2000钢管

队号：10603本科B题最优钢管订购和运输计划的制定摘要本文首先确定各钢厂到各结点的最低运费路线及相应的最低运价，结合各钢厂的销售价格，就可得到各钢厂到各中转站的单位购运成本（销价+最低单位运价）。

然后以总费用最小为目标，建立规划模型，确定管道铺设工程从哪些厂家订购、订购多少、运往哪些中转站，以及铺设管道线路每条边的钢管从其两个端点运抵的数量（即钢管长度）的分配方案。

我们的结论是：问题一的最小费用为1278632万元；钢厂S的钢管销价的变化对购运计划和总费用的影响最大，钢厂6的钢管产量上限的变化对购运计划和总费用的影响最大；问题三最小费用为S11406749万元。

最优钢管订购和运输计划的制定*蒋崇辉 汪新生 李雪云教练：马永开一、问题的重述要铺设一条1521A A A →→→ 的运送天然气的主管道，如图一所示。

经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有721,,S S S 。

图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道（假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路），圆圈表示火车站，每段铁路、公km ）。

为方便计，1km 主管道钢管称为1单位钢管。

一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。

钢厂i S 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为i s 个单位，钢管出厂销价1单位钢管为i p 万元，如下表：1单位钢管的铁路运价如下表：1000km 以上每增加1至100km 运价增加5万元。

公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。

钢管可由铁路，公路运往铺设地点（不足是运到点1521,,,A A A ，而是管道全线）。

（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用）。

（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最 大,哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。

（3） 如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树行图，铁路、公路和管道构成网络, 请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。

*本文获2000年全国大学生数学建摸竞赛全国一等奖二、模型的假设1．假设钢管在运输和施工过程中没有损失，即钢管的总需求量不会变化。

2．假设钢管是无差异的，即只有价格和运输费用能影响购运方案。

3．假设钢管是无限可分的。

4．假设铁路货运对每次货运量没有下限要求。

三、符号约定jS表示钢厂)7,,2,1( =j ；tV )17,,2,1( =t 在图一和图二中表示火车站；i A )15,,2,1( =i 是管道铺设线路上的结点，由于钢管要通过这些结点才能进入铺设地点，所以我们将这些点称为中转站；ij c 表示单位钢管从钢厂j S 运抵中转站i A 的最低费用（即最低单位运输费用和价格之和）； ij z 表示订购计划中从钢厂jS运往中转站i A 的钢管数量；iF 表示发生在中转站i A 处钢管的运购成本（它等于从各个钢厂运往i A 处钢管的购买费用、运抵i A 的运输费用和从i A 运往铺设地点的调运费之和）；jp表示钢厂j S 销售钢管的单价；j s 是钢厂jS的产量上限。

四、问题分析由于运抵铺设地点的钢管必须经过管道线路上的结点（中转站）n A A A ,,,21 ，我们将整个管道工程的订购和运输计划的总费用分为两个部分：一是钢管从各钢厂m S S S ,,,21 运抵各中转站n A A A ,,,21 的费用（包括购买费用和运输费用），二是从各中转站n A A A ,,,21 运往铺设地点的调运费用。

第一部分费用由从各钢厂到各中转站的订购和运输计划决定，它要考虑从哪些厂家订购、订购多少、运往哪些中转站，以及运输路线；第二部分费用由铺设管道线路每条边的钢管从其两个端点运抵的数量（即钢管长度）的分配方案决定。

为了使总费用最小，首先应该制定各厂家到各中转站的运输计划，即各钢厂到各中转站的最低运费路线和最小运价，结合各钢厂的销售价格，就可得到各钢厂到各中转站的单位订购成本（价格和最低运价之和），然后，建立规划模型确定订购计划和个中转站的调运计划。

五、问题一的求解（一）模型的提出从图中看出,钢管在运抵铺设地点之前是先到达中转站的，这一过程中发生的费用称为运输费用，单位运输费用与销价之和称为单位运购成本。

在这一过程中,同一批运输的每单位钢管的成本都相等,而单位运购成本取决于路线，所以,我们要寻找最优路线即最低单位运购成本路线，使得同批运输一定量钢管的成本最低。

我们通过QSB软件寻找最低运费路线如表一所示。

注：在寻找Sj到各中转站的最低运费路线时,我们先计算从钢厂Sj到每个火车站Vt的单位运费，并将每段公路上的里程转化为运费，即将图一改造为运价图，然后使用QSB软件，就可得到上表的结果。

借助表一和各厂家的销售价格，可求得厂家S到中转站i A发生的单位运购成本ij cj（i=2,3,5,6,…,15；j=1,2, …,7），具体结果见表二。

钢管到达中转站Ai 后还需往铺设现场调运，不同的调运方案会影响各中转站对钢管的需求量，进而影响总费用。

这一过程中发生的费用称为调运费。

所有钢管的运购成本与调运费之和就是总费用。

钢管到达中转站Ai 后还需往铺设地点调运，不同的调运方案会影响各中转站对钢管的需求量，进而影响总费用。

这一过程中行走的都是公路，由于公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元，不足整公里部分按整公里计算，因此我们从中转站开始每走一公里卸下1千米的钢管。

