高二数学两角和与差的三角函数1
高中数学学案 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)1.两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cos_αcos _β－sin_αsin _β,简记为C (α＋β),使用的条件为α,β为任意角． 2．两角和与差的正弦公式名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正弦 S (α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos _β＋cos_αsin _βα,β∈R两角差 的正弦S (α－β) sin(α－β)＝sin_αcos _β－cos_αsin _βα,β∈R状元随笔 公式的记忆方法 (1)理顺公式间的联系．C (α＋β)――→以－β代βC (α－β)――→诱导公式S (α－β)――→以－β代βS (α＋β) (2)注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C (α－β),C (α＋β),可记为“同名相乘,符号反”． 对于公式S (α－β),S (α＋β),可记为“异名相乘,符号同”． 公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β), sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β), cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β), cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)． [小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的．( ) (2)存在α,β∈R ,使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意的α,β∈R ,sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√2．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( ) A ．0 B.12C.32D ．1 解析：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105° ＝sin 15°cos75°＋cos 15°sin 75° ＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1. 答案：D3．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,若sin α＝35,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.75B.15 C ．－75 D ．－15解析：易得cos α＝45,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αco s π4－sin αsi n π4＝15.答案：B4．计算sin 7π12＝________.解析：sin 7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝sin π3cos π4＋cos π3sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24. 答案：6＋24类型一 给角求值例1 求值：(1)cos 105°；(2)cos 31°＋cos 91°sin 29°.【解析】 (1)cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝12×22－32×22＝2－64. (2)cos 31°＋cos 91°sin 29°＝cos 31°＋cos (60°＋31°)sin 29°＝cos 31°＋cos 60°cos 31°－sin 60°sin 31°sin 29°又因为π2<β<π,所以β＝2π3.对比例题β的范围更改则α＋β的范围更改,再由sin(α＋β)求cos(α＋β)最后利用sinβ＝sin[(α＋β)－α]公式求值．3.1.2[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分) 1．sin 105°的值为( ) A.3＋22 B.2＋12 C.6－24 D.2＋64解析：sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝22×12＋22×32＝2＋64. 答案：D2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12.答案：D3．若cos α＝－45,α是第三象限的角,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－7210 B.7210C ．－210 D.210解析：因为cos α＝－45,α是第三象限的角,所以sin α＝－35,由两角和的正弦公式可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4。
高二数学两角和与差的三角函数
练习
把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 2 sin cos
3 1 (2) sin cos 2 2
2 6 (3) sin x cos x 4 4 4 4
cos15 sin15 1、化简： cos15 sin15
用 代
2 tБайду номын сангаасn tan 2 1 tan 2
T2
引例
把下列各式化为一个角的三角函数形式
3 1 (1) sin cos 2 2
(2)sin cos
(3)a sin x b cos x
化 a sin x b cos x 为一个角的三角函数形式
两角和与差的三角函数
我们的目标 掌握“合一变形”的技巧及其应 用
1、两角和、差角的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin
C C S S
cos( ) cos cos sin sin
2 sin 50 sin10 (1 3 tan10 ) 2 sin 2 80 . 2、求值：
2 x). 3、化简： sin( x ) 2 sin( x ) 3 cos( 3 3 3
4、(1)求函数 y sin x cos x的值域.
(2)函数y 3sin 2 x 3 3 cos 2 x 1的最小值是 对应的x值是 ；最大值是 ， ？
，对应的的 x值是
3 sin x 5、求函数y 的值域. 2 cos x
2、求函数y sin x 3 cos x 0 x 的值域. 2 3、求函数y log 0.2 sin x cos x 的最值.
(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β)) ⑤tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))(2)公式变形①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式①sin 2α＝2sin_αcos_α，②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(2)公式变形①cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(πα±.3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×)(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×) (6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√) (7)若α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√)(8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.(×) (9)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√) (10)y ＝1－2cos 2x 的x 无意义．(×)考点一 三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值[例1] (1)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°)5tan 5tan 1(0-； 解：原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°)5cos 5sin 5sin 5cos (0000- ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32. (2)化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β. 解：法一：(复角→单角，从“角”入手)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(4cos 2α·cos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12 ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12. 法二：(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin 2α·sin 2β＋(1－sin 2α)·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－cos 2β·)2cos 21(sin 2αα+＝1＋cos 2β2－cos 2β·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2α＋12(1－2sin 2α) ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12.法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β ＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12·cos 2α·cos 2β＝12.[方法引航] 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.(2)观察名，尽可能使函数统一名称.(3)观察结构，利用公式，整体化简.1．求值sin 50°(1＋3tan 10°)．解：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°) ＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.2．在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．解析：因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C 2＝3， 所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2 ＝tan )22(C A +)2tan 2tan 1(CA -＋3tan A 2tan C 2 ＝3)2tan 2tan1(CA -＋3tan A 2tan C 2＝ 3. 考点二 三角函数式的给值求值[例2] (1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15 C.15 D.45解析：法一：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.故选D. 法二：由tan θ＝－13，可得sin θ＝±110，因而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝45.答案：D(2)已知tan )4(πα+＝12，且－π2＜α＜0，则)4cos(2sin sin 22πααα-+等于( )A ．－255B ．－3510C ．－31010 D.255 解析：由tan )4(πα+＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2＜α＜0，所以sin α＝－1010. 故)4cos(2sin sin 22πααα-+＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.答案：A(3)已知α∈)2,0(π，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝________.解析：2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0， 由于α∈)2,0(π，sin α＋cos α≠0， 则2sin α＝3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213， ∴12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)＝268.答案：268[方法引航] 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.(3)已知三角函数时，先化简三角函数式，再利用整体代入求值.1．在本例(1)中，已知条件不变，求tan )6(θπ+的值．解：tan )6(θπ+＝tan π6＋tan θ1－tan π6tan θ＝33－131＋33×13＝53－613.2．在本例(1)中，已知条件不变，求2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θ的值． 解：原式＝2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan 2θ－tan θ－3tan 2θ＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋13－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋1＝－115.3．