/10<<p ，故12/)137(+=p 舍去所以p 的最大似然估计值为 .2828.012/)137(ˆ=-=p(7分) 6.（1）解：2201:100,:100H H σσ≤>.拒绝域的形式为220.058{(8)15.507}100S D χ=>=. 代入数据得2816.0320.56100D ⨯=∈，故应拒绝0H . 即在显著性水平0.05α=下不能认为包装机该天的工作正常. （6分）（2）解：设2222012112H H σσσσ=≠：；：21022,~(76)S H F F S =真时，拒绝域为F ≤F 1-0.025(7, 6)=1/5.12=0.1953 或 F ≥F 0.025(7, 6)=5.722120.204,0.397,F 0.51(0.1953,5.7)s s F ==≈∈的观察值为故应接受H 0. 即认为甲,乙两台机床加工的产品精度无显著差异. （6分）。

上海海事大学概率论与数理统计期末复习

1.2.1 确定概率的频率方法
频率的稳定性观察历史上有多位有名的科学家的“抛硬币”试验结果，有什么规律?
实验者德.摩根（De.Morgan）蒲丰(Buffon） K.皮尔逊（K.Pearson） K.皮尔逊（K.Pearson）
n 2048 4040 12000 24000 nH 1061 2048 6019 12012 fn(H) 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
休息结束
运算律
事件运算
吸收律重余律
对应
集合运算
A S A A A ( A B ) A
A S S A A A ( AB ) A
AA
幂等律
A A A A A A
休息结束
交换律结合律
A B B A
AB BA
其特征为：
1）随机试验或观察的所有可能结果为有限个，每次试验或观察发生且仅发生其中的一个结果； 2）每一个结果发生的可能性相同。对古典概型,某随机事件 A发生的概率:
A包含的基本事件数 P( A ) S中基本事件的总数
休息结束
古典概率计算举例
例1 把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写
休息
结束
这个事实表明，偶然现象背后隐藏着必然性。“频率稳定性”就是偶然性中隐藏的必然性。“频率稳定值”就是必然性的一种度量，反映了偶然现象发生可能性的大小。
概率的统计定义
为了研究事件 A 的概率，在相同的条件下，重复进行 n 次试验，若 A 出现（发生）了 k 次，则称
k 为事件 A 的频率 f n( A) n
A
i 1

i
休息

上海大学《线性代数》2014-2015 春期末试卷及答案

C. a= b或a + 2b ≠ 0 ；
D. a ≠ b且a + 2b ≠ 0 .
三、计算题：（每题 10 分，5 题共 63 分）
1234 4567 11.(10 分)设 D = 1 2 1 2 ，设 Aij 为元素 aij 的代数余子式。 3362
(1)(4 分) 计算 A12 + 4 A22 + A32 + 3A42 ；
x1
−
x2
−
k 2 x3
=−k
一解和有无穷多解，并在有无穷多解时，求它的通解。
16.(11 分)设二次型 f = ax12 + x22 + 2x32 − 2x1x3 + 2x2 x3 对应的矩阵秩为 2，试确定参数 a 的
值，并用正交变换将此二次型化为标准形(需写出正交变换及标准形)。
四、证明题：（每题 6 分，2 题共 12 分）
121
1 1 −1
0
12. 解：设
J
=
1
0
，则
A=
J +I
2 0
0
= 因为 J 2 = 0 0 , J 3 0 2 0 0
所以
An =(J + I )n =I n + Cn1I n−1J + Cn2I n−2 J 2
1
=I
+
nJ
+
n(n −1) 2
J2
= n n(n −1)
1 2n
1
1
1
1 −1
14.(12 分)= 求向量组 α1 (1= , 2,3, 4)T ,α2 (1= ,3, 4, 2)T ,α3 (1= , 0,1, a)T ,α3 (3, 7,10,10)T

线性代数考试练习题带答案大全(二)

线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关，（B ）列向量组线性相关，（C ）行向量组线性无关，（D ）行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出，（B ）β必不可由,,αγδ线性表出，（C ）δ必可由,,αβγ线性表出，（D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-；（B ）0λ>；（C ）1λ>；（D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ）所对应的行列式的值都等于1；（C ）相乘仍为初等矩阵；（D ）相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为。

