解直角三角形及应用

合集下载

解直角三角形及应用

【知识点结构】：1．直角三角形中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，那么：（1）三边关系：222a b c +=；（2）两锐角关系：∠A ＋∠B=90°；（3）边、角关系：,a bsinA cosB cosA sinB c c ====t a n c o t ,c o t t a n a bA B A B b a====。

2．解直角三角形（1）定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

（2）解直角三角形的四种基本类型的常用解法如下表所示：cot a AB=90°－∠sin Acos A22a b +，a bb注意：在Rt △中，除直角外，再知道两个元素（其中至少有一个为边），则这个直角三角形其他元素都可求出。

3．解直角三角形的应用题中常见的有关概念：（1）仰角与俯角。

它们都是在同一铅垂面内视线和水平面的夹角，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角。

（2）坡角与坡度。

【典型精解】例1 在△ABC 中，∠C=90°，a =15，∠A=35°，求b 。

例2 （1）在△ABC 中，∠C=90°，a =3，b =4，求其他各边各角。

（2）在△ABC 中，∠C=90°，a =9，c =B 、∠A 、b 。

例3 已知，如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，D 在AC 上，且∠BDC=60°，AD=20，求BC 。

两船的距离。

例5 如图，一艘货船以30km/h的速度向正北航行，在A处看见灯塔C在船的北偏西30°，20min 后货船行至B处，看见灯塔C在船的北偏西60°，若货船向北继续航行，当灯塔C在船的正西方向时，灯塔与货船相距多少千米？例6 如图，水库的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB坡度i=CD坡度'1:1i=，求斜坡AB的长及坡角α及坝宽AD。

初中九年级数学解直角三角形及其应用

0.1m)?
B
A
D
C
3海里内有暗礁，一艘客轮以每小
时9海里的速度由西向东航行，行
至A处测得灯塔P在它的北偏东60°,
继续行驶20分钟后，到达B处，又
测得灯塔P在它的北偏东45°,问客
轮不改变方向，继续前进有无触礁
解：过P的点作危P险D垂？直于AB，交AB的延
P
长∵线∠于1＝D60∠2＝45°∴
在R°t△BDP∠PBD∠=P4AD=30°,∠PBD=45°
例l3.一铁路路基的l 横断面是等腰梯形,路基顶部的宽为9.8米,路基高为 5.8米,斜坡与地面所成的角A为60 度.求路基低部的宽(精确到0.1米)
❖ 练习：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高？（结果精确到
3 山坡与地面成300的倾斜角，某人上坡走 60米，则他
（目标3）上升米，坡度是
D
C
4 如图已知堤坝的横断面为梯形，AD坡面
的水平宽度为
A
B
3√3米，DC=4米，B=600，则
（1）斜坡AD 的铅直高度是
（2）斜坡AD 的长是（3）坡角A的
（目标3） 6 如图从山顶A望地面的C、D 两点，俯角分别时 A
α
练习：如图，某飞机于空中A 处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看低平面控制点B的俯角α=16031／，
练习某人在A处测得大厦的仰角∠BAC
为300 ,沿AC方向行20米至D处,测得仰角 ∠BDC 为450,求此大厦的高度BC.
B
A 300
450
D