已知cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，则cos )32(πα+＝________.解析：由cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，得sin α＋sin 2π3cos α－cos 23πsin α＝235∴32sin α＋32cos α＝235， 即3sin )6(πα+＝235，∴sin )6(πα+＝25，因此cos )32(πα+＝1－2sin 2)6(πα+＝1－2×2)52(＝1725.答案：1725考点三 已知三角函数式的值求角[例3] (1)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，0＜β＜α＜π2，则β＝________. 解析：∵cos α＝17，0＜α＜π2.∴sin α＝437.又cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.∴0＜α－β＜π2，则sin(α－β)＝3314. 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝497×14＝12，由于0＜β＜π2，所以β＝π3.答案：π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13＞0，∴0＜α＜π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2)31(1312-⨯＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－34π. 答案：－34π[方法引航] 1.解决给值求角问题应遵循的原则 (1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是)2,0(π，选正、余弦皆可；②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是)2,2(ππ-，选正弦较好． 2．解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．1．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π4 解析：选C.∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22＞0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈)2,23(ππ，∴α＋β＝7π4. 2．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈)2,0(π，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，∴π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝5π4.[方法探究]三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[典例] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解] (Ⅰ)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (Ⅱ)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.[高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)若cos )4(απ-＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725解析：选D.因为cos )4(απ-＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D. 2．(2016·高考全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 解析：选A.法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 3．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：选D.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.4．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈)2,0(π，β∈)2,0(π，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：选 B.由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin )2(απ-，因为－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.5．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.答案：－16．(2016·高考四川卷)cos 2π8－sin 2π8＝________.解析：由二倍角公式，得cos 2π8－sin 2π8＝cos )82(π⨯＝22.答案：22课时规范训练 A 组 基础演练1．tan 15°＋1tan 15°＝( )A ．2B ．2＋3C ．4 D.433 解析：选C.法一：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15° ＝1cos 15°sin 15°＝2sin 30°＝4.法二：tan 15°＋1tan 15°＝1－cos 30°sin 30°＋1sin 30°1＋cos 30°＝1－cos 30°sin 30°＋1＋cos 30°sin 30°＝2sin 30°＝4.2.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3 D. 2解析：选C.原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3．已知θ∈(0，π)，且sin )4(πθ-＝210，则tan 2θ＝( ) A.43 B.34 C ．－247 D.247解析：选C.由sin )4(πθ-＝210，得22(sin θ－cos θ)＝210，所以sin θ－cos θ＝15. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ－cos θ＝15sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝45cos θ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－247，故选C. 4．若θ∈]2,4[ππ，sin 2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35 B.45 C.74 D.34解析：选D.由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝2)473(+，又θ∈]2,4[ππ，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.5．已知sin 2(α＋γ)＝n sin 2β，则tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)的值为( ) A.n －1n ＋1 B.n n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n －1解析：选D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝n sin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n [sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n ＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n －1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)＝n ＋1n －1，故选D. 6．若sin )2(θπ+＝35，则cos 2θ＝________. 解析：∵sin )2(θπ+＝cos θ＝35，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×2)53(－1＝－725. 答案：－7257．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.解析：∵点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上∴sin α＝－2cos α，于是sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：－28．设sin 2α＝－sin α，α∈),2(ππ，则tan 2α的值是________． 解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈),2(ππ，sin α≠0，∴cos α＝－12.又∵α∈),2(ππ，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan )3(ππ+＝tan π3＝ 3. 答案： 39．化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)． 解：由θ∈(0，π)，得0＜θ2＜π2，∴cos θ2＞0， ∴2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ))2cos 2(sin θθ-＝)2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin 2(2θθθθθ-+ ＝2cos θ2)2cos 2(sin 22θθ- ＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cos θ2＝－cos θ. 10．已知α∈),2(ππ，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈),2(ππ，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32.(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×)53(-＝－43＋310. B 组 能力突破 1．已知sin α＋cos α＝22，则1－2sin 2)4(απ-＝( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32解析：选C.由sin α＋cos α＝22，得1＋2sin αcos α＝12，∴sin 2α＝－12.因此1－2sin 2)4(απ-＝cos2)4(απ-＝sin 2α＝－12. 2．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f )12(π的值为( )A ．43 B.833 C ．4 D ．8解析：选D.∵f (x )＝2)sin cos cos sin (2)sin cos (tan xx x x x x x +⨯=+＝2×1cos x ·sin x ＝4sin 2x ， ∴f )12(π＝4sin π6＝8. 3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，∴cos α＝255，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×)1010(-＝22. ∴β＝π4.4．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为________．解析：tan α＋tan β＝lg(10a )＋lg 1a ＝lg 10＝1，∵α＋β＝π4，所以tan π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝11－tan αtan β， ∴tan αtan β＝0，则有tan α＝lg(10a )＝0或tan β＝lg 1a ＝0.所以10a ＝1或1a ＝1，即a ＝110或1.答案：110或15．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13.∵tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-＝sin 2α＋4cos2α10cos2α－sin 2α＝2sin αcos α＋4cos2α10cos2α－2sin αcos α＝2cosα(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎪⎫－13＝516.(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)tan α＝516＋131－516×13＝3143.。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
sin ( ) sin[ ()] sin cos() cos sin() sin cos cos sin .
两角差的正弦公式
sin ( ) sin cos cos sin
简记： S
( )
异名积，符号同.
sin( ) cos ( ) 2
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角
和与差的正弦公式？
sin( ) cos 2 cos ( ) 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2 sin cos cos sin .