9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

中国海洋大学《线性代数》试卷-2021-2022学年第二学期期末试卷A卷

中国海洋大学2021年春季学期《线性代数》课程试卷试卷 A 考试方式闭卷考试时间（120分钟）一.填空题1.若二次型322123222132122),,(x tx x x x x x x x x f ++++=为正定二次型,则t 的取值范围为解: .22<<-t二次型对应矩阵为,120211012⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=tt A应用二次型A 为正定二次型的充分必要条件为A 的顺序主子式全大于零:显然 ,011112,0221>==>=D D由021||23>-==tA D 得 .22<<-t二.计算题1.设二次型323121232232184434),,(x x x x x x x x x x x f +-+-=. (1) 写出二次型f 的矩阵表示;(2)用正交变换把二次型f 化为标准型,并写出相应的正交矩阵.解: (1).342442220)(),,(321321321AX X x x x x x x x x x f T =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=(2)求解特征多项式:)36)(1(34244222||2=--=+-----=-λλλλλλA E得特征根为 .6,6,1321-===λλλ求解对应矩阵方程)3,2,1(0)(==-i X A E i λ得特征向量分别为.)2,1,1(,)2,5,1(,)1,0,2(321T T T -==-=ξξξ各自单位化得.)62,61,61(,)302,305,301(,)51,0,52(321T T T -==-=ηηη记 ),(321ηηη=P 作正交变换,PY X = 则f 标准化为 .66232221y y y f -+=2.设二次型323121232221321222),,(x x x x x x x x x x x x f βα+++++=经正交变换PY X =化为23222y y f +=,其中T T y y y Y x x x X )(,)(321321==是三维列向量,P 是3阶正交矩阵, 试求常数.,βα解: 记原二次型及其标准型所对应的矩阵分别为A 和B ,即,200010000,11111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A ββαα由.1B AP P =-得 ||||B E A E -=-λλ,即2100||11111||--=-=---------=-λλλλλββλααλλB E A E解得 λλλβαλβαλλ22)()2(32322223+-=-+--+- 两多项式相等则对应系数项相等,所以有⎪⎩⎪⎨⎧=-=--0)(22222βαβα 解得 0==βα.3.设矩阵,21010*********⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y A(1)已知A 的一个特征值为3,求y ; (2) 求矩阵P ,使)()(AP AP T为对角矩阵.解:(1) 将3代入特征方程得 01100130000310013|3|=-----=-y A E解得 2=y (2)由P A P AP A P AP AP T T T T 2)()(==知只需求矩阵P ,使P A P T 2为对角矩阵.计算得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5404500001000012A 为对称矩阵,其特征值为 .9,14321====λλλλ对应于1321===λλλ的特征向量为.)1,1,0,0(,)0,0,1,0(,)0,0,0,1(321T T T -===ξξξ对应于94=λ的特征向量为.)1,1,0,0(4T=ξ 验证以上四个向量已经两两正交,分别单位化得,)21,21,0,0(,)0,0,1,0(,)0,0,0,1(321T T T -===ηηη.)21,21,0,0(4T =η令),(4321ηηηη=P 则=)()(AP AP T ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=9000100001000012P A P T .或者,应用配方法:24243222143242322212432159)54(5855),,,(x x x x x x x x x x x X A X x x x x f T ++++=++++==令 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+===44433221154x y x x y xy x y 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-===44433221154y x y y x y x y x则二次型标准化为242322214321595),,,(y y y y x x x x f +++=所求矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=10005410000100001P ,=)()(AP AP T⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=59000500001000012P A P T .4.考虑二次型32322123222132142244),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=λ. 问λ为何值时,f 为正定二次型?解: 应用二次型A 为正定二次型的充分必要条件为A 的顺序主子式全大于零:二次型对应矩阵为,4212411⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=λλA 则应有,0441,01221>-==>=λλλD D 0844||23>+--==λλA D解不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧>+-->-08440422λλλ得 ⎩⎨⎧<<-<<-1222λλ所以当12<<-λ时,f 为正定二次型.5. 设B A ,分别为n m ,阶正定矩阵,试判定分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B AC 00是否为正定矩阵.解: 根据正定矩阵定义:AX X f T=正定的充分必要条件为AX X f T =>0,(对任意X ≠0).设 0,,),,(,),,(11≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛===Z Y X Z y y Y x x X Tn Tm ,则X,Y 不全为0,不妨设X ≠0,由题意得)0,0(,0,0≠≠>>Y X BY Y AX X TT 所以(),00000>+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=BY Y AX X Y X B A Y X Z B AZ CZ Z TT T T T T从而C 为正定矩阵. 四.证明题1. 设A 是m 阶正定矩阵,n m B ⨯是实矩阵,证明:.)(n B r AB B T=⇔正定证明: 充分性:显然AB B T是对称矩阵.设X 为任意非零向量,则)()()(BX A BX X AB B X T T T = 因为,)(n B r =所以方程组0=BX 有唯一零解, 从而若0≠X ,则必有0≠BX .又因为A 是m 阶正定矩阵,所以.0)()()(>=BX A BX X AB B X TT T 必要性.对任意非零向量X 有0)()()(>=BX A BX X AB B X TT T . 其中必有0≠BX .亦即方程组0=BX 有唯一零解. 由此可得 .)(n B r =2. 设A 为正定矩阵,证明1||>+A E .证明: 设A 的特征值为),,2,1(n i i =λ,因为A 为正定矩阵,所以A 的特征值全大于0.而A E +的特征值为),,2,1(1n i i =+λ, 所以1)1(||1>+=+∑=ni i A E λ.3.设A 为m ×n 阶矩阵,E 为n 阶单位矩阵,已知,A A E B T+=λ试证:当0>λ时, B 为正定矩阵.证明:,)(B A A E A A E A A E B TT T T T =+=+=+=λλλ所以B 为对称矩阵. 设,),,(1≠=X x x X T n ,则)()()()(AX AX X X X A A X X X X A A E X BX X T T T T T T T T +=+=+=λλλ0>λ0,≠X ,所以X X T λ>0, )()(AX AX T>0,0>λ从而 BX X T >0, 即B 为正定矩阵.。

