北京市高一下学期数学3月线上月考试卷A卷
北京市高一下学期数学3月网上测试试卷
北京市高一下学期数学3月网上测试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高三上·枣庄期末) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，b=2 ，C=30°，则角B等于（）A . 30°B . 60°C . 30°或60°D . 60°或120°2. （2分）设向量，，若满足，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高一下·宜昌期中) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=2，b= ，B=120°，则a等于（）A .B . 1C .D . 34. （2分） (2018高一下·北京期中) 设，向量，，若，则等于（）A .B .C . -4D . 45. （2分） (2019高一下·慈利期中) 在△ABC中，已知，∠B=30°，，则等于（）A .B .C .D .6. （2分）在中，，则B=（）A .B .C .D .7. （2分）已知O为内一点，若对任意，恒有,则一定是（）A . 直角三角形B . 钝角三角形C . 锐角三角形D . 不能确定8. （2分）设M是△ABC所在平面内的一点，若+=2， ||=2，则•=（）A . -1B . 1C . -2D . 29. （2分）(2020·淮南模拟) 在中，，，点为的外心，则的值为（）A . 26B . 13C .D . 1010. （2分）(2018·孝义模拟) 在四面体中，，，底面，的面积是，若该四面体的顶点均在球的表面上，则球的表面积是（）A .B .C .D .11. （2分）已知向量=(2,1)=(-1,3)，若存在向量，使得=4,=-9，则向量为（）A . （﹣3，2）B . （4，3）C . （3，﹣2）D . （2，﹣5）12. （2分） (2017高一下·湖北期中) 已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，且3a2+3b2﹣c2=4ab，则△ABC（）A . 可能为锐角三角形B . 一定不是锐角三角形C . 一定为钝角三角形D . 不可能为钝角三角形二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分） (2017高一下·肇庆期末) △ABC面积为，且a=3，c=5，则sinB=________．14. （1分） (2019高三上·上海月考) 向量在向量方向上的投影为________.15. （1分） (2020高三上·静安期末) 若直线的一个法向量为，则若直线的斜率________.16. （1分） (2016高二上·襄阳开学考) 已知三角形两边长分别为2和2 ，第三边上的中线长为2，则三角形的外接圆半径为________．17. （1分） (2016高二上·郸城开学考) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c= ，b= ，B=120°，则a=________．18. （1分） (2019高一上·山西月考) 设，是关于的方程的两个实根，则的最小值是________．三、解答题 (共5题；共50分)19. （10分）已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若点A、B、C共线，求实数m的值；（2）若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，求实数m的值．20. （10分） (2016高三上·闽侯期中) △ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，向量 =（2sinB，2﹣cos2B）， =（2sin2（ + ），﹣1）且⊥ ．（1）求角B的大小；（2）若a= ，b=1，求c的值．21. （10分）已知=（2sin（x+），），=（cos（x+），2cos2（x+）），且0≤θ≤π，f（x）=•﹣，且f（x）为偶函数．（1）求θ；（2）求满足f（x）=1，x∈[﹣π，π]的x的集合．22. （10分） (2016高二上·郑州期中) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC（1）求角B的大小；（2）若b= ，a+c=4，求△ABC的面积S．23. （10分） (2018高一下·龙岩期末) 已知函数，（Ⅰ）求的对称轴方程；（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为，若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共5题；共50分) 19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、。
北京市宏志中学高一数学3月月考试题(含解析)新人教A版
2012-2013学年北京市宏志中学高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1．（4分）化简的结果是（）=|cos160°|=﹣cos160°3．（4分）若sin（3π+α）=﹣，则cos等于（），∴，∴=，5．（4分）（2009•山东模拟）函数y=cos（2x+）的图象的一条对称轴方程是（）﹣解：此函数的对称轴方程为．6．（4分）（2012•德阳二模）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x 向左平行移动向右平行移动向右平行移动个单位得到，根据平移后﹣个单位8．（4分）在下列四个函数中，在区间（0，）上为增函数，且以π为最小正周期的偶函，，9．（4分）函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的解析式为（）中函数10．（4分）（2007•江苏）函数f（x）=sinx﹣cosx（x∈[﹣π，0]）的单调递增区间是] ，﹣] ，﹣）∈﹣]∈﹣]﹣11．（4分）（2007•海南）若，则cosα+sinα的值为（）12．（4分）（2005•山东）已知函数，则下列判断正确的，其图象的一个对称中心是，其图象的一个对称中心是，其图象的一个对称中心是，其图象的一个对称中心是化简成一角一函数的形式，再确定最小正周期解：=时，，图象的一个对称中心是13．（4分）已知x，y为锐角，且满足cos x=，cos（x+y）=，则sin y的值是（）=cos x=，；sinx=14．（4分）.函数在区间的简图是（）．B．．D．范围的分）﹣y=时，函数值二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）15．（4分）函数y=sin 2x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f（x）= sinx ．的系数换成原来的倍，即得所求函数的解析式．x（4分）设0≤x≤2π，且|cosx﹣sinx|=sinx﹣cosx，则x的取值范围为．16．，，﹣故答案为：17．（4分）化简sin2α+sin2β﹣sin2αsin2β+cos2αcos2β= 1 ．18．（4分）函数与y轴距离最近的对称轴是x=．求出函数2x++2k2x+﹣+k+k求出函数19．（4分）函数y=cos2x﹣2sinx的值域是[﹣2，2] ．20．（4分）给出下列命题：①存在实数α，使sinα•cosα=1②函数是偶函数③是函数的一条对称轴方程④若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ其中正确命题的序号是②③．；对于③，把代入，∴sin的最大值为是函数，三、解答题：本大题共3小题，共20分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（8分）已知函数．（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；（2）指出f（x）的周期、振幅、初相、对称轴；（3）说明此函数图象可由y=sinx在[0，2π]上的图象经怎样的变换得到．）分别令，，=，然后根据正弦型函数的性质，即可求）令，，中，．初相为，x=①向左平移个单位，得到）的图象；y=y=个单位，得到22．（6分）（2007•重庆）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）若角α在第一象限且，求f（α）．≠k）的定义域为（Ⅱ）由已知条件得23．（6分）（2006•重庆）设函数（其中ω＞0，α∈R），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为．（I）求ω的值．（II）如果f（x）在区间上的最小值为，求α的值．上的最小值表达式，令，即可解出参数的值．=sin2x++=x++，]x+]≤sin（）≤1，﹣，+因此，由题设知﹣+==；。
北京市顺义区2023-2024学年高一下学期3月月考试题 数学含答案
顺义高一2023-2024学年第二学期3月月考数学试题（答案在最后）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.一、选择题（每小题4分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.cos12cos18sin12sin18︒︒-︒︒的值等于（）A.2B.12-C.12D.22.如图，在平行四边形ABCD 中，AC AB -=（）A.CBB.ADC.BDD.CD3.为了得到函数πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需把函数πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A.向左平移π4个单位长度B.向右平移π4个单位长度C.向左平移π2个单位长度D.向右平移π2个单位长度4.已知α，β都是锐角，3sin 5α=，()5cos 13αβ+=-，则sin β=（）A.5665-B.1665- C.3365 D.63655.已知,a b为非零向量，且a b a b +=+ ，则一定有（）A.a b =B.//a b，且,a b 方向相同C.a b=- D.//a b，且,a b 方向相反6.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O 交于点P ，PM x ⊥轴，垂足为M .若OMP 的面积为625，则sin2α=（）A.625B.1225C.1825D.24257.22cos sin 2sin cos y x x x x =-+的最小值是（）A.B. C.2D.2-8.函数()()sin 0,0πy A x A ωϕϕ=+><<在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为（）A.2π2sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.π2sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.7πsin 12y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.11π2sin 12y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9.如果函数()sin (0)f x x x ωωω=>的两个相邻零点间的距离为2，那么()()()()1239f f f f ++++L 的值为（）．A.1B.1- C.D.10.已知函数π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，如果存在实数12,x x ，使得对任意实数x ，都有12()()()f x f x f x ≤≤，那么21x x -的最小值为（）A.π3B.π2C.πD.2π二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.ππ2sincos 1212=______.12.已知角α的终边经过点()3,4-，则cos 2=α．13.13πtan 7⎛⎫-⎪⎝⎭与7πtan 8⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小关系是______（填：“,><或=”中的一个）.14.已知函数())1cos cos 2f x x x x =⋅-+，那么函数()f x 最小正周期为______；对称轴方程为______.15.已知()sin cos f x x x =⋅，x ∈R .有下列四个说法：①()f x 的一个正周期为2π；②()f x 在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单增；③()f x 值域为11,22⎡⎤-⎢⎣⎦；④()f x 图象关于πx =对称.其中，所有正确说法的序号是______.三、解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.已知函数()1π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间；（3）求方程()1f x =的解集．17.已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的对称中心；（3）作出()f x 在一个周期内的图象（将给定的表格中填全，并描点画图）26x π+x()f x18.已知函数π()4cos sin 16f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（1）求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎣⎦上的最大值和最小值.19.已知函数()()πsin ,0,0,2f x A x x A ωϕωϕ⎛⎫=+∈>><⎪⎝⎭R 部分图象如图所示．（1）求()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位长度得到函数()y g x =的图象，求曲线()y g x =的对称轴只有一条落在区间[]0,m 上，求m 的取值范围.20.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定.（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()π6g x f x f x a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，若()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为23+，求a 的值.条件①：()f x 的最小正周期为π；条件②：()f x 为奇函数；条件③：()f x 图象的一条对称轴为π4x =.21.对于函数()y f x =，1x D ∈，()y g x =，2x D ∈及实数m ，若存在11x D ∈，22x D ∈，使得12()()f x g x m +=，则称函数()f x 与()g x 具有“m 关联”性质.（1）分别判断下列两组函数是否具有“2关联”性质，直接写出结论；①()f x x =，[]1,1x ∈-；()g x x =-，[]1,1x ∈-；②()e x f x =，1x ≥；()e x g x =，1x ≤；（2）若()sin f x x =与()cos 2g x x =具有“m 关联”性质，求m 的取值范围；（3）已知0a >，()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足：①在[]0,2a 上，当且仅当2ax =时，()f x 取得最大值1；②对任意x ∈R ，有()()0f a x f a x ++-=.求证：1sin π()y x f x =+与2cos π()y x f x =-不具有“4关联”性质.顺义高一2023-2024学年第二学期3月月考数学试题本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.一、选择题（每小题4分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.cos12cos18sin12sin18︒︒-︒︒的值等于（）A.2B.12-C.12D.2【答案】D 【解析】【分析】根据余弦的和角公式即得.【详解】()cos12cos18sin12sin18cos 1218︒︒-︒︒=︒+︒cos302=︒=.故选；D ．2.如图，在平行四边形ABCD 中，AC AB -=（）A.CBB.ADC.BDD.CD【答案】B 【解析】【分析】根据向量运算得AC AB AD -=.【详解】由图知AC AB BC AD -==，故选：B.3.为了得到函数πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需把函数πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A.向左平移π4个单位长度B.向右平移π4个单位长度C.向左平移π2个单位长度D.向右平移π2个单位长度【答案】C 【解析】【分析】利用三角函数平移变换对解析式的影响求解即可.【详解】对于A ，πsin 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移π4个单位长度得ππsin sin 44y x x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，πsin 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭向右平移π4个单位长度得πππsin sin cos 442y x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移π2个单位长度得πππsin sin 424y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向右平移π2个单位长度得ππ3ππsin sin cos 4244y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 错误；故选：C.4.已知α，β都是锐角，3sin 5α=，()5cos 13αβ+=-，则sin β=（）A.5665-B.1665- C.3365 D.6365【答案】D 【解析】【分析】计算得到4cos 5α=，()12sin 13αβ+=，再根据()sin sin βαβα=+-展开得到答案.【详解】α，β都是锐角，3sin 5α=，()5cos 13αβ+=-，故4cos 5α=，()12sin 13αβ+=.()()()63sin sin sin cos cos sin 65βαβααβααβα=+-=+-+=.故选：D .【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.5.已知,a b为非零向量，且a b a b +=+ ，则一定有（）A.a b=B.//a b，且,a b 方向相同C.a b=-D.//a b ，且,a b方向相反【答案】B 【解析】【分析】将已知等式两边平方，可得a b a b ⋅=⋅ ，利用数量积的定义可得,0a b =，可知两向量同向.【详解】因为a b a b +=+，两边平方得222222a b a b a b a b ++⋅=++⋅ ，化简得a b a b ⋅=⋅ ，即cos ,a b a b a b ⋅=⋅ ，则cos ,1a b = ，,0a b =，即,a b方向相同，故只有B 正确，故选：B .6.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O 交于点P ，PM x ⊥轴，垂足为M .若OMP 的面积为625，则sin2α=（）A.625B.1225 C.1825D.2425【答案】D 【解析】【分析】由三角函数的定义结合三角形面积列出方程，再由倍角公式求出答案.【详解】由三角函数的定义可知：cos ,sin OM PM αα==，故511cos s 62in 22OM PM αα⋅==，故51sin 2462α=，解得：sin2α=2425.故选：D7.22cos sin 2sin cos y x x x x =-+的最小值是（）A.B. C.2D.2-【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角公式进行转化，再利用辅助角公式把函数变形为π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】因为22cos sin 2sin cos y x x x x=-+πcos 2sin 224x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故函数的最小值为，故选：B.8.函数()()sin 0,0πy A x A ωϕϕ=+><<在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为（）A.2π2sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.π2sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.7πsin 12y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.11π2sin 12y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据图象先确定A 的值及周期，进而得到2ω=±，分类讨论，结合函数图象过点π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭，求出ϕ的值即可.【详解】根据函数图象可得2A =,由周期5ππ2π1212T ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即2ππ,2ωω==±，当2ω=时，()2sin 2y x ϕ=+，又函数图象过点π,212⎛⎫-⎪⎝⎭，则ππ2sin 221212f ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以ππ2π,Z 62k k ϕ-+=+∈,即2π2π,Z 3k k ϕ=+∈，又因为0πϕ<<，故2π3ϕ=，则2π2sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；当2ω=-时，()2sin 2y x ϕ=-+，又函数图象过点π,212⎛⎫-⎪⎝⎭，则ππ2sin 221212f ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以ππ2π,Z 62k k ϕ+=+∈,即π2π,Z 3k k ϕ=+∈，又因为0πϕ<<，故π3ϕ=，则π2π2sin 22sin π233y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，综上知，2π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：A .9.如果函数()sin (0)f x x x ωωω=>的两个相邻零点间的距离为2，那么()()()()1239f f f f ++++L 的值为（）．A.1B.1- C.D.【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()f x ，由已知求出ω，再结合函数式计算作答.【详解】依题意，π()2sin(3f x x ω=+，函数()f x 的周期4T =，而0ω>，则2ππ2T ω==，ππ()2sin()23f x x =+，5π11π(1)(3)2sin 2sin 066f f +=+=，4π7π(2)(4)2sin 2sin 033f f +=+=，所以()()()()5π1239(1)2[(1)(2)(3)(4)](1)2sin16f f f f f f f f f f ++++=++++===L .故选：A10.已知函数π()cos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，如果存在实数12,x x ，使得对任意实数x ，都有12()()()f x f x f x ≤≤，那么21x x -的最小值为（）A.π3 B.π2 C.π D.2π【答案】B【解析】【分析】由题意分析可知()1f x 为()f x 的最小值，()2f x 为()f x 的最大值，故12x x -最小值为半个周期，由此得解.【详解】因为π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期2ππ2T ==，又由题意可知()1f x 为()f x 的最小值，()2f x 为()f x 的最大值，所以21x x -的最小值为π22T =.故选：B.二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.ππ2sin cos 1212=______.【答案】12##0.5【解析】【分析】利用正弦函数的倍角公式计算即可.【详解】ππππ12sincos sin 2sin 12121262⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故答案为：12.12.已知角α的终边经过点()3,4-，则cos 2=α．【答案】725-【解析】【详解】试题分析：由三角函数定义可得：4sin 5α=，由二倍角公式可得:2167cos 212sin 122525αα=-=-⨯=-考点：1．三角函数定义;2．二倍角公式13.13πtan 7⎛⎫- ⎪⎝⎭与7πtan 8⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小关系是______（填：“,><或=”中的一个）.【答案】>【解析】【分析】根据诱导公式化简后，利用正切函数的单调性即可比较大小.【详解】因为13π13ππtan tan 2πtan 777⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，7π7ππtan tan πtan 888⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又πππ0872<<<，所以ππtan tan 87<，故13π7πtan tan 78⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：>.14.已知函数())1cos cos 2f x x x x =⋅-+，那么函数()f x 最小正周期为______；对称轴方程为______.【答案】①.π②.ππ,Z 32=+∈k x k 【解析】【分析】根据二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，继而利用周期公式及整体代入法求解对称轴即可.【详解】因为())1cos cos 2f x x x x =⋅-+21sin cos2x x x =-+1sin 2cos 222x x =-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，令ππ2π,Z 62x k k -=+∈,得ππ,Z 32=+∈k x k ，所以函数()f x 的对称轴为ππ,Z 32=+∈k x k .故答案为：π；ππ,Z 32=+∈k x k .15.已知()sin cos f x x x =⋅，x ∈R .有下列四个说法：①()f x 的一个正周期为2π；②()f x 在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单增；③()f x 值域为11,22⎡⎤-⎢⎣⎦；④()f x 图象关于πx =对称.其中，所有正确说法的序号是______.【答案】①③④【解析】【分析】利用三角函数的性质：周期性、奇偶性、单调性、对称性等知识即可求得结果.【详解】对于①，因为(2π)sin(2π)cos(2π)f x x x +=+⋅+sin cos ()x x f x =⋅=，所以①正确；对于②，当π[0,]4x ∈时，sin 0x ≥，此时1()sin cos sin 22f x x x x ==，又π2[0,]2x ∈，所以()f x 在π[0,4单调递增，因为()sin()cos()f x x x -=-⋅-sin cos ()x x f x =⋅=，()f x 为偶函数，所以()f x 在π[,0]4-单调递减，故②错误；对于③，因为()sin cos f x x x =⋅1sin 2,2π2ππ21sin 2,2ππ2π2π2x k x k x k x k ⎧≤≤+⎪⎪=⎨⎪-+<<+⎪⎩，(Z)k ∈所以()f x 值域为11,22⎡⎤-⎢⎣⎦，故③正确；对于④，因为(2π)sin(2π)cos(2π)f x x x -=-⋅-sin()cos()x x =-⋅-sin cos ()x x f x =⋅=，所以()f x 图象关于πx =对称.故答案为:①③④.三、解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.已知函数()1π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间；（3）求方程()1f x =的解集．【答案】（1）4π（2）()2π4π4π,4π33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z （3）2π4π3x x k ⎧=+⎨⎩或}4π2π,x k k =+∈Z 【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦型函数的周期公式即可得到结果；（2）根据题意，由正弦型函数的单调区间，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，列出方程，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】最小正周期T 2π4π12==.【小问2详解】∵sin y t =在()ππ2π,2π22t k k k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦Z 上单增，∴令π1ππ2π2π2262k x k -+≤-≤+，∴2π4π4π4π33k x k -+≤≤+，∴()f x 的单增区间为()2π4π4π,4π33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .【小问3详解】令()1f x =即1π1sin 262x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴1ππ2π266x k -=+或5π2π6k +，∴2π4π3x k =+或4π2πk +，∴方程()1f x =的解集是2π4π3x x k ⎧=+⎨⎩或}4π2π,x k k =+∈Z 17.已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的对称中心；（3）作出()f x 在一个周期内的图象（将给定的表格中填全，并描点画图）26x π+0x()f x【答案】（1）12（2）ππ,0,Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数的解析式代入求值即可；（2）整体代入法进行求解即可；（3）利用五点作图法填写表格作出图象即可.【小问1详解】因为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以πππ5π1sin 2sin 33662f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】令π2π,Z 6x k k +=∈，得ππ,Z 122k x k =-+∈，所以函数的对称中心为ππ,0,Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.【小问3详解】表格如下图：π26x +0π2π3π22πx π12-π65π122π311π12()f x 0101-0图象如下：18.已知函数π()4cos sin 16f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（1）求π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）2（2）2；1-【解析】【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简()f x ，从而可得π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）由ππ64x -≤≤得ππ2π2663x -≤+≤，从而结合正弦函数的性质即可得解.【小问1详解】因为π()4cos sin 16f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭14cos cos 122x x x ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2cos 1x x x =+-π2cos 22sin 26x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以πππ2sin 22666f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】由ππ64x -≤≤，可得ππ2π2663x -≤+≤，所以当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值2；当ππ266x +=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值1-.19.已知函数()()πsin ,0,0,2f x A x x A ωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭R 部分图象如图所示．（1）求()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位长度得到函数()y g x =的图象，求曲线()y g x =的对称轴只有一条落在区间[]0,m 上，求m 的取值范围.【答案】（1）()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）π5π36m ≤<【解析】【分析】（1）由图象可知1A =，相邻的对称中心和对称轴距离相差4T ，再代入关键点可得解析式；（2）根据图象的变换得到()y g x =解析式，求解函数()y g x =的对称轴，由题意列不等式即可求解.