具有分布时滞的偶数阶阻尼泛函微分方程的振动定理
合集下载
具连续分布滞量的偶数阶中立型阻尼偏微分方程解的振动准则
… ｅ Ｅ Ⅱ’ Ｊ Ｌ Ｏ
文考虑具有 阻 尼项 和 连续 分 布滞 量 的偶 数 阶 中立 型偏微分方程 ：
１ ｎ
ｈ
［（， ＋∑ ） ＋ ｘｔ ） （）（，（）］
—
，＋∞
Ｊ‘ ０
一
Ｊ‘ Ｏ
（ ３ ｅｐ 一Ｉ（）ｓｄ ＝ ∞； Ｈ ）Ｉ ｘ（ ｓｄ）ｔ ＋ ｂ
第１ 期
蔡江涛等 ：具连续 分布滞 量的偶 数阶中立型阻尼偏微分 方程解 的振动准则
具 中
数 日＝日（，） 于 函数 类 ， ｔ 属 记 ∈ ， 如果 日∈
（ ２ （ ｔ ０ ∈ａ Ｂ ） ， ）： ，
ｃ Ｄ， ）满 足 日（，）＝０ Ｈ（，） （ Ｒ＋ ， ｔｆ ， ｔｓ ≠０对 ｔ ５ ＞≥ ｔ， 。并且在 Ｄ上有偏导数 Ｏ ￣ ｒ Ｈ Ｏ 使 得 Ｈ ｏ 和Ｏ ／ ｓ
（２ Ｐ（） （ ＋Ｒ ） ∑Ｐ（ Ｍ ） ｔ ∈Ｃ Ｒ ， ＋ ， ｆ ）＜１ ，
收稿 日期 ：０ ８— ６—２ ２０ ０ ４
基金项 目： 湖南省 自然科学基金 （６Ｊ０ １ 和湖南省教育厅科研基金 （６ １９ 资助项 目 ０ Ｊ５０ ） ０ Ｃ８ ） 作者简介 ： 蔡江涛 （９ ３ ）男 ， １７ 一 ， 讲师 ， 主要从事微分方程振动理论研究
关键词 ： 中立型 ； 连续分布滞量 ； 偏微分方程 ； 振动性
中图分类号 ： １５ ４ ０ ７ ． 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ：０ １— ３５ ２ ｌ ） ｌ一 ００— ５ １０ ８９ （ｏｏ ｏ ０ ５ ０
ｄ ｜１ ．９９ｊ ｉ ｎ １０ — ３ ５２ １． １０ １ ｏ：０３ ６／．ｓ ．０ １ ８ ９ ．００ Ｏ ． １ ｓ
２１ ００年 １月
文考虑具有 阻 尼项 和 连续 分 布滞 量 的偶 数 阶 中立 型偏微分方程 ：
１ ｎ
ｈ
［（， ＋∑ ） ＋ ｘｔ ） （）（，（）］
—
，＋∞
Ｊ‘ ０
一
Ｊ‘ Ｏ
（ ３ ｅｐ 一Ｉ（）ｓｄ ＝ ∞； Ｈ ）Ｉ ｘ（ ｓｄ）ｔ ＋ ｂ
第１ 期
蔡江涛等 ：具连续 分布滞 量的偶 数阶中立型阻尼偏微分 方程解 的振动准则
具 中
数 日＝日（，） 于 函数 类 ， ｔ 属 记 ∈ ， 如果 日∈
（ ２ （ ｔ ０ ∈ａ Ｂ ） ， ）： ，
ｃ Ｄ， ）满 足 日（，）＝０ Ｈ（，） （ Ｒ＋ ， ｔｆ ， ｔｓ ≠０对 ｔ ５ ＞≥ ｔ， 。并且在 Ｄ上有偏导数 Ｏ ￣ ｒ Ｈ Ｏ 使 得 Ｈ ｏ 和Ｏ ／ ｓ
（２ Ｐ（） （ ＋Ｒ ） ∑Ｐ（ Ｍ ） ｔ ∈Ｃ Ｒ ， ＋ ， ｆ ）＜１ ，
收稿 日期 ：０ ８— ６—２ ２０ ０ ４
基金项 目： 湖南省 自然科学基金 （６Ｊ０ １ 和湖南省教育厅科研基金 （６ １９ 资助项 目 ０ Ｊ５０ ） ０ Ｃ８ ） 作者简介 ： 蔡江涛 （９ ３ ）男 ， １７ 一 ， 讲师 ， 主要从事微分方程振动理论研究
关键词 ： 中立型 ； 连续分布滞量 ； 偏微分方程 ； 振动性
