二阶电路零输入响应
15第十五讲 二阶电路的零输入响应
R
uC = U S + (U 0 − U S )e
uC = U S (1 − e
零状态响应
τ
t≥0
( t ≥ 0)
−
t
τ
) + U 0e
−
t
τ
零输入响应
５、三要素法
（１）、三要素： ）、三要素： 三要素
f (∞ ) 三要素 f (0 + ) τ 稳态值 起始值 时间常数
t −τ
（２）、直流电源激励的全响应： ）、直流电源激励的全响应： 直流电源激励的全响应
f (t) = f (∞) +[ f (0+ ) − f (∞)]e
（３）、正弦电源激励的全响应： ）、正弦电源激励的全响应： 正弦电源激励的全响应
初始值f(0 、稳态值f(∞ 、时间常数τ 初始值 +)、稳态值 ∞)、时间常数
− τt
f (t ) = f (t ) + [ f (0 + ) − f (0 + )]e
1 1×10-6
= 2 KΩ
+ uR _ + uL
R R 2 1 p1 = − + ( ) − = −268 2L 2L LC
R R 2 1 p2 = − − ( ) − = −3732 2L 2L LC
uC = (10.77e
−268t
− 0.773e
强制分量(稳态分量 强制分量 稳态分量) 稳态分量
τ
自由分量(暂态分量 自由分量 暂态分量) 暂态分量
４、RC电路的全响应 电路的全响应
uC (0-)=U0 τ=RC
强制分量(稳态解 强制分量 稳态解) 稳态解 自由分量(暂态解 自由分量 暂态解) 暂态解
二阶rlc电路的零输入响应
二阶rlc电路的零输入响应二阶RLC电路是一种常见的电路，它由一个电感、一个电容和一个电阻组成。
在电路中加入外部刺激信号之前，电路中存在着初始状态，即电路内部的电流和电压，这些电流和电压对于外部信号的作用有着重要的影响。
当不加外部刺激信号时，电路内部的电流和电压变化受到电路本身的约束，这种变化被称为零输入响应。
二阶RLC电路的零输入响应可以通过求解二阶微分方程得到。
电路中的电感、电容和电阻分别表示为L、C和R，则电路的方程可以表示为：L(di/dt) + Ri + (1/C)q = 0其中，i是电路中的电流，q是电路中的电荷，t是时间。
将电荷表示为电容与电压的乘积，即q = CV，将电流表示为电压与电阻的乘积，即i = V/R，化简上述方程得到：这是一个二阶微分方程，其中二阶导数d2V/dt2表示电压的变化率，一阶导数dV/dt 表示电压的斜率，即电压的变化速率，常数1/CV表示电路的本征频率。
解决这个微分方程需要使用初值条件，即在t=0时的电压和电流。
解决二阶微分方程可以使用多种技术，其中一种常见的技术是使用欧拉公式。
欧拉公式表示为：e^(jωt) = cos(ωt) + j sin(ωt)其中，j表示虚数单位，ω表示频率。
使用欧拉公式将二阶微分方程化简得到：(d2/dt2)(Ve^(jωt)) + 2ζω(d/dt)(Ve^(jωt)) + ω^2Ve^(jωt) = 0其中，V表示电压，ζ表示阻尼系数，记为R/2*(√(L/C))，ω是角频率，记为1/(√(LC))。
这个微分方程的解可以表示为：其中，A和B是积分常数，也叫初始条件，代表在t=0时的电压和电流。
电压响应可以分为三类：欠阻尼响应、临界阻尼响应和过阻尼响应。
如果阻尼系数小于临界值(R/2*(√(L/C)))，响应是欠阻尼的，并具有振荡特性。
如果阻尼系数等于临界值，响应定态快速达到，并达到稳态。
如果阻尼系数大于临界值，响应为过阻尼的，并缓慢达到稳态。
二阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应教材
A1 U 0，A2 U 0
uC U 0 (1 t )e
t
i
uc
duC U 0 t i C te dt L diL uL L U 0e t (1 t ) dt
o tm
uL
t
非振荡放电 临界阻尼现象
14
L 过阻尼， 非振荡放电 小结 R 2 C
场和磁场之间往返转移，这
U0 i(t) Im I m
o
种周而复始的过程称为“振
t
荡”。 若元件为理想的，称等幅 振荡；若电路中存在电阻， 幅度逐渐衰减为零，称衰减 振荡，也称阻尼振荡。
i + uC L
C
若电阻过大，储能在初次转移即被消耗，称过阻尼 情况（无振荡）。
3
2.RLC串联电路的零输入响应 (t=0) R L + uL C i 已知uC(0–) = U0, i(0–) = 0， 求uC(t), i(t), uL(t), t 0
2L
1 0 — 谐振角频率 LC
ω0
δ
