§7.3特殊角三角函数-宋亚非

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人教高中数学必修一A版《章末复习提升课》三角函数研讨复习说课教学课件

栏目导引
第五章三角函数
三角恒等变换的“4 大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等； (2)项的分拆与角的配凑：如 sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋ cos2α，α＝(α－β)＋β 等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦． [提醒] 要特别注意二倍角余弦公式升降幂的作用．
3．已知－π2<x<0，sin x＋cos x＝15，则 sin x－cos x 的值为________．解析：由 sin x＋cos x＝15，平方得 sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝215，即 2sin xcos x＝－2245，
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所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝4295. 又因为－π2<x<0，所以 sin x<0，cos x>0，sin x－cos x<0，故 sin x－cos x＝－75. 答案：－75
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第五章三角函数
(2)用诱导公式化简求值的方法 ①对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成 2kπ±α，π±α，π2±α，32π±α(或 k·π2±α，k∈Z)的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简． ②解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，理清条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用．
第五章三角函数
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第五章三角函数
(2)y＝2sin2x＋π6――的―横2倍―坐―（标―纵伸―坐长―标到―不原―变来―）―→ y＝2sin12×2x＋π6＝2sinx＋π6――平―沿移―xπ轴 6―个向―单右―位―→ y＝2sinx－π6＋π6＝2sin x，所以 g(x)＝2sin x.

高中数学第一章章末整合提升新人教A版必修4

正弦曲线、余弦曲线、正切曲线图象图象特征周期性三角函数的图象与性质奇偶性三性质单调性角最大、最小值函数 A、ω、φ对函数图象的影响五点法函数y＝Asinωx＋φ的图象图象画法变换法三角函数模型的简单应用
专题突破
专题一
⇨三角函数的概念和诱导公式
三角函数的定义及诱导公式在中学数学的学习中主要有两方面的作用：一是以集合的交、并、补运算为载体，考查三角函数值在各象限内的符
号、终边相同的角及象限角等基础知识．
二是考查诱导公式在三角函数求值、化简、证明和三角恒等变换中的应用．
5π 5π 典例 1 已知角 α 终边上一点 P 的坐标为(sin ，cos )，则角 α 的最小 6 6 正值是 5π A． 6 5π C． 3
2 2
灵活运用．
典例 2
π 1 已知－2<x<0，sinx＋cosx＝5．
(1)求 sinx－cosx 的值； sinxcosx＋sin2x (2)求的值． 1－tanx
[思路分析]
由(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx求出sinxcosx的值，然后根据(sinx
－cosx)2＝1－2sinxcosx求解(1)题；(2)题先化简再求值．
专题三 ⇨正弦函数与余弦函数的对称性问题
正弦函数 y＝sinx，余弦函数 y＝cosx，在教材中已研究了它们的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．除了上述有关内容之外，近年来有关正弦函数、余弦函数等对称性问题在高考中有所出现，有必要对其作进一步的探讨．函数 y＝sinx，x∈R 的图象是中心对称图形，并且有无穷多个对称中心，对称中心是图象与 x 轴的任一交点，坐标为(kπ，0)(k∈Z)；函数 y＝cosx，x∈R 的 π 对称中心坐标为(kπ＋2，0)(k∈Z)，以上两个函数图象，也是轴对称图形，它们的 π kπ 对称轴分别是 x＝kπ＋2(k∈Z)和 x＝kπ(k∈Z)；函数 y＝tanx 的对称中心坐标为( 2 ， 0)(k∈Z)，但它不是轴对称图形．

高一上学期数学人教A版必修第一册第五章三角函数讲义(十二)

高一数学必修一第五章：三角函数（十二）三角函数的最小正周期第一部分：三角函数的最小正周期知识点第一组三角函数的最小正周期：①函数x x f sin )(=的最小正周期：π2=T ； ②函数x x f cos )(=的最小正周期：π2=T ； ③函数x x f tan )(=的最小正周期：π=T 。

第二组三角函数的最小正周期：①函数b x A x f ++=)sin()(ϕϖ的最小正周期：ϖπ2=T ； ②函数b x A x f ++=)cos()(ϕϖ的最小正周期：ϖπ2=T ；③函数b x A x f ++=)tan()(ϕϖ的最小正周期：ϖπ=T 。

第三组三角函数的最小正周期：①函数|)sin(|)(ϕϖ+=x A x f 的最小正周期：ϖπ=T ； ②函数|)cos(|)(ϕϖ+=x A x f 的最小正周期：ϖπ=T ； ③函数|)tan(|)(ϕϖ+=x A x f 的最小正周期：ϖπ=T 。

第四组三角函数的最小正周期：①函数|)sin(|)(ϕϖ+=x A x f 的最小正周期：ϖπ=T ； ②函数|)cos(|)(ϕϖ+=x A x f 的最小正周期：ϖπ=T ； ③函数|)tan(|)(ϕϖ+=x A x f 的最小正周期：ϖπ=T 。

第五组三角函数的最小正周期：①函数||sin )(ϕϖ+=x A x f 不是周期函数； ②函数||cos )(ϕϖ+=x A x f 的最小正周期：ϖπ2=T ；③函数||tan )(ϕϖ+=x A x f 不是周期函数。

第二部分：三角函数的最小正周期题型例题一：2020年高考数学天津卷第8题：已知函数)3sin()(π+=x x f ，给出下列结论：①)(x f 的最小正周期是π2； ②)2(πf 是)(x f 的最大值；③把函数x y sin =图像上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数)(x f y =图像。

A 、① B 、①③ C 、②③ D 、①②③解：①函数)3sin()(π+=x x f 的最小正周期：ππ212==T 。

初中数学π-α的三角函数诱导公式大全

初中数学π-α的三角函数诱导公式大全紧接着上一章节的知识，我们可以利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系。

