待定系数法分解因式(附答案)

待定系数法分解因式

待定系数法分解因式…•…名师点拨学科：奥数教学内容：待定系数法分解因式经验谈：待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。

其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。

【内容综述】将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。

同学们要仔细体会解题的技巧。

_ j T~r~ www.pk.u$chooLcom — ~~・・-【要点讲解】这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。

★★例1分解因式思路1因为所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。

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待定系数法分解因式

学科：奥数教学内容：待定系数法分解因式经验谈：待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。

其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。

【内容综述】将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。

同学们要仔细体会解题的技巧。

【要点讲解】这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。

★★例1 分解因式思路1 因为所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。

解法1因为所以可设比较系数，得由①、②解得把代入③式也成立。

∴思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。

解法2 因为所以可设因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得令得解①、②得或把它们分别代入恒等式检验，得∴说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。

若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。

★★例2 分解因式思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。

解设由恒等式性质有：由①、③解得代入②中，②式成立。

∴说明若设原式由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式★★★例3 在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。

思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。

可考虑利用恒待式的性质。

解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得解得故所求的二次三项为思路2 根据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值。

专题45 待定系数法(解析版)

专题45 待定系数法1.待定系数法的含义一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

2. 待定系数法的应用（1）分解因式待定系数法是初中数学的一个重要方法。

用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。

在初中竞赛中经常出现。

a.确定所求问题含待定系数的解析式。

b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。

c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

（2）求函数解析式初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=k/x，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，y=a (x－x1)(x－x2)( a、x1、x2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、a、c、b、x1、x2等待定系数．一般步骤如下：a.写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；b.把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。

c.解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。

（3）解方程例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x2+mx+n=0，则有(x－x1)(x－x2)=0，即x2－(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2－(x1+x2)x+x1x2=0．（4）分式展开首先用未知数表示化为部分分式和的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和可得结果。

因式分解的待定系数法

因式分解的待定系数法因式分解的待定系数法是一种求多项式表达式的因式分解式的一种方法。

这种方法可以将一个多项式表达式分解成一系列较简单的因式的乘积。

待定系数法可以用于分解一次、二次、三次以及更高次的多项式表达式。

以下是关于因式分解的待定系数法的相关参考内容（不含链接）：1. 原理和基本步骤：因式分解的待定系数法是利用多项式表达式的特定形式，假设待定系数，然后通过代入真实数值，解方程组，得到具体的系数值。

基本步骤包括：确定多项式表达式的最高次数、假设待定系数、代入已知数值求解方程组、得到具体的系数值、将多项式进行因式分解。

2. 一次多项式的因式分解：一次多项式是指最高次数为1的多项式。

一次多项式的因式分解非常简单，根据一次多项式的特定形式可以直接写出因式分解式。

3. 二次多项式的因式分解：二次多项式是指最高次数为2的多项式。

对于二次多项式的因式分解，可以假设二次多项式的因式为(ax+b)(cx+d)，然后代入真实数值，解方程组得到具体的系数值，进而得到因式分解式。

4. 三次多项式的因式分解：三次多项式是指最高次数为3的多项式。

对于三次多项式的因式分解，可以假设三次多项式的因式为(ax+b)(cx^2+dx+e)，然后代入真实数值，解方程组得到具体的系数值，进而得到因式分解式。

5. 更高次多项式的因式分解：对于更高次数的多项式，可以采用类似的方法进行因式分解。

假设多项式的因式为(ax^m+bx^n+...+zx^k)，然后代入真实数值，解方程组得到具体的系数值，进而得到因式分解式。

6. 实例分析：通过具体实例分析，可以更好地理解和应用因式分解的待定系数法。

例如，对于多项式x^3+2x^2-3x-6，假设其因式分解为(x+a)(x^2+bx+c)，然后代入已知的x取值，可以得到方程组，通过求解方程组，可以得到a、b、c的值，进而得到因式分解式。