中图分类号 ： １５ ４ ０ ７ ． 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ：０ １— ３５ ２ ｌ ） ｌ一 ００— ５ １０ ８９ （ｏｏ ｏ ０ ５ ０
ｄ ｜１ ．９９ｊ ｉ ｎ １０ — ３ ５２ １． １０ １ ｏ：０３ ６／．ｓ ．０ １ ８ ９ ．００ Ｏ ． １ ｓ
２１ ００年 １月
偶数阶拟线性中立型偏微分方程系统的振动性
＝ １ ＝ １
（） ＊
解 的振 动性 ， 中 其
是 Ｌ ｐａｅ 子． ａ ｌｃ 算 考 虑边 值条 件 ：
２是偶 数 ，ｚ， （ ￡ ）∈ ｎ× ［ ，。 Ｏ 。 ）三 Ｇ， ∈ Ｒ ｎ 是具 有逐 片光 滑边 界 ａ ｎ的有 界 区域 ， △
“（ ￡ ｚ，）一 ０ （ ￡ ，ｚ，）∈ ａ ｎ× ［ ， ） ｉ １ ２ … ， Ｏ ∞ ， 一 ， ， ｍ． 对 于方 程 （ ， 如下 约定 ： ＊） 作
，
Ｇ ＿
（ ￡ ， Ｑ（ 一 ｐ （ ｚ，）Ｉ且 ￡ ｍｉ ￣ ｎ
，
）
＿１ ’ ｍ ’ …，・ ２ （ ２ ）
首先 ， 区域 ｎ 上考虑 Ｄｉ ｃ ｌ 问题 在 ｒ ｈｅ ｉ ｔ
／ ｚ ＋ ｚ 一ｏ △‘’ ‘’ ｚ∈
１ ｚ （ ）一 ０ 定 理 １ 设 ｒ ￡ 是 一个 单调递 减 函数 和 ｒ ￡ （） （） １ 且 ， Ｉ ￡［ 一 ￡ Ｑ（） １ （ 一 （） ］ ｔ ∞ ， ＞ ０ ￡） ｄ 一 ｔ ｏ ， 则系 统 （ ，１ 的所有 解 在 Ｇ 内振 动 ． Ｅ） （ ） ｚ∈ａ ｎ， 这 里 ａ为 常数．众 所周 知 ，２ （ ）的最 小特 征值 ａ 是正 的 ， 。 其对 应特 征 函数 （ ）＞ ０ ｚ ∈ ｎ． ｚ ，
（ ） ｌ， ￡ ｄ ，… ） ２ ・ ） （ ４
参ｒＪ ） ）＋ Ｊｉ￣ｒ（㈦ ￡。ｉ ）＋ （） （＾ ｄ ）Ｚｘ－） ） ）△（ （ｄ ￡ （ ＾（ｔ ＪＺ ＾ ）
Ｚ ３６ Ｎ ０． ． ２
Ｍ ａｒ ０ ．２ ０８
文 章 编 号 ： ０ Ｏ ２ ６ （ ０ ８ ０ 一Ｏ ３ 一Ｏ １ｏ一 ３７２０）２ Ｏ２ ３
偶数阶拟线性中立型偏微分方程系统的振动性
（） ＊
解 的振 动性 ， 中 其
是 Ｌ ｐａｅ 子． ａ ｌｃ 算 考 虑边 值条 件 ：
２是偶 数 ，ｚ， （ ￡ ）∈ ｎ× ［ ，。 Ｏ 。 ）三 Ｇ， ∈ Ｒ ｎ 是具 有逐 片光 滑边 界 ａ ｎ的有 界 区域 ， △
“（ ￡ ｚ，）一 ０ （ ￡ ，ｚ，）∈ ａ ｎ× ［ ， ） ｉ １ ２ … ， Ｏ ∞ ， 一 ， ， ｍ． 对 于方 程 （ ， 如下 约定 ： ＊） 作
，
Ｇ ＿
（ ￡ ， Ｑ（ 一 ｐ （ ｚ，）Ｉ且 ￡ ｍｉ ￣ ｎ
，
）
＿１ ’ ｍ ’ …，・ ２ （ ２ ）
首先 ， 区域 ｎ 上考虑 Ｄｉ ｃ ｌ 问题 在 ｒ ｈｅ ｉ ｔ
／ ｚ ＋ ｚ 一ｏ △‘’ ‘’ ｚ∈