2解直角三角形及其应用

A 4 3 D 6 3 C 300 E
B
例4. 在矩形ABCD中，AB=8，BC=10,点P 在矩形的边DC上，且由点D向点C运动，沿直线AP翻折△ADP,形成如图所示的四种情形。设DP=x，△ADP和矩形的重叠部分（阴影）的面积为y。
A D
B
C
A
图a
DA
图b
D P
P
B A D' 图c C B DA
图d
D'
C D
B D'
P C B
E D'
C (P)
（1）当P运动到与C点重合时(图d)，求重叠部分的面积y；
A 图d
1 2
D
X
B10-x E D'
X
3
C (P)
（2）当点P运动到何处时，翻折△ADP点D 恰好落在BC上(图b)，这时重合部分的面积 y是多少？图 b A D P B
D'
C
例5.如图，直角梯形纸片ABCD中， AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝30°.折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF＝CF＝8. (1)求∠BDF的度数； (2)求AB的长．
解直角三角形及其应用
1．解直角三角形的概念、方法及应用：解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．直角三角形中的边角关系：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， ∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c，则： 2 2 2 a ＋b ＝c (1)边与边的关系：______________ ； ∠A＋∠B＝ 90° (2)角与角的关系： ______________ ；
3 变式：小山岗的斜坡 AC 的坡度是 tanα ＝，在与山脚 C 4 距离 200 米的 D 处，测得山顶 A 的仰角为 26.6°，求小山岗的高 AB.(结果取整数；参考数据：sin 26.6°＝0.45， cos 26.6°＝0.89，tan 26.6°＝0.50)

解直角三角形及其应用

C
o
F
A
E
B
例2：计算6tan45 -2cos60
o
o
一般地，当ɑ，β为任意角时，sin(ɑ+β)与 sin(ɑ-β)的值可以用下面的公式求得： sin(ɑ+β)=sinɑ cosβ+cosɑ sinβ sin(ɑ-β)=sinɑ cosβ-cosɑ sinβ 例如： o o o o o o sin90 =sin(60 +30 )=sin60 cos30 +cos60 sin o 30 = 3 3 1 1 =1
A F H B C
A F H B E G

C
D
2 3
5 3
10 5
5 5
2 2 2 2
类似的可以求得sin15 的值是
o
例3：某市在创建文明城市活动中，对道路进行美化。如图，道路两旁分别有两个高度相同的路灯AB和CD，两个路灯之间的距离BD长为 24米，小明在点E(B,E,D,G在一条直线上）处 o 测得路灯AB顶部A点的仰角为45 ,然后沿BE方向前进8米到达点G处，测得路灯CD顶端的C 点仰角为30。已知小明的两个观测点F,H距离地面的高度EF,GH均为1.6米，求路灯AB的高度。(精确到0.1米，参考数据 2≈1.41， 3≈ 1.73）
1、由直角三角形中已知的边和角，计算出未知的边和角的过程，叫做解直角三角形。
解直角三角形需要除直角之外的两个元素，且至少有一个元素是边。
2、锐角三角函数：我们把正弦、余弦、正切统称为“锐角三角函数”。
3、正弦=对边/斜边余弦=邻边/斜边正切=对边/邻边（特殊三角函数值的记忆）
例1：如图，在Rt∆ABC中，∠C=90 ， o ∠A=30 ,E为AB上一点且AE:EB=4:1,EF⊥AC 于点F,连接FB，则tan∠CFB=

