八年级数学下册 16.1 二次根式 二次根式的性质(第2课时)课件 (新版)新人教版
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16.1 二次根式(第二课时)
2
2
2
2
2
0.1 0.1
2
2 2 3 3
0
2
0
观察上述等式的两边,你能得到什么启示?
二次根式的性质3：
a a
2
2、计算：
(a≥0)
2 （ 2） 3
2
（1） 0.8
4 （ 3） 5
2
2
（4） 7
2
3、计算：
1
人教版八年级上册
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
二次根式的性质1：
非负数的算术平方根仍然是非 负数。
a≥0,
a ≥0 (双重非负性)
例1：已知
a 2 3b 9 (4 c) 0 ，
2
求2a-b+c的值。
解：∵ a+2 ≥0、|3b-9|≥0、(4-c) 2≥0， 又∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴2a-b+c=2×(-2) -3+4 = -3。
2
a≥0,
a ≥0
(a≥0) (a≥0)
(双重非负性)
a a
2
1 2
2
2
2 1
2 x 1
2
x 1
2
3
x 2 xy y y x
yx
4、数a在数轴上的位置如图,则
a a _____ .
2
a
-2 -1 0 1
5、实数p在数轴上的位置如图所示，化简
(1 p)
八年级数学下册第十六章二次根式16.1分式及其基本性质2.分式的基本性质课件(新版)华东师大版
探究点三:分式的通分
【例 3】 通分:
(1) c , 1 , a ;
ab c 2c2
【导学探究】 1.题(1)的最简公分母为
2abc2
.
解:(1) c , 1 , a 的最简公分母是 2abc2,
ab c 2c2
所以 c = c 2c2 = 2c3 ,
ab ab 2c2 2abc2
1 = 1 2abc = 2abc ,
公因式 的分式称为最简分式.化简分式时,通常要使结果为
最简分式或者整式.
4.通分
把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式,叫分式的通分.
探究点一:分式的基本性质
【例 1】 利用分式的基本性质填空:
(1) 7xy = 7
5x2 y 5x
;(2)
x
x
y
=
x
x y y
x y
x
=
xy x2 x2 2xy y2
2.分式的基本性质
1.分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或都除以)同一个不等于零的 整式
,分式的值不
变.用式子表示为 A = A M , A = A M (其中 M 为不等于零的整式).
B BM B BM
2.约分
把一个分式的分子和分母的
公因式 约去,这种变形称为分式的约分.
3.最简分式 分子与分母没有
确定最简公分母的一般步骤:
1.(2018 灵宝期中)下列各式从左到右的变形不正确的是( D )
(A) 2 =- 2
3y 3y
(B) y = y
6x 6x
(C) 3x =- 3x
4 y 4 y
(D)- 8x = 8x
3y 3y
16.1二次根式2课时
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0
用a (a≥0)表示.
求下列各数的平方根和算术平方根. 9的平方根 3 ，算术平方根
方法构想
X ≠－ 1
3 2
一个式子中： 若含有几个二次根式，则要求所有被开方数大于等于0； 若含有分式，则要求分母的值不等于0； 若含有零指数或负指数次幂，则要求其底数不为0.
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1 (a≥0) 2 3 a 3 （a取任意实数）
方法构想
1 1 2 (a ) 1 2a 2
0.64的平方根 0.8 ，算术平方根
3
0.8 0
0的平方根
0 ，算术平方根
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数有算术平方根；负数没有算术平方根。
4、 7 表示什么？
表示7的算术平方根
5、 a 表示什么？a 需要满足什么条件？ 为什么？
2
2
x 2 x 1，其中x=- 3
2
m4 思考：若 ( m 4 ) 2 m 4, 则 m 的取值范围是 _________ m4 思考：若 ( m 4 ) 2 4 m , 则 m 的取值范围是 _________
想一想： 甲、乙两人计算当a = - 1.5时 a -
1 ）也 3, 2
且根号内含有字母的代数式叫做二次根式，为了方便起
见，我们把一个数的算术平方根（如其中 叫做二次根式，
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0
用a (a≥0)表示.