ω
2 0
2
— 固有振荡角频率
关系： 0 sin
0 cos
j
p1 j 0 cos j0 sin 0e
p2 j 0 cos j0 sin 0e j
激励的频率决定各响应的频率 自由振荡：电路自身决定 0 1 二阶以上电路存在
LC
谐 振： s 0
Hale Waihona Puke 13L L 临界电阻 3） R 2 两个相等负实根 R 2 C C R p1 p2 uC ( A1 A2t )e t 2L
电路理论第11章二阶电路
响应性质
等幅振荡 (无 阻尼 ) 衰减振荡 (欠阻尼 )
自由分量形式
K sin( 0t )
Ke t sin(t )
L t 相 等 的 实 根 非振荡放电 (临界阻尼 ) e ( A1 A2 t ) C
R2
L 不 等 的 实 根 非振荡放电 ( 过阻尼 ) C
u ,i uC O i
临界状 态
电流
12
电压:
U 0 t te L uL U 0e t (1 t ) i
2019年5月7日
uL
t
小结
第11章 11.1
1. 一阶电路是单调的响应，可用时间常数表示过渡过程。 2. 二阶电路用特征根来表示动态响应。 特征根
R 0 共轭虚根
L R2 共轭复根 C
A1e p1t A2e p2t
13
3. 电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结 构和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。
2019年5月7日
第11章 11.2
§11-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
零状态响应: 与一阶电路相同
阶跃响应: 二阶电路在阶跃激励下的零状态响应.
零状态响应 =强制分量+自由分量
duC U 0 t e sin t dt L
uL L
di 0 U 0e t sin( t ) dt
i C
C
+
-
L
t
11
2019年5月7日
第11章 11.1
L 3. R 2 C
临界情况
1 2
U0 ( p2e p t p1e p t ) 此时,p1,p2为两个相等的实根 uC p2 p1
(优选)二阶电路的零输入响应零状态响应及全响应.
1 LC
0
— 谐振角频率
ω0
ω
δ
02 2 — 固有振荡角频率
关系： 0 sin 0 cos p1 j 0 cos j0 sin 0e j p2 j 0 cos j0 sin 0e j
p1 j 0e j p2 j 0e j
uC
U0 p2
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
(t=0)
R
Li + uL - +
C -uC
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
i C duC U0
(e p1t e p2t )
dt ( p2 p1)L
uC U0
iC
p2U 0 e p1t p2 p1
uL
L
di dt
U0 p2 p1
0
1 LC
二阶以上电路存在
谐 振： s 0
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
C
C
p1
p2
R 2L
代入初值，解得：
uC ( A1 A2t)e t
波形与过阻尼情况类似
A1 U0，A2 U0 uC U0 (1 t)e t
U0 uc
i
i C duC U0 te t dt L
2L
02 2
若R=0，则
0 0
2
δ
p1,2 j0
Li
t = 0 + uL – –
uc
C uC
i
t
+
uC
uL
U
0
二阶电路的零输入响应
§5.6 二阶电路的零输入响应5.6.1 二阶电路的初始条件初始条件在二阶电路的分析进程中起着决定性作用，确定初始条件时，必须注意以下几个方面。
第一，在分析电路时，要始终仔细考虑电容两端电压C u 的极性和流过电感电流L i 的方向；第二，电容上的电压总是连续的，即)0()0(-+=C C u u （5-31） 流过电感的电流也总是连续的，即)0()0(-+=L L i u （5-32） 确定初始条件时，首先要用（5-31）和（5-32）式确定没有突变的电路电流，电容电压和电感电流的初始值。
5.6.2 R L C 串联电路的零输入响应如图5-37所示为RLC 串联电路。
