《信号与系统》绪论例题

f (4 － t2)
2 1
－ 4－ 3－ 2－ 1 0 1 2 3 4 t (b)
图1.12 信号综合变换
通过以上分析，可以归纳出普通信号基本变换的一般步骤：
(1)若信号f(t)→f(at+b)，则先反转，后展缩，再平移； (２)若信号f(mt+n)→f(t)，则先平移，后展缩，再反 转；
(３)若信号f(mt+n)→f(at+b)，则先实现f(mt+n)→f(t)， 再进行f(t)→f(at+b)。
例１―１０试模拟y″(t)+a1y′(t)+a0y(t)=b1f′(t)+b0f(t)所描述的 系统。
解因为本例激励部分中比上例多了一项b1f′(t)。我们 在上例的基础上作出该系统的模拟图。设新变量q(t)，它满 足方程
q″(t)+a1q′(t)+a0q(t)=f(t)
即为例１―９所满足的数学模型，因而其模拟图也 如图1.１9所示。我们再将此式乘以b1后求导，然后再与b0f(t) 相加，得
(1) y(t)=5y(0)+4f(t)； (2) y(t)=2y(0)+6f2(t)； (3) y(t)=4y(0)f(t)+3f(t)； (4) y(t)=2t2y(0)+7 (5) y(t)=4y(0)+4t (6) y(t)=6y2(0)+4f(t) (7)y(t)=4y(0)+3f(t)+2
(a)
f (t＋ 1)
1 －2
－1 0
1t
－1
(b)
f (－t＋ 1)
f (1 － t2)
1 1
－1 0 －1
2t
11
2
10
1t
2 －1
(c)
图 1.3-7 例1.3-1用图之二 (d)
(3) 按“展缩-平移-翻转”顺序。先以坐标原点为中心，
将f(t)的波形沿t轴压缩 1 ， 得到f(2t)的波形。再将f(2t)的 2
例 1.3-1 已f (t)知信号f(t)的波形如图1.3-6(a)所f (示－t)，试画出 f(1-2t)的波形。
1
1
－1 0 －1
12t
－ 2－ 1
0
1t
－1
(a)
(b)
f (－ 2t)
f (1 － t2)
1
11
2
－1 0
1
－1
2t
10
1
t
2 －1
(c) 图 1.3-6 例1.3-1用图之一 (d)
解 描绘信号波形是本课程的一项基本训练。在绘图时应注意 信号的基本特征、变化趋势、起始和终点位置，并应标出信 号的初值、终值以及一些关键的点及线，如极大值、极小值、 渐近线等。
f1(t) 2 2u(t)＝fa(t)
f2(t) 1.9 2
1
f 1(t) 4
0 123 －1
t
－2
－ e3－tu(t)＝fb(t)
转得到如图1.3-6(b)所示的f(-t)波形。然后，以坐标原点为中心，
将f(-t)波形沿t轴压缩1/2，得到f(-2t)波形如图1.3-6(c)所示。由
于f(1-2t)可以改写为f


2
t

1


，
所以只要将f(-2t)
沿t轴右
移1/2个单位，即可得到f(1-2t)波2 形。信号的波形变换过程如图
(c)
f (t)
1
2
－ 2 － 10 1
t
－1
(a)
f (－ 2t)
1 －2
－1 0 1 2 t －1
(b)
f (－ 2t(－ 1))
1 －1 －2 0 1 1 2 t
－1 2
1
－ 2 － 10 1 3 2 t －1 2
(c)
(d)
图1.11 信号的反转、展缩与平移
例１―３已知信号f(2t+2)的波形如图１.１２(a)所示，试画 出信号f(4-2t)的波形。
例１―４试粗略地画出下列信号的波形图： (1) f1(t)=(2-3e-t)·u(t)； (2) f2(t)=(5e-t-5e-3t)·u(t)； (3) f3(t)=e-|t|(-∞<t<∞)； (4) f4(t)=cosπ(t-1)·u(t+1)； (5) f5(t)=sin π /2 (1-t)·u(t-1)； (6) f6(t)=e-tcos10πt(u(t-1)-u(t-2))； (7) f7(t)= 1- |t|/2 (u(t+2)-u(t-2))； (8) f8(t)=u(t2-1)。
解f(2t+2)→f(4-2t)，则对应有
t1=0,t2=4,m=2,n=2,a=-2,b=4 利用上述关系式计算出t11与t22：
t11=- 1/2 (2×0+2-4)=1 t22=-1/2 (2×4+2-4)=-3
f (2t＋ 2)
2 1
－ 4－ 3－ 2－ 1 0 1 2 3 4 t (a)
解 f(t)→f(-2-t)=f(-(t+2))可分解为
反转
平移
f(t)—— f(-(t)) —— f(-(t+2))
f (t) 1 －1 0 1 2 t －1 (a)
t —－t
f (－t)
1
－2
－10 1 2 －1
t
(Βιβλιοθήκη Baidu)
f (－ t(＋ 2)) t —t＋ 2
1 －4
－ 3－ 2 － 1 0 1 2 t －1
(b)
f (2t＋ 1)
f (1 － t2)
11 2
－1 0 1 －1 2
(c)
11
2
t
10
1t
2 －1
图 1.3-8 例1.3 - 1用图之三 (d)
例 利用冲激函数的性质计算
例 1.4 –1 试化简下列各信号的表达式。
例 1.4 – 2 计算下列各式：
例１―１已知信号f(t)的波形如图１.１０ (a)所示，试画出信号f(-2-t)的波形。