求下列各数的平方根和算术平方根. 9的平方根 3 ，算术平方根
方法构想
X ≠－ 1
3 2
一个式子中： 若含有几个二次根式，则要求所有被开方数大于等于0； 若含有分式，则要求分母的值不等于0； 若含有零指数或负指数次幂，则要求其底数不为0.
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1 (a≥0) 2 3 a 3 （a取任意实数）
方法构想
1 1 2 (a ) 1 2a 2
0.64的平方根 0.8 ，算术平方根
3
0.8 0
0的平方根
0 ，算术平方根
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数有算术平方根；负数没有算术平方根。
4、 7 表示什么？
表示7的算术平方根
5、 a 表示什么？a 需要满足什么条件？ 为什么？
2
2
x 2 x 1，其中x=- 3
2
m4 思考：若 ( m 4 ) 2 m 4, 则 m 的取值范围是 _________ m4 思考：若 ( m 4 ) 2 4 m , 则 m 的取值范围是 _________
想一想： 甲、乙两人计算当a = - 1.5时 a -
1 ）也 3, 2
且根号内含有字母的代数式叫做二次根式，为了方便起
见，我们把一个数的算术平方根（如其中 叫做二次根式，
八年级数学下册(人教版)精品教学课件-全册
讲授新课
一 二次根式的概念及有意义的条件
问题1 上面问题的结果分别是 3, s, 65， h ，它们表示一些
5
正数的算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢？
我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平 方时，被开方数只能是正数或0.
问题2 上面问题的结果分别是 3, s, 65， h ，分别从形式上
八年级数学下册（人教版）精品教学课件 全册
第十六章
八年级数学下（RJ） 教学课件
二次根式
16.1 二根次式
第1课时 二次根式的概念
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
情境引入
1.理解二次根式的概念.（重点）
2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围.（难点）
导入新课
想一想
（1）如左图所示，礼盒的上面是正方形， 其面积为3，则它的边长是 3 .
如果其面积为S，则它的边长是 S .
（2）如左图所示，一个长方形的围 栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则 它的宽为 65 m.
想一想
（3）一个物体从高处自由落下，落到
地面所用的时间t(单位：s)与开始落下
时离地面的高度h（单位：m)满足关系
式h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t
h
为 5.
(1) ( 1.5)2;
(2) (2 5)2.
想一想：此小题 用到了幂的哪条 基本性质呢？
解： (1) ( 1.5)2 1.5;
积的乘方： （ab）2=a2b2
(2) (2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20.
二 a2 (a 0) 的性质
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等 式求解即可.若二次根式处在分母的位置，应同时考虑分母不为零.
