最新2020学年高二数学上学期期中试题 理(1)
2020-2021学年江苏省南京市高二上学期期中调研测试数学试题 Word版
南京市2020－2021学年度第一学期期中调研测试高 二 数 学2020.11注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置． 3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，准线为l ，则点F 到直线l 的距离为A ．12B ．1C ．2D ．42．已知向量a ＝(－2，3，－1)，b ＝(4，m ，n )，且a ∥b ，其中m ，n ∈R ，则m ＋n ＝ A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 3．若sin θ＝2cos(π－θ)，则tan(θ＋π4)的值为 A ．3 B ．13C ．－3D ．－134．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆C ：x 29＋y 2m ＝1与双曲线T ：x 2－y 2m ＝1有相同的焦点，则双曲线T 的渐近线方程为 A ．y ＝±14x B ．y ＝±12xC ．y ＝±4xD ．y ＝±2x5．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －4＝0与两坐标轴分别交于点A ，B ，圆C 经过A ，B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为A ．x 2＋y 2＋6y －16＝0B ．x 2＋y 2－6y －16＝0C ．x 2＋y 2＋8y －9＝0D ．x 2＋y 2－8y －9＝06．如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为A ．2 2B ．2 3C ．42D ．437．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC 1与B 1C 相交于点O ，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°， ∠BAC ＝90°，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2，则线段AO 的长度为 A ．292B ．29C ．232D ．23 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，点M ，N 在双曲线C 上．若四边形OFMN 为菱形，则双曲线C 的离心率为 A ．3－1 B ．5－1 C ．3＋1 D ．5＋1二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．已知两个不重合的平面α，β及直线m ，下列说法正确的是A ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥βB ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥βC ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥βD ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β10．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆 x 24＋y 22＝1的左、右焦点，点A 在椭圆上．若△AF 1F 2为直角三角形，则AF 1的长度可以为 A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，直线l 1，l 2相交于点O ，点P 是平面内的任意一点，若x ，y 分别表示点P 到l 1，l 2的距离，则称(x ，y )为点P 的“距离坐标”．下列说法正确的是 A ．距离坐标为(0，0)的点有1个 B ．距离坐标为(0，1)的点有2个NP l 1（第6题）C 1（第7题）ABCB 1OC ．距离坐标为(1，2)的点有4个D ．距离坐标为(x ，x )的点在一条直线上12．20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石．人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态．其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长为1，则A ．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B ．它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直C ．它的体积为523D ．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x ＋ay ＝0和直线l 2：2x －(a －3)y －4＝0，a ∈R ．若l 1与 l 2平行，则l 1与 l 2之间的距离为▲________．14．在空间直角坐标系中，若三点A (1，－1，a )，B (2，a ，0)，C (1，a ，－2)满足(AB →－2AC →)⊥BC →，则实数a 的值为▲________．15．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC ，其中P A ⊥平面ABC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝2，则四面体P ABC 的外接球的表面积为▲________．16．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为▲________，溢流孔与桥拱交点A 的横坐标．．．为▲________．（第12题）ABC P（第15题）第16题四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在 ①sin(A －B )＝sin B ＋sin C ；②2a cos C ＝2b ＋c ；③△ABC 的面积S ＝34(a 2－b 2－c 2) 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，__________，D 是边BC 上的一点，∠BAD ＝π2，且b ＝4，c ＝2，求线段AD 的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆F ：(x －2)2＋y 2＝1，动圆M 与直线l ：x ＝－1相切且与圆F 外切．（1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）已知A (－2，0)，曲线C 上一点P 满足P A ＝2PF ，求∠P AF 的大小．19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 中点． （1）求证：B 1A ∥平面C 1BD ；（2）若AA 1＝AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，求三棱锥B －B 1C 1D 的体积．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点A ，B 是直线x －y ＋m ＝0(m ∈R )与圆O 的两个公共点，点C 在圆O 上．（1）若△ABC 为正三角形，求直线AB 的方程；（2）若直线x －y －3＝0上存在点P 满足AP →·BP →＝0，求实数m 的取值范围．DBB 1A 1（第19题）C 1AC21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，P A ＝AD ＝4， BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝2，→PE ＝λ→PC (0≤λ＜1)． （1）若λ＝12，求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）设二面角B -AE -C 的大小为θ，若|cos θ|＝23417，求λ的值．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的左顶点与上顶点的距离为23，且经过点(2，2)．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 的中点．若椭圆上存在点N 满足 ON →＝3MO →，求证：△PQN 的面积S 为定值．（第21题）PABCDE（第22题图）南京市2020－2021学年度第一学期期中调研测试高二数学参考答案 2020.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．D 7．A 8．C 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9．BC 10．ABC 11．ABC 12．ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 2 14．－92 15．4π 16．y ＝－536(x －14)2，14013四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分） 解：选①．由条件① sin(A －B )＝sin B ＋sin C ，在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )，即 sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， ……………… 2分 从而sin B ＝－2cos A sin B ．因为B 为三角形内角，所以sin B ≠0，所以cos A ＝－12．因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝c sin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分选②．由条件②2a cos C ＝2b ＋c ，结合余弦定理得2a ×b 2＋a 2－c 22ab＝2b ＋c ，即 a 2＝b 2＋c 2＋bc ， ……………… 2分 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝－12，因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝c sin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分选③．由条件③，△ABC 的面积S ＝34(a 2－b 2－c 2)， 得12bc sin A ＝34(－2bc cos A )，即sin A ＝－3cos A ， ……………… 2分 因为A 为三角形内角，所以sin A ≠0，从而cos A ≠0，所以tan A ＝sin A cos A ＝－3，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝csin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分另解：A ＝2π3（略）……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42＋22－2×4×2×cos 2π3＝28，所以a ＝27．……………… 6分 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝4×sin2π327＝217，又B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝277，则tan B ＝sin B cos B ＝32．……… 8分 在△ABD 中，因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分18．（本小题满分12分）解：（1）设M (x ，y )，圆M 的半径为r ．由题意知，MF ＝r ＋1，M 到直线l 的距离为r ．方法一：点M 到点F (2，0)的距离等于M 到定直线x ＝－2的距离，根据抛物线的定义知，曲线C 是以F (2，0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线． 故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 方法二：因为MF ＝(x －2)2＋y 2＝r ＋1，|x ＋1|＝r ，x ＞－1， 所以(x －2)2＋y 2＝x ＋2，化简得y 2＝8x ，故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 （2）方法一：设P (x 0，y 0)，由P A ＝2PF ，得(x 0＋2)2＋y 02＝2[(x 0－2)2＋y 02]， ……………………8分 又y 02＝8x 0，解得x 0＝2，故P (2，±4)， ……………………10分 所以k P A ＝±1，从而∠P AF ＝π4． …………………12分方法二：过点P 向直线x ＝－2作垂线，垂足为Q ．由抛物线定义知，PQ ＝PF ，所以P A ＝2PQ ， ……………………8分 在△APQ 中，因为∠PQA ＝π2，所以sin ∠QAP ＝PQ P A ＝ 22， ……………………10分从而∠QAP ＝π4，故∠P AF ＝π4． …………………12分19．（本小题满分12分）（1）证明：连结B 1C 交BC 1于点O ，连结OD ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以四边形B 1BCC 1为平行四边形，所以O 为B 1C 中点． 又因为D 为AC 中点， 所以OD 为△CB 1A 的中位线，所以B 1A ∥OD ． …………………3分 又因为B 1A ⊄平面C 1BD ，OD ⊂平面C 1BD ，所以B 1A ∥平面C 1BD ． …………………5分 （2）解：方法一：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥D －BB 1C 1的体积． …7分过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ．B 1（第19题）A 1C 1BDAC OE因为DE ⊂平面ABC ， 所以B 1B ⊥DE ．又因为DE ⊥BC ，且B 1B ，BC ⊂平面B 1BCC 1，B 1B ∩BC ＝B ， 所以DE ⊥平面B 1BCC 1，即DE 为三棱锥D －BB 1C 1的高． ………9分在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ， 所以AC ＝32＋42＝5，sin C ＝35，在Rt △DEC 中，DC ＝12AC ＝52，所以DE ＝DC ×sin C ＝32．又△BB 1C 1的面积S ＝12×BB 1×B 1C 1＝12×3×4＝6，所以三棱锥D －BB 1C 1的体积V ＝13×S ×DE ＝3，故三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分方法二：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥B 1－BDC 1的体积． ………7分 因为（1）中已证B 1A ∥平面C 1BD ，所以B 1到平面BDC 1的距离等于A 到平面BDC 1的距离． 因此三棱锥B 1－BDC 1的体积等于三棱锥A －BDC 1的体积， 即等于三棱锥C 1－ABD 的体积．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，C 1C ⊥平面ABC ， 所以C 1C 为三棱锥C 1－ABD 的高．………10分因为AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，S △ABC ＝12×AB ×BC ＝6．因为D 是AC 的中点，所以△ABD 的面积S ＝12S △ABC ＝3．故三棱锥C 1－ABD 的体积V ＝13×S ×C 1C ＝3，即三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分20．（本小题满分12分）解：（1）由△ABC 为正三角形，得∠AOB ＝2∠ACB ＝2π3，所以∠ABO ＝∠BAO ＝π6，所以原点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin π6＝12． ………3分由点到直线的距离公式得|m |2＝12，解得m ＝22或－22．所以直线AB 的方程为2x －2y ＋2＝0或2x －2y －2＝0． ………5分 （2）方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )． 因为AP →·BP →＝0，所以点P 在以AB 为直径的圆上．记该圆圆心为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝y 0是方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＋m ＝0的解，解得⎩⎨⎧x 0＝－m 2，y 0＝m 2．故以AB 为直径的圆的方程为(x ＋m 2)2＋(y －m 2)2＝1－m 22，其中－2＜m ＜2． …9分又点P 在直线x －y － 3 ＝0上，即直线与圆有公共点， 所以|m ＋3|2≤1－m 22，即2m 2＋23m ＋1≤0．解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分方法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立直线AB 与圆O 方程，得⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x －y ＋m ＝0，消去y 得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0． ①所以x 1，x 2是①的两个解，判别式△＝(2m )2－4×2×(m 2－1)＞0，即－2＜m ＜2， 且x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12．………7分设点P (x ，y )，则AP →＝(x －x 1，y －y 1)，BP →＝(x －x 2，y －y 2)． 由AP →·BP →＝0，得(x －x 1) (x －x 2)＋(y －y 1) (y －y 2)＝0， ②将y ＝x －3，y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入②，整理得2x 2－2(x 1＋x 2＋m ＋3)x ＋2x 1x 2＋(m ＋3)(x 1＋x 2)＋(m ＋3)2＝0． 又x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，所以2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0，关于x 的方程2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0有实数解， ………10分因此(－23)2－4×2×(m 2＋3m ＋2)≥0，即2m 2＋23m ＋1≤0， 解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分 21．（本小题满分12分）解：因为平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，P A ⊂平面P AB ，所以P A ⊥平面ABCD ．因为AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AD ．又AB ⊥AD ，所以P A ，AB ，AD 两两互相垂直．以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ．…………2分 因为P A ＝AD ＝4，AB ＝BC ＝2，所以A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，4，0)，P (0，0，4)．（1）若λ＝12，即E 为PC 中点，则E ()1，1，2，所以DE →＝()1，－3，2，AB →＝()2，0，0，AE →＝()1，1，2． 设平面ABE 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，x 1＋y 1＋2z 1＝0．令z 1＝1，得y 1＝－2，所以平面ABE 的一个法向量为m ＝(0，－2，1)． …………………4分 设直线DE 与平面ABE 所成角为α，则sin α＝|cos ＜DE →，m ＞|＝|6＋214×5|＝47035． …………………6分（2）因为PE →＝λPC →(0≤λ＜1)，则E (2λ，2λ，4－4λ)．设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝0，2λx 2+2λy 2+(4－4λ)z 2＝0．令y 2＝2，得z 2＝λλ－1，所以平面ABE 的一个法向量为n ＝(0，2，λλ－1)．设平面AEC 的一个法向量为l ＝(x 3，y 3，z 3)，则⎩⎪⎨⎪⎧l ·AC →＝0，l ·AP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋2y 3＝0，4z 3＝0．令x 3＝1，得y 3＝－1，所以平面AEC 的一个向量为l ＝(1，－1，0)． ……………………9分 （或证明CD ⊥平面P AC ，从而CD →为平面P AC 的一个法向量） 因为二面角B -AE -C 的大小为θ，且|cos θ|＝23417，得|cos ＜n ，l ＞|＝|－24＋(λλ－1)2×2|＝23417，整理得3λ2＋2λ－1＝0，解得λ＝13，或λ＝－1(舍)．所以λ＝13． ……………12分22．（本小题满分12分）解：（1）椭圆C 的左顶点(－a ，0)，上顶点(0，b )．因为左顶点与上顶点的距离为23，所以a 2＋b 2＝23，化简得a 2＋b 2＝12． ① 因为椭圆经过点(2，2)，所以4a 2＋2b 2＝1，② …………2分由①②解得a 2＝8，b 2＝4或a 2＝6，b 2＝6（舍去），所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………4分（2）当PQ 斜率不存在时，N 为(±22，0)，PQ 方程为x ＝±223，易得PQ ＝823，此时S ＝12×MN ×PQ ＝12×823×823＝649． …………5分当PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y 24＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－4)＝0，由△＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－4)＞0，得0＜m 2＜8k 2＋4． （*） 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2(m 2－4)1＋2k 2， 因此PQ 的中点M 为(－2km 1＋2k 2，m1＋2k 2)． 又因为ON →＝3MO →，所以N (6km 1＋2k 2，－3m 1＋2k 2)，将点M 代入椭圆方程，得18k 2m 24(1＋2k 2)2＋9m 24(1＋2k 2)2＝1，化简得2k 2＋1＝94m 2，符合（*）式． ……………9分记点O 到直线l 的距离为d ，则S ＝4S △OPQ ＝2PQ ×d ＝21＋k 2|x 1－x 2|×d＝21＋k 2×22×8k 2＋4－m 21＋2k 2×|m |1＋k2＝42|m |×8k 2＋4－m 21＋2k 2， 将2k 2＋1＝94m 2代入，得S ＝42|m |×9m 2－m 294m 2＝649． 综上，△PQN 的面积S 为定值649． …………12分。
吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题理(含解析)
吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确） 1.命题“,sin 10x R x ∀∈+≥”的否定是（ ） A. 00,sin 10x R x ∃∈+< B. ,sin 10x R x ∀∈+< C. 00,sin 10x R x ∃∈+≥ D. ,sin 10x R x ∀∈+≤【答案】A 【解析】 【分析】利用全称命题的否定方法求解，改变量词，否定结论.【详解】因为,sin 10x R x ∀∈+≥的否定为00,sin 10x R x ∃∈+<， 所以选A.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，一般处理策略是：先改变量词，然后否定结论.2.下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =则1x ≠”B. p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C. 命题“若,,a b c 成等比数列，则2b ac =”的逆命题为真命题D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题之间的关系逐个判断即可.【详解】对A, 命题“若21x =,则1x =”的否命题为：“若21x ≠则1x ≠”,故A 错误 对B, p q ∧为假命题,则,p q 至少有一个假命题,故B 错误.对C,命题“若,,a b c 成等比数列,则2b ac =”的逆命题为“若2b ac =,则,,a b c 成等比数列”,若,,a b c 均为0则,,a b c 不成等比数列,故C 错误.对D, 命题“若x y =,则sin sin x y =”为真命题,所以它的逆否命题也为真,故D 正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查四个命题之间的关系与真假命题的判断,属于基础题型. 3.等差数列{}n a 中，若12332a a a ++=，111213118a a a ++=，则410a a +等于（ ）A. 45B. 75C. 50D. 60【答案】C 【解析】 分析：详解：根据等差数列中等差中项的性质1232332a a a a ++==111213123118a a a a ++==因为21232118503a a ++== 所以4107212250a a a a a +==+= 所以选C点睛：本题考查了等差数列中等差中项性质的应用，是简单题。
甘肃省兰州市33中2020-2021学年上学期期中考试高二数学(理)试题
20．某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段： ， ， ，… 后得到如下频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分、众数、中位数；（小数点后保留一位有效数字）
（2）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则各分数段抽取的人数分别是多少？
21．某种设备的使用年限 (年)和维修费用 (万元),有以下的统计数据:
3
4
5
6
2.5
3
4
4.5
（Ⅰ）画出上表数据的散点图；
（Ⅱ）请根据上表提供的数据，求出 关于 的线性
回归方程 ；
（Ⅲ）估计使用年限为10年，维修费用是多少万元？
（附：线性回归方程中 ，其中 ， ）．
22．已知等比数列 的公比 ，且满足： ，且 是 的等差中项.
C． 有最大值 D． 有最小值
二、填空题
13．已知 ，应用秦九韶算法计算 时的值时， _______.
14．已知公比不为1的等比数列 的首项 ，前 项和为 ，若 是 与 的等差中项，则 __________．
15．若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是．
16．已知实数 ， 满足约束条件 ，若 （ ， ）的最大值为12，则 的最小值为__________
2．B
【分析】
根据含特称量词命题的否定可直接写出结果.
【详解】
由含特称量词命题的否定可知 为： ， .
故选： .
【点睛】
本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.
3．D
【分析】
由折线图依次判断各个选项可得结果.
浙江省宁波市慈溪市2022-2022学年高二数学上学期期中试题(含解析)
考点：二元一次不等式（组）与平面区域．
5.已知点M(-2，1，3)关于坐标平面xOz的对称点为A，点A关于y轴的对称点为B，则|AB|=( )
A. 2B.
C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据对称逐个求出点 的坐标,结合空间中两点间的距离公式可求.
【详解】因为点M(-2，1，3)关于坐标平面xOz的对称点为A,
【答案】 (1). (2，-1) (2). (x-1)2+y2=2
【解析】
【分析】
先整理直线的方程为 ,由 可得定点;由于直线过定点 ,所以点(1，0)为圆心且与l相切的所有圆中,最大半径就是两点间的距离.
【详解(xiánɡ jiě)】因为 ,由 可得 ,所以(suǒyǐ)直线 经过(jīngguò)定点 ;
【答案】
【解析】
如图，连接(liánjiē) 交 于点 ，连接(liánjiē) ．因为(yīn wèi) 是正方体，所以(suǒyǐ) 面 ，从而(cóng ér)可得 ，所以 面 ，从而有 ，所以 是二面角 的平面角．设正方体的边长为1，则 ，所以在 中有
16.设m，n是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出如下命题:
二、填空题(本大题共7小题，单空题每小题4分，多空题每小题6分，共36分)
11.已知直线 ，直线 .若直线 的倾斜角为 ，则 =_________;若 ，则 ， 之间的距离为_____.
【答案】 (1). 1 (2).
【解析】
【分析】
利用直线 的倾斜角和斜率的关系可求 ；根据两条直线平行可得 ，再结合平行直线间的距离公式可求.
【详解】由圆的一般式方程可得圆心坐标 ,半径 ;
设 关于直线 的对称点为 ,则 ,解得 ,
河南省实验中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题理(PDF)
n
项和 Tn
.
21.（12 分）为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安 全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为 3 米，底面为 24 平
方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由子此警务室的后背靠墙，无需建
造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米 400 元，左
f x x2 5x 6 ．
（1）当 a＝2 时，命题 p∧q 为真命题，求实数 x 的取值范围；
（2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
19.（12 分）已知函数 f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|． （1）解不等式 f（x）≤3；
（2）已知函数 gx |2x﹣2019﹣a|+|2x﹣2020|，若对于任意 x1∈R，都存在 x2∈R，
使得 f x1 gx2 成立，求实数 a 的取值范围．
高二理科数学 第 3页 （共 4 页）
20.（12 分）已知公差不为零的等差数列 an的前 n 项和为 Sn ，S20 420 ，且 a2 ，
a4 ， a8 成等比数列.