开关S 闭合前，电容已经充电，且电容的电压0U u C =，电感中储存有电场能，且初始电流为0I 当0=t 时，开关S 闭合，电容将通过L R 放电，其中一部分被电阻消耗，另一部分被电感以磁场能的形式储存，之后磁场能有通过R 转换成电场能，如此反复；同样，也有可能先是由电感储存的磁场能转换成电场能，并如此反复，当然也可能不存在能量的反复转换。
+-L u C图5-37 RLC 串联电路的零输入响应由图5-37所示参考方向，据KVL 可得0=++-L R C u u u且有dt du C i C C -=，dt du RC Ri u CR ==，dt u d LC dt di L u C L 2-==。
将其代入上式得 022=++C CC u dtdu RC dt u d LC 式（5-33）是RLC 串联电路放电过程以C u 为变量的微分方程，为一 个线性常系数二阶微分方程。
如果以电流i 作为变量，则RLC 串联电路的微分方程为022=++i dtdiRCdt iLC d（5-34） 在此，仅以C u 为变量进行分析，令Aeu ptC =，并代入（5-33），得到其对应的特征方程012=++RCp LCp 求解上式，得到特征根为LCL R L R P LC L R L R P 1221222221-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎪⎭⎫⎝⎛+-= （5-35）因此，电容电压C u 用两特征根表示如下：t p tp C e A eA u 2121+= （5-36）从式（5-35）可以看出，特征根1p 、2p 仅与电路的参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。
二阶电路的零状态响应
二阶电路的零状态响应
电路的响应指的是电路在不同输入下的输出情况，分为零状态响
应和零输入响应。
所谓零状态响应，指的是电路从某一时刻开始，经过一段时间后
的输出情况，而这段时间内电路的电容和电感等元件是没有存储能量的。
这种响应与电路的初始状态有关，在输入信号改变前电路中的电
势和电流已经存在了一些初值，这些初值会对电路的响应产生影响。
对于二阶电路而言，其响应可以用二阶微分方程来表示。
二阶微
分方程的通解形式为：
y(t) = C1 e^(αt) + C2 e^(βt)
其中，C1和C2为待定常数，α和β分别为根号下b^2-4ac得到
的两个实数或者共轭复数。
根据初值条件和输入信号，可以解得C1和
C2的值，然后带入通解中即可得到响应的具体表达式。
二阶电路的响应除了受到初值的影响外，还受到电路的频率特性
的影响。
根据电路的传输函数，可以得到电路的幅频特性和相频特性。
在实际应用中，需要调节电路的参数以满足特定的频率响应要求。
总之，二阶电路的零状态响应是电路在一定的初值状态下对输入
信号的响应，需要通过求解微分方程和考虑频率特性，来得到电路的
具体响应情况。
二阶电路的零输入响应
二阶电路的零输入响应引言在电路中，当我们施加输入信号后，电路会做出相应的响应。
这种响应可以分为零输入响应和零状态响应。
零输入响应是指在没有外部输入信号的情况下，电路的输出响应。
本文将讨论二阶电路的零输入响应，并对其进行详细探究。
二阶电路简介二阶电路是指由两个存储元件（电感或电容）和两个能量转换元件（电压源或电流源）组成的电路。
它具有两个自由电荷或自由电压变量。
二阶电路常用于滤波器、振荡器等各种实际电路中。
二阶电路可以分为两种类型：二阶低通电路和二阶高通电路。
二阶低通电路是指具有低通特性的二阶滤波电路，可以通过滤除高频信号来实现信号的平滑传输。
而二阶高通电路则是指具有高通特性的二阶滤波电路，可以滤除低频信号，只传递高频信号。
零输入响应的定义零输入响应是指在没有外部输入信号的情况下，电路的输出响应。
在二阶电路中，输入信号可以分为零输入和零状态两部分。
零输入指输入信号为零时的响应，而零状态指将输入信号移除后电路中的存储能量仍然存在时的响应。
零输入响应的计算方法二阶电路的零输入响应可以通过以下步骤计算得到：1.确定电路的初始条件：初始条件是指在没有外部输入信号时，电路中存储能量的初始值，包括电感中的电流和电容中的电压。
2.将输入信号设为零：将所有输入信号设为零，包括电压源和电流源的归零。
3.解析电路方程：使用电路分析方法，如基尔霍夫定律或节点法，得到电路的微分方程。
4.解微分方程：使用适当的方法，如常系数线性非齐次微分方程的解法，求解出电路的响应函数。
5.利用初始条件求解常数：将初始条件代入响应函数，得到电路的特定解。
6.计算零输入响应：将特定解与自由解相加，得到电路的零输入响应。