【小问1详解】由图象可知()y f x =的最大值为1，最小值-1，故1A =；又2π5ππ2π431244T ω=-==且0ω>，∴2ω=，将点2π,13⎛⎫-⎪⎝⎭代入()y f x =得，2π4πsin 133f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴4π3π2π32k ϕ+=+，即π=2π,Z 6k k ϕ+∈，又π2ϕ<，∴π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；【小问2详解】由()y f x =的图象向右平移π6个单位长度得到函数πππ()sin 2sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令ππ2π62x k -=+得ππ,Z 32k x k =+∈，∴曲线()y g x =的对称轴为ππ,Z 32k x k =+∈，∵曲线()y g x =的对称轴只有一条落在区间[]0,m 上，∴π5π36m ≤<.20.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定.（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()π6g x f x f x a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，若()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2+，求a 的值.条件①：()f x 的最小正周期为π；条件②：()f x 为奇函数；条件③：()f x 图象的一条对称轴为π4x =.【答案】（1）()sin 2f x x=（2）2【解析】【分析】（1）若选①②，先由周期求得2ω=，再利用奇函数求得0ϕ=即可；若选①③，先由周期求得2ω=，再利用对称轴π4x =求得0ϕ=即可；若选②③，由奇函数求得()sin f x x ω=，可取()sin 2f x x =，再由对称轴为π4x =，可求得()sin 6f x x =，解析式不唯一，不合题意；（2）先由()f x 求出()g x 并化简解析式，求得ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，再利用单调性求得最大值即可求解.【小问1详解】若选①②，则2ππT ω==,解得2ω=，又函数为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()sin 2sin 2x x ϕϕ-+=-+，解得π,Z k k ϕ=∈，又π2ϕ<，所以0ϕ=，故()sin 2f x x =.若选①③，则2ππT ω==,解得2ω=，又()f x 图象的一条对称轴为π4x =，所以ππsin 2144f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故πππ,Z 22k k ϕ+=+∈，解得π,Z k k ϕ=∈，又π2ϕ<，所以0ϕ=，故()sin 2f x x =.若选②③，因为函数为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()sin sin x x ωϕωϕ-+=-+，解得π,Z k k ϕ=∈，又π2ϕ<，所以0ϕ=，故()sin f x x ω=，可令2ω=，则()sin 2f x x =，又()f x 图象的一条对称轴为π4x =，所以ππsin 144f ωϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故πππ,Z 42k k ωϕ+=+∈，解得2πππ,Z 4k k ωϕ-=+∈，又π2ϕ<，所以6ω=，1k =时，符合题意，故()sin 6f x x =，此时函数()sin 2f x x =和()sin 6f x x =均为奇函数，且ππsin 21,sin 6144⎛⎫⎛⎫⨯=⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，均满足一条对称轴为π4x =，故解析式不唯一，不合题意.【小问2详解】有()1知()sin 2f x x =，则()()π6g x f x f x a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭πsin 2sin 23x x a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭1sin 2sin 2cos 222x x x a =+-+π26x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 得ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，故当ππ262x -=，即π3x =时，()max 2g x a =+=+故2a =.21.对于函数()y f x =，1x D ∈，()y g x =，2x D ∈及实数m ，若存在11x D ∈，22x D ∈，使得12()()f x g x m +=，则称函数()f x 与()g x 具有“m 关联”性质.（1）分别判断下列两组函数是否具有“2关联”性质，直接写出结论；①()f x x =，[]1,1x ∈-；()g x x =-，[]1,1x ∈-；②()e x f x =，1x ≥；()e x g x =，1x ≤；（2）若()sin f x x =与()cos 2g x x =具有“m 关联”性质，求m 的取值范围；（3）已知0a >，()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足：①在[]0,2a 上，当且仅当2a x =时，()f x 取得最大值1；②对任意x ∈R ，有()()0f a x f a x ++-=.求证：1sin π()y x f x =+与2cos π()y x f x =-不具有“4关联”性质.【答案】（1）①有；②没有；（2）[]22-,；（3）证明过程见解析.【解析】【分析】（1）根据具有关系“2关联”性质的定义判断即可.（2）求解()()12f x g x +的值域即可得出结果.（3）根据()f x 的性质求出其值域，结合三角函数的值域推理作答.【小问1详解】①存在[]111,1x =∈-，[]211,1x =-∈-，使得12()()1[(1)]2f x g x +=+--=，所以函数(),()f x g x 具有“2关联”性质；②1x ≥，()e e x f x =≥，而1x ≤，()0e e xg x <=≤，因此121,1x x ∀≥≤，()()12e f x g x +>，显然不存在1[1,)x ∈+∞，2(,1]x ∈-∞，使得()()122f x g x +=，所以函数(),()f x g x 不具有“2关联”性质.【小问2详解】()[]sin 1,1f x x =∈-，()[]cos21,1g x x ==∈-，则()()[]122,2f x g x ⎡⎤+∈-⎣⎦，[]2,2m ∈-，所以m 的取值范围是[]22-,.【小问3详解】因为在[]0,2a 上，当且仅当2a x =时，()f x 取得最大值1，又()f x 为定义在R 上的奇函数，则在[]2,0a -上，当且仅当2a x =-时，()f x 取得最小值1-，由对任意x ∈R ，有()()0f a x f a x ++-=，即()y f x =关于点(),0a 对称，又()()()f a x f a x f x a +-==--，于是函数()f x 的周期为2a ，因此()f x 的值域为[]1,1-；[][]sinπ1,1,cosπ1,1x x ∈-∈-，①当()11f x =时，12,Z 2a x na n =+∈，而1sinπ1x =时，112,Z 2x k k =+∈，若12222a na k +=+，则41,,Z 41k a k n n +=∈+时，有()111sin π2y x f x =+=；②当()21f x =-时，22,Z 2a x ma m =-+∈，而2cosπ1x =时，22,Z x t t =∈，若222a ma t -+=，则4,,Z 41t a t m m =∈-时，有()222cosπ2y x f x =-=，显然4144141k t a n m +=≠+-，因此()()1122sinπcosπ4x f x x f x ++-<，即不存在12R,R x x ∈∈，使得()()1122sinπcosπ4x f x x f x ++-=，所以()1sinπy x f x =+与()2cosπy x f x =-不具有“4关联”性质.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。
2023-2024学年北京市房山区高一下学期3月月考质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年北京市房山区高一下册3月月考数学试题一、单选题1．与2022 终边相同的角是（）A ．488-B ．144-C ．142D ．222【正确答案】D【分析】若两角终边相同，则两角应相差360 的整数倍，据此可得答案.【详解】A 选项，()20224882510︒︒︒--=，不是360 的整数倍，故A 错误；B 选项，()20221442166--=，不是360 的整数倍，故B 错误；C 选项，()20221421880-=，不是360 的整数倍，故C 错误；D 选项，()20222221800-=，是360 的5倍，故D 正确.故选：D2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．y x =B ．sin y x =C ．3y x=-D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项进行判断即可.【详解】A.因为y x =是奇函数，又是增函数，故错误B.因为sin y x =是奇函数，但在定义域上不单调，故错误.C.因为3y x =-是奇函数，又是减函数，故正确.D.因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭非奇非偶，是减函数，故错误.故选：C本题主要考查函数的奇偶性和单调性，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.3．如图，在四边形ABCD 中，若AB DC =，则图中相等的向量是（）A ．AD 与CBB ．OB 与ODC ．AO 与OCD ．AC 与BD【正确答案】C【分析】利用向量相等的定义即可判断出图中相等的向量.【详解】由AB DC =，可得四边形ABCD 为平行四边形.选项A ：AD 与CB互为相反向量，判断错误；选项B ：OB 与OD互为相反向量，判断错误；选项C ：AO 与OC满足向量相等的定义，判断正确；选项D ：AC 与BD方向不同不满足向量相等的定义，判断错误.故选：C4．要得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需把函数sin 2y x =的图像（）A ．向右平移π3个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移6π个单位D ．向左平移6π个单位【正确答案】C【分析】根据函数图象满足“左加右减”进行求解平移后的解析式，得到正确答案.【详解】把函数sin 2y x =的图象向右平移3π个单位得到π2πsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把函数sin 2y x =的图象向左平移3π个单位得到π2πsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位得到ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位得到ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；故选：C5．若3a = ,4b = |,,a b 的夹角为135︒,则a b ⋅等于().A．-B．-C．D ．2【正确答案】B【分析】根据向量数量积的定义计算即可.【详解】因为3,4a b == ，,a b的夹角为135︒，所以cos135342a b a b ︒⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭故选:B.6．在ABC 中，点D 在BC 边上，2BD DC = ，则AD =（）A ．2133AB AC + B ．1233AB AC +C ．1122AB AC+ D ．1344AB AC+【正确答案】B【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】23AD AB BD AB BC=+=+()212333AB AC AB AB AC =+-=+ .故选：B7．已知ABC ，则“sin cos A B =”是“ABC 是直角三角形”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】D【分析】若sin cos A B =，则2A B π+=或2A B π=+；若2A π=，则sin cos A B ≠；由充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】若sin cos A B =，则2A B π+=或2A B π=+，不能推出ABC 是直角三角形；若2A π=，则sin cos A B ≠，所以ABC 是直角三角形不能推出sin cos A B =;所以“sin cos A B =”是“ABC 是直角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D .本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于基础题.8．已知空间向量a ，b，且2AB a b =+ ，56BC a b =-+ ，72CD a b =- ，则一定共线的三点是（）A ．、、ABC B ．B CD 、、C ．A B D 、、D ．A C D、、【正确答案】C【分析】根据向量共线判断三点共线即可．【详解】解：567224BD BC CD a b a b a b=+=-++-=+2(2)2a b AB =+= ，又AB与BD 过同一点B ，∴A 、B 、D 三点共线．故选：C ．9．已知,a b 为单位向量，则2332a b a b +=- 是a b ⊥的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】因为向量,a b均为单位向量所以2332a b a b +=-⇔()()222332a b a b+=-⇔222241299124a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ⇔41299124a b a b +⋅+=-⋅+⇔0a b ⋅= ⇔a b ⊥ ，所以“2332a b a b +=- ”是“a b ⊥ ”的充要条件故选：B.本题考查的是向量数量积的应用和充要条件的判断，属于基础题.10．若平面向量a 与b的夹角为60°，()2,0a = ,1b = ，则2a b + 等于（）.AB ．C ．4D ．12【正确答案】B【分析】先根据数量积的定义求出a b，再根据模的计算法则求2a b + .【详解】由题意2a ==r ，1cos 602112a b a b ︒∴==⨯⨯= ，22a b +=；故选：B.11．已知非零向量a b ，满足2a b =，且ba b ⊥ （–），则a 与b的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【正确答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥ 得出向量,a b的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥ ，所以2()a b b a b b -⋅=⋅- =0，所以2a b b ⋅= ，所以cos θ=22||122||a b b b a b ⋅==⋅ ，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．12．在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【正确答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=--，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯-22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-；故选：D二、填空题13．cos84cos51sin84sin 51︒︒-︒︒=__________.【正确答案】##【分析】根据和角余弦公式的逆用，即可求解.【详解】()cos84cos51sin 84sin 51cos 8451cos135cos 452︒︒-︒︒=︒+︒=︒=-︒=-故214．若4cos 5=-α，且α为第三象限角，则sin α=________；【正确答案】35-【分析】先根据同角三角函数的关系求出sin α，再结合第三象限角判断符号即可.【详解】4cos ,5α=- 且α为第三象限角，3sin 5α∴==-，故答案为.35-15．已知向量a ，b满足2a = ，1b = ，a b += a b -=r r _________.【分析】根据模长公式及向量的数量积公式求解即可.【详解】由a b += 可得，2223a a b b +⋅+= ，即4213a b +⋅+=，解得：1a b ⋅=- ，所以a b -===16．已知πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【正确答案】13-【分析】首先将πsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭化简为ππsin 262α⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可得到答案.【详解】2πππππ1sin 2sin2cos 212cos 662663αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为.13-17．若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___．【正确答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）【分析】根据,A B 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解.【详解】 (cos ,sin )A θθ与cos ,sin 66B ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称，即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈，当0k =时，可取θ的一个值为512π.故512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.三、双空题18．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上一点，且25AP AC =，则DP BP ⋅= __________，若点M 为线段BD （含端点）上的动点，则MP MB ⋅的最小值为__________．【正确答案】1225-18-【分析】建立平面直角坐标系，求得正方形各顶点坐标，利用向量的坐标运算求得22(,)55P ，可得,DP BP 的坐标，根据数量积的坐标运算，求得DP BP ⋅；设(,),01DM DB λλλλ==-≤≤ ，表示出(,1)M λλ-，可得,MP MB 坐标，继而求得MP MB ⋅ 的表达式，结合二次函数性质求得MP MB ⋅的最小值.【详解】如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则(1,),(0,0),00(),,,11(1)A B D C ，∴(1,1)AC =，∵P 是对角线AC 上一点，且2225(,)55AP AC == ，可得22(,)55P ，∴3(2,)55DP =- ，2(,)553BP =- ，∴33212()()5555225DP BP ⋅=⨯-+-⨯=- ；因为点M 为线段BD （含端点）上的动点，则设(,),01DM DB λλλλ==-≤≤,故(,1)M λλ-，所以23=(,)55MP λλ-- ，=(1,1)MB λλ-- ，故222331(,)(1,1)23125548MP MB λλλλλλλ⋅=--⋅--=-+=-- （，由于01λ≤≤，所以34λ=时，231248λ--（取到最小值18-，即MP MB ⋅ 的最小值为18-，故1225-；18-四、解答题19．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)求sin cos αα+的值；(2)求sin(π)cos(π)πtan(2π)sin()2αααα--+++的值.【正确答案】(1)15-；(2)14【分析】（1）先利用三角函数定义求得sin cos αα、的值，进而求得sin cos αα+的值；（2）先求得tan α的值，再利用三角函数诱导公式即可求得该式的值.【详解】（1）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则43sin ,cos 55αα=-=，则431sin cos 555αα+=-+=-；（2）由（1）得43sin ,cos 55αα=-=，则4tan 3α=-，则sin(π)cos(π)sin cos πtan cos tan(2π)sin()2αααααααα--++=++41sin cos tan 1134sin tan 43ααααα-+++====-20．已知函数()cos(2)2sin cos 3f x x -x x π=-.（I ）求f (x )的最小正周期；（II ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x ≥-．【正确答案】（1）22T ππ==（2）见解析【详解】试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后根据公式2T πω=求周期；（Ⅱ）先求23x π+的范围再求函数的最小值.试题解析:（Ⅰ）()31sin2sin2sin2sin 2223f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期22T ππ==.（Ⅱ）因为44x ππ-≤≤，所以52636x πππ-≤+≤.所以1sin 2sin 362x ππ⎛⎫⎛⎫+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-.【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，属于基础题，要求准确应用两角差的余弦公式和辅助角公式进行变形，化为标准的()sin y A ωx φ=+的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值时要注意自变量的取值.21．已知1a =，2b = ．(1)若a b ∥ ，求a b；(2)若,60a b =︒ ，求a b + ；(3)若a b - 与a垂直，求当k 为何值时，()()2ka b a b -⊥+ ？【正确答案】(1)2±(3)3【分析】（1）由平行向量的定义可知，若a b ∥ ，则它们的夹角为0 或180 ，即可计算a b；（2）根据平面向量的应用可知将a b + 平方即可求得结果；（3）根据a b - 与a 垂直可得1a b = ，再由()()02ka b a b +-=可计算出3k =.【详解】（1）由a b ∥可知，,a b 两向量的夹角为0 或180 ，当夹角为0时，cos 0122a b a b ==⨯=；当夹角为180时，cos18012(1)2a b a b ==⨯⨯-=-；所以，2a b =±.（2）由题意可知，若,60a b =︒ ，则1,cos 12cos 60a a b b a b ==⨯⨯= 22221427a b a b a b =+++=++= ，所以a b += .（3）由a b - 与a 垂直可得()0a b a -= ，即1a b = ；若()()2ka b a b -⊥+ ，则()()02ka b a b +-= ，即22220k a ka b a b b +--= ，得390k -=，所以3k =.当3k =时，()()2ka b a b -⊥+ .22．已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③()01f =-；④06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）给出函数()f x 的解析式，并说明理由；（2）求函数()f x 的单调递增区间【正确答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，理由见解析；（2）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【分析】（1）根据题意，先判断()f x 不能满足条件③，再由条件①求出2ω=，由条件②，得2A =，由条件④求出3πϕ=，即可得出函数解析式；（2）根据正弦函数的单调区间，列出不等式，即可求出结果.【详解】（1）若函数()f x 满足条件③，则(0)sin 1f A ϕ==-.这与0A >，02πϕ<<矛盾，故()f x 不能满足条件③，所以函数()f x 只能满足条件①，②，④.由条件①，得2||ππω=，又因为0ω>，所以2ω=.由条件②，得2A =.由条件④，得2sin 063f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=.所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）由222232k x k πππππ-≤+≤+，Z k ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.本题主要考查由三角函数的性质求函数解析式，以及求正弦型函数的单调区间，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.。
北京市高一下学期3月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知向量，，则（ ）．()4,3a =- ()5,12b = a b ⋅=A ．52B ．C ．D ．163-10-【答案】D【分析】直接根据数量积的坐标运算求解.【详解】由已知得. 203616a b =-+⋅=故选：D.2．如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（ ） ABCD E BC 12AD AE +A ．B ．C ．D ．AB AC BC BE 【答案】B【解析】根据平面向量的线性运算，直接可得出结果. 【详解】因为在矩形中，为中点， ABCD E BC 所以. 1122AD AE BC AE EC AE AC +=+=+=故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题型.3．设是向量，则“”是“”的 ,a ba b = a b a b +=- A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【详解】试题分析：由无法得到，充分性不成立；由，得a b = a b a b +=- a b a b +=- ，两向量的模不一定相等，必要性不成立，故选D.0a b ⋅=【解析】充要条件,向量运算【名师点睛】由向量数量积的定义(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘cos a b a b θ⋅=⋅⋅ a b积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.4．已知，，，则（ ）．2a = 4b = a b λ=a b -=r r A ．1 B ．2 C ．3 D ．2或者6【答案】D【详解】根据条件可得与共线，进而得到关系，代入目标式计算即可.a b,a b 【点睛】，a b λ=与共线，a ∴r b又，，则或，2a = 4b = 12a b =12a b =- 或.11222a b b b b ∴-=-== 13622a b b b b -=--==故选：D.5．向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ） 12a b e e ，，，12()a b e e R λμλμ-=+∈ ，λμ=A ．3B ．C ．-3D ．1313-【答案】D【分析】利用向量减求得，利用向量的坐标运算性质，向量相等即可得出． ()1,3a b -=-【详解】解： 根据向量的减法得,()1,3a b -=-，()()()121,00,1,a b e e λμλμλμ+=-=+=且，∴1λ=3μ=-因此，则13λμ=-故选：D ．6．在直角坐标平面内，为坐标原点，已知点，将向量绕原点按逆时针方向xOy O 1,2A ⎛- ⎝OA旋转得到，则的坐标为（ ）2πOA ' OA 'A ．B ．C ． D．21⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭21⎫-⎪⎪⎭1,2⎛ ⎝12⎛- ⎝【答案】B【分析】结合平面向量模长的坐标计算公式即可求出结果.【详解】设，且，则, (),A x y '0,0x y><()1,,,,2A A x y OA x y ⎛⎫''=--= ⎪ ⎪⎝⎭所以，解得， 22221221x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫⎪--+-= ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪+=⎩12x y ⎧⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则，12OA ⎫'=-⎪⎪⎭ 故选：B.7．已知，是非零向量且满足，，则的形状为AB AC()2AB AC AB -⊥ ()2AC AB AC -⊥ ABC （ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】由、是非零向量且满足，，利用向量垂直与数AB AC(2)AB AC AB -⊥ (2)AC AB AC -⊥ 量积的关系可得，进而得到，即(2)(2)0AB AC AB AC AB AC -=-= 22||||2||||cos AB AC AB AC BAC ==∠可得出．【详解】、是非零向量且满足，，AB AC(2)AB AC AB -⊥ (2)AC AB AC -⊥ ， ∴(2)(2)0AB AC AB AC AB AC -=-=，∴22||||2||||cos AB AC AB AC BAC ==∠，．∴||||AB AC =60BAC ∠=︒是等边三角形，ABC ∴ 故选：B8．已知向量，，．若λ为实数，()∥，则λ＝（ ）.(1,2)a = (1,0)b = (3,4)c = a λb + cA ．B ．C ．1D ．21412【答案】B【分析】先求出的坐标，再由()∥，，列方程可求得结果a λb + a λb + c【详解】因为向量，，(1,2)a =(1,0)b = 所以，(1,2)(1,0)(1,2)a b λλλ+=+=+因为()∥，，a λb +c (3,4)c =所以，解得， 1234λ+=12λ=故选：B9．已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值a b 2a = a a b -()()1m ta t b t R =+-∈ m u r 范围为（ ）A ．B ．C ．D ．)+∞)+∞[)1,+∞1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】设，根据与的夹角为120°，得到，再根据,a OA b OB == a a b -120,60OAB OAC ∠=∠= ，得到的终点在直线AB 上求解. ()()1m ta t b t R =+-∈ ,,m a b【详解】设，如图所示：,a OA b OB ==则，a b OA OB BA -=-=r r u u r u u u r u u r 因为与的夹角为120°， a a b -所以，120,60OAB OAC ∠=∠= 因为，且的起点相同， ()()1m ta t b t R =+-∈ 11,,,t t m a b +-=所以其终点共线，即在直线AB 上，所以当时，最小，最小值为 m AB ⊥m ur 所以的取值范围为，m u r )+∞故选；A10．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的ABC 12AN NC = P BN 1139AP m AB AC⎛⎫=++ ⎪⎝⎭m 值为（ ）A ．B ．C ．D ．19292313【答案】D【分析】利用向量的线性运算将条件化为，再根据1139AP m AB AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1133AP m AB AN ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 、、三点共线，得出，即可求解B P N 11+133m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】由题意可知，，所以，12AN NC = 3AC AN =又，即.1139AP m AB AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1133AP m AB AN ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 因为、、三点共线，所以，解得.B P N 11+133m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭13m =故选：D ．二、填空题11．已知平面向量，，且，则实数_______________. ()2,a k = ()3,2b = a b ⊥k =【答案】3-【分析】由向量垂直的坐标表示列方程即可求解.【详解】因为，，且，()2,a k = ()3,2b = a b ⊥所以，解得：，2320a b k ⋅=⨯+=3k =-故答案为：.3-12．已知两个力，的夹角为直角，且已知它们的合力与的夹角为，，则的1F 2F F 2F π310N F = 2F 大小为__________N ． 【答案】5【分析】根据向量夹角公式列方程，结合数量积的运算律化简可求的大小. 2F【详解】因为，的夹角为直角，它们的合力， 1F 2F F 所以，，12π,2F F = 12F F F =+所以，，120F F ⋅= ()()22212222F F F F F F F ⋅=+⋅== 因为与的夹角为，F 2F π3所以，又2221cos ,2F F F F F F ⋅==⋅10N F = 所以. 25F = 故答案为：.513．