通过因式分解的待定系数法，我们可以将复杂的多项式表达式分解成简单的因式的乘积，从而更好地理解和处理多项式的性质和计算。

待定系数法分解因式

待定系数法分解因式(总8页) -CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One 1■CAL■本页仅作为文档封面.使用请直接删除待定系数法分解因式经验谈：待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。

其指导作用贯穿于初中、高中其至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。

【内容综述】将一个多项式表示成另一种含有待泄系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得岀系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求岀待泄的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

本讲主要介绍待立系数法在因式分解中的作用。

同学们要仔细体会解题的技巧。

【要点讲解】这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待泄系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。

★★例1分解因式2宀芋一琢+"14厂15.思路］因为2工+歼纣十・刃（2沙羽）,所以设原式的分解式是“一屮湖（2"弘*）,然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。

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待定系数法分解因式附答案

待定系数法分解因式(附答案) 待定系数法是一种常用的分解因式的方法，适用于多项式的因式中有一个二次项和一个一次项的情况。

下面我将详细介绍待定系数法的步骤，并给出一个具体的例子。

假设我们要分解因式的多项式为：ax^2 + bx + c，其中a、b、c是待定系数。

步骤一：设分解因式为(x + m)(x + n)，其中m和n是待定系数。

步骤二：将待分解的多项式用分解因式展开：(x + m)(x + n) = x^2 + (m + n)x + mn。

步骤三：将展开后的多项式与原多项式进行比较，得到以下关系式：
a = 1（因为x^2的系数为1）；
b = m + n；
c = mn。

步骤四：根据关系式解出m和n的值。

步骤五：将得到的m和n代入分解因式中，即可得到最终的分解因式。

下面以一个具体的例子来说明待定系数法的使用：
例子：分解因式x^2 + 5x + 6。

步骤一：设分解因式为(x + m)(x + n)。

步骤二：展开(x + m)(x + n)得到x^2 + (m + n)x + mn。

步骤三：根据关系式得到以下方程组：
1 = a；
5 = m + n；
6 = mn。

步骤四：解方程组，得到m = 2，n = 3。

步骤五：将m和n代入分解因式中，得到(x + 2)(x + 3)。

所以，x^2 + 5x + 6可以分解为(x + 2)(x + 3)。

以上就是待定系数法分解因式的详细步骤和一个具体例子。

通过使用待定系数法，我们可以将一个多项式分解为两个一次项的乘积，从而更好地理解和运用多项式的因式分解。

（完整版）因式分解-待定系数法

（完整版）因式分解-待定系数法三．待定系数因式分解（整体思想）1．分解因式：2235294x xy y x y +-++-2．分解因式432435x x x x -+++3．若a 是自然数，且4324153027a a a a -+-+的值是一个质数，求这个质数。

4．分解因式 432227447x x x x ---+5．分解因式：4322x x x +++6．22282143x xy y x y +-++-7．当m 为何值时，2223x xy y my +-+-能分解成两个整系数一次因式之积？8．把多项式43244521x x x x -+-+写成一个多项式的完全平方式。

9． 22823x xy y --可以化为具有整系数的两个多项式的平方差。

10．已知多项式2223286x xy y x y +--+-的值恒等于两个因式()()22x y A x y B ++-+乘积的值，那么A+B 等于多少？11．若3233x x x k +-+有一个因式是1x +，求k 的值。

12．已知324715ax bx x +--被31x +和23x -整除，求,a b 的值，并将该多项式分解因式。

13．设32324x x xy kx y +---可分解为一次与二次因式之积，则k 为多少？14．若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积。

（其中二次项系数均为1，且一次项系数相同），求P 的最大值。

15．设()p x 是一个关于x 的二次多项式，且327561(1)()x x x m x p x a -+--=-+，其中,m a 是与x 无关的常数，求()p x 的表达式。

16．多项式m y x y xy x +-++-5112101222可以分解为两个一次因式的积，求m 的值。

17．已知225x x ++是42x ax b ++的一个因式，求a b +的值。

18．如果22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式之积，求a 的值。

待定系数法分解因式

学科：奥数教学内容：待定系数法分解因式经验谈：待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。

其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。

【内容综述】将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。

同学们要仔细体会解题的技巧。

【要点讲解】这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。

★★例1 分解因式思路1 因为所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。

解法1因为所以可设比较系数，得由①、②解得把代入③式也成立。

∴思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。

解法2 因为所以可设因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得令得解①、②得或把它们分别代入恒等式检验，得∴说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。