（1）求数列an 的通项公式；
（2）设
bn
an
1
1
an
1
，求数列bn 的前
A．4
B．24
C．
） D．20
10．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S2020＞0，S2021＜0，则满足 anan+1an+2＞0 的最
大 n＝（ ）
A．1008
B．1009
C．1010
D．1011
11．已知正数 x，y 满足 x+y＝1，则 1 1 的最小值为（ ） x 1 4y
2022-2023学年四川省泸州市叙永第一中学校高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2022-2023学年四川省泸州市叙永第一中学校高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知直线10x ay ++=和直线210x y -+=互相平行，则a 的值为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】D【分析】直接利用两条直线平行的充要条件进行求解即可． 【详解】解：因为直线10x ay ++=和直线210x y -+=互相平行，所以1(1)201(1)10a a ⨯--=⎧⎨⨯--⨯≠⎩，解得12a =-．故选：D ．2．若a b >，则下列结论正确的是（ ） A ．22a b > B ．11a b> C ．22a b > D ．ln ln a b >【答案】C【分析】利用特殊值1a =-，4b =-判断选项A ，利用作差法判断选项B ，利用指数函数的单调性判断选项C ，利用对数的定义判断选项D ，【详解】解：因为a b >，若1a =-，4b =-，则22a b <，故选项A 错误； 因为11b a a b ab--=，当0ab >时，11a b <，故选项B 错误；因为2x y =在R 上为增函数，若a b >，则22a b >，故选项C 正确； 若0a b >>，则lna 和lnb 无意义，故选项D 错误． 故选：C ．3．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高二学生中抽取的人数应为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B【分析】由分层抽样的概念求解，【详解】设从高二学生中抽取的人数为x ，则7=210270x ，得9x =， 故选：B4．有一组样本数据12,,,n x x x ，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ，其中()1,2,3,i i y x c i n =+=，c 为非零常数，则这两组样本数据（ ）A ．平均数相同B ．中位数相同C ．标准差不相同D ．极差相同【答案】D【分析】由各个统计量的概念判断， 【详解】对于A ，设12,,,n x x x 的平均数为x ，则12,,,n y y y 的平均数为x c +，对于B ，设12,,,n x x x 的中位数为m ，则12,,,n y y y 的中位数为m c +，对于C ，由方差与标准差的计算公式，可得12σσ=， 对于D ，max min max min x x y y -=-，两组样本数据极差相同 故选：D5．现有以下两项调查：①从100台刚出厂的电视机中抽取3台进行质量检查；②某社区有1000户家庭，其中高收入家庭100户，中等收入家庭820户，低收入家庭80户，为了调查家庭每年生活费的开支情况，计划抽取一个容量为50的样本，则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ） A ．①②都采用简单随机抽样 B ．①②都采用分层随机抽样C ．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样D ．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 【答案】C【分析】根据简单随机抽样和分层抽样的特点，判断选项. 【详解】①的总体中的个体数较少，宜采用简单随机抽样，②中1000户家庭中收入存在较大差异，层次比较明显，宜采用分层抽样. 故选：C6．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào ）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为A ．6B ．21C ．27D ．54【答案】C【分析】结合三视图,还原直观图,计算表面积,即可. 【详解】结合三视图,还原直观图为已知3,4,3AB BC CD ===,则该四面体1111272222S AB BC AC CD AB BD BC CD =⋅+⋅+⋅+⋅=,故选C. 【点睛】本道题考查了三视图还原直观图,难度中等.7．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种， 故所求概率2172213P -==.故选：D.8．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，由下列四个命题，其中正确的是（ ） A ．若,m m n α⊥⊥，则//n α B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若//,m αβα⊂，则//m β. D ．若//m β，m α⊂，则//αβ.【答案】C【解析】A 选项可能n ⊂α，B 选项两条直线位置关系不能确定，C 选项正确，D 选项两个平面相交也能满足//m β，m α⊂.【详解】A 选项，当,m m n α⊥⊥可能n ⊂α，所以该选项不正确；B 选项，平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，可能异面，所以该选项不正确；C 选项，根据面面平行的性质，说法正确；D 选项，当两个平面相交，m α⊂且平行于交线，也满足//m β，m α⊂，所以不能推出面面平行. 故选：C【点睛】此题考查空间点线面位置关系的辨析，根据已知条件判断线面平行，线线平行和面面平行，关键在于熟练掌握相关定理公理.9．在一个实验中，某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（ ） A ．0.25 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.75【答案】A【分析】求得三只豚鼠都没有被感染的数量，结合题意，求解即可.【详解】20组数据中，都不含1,2,3,4的数据有5个，分别是：907，966，569，556，989； 故三只豚鼠都没被感染的概率为：50.2520=. 故选：A .10．若正数x ，y 满足32x y xy +=，则34x y +的最小值是（ ） A ．245B ．25C ．5D ．252【答案】D【分析】由基本不等式求解， 【详解】由题意得3132x y xy y x+=+=，则 31123()131323625(34)2222y xx y x y x y +++++=≥=，当且仅当123y x x y =即55,24x y ==时等号成立， 故选：D11．在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”．可以简洁明了地推证出勾股定理，把这一证明方法称为“总统证法”．设15BEC ∠=︒，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角CDE 中（阴影部分）的概率是（ ）A ．23B ．34C 3D 2【答案】A【分析】根据()()()=ΩS A P A S 计算即可． 【详解】解：记此点取自等腰直角CDE 中（阴影部分）为事件A ， 此点取自梯形ABCD 为事件Ω， 在Rt CEB △中，·sin b c CEB =∠，·cos a c CEB =∠，()22222232?sin cos ?sin 302a b c c CEB CEB c c c ∴+=+∠⋅∠=+︒=， 212△=⋅DCE S c ，()221324梯形=⋅+=ABCD S a b c ，()()()22122334∴===Ωc S A P A S c ．故选：A ．12．若,x y 满足221+-=x y xy ，则（ ）A ．1x y +≥B ．2x y +≥C ．221x y +≤D ．222x y +≤【答案】D【分析】由基本不等式求解，【详解】由题意得222x y xy ≤+，即222221x x y y -++≤，得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时等号成立，故C 错误，而0,1x y ==-时满足题意，故A ，B 错误， 故选：D二、填空题13．若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩， ，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图 因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，所以max 31227z =⨯+⨯=. 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．从甲、乙等5名同学中随机选3名组成校庆志愿小分队，则甲、乙都不入选的概率为 ________. 【答案】110##0.1 【分析】由组合数与古典概型求解，【详解】由题意得甲、乙都不入选的概率为3511C 10p ==， 故答案为：11015．某产品的广告费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表：若x 与y 之间是线性关系，且根据上表可得回归直线方程ˆ68y x =+，现发现表中有一个数据模糊看不清，该数据是___________. 【答案】31【分析】根据回归方程过样本中心点可得答案. 【详解】设表中模糊不清数据为m ，由表知6345109: 4.5,44m x y ++++===， 代人回归方程ˆ68yx =+中，得1096 4.584m+=⨯+，解得31.m = 故答案为：31.16．在三棱锥ABCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，ABC 与BCD △都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________. 【答案】【分析】取BC 的中点为,,M E F 分别是正三角形ABC 和正三角形BCD 的重心，O 是该三棱锥外接球的球心，连接,,,,,AM DM OF OE OM OB ,可证明AM DM ⊥，通过几何关系可得到外接球的半径为OB =【详解】取BC 的中点为,,M E F 分别是正三角形ABC 和正三角形BCD 的重心，O 是该三棱锥外接球的球心，连接,,,,,AM DM OF OE OM OB ,则,E F 分别在,AM DM 上，OF ⊥平面BCD ，OE ⊥平面ABC ，AM BC ⊥，DM BC ⊥， 因为平面ABC ⊥平面BCD ，AM BC ⊥，平面ABC ⋂平面BCD BC =，AM ⊂平面,ABC 所以AM ⊥平面BCD ，所以//AM OF ，同理可得//DM OE ，所以四边形OEMF 是平行四边形， 因为AM BC ⊥，DM BC ⊥，AMDM M =，,AM DM ⊂平面ADM ，所以BC ⊥平面ADM ，又OM ⊂平面ADM ，所以OM BC ⊥， 因为AM ⊥平面BCD ，DM ⊂平面BCD ， 所以AM DM ⊥， ∵3633AM DM === ∴133EM FM AM ==∴四边形OEMF 为正方形，∴6OM = 在直角三角形OMB 中，球半径()22226315OB OM BM =++∴外接球体积为341520153ππ⨯=，故答案为：2015π三、解答题17．求下列不等式的解集： (1)2450x x -++<； (2)5131x x +<+. 【答案】(1){|1x x <-或5}x > (2){|11}x x -<<【分析】（1）由一元二次不等式的解法求解， （2）移项，通分后化简求解，【详解】（1）由2450x x -++<，得2450x x --> 解得1x <-或5x >.所以不等式的解集为{|1x x <-或5}x >； （2）由5131x x +<+，可得2201x x -<+， 等价于(1)(1)0x x -+<，解得11x -<<， 所以不等式的解集为{|11}x x -<<．18．某收费APP （手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计､方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP 所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x （单位：元）及该月对应的用户数量y （单位：万人），得到如下数据表格：已知x 与y 线性相关.(1)求y 关于x 的线性回归方程55211135,41.7i i i i i x x y ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑；(2)据此预测，当月租减免费用为10元时，该月用户数量为多少？参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(),(1,2,,)i i x y i n =，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =- 【答案】(1)0.320.06y x =- (2)3.14万人【分析】（1）根据已知数据，先求得,x y ，然后利用公式计算回归方程中的系数，得到回归方程； （2）利用回归方程估计.【详解】（1）解：由()13456755x =⨯++++=()11 1.1 1.5 1.9 2.2 1.54.5y =⨯++++=有241.755 1.54ˆ0.32, 1.540.3250.0613555ba -⨯⨯===-⨯=--⨯， 故y 关于x 的线性回归方程为0.320.06y x =-；（2）解：由（1）知回归方程为0.320.06y x =-，当10x =时，0.32100.06 3.14y =⨯-=， 所以预测该月的用户数量为3.14万人.19．已知某保险公司的某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的400名续保人在一年内的出险情况，得到下表：该保险公司这种保险的赔付规定如下：将所抽样本的频率视为概率．（1）求本年度续保人保费的平均值的估计值；（2）按保险合同规定，若续保人在本年度内出险3次，则可获得赔付()2.5 1.5a a a ++元；若续保人在本年度内出险6次，则可获得赔付()2.5 1.50.5a a a a +++元；依此类推，求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值．【答案】（1）1.035a ；（2）0.945a .【分析】（1）得出保费0.9a ，a ，1.5a ，2.5a ，4a 对应的概率，即可得出本年度续保人保费的平均值的估计值；（2）先计算出每个赔偿金额对应的概率，然后按照平均值的计算公式得出本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值；【详解】（1）由题意可得保费（元）0.9a a 1.5a 2.5a4a概率0.7 0.2 0.06 0.03 0.01本年度续保人保费的平均值的估计值为0.90.70.2 1.50.06 2.50.0340.01 1.035⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=a a a a a a（2）由题意可得赔偿金额（元）0 2.5a4a5a 5.5a概率0.7 0.2 0.06 0.03 0.01本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=a a a a a00.7 2.50.240.0650.03 5.50.010.94520．某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试.已知参x i=全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：加此次测试的学生的分数(1,2,3,,200)i[45，55)，[55，65)，⋯，[85，95]，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）.(1)求m的值，并估计此次校内测试分数的平均值x；x i=的方差2s，并判断此次得分为52分和94分的两名(2)试估计这200名学生的分数(1,2,3,,200)i同学的成绩是否进入到了[2,2]x s x s -+范围内？（参考公式：2211()n i i i s f x x n ==-∑，其中i f 为各组频数；参考数据：12911.4)≈【答案】(1)m 0.024=，75(2)129，进入【分析】（1）由各组的频率和为1，可求出m 的值，再根据平均数的定义可求出x ；（2）利用方差公式求出方差2s ，然后计算出[2,2]x s x s -+，再判断即可.【详解】（1）(0.0060.014++m 0.0360.020)101++⨯=．∴m 0.024=.∴该次校内考试测试分数的平均数的估计值为：500.06600.14700.24800.36900.275⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分.（2）2211()n i i i s f x x n ==-∑ 222220.06(5075)0.14(6075)0.24(7075)0.36(8075)0.2(9075)=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-129=．∴s 12911.4=≈，∴252.2,297.8x s x s -=+=．∴得分为52分的同学的成绩没有进入到[52.2，97.8]内，得分为94分的同学的成绩进入到了[52.2，97.8]内．21．如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PD AB ==，E 为PC 中点．(1)求证：DE ⊥平面PCB ；(2)求二面角E BD P --的余弦值．【答案】(1)证明见解析6【分析】（1）根据条件先证BC ⊥平面PCD ，得到BC ⊥DE ，再由DE ⊥PC ，即可证明DE ⊥平面PCB .（2）以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BDE ，平面PDB 的法向量，即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明:PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，又∵正方形ABCD 中，CD ⊥BC ，PD CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD ，又∵DE ⊂平面PCD ，∴BC ⊥DE ，∵PD ＝CD ，E 是PC 的中点，DE ⊥PC ，PC BC ＝C ，且PC ⊂面PCB ，BC ⊂面PCB∴DE ⊥平面PCB（2）以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知：()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,1,1,D P B E则()()2,2,0,0,1,1DB DE ==，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则220000x y n DB y z n DE ⎧+=⎧⋅=⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎩， 令1z =，得到1,1y x =-=，()1,1,1n ∴=-又()()0,2,0,2,0,0C A ，则()2,2,0AC =-，且AC ⊥平面PDB ，∴平面PDB 的一个法向量为()1,1,0m =-，设二面角E BD P --的平面角为α，则1cos cos ,m n α+=<>== 所以二面角E BD P -- 22．已知函数()2()22f x ax a x =-++，a R ∈(1)求关于x 的不等式()0f x ≥的解集；(2)若存在0m >使关于x 的方程(21)xf -11m m=++有四个不同的实根，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)(,4-∞--【分析】(1)对a 进行讨论，分别求出其解集即可；（2）先令11t m m =++ 由0m >，则可得3t ≥，再将关于x 的方程1(||)1f x m m=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-= 有两个不同正根，结合根与系数的关系，即可求解.【详解】（1）当a<0时，不等式的解集为或2{|1}x x a≤≤； 当0a =时，不等式的解集为 {|1}x x ≤；当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥； 当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a ≤或1}x ≥； （2）当 0m > 时，令 1113s m m =++≥=，当且仅当1m =时取等号，设 |21|x t -=，则原方程可化为2()(2)20g t at a t s =-++-=.由题意知()0g t =在(0,1)有两个不等的实根.因为(0)20g s =-<，(1)0g s =-<，固有()()224200201a a s a aa ⎧⎪∆=+-->⎪<⎨⎪+⎪<<⎩解得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.。
天津市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析
2023～2024学年度第一学期期中联考高二数学（答案在最后）一、选择题（共9题，每题5分，满分45分）1.直线10y ++=的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】解：将直线一般式方程化为斜截式方程得：1y =-，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.与椭圆C ：2212516x y +=共焦点且过点(P 的双曲线的标准方程为（）A.221167x y -= B.22163x y -= C.22136x y -= D.221916x y -=【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆方程先求解出焦点坐标，然后根据定义求解出2a 的值，结合222c a b =+可求b 的值，则双曲线方程可求.【详解】因为椭圆C 的焦点坐标为()，即()3,0±，所以3c =，记()()12,,,0330F F -，所以122PF PF a -=，所以a =b ==所以双曲线的标准方程为22136x y -=，故选：C.3.设R a ∈，则“32a =”是直线1l ：210x ay +-=和直线2l ：()110a x ay -++=平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】先根据12l l //求解出a 的值，然后分析条件和结论的推出关系判断出属于何种条件.【详解】若12l l //，则有()121a a a ⨯=-，所以0a =或32a =，当0a =时，12:10,:10l x l x -=-+=，故12,l l 重合，舍去；当32a =时，1213:310,:1022l x y l x y +-=++=，满足条件，所以123//2l l a ⇔=，所以“32a =”是“12l l //”的充要条件，故选：C.4.古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为48的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆C ，且椭圆C 与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆C 在平面直角坐标系中的方程为22221x y a b+=，则下列选项中满足题意的方程为（）A.2214x y += B.2213616x y += C.221169x y += D.221164x y +=【答案】C 【解析】【分析】根据题意判断出椭圆的长轴长度乘以短轴长度等于矩形ABCD 的面积，然后逐项判断方程是否符合即可.【详解】由题意可知：2248a b ⨯=，所以12ab =，A ：2,1,2a b ab ===，不满足；B ：6,4,24a b ab ===，不满足；C ：4,3,12a b ab ===，满足；D ：4,2,8a b ab ===，不满足；故选：C.5.向量()2,1,2a =- ，()4,2,b x =- ，a b ⊥，则2a b += （）A.9B.3C.1D.【答案】A 【解析】【分析】根据a b ⊥ 先求解出x 的值，然后表示出2a b +的坐标，结合坐标下的模长计算公式求解出结果.【详解】因为a b ⊥，所以()422120x -⨯+⨯-+=，所以5x =，所以()()()222,1,24,2,50,0,9a b +=-+-=，所以29a b +==，故选：A.6.双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线过点(P -，1F ，2F 是C 的左右焦点，且12=PF ，若双曲线上一点M 满足152MF =，则2MF =（）A.12或92B.92C.12D.72【答案】B 【解析】【分析】先根据已知条件求解出双曲线的方程，然后根据M 在双曲线的左右支上进行分类讨论，由此确定出2MF 的值.【详解】因为()1,0F c -，12=PF2=，所以2c =或0（舍），又因为双曲线的渐近线过点(P-，所以1b a -=-，所以b a =所以2222c b a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，所以1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩22:13y C x -=，若M 在左支上，1512MF c a =>-=，符合要求，所以21592222MF MF a =+=+=，若M 在右支上，1532MF c a =<+=，不符合要求，所以292MF =，故选：B.7.已知点()2,0A ，()0,2B ，点C 为圆2266160x y x y +--+=上一点，则ABC 的面积的最大值为（）A.12B.C.D.6【答案】D 【解析】【分析】先求解出直线AB 的方程，然后将圆心到直线AB 的距离再加上半径作为ABC 的高的最大值，由此求解出ABC 的面积的最大值.【详解】因为()2,0A ，()0,2B ，所以:20AB x y +-=，又因为圆的方程为()()22332x y -+-=，所以圆心为()3,3，半径为r =，所以圆上点到直线AB +=所以ABC 的面积的最大值为162⨯=，故选：D .8.过点31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆22162x y +=交于A 、B 两点，且满足0PA PB += .若M 为直线AB 上任意一点，O 为坐标原点，则OM 的最小值为（）A.1B.C.2D.【答案】B 【解析】【分析】由0PA PB +=，得点P 为线段AB 的中点，然后利用点差法可求出直线AB 的方程，则OM 的最小值为点O 到直线AB 的距离，再利用点到直线的距离公式可求出结果.【详解】椭圆方程22162x y +=.因为22311221622⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=<，则31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆内，可知直线AB 与椭圆总有两个交点.因为0PA PB +=，即P 为线段AB 的中点，设1122(,),(,)A x y B x y ，显然12x x ≠，则12123,1x x y y +=+=，22112222162162x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得22222121062--+=x x y y ，则21212121()()3()()0+-++-=x x x x y y y y ，即21213()3()0y y x x -+-=，所以21211y y x x -=--，即直线AB 的斜率1k =-，所以直线AB 为1322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即20x y +-=，因为M 为直线AB 上任意一点，所以OM 的最小值为点O 到直线AB的距离d ==.故选：B.9.已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过1F 的直线l 与圆C ：222124c x c y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第四象限交于一点M ，且有2MF x ⊥轴，则离心率为（）A.3B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】首先求出M 的坐标，设直线1F M 与圆C 相切于点D ，即可求出1F C ，2MF ，12F F ，1F D ，2ac =，即可求出离心率.【详解】圆C ：222124c x c y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为1,02C c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径12r c =，对于双曲线22221x y a b -=，令x c =，解得2by a =±，则2,b M c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线1F M 与圆C 相切于点D ，则12CD c =，又132F C c =，22b MF a=，122F F c =，所以1F D ==，所以21212tan 2b c a MF F c ∠==，则2ac =)22c a ac -=，)21e e -=，解得e =2e =-（舍去）.故选：C二、填空题（共6题，每题5分，满分30分.）10.椭圆C ：222211x y m m+=+（0m >）的焦点为1F ，2F ，短轴端点为P ，若122π3F PF ∠=，则m =________.【答案】3【解析】【分析】先根据椭圆方程求解出c 的值，再根据1tan F PO ∠的值求解出b 的值，由此求解出结果.【详解】记坐标原点为O ，因为221m m +>，所以焦点在x 轴上，且1c ==，因为122π3F PF ∠=，所以123F PO F PO π∠=∠=，所以1tan c F PO b ∠==3b =，所以()2231033m m ⎛==> ⎝⎭，所以3m =，故答案为：3.11.直线l 过点()1,1且被圆C ：()2225x y +-=截得的弦长最短，则直线l 的方程为________.【答案】y x =【解析】【分析】当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，利用直线的点斜式方程即可得解.【详解】由圆C 的方程知圆心()0,2C 当圆被直线截得的弦最短时，圆心()0,2C 与()1,1的连线垂直于弦，由圆心()0,2C 与()1,1的连线斜率为1-，所以直线l 的斜率为1，直线l 的方程为11y x -=-即y x =.故答案为：y x =.12.圆2280x y +-=与圆2234180x y x y +-+-=的公共弦的长为______.【答案】4【解析】【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆228x y +=的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.【详解】将圆2280x y +-=与圆2234180x y x y +-+-=相减可得34100x y -+=，即两圆的公共弦所在的直线方程为34100x y -+=，又圆2280x y +-=圆心O 到直线34100x y -+=的距离2d ==，圆228x y +=的半径为4=.故答案为：4.13.如图所示，四边形ABCD 为正方形，ABEF 为矩形，且它们所在的平面互相垂直，24AB BE ==，M 为对角线AC 上的一个定点，且3AM MC=，则M 到直线BF 的距离为________.【答案】5【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()4,2,0F ，()0,0,4C ，()4,0,0A ，因为3AM MC =，所以14AM AC =，所以()4,2,0BF = ，()()()114,0,04,0,43,0,144BM BA AC =+=+-= ，令()3,0,1a BM ==，4,2,0,55BF u BF ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，所以210a = ，655a u ⋅= ，则点M 到直线BF 的距离为()2236701055a a u-⋅=-=.