公式四弧度制下的角的表示：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotαsec(π-α)=-secαcsc(π-α)=cscα角度制下的角的表示：sin(180°-α)=sinαcos(180°-α)=-cosαtan(180°-α)=-tanαcot(180°-α)=-cotαsec(180°-α)=-secαcsc(180°-α)=cscα以上的内容就是π-α与α的三角函数值之间的关系转化公式，是大家必须掌握的重点内容。

初中数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。

正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。

希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。

初中数学平行四边形定理公式同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。

平行四边形平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。

初中数学直角三角形定理公式下面是对直角三角形定理公式的内容讲解，希望给同学们的学习很好的帮助。

高中数学复习要点(第四章复习三角函数命题人)

高中数学复习要点（第四章复习三角函数命题人：刘银平）一、重要公式定义：1．所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S = ；终边在x 轴上的角的集合为；终边在y 轴上的角的集合为；终边在坐标轴上的角的集合为；分别写出第一、二、三、四象限角的集合、、、． 2．角度与弧度的换算公式：π=180o,1弧度= o,1 o= 弧度．3．弧长与扇形面积公式：l = = ；扇形S = = = ．4．设α是一个任意角，α的终边上任一点P 的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是r （则α的正弦αsin = ； α的余弦αcos = ； α的正切αtan = ； α的余切αcot = ； α的正割αsec = ； α的余割αcsc = ； 5．同角三角函数的八大关系式：αsin · =αcos · =αtan · 1．αsin = ·αtanαcos = ·αcot ；sin 2α+cos 2α= ；sec 2α=1+ ； csc 2α=1+ ．6．两组诱导公式：（1）2k π±α，π±α的三角函数值等于α的名三角函数值，前面加上把α看成角时原函数的符号；（2）2π±α，32π±α的三角函数值等于α的名三角函数值，前面加上把α的看成角时原函数的符号．简记作：． 7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：)sin(βα+ = ；)sin(βα- = ； )cos(βα+ = ；)cos(βα- = ； )tan(βα+ = ；)tan(βα- = ；辅助角公式：ααcos sin b a += ；（其中， =ba）8．二倍角公式：sin2α= ；cos2α= = = ； tan2α= ；降幂升角公式：cos 2α= ；sin 2α= ；半角公式：2cos α= ；2sinα= ；tan2α= = = ．万能公式：sin α= ；αcos = ；9．三角变换的解题技巧：（1）角的变换.如：α=()αβ+－β=β－（β－α）=（2α－β）－(α－β)=12[()αβ++(α－β)]=12[()βα+－(β－α)] （2）逆用公式．如：sin ()αβ+·cos β－cos ()αβ+·sin β= ．（3）变用公式．如：tan α+tan β=tan ()αβ+· ．（4）“1”的变换：1= sin 2α+cos 2α=tan α·cot α=tan45 o=cot45 o=sin90 o=2cos60 o=2sin30 o=…化简：1tan 1tan αα+=- ；1sin 2α= =cot α-cot2α．（5）要做到“三看”及“三变”．即：一看角的差异，二看函数名称的差异，三看式子的结构特点；一变名：变异名为同名；二变角：变异角为同角；三变次：变异次为同次．（6）遇切割化弦；遇和差化积；遇平方降幂；遇分式通分；遇sin α±cos α或⎩⎨⎧=+=+qpβαβαcos cos sin sin 想两边平方；遇a sin α+b cos α（α+ϕ）的形式．二、三角函数图象和性质：（1）熟练画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象是基础．（2）平移变换：沿x 轴平移，按“左加右减”法则；沿y 轴平移，按“上加下减”法则．（3）伸缩变换：沿x 轴伸缩：ω＞1时横坐标到原来的倍；0＜ω＜1时横坐标到原来的倍，纵坐标不变．沿y 轴伸缩：A ＞1时纵坐标到原来的倍；0＜A ＜1时纵坐标到原来的倍，横坐标不变．三、已知三角函数值求角。

人教A版高中数学必修四新教案三角函数复习

高三数学（第12讲）主讲教师：孙福明主审教师：高三数学组一、本讲进度《三角函数》复习二、本讲主要内容1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；3、三角函数的图象及性质。

三、学习指导1、角的概念的推广。

从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。

这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常把角的始边放在x 轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同）。

为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成k ·3600+α的形式，特例，终边在x 轴上的角集合{α|α=k ·1800，k ∈Z}，终边在y 轴上的角集合{α|α=k ·1800+900，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k ·900，k ∈Z}。

在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。

弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。

在弧度制下，扇形弧长公式 =|α|R ，扇形面积公式||R 21R 21S 2α== ，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。

三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。

重视用数学定义解题。

设P(x ，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记22y x |OP |r +==，则rysin =α，r xcos =α，xy tan =α，y x cot =α。

利用三角函数定义，可以得到（1）诱导公式：即α+πt 2k与α之间函数值关系（k ∈Z ），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。