若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。

★★例2 分解因式思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。

解设由恒等式性质有：由①、③解得代入②中，②式成立。

∴说明若设原式由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式★★★例3 在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。

思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。

可考虑利用恒待式的性质。

解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得解得故所求的二次三项为思路2 根据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值。

因式分解待定系数法

用待定系数法分解因式就是按照已知条件，把原式设为几个因式的乘积，然后利用多项式恒等定理，求出各待定系数的值。

待定系数法的定义
待定系数法，一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

待定系数法求因式分解
待定系数法是初中数学的一个重要方法。

用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。

因式定理的简单运用其实就是一个窍门：
如果各项系数和为0，则必含有因式（x-1)；如果奇次项系数和与偶次项系数和相等，则必含有因式（x+1）可以用一个十字相乘法来引入，因为十字相乘法是特殊的待定系数法。

使用待定系数法解题的一般步骤是：
（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式。

（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。

（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

因式分解技巧——待定系数法

因式分解技巧——待定系数法这⾥主要讨论整系数的四次多项式。

根据⾼斯引理，⼀个整系数多项式如果能分解为两个有理系数的因式之积，那么它必定可分解为两个整系数的因式之积。

所以我们直接考虑有没有整系数因式就可以了。

⼆次因式分解因式：x4+x3+2x2−x+3.根据前⾯的知识，此式的有理根只可能是 ±1, ±3. 经过验证，它们都不是原式的根。

因此原式没有有理根，即没有有理系数的⼀次因式。

因此我们设想它可分解为两个整系数的⼆次因式的乘积。

因为原式是⾸⼀的，因此两个⼆次因式也应当是⾸⼀的，于是不妨设x4+x3+2x2−x+3=(x2+ax+b)(x2+cx+d).其中a,b,c,d都是整数。

【2015.5.8注：原来的公式是错误的，现已修改。

】⽐较两边对应项的系数和常数项，可得a+c=1b+d+ac=2bc+ad=−1bd=3这样的⽅程组通常是不好求解的。

但我们这⾥有优势：各数都是整数！先从最后⼀个等式⼊⼿，然后逐步回代，联⽴⽅程。

最后可得到分解x4+x3+2x2−x+3=(x2−x+1)(x2+2x+3).这⾥有⼀点需要注意，⼀开始的bd=3 可以得到两组解。

如果其中⼀组解可以导出⼀个分解，那么另外⼀组解的情形就没必要再考虑了，因为分解是唯⼀的。

（这⾥涉及复数的知识，不多提。

）再来看⼀个例⼦：分解因式：2x4−x3+6x2−x+6.由于⾸项系数为 2, 所以不妨设2x4−x3+6x2−x+6=(2x2+ax+b)(x2+cx+d).⽐较两边的系数及常数项，可得2c+a=−1,2d+b+ac=6,ad+bc=−1,bd=6由最后⼀个式⼦我们可得 8 组b,d的值。

经过试验发现b=3, d=2 可以导出⼀个分解x4−x3+6x2−x+6=(2x2+x+3)(x2−x+2).根据前⾯的提醒，余下的⼏种情况就没必要再讨论了。

其实⼗字相乘法是这种⽅法的⼀种特殊情况，但⽐较简单。

待定系数法是⼀种很基本的⽅法，应⽤范围⾮常⼴。

(完整版)因式分解-待定系数法

三．待定系数因式分解（整体思想）1．分解因式：2235294x xy y x y +-++-2．分解因式432435x x x x -+++3．若a 是自然数，且4324153027a a a a -+-+的值是一个质数，求这个质数。