故答案为：70514.直线l ：420mx y m --+=与24x y =-有两个不同交点，则m 的取值范围________.【答案】41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据题意作出直线与半圆的图象，考虑临界位置：直线经过()0,2-、直线与半圆相切，结合图象求解出m 的取值范围.【详解】24x y =-即为224,0x y x +=≥，表示圆心在原点半径为2的圆位于y 轴右侧的部分，直线420mx y m --+=即为()42m x y -=-，过定点()4,2A ，在平面直角坐标系中作出直线和半圆的图象如下图所示：圆与坐标轴交于()()()0,2,0,2,2,0-，且直线的斜率为m ，当直线经过()0,2-时，此时2420m -+=，解得1m =，2=，解得43m =或0m =（舍），根据图象可知，若直线与半圆有两个不同交点，则41,3m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故答案为：41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.15.已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，O 为原点，点M 是抛物线C 准线上的一动点，点A 在抛物线C 上，且2AF =，则MA MO +的最小值为________.【答案】【解析】【分析】根据条件先确定A 点坐标和准线方程，然后通过作A 关于准线的对称点结合三点共线求解出线段和的最小值.【详解】因为2AF =，所以22A py +=，所以1A y =，所以2A x =±，不妨取()2,1A ，()0,0O ，准线1y =-，作A 关于准线的对称点B ，则()2,3B -，所以MA MO +的最小值即为OB ，当且仅当,,O M B 三点共线时取最小值，所以MA MO +=，.三、解答题（共5题，满分75分.）16.已知圆心为C 的圆经过点()1,1A -和()4,2B ，且圆心C 在直线10x y -+=上，（1）求圆C 的标准方程.（2）过点()2,1M -作圆的切线，求切线方程（3）求x 轴被圆所截得的弦长MN【答案】（1）()()22129x y -+-=（2）2x =-或4350x y ++=（3）【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，根据AC BC =求解出圆心和半径，由此求得圆的标准方程；（2）分别考虑切线的斜率存在和不存在，斜率不存在时直接分析，斜率存在时根据圆心到直线的距离等于半径完成计算；（3）先计算出圆心到x 轴的距离d ，然后根据半径、d 、半弦长之间的关系求解出x 轴被圆所截得的弦长即可.【小问1详解】设圆心(),1C m m +，则AC BC =，=解得1m =，所以圆心为()1,2，半径3r ==，所以圆C 的标准方程为()()22129x y -+-=；【小问2详解】当切线斜率不存在时，切线方程为2x =-，圆心到直线的距离为()123r --==，满足条件；当切线斜率存在时，设切线方程为()12y k x -=+，即120kx y k -++=，3=，解得43k =-，所以直线方程为4350x y ++=，所以切线方程为2x =-或4350x y ++=；【小问3详解】因为圆心()1,2到x 轴(0y =)的距离为2d =，且2222MN r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以25MN =，所以x 轴被圆所截得的弦长为25.17.如图，⊥AE 平面ABCD ，AD AB ⊥，//CF AE ，//AD BC ，22AB CF AD ===，28AE BC ==（1）求证：BD ⊥平面ECF ；（2）求平面BCF 与平面ECF 夹角的余弦值；（3）求点B 到平面ECF 的距离.【答案】（1）证明见解析（225（3）455【解析】【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】因为⊥AE 平面ABCD ，AD AB ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,4,0C ，()0,1,0D ，()0,0,8E ，()2,4,2F ，所以()2,1,0BD =- ，()2,4,8CE =-- ，()0,0,2CF = ，所以0BD CE ⋅= ，0BD CF ⋅= ，所以BD CE ⊥ ，BD CF ⊥，即BD CE ⊥，BD CF ⊥，又CE CF C = ，,CE CF ⊂平面ECF ，所以BD ⊥平面ECF .【小问2详解】因为()0,4,0BC = ，()0,0,2CF = ，设平面BCF 的法向量为(),,m x y z = ，则4020m BC y m CF z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取()1,0,0m = ，又平面ECF 的法向量可以为()2,1,0BD =- ，设平面BCF 与平面ECF 的夹角为θ，则5cos 55m BD m BDθ⋅===⋅ ，所以平面BCF 与平面ECF 夹角的余弦值为55.【小问3详解】点B 到平面ECF 的距离555BC BD d BD⋅=== .18.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA =，2AB AC ==.（1）求证：//MN 平面BDE ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为49，求线段AH 的长.【答案】（1）证明见解析（2）5（3）12【解析】【分析】（1）取AB 中点F ，连接,MF NF ，根据条件证明出平面//FMN 平面BDE ，由此可证明//MN 平面BDE ；（2）建立合适空间直角坐标系，求解出平面BDE 的法向量，然后根据直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值求解出结果；（3）设出点H 的坐标，分别表示出直线,NH BE 的方向向量，根据方向向量夹角的余弦值求解出AH 的长度.【小问1详解】取AB 中点F ，连接,MF NF ，如下图所示：因为,M F 为,AD AB 中点，所以//MF BD ，又因为MF ⊄平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，所以//MF 平面BDE ，因为,N F 为,AB CB 中点，,D E 为,PA PC 中点，所以//,//NF AC DE AC ，所以//NF DE ，又因为NF ⊄平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，所以//NF 平面BDE ，又因为NF MF F ⋂=，NF MF ⊂,平面FMN ，所以平面//FMN 平面BDE ，又因为MN ⊂平面FMN ，所以//MN 平面BDE .【小问2详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，又()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2,0,1,2B C D E ，所以()()()0,1,2,2,0,2,0,1,0CE DB DE =-=-= ，设平面BDE 一个法向量为(),,n x y z = ，所以00n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以00x z y -=⎧⎨=⎩，令1x =，则0,1y z ==，所以()1,0,1n = ，设直线CE 与平面BDE 所成角为θ，所以sin cos ,5CE n θ== ，所以直线CE 与平面BDE所成角的正弦值为5.【小问3详解】设()()0,0,04H m m ≤≤，且()1,1,0N ，所以()()1,1,,2,1,2NH m BE =--=- ，所以4cos ,9NH BE == ，化简得22036230m m +-=，解得12m =或2310m =-（舍），所以12AH =.19.设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F ，2F ，左右顶点分别为A ，B ，122F F =，23AF =.（1）求椭圆的方程；（2）已知P 为椭圆上一动点（不与端点重合），直线BP 交y 轴于点Q ，O 为坐标原点，若四边形OPQA 与三角形OPB 的面积之比为3:2，求点P 坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）2,55⎛ ⎪⎝⎭或2,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）根据已知线段长度求解出,a c 的值，然后根据222a b c =+求解出b 的值，则椭圆方程可求；（2）根据条件将问题转化为三角形ABQ 与三角形OPB 的面积比，由此得到关于,P Q y y 的关系式，通过联立直线与椭圆方程求得对应坐标，然后求解出参数值则P 的坐标可求.【小问1详解】因为122F F =，23AF =，所以22,3c a c =+=，所以2,1a c ==，所以b ==所以椭圆方程为22143x y +=；【小问2详解】如下图所示：因为四边形OPQA 与三角形OPB 的面积之比为3:2，所以三角形ABQ 与三角形OPB 的面积比为5:2，所以152122Q P AB y OB y ⨯⨯=⨯⨯，所以54Q P y y =，显然直线BP 的斜率不为0，设直线BP 的方程为2x my =+，联立2223412x my x y =+⎧⎨+=⎩，所以()2234120m y my ++=，所以21234P m y m =-+，2Q y m=-，所以22512434m m m -=-+，解得223m =±，当223m =时，2:23BP x y =+，2122345P m y m =-=-+，所以226222355P x ⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以262,55P ⎛- ⎝⎭，当223m =-时，22:23BP x y =-+，21262345P m y m =-=+，所以26222355P x =-⨯+=，所以262,55P ⎛ ⎪⎝⎭，综上可知，P 点坐标为262,55⎛ ⎪⎝⎭或262,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.20.已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的长轴长是短轴长的2倍.（1）求椭圆的离心率e ；（2）直线l 过点()0,2N 且与椭圆有唯一公共点M ，O 为坐标原点，当OMN 的面积最大时，求椭圆的方程.【答案】（1）2（2）22182x y +=【解析】【分析】（1）依题意可得222a b =⨯，即可得到12b a =，从而求出离心率；（2）由（1）可得椭圆方程为222214x y b b+=，设直线l 为2y kx =+，联立直线与椭圆方程，由Δ0=得到k 、b 的关系，再求出M x ，由12OMN M S ON x =利用基本不等式求出面积最大值，即可求出此时的k ，从而求出2b ，即可得解.【小问1详解】依题意222a b =⨯，即12b a =，所以离心率2c e a ===.【小问2详解】由（1）可得椭圆方程为222214x y b b+=，即22244x y b +=，直线l 的斜率存在且不为0，设斜率为k ，则直线l 为2y kx =+，由222244y kx x y b=+⎧⎨+=⎩，消去y 整理得()22214161640k x kx b +++-=，所以()()()222164141640k kb ∆=-+-=，即222440k b b +-=，又2814M k x k -=+，所以22888211122114424OMN M S k k k k k k x ON -===≤=++⨯=⨯+ ，当且仅当14k k=，即12k =±时取等号，此时22214402b b ⎛⎫⨯±+-= ⎪⎝⎭，解得22b =，所以椭圆方程为2248x y +=，即22182x y +=.。
天津市武清区2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题含解析
2023~2024学年度第一学期期中练习高二数学（答案在最后）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.1.直线20y --=的倾斜角为（）A.45°B.60°C.120°D.150°【答案】B 【解析】【分析】求出直线的斜率，进而得到倾斜角.【详解】20y --=，设倾斜角为[)0,πα∈，则tan α=60α=︒.故选：B2.已知空间向量()()()3,3,2,2,0,3,6,6,4,a b c =-=-=--则下列结论正确的是（）A.,//a b a c⊥ B.,a b a c ⊥⊥ C.//,//a b a c D.//,a b a c⊥ 【答案】A 【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可.【详解】由题意可知()()3230230a b a b ⋅=⨯+-⨯+⨯-=⇒⊥ ，2c a =-，//a c .故选：A3.圆²²250x y x +--=的圆心和半径分别为（）A.(1,0)，2B.(1,0)，C.(1,0)-，2D.()1,0-【答案】B 【解析】【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可.【详解】由²²250x y x +--=可得，()2216x y -+=，所以圆心为(1,0)，半径为，故选:B.4.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若11BD xAB y AD z AA =++，则(),,x y z =（）A.()1,1,1- B.()1,1,1- C.()1,1,1- D.()1,1,1---【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算得到11BD AA AD AB =+-，然后求,,x y z 即可.【详解】解：1111BD BB B D =+ ，又因11BB AA =，11B D BD AD AB ==- ，∴111BD AA AD AB xAB y AD z AA =+-=++，∴=1x -，1y =，1z =，故选：A.5.已知直线过点(2,1)，且横截距a 、纵截距b 满足2a b =，则该直线的方程为（）A.2x +y -5=0B.x +2y -4=0C.x -2y =0或x +2y -4=0D.x -2y =0或2x +y -5=0【答案】C 【解析】【分析】分截距为0和截距不为0时，根据直线过点（2，1）求解.【详解】解：当截距为0时，设直线的方程为：y kx =，因为直线过点(2,1)，所以12k =，即12k =，则直线方程为：12y x =；当截距不为0时，设直线方程为12x ya a +=，因为直线过点（2，1），所以2112a a+=，则2a =，所以直线方程为142x y+=，即240x y +-=，综上：直线的方程为：x -2y =0或x +2y -4=0，故选：C6.已知向量空间()()()1,1,2,0,1,,2,0,0a b x c =--== ，若a ,b ,c共面，则实数x 等于（）A.2B.2- C.2或2- D.2或0【答案】A 【解析】【分析】利用向量共面定理即可.【详解】若a ,b ,c 共面,则a mb nc =+ ，所以1=021020n m mx +⎧⎪-=+⎨⎪-=+⎩，解得1212n m x ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩.故选：A7.若直线l 与直线x +2y =0垂直，且与圆()2235x y -+=相切，则l 的方程为（）A.x +2y -8=0B.x +2y +2=0C.2x -y -1=0D.2x -y -10=0【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，设出直线l 的方程，再结合相切，点到直线的距离等于圆的半径求解即可.【详解】因为直线l 与直线x +2y =0垂直，所以可设直线l 方程为20x y C -+=，因为直线l 与()2235x y -+=相切，=1C =-或11-，所以直线方程为210x y --=或2110x y --=，故选：C.8.已知两点()1,2A -，()3,1B ，直线:10l ax y a ---=与线段AB 有公共点，则实数a 的取值范围是（）A.[)1,1,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B.114,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.[)3,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】先求得直线l 恒过点()1,1C -.然后求出直线,AC BC 的斜率，结合图象，即可得出答案.【详解】直线l 可化为()()110a x y --+=，由1010x y -=⎧⎨+=⎩可得，11x y =⎧⎨=-⎩，所以直线l 恒过点()1,1C -.()123112AC k --==---，11113BC k --==-，如图可知，直线1l 的倾斜角θ介于直线BC 倾斜角与直线AC 的倾斜角之间.所以当π2θ<时，有11l BC k k ≥=；当ππ2θ<<时，有132l AC k k ≤=-.又直线:10l ax y a ---=的斜率为1l a k =，所以，1a ≥或32a ≤-.故选：D.9.在平面直角坐标系xOy 中，若圆()()2221:14C x y r -+-=(r >0)上存在点P ，且点P 关于直线10x y +-=的对称点Q 在圆()222:49C x y ++=上，则r 的取值范围是（）A.(2，+∞) B.[2，+∞) C.(2，8)D.[2，8]【答案】D【分析】求出圆1C 关于10x y +-=对称的圆的方程，转化为此圆与()2249x y ++=有交点，再由圆心距与半径的关系列不等式组求解.【详解】()()2221:14C x y r -+-=圆心坐标()11,4C ，设()1,4关于直线10x y +-=的对称点为(),a b ，由141022411a b b a ++⎧+-=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，可得30a b =-⎧⎨=⎩，所以圆()()2221:14C x y r -+-=关于直线10x y +-=对称圆的方程为()2220:3C x y r ++=，则条件等价为：()2220:3C x y r ++=与()222:49C x y ++=有交点即可，两圆圆心为()03,0C -，()20,4C -，半径分别为r ，3，则圆心距025C C ==，则有353r r -≤≤+，由35r -≤得28r -≤≤，由35r +≥得2r ≥，综上：28r ≤≤，所以r 的取值范围是[]28,，故选：D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.经过()()0,2,1,0A B -两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】方向向量与BA平行，由此可得．【详解】由已知(1,2)BA =，()1,k 是直线AB 的方向向量，则2k =，故答案为：2.11.若直线10x y +-=是圆()²²1x y a ++=的一条对称轴，则实数a 的值为_____________.【答案】1-【分析】根据直线为圆的对称轴知直线过圆心求解.【详解】圆()²²1x y a ++=的圆心为(0,)a -，由题意，直线过圆的圆心，所以010a --=，解得1a =-.故答案为：1-12.已知空间向量()()3,2,5,1,3,1,a b =-=- 且a b λ- 与b 相互垂直，则实数λ的值为_____________.【答案】112-【解析】【分析】根据空间向量数量积公式表示向量垂直关系计算即可得出λ.【详解】因为a b λ-与b相互垂直，所以()()()2=3123511912110a b b a b b λλλλ-⋅⋅-=-⨯+⨯+⨯--++=--= ,所以11=2λ-.故答案为:112-13.已知两条平行直线():230,:410,l x y l x my m R --=--=∈₁₂则l ₁与l ₂间的距离为_______.【答案】【解析】【分析】根据两平行线间的距离可求解.【详解】由题意得：直线12l l ，直线1l 可化简为：4260x y --=，所以两平行线间的距离为：52d ===.故答案为：2.14.已知点()1,2,1P -，直线l 过点()1,1,1A ，且l 的一个方向向量为()0,1,1,l =-则点P 到直线l 的距离为_____.【答案】2【解析】【分析】利用空间中点到直线的距离公式计算【详解】易知()2,1,0PA =- ，所以点P 到直线l 的距离为2d ===.故答案为：215.已知直线:0l mx y m --=与()22:14C x y ++= 交于A ，B 两点，写出满足ABC的实数m 的一个值____________.33-，任意一个也对）【解析】【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线距离d =，根据垂径定理得到弦长，根据面积得到方程，求出1d =m 的值.【详解】()22:14C x y ++= 的圆心为()1,0-，半径为2r =，则圆心到:0l mx y m --=的距离为d ==，则AB ==故12ABC S AB d =⋅== ，解得1d =当1d =1=，解得3m =±，当d ==m =，故3m =±或33-，任意一个也对）三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知点()1,0,2A，()2,1,3B-，O为坐标原点，向量,.a OAb OB==（1）求向量a的单位向量;a（2）求2;a b-（3）求cos,a b【答案】（1）052555,0,a⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭（2）（3）27035【解析】【分析】（1）计算出模长，进而利用0=aaa得到答案；（2）计算出()25,2,4a b-=--，得到模长；（3）利用空间向量夹角余弦公式求出答案.【小问1详解】由已知得：(1,0,2)a=r，则a==因此05,25550,aaa⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭；【小问2详解】因为(1,0,2),(2,1,3)a b==-，所以()()()21,0,222,1,35,2,4a b-=--=--，则2a b-=.【小问3详解】因为(1,0,2),(2,1,3)a b==-，所以|||a b====，则cos,35||||a ba ba b⋅===⋅17.已知ABC的三个顶点A（-5,0），B（3,-3），C（0,2）.（1）求边AB所在直线的方程；（2）求边AB上的高所在直线的方程．【答案】（1）38150x y++=（2）8360x y-+=【解析】【分析】（1）根据两点坐标写出直线方程即可.（2）根据AB斜率求出高线斜率，再根据过点()0,2C，可求出边AB上的高所在直线的方程.【小问1详解】直线AB的斜率为0(3)3538k--==---，直线AB的方程为()3058y x-=-+，即38150x y++=.【小问2详解】由（1）知直线AB的斜率为38k=-，所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为83，因为AB上的高过点()0,2C，所以AB上的高线方程为823y x-=,化为一般式可得：8360x y-+=.18.如图，在三棱锥P ABC-中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，1.PA AB BC===（1）求证:;EF AM ⊥（2）求直线EF 与AB 所成角的余弦值；（3）求平面PAC 与平面PBC 夹角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）33（3）π3【解析】【分析】（１）建立空间直角坐标系，利用向量法证明·0EF AM =，从而求解；（２）利用空间向量可求出两直线EF 和AB 所成的余弦值；（３）利用空间向量可求出平面PAC 和平面PBC 的夹角大小.【小问1详解】证明：以A 为原点，AB 为x 轴，过A 且与BC 平行的直线为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图：则：()0,0,0A ，()0,0,1P ，()1,1,0C ，()1,0,0B ，111110,0,,,,0,,0,22222E F M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111,,222EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，11,0,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以：1111·002222EF AM ⎛⎫=⨯++-⨯= ⎪⎝⎭ ，即：EF AM ⊥ ，所以：EF AM ⊥.【小问2详解】由（1）可得：()1,0,0AB = ，所以：12cos ,33·2EF AB EF AB EF AB⋅== 所以：直线EF 与AB所成角的余弦值为：3.【小问3详解】由（1）可得：()0,0,1AP = ，()1,1,0AC = ，()0,1,0BC = ，()1,1,1PC =- ，设平面PAC 的一个法向量为：(),,m x y z =，则得：·0·0m AC x y m AP z ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩ ，令1x =，得1y =-，所以：()1,1,0m =- ，设平面PBC 的一个法向量为：(),,n a b t = ，则得：·0·0n BC b n PC a b t ⎧==⎪⎨=+-=⎪⎩ ，令1a =，得：1t =，所以：()1,0,1n = ，所以：·1cos ,2m n m n m n === ，所以：平面PAC 与平面PBC 夹角为：π3.19.已知圆C 过点A (8，-1)，且与直线:2360l x y -+=₁相切于点B (3，4).（1）求圆C 的方程;（2）过点P (-3，0)的直线l ₂与圆C 交于M ，N 两点，若CMN 为直角三角形，求l ₂的方程.【答案】19.()()225113x y -+-=20.530x y ++=或1123330x y -+=【解析】【分析】（1）根据题意中设圆心(),C a b ，分别求出过圆心与切点的直线斜率，且圆过B 点，利用CA CB =，从而求解.(2)根据题意设出过点P 的直线，然后利用圆心到直线2l 的距离建立等式，从而求解.【小问1详解】设圆心坐标为(),C a b ，又直线1l 与圆C 相切，所以：1CB l ⊥，设1,CB l k k 分别代表直线CB ，1l 的斜率，所以有：11CB l k k ⋅=-，由题意得：123l k =，所以有：4332CB b k a -==--，结合CA CB =，并联立得：()()()()222243328134b a a b a b -⎧=-⎪-⎨⎪-++=-+-⎩，解之得：51a b =⎧⎨=⎩，所以：圆的半径r ==所以：圆C 的方程为：()()225113x y -+-=.【小问2详解】因为CMN 为直角三角形且CM CN =，所以CM CN ⊥，圆心C 到直线2l 的距离：22622d r ==，易知直线2l 的斜率存在，记为k ，又直线2l 过点()3,0P -，设直线方程2l 的方程为：()3y k x =+，即：30kx y k -+=，因为圆心()5,1C 到直线2l的距离为：2d ==，整理得：211532110k k --=，解之得：15k =-或1123k =，所以直线方程2l 的方程为：530x y ++=或1123330x y -+=.20.如图，//AD BC 且=2AD BC ，AD CD ⊥，//EG AD 且2EG AD =，//CD FG 且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===，M 是AB 的中点.（1）若2,3DN DC = 求证：//BN 平面DMF ；（2）求直线EB 与平面DMF 所成角的正弦值；（3）若在DG 上存在点P ，使得点P 到平面DMF 的距离为61，求DP 的长．【答案】（1）证明见解析（2（3）13【解析】【分析】（1）根据线面平行判断定理结合空间向量法证明；（2）空间向量法求线面角即可；（3）根据点到平面空间向量法求参.【小问1详解】因为//AD BC ，AD CD ⊥，DG ⊥平面ABCD ，而,AD CD ⊂平面ABCD ，所以DG AD ⊥，DG DC ⊥，因此以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，因为//EG AD 且EG=AD ，//C FG D 且2CD FG =，2DA DC DG ===，所以()0,0,0D ，()2,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0C ，()1,0,2E ，()0,1,2F ，()0,0,2G ，3,102M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，因为23DN DC = ，所以40,,03N ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以21,,03BN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 设0(,,)n x y z = 为平面DMF 的法向量，3(,1,0)2DM = ，(0,1,2)DF = ，则0030220n DM x y n DF y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，不妨令3z =，可得0(463)n =- ，，；所以00BN n ⋅= ，得0BN n ⊥ ，又直线BN ⊄平面DMF ，//BN ∴平面DMF ．【小问2详解】由（1）知平面DMF 的法向量为0(463)n =- ，，(0,2,2)EB =- 设直线EB 与平面DMF 所成角为θ，则00||9122sin 122||||EB n EB n θ⋅==⋅ 所以直线EB 与平面DMF所成角的正弦值为122.【小问3详解】设P 点坐标为()()0,0,02h h <≤，则()0,0,DP h = ，由（1）知平面DMF 的法向量为0(463)n =- ，，点到平面DMF的距离0061DP n d n ⋅=== 解得13h =，。
河南省郑州市八校2020-2021学年高二第一学期期中联考数学(理)试题解析版