3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用。

高一数学必修四三角函数讲义

高一数学必修四三角函数讲义专题四三角函数一．基本知识点【1】角的基本概念（1）正角负角零角（2）角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．{αk ⋅360第一象限角的集合为{αk ⋅360+90第二象限角的集合为αk ⋅360+180第四象限角的集合{αα=k ⋅180, k ∈Z}终边在x 轴上的角的集合为α=k ⋅180+90, k ∈Z}{y 终边在轴上的角的集合为α=k ⋅90, k ∈Z}{终边在坐标轴上的角的集合为{ββ=k ⋅360+α, k ∈Z}（3）与角α终边相同的角的集合为1（4）弧度制与角度制的换算公式：2π=360，1 =π180，⎛180⎫ 1= ≈57.3⎪⎝π⎭【2】三角函数的定义设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P的坐标是(x , y )，它与原点的距离是r r =>0()，则s i n α=y xcos α=r ，r ，tan α=y(x ≠0)x ．【3】三角函数的基本关系(1)sin 2α+cos 2α=1(sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α)sin α=tan α(2)cos αsin α⎫⎛sin α=tan αcos α,cos α= ⎪tan α⎭．⎝【4】函数的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限sin (π+α)=-sin α cos (π+α)=-cos α tan (π+α)=tan α sin (-α)=-sin α cos (-α)=cos α tan (-α)=-tan α sin (π-α)=sin α cos (π-α)=-cos αtan (π-α)=-tan α⎛π⎫⎛π⎫sin -α⎪=cos α cos -α⎪=sin α⎝2⎭⎝2⎭⎛π⎫⎛π⎫sin +α⎪=-cos α cos +α⎪=-sin α⎝2⎭⎝2⎭【5】常用三角函数公式（1）两角和与差的三角函数关系sin(α±β)=sinα·cosβ±cos α·sinβ cos(α±β)=cosα·cosβ sin α·sinβ2tan(α±β) =tan α±tan β1 tan α⋅tan β2tan α21-tan α（2）倍角公式sin2α=2sinα·cosα tan 2α=cos2α=cosα-sin （3）半角公式22α=2cos2α-1=1-2sin2αsin2α=1-cos 2α1+cos 2α2=cos α22（4）辅助角公式a sin x +b cos x =(x +θ)(a >0) (其b确定) a中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan θ=（5）特殊角的三角函数【6】三角函数的性质（1）函数y =Asin (ωx +ϕ)(A>0, ω>0)T=2π的性质：①振幅：A；②周期：ω；③频率：ϕ．f =1ω=T2π；④相位：ωx +ϕ；⑤初相：（2）正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：3二．例题分析【例1】已知角α的终边经过点P 0(-3, -4)，求角α的正弦值，余弦值，正切值.【变式1】已知sin α=-3，求cos α，tan α的值 5sin α+cos α的值sin α-cos α【变式2】已知tan α=2，求【变式3】已知sin α=2cos α，sin α-4cos α5sin α+2cos α2（2）求sin α+sin 2α（1）求【变式4】（2019年江西）sin +cos α1=，求tan 2α的值sin -cos α24【变式4】（2019年全国卷）已知α为第二象限角，且sin α+cos α=，则cos 2α=A -B -CD 3939【变式5】（2019年重庆卷）设tan α，tan β是方程x2-3x+2=0的两个根，则tan （α+β）的值为（） A ．-3 B-1 C 1 D3【例2】已知sin α⋅cos α=1π，0，且【变式1】已知sin α⋅cos α=【变式2】（2019年辽宁）已知sin α-cos2α=α∈(o , π)则tan α的值是sin 2α的值【例3】（2019年天津理）已知cos x -⎛⎝π⎫2⎛π3π⎫, x ∈ , ⎪. ⎪=4⎭10⎝24⎭（1）求sin x -⎛⎝π⎫⎪的值 4⎭（2）求sin x 的值；（3）求sin 2x +【变式1】已知函数f (x ) =x cos x +2cos 2x -1(x ∈R ) （Ⅰ）求函数f (x ) 的最小正周期及在区间⎢0,⎛⎝π⎫⎪的值. 3⎭⎡π⎤上的最大值和最小值；⎥⎣2⎦5（Ⅱ）若f (x 0) =6⎡ππ⎤, x 0∈⎢, ⎥，求cos 2x 0的值。

北京四中高考数学总复习三角函数的概念知识梳理教案理

三角函数的概念【考纲要求】1.了解任意角的概念和弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.2.会表示终边相同的角；会象限角的表示方法.3.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号、特殊角的三角函数值.4.熟练掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式并能运用他们解决有关问题. 【知识网络】【考点梳理】考点一、角的概念与推广1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角：与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2k k k Z πβπβπ<<+∈第二象限角的集合：{|22,}2k k k Z πβπβππ+<<+∈第三象限角的集合：3{|22,}2k k k Z πβππβπ+<<+∈ 三角函数的概念角的概念的推广、弧度制正弦、余弦的诱导公式同角三角函数的基本关系式任意角的三角函数第四象限角的集合：3{|222,}2k k k Z πβπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2k k Z πββπ=+∈终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2k k Z πββ=∈ 要点诠释：要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 考点二、弧度制1．弧长公式与扇形面积公式：弧长l r α=⋅，扇形面积21122S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）.2．角度制与弧度制的换算：180π= ；18010.017451()57.305718'180rad rad rad ππ=≈=≈=；要点诠释：要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α=, cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc ryα=. 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线.3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是{|,}2k k Z πααπ≠+∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈.4. 三角函数值在各个象限内的符号：要点诠释：①三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握．利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论.②三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来．有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用.考点四、同角三角函数间的基本关系式1.平方关系：222si ncos 1α+α=α=.2. 商数关系：sin cos tan ;cot cos sin ααα=α=αα. 3. 倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α⋅α=αα=α⋅α=要点诠释：①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如221sin cos =α+α，221sec tan tan 45=α-α== ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用. 考点五、诱导公式1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.2.απ±2，απ±23的三角函数值等于α的互余函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号. 要点诠释：诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为090角的三角函数值，本节公式较多，要正确理解和记忆，诱导公式可以用“奇变偶不变，符号看象限（奇、偶指的是2π的奇数倍、偶数倍）”这个口诀进行记忆. 【典型例题】类型一、角的相关概念例1.已知θ是第三象限角,求角2θ的终边所处的位置. 【答案】2θ是第二或第四象限角【解析】方法一：∵θ是第三象限角，即322,2k k k Z πππθπ+<<+∈， ∴3,224k k k Z πθπππ+<<+∈, 当2k n =时，322,224n n n Z πθπππ+<<+∈, ∴2θ是第二象限角，当21k n =+时，3722,224n n n Z πθπππ+<<+∈, ∴2θ是第四象限角， ∴2θ是第二或第四象限角. 方法二：由图知:2θ的终边落在二，四象限. 【总结升华】（1）要熟练掌握象限角的表示方法．本题容易误认为2θ是第二象限角，其错误原因为认为第三象限角的范围是3(,)2ππ．解决本题的关键就是为了凑出2π的整数倍，需要对整数进行分类．（2）确定“分角”所在象限的方法：若θ是第k (1、2、3、4)象限的角，利用单位圆判断nθ，(*n N ∈)是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n 等份，并从x 正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号k 的区域就是角nθ (*n N ∈)终边所在的范围。