已知，与的夹角为，则在方向上的投影向量的模为__________． 3a = a b 120︒a b【答案】## 321.5【分析】直接根据公式求解即可.【详解】在方向上的投影向量的模为.a b 31223os 01c 2a ⎛⎫=⨯ ⎝︒-=⎪⎭ 故答案为：. 3214．如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的614 ()sin y A x b ωϕ=++函数解析式为______________．【答案】， 310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭[]6,14x ∈【解析】根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得，，结合图象max min2y y A -=max min 2y y b +=求得该函数的最小正周期，可得出，再将点代入函数解析式，求出的值，即可T 2Tπω=()10,20ϕ求得该函数的解析式.【详解】由图象可知，，，，， max 30y =min 10y =max min102y y A -∴==max min 202y y b +==从题图中可以看出，从时是函数的半个周期，则，614 ()sin y A x b ωϕ=++()214616T =⨯-=. 28T ππω∴==又，，得，取， 10228k πϕππ⨯+=+Z k ∈()324k k Z πϕπ=+∈34πϕ=所以，． 310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭[]6,14x ∈故答案为：，．310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭[]6,14x ∈【点睛】本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.三、双空题15．如图，在菱形 中，，.ABCD 3B π∠=4AB =（1）若为的中点，则 ______P BC ·PA PB =（2）点在线段上运动，则||的最小值为___________P BC PA PB +【答案】 0， 【分析】（1）菱形ABCD 中，∠B ，AB ＝4，P 为BC 的中点，可判断AP ⊥BP 可求3π=（2）可设BP ＝x ，M 为AB 中点，结合向量加法的平行四边形法则可知||＝2||，然后PA PB + PM结合余弦定理及二次函数的性质可求. 【详解】（1）菱形ABCD 中，∠B ，AB ＝4，P 为BC 的中点，3π=∴BP ＝2，AP ＝ ∴AP 2+BP 2＝AB 2，即AP ⊥BP则•0PA PB = （2）∵点P 在线段BC 上运动， 可设BP ＝x ，M 为AB 中点 则||＝2||PA PB + PM △BPM 中，PM 2x 2-2x +4，2212222x x ⎛⎫=+-⨯⨯= ⎪⎝⎭∵0≤x ≤4，当x ＝1时，PM ||＝2||的最小值为PA PB + PM故答案为0，【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质及向量的基本运算，二次函数性质的应用，属于中档试题四、填空题16．设向量与的夹角为，定义与的“向量积”： 是一个向量，它的模为a b θa ba b ⨯ ．若 ，则 ____________． ||||||sin a b a b θ⨯=⋅⋅ (1,1),(0,2)a b =-= ||a b ⨯=【答案】2【分析】根据向量积的定义求解即可.【详解】由 ()()1,1,0,2a b =-=10122,a b =-⨯+⨯=则 ，又 ，所以 ，即， cos a b a b θ== []0,θπ∈4πθ=sin θ=又 ；sin 22a b a b θ⨯=== 故答案为：2．五、解答题17．已知，，与的夹角为．4a = 8b = a b2π3(1)求；a b + (2)当为何值时，？ k ()()2a b ka b +⊥-【答案】(1)(2) 7k =-【分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得，进而得到；2a b + a b + （2）由向量垂直可得，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果.()()20a b ka b +⋅-=【详解】（1）， 2πcos ,32cos 163a b a b a b ⋅=⋅<>==-，222216326448a b a a b b ∴+=+⋅+=-+= a b ∴+= （2）由得：()()2a b ka b +⊥-，()()()()2222121616211280a b ka b k a k a b b k k +⋅-=+-⋅-=---=解得：.7k =-18．如图，在中，设，，又，，向量，的夹角为．ABC AB a =AC b = 2BD DC = 2,1a b == a b π3(1)用，表示；a b AD (2)若点E 是边的中点，直线交于F 点，求．AC BE AD AF BC ⋅【答案】(1)1233AD a b =+(2) 35-【分析】（1）利用几何图形，对向量做加减线性运算即可；（2）根据E ，F ，B 三点共线，得，再设，通过平面12AF AB AC λλ-=+ 233AF AD a b μμμ==+ 向量基本定理求出，再根据向量的数量积即可求出答案. λ【详解】（1）,,2AB a AC b BD DC ===；221212()333333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b ∴=+=+=+-=+=+ （2）E ，F ，B 三点共线，存在实数使，∴λ11(1)22AF AB AE AB AC a b λλλλλλ--=+-=+=+设， 233AF AD a b μμμ==+，解得，31223μλλμ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 15λ=，1255AF a b ∴=+ 由，向量，的夹角为得，2,1a b == a b π311212a b ⋅=⨯⨯= 112()()()()255AF BC AB AC AC AB a b b a λλ-∴⋅=+⋅-=+- .22121121345555555a b a b =-+-⋅=-⨯+-=- 19．记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，，． ABC 21a t =-4b t =()411c t t =+>(1)当时，求；3t =cos B (2)是否存在正整数t ，使得角C 为钝角？若存在，求t 的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)513(2)存在， 2t =【分析】（1）代入值，直接用余弦定理求解即可； t cos B （2）通过可求得t 的值.cos 0C <【详解】（1）当时，，，，3t =5a =12b =13c =；222251691445cos 2251313a c b B ac +-+-∴===⨯⨯（2）假设存在正整数t ，使得角C 为钝角，则，222cos 02a b c C ab+-=<即， ()()2222222116410a b c t t t +-=-+-+<1t >解得，13t <<，2t ∴=所以存在正整数，使得角C 为钝角. 2t =20．已知△中，，．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，ABC 7cos 8C =3a =求：（1）的值； b （2）△的面积．ABC条件①：；2b c =条件②：．6b c +=注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案不唯一，具体见解析．【分析】若选择①，（1）由余弦定理可得或．3b =4b =（2）先求得的值,再利用三角形面积公式计算;sin C 若选择②，（1）由余弦定理求得．4b =（2）先求得的值,再利用三角形面积公式计算．sin C 【详解】解：若选择①，（1）由，得， 7cos 8C =222728a b c ab +-=由，，得，3a =2b c =229()7268b b b +-=解得或．3b =4b =（2），，则7cos 8C =0πC <<sin C =当时，，△的面积 3b =3a =ABC 11sin 3322S ab C ==⨯⨯当时，，△的面积 4b =3a =ABC 11sin 3422S ab C ==⨯⨯=若选择②， （1）由，得， 7cos 8C =222728a b c ab +-=由，，得， 3a =6b c +=229(6)768b b b +--=解得．4b =（2），，则7cos 8C =0πC <<sinC=所以△的面积 ABC 11sin 3422S ab C ==⨯⨯=21．已知数集．如果对任意的{}()123123,,,,1,2,n n A a a a a a a a a n n *=≤<<<<≥∈N L L ，与两数中至少有一个属于A ，则称数集A 具有性质P ．(),1,,i j i j n i j n *≤≤≤∈N 且i j a a ji a a (1)分别判断数集，是否具有性质，并说明理由；{}2,3,6{}1,3,4,12P (2)设数集具有性质P ．若{}()123123,,,,1,2,n n A a a a a a a a a n n *=≤<<<<≥∈N L L，证明：对任意都有是的因数． ()1,2,3,k a k *∈=N L ()1,i n i n *≤≤∈N i a n a 【答案】(1)数集不具有性质，具有性质；{}2,3,6P {}1,3,4,12P (2)证明见解析.【分析】（1）根据定义检验数集是否满足条件即可.（2）假设存在不是的因数，结合性质推出矛盾，由此证明结论.i a n a 【详解】（1）因为，，6636,661⨯=÷={}36,12,3,6∉所以数集不具有性质，{}2,3,6P 因为，111,133,144,11212,3412⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=， 1341212121,4,31341234======即对于任意的，与两数中至少有一个属于A ，(),1,,i j i j n i j n *≤≤≤∈N 且i j a a ji a a 所以数集具有性质，{}1,3,4,12P （2）假设存在一个数不是的因数．i a n a 又，()1,2,3,k a k *∈=N L 所以，且，N i a *∈1i a >所以，所以，i n n a a a ⋅>i n a a A ⋅∉又不是自然数，所以， n ia a n i a A a ∉这与数集具有性质相矛盾，A P 假设不成立，所以对任意都有是的因数． ()1,i n i n *≤≤∈N i a n a 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。
2023-2024学年北京市顺义区高一下学期3月月考质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年北京市顺义区高一下册3月月考数学试题一、单选题1．下列各组向量中，可以作为基底的一组是（）A ．()10,0e = ，()20,1e =u rB ．()11,2e =- ，()23,6e =-C ．()13,4e = ，()23,4e =--D ．()12,1e =u r ，232,4e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【正确答案】D【分析】判断所给的两个向量是否共线，若不共线，则可以作为一组基底【详解】选项A ：因为0100⨯=⨯，所以向量1e ，2e共线，故A 错误，选项B ：因为()1623-⨯-=⨯，所以向量1e ，2e共线，故B 错误，选项C ：因为()()3443⨯-=⨯-，所以向量1e ，2e共线，故C 错误，选项D ：因为32124⎛⎫⨯-≠⨯ ⎪⎝⎭，所以向量1e ，2e 不共线，故D 正确，故选：D.2．函数()22cos 2sin 2f x x x =-的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【正确答案】A【分析】利用二倍角公式化简()f x 解析式，由此求得其最小正周期.【详解】依题意()cos 4f x x =，所以()f x 的最小正周期为242T ππ==.故选：A3．cos 72cos12sin 72sin12+=A ．12-B ．12C ．D ．2【正确答案】B【详解】()1cos72cos12sin72sin12cos 7212cos602+=-=︒=.故选：B.4．已知非零向量a b ，满足2a b =，且ba b ⊥ （–），则a 与b的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【正确答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥ 得出向量,a b的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥ ，所以2()a b b a b b -⋅=⋅- =0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||122||a b b b a b ⋅==⋅ ，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．5．为了得到函数1cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数1cos 2y x =图象上所有的点（）A ．向左平移3π个单位长度B ．向左平移6π个单位长度C ．向右平移3π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度【正确答案】C【分析】根据已知条件，结合“左加右减”的原则即可求解.【详解】∵1π1πcos cos 2623y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴把函数1cos 2y x =的图形向右平移π3个单位可得到函数1cos 26πy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：C.6．在ABC中，若222a c b +=，则B ∠=（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【正确答案】D【分析】利用余弦定理直接求解即可.【详解】因为222a c b +=，所以222a c b +-=，所以222cos 222a c b B ac ac +-===-，又(0,)B π∈，所以56B π=.故选：D7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC的夹角为锐角”是“AB AC BC +> ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |⇔|AB +AC |2>|AB -AC|2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC|”的充分必要条件,故选C.本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.8．在平行四边形ABCD 中，1AD =，12AB =，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点，则·AC BE = （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【正确答案】C作出图形，利用AB 、AD 表示向量AC 、BE，然后利用平面向量数量积的运算律可求得AC BE ⋅ 的值.【详解】如下图所示：由题意可得AC AB AD =+ ，12BE BC CE AD AB =+=-，1AD = ，12AB =，60BAD ∠= ，1cos 4AB AD AB AD BAD ∴⋅=⋅∠= ，因此，()22111222AC BE AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭ 221111112422⎛⎫=+⨯-⨯= ⎪⎝⎭.故选：C.关键点点睛：本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是利用合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.9．如果平面向量(2,1)a =，()1,3b = .那么下列结论中正确的是（）A ．3b a=B ．//a bC ．a 与b的夹角为30D ．a 在b上的投影向量的模为2【正确答案】D【分析】由向量模长的坐标公式、向量共线的坐标公式、向量夹角的坐标公式以及向量的投影求解即可.【详解】对于A，a b = 3b a ≠，A 错误；对于B ，2311⨯≠⨯，则,a b不平行，B 错误；对于C，cos ,2a b a b a b ⋅==⋅，又,0,180a b ⎡⎤∈⎣⎦ ，则,45a b = ，C 错误；对于D ，a 在b上的投影向量的模为2a b b⋅，D 正确.故选：D.10．已知O 为坐标原点，点P 在以(0,1)为圆心的单位圆上，(2,0)A -，则AO AP ⋅的最大值为（）A ．2B ．4C ．6D．【正确答案】C【分析】由条件可知点P 的方程，三角换元写出P 点坐标，用坐标表示AP ，AO，坐标运算向量的数量积，根据角的范围即可求出最大值.【详解】解：点P 在以()0,1为圆心的单位圆上，所以点P 的方程为()2211x y +-=，设P [)cos ,0,2π1sin x y θθθ=⎧∈⎨=+⎩，则()cos 2,1sin AP θθ=++ ，()2,0AO = ，所以[]2cos 42,6AO AP θ⋅=+∈ ，即AO AP ⋅的最大值为6.故选：C 二、填空题11．已知tan 2α=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【正确答案】13-【分析】根据正切函数两角和公式直接运算即可.【详解】()πtan tanπ2114tan π412131tan tan 4ααα+-+⎛⎫+===- ⎪--⨯⎝⎭-⋅.故答案为.13-三、双空题12．已知向量(4,3)a =- ，(6,)b m = ，若a b ⊥ ，则m =________，若a b∥，则m =________．【正确答案】892-【分析】根据平面向量共线以及垂直的坐标运算，即可得到结果.【详解】由题意可得，若a b ⊥，则46308m m -⨯+=⇒=；若a b ∥，则43962m m -=⇒=-故答案为:8;92-四、填空题13．向量a →，b →在正方形网格中的位置如图所示，则cos ,a b →→<>=__________.【正确答案】【分析】建立平面直角坐标系，通过平面向量夹角的坐标运算得到答案.【详解】根据题意，设正方形网格的边长为1，如图建立坐标系，则()3,1a →=，()1,2b →=--，故||9110a →=+=||145b →=+325a b →→⋅=--=-，故2cos ,||||a ba b a b →→→→→→⋅<>==-故答案为.2214．在矩形ABCD 中，6AB =，4=AD ，E 为CD 的中点，若3EF FB = ，AF AB AD λμ=+，则λμ+=________．【正确答案】98【分析】建立如下图的平面直角坐标系，求出各点坐标，由平面向量线性运算的坐标表示可得AF的坐标，由()6,4AF λμ=，列方程组，解方程组可得λ和μ的值即可求解.【详解】建立如下图的平面直角坐标系，由已知得()6,0B ，()0,4D ，()3,4E ，()3,4EB =-，由3EF FB = 得934,34EF EB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，设(),F x y ，则()93,4,34x y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，可得93443x y ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩，解得2141x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以21,14F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,14AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为()()()6,00,46,4AF AB AD λμλμλμ=+=+=，所以412164μλ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得78λ=，14μ=，则98λμ+=.故答案为.9815．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点(3,A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(,)x y ，其纵坐标满足()sin()y f t R t ωϕ==+（0t ≥，0ω>，π2ϕ<），①π3ϕ=-②当(]0,60t ∈时，函数()y f t =单调递增③当100t =时，6PA =④当(]0,60t ∈时，()f t的最大值为则上面叙述正确的是________．【正确答案】①③【分析】根据题意，结合条件可得,ωϕ的值，从而求得函数()f x 的解析式，然后根据正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由题意，6R ==，120T =，所以2ππ60T ω==，又点(3,A -代入()f t 可得6sin ϕ-=，解得sin ϕ=，又π2ϕ<，所以π3ϕ=-，故①正确；因为()ππ6sin 603f t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当(]0,60t ∈时，πππ2π,60333t ⎛⎤-=∈- ⎥⎝⎦，所以函数()f t 先增后减，故②错误；当100t =时，ππ4π6033t -=，P的纵坐标为y =-3x =-，所以336PA =--=，故③正确；当(]0,60t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为6，故④错误；所以说法正确的是①③故答案为:①③五、解答题16．已知向量a 与b 的夹角3π4θ=，且3a =，b = ．(1)求a b ⋅，()(2)a b a b +⋅- ；(2)求a b + ；(3)a与a b + 的夹角的余弦值．【正确答案】(1)6a b ⋅=- ，()(2)1a b a b +⋅-=-【分析】（1）根据数量积的定义求解a b ⋅，利用数量积的运算()(2)a b a b +⋅- ；（2）按照数量积的性质求解模长即可；（3）根据向量夹角余弦值的公式运算即可.【详解】（1）已知向量a 与b 的夹角3π4θ=，且3a =，b =，则3πcos 3642a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()22()(2)296281a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=---⨯=-；（2）a b +=（3）a 与a b + 的夹角的余弦值为()2cos ,5a a b a a b a a b a a b a a b ⋅++⋅+====⋅+⋅+.17．已知向量(1,3)a =- ，(1,2)b =．(1)求a b ⋅ ；(2)求2a b - 及a 在b上的投影向量的坐标；(3)()a mb a -⊥，求m 的值．【正确答案】(1)5(2)25a b -=，a 在b 上的投影向量的坐标为()1,2(3)2m =【分析】（1）根据数量积的坐标运算即可；（2）根据向量坐标的线性运算求解2a b -的坐标，即可得2a b - ；按照投影向量的定义列式求解即可；（3）由向量垂直得数量积为零，进行计算即可得m 的值．【详解】（1）已知向量(1,3)a =- ，(1,2)b = ，所以11325a b ⋅=-⨯+⨯=；（2）()()()221,31,23,45a b -=--=-=，又a 在b 上的投影向量的坐标为()()225cos ,1,21,2b a b a a b b b b⋅⋅=⋅=⋅= （3）因为()a mb a -⊥ ，所以()222()1350a mb a a ma b m -⋅=-⋅=-+-= ，解得2m =.18．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且3tan 4α=．(1)求tan 2α，sin 2α，cos 2α；(2)若β为锐角，且5cos()13αβ+=，求sin β．【正确答案】(1)24tan 27α=，24sin 225α=，7cos 225α=.(2)sin β=3365【分析】（1）二倍角公式直接求tan 2α，由tan 2α的正负判断角的范围，结合()()22sin 2cos 21αα+=解出sin 2α和cos 2α的值.（2）由tan α的值和α的范围求出sin α、cos α的值，利用βαβα=+-，结合两角差的正弦公式即可求出sin β的值.【详解】（1）解：因为3tan 4α=，所以232tan 242tan 291tan 7116ααα===--；又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()20,πα∈，24tan 207α=>，所以π20,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 20α>，cos 20α>，又sin 224tan 2cos 27ααα==，且()()22sin 2cos 21αα+=，解得：24sin 225α=，7cos 225α=.（2）因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且3tan 4α=，所以3sin 5α=，4cos 5α=，因为β为锐角，5cos()013αβ+=>，所以12sin()13αβ+=，则()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+124533313513565=⨯-⨯=.19．设平面向量21,cos 2a x x ⎫=-⎪⎭ ，(cos ,1)b x =- ，函数()f x a b =⋅ ．(1)求()f x 的单调增区间；(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；(3)若锐角α满足124f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求2πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【正确答案】(1)πππ,π,Z63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3)78-【分析】（1）化简得到()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取πππ2π22π262k x k -≤-≤+，解得答案.（2）π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，得到值域.（3）代入数据得到π1sin 264f αα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得到22ππcos 22sin 136αα⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，计算得到答案.【详解】（1）()211cos 21cos cos 22222x x x x f x a b x +=-+=-=⋅+1π2cos 2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，取πππ2π22π262k x k -≤-≤+，Z k ∈，解得ππππ63k x k -≤≤+，Z k ∈，故()f x 的单调增区间为πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，（2）π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故()1,12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（3）π1sin 264f αα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22ππππ7cos 2cos 2πcos 22sin 136668αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20．如图，在ABC 中，D 是BC 边上一点，3cos 5C =，7CD =，5AC =．（1）求AD 的长；（2）若8AB =，求角B 的大小【正确答案】（1）AD =（2）6B π=【分析】（1）直接利用余弦定理求出结果．（2）利用余弦定理和正弦定理求出结果．【详解】解：（1）在ADC △中，3cos 5C =，7CD =，5AC =．利用余弦定理2222232cos 57257325AD AC CD AC CD C =+-=+-⨯⨯⨯= ，解得AD =（2）利用余弦定理222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠=所以sin sin BDA ADC ∠=∠，在ABD △中，利用正弦定理sin sin AB AD BDA B =∠∠，整理得12sin 82B ∠==，故6B π=．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．21．在ABC 中，73a c =，sin C =(1)A ∠的大小；(2)cos B 和b 的值．条件①：1b a -=；条件②：3cos 2c A =-．【正确答案】(1)若选择①：π3A ∠=；若选择②：2π3A ∠=(2)若选择①：1cos 7B =-，8b =；若选择②：11cos 14B =．5b =【分析】选择①：1b a -=．（1）在ABC 中，由73a c =，sin C =，结合正弦定理得sin A ．由1b a -=，得a b <，推出A ∠；（2）由73a c =，推出02C π<∠<．由sin C =，推出cos C ，cos B ，再由正弦定理可得b ．选择②：3cos 2c A =-．（1）在ABC 中，因为73a c =，sin 14C =，结合正弦定理得sin A ．由3cos 02c A =-<，得ππ2A <∠<，推出A ∠；（2）因为73a c =，推出π02C <∠<．由sin C =，推出cos C ，cos B ，再由正弦定理可得b ．【详解】（1）选择①：1b a -=．在ABC 中，因为73a c =，sin C =，所以由正弦定理得sin sin a A C c ==因为1b a -=，所以a b <．所以π02A <∠<．所以3A π∠=．选择②：3cos 2c A =-．在ABC 中，因为73a c =，sin C =，所以由正弦定理得sin sin a A C c ==在ABC 中，3cos 02c A =-<，所以ππ2A <∠<．所以2π3A ∠=．（2）选择①：1b a -=．因为73a c =，所以a c >．所以02C π<∠<．因为sin C =，所以13cos 14C ==．所以1131cos cos[()]cos()sin sin cos cos 2147B A C A C A C A C π=-+=-+=--⨯=-．所以sin 7B ==．72=，即78b a =．因为1b a -=，所以8b =．选择②：3cos 2c A =-．因为73a c =，所以a c >．所以02C π<∠<．因为sin C =，所以13cos 14C ==．所以11311cos cos[()]cos()sin sin cos cos 21414B A C A C A C A C π=-+=-+=-=⨯=．所以sin 14B ==．因为3cos 2c A =-，所以32312c -==-．=所以5b =．。
北京市高一下学期数学3月阶段测试题A卷
北京市高一下学期数学3月阶段测试题A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）若角α与角β终边相同，则一定有（）A . α+β=180°B . α+β=0°C . α﹣β=k•360°，k∈ZD . α+β=k•360°，k∈Z2. （2分）(2017·邯郸模拟) 已知函数f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）为增函数，则“ ＜x＜2”是“f[log2（2x﹣2）]＞f（log ）”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若cos2 ，则△ABC的形状为（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不确定4. （2分）化简的结果是（）.A .B .C .D .二、填空题 (共10题；共10分)5. （1分） (2018高三上·黑龙江期中) 已知，则 ________．6. （1分） =________．7. （1分）已知sin（﹣α）=m，则cos（+α）=________．8. （1分）cos240°+tan315°的值为________．9. （1分） (2019高一下·上海月考) 若则的取值范围是________.10. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知角是三角形一内角，且，则 ________．11. （1分）已知cos（θ+）=﹣，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=________12. （1分） (2016高二下·宝坻期末) 已知tanα=2，tan（α+β）=﹣1，则tanβ=________．13. （1分） (2015高三上·泰州期中) 已知sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则c os2α的值为________．14. （1分） (2018高一下·栖霞期末) 在中，内角所对的边分别为，若，则的值为________．三、解答题 (共4题；共40分)15. （10分） (2018高一下·大同期末) 已知向量，，（1）若，求向量、的夹角；（2）若，求函数的最值以及相应的的取值.16. （10分） (2019高三上·汉中月考) 的内角，，所对的边分别为，，，已知 .（1）求的大小；（2）若，，求的内切圆的半径.17. （10分） (2016高二下·佛山期末) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA ﹣ sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若b= ，c=1，求△ABC的面积．18. （10分） (2019高一下·上海月考) 已知，求值：（1）；（2） .参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共10题；共10分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共4题；共40分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、。