上海海事大学2012年1月离散数学期末考试题

上海海事大学试卷2011 — 2012 学年第一学期期末考试《离散数学》（A 卷）班级学号姓名总分注：N={0,1,2,3,….}1.(7’)用题中所提供的变元将下面一段论述转化成命题公式，然后给出形式化证明。

如果我的计算是正确的并且我支付电费账单，则我将花光所有的钱。

如果我不支付电费账单，电源将被切断。

所以，如果我没花完所有的钱并且电源未被切断，则我的计算是错误的。

(c, b ,r, p)2.(5’)将下列句子转化成谓词公式，并确定其真值。

注意，要约束所有变元。

使用量化词的时候，说明相应的论域；题中没有指定论域的，默认实数R 为论域。

(a)如果x <y 并且y <z ，则x <z 。

(b)对所有m , n ∈N ，存在p ∈N 使得m <p 并且p <n 。

(c)对每个n ∈N ,存在m ∈N 使得m <n 。

3.(6’)集合S 中有100个元素，S 的三个子集A ，B 和C 的大小分别是50,70和65.(a) 求C B A ⋃⋃可能的最小值。

(b) 求C B A ⋃⋃可能的最大值。

(d) 求C B A ⋂⋂可能的最小值。

(e) 求)()(C A B A ⋂⋃⋂可能的最小值。

4.(5’)设N ×N 上的关系R 定义如下：((m ,n ),(p ,q ))∈R 当且仅当m ≡p (mod 3)或n ≡q (mod 5).(a) R 是自反的吗，说明理由。

(b) R 是对称的吗，说明理由. (c) R 是传递的吗，说明理由. (d) R 是等价关系吗，说明理由。

5.(5’)设R 是集合S 上的关系，证明：R 是传递的当且仅当R 2⊆R 。

6.(6’)集合S ={1,2,3,4,5,6,7,8}上定义如下4个关系：(m ,n )∈R 1表示m |n ; (m ,n )∈R 2表示|m -n |≤2; (m ,n )∈R 3表示m +n 是偶数; (m ,n )∈R 4表示m +n 能被3整除。