§7.2正弦、余弦⑴-宋亚非

盱眙县实验中学九年级数学学案第七章：锐角三角函数§7.2 正弦、余弦（1）主备人：宋亚非审核人：胡永成九年级（）班姓名：＿＿＿＿＿＿【学习目标】1.理解并掌握正弦.余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值.2.能用函数的观点理解正弦.余弦和正切.【巩固练习】一．选择题1.（2012山东省）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正切值A．不变B．缩小为原来的13C．扩大为原来的3倍D．不能确定2.（2012•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为A．21B．C．D．13.在Rt ABC△中，ACB∠=90°，1BC=，AC=3，则下列结论正确的是A．sin A=B．1tan2A= C．cos B=D．tan B=4．若0°＜α＜90°，则下列说法不正确的是A.sinα随α的增大而增大B.cosα随α的增大而减小C.tanα随α的增大而增大D.sinα、cosα、tanα的值都随α的增大而增大5.已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是A.sinA=cosAB.sinA＞cosAC.sinA＞tanAD.sinA＜cosA6.（2012内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为A．12B C D(第2题) (第6题) (第9题)二．填空题7.已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值为.8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则∠A的余弦值为.9.如图，在4×4的正方形网格中，sin10.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，，则sin∠ACD的值为.11.如图，在Rt△ABC中，∠AB的垂直平分线ED交BC的延长线与D点，垂足为E，则sin CAD= .(第10题) (第11题)勤奋＋方法＝成功 2011-11-2 三、解答题12.已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且a ：b ：c ＝5：12：13，试求最小角的三角函数值。

三角函数的定义说课稿

感谢指导
一
2
教学背景
在教材中的地位和作用
三角函数是描述周期运动的重要的数学模型，有非常广泛的应
用。三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，三角函数的定义是在初中锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念
的推广”的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基
本的概念，是本章其他知识的出发点。可由他导出本章的具体内容：三角函数线、三角函数的符号、同角三角函数关系、诱
导公式、函数的图象和性质。同时为平面向量、解析几何等内
容的学习奠定基础。三角函数知识还是高中物理重要基础。
知识与技能目标
教学目标
过程与方法目标情感态度价值观目标
二
1
教学目标
教学目标
1．知识与技能目标：掌握任意角三角函数的定义；
2．过程与方法目标：经历从锐角三角函数定义过度到任意角
三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程. 丰富数形结合的经验. 3．情感态度与价值观目标：设置问题情境，让学生积极思考，主动探索，激发学生的求知欲望，变“要我学”为“我要学”；同时通过合作讨论培养学生的合作精神；在分析问题、解决问题的过程中，优化学生的思维品质。
五
3
教学过程
例题讲解，深化概念
5 例2.求的正弦,余弦和正切值. 3
五
4
教学过程
习题演练，巩固新知

1.利用三角函数定义求 76 的三个三角函数值。

2.已知角的终边过点P(-12,5),求角的三角函数值。
五
5
教学过程
归纳小结，提高认识
1.单位圆：以原点为圆心，以单位长为半径的圆；
数学(必修4)

高中数学第六章《三角函数》数学竞赛讲义苏教版

第六章三角函数一、基础知识定义1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。

若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。

角的大小是任意的。

定义2 角度制,把一周角360等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。

360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L ,则其弧度数的绝对值|α|=rL,其中r 是圆的半径。

定义3 三角函数,在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与x 轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ,设它的坐标为（x ,y ）,到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ,余切函数cot α=y x ,正割函数se c α=xr,余割函数c s c α=.yr定理1 同角三角函数的基本关系式,倒数关系:tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1,co s α=αsec 1；商数关系:tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系:tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系:s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变,符号看象限）。

三角函数

山东省实验中学高一数学必修四知识预习材料第一章三角函数编辑：高一数学组整理：王虎目录第一节角的概念的推广第二节角度制和弧度制第三节单位圆和三角函数线第四节任意角的三角函数定义第五节同角三角函数的基本关系式第六节正弦、余弦的诱导公式第七节正弦函数、余弦函数的图象和性质第八节函数y=Asin(ωx+φ) 的图象第九节正切函数的图象和性质第十节已知三角函数值求角第11节两角和与差的正弦、余弦和正切第12节二倍角的正弦、余弦和正切第13节半角的正弦、余弦和正切第14节降幂、升幂和合一公式第15节积化和差、和差化积公式第一节角的概念的推广一、角的概念推广：终边相同的角象限角第一象限第二象限第三象限第四象限轴线角x轴y轴坐标轴在y=x上在y=-x上对称角关于x轴关于y轴关于原点关于y=x关于y=-x互相垂直区域角阴影部分对称不对称思考：锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？0°～90°的角是锐角吗？例1 请用集合表示下列各角．①～间的角②第一象限角 ③锐角 ④小于角．例2用集合表示：（1）各象限的角组成的集合．（2）终边落在轴右侧的角的集合．例3、如图，终边落在OA 位置时的角的集合是；终边落在 OB 位置，且在]360,360[内的角的集合是；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是．例4将下列各角表示为α＋ｋ·360°（ｋ∈Ζ，0°≤α＜360°）的形式，并判断角在第几象限，找出在]720,360[内的角。