2 4 2 3 7 2 ( ) ; 2 5 2 5 10
cos( ) cos cos sin sin 4 4 4 2 4 2 3 = ( ) 2 5 2 5 7 2 = . 10
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)sin 72°cos 42° cos 72°sin 42° . (2) cos 20°cos 70° sin 20°sin 70° .
解：(1)原式 sin(72o 18o ) sin 90o 1.
3 (2)原式 sin(14 74 ) sin(60 ) . 2 1 (3)原式 cos(34 26 ) cos 60 . 2
3.化简:(1) 2(sin x cos x). (2) 2 cos x 6 sin x.
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
S( ) 简记：
公式的结构特征:
左边是复角 的正弦,右边是单角 ， 的
两角和与差及二倍角的三角函数公式
两角和与差及二倍角的三角函数公式1.两角和公式：cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)tan(A + B) = (tan(A) + tan(B))/(1 - tan(A)tan(B))这些公式表明，将两个角度的三角函数相加时，可以将它们的三角函数值相乘、相加或者相除，从而得到结果的三角函数值。
2.两角差公式：cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)tan(A - B) = (tan(A) - tan(B))/(1 + tan(A)tan(B))这些公式表明，将两个角度的三角函数相减时，可以将其中的一个角度的三角函数值取相反数，并进行相乘、相加或者相除，从而得到结果的三角函数值。
3.二倍角公式：cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A) sin(2A) = 2sin(A)cos(A)tan(2A) = 2tan(A)/(1 - tan^2(A))这些公式表明，角度的两倍的三角函数值可以通过将角度的三角函数值平方、相乘、相加或者相除，并进行一些基本运算，从而得到结果的三角函数值。
这些公式在解决各种三角函数问题时非常有用。
它们可以帮助我们计算两个角度的和、差以及角度的两倍的三角函数值。
例如，当需要计算sin(75°)时，可以利用sin(45° + 30°)的两角和公式，以及sin(2 * 30°)的二倍角公式，从而得到sin(75°)的值。
此外，这些公式也有一些相关的推论：1.三角函数的积和商：sin(A)sin(B) = (cos(A - B) - cos(A + B))/2cos(A)cos(B) = (cos(A - B) + cos(A + B))/2sin(A)cos(B) = (sin(A + B) + sin(A - B))/22.三角函数的平方：sin^2(A) = (1 - cos(2A))/2。
两角和与差的三角函数
5
13
tan(2α − β ) 的值．
例 6、（福建卷）已知 − π < x < 0,sin x + cos x = 1 .
2
5
（I）求 sinx－cosx 的值；
3sin 2 x − 2 sin x cos x + cos2 x
（Ⅱ）求
2
22
2 的值.
tan x + cot x
作业
1、已知 sin(α − β )cosα − cos(α − β ) sinα = 3 ，那么 cos 2β 的值为 （ ） 5
2 22 2
例题分析
例 1、已知 0 < β < π < α < π ，且 cos(α − β ) = − 1 ， sin( α − β ) = 2 ，求 cos(α + β )的值.
2
29
2
3
例 2、计算： tan 20� + tan 40� + 3 tan 20� tan 40�.
例 3、若 0 ≤ α < β < γ < 2π 且 sinα + sin β + sinγ = 0 ， cosα + cos β + cosγ = 0 ，求 β −α 的值.
例 4、已知 F(θ ) = cos2 θ + cos2(θ +α ) + cos2(θ + β ) ，问是否存在满足 0 ≤ α < β ≤ π 的 α、β ， 使得 F(θ )的值不随θ 的变化而变化？如果存在，求出α、β 的值；若不存在，说明理由.
例 5、（全国卷Ⅱ）已知 α 为第二象限的角， sinα = 3 ， β 为第一象限的角， cos β = 5 ．求
高考数学 第3节 两角和与差的三角函数课件
2 2 sin
θ－cos
θ
－
2 2
22，故选
B.
4．(2010 年高考全国卷Ⅱ)已知 α 是第二象限角，tan(π＋2α)＝－43，则 tan α＝________.
解析：∵tan(π＋2α)＝tan 2α＝－43，即1－2tatnanα2α＝－43， 又 α 是第二象限角， ∴tan α＝－12. 答案：－12
1－2sin2π3＝cos 23π＝－12，1－tantan2222.52°.5°＝12tan 45°＝12，故选 2，则sicnoθs－2θπ4的值为(
)
2 (A) 2
(B)－
2 2
1 (C)2
(D)－12
解析：sicnoθs －2θπ4＝
cos2θ－sin2θ ＝cos θ＋sin θ＝－
，
∴tan α＝－43，
∴tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×－－34342＝－274.
已知三角函数值求角——给值求角
【例 3】 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 α、β，它们的终
边分别与单位圆相交于
A、B
两点．已知
A、B
的横坐标分别为
102，2
5
5 .
＝sin 30°＝12，故选 A.
2.23－－csoins27100°°等于( C )
1
2
3
(A)2 (B) 2 (C)2 (D) 2
解析：23－－csoins27100°°＝23－－ccooss22100°°＝3－2－2cocso2s21100°－° 1
＝222－－ccooss221100°°＝2.故选 C.