2020~2021学年上期高二年级期中联考试题理科数学考拭时间：120分钟注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效. 一、选择题1. 命题“若2020x >，则0x >”的否命题是（ ） A. 若2020x >，则0x ≤ B. 若0x ≤，则2020x ≤ C. 若2020x ≤，则0x ≤D. 若0x >，则2020x >2. 已知ABC ∆中，角A 、B 的对边为a 、b ，1a =，b =120B =，则A 等于（ ）A. 30或150B. 60或120C. 30D. 603. 已知1c >，则不等式2110x c x c ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A. 1x x c c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. 1{x x c>或}x c > C. 1{x x c<或}x c > D. 1x c x c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭4. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形D. 等腰直角三角形5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，如表给出n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于（ ） A.8116B.278C. 8116-或8116D.278或278-6. 设变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y-最大值为（ ）A. -1B. 2C. -6D. 47. 已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是（ ） A. 若a b >，c d >，则ab cd > B. 若11a b>，则a b < C. 若a b >，则22a b > D. 若||a b <，则0a b +>8. 若a ，b 为实数，则“1b a”是“1ab <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为（ ）A. n a n =，*n N ∈B. n a =*n N ∈Cn a *n N ∈ D. 2n a n =，*n N ∈10. 给出下列结论： ①ABC 中，sin sin A B a b >⇔>；的②常数列既是等差数列又是等比数列;③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(,2]k ∈-∞；④ABC 的内角A ，B ，C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 为锐角三角形.其中正确结论的个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知ABC ∆的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是（ ）A. 1,1⎛+ ⎝⎦B. 1,12⎡⎢⎣⎦C.D. 12⎡⎢⎣12. 首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <． A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题13. 在数列32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，712是它的第_______项．14. 若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，15. 中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为_________（米/秒）的16. 若实数a ，b ∈（0，1）且14ab =，则1211a b+--的最小值为______．三、解答题17. 已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m > （1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18. 在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时，n S 取得最大值，并求n S 的最大值.19. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知2B Cbsin asinB +=． （1）求角A ； （2）若a =ABC的面积为2，求△ABC 的周长． 20. 已知函数f (x )的定义域为R . （1）求a 的取值范围； （2）若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加.工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元. （1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.22. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． （1）判断数列{}n a 是否为等比数列？若是，写出通项公式；若不是，请说明理由； （2）若22log n n b a =-，设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）若不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．2020~2021学年上期高二年级期中联考试题理科数学考拭时间：120分钟注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效. 一、选择题1. 命题“若2020x >，则0x >”的否命题是（ ） A. 若2020x >，则0x ≤ B. 若0x ≤，则2020x ≤ C. 若2020x ≤，则0x ≤ D. 若0x >，则2020x >【答案】C 【解析】 【分析】把命题的条件和结论全否定可得到原命题的否命题 【详解】解：因为命题“若2020x >，则0x >”， 所以其否命题为“若2020x ≤，则0x ≤”，故选：C2. 已知ABC ∆中，角A 、B 的对边为a 、b ，1a =，b =120B =，则A 等于（ ）A. 30或150 B. 60或120C. 30D. 60【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理列出 关系式，将a ，b ，sin B 的值代入求出sin A 的值，即可确定出A 的度数． 【详解】解：在ABC 中，1a =，b =120B =︒，∴由正弦定理sin sin a b A B =，得：1sin 1sin 2a B A b ===， a b <，A B ∴<，则30A =︒． 故选：C ．【点睛】本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．3. 已知1c >，则不等式2110x c x c ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A. 1x x c c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. 1{x x c>或}x c > C. 1{x x c<或}x c > D. 1x c x c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】 【分析】因式分解，根据c 的范围，可得1c c >，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】不等式可变形为：1()()0x c x c -->，因为1c >，所以1c c>，所以不等式解集为1{x x c<或}x c >，故选：C4. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】先根据余弦定理可知60A =，再利用边角互化，以及条件证明b c =，从而判断ABC 的形状.【详解】根据余弦定理可知2221cos 22b c a A bc +-==，因为0180A <<， 所以60A =，根据正弦定理可知22sin sin sin B C A bc a =⇔=， 所以()222220b c a bc bc b c +=+=⇔-=，所以b c =， 则ABC 的形状是等边三角形. 故选：C5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，如表给出n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于（ ） A.8116B.278C. 8116-或8116D.278或278-【答案】B 【解析】 【分析】根据表中数据，可得145,,S S S 的值，即可求得15,a a 的值，根据{}n a 为等比数列，代入公式，即可求得q 的值，根据题中数据，可得0q <，代入公式，即可得答案. 【详解】由题意可得111S a ==-，451355,816S S ==-，所以55455138116816a S S =-=--=-， 因为{}n a 为等比数列，所以451a a q ，即481(1)16q -=-⋅，解得32q =±， 又因为110S =-<，41308S =>，所以0q <，所以32q =-， 所以3341327(1)()28a a q ==-⋅-=，故选：B6. 设变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y -的最大值为（ ）A. -1B. 2C. -6D. 4【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，设2z x y =-，利用目标函数2z x y =-中，z 的几何意义，通过直线平移即可得到z 的最大值．【详解】解：作出变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩对应的平面区域如图：设2z x y =-，得122z y x =-， 平移直线122z y x =-，当直线122z y x =-， 经过点A 时，直线的在y 轴上的截距最小，此时z 最大，由2x x y =-⎧⎨=⎩，解得(2,2)A --，此时z 的最大值为2222z =-+⨯=， 则2x y -的最大值为：2． 故选：B ．【点睛】本题考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 7. 已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是（ ） A. 若a b >，c d >，则ab cd > B. 若11a b>，则a b < C. 若a b >，则22a b > D. 若||a b <，则0a b +>【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值代入法排除A 、B 、C ，利用不等式的基本性质||0b a ->，可得b a >±，从而得到0a b +>，从而得出结论．【详解】对于①，不妨令1a =-，2b =-，4c =，1d =，尽管满足a b >，c d >，但显然不满足ab cd >，故A 错误；对于②，不妨令1a =，1b =-，显然满足11a b>，但不满足a b <，故B 错误； 对于③，不妨令1a =-，2b =-，显然满足a b >，但不满足22a b >，故C 错误； 对于④，若||a b <，则||0b a ->，即b a >±，0a b ∴+>，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质与不等关系，在限定条件下，比较几个式子的大小时，用特殊值代入法，能快把答案进行排除是解此类问题的常用方法． 8. 若a ，b 为实数，则“1b a”是“1ab <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.【详解】若1b a 则10ab a -<，当0a >时，有1ab <；当0a <，由1ab >； 即由1b a ，不能推出1ab <；反之，由1ab <，也不能推出10ab a -<，即不能推出1b a； 综上，“1b a”是“1ab <”的既不充分也不必要条件. 故选：D.【点睛】本题主要考查既不充分也不必要条件的判定，属于基础题型.9. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为（ ）A. n a n =，*n N ∈B. n a =*n N ∈C. n a =，*n N ∈D. 2n a n =，*n N ∈【答案】C 【解析】 【分析】首先观察得到2211n n a a --=，利用等差数列求通项公式.【详解】由条件可知22211a a -=，22321a a -=， (22)11n n a a --=()2n ≥，∴数列{}2n a 是公差为1，首项为1的等差数列，2n a n ∴=，2n n a n a ∴=⇒=*n N ∈.故选：C10. 给出下列结论：①在ABC 中，sin sin A B a b >⇔>； ②常数列既是等差数列又是等比数列;③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(,2]k ∈-∞；④ABC 的内角A ，B ，C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 为锐角三角形.其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】对于①，在ABC 中，由正弦定理可知有sin :sin :A B a b =，由此可判断；对于②，举反例可判断即可；对于③，利用递增数列的定义可求得k 的取值范围；对于④，由正弦定理可得::3:5:7a b c =，进而可判断三角形的形状【详解】解：对于①，由正弦定理得，2sin sin a b R A B ==，所以sin ,sin 22a b A B R R==， 因为sin sin A B >，所以22a bR R>，所以a b >，反之也成立，所以①正确； 对于②，常数列0是等差数列，但不是等比数列，所以②错误； 对于③，若{}n a 为递增数列，则10n n a a +->，即221(1)(1)1(1)0n n a a n k n n kn +-=+-++--+>，化简得1210n n a a n k +-=-+>，得21k n <+恒成立， 因为n ∈+N ，所以3k <，所以③错误；对于④，由正弦定理可知，由sin :sin :sin 3:5:7A B C =，得::3:5:7a b c =，设3,5,7a m b m c m ===，则222222925491cos 022352a b c m m m C ab m m +-+-===-<⨯⨯，所以角C 为钝角，所以三角形为钝角三角形，所以④错误， 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理的应用，考查数列的单调性，等比数列和等差数列的定义等知识，解题的关键是对所涉及的基本概念和知识要熟悉，属于中档题11. 已知ABC ∆的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是（ ）A. 1,12⎛+ ⎝⎦B. 1,122⎡+⎢⎣⎦C.D. 12⎡⎢⎣【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理和基本不等式求出0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，再化简sin cos B B +，再利用三角函数的取值范围. 【详解】∵a ，b ，c 成等比数列， ∴2b ac =，∴22221cos 222a cb ac ac B acac +--==，当且仅当a c =取等号，∴0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以sin cos 4B B B π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴124B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查余弦定理和基本不等式，考查三角恒等变换和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.12. 首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <． A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】①②③根据条件可分析数列是首项为正数，公差小于0的等差数列，所以存在*n N ∈，使10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，再结合等差数列的前n 项和公式判断选项；④利用公式1n n n S S a --=()2n ≥，判断选项. 【详解】①若100S =，则()()110561010022a a a a ++==，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以50a >，60a <，那么()()()()18281212458402a a S S a a a a a a ++=++=+++>，故①不成立； ②若412S S =，则()124561289...40S S a a a a a -=+++=+=，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以80a >，90a <，()115158151502a a S a +==>，()()11689161616022a a a a S ++===，则使0n S >的最大的n 为15，故②成立； ③()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<，则90a <，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以{}n S 中的最大项是8S ，故③正确；④若78S S <，则8780S S a -=>，但989S S a -=，不确定9a 的正负，故④不正确. 故选：B【点睛】方法点睛：一般等差数列前n 项和的最值的常用方法包含：1.单调性法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得等差数列前n 项和的最值；2.利用二次函数的性质求最值，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和2n S An Bn =+（,A B 为常数）为关于n 的二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.二、填空题13. 在数列32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，712是它的第_______项．【答案】6 【解析】 【分析】根据题意，可得数列的通项公式12n n a n +=，进而解12n n+＝712可得n 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，数列32511,,,,,4382n n +⋅⋅⋅…中，其通项公式12n n a n+=，令12n n+＝712，解得6n =，即712是数列的第6项.故答案为：6【点睛】本题考查数列的表示方法，注意数列通项公式的定义，属于基础题． 14. 若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，【答案】[]1,3- 【解析】 【分析】原命题等价于命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题【详解】由题意得若命题“2R,(1)10x x a x ∃∈+-+<”是假命题，则命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题，则需()2014013a a ∆≤⇒--≤⇒-≤≤,故本题正确答案为[]1,3-．【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题．15. 中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为_________（米/秒）【解析】 【分析】画出示意图，根据题意求得角，利用正弦定理求得边，再根据直角三角形边角关系求出旗杆的高度即可求得答案．【详解】如图所示，依题意知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°﹣60°﹣15°＝105°，∴∠EAC ＝180°﹣45°﹣105°＝30°，由正弦定理知sin CE EAC ∠＝sin AC AEC ∠，∴AC sin45°＝20（米），∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC •sin ∠ACB ＝，∵国歌长度约为46秒，∴升旗手升旗的速度应为46＝23（米/秒）．故答案为：23．【点睛】关键点点睛：建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用正余弦定理解三角形解决． 16. 若实数a ，b ∈（0，1）且14ab =，则1211a b+--的最小值为______．【答案】43+ 【解析】 【分析】先根据条件消掉b ，将14b a =代入原式得18141aa a +--，并用“1”代换法，最后应用基本不等式求其最小值．【详解】解：因为ab ＝14，所以b ＝14a ， 因此1211a b+--＝121114aa+--， ＝18141a a a +--， ＝12(41)2141a a a -++--， ＝122141a a ++--， ＝12224144a a ⎛⎫++⎪--⎝⎭， ＝()()2124144234144a a a a ⎛⎫⎡⎤+-+-+ ⎪⎣⎦--⎝⎭， ＝2442(41)12234144a a a a --⎡⎤++++⎢⎥--⎣⎦，的(223≥+＝4+3， 当且仅当a“＝”，所以1211a b +--的最小值为43+，故答案为：43+【点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题17. 已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m >. （1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）45x <<；（2）523m ≤≤ 【解析】 【分析】（1）由p q ∧为真，可知,p q 都为真，进而求出命题,p q ，可得到答案；（2）先求出命题,p q ，由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，可得p 是q 的充分不必要条件，进而可列出不等式，求出实数m 的取值范围.【详解】由27100x x -+<，解得25x <<，所以p ：25x <<， 又22430x mx m -+<，且0m >，解得3m x m <<，所以q ：3m x m <<. （1）当4m =时，q ：412x <<，因为p q ∧为真，所以,p q 都为真，所以45x <<.（2）因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，因为p ：25x <<，q ：3m x m <<，所以2350m m m ≤⎧⎪≥⎨⎪>⎩，解得523m ≤≤.【点睛】本题考查一元二次不等式解法，考查利用复合命题的真假求参数的范围，考查充分不必要条件的应用，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.18. 在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时，n S 取得最大值，并求n S 的最大值.【答案】（1）42nn a -=；（2）当3n =或4时，n S 取得最大值，()max 64n S =.【解析】 【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，得41a =，再根据2a ，43a ，3a 成等差数列，求得公比即可. （2）根据（1）得到(7)321(4)21222n nn n n S a aa -++++-===，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，即244a a =得41a =或40a =（舍）. 因为2a ，43a ，3a 成等差数列，所以2346a a a +=，即231116a q a q a q +=则2610q q --=， 解得12q =或13q =-（舍）， 又3411a a q ==，故18a =.所以141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）(7)321(4)21222n nn n n S a aa -++++-===，又()2717222n n y n n -==-+，该二次函数对称轴为72，又n N +∈，故当3n =或4时，二次函数取得最大值6， 故当3n =或4时，n S 取得最大值6264=，即()max 64n S =.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的运算以及数列最值问题，还考查运算求解的能力，属于基础题.19. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知2B Cbsin asinB +=． （1）求角A ；（2）若a =ABC ，求△ABC 的周长．【答案】（1）A 3π=；（2）5.【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简得到sinBsin2Aπ-=sinAsinB ，化简得到答案.（2）根据面积公式得到bc ＝6，利用余弦定理得到b +c ＝5，得到周长.【详解】（1）2B C bsin asinB +=，∴由正弦定理可得sinBsin 2Aπ-=sinAsinB ， ∵sinB ≠0，∴cos 2A =sinA ，即cos 2A =2sin 2A cos 2A，∵2A ∈（0，2π），cos 2A ≠0，∴sin 122A =，∴26A π=，可得A 3π=．（2）a =A 3π=，△ABC 12=bcsinA =bc ，解得bc ＝6， ∵由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ，可得7＝b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝（b +c ）2﹣18，∴解得b +c ＝5，∴△ABC 的周长为5．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，面积公式解三角形，意在考查学生的计算能力.20. 已知函数f (x )的定义域为R . （1）求a 的取值范围；（2）若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 【答案】（1）[0，1]；（2）13-22⎛⎫⎪⎝⎭，. 【解析】 【分析】（1）根据函数f (x )的定义域为R ，转化为ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立求解.（2）根据f (x )f (x )的最小值为2，解得a ＝12，然后将不等式x 2－x －a 2－a <0转化为x 2－x －34<0,，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】（1）因为函数f (x )的定义域为R . 所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有20{(2)40a a a >∆=-≤ 解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0，1]．（2）因为f (x )因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝，所以a ＝12，所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0. 解得－12<x <32， 所以不等式的解集为13-22，⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题和一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元. （1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.【答案】（1）0175x <≤；（2）11【解析】【分析】（1）求得从事水果种植农民的总年收入，由此列不等式，解不等式求得x 的取值范围.（2）从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入列不等式，根据分离常数法求得a 的取值范围，由此求得a 的最大值.【详解】（1）动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则()()200310.042003x x -⨯⨯+≥⨯⎡⎤⎣⎦，解得0175x <≤.（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则()()33200310.0450x a x x x ⎛⎫-⋅≤-⨯⨯+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，（0175x <≤）， 化简得2000.027a x x≤++，（0a >）. 由于2000.027711x x ++≥=，当且仅当2000.02100x x x =⇒=时等号成立，所以011a <≤，所以a 的最大值为11.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式，考查数学在实际生活中的应用，属于中档题. 22. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． （1）判断数列{}n a 是否为等比数列？若是，写出通项公式；若不是，请说明理由； （2）若22log n n b a =-，设n n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）若不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）是，22n n a -=；（2）32n n nT -=；（3）2m ≥+或2m ≤-【解析】【分析】（1）由题分析可得12n n a a -=，即得数列{}n a 是以112a =为首项，2为公比的等比数列，再写出数列的通项得解； 的（2）求出1682n n n c -=，再利用错位相减法求出数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）设323282n n n n n d T n --=⋅=，求出n d 的最大值即得解. 【详解】解：（1）各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． 则122n n S a +=①， 当1n =时，11122S a +=， 解得112a =． 当2n ≥时，11122n n S a --+=②， ①-②得122n n n a a a -=-， 整理得12n n a a -=， 所以数列{}n a 是以112a =为首项，2为公比的等比数列． 所以121222n n n a --=⋅=， 故22n n a -=．（2）由于22n n a -=，所以2242n n b log a n =-=-， 由于n n n b c a =， 则24216822n n nn n c ---==， 所以1280168222n n n T -=+++①， 2311801682222n n n T +-=+++②， ①-②得：23111111684822222n n n n T +-⎛⎫=-++⋯+- ⎪⎝⎭，21111116822481212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-⋅--， 42nn =， 故32n n nT -=．（3）设32328328822n n n n n n n n d T n n ---=⋅=⋅=， 则：()1113123253222n n n n n n n n d d ++++----=-=， 当1n =，2，3时，112d =，21d =，378d =， 当1n >时，15302n n +-<， 故n d 的最大值为1， 不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立， 只需21114m m --≥即可， 故2480m m --≥，解得2m ≥+2m ≤-所以m的取值范围是2m ≥+或2m ≤-【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）倒序相加法；（5）分组求和法.要根据数列的通项的特征灵活选用.。
四川省成都市郫都区2019-2020学年高二上学期期中考试数学(理)试题 含解析