（1）；（2）；（3）．练习：1、与120°角终边相同的角是（） A.-600°+k ·360°,k ∈Z B.-120°+k ·360°,k ∈Z C.120°+(2k +1)·180°,k ∈Z D.660°+k ·360°,k ∈Z2、下列命题中正确的是（）A.终边在y 轴非负半轴上的角是直角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β=α+k ·360°(k ∈Z ),则α与β终边相同 3、角α=45°+k ·180°,k ∈Z 的终边落在（）A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限 4、已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是A.(1)、(2)B.(2)、(3)C.(1)、(3)D.(2)、(4) 5、在[360°,1620°]中与21°16′终边相同的角有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6、已知是锐角，那么 2是（）.A 第一象限 .B 第二象限.C 小于 180的正角.D 不大于直角的正角 7、已知是钝角，那么2/ 是（）.A 第一象限 B .第二象限.C 第一与第二象限.D 不小于直角的正角 8、一角为 30度，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为9、设},45360|{Z k k A ,},225360|{Z k k B,},45180|{Z k k C ,},135360|{Z k k D ,},22536045360|{Z k k k E 或，则相等的角集合为_ _．10、设E={小于90度的角}，F={锐角}，G={第一象限的角}， M {小于90度但不小于0度的角} ，那么有（）A ．B ．C ．（） D ．11、分别写出：①终边落在轴负半轴上的角的集合； ②终边落在轴上的角的集合；③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；④终边落在四象限角平分线上的角的集合．12、在与530度终边相同的角中，求满足下列条件的角（1）最大的负角（2）最小的正角（3）)360,720(时钟问题专题：方法：1分钟的时间内，时针旋转了5.0，分针转了6，看看两个角相差多少。

两角和的正弦与余弦的直接求法

作者：宋小妹
作者机构：北京市明光中学,100088
出版物刊名：中学数学教学
页码： 43-43页
主题词：余弦公式两角和正弦求法三角恒等变换数学课程标准《课程标准》三角函数
摘要：《普通高中数学课程标准（实验）》将高中数学课程分为必修与选修．必修课程由5个模块组成，其中数学4的内容为：基本初等函数Ⅱ（三角函数）、平面向量、三角恒等变换．《课程标准》将三角恒等变换从三角函数中抽取出来，独立成章，有利于突出“三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型，……学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用．在“三角恒等变换”的内容与要求方面，《课程标准》提出：（1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．（2）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．（3）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）．根据《课程标准》编写的教材与教材采用了不同的编写方式，仅采用向量法推导两角差的余弦公式，在用向量法推导前，给出了两角差的余弦公式的一个直观推导．利用向量法推导余弦公式简洁明快，利用文给出的直观推导，如何寻找两角差的余弦与两角的正、余弦之间关系的思路跃然纸上，有利于培养学生的数学思维．从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦公式简单快捷，但是否一定要先计算两角差的余弦？怎样直接计算两角和的正弦与余弦是数学教师们一个十分关注的问题，本文提供两角和的正弦与余弦的一种直接求法，供老师们在设计两角和、差的正弦与余弦公式教学方案时参考．。