解直角三角形及其应用--知识讲解

解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.要点二、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，角锐角、对边 (如∠A ，a)∠B=90°－∠A ，，斜边、锐角(如c ，∠A)∠B=90°－∠A ，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA ，PB ，PC 的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA ，OB ，OC ，OD 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，3b =．【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan6043b a B ==⨯=°．由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°． (2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值．举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用高清ID 号：395952 关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（3）】【变式】（1）已知∠C=90°，a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ；【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°；（2）a=4；b=252．（2016•包头）如图，已知四边形ABCD 中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ．（1）若∠A=60°，求BC 的长；（2）若sinA=，求AD 的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【思路点拨】（1）要求BC 的长，只要求出BE 和CE 的长即可，由题意可以得到BE 和CE 的长，本题得以解决；（2）要求AD 的长，只要求出AE 和DE 的长即可，根据题意可以得到AE 、DE 的长，本题得以解决．【答案与解析】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE ﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x ，则AE=5x ，得AB=3x ， ∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10， ∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE ﹣DE=10﹣=，即AD 的长是．【总结升华】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，D 是AC 的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，(1)求证：△ABE ∽△DBC ； (2)已知BC ＝52，CD ＝52，求sin ∠AEB 的值； (3)在(2)的条件下，求弦AB 的长．【答案与解析】(1)∵ AD CD =，∴ ∠1＝∠2，又BC 是⊙O 的直径，∴ ∠BAC ＝∠BDC ＝90°． ∴ △ABE ∽△DBC ．(2)由△ABE ∽△DBC ，∴ ∠AEB ＝∠DCB ．在Rt △BDC 中，BC ＝52，CD ＝52， ∴ BD ＝225BC CD -=， ∴ sin ∠AEB ＝sin ∠DCB ＝525552BD BC ==． (3)在Rt △BDC 中，BD ＝5，又∠1＝∠2＝∠3，∠ADE ＝∠BDA ，∴ △AED ∽△BAD ． ∴AD DE DB AD=，∴ 2AD DE DB =．又∵52CD AD==，∴ CD2＝(BD－BE)·BD，即25(5)52BE⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，∴354BE=．在Rt△ABE中，AB＝BEsin∠AEB＝32355452⨯=．【总结升华】本题综合了三角函数、相似三角形、勾股定理、圆等方面知识，尤其涉及三角函数问题，都是通过找出或构造直角三角形来解决问题． (1)根据圆周角定理易证△ABE∽△DBC．(2)利用(1)的结论，将∠AEB转化为Rt△BCD中的DCB∠．(3)在Rt△ABE中求AB．举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用高清ID号：395952关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为1:3i =（i ＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)．【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=，即3535FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=．答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5．在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52， CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30°＝532，在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°， ∴ 5553(31)222AB AE BE =+=+=+≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。

解直角三角形的应用(19张ppt)课件

选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间的关系，以及边长与角度之间的勾股定理。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它所对的边，可以通过三角函数求出其他两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形，可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形，可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰角，利用解直角三角形的知识，可以计算出山的高度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识，通过测量楼底和楼顶的仰角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部的仰角，利用解直角三角形的知识，可以计算出树的高度。

解直角三角形在实际生活中应用

解直角三角形在实际生活中应用直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度，另外两个角则是锐角或钝角。