四川省成都市郫都区2019-2020学年度上期期中考试高二数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1.直线x+y-1=0的倾斜角为（）A. B. C. D.2.抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A. B. C. D.3.双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离为（）A. 1B.C.D. 24.下列说法正确的是（）A. 命题“3能被2整除”是真命题B. 命题“,”的否定是“,”C. 命题“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题D. 命题“若a、b都是偶数,则是偶数”的逆否命题是假命题5.已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点，命题q：α∥β，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.直线l1：x+ay+6=0与l2：（a-2）x+3y+2a=0平行，则a的值等于（）A. 或3B. 1或3C.D.7.设m、n是两条不同的直线α，β，γ，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（）①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γA. 和B. 和C. 和D. 和8.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），则k的值为（）A. B. C. D.9.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 1B. 3C. 6D. 210.已知圆，圆，则这两个圆的公切线条数为（）A. 1条B. 2 条C. 3 条D. 4 条11.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A. B. C. D.12.已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点Q为椭圆上一点．△QF1F2的重心为G，内心为I，且，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知x、y满足不等式组，则z=3x+y的最大值为______．14.体积为4π的球的内接正方体的棱长为______．15.椭圆+=1与双曲线-=1有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2= ______ ．16.抛物线x2=2py（p＞0）上一点A（，m）（m＞1）到抛物线准线的距离为，点A关于y轴的对称点为B，O为坐标原点，△OAB的内切圆与OA切于点E，点F为内切圆上任意一点，则的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题）17.已知p：方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根；q：方程表示焦点在y轴上的双曲线．（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．18.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cos A cos C（tan A tan C-1）=1．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．19.已知在等比数列{a n}中，a1=2，且a1，a2，a3-2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的前n项和S n．20.如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．21.已知动点M（x，y）满足：．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）设过点N（-1，0）的直线l与曲线E交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为C（点C与点B不重合），证明：直线BC恒过定点，并求该定点的坐标．22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：x2+y2=相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l 的方程．答案和解析1.【答案】D【解析】解：设直线x+y-1=0的倾斜角为α．直线x+y-1=0化为．∴tanα=-．∵α∈[0°，180°），∴α=150°．故选：D．利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：抛物线y=4x2的标准方程为x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选：C．把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：根据题意，由双曲线的方程为，可得焦点坐标为（-2，0）（2，0），渐近线的方程为y=±x；结合双曲线的对称性，其任一个焦点到它的渐近线的距离相等，故只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，其距离为d==，故选：C．根据双曲线的方称可得其焦点坐标与渐近线的方程，由于双曲线的对称性，只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，由点到直线的距离公式，计算可得答案．本题考查双曲线的性质，解题时注意结合双曲线的对称性，只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可．4.【答案】C【解析】解：对于A，3不能被2整除，∴“3能被2整除”是假命题，A错误；对于B，“∃x0∈R，x02-x0-1＜0”的否定是“∀x∈R，x2-x-1≥0”，∴B错误；对于C，47不是7的倍数，49是7的倍数，∴“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题，C正确；对于D，“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”是真命题，则它的逆否命题也是真命题，∴D错误．故选：C．A，3不能被2整除，判断A是假命题；B，写出命题的否定，即可判断B是假命题；C，由47不是7的倍数，49是7的倍数，利用复合命题的真假性判断即可；D，根据原命题与它的逆否命题真假性相同，判断即可．本题考查了命题真假的判断问题，是基础题．5.【答案】B【解析】解：当a，b都平行于α与β的交线时，a与b无公共点，但α与β相交．当α∥β时，a与b一定无公共点，∴q⇒p，但p⇒/q故选：B．利用量平面平行的定义推出a与b没有公共点；a与b没有公共点时推不出α∥β，举一个反例即可．利用充要条件定义得选项．本题考查两个平面平行的定义：两平面无公共点；充要条件的判断．6.【答案】D【解析】解：因为两条直线平行，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由，解得：a=-1，故选：D．直接利用两直线平行的充要条件，列出方程求解，解得a的值．本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验．7.【答案】D【解析】解：由m、n是两条不同的直线α，β，γ，是三个不同的平面，知：∵m⊥α，n∥α，∴m⊥n，故①正确；∵α⊥γ，β⊥γ，∴α∥β或α与β相交，故②不正确；∵m∥α，n∥α，∴m与n相交、平行或异面，故③不正确；∵α∥β，β∥γ，∴α∥γ，∵m⊥α，∴m⊥γ，故④正确．故选：D．由m、n是两条不同的直线α，β，γ，是三个不同的平面，知：m⊥α，n∥α⇒m⊥n；α⊥γ，β⊥γ⇒α∥β或α与β相交；m∥α，n∥α⇒m与n相交、平行或异面，故③不正确；α∥β，β∥γ⇒α∥γ，由m⊥α，知m⊥γ．本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.【答案】A【解析】解：如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，∴k=±．故选：A．直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果．本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查由三视图求几何体的体积，在三个图形中，俯视图确定锥体的名称，即是几棱锥，正视图和侧视图确定锥体的高，注意高的大小，侧视图是最不好理解的一个图形，注意图形上的虚线部分，根据体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，∴四棱锥的体积是=2.故选D．10.【答案】D【解析】解：根据题意，圆C1：x2+y2+2x-4y+1=0，即（x+1）2+（y-2）2=4，其圆心为（-1，2），半径r1=2，圆C2：（x-3）2+（y+1）2=1，其圆心为（3，-1），半径r2=1，则有|C1C2|==5＞r1+r2，两圆外离，有4条公切线；故选：D．根据题意，分析两圆的圆心与半径，进而分析两圆的位置关系，据此分析可得答案．本题考查圆与圆的位置关系以及两圆的公切线，关键是分析两圆的位置关系，属于基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用.由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y-4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y-4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小.【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y-4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y-4=0于F，则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小.此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y-4=0的距离为：d==，此时r=，∴圆C的面积的最小值为：S min=π×（）2=.故选A.12.【答案】A【解析】解：椭圆的左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），设Q（x0，y0），∵G为△F1QF2的重心，∴G点坐标为G（，），∵，则∥，∴I的纵坐标为，又∵|QF1|+|QF2|=2a，|F1F2|=2c，∴=•|F1F2|•|y0|，又∵I为△F1QF2的内心，∴||即为内切圆的半径，内心I把△F1QF2分为三个底分别为△F1MF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，∴=（|QF1|+|F1F2|+|QF2|）||，即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率为e=，∴该椭圆的离心率，故选：A．由题意，设Q（x0，y0），由G为△F1QF2的重心，得G点坐标为（，），利用面积相等可得，×2c•|y0|=（2a+2c）||，从而求椭圆的离心率．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的重心与内心的性质、三角形面积计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】9【解析】解：作出x、y满足不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，其中A（2，3），设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，∴z最大值=F（2，3）=9．故答案为：9．作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=3时，求出z=3x+y取得最大值．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：设球的半径为R，正方体的棱长a，则=4，∴R3=，∴R=，则由正方体的性质可知，正方体的体对角线=2R=2，∴a=2，故答案为：2．先确定球的半径，利用球的内接正方体的对角线为球的直径，即可求得结论．本题考查球的内接正方体，解题的关键是利用球的内接正方体的对角线为球的直径，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由题意设焦点F2（2，0）、F1（-2，0），∴3+b2=4，求得b2=1，双曲线-=1，即双曲线-y2=1．不妨设点P在第一象限，再根据椭圆、双曲线的定义和性质，可得|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=2，可得|PF1|=+，|PF2|=-，且|F1F2|=4．再由余弦定理可得cos∠F1PF2=即=，故答案为：．不妨设点P在第一象限，再根据椭圆、双曲线的定义和性质，可得|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=2，求得|PF1|和|PF2|的值，根据|F1F2|=4，利用余弦定理可得cos∠F1PF2的值．本题主要考查椭圆、双曲线的定义和性质及其标准方程，余弦定理的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或p=6．当p=6时，，故p=6舍去，所以抛物线方程为x2=y，∴，所以△OAB是正三角形，边长为，其内切圆方程为x2+（y-2）2=1，如图4，∴．设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），则，∴．故答案为：．利用点在抛物线上，求出m，点A到准线的距离为，求出p，即可解出抛物线方程，设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），化简数量积，求解范围即可．本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】解：（1）由已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则，得，得m＜-3，即q：m＜-3．（2）若方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根则，解得-2＜m＜-1，即p：-2＜m＜-1．因p或q为真，所以p、q至少有一个为真．又p且q为假，所以p，q至少有一个为假．因此，p，q两命题应一真一假，当p为真，q为假时，，解得-2＜m＜-1；当p为假，q为真时，，解得m＜-3．综上，-2＜m＜-1或m＜-3．【解析】（1）根据双曲线的标准方程进行求解即可．（2）根据复合命题真假关系得到p，q两命题应一真一假，进行求解即可．本题主要考查复合命题的真假应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．18.【答案】解：（Ⅰ）由2cos A cos C（tan A tan C-1）=1得：2cos A cos C（-1）=1，∴2（sin A sin C-cos A cos C）=1，即cos（A+C）=-，∴cos B=-cos（A+C）=，又0＜B＜π，∴B=；（Ⅱ）由余弦定理得：cos B==，∴=，又a+c=，b=，∴-2ac-3=ac，即ac=，∴S△ABC=ac sin B=××=．【解析】（Ⅰ）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦，去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简，再由诱导公式变形求出cos B的值，即可确定出B的大小；（Ⅱ）由cos B，b的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b以及b的值代入求出ac的值，再由cos B的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．此题考查了余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19.【答案】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比设为q，a1=2，a1，a2，a3-2成等差数列，可得2a2=a1+a3-2，即为4q=2+2q2-2，解得q=2，则a n=a1q n-1=2n，n∈N*；（Ⅱ）=+2log22n-1=+2n-1，则数列{b n}的前n项和S n=（++…+）+（1+3+…+2n-1）=+n（1+2n-1）=1-+n2．【解析】（Ⅰ）等比数列{a n}的公比设为q，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）求得=+2log22n-1=+2n-1，由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列分组求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵四边形BDEF是正方形，∴DE∥BF，∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，∵CF⊂平面BCF，∴CF∥平面ADE．（Ⅱ）解：连结AC，交BD于O，∵四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF，∵AE=，∠BCD=60°，∴AD=DE=BD=1，∴AO=CO=，∴多面体ABCDEF的体积：V=2V A-BDEF=2×=2×=．【解析】（Ⅰ）由已知得AD∥BC，DE∥BF，从而平面ADE∥平面BCF，由此能证明CF∥平面ADE．（Ⅱ）连结AC，交BD于O，由线面垂直得AC⊥DE，由菱形性质得AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而多面体ABCDEF的体积V=2V A-BDEF，由此能求出多面体ABCDEF的体积V．本题考查线面平行证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21.【答案】解：（1）由已知，动点M到点P（-1，0），Q（1，0）的距离之和为2，且|PQ|＜2，所以动点M的轨迹为椭圆，而a=，c=1，所以b=1，所以，动点M的轨迹E的方程：+y2=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，-y1），由已知得直线l的斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x+1），由，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，所以x1+x2=-，x1x2=，直线BC的方程为：y-y2=（x-x2），所以y=x-，令y=0，则x====-2，所以直BC与x轴交于定点D（-2，0）．【解析】（1）分别求出a，b，c的值，求出M的轨迹方程即可；（2）输出直线l的方程为：y=k（x+1），联立直线和椭圆的方程，根据根与系数的关系，求出定点D的坐标即可．本题考查了求椭圆的轨迹方程问题，考查直线和椭圆的关系以及韦达定理的应用，是一道中档题．22.【答案】解：（1）由题意可得，e==，a2-b2=c2，点（1，）代入椭圆方程，可得+=1，解得a=，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）①当k不存在时，x=±时，可得y=±，S△OAB=××=；②当k存在时，设直线为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0，x1+x2=-，x1x2=，由直线l与圆O：x2+y2=相切，可得=，即有4m2=3（1+k2），|AB|=•=•=•=•=•≤•=2，当且仅当9k2= 即k=±时等号成立，可得S△OAB=|AB|•r≤×2×=，即有△OAB面积的最大值为，此时直线方程y=±x±1．【解析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）讨论①当k不存在时，②当k存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r，结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线l的方程．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的最大值，注意运用分类讨论的思想方法，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r，和基本不等式的运用，属于中档题．。
安徽省皖南名校2020-2021学年高二上学期期中考试 数学试题(扫描版含答案详解)
高二数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
答案 D C C B D D A A B B
C
D
{ } 1．D【解析】∵ A = {x | 2 < x < 4} ， B = x x2 − 4x + 3 < 0 ， = {x |1 < x < 3}
x + y ≥1
【解析】由约束条件 y − x ≤1，作出可行域如图中阴影部分， x ≤ 1
由图可知，当
z
取得最小值时，最优解为
A
，联立
x y
+ −
y x
= =
1 1
，解得
A(
0,1)
,∴
z
=
2x
−
y
+
3
的最小值为 2×0 −1+ 3 = 2 .
高二数学参考答案 第 3 页（共 9 页）
15．【答案】 ( −4, 2)
−
a3
=
1 3
−
1 4பைடு நூலகம்
⋅⋅⋅
an
−
an−1
=
1 n −1
−
1 n
an
−
a1
=
1−
1 n
a1 = 1
所以 ，所以 an
=
2
−
1 n
a2020
=
2
−
1 2020
=
4039 2020
.
10．B【解析】当
S N
理科高二年级数学上册期中考试卷
理科高二年级数学上册期中考试卷想要学习好就一定不可以偷懒哦，今天小编就给大家分享一下高二数学，希望大家多多参考一下哦高二数学上期中理科联考试题第I卷共60分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若设，则一定有( )A. B. C. D.2、命题“对任意，都有”的否定为 ( ).对任意，都有 .不存在，使得.存在，使得 .存在，使得3、已知x1，x2∈R，则“x1>1且x2>1”是“x1+x2>2且x1x2>1”的( )A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、等差数列的前项和为，且，，则公差等于 ( ).-2 . -1 . 1 . 25、原点和点(1，1)在直线x+y﹣a=0两侧，则a的取值范围是( )A.0≤a≤2B.026、钝角三角形的面积是，，，则 ( ). 1 . 2 . . 57、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc.若sin B•sin C=sin2A，则△ABC的形状是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，问日益几何?”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布?”若一个月按30天算，则每天增加量为( )A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺9、已知满足线性约束条件则的最大值为( )A、 B、 C、 D、10、若是等差数列，首项则使前n项和成立的最大自然数是( )A.2 012B.2 013C.2 014D.2 01511、已知函数f(x)=4x2﹣1，若数列前n项和为Sn，则S2015的值为( )A. B. C. D.12、若两个正实数x，y满足 + =1，且不等式x+A. B. C. D.第Ⅱ卷共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上13、在中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，若1. 则c=14、中，角A,B,C成等差数列，则。
娄底市第一中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题
湖南省娄底市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题一、单选题1．“1m ”是“方程22115y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线"的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若关于x 的不等式242x x mx-+>的解集为{}|02x x <<，则实数m 的值为（ ) A ．1- B ．1 C ．2D ．2- 3．已知,a b 为非零实数，且a b <,则下列命题一定成立的是( )A ．22ab <B ．|a ｜〈|b|C ．3223a ba b < D ．22acbc <4．已知(2,1,3)a =-，(4,1,2)a x y =-+-，若//a b ，则x y +=（ ） A ．6-B ．5-C ．4-D ．3-5．设函数()()310f x x ax a =++<,曲线()y f x =在点()(),a f a 处的切线方程为2y x b=+，则a b +=( ）A ．1-B ．1C ．2D ．46．已知数列—1， 1a ,2a ，—4成等差数列，—1，b 1,b 2，b 3，—4成等比数列，则212b a a -的值为（ ）A ．12B ．-12C ．12或-12D ．7．已知点A 是抛物线2:2(0)C xpy p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点(0,10)M 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点,且ABO ∆为等边三角形,则P 的值是( )A ．52B ．53C ．56D ．598．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()''0f x g x f x g x ->,且()03g =,则不等式()()0f x g x <的解集是(）A ．()()3,03,-⋃+∞B ．()()3,00,3-C ．()(),33,-∞-+∞D ．()(),30,3-∞-二、多选题9．下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有( ） A ．B ．所有的正方形都是矩形C ．D ．至少有一个实数x ，使310x+=10．已知实数a 、b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的( )A ．2a bab +≥B ．12a a+≥C ．||2a bb a+≥ D ．()()2222a b a b +≥+11．如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．不是定值C ．三棱锥11B D PC -的体积为定值D ．11DCD P ⊥12．首项为正数，公差不为0的等差数列{}na ，其前n 项和为nS ，现有下列4个命题中正确的有（ ) A ．若10S =，则280S S +=；B ．若412S S =,则使0nS>的最大的n 为15C ．若150S>，16S<,则{}nS 中8S 最大D ．若78SS <，则89SS <三、填空题13．当x 〉1时，x ＋的最小值为________14．若函数()()32'123f x f xx =-+,则()'1f 的值为 。
安徽省肥东县第二中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理
肥东二中2020-2021学年度第一学期期中考试高二年级数学试卷（理科）一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1．下列几何图形中，可能不是平面图形的是（ ）A ．梯形B ．菱形C ．平行四边形D ．四边形2.如图，O A B '''△是OAB △的直观图，则AOB △的面积是（ ）（第2题图）（第4题图） A ．6B ． 32C ．62D ．123．两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均可能 4．在如图所示的正方体中分别是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为A ．B ．C ．D ．5．如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm ）， 则此几何体的体积是（ ） A ．396cm B ． 380cm C ．(380162cm + D ．3224cm 36．已知P 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱DD 1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP 平行的有( )A ．3个B ．6个C ．9个D ．12个7、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )．2444正视图俯视图左视图（第5题图）ππ221 .+Aππ441 .+Bππ21 .+Cππ241 .+D8．在空间四边形的边，，，上分别取，，，四点，如果，，交于一点，则（）A．一定在直线上 B．一定在直线上C．一定在直线或上 D．既不在直线上，也不在直线上9．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A. 12πB. 323π C. 8π D. 4π10.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）（第10题图）（第11题图）A. 217B. 25C. 3D. 211.如图，E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一点(不与端点重合)，BD1∥平面B1CE，则( )A.BD1∥CEB.AC1⊥BD1C.D1E=2EC1D.D1E=EC112.在长方体中，，，，点在平面内运动，则线段的最小值为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是π，则这个圆柱的体积是14．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为2，2，3，则此球的表面积为 。
2020-2021河南省南阳市高二数学上学期期中试题