4．分解因式 432227447x x x x ---+5．分解因式：4322x x x +++6．22282143x xy y x y +-++-7．当m 为何值时，2223x xy y my +-+-能分解成两个整系数一次因式之积？8．把多项式43244521x x x x -+-+写成一个多项式的完全平方式。

9． 22823x xy y --可以化为具有整系数的两个多项式的平方差。

10．已知多项式2223286x xy y x y +--+-的值恒等于两个因式()()22x y A x y B ++-+乘积的值，那么A+B 等于多少？11．若3233x x x k +-+有一个因式是1x +，求k 的值。

12．已知324715ax bx x +--被31x +和23x -整除，求,a b 的值，并将该多项式分解因式。

13．设32324x x xy kx y +---可分解为一次与二次因式之积，则k 为多少？14．若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积。

（其中二次项系数均为1，且一次项系数相同），求P 的最大值。

15．设()p x 是一个关于x 的二次多项式，且327561(1)()x x x m x p x a -+--=-+，其中,m a 是与x 无关的常数，求()p x 的表达式。

16．多项式m y x y xy x +-++-5112101222可以分解为两个一次因式的积，求m 的值。

17．已知225x x ++是42x ax b ++的一个因式，求a b +的值。

18．如果22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式之积，求a 的值。

专题45 待定系数法(解析版)

专题45 待定系数法1.待定系数法的含义一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

2. 待定系数法的应用（1）分解因式待定系数法是初中数学的一个重要方法。

用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。

在初中竞赛中经常出现。

a.确定所求问题含待定系数的解析式。

b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。

c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

（2）求函数解析式初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=k/x，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，y=a (x－x1)(x－x2)( a、x1、x2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、a、c、b、x1、x2等待定系数．一般步骤如下：a.写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；b.把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。

c.解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。

（3）解方程例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x2+mx+n=0，则有(x－x1)(x－x2)=0，即x2－(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2－(x1+x2)x+x1x2=0．（4）分式展开首先用未知数表示化为部分分式和的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和可得结果。

待定系数法分解因式

待定系数法分解因式待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。

其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。

同学们要仔细体会解题的技巧。

这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。

例1分解因式思路1 因为所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。

解法1因为所以可设比较系数，得由①、②解得把代入③式也成立。

∴思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。

解法2 因为所以可设因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得令得解①、②得或把它们分别代入恒等式检验，得∴说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。

若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。

例2分解因式思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。

解设由恒等式性质有：由①、③解得代入②中，②式成立。

∴说明若设原式由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式例3在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。

思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。

可考虑利用恒待式的性质。

解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得解得故所求的二次三项为思路2 根据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值。

待定系数法分解因式(含答案)-

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待定系数法分解因式(附答案)

待定系数法分解因式（附答案）待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。

其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。

内容综述将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。

同学们要仔细体会解题的技巧。

要点解析这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。

例1分解因式思路1因为所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m,n,的值。

解法1因为所以可设比较系数，得由①、②解得把代入③式也成立。

∴思路2前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n的值。

解法2因为所以可设因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得令得解①、②得或把它们分别代入恒等式检验，得∴说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。

若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。

例2分解因式思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。

解设由恒等式性质有：由①、③解得代入②中，②式成立。

∴说明若设原式由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式例3在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。

思路1先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。

可考虑利用恒待式的性质。

解法1设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得解得故所求的二次三项为思路2根据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值。

三次多项式的因式分解待定系数法

三次多项式的因式分解待定系数法一、引言在代数学中，多项式的因式分解是一个重要的内容。

特别是对于三次多项式，采用待定系数法可以比较容易地进行因式分解。

本文将重点探讨三次多项式的因式分解待定系数法，并以此为例，深入探讨多项式的因式分解方法。

二、三次多项式的因式分解概述对于三次多项式$ax^3+bx^2+cx+d$，我们可以采用待定系数法进行因式分解，一般步骤如下：1. 先将三次多项式进行因式分解，设为$(px+q)(mx^2+nx+r)$。

