208届广东地区数学科高三第二轮复习专题数列及其应用2

第二轮专题复习：数列及其应用关于数列：（1）等差数列与等比数列；定义，通项公式，求和公式，中项，性质等． （2）数列求和的各种方法；倒序；错位相减；分解；裂项；分类等． （3）数列与函数、不等式；（4）数列的应用；（5）递推问题．高考常考． 一.求数列的通项公式方法一:数列的前n 项和与第n 项的关系例1. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足5log (1)n S n +=，求n a ，并判断{}n a 是什么数列？ 解: ∵5log (1)n S n +=∴15n n S +=,即51nn S =-∴当1n =时,111514a S ==-=∴当2n ≥时,11(51)(51)n n n n n a S S --=-=---155n n -=-145n -=又∵11445n a -==⨯∴1*45()n n a n N -=∈,∴数列{}n a 是首项为4,公比为5的等比数列..例2. 已知数列{}n a 满足53,n n a S n N +=+∈，求1321n a a a -+++解: ∵53,n n a S n N +=+∈,∴13,55n n S a n N +=+∈ ∴当n=1时, 11a S =,1153a a =+,134a =当2n ≥时, 1n n n a S S -=-, 由1355n n S a =+和111355n n S a --=+两式相减得,114n n a a -=-∴数列{}n a 是以34为首项,14-为公比的等比数列.∴13521,,,,,n a a a a -，是以34为首项,116为公比的等比数列.∴132131(1())41416[1()]1516116n n n a a a --+++==-- 例3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且142,()n n S a n N ++=+∈，11a =，12n n n b a a +=-，求证数列{}n b 是等比数列,并写出其通项公式.解:∵142n n S a +=+,∴142(2)n n S a n -=+≥两式相减得,1144(2)n n n a a a n +-=-≥∴11224(2)n n n n a a a a n +--=-≥即1122(2)2n nn n a a n a a +--=≥-∵12n n n b a a +=-,∴112n n n b a a --=- ∴12(2)nn b n b -=≥即数列{}n b 是等比数列. ∵142n n S a +=+,11a =∴12142a a a +=+,解得25a =, ∴12123b a a =-=∴数列{}n b 是以3为首项,2为公比的等比数列.即132()n n b n N -*=∈练习: 数列{}n a 的前n 项和252n S n n =-+，则{}n a 的前10项和10T = 60 .方法二: 递推数列的通项公式和求法例1.数列{}n a 中，11a =，121,(2)n n a a n n -=+-≥，求其通项公式n a . 解:由题意得,11a =,213a a =+,325a a =+,437a a =+,…… 121(2)n n a a n n -=+-≥以上各式两端相加得,2135(21)(2)n a n n n =++++-=≥当1n =时, 2111a == ∴2()n a n n N *=∈例2.数列{}n a 中，11a =，0n a >，2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，n N +∈，求{}n a .解: ∵2211(1)0n n n n n a na a a +++-+⋅=∴11[(1)]()0n n n n n a na a a +++-+=∵0n a >,∴10n n a a ++≠∴1(1)0n n n a na ++-=即11n n a na n +=+ ∴2112a a =,3223a a =,4334a a =,……, 11n n a na n +=+,各式两端分别相乘得, 32412311231234n n a a a a n a a a a n--=化简得, 11n a a n =, ∵1111a == ∴1()n a n N n*=∈ 练习: 1.数列{}n a 中，11a =，12,()2nn n a a n N a ++=∈+，则=n a .二.等差等比数列的简单综合问题 (一)基本量的方程思想例1. 设{}n a 数列为等比数列，{}n b 数列为等差数列，且10b =，n n n c a b =+，若{}n c 是1,1,2,,求{}n c 的前10项和.解:由题设可得10b =,11c =,21c =,32c =,设{}n a 的公比为q ,{}n b 的公差为d∵n n n c a b =+,∴11122233112(0)111222a b a q q a b q d d a b q d +==⎧⎧=≠⎧⎪⎪+=⇒+=⇒⎨⎨⎨=-⎩⎪⎪+=+=⎩⎩∴12,1n n n a b n -==-,∴10121210(09)978122n c c c --+++=+=-例 2. 在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，2a 是1a 与4a 的等比中项，已知1312,,,,,,k k k n a a a a a 成等比数列，求数列{}n k 的通项公式.解:依题设得1(1)n a a n d =+-,2214a a a =∴2111()(3)a d a a d +=+整理得,21d a d =∵0d ≠∴1d a = ∴n a nd = ()*n N ∈所以,由已知得, 12,3,,,,,n d d k d k d k d 是等比数列,由0d ≠,所以数列121,3,,,,,n k k k 也是等比数列,且首项为1,公比为3,∴19k = ∴数列{}n k 是9为首项,3为公比的等比数列,∴11933()n n n k n N -+*=⨯=∈(二) 证明等差等比数列1. 在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．证明数列{}n a n -是等比数列.2．设函数()21x f x x =+,若数列{}n a 的项满足1()(,2)n n a f a n N n -=∈≥,117a =-. ①求证数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.②设1nnn a b a -=,求{}n b 的最大项和最小项及相应的n 值. 解：最大项为43b =，最小项为51b =-。