零输入响应的性质二阶电路的零输入响应具有以下几个重要的性质：1.具有指数衰减特性：二阶电路的零输入响应通常呈现出指数衰减的特性，即在初始时刻响应较大，随着时间的推移逐渐趋于零。
2.零输入响应是自由响应的一部分：零输入响应是在没有外部输入信号的情况下，电路中存储能量释放的结果，因此它是自由响应的一部分。
二阶电路的零输入响应
2
二阶电路的零输入响应
s1,2
R 1 R 2L 2 L LC
2
•提出问题
列微分方程
令
def def
•解决问题
•结果分析 解微分方程
R α 2L
ω0
1 LC
结果
2 s1 α α 2 ω0 2 2 s2 α α ω0
d 0 cos
0 sin
L ), C
d arccos 0
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
L ), C
I0 u( t ) e t e jd t e t e jd t j 2Cd
二阶电路的零输入响应
代入初始条件得
I0 s1 A1 s2 A2 C A1 A2 0
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
L ), C
L ), C
联立求解得
I0 A1 C ( s1 s2 ) I0 A2 C ( s1 s2 )
S1
(t<0)
(original state)
二阶电路的零输入响应
Us +
－
i(t) S1
(t>0)
•提出问题
•解决问题 •结果分析
开关在t=0时换路， S1断开、S2 闭合。t>0, RLC串联形成一个 回路，电压u、电流i即为零输 入响应(zero-input response)。
R
L C
S2 + u(t)
电路分析基础第七章__二阶电路
第七章二阶电路重点要求:1. 理解二阶电路零输入响应过渡过程的三种情况;2. 了解二阶电路的阶跃响应和冲击响应。
3.学习数学中的拉普拉斯变换的定义、性质及反变换的方法;4.掌握用拉普拉斯变换求解电路的过渡过程的方法。
1§7-1 二阶电路的零输入响应二阶电路:由二阶微分方程描述的电路。
典型的二阶电路是RLC串联电路。
求全响应方法:1.经典法(时域分析法)全响应= 稳态分量(强制分量) + 暂态分量(自由分量)2.拉普拉斯变换法(频域分析法)2响应曲线:U 0u C , u L , i 0ωtiu Cu L§7-1 二阶电路的零输入响应220p ααω=−±−一. 问题的提出经典法解动态电路过渡过程存在的问题：对较复杂的电路，联立求解微分方程特别是定积分常数比较困难。
若激励不是直流或正弦交流时，特解不容易求得。
二. 拉氏变换法用积分变换的原理简化求解电路过渡过程时域电路解微分方程时域响应f(t)取拉斯变换复频域电路解代数方程复频域响应F(s)取拉斯反变换7.2 动态电路的复频域分析应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一种复频域分析方法，也叫运算法！是数学中的一种积分变换.优点：对复杂电路﹑无稳态情况﹑换路时出现强迫跃变等用拉氏变换法较经典法方便。
三. 拉普拉斯变换的定义设函数f(t)在0≤t ≤∞时有定义，则积分称为原函数f(t)的拉普拉斯变换（象函数）。
()dte tf s F st∫∞−−=0)(式中s=σ+ j ω----复频率。
单位：熟悉的变换:相量法⎩⎨⎧=∫∞+∞−)s (21)(ds e F j t f stj c j c π反变换正变换ZH1.象函数F (s)存在的条件：∞<∫∞−−dt et f st0)(说明：电路分析中的函数都能满足上述条件。
2. 在电路中积分的下限定义为“0-”, 更有实际意义(将奇异函数也包括在内)。
[][]⎩⎨⎧==−)( )()( )( S F t f t f S F 1简写正变换反变换在电路分析中通常直接查表得到。
L25-2 二阶电路的零输入响应-过阻尼和欠阻尼
二阶电路的零输入响应（二）
2. 欠阻尼
R<2 L C
ω0 )
uC (t ) et ( A1 cos ωd t A2sinωd t )
uC(t)
i
+
uC_
i(t)
S (t =0) C
+ uL-
L
-
R uR
+
uC (0+ ) = A1
d uC dt
t 0
i(0+ ) C
A1 + ωd A2
uC_ C + uL-
L
R s1,2 = - 2L
( R )2 1 2L LC
jd
无阻尼，其响应为等幅振荡
主讲老师 : 唐 莺
第二十五讲 动态电路的暂态分析—— 二阶电路的零输入响应(二)
二阶电路的零输入响应（二）
例1
S (t =0)
+ U_ 1V 4Ω
R