2021-2022年高考数学第四章三角函数与解三角形专题15三角函数的性质与应用考场高招大全

2021年高考数学第四章三角函数与解三角形专题15三角函数的性质与应用考场高招大全考点32 三角函数的奇偶性、对称性、周期性考场高招1 两法(整体求解法、代入验证法)解决三角函数的对称问题解读高招2.典例指引1(1)(xx四川资阳一诊)函数y=sin 2x-cos 2x的图象的一条对称轴方程为()A.x=B.x=-C.x=D.x=-(2)下列各点中,能作为函数y=tan的图象的一个对称中心坐标的是()A.(0,0)B.C.(π,0)D.(3)(xx河北石家庄一检)若函数f(x)=sin (2x+θ)+cos (2x+θ)(0<θ<π)的图象关于对称,则函数f(x)在上的最小值是()A.-1B.-C.-D.-方法二:因为对称中心的横坐标使原函数无意义或函数值为0,所以当x=0时,y=tan≠0,(0,0)不是对称中心;当x=时,y=tan≠0,不是对称中心;当x=π时,y=tan≠0,(π,0)不是对称中心,当x=时,y=tan,无意义,是对称中心,故选D.(3)因为f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin,则由题意知f=2sin=0,又0<θ<π,所以θ=,则f(x)=-2sin2x,且在上是减函数,所以函数f(x)在的最小值为f=-2sin=-,故选B.【答案】 (1)B(2)D(3)B3.亲临考场1.(xx课标Ⅲ,理6)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在单调递减【答案】D由f(x)=cos的解析式知-2π是它的一个周期,故A正确;将x=代入f(x)=cos,得f=-1,故y=f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确;f(x+π)=cos,当x=时,f(x+π)=cos=0,故C正确;当x∈时,x+,显然f(x)先单调递减再单调递增,故D错误.2.(xx课标Ⅱ,理7)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为()A.x=(k∈Z)B.x=(k∈Z)C.x=(k∈Z)D.x=(k∈Z)考场高招2 由三角函数的奇偶性、周期性、对称性求参数的解题规律 1.解读高招步骤解读第一步:三角化简利用三角公式将函数的解析式写成A sin(ωx+φ)+b 或A cos(ωx+φ)+b 或A tan(ωx+φ)+b 的形式第二步:借助性质抓住题设需要满足的条件,充分利用三角函数性质,借助公式、区间范围关系等将参数表示出来第三步:求解参数得到含有参数的等式或不等式求解2.典例指引2(1)如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为( ) A.B.C.D.(2)将函数y=sin(2x+φ)(φ>0)的图象沿x 轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的最小值为( ) A.B.C.D.【解析】 (1)∵y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称, 即3cos =0,∴+φ=+k π,k ∈Z ,∴φ=-+k π, ∴当k=2时,|φ|有最小值.(2)将函数y=sin(2x+φ)(φ>0)的图象沿x 轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数y=sin =sin 的图象,则由+φ=k π+(k ∈Z ),得φ=k π+(k ∈Z ),所以φ的最小值为,故选C . 【答案】 (1)A (2)C 3.亲临考场1.已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，232．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m m ∈R 且m >π6，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的最大值是________．【答案】5π18 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，∴要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，需要π≤3m ＋π3≤7π6，解得2π9≤m ≤5π18，即m 的最大值是5π18. 考点33 三角函数的单调性与最值考场高招3 求解三角函数单调性的方法 1.解读高招方法解读适合题型典例指引整体代入法将ωx+φ(ω>0)看作一个整体,代入三角函数的单调区间解x 的取值范围,即为所求y=sin(ωx+φ)(ω>0) y=cos(ωx+φ)(ω>0)y=tan(ωx+φ)(ω>0)典例导引3(1)同增异减法对于复合函数单调区间的确定,应明确:对复合过程中的每一个函数而言,同增或同减则为增,一增一减则为减,即同增异减y=f (-ωx+φ)(ω>0)典例导引 3(2)图象法若函数的图象能够容易画出来,可利用图象的直观性迅速求解.同时注意函数的周期性带有绝对值的三角函数典例导引 3(3)2.典例指引3(1)(xx 四川自贡一诊)将函数y=2sin 的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为f (x ),则函数f (x )的单调递增区间为( )A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)(2)函数y=sin的单调递减区间为;(3)函数y=|tan x|在内的单调递减区间为单调递增区间为(k∈Z),故选A.(2)(同增异减法)y=-sin,它的减区间是y=sin的增区间.令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故其单调减区间为,k∈Z.(3)(图象法)如图,观察图象可知,y=|tan x|在内的单调递减区间为.【答案】(1)A(2)(k∈Z)(3)3.亲临考场1.(xx广东惠州二调)已知函数f(x)=sin (ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的最小正周期是π,将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点P(0,1),则函数f(x)=sin (ωx+φ)()A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增2.(xx湖北荆州一检)已知函数f(x)=sin x cos x-cos2x-.(1)求函数f(x)图象的对称中心;(2)求f(x)在[0,π]上的单调区间.考场高招4 灵活应用三法(图象法、换元法、几何法)搞定三角函数最值1.解读高招方法解读适合题型典例指引2.典例指引4(1)已知函数f(x)=cos x sin 2x,则函数f(x)的最大值为.(2)函数y=的最大值为.(3)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x,求f(x)在区间上的最大值和最小值.(2)【解析】解析式表示过A(cos x,sin x),B(3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k,则直线方程为y-4=k(x-3),即kx-y-3k+4=0,=1,∴k=,∴k max=.【答案】(1)(2)(3)【解】因为f(x)=sin2x+cos2x+2sin x cos x+cos2x=1+sin2x+cos2x=sin+1,当x∈时,.由正弦函数y=sin x在上的图象知,当2x+,即x=时,f(x)取最大值+1;当2x+,即x=时,f(x)取最小值0.综上,f(x)在上的最大值为+1,最小值为0.3.亲临考场1.(xx安徽,理10)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A.f(2)<f(-2)<f(0)B.f(0)<f(2)<f(-2)C.f(-2)<f(0)<f(2)D.f(2)<f(0)<f(-2)【答案】A由周期T==π,得ω=2.当x=时,f(x)取得最小值,所以+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,所以f(x)=A sin.所以f(0)=A sin>0,f(2)=A sin A sin4+cos4<0,f(-2)=A sin=-A sin4+cos4.因为f(2)-f(-2)=A sin4<0,所以f(2)<f(-2).又f(-2)-f(0)=-A sin=-A,因为π<4-<π+π,所以sin>sin=-,即sin>0,所以f(-2)<f(0).综上,f(2)<f(-2)<f(0),故选A.2.(xx课标Ⅱ,理14)函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是.考点34与三角函数相关的综合问题考场高招5 求解三角函数单调性的方法1.解读高招思想解读典例指引转化化归思想求三角函数的值域(最值)、单调性、周期性等,常常要通过三角恒等变换先将三角函数的解析式化简为y=A sin(ωx+φ)+b或y=A cos(ωx+φ)+b的形式,再根据函数y=sin x或y=cos x的性质进行求解典例导引5(1)整体讨论三角函数y=A sin(ωx+φ)+b(ω>0)的性质时,首先要将思想“ωx+φ”视为一个整体,然后结合基本初等函数y=sin x的图象与性质,去研究该函数的性质数形结合思想研究与三角函数相关零点问题、函数图象的交点问题、方程根问题时,往往需要先画出三角函数的部分图象,再进行探索分析典例导引5(2)温馨提醒在求解过程中必须注意未知数x的取值范围2.典例指引5(1)(改编自xx山西五校二联)已知函数f(x)=2sin x cos x-cos 2x(x∈R),记函数f(x)在上的最大值为b,且函数f(x)在[aπ,bπ](a<b)上单调递增,求实数a的最小值.∴[aπ,2π]⊆,∴-+2π≤aπ<2π,∴a min=.(2)已知函数f(x)=2sin2cos 2x.若关于x的方程f(x)- m=2在x∈上有两个不同的解,求实数m的取值范围.3.亲临考场1.(xx课标Ⅰ,理12)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5【答案】B由题意得解得φ=π+,ω=2(k2-k1)+1,k1,k2∈Z.∵|φ|≤,∴φ=或φ=-.∵f(x)在上单调,∴,T≥,即,ω≤12.∵ω>0,∴0<ω≤12.若φ=,则k1+k2=0,ω=4k2+1,ω=1,5,9.若ω=9,则f(x)=sin上单调递减,符合题意.若φ=-,则k1+k2=-1,ω=4k2+3,ω=3,7,11.若ω=11,则f(x)=sin上递增,在上递减,不符合题意.综上,ω的最大值为9.2.(xx山东,理16)设函数f(x)=sin+sin,其中0<ω<3.已知f=0.(1)求ω.(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.。