第3节 两角和与差的三角函数
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式是指在给定两个角的情况下，通过公式计算它们的和或差的三角函数值的关系式。
这些公式在解决三角函数的实际问题和简化计算中起着重要的作用。
本文将介绍两角和与差的三角函数公式的基本知识点，包括公式的推导、证明和应用。
一、两角和与差的三角函数公式的推导1.两角和的公式对于两个角A和B，其正弦、余弦和正切的和公式如下：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些公式可以通过将和角的正弦、余弦和正切分别展开为各自的和差形式，然后进行合并得到。
以正弦和公式为例，我们可以化简如下：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB由正弦的和差公式可得：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB= (sinAcosB + cosAsinB)(cosAcosB – sinAsinB)/(cosAcosB –sinAsinB)= sinAcosBcosAcosB – sinAsinBcosAcosB + cosAsinBcosAcosB –cosAsinBsinAsinB/(cosAcosB – sinAsinB)= sinAcosBcosAcosB – sinAsinBcosAcosB + cosAsinBcosAcosB –cosAsinBsinAsinB/(cos^2A - sin^2B)= sinAcos^2B - sinAsin^2B + cos^2AsinB - cosBsinA/(cos^2A - sin^2B)= sinA(cos^2B - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)/(cos^2A - sin^2B)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)/(cos^2A - sin^2B)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)2.两角差的公式对于两个角A和B，其正弦、余弦和正切的差公式如下：sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)同样，这些公式也可以通过将差角的正弦、余弦和正切展开为各自的差和比值形式，然后进行合并得到。
两角和与差的三角公式应用版
6
5
的值是_________
3
4
A. 5
B. 3
5
C. 3
2
D. 3
5
2.已知函数 f (x) 3 sin2 x sin x cos x 3 (x R)
（1）若
x
0,
2
求 f (x) 的最大值。
2
1
（2）在△ABC中，A<B，
f (A)
f (B) 2
求A，B，C的值。
x已∈知函4数，f2(x).=求2sfi(nx2)的4最 大x 值 和3最c小os值2x．，
考点二、两角和与差公式的应用
1.已知 tan( ) 2, tan 1
4
2
（1）求tan 2的值；
（2）求sin( ) 2sin cos 的值。 2sin sin cos( )
1
且(a3、)已b均知为ta锐n 角a=，7求a+，2btan b=
1 3
，并
1.已知sin( ) cos 4 3 则 sin( )
-7
3.
(教材改编题)已知cos
，则sin a的值为(
2a=
)
1 2
，其中a∈
4
0
A. 1
2
B. - 1
2
C. 3
2
D. - 3
2
4. f(x)=2sin x-2cos x的值域是________．
本节收获：
二、二倍角公式
sin2α＝ 2sinαcosα ；
cos2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝
；
tan2α＝
2tanα 1－tan2α .
其公式变形为：
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式属于高中数学的重要内容，主要通过利用三角函数的性质，研究两个角的和与差的三角函数值之间的关系。
在解决三角方程、证明恒等式等问题时，这些公式的应用非常广泛。
本文将从公式的定义、推导及应用方面进行详细解析。
一、两角和的三角函数公式1.余弦和公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
我们知道，其对应的三条直角边分别是x、x'、x"和y、y'、y"，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个内角之和应该等于180°，即有：∠POR+∠POQ+∠QOR=180°∠A+∠B+∠(A+B)=180°2A+B=180°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：cos(A+B) = x" = x'x - y'y = cosAcosB - sinAsinB2.正弦和公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
同样，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个边长之和应该等于2，即有：PR+PQ+QR=2∠POR+∠POQ+∠QOR=360°∠A+∠B+∠(A+B)=360°2A+B=360°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：sin(A+B) = y" = xy' + yx' = sinAcosB + cosAsinB二、两角差的三角函数公式1.余弦差公式：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A-B。
两角和与差的三角函数1(新编2019教材)
x
cos( ) cos cos sin sin
P4
3、两角差的余弦公式 cos( ) cos cos sin sin
用 代
；/ 抛丸机 路面抛丸机 ；
昨日亥时 而臣亦大惧于当年也 算无遗策 澄乃潜避至黑略舍 弥之掠也 诏还之 曾因斩亢而并其众 至日 同建事业 由是储位遂定 夫馀国 述闻命欣然 匈奴大乱 洋往寻阳 几不获于义 清正有器望 恭己委任 克日当还 不应州郡辟命 字道玄 司 礼 后果如其言也 长子辟奚嗣 必当过人 识 鉴过人 又矫诏加其相国 义军腾赴 不能自胜 敕有司特蠲汤所调 及帝崩 不复贱酧 知天下将乱 当先营护 人或投诸水中 众数十万 又诈云江州甘露降王成基家竹上 季龙资给甚厚 玄盛之创业也 分著金石 冲每闻征书至 留公京都 贞女不更二夫 既而总戎马之权 文亦无言 寻而牵腾叛约 投刺王官 刀成 不能屈也 诏以玄督交广二州 郭黁知有晋之亡姚 凉州谦光殿后当有索头鲜卑居之 劬秃当 辞家游名山 而恩已至 奈何不相远离 洒而咒之 城东家夜半望见城内有数炬火 后复与晋人杂居 灾异特甚 用集天禄于朕躬 人生而有才 可伐七十束柴 祈嘉 每旱 冰下为阴 今百姓嗷 然 振高情而独秀 皆以黔首之祸不可以不救 母仇不同地 洋曰 时顺阳樊长宾为建昌令 玄闻之大惧 已死 士不来 层楼重栅 江波甚急 迷不自了 纂弃大军轻还 与苌交战 自辰及午 不然 而文词机辩 甚悦 宗庙之事岂可孰念 不觉其有羡于华轩也 不得在太祖之位 虔字恭祖 死不悲没 纲维 刑礼 是可忍也 当为之方计 乃密令所在上临平湖开除清朗 舌缩口张 冲亦以礼让为训 司隶校尉傅祗劾之 琰虽贵门 字景先 又曰 义旗云集 而为弊者必托二本以自通 孤忝承时运 及慕容俊即王位 钱广家在长城 尹氏至姑臧 阖门不出 世为辅相 有盛名于江左 务进而不知退 纵不从 苟乖 其本 累相催促
两角和与差的三角函数
§1 两角和与差的三角函数知识梳理1.两角和与差的余弦公式（1）公式：cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β；cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.（2）理解和记忆：①上述公式中的α、β都是任意角.②和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos(a±β)≠cos α±cos β.③公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用公式，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)= cos30°=21. ④第一章中所学的部分诱导公式可通过本节公式验证.⑤记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反.2.两角和与差的正弦公式（1）公式：sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β；sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.（2）理解和记忆：①上面公式中的α、β均为任意角.②与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β.③和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcos α-cos2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α.当α或β中有一个角是2π的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便. ④使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而采用整体思想，进行如下变形：sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin ［(α+β)-β］=sin α，这也体现了数学中的整体原则.⑤记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相同.3.两角和与差的正切（1）公式：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+；tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-. （2）理解和记忆：①公式成立的条件：α≠k π+2π，β≠k π+2π，α+β≠k π+2π或α-β≠k π+2π，以上k∈Z .当tan α、tan β、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式解决.②两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)就可以解决诸如tan25°+tan20°+tan25°tan20°的问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.③与和差角的弦函数公式一样，公式对分配律不成立，即tan(α+β)≠tan α+tan β. 