直角三角形的重要性在于它具有很多实际应用价值。

本文将介绍一些直角三角形在实际生活中的应用。

一、测量高度和距离直角三角形的一条腿可以用作测量高度或距离的工具。

通过测量一个物体的顶部和底部的距离，同时测量观察点到底座的距离，我们可以利用直角三角形的性质计算出物体的高度。

例如，在建筑工地上，工人可以使用测量工具和直角三角形的原理来测量建筑物的高度。

二、解决倾斜和斜率问题直角三角形可以帮助我们解决倾斜和斜率问题。

在地质学和土木工程中，我们经常需要测量地面的倾斜度和斜率。

直角三角形可以帮助我们测量坡度的比例。

通过测量斜坡上某一段的水平距离和相应的垂直距离，我们可以计算出斜坡的斜率。

三、计算不可测量的距离在某些情况下，两个点之间的距离无法直接测量，例如跨越湖泊或河流的距离。

然而，利用直角三角形的性质，我们可以使用三角函数计算出这种不可测量距离。

通过观察两个点之间的角度和某一点到这两个点之间的距离，我们可以使用正切函数计算出这个不可测量的距离。

四、导航和定位直角三角形在导航和定位中也有广泛的应用。

例如，航海员可以使用天文观测和直角三角形的性质来确定船只的位置。

通过测量星体和地平线之间的角度，同时知道船只和地平线之间的距离，我们可以利用正弦和余弦函数计算出船只的位置。

五、解决工程问题在工程领域中，直角三角形常常用于解决一些复杂问题。

例如，自然灾害生态学家可以使用直角三角形的概念来设计保护森林免受火灾侵蚀。

通过构建直角三角形网格，他们可以最大程度地减少火势蔓延的可能性，保护森林资源。

六、解决影子和光线问题在摄影和照明设计领域，直角三角形可以帮助我们解决影子和光线的问题。

通过观察物体和光源之间的角度，并结合直角三角形的性质，我们可以计算出物体产生的影子的长度。

这对于照明设计师来说非常重要，以确保正确照亮目标物体。

解直角三角形的方法,步骤与应用

解直角三角形的方法,步骤与应用
几何学中最常见的形状之一是直角三角形，它的特点是一个锐角90度，三
条边均不等的三角形。

学习有关直角三角形的方法有助于理解和应用几何学。

一、如何确定一个三角形是直角三角形？
若要确定一个三角形是否为直角三角形，可以使用斜边-直角定理：如果一个
三角形的斜边的平方等于另外两边相加的平方，则此三角形正是直角三角形。

另外，我们可以使用勾股定理快速判断一个三角形是否为直角三角形，即两个直角边的平方等于对角边的平方。

二、如何确定一个直角三角形的高度？
要计算直角三角形的高度，可以使用直角三角形高度公式：高度=斜边×正弦
度数，其中斜边是三角形斜边的长度；正弦度数是三角形斜边相对应的角度，也就是直角相对应的角度。

三、直角三角形的应用
直角三角形在工程学、护理学、机械学、建筑学等领域都有广泛应用。

在工程学中，直角三角形可以用来计算坡度，从而实现控制俯仰角；在护理学中，直角三角形可以帮助计算肌肉拉伸时的牵力；在机械学中，直角三角形的绘制可以帮助机械工程师确定轴的夹角；在建筑学中，直角三角形可以帮助建筑师设计建筑物的外形和内部空间结构。

综上所述，学习有关直角三角形的方法有助于我们更好地理解几何学知识，并将其应用于各个领域。

解直角三角形及其应用

（1）三角关系： <m></m> _____；
（2）三边关系：；
（3）边角关系： <m></m> ； <m></m> ______； <m></m> __ <m></m> ；
（4）在中，五个量，，，，，知道两个（其中含一边），即可根据三边关系、三角关系或边角关系公式求解出其他三个量.
（2013年考查）
求长：
续表
1.在中，，，，则直角边的长是( )A. B. C. D.
2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则 ( )
第2题图
A. B. C. D.
第四章三角形
命题点10 解直角三角形及其应用（必考）
2022版课标要求
1. 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数 ,知道，，角的三角函数值；
2. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角；
3. 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题；
求长：
常见模型
关系式
（2015年考查）（2022年考查）
求长:
续表
常见模型
关系式
（2016年考查）（2020年考查）
求长:
续表
常见模型
关系式
.
求长：
√
√
3.若锐角满足，则的度数是( )A. B. C. D.
√
4.如图，要测量小河两岸相对的两点，的距离，可以在小河边取的垂线上的一点，测得，，则小河宽为( )

人教版同步教参九年级数学-锐角三角函数：解直角三角形及应用

锐角三角函数第 2 节解直角三角形及应用【知识梳理】一、解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角。

由直角三角形中的一直元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

二、解直角三角形的应用1、解直角三角形应用问题中的常见概念（1）仰角、俯角如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。

（2）方向角以观测者的位置作为原点，按东、南、西、北四个方向把平面划为四个象限，以正北或正南方向为始边，旋转到观测目标的方向线的锐角叫做方向角。

在找方向角时，要选准原点，在说方向角时，要先说“南或北”，后说“东或西”。

（3）坡度（坡比）、坡角如图，坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，又称坡比，用i 表示，tan hi lα==，其中坡面与水平面的夹角α叫做坡角。

2、利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案。

【诊断自测】1、如图，在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，10AB =，2sin 5A =，求BC 的长和tan B 的值。

2、河堤横断面如图所示，堤高6BC m =，迎水坡AB 的坡比为1:则AB 的长为（）A.12米B.C. 米D.3、如图，矩形ABCD 中，DE AC ⊥与E ，设ADE α∠=，且3cos 5α=，4AB =，则AD 的长为________。