第4章三角函数复习课件高一上学期高教版(2021)中职数学基础模块上册

判断对错: （1）锐角是第一象限角．（2）第一象限角是锐角．（3）锐角是小于90°的角．（4）第四象限角是负角．
（√ ）
（× ）（√ ）（ ×）
课堂检测
课堂检测
课堂检测
完成下列表格中的角度与弧已知 sinα= 4，且α为第二象限角，求 cosα 和 tanα的值。
“十四五”规划新教材——中职专用
数学
基础模块(上册)
第4章三角函数复习
学习目标
1.理解并掌握三角函数的概念以及定义域； 2.理解单位圆的概念，并能够掌握利用单位圆求三角函数的值; 3.牢记各三角函数在各个象限的正负性； 4.熟练掌握特殊角的三角函数值。
知识结构
自主学习
精讲精练
知识点一角的概念推广任意角的定义：
精讲精练
知识点二终边相同的角
精讲精练
知识点二终边相同的角
知识点三弧度制
精讲精练
精讲精练
知识点四任意角的三角函数
精讲精练
知识点五三角函数值的符号
精讲精练
知识点六正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域
精讲精练
知识点七特殊角的三角函数值
精讲精练
知识点八同角三角函数的基本关系
课堂检测
5
解：因为α为第二象限角，
所以 cosα＜0，
由 sinα=
4得
5
Cosα=− 1 − sin²α=-35，tanα=
=-4.
3
/作业布置/
再见

必修4三角函数知识点归纳总结

《三角函数》【知识网络】一、任意角的概念与弧度制一、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角二、同终边的角可表示为{}()360k k Z ααβ︒=+∈x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈第二象限角：{}()90360180360k k k Z αα︒︒+<<+∈ 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα︒︒+<<+∈ 第四象限角：{}()270360360360k k k Z αα︒︒+<<+∈4、区分第一象限角、锐角和小于90的角第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈锐角：{}090αα<< 小于90的角：{}90αα<5、若α为第二象限角，那么2α为第几象限角？ππαππk k 222+≤≤+ππαππk k +≤≤+224,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k因此2α在第一、三象限6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad .7、角度与弧度的转化：01745.01801≈=︒π 815730.571801'︒=︒≈︒=π九、弧长与面积计算公式弧长：l R α=⨯；面积：21122S l R R α=⨯=⨯，注意：那个地址的α均为弧度制.二、任意角的三角函数一、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan yxα=其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r =.二、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全st c ”）πππ235π3πsin α tan α cos α 第一象限：0,0.>>y x sin α>0,cos α>0,tan α>0, 第二象限：0,0.><y x sin α>0,cos α<0,tan α<0, 第三象限：0,0.<<y x sin α<0,cos α<0,tan α>0, 第四象限：0,0.<>y x sin α<0,cos α>0,tan α<0,4、三角函数线设任意角α的极点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交于点T.由四个图看出：当角α的终边不在座标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====， cos 1x xx OM r α====， tan y MP ATAT x OM OAα====．咱们就别离称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

三角函数特殊角值表之欧阳光明创编

只想上传这一个表下面的都是无用的话不用看了。

1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据
图形重新推出：
sin30°=cos60°=21
sin45°=cos45°=22
说明：正弦值随角度变化，即0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚变化；值从0
变化，其余类似记忆．
3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：
① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当
0°＜α＜90°时，
则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。

②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征正弦、余弦值可表示为
2
m
形式，正切、余切值可表示为
3
m 形式，
有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．。