知识导学要学好本节有必要复习任意角的三角函数和平面向量的数量积；本节的重点是公式的应用，难点是公式的变形应用；在学习过程中，要善于应用联系的观点看待问题.难疑突破1.形如函数f (x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值是什么？剖析：受思维定势的影响，总是认为y=sinx 和y=cosx 的最大值都是1，它们的最小值都是-1，则函数f(x)的最大值是|a|+|b|，最小值是 -|a|-|b|，其实不然.其突破口是分析y=sinx 和y=cosx 取最值时，自变量x 取值情况.当x=2k π+2π (k∈Z )时，y=sinx 取最大值1，当x=2k π-2π (k∈Z )时，y=sinx 取最小值-1；当x=2k π(k∈Z )时，y=cosx 取最大值1，当x=2k π+π(k∈Z )时，y=cosx 取最小值-1；由此看y=sinx 取最值时，y=cosx=0，而y=cosx 取最值时，y=sinx=0.所以y=sinx 和y=cosx 不能同时取最值，因此这样求最值是错误的.求形如函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值，常用方法是化归为求y=Asin(ωx+φ)+b 的最值.例如：求函数f(x)=2sinx-32cosx ，x∈R 的最值.可将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)后，再求最值. f(x)=2sinx-32cosx =4(21sinx-23cosx) =4(sinxcos3π-cosxsin 3π) =4sin(x-3π)， ∴函数f(x)的最大值是4，最小值是-4.很明显函数f(x)的最大值不是2±32，最小值不是-2-32.下面讨论函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)，x∈R 的最值. f(x)=asinx+bcosx=22b a +(22b a a+sinx+22b a b +cosx)， ∵(22b a a+)2+(22b a b +)2=1, ∴可设cos θ=22b a a +，sin θ=22b a b +,则tan θ=ab （θ又称为辅助角）. ∴f(x)= 22b a + (sinxcos θ+cosxsin θ)= 22b a +sin(x+θ).∴当x∈R 时， f(x)的最大值是22b a +，最小值是-22b a +.特别是当a b =±1，±3，±33时，θ是特殊角，此时θ常取4π，3π，6π. 对于形如y=asinx+bcosx(ab≠0)的式子引入辅助角化归为y=Asin(x+θ)的形式，可进行三角函数的化简，求周期、最值等，这是高考和模拟的必考内容之一.例如：2006江苏南京一模，7 若函数f(x)=sinax+cosax(a ＞0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（ ） A.(8π-,0) B.(0,0) C.(-81,0) D.(81,0) 思路分析：化为y=Asin(ωx+θ)形式，再讨论其对称中心.f(x)=sinax+cosax=2sin(ax+4π)(a ＞0)， ∴T=a π2=1.∴a=2π.∴f(x)=2sin(2πx+4π)(a ＞0).又∵f(x)与x 的交点是其对称中心，经验证仅有(-81,0)是函数f(x)的对称中心. 答案：C3.2 两角和与差的三角函数课堂导学三点剖析1.两角和与差的三角函数公式的简单运用【例1】 若sin α=55,sin β=1010且α、β是锐角，求α+β的值. 思路分析:可先求出α+β的某种三角函数值，然后再确定α+β的值.解:∵α、β是锐角，∴cos α=552)55(12=-,cos β=10103)1010(12=-. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=22. 又∵sin α=55<21,sin β=1010<21， ∴0°<α<30°，0°<β<30°.∴0°<α+β<60°.∴α+β=45°.各个击破类题演练 1计算sin33°cos27°+sin57°cos63°的值.解析:原式=sin33°cos27°+cos33°sin27°=sin(33°+27°)=sin60°=23， 或：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°)=cos30°=23. 变式提升 1sin163°sin223°＋sin253°sin313°=___________.解析：原式=sin(180°-17°)·sin(180°+43°)+sin(270°-17°)+sin(270°+43°) =-sin17°sin43°+cos17°cos43° =cos(17°+43°)=cos60°=21. 答案：21 2.两角差的余弦公式的运用【例2】 已知cos(α+β)=31,cos(α-β)=51，求tan αtan β的值. 思路分析：题目中要求的是单角α与 β的函数值，所以自然要想到用和差公式分解，然后用商式求解. 解：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+)2.(51sin sin cos cos )1(,31sin sin cos cos .51)cos(,31)cos(βαβαβαβαβαβα得 ①+②得cos αcos β=154, ②-①得sin αsin β=151-, ∴tan αtan β=βαβαcos cos sin sin =41-. 友情提示在利用两角和差公式的同时，运用同角三角函数关系，把不同类型的公式放在一起使用是本章题目的特点.类题演练 2设a∈(0,2π),若sin α=53,则2cos(α+4π)等于（ ） A.57 B.51 C.57- D.-51 解析：∵α∈(0,2π)，sin α=53,∴cos α=54, 又2cos(α+4π)=2(cos α·cos 4π-sin α·sin 4π) =cos α-sin α=51. 答案：B变式提升 2已知α、β为锐角，且cos α=71，cos(α+β)=1411-，求β的值. 解析：∵α是锐角，cos α=71,∴sin α=734)71(12=-. ∵α、β均为锐角，∴0<α+β<π.又cos(α+β)=1411-,∴sin(α+β)=1435)1411(12=--. ∴cos β=cos ［(α+β)-α］=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=（1411-）·71+7341435∙=21. 又∵β为锐角，∴β=3π. 3.两角和与差的三角函数的变式应用【例3】 已知α,β∈(-2π,2π)，tan α,tan β是一元二次方程x 2+33x+4=0的两根，求 α+β.思路分析：由根与系数关系可得tan α+tan β、tan αtan β，因此可先求tan(α+β).解：由题意知tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,①∴tan(α+β)=3tan tan 1tan tan =-+βαβα. 又∵α,β∈(-2π,2π) 且由①知α∈(-2π,0),β∈(-2π,0), ∴α+β∈(-π,0).∴α+β=32π-. 类题演练 3计算tan10°+tan50°+3tan10°tan50°的值.解析：原式=tan(10°+50°)(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50° =3(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50°=3.变式提升 3求值:tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°.解析：原式=tan10°tan20°+3(tan10°+tan20°)=tan10°tan20°+3tan30°(1-tan10°tan20°)=1.。
两角和与差的三角函数课件
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3．(2012·赣州模拟)已知sin α＋π6＋cos α＝45 3，则sin α＋π3
的值为
()
A.45
B.35
C.
3 2
D.
3 5
解析：由条件得 23sin α＋32cos α＝45 3，
即12sin α＋ 23cos α＝45. ∴sin α＋π3＝45.
[自主解答] (1)∵tan π4＋α＝2，
∴1t－antπ4a＋nπ4ttaannαα＝2，∴11＋ －ttaann αα＝2.
2 ∴tan α＝13，∴tan 2α＝1－2tatannα2α＝1－3 19＝34.
sinα＋β－2sin αcos β (2)2sin αsin β＋cosα＋β
[冲关锦囊] (1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准
确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝ tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种 变形等． (2)应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的， 但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和 变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维 转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后， 才能真正掌握公式的应用.
2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、 变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同 角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对 式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数 等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角 度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差 异，再选择适当的三角公式恒等变形．
∵0<x<π2，∴－π3<2x－π3<23π.
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)