4、在ABC V 中，AB AC =，8AB =，15B ∠=︒，则AB 边上的高CD=________。

5、Rt ABC V 中，90C ∠=︒，20a =，c =B ∠=______度。

【考点突破】类型一、已知两直角边解直角三角形例1、如图，ABC V 中，90C ∠=︒，1AC =，BC =，则B ∠的度数为（）A ．25︒ B. 30︒ C. 45︒ D. 60︒ 答案：B解析：∵1AC =，BC =，∴tan3AC B BC ===，∴30B ∠=︒，故选B例2、菱形ABCD 的对角线AC =6BD =，则菱形的四个角的度数分别是_________。

23.2 解直角三角形及其应用

23．2 解直角三角形及其应用第1课时解直角三角形教学目标【知识与技能】在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．【过程与方法】通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．【情感、态度与价值观】在探究学习的过程中，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形相结合的意义与作用，体会到学好数学知识的作用．重点难点【重点】直角三角形的解法．【难点】灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．教学过程一、复习回顾师：你还记得勾股定理的内容吗？生：记得．学生叙述勾股定理的内容．师：直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？生：两锐角互余．师：直角三角形中，30°的角所对的直角边与斜边有什么关系？生：30°的角所对的直角边等于斜边的一半．师：很好！二、共同探究，获取新知 1．概念．师：由sin A ＝ac ，你能得到哪些公式？生甲：a ＝c ·sin A . 生乙：c ＝a sin A.师：我们还学习了余弦函数和正切函数，也能得到这些式子的变形．这些公式有一个共同的特点，就是式子的右端至少有一条边，为什么会是这样的呢？学生思考．生：因为左边的也是边，根据右边边与角的关系计算出来的应是长度．师：对！解三角形就是由已知的一些边或角求另一些边和角，我们现在看看解直角三角形的概念．教师板书：在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角三角形． 2．练习教师多媒体课件出示：(1)如图(1)和(2)，根据图中的数据解直角三角形；师：图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型，你怎样解决这个问题呢？生1：根据cos 60°＝AC AB ，得到AB ＝ACcos 60°，然后把AC 边的长和60°角的余弦值代入，求出AB 边的长，再用勾股定理求出BC 边的长，∠B 的度数根据直角三角形两锐角互余即可得到．生2：先用直角三角形两锐角互余得到∠B 为30°，然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB 的值，再由sin 60°＝BC AB得到BC ＝AB ·sin 60°，从而得到BC 边的长．师：你们回答得都对！还有没有其他的方法了？生3：可以求出AB 后用AB 的值和∠B 的余弦求BC 的长．生4：可以在求出AB 后不用三角函数，用勾股定理求出BC .师：同学们说出这几种做法都是对的．下面请同学们看图(2)，并解这个直角三角形．学生思考，计算．师：这两个题目中已经给出了图形，现在我们再看几道题．教师多媒体课件出示课本第124页例1. 师：你怎样解答这道题呢？先做什么？生：先画出图形．师：很好！现在请同学们画出大致图形．学生画图．教师找一生说说解这个直角三角形的思路，然后让同学们自己做，最后集体订正．解： ∠A ＝90°－42°6′＝47°54′. 由cos B ＝ac，得a ＝c cos B ＝287.4×0.7420≈213.3. 由sin B ＝bc得b ＝c sin B ＝287.4×0.670 4≈192.7.教师多媒体课件出示课本第125页例2.师：这道题是已知了三角形的两条边和一个角，求三角形的面积．要先怎样？学生思考．生：先画出图形．师：对，题中没有已知图形时，一般都要自己画出图形．然后呢？你能给出解这道题的思路吗？