北京市2023-2024学年高一下学期3月阶段测试数学试题含答案
高一数学学科（答案在最后）2024年3月姓名班级考号（考试时间90分钟满分100分）提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.下列量中是向量的为（）A.频率 B.拉力C.体积D.距离【答案】B 【解析】【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可.【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.故选：B2.已知,a b是两个单位向量，则下列等式一定成立的是（）A.0a b -= B.1a b ⋅= C.a b= D.0a b ⋅= 【答案】C 【解析】【分析】由向量分减法法则和数量积以及模长逐一判断即可.【详解】A ：由向量减法法则可得,a b的差为向量，不等于数，故A 错误；B 、D ：11cos ,cos ,a b a b a b ⋅=⨯⨯=，由于夹角大小不定，故值不确定，故B 、D 错误；C ：单位向量的模长相等，故C 正确；故选：C.3.设()1i 1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则x y +的值为（）A.1B.C.D.2【答案】D【解析】【分析】根据复数相等的充要条件得到方程，即可得解.【详解】因为()1i 1i x y +=+，即i 1i x x y +=+，又x ，y 是实数，依据复数相等的条件得1x x y =⎧⎨=⎩，即1x y ==，故2x y +=.故选：D.4.已知向量a 与b是两个不平行的向量，若//a c 且//b c ，则c 等于（）A.0B.aC.bD.不存在这样的向量【答案】A 【解析】【分析】由零向量与任意向量共线再结合已知条件得出.【详解】因为向量a 与b是两个不平行的向量，且//a c 且//b c ，所以c 等于0 ，故选：A5.若复数()22i m m m -+是纯虚数，则实数m 的值为（）A.0B.2C.3D.0或2【答案】B 【解析】【分析】根据复数的概念列方程求解即可得实数m 的值.【详解】因为复数()22i m m m -+是纯虚数，所以220m m m ⎧-=⎨≠⎩，解得2m =.故选：B .6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 是函数sin y x =图象的最高点，Q 是sin y x =的图象与x 轴的交点，则OP PQ +的坐标是（）A.π,12⎛⎫⎪⎝⎭B.()π,0 C.()π,0- D.()2π,0【答案】B 【解析】【分析】由向量加法以及正弦函数对称中心（零点）即可得解.【详解】由题意以及题图可知()()π,0,0,0Q O ，所以()π,0O O P Q PQ ==+.故选：B.7.抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.现在“解放碑”是重庆的地标性建筑，吸引众多游客来此打卡拍照.如图甲所示，解放碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正八边形ABCDEFGH ，如图乙所示，若O 是正八边形ABCDEFGH 的中心，且(),AC xAB y AH x y =+∈R，则x y +=（）A.1+ B.1 C.2 D.3【答案】C 【解析】【分析】设正八边形的边长为1，作平行四边形AHCM ，则根据向量的平行四边形法则可以找到关系，即可求解.【详解】由图可知角度关系，外角45θ= ，作平行四边形AHCM ，180290BCM θ∠=-=oo，设八边形的边长为1，则BM =AC AM AH xAB y AH =+=+uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r，所以111AM x AB+===+，1y =，所以2x y +=+故选：C8.已知点O 为ABC 外接圆的圆心，且0OA OB CO =++，则ABC 的内角A 等于（）A.30B.60C.90D.120【答案】A 【解析】【分析】由题意可得OA OB OC +=，又因为OA OB OC == ，所以四边形OACB 为菱形，且60CAO ∠= ，即可得答案.【详解】由0OA OB CO =++ 得，OA OB OC +=，由O 为ABC 外接圆的圆心，所以OA OB OC ==，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB 为菱形，且60CAO ∠= ，故30CAB ∠= ，即ABC 的内角A 等于30 .故选：A.9.复数()i ,R z x y x y =+∈满足条件4i 2z z -=+，则24x y +的最小值为（）A.2 B.4 C. D.16【答案】C 【解析】【分析】根据复数的模整理得到23x y +=，再利用基本不等式计算可得.【详解】由()i ,R z x y x y =+∈且4i 2z z -=+，得()4i 2i x y x y +-=++，∴()()222242x y x y +-=++，整理得23x y +=，∴22422x y x y +=+≥，当且仅当222x y =，即32x =，34y =时，24x y +取得最小值.故选：C10.已知向量,,a b c 满足1,a b == 3,,302a b a c b c ⋅---==，则c r 的最大值等于（）A. B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】由150AOB ∠=︒，cos 30ACB ∠=︒即得到点,,,A O B C 共圆，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.【详解】设OA a,OB b,OC c ===，因为1,a b == 32a b ⋅=- ，所以3cos 1502a b AOB AOB a b ⋅∠==-⇒∠=︒，又,30a c b c --=，所以cos 30ACB ∠=︒，所以点,,,A O B C 共圆，要使c 的最大，即OC 为直径，在AOB 中，由余弦定理可得2222cos 7AB OA OB OA OB AOB AB =+-⋅∠=⇒=，又由正弦定理2sin ABR AOB==∠，即c的最大值等于，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是由向量之间的夹角确定点,,,A O B C 共圆，再由正弦和余弦定理求解即可.二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11.复平面上，点()2,1-对应的复数z =______．【答案】2i-【解析】【分析】根据复数的坐标表示写出答案.【详解】由复数的几何意义知2i z =-故答案为：2iz =-12.已知平面向量,a b ，()()1,2,3,a b λ== ，若a b ⊥.则λ=_________.【答案】32-【解析】【分析】利用向量垂直的充分必要条件代入点的坐标求出即可.【详解】因为a b ⊥ ，所以()()31,23,3202a b λλλ⋅=⋅=+=⇒=- ，故答案为：32-.13.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa ±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）14.已知平面内的向量a 在向量b 上的投影向量为12b，且1a b == ，则2a b -= _________.【解析】【分析】由投影向量的公式求出12a b ⋅= ，再利用模长公式求出结果即可.【详解】因为向量a 在向量b 上的投影向量为12b，且1a b == ，所以1122a b b b a b bb ⋅⨯=⇒⋅=，所以2a b -===15.已知非零向量,a b ，满足a b a b ==- ，则,a b 的夹角为_____________.【答案】π3【解析】【分析】设1a b a b ==-=，再由模长的计算得到向量的数量积，最后代入夹角公式即可.【详解】设1a b a b ==-=，则()2221212a ba ab b a b -=-⋅+=⇒⋅= ，所以1cos ,2a b a b a b ⋅==⋅，所以,a b的夹角为π3，故答案为：π3.16.设复数z 满足2i 2i 4z z ++-=，则1i z --的取值范围是_________.【答案】⎡⎣【解析】【分析】由复数的几何意义确定复数z 复平面上的对应点的轨迹，结合图象确定可得结果.【详解】设复数z 在复平面上的对应点为Z ，复数1i +的在复平面上的对应点为(1,1)P ，由2i 2i 4z z ++-=，可知点Z 的轨迹为以()0,2A ，()0,2B -为端点的一条线段，又1i z --表示点Z 到点()1,1的距离，观察图象可知当i z =时，1i z --取最小值，最小值为1，当2i z =-时，1i z --取最，所以1i z --取值范围为⎡⎣.故答案为：⎡⎣.三、解答题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222a b ac c -=-．（1）求B ；（2）若5b =，2cos 10C =，求c ．【答案】（1）π4（2）7【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行求解；（2）先利用同角三角函数关系得到2sin 10C =，再使用正弦定理求解【小问1详解】2222a b ac c -=-变形为：2222a c b ac +-=，所以2222cos 22a cb B ac +-==，因为()0,πB ∈，所以π4B =，【小问2详解】因为2cos 10C =()0,πC ∈，所以272sin 1cos 10C C =-=由正弦定理得：sin sin b cB C =，即5π72sin 410=解得：7c =18.在①2c s 2o c A ab=-，②()cos 2cos b C a c B =-中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答.问题：在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知_________.（1）求B ；（2）若ABC 的外接圆半径为2，且1cos cos 8A C =-，求a c +.注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，π3B =（2）a c +=【解析】【分析】（1）根据正余弦定理边角互化，即可结合三角恒等变换求解，（2）根据余弦的和差角公式可得3sin sin 8A C =，进而利用率正弦定理可得6ac =，由余弦定理即可求解.【小问1详解】选择条件①：因为2c s 2o c A ab=-，在ABC 中，由余弦定理可得222222b c a c abc b+--=，由余弦定理可得222a c b ac +-=，则2221cos 222a cb ca B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.选择条件②：因为()cos 2cos b C a c B =-，由正弦定理得，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=.即()sin 2sin cos B C A B +=，则sin 2sin cos A A B =，因为()0,π,sin 0A A ∈≠，所以1cos 2B =，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为π3B =，所以2π3A C +=，即()1cos 2A C +=-，即1cos cos sin sin 2A C A C -=-，又因为1cos cos 8A C =-，所以3sin sin 8A C =.由于ABC 的外接圆半径为2R =，由正弦定理可得sin sin 44a cA C =⋅，可得6ac =，所以2sin b R B ==，由余弦定理可得()2222cos 312b a c ac B a c ac =+-=+-=，所以a c +=.19.已知集合{}*12(,,),,1,2,(2)n n i S X X x x x x N i n n ==∈=≥ .对于()()1212,,,,,,,n n n A a a a B b b b S ==∈ ，给出如下定义：①()1122,,,n n AB b a b a b a =---；②()()1212,,,,,,()n n a a a a a a λλλλλ=∈R ；③A 与B 之间的距离为1(,)niii d A B a b==-∑.说明：()()1212,,,,,,n n a a a b b b = 的充要条件是(1,2,,)i i a b i n == .（1）当5n =时，设(1,2,1,2,5),(2,4,2,1,3)A B ==，求(,)d A B ；（2）若,,n A B C S ∈，且存在0λ>，使得AB BC λ=，求证：(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=；（3）记20(1,1,,1)I S =∈ .若20,A B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，求(,)d A B 的最大值.【答案】（1）(,)7d A B =（2）见解析（3）26【解析】【分析】（1）当5n =时，直接利用1(,)niii d A B a b==-∑求得(,)d A B 的值（2）设{}{}{}121212,,,,,,,n n n A a a a B b b b C c c c === ，则由题意可得0λ∃>，使得()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,i n = ，得出i i b a -与i i c b -同为非负数或同为负数，由此计算(,)(,)d A B d B C +的结果，计算(,)d A C 的结果，从而得出结论（3）设(1,2,20)i i b a i -= 中有(20)m m ≤项为非负数，20m -项为负数不妨设1,2i m = 时，0i i b a -≥，1,2,,20i m m =++ 时，0i i b a -<利用(,)(,)13d I A d I B ==，得到202011i ii i a b ==∴=∑∑得到()()2012121,2i i m m i d A B b ab b b a a a =⎡⎤=-=+++-+++⎣⎦∑ 求出12m a a a m +++≥ ，1213m b b b m +++≤+ ，即可得到(,)d A B 的最大值得到(,)26d A B ≤，再验证得到成立的条件即可；【小问1详解】解：由于1(,)n i i i d A B a b==-∑，(1,2,1,2,5),(2,4,2,1,3)A B ==则(,)12241221537d A B =-+-+-+-+-=故(,)7d A B =【小问2详解】解：设{}{}{}121212,,,,,,,n n n A a a a B b b b C c c c === 0,λ∃> 使AB BC λ= ，0,λ∴∃>使得：11221122(,,)(,)n n n n b a b a b a c b c b c b λ---=--- ，0λ∴∃>，使得()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,i n = ，i i b a ∴-与(1,2,)i i c b i n -= 同为非负数或同为负数，i i i i i ib ac b c a ∴-+-=-1111(,)(,)()(,)n n n ni i i i i i i i i i i i i i d A B d B C a b b c b a c b c a d A C ====∴+=-+-=-+-=-=∑∑∑∑，故得证；【小问3详解】解：201(,)i ii d A B b a==-∑设(1,2,20)i i b a i -= 中有(20)m m ≤项为非负数，20m -项为负数不妨设1,2i m = 时，0i i b a -≥1,2,,20i m m =++ 时，0i i b a -<所以201(,)i ii d A B b a==-∑121212201220[()()][()()]m m m m m m b b b a a a a a a b b b ++++=+++-++++++-++ (,)(,)13d I A d I B ==202011(1)(1)i i i i a b ==∴-=-∑∑，整理得202011i i i i a b ===∑∑201(,)i i i d A B b a =∴=-∑()()()()21212201220i m m m m m m b b b a a a a a a b b b ++++=+++-++⋯+++++-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 12122[()]m m b b b a a a =+++-+++ 1212201220()()m m m b b b b b b b b b +++++=+++-+++ (1320)(20)113m m ≤+--⨯=+又121m a a a m m +++≥⨯= 1212(,)2[()]2[(13)]26m m d A B b b b a a a m m ∴=+++-+++≤+-= 即(,)26d A B ≤对于(1,1,1,,14),(14,1,1,1)A B == 有20,A B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==(,)26d A B =综上所得，(,)d A B 的最大值为26。
2023-2024学年北京市东城区高一下学期3月月考质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年北京市东城区高一下册3月月考数学试题一、单选题1．四边形ABCD 中，设AB＝a ，AD ＝b ，BC ＝c ，则DC ＝()A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c【正确答案】A【分析】在四边形ABCD 中,观察图形知+DC +=b a c ,由此能可得答案.【详解】解：在四边形ABCD 中,AB ＝a ，AD＝b ，BC ＝c ,∴+DC +=b a c ,∴DC=+-a b c ,故选A.本题主要考查向量的加减混合运算及其几何意义，得出+DC +=b a c ,是解题的关键.2．将函数24y x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π单位后，所得图象对应的函数解析式为（）A ．5212y x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．5212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】先将函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中x 换为x-12π后化简即可.【详解】2()124y x ππ⎛⎫=-+ ⎝⎭化解为212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选D本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x 按要求变换.3．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =A ．1324AB AD -+B ．1223AB AD +C ．1132AB AD-D ．1324AB AD-【正确答案】D【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：DF AF AD =- ，1=2AF AE ，=AE AB BE +，1=2BE BC ，=BC AD，即可得出答案.【详解】利用向量的三角形法则，可得DF AF AD =- ，=AE AB BE +，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则1=2AF AE ，1=2BE BC 1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD∴=--+-- 又=BC AD 1324DF AB AD ∴=- .故选D.本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．4．若θ1cos 1cos 1cos 1cos θθθθ-++-）A ．2tan θB ．2tan θC ．2tan θ-D ．2tan θ-【正确答案】D根据同角三角函数的关系化简可求出.【详解】 θ为第二象限角，sin 0θ∴>，==1cos 1+cos sin sin θθθθ-=-1cos 1+cos 2cos 2sin sin sin tan θθθθθθθ-=-=-=-.故选：D.5．如果函数()f x 是定义在()3,3-上的奇函数，当03x <<时，函数()f x 的图象如图所示，那么不等式()cos 0f x x <的解集是A ．(3,)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃B ．(,1)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃C ．(3,1)(0,1)(1,3)--⋃⋃D ．(3,(0,1)(1,3)2π--⋃⋃【正确答案】B 【详解】试题分析：图1图2如图1为f(x)在（-3，3）的图象，图2为y=cosx 图象，要求得()cos 0f x x <的解集，只需转化为在(3,3)-寻找满足如下两个关系的区间即可：()0()0{{cos 0cos 0f x f x x x ><<>或，结合图象易知当(,1)2x π∈--时，()0,cos 0f x x ，当(0,1)x ∈时，()0,cos 0f x x ，当(,3)2x π∈时，()0,cos 0f x x ><，故选B.奇函数的性质，余弦函数的图象，数形结合思想.6．已知函数()()2sin()06f x x ωωπ=->，若R x ∀∈，()()3f x f π≤，则ω的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【正确答案】A【分析】由题意可得函数()f x 在3x π=时取最大值，再利用正弦型函数的性质列式求解作答.【详解】因()R,()3x f x f π∀∈≤，则有max ()()23f x f π==，即()2Z 362k k ωππππ-=+∈，解得()26Z k k ω=+∈，而0ω>，则N k ∈，即当0k =时，min 2ω=，所以ω的最小值为2故选：A7．一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆，如果对任意的12,x x I ∈，()0,1t ∈，当12x x <时，都有()()()()121211f t x tx t f x tf x ⎡⎤-+>-+⎣⎦，则称()y f x =在区间I 上是“n -函数”下列函数中是区间()0,2π上是“n -函数”的是（）A ．sin 2y x =B ．cos 2y x =C ．sin2xy =D ．cos2x y =【正确答案】C 【分析】当12t =时，如果对任意的()12,0,2πx x ∈，当12x x <时，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故函数为凸函数，进而分析各选项即可得答案.【详解】解：由题知，当12t =时，如果对任意的()12,0,2πx x ∈，当12x x <时，都有()()121222f x f x x xf ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故函数为凸函数；对于A 选项，sin 2y x =的最小正周期为π，由于正弦函数在一个周期内凸函数性质，又有凹函数性质，所以sin 2y x =在()0,2π不具有始终为凸函数的性质，故错误；对于B 选项，cos 2y x =的最小正周期为π，由于余弦函数在一个周期内凸函数性质，又有凹函数性质，所以cos 2y x =在()0,2π不具有始终为凸函数的性质，故错误；对于C 选项，sin 2xy =的最小正周期为4π，其函数图像在()0,2π始终具有为凸函数的性质，故正确；对于D 选项，cos 2xy =的最小正周期为4π，其函数图像在()0,2π上即具有凸函数性质，又有凹函数性质，故错误；故选：C8．如图，A ，B ，C 三点在半径为l 的圆O 上运动，M 是圆O 外一点，且AC BC ⊥，2OM =，则MA MB MC ++的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【正确答案】D【分析】连接AB ，结合题意得到O 为AB 的中点，再利用向量的运算即可求解.【详解】连接AB ，由题意可知AB 为圆O 的直径，所以O 为AB 的中点，则2247MA MB MC MO MC MO MC MC ++=+≤+≤+= ，当且仅当,MO OC同向时取等号，故选：D.二、填空题9．已知扇形的面积为9，圆心角为2rad ，则扇形的弧长为______．【正确答案】6【分析】联立公式12S lr =和l r α=⋅，即可得到本题答案.【详解】设半径为r ，弧长为l ，由题得，192S lr ==①，2l r =②，②代入①得，29r =，所以3r =，则26l r ==.故6三、双空题10．设向量()3,1OA =- ，()1,2OB =- ，()3,OC t =-.（1）若A ，B ，C 三点共线，则t =________；（2）2OB OC AB += ，则t =_______.【正确答案】72##3.54-【分析】（1）若A ，B ，C 三点共线，则//AB AC ，由平行向量的坐标表示即可得出答案；（2）由向量的模长公式可求出2OB OC += 5AB = 5=，解方程即可得出答案.【详解】（1）()4,3AB OB OA =-=- ，()6,1AC OC OA t =-=-+，若A ，B ，C 三点共线，则//AB AC ，()()41360t -⨯+-⨯-=，解得.72t =（2）()()()221,23,5,4OB OC t t +=-+-=-+ ，()4,3AB OB OA =-=-因为2OB OC AB += ，则2OB OC +=，5AB =，5=，解得.4t =-11．πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为_______，对称轴为_______.【正确答案】πππ,62k x k =-+∈Z 【分析】根据题意，由余弦型函数的性质，代入计算，即可得到结果.【详解】因为函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则其最小正周期为2ππ2T ==，令π2π,3x k k +=∈Z ，解得ππ,62k x k =-+∈Z ，所以其对称轴为:ππ,62k x k =-+∈Z 故答案为:π;ππ,62k x k =-+∈Z 四、填空题12．已知,a b是两个平面向量，||b = t R ∈，恒有||||b ta b a -- ，则||||a b a -+ 的最大值是__________．【正确答案】4【分析】根据平面向量数量积的运算律及不等式恒成立，得到222220t a tb a b a a -⋅+⋅-≥恒成立，即可得到()2240b a a ⋅-≤ ，从而得到()a b a ⊥-，设||a x = ，||b a y -= ，则228x y +=，再利用基本不等式计算可得．【详解】解： 对任意t R ∈，恒有||||b ta b a --，所以()()22b tab a -- ，即2222222b tb a t a b b a a -⋅+-⋅+即222220t a tb a b a a -⋅+⋅-≥恒成立，所以()()2222420b a a b a a -⋅-⋅-≤，即()2240b a a ⋅-≤所以20b a a ⋅-= ，即()b a a -⋅= ∴()a b a ⊥-．设||a x =，||b a y -=，则2228x y +==，∴||||4a b a x y -+=+==，当且仅当“x y =”时“=”成立．∴||||a b a -+的最大值为4．故4．13．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线1110x π=对称，且()f x 在,6m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则m 的最大值为_____.【正确答案】3π5【分析】根据函数的对称性求出ϕ，即可求出函数解析式，再根据x 的取值范围，求出2π5x -的取值范围，根据余弦函数的性质得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线11π10x =对称，所以11π210k ϕπ⨯+=，Z k ∈，即511πk ϕπ=-，Z k ∈，又2πϕ<，所以π5ϕ=-，从而()2π5cos f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22π2ππ,5155x m ⎡⎤--⎢⎣∈⎦，因为函数cos y x =在[]0,π上单调递减，在[],2ππ上单调递增，所以2ππ2155m π<-≤，即π3π65m <≤，故m 的最大值为3π5.故3π514．已知π()2sin(23f x x =+，若123,,x x x ∃∈3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，使得123()()()f x f x f x ==，若123x x x ++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=___________.【正确答案】23π6【分析】作出()f x 在3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，123,,x x x 为()f x 的图象与直线y =m 交点的横坐标，利用数形结合思想即可求得M 和N ﹒【详解】作出π()2sin(2)3f x x =+在3π[0,]2上的图象（如图所示）因为π(0)2sin3f ==3ππ()2sin(π23f =+=所以当()f x 的图象与直线y =设前三个交点横坐标依次为1x 、2x 、3x ，此时和最小为N ，由π2sin(23x +=πsin(2)32x +=，则10x =，2π6x =，3πx =，7π6N =；当()f x 的图象与直线y =相交时，设三个交点横坐标依次为1x 、2x 、3x ，此时和最大为M ，由π2sin(23x +=πsin(2)32x +=-，则127π6x x +=，33π2x =，8π3M =；所以23π6M N +=.故答案为.23π6五、解答题15．化简求值.(1)计算：14π29π53π19πsin cos tan sin cos 25π3662⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)化简：()()()3sin 2πcos 3πcos π21sin πsin π2ααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫-++ ⎪⎝⎭【正确答案】(2)sinα-【分析】（1）（2）根据诱导公式化简，利用特殊角的三角函数值即可求解.【详解】（1）14π29π53π19πsin cos tan sin cos 25π3662⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()14π29π53π19πsin 4πcos tan 8πsin 8πcos 25π24π3662⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++--- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2π29π5π3πsin cos 4πtan sin cos π=11=3662⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+-+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()()()()()()()31sin 2πcos 3πcos πsin cos πcos πsin cos sin 22sin 11sin cos sin πsin πsin πsin π22αααααααααααααααα⎛⎫⎛⎫-++-+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫⎛⎫-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16．某港口的水深y （单位：m ）是时间t （024t ≤≤，单位：h ）的函数，下面是该港口的水深表：t （单位：h ）0…3…9…15…h （单位：m ）10…13…7…13…经过长时间的观察，描出的曲线如下图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数()sin y A x B ωϕ=++的图象.(1)试根据数据表和曲线，求出函数()sin y A x B ωϕ=++的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m 时是安全的.如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m ，那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多少小时?（忽略离港所用的时间）【正确答案】(1)π3sin 106y t =+(2)16【分析】（1）由图象求出函数的最大值和最小值以及周期进行求解即可．（2）根据条件解不等式7 4.5y -≥，然后进行求解即可．【详解】（1）由图象知最大值13A B +=，最小值7A B -+=，得3A =，10B =，得15312T =-=，即2π12ω=，得π6ω=，此时π3sin 106y t ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又当3t =时，πππ3sin 310132π,Z 2π,Z 622y k k k k ϕϕϕ⎛⎫=⨯++=⇒+=+∈⇒=∈ ⎪⎝⎭,故π3sin 106y t =+．（2）由7 4.5y -≥，得11.5y ≥，即π3sin 1011.56t +≥，得π1sin 62t ≥，得ππ5π2π+2π+666k t k ≤≤，Z k ∈，解得121125k t k +≤≤+，Z k ∈，024t ≤≤ ，0k ∴=时，15t ≤≤，1k =时，13317t ≤≤，故当1时至5时，或13时至17时，能够安全进港，若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间为17116-=小时．17．如图所示，L ，M ，N 分别为ABC ∆的边BC ，CA ，AB 上的点，且BL l BC =，CMm CA=，AN n AB =，若0AL BM CN ++=．求证：l m n ==．【正确答案】证明见解析令BC a = ，CA b =为一组基底，根据已知有BL la = ，CM mb = ．根据向量的三角形法则以及平面向量的基本定理把,,AL BM CN 用向量,a b表示出来即可。