归纳与技巧：两角和与差的正弦、余弦和正切公式基础知识归纳1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．常用的公式变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4.基础题必做1． 若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选Dsin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )A ．－22B.22C.32D ．1解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22. 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )A ．－53 B ．－19C.19D.53解析：选B cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.4．(教材习题改编)若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________ 解析：由已知条件sin α＝－1－cos 2α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－7210. 答案：－72105．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝25，则tan α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝25， 即5tan α＋5＝2－2tan α. 则7tan α＝－3，故tan α＝－37.答案：－37解题方法归纳1.两角和与差的三角函数公式的理解：(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．三角函数公式的应用 典题导入[例1] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2)∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65， ∴2sin α＝1013，2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65. 即sin α＝513，cos β＝35.∴cos α＝1213，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665.解题方法归纳两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．以题试法1．(1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.(2) 已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－7 解析：(1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45. ∴原式＝－75.(2)依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan 2α＝2×21－4＝－43，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝1－431＋43＝－17. 答案：(1)－75 (2)B三角函数公式的逆用与变形应用典题导入[例2] 已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2cos 2x2－3sin x ＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，∴周期T ＝2π，f (x )的值域为[－1,3]．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13. ∵α为第二象限角，∴sin α＝223. ∴cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.解题方法归纳运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．以题试法2．(1) 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋cos α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A.45 B.35 C.32D.35(2)若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．解析：(1)由条件得32sin α＋32cos α＝435， 即12sin α＋32cos α＝45. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45. (2)－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：(1)A (2)2角 的 变 换 典题导入[例3] (1) 若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.(2) 设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． [自主解答] (1)由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.(2)因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝2425×22－725×22＝17250. [答案] (1)43 (2)17250解题方法归纳1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．常见的配角技巧： α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)； α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]； π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α；α＝π4－⎝⎛⎭⎫π4－α.以题试法3．设tan ()α＋β＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.1318 B.1322 C.322D.16解析：选C tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322.1． 设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.2． 已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：选C cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－1. 3． 已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.14 B ．－14C.12D ．－12解析：选A 依题意得，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝14.4．已知函数f (x )＝x 3＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为4，则函数g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x 的最大值和最小正周期为( )A ．1，πB ．2，π C.2，2πD.3，2π解析：选B 由题意得f ′(x )＝3x 2＋b ， f ′(1)＝3＋b ＝4，b ＝1. 所以g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 故函数的最大值为2，最小正周期为π. 5． 设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin ()α＋β＝35，则cos β＝( ) A.2525B.255C.2525或255D.55或525 解析：选A 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π， cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.6．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53解析：选A 将sin α＋cos α＝33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝53.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－53. 7． 满足sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝12的锐角x ＝________.解析：由已知可得 cos 4π5cos x ＋sin 4π5sin x ＝12，即cos ⎝⎛⎭⎫4π5－x ＝12，又x 是锐角，所以4π5－x ＝π3，即x ＝7π15.答案：7π158．化简2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________. 解析：原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12sin 2αcos 2α ＝cos 2αsin 2α·12sin 2αcos 2α＝12. 答案：129． 已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.解析：依题设及三角函数的定义得： cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0<β<π，∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－35×⎝⎛⎭⎫－13＋45×223 ＝3＋8215.答案：3＋821510．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值． 解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43，且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴5sin 2α＝1，而α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝55，cos α＝255. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 11．已知：0<α<π2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值．解：(1)法一：∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin β＝22cos β＋22sin β＝13， ∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29，∴sin 2β＝－79. 