生1：先计算AB边上的高，以AB为底，AB边上的高为三角形的高，根据三角形的面积公式，就能计算出这个三角形的面积了．生2：还可以先计算AC边上的高，然后用三角形的面积公式计算这个三角形的面积．师：很好！我们现在讨论以AB为底时求三角形面积的方法，怎样求AB边上的高呢？教师找一生回答，然后集体订正．解：如图，作AB上的高CD.在Rt△ACD中，CD＝AC·sin A＝b sin A，∴S△ABC＝12AB·CD＝12bc sin A.当∠A＝55°，b＝20 cm，c＝30 cm时，有S△ABC＝12bc sin A＝12×20×30×sin 55°＝12×20×30×0.819 2≈245.8(cm2)．三、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？学生回答．师：你还有什么不懂的地方吗？学生提问，教师解答．第2课时解直角三角形的应用(1)教学目标【知识与技能】使学生掌握仰角、俯角的概念，并学会正确地运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题．【过程与方法】让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途．【情感、态度与价值观】使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．重点难点【重点】将实际问题转化为解直角三角形问题．【难点】将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解．教学过程一、创设情境，导入新知教师多媒体课件出示：操场上有一根旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了．师：请同学们思考这个问题，想想他是如何计算的．学生思考，讨论．师：如果我们把已知的条件转化为三角形的一些元素，你能不能算出？生：能．师：很好！现在请同学们想想已知了或容易算出哪些量，需要求的是什么量？生：已知了一个直角梯形的一条底边，一条腰长，并且容易算出它的一个内角，求它的另一底．师：对，那你知道小明是怎么算的吗？学生思考，交流．生：先把各个顶点用字母标出，然后作辅助线，构造直角三角形．教师找一生板演，并让他解释自己的思路．二、共同探究，获取新知1．讲解．师：在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．教师在黑板上作图．师：当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线以下的角叫做俯角．注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角．师：我们自己测量角时用什么工具啊？生：量角器．量：测量仰角、俯角也有专门的工具，是测角仪．2．练习新知．教师多媒体课件出示：(1)如图，∠C＝∠DEB＝90°，FB∥AC，从A看D的仰角是________；从B看D的俯角是________；从A看B的________角是________；从D看B的________是________；从B 看A的______角是________．师：你能根据仰角和俯角的概念回答这些问题吗？生：能．教师找一生回答，然后集体订正得到：从A 看D 的仰角是∠2，从B 看D 的俯角是∠FBD ，从A 看B 的仰角是∠BAC ，从D 看B 的仰角是∠3，从B 看A 的俯角是∠1.教师多媒体课件出示：(2)如图，线段AB 、CD 分别表示甲、乙两幢楼的高，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 的仰角α＝30°，测得乙楼底部D 的俯角β＝60°.已知甲楼的高AB ＝24米，求乙楼的高CD .学生看题思考．师：这道题也需要我们把它转化为解直角三角形来解决，但现在还没有直角三角形呢，你怎样求？生：因为AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，所以过A 作AE ∥BD ，即有AE ⊥BD ，得到 Rt △ACE 和Rt △ADE ，确定仰角和俯角．已知AB ＝24米，可知DE ＝24米，可求出AE ，进而求出CE .教师作图．师：然后怎样做呢？老师找两生板演，其余同学在下面做，然后集体订正．