１ ｚ （ ）一 ０ 定 理 １ 设 ｒ ￡ 是 一个 单调递 减 函数 和 ｒ ￡ （） （） １ 且 ， Ｉ ￡［ 一 ￡ Ｑ（） １ （ 一 （） ］ ｔ ∞ ， ＞ ０ ￡） ｄ 一 ｔ ｏ ， 则系 统 （ ，１ 的所有 解 在 Ｇ 内振 动 ． Ｅ） （ ） ｚ∈ａ ｎ， 这 里 ａ为 常数．众 所周 知 ，２ （ ）的最 小特 征值 ａ 是正 的 ， 。 其对 应特 征 函数 （ ）＞ ０ ｚ ∈ ｎ． ｚ ，
（ ） ｌ， ￡ ｄ ，… ） ２ ・ ） （ ４
参ｒＪ ） ）＋ Ｊｉ￣ｒ（㈦ ￡。ｉ ）＋ （） （＾ ｄ ）Ｚｘ－） ） ）△（ （ｄ ￡ （ ＾（ｔ ＪＺ ＾ ）
Ｚ ３６ Ｎ ０． ． ２
Ｍ ａｒ ０ ．２ ０８
文 章 编 号 ： ０ Ｏ ２ ６ （ ０ ８ ０ 一Ｏ ３ 一Ｏ １ｏ一 ３７２０）２ Ｏ２ ３
偶数阶拟线性中立型偏微分方程系统的振动性
一类高阶非线性泛函微分方程解的振动性
一
类高 阶非线性泛函微分方程解 的振动性
丘冠英
（ 嘉应学院 数学 系， 广东 梅州 ５４１） １０ ５
摘 ： 一 高 非 性 函 分 程 ￡ （１Ｆｆ（￡， （ｆ）０ 中 奇 ，究 解 要 对 类 阶 线 泛 微 方 （＋ 一） （ｚ （） ＾） ＝， 为 数研 其 的 ） ，ｇ） （） 其
虑情况 ２． ） 因为当 ￡ １ ≥￡ 时 （ ＞Ｏｚ （ ＞０ 所以 ￡ ） ， ） ， 存在 了 ｔ 和一个正常数 ｄ 和 ｄ 使得 ≥ ｚ
（ （） ≥ ｄ ｇ ￡） ｌ ｄ （ ≥ ｈ ￡ ）
叫）［ ＋ 丽
）（ （
中的 １证 明相似． ）
］ ‘ ×
（ ￡ ￡ ＾（） ） × ＾ （）（ 一 ￡）
Ｉ ｂ １＾￡ 。 （ｚｒ （（） ｛ （（ ） ｈ ￡ （２＾ ） ） ） ，’
ｔ Ｔ ≥ １
Ｉ ） （ ） ㈤ 一 （ ０
县 振 动 的 ， 日微 分 不 等 式 并
因此
， 一『 （ Ｌ ￡ Ｉ ）
振动性 ， 得到 ３ 个新 的解 的振动性准则 ， 得结果推广和 改进 一些文献 中的若干结论． 所
关键 词 ：高阶；非线性；泛 函微分方程 ；振动性
中图分类号 ：Ｏ１５ ７ 文献标识码 ： Ａ
Ｏｓ ｉ ａ ｉｎ ｏ ｌｓ ｆｈ ｇ ｅ － ｒ ｅ ｏ ｌ ｅ ｒ ｆ ｎ ｔｏ ａ ｉｆ ｒ ｎ ｉ ｌｅ ｕ ｔ ｎ ｃｌ ｔｏ ｆａ ｃａ ｓｏ ｉｈ ｒｏ ｄ ｒ ｎ ｎ ｉ ａ ｕｎｙｎ Ｕ ａ －ｉｇ
第４ 期
丘冠英 ： 高阶非线性泛 函微分方程解 的振动性 一类
・１７ ・ ６
砌∽ ≥ ）
因此式 （） ９变为
具有分布时滞的偶数阶阻尼泛函微分方程的振动定理
具有分布时滞的偶数阶阻尼泛函微分方程的振动定理龙玉花;刘洁纯【期刊名称】《江苏师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2008(026)002【摘要】In this paper,the oscillation of certain even-order damped functional differential equations with distributed