练习: 1.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5620a a =-，则10S = 100 .2.等比数列{}n a 中，214a a -=，65324a a -=，则公比q =3±.3. 数列是}{n a 等比数列,其中5547,14,,1a a a +=且成等差数列. 求数列}{n a 的通项公式; 三.数列求和例1. 求数列}21{n n ⨯前n 项和n S . 解：n n n S 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯= ①12121)1(161381241121+⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ② ①,②两式相减得：112211)211(21212181412121++---=⨯-++++=n n n n n n n S n n n n n nn S 2212)2211(211--=--=∴-+例2.求数列,)1(211,,3211,211+++++++n 前n 项和n S .解：112(1)n a n =++++2(1)(2)n n =++112()12n n =-++∴1111112[()()()]233412n S n n =-+-++-++ 112()22n =-+2nn =+ 练习:1已知数列{}n a 满足12323(1)(21)n a a a na n n n ++++=++,则该数列的前n 项和为( B )A. 2(1)n n +B. 3(1)n n +C.(2)n n +D. (3)n n +2.1111133557(21)(21)n n ++++=⨯⨯⨯-+四. 函数与数列 例1.已知()(,,0)xf x a b a ax b=≠+为常数,(1)1f =,若()2f x x =有唯一解,设数列 {}n a 满足1(2)a f =,1()(2)n n a f a n -=≥,求{}n a 的通项公式.解:∵(1)1f =,∴11a b=+即1a b += 又∵()2f x x =有唯一解,∴22(21)0ax b x +-=,由0∆=得12b = ∴12a =,2()1x f x x =+ ∵1(2)a f =,∴143a =, ∵1()n n a f a -=∴1121n n n a a a --=+即1211n n a a -=+即1111122n n a a -=+ ∴11111(1)2n n a a --=-即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以13为首项,12为公比的等比数列 ∴1111()132n n a -=+例2. 已知函数f （x ）=x 2－4，设曲线y ＝f （x ）在点（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴的交点为（x n +1,u ）（u ,N +），其中为正实数. （Ⅰ）用x x 表示x n +1； （Ⅱ）若a 1=4，记a n =lg22n n x x +-，证明数列｛a 1｝成等比数列，并求数列｛x n ｝的通项公式； （Ⅲ）若x 1＝4，b n ＝x n －2，T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，证明T n <3.解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．（Ⅰ）由题可得'()2f x x =．所以曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线方程是：()'()()n n n y f x f x x x -=-．即2(4)2()n n n y x x x x --=-．令0y =，得21(4)2()n n n n x x x x +--=-．即2142n n n x x x ++=．显然0n x ≠，∴122n n nx x x +=+． （Ⅱ）由122n n n x x x +=+，知21(2)22222n n n n nx x x x x +++=++=， 同理21(2)22n n nx x x +--=． 故21122()22n n n n x x x x ++++=--． 从而1122lg2lg 22n n n n x x x x ++++=--，即12n n a a +=．所以，数列{}n a 成等比数列．故111111222lg2lg 32n n n n x a a x ---+===-．即12lg 2lg 32n n n x x -+=-． 从而12232n n n x x -+=- 所以11222(31)31n n n x --+=- 五. 数列的综合运用例1.由坐标原点O 向曲线)0(323≠+-=a bx ax x y 引切线，切于O 以外的点P 1),(11y x ，再由P 1引此曲线的切线，切于P 1以外的点P 222,(y x ），如此进行下去，得到点列{ P n n n y x ,(}}.求：（Ⅰ）)2(1≥-n x x n n 与的关系式；（Ⅱ）数列}{n x 的通项公式； 解析 （Ⅰ）由题得b ax x x f +-='63)(2过点P 1（),11y x 的切线为),0)()((:11111≠-'=-x x x x f y y l1l 过原点 32211111113(3)()(36),.2x ax bx x x ax b x a ∴--+=--+=得 又过点P n （,)n n x y 的:()()n n n n l y y f x x x '-=-因为n l 过点P n-1（11,)n n x y -- 11()()n n n n n y y f x x x --'∴-=-整理得.0))]((32[112121=----+----n n n n n n n n x x x x a x x x x211111()(23)0,230.13(2).22n n n n n n n n n n x x x x a x x x x a x x a n -----∴-+-=≠+-=∴=-+≥由得（Ⅱ）由（I ）得11().2n n x a x a --=--所以数列{x n -a }是以2a 公比为21-的等比数列 .])21(1[)21(21a x a a x n n n n --=∴-=-∴-（法2）通过计算,])21(1[,,,4321a x x x x x n n --=而猜出再用数学归纳法证明. 例2：已知数列｛a n ｝满足251=a ，nn n a a a 221+=+（1）求证：2＜a n <3；（2）求证：)2(4121-<-+n n a a ； 思路分析：（1）从nn n a a a 221+=+递推式看，应该从数列归纳法入手；（2）可用证不等式的放缩法来求解. （1）①当n=1时，251=a ，2＜a 1 <3； ②设n=k 时，2＜a k <3，那么n=k+1时，02)2(221>-=-+kk k a a a 即a k+1>2，又2＜a k <3，所以0＜a k －2＜1,0＜(a k －2)2＜1，而2a k ＞4， 故a k+1-2<1，即a k+1<3， 由①②知2＜a n <3（2）由（1）知0＜a n －2＜1，2a n ＞4，∴)2(41222)2(221-<-<-=-+n n n n n n a a a a a a 例3. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为)2(22+-a n a 万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售客多a a 1)32(-万元。