解：在Rt △AEC 中，∠AEC ＝90°，∠EAC ＝α＝30°. ∵tan α＝CE AE ＝CE 83，∴CE ＝83tan α＝83×tan 30°＝83×33＝8(米)． ∴CD ＝CE ＋DE ＝24＋8＝32(米)．三、例题讲解教师多媒体课件出示课本第126页例3. 解：在Rt △ACD 中，∠ACD ＝52°，CD ＝EB ＝8 m. 由tan ∠ACD ＝ADCD，得AD ＝CD ·tan ∠ACD ＝8×tan 52°＝8×1.279 9≈10.2(m)．由DB ＝CE ＝16 m 得AB ＝AD ＋DB ＝10.2＋1.6＝11.8(m)．答：树高AB 为11.8 m.教师多媒体课件出示课本第127页例4. 解：设AB 1＝x m.在Rt △AC 1B 1中，由∠AC 1B 1＝45°，得C 1B 1＝AB 1.在Rt △AD 1B 1中，由∠AD 1B 1＝30°，得tan∠AD1B1＝AB1D1B1＝AB1D1C1＋C1B1，即33＝x50＋x.解方程，得x＝25(3＋1)≈68.∴AB＝AB1＋B1B≈68＋1＝69(m)．答：电视塔的高度为69 m.四、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？学生回答．师：你还有什么不懂的地方吗？学生提问，教师解答．第3课时解直角三角形的应用(2)教学目标【知识与技能】会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题．【过程与方法】逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的思想方法．【情感、态度与价值观】使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．重点难点【重点】解决有关坡度的实际问题．【难点】理解坡度的概念和有关术语．教学过程一、创设情境，导入新知师：在现实生活中，经常会有建筑大坝、修地基等，它们的截面上底和下底不是同样宽的，侧面是有斜坡的，且倾斜程度是不一样的，这些在设计图纸上都要注明，以便施工时遵循．教师多媒体课件出示：已知一个大坝的横截面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1 m)．学生思考．二、新课讲授1．回忆旧知识．师：我们先来回忆一下坡度与坡角的概念．学生看课本．老师作图：师：坡面的铅直高度h 和水平长度l 的比叫做坡面的坡度或坡比，通常用小写字母i 表示，坡面与水平面的夹角叫做坡角或倾斜角，一般用α表示．坡度与坡角的关系是：坡度越大，坡角越大．2．例题讲解．教师多媒体课件出示课本第127页例5.分析：这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C 到AB 航线的距离是否大于10 n mile. 解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝x n mile. 在Rt △ACD 中，AD ＝CD tan ∠CAD ＝xtan 30°.在Rt △BCD 中，BD ＝CD tan ∠CBD ＝xtan 60°.由AB ＝AD －BD ，得AB ＝x tan 30°－x tan 60°＝20，即x 33－x3＝20，解方程，得x ＝103>10.答：这船继续向东航行是安全的．教师多媒体课件出示课本第129页例6. 解：过点C 作CD ⊥AD 于点F ，得 CF ＝BE ，EF ＝BC ，∠A ＝α，∠D ＝β. ∵BE ＝5.8 m ，BE AE ＝11.6，CF DF ＝12.5， ∴AE ＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF ＝2.5×5.8＝14.5(m)． ∴AD ＝AE ＋FE ＋DF ＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．由tan α＝i ＝11.6，tan β＝i ′＝12.5，得α≈32°，β≈21°.答：铁路路基下底宽为33.6 m ，斜坡的坡角分别为32°和21°. 三、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？学生回答．师：你们还有什么不懂的地方吗？学生提问，教师解答．。