delays is considered,and several oscillation criteria are obtained for such a class of differential equations using the intergral averaging technique and the generalized Riccati transformation.An example to illustrate our results is also given.%考虑一类具有分布时滞的偶数阶阻尼泛函微分方程的振动性.利用积分平均技术和广义Riccati变换,获得了该类方程振动的几个定理,并给出了应用实例.【总页数】5页(P85-89)【作者】龙玉花;刘洁纯【作者单位】湖南工程学院,数理系,湖南,湘潭,411104;湖南工程学院,数理系,湖南,湘潭,411104【正文语种】中文【中图分类】O175.12【相关文献】1.具有分布时滞的一阶中立型泛函微分方程的振动性 [J], 陈大学;周树清;龙玉花2.具分布时滞的偶数阶非线性中立型泛函微分方程的Philos型振动定理 [J], 林文贤;张君敏3.具连续分布时滞的二阶半线性中立型阻尼泛函微分方程的Philos型振动定理 [J], 林文贤4.具有分布偏差变元的偶数阶中立型阻尼泛函微分方程的振动准则 [J], 陈大学;周树清;龙玉花5.具有阻尼项和分布时滞的二阶中立型泛函微分方程的振动性 [J], 陈大学;周树清;刘兰初;龙玉花因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
徐州师范大学学报(自然科学版)第26卷(2008年)总目次
一
类 二 阶常微 分方 程组特 解形式 的探 讨 ……… …… ……… …… …… ……… ……… … … 杜增 吉（ ， １ ） ２ １ １
一
一
类 平 面二 次 系统极 限环 的若干 问题 …… …… ……… …… ……… …… …… ……… …… 石茂 忠（ ，７ ２９ ）
类 具有 三次 代数 曲线 同异宿 环 的三次 系统 （ ）……… …・ 英 ・ … …・ ・叶 星呖 ，陈永 雪 ，李 学鹏（ ，０ ） ２ １ １
一
关 于部分 变元 渐近稳 定性 定理 的推广 …… ……… …… ……… …… …… ……… 王瑞 莲 ，斯 力更（ ，０ ） ２ １ ７
高 阶非线 性泛 函微 分方程 的振 动准 则 …・ ・ …… ・ ……・…… …… …… ・ ……… ・ ” ・ … ・ ・ … … ・吴雄 健 （ ，４ ２ ５）
・
Ｔ 。
具连 续分布 滞量 的脉 冲抛物 型方程 的振 动性质 …… …… …… 马晴 霞 ，汪小梅 ，汤 庆 ， 刘安 平 （ ， ９ ２ ５） 中立 型脉 冲双 曲方程解 的振 动性质 …… …… ……… …… ……… …… ……… … 于立萍 ， 邹 敏 （ ，２ ２ ６）
带 户 Ｌ ｐａｅ算子 的非线 性两 点边 值 问题正 解存 在 的充分必 要 条件 一 ａ ｌｃ