2020-2021学年河南省南阳市高二上学期期中数学一．选择题1．已知a＞b，则下列不等式①a2＞b2②③中不成立的个数是（）A．3B．1C．0D．22．在△ABC中，已知a＝10，b＝20，A＝120°，则此三角形（）A．无解B．只有一解C．有两解D．解的个数不确定3．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．4．若实数x，y满足条件，则z＝2x﹣y的最大值为（）A．﹣8B．﹣6C．﹣2D．45．设数列{a n}是由正项组成的等比数列，且a7•a8＝4，则log4a1+log4a2+…+log4a14等于（）A．5B．6C．7D．86．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形7．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，下列选项中不可能是{S n}的图象的是（）A．B．C．D．8．不等式≤x﹣2的解集是（）A．（﹣∞，1]∪（2，3]B．[1，2）∪[3，+∞）C．（﹣∞，1]∪[3，+∞）D．[1，2）∪（2，3]9．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．5B．4C．3D．210．将数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则数列{a n}的前n项和为（）A．3n2﹣2n B．n2C．D．11．已知x，y，z∈R*，满足x﹣2y+3z＝0，则的最小值是（）A．2B．3C．4D．512．已知数列{a n}满足：a1＝1，a2＝3，a n+2=3a n(n∈N+)，则数列{a n}的前2020项的和S2020等于（）A．2(31008−1)B．2(31009−1)C．2(31010−1)D．2(32020−1)二．填空题13．已知点A（2a，1），B（﹣3，3﹣a）在直线x+2ay﹣1＝0的两侧，则实数a的取值范围是．14．如图，飞机的航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为10000m，速度为50m/s．飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为m．（结果精确到1m）（取＝1.4，＝1.7）15．已知不等式（x+y）（+）≥16，对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为．16．等比数列{a n}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a99a100﹣1＞0，＜0．给出下列结论：①0＜q＜1；②a99•a101﹣1＜0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198．其中正确的结论是三．解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝a sin C﹣c cos A．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b+c的值．18．已知f（x）＝x2﹣ax﹣2a2，（a∈R）．（1）若f（x）＞﹣9恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＞0．19．某种汽车购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费共计约0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年报废最合算？（最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间）20．已知数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足a1＝1，b1＝1，a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n＝0．（1）令c n＝，求证：数列{c n}为等差数列，并求{c n}的通项公式；（2）若b n＝3n﹣1，求数列{a n}的前n项和S n．21．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知a sin＝b sin A．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．22．已知数列{a n}的各项为正数，其前n项和S n满足S n＝（）2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项的和T n；（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若＜T n＜对一切n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．2020-2021学年河南省南阳市高二上学期期中数学参考答案与试题解析一．选择题1．已知a＞b，则下列不等式①a2＞b2②③中不成立的个数是（）A．3B．1C．0D．2【分析】由不等式的性质对三个不等式进行判断，①a2＞b2，可举一正一负的例子②，可举一正一负的例子③，可举一正一负的例子【解答】解：由题意可令a＝1，b＝﹣1，此时①不对，②不对，③a﹣b＝2，此时有，故③不对．故选：A．【点评】本题考查不等关系与不等式，解题的关键是找到合适的反例说明问题不成立，2．在△ABC中，已知a＝10，b＝20，A＝120°，则此三角形（）A．无解B．只有一解C．有两解D．解的个数不确定【分析】由题意利用正弦定理求得sin B＞1，可判断此三角形无解．【解答】解：△ABC中，已知a＝10，b＝20，A＝120°，由正弦定理得＝，所以sin B＝＝＝＞1，所以B不存在，此三角形无解．故选：A．【点评】本题考查了利用正弦定理判断三角形解的个数，是基础题．3．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．【分析】利用等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m则由题意知，解得d＝．故选：D．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．4．若实数x，y满足条件，则z＝2x﹣y的最大值为（）A．﹣8B．﹣6C．﹣2D．4【分析】作出约束条件所对应的可行域，变形目标函数，通过平移找出最优解，代入目标函数求出最值．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域，如图△ABC：变形目标函数可得y＝2x﹣z，平移直线y＝2x可知，当直线经过点C（3，2）时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得z＝2x﹣y的最大值为z max＝2×3﹣2＝4．故选：D．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．5．设数列{a n}是由正项组成的等比数列，且a7•a8＝4，则log4a1+log4a2+…+log4a14等于（）A．5B．6C．7D．8【分析】由等比数列的性质可得：a1a14＝a2a13＝…＝a7a8，再利用对数运算性质即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a14＝a2a13＝…＝a7a8，∴log4a1+log4a2+…+log4a14＝log4（a1a2•…•a14）＝log4（a7•a8）7＝log447＝7．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【分析】由，利用正弦定理可得，进而可得sin2A＝sin2B，由此可得结论．【解答】解：∵，∴由正弦定理可得∴sin A cos A＝sin B cos B∴sin2A＝sin2B∴2A＝2B或2A+2B＝π∴A＝B或A+B＝∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形故选：C．【点评】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，下列选项中不可能是{S n}的图象的是（）A．B．C．D．【分析】设出数列的和的表达式，通过函数的图象判断即可．【解答】解：因为{S n}是等差数列{a n}的前n项和，所以设S n＝an2+bn（a，b为常数，n∈N+），则其对应函数y＝ax2+bx的图象是过原点的一条曲线．当a＝0时，该曲线是过原点的直线，如选项C；当a≠0时，该曲线是过原点的抛物线，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意．故选：D．【点评】本题考查等差数列求和公式与函数的图象的关系，是基本知识的考查，基础题．8．不等式≤x﹣2的解集是（）A．（﹣∞，1]∪（2，3]B．[1，2）∪[3，+∞）C．（﹣∞，1]∪[3，+∞）D．[1，2）∪（2，3]【分析】移项，求出分式不等式的解集即可．【解答】解：∵≤x﹣2，∴≤0，∴≥0，解得：x≥3或1≤x＜2，故选：B．【点评】本题考查了解分式不等式问题，考查转化思想，是一道基础题．9．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．5B．4C．3D．2【分析】把转化为两数列前n项和比值的形式，结合求得比值，验证n 得答案．【解答】解：∵数列{a n}和{b n}均为等差数列，且其前n项和A n和B n满足，则＝＝＝＝＝7+．验证知，当n＝1，2，3，5，11时为整数．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，体现了数学转化思想方法，是中档题．10．将数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则数列{a n}的前n项和为（）A．3n2﹣2n B．n2C．D．【分析】首先求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前n项和的公式的应用求出结果．【解答】解：数列{2n﹣1}是以1为首项的奇数列，数列{3n﹣2}是以1为首项，公差为3的奇偶交错的等差数列，故数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项为奇数，1，7，13，19，…，即a n＝6n﹣5，即首项为1，公差为6等差数列，所以＝3n2﹣2n，故选：A．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11．已知x，y，z∈R*，满足x﹣2y+3z＝0，则的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【分析】由题意可得＝，利用基本不等式求出它的最小值．【解答】解：因为x﹣2y+3z＝0，∴y＝，∴＝≥＝3，故选：B．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题12．已知数列{a n}满足：a1＝1，a2＝3，a n+2=3a n(n∈N+)，则数列{a n}的前2020项的和S2020等于（）A．2(31008−1)B．2(31009−1)C．2(31010−1)D．2(32020−1)故选：C．二．填空题13．已知点A（2a，1），B（﹣3，3﹣a）在直线x+2ay﹣1＝0的两侧，则实数a的取值范围是{a|a＞2或＜a＜1}．【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，以及A，B在直线两侧，建立不等式即可求解．【解答】解：∵点A（2a，1），B（﹣3，3﹣a）在直线x+2ay﹣1＝0的两侧，∴A，B两点对应式子x+2ay﹣1的符号相反，即（2a+2a﹣1）[﹣3+2a（3﹣a）﹣1]＜0，即（4a﹣1）（﹣2a2+6a﹣4）＜0，∴（4a﹣1）（a﹣1）（a﹣2）＞0，解得a＞2或＜a＜1，即实数a的取值范围是{a|a＞2或＜a＜1}，故答案为：{a|a＞2或＜a＜1}．【点评】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用A，B在直线的两侧得对应式子符号相反是解决本题的关键．14．如图，飞机的航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为10000m，速度为50m/s．飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为2650m．（结果精确到1m）（取＝1.4，＝1.7）【分析】先求出AB，再利用正弦定理求出BC，利用直角三角形的边角关系求出CD，即可求得山顶的海拔高度．【解答】解：如图所示，∠CAB＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21000（m）在△ABC中，＝，所以BC＝＝＝＝10500（）作CD⊥AD，垂足为D，所以CD＝BC sin∠DBC＝BC×sin45°＝10500（﹣）×＝10500（﹣1）＝10500（1.7﹣1）＝7350，所以山顶的海拔高度为h＝10000﹣7350＝2650（m）．故答案为：2650．【点评】本题以实际问题为载体，考查了正弦定理的应用问题，也考查了俯角的概念与应用问题，是基础题．15．已知不等式（x+y）（+）≥16，对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为9．【分析】先由基本不等式求解出式（x+y）（+）的最小值，然后结合不等式恒成立与最值的相互转化可求．【解答】解：（x+y）（+）≥16对任意正实数x，y恒成立，又1+a+＝1+a+2，当且仅当时取等号，所以1+a+2≥16，解得，（）（）≥0，解得a≥9即a的最小值9．故答案为：9．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及不等式的恒成立与最值求解的相互转化，体现了转化思想的应用．16．等比数列{a n}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a99a100﹣1＞0，＜0．给出下列结论：①0＜q＜1；②a99•a101﹣1＜0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198．其中正确的结论是（）①②④【分析】利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出①正确．利用等比数列的性质及不等式的性质判断出②正确．利用等比数列的性质判断出③错误．利用等比数列的性质判断出④正确，从而得出结论．【解答】解：∵a99a100﹣1＞0，∴a12•q197＞1，∴（a1•q98）2＞1．∵a1＞1，∴q＞0．又∵＜0，∴a99＞1，且a100＜1．∴0＜q＜1，即①正确．∵，∴0＜a99•a101＜1，即a99•a101﹣1＜0，故②正确．由于T100＝T99•a100，而0＜a100＜1，故有T100＜T99，∴③错误．④中T198＝a1•a2…a198＝（a1•a198）（a2•a197）…（a99•a100）＝＞1，T199＝a1•a2…a199＝（a1•a199）（a2•a198）…（a99•a101）a100＜1，∴④正确．∴正确的为①②④，【点评】本题考查的知识点是等比数列的性质：若m+n＝p+q则有a m•a n＝a p•a q．其中根据已知条件得到aa99＞1，a100＜1，是解答本题的关键，属于基础题．三．解答题（共3小题）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝a sin C﹣c cos A．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b+c的值．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，结合sin C≠0，利用两角差的正弦公式可得sin（A﹣）＝，结合范围0＜A＜π，可求A的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求得bc＝4，由余弦定理可得b2+c2＝8，进而可求b+c的值．【解答】解：（1）因为c＝a sin C﹣c cos A，由正弦定理可得sin A sin C﹣sin C cos A﹣sin C＝0，因为sin C≠0，所以sin（A﹣）＝，又0＜A＜π，所以A＝．（2）因为A＝，a＝2，△ABC的面积为＝bc sin A＝bc，所以bc＝4，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得b2+c2＝8，所以（b+c）2＝b2+c2+2bc＝8+2×4＝16，所以b+c＝4．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．已知f（x）＝x2﹣ax﹣2a2，（a∈R）．（1）若f（x）＞﹣9恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＞0．【分析】（1）根据不等式恒成立可得△＝a2﹣4（﹣2a2+9）＜0，解得即可；（2）原不等式可化为（x﹣2a）（x+a）＞0，分类解得即可．【解答】解：（1）f（x）＞﹣9恒成立，即x2﹣ax﹣2a2+9＞0恒成立，要△＝a2﹣4（﹣2a2+9）＜0，解得﹣2＜a＜2，故a的取值范围为（﹣2，2）；（2）原不等式可化为（x﹣2a）（x+a）＞0，当a＞0时，解得x＜﹣a或x＞2a，当a＝0时，解得x≠0，当a＜0时，解得x＜2a或x＞﹣a，综上所述：当a＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣a）∪（2a，+∞），当a＝0时，不等式的解集为（﹣∞，0）∪（0，+∞），当a＜0时，不等式的解集为（﹣∞，2a）∪（﹣a，+∞）．【点评】本题考查了不等式恒成立和问题和一元二次不等式的解集问题，考查了运算和求解能力，属于基础题．19．某种汽车购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费共计约0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年报废最合算？（最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间）【分析】确定汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，从而可求汽车的年平均费用，再利用基本不等式，即可求得结论．【解答】解：设使用x年平均费用最少，由于“年维修费用第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，因此汽车使用x年总维修费用为x万元．设汽车的年平均费用为y万元，则有y＝＝1++≥1+2＝3，此时＝，解得x＝10或﹣10（舍去），即当使用10年时年平均费用y最小．即这种汽车使用10年报废最合算．【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，属于中档题．20.已知数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足a1＝1，b1＝1，a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n＝0．（1）令c n＝，求证：数列{c n}为等差数列，并求{c n}的通项公式；（2）若b n＝3n﹣1，求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用数列的关系式的变换求出数列为等差数列，并求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．【解答】解：（1）数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足a1＝1，b1＝1，a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n ＝0．整理得：（常数），即c n+1﹣c n＝2，数列{c n}是以c1＝1，2为公差的等差数列，所以c n＝2n﹣1．（2）由于b n＝3n﹣1，所以，则①，②，①﹣②得：，整理得．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．21．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知a sin＝b sin A．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．【分析】（1）运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；（2）运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．【解答】解：（1）a sin＝b sin A，即为a sin＝a cos＝b sin A，可得sin A cos＝sin B sin A＝2sin cos sin A，∵sin A＞0，∴cos＝2sin cos，若cos＝0，可得B＝（2k+1）π，k∈Z不成立，∴sin＝，由0＜B＜π，可得B＝；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，由余弦定理可得b＝＝，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，且1+a2＞a2﹣a+1，解得＜a＜2，可得△ABC面积S＝a•sin＝a∈（，）．【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，属于中档题．22．已知数列{a n}的各项为正数，其前n项和S n满足S n＝（）2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项的和T n；（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若＜T n＜对一切n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）当n＝1时，a1＝S1＝，解得a1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，利用等差数列的通项公式即可得出a n．（Ⅱ）由（I）可得：b n＝＝＝，利用裂项求和方法即可得出数列{b n}的前n项的和T n．（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，T n+1﹣T n＞0．可得{T n}单调递增，可得T n≥T1＝，T n＝＜．再根据使得＜T n＜对一切n∈N*恒成立，即可得出实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（）2﹣，化简得a n﹣a n﹣1＝2，∴数列{a n}是等差数列，a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（Ⅱ）由（I）可得：b n＝＝＝，∴数列{b n}的前n项的和T n＝＝＝．（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，T n+1﹣T n＝﹣＝＞0．∴{T n}单调递增，∴T n≥T1＝．∵T n＝＜．∴≤T n＜，使得＜T n＜对一切n∈N*恒成立，必需：，解得≤m＜．∴实数m的取值范围是．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
高二数学上学期期中模拟卷(空间向量与立体几何+直线与圆的方程+椭圆)(解析版
2023-2024学年高二数学上学期期中考试一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．“lg 0m >”是“方程()2211m x y m -+=-表示椭圆”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】lg 0m >等价于1m >.若2m =，则方程()2211m x y m -+=-表示单位圆.若方程()2211m x y m -+=-表示椭圆，则椭圆方程可化为2211y x m +=-，则1m >且2m ≠.故“lg 0m >”是“方程()2211m x y m -+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B.2．直线()()()2212:110,:120l a x ay l a x a a y -+-=-+++=，若12//l l ，则实数a 的值不可能是（）A ．1-B ．0C ．1D ．2-【答案】A【分析】根据平行列式，求得a 的值，进而确定正确答案.【详解】由于12//l l ，所以()()()2211a a a a a -⨯+=⨯-，()()()21110a a a a a +---=，()()()()()()22211112120a a a a a a a a a a ⎡⎤-+-=-+=-+=⎣⎦，解得0a =或1a =或2a =-.当0a =时，12:10,:20l x l x --=-+=，即12:1,:2l x l x =-=，两直线平行，符合题意.当1a =时，12:10,:220l y l y -=+=，即12:1,:1l y l y ==-，两直线平行，符合题意.当2a =-时，12:3210,:3220l x y l x y --=-++=，即12:3210,:3220l x y l x y --=--=，两直线平行，符合题意.所以a 的值不可能是1-.故选：A3．如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===．点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN等于（）A ．121232a b c-+ B ．211322a b c-++C ．111222a b c+- D ．221332a b c+-【答案】B【分析】连接ON ，利用空间向量基本定理可得答案.【详解】连接()12211,23322ON MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选：B.4．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，P 是1AA 的中点，若1AM AB AA λμ=+，[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为（）A ．4B ．8C ．855D ．82【答案】C【分析】由题意知点M 在平面11ABB A 内，建立如图空间直角坐标系A xyz -，设(,0,)M a b ，根据空间向量的数量积的坐标表示可得24b a =-，取AB 的中点N ，连接1B N ，则点M 的轨迹为线段1B N ，过点B 作1BQ B N ⊥，结合线面垂直的性质即可求解.【详解】由1,[0,1]AM AB AA λμλμ=+∈、，知点M 在平面11ABB A 内，以1,,AB AD AA 所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系A xyz -，则1(0,0,2),(4,4,0),(0,4,4)P C D ，设(,0,)M a b ，则1(,4,4),(4,4,2)D M a b CP =--=-- ，由1D M CP ⊥，得1416280D M CP a b ⋅=-++-=，即24b a =-，取AB 的中点N ，连接1B N ，则点M 的轨迹为线段1B N ，过点B 作1BQ B N ⊥，则4245525BQ ⨯==，又BC ⊥平面11ABB A ，故BC BQ ⊥，所以BCM S △的最小值为145854255QBC S =⨯⨯= .故选：C.5．在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，将军从点()2,0A 出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程（）A ．101-B ．251-C ．25D ．10【答案】B【分析】根据题意作出图形，然后求出()2,0A 关于直线4x y +=的对称点A '，进而根据圆的性质求出A '到圆上的点的最短距离即可.【详解】若军营所在区域为22:1x y Ω+≤，圆：221x y +=的圆心为原点，半径为1，作图如下：设将军饮马点为P ，到达营区点为B ，设(),A x y '为A 关于直线4x y +=的对称点，因为()2,0A ，所以线段AA '的中点为2,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，则2422x y ++=即60x y +-=，又12AA yk x '==-，联立解得：42x y =⎧⎨=⎩，即()4,2A '，所以总路程||||||||PB PA PB PA '+=+，要使得总路程最短，只需要||||PB PA '+最短，即点A '到圆22=1x y +上的点的最短距离，即为11OA OB OA ''-=-=.故选：B.6．在等腰直角三角形ABC 中，4AB AC ==，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图）．若光线QR 经过ABC 的重心，则QR 的长度等于（）AB．9C．9D．9【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，得出ABC 各顶点以及重心的坐标，设(),0P a ，04a <<.求出直线BC 的方程，根据光的反射原理得出点P 关于BC 以及y 轴的对称点的坐标，表示出RQ 的方程，代入重心坐标，求出a 的值，得出RQ 的方程.进而求出,R Q 的坐标，即可根据两点间的距离公式得出答案.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()4,0B ，()0,4C ，ABC 的重心坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭，BC 方程为40x y +-=，设(),0P a ，04a <<.根据光的反射原理以及已知可知，点P 关于BC 的对称点1P 在QR 的反向延长线上，点P 关于y 轴的对称点2P 在QR 的延长线上，即12,,,P P Q R 四点共线.由已知可得点()111,P x y 满足()11110422011a x y y x a++⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯-=--⎪⎩，解得1144x y a =⎧⎨=-⎩，所以()14,4P a -.易知()2,0P a -.因为12,,,P P Q R 四点共线，所以有直线QR 的斜率为()40444a ak a a ---==--+，所以，直线QR 的方程为()44ay x a a-=++.由于直线QR 过重心44,33⎛⎫⎪⎝⎭，所以有444343a a a -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，整理可得2340a a -=，解得43a =或0a =（舍去），所以直线QR 的方程为44434343y x -⎛⎫=+⎪⎝⎭+，整理可得3640x y -+=.所以，R 点坐标为20,3⎛⎫⎪⎝⎭.联立QR 与BC 的方程364040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得209169x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2016,99Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，QR ==.故选：B.7．正四面体的棱长为3，点M ，N 是它内切球球面上的两点，P 为正四面体表面上的动点，当线段MN 最长时，PM PN ⋅的最大值为（）A ．2B ．94C ．3D ．52【答案】C【分析】设四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，根据题意求出内切球的半径，当MN 为内切球的直径时，MN 最长，再化简()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+可求得其最大值.【详解】设正四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，则AO BO =.因为正四面体的棱长为3，所以22333BG BE ==所以AG ===r ，则()222AG r r BG -=+，)22rr =+，解得4r =，当MN 为内切球的直径时MN 最长，此时0+= OM ON，238OM ON ⋅=-=-⎝⎭ ，()()PM PN PO OM PO ON⋅=+⋅+()2238PO PO OM ON OM ON PO =+⋅++⋅=- ，因为P 为正四面体表面上的动点，所以当P 为正四体的顶点时，PO 最长，POPM PN ⋅的最大值为23348⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C8．已知M 为椭圆：()222210x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 为左右焦点，设12MF F α∠=，21MF F β∠=，若sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+，则离心率e =（）A ．12B ．13C ．12D ．23【答案】C【分析】设12||,||MF m MF n ==，12||2F F c =，结合三角恒等变换以及正余弦定理将sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+化为22243224c n m n m m c cm+--⋅=+，继而推出,,a b c 的关系，求得答案.【详解】设12||,||MF m MF n ==，12||2F F c =，则2m n a +=，由sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+得3sin 3sin cos sin cos sin ααββαβ-=+，即3sin 2sin cos sin sin cos cos sin sin sin()ααββαβαββαβ-=++=++，在12MF F △中，由正弦定理得1222sin sin sin sin()n m c cF MF αβαβ===∠+，故32cos 2n m m c β-=+，又2224cos 4c n mcmβ+-=，故22243224c n m n m m c cm+--⋅=+，即282(3)()()0c c m n m n n m +-++-=，即[4()][2()]0c m n c n m -+--=，即4c m n =+或2c n m =-，结合椭圆定义可知2m n c +>且||2m c -<，故4c m n =+，即142,2c c a e a =∴==，故选：C【点睛】关键点睛：本题是椭圆的离心率的求解问题，即求,,a b c 之间的关系，解答的关键是对于已知等式的化简，即利用三角恒等变换结合正余弦定理将sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+转化为三角形边之间的关系式，进而化简可得,,a b c 的关系，即可求解答案.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积可能是（）A ．1B ．3C ．4D ．7【答案】BC【分析】根据给定条件，求出线段AB 长，点P 到直线AB 的距离范围，再利用三角形面积公式求解即得.【详解】依题意，点(2,0),(0,2)A B --，则||AB =圆()2222x y -+=的圆心(2,0)C ，半径2r =，则点C 到直线AB 的距离4222r =>，因此点P 到直线AB 的距离[2,32]d ∈，ABP 的面积1||2[2,6]2S AB d d =⋅=∈，显然BC 满足，AD 不满足.故选：BC10．已知圆2221:2100C x y mx y m ++-+=，圆222:450C x y y ++-=，则下列说法正确的是（）A ．若点()1,1在圆1C 的内部，则24m -<<B ．若2m =，则圆12,C C 的公共弦所在的直线方程是41490x y -+=C ．若圆12,C C 外切，则15m =±D ．过点()3,2作圆2C 的切线l ，则l 的方程是3x =或724270x y -+=【答案】BCD【分析】根据点在圆的内部解不等式2112100m m ++-<+即可判断A 错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B 正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C 正确；对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D 正确.