人教版数学八年级下册16.1《二次根式的性质》(第2课时)说课稿
人教版数学八年级下册16.1《二次根式的性质》（第2课时）说课稿一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1《二次根式的性质》（第2课时）是在学生已经掌握了二次根式的概念、性质和运算法则的基础上进行的一节内容。
本节课的主要内容是进一步探讨二次根式的性质，包括二次根式的乘除运算、合并同类二次根式等。
通过本节课的学习，使学生能够灵活运用二次根式的性质进行各种运算，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析在进入本节课的学习之前，学生已经对二次根式有了初步的认识和了解，能够进行一些基本的二次根式运算。
但是，对于一些复杂的二次根式运算，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，采取有效的教学方法，引导学生逐步掌握二次根式的性质，提高他们的运算能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握二次根式的性质，能够熟练地进行二次根式的乘除运算和合并同类二次根式。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索二次根式的性质，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们克服困难的勇气和自信心，培养他们的团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握二次根式的性质，能够进行二次根式的乘除运算和合并同类二次根式。
2.教学难点：二次根式的乘除运算和合并同类二次根式的方法。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用自主探索、合作交流的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法自主学习二次根式的性质。
同时，利用多媒体教学手段，展示二次根式的运算过程，帮助学生更好地理解和掌握二次根式的性质。
六. 说教学过程1.导入：通过复习二次根式的概念和性质，为学生进入本节课的学习做好铺垫。
2.自主探索：引导学生观察、分析、归纳二次根式的性质，使学生能够自主掌握二次根式的性质。
3.合作交流：学生进行小组讨论，分享他们在自主探索过程中得到的二次根式的性质，培养学生团队协作精神。
人教版八年级数学下册第十六章 二次根式16.2二次根式的乘除课件(2课时66张)
22
35
3 4
32 3 4 4
2
3
2
巩固练习
连接中考
（2019•株洲） 2 8 ＝（ B ）
A．4 2
B．4
C．10
D．2 2
课堂检测
基础巩固题
1.下面计算结果正确的是 ( D )
A. 4 5 2 5 8 5
B. 5 3 4 2 20 5
C. 4 3 3 2 7 5
人教版 数学 八年级 下册
16.2二次根式的乘除
第一课时 第二课时
第一课时
二次根式的乘法
返回
导入新知
如何计算 5 3？
苹果ios手持操作系统的图标为圆角矩形，长为 5 cm， 宽为 3cm，则它的面积是多少呢？
素养目标
2. 会运用二次根式的乘法法则和积的算术平 方根的性质进行简单运算. 1. 掌握二次根式乘法法则.
不成立！
- 4、- 9 没有意义！
因此被开方数a，b需要满足什么条件？
a，b是非负数，即a≥0,b≥0
探究新知
二次根式的乘法法则是:
在本章中， 如果没有特 别说明，所 有的字母都 表示正数．
二次根式相乘，_根__指__数___不变，被__开__方__数__相乘.
语言表述： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
探究新知
方法点拨
比较两个二次根式大小的方法： (1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内， 当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大．
(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式 都是正数时，平方大的二次根式大． (3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的 近似值，再进行比较．
16.1 二次根式 课件 2023-2024学年人教版数学八年级下册
(2)－ 272× －722×(－ π)－2.
解：原式＝－27×72×π1＝－π1.
6．已知一个圆柱体的体积为V，高为h，求它的底面半 径r(用含有V和h的代数式表示)；求当V＝80π，h＝5时， 底面半径r的值． 解：圆柱体的体积V＝πr2h，
∴r＝ πVh.
把V＝80π，h＝5代入上式，得r＝4.
注意 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小 讨论绝对值内式子的符号.
例题与练习
1.计算
( 3)2 = 3 (3 2 )2 = 32 ( 2 )2=18
( 25 )2 = ( 2 )2 =
2
2.说出下列各式的值
0.32 0.3
( 1)2 1 77
()2
102 =
( 1 )2 1
解：由题意，得
x＋5≥0， x≠0，
解得x≥－5且
x
≠0.
∴当x≥－5且 x ≠0时，
x＋5 x
有意义．
归纳
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根. 对于任意一个二次根式 a ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
3．△ABC的三边长为a，b，c，其中a和b满足 b2－4b＋4＋ a－5 ＝0，求c的取值范围． 解：依题意，得(b－2)2＋ a－5 ＝0，
∴b＝2，a＝5. 又∵a，b，c为三角形的三边长， ∴3条件下求 字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数， 从而建立不等式求出其解集.
a3 2
a≤5
例2 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
(1) 11；
(2) －5；
《二次根式的性质(第2课时)》教学课件
y
如果两个非负数相加和为0，
则这两个非负数都为0。
x 92 和 y 25都是什么数？
解：x 92 0，y 25 0 且x 92 y 25 0
x
y
90 25 0
x 9
解得：
y
25
当x 9, y 25时
x 9 9 3 y 25 25 5
高效上好每节课·快乐上好每天学
5 55
52
5
1 1 7 7 7
(2)
.