2023-2024学年北京市海淀区高一下学期3月月考数学检测试题(含解析)
2023-2024学年北京市海淀区高一下册3月月考数学检测试题一、单选题1．若角α的终边经过点()3,1P -，则cos α=（）A ．10B ．3-C ．10-D ．13-【正确答案】C【分析】由三角函数的定义即可求解.【详解】由三角函数的定义可知cos α=-故选:C2．已知向量()2,1a =r ，()1,b λ=- ，若//a b，则实数λ=（）A ．2B ．12C ．2-D ．12-【正确答案】D【分析】由向量共线的坐标表示求参数即可.【详解】由题设121λ-=，故12λ=-.故选：D3．在单位圆中，200︒的圆心角所对的弧长为A ．910πB ．109πC ．9πD ．10π【正确答案】B【分析】根据弧长公式，180n Rl π=，代入计算即可．【详解】解：200101801809n R l πππ===，故选B ．本题主要考查了弧长公式，属于基础题．4．在平行四边形ABCD 中，设对角线AC 与BD 相交于点O ，则AB CB +=（）A ．2BOB ．2DOC ．BD D ．AC【正确答案】B根据向量的线性运算可得正确的选项.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形，故0AO CO +=，故22AB CB AO OB CO OB OB DO +=+++== ，故选：B.5．已知角A ，B 是三角形ABC 的两个内角，则点()cos ,tan P A B （）A ．不可能在第一象限B ．不可能在第二象限C ．不可能在第三象限D ．不可能在第四象限【正确答案】C【分析】由角A ，B 为锐角还是钝角可判断()cos ,tan P A B 位于哪个象限，据此可得答案.【详解】A 选项，当角A ，B 均为锐角时，00cos ，tan A B >>.即此时点P 在第一象限，故A 错误；B 选项，当角A 为钝角，B 为锐角时，00cos ，tan A B <>.即此时点P 在第二象限，故B 错误；C 选项，因三角形最多有一个钝角，故cos A 与tan B 不可能同时小于0，即点P 不可能在第三象限，故C 正确；D 选项，当角A 为锐角，B 为钝角时，00cos ，tan A B ><.即此时点P 在第四象限，故D 错误.故选：C6．已知()1sin cos 0π3ααα=<<，则sin cos αα+=（）A B ．C ．53D ．53-【正确答案】A【分析】将sin cos αα+平方即可求解.【详解】由于0πα<<，所以sin 0α>，又1sin cos 03αα=>，所以cos 0α>()25sin cos 12sin cos 3αααα+=+=,故3sin co s αα+=，故选：A7．设,a b 是向量，“a a b =+”是“0b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据向量的运算性质结合充分条件和必要条件的判定，即可得出答案.【详解】当12a b =-时，1122a b b b b a +=-+== ，推不出0b = 当0b = 时，0b = ，则0a b a a+=+= 即“a a b =+”是“0b = ”的必要不充分条件故选：B本题主要考查了判断必要不充分条件，属于中档题.8．将函数sin 2y x =的图象向右平移π6个单位，得到函数()f x 的图象，则下列说法正确的是（）A ．()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π3x =-是函数()f x 的图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎣⎦上是减函数D ．()f x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数【正确答案】D【分析】根据平移变换求出()f x 的解析式可判断A ；利用正弦函数的对称轴可判断B ；求()f x 的单调区间可判断C ，D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：因为将函数sin 2y x =的图象向右平移π6个单位，得到函数()f x 的图象，所以()ππsin 2sin 263f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 不正确；对于B ：πππ2π332k ⎛⎫⨯--=+ ⎪⎝⎭，可得3Z 2k =-∉，所以π3x =-不是函数()f x 的图象的一条对称轴，故选项B 不正确；对于C ：令()πππ2π22πZ 232k x k k -+≤-≤+∈，可得()π5πππZ 1212k x k k -+≤≤+∈，所以()f x 在ππ,612⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在ππ,123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选项C 不正确；对于D ：由C 知：当0k =时，π5π1212x -≤≤，所以()f x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，故选项D 正确；故选：D.9．已知()sin f x x =在区间[],a b 的值域是2⎡-⎢⎣⎦，则b a -的最大值是（）A ．23πB ．53πC ．56πD ．π【正确答案】B【分析】由函数的值域为⎡-⎢⎣⎦以及三角函数的图像性质可知，定义域一定在一个周期内，再由函数图像可以得出,a b 的值，进而求解即可.【详解】如图，当[]1,x a b ∈时，值域为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦且b a -最大；此时1()()f a f b ==3ππ[,22-上，14ππ,33a b =-=，则b a -的最大值是π4π5π()333--=，故选：B.10．如图，A 是轮子外边沿上的一点，轮子半径为0.3m .若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为2.2m 时，下列描述正确的是（）（参考数据：721.991π≈）A ．点A 在轮子的左下位置，距离地面约为0.15mB ．点A 在轮子的右下位置，距离地面约为0.15mC ．点A 在轮子的左下位置，距离地面约为0.26mD ．点A 在轮子的右下位置，距离地面约为0.04m 【正确答案】A【分析】计算出车轮转动的周期数即可得结果.【详解】车轮的周长为20.30.6ππ⨯=，当滚动的水平距离为0.7m 2.2m π≈时，即车轮转动1106+个周期，即点A 在轮子的左下位置，距离地面约为0.30.3cos0.15m 3π-⨯=，故选：A.二、填空题11．已知5sin 13α=，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【正确答案】513-【分析】应用诱导公式化简求值即可.【详解】由π5cos sin 213αα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭.故513-12．若tan 2α=，则sin cos sin cos αααα-+的值为____________.【正确答案】13【分析】将sin cos sin cos αααα-+分子分母同除以cos α，即可求得答案.【详解】由题意tan 2α=，则cos 0α≠，则sin cos tan 1211sin cos tan 1213αααααα---===+++，故1313．如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为__________.【正确答案】12【详解】由题意正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，可知：1122AE AC CE AC AB =+=- ．则λμ+的值为：12．故答案为1214．若点()cos ,sin A θθ关于y 轴的对称点为cos ,sin 33B ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则θ的一个取值为_____.【正确答案】()Z 3k k ππ+∈(答案不唯一)【分析】根据,A B 两点关于y 轴对称，可得到两点的横坐标相反，纵坐标相等，从而可求得θ的值.【详解】因为点()cos ,sin A θθ关于y 轴的对称点为cos ,sin 33B ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以cos cos 3sin sin 3πθθπθθ⎧⎛⎫+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，即1cos cos 21sin sin 2θθθθθθ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即tan θ=，所以()Z 3k k πθπ=+∈.故答案为.()Z 3k k πθπ=+∈(答案不唯一)15．函数()f x 是定义域为R 的奇函数，满足22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且当[0,)x π∈时，2sin ()xf x x πx π=-+，给出下列四个结论：①()0f π=；②π是函数()f x 的周期；③函数()f x 在区间(1,1)-上单调递增；④函数()()sin1([10,10])g x f x x =-∈-所有零点之和为3π.其中，正确结论的序号是___________.【正确答案】①③④【分析】由22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()()0f f π=直接计算()0f 即可判断①；根据函数()f x 的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断②；先判断()f x 在(0,1)的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④.【详解】对于①：由22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()sin 0()00f f ππ===，故①正确；对于②：由22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()f x 关于直线2x π=对称，因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()()f x f x f x π+=-=-所以()()()2f x f x f x ππ+=-+=，所以函数()f x 的周期为2π，故②不正确；对于③：当01x <<时，sin y x =单调递增，且sin 0y x =>，22224y =x πx π=x πππ⎛⎫-+-+-⎪⎝⎭在01x <<单调递减，且11y ππ>-+=，所以2sin ()xf x x πx π=-+在01x <<单调递增，因为()f x 是奇函数，所以函数()f x 在区间(1,1)-上单调递增；故③正确；对于④：由22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()f x 关于直线2x π=对称，作出示意图函数()()sin1([10,10])g x f x x =-∈-所有零点之和即为函数()y f x =与sin1y =两个函数图象交点的横坐标之和，当π3π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，两图象交点关于2x π=对称，此时两根之和等于π，当3π,102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时两图象交点关于52x π=对称，此时两根之和等于5π，当5,22x ππ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时两图象交点关于32x π=-对称，此时两根之和等于5π3,10,2x π⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭时两图象无交点，所以函数()()sin1([10,10])g x f x x =-∈-所有零点之和为3π.故④正确；故①③④求函数零点的方法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()yg x =的图象交点个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和.三、解答题16．计算下列各式.(1)11π14πcos tan sin 87043⎛⎫⎛⎫+-+︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)若()3sin π5α-=，则求()()π3π2sin πcos sin cos 22αααα⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【正确答案】122-(2)3425-【分析】（1）利用诱导公式化简求值即可；（2）由诱导公式、同角三角函数关系化简求值.【详解】（1）原式3π2π3π2πcos 2πtan 4πsin(720150)cos tan sin1504343⎛⎫⎛⎫=+-++︒+︒=-+︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122=-+.（2）由()3sin πsin 5αα-==，又()()π3π2sin πcos sin cos 22αααα⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2(sin )sin (cos )cos αααα=-+-222sin cos αα=--234sin 125α=--=-.17．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求()f x 的最小正周期；(2)用“五点法”画出()f x 在一个周期内的图象，并直接写出函数()f x 在区间π2,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.x π26u x =+()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【正确答案】(1)π(2)图象见解析，[]1,1-【分析】（1）根据周期的定义可以求得；（2）根据正弦函数的性质及五点作图法列表作图，有图象直接写函数取值范围.【详解】（1）设最小正周期为T ，则()()()πππsin 2sin 22sin 2666f x T x T x T f x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()22πZ,0T k k T =∈>，当1k =时πT =故π（2）xπ12-π65π122π311π12π26u x =+0π2π3π22π()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭01-1易知函数()f x 在区间π2,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围为：[]1,1-18．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭由下列四个条件中的三个来确定：①最小正周期为π；②最大值为2；③06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；④(0)2f =-．（1）写出能确定()f x 的三个条件，并求()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调递增区间．【正确答案】（1）条件①②③，()2sin(2)3f x x π=+；（2）增区间是5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．【分析】（1）条件①必须有，否则不能确定函数的周期，从而求不出ω，有了①可求得ω，在周期确定的情况下，加上条件③④不能确定最大值和最小值，确定不了A ，这样条件必须条件②，确定出A 值，选④选，在02πϕ<<范围内无ϕ值满足题意，这样只能选③，求出ϕ．（2）结合正弦函数的增区间可求得结论．【详解】（1）选条件②③④，不能确定周期，求不出ω；选①③④，不能确定最大值和最小值，求不出A ；选①②④，求得的ϕ不满足已知条件02πϕ<<．只能选①②③．条件①②③，2T ππω==，2ω=，2A =，由()2sin()063f ππϕ-=-+=，又02πϕ<<得3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+；（2）222232k x k πππππ-≤+≤+，51212k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈，所以增区间是5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．方法点睛：本题考查求三角函数的解析式，考查三角函数的单调性．求三角函数解析式()sin()f x A x ωϕ=+，通常与“五点法”联系，由周期确定ω，由最值确定A ，由点的坐标确定ϕ．也可能由某点的坐标确定A ，这时需要求出ϕ值，才可得出函数解析式．19．在平面直角坐标系xOy 中，OABC 是平行四边形，已知()2,1A -，()1,3B .(1)求OC；(2)若3AD AB =，求D 点坐标；(3)若OE =，且A ，B ，E 三点共线，求E 点坐标.【正确答案】(1)(3,2)(2)(7,7)(3)()1,3E 或413(,)1313E -【分析】（1）利用平行四边形各边关系及向量线性运算的坐标表示求C 坐标，即可得OC；（2）由向量共线的坐标表示列方程组求D 点坐标；（3）设点坐标，根据向量共线及模长的坐标表示列方程组求E 点坐标.【详解】（1）由题设知：OA CB = ，又(2,1)OA =- ，若(,)C x y ，则(1,3)(2,1)CB x y =--=- ，所以3,2x y ==，故()3,2C ，可得OC =(3,2)；（2）令(,)D a b ，则(2,1),(3,2)AD a b AB =+-= ，且3AD AB =，所以2916a b +=⎧⎨-=⎩，可得77a b =⎧⎨=⎩，故(7,7)D ；（3）令(,)E m n ，由A ，B ，E 三点共线，则(3,2)AE AB λλλ==，又(2,1)AE m n =+- ，故2312m n λλ+=⎧⎨-=⎩，而OE == ，所以2232710n m m n -=⎧⎨+=⎩，可得13m n =⎧⎨=⎩或4113313m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故()1,3E 或413(,)1313E -.20．已知函数()2cos sin f x x a x =+.(1)当2a =时，求函数()f x 的最值及对应的x 取值；(2)若R a ∈，求函数()f x 的最大值.【正确答案】(1)π2π,Z 2x k k =+∈有max ()2f x =，π2π,Z 2x k k =-+∈有min ()2f x =-；(2)答案见解析【分析】（1）由题设可得2()(sin 1)2f x x =--+，根据二次函数、正弦函数的性质求最值，写出对应x 值；（2）由22()(sin )124a a f x x =--++，讨论2a ≤-、22a -<<、2a ≥分别求出对应最值，即可得结果.【详解】（1）由题设222()cos 2sin sin 2sin 1(sin 1)2f x x x x x x =+=-++=--+，所以，当sin 1x =，即π2π,Z 2x k k =+∈时，max ()2f x =；当sin 1x =-，即π2π,Z 2x k k =-+∈时，min ()2f x =-；（2）由222()sin sin 1(sin )124a a f x x a x x =-++=--++，当12a ≤-，即2a ≤-时，当sin 1x =-，即π2π,Z 2x k k =-+∈，max ()f x a =-；当112a -<<，即22a -<<时，当sin 2a x =时，2max ()14a f x =+；当12a ≥，即2a ≥时，当sin 1x =，即π2π,Z 2x k k =+∈时，max ()f x a =；综上，2a ≤-时max ()f x a =-；22a -<<时2max ()14a f x =+；2a ≥时max ()f x a =.21．对于向量()0000,,X a b c =，若0a ，0b ，0c 三数互不相等，令向量()1111,,i i i i X a b c ++++=，其中1+=-i i i a a b ，1+=-i i i b b c ，1+=-i i i c c a ，0,1,2,3,i = .(1)当()05,2,1X =时，试写出向量100X ；(2)证明：对于任意的N i ∈，向量i X 中的三个数i a ，i b ，i c 至多有一个为0；(3)若000,,∈a b c N ，证明：存在正整数t ，使得3+=t t X X .【正确答案】(1)(1,1,0)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据定义依次写出i X ，根据周期写出100X ；（2）反证法，假设i X 中i a ，i b ，i c 有不止1个为0，结合分类讨论及已知推出矛盾即可；（3）令{}max ,,i i i i a b c m =并根据{}i m 在*N i ∈上的性质必存在*N n ∈使1n n m m +=，再结合分类讨论确定必存在i X 中有一项为0，而另两项相等，即可得结论.【详解】（1）1523a =-=，1211b =-=，1154c =-=，即1(3,1,4)X =；2312a =-=，2143b =-=，2431c =-=，即2(2,3,1)X =；3231a =-=，3312b =-=，3121c =-=，即3(1,2,1)X =；4121a =-=，4211b =-=，4110c =-=，即4(1,1,0)X =；5110a =-=，5101b =-=，5011c =-=，即5(0,1,1)X =；6011a =-=，6110b =-=，6101c =-=，即6(1,0,1)X =；7101a =-=，7011b =-=，7110c =-=，即7(1,1,0)X =；......由上，从4(1,1,0)X =开始，每3个向量出现重复一个向量，而100332314(1,1,0)X X X +⨯+===.（2）假设i X 中i a ，i b ，i c 有不止1个为0，若0,0i i i a b c ==≠且1i ≥，则1111||0,||0i i i i i i a a b b b c ----=-==-=，故111i i i a b c ---==，此时11||0i i i c c a --=-≠矛盾；若0i i i a b c ===且1i ≥，111111||0,||0,||0i i i i i i i i i a a b b b c c c a ------=-==-==-=，所以111i i i a b c k ---===为定值，而0a ，0b ，0c 三数互不相等，当2i ≥，则122122122i i i i i i i i i a a b b b c c c a k ---------=-==-==-=，不妨令222i i i a b c ---≤≤，则222222i i i i i i b a c b c a k -------=-=-=，显然222222()()2i i i i i i b a c b c a k k -------+-=-⇒=，即0k =，所以1110i i i a b c ---===，.............2220i i i a b c ---===....，0000a b c ===，与0a ，0b ，0c 三数互不相等矛盾；综上，对于任意的N i ∈，向量i X 中的三个数i a ，i b ，i c 至多有一个为0；（3）令{}max ,,i i i i a b c m =，又1+=-i i i a a b ，1+=-i i i b b c ，1+=-i i i c c a 且*,,N i i i a b c ∈，所以1i i m m +≤，且N i ∈，由题意，N i m ∈，且N i ∈，故{}i m 在*N i ∈上不可能单调递减，即必存在*N n ∈使1n n m m +=，根据1+n X 的定义，{},,n n n n X a b c =中,,n n n a b c 必有一个0，由（2）知：,,n n n a b c 中有且仅有一个为0，令0n a =，若n n b c ≠，不妨设0n n b c <<，则111,,n n n n n n n n n n n n n a a b b b b c c b c c a c +++=-==-=-=-=，则1n n n m m c +==，所以{}2111max ,n n n n n n n a a b b c b m ++++=-<-<，同理221,n n n b c m +++<，所以21n n m m ++<，又N i m ∈，故此情况不可能一直出现（至多有1n m +次），所以一定能找到*N l ∈，使得l l b c =；若n n b c =，则{}0,,n n n X b b =，{}1,0,n n n X b b +=，{}2,,0n n n X b b +=，{}30,,n n n X b b +=......所以存在正整数t ，使得3+=t t X X ；综上，存在正整数t ，使得3+=t t X X .关键点点睛：第二问，应用反证法，假设i X 中i a ，i b ，i c 有不止1个为0，讨论0,0i i i a b c ==≠、0i i i a b c ===，结合题设推出矛盾即可；第三问，令{}max ,,i i i i a b c m =，根据定义判断{}i m 在*N i ∈不可能单调，必存在*N n ∈使1n n m m +=，再结合定义、（2）结论并讨论0n a =、n n b c ≠或n n b c =即可证结论.。
北京市2019年高一下学期数学3月月考试卷A卷
北京市2019年高一下学期数学3月月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·成都月考) （）A .B .C .D .2. （2分） (2020高一上·铜仁期末) 半径为4，圆心角为的扇形的弧长为（）A .B .C .D .3. （2分）已知,且,则=（）A .B .C . －D . －4. （2分） sin（﹣）的值是（）A .B . -C .D . -5. （2分） (2016高二上·山东开学考) 下列坐标所表示的点不是函数y=tan（）的图象的对称中心的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二上·凌源期末) 为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向左平移个单位长度C . 向右平移个单位长度D . 向右平移个单位长度7. （2分）设当x=θ时，函数f（x）=3sinx+4cosx取得最小值，则sinθ=（）A .B .C .D .8. （2分）(2019·邵阳模拟) 函数y=sinx，x∈R的最小正周期是（）A . 1B . 2C . πD . 2π9. （2分）设a=30.5,b=log32,c=cos2，则（）A . c<b<aB . c<a<bC . a<b<cD . b<c<a10. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于（）A . 2B . 4C . 6D . 811. （2分）已知函数的图象过点（1,2），若有4个不同的正数xi满足g(xi)=M，且，则等于（）A . 12B . 20C . 12或20D . 无法确定12. （2分）已知函数f（x）= ，若函数f（x）在上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·邳州开学考) 设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1 ，x2∈D，当x1+x2=2a 时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx﹣3的某个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可求得f（）+f（））+…+f（）+f （）的值为________．14. （1分）(2018·吉林模拟) 设为第二象限角,若,则 ________15. （1分）(2017高三上·太原月考) 函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程有且仅有8个不同实数根，则实数的取值范围是________16. （1分）设函数y=sinx（0≤x≤π）的图象为曲线C，动点A（x，y）在曲线C上，过A且平行于x轴的直线交曲线C于点B（A、B可以重合），设线段AB的长为f（x），则函数f（x）单调递增区间________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）解答题（1）化简；（2），求2sin2α﹣sinαcosα+cos2α的值．18. （10分）(2017·宜宾模拟) 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a，b，c成等比数列，且a2﹣c2=ac﹣bc．（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若a= ，且sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，求△ABC的面积．19. （10分）(2020·普陀模拟) 某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建.如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．（1）求停车场面积关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）当为何值时，停车场面积最大，并求出最大值（精确到平方米）.20. （10分）已知y=a﹣bcos3x（b＞0）的最大值为，最小值为﹣，求函数y=﹣4asin（3bx）的周期、最值及取得最值时的x，并判断其奇偶性．【考点】余弦函数的定义域和值域；三角函数的周期性及其21. （10分）已知函数的图象经过三点（0，1），，，且在区间内有唯一的最值，且为最小值．（1）求函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式；（2）若函数f（x）在区间[﹣m，m]上是单调递增函数，求实数m的最大值；（3）若关于x的方程f（x）﹣a+1=0在区间内有两个实数根x1，x2（x1＜x2），求实数a的取值范围．22. （10分） (2019高三上·平遥月考) 已知函数图象的一条对称轴为．（1）求的最小值；（2）当取最小值时，若，，求的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
《精编》北京市宏志中学高一数学3月月考试题(含解析)新人教A版.doc