【详解】对于A ，由点(1,1)在圆1C 的内部，得2112100m m ++-<+，解得42m -<<，故A 错误；对于B ，若2m =，则圆221:41040C x y x y ++-+=，将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是41490x y -+=，故B 正确；对于C ，圆1C 的标准方程为22()(5)25x m y ++-=，圆心为()1,5C m -，半径15r =，圆2C 的标准方程为22(2)9x y ++=，圆心为()20,2C -，半径23r =，若圆12,C C 外切，则1212C C r r =+，即24953m +=+，解得15m =±，故C 正确；对于D ，当l 的斜率不存在时，l 的方程是3x =，圆心2C 到l 的距离23d r ==，满足要求，当l 的斜率存在时，设l 的方程为()32y k x =-+，圆心2C 到l 的距离224331k d r k -===+，解得724k =，所以l 的方程是724270x y -+=，故D 正确.故选：BCD.11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为11A B 的中点，P 为棱BC 上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（）A ．存在点P ，使11D P AC ⊥B ．存在点P ，使1PE D E =C ．四面体11EPCD 的体积为定值83D ．二面角11P DE C --的余弦值的取值范围是23⎡⎢⎣⎦【答案】AB【分析】利用向量法，根据线面垂直，两点间的距离，几何体的体积，二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设()02CP a a =≤≤，则(),2,0P a ，()2,1,2E ，()()12,0,0,0,2,2A C ，()10,0,2D ，则()12,2,2AC =- ，()1,2,2D P a =-，112442D AC a a P ⋅=-+-=-，当0a =时，即P 点与C 点重合时，11D P AC ⊥，故A 正确.由1PE D E =2a =，此时P 点与B 点重合，故B 正确.111111111422223323E PC D P C D E C D E V V S --==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯= 为定值，故C 错误.又()12,1,0D E = ，()1,2,2D P a =-，设平面1D EP 的法向量()1,,n x y z = ，由11112002200D E n x y D P n ax y z ⎧⋅=+==⎪⎨⋅=+-==⎪⎩，令1x =则=2y -，22a z =-，11,2,22a n ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭ ，又平面11D EC 的法向量()20,0,2n =，12cos ,22n an ∴=-又02a ≤≤，122cos ,3n n ⎤∴∈⎣⎦，故D 错误.故选：AB12．已知椭圆222:12x y C m+=的焦点分别为()10,2F ，()20,2F -，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（）A ．26m =B．椭圆C C ．直线l 的方程为320x y +-=D ．2F MN的周长为【答案】AC【分析】先由题意求出2m 即可判断A ；再根据离心率公式即可判断B ；由点差法可以求出直线l 的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C ；由焦点三角形的周长公式即可判断D.【详解】如图所示：根据题意，因为焦点在y 轴上，所以224m -=，则26m =，故选项A 正确；椭圆C的离心率为2636c e a ===，故选项B 不正确；不妨设()()1122,,,M x y N x y ，则2211126x y +=，2222126x y +=，两式相减得()()()()1212121226x x x x y y y y +-+-=-，变形得121212123y y x x x x y y -+=-⨯-+，又注意到点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，所以121212121221122P P x x x x x y y y y y ++====++，所以直线l 的斜率为121212123313l y y x k xx x y y ⨯=-+⨯--=-+=-=，所以直线l 的方程为11322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即320x y +-=，故选项C 正确；因为直线l 过1F ，所以2F MN 的周长为()()22212122446F M F N MN F M F M F N F N a a a ++=+++=+==，故选项D 不正确.故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在三棱锥-P ABC 中，PC ⊥底面,90,4,45ABC BAC AB AC PBC ∠∠==== ，则点C 到平面PAB 的距离是.【答案】463/463【分析】建立空间直角坐标系，设平面PAB 的一个法向量为(),,m x y z =，由点C 到平面PAB 的距离为PC m d m⋅=求解.【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,0,4,42A B C P ，所以()()()0,4,42,4,0,0,0,0,42AP AB PC ===-.设平面PAB 的一个法向量为(),,m x y z =，则0,0,m AP m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即4420,40,y z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩令y 1z =-，所以()1m =-，所以点C 到平面PAB的距离为PC m d m⋅==14．若非零实数对(),a b满足关系式1771a b a b ++=-+=，则a b=．【答案】34-或43【分析】化简转化为点到直线的距离，利用直线的位置关系即可求解.【详解】由1771a b a b ++=-+=5==，()1,1A 到直线10ax by ++=的距离1d，()7,7B -到直线10ax by ++=的距离2d ，5==，所以125d d ==.因为10AB =，1210d d +=，所以当点A ，B 在直线10ax by ++=同侧时，直线AB 与直线10ax by ++=平行，当点A ，B 在直线10ax by ++=异侧时，A ，B 关于直线10ax by ++=对称，因为直线AB 的斜率174173k +==--，直线10ax by ++=的斜率为ab-，所以43a b -=-或413a b ⎛⎫⎛⎫-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以43a b =或34ab=-.故答案为：34-或43.15．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为(2,1)P 且斜率为1-的直线与C 相交于,A B 两点，若P 恰好是AB 的中点，则椭圆C 上一点M 到F 的距离的最大值为.【答案】3/3+【分析】利用点差法可求基本量的关系，再结合通径的长可求基本量，故可求焦半径的最大值.我们也可以联立直线方程和椭圆方程，从而可用基本量表示中点，从而得到基本量的一个关系式，同样结合通径长可取基本量，故可求焦半径的最大值.【详解】法一：将x c =代入椭圆C 的方程得2b y a =±，所以22ba=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，又124x x +=，1212122,1y y y y x x -+==--，所以22210a b-=②，解①②得3a b ==，所以3c =，所以C 上的点M 到焦点F的距离的最大值为3a c +=.法二：将x c =代入椭圆C 的方程得2by a=±，所以22b a =，直线AB 的方程是1(2)y x -=--，即3y x =-，代入椭圆的方程并消去y 整理得()2222222690a b x a x a a b +-+-=，则()()()()22222222222490694a a b a a b a b a b ∆=--++-->=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122264a x x a b+==+，即222a b =②，解①②得3a b ==，满足0∆>，所以3c =，所以C 上的点M 到焦点F的距离的最大值为3a c +=.故答案为：3.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A --，圆22:1O x y +=，在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQλλ=为常数），则Q 的坐标为．【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设00(,)Q x y ，(,)P x yλ=对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立，从而得到202202(22)()320x x y x λλλ+++--=对任意[x y +∈恒成立，从而得到202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩，即可求出λ与0x ，从而得解.【详解】设00(,)Q x y ，(,)P x y ，则PA =PQ =若在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQλλ=为常数)，λ=对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立，即22222200(1)(1)()()x y x x y y λλ+++=-+-，整理得222222022000(1)()(22)(22)2()0x y x x y y x y λλλλ-++++++-+=，因为点Q 在直线AO 上，所以00x y =，由于P 在圆O 上，所以221x y +=，故202202(22)()320x x y x λλλ+++--=恒成立，其中点(),P x y 在圆22:1O x y +=上，令x y m +=，则0x y m +-=，所以直线0x y m +-=与圆有交点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即1d ≤，解得m ≤≤[x y +∈，所以202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩，显然0λ≠，所以021x λ=-，故22230λλ--=，因为0λ>，解得λ=1λ=.当1λ=时，(1,1)Q --，此时,Q A 重合，舍去.当λ=11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，综上，存在满足条件的定点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时λ=故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用题设条件，结合221x y +=与00x y =化简得202202(22)()320x x y x λλλ+++--=恒成立，从而得到关于0,x λ的方程组，由此得解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD DC =，E ，F 分别是AB ，PB 的中点.(1)求证：EF CD ⊥.(2)已知点G 在平面PAD 内，且GF ⊥平面PCB ，试确定点G 的位置.【答案】(1)证明见解析(2)点G 为AD 的中点【分析】（1）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设AD a =，再根据0EF DC ⋅= 即可证明.（2）设(,0,)G x z ，根据GF ⊥平面PCB 得到0FG CB ⋅= ，0FG CP ⋅= ，即可得到答案.【详解】（1）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图），设AD a =，则(0,0,0)D ，(,,0)B a a ，(0,,0)C a ，,,02a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,0,)P a ，,,222a a a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以,0,22a a EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，(0),,0DC a = ，所以,0,(0,,0)022a a EF DC a ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪⎝⎭ ，所以EF CD ⊥.（2）因为∈G 平面PAD ，设(,0,)G x z ，所以,,222a a a FG x z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ .由（1），知(,0,0)CB a = ，(0,),CP a a =- .因为GF ⊥平面PCB ，所以,,(,0,0)()02222a a a a FG CB x z a a x ⎛⎫⋅=---⋅=-= ⎪⎝⎭ ，2,,(0,,)022222a a a a a FG CP x z a a a z ⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以2a x =，0z =，所以点G 的坐标为,0,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即点G 为AD 的中点.18．（12分）已知直线:1l y kx k =+-．(1)求证：直线l 过定点；(2)若当44x -<<时，直线l 上的点都在x 轴下方，求k 的取值范围；(3)若直线l 与x 轴、y 轴形成的三角形面积为1，求直线l 的方程．【答案】(1)证明见解析(2)11[,]35-(3)(21y x =+++(21y x =+【分析】（1）由直线方程观察得定点坐标即证；（2）由4x =±时对应点的纵坐标不小于0可得；（3）求出直线与坐标轴的交点坐标，再计算三角形面积从而得直线的斜率，即得直线方程．【详解】（1）由1y kx k =+-，得1(1)y k x +=+．由直线方程的点斜式可知，直线l 过定点(1,1)--；（2）若当44x -<<时，直线l 上的点都在x 轴下方，则410,410,k k k k -+-≤⎧⎨+-≤⎩解得1135k -≤≤，所以k 的取值范围是11[,35-；（3）设直线l 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，坐标原点为O ．当0x =时，得||||1|OB k =-，当0y =时，得|1|||||k OA k -=，所以11|1||||||1|22||AOB k S OA OB k k -==-⨯△，即211|1|12||k k -⨯=，解得2k =2，所以直线l 的方程为(21y x =+(21y x =+19．（12分）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX 中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD （包含边界和内部，A 为坐标原点），AD 10米，在AB 边上距离A 点4米的F 处放置一只电子狗，在距离A 点2米的E v ，电子狗行走速度为2v ，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ，那么电子狗将被机器人捕获，点M 叫成功点．(1)求在这个矩形场地内成功点M 的轨迹方程；(2)若P 为矩形场地AD 边上的一点，若电子狗在线段FP 上都能逃脱，问：P 点应在何处？【答案】(1)2241640393x y x ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)P 的横坐标范围为⎤⎥⎝⎦即可逃脱.【分析】（1）分别以,AD AB 为,x y 轴，建立平面直角坐标系，由题意2MF ME v v =，利用两点间的距离公式可得答案.（2）利用三角函数得到极端情况时P 点的横坐标即可得到答案.【详解】（1）分别以AD ，AB 为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则()0,2E ，()0,4F ，设成功点(),M x y ，可得2MF ME v v ==化简得2241639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，因为点M 需在矩形场地内，所以403x ≤≤，故所求轨迹方程为2241640393x y x ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）当线段FP 与（1）中圆相切时，则413sin 4243AFP ∠==-，所以30AFP ∠=︒，所以4tan 30AP =︒=，若电子狗在线段FP 上都能逃脱，P点的横坐标取值范围是⎤⎥⎝⎦．20．（12分）．如图，//AD BC 且2,,//AD BC AD CD EG AD =⊥且,//EG AD CD FG =且2,CD FG DG =⊥平面,2ABCD DA DC DG ===．(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ；(2)求平面BCE 和平面BCF 夹角的正弦值；(3)若点P 在线段DG 上，且直线与平面ADGE 所成的角为45︒，求点P 到平面CDE 的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)10；(3)2.【分析】（1）取GD 中点为Q ，连接NQ ，MQ ，通过证明平面//MQN 平面CDE ，可得//MN 平面CDE ；（2）如图，建立以D 为原点的空间直角坐标系，分别求出平面BCE 和平面BCF 夹角的法向量，即可得答案；（3）由（2），设()0,0,P t ，直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒可得点P 坐标，可得点P 到平面CDE 的距离.【详解】（1）取GD 中点为Q ，连接NQ ，MQ .因M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，Q 为GD 中点，由三角形及梯形中位线定理，可得,NQ ED MQ DC .又注意到，,ED DC ⊂平面EDC ，,NQ MQ ⊄平面EDC ，,NQ MQ ⊂平面MNQ ，∩NQ MQ Q =，则平面//MQN 平面CDE .又MN ⊂平面MQN ，则//MN 平面CDE .（2）因DG ⊥平面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，则,DG DC DG DA ⊥⊥，又AD DC ⊥，则如图建立以D 为原点的空间坐标系.则()()()()()()()000200020002120202012,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D A C G B E F .()()()100122112,,,,,,,,BC BE BF =-=-=--.设平面BCE 和平面BCF 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z == .则1111110220BC n x BE n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取()10,1,1n = ；222222020BC n x BF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，取()20,2,1n = .设平面BCE 和平面BCF 夹角为θ，则1210cos cos ,θn n === .则平面BCE 和平面BCF夹角的正弦值为sin θ=（3）由（2），设()0,0,P t ，其中[]0,2t ∈，则()12,,BP t =-- 又由题可得，平面ADGE 的一个法向量可取()30,1,0n = .结合直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒，则32cos ,n BP t ==⇒=则(DP = ，()()020202,,,,,DC DE == .设平面CDE 法向量为()4444,,n x y z = ，则4444420220DC n y DE n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ .取()4101,,n =- ，则点P 到平面CDE的距离442n DP d n ⋅=== .21．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 是圆O ：228x y +=上的两个动点，P 是弦AB 的中点，且90AOB ∠=︒；(1)求点P 的轨迹方程；(2)点P 轨迹记为曲线τ，若C ，D 是曲线τ与x 轴的交点，E 为直线l ：4x =上的动点，直线CE ，DE 与曲线τ的另一个交点分别为M ，N ，判断直线MN 是否过定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．【答案】(1)224x y +=(2)过定点()1,0Q ．【分析】（1）设点(),P x y 为曲线上任意一点，根据几何关系得到2OP =，得到轨迹方程.（2）设()4,E t ()0t ≠，分别计算CE ，DE 的直线方程，联立圆方程得到交点坐标，考虑直线MN 斜率存在和不存在两种情况，计算直线方程得到答案.【详解】（1）设点(),P x y 为曲线上任意一点，P 是弦AB 的中点，且90AOB ∠=︒，圆O ：228x y +=的半径r =122OP AB ===，故点P 的轨迹方程为：224x y +=．（2）不妨取()2,0C -，()2,0D ，设()4,E t ()0t ≠，则直线CE 的方程为()26t y x =+，直线DE 的方程为()22t y x =-，联立()22264t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得2222364440363636t t t x x +++-=，则224236M t x t -=-+，即2272236M t x t -=+，()2242636M M t t y x t =+=+，所以22272224,3636t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．联立()22224t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得22224404t x t x t +-+-=，则22424N t x t +=+，即22284N t x t -=+，()28224N N t t y x t -=-=+，所以222288,44t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．①当t ≠±MN 的斜率222222224883647222812364MNt t t t t k t t t t t --++==----++，则直线MN 的方程为222288284124t t t y x t t t ⎛⎫---=- ⎪+-+⎝⎭，即()28112t y x t =--，直线过定点()1,0，所以()1,0Q ；②当t =±MN 垂直于x 轴，方程为1x =，也过定点()1,0Q ．综上所述：直线MN 恒过定点()1,0Q ．【点睛】关键点睛：本题考查了圆的轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中设出E 的坐标，分别计算,M N 坐标再计算直线方程是解题的关键.22．（12分）如图所示，已知椭圆2219x y +=中()3,0A ，()0,1B ；P 在椭圆上且为第一象限内的点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N(1)求证：①||||AN BM ⋅为定值；②PMN 与PAB 面积之差为定值；(2)求MON △面积的最小值.【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)92+【分析】（1）①设00(,)P x y ，利用直线方程求出点,M N 坐标，从而可得||||AN BM ⋅的表达式，结合点在椭圆上化简，即可证明结论；②利用PMN 与PAB 面积之差为MAN BAN S S - ，利用三角形面积公式，结合①的定值即可证明结论；（2）利用三角形面积公式表示出MON △面积的表达式，利用（1）的定值结合基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）证明：①设00(,)P x y ，()001,030x y <<<<，则220019x y +=，即220099x y +=，直线()0033:y PA y x x =--，令0x =，则0033M y y x =--，故003|||1|3y BM x =+-；直线0011:y PB y x x =+-，令0y =，则001N x x y -=-，故00|||3|1x AN y =+-；所以00000000003|||||3||1||33|||133331x y x y x y AN BM y x y x ⋅=+⋅+⋅-+----+()()()2220000000000000033996618||||3133x y x y x y x y x y x y x y +-+++--==----+000000001666183|38x y x y x y x y --++-==-，即||||AN BM ⋅为定值6；②PMN 与PAB 面积之差为11||||||||22MAN BAN S S AN OM AN OB -=⋅-⨯⋅ 1||||32AN BM =⨯⋅=,即PMN 与PAB 面积之差为定值3；（2）MON △面积()()11||||3||1||22OMN S ON OM AN BM =⋅=++ ()1||||||3||32AN BM AN BM =⋅+++()1966322+≥+=，当且仅当||3||AN BM =，结合||||6AN BM ⋅=，即|||AN BM ==时取等号，即MON △面积的最小值为92+.【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于证明||||AN BM ⋅为定值，解答时要利用直线方程表示出||,||AN BM ，从而求得||||AN BM ⋅表达式，结合点在椭圆上化简即可证明结论.。
最新重庆市第一中学2019-2020学年高二上学期数学(理)期中试题(有详细答案)
重庆市第一中学 2019-2020学年上学期期中试题高二数学理科第Ⅰ卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.直线 x 3y3 0的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2.3个班分别从 5个风景区中选择一处游览，不同选法的种数是（ ）3 A ． 5 5 B ． 3C ． A 3 5D ．C35 3. 对任意的实数m ，直线 xmy 1与圆 x y 4 的位置关系一定是（2 2 ）A ． 相切B ．相交且直线过圆心D ． 相离C ．相交且直线不过圆心 x 2 y 21的左、右焦点分别为F , F ，过左焦点 的直线交椭圆于 A B 两点，则 F ,4. 已知椭圆方程为9 41 2 1 ABF 的周长为（ ）2A ．12B ．9 C.6 D ．4x 2 y 21 m 5. 若方程表示焦点在 y 轴上的双曲线，则实数 的取值范围为（ ）m 1 mA ． mB ．0 m mD ．1 mC. x 2 y 2521 F , F ，点 P 在椭圆上，若 PF PF PF PF 6.设椭圆A ．2 的左右焦点分别为 ，则 （）4 31 2 1 2 1 27C.9 2B ．3D ．21n1 nN2x7. 在 xn的二项展开式中，若只有第 4项的二项式系数最大，则 的二项展开式x中的常数项为（ ） A ．960B ．-160C. -560D ．-9608. 已知棱长为 1的正方体的俯视图是一个面积为 1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能为（ ）2 1 2 1 2A ．1B ． C.D ．2 2x 2 y 21 , 的右支上一点，M N 分别是圆x y 10x 21 0 9. P 是双曲线2 2 和 9 16 x 2 y 2 10x 24 0 上的点，则 P M P N 的最大值为（）A ．6B ．7 C. 8 D ．910. （原创）4个男生 4个女生站成一排，要求相邻两人性别不同且男生甲与女生乙相邻，则这样的站法有 （）A ． 576种B ．504种C. 288种D ．252种x y x 2 2 P x ,y 在椭圆 1 x y y 4 4 11. （原创）已知点 上运动，设d 2 2 ，则d 的最小值为4 32（ ）5 2 B ．2 2 15 16 1D ．A ． C.: x 1 y 2 r l 12. （原创）已知直线l 与坐标轴不垂直且横、纵截距相等，圆C 2 2 2 ，若直线 和圆C 相切，且满足条件的直线 恰好有三条，则圆的半径 的取值集合为（l）r1, 52 2 2 5, 1, 5, 1,2, 5, A ． B ．C.D ．2 2 2第Ⅱ卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 2x 13.抛物线 y 的焦点到准线的距离为．2x 1,y 1 0, y 2 的最小值是 14.已知x ，则 x．2 2x y 2 015.（原创）将编号 1,2,3,4,5的小球放入编号 1,2,3,4,5的盒子中，每个盒子放一个小球，则至多有两个 小球的编号与盒子的编号相同的放法共有种．16. （原创）已知双曲线C 的右焦点为 F ，过 F 的直线l 与双曲线C 交于不同两点 A、BA 、B ，且 两点．间的距离恰好等于焦距，若这样的直线l 有且仅有两条，则双曲线C 的离心率的取值范围为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分 12分）ABC 中，点 AB C . 1,2 , 1,3 , 3,3（1）求 AC 边上的高所在直线的方程； （2）求 AB 边上的中线的长度.2xx 1 1 2x a a x a x a x 6 18. （本小题满分 12分）已知 2 2 8 .128（1）求a ；22a a aaa a a（2）求 a2.24681357 1,2xy 6A, B交于两点19. （本小题满分 12分）已知过点 P的直线l 和圆 2 2（1）若点 P 恰好为线段 AB 的中点，求直线l 的方程； 2 5 （2）若 AB，求直线 的方程.ly 25x上的动点，点 D 是 P 在 轴上投影， M 为线段 PD 上一20. （本小题满分 12 分）设 P 是圆 x 22 4PD 点，且 M D .5（1）当 P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；4F3,0 ABF，3,0 , B （2）过点 且斜率为 的直线交轨迹C 于 A两点，若点 求的面积.5p: y2px p 0l : 4x 3y 6 0 和直线l : x 221. （本小题满分 12 分）已知直线，若抛物线C 221上的点到直线l 和直线l 的距离之和的最小值为 2.12（1）求抛物线C 的方程；k x 3 （2）在抛物线C 上恒有两点关于直线 y 对称，求 的取值范围.kxy b 2 2 : 1 a b 0 F , F，动点P22. （原创）（本小题满分 10 分）已知椭圆T 的左、右焦点分别为 a 2 2 1 2 PF 在椭圆上运动， PF 的最大值为 25，且点 P 到 F 的距离的最小值为 1.121（1）求椭圆T 的方程；3 R 5 ）于 点 B ，求 A B: xy R 、 （2）直线l 与椭圆T 有且仅有一个交点 A ，且l 切圆 M 两点间的距离 AB 的最大值；2（其中 2 210,1 、的动直线与椭圆T 相交于两不同点G H 时，在线段G H 上取一点 D ，满足（3）当过点CG C HD = G D CH ，求证：点 D 在定直线上.试卷答案一、选择题1-5: DBCAA二、填空题6-10: CBCDB 11、12：AD1+171，2，+13. 1 14. 5 15. 109 16.4三、解答题2112C 14C 7418. 解：（1）分析项的构成，知：a.16226a a a a a a a a a a a，（2）原式= a1238123456781a 1，令x令x令x，得=2=1a a a，a8a8，得a a a a01231231=2916，得a a a a a a a a a012345678a a a a a a a a=291512345678从而原式=2915.19. 解：（1）易知圆心为原点O，由已知O P l，所以k k 1，而k 2，解出O P l O P 1k ，由点斜式可得直线的方程为：x 2y 502l251；（2）当直线的斜率不存在时刚好满足AB，此时直线方程为xl2k x 1kx y 2k 0若直线斜率存在，设为y，整理为d22r 1由垂径定理圆心到直线的距离h22k31，解出k ，此时直线的方程为3x 4y 50所以h4k2113x 4y 50或.综上可知满足条件的直线方程为：xx2y2120. 解：（1）.25164 415 : y x 3 AB 1 k x x （2）直线 AB ，弦长 ， 2 5 1 2 241 12 41 5 d AB d 点 F 到 AB 的距离为 ，故 S .2 4121. 解：（1）由抛物线的定义知：距离之和的最小值为点F 到直线 的距离，故l 12p 62 p 2 y 4x .，从而抛物线的方程为 2 5 , y ,B x , y y k x 3对称，故可设直线 AB ：x k y m y （2）设 A x 关于直线.代入 1122y 1y 4x 得 y 4ky 4m 0 .设 AB 的中点为 M x , y ，则 y 2k ，所以22 22 0 0 0xk y m 2k m .因为点 M x , y 在 y kx 3上，则2k k 2k 2 m 3 2 .即 00 02k 2k 33 m.又 AB 与抛物线有两个不同的交点，故 16k 16m 0 .将 m 代入上 2 k k 2k 3 k 1,0.3 0 k k 1 k k 3 0 1 k 0 式得2 ，故k 的取值范围为 k PF PF222. 解：（1）由于 PF PFa 2 ，所以 PF PF的最大值为a 2 ， 1 2 2 121 2PF a25 时取等号，由已知可得 25 ，又a cc ， 1 4 当 PF，即 a 1 2 x y 2 2 b a c 9 ，故椭圆的方程为 1 .所以 22 2 25 9 , y ,B x , y （2）设 A x 分别为直线 与椭圆和圆的切点，设直线 AB 的方程为l1122x y 2 21y kx m .因为 A 既在椭圆上，又在直线 AB 上，从而有25 9 ，消 y 得y kx m25k 9 x 50kmx 25 m 9 0 2 2 2 .由于直线与椭圆相切，故，50km4 25k 9 25 m9 0 2 2 2，25k9 25k x 1 从而可得m 2 ①，且 ②.2mx y R2 2 21 x 2kmx m R 0 由 ，消 y 得 k2 2 2 2 .由于直线与椭圆相切，得 k x m y kR 2mmR1 k ③，且 x 222④. 2R 92由①③得 k 2，故 AB 2 x x2yy2225 R 22 1212 12k 25 R 225R 2 2 2R 29 225 m 2 R 225 9 R2 m 2R 2 25 R 2R 2225 34 2 R 34 30 4 2.，即 AB 2R 215 AB 的最大值为 2. 当且仅当 R （3）设G、H 、DG C时取等号，所以 , , , ,, x y ，由题设知 G C H D G D C H , , ,的坐标分别为 x y x y 1122G D D H0 且四点共线，则1，又C 、G 、D 、H均不为零，记，则 C Hx xx x 10 x y 1 2 1 2 1 1G C = C H G D D H .于是 , 且.从而 y y y y 1 1 2 1211 x x2 2 2 10x 1 2 9 25 925 x 1 22 1 y 2 1 .又G 、H 在椭圆上，则 , , , ，消去 x y x y 得 9x 25y 925 y 1 1 2 2 y 2 2 2 2 2 y 122 21 290x 25y 925 18x 5y 45 0 ，即点 在定直线 D上.。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