7 77 72 7
高效上好每节课·快乐上好每天学
概念形成
2
视察上面的化简结果，2
、
10 5
、7 7
有什么特点？
等，发现它们
（1）被开方数都不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽的方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
注意：二次根式的化简结果必须是最简二次根式.
(2) 115 49
高效上好每节课·快乐上好每天学
想一想 如何化去 根号内的分母？
把根号内的分子和分母都乘以一个适当 的数或式，使分母变成一个平方数或平方式。
1 2
1 2 22
2 22
2. 2
高效上好每节课·快乐上好每天学
例4.化去下列各式根号内的分母：
(1) 2 5
(2) 1 7
解： (1) 2 25 25 10
课堂小结
1：商的算术平方根的性质：
a a a 0,b 0
b
b
2：最简二次根式
3：运用二次根式的性质化简时应该注意：
（1）结果要化成最简二次根式；
（2）被开方数是小数要化成分数，是带分数要先
化成假分数，然后再运用性质。
如果两个非负数相加和为0，
则这两个非负数都为0。
x 92 和 y 25都是什么数？
解：x 92 0，y 25 0 且x 92 y 25 0
x
y
90 25 0
x 9
解得：
y
25
当x 9, y 25时
x 9 9 3 y 25 25 5
高效上好每节课·快乐上好每天学
5 55
52
5
1 1 7 7 7
(2)
.
7 77 72 7
高效上好每节课·快乐上好每天学
概念形成
2
视察上面的化简结果，2
、
10 5
、7 7
有什么特点？
等，发现它们
（1）被开方数都不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽的方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
注意：二次根式的化简结果必须是最简二次根式.
(2) 115 49
高效上好每节课·快乐上好每天学
想一想 如何化去 根号内的分母？
把根号内的分子和分母都乘以一个适当 的数或式，使分母变成一个平方数或平方式。
1 2
1 2 22
2 22
2. 2
高效上好每节课·快乐上好每天学
例4.化去下列各式根号内的分母：
(1) 2 5
(2) 1 7
解： (1) 2 25 25 10
课堂小结
1：商的算术平方根的性质：
a a a 0,b 0
b
b
2：最简二次根式
3：运用二次根式的性质化简时应该注意：
（1）结果要化成最简二次根式；
（2）被开方数是小数要化成分数，是带分数要先
化成假分数，然后再运用性质。
人教版下册课件：16.1二次根式性质
解：由二次根式的意义可知：
25x3 y4 0, y4 0, x 0.
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
广丰实验中学饶绍仁
19
议一议
1. x 1 x 1 x 1 此式成立的条件_________.
ab2
ab2
a
a
b
b2
2∣b∣ ba
a
(a
(a 0,b
0,b 0)
0)
b a (a 0,b 0)
一般来说，如果二次根式里被开方数是几个因
式的乘积，其中有的因式是完全平方式，则这
样的因式可用它的非负平方根代替后移到根号
外面.
广丰实验中学饶绍仁
6
观察思考
若(x 3)0 1 有意义,则x __2_且_ x 3
x 2 广丰实验中学饶绍仁
27
课堂检测
(1) 27 15
(2) a2 b
3) a3 (b 0) b
(4) 1 ab
(5） 18x3 (6) 12 y2 ( y 0)
广丰实验中学饶绍仁
28
课堂检测
（7）.化简二次根式
1 x
结果是. 1 x
广丰实验中学饶绍仁
30
2
2 3
___23___6_,
2
2 3
___23__6__
3 3 ___34 __6_, 3 3 __34__6__
8
8
4
4
8 15
__15____
4
4
8 15
_1_5____
人教初中数学八年级下册 16.1《二次根式》二次根式的概念和性质课件1
通常把形如 m a(a 0)的式子也叫做二
次根式,如 3 2, 2a b2 1 等. 24
例题1 化简二次根式:
1 72; 2 12a3; 3 18x2 x 0.