－－
q ′(t)
q(t)

b0

＋
y(t)
a1
a0
图1.２0 例１―１０的模拟图
1.3-6所示。
(2) 按“平移-翻转-展缩”顺序。先将f(t)沿t轴左移一个 单位得到f(t+1)波形。再将该波形绕纵轴翻转180°，得到 f(-t+1)波形。最后，将f(-t+1)波形压缩1/2得到f(1-2t)的波形。 信号波形的变换过程如图1.3-7所示。
f (t)
1 －1 0
－1
12t
－3
0
1 ln3
t
2
(a)
(b)
f3(t)
1
0
t
(c)
f4(t)
f5(t)
1 1
f6(t) e－t
－1 0 1 2 3 4 t
0 12345 t
0
－1
－1
(d) f7(t)
(e) f8(t)
1
2t
－e－t (f)
1
1
－2 －1 0
1
2t
－2 －1 0
1 2t
(g)
(h)
图1.13 例1―4图
例１―５判断下列输出响应所对应的系统是否为线性系统(其 中y(0)为系统的初始状态，f(t)为系统的输入激励，y(t)为系统 的输出响应)。
例 判断周期信号
例 1.1-1 试判断下列信号是否为周期信号。若是，确定其 周期。
(1) f1(t)=sin 2t+cos 3t (2) f2(t)=cos 2t+sinπt
解 我们知道，如果两个周期信号x(t)和y(t)的周期具有公 倍数，则它们的和信号
f(t)=x(t)+y(t) 仍然是一个周期信号， 其周期是x(t)和y(t)周期的最小公倍数。
(b1
dq dt
)

a1(b1
dq dt
)

a0
(b1
dq dt
)

(b0q)

a1(b0q)

a0
(b0q)

b1
df dt
b0
f
(b1
dq dt

b0q)

a1(b1
dq dt

b0q)

a0
(b1
dq dt

b0q)

b1
df dt
b0
f
b1
＋
f (t)
＋

q″(t)
例１―７已知某线性系统，当其初始状态y(0)=2时，系统 的零输入响应yx(t)=6e-4t，t>0。而在初始状态y(0)=8以及输 入激励f(t)共同作用下产生的系统完全响应y(t)=3e-4t+5e-t， t>0。
试求：(１)系统的零状态响应yf(t)；(２)系统在初始 状态y(0)=1以及输入激励为3f(t)共同作用下系统的完全响应。
波形沿t轴左移1/2个单位， 得到信号 f 2t 1 f (2t 1) 2
的波形。 最后， 进行“翻转”操作，得到f(1-2t)的波形。信
号波形的变换过程如图1.3-8所示。
f (t)
1 －1 0
－1
12 t
(a)
f (2t) 1 1 0 11 t 2－ 1 2
解 一般说来，在t轴尺度保持不变的情况下，信号 f(at+b)(a≠0) 的 波 形 可 以 通 过 对 信 号 f(t) 波 形 的 平 移 、 翻 转 ( 若 a<0)和展缩变换得到。根据变换操作顺序不同，可用多种方法 画出f(1-2t)的波形。
(1) 按“翻转-展缩-平移”顺序。 首先将f(t)的波形进行翻
例１―８试判断下列系统是否为非时变系统：
(1)y(t)=sin(f(t))；
(2)y(t)=cost·f(t)；
(3)y(t)=4f2(t)+3f(t)；
(4)y(t)=2t·f(t)。
解判断一个系统是否为非时变系统，只需判断当输 入激励f(t)变为f(t-t0)时，相应的输出响应是否也由y(t)变为 y(t-t0)。因为只涉及系统的零状态响应，所以无需考虑系统 的初始状态。
解(1)由于y(0)=2时yx(t)=6e-4t(t>0)， 故有y(0)=8时yx(t)=24e-4t(t>0)。
因此 yf(t)=y(t)-yx(t)=3e-4 t+5e-t-24e-4t=5e-t-21e-4t (t>0) (2) 同理，当y(0)=1,3f(t)作用下，有 y(t)= 1/2(6e-4t)+3(5e-t-21e-4t)=15e-t-60e-4t (t>0)
(1) 因为sin 2t是一个周期信号，其角频率ω1和周期T1为
1 2rad / s,T1
2 1
s
2
3rad / s,T2

2 2

2
3

2
3
s
(2) 同理，可先求得f2(t)中两个周期信号cos2t和sinπt的周期 分别为
T1 s
T2 2s
例 波形的变换