河南省郑州一中2020—2021学年上学期高二理科数学期中考试试卷及解析
郑州一中2020—2021学年上期中考22届 高二数学（理）试题说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）满分150分，考试时间120分钟．2．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅰ卷的答题表（答题卡）中．第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分． 1．下列结论正确的是 ( )A ．若b a >，则ab 11> B ．若22a b <，则b a <C ．若b a >，d c >则c b d a ->-D ．若b a >，则22bc ac >2．在等比数列{}n a 中，1054=+a a ，，则98a a +等于 ( )A ．90B ．30C ．70D ．403．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin 22A c b c-=则ABC ∆的 形状为 ( )A ．正三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形4．关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为(1,2)-，则关于x 的不等220bx ax -->的解集为 ( )A ．(2,1)-B ．(,2)(1,)-∞-+∞ C ．(,1)(2,)-∞-+∞ D ．(1,2)-5．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是圆22680x y x +-+=的圆心，且短轴长为8，则该椭圆的左顶点为 ( )A ．(2,0)-B ．(3,0)-C ．(4,0)-D ．(5,0)- 6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知26311a a ==，，则7S 等于 ( )2076=+a aA ．13B ．35C ．49D ．637．已知0,0a b >>，则“114a b a b +++=”是“11()()4a b a b++=”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．若动点),(y x M 2=，则动点),(y x M 轨迹是 ( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线 9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3cos 5B =，5a =，ABC ∆的面积为10，则sin aA的值为 ( )A B C D 10．下列命题中正确的是 ( )A ．若pq 为真命题，则p q 为真命题B ．在ABC ∆中“A B ∠>∠”是“sin sin A>B ”的充分必要条件 C ．命题“若2320x x ，则1x 或2x ”的逆否命题是“若1≠x 或2≠x ，则0232≠+-x x ”D ．命题:p 10≥∃x ，使得2010x x ，则1:<∀⌝x p ，使得210x x11．设a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成公差不为0的等差数列，则 ( ) A ．a ，b ，c 依次成等差数列B ．2a ，2b ，2c 依次成等差数列C D ．2a ，2b ，2c 依次成等比数列 12．已知关于x 的不等式()2101x bx c ab a++<>的解集为空集，则()()21211a b c T ab ab +=+--的最小值为 ( )AB ．2C．D ．4第Ⅰ卷 （ 非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．已知实数x,y 满足约束条件10,20,30,x x y x y +≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩则2z x y =+的最大值为____．14．已知2000:R,0p x x x a ∃∈-+<为真命题，则实数a 的取值范围是_____．15．数列{}n a 中，11a =，1cos2n n n a a π+=+（*N n ∈），则2020a =______． 16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知1b =且cos cos 4sin sin c B+b C=a B C ，则c 的最小值为 __________．三、解答题： 本题共6小题，17题10分其它题均为12分，共70分．17．（本小题10分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．若113a b ==，42a b =，4212S T -=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和．18．（本小题12分）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知()3cos22sin 1C A B =+-．（1）求cos C ；（2）若边AB 上的中线1CD =，a b +=ABC ∆的面积．19．（本小题12分）已知函数()()()224R f x x a x a =-++∈．（1）当1a=时，解关于x 的不等式()2f x ≤；（2）若对任意的[]1,4x ∈，()10f x a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题12分）如图，海面上一走私船从A 处出发，以每小时15海里的速度沿方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为120º方向航行．一缉私艇在距离走私船18海里的B 处测得该走私船当前的方位角为60︒，即刻以每小时21海里的速度径直追赶．（1）求缉私艇追上走私船所需的最短时间；（2）求缉私艇用时最短的追赶方向（方位角α）的余弦值．21．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为12，左右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点．（1）求椭圆C 的方程； （2）当2F AB ∆的面积为1227时，求直线l 的方程．22．（本小题12分）已知正项数列{}n a 中112a =，函数2()1x f x x=+． （1）若数列{}n a 满足1()n n a f a +=(*N n ∈)，求数列{}n a 的通项公式；AB（2）若数列{}n a 满足1()n n a f a +≤(*N n ∈)，设21nn na b =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <．郑州一中2020－2021学年上期中考 22届 高二数学（理）试题参考答案第Ⅰ卷 （选择题，共60分）第Ⅰ卷 （ 非选择题，共90分）二．填空题： 本大题共4小题，每小题5分． 13． 7 14． 14a <15．0 16.14三．解答题： 本大题共6小题. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解： (1) 由11a b =，42a b =，则4212341223()()12S T a a a a b b a a -=+++-+=+= 设等差数列{}n a 的公差为d ，则231236312a a a d d +=+=+=，所以2d =. 所以32(1)21n a n n =+-=+ ……(3分） 设等比数列{}n b 的公比为q ，由题249b a ==，即2139b b q q ===，所以3q =.3n n b =； ……（5分）(2) (21)3n n n a b n +=++， ……（6分）∴1212()()n n a a a b b b +++++++2(3521)(333)n n =++++++++(321)3(13)213n n n ++-=+-3(31)(2)2n n n -=++……（10分） 18. 解：（1）因为()3cos22sin 1C A B =+-，A B C π++=，26cos 2sin 20C C --=， 22sin cos 1C C +=，∴23sin sin 20C C +-=， ……（3分)02C <<π，∴2sin 3C =，∴cos 3C ==……（6分） （2）因为CD 是边AB 上的中线，所以2CA CB CD +=， ……（7分）2222cos 44a b ab C CD ++==，∴2()243a b ab ab +-+=……（8分）a b +=3(38ab =……（10分）∴113(332si 283n 28S ab C ⨯=+==⨯． ……（12分） 19.（1）当1a =时，2440x x -+≤不等式解集为[1,2]；……（4分） （2）∵对任意的[]0,4x ∈，()10f x a ++≥恒成立， ∵()2250x a x a -+++≥恒成立，即()2125a x x x -≤-+恒成立． ……（6分）当1x =时，不等式为04≤恒成立； ……（7分）当(]1,4x ∈时，2254111x x a x x x -+≤=-+--， ……（8分） ∵14x <≤∵013x <-≤ ∵4141x x -+≥-，当且仅当411x x -=-时，即12x -=，即3x =时取“=”．∵4a ≤．综上所述，a 的取值范围是(,4]-∞． ……（12分） 20.解：（1）设在C 点处缉私艇赶上走私船在ABC 中，60(180120)120BAC ∠=︒+︒-︒=︒， ……（2分） 已知18AB =，设缉私艇追上走私船的最短时间为x 小时，则2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠； ……（4分）即222(21)18(15)21815cos120x x x =+-⨯⨯⨯︒，∴24560x x --=得2x =或34x =-（不合题意，舍去）；所以缉私艇追上走私船所需的最短时间是2小时；……（6分） （2）ABC 中，18AB =，30AC =，42BC =，所以22218423011cos 2184214ABC +-∠==⨯⨯，sin ABC ∠=，……（8分）cos cos(60)cos cos60sin sin60ABC ABC ABC =∠+︒=∠︒-∠︒α11111427=⨯-=-， ……（10分） 所以缉私艇用时最短的追赶方向（方位角)α的余弦值是17-． ……（12分） 21.（1）椭圆2222:1x y C a b +=过点31,,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭离心率为121,2c a ∴=又222a b c =+，可得：22222191412a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩……（2分） 解得：224,3a b ==∴椭圆C 的方程22143x y +=.……（4分）（2）由（1）知()11,0F -， ∵当l 的倾斜角是2π时，l 的方程为1x =-，交点331,,1,22A B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时2121132322ABF SAB F F =⨯=⨯⨯=≠……（6分） ∵当l 的倾斜角不是2π时，设l 的斜率为k ，则其直线方程为()1y k x =+， 由()221431,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得：()22224384120k x k x k +++-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则221212228412,4343k k x x x x k k -+=-=++，……（8分） ()22121121212F ABF F B F F ASSSF F yy ∴=+=+()()121212112y y kx k x =⨯-=+-+||||k k==|k==又已知27F ABS =42171807k k =⇒+-=()()22211718010k k k ⇒-+=⇒-=解得1k =±故直线l 的方程为()11y x =±+即10x y -+=或10x y ++=.……（12分）22.（1）∵121+=+n n na a a ，∵111111222n n n n a a a a ++==⨯+，∵11111(1)2n n a a +-=-， ∵数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1为首项、12为公比的等比数列， ……（4分）∵11112n n a --=，∵1111211212n n n n a ---==++； ……（6分） （2）∵12()1n n n n a a f a a +≤=+（*n N ∈ ），∵11111(1)2n na a +-≥-，∵1111=1>010n a a -∴->∵1111121n na a +-≥-，累乘得：11111121n n a a --≥-，∵11112n n a --≥， 即11112n n a -≤+，∵11212n n n a --≤+， ……（8分）∵111112211121212(12)(12)1212n n n n n n n n n n na b -----+=≤==-++++++， ……（10分） ∵01121111111121212121212n n n T -≤-+-++-++++++11212n =-+12<．（12分）。
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2019高中二年 数学 科试卷（理科）考试日期： 11 月16 日 完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分一、二、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．不等式0)2)(1(<-+x x 的解集为 （ ）A ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞B ． (,2)(1,)-∞-⋃+∞C ．(1,2)-D ． (2,1)-2．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则角A 是（ ） A ．钝角 B ．直角 C ．锐角 D ．不能确定 3．对于任意实数x ，不等式022<++k x kx 恒成立，则实数k 取值范围( ) A ．)0,1(- B ． (]0,1- C ．(]1,-∞- D ．()1,-∞- 4．设0,10<<<<c a b ，给出下列三个结论：①bca c >；②c cb a <； ③)(log )(logc b c a a a ->-．其中所有的正确结论的序号是( )A ．①③B ．①②C ．②③D ．①②③5．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤1122y y x x y 则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．5C ．-3D ．-2 6．已知等比数列{a n }的前n 项和S n =2n +4r ，则 r=( )A ． 41-B ．21- C. 31- D. 1- 7．已知满足条件34=a ，x b =，060=A 的ABC ∆的个数有两个，则x 的取值范围是 ( ) A. 3424<<x B. 834<<x C. 934<<x D. 734<<x8．设{}n a 是等差数列,下列结论中一定成立的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若10a <，则()()21230a a a a -->D ．若120a a <<，则213a a a >9．等比数列{}n a 的各项均为正数，且641381110=+a a a a ，则=+++2022212log log log a a a Λ（ ）A ．60B ．50C ．40D ．20+log 2 510．如图，一艘船上午10：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午11：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距92n mile,则此船的航速是（ ）A ．16 n mile/hB ．18 n mile/hC ．32 n mile/hD ．36 n mile/h11．等差数列{a n }中，0100<a ，0101>a ,且100a <101a ，n S 为其前n 项之和，则使0<n S 的最大正整数n 是（ ） A ．198 B ． 199 C ．200 D ．20112．ABC △中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若C B A sin ,sin 2,sin 成等差数列，且15tan =A ，则=ba（ ） A ．21B ．32C ． 2D ． 2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．公差为2的等差数列{}n a 中，136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和为 . 14．∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为34222b c a -+，则角B= ,15．设0>a ，若关于x 的不等式93≥-+x ax 在）∞+∈,3(x 恒成立， 则a 的取值范围为 .16．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.记此数列为{}n a ，则=2018a 。
三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1cos 4B =． (1) 求b 的值； (2) 求sin C 的值．18．（本小题满分12分）设函数k x k ax x f 2)32()(2--+=，其中R k a ∈, 。
(1)若不等式0)(≤x f 的解集为{}51≤≤x x ，求实数k a ,值。
(2)当3=a 时，解关于x 的不等式0)(>x f 。
19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. (1)求数列{}n a 的前n 项和n S ；(2)设22log 1n nb a =-，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 的前n 项和n T .20．（本小题满分12分）如图，已知圆内接四边形ABCD 中，AB=3,AD=2,∠BCD=120(1)求线段BD 的长与圆的面积。
(2)求四边形ABCD 的周长的最大值。
DCBA21．（本小题满分12分）闽越水镇是闽侯县打造闽都水乡文化特色小镇核心区，该小镇有一块1800平方米的矩形地块，开发商准备在中间挖出三个矩形池塘养闽侯特色金鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植柳树，形成柳中观鱼特色景观。
假设池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米． (1)试用x 表示a 及S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值． 22．定义np p p nΛ++21为n 个正数n p p p Λ,,21的“均倒数”。
已知正项数列{a n }的前n项的“均倒数”为n1。
（1）求数列{a n }的通项公式。
（2）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+-12121n n a a 的前n 项和为n T ，若4n T <442--m m 对一切*N n ∈恒成立试求实数m 的取值范围。
(3)令n nn a b ⋅=)109(，问：是否存在正整数k 使得n k b b ≥对一切*N n ∈恒成立，如存在求出k 值，否则说明理由。
2019高中二年 数学 科（理科）参考答案及评分参考1.C 2．C 3．D 4．B 5．B 6．A 7. B 8.D ． 9．B 10 D11. B ．12． C ．13．170 14. 6π15． [)+∞,9 16． 217．解：（I ）由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-， 得222123223104b =+-⨯⨯⨯=， ……3分 ∴10b =． ……5分（II ）方法1：由余弦定理，得222410910cos 282210a b c C ab +-+-===⨯⨯， ……8分 ∵C 是ABC ∆的内角， ……9分 ∴236sin 1cos 8C C =-=． …10分 方法2：∵1cos 4B =，且B 是ABC ∆的内角， ∴215sin 1cos 4B B =-=． ……6分 根据正弦定理，sin sin b cB C =， 153sin 364sin 810c BC b⨯===． ……10分18.解：(1)由于不等式0)(≤x f 的解集为{}51≤≤x x ，所以1与5为方程0)(=x f 的两根，∴⎩⎨⎧==0)5(0)1(f f即⎩⎨⎧=-⨯-+⨯=--+025)32(502322k k a k k a ……………………2分∴a=3,k=215-………………………4分 (用韦达定理计算同样得分)(2)a=3时，k x k x x f 2)32(3)(2--+=，解方程0)(=x f 得32,121kx x -==…………………5分 由于1-)32(k -=323k+所以 当23->k 时，321k ->此时不等式0)(>x f 的解集为()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,132,k ………7分当23-=k 时，321k-=此时不等式0)(>x f 的解集为()()+∞⋃∞-,11,………9分 当23-<k 时，321k -<此时不等式0)(>x f 的解集为()⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-⋃∞-,321,k ………11分 综上 当23->k 时，不等式0)(>x f 解集为()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,132,k当23-=k 时，不等式0)(>x f 解集为()()+∞⋃∞-,11, 当23-<k 时，不等式0)(>x f 解集为()⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-⋃∞-,321,k ………12分 (如果误用第一结论，结果正确，可酌情给2分) 19.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，因为24a =，所以34a q =，244a q =．…………………………………………1分因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+．……………………2分 即()224244q q +=+，化简得220q q -=．因为公比0q ≠，所以2q =．………………………………………………………4分所以221==qa a ,所以数列{}n a 的前n 项和21)21(21)1(1--=--=n n n q q a S =221-+n …6分（Ⅱ）因为2n na =，所以22log 121n nb a n =-=-．所以n n n n a b 212-=．…………………8分 则nn n T 21225232132-++++=Λ， ① =n T 21 1322122322321+-+-+++n n n n Λ ②………………9分 ①- ②得1322122222222121+--++++=n n n n T Λ=112212212121211+----++++n n n Λ=121221211211+----⎪⎭⎫ ⎝⎛-n nn 123223++-=n n ……………11分 所以nn n T 2323+-=…………12分 20.解：(1)由于四边形ABCD 为圆内接四边形，所以∠BCD+∠BAD=1800由题设知∠BCD=1200，所以∠BAD=600……………1分在BAD ∆中由余弦定理得022260cos 2AD AB AD AB BD ⋅-+==02260cos 23223⨯⨯-+=7∴7=BD ……………4分由正弦定理得=∴==R BDR 23760sin 20372R π=∴圆的面积π37=………6分(2)解法一：设∠CBD=θ，那么00<θ<600……………7分 在BCD ∆中有正弦定理得120sin sin sin BDCD BDC BC ==∠θ ∴)120sin(372sin 2370θ+=∠=BDC BC ……………8分θsin 372=CD ……………9分∴四边形ABCD 的周长=5+)120sin(3720θ+θsin 372+=)60sin(37250θ++…………11分由于00<θ<600，所以600<θ+600<1200所以θ+600=900即所以θ=300时四边形ABCD 的周长取得最大值5+3212……………12分 解法二：设x BC =，y CD =，在BCD ∆中由余弦定理得0222120cos 2y x y x BD ⋅-+=…7分∴722=⋅++y x y x ∴y x y x ⋅+=+7)(2…………8分2)2(y x y x +≤⋅Θ ………9分7)2(432≤+∴y x 3212≤+∴y x ∴四边形ABCD 的周长321255+≤++=y x ………11分 当且仅当321==y x 时上式取等号，∴四边形ABCD 的周长最大值为32125+ ……12分(没有取等条件扣一分)21.(1)由题图形知，3a ＋6＝x ，∴a ＝x －63.………2分则总面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －4·a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －6………4分＝a ⎝⎛⎭⎪⎫5 400x －16＝x －63⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x －16 ＝1 832－⎝⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3，即S ＝1 832－⎝⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3(x ＞0)．……… 6分（定义域没写扣一分） (2)由S ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x＋16x 3，得S ≤1 832－2 10 800x ·16x 3……… 8分＝1 832－2×240＝1 352(平方米)．……… 9分 当且仅当10 800x ＝16x3，此时，x ＝45. ………11分即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．……… 12分 22．解：(1)设数列{}na的前n 项和为n S ，由于数列{a n }的前n 项的“均倒数”为n1，所以n S n n 1= ∴n S =2n ……2分当1111===S a n 时当221)1(2--=-=≥-n n S S a n n n n 时12-=n （对当1=n 成立） ∴12-=n a n ……4分(2) 12121+-⋅n n a a =)14()34(1+⋅-n n =)141341(41+--⨯n n ……5分∴n T =)1413419151511(41+--++-+-⨯n n Λ=41)1411(41<+-⨯n ……6分Θn T 4<442--m m 对一切*N n ∈恒成立 ∴4412--≤m m解之得51≥-≤m m 或即m 的取值范围是{}51≥-≤m m m 或…8分(3)解法一： n n n a b ⋅=)109(=)12()109(-⋅n n ……9分 由于)12()109()12()109(11-⋅-+⋅=-++n n b b n n n n=)219()109(911n n -⋅+……10分 ∴9,,2,1Λ=n 时n n b b >+1，Λ,,11,10=n 时n n b b <+1∴10=n 时n b 取得最大值，即存在正整数k=10使得n k b b ≥对一切*N n ∈恒成立……12分解法二：n n n a b ⋅=)109(=)12()109(-⋅n n ……9分 假设存在正整数k 使得n k b b ≥则k b 为数列{}n b 中的最大项由⎩⎨⎧≥≥-+11k k k k b b b b 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⋅≥-⋅+⋅≥-⋅-+)32()109()12()109()12()109()12()109(11k k k k k k k k…10分∴221219≤≤k …11分 又*N k ∈ ∴k=10即存在正整数k=10使得n k b b ≥对一切*N n ∈恒成立…12分。