-学年北京市宏志中学高一〔下〕3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：〔本大题共14小题，每题4分，共56分〕1．〔4分〕化简的结果是〔〕A．c os160°B．﹣cos160°C．±cos160°D．±|cos160°|考点：同角三角函数根本关系的运用；三角函数值的符号．专题：计算题．分析：确定角的象限，然后确定cos160°的符号，即可得到正确选项．解答：解：160°是钝角，所以=|cos160°|=﹣cos160°应选B点评：此题是根底题，考查同角三角函数的根本关系式，象限三角函数的符号，考查计算能力，常考题型．2．〔4分〕与﹣463°角终边相同的角为〔〕A．K•360°+463°，K∈Z B．K•360°+103°，K∈ZC．K•360°+257°，K∈ZD．K•360°﹣257°，K∈Z考点：终边相同的角．专题：计算题．分析：由﹣463°=﹣2×360°+257°，可得257°与﹣463°终边相同式，从而得出结论．解答：解：∵﹣463°=﹣2×360°+257°，∴257°与﹣463°终边相同，由此可得与角﹣463°终边相同的角一定可以写成k×360°+257°，k∈z 的形式，应选C．点评：此题考查终边相同的角的定义和表示方法，利用了与角﹣463°终边相同的角一定可以写成k×360°+〔﹣463°〕，k∈z 的形式．3．〔4分〕假设sin〔3π+α〕=﹣，那么cos等于〔〕A．﹣B．C．D．﹣考诱导公式的作用；同角三角函数间的根本关系．点：专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式化简即可得出．解答：解：∵sin〔3π+α〕=﹣，∴，∴．∴cos==﹣sinα=．应选A．点评：熟练掌握诱导公式是解题的关键．4．〔4分〕〔•普陀区一模〕假设α、β终边关于y轴对称，那么以下等式成立的是〔〕A．s inα=sinβB．c osα=cosβC．t anα=tanβD．s inα=﹣sinβ考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：在角α终边上任取一点P〔x，y〕，点P关于y轴对称的点为P′〔﹣x，y〕在β的终边上，依据三角函数的定义求sinα和sinβ．解答：解：∵α、β终边关于y轴对称，设角α终边上一点P〔x，y〕，那么点P关于y轴对称的点为P′〔﹣x，y〕，且点P与点P′到原点的距离相等，设为r，那么P′〔﹣x，y〕在β的终边上，由三角函数的定义得sinα=，s inβ=，∴sinα=sinβ，应选A．点评：此题考查任意角的三角函数的定义以及直线关于直线的对称直线，点关于直线的对称点问题．5．〔4分〕〔•山东模拟〕函数y=cos〔2x+〕的图象的一条对称轴方程是〔〕A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=π考点：余弦函数的对称性．专题：计算题．分析：根据三角函数的图象，三角函数的函数值取最值时，对称轴的x取值．解答：解：此函数的对称轴方程为，当k=0时，．应选B．点评：此题是根底题，求出余弦函数的对称轴方程是解决此问题的关键．6．〔4分〕〔•德阳二模〕要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象〔〕A．向左平行移动B．向右平行移动C．向左平行移动D．向右平行移动考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：常规题型；压轴题．分析：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到，根据平移后，求出ρ进而得到答案．解答：解：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到y=sin2〔x+ρ〕=sin〔2x+2ρ〕=∴ρ=﹣∴应向右平移个单位应选D．点评：此题主要考查三角函数的平移．属根底题．7．〔4分〕〔•辽宁〕假设cosθ＞0，且sin2θ＜0，那么角θ的终边所在象限是〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：象限角、轴线角；三角函数值的符号．分析：sin2θ=2sinθcosθ，因为cosθ＞0，所以sinθ＜0，可以判定角θ的终边所在象限．解答：解：由sin2θ=2sinθcosθ，因为cosθ＞0，所以sinθ＜0，可以判定角θ的终边所在象限第四象限．应选D．点评：此题考查象限角，三角函数值的符号，二倍角的正弦，是根底题．8．〔4分〕在以下四个函数中，在区间〔0，〕上为增函数，且以π为最小正周期的偶函数是〔〕A．y=tanx B．y=sin|x| C．y=cos2x D．y=|sinx|考点：正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性．专题：计算题．分析：由于y=tanx是奇函数，故不能选A；由于 y=cos2x在区间〔0，〕上为减函数，故不能选 C；由于y=sin|x|不是周期函数，故不能选 B．解答：解：由于y=tanx是奇函数，故不能选A，由于 y=cos2x在区间〔0，〕上为减函数，故不能选 C．由于y=sin|x|不是周期函数，故不能选 B．只有选项D满足题中的所有条件，应选 D．点评：此题考查正弦函数的奇偶性、单调性及周期性，运用了排除法选出符合条件的选项．9．〔4分〕函数y=f〔x〕的图象如以以下图，那么y=f〔x〕的解析式为〔〕A．y=sin2x﹣2 B．y=2cos3x﹣1 C．D．考点：由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式．专题：计算题．分析：此题可以使用排除法进行解答，根据函数图象分析出函数的最值，进而分析四个答案中四个函数的最值，将不符合条件的答案排除掉，即可得到正确的答案．解答：解：由中函数的解析式，我们可得函数的最大值为2，最小值为0，而A中函数y=sin2x﹣2，最大值为﹣1，最小值为﹣3，不满足要求，故A不正确；B中函数y=2cos3x﹣1，最大值为1，最小值为﹣3，不满足要求，故B不正确；C中函数，最大值为0，最小值为﹣2，不满足要求，故C不正确；应选D．点评：此题考查的知识点是由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式，其中排除法是解答选择题比拟常用的方法，而根据函数的图象分析出函数的最值是解答此题的关键．10．〔4分〕〔•江苏〕函数f〔x〕=sinx﹣cosx〔x∈[﹣π，0]〕的单调递增区间是〔〕A．[﹣π，﹣] B．[﹣，﹣]C．[﹣，0]D．[﹣，0]考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：先利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的单调性求得答案．解答：解：f〔x〕=sin x﹣cos x=2sin〔x﹣〕，因x﹣∈[﹣π，﹣]，故x﹣∈[﹣π，﹣]，得x∈[﹣，0]，应选D点评：此题主要考查了正弦函数的单调性．对于正弦函数的单调性、奇偶性、对称性等特点应熟练掌握．11．〔4分〕〔•海南〕假设，那么cosα+sinα的值为〔〕A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：题目的条件和结论都是三角函数式，第一感觉是先整理条件，用二倍角公式和两角差的正弦公式，约分后恰好是要求的结论．解答：解：∵，∴，应选C点评：此题解法巧妙，能解的原因是要密切注意各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．12．〔4分〕〔•山东〕函数，那么以下判断正确的选项是〔〕A．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是B．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是C．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是D．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：将化简成一角一函数的形式，再确定最小正周期和对称中心．解答：解：=，最小正周期为π，当x=时，y=0，图象的一个对称中心是应选B．点评：此题考查了三角函数的化简以及最小正周期，对称点的求法，属于根底题型．13．〔4分〕x，y为锐角，且满足cos x=，cos〔x+y〕=，那么sin y的值是〔〕A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：依题意求出sinx的值，通过cos〔x+y〕=，求出sin〔x+y〕的值，然后利用y=x+y ﹣x的关系求解sin y的值．解答：解：x，y为锐角，且满足cos x=，sinx=；cos〔x+y〕=，sin〔x+y〕=sin y=sim〔x+y﹣x〕=sin〔x+y〕cosx﹣cos〔x+y〕sinx=应选C点评：此题考查两角和与差的正弦函数，考查计算能力，其中角的变换技巧y=x+y﹣x是解题关键，注意三角函数象限符号，此题是根底题．14．〔4分〕.函数在区间的简图是〔〕A ．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角公式及辅助角公式先对函数进行化简，然后通过对2x﹣范围的分析，通过对x取特值排除即可得到答案．解答：解：=sinxcosx﹣==sin〔2x﹣〕当x=﹣时，函数值y=，排除选项B、D当x=时，函数值y=0，排除选项C应选A点评：此题主要考查三角函数的图象．对于正弦、余弦函数的图象和性质要熟练掌握，这是高考的重点考察内容．二、填空题：〔本大题共6小题，每题4分，共24分〕15．〔4分〕函数y=sin 2x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f〔x〕= sinx ．考点：由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式；函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：把原函数解析式中的x的系数换成原来的倍，即得所求函数的解析式．解答：解：将函数y=sin2x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin〔2×x〕=sinx 的图象．故答案为：sinx．点评：此题考查y=Asin〔ωx+∅〕的图象的变换，注意应用图象变换的规律．属于根底题．16．〔4分〕设0≤x≤2π，且|cosx﹣sinx|=sinx﹣cosx，那么x的取值范围为．考点：三角函数值的符号；三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据题意可得sin x≥cosx，因此同一坐标系内作出y=sin x和y=cosx的图象，找出它们的交点A、B的坐标，结合图象即可得到满足条件的x的取值范围．解答：解：∵|cosx﹣sin x|=sinx﹣cosx，∴sinx﹣cosx≥0，可得sin x≥cosx同一坐标系内作出y=sin x和y=cosx的图象∵y=sin x和y=cosx的图象交于点A〔，〕和B〔，﹣〕∴当sin x≥cosx成立时，x的取值范围为故答案为：点评：此题给出三角函数的等式，要我们求x的取值范围，着重考查了三角函数的符号和三角函数的图象与性质等知识，属于根底题．17．〔4分〕化简sin2α+sin2β﹣sin2αsin2β+cos2αcos2β= 1 ．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：根据中只含有α与β正弦的平方和余弦的平方，我们可以使用同角三角函数关系中的平方关系解答此题，观察原式中的各项提取公因式后，易得结论．解答：解：sin2α+sin2β﹣sin2αsin2β+cos2αcos2β=sin2α〔1﹣sin2β〕+sin2β+cos2αcos2β=sin2α•cos2β+sin2β+cos2αcos2β=cos2β〔sin2α+cos2α〕+sin2β=cos2β+sin2β=1故答案为：1点评：此题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，其中根据原式中角及三角函数名称以及式的形状，分析后选择适当的公式，是解答此题的关键．18．〔4分〕函数与y轴距离最近的对称轴是x=．考点：正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：求出函数的对称轴的方程，选择适当的k的值，即可求出与y轴最近的对称轴方程．解答：解：正弦函数对称轴是使得函数取得最小和最大值的点的x的值，所以2x+=+2kπ或2x+=﹣+2kπ k∈Zx=+kπ或x=﹣+kπ k∈Z所以与y轴最近的对称轴为：x=故答案为：x=点评：此题是根底题，借助正弦函数的对称轴方程，求出函数对称轴方程，考查计算能力，常考题．19．〔4分〕函数y=cos2x﹣2sinx的值域是[﹣2，2] ．考点：三角函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：换元sinx=t，那么函数化成y=〔1﹣t2〕﹣2t=﹣〔t+1〕2+2，其中t∈[﹣1，1]．然后根据二次函数在闭区间上的最值，即可求出函数y=cos2x﹣2sinx的值域．解答：解：设sinx=t，那么cos2x=1﹣t2，∴y=cos2x﹣2sinx=〔1﹣t2〕﹣2t=﹣〔t+1〕2+2 ∵t=sinx∈[﹣1，1]∴当t=﹣1时，y max=2；当t=1时，y min=﹣2因此，函数y=cos2x﹣2sinx的值域是[﹣2，2] 故答案为：[﹣2，2]点评：此题给出含有三角函数式的“类二次〞函数，求函数的值域．着重考查了三角函数的最值和二次函数在闭区间上的值域等知识，属于中档题．20．〔4分〕给出以下命题：①存在实数α，使sinα•cosα=1②函数是偶函数③是函数的一条对称轴方程④假设α、β是第一象限的角，且α＞β，那么sinα＞sinβ其中正确命题的序号是②③．考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型．分析：对于①，利用二倍角的正弦公式变形，可得sinα•cosα的最大值为；对于②，利用诱导公式化简为y=﹣cosx，该函数是偶函数；对于③，把代入，看y能否取得最值，假设能取得最值，命题正确，否那么，命题不正确；对于④举反例加以说明．通过以上分析即可得到正确答案．解答：解：由，∴sinα•cosα的最大值为，∴命题①错误；由，而y=﹣cosx是偶函数，∴命题②正确；∵，∴是函数的一条对称轴方程，∴命题③正确；取，，α、β是第一象限的角，且α＞β，但sinα＜sinβ，∴命题④错误．所以正确的命题是②③．故答案为②③．点评：此题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的被角公式、诱导公式及三角函数的性质，考查了举反例法在判断命题真假中的应用，此题是根底题．三、解答题：本大题共3小题，共20分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．〔8分〕函数．〔1〕用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；〔2〕指出f〔x〕的周期、振幅、初相、对称轴；〔3〕说明此函数图象可由y=sinx在[0，2π]上的图象经怎样的变换得到．考点：五点法作函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象；函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：作图题；阅读型．分析：〔1〕分别令取0，，π，，2π，并求出对应的〔x，d〔x〕〕点，描点后即可得到函数在一个周期内的图象〔2〕根据函数的解析式中A=3，ω=，φ=，然后根据正弦型函数的性质，即可求出f〔x〕的周期、振幅、初相、对称轴；〔3〕根据正弦型函数的平移变换，周期变换及振幅变换的法那么，根据函数的解析式，易得到函数图象可由y=sinx在[0，2π]上的图象经怎样的变换得到的．解答：解：〔1〕令取0，，π，，2π，列表如下：0 π2πx3 6 3 0 3在一个周期内的闭区间上的图象如以以以下图所示：〔2〕∵函数中，A=3，B=3，ω=，φ=．∴函数f〔x〕的周期T=4π，振幅为3，初相为，对称轴直线x=〔3〕此函数图象可由y=sinx在[0，2π]上的图象：①向左平移个单位，得到y=sin〔x+〕的图象；②再保持纵坐标不变，把横坐标扩大为原来的2倍得到y=的图象；③再保持横坐标不变，把纵坐标扩大为原来的3倍得到y=的图象；④再向上科移3个单位，得到的图象．点评：此题考查的知识点是五点法作函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象，函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换，其中正弦型函数的图象的画法，性质是三角函数的重点内容之一，一定要熟练掌握．22．〔6分〕〔•重庆〕函数．〔Ⅰ〕求f〔x〕的定义域；〔Ⅱ〕假设角α在第一象限且，求f〔α〕．考点：正弦函数的定义域和值域；同角三角函数间的根本关系．专题：计算题；综合题．分析：〔Ⅰ〕根据函数解析式中分母不为0求得x的范围，求得函数的定义域．〔Ⅱ〕根据α所在的象限和cosα，求得sinα的值，进而利用两角和公式和二倍角公式对函数f〔x〕的解析式化简整理，把sinα的值代入即可求得答案．解答：解：〔Ⅰ〕由≠0得x+≠kπ，即x≠，故f〔x〕的定义域为．〔Ⅱ〕由条件得．从而===．点评：此题主要考查了正弦函数的定义域和值域，考查了对三角函数根底知识的掌握．23．〔6分〕〔•重庆〕设函数〔其中ω＞0，α∈R〕，且f〔x〕的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为．〔I〕求ω的值．〔II〕如果f〔x〕在区间上的最小值为，求α的值．考点：y=Asin〔ωx+φ〕中参数的物理意义；三角函数的最值．专题：计算题．分析：〔I〕先用三角恒等式将函数f〔x〕表达式化简，再将最高点的坐标代入即可求出ω的值．〔II〕利用三角函数的性质求出f〔x〕在区间上的最小值表达式，令其值为，即可解出参数的值．解答：解：〔I〕f〔x〕=co s2ωx+sin2ωx++α=依题意得2ω×+=解之得ω=〔II〕由〔I〕知f〔x〕=sin〔x+〕++α又当x∈[﹣，]时，x+∈[0，]故﹣≤sin〔x+〕≤1，从而，f〔x〕在[﹣，]上取得最小值﹣++α因此，由题设知﹣++α=解得α=答：〔I〕ω=；〔II〕α=点评：考查三角函数的图象与性质，先用性质求参数的值，再由函数的单调性判断出函数的最小值的参数表达式，建立关于参数的方程，求出相应的参数．此题可以培养答题者运用知识灵活转化的能力．。
北京市高一下学期数学3月质量检测试卷A卷
北京市高一下学期数学3月质量检测试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2016高三上·厦门期中) 若函数，则f（x）的最大值为（）A . 1B . 2C .D .2. （2分）命题“若a>b，则ac<bc（a、b、）”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A . 4B . 3C . 2D . 03. （2分） (2019高二上·城关期中) 在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（）A .B .C .D .4. （2分）(2019高一下·吉林月考) 各角分别为，，，满足，则角的范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2018高一上·浙江期中) 已知扇形的弧长为，半径为1，则扇形的圆心角为________，扇形的面积为________．6. （1分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P（，）是此角与单位圆的交点，cos θ=________．7. （1分） (2016高一下·邯郸期中) 若tanα=2，则 =________．8. （1分） (2019高一下·上海月考) △ABC中，则 ________.9. （1分）若角α+的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=x上，则tanα的值为110. （1分） (2019高一下·慈利期中) 锐角的三边和面积满足条件，则角既不是的最大角也不是的最小角，则实数的取值范围是 ________.11. （1分）tan300°+sin450°=________12. （1分） (2020高三上·潮州期末) 函数在处取得最大值，则 ________13. （1分） (2019高一下·上海月考) 在中，已知，给出以下四个论断：①②③④ ，其中正确的是________.14. （1分） (2019高二上·南宁月考) 如图，在边长为2正方体中，为的中点，点在正方体表面上移动，且满足，则点和满足条件的所有点构成的图形的面积是________.15. （1分） (2018·保定模拟) 已知分别为的三个内角的对边，，且，则 ________16. （1分） (2019高一下·上海月考) 如图，长为，宽为的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块与桌面成角，则点走过的路程是________．三、解答题 (共5题；共35分)17. （5分） (2017高二下·鸡西期末) 设函数f(x)＝sin ωx＋sin ，x∈R.ω＝2（1）求f(x)的最小正周期（2）求f(x)的单调递增区间18. （5分）已知：tan（α+ ）=﹣（＜α＜π）．（1）求tanα的值；（2）求sin2α的值．19. （5分） (2019高一上·哈尔滨月考) 已知，且，求下列各式的值（1）（2）20. （10分）(2020·内江模拟) 的内角、、的对边分别为、、，设.（1）求；（2）当时，求其面积的最大值，并判断此时的形状.21. （10分） (2018高一下·威远期中) 已知函数，若（1）求f(x)的最小正周期及单调减区间；（2）若α∈(0，π)，且＝，求tan 的值．参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共35分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。
北京市高一下学期3月份月考数学试题A卷
北京市高一下学期3月份月考数学试题A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）在﹣360°～0°范围内与角1250°终边相同的角是（）A . ﹣210°B . ﹣150°C . ﹣190°D . ﹣170°2. （2分） (2019高一下·上海月考) 已知，则点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）在三角形ABC中，若，则的值是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一下·渭南期末) 若，则使不等式成立的的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2016高一上·宁波期中) 已知角α的终边经过点，则角α为第________象限角，与角α终边相同的最小正角是________．6. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为________．7. （1分）(2017·北京) 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= ，则sinβ=________．8. （1分） (2017高一下·上饶期中) 已知cos（﹣α）= ，则sin（﹣α）=________．9. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知，则 ________10. （1分）已知非零实数a，b满足 =tan（α+ ），则 =________．11. （1分） (2019高一上·哈尔滨月考) 已知，则 ________12. （1分） (2016高一下·新疆开学考) 在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个实根，则tanC=________．13. （1分） (2019高三上·葫芦岛月考) 函数的最小正周期为________.14. （1分）(2018·鞍山模拟) 在中，角所对的边分别为，，的面积，则的周长为________．15. （1分） (2019高一下·上海月考) 设当时，函数取得最大值，则________.16. （1分）(2018·孝义模拟) 已知函数的周期为，当时，函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共35分)17. （5分） (2016高一下·姜堰期中) 计算下面各题（1）已知sinα= ，α∈（，π），求sin2α；（2）已知tanα= ，求tan2α的值．18. （5分）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=， tan（A﹣B）=﹣．求tanB的值；19. （5分）已知：tan（α+）=﹣，（＜α＜π）．求tanα的值20. （10分）已知角α的终边经过点P0（3，﹣4），求角α的正弦、余弦和正切值．21. （10分） (2018高一下·珠海月考) 已知向量,，．(Ⅰ) 求的最大值；(Ⅱ)当时，求的值.参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共35分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、。
北京市高一下学期3月份质量检测数学试题A卷
北京市高一下学期3月份质量检测数学试题A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2018高二上·北京期中) 数列{ }中，“ （n∈N*）”是“数列{ }为等比数列”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）已知α为钝角，且sin（α+ ）= ，则cos（α+ ）的值为（）A .B .C . ﹣D .3. （2分）函数在区间的简图是（）A .B .C .D .4. （2分）若函数f（x）=ln（x+）为奇函数，则a=（）A . -1B . 0C . 1D . ﹣1或1二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2016高一下·南汇期末) 与30°角终边相同的角α=________．6. （1分） (2017高一下·潮安期中) 若点P（1，﹣2）为角α终边上一点，则tanα=________．7. （1分） (2017高一上·高邮期中) 若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为________ cm2 ．8. （1分） (2020高三上·青浦期末) 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆的交点坐标是，则 ________9. （1分） (2019高一下·上海月考) 若，则不等式的解集为________．10. （1分） (2015高一下·嘉兴开学考) 已知，则cos（α﹣270°）=________．11. （1分）已知sinα=,cosα=﹣，则角α的终边在第________ 象限．12. （1分）(2020·银川模拟) 已知，则的值为________.13. （1分） (2017高一上·如东月考) 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线，则 ________.14. （1分） (2019高一下·余姚月考) 已知数列是等比数列，且，则________；设函数，记，则 ________.15. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知对于任意实数满足（其中，），则有序实数对 ________16. （1分） (2016高一下·岳池期末) 已知x，y∈（0，+∞），，则的最小值为________．三、解答题 (共5题；共60分)17. （10分） y=的值是正的还是负的？为什么？18. （10分） (2019高二上·南宁期中) 如图，在三角形中，，的角平分线交于，设，且．（1）求和的值；（2）若，求的长．19. （10分） (2019高一下·上海月考) 如图，边长为1的正方形中，分别为边上的点，且的周长为2.（1）求线段长度的最小值；（2）试探究是否为定值，若是，给出这个定值；若不是，说明理由.20. （15分） (2018高一下·应县期末) 已知，设 . （1）求的解析式及单调递增区间；（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积.21. （15分）(2020·兴平模拟) 已知函数； .（1）判断在上的单调性，并说明理由；（2）求的极值；（3）当时，，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共60分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、。
北京市清华附中高一下学期3月月考数学试题(解析版)
北京市清华附中高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．在复平面内，复数（其中i 为虚数单位）对应的点位于（ ） (1i)(2i)z =+-A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. z 【详解】解：， (1i)(2i)3i z =+-=+则对应点的坐标为，位于第一象限. ()3,1故选：A.2．已知向量，且，则x 的值为（ ）(2,1),(,2)a b x ==- a b∥A ．4 B ．C ．2D ．4-2-【答案】B【分析】根据向量共线的坐标表示即可得出答案.【详解】解：因为，且，(2,1),(,2)a b x ==- a b∥所以，解得. ()220x ⨯--=4x =-故选：B.3．要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 2y x =A ．向右平移个单位长度 B ．向左平移个单位长度 2π2πC ．向右平移个单位长度D ．向左平移个单位长度4π4π【答案】D【解析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论. ()sin y A x ωϕ=+【详解】解：只要将函数的图象向左平移个单位长度，sin 2y x =4π即可得到函数的图象，sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】此题考查函数的图象变换，属于基础题()sin y A x ωϕ=+4．中，，，，，且，则实数的值为ABC A 60A ∠=︒1AB =2AC =()1BP BA BC λλ=+- BP AC ⊥λ（ ） A ．B ．C ．D ．14132334【答案】D【分析】由，得，则可得，再结合BP AC ⊥ 0BP AC ⋅=()1()0AB AC AB AC λλ⎡⎤-+--⋅=⎣⎦ ，，，计算可得答案60A ∠=︒1AB =2AC =【详解】因为，所以， BP AC ⊥ 0BP AC ⋅=因为， ()1BP BA BC λλ=+- 所以， ()10BA BC AC λλ⎡⎤+-⋅=⎣⎦ , ()1()0AB AC AB AC λλ⎡⎤-+--⋅=⎣⎦所以， 2(1)0AC AB AC λ--⋅=因为，，， 60A ∠=︒1AB =2AC =所以，解得， 14(1)1202λ--⨯⨯=34λ=故选：D5．已知中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则是ABC A cos cos cos a b cA B C==ABC A （ ） A ．钝角三角形 B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形，但不是等腰三角形【答案】B【分析】先由正弦定理得，进而得到，即可求解. tan tan tan A B C ==A B C ==【详解】由正弦定理得，则，又为三角形内角， sin sin sin cos cos cos A B CA B C==tan tan tan A B C ==,,A B C 则，则是等边三角形. A B C ==ABC A 故选：B.6．已知平面向量，则“与互相垂直”是的（ ） ,a b a b - 2a b + a b ⊥A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】第一点：充分利用非零向量垂直与两向量数量积为零的相互转化；第二点：紧扣充分，必要条件的概念.【详解】若与互相垂直，则，a b -2a b + ()()20a b a b -⋅+=展开得代入解得，， 2220a b a b +⋅-= 0a b ⋅= 所以.a b ⊥若，则，a b ⊥0a b ⋅= 有，()()2222a b a b a a b b -⋅+=+⋅-2020=+-=所以与互相垂直.a b -2a b + 综上可知，“与互相垂直”是的充分必要条件.a b - 2a b + a b ⊥故选：C.7．向量，， 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，a b c ec 则（ ）()a b e +⋅A ．1.5B ．2C ．-4.5D ．-3【答案】D【分析】首先建系，确定向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，由图可知，，， ()1,1a =- ()2,1b =-- ()1,0e =则，所以. ()3,0a b +=-()3a b e +⋅=-故选：D8．已知为边长为2的正方形的边DC 上任一点，则的最大值为（ ）P ABCD AP AC ⋅A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【分析】选择向量为基底向量，根据平面向量定理及向量的数乘，化简 ，再求解其,AB AD ·AP AC最大值即可. 【详解】如图，选向量为基底向量，则可设 ,AB AD[]0,1DP xDC x DP xAB =∈∴= ，()()[]··44,0,1AP AC AD xAB AB AD x x ∴=++=+∈， 的最大值为8，选项C 正确. []·4,8AP AC ∴∈ ·AP AC故选：C.9．为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G 基站A ，B ，C ，D ．已知C ，D 两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站A ，B 在江的北岸，测得，，，，则A ，B 两个基站的距离为（ ）75ACB ∠=︒120ACD ∠=︒30ADC ∠=︒45ADB ∠=︒A ．B ． 1)km -C ．D ．1)km 【答案】D【分析】根据题意可得，，利用正弦定理求出BC ，进而结合余弦定理AC CD ==60CBD ︒∠=即可求出AB .【详解】在中，， ACD A 307545120ADC ACD ︒︒︒︒∠=∠=+=，所以，有，所以，30︒∠=CAD ADC ∠CAD =∠AC CD ==在中，，BDC A 180(7545)60CBD ︒︒︒︒∠=-+=由正弦定理，得BC ==在中，由余弦定理，得 ABC A2222cos AB AC BC AC BC BCA =+-⋅∠， 22275500︒=+-⨯+=所以A 、B 之间的距离为. AB =故选：D10．在中，．P 为所在平面内的动点，且，则ABC A 3,4,90AC BC C ==∠=︒ABC A 1PC =PA PB⋅的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．[5,3]-[3,5]-[6,4]-[4,6]-【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表()cos ,sin P θθPA PB示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，()0,0C ()3,0A ()0,4B因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 1PC =P C 1设，，()cos ,sin P θθ[]0,2θπ∈所以，，()3cos ,sin PA θθ=-- ()cos ,4sin PB θθ=--所以 ()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯-22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--，其中，，()15sin θϕ=-+3sin 5ϕ=4cos 5ϕ=因为，所以，即； ()1sin 1θϕ-≤+≤()415sin 6θϕ-≤-+≤[]4,6PA PB ⋅∈-故选：D二、双空题 11．若复数，其中为虚数单位，则的共轭复数为________，________． 2i1iz =+i z z =【答案】 ##1i -i 1-+【分析】利用复数的运算法则化简，再根据共轭复数的定义可得第一空，利用求模公式可得第二z 空.【详解】因为，化简得：， 2i1iz =+()()()2i 1i 22i 1i 1i 1i 2z ⋅-+===++-故1z =故答案为：.1i -三、填空题12．在中，，M 为BC 的中点，则_______．（用表ABCD Y ,,3AB a AD b AN NC === MN = a b、示）【答案】1144MN a b =-+【详解】解：，，所以343A =3()AN NC AN C a b ==+由得12AM a b =+ 。