+ 1F
uC_ C
L 1H
s2 + R s + 1 = 0 L LC
s1 2 + 3 = -0.268
s2 2 3 -3.732
s1,2
=
K 2e
jωd )t
et ( K1e jωd t K2e jωd t ) et [(K1 K2 )cos ωd t j(K1 K2 )sinωd t]
cos ωd t jsinωd t cos ωd t jsinωd t
二阶电路的零输入响应（二）
2. 欠阻尼
R<2 L C
ω0 )
R L
d uC dt
1 LC
uC
0
d2 uC dt2
7.4 二阶电路的零输入响应_电路基础_[共5页]
![7.4 二阶电路的零输入响应_电路基础_[共5页]](https://img.taocdn.com/s3/m/98a946b7ddccda38366baf67.png)
动态电路分析 142 第7
章
图7-5 单位阶跃响应
7.3.3 电路的冲激响应与阶跃响应
1．冲激响应
当激励为单位冲激函数时，电路的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用δ (t )表示。
图7-6所示为一阶RC 电路，在激励作用前处于零
状态。
电压源为单位冲激函数时，根据图可以列出电容电压U C (t )响应的微分方程为C C S d 1d U U U t RC RC
+⨯=。
2．阶跃响应
当激励为单位阶跃函数时，电路的零状态响应称为单
位阶跃响应，简称阶跃响应，用ε (t )表示。
阶跃响应ε (t )方程为
d ()()()d t t U t t RC RC
εε+=。
7.4 二阶电路的零输入响应
二阶电路是指用二阶微分方程来描述的电路。
下面主要通过分析RLC 串联电路来说明求二
阶电路响应的方法。
图7-7所示为RLC 串联电路，在t = 0时刻闭合开关，设电
容原本充有电压U 0，此电路的放电过程是二阶电路的零输入响
应问题。
电路的KVL 方程及元件的电压电流关系为
Ri + u L − u C = 0
C L d d d d u i i C u L t t
=-=， 若以电容电压为变量，从以上方程中消去其他变量，得二阶齐次微分方程
2C C C d d 0d d u u LC RC u t t
++= 图7-6 一阶RC 电路 图7-7 RLC 串联电路。
§12-2 二阶电路的零状态响应和全响应
§12-2 二阶电路的零状态响应和全响应一、零状态响应：零状态网络[]0)0(,0)0(==−−L c i u 对外加激励产生的响应。
例3：t <0时电路处于稳态，求t ≥0时的电感电流。
LL t=0i s)()()(t i t i t i Lh Lp L +=sL LL i i dt di R L dt i d LC =++22解：)(t i Lp 取决于激励的形式)(t i Lh 其形式与零输入响应相同1) 21p p ≠（不相等实根）tp t p Lh e K e K t i 2121)(+=设ωαj p +−=1)cos sin ()sin()(21t K t K e t Ke t i t tLh ωωϕωαα+=+=−−或2) （共轭）21∗=p p ptLh e t K K t i )()(21+=3) p p p ==21（重根）注意：零初值代入i L 而非i Lh例4：图示电路，t<0时电路处于稳态。
t=0时开关K 由位置b 换到位置a 。
求t ≥0的u C 和i L 。
已知4,1,1,2s U V L H C F R ====Ω。
i L+-u c K (t =0)R U s0)0()0(==−+c c u u 0)0()0(==−+L L i i 解：0122=++p p 12,1−=p tch e t K K t u −+=)()(21Vt u cp 4)(=4)()(21++=−tc e t K K t u 代入初值0)0(=+c u 0)0(0==++C i dt du L csc ccU u dt du RC dt u d LC =++22401+=K 120K K −=41−=K 42−=K ()(44) 4 0tc u t t e V t −=−−+≥()()4 0tc L du t i t C te A t dt −==≥二、全响应两种求法：(1) 全响应= 零输入响应+ 零状态响应(2) 与零状态响应求法相同例5：图示电路t<0时电路处于稳态，t=0时开关K 由位置1换到位置2，求换位后电容电压的变化规律。
二阶电路的零输入响应
经常写为： uC Ae t sin(t )