注意判断根号 内字母的取值 范围，
25
例题2 化简二次根式:
1 a;
3
2 5 ;
2x
3 b2 b 0;
aa 0.
29
9a
4 a 1.
a
注意判断根号内 字母的取值范围，
26
写出下列等式成立的条件：
1 (x 2)(x 6) x 2 x 6
2 y 2 y 2
6 y 6 y
27
小结
1.掌握化简二次根式的两个基本步骤: ⑴ 将二次根式中的分母化去; ⑵ 把二次根式中所含的完全平方因式移
不要忽略 4
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
5
a2 1
3 -2
2a 1
a
a 12
你能用魔法师变出的这些代数式 作为被开方数构造二次根式吗？
6
例 1 x是怎样的实数时，式子 x 3
在实数范围内有意义？
试一试（2） x是怎样的实数时，下列各式 在实数范围内有意义？
（1） 2x ； （2） 2x 5 ； （3） 3 x
7
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x
全国优质课一等奖初中数学八年级下册《二次根式的性质》公开课精美(课件)
无限定， a2 又等于什么？
1.填空：
22 2
0.12 0.1
（2）2 2 33
02 0
由此可以看出： a2 a
( a≥0 ).
2.试一试
32 9 = 3
2
2
3
4 2 93
0.52 0.25 0.5
Hale Waihona Puke 由此可以看出，a2 -a (a 0)
a2 a一定成立吗？×
a2 -a (a 0)
练习
已知 x 1 x y 0 ,求x，y的值.
解：由题可知
x+1=0
x=-1
x+y=0
y=1
探究
根据算术平方根的意义填空：
( 4)2 ( 4 ),
(
1 3
)2
(
1 3
),
( 2 )2 ( 2 )
( 0)2 ( 0 )
你能确定( a )²（a≥0）的化简结果吗？
思考
① 3的算术平方根是 3， （ 3）2 （ 3 ）.
第十六章 二次根式
16.1.2 二次根式的性质
新课导入
我们知道二次根式 a 中a≥0，那么二 次根式 a 还有哪些性质呢？
学习目标
（1）知道 a ≥0(a≥0)，会用非负数的性质解题.
（2）会用公式 a2 =a(a≥0)进行计算.
（3）知道形如 a 的化简方法及结果.
学习重、难点
重点： a 0(a 0)，( a )2 a(a 0)， 难点：熟练运用公式 ( a )2 a(a 0)
3
,
1 2
2
2
1 2
,
52 5 , 52 5 .
2.已知 a 3 b 2 0,则ba -8 .
1.填空：
22 2
0.12 0.1
（2）2 2 33
02 0
由此可以看出： a2 a
( a≥0 ).
2.试一试
32 9 = 3
2
2
3
4 2 93
0.52 0.25 0.5
Hale Waihona Puke 由此可以看出，a2 -a (a 0)
a2 a一定成立吗？×
a2 -a (a 0)
练习
已知 x 1 x y 0 ,求x，y的值.
解：由题可知
x+1=0
x=-1
x+y=0
y=1
探究
根据算术平方根的意义填空：
( 4)2 ( 4 ),
(
1 3
)2
(
1 3
),
( 2 )2 ( 2 )
( 0)2 ( 0 )
你能确定( a )²（a≥0）的化简结果吗？
思考
① 3的算术平方根是 3， （ 3）2 （ 3 ）.
第十六章 二次根式
16.1.2 二次根式的性质
新课导入
我们知道二次根式 a 中a≥0，那么二 次根式 a 还有哪些性质呢？
学习目标
（1）知道 a ≥0(a≥0)，会用非负数的性质解题.
（2）会用公式 a2 =a(a≥0)进行计算.
（3）知道形如 a 的化简方法及结果.
学习重、难点
重点： a 0(a 0)，( a )2 a(a 0)， 难点：熟练运用公式 ( a )2 a(a 0)
3
,
1 2
2
2
1 2
,
52 5 , 52 5 .