高中数学必修四教案-任意角的三角函数第二课时

第一章第二节任意角的三角函数第二课时作者：苏飞文，南安侨光中学教师，本教学设计获福建省教学设计大赛二等奖整体设计教学内容分析本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好地理解任意角的三角函数的定义．在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用．《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用．学生学习情况分析我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣．我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍有太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味．所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索．如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义．第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象(周期振荡现象)，解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函数内容处理上的一个突出特点．根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号．设计理念本节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图象，让学生感受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣．并通过问题的探究，体验“数学是过程的思想”，改变课程实施过程中的强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生收集和处理信息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交流合作的能力．教学目标1．借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义，也能在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好地理解任意角的三角函数的定义．2．从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号．3．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．教学重点与难点1．教学重点：任意角三角函数的定义．2．教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域．教学过程第一部分——情景引入问题1：如图1是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？图1设计意图高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解．这个数学模型很好地融合了初中对三角函数的定义，也能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，揭示函数的本质．第二部分——复习回顾锐角三角函数让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？”分析：作图如图2很容易知道：从起始位置OA运动30秒后到达P点位置，由题意知∠AOP＝30°，作PH 垂直地面交OA 于M ，又知MH ＝h 0，所以本问题转变成求PH 再次转变为求PM .图2要求PM 就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数．问题2：锐角α的正弦函数如何定义？学生自主探究：学生很容易得到图3sin α＝|MP ||OP |＝|MP |R⇒|MP |＝R sin α⇒|PH |＝h 0＋R sin α⇒h ＝h 0＋R sin α，所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒，你离地面的高度h 为多少”．h 1＝h 0＋R sin30°；h 2＝h 0＋R sin45°.教师总结：t °在锐角的范围中，h ＝h 0＋R sin t °.第三部分——引入新课问题3：请问t 的范围为多少？随着时间的推移，你离地面的高度h 为多少？能不能猜想h ＝h 0＋R sin t °？分析：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦．今天我们就要来学习任意角的三角函数．问题4：如图4建立直角坐标系，设点P (x P ，y P )，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗？能否也定义其他函数(余弦、正切)?图4学生自主探究：sin α＝|MP ||OP |＝y P R， cos α＝|OM ||OP |＝x P R ，tan α＝|MP ||OM |＝y P x P. 问题5：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？分析：先由学生回答问题，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质证明．设计意图让学生深刻理解体会三角函数值不会随着终边上的点的位置的改变而改变，只与角有关系．通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义一样．问题6：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的定义呢？学生自主探究：学生通过上面已知知识得到sin α＝|MP ||OP |＝y P R，学生定义好第二象限角后，让学生自己算出摩天轮座舱在第150秒时，离地面的高度h?通过摩天轮知道：h ＝h 0＋R sin150°＝h 1＝h 0＋R sin30°，由此得到：sin150°＝12. 设计意图通过这个，让学生检验当α为第二象限角时sin α＝|MP ||OP |＝y P R是否正确．问题7：当α为第三象限或第四象限角时，sin α＝|MP ||OP |能成立吗？设计意图让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让学生自己发现正、负符号的偏差．(可以让学生取t ＝210，从而h ＝h 0＋R sin210°，得到sin210°＝－12，发现这与sin α＝|MP ||OP |不相符，实际上是sin α＝－|MP ||OP |.) 教师总结：我们通过这个模型知道如何在某些范围内计算自己此时离地面的高度，用数学模型h ＝h 0＋R sin t °来表示，当摩天轮转动时，角度的概念也不知不觉地推广到了任意角，对于任意角的正弦不能只是依赖于角所在的直角三角形中的对边的长度比斜边长度了，我们更应该用点P 的横坐标来代替|MP |或－|MP |，那么这样就能够很好地表示出任意角的正弦函数的定义．第四部分——给出任意角的三角函数的定义如图5，已知点P (x ，y )为角α终边上的点，点P 到顶点O 的距离为R ，则图5sin α＝y R (α∈R )cos α＝x R (α∈R ) tan α＝y x (α≠π2＋k π) 分析：让学生通过刚才的模型进一步体验任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离．问题8：当摩天轮的半径R ＝1时，三角函数的定义会发生怎样的变化？学生自主探究：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x .教师引导学生进行对比，学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化．教师进一步给出单位圆的定义．给出下列表格，让学生自己补充完整.及时归纳总结有利学生对所学知识的巩固和掌握．第五部分——例题讲解例1已知角α的终边经过点P 0(－3，－4)，求角α的正弦、余弦和正切值．分析：让学生现学现卖，用上面的定义二就可以得到答案．例2求5π3的正弦、余弦和正切值．学生自主探究：让学生自己思考并独立完成．然后与课本的解答对比一下，发现本题的难点．教师讲解：本题题意很简单，但是如何入手却是难点，关键是对本节课的三角函数定义的要点有没有领会清楚(任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离)，因此本题的重点之处是如何利用单位圆找到这个点P ，如图6可以知道∠POM ＝π3，又点P 在第四象限，得到P (12，－32)，这样就可以很容易得到本题的答案．图6不妨让学生取R ＝|OP |＝4，能否也得到点P 的坐标，得到的三角函数值是否与单位圆的一样？这样可以让学生更深刻地体验三角函数的定义．例3求证：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角．⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ<0，tan θ>0.①② 活动：教师引导学生讨论验证在不同的象限内各个三角函数值的符号有什么样的关系，提示学生从三角函数的定义出发来探究其内在的关系．可以知道：三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x ，y 的符号，当点P 在第一、二象限时，纵坐标y >0，点P 在第三、四象限时，纵坐标y <0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．第六部分——巩固练习练习1.例2变式：求7π6的正弦、余弦和正切值．练习2.问题9：通过观察摩天轮的旋转，三角函数的角的终边所在象限不同，请说说三角函数在各个象限内的三角函数值的符号．独立完成课本本节的“探究”．设计意图练习1、练习2的设计与例2、例3衔接，主要目的是帮助学生巩固三角函数的本质特征，引导学生从定义出发利用坐标平面内的点的坐标特征自主探究三角函数的有关问题的思想方法．并在特殊情形中体会数形结合的思想方法．第七部分——小结与作业学生自我总结作业：课本本节练习1,2,3教学反思1．教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上．背景创设是学生熟悉的摩天轮，认知过程符合学生的认知特点和学生的身心发展规律——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利于学生的思考．2．情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好地引入在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质．3．通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展．这和课程标准的理念是一致的．4．《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一，在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间，促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识，提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，使其上升为一种数学意识，自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式作出思考和判断．在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略，使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界，是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器，同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力．增进了他们对数学的理解和应用数学的信心．。