可以明显看出，在Ai 处往两端同时调拨比只往一端调拨更节省费用。

假设往左端调运的最长距离为i x , 往右端调运的最长距离为i y ，则往左端调运的费用为2/)(1.02i i x x +⨯，往右端调运的费用为2/)(1.02i i y y +⨯。

设i A 处钢管的成本与调运费之和为i F ,下表列出i F 的计算公式：从而问题一的总费用为∑∑==+15532i ii i FF ，我们的目标是要使它的值最小。

考虑到：运经2A 的钢管总量应满足∑=+=7122104j j x z运经i A 的钢管总量应满足)14,13,,6,5,3(71 =+=∑=i y x z j i i ij运经15A 的钢管总量应满足∑==711515j j x z从而得出以下确定最优订购计划的规划模型：（模型一）∑∑==+15532mini ii iFF⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====≥≥≥===+=+==+=+==⨯≤+≤--=====∑∑∑∑∑)14,,6,5,3,215,7,6,5,37,,3,2,115,,7,6,5,3,2(0,0,0,10)15,14,,7,6,3(1356)14,13,,6,5,4,3(104)7,,3,2,1(500.115371151571712215532 n m j i y x z or b p D y x x y x z i y x z x z j b s z z b t s n m ij j p p p pj j j i i ij j j j j i ij i ij j其中，1-p p D 表示图一中边1-p p A A 的长度（路程）)15,14,,7,6,5,3,2( =i 。

模型没有考虑把1A 和4A 作为中转站，从网络图中可看出，运往1A 的钢管必须经过2A ，所以，只要将2A 作为中转站即可；此外，因为我们在寻求最优路线时发现所有向4A 供钢的路线都经过了5A ，所以把钢管运到5A 或3A 后再往4A 方向铺设的费用比直接运往4A 的费用更低；因而，我们不把1A 和4A 作为中转站。

（二）模型的求解模型一是含有0-1变量的二次规划模型，所以它属于混合规划问题。

对于这种规划问题我们不能直接求出最优解，从模型中知，产生0-1变量的原因是各钢厂的产量约束（产量不但要满足最大生产能力的限制，还要受“要么不生产，要生产就至少生产500个单位”的约束），因此我们从这些约束条件入手（也就是放松这些约束条件），采用下面的方法求模型一的最优解。

首先将模型一中的约束条件jj i iji ijj sb zzb ≤+≤∑∑==15532500改为ji iji ij szz ≤+∑∑==15532，其它约束条件都不变，将模型一化为二次规划模型(A)，如果模型(A)的最优解满足模型一的约束条件，则模型(A)的最优解也是模型一的最优解。

我们使用LINGO 求出了模型(A)的最优解，经检验，发现模型(A)的最优解中除钢厂7S 销量不符合模型一的产量约束外，其余均符合。

于是针对钢厂7S 销量的约束条件，我们采用以下两种方案对模型(A)作进一步改造。

方案一：首先考虑7S 销量为0，即将模型(A)的7S 产量约束条件改为01557327=+∑∑==i i i i zz ，使用LINGO 求解此二次规划问题的。

方案二：其次考虑只控制7S 的下限，即模型(A)的约束条件变为：5001557327≥+∑∑==i i i i zz ，使之变为二次规划问题，这样我们就可使用LINGO 直接求出此二次规划问题的最优解。

如果方案一和方案二的解都满足模型一的约束条件，那么，这两个解中必有一个是模型一的最优解，经检验，这两个解均满足模型一的约束条件，比较这两个解的目标函数值，得到模型一的最优解见附录一。

根据模型一的最优解得到问题一的最优订购和运输方案如下： （一）从各钢厂到中转站的订购和运输计划：从1S 购买800单位，分别运往5A 334.5单位，6A 200单位，7A 265.5单位；从2S 购买800单位，分别运往2A 179单位，5A 321单位，8A 300单位； 从3S 购买1000单位，分别运往5A 336单位，9A 664单位；从5S 购买1015单位，分别运往3A 508单位，5A 92单位，11A 415单位； 从6S 购买1556单位，分别运往10A 351单位，12A 86单位，13A 333单位， 14A 621单位，15A 165单位；注：从各钢厂到各中转站的运输路线见表一。

（二）从各中转站到铺设地点调运计划：从2A 向1A 方向调运104单位，向3A 方向调运75单位；从3A 向2A 方向调运226单位，向5A 方向调运282单位； 从5A 向3A 方向调运1074单位，向6A 方向调运9.5单位； 从6A 向5A 方向调运184.5单位，向7A 方向调运15.5单位； 从7A 向6A 方向调运189.5单位，向8A 方向调运76单位； 从8A 向7A 方向调运125单位，向9A 方向调运175单位； 从9A 向8A 方向调运505单位，向10A 方向调运159单位； 从10A 向9A 方向调运321单位，向11A 方向调运30单位； 从11A 向10A 方向调运270单位，向12A 方向调运145单位； 从12A 向11A 方向调运75单位，向13A 方向调运11单位； 从13A 向12A 方向调运199单位，向14A 方向调运134单位； 从14A 向13A 方向调运286单位，向15A 方向调运335单位； 从15A 向14A 方向调运165单位；此最优订购和运输方案的总费用为1278632万元。