2023-2024学年北京市海淀区高一下学期3月月考数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年北京市海淀区高一下册3月月考数学模拟试题一、单选题1．()cos 1290-︒=（）A ．12B ．12-CD．【正确答案】D【分析】直接利用诱导公式将小角变为锐角，然后求解.【详解】()()()cos 1290cos 12903604cos150cos 18030cos30-︒=-︒+︒⨯=︒=︒-︒=-︒=故选：D.2．已知向量(),6a m = ，()1,3b =-，且a b，则m =A ．18B ．2C ．18-D ．2-【正确答案】D【分析】根据//a b可得出()3610m ⋅-⋅-=，解出m 即可．【详解】//a b；360m ∴+=；2m ∴=-．故选D ．本题考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系．3．若角α的终边经过点0(1,)y ，则下列三角函数值恒为正的是A ．sin αB ．cos αC ．tan αD ．sin(π)α+【正确答案】B【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，得出结论．【详解】角α的终边经过点()01,y ，1x ∴=，0y y =，r =故cos 0x r α=>，而0sin y r α=00tan 1y y α==，正负号不确定，故选B ．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．如图所示，点C 在线段BD 上，且3BC CD =，则AD =（）A ．32AC AB- B ．43AC AB- C ．4133AC AB-D ．1233AC AB-【正确答案】C【分析】根据平面向量的基本定理求解即可.【详解】因为3BC CD =，所以14CD BD =，因为()1144AD AC CD AC BD AC AD AB =+=+=+- ，所以3144AD AC AB =-，即4133AD AC AB =- .故选：C.5．已知3tan 4α=-，sin 0α<，则cos α=（）A ．35B ．35-C ．45D ．45-【正确答案】C【分析】利用同角的三角函数基本关系即可求解【详解】因为22sin 3tan cos 4sin cos 1ααααα⎧==-⎪⎨⎪+=⎩，所以3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因为sin 0α<，所以34sin ,cos 55αα=-=，故选：C6．已知平面向量a ，b 满足2a b ==r r ，()()22a b a b +⋅-=- ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【正确答案】B【分析】根据数量积的运算及数量积的运算性质求解.【详解】因为()()22a b a b +⋅-=-，所以222422cos ,244cos ,42a a b b a b a b +⋅-=+⨯-⨯=-=-，即1cos ,2a b =，因为,[0,]a b π→→<>∈，所以,3a b π→→<>=，故选：B7．在ABC 中，“tan tan A B >”是“A B >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】D【分析】根据充分条件与必要条件概念，以及三角形的性质，即可判定出结果.【详解】在ABC 中，若6A π=，23B π=，则tan 3A =，tanB =，满足tan tan A B >，但A B <，所以由“tan tan A B >”不能推出“A B >”；当A B >时，若23A π=，6B π=，则tan A =tan B =，故不能推出tan tan A B >.综上所述，“tan tan A B >”是“A B >”的既不充分也不必要条件.故选：D.8．函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则5π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．B ．C D 【正确答案】A【分析】由函数()f x 的部分图像得到函数()f x 的最小正周期，求出ω，代入5π,212⎛⎫⎪⎝⎭求出ϕ值，则函数()f x 的解析式可求，取5π6x =可得5π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】由图像可得函数()f x 的最小正周期为5ππ2π1212T ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则2π2T ω==.又5π5π5π2sin 22sin 212126f ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5262k ϕπ=π+π+，Z k ∈，则π2π3k ϕ=-，Z k ∈，ππ22ϕ-<< ，则0k =，π3ϕ=-，则()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π5ππ4π2sin 2sin6333f ⎛⎫⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.9．若24AB AC AB ⋅== ，且1AP = ，则CP AB ⋅ 的最大值为（）A ．2-B ．4-C ．2D ．4【正确答案】A【分析】将CP 变为AP AC -，由数量积定义及运算律、向量的模、向量夹角等概念进行运算即可.【详解】∵24AB AC AB ⋅== ，∴24AB = ，2AB = ，设向量AP 与AB夹角为θ，则[]0,πθ∈，[]cos 1,1θ∈-∴CP AB⋅ ()AP AC AB=-⋅ AP AB AC AB =⋅-⋅ cos AP AB AB AC θ=-⋅ 2cos 4θ=-，∵[]cos 1,1θ∈-，∴当cos 1θ=时，CP AB ⋅的最大值为242-=-.故选：A.10．某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第n 个月的月平均最高气温()G n 可近似地用函数()()cos G n A n k ωϕ=++来刻画，其中正整数n 表示月份且[]1,12n ∈，例如1n =表示1月份，A 和k 是正整数，0ω>，()0,πϕ∈.统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律：①该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度；②1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度，随后逐月递增直到7月份达到最高；③每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同.则()G n 的表达式为（）A ．()π5π30cos 3366G n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．()π11π30cos 331212G n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()π5π15cos 1866G n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭D ．()π2π15cos 1863G n n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】结合题意可得3330A k A k -+=⎧⎨+=+⎩，即可求得A ，k 的值，利用周期公式可求得ω的值，结合7n =时，()G n 取最大值33，即可求得ϕ的值，进而得出()G n 的表达式.【详解】由题意，可得3330A k A k -+=⎧⎨+=+⎩，解得15A =，18k =，由7162T =-=，所以12T =，即2π2ππ126T ω===；当7n =时，()7π715cos 18336G ϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，即7πcos 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()7π2πZ 6k k ϕ+=∈，即()7π2πZ 6k k ϕ=-+∈，又因为()0,πϕ∈，所以5π6ϕ=，故()π5π15cos 1866G n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.故选：C.二、双空题11．函数tan y x =的最小正周期为______，零点为______.【正确答案】ππ,Zk k ∈【分析】直接根据正切函数的性质得答案即可.【详解】第一空：函数tan y x =的最小正周期为π；第二空：函数tan y x =的零点为π,Z k k ∈.故π；π,Z k k ∈.12．若向量2a = ，a b ⊥ ，()1,1b =- ，则b = ______，a =______.【正确答案】或(【分析】根据平面向量的模和数量积的坐标表示计算即可求解.【详解】由题意，()1,1b =- ，所以b =设(),a x y = ，因为a b ⊥，2a = ，所以02x y -+=⎧=，解得x =，y x =y =，所以a =或(a =.；或(.13．写出一个ϕ值，使得函数()()sin cos f x x x ϕ=++取得最小值2-，ϕ的一个值可以为______，若()102f =，则ϕ=______.【正确答案】π2-（答案不唯一）π3（答案不唯一）【分析】根据题意，需sin y x =与()cos y x ϕ=+同时取到最小值1-，再求解ϕ的值即可；代入()0f ，求解ϕ的值即可.【详解】因为函数()()sin cos f x x x ϕ=++取得最小值2-，所以函数sin y x =与()cos y x ϕ=+同时取到最小值1-，又()π2πZ 2x k k =-+∈时，sin 1x =-，所以()π2πZ 2x k k =-+∈时，()πcos cos 2πsin 2y x k ϕϕϕ⎛⎫=+=-++= ⎪⎝⎭也取到1-，所以()π2πZ 2k k ϕ=-+∈，不妨取π2ϕ=-，此时()()sin cos 2sin f x x x x ϕ=++=的最小值为2-，符合题意.若()102f =，则()10cos 2f ϕ==，则()π2πZ 3k k ϕ=+∈或()π2πZ 3k k -+∈，不妨取π3ϕ=.故π2-（答案不唯一）；π3（答案不唯一）.三、填空题14．已知函数()y f x =的值域为B ，若1B ∈，则称函数具有性质【1】，下列函数中具有性质【1】的是_____.（请填上满足条件的所有序号）①()sin cos f x x x =-，②()sin cos f x x x =⋅，③()sin cos xf x x =，④()sin cos cos sin x x f x x x=+.【正确答案】①③【分析】先化简各选项的函数表达式，再结合三角形函数的基本性质以及基本不等式求解即可.【详解】对于①，()πsin cos 4f x x x x ⎛⎫⎡=-=-∈ ⎪⎣⎝⎭，则1⎡∈⎣，符合题意；对于②，()111sin cos sin 2,222f x x x x ⎡⎤=⋅=∈-⎢⎥⎣⎦，则111,22⎡⎤∉-⎢⎥⎣⎦，不符合题意；对于③，()sin tan R cos xf x x x==∈，则1R ∈，符合题意；对于④，()sin cos 1tan cos sin tan x x f x x x x x=+=+，当tan 0x >时，()1tan 2tan f x x x =+≥=，当且仅当1tan tan x x =，即tan 1x =时等号成立；当tan 0x <时，()1tan 2tan f x x x =+≤-=-，当且仅当1tan tan x x =，即tan 1x =-时等号成立；综上所述，()(][)sin cos ,22,cos sin x xf x x x∞∞=+∈--⋃+，则(][)1,22,∞∞∉--⋃+，不符合题意.故①③.15．关于函数()221sin 32xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，有下面四个结论：①()f x 的最大值是32；②()f x 的最小值是12-；③()f x 是偶函数；④无论x 取何值，()12f x <恒成立.其中正确的结论是______.【正确答案】②③【分析】将函数化为()121cos 223xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，进而结合函数的有界性判断①；容易判断当x =0时，1cos 2,2xx ⎛⎫⎪⎝⎭同时取到最大值1和1，进而判断②；根据奇偶性的定义判断③；通过代特值可以判断④【详解】对①，()1cos 221121cos 223223x xx f x x -⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而1cos 21x -≤≤，则1131cos 2222x ≤-≤，又203x⎛⎫> ⎪⎝⎭，于是()32f x <，故①错误；对②，()1cos 221121cos 223223x x x f x x -⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0x =时，2cos 2,3xx ⎛⎫ ⎪⎝⎭同时取到最大值1和1，则()f x 的最小值是111122--=-，故②正确.对③，()()()222121R,sin sin 3232xxx f x x x f x -⎛⎫⎛⎫∈-=--+=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 为偶函数，故③正确；对④，ππ222ππ213231sin 122322322f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=->-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故④错误；故②③四、解答题16．已知函数π()2sin(2)3f x x =+.（1）求()f x 的最小正周期T ；（2）求()f x 的单调区间；（3）在给定的坐标系中作出函数ππ()([,])66f x x T ∈--+的简图，并直接写出函数()f x 在区间π2[,π]63上的取值范围.【正确答案】（1）周期为π；（2）递增区间是：5ππ[π,π]1212k k -++，Z k ∈；递减区间是：[k π+12π，k π+712π]，Z k ∈；（3）简图如图所示，取值范围是[-.【分析】（1）利用正弦函数的周期公式即可计算得解；（2）利用正弦函数的单调性解不等式即可求解；（3）利用五点作图法即可画出函数()f x 在一个周期内的图象，根据正弦函数的性质即可求解取值范围．【详解】（1）因为函数π()2sin(2)3f x x =+，所以周期22T ππ==；（2）由πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，Z k ∈，得5ππππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈.函数()f x 的单调递增区间是：5ππ[π,π]1212k k -++，Z k ∈.函数()f x 的单调递减区间是：[k π+12π，k π+712π]，Z k ∈；（3）函数ππ()([,])66f x x T ∈--+即再π5[,π]66-的简图如图所示.因为π522[,]16333π2[,]sin(2)[,332x x x ππππ-∈⇒+∈⇒+∈所以函数()f x 在区间π2[,π]63上的取值范围是[-.17．已知()2tan cos sin xf x x x=⋅.(1)求π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若把函数()2y f x =的图像向右平移π4个单位得到函数()y g x =的图像，请直接写出函数()y g x =的解析式；(3)从下列条件①、②中选出一个作为条件，求sin cos x x ⋅的值.①()13f x =；②()2sin f x x =.【正确答案】2(2)()sin 2g x x =(3)答案见解析【分析】（1）利用特殊角的三角函数值即可求解；（2）由已知可得()2cos 2f x x =，再利用三角函数的图象变换即可求解；（3）选①，利用同角三角函数基本关系即可求解；选②，利用同角三角函数基本关系可求1tan 2x =，进而求得sin cos x x ⋅的值.【详解】（1）由()2tan cos cos sin xf x x x x=⋅=，所以ππcos 442f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）由题意，()2cos 2f x x =，所以()ππcos 2cos 2sin 242g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()sin 2g x x =.（3）选①：由()1cos 3f x x ==，则sin 3x ==±，所以1sin cos 339x x ⎛⎫⋅=⨯±=± ⎪ ⎪⎝⎭；选②：由()2sin cos f x x x ==，则1tan 2x =，所以2221sin cos tan 22sin cos 1sin cos tan 1514x x x x x x x x ⋅⋅====+++.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()3,3A ，()5,1B ，()2,1P ，点M 是直线OP 上的一个动点.(1)求PB PA - 的值；(2)若四边形APBM 是平行四边形，求点M 的坐标；(3)求MA MB ⋅的最小值.【正确答案】(1)(2)()6,3M (3)2-【分析】（1）先计算出()2,2PB PA -=-，然后用模的坐标公式即可求解；（2）由点M 是直线OP 上的一个动点可得到()2,M λλ，接着利用AP MB =即可求解；（3）利用数量积的坐标公式和二次函数的性质即可求解【详解】（1）因为()3,3A ，()5,1B ，()2,1P ，所以()()3,0,1,2PB PA ==，所以()2,2PB PA -=-所以PB PA -= （2）由题意可得()2,1OP = ，因为点M 是直线OP 上的一个动点，所以,R OM OP λλ=∈ ，所以()2,M λλ，因为四边形APBM 是平行四边形，所以AP MB = 即()()1,252,1λλ--=--，即15221λλ-=-⎧⎨-=-⎩，解得3λ=，所以()6,3M （3）由题意得()()32,352,1MA MB λλλλ⋅=--⋅-- ()()()()325231λλλλ=-⋅-+-⋅-()2252018522λλλ=-+=--，所以当2λ=时，MA MB ⋅ 取得最小值2-19．定义：若函数()f x 的定义域为D ，且存在非零常数T ，对任意x D ∈，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期.（1）下列函数[]21.2, 2.log , 3.x y y x y x ===（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是____________（直接填写序号）；（2）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，求证：()()G x g x x =-为周期函数；（3）若()sin x x kx φ=+为线周期函数，求k 的值.【正确答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）1k =.【分析】（1）根据新定义逐一判断即可；（2）根据新定义证明即可；（3）若()sin x x kx φ=+为线周期函数，则存在非零常数T ，对任意x R ∈，都有()()sin sin x T k x T x kx T +++=++，可得22kT T =，解得k 的值再检验即可.【详解】（1）对于2x y =，()()2222x T x T T f x T f x ++==⋅=⋅，所以不是线周期函数，对于2log y x =，()()()2log f x T x T f x T +=+≠+，所以不是线周期函数，对于[]y x =，()[][]()1111+=+=+=+f x x x f x ，所以是线周期函数；（2）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，则存在非零常数T 对任意x R ∈，都有()()g x T g x T +=+恒成立，因为()()G x g x x =-，所以()()()()()()()G x T g x T x T g x T x T g x x G x +=+-+=+-+=-=，所以()()G x g x x =-为周期函数；（3）因为()sin x x kx φ=+为线周期函数，则存在非零常数T ，对任意x R ∈，都有()()sin sin x T k x T x kx T +++=++，所以()sin sin x T kT x T ++=+，令0x =，得sin T kT T +=，令x π=，得sin T kT T -+=，所以22kT T =，因为0T ≠，所以1k =，检验：当1k =时，()sin x x x φ=+，存在非零常数2π，对任意x R ∈，()()()()2sin 22sin 22x x x x x x φππππφπ+=+++=++=+，所以()sin x x x φ=+为线周期函数，所以.1k =关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解和应用，以及特殊值解决恒成立问题.。
2023-2024学年北京市通州区高一下学期3月月考质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年北京市通州区高一下册3月月考数学试题一、单选题1．若复数z 满足()12i 34i z +=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部是（）A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-【正确答案】D【分析】根据复数的除法运算求出z ，再根据复数的概念可得结果.【详解】因为()12i 34i z +=-，所以()()()()34i 12i 34i 36i 4i 812i 12i 12i 12i 5z ------====--++-，所以复数z 的虚部为2-.故选：D2．在ABC 中，BC BD λ=，且2133AD AB AC =+ ，则λ=（）A ．2B ．3C ．23D ．12【正确答案】B【分析】利用向量线性运算化简已知等式可整理得到3BD BC =，由此可得结果.【详解】()()212121333333AD AB AC AD DB AD DC AD DB DC =+=+++=++，21113333BD DC BC ∴==-，3BD BC ∴= ，即3λ=.故选：B.3．i 是虚数单位，若复数z 满足1i 1zz+=-，则复数2019z 的值是A ．iB ．1-C ．i-D ．1【正确答案】C 【分析】由1i 1z z+=-得出11i z i -=+，利用复数的除法法则得出z ，再计算出2019z 的值.【详解】11zi z+=-Q，得()11z i z +=-，得1z i iz +=-，所以，()()()()11121112i i i i z i i i i ---====++-，20192019450433z i i i i ⨯+∴====-，故选C.本题考查复数的计算，考查复数乘方，利用题中等式解出复数是解题的关键，另外，在求解复数乘方的问题时，要注意复数的周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.4．若非零向量a ，b 满足3a b = ，()23a b b +⊥ ，则a 与b的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【正确答案】C【分析】由向量垂直转化为向量的数量积为0，利用向量的数量积运算化简即可得出结果.【详解】因为()23a b b +⊥ ，所以()230a b b +⋅= ，即2230a b b ⋅+=，即22cos 30a b b θ+=，又3a b = ，结合已知条件可知[]1cos ,θ0,π2θ=-∈，故2π3θ=.故选：C.5．已知向量()1,2a =r，()2,2b =- ，()1,c λ= .若()2c a b +∥ ，则λ=（）A ．12B ．12-C ．2D ．-2【正确答案】A【分析】先求解出2a b +的坐标，然后根据向量共线得到关于λ的方程，由此求解出λ的值.【详解】因为()1,2a =r，()2,2b =- ，所以()24,2a b += ，又因为()//2c a b + ，所以1240λ⋅-=，所以12λ=，故选：A.6．已知向量a ，b的夹角为π4，且a = 2b = ，则()2a b b +⋅= （）A ．9B ．C ．16D ．【正确答案】C【分析】根据数量积的定义与运算律计算.【详解】()222a b b a b b+⋅=⋅+ 22cos ,||a b a b b =〈〉+2π22cos 24=⨯⨯+12416=+=．故选：C7．某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底D 在同一个水平面内的两个测量基点A 与B ，现测得75DAB ∠= ，60ABD ∠=o ，48AB =米，在点A 处测得塔顶C 的仰角为30 ，则塔高CD 为（）米.A．B．C．D．【正确答案】A【分析】利用正弦定理求得AD ，进而在直角三角形中求得CD ．【详解】解：在三角形ABD 中：180756045ADB ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理得sin 60sin 45AD AB=︒︒，48AD =在Rt ACD △中，tan 30CD AD =⋅︒==故选：A ．8．若向量()()(),2,2,3,2,4a x b c ===- ，且a c ∥，则a 在b 上的投影向量为（）A ．812,1313⎛⎫⎪⎝⎭B ．812,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()8,12D【正确答案】A【分析】根据向量的平行求出向量a，求出b b ，即可根据投影向量的概念求得答案.【详解】由题意知向量()()(),2,2,3,2,4a x b c ===-，因为a c∥，所以440x --=，得1x =-，所以()1,2a =-，||a =又()2,3b =，所以,cos ,b a b a b b a b ⋅⎫==⎪⎭所以a 在b上的投影向量为：812cos ,,1313b a a b b⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，故选：A.9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，π3A =，2b c a +=，△ABC的面积为ABC 的周长为（）A ．6B ．8C．D．【正确答案】C【分析】根据三角形面积可得8bc =，结合余弦定理求得a =b c +=.【详解】因为△ABC的面积为π3A =，故1sin 2ABC S A == 即8bc =，由于222222cos 8,2a b c bc A b c b c a =+-=+-+=，故222()28(2)24a b c bc a =+--=-，故a =，所以b c +=所以ABC的周长为a b c ++=，故选：C10．在ABC 中，3C π∠=，=2AC ，M 为AB 边上的中点，且CM=AB （）A．B ．4C．D ．6【正确答案】A【分析】根据cos cos AMC BMC ∠=-∠，结合余弦定理可得到()22222AC BC CM AM +=+，由此可整理得到22220BC AB -=；在ABC 中，利用余弦定理可得2242BC BC AB +-=，解方程组可求得AB .【详解】在AMC △中，222cos 2AM CM AC AMC AM CM +-∠=⋅；在BCM △中，222cos 2BM CM BC BMC BM CM+-∠=⋅；AMC BMC π∠+∠= ，cos cos AMC BMC ∴∠=-∠，又AM BM =，22222222AM CM AC AM CM BC AM CM AM CM+-+-∴=-⋅⋅，整理可得：()22222AC BC CM AM +=+，即()22427BC AM +=+，22212102AM AB BC ∴==-，22220BC AB ∴-=；在ABC 中，222222cos 42AB AC BC AC BC C BC BC AB =+-⋅=+-=，2242220BC BC BC ∴+-=-，解得：6BC =-（舍）或=4BC，AB ∴==故选：A.二、填空题11．已知向量a ，b 的夹角为56π，a 1b = ，则3a b += ______.【分析】根据|3|a b +==计算可得结果.【详解】3a b +=故答案为12．已知ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，1AD =，2BC =，M ，N 分别是AD ，CD 的中点，则()BC BM BN ⋅+=__________【正确答案】4【分析】利用向量的几何运算将BM BN + 用,BA BC 表示出来，然后和BC求数量积即可.【详解】()()11112422BM BN BA AM BC BD BA BC BC BA AD+=+++=++++1111342242BA BC BC BA BC BA BC =++++=+ ,2233()422BC BM BN BC BA BC BA BC BC BC ⎛⎫∴⋅+=⋅+=⋅+== ⎪⎝⎭ .故413．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，设AB m = ，BC n = ，则m 在n上的投影向量为___________.【正确答案】12n- 【分析】直接利用投影向量的公式计算即可.【详解】由已知得m在n上的投影向量为22cos1201222m n n n n nn⋅⨯⨯⋅=⨯-.故答案为.12n - 14．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2B C =，6b =，4c =，则ABC 的面积为______．15741574【分析】由条件结合正弦定理求sin C ，由同角关系求cos C ,，再由余弦定理求a ，根据三角形面积公式求ABC 的面积.【详解】因为2B C =，所以sin sin 2B C =．由正弦定理sin sin b c B C=，得64sin sin B C =，即32sin 2sin C C=，化简得322sin cos sin C C C=．又()0,πC ∈，sin 0C ≠，所以3cos 4C =，故27sin 1cos 4C C =-=．又由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=．解得4a =或5a =．当4a =时，A C =．又2B C =，则π4C =，与3cos 4C =矛盾，所以不符合题意，舍去；当5a =时，1sin 24ABC S ab C == ．故415．如图，为了测量,A C 两点间的距离，选取同一平面上的B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km ）：5AB =，8BC =，3CD =，5DA =，且,,,A B C D 四点共圆，则AC 的长为_________km .【正确答案】7【分析】根据四点,,,A B C D 共圆可得πB D ∠+∠=，再利用余弦定理可得2289348030AC AC--=-，即可求得答案.【详解】∵,,,A B C D 四点共圆，圆内接四边形的对角和为π﹒∴πB D ∠+∠=，∴由余弦定理可得222222cos 53253cos 3430cos AD CD AC D D D AD CD =+=+-⋅∠-⨯⨯∠=-∠，222222cos 58258cos 8980cos AB BC AC B B B AB BC =+=+-⋅∠-⨯⨯∠=-∠，∵πB D ∠+∠=，即cos cos B D ∠=-∠，∴2289348030AC AC --=-,解得7AC =,故7三、解答题16．已知复数z 1＝2＋a i (其中a ∈R 且a >0，i 为虚数单位)，且21z 为纯虚数．(1)求实数a 的值；(2)若11iz z =-，求复数z 的模||z .【正确答案】（1）a ＝2．（2）|z |＝2．【分析】（1）根据复数的运算，求得21z 244a ai =-+，由21z 为实数，列出方程组，即可求解；（2）化简复数得2z i =，利用复数的模的计算公式，即可求解.【详解】(1)z ＝(2＋a i)2＝4－a 2＋4a i ，因为z 为纯虚数，所以解得a ＝2.(2)z 1＝2＋2i ，z ＝＝＝＝2i ，∴|z |＝2.本题主要考查了复数的基本概念和复数的分类，其中解答中熟记复数的基本运算公式和复数的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的长，3cos 5B =，且21AB BC ⋅=- .(1)求△ABC 的面积；(2)若5c =，求角C .【正确答案】(1)14(2)π4C =【分析】（1）先通过21AB BC ⋅=-求出AB BC ⋅ ，再利用三角形的面积公式求解即可；（2）先通过余弦定理求出b ，再通过余弦定理求cos C 即可.【详解】（1）3cos 5B =Q ，()0,πB ∈，4sin 5B ∴=，又()cos πcos 21AB BC AB BC B AB BC B ⋅=⋅-=-⋅=-，2152135cos 3AB BC B ∴⋅==⨯ ，即35AB BC ⋅=，114sin 3514225ABC S AB BC B ∴=⋅⋅=⨯⨯= ；（2）由（1）35AB BC ⋅=，即35ac =，又5c =，7a ∴=，22232cos 4925275325b ac ac B ∴=+-=+-⨯⨯⨯=，即b =222cos22a b cCab+-∴==，又()0,πC∈，π4C∴=.18．已知||4a=，||2b=，且a与b夹角为120°，求：（1）(2)()a b a b-⋅+；（2）a在b上的投影；（3）a与a b+的夹角.【正确答案】（1）12（2）2-（3）6π【分析】（1）根据向量的数量积公式计算即可；（2）根据投影的定义即可求出；（3）根据向量的夹角公式计算即可.【详解】解：（1）∵2a=，4b=，且a与b夹角为120°，∴1cos1204242a b a b⎛⎫⋅=⋅⋅︒=⨯⨯-=-⎪⎝⎭，∴22(2)()||2||168412a b a b a b a b-⋅+=--⋅=-+=（2）a在b上的投影为cos1202a︒=-，（3）∵2()16412a ab a a b⋅+=+⋅=-=，2222164812a ab a bb=++⋅=++-=∴a b+=∴()cos,2a a ba a ba a b⋅+<+>==⋅+∴a与a b+的夹角为6π.本题考查了向量的数量积公式和向量的夹角公式，属于基础题.19．