2. 然后将两个因式进行乘法展开，得到一个关于$p,q,m,n,r$的表达式。

3. 将三次多项式与乘法展开后的表达式进行对比，得到关于$p,q,m,n,r$的方程组。

4. 解方程组，得到$p,q,m,n,r$的值。

5. 将得到的$p,q,m,n,r$带入因式分解中，就可以得到原三次多项式的因式分解。

三、深入探讨三次多项式的因式分解待定系数法1. 待定系数法的优势待定系数法相对于其他因式分解方法，最大的优势在于其简单直观。

通过待定系数法，我们可以将原三次多项式进行简化，然后通过对比系数的方法得到未知系数的值，从而得到因式分解的具体形式。

2. 代数方程的解法在待定系数法中，我们需要通过对比系数的方法得到方程组，然后解方程组来确定未知系数的值。

这一步可以进一步巩固我们对代数方程求解的能力，提高数学解题的技巧。

3. 多项式的结构分析通过待定系数法，我们可以深入分析三次多项式的结构，通过因式分解的形式来理解多项式的根与系数之间的关系。

这种结构分析有助于我们更深入地理解多项式函数的性质。

四、总结与回顾通过本文的讨论，我们深入探讨了三次多项式的因式分解待定系数法。

我们了解了待定系数法的优势，并能够通过对比系数的方法得到方程组，进而求解出未知系数的值，从而完成三次多项式的因式分解。

通过这一过程，我们不仅加深了对代数方程求解的能力，还对多项式的结构有了更深入的理解。

五、个人观点和理解在多项式的因式分解中，待定系数法是一个非常实用的方法。

三次因式分解待定系数法

三次因式分解待定系数法嘿，朋友们，今儿咱们来聊聊数学里头的一个酷炫技巧——三次因式分解的待定系数法。

别瞅着这名字听起来挺高深莫测的，其实啊，它就像咱们玩拼图一样，只要找到那块对的“拼图”，问题就迎刃而解啦！想象一下，你手里拿着一道三次方程式的题目，就像拿着一大串复杂的密码锁，每个数字都像是精心设计的谜题，等着你去解开。

这时候，待定系数法就像是给了你一把万能钥匙，虽然不是直接告诉你密码是多少，但它告诉你怎么去尝试，怎么去拼凑。

咱们先来点热身，说说这待定系数法是个啥。

简单来说，就是你先预设一些未知数，就像是在心里默默许愿：“哎呀，我希望这个式子能分解成这样三个因式相乘。

”然后，你就开始动手，把这些预设的未知数代入原式，通过比较两边的系数，来找出这些未知数的真实值。

这就像是你跟数学玩了一场“我猜我猜我猜猜猜”的游戏，只不过这次你是用脑子去猜，而且猜中的概率还挺高的。

现在，咱们来点儿实战演练。

比如你遇到了一个三次方程：x^3 + 5x^2 + 6x + 2 = 0，看起来是不是挺吓人的？别急，咱们一步步来。

首先，你得有个感觉，这个式子大概能分解成什么样的因式。

凭直觉（当然，有时候也得靠点经验），你可以试着把它拆成(x + a)(x + b)(x + c)这样的形式。

接下来，就是见证奇迹的时刻了。

你把这三个因式乘开，然后跟原式进行对比。

哎呀，不对不对，系数怎么都对不上号呢？别急，咱们慢慢调。

就像是在调色盘里找颜色，一点点地试，直到调出那个最完美的色彩。

在这个过程中，你可能会遇到一些挫折，比如试了半天都找不到合适的a、b、c值。

这时候，千万别灰心丧气，数学嘛，就是要有点耐心和毅力的。

你可以换个思路，比如试试分组分解法，看看能不能先简化一下问题。

终于，在你坚持不懈的努力下，你找到了那个完美的组合：a=1, b=2, c=1。

代入原式一检验，哇塞，完全正确！这时候的你，是不是感觉就像是解开了一个千古谜题一样，心里那个爽啊，简直无法用言语来形容。

待定系数法分解因式(附问题详解)