解直角三角形及其应用

l
α为坡角
h
α
l
铅
α =tan
垂线
仰角俯角
水平线
视线
（3）方位角
北
A
30°
西
O
东
45°
B
南
二、题型探究：
问题导入1：直接考查解直角三角形知识例 1 如图 X3－1，在△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝45°，
AC＝2 3，求 AB 的长．
图 X3－1
例2：如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°；在A、C之间选择一点B(A、B、C三点在同一直线上)，用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且A、B间的距离为40 m.求塔高CD(结果用根号表示)．
考点聚焦
归Hale Waihona Puke 探究回归教材三、综合运用
A
D
4
B
CQ E
总结：本节课你学到了那些知识？
作业：完成练习册P130-131(2，3，4， 5)
中考探究：
D A
B
C
专题复习解直角三角形及应用
一、知识点回顾：
1.两锐角之间的关系:
∠A+∠B=900
解 2.三边之间的关系:
直 a2+b2=c2
角三角
Ａ
sinA＝
a c
形
3.边角之间
cosA＝
b c
的关系
tanA＝
a b
Ｂ
c a
bＣ
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
视线
h
（2）坡度 i ＝

解直角三角形的应用举例

（1）坡度 i＝
h
l
tanα＝ i （α为坡角）
h
α
l
（2）仰角和俯角
铅直线
视线
仰角俯角
水平线
（3）方向角
视线
北
A
30°
如图：点A在O的北偏东30°
西
东 O
点B在点O的南偏西45°（西南方向）
45°
B
南
例1
如图学校里有一块三角形形状的花圃ABC,现测得∠A=30°, AC=40m,BC=25m,请你帮助计算一下这块花圃的面积?
高度，他们带了以下工具皮尺一根教学三角板一副高度为1.5米的测角仪（能测仰角和俯角的仪器）一架。
请帮助他们选择测量工具，并设计方案，写出必需的测量数据（用字母表示），并画出测量图形，并用测量数据（用字母表示）写出计算铁塔高度的算式。
A 方案2
（1）测量工具
（2）示意图如右图
M
（3）BD=a , ∠ACE=ą
解直角三角形的依据
1、三边之间的关系 a2＋b2＝c2（勾股定理）；
锐角之间的关系 ∠ A＋ ∠ B＝ 90º
边角之间的关系
Ｂ
sinA＝ a c
tanA＝
a b
cosA＝
b c
cotA＝
b a
c a
Ａ
bＣ
2、
在△ABC中， S△ABC =
1 bcsinA 2
3、在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
解：过点C作CD⊥AB于D
在Rt△ADC中， ∠A=30°, AC=40, ∴CD=20,AD=AC•cos30°
=20√ 3 在Rt△CDB中， CD=20 , CB=25, A

课题282.1解直角三角形的应用举例.ppt

1.20
=300 22
在进行观察或测量时，
仰角和俯角
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
铅
视线
垂线仰角
水平线
俯角
视线
3:热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°, 看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多高?（结果取整数）
B
α=30°
A 120 D
β=60°
C
4： 2012年6月18日“神舟”9号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接。“神舟”9号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行．如图，当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果取整数）
分析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是
从飞船观测地球时的最远 PQ
点． PQ 的长就是地面上P、Q 两点间的距离，为计P算Q 的长需先求出∠POQ（即a）
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边)
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据（边角之间的关系）
Ｂ
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
(2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
a
(3)边角之间的关系:

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》(第2课时)教学设计

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第2课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容，主要介绍了解直角三角形的知识和方法。

本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行的，是初中的重点和难点内容。

本节课的主要内容包括解直角三角形的定义、解直角三角形的步骤和方法、解直角三角形的应用等。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对锐角三角函数有一定的了解。

但是，解直角三角形这一概念对于学生来说比较抽象，不易理解。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过实际操作来理解解直角三角形的概念，并通过大量的练习来巩固解直角三角形的方法和应用。

三. 教学目标1.理解解直角三角形的定义和意义。

2.掌握解直角三角形的步骤和方法。

3.能够应用解直角三角形解决实际问题。

四. 教学重难点1.解直角三角形的概念和步骤。

2.解直角三角形的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题来理解解直角三角形的概念和方法。

2.使用多媒体辅助教学，通过动画和图片来形象地展示解直角三角形的步骤和应用。

3.学生进行小组讨论和合作学习，促进学生之间的交流和合作。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.教学PPT。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如测量旗杆的高度、计算建筑物的斜面积等，引导学生思考如何利用几何知识解决这些问题。

2.呈现（10分钟）通过PPT呈现解直角三角形的定义、步骤和方法，并配以动画和图片，帮助学生形象地理解解直角三角形的概念。

3.操练（10分钟）学生进行小组讨论，让学生通过实际操作来巩固解直角三角形的方法。

可以让学生分组测量教室内的物品长度、高度等，并计算其斜边长度。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些解直角三角形的练习题，检验学生对解直角三角形方法的掌握程度。

5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将解直角三角形的方法应用到实际问题中，如测量山峰的高度、计算桥梁的跨度等。

解直角三角形及应用