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uucC A0eU0et sitns(in(t t))
由初始条件uddCut(C0(0))
U
0 0
Asin A( )
U0
sin
A cos
0
A U0 ， arctan( )
sin
sin
0
A
0
U0
ω0
ω
δ
ω，ω０，δ的 关系
e p2t )
t=0+ iC=0 , t= iC=0
iC>0 t = tm 时iC 最大
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③电感电压
U0
uC
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
+
iC
O
tm
2tm uL
C
L
-R
t
uL
L
di dt
U0 ( p2 p1)
( p1e p1t
p2e p2t )
t 0, uL U0 t ∞, uL 0
uC
0
特征方程： LCp2 RCp 1 0
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特征根： p R R2 4L / C R ( R )2 1
2L
2L 2L LC
2. 零状态响应的三种情况
R 2 L 二个不等负实根 过阻尼 C
R 2 L 二个相等负实根 临界阻尼 C
R 2 L 二个共轭复根 欠阻尼 C
dt
dt
返回 上页 下页
以电容电压为变量时的初始条件：
uC(0+)=U0 i(0+)=0
duC dt
二阶电路的零输入响应
二阶电路的零输入响应指的是在没有外部输入信号作用下，由初始条件所引起的电路响应。
具体而言，二阶电路的零输入响应可以通过求解该电路的自由响应来得到。
考虑一个二阶电路的常微分方程描述形式为：
L * d²i(t)/dt² + R * di(t)/dt + (1/C) * i(t) = 0
其中，L是电感，R是电阻，C是电容，i(t)是电路中的电流。
通过对上述方程进行求解，可以得到二阶电路的零输入响应的一般形式，具体形式取决于初始条件和电路的参数。
一般而言，二阶电路的零输入响应可以表示为：
i(t) = A * e^(-αt) * cos(ωt + φ)
其中，A是振幅，α是阻尼系数，ω是共振角频率，φ是相位角。
阻尼系数α可以分为三种情况：
α > ω：过阻尼，电路的响应是衰减的振荡，振荡的幅度随时间减小。
α = ω：临界阻尼，电路的响应衰减最快，但没有振荡。
α < ω：欠阻尼，电路的响应是振荡的，振荡的幅度随时间减小。
需要注意的是，以上是对于简单的二阶电路的一般形式描述，具体的零输入响应形式还需要根据电路的具体参数和初始条件进行求解。
此外，对于特定类型的二阶电路（如RLC电路），还可以使用其他的方法（如拉普拉斯变换）来求解零输入响应。
因此，针对具体的二阶电路，需要根据其参数和初始条件进行分析和求解，才能得到准确的零输入响应形式。
二阶电路的零输入响应
二阶电路的零输入响应一、 RLC 串联电路的零输入响应电路如图 6.1-1 所示，时，开关 S 处于位置 1 ，且电路已处于稳态，设，。
t=0 时开关拨到位置 2 ，现讨论时响应的变化规律。
时，，。
电路换路后，由 KVL 得这是二阶齐次线性微分方程，其特征方程为特征根为微分方程的解有如下形式：其中， A1 、 A2 是待定的常数，可由电路的初始状态确定，得，所以， RLC 串联电路的零输入响应为结论RLC 串联电路的零输入响应的变化规律取决于两个特征根，特征根只与电路的结构和参数有关，而与外加激励和电路的初始状态无关，特征根是决定动态电路响应变化规律的重要参数，也称为电路的固有频率（ natural frequency ）。
称为 RLC 串联电路的衰减系数（ attenuation factor ），称为 RLC 串联电路的谐振角频率（ resonant angular frequency ）。
1 、过阻尼情况（ over-damped case ）2 、欠阻尼情况（ under-damped case ）3 、无阻尼情况（ undamped case ）无阻尼（等幅振荡）当，电路中只有电容和电感时，称为无损耗电路。
衰减系数，，，特征根为一对共轭虚数。
正弦波的振幅不会衰减，作等幅振荡（ unattenuated oscillation ）。
4 、临界阻尼情况（ critically damped case ）临界阻尼（非振荡放电）当，即时，，为两个相等的负实数。