2.已知 a 3 b 2 0,则ba -8 .
16-1二次根式(课件)人教版八年级数学下册
(5) (x1)2
(3) x2 1
(6) 1 x
(7) 1 x 1
解：（1） x 2 0, x 2
（2） -a 0, a 0
（3） x2 0, x2 1 0
x取全体实数
（6） 1 0, x
x 0
（4） x3 0,
x 0
（5）（x1）2 0,
x可取全体实数
（7）分式有意义 x 1 0 x 1
02 （0） 0
（2）2 （4）
3
9
2 3
（-2）2 （4） 2
（-0.1）2 （0.）01 0.1
02 （0） 0
（-
2）2 3
（4） 9
2 3
a
a
a(a 0) a(a 0)
11
当堂训练
1.若二次根式
m2 m2 4
有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-4≠0，
a2 ＝a (a ≥0).
拓展性质
a2 a （a为全体实数）
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号 4.既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 5. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
5
例题讲解
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
1 38 ； 26； 3 -16 ； 4 - m(m 0)
因为（ 5）2 5，所以5的算数平方根是
因为（ 1 ）2 1，所以1的算数平方根是
33
3
5 ，所以（ 5）2 5
1 3
，所以（ 1）2 1 33
因为（ a）2 a，所以a的算数平方根是 a ，所以（ a）2 a
(3) x2 1
(6) 1 x
(7) 1 x 1
解：（1） x 2 0, x 2
（2） -a 0, a 0
（3） x2 0, x2 1 0
x取全体实数
（6） 1 0, x
x 0
（4） x3 0,
x 0
（5）（x1）2 0,
x可取全体实数
（7）分式有意义 x 1 0 x 1
02 （0） 0
（2）2 （4）
3
9
2 3
（-2）2 （4） 2
（-0.1）2 （0.）01 0.1
02 （0） 0
（-
2）2 3
（4） 9
2 3
a
a
a(a 0) a(a 0)
11
当堂训练
1.若二次根式
m2 m2 4
有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-4≠0，
a2 ＝a (a ≥0).
拓展性质
a2 a （a为全体实数）
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号 4.既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 5. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
5
例题讲解
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
1 38 ； 26； 3 -16 ； 4 - m(m 0)
因为（ 5）2 5，所以5的算数平方根是
因为（ 1 ）2 1，所以1的算数平方根是
33
3
5 ，所以（ 5）2 5
1 3
，所以（ 1）2 1 33
因为（ a）2 a，所以a的算数平方根是 a ，所以（ a）2 a
八年级数学下册教学课件《二次根式》(第2课时)
探究新知 知识点 1
2
a
（a≥0)
性质
16.1 二次根式
（1）什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫 做a的平方根. a的平方根是 a
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算
术平方根. 用 aa (a≥0)表示.
探究新知
16.1 二次根式
（1）填空：
( 4)2 ( 4 ),
(
1 3
)2
(
1 3
),
( 2 )2 ( 2 ) ( 0)2 ( 0 )
（2）通过（1）的计算，你能确定( a )²（a≥0）的
化简结果吗？说说你的理由.
探究新知
16.1 二次根式
4 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4 是一个平方等于4的非负数，因此有( 4 )²=4.
探究新知
16.1 二次根式
【讨论】（1）在 a2 a(a 0) 中，可否去掉“a≥0”？ 如果去掉“a≥0”,结论将会发生怎样的变化？ （2）第二小题中的 （-5）2 能否直接使用性质 a2 a(a 0)
进行化简？
探究新知
16.1 二次根式
方法点拨
计算 a2 一般有两个步骤: ①去根号及被开方数的指数,写成绝对值的形
基础巩固题
16.1 二次根式
1.化简 （-2）2 的结果是（ C ）
A．﹣2
B．±2
C．2
2. 当1<x<3时，(x 3)2 的值为（ D ）
x3
D．4
A.3
B.-3
C.1 D.-1
3.在下列各式中，不是代数式的是（ B ）
人教数学八下《二次根式的加减》二次根式PPT教学课件(第2课时)
先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的(或者先去括号).
