[精品]2019版高中数学第一章1.2.2空间两条直线的位置关系学业分层测评苏教版必修64

1.2.2 空间两条直线的位置关系
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列说法正确的有__________．(填序号)
①两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线； ②两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线； ③两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线； ④两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线．
【解析】 ①只说明两直线不同在一个平面内，没有说明平面的任意性；②把两条直线放到特定的两个平面内，也不具有任意性；③从反面肯定了两直线的异面；④中的两条直线可能在同一平面内．故填③.
【答案】 ③
2．如图1－2－23，A 是△BCD 所在平面外一点，M ，N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，若MN ＝6，则BD ＝________.
图1－2－23
【解析】 连结AM 并延长交BC 于E ，连结AN 并延长交CD 于F ，则E ，F 分别为BC ，CD 的中点，连结EF .由题
意知，AM AE ＝MN EF ＝23
，
∴EF ＝3
2×6＝9，∴BD ＝2EF ＝18.
【答案】 18
3．如图1－2－24，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH ，MN 是异面直线的图形有________．
① ② ③ ④
图1－2－24
【解析】 ①中GH ∥MN ，③中GM ∥HN 且GM ≠HN ，∴GH ，MN 必相交．
【答案】②④
4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是__________.
【解析】易证四边形EFGH为平行四边形，又∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°.
∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．
【答案】矩形
5．如果l和n是异面直线，那么和l，n都垂直的直线有________条．
【解析】l和n是异面直线，则和l，n都垂直相交的直线有一条m，与m平行的直线和l，n都垂直．【答案】无数
6．如图1－2－25，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是________．
图1－2－25
【解析】因四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AA1∥DD1.又AB∥CD，所以∠A1AB与∠D1DC相等．又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等．
【答案】∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B
7．如图1－2－26，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是________．
图1－2－26
①CC1与B1E是异面直线；
②C1C与AE共面；
③AE，B1C1是异面直线；
④AE与B1C1所成的角为60°.
【解析】CC1与B1E共面，CC1与AE异面，故①②错；AE与BC垂直，BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，故④错．
【答案】③
8．如图1－2－27，过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样
的直线l可以作________条．
图1－2－27
【解析】连结AC1(图略)，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．
【答案】 4
二、解答题
9．如图1－2－28，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．
图1－2－28
【证明】如图，设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，
∴EQ綊B1C1(平行公理)，∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綊C1Q.
又∵Q，F是矩形DD1C1C的两边的中点，∴QD綊C1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Q綊DF.又∵B1E綊C1Q，∴B1E綊DF，∴四边形B1EDF是平行四边形．
10．如图1－2－29所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE 与AB所成的角.
图1－2－29
【解】因为D，E分别是VB，VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB 是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°.
[能力提升]
1．一个正方体纸盒展开后如图1－2－30，在原正方体纸盒中有下列结论：
图1－2－30
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论中正确的是________(填序号)．
【解析】把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN ⊥CD，只有①③正确．
【答案】①③
2．如图1－2－31，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C所成的角的大小是__________．
图1－2－31
【解析】如图，连结BC1，A1B.
∵BC1∥EF，A1B∥CD1，则∠A1BC1即为EF与D1C所成的角．
又∵∠A1BC1为60°，
∴直线EF与D1C所成的角为60°.
【答案】60°
3．如图1－2－32所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E 为DA的中点，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为________．
图1－2－32
【解析】如图，取AC的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，
∴∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角)．
在Rt △ABC 中，BC ＝2，AB ＝AC ，∴AB ＝AC ＝1，在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝5
2.在Rt △AEF
中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝2
2
.
在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.
在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2
452＝10
10
，
∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010
. 【答案】
1010
4．如图1－2－33所示，△ABC 和△A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′，BB ′，CC ′交于同一点O ，且OA OA ′＝OB
OB ′
＝
OC OC ′＝23
.
图1－2－33
(1)求证：A ′B ′∥AB ，A ′C ′∥AC ，B ′C ′∥BC ； (2)求
S △ABC
S △A ′B ′C ′
的值.
【解】 (1)证明：∵AA ′∩BB ′＝O ，且
AO A ′O ＝BO B ′O ＝2
3
， ∴AB ∥A ′B ′，同理AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′.
(2)∵A ′B ′∥AB ，A ′C ′∥AC 且边AB 和A ′B ′，AC 和A ′C ′方向都相反，∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′， 同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠ACB ＝∠A ′C ′B ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′且
AB A ′B ′＝AO OA ′＝2
3
，
∴S △ABC
S △A ′B ′C ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49
.。