RLC 串联电路的零输入响应对于 RLC 串联电路，求出衰减系数和谐振角频率，判断电路零输入响应的性质：过阻尼、临界阻尼………非振荡放电欠阻尼………衰减振荡放电无阻尼………等幅振荡例 6.1-1 图 6.1-2 所示电路中，，，，时开关 S 处于位置 1 ，且电路已处于稳态，电感的储能为 0 。
时开关拨到位置 2 。
（ 1 ）求时的和；（ 2 ）若、不变，欲使电路在过阻尼情况下放电，问电阻应为多少？解：（ 1 ）在时刻，电路已处于稳态，所以电容相当于开路，则又电感的储能为 0 ，则因为，所以，欠阻尼，零输入响应为衰减振荡放电。
二阶电路
< t < -
+
- < t <
+
R L
R L
R L
- C
- C
特例：R=0时
则 0 ， 0
0
1 ， LC 2
uc U 0 sin(t 90 ) uL U0 i sin t L
+
- C t 等幅振荡
L
L ( 3) R 2 C
t
在0－至0＋间
有限值
有限值
duc duc d uc 0 LC 2 dt 1 LC dt (0 ) LC dt (0 ) 1 0 dt
2
duc duc LC ( 0 ) LC (0 ) 1 dt dt 1 iL ( 0 ) iC ( 0 ) L
iC为极值时的tm即uL=0时的 t,计算如下:
( P1 e
p1t
P2 e
p2 t
)0
P2 e P1t m Pt P1 e 2 m
p2 n p1 tm p1 p2
由duL/dt可确定uL为极小时的 t .
( P1 e
2
p1t
P2 e
2
p 2t
)0
t 2t m
p2 2n p1 t p1 p2
d 2 u1 3 k du1 1 ( ) 2 2 0 2 dt RC dt R C 3k 1 2 P 2 2 0 特征方程为： P RC RC
3k 3k 2 1 2 特征根为： P ( ) ( ) 2 RC 2 RC RC
3k 1 令 , 0 2 RC RC
U0 P 1t P 2t uc ( P2 e P1e ) P2 P1
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基于PSPICE仿真的二阶电路的零输入响应及其微分方程解法和拉普拉斯运算解法的比较分析
学院：电气工程学院
专业：电气信息类
姓名：凌超
学号：11291144
班级：电气1105
指导老师: 黄辉
摘要: 二阶电路的响应有很多种不同的求解方法，其中最为常见的是运用微分方程求解，拉普拉斯运算电路和PSPICE 电路软件仿真，下面就利用这几种方法逐个求解二阶电路的零输入响应，并且将其全部统一于图像，使他们的结果归于一体，从而能证明其自洽性。
(由于以下公式全由自己在word 编辑，若有错误，请原谅)，
关键词：二阶电路 PSPICE 仿真 拉普拉斯变换 RLC 串联电路 在求解之前，为简便起见，先做以下假设：
一般规定电容有初始能量，电感无初始能量。
开关在t=0时闭合。
电路图如图所示
1. 运用解微分方程的解法。
首先我们可以根据KVL 列写关于Uc 的二阶线性常系数微分方程，如下
0RC dt
U d LC 2
C 2=++C C
U dt dU 其特征方程：LCp 2
+RCp+1=0
解得特征根为：LC
1
-L 2R L 2R -
p 21,2）（±= 根据解得形式，分别作两个不同实根，重根和共轭虚根三种情形讨论： 1》 当C
L 2
R >时，过阻尼情况，此时解的形式为：()t
p t p Ae e t 211C A U --+= 带入初始条件()0C U 0U =求解待定系数21A A ，
11
20
221201p -p p U A p p -p U A ==
， 因此Uc 的解为：
()
t p t p C e p e p p p U U 21121
20
--+-=
从表达式可以看出，只是指数衰减，电路没有发生振荡。
此时；令t 5.1-t 3-C e 4e 2U +=，观察其变化趋势
2》当C
L
2
R =时，临界阻尼，令δ-==21p p ，此时解的形式为：()t te A A δδ-+=2t -1C e t U
带入初始条件可得：()t e
U U t
C δδ+=-10
从表达式看出其是类似指数衰减的曲线，电路没有发生振荡。
此时令Uc=4(1+5t)e^(-5t)，观察其变化趋势
3》 当C L 2
R <时，欠阻尼，令22
00-LC
12δωωωδ===
，，L
R。
ωδj -p ±=，此时解的形式为；
()()βωδ+=t sin Ae t U t -C
带入初始条件可得：