2. 二次根式的乘除法法则是：
⋅ = ≥ 0, ≥ 0
=
≥ 0, > 0
3. 二次根式的加减法法则是：
先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
新课导入
4. 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么?
=16.
=-8 3
随堂检测
5. 已知a=3+2 5， b=3-2 5 ，求2 − 2 的值 .
解：2 − 2 = −
将a=3+2 5， b=3-2 5带入，得
− =(3+2 5)(3-2 5)(3+2 5- 3+2 5)
=[ 3
2−
=-44 5
2 5
对于(1)：先算乘，再化简，若有相同的二次根式进行合并，
最后的目标是二次根式是最简二次根式；
对于(2)：先算除，再化简，若有相同的二次根式进行合并，
把所有的二次根式化成最简二次根式．
例题分析
（3） ( 2 + 3)( 2 − 5).
解： ( 2 + 3)( 2 − 5)
=
2
2
− 5 2 + 3 2 − 15
= −13 − 2 2
此处类比“多项式×多项式”，即
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
变式练习
(1) 3( 2 − 3) − 27 +
6−3 ；
解：(1)原式= 6 − 3 − 3 3 + 3 − 6
=−3 3
2. 二次根式的乘除法法则是：
⋅ = ≥ 0, ≥ 0
=
≥ 0, > 0
3. 二次根式的加减法法则是：
先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
新课导入
4. 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么?
=16.
=-8 3
随堂检测
5. 已知a=3+2 5， b=3-2 5 ，求2 − 2 的值 .
解：2 − 2 = −
将a=3+2 5， b=3-2 5带入，得
− =(3+2 5)(3-2 5)(3+2 5- 3+2 5)
=[ 3
2−
=-44 5
2 5
对于(1)：先算乘，再化简，若有相同的二次根式进行合并，
最后的目标是二次根式是最简二次根式；
对于(2)：先算除，再化简，若有相同的二次根式进行合并，
把所有的二次根式化成最简二次根式．
例题分析
（3） ( 2 + 3)( 2 − 5).
解： ( 2 + 3)( 2 − 5)
=
2
2
− 5 2 + 3 2 − 15
= −13 − 2 2
此处类比“多项式×多项式”，即
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
变式练习
(1) 3( 2 − 3) − 27 +
6−3 ；
解：(1)原式= 6 − 3 − 3 3 + 3 − 6
=−3 3
《二次根式》PPT课件(第2课时)
需要注意的几点：
1.在 a b a （
b a 0, b 0) 中被开方数一定是积的形式，
不能出现
a2 b2 a2 b2 的错误．
2.最后要检验开出来的数(式)及留在根号内的数(式)，要
保证它们都是非负数．
★ 练一练
A .
(1) x 2 1 x 1 x 1成立的条件是______
4x
9x • x
7 2 2 7 2；
22 • x 2 x
；
2
(3 x)
3x
2 x ( x) 2 x x .
2
2
课堂小结
a b a b a 0，b 0
二次根式
的 性 质
a
a
a 0，b＞0
b
b
二次根式
最简二次根式
二次根式的被开方式
中都不含分母，并且
也都不含能开得尽方
的因式
2
2
与其他的二次根式不同
2
被开方数中不含能开
得尽方的因数或因式
2
2
被开方数不含分母
一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么，
我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.
简记为：
不含分母
不含小数
不含平方
★ 练一练
1、下列根式是最简二次根式的是( C )
1
A. 3
B.
0.3
C. 3
D.
20
2
2.在二次根式 ，12，30， x 2 , 40 x 2 , x 2 y 2中，
15.1 二次根式
第2课时
- .
学习目标
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