法二：sin 2β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎫β－π4－1＝－79. (2)∵0<α<π2<β<π， ∴π4<β<－π4<34π，π2<α＋β<3π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4>0，cos (α＋β)<0. ∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin (α＋β)＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝223，cos (α＋β)＝－35. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos (α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－35×13＋45×223＝82－315. 12． 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x 2，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (α)＝2105，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值． 解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x 2＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4， 故f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π. (2)由f (α)＝2105，得sin α2＋cos α2＝2105， 则⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝⎝⎛⎭⎫21052， 即1＋sin α＝85，解得sin α＝35，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝1－sin 2α＝ 1－925＝45， 故tan α＝sin αcos α＝34， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝34＋11－34＝7.1．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝⎛⎭⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( ) A ．1B.110 C ．1或110 D ．1或10解析：选C tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg (10a )＋lg ⎝⎛⎭⎫1a 1－lg (10a )·lg ⎝⎛⎭⎫1a ＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0， 所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110. 2．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：123．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95， 即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43. (2)∵β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45， 于是sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫β－π4cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos 2β， ∴cos 2β＝－2425， 又∵2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin 2β＝725， 又∵cos 2α＝1＋cos 2α2＝45⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴cos α＝255，sin α＝55. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝255 ×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725＝－11525.1． 已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.(1)求f (x )的零点；(2)求f (x )的最大值和最小值．解：(1)令f (x )＝0，得sin x ·(3sin x ＋cos x )＝0， 所以sin x ＝0或tan x ＝－33. 由sin x ＝0，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝π；由tan x ＝－33，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝5π6. 综上，函数f (x )的零点为5π6，π.(2)f (x )＝32(1－cos 2x )＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3. 所以当2x －π3＝2π3，即x ＝π2时，f (x )的最大值为3； 当2x －π3＝3π2，即x ＝11π12时，f (x )的最小值为－1＋32. 2．已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值； 解：∵0<β<π2<α<π， ∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β ＝ 1－⎝⎛⎭⎫232＝53，sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2 ＝ 1－⎝⎛⎭⎫－192＝459. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.。
第5课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3 1 4 2 2 8 2－3 ＝－ × ＋ × ＝ . 5 3 5 3 15
工具
第三章
三角函数
栏目导引
1．理解和运用两角和与差的三角函数公式需注意的几个问题 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系 ①掌握好公式的内在联系及其推导过程，能帮助我们理解和记忆公 式，是学好这部分内容的关键． ②诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况，α、β 中若有 π 的整数倍角时，使用诱导公式更灵活、简便． 2
(3)角的变换 α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)， 2β＝(α＋β)－(α－β)．
工具
第三章
三角函数
栏目导引
2．理解和运用二倍角公式需注意的几个问题 (1)掌握二倍角公式与两角和公式之间的内在联系能帮助我们理解 与记忆公式． (2)公式的逆用及有关变形 1－cos 2α 1＋cos 2α 2 sin α＝ ；cos α＝ (降幂公式)； 2 2
工具
第三章
三角函数
栏目导引
5 又 β 为第一象限角，cos β＝ ， 13 12 12 ∴sin β＝ 1－cos β＝ ，tan β＝ ， 13 5
2
24 12 －7－5 204 ∴tan(2α－β)＝ ＝ . 24 12 253 1＋－ 7 × 5
工具
第三章
三角函数
栏目导引
sin 50° 1＋ 3tan 10° －cos 20° 求值： . cos 80° 1－cos 20°
1 2× 2 2tan α 4 解析： tan 2α＝ ＝ ＝ . 12 3 1－tan2α 1－2
π 4 ∵α∈0，2，2α∈(0，π)，tan 2α＝3＞0， π ， 0 ， ∴2α∈ 2
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1
1
A.3
B.2
C.
2 2
√D.
3 3
∵cos α＋cosα－π3＝1， ∴cos α＋12cos α＋ 23sin α＝32cos α＋ 23sin α
＝
3
3 2 cos
α＋21sin
α
＝ 3cosα－π6＝1，
∴cosα－π6＝ 33.
(2)化简：①sin x＋ 3cos x＝ 2sinx＋π3 .
∴β>α，而 α，β∈0，π2， ∴0<β－α<π2， ∴β－α＝π3， 即选项D正确，C错误.
(2)在△ABC 中，C＝120°，tan A＋tan B＝233，则 tan Atan B 的值为
1 A.4
√B.13
1
5
C.2
D.3
∵C＝120°，∴tan C＝－ 3. ∵A＋B＝π－C， ∴tan(A＋B)＝－tan C. ∴tan(A＋B)＝ 3， tan A＋tan B＝ 3(1－tan Atan B)， 又∵tan A＋tan B＝233， ∴tan Atan B＝13.
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
√D.a>c>b
(sin2256°
由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得
a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°
＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°
＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)
＝cos 77°＝sin 13°，
第四章
考试要求
1.会推导两角差的余弦公式. 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教案5 两角和与差的三角函数（1）
一、课前检测
1.（2009昆明市期末）已知tan α=2，则cos(2α+π)等于（ ）
A ．53
B ．53-
C ．54
D ．5
4- 答案 A
2.（2009玉溪一中期末）若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ ）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
答案 C
二、知识梳理
1．两角和的余弦公式的推导方法：
2．基本公式
sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβ
cos(α±β)＝ ;
tan(α±β)＝ .