【VIP专享】上海海事大学2012-2013第二学期线性代数期末A卷-------详细解答

故该向量组的秩为 3；，，为一个极大无关组
显然
因此
二计算题
4.
方程组的系数矩阵为行列式为
||
1
1
1
11
1 （第二第三行同时加到第一行）
1
11
3 λ3 λ3 λ
1 1 λ 1 (把第一行3 提出)
1
1 1λ
11
1
3
11
1 （第一行乘以-1 加到第二第三行）
111
111
3
0
03
00
方程组有唯一解的充要条件为系数矩阵行列式不为零。即
00 0 1 1 2 10
~
0 0
1 0
00 10
0 1/3 2/3 1 0 0 1/3 2
00 01
00
01
因此
12 0 1/3
00 00
10 2/3 1
1/3 2 01
∗ || 9
∗
故∗
1 6 9 12 036 9 00 36 00 01
1 2 10
0 1/3 2/3 1
0 0 1/3 2
00 0 1
3 且 0 方程组有唯一解
余下的情形只有λ 3 或 0
若
3相应的方程组的增广矩阵为
21 1 1
,
1 21 3
1 1 29
05 15
~1 2 1 3
00 0 7
1 21 ~0 5 1
00 0
即秩
2秩，
3 5 7
3 ，此时方程组无解。
若 0相应的方程组的增广矩阵为
111 1
,
111 0
111 0
111 1
1 1
1

线性代数期末考试题及答案

线性代数期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为：A. 1/2B. 1/4C. 2D. 4答案：B2. 向量α=(1,2,3)和向量β=(4,5,6)，则向量α和向量β的点积为：A. 32B. 22C. 14D. 0答案：A3. 设A为3×3矩阵，且A的秩为2，则A的行向量线性相关，下列说法正确的是：A. 正确B. 错误答案：A4. 若A为n阶方阵，且A^2=0，则A的秩为：A. nB. n-1C. 0D. 不确定答案：C5. 设A为3阶方阵，且A的特征值为1，2，3，则矩阵A的迹为：A. 6B. 1C. 2D. 3答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的转置为\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]。

答案：\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]2. 设向量α=(2,3)，向量β=(4,6)，则向量α和向量β共线，其比例系数为2。

答案：23. 若矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 2\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式为2。

答案：24. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}\]，则矩阵B的逆矩阵为\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 &0\end{bmatrix}\]。

答案：\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\]5. 设矩阵C=\[\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\]，则矩阵C的特征值为1和2。

上海海事大学高等代数2014--2015年考研真题／研究生入学考试试题

六（15 分）、设 A 是 n 阶矩阵 n 2 并且 rank( A) n 1 . 证明: rank ( A* ) 1 . 其中 A* 表示 A 的伴随矩阵。
七（15 分）、设 * 是 n 元非齐次线性方程组 AX=b 的一个解， 1 ，… n r 是对应的齐次线性方程组的
3 5 2 0
1 1 0 5
1 2 3 4 1 3 1 3
，D 的 (i, j ) 元的代数余子式记作 Aij ，则 A43 A44 =
。
7．设 A＝ aij
是一 n 阶正定矩阵，而， R n ，在线性空间 R 中定义内积； nn
n
n
（，）＝ A ，则 R 关于这种内积构成一个 Euclid 空间。在此定义下，计算 n 维向量 (1,
一个基础解系。证明：， 1 ，… n r 线性无关。
*
化成标准形。
a b c 四 (16 分)、设 R 是实数域， V 0 a b a, b, c R 。 0 0 a
（1）、证明 V 关于矩阵的加法和数量乘法构成 R 上的线性空间。
a1 （2）、任意的 A 0 0
1 ， 0 ，… 0)' 的长度
。
8．如果 A 是正交矩阵。若 k 是实数，使得 kA 为正交矩阵，则 k= -------。
T 9 ．在 R 中，线性变换 A ( x1 , x2 , x3 )T (3x1 x2 , x2 x3 , x1 )T ，那么 A 在基 e1 (1, 0, 0) ，
2014 年上海海事大学攻读硕士学位研究生入学考试试题
（重要提示：答案必须做在答题纸上，做在试题上不给分）