()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=
ωωωωωδ0t -00arcsin t sin e U t C U 从表达式可以看出，该曲线是由一条包络线限制的正弦减幅振荡，此时电路发生
振荡。
此时令()()
88.36t 10sin e 6t U t
5-C +=，观察其变化趋势
2.运用拉普拉斯运算电路解法 运算电路为：
根据运算电路的计算方法可得：
LC s L R s L U C
s U sC 1/sL R /1Rs L sL R /1sL R sL R s U s U 202
00
C +
++=+++=+++=）（）（）
（）（ 分母01
R s 2=++
LC
s L 的根LC 1-L 2R L 2R -s 2）（±=， 1》当C L
2
R >时，21s s ≠，2
211C
s -s K s -s K s U +=）（=2
1
2101
1
22
0s -s s -s s U s -s s -s s U +
/
所以()()[]==s U t U C 1
-C ()
t
t e e U 21s 1s 21
20s s s s --+-，电路不振荡
2》当C
L
2
R =时，令δ-s s 21=≡，()210102
1211C s -s U s -s K s -s K s U s s U -+=+=δ）（）（ 所以反变换 ()()[]==s U t U C 1-C ()t e U t δδ+-10，电路不振荡
3》当C L 2R <时，s=βδj ±，βδβδj -s K j --s K s U *
C ++=）
（K=θ
j 1e
K ，
θj e K K -=1*，22
00-LC
12δωωωδ===
，，L R
()()[]==s U t U C 1
-C ()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=
ωωωωωδ0t -00arcsin t sin e U t C U ，电路振荡 3．运用PSPICE 电路仿真软件求解
为适应仿真需要，特赋值电容初始电压0U =0.2V ，L=0.1H ，C=0.1mF 。
1,》当取R=100Ω时，电路过阻尼状态，电容始终放电
仿真结果为：
由上述两种方法计算得到的表达式为
()()[]==s U t U C 1
-C
()
t
t e e U 21s 1s 21
20s s s s --+-
是一条指数衰减的曲线，与PSPICE 符合较好
2》当取R=20Ω，电路欠阻尼状态，电容和电感充放电振荡。
仿真结果为
;
有上述两种方法解()()[]==s U t U C 1
-C ()⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=ωωωωωδ0t
-00arcsin t sin e U t C U 是一条以一个指数函数为包络线的正弦衰减，和PSPICE 仿真结果也符合
3》当取R=62.35Ω时，电路临界阻尼状态 仿真结果为：
由以上两种方法解到;
()()[]==s U t U C 1-C ()t e U t δδ+-10
也是以条指数衰减的曲线，并且由于电阻相对较小，放电电流大，放电时间较短，这与仿真的结果符合。
感想与收获
在做完这个实验后，我发现研究二阶电路其实是一件很有趣的事，你可以通过PSPICE 电路仿真软件，通过改变参数去研究，也可以纯粹利用基尔霍夫电路定律去求解微分方程，还有一种更奇妙的方法就是拉普拉斯变化法，他可以将微分方程简化为代数方程，从而简便地求解电路，由此可见，科学实验和科学研究并不是只有一条正确的道路，作为电气学院的学生，在以后的科研中更要树立一种另辟蹊径，用多种方法正确解决问题的能力和思维方式，善于找到问题的关键和核心，这样才能取得成功。
总的来说，通过此次电路仿真，我的收获真的是蛮大的，不只是学会了PSPICE 软件的应用，更重要的是在此次实验过程中，更好的培养了我们的具体实验的能力。
又因为在在实验过程中有许多实验现象，需要我们仔细的观察，并且分析现象的原因。
特别有时当实验现象与我们预计的结果不相符时，就更加的需要我们
仔细的思考和分析了，并且进行适当的调节。
因此电路实验可以培养我们的观察能力、动手操做能力和独立思考能力，最后我想说的是，创新是一切知识的源泉，作为新时代大学生，关注生活，体验生活，开发自己的创新思维，才能有所作为。
【参考文献】
1.《电路》第5版邱关源高等教育出版社
2.《Electric Circuits》第八版James W.Nilsson 电子工业出版社。