3．公式的变式
tanα＋tanβ＝tan (α＋β)(1－tanα tanβ)
1－tanα tanβ＝)
tan(tan tan βαβα++ 4．常见的角的变换：
2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝2β
α+＋2β
α-
α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β
2
β
α+＝(α－2β)－(2α－β)； )4()4(x x ++-π
π＝
2π 三、典型例题分析
例1．求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］· 80sin 22的值.
解：原式=︒⋅⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒+⨯︒+︒80sin 210cos 10sin 3110sin 50sin 2 =︒⋅︒
︒+︒⨯︒+︒80sin 2)10cos 10sin 310cos 10sin 50sin 2(
=︒⋅⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡︒︒+︒⨯︒+︒10cos 210cos 10sin 2310cos 2
110sin 250sin 2 =︒⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛︒︒︒+︒10cos 210cos 40sin 10sin 250sin 2 =︒=︒⋅︒
︒60sin 2210cos 210cos 60sin 2 =.62
322=⨯ 变式训练1：(1)已知α∈(
2π,π)，sin α=53,则tan(4
πα+)等于（ ） A.71 B.7 C.－ 71 D.－7 (2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（ ）
A.－21
B.2
1 C.－23 D.23 解：(1)A (2)B
例2. 已知α∈(
4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4π)＝53，sin(43π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值． 解：∵α－
4π＋43π＋β＝α＋β＋2π α∈(43,4ππ) β∈(0,1sin 311≤-≤-x )
∴α－4π∈(0,2π) β＋4
3π∈(43π,π) ∴sin(α－4π)＝54 cos(βπ+43)＝－13
12 ∴sin(α＋β)＝－cos[
2π
＋(α＋β)] ＝－cos*(α－4π)＋(βπ+4
3)]＝6556 变式训练2：设cos （α－
2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π， 求cos （α+β）.
解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜α－2β＜π，－4π＜2α－β＜2
π. 故由cos （α－
2β
）=－91，得sin （α－2β）=954. 由sin （2α
－β）=32，得cos （2α－β）=35.∴cos 2βα+=cos ［（α－2β）－（2
α－β）］
=cos ()cos()sin ()sin()2222β
α
β
ααβαβ--+--=129339
-⨯+⨯
27=∴cos （α+β）=2cos 22βα+－1=22⨯⎝⎭
-1=－729239. 例3. 若sinA=55,sinB=10
10,且A,B 均为钝角,求A+B 的值. 解 ∵A 、B 均为钝角且sinA=
55,sinB=1010， ∴cosA=-A 2sin 1-=-52=-5
52， cosB=-B 2sin 1-=-103=-10
103， ∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-552×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10103-5
5×1010=22 ① 又∵2π＜A ＜π, 2
π＜B ＜π, ∴π＜A+B ＜2π
② 由①②知，A+B=4
7π. 变式训练3：在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 2
2C A +-cos2B=27,求角B 的度数. 解 在△ABC 中，A+B+C=180°,
由4sin 2
2C A +-cos2B=27, 得4·2)cos(1C A +--2cos 2B+1=2
7, 所以4cos 2B-4cosB+1=0.
于是cosB=2
1,B=60°.
例4．化简sin 2α·sin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2α·cos2β. 解 方法一 （复角→单角，从“角”入手）
原式=sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-
21·(2cos 2α-1)·(2cos 2β-1) =sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-2
1(4cos 2α·cos 2β-2cos 2α-2cos 2β+1) =sin 2α·sin 2β-cos 2α·cos 2β+cos 2α+cos 2β-
21
=sin 2α·sin 2β+cos 2α·sin 2β+cos 2β-
2
1 =sin 2β+cos 2β-21=1-21=21. 方法二 （从“名”入手，异名化同名）
原式=sin 2α·sin 2β+(1-sin 2α)·cos 2β-2
1cos2α·cos2β =cos 2β-sin 2α (cos 2β-sin 2β)-2
1cos2α·cos2β =cos 2β-sin 2α·cos2β-2
1cos2α·cos2β =cos 2β-cos2β·⎪⎭⎫ ⎝
⎛+αα2cos 21sin 2 =
22cos 1β+-cos2β·⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)sin 21(21sin 22αα =2
2cos 1β+-21cos2β=21. 方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
原式=
22cos 1α-·22cos 1β-+22cos 1α+·22cos 1β+-21cos2α·cos2β =41
(1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β)+
41(1+cos2α·cos2β+cos2α+cos2β)-21·cos2α·cos2β=2
1. 方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）
原式=(sin α·sin β-cos α·cos β)2+2sin α·sin β·cos α·cos β-
21cos2α·cos2β =cos 2(α+β)+
21sin2α·sin2β-21cos2α·cos2β =cos 2(α+β)-
21·cos(2α+2β) =cos 2(α+β)- 21·［2cos 2(α+β)-1］=2
1. 变式训练4：化简：（1）2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π+6cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π;
(2）⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπα4sin 4tan 21cos 222. 解 （1）原式=22⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 4cos 234sin 21ππ =22⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 4cos 6cos 4sin 6sin ππππ
=22cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x 46ππ=22cos(x-12
π). （2）原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-απαα
α
22cos 1tan 1tan 12cos =)2sin 1(2sin 12cos 2cos αααα++=1.
四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
1．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。
在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出特征，从中找到解题的突破口。
对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如：2α＋β=α+ (α＋β)等．
2．在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应用经验。
对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用，如正切的和角公式的变形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。
另外还要能对形如sinx±3cosx 、sinx±cosx 的三角函数式要创造条件使用公式．。