待定系数法分解因式（附答案）待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。

其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。

内容综述将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。

同学们要仔细体会解题的技巧。

要点解析这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。

例1 分解因式思路1 因为所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。

解法1因为所以可设比较系数，得由①、②解得把代入③式也成立。

∴思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。

解法2 因为所以可设因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得令得解①、②得或把它们分别代入恒等式检验，得∴说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。

若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。

例2 分解因式思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。

解设由恒等式性质有：由①、③解得代入②中，②式成立。

∴说明若设原式由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式例3在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。

思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。

可考虑利用恒待式的性质。

解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得解得故所求的二次三项为思路2 根据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值。

换元法、待定系数法因式分解

板块一：换元法【例1】分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++【例2】分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++-【例3】分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++【例4】分解因式：(1)(2)(3)(4)24a a a a -----【例5】分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++-【例6】证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．【例7】若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.换元法、待定系数法因式分解【例8】在有理数范围内分解因式：()()()()166********x x x x --+-+=【例9】分解因式：()()()()26121311x x x x x ----+=【例10】分解因式：()()()()461413119x x x x x ----+=【例11】分解因式2(25)(9)(27)91a a a +---【例12】分解因式：22(68)(1448)12x x x x +++++【例13】分解因式：22222()4()x xy y xy x y ++-+【例14】分解因式22(32)(384)90x x x x ++++-【例15】分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-【例16】分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-【例17】分解因式：()()()2113212xy xy xy x y x y ⎛⎫+++-++-+- ⎪⎝⎭【例18】分解因式：44(1)(3)272x x +-+-【例19】分解因式：4444(4)a a ++-【例20】分解因式：()()()3332332125x y x y x y -+---【例21】分解因式：43241x x x x +-++【例22】分解因式：()()4413272x x +++-板块二：因式定理因式定理：如果x a =时，多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式.有理根：有理根p c q=的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数.【例23】分解因式：32252x x x ---【例24】分解因式：65432234321x x x x x x ++++++【例25】分解因式：43265332x x x x ++--【例26】分解因式：322392624x x y xy y -+-【例27】分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【例28】分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+板块三：待定系数法如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即，如果 12112112101210n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b--------+++++=+++++那么n n a b =，11n n a b --=，…，11a b =，00a b =.【例29】用待定系数法分解因式：51x x ++【例30】要使()()()()1348x x x x m -+--+为完全平方式，则常数m 的值为________【例31】用待定系数法分解：541x x ++【例32】分解因式：333()()()a b c b c a c a b -+-+-【例33】关于x y ，的二次式22754324x xy my x y ++-+-可分解为两个一次因式的乘积，则m 的值是【例34】 421x x -+是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积?【例35】 631x x +-能否分解为两个整系数的三次因式的积?【例36】 k 为时，多项式222352x xy ky x y -++-+能分解为两个一次因式的乘积【例37】分解因式：43223x x x x ++-+板块四：轮换式与对称式对称式：x y 、的多项式x y +，xy ，22x y +，33x y +，22x y xy +，…在字母x 与y 互换时，保持不变．这样的多项式称为x y 、的对称式．类似地，关于x y z 、、的多项式x y z ++，222x y z ++，xy yz zx ++，333x y z ++， 222222x y x z y z y x z x z y +++++，xyz ，…在字母x y z 、、中任意两字互换时，保持不变．这样的多项式称为x y z 、的对称式．轮换式：关于x y z 、、的多项式x y z ++，222x y z ++，xy yz zx ++，333x y z ++，222x y y z z x ++，222xy yz zx ++，xyz …在将字母x y z 、、轮换(即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x )时，保持不变．这样的多项式称为x y z 、、的轮换式．显然，关于x y z 、、的对称式一定是x y z 、、的轮换式．但是，关于x y 、，z 的轮换式不一定是对称式．例如，222x y y z z x ++就不是对称式．次数低于3的轮换式同时也是对称式．两个轮换式(对称式)的和、差、积、商(假定被除式能被除式整除)仍然是轮换式(对称式)．【例38】分解因式：222-+-+-x y z y z x z x y()()()【例39】分解因式：222222-+-+-()()()xy x y yz y z zx z x。