在ABC中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，若cos cos2cosa Bb Ac C+=.(1)求角C的大小；(2)若ABC的面积为c=ABC的周长.【正确答案】(1)π3C=(2)6+【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可化简求得cos C ，由此可得C ；（2）由三角形面积公式可求得ab ，利用余弦定理可构造方程求得a b +，由此可得三角形周长.【详解】（1）由正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，()()sin sin πsin 2sin cos A B C C C C ∴+=-==，()0,πC ∈ ，sin 0C ∴≠，1cos 2C ∴=，则π3C =.（2）1sin 2ABC S ab C === ，8ab ∴=，由余弦定理得：()()222222cos 32412c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=，解得：6a b +=，ABC ∴ 的周长6L a b c =++=+20．如图，在△ABC 中3AD AB = ，点E 是CD 的中点，AE 与BC 相交于F ，设AB a=，AC b = .(1)用a ，b表示A E ，DE ；(2)若在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A --，(3,2)B -，(3,10)C ，求AF.【正确答案】(1)1322AE b a =+ ；1322DE b a=-(2)5【分析】（1）利用向量加法减法的几何意义即可用a ，b表示A E ，DE ；（2）利用向量共线充要条件求得AF的坐标，进而即可求得AF 的值.【详解】（1）在△ABC 中3AD AB =，点E 是CD 的中点，AE 与BC 相交于F ，1113()(3)2222AE AC AD AC AB b a=+=+=+ 11113()(3)22222DE DC AC AD AC AB b a==-=-=- （2）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A --，(3,2)B -，(3,10)C ，则(4,0)AB =，(4,12)AC = ，(0,12)BC =则1(3)(8,6)2AE AC AB =+= 设(0,12)BF BC λλ== ，则(4,12)AF AB BF λ=+= 由AF AE ∥，可得812640λ⨯-⨯=，解之得14λ=则(4,12)(4,3)AF λ==，则5AF = 21．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，AD 为BAC ∠的角平分线，已知2c =且22222cos 3a c b A bc ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，AD =.(1)求ABC 的面积；(2)设点,E F 分别为边,AB AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且AEF △的面积为ABC 面积的一半，求AG EF ⋅ 的最小值.【正确答案】(1)245(2)4825【分析】（1）结合余弦定理和正弦定理边化角可得1sin sin 3C B =，进而得到13c b =；利用正弦定理可推导得到13BD CD =，设BD t =，在ABD △和ACD 中，利用余弦定理可构造方程求得t ；在ABC 中利用余弦定理可求得cos BAC ∠，进而得到sin BAC ∠，利用三角形面积公式可求得结果；（2）设()02AE m m =<≤ ，()06AF n n =<≤ ，AG AD λ= ，由向量线性运算可得344AG AB AC λλ=+ ；由,,E F G 三点共线可得()1AG AE AF μμ=+- ，进而可构造方程组得到n m n μ=+，结合平面向量线性运算和向量数量积运算性质可将AG EF ⋅ 表示为24812156m ⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭，由m 范围可求得最小值.【详解】（1）由余弦定理可得：2222cos a c b ac B =+-，则22cos 2cos 3ac B A bc ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1cos cos 3a B b b A ∴=-，由正弦定理得：1sin cos sin cos sin 3A B B A B =-，()()1sin cos cos sin sin sin sin sin 3A B A B A B C C B π∴+=+=-==，则13c b =；又2c =，6b ∴=，sin sin 2AB BD BAC ADB =∠∠ ，sin sin 2AC CD BAC ADC =∠∠，又()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，13c AB BD b AC CD ∴===，设BD t =，则3CD t =，222222cos 222BAC AB AD BD AD AC CD AB AD AD AC ∠+-+-==⋅⋅ ，22363643695555t t +-+-=，解得：5t =，4BC t ∴=，22212843635cos 2245AB AC BC BAC AB AC +-+-∴∠===⋅，则4sin 5BAC ∠=，11424sin 262255ABC S AB AC BAC ∴=⋅∠=⨯⨯⨯= .（2）设()02AE m m =<≤ ，()06AF n n =<≤，由（1）知：13BD DC = ；()11314444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC ∴=+=+=+-=+ ；设AG AD λ= ，则344AG AB AC λλ=+ ，,,E F G 三点共线，∴可令()()1126n m AG AE AF AB AC μμμμ-=+-=+ ，则()342146m n λμμλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得：n m n μ=+，2266mn mn AG AB AC m n m n ∴=+++ ；又62n m EF AF AE AC AB =-=- ，36cos 5AB AC AB AC BAC ⋅=⋅∠= ，226662mn mn n m AG EF AB AC AC AB m n m n ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()22224436361212mn n m m n mn AB AC AB AC m n m n m n -=-++⋅+++ ()22355mn n m m n mn m n m n m n -=-+++++()22888555mn n m m n mn m n m n--+==⋅++；11212sin 2255AEF ABC S S mn BAC mn ==∠== ，6mn ∴=，22264848486481216555656m n m m m AG EF m n m m m m---⎛⎫∴⋅=⋅=⋅=⋅=⋅- ⎪+++⎝⎭+ ，02m <≤ ，∴当2m =时，()min 481248156425AG EF ⎛⎫⋅=⨯-= ⎪+⎝⎭ .。
2023-2024学年北京市海淀区高一下学期3月月考质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年北京市海淀区高一下册3月月考数学试题一、单选题1．已知向量(2,8),(4,2)a b ==- ．若2c a b =-，则向量c = （）A ．(0,18)B ．(8,14)C ．(12,12)D ．(4,20)-【正确答案】B【分析】直接根据平面向量的坐标的线性运算即可得解.【详解】因为向量(2,8),(4,2)a b ==-，所以()()()222,84,28,14c a b =-=--= .故选：B.2．函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像关于直线2x π=对称，则ω可以为（）A ．13B ．12C ．23D ．1【正确答案】C【分析】()cos(0)3f x x πωω=->的对称轴为3x k πωπ-=，化简得到22(0)3k ωω=+>得到答案.【详解】()cos(0)3f x x πωω=->对称轴为：22(0)()3233x k k k k Z πππωπωπωω-=⇒-=⇒=+>∈当0k =时，ω取值为23.故选:C.3．在ABC中，若105,45,A B b =︒=︒=c =（）A ．1BC ．2D【正确答案】A【分析】由题意可得C ，再由正弦定理即可得到结果.【详解】因为105,45A B =︒=︒，所以30C =︒，由正弦定理可得1sin 21sin b C c B==.故选:A4．向量12a b e e ，，，在正方形网格中的位置如图所示，若12()a b e e R λμλμ-=+∈ ，，则λμ=（）A ．3B ．13C ．-3D ．13-【正确答案】D【分析】利用向量减求得()1,3a b -=-，利用向量的坐标运算性质，向量相等即可得出．【详解】解：根据向量的减法得()1,3a b -=-,()()()121,00,1,a b e e λμλμλμ+=-=+=，∴1λ=且3μ=-，因此，则13λμ=-故选：D ．5．已知向量()0,1a = ，(b = ，则a 在b上的投影向量为（）A B ．4C ．2a D 【正确答案】B【分析】利用投影向量的定义即可得出答案.【详解】设a 与b的夹角为θ，则a 在b上的投影向量为:cos b a b b a b b a a b b a b b bbθ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅.故选：B.6．将函数()f x 的图像上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．12B ．12-C ．2D ．【正确答案】D【分析】根据题意反推出如何由函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像变化得到()f x 的图像，再根据函数图像的变化规律进行求解即可，【详解】由题意可知，将函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把图像向右平移π4个单位长度即可得到()f x ，又将函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变得到πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把函数πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移π4单位长度，得到ππ2π()sin 4sin 4433f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππsin 4sin 33ππ1212f ⎛⎫⎛⎫⨯-=-=- ⎪⎝⎭⎛⎫=⎭⎪⎭⎝⎝.故选：D ．7．在ABC 中，若222a b c kab +-=，则实数k 的取值范围是（）A ．()2,2-B ．()1,1-C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()0,1【正确答案】A【分析】由余弦定理及已知条件可得(1,1)2k∈-，即可求k 的取值范围.【详解】由222cos (1,1)22kab a b C c ==∈+--，故()2,2k ∈-.故选：A8．设向量(cos ,sin )a αβ= ，则“||1a =”是“π()k k αβ=+∈Z ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据同角三角函数的平方关系，以及平面向量的模长公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】因为向量(cos ,sin )a αβ= ，由||1a =可得22cos sin 1αβ+=，则sin β=sin α=，所以sin sin βα=±，当sin sin αβ=时，则)2π(k k αβ=∈+Z ，或()π+2πk k αβ+=∈Z ，当sin sin αβ=-时，则()2πk k αβ=-+∈Z ，或()π2πk k αβ=++∈Z ，故充分性不满足；当π()k k αβ=+∈Z ，则sin sin αβ=±，所以()(cos ,sin )cos ,sin a αβαα==±，即1a = ，故必要性满足；即“||1a =”是“()k k αβπ=+∈Z ”必要不充分条件.故选:B9．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为该正六边形的中心，圆O 的半径为2，圆O 的直径MN CD ∥，点P 在正六边形的边上运动，则PM PN ⋅的最小值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【正确答案】D【分析】计算得出24PM PN PO ⋅=- ，求出PO 的取值范围，由此可求得PM PN ⋅ 的取值范围，从而可得最小值.【详解】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，OAB 、OBC △、OCD 、ODE 、OEF 、OFA 均为边长为4的等边三角形，当点P 位于正六边形ABCDEF 的顶点时，PO取最大值4，当点P 为正六边形各边的中点时，PO 取最小值，即min4sin3PO π==所以，4PO ⎡⎤∈⎣⎦.所以，()()()()[]248,12PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM PO ⋅=+⋅+=+⋅-=-∈ .PM PN ⋅的最小值为8.故选：D.方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．10．设函数π()cos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[,]-ππ的图像大致如图所示，则ω=（）A ．32B ．95C ．34D ．910【正确答案】A【分析】由图可知T 的范围，从而得到ω的范围，再由4π09f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭即可得到结果.【详解】由图可知:4πππ9T ⎛⎫<<-- ⎪⎝⎭，即13ππ9T <<，2π18,213T ω⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭①②结合图像可知4π4ππcos 0996f ω⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则4πππ2π,962k k ω-+=-+∈Z ，结合①可知，当0k =时，32ω=符合题意.故选:A二、填空题11．已知()()1,1,1,3A B -，满足2AB AC =的点C 的坐标是_________．【正确答案】()0,2【分析】根据题意设(),C x y ，由平面向量的坐标运算，直接代入计算即可得到结果.【详解】设(),C x y ，因为()()1,1,1,3A B -，则()()2,2,1,1AB AC x y ==+-，且2AB AC = ，则222222x y =+⎧⎨=-⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，所以()0,2C 故答案为:()0,212．如图，矩形ABCD 中，2,AB BC ==E 是CD 的中点，则AE DC ⋅=_________．【正确答案】2【分析】把,AE DC 都用,AB AD表示，再根据数量积的运算律即可得解.【详解】12AE AD DE AD =+=+ ，D C AB =，则2111042222AE DC AD AB AB AD AB AB ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+=+⨯= ⎪⎝⎭.故答案为.213．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都为100km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20︒方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40︒方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为_________km ．【正确答案】【分析】易得角C ，再利用余弦定理即可得解.【详解】如图，由题意得120,100C AC BC =︒==，则2222cos 10000100001000030000AB AC BC AC BC C =+-⋅=++=，所以AB =即灯塔A 与灯塔B 的距离为.故答案为.314．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________．【正确答案】1【详解】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 44cos 1sin sin 332A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=正余弦定理解三角形15．ABC 为等边三角形，且边长为2，则AB 与BC 的夹角大小为120，若1BD = ，CE EA = ，则AD BE ⋅的最小值为___________.【正确答案】33-【分析】以点B 为坐标原点，BE 、EA分别为x 、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，设点()cos ,sin D θθ，利用平面向量数量积的坐标运算以及余弦函数的有界性可求得AD BE ⋅的最小值.【详解】因为ABC 是边长为2的等边三角形，且CE EA =，则E 为AC 的中点，故BE AC ⊥，以点B 为坐标原点，BE 、EA分别为x 、y 轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，则)3,1A、()3,0E、()0,0B ，设点()cos ,sin D θθ，)3,0BE = ，()cos 3,sin 1AD θθ=--，所以，cos 3AD BE θ⋅=-≥-，当且仅当cos 1θ=-时，等号成立，因此，AD BE ⋅的最小值为3.故答案为.3-三、解答题16．已知向量()()()1,2,,4,4,a b x c x ===- ，且向量a 与b共线．(1)证明：a c ⊥；(2)求a 与c b -夹角的余弦值；(3)若a tc +t 的值．【正确答案】(1)证明见解析(2)2-(3)12t =±【分析】（1）根据向量共线得a b λ=，列方程组解出x ，再利用向量垂直的坐标表示证明即可；（2）利用()cos ,a c b a c b a c b⋅--=-及向量数量积和模长的坐标表示求解即可；（3）利用向量数量积的运算律求解即可.【详解】（1）因为向量a 与b共线，所以a b λ= ()0λ≠，则124x λλ=⎧⎨=⎩，解得122x λ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()2,4b = ，()4,2c =- ，因为()14220a c ⋅=⨯+⨯-=，所以a c ⊥ .（2）由（1）得()2,6c b -=-，所以()cos ,2a c b a c b a c b ⋅-⨯+⨯--===--，即a 与c b - 夹角的余弦值为2-.（3）因为2222125a a ==+= ，()22224220c c ==+-= ，0a c ⋅= ，所以22222252010a tc a ta c t c t +=+⋅+=+= ，解得12t =±.17．已知函数2()sin 2f x x x =-(1)若点12P ⎫-⎪⎪⎝⎭在角α的终边上，求tan 2α和()f α的值；(2)求函数()f x 的最小正周期；(3)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最小值．【正确答案】(1)tan 2α=()0f α=(2)π(3)【分析】（1）先根据三角函数的定义分别求得sin α、cos α和tan α，再代入二倍角公式分别计算tan 2α和()f α的值即可；（2）先利用半角公式和辅助角公式将()f x 化简，判断其ω的值，从而求得最小正周期；（3）先由x 的范围求得π23x +的范围，再根据正弦函数的图像判断值域即可.【详解】（1）因为点12P ⎫-⎪⎪⎝⎭在角α的终边上，所以112sin 2α-==-，cos 2α==，12tan 3α-==，则22tan tan 21tan ααα==-2()sin 2f ααα=-22sin cos sin ααα=-2112()()0222⨯-⨯--=（2）2()sin 2f x x x =-2sin 22sin )x x =-sin 2cos 2x x=12(sin 2cos 2)22x x =+π2sin(2)3x =+所以2ω=，则函数()f x 的最小正周期为2π2ππ2T ω===.（3）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ4π2[,]333x +∈，所以πsin(2[32x +∈-，所以()[2]f x ∈，即函数()f x 的最小值为18．在ABC 中，已知5b =，9cos 16B =再从条件①、条件②这两个条件中选择一个为已知．（1）求sin A ．（2）求ABC 的面积．条件①：1cos 8C =，条件②：4a =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】（1（2）4选择条件①，（1）根据同角三角函数关系求出sin ,sin B C ，再由()sin sin A B C =+根据和的正弦公式即可求出；（2）由正弦定理求出a ，即可由面积公式求出；选择条件②，（1）根据同角三角函数关系求出sin B ，由正弦定理即可求出sin A ；（2）由余弦定理求出c ，即可由面积公式求出.【详解】选择条件①，（1）9cos 16B =，sin B ∴1cos8C = ，sin C ∴==()19sin sin sin cos cos sin 816A B C B C B C ∴=+=+⨯+（2）由正弦定理可得sin sin a bA B=，5sin 44sin b A a B ⨯∴==，11sin 4522ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯ ；选择条件②，（1）9cos 16B =，sin 16B ∴=，由正弦定理可得sin sin a b A B =，4sin 16sin 54a B Ab ===；（2）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即2925162416c c =+-⨯⨯，解得32c =-（舍去）或6c =，11sin 562244ABC S bc A ∴==⨯⨯⨯= .本题考查正余弦定理和面积公式的应用，解题的关键是正确应用正余弦定理，正确计算.19．记 ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2cos b B c C =-.(1)求a b；(2)若1cos 4C =，AB边上的中线CD = ABC 的面积.【正确答案】(1)2；【分析】（1）利用三角恒等变换的公式和正弦定理化简已知即得解；（2）利用向量知识得到2b =，4a =，再求出sin C 的值即得解.【详解】（1）解：由cos 2cos b B c C =-得sin cos sin 2cos B B C C=-，故()sin 2sin B C B +=，所以sin(π)2sin ,sin 2sin A B A B -=∴=，所以sin 2sin A B =，由正弦定理得2a b=.（2）解：因为CD 为AB 边上的中线，所以2CD CA CB =+ ,所以22242CD CA CB CA CB =++⋅ ，所以22242cos ,CD b a b a CA CB =++⋅⋅<> ，所以22242cos b a ab C =++，即2212424a b ab =++⋅，因为2a b =，解得2b =，4a =，又()0,πC ∈，所以sin C ==所以 ABC 的面积11sin 2422S ab C ==⨯⨯=。
北京市高一下学期3月调研数学试题A卷
北京市高一下学期3月调研数学试题A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）已知扇形的面积为2 cm2 ，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）A . 2B . 4C . 6D . 82. （2分）已知P是椭圆上的一点，F1,F2是该椭圆的两个焦点，若的内切圆半径为，则的值为（）A .B .C .D . 04. （2分）若函数f(x)唯一的零点在区间（1，3）、（1，4）、（1，5）内，那么下列命题中错误的是（）A . 函数f(x)在（1，2）或[2,3)内有零点B . 函数f(x)在（3，5）内无零点C . 函数f(x)在（2，5）内有零点D . 函数f(x)在（2，4）内不一定有零点.二、填空题 (共12题；共13分)5. （1分） (2019高一上·哈尔滨期末) 在内，与角终边相同的角是________.6. （1分） (2019高一下·上海月考) 终边在第二象限角平分线上的所有角的集合用弧度制表示为________.7. （1分） (2019高一上·永嘉月考) 已知，且是第三象限角，则 ________.8. （1分） (2016高一下·榆社期中) 已知0＜α＜π，﹣sinα=2cosα，则2sin2α﹣sinαcosα+cos2α的值为________．9. （1分）(2019·重庆模拟) 若，则 =________.10. （1分） (2016高三上·西安期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，S= （a2+b2﹣c2），则C的大小为________．11. （1分） (2018高一下·东莞期末) 已知，且，则当y取得最大值时________．12. （1分）函数的最大值为 M，最小值为m，则 M+m=________．13. （1分）的值是________．14. （1分） (2016高一下·南汇期末) 在△ABC中，若a2+b2=2c2 ，则 =________．15. （1分）(2017·新乡模拟) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，cosC= ，且acosB+bcosA=2，则△ABC面积的最大值为________．16. （2分）在△ABC中，有等式：①asinA=bsinB；②asinB=bsinA；③acosB=bcosA；④．其中恒成立的等式序号为________三、解答题 (共5题；共55分)17. （5分）化简：（1） 2（tan10°﹣）sin20°cos20°（2）tan70°+tan50°﹣tan70°tan50°．18. （10分）(2017高三上·山西月考) 在△ABC中,角A,B,C的对边分别是 ,且（1）求角A的大小;（2）求的取值范围.19. （10分）(2017·扬州模拟) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2+ ac=b2 ， sinA=．（1）求sinC的值；（2）若a=2，求△ABC的面积．20. （15分）(2017·邯郸模拟) 已知a，b分别是△ABC内角A，B的对边，且bsin2A= acosAsinB，函数f（x）=sinAcos2x﹣sin2 sin 2x，x∈[0， ]．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．21. （15分） (2018高一下·安徽期末) 如图所示，扇形中，，，矩形内接于扇形 .点为的中点，设，矩形的面积为 .（1）若，求；（2）求的最大值.参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、4-1、二、填空题 (共12题；共13分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、。
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北京市高一下学期数学 3 月线上月考试卷 A 卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分） (2018 高一上·哈尔滨月考) 时钟的分针在 1 点到 3 点 20 分这段时间里转过的弧度为（ ）
A.
B.
C.
D. 2. （2 分） (2019 高三上·临沂期中) 已知集合 A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|log2x＞0}，则 A∩B=（ ） A . （﹣2，1） B . （0，1） C . （0，3） D . （1，3）
3. （2 分） 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为上底面 A1C1 的中心，若 的值是（ ）
， 则 x,y
A.
B.
C.
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D . x=1,y=1
4. （ 2 分 ） △ABC 为 锐 角 三 角 形 ， 若 角 终 边 上 一 点 P 的 坐 标 为
A.1
的值是（ ）
B . -1
C.3
D . -3
5. （2 分） 已知函数 单调递增数列,则实数 的取值范围（ ）
A. B. C. D.
数列 满足
6. （2 分） 要得到一个奇函数，只需将
的图象（ ）
A . 向右平移 个单位
B . 向右平移 个单位
C . 向左平移 个单位
D . 向左平移 个单位 7. （2 分） 如果一扇形的弧长为 π，半径等于 2，则扇形所对圆心角为（ ）
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，则 ,且 是
A.π B . 2π C.
D. 8. （2 分） 已知函数 的导函数图象如图所示，若
为锐角三角形，则一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
9. （2 分） (2018 高二上·南宁月考) 设向量
，
则 的值为（ ）
A.
B. C.
D.
10. （2 分） (2017·雨花模拟) 若 数时（ ）
是函数
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，
，若
与 平行，
图象的一条对称轴，当 ω 取最小正
A . f（x）在 B . f（x）在 C . f（x）在 D . f（x）在
单调递减 单调递增
单调递减 单调递增
11. （2 分） (2019 高三上·衡水月考) 如图是函数
图象，将该图象向右平移
个单位长度后，所得图象关于直线
在区间
上的
对称，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D. 12. （2 分） M，N 是曲线 y=πsinx 与曲线 y=πcosx 的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（ ） A.π B. π C. π D . 2π
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二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13. （1 分） 设 P 为平行四边形 ABCD 所在平面内一点，则① ＋
＝
＋
；②
＋
＝
＋
；③
＋
＝
＋
中成立的序号为________．
14. （1 分） (2018 高三上·扬州期中) 函数
的定义域为________．
15. （1 分） (2018·兴化模拟) 将函数
得函数为奇函数，则
________．
的图像向右平移
个单位长度后，所
16. （1 分） 若 a=sin ，b=cos
三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)
，c=cos ，则 a，b，c 从小到大的顺序是________．
17. （5 分） (2018 高一上·鹤岗月考) 已知角 的终边过点
，且
值.
，求
和
的
18. （10 分） 计算式子的值 sin（﹣1395°）•cos1110°+cos（﹣1020°）•sin750°．
19. （10 分） (2019 高一上·汤原月考)
（1） 已知
，且
，求
；
（2） 已知函数
，若
20. （10 分） (2017 高一下·济南期末) 计算：
，求
的值域.
（1） 已知
，且 α 为第三象限角，求 sinα 的值
（2） 已知 tanα=3，计算
的值．
21. （10 分） (2019 高一下·中山月考) 如图，在平面斜坐标系
中，
，平面上任意一
点 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若
（其中 ， 分别为与 轴， 轴同方向
的单位向量），则 点的斜坐标为
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（1） 若点 在斜坐标系
中的坐标为
，求点 到原点 的距离.
（2） 求以原点 为圆心且半径为 的圆在斜坐标系
中的方程.
（3） 在斜坐标系
中，若直线
面积取得最大值？并求此最大值.
交（2）中的圆于
两点，则当 为何值时，
的
22. （15 分） 将函数 y=msinx（其中 m≠0）的图象上的所有点向左平移 个单位，再将所得图象上所有点的 横坐标压缩到原来的 倍，纵坐标保持不变，得到了函数 y=f（x）的图象．
（1）写出函数 f（x）的表达式；
（2）当 m= 时，求函数 f（x）的最小正周期及对称中心；
（3）若 x∈[﹣ ， ]时，函数 f（x）的最大值为 2，试求函数 f（x）的最小值．
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一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13-1、 14-1、
参考答案
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15-1、 16-1、
三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)
17-1、
18-1、
19-1、 19-2、
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20-1、 20-2、 21-1、 21-2、
21-3、
第 9 页 共 10 页
22-1、
第 10 页 共 10 页
。