… …… … 李 华 ， 志余 （ ，３ 仉 ２３ ）
健 ， 春华 （ ，６ 冯 ２３）
阶非线性 脉 冲 中立 型泛 函微分 方 程周期 解 的存 在性 ……… …… …… 杨秋 鸿 ，杨 高 阶非线 性 中立 型偏 泛 函微分 方程 的振 动性
二 阶非线性 脉 冲微 分方 程 的振 动 准则 （ 英） … ……… ・ ……… ・ …・ 徐 化 忠 ， 延树 ， 建武 （ ，６ … … 武 孙 ２ ６）
类 二 阶常微 分方 程组特 解形式 的探 讨 ……… …… ……… …… …… ……… ……… … … 杜增 吉（ ， １ ） ２ １ １
一
一
类 平 面二 次 系统极 限环 的若干 问题 …… …… ……… …… ……… …… …… ……… …… 石茂 忠（ ，７ ２９ ）
类 具有 三次 代数 曲线 同异宿 环 的三次 系统 （ ）……… …・ 英 ・ … …・ ・叶 星呖 ，陈永 雪 ，李 学鹏（ ，０ ） ２ １ １
一
关 于部分 变元 渐近稳 定性 定理 的推广 …… ……… …… ……… …… …… ……… 王瑞 莲 ，斯 力更（ ，０ ） ２ １ ７
高 阶非线 性泛 函微 分方程 的振 动准 则 …・ ・ …… ・ ……・…… …… …… ・ ……… ・ ” ・ … ・ ・ … … ・吴雄 健 （ ，４ ２ ５）
・
Ｔ 。
具连 续分布 滞量 的脉 冲抛物 型方程 的振 动性质 …… …… …… 马晴 霞 ，汪小梅 ，汤 庆 ， 刘安 平 （ ， ９ ２ ５） 中立 型脉 冲双 曲方程解 的振 动性质 …… …… ……… …… ……… …… ……… … 于立萍 ， 邹 敏 （ ，２ ２ ６）
带 户 Ｌ ｐａｅ算子 的非线 性两 点边 值 问题正 解存 在 的充分必 要 条件 一 ａ ｌｃ
… …… … 李 华 ， 志余 （ ，３ 仉 ２３ ）
健 ， 春华 （ ，６ 冯 ２３）
阶非线性 脉 冲 中立 型泛 函微分 方 程周期 解 的存 在性 ……… …… …… 杨秋 鸿 ，杨 高 阶非线 性 中立 型偏 泛 函微分 方程 的振 动性
二 阶非线性 脉 冲微 分方 程 的振 动 准则 （ 英） … ……… ・ ……… ・ …・ 徐 化 忠 ， 延树 ， 建武 （ ，６ … … 武 孙 ２ ６）
偶数阶中立型微分方程的振动准则
（ ） 在 函数 ∈Ｃ（。。 ， ， 存 【， ）Ｒ ）使得 （＜ｉ （ｇ）， （－０ ￡。 ｔ ｎ ｔ（） ＂） ， ） ｆ ，ｃ Ｏ ｔ ￣
ｌ （＝ 。 ｉ ｔ 。。 ｍ ）
卜＋ ∞
若存在 Ｔ ｔ， ， 。 使得 ∈ （ ＊ ，） － ＞ ｃ ［ ） ， ， 并且
在 常数 Ａ Ｏ Ａ Ｉ Ｎ ０ 使对一切充分大的 ｔ 。＜ ＜ 和 ＞ ， 有
ｒＪｚ （（） Ⅱ ｏ ・） ｃ【， （ （ ｆｒ） ＿ ）（ ｒ） ｉ ∞ ） ） Ｉ 斗 （ ∈ （ ） ） 斗 ｐ ） ｆ ）
的振动性 ， 中 ｎ ２ 其 为偶数 ，＞ ， ∈ （ ， ） ，） （。 ， ｃ ｏＦ ｃ 【 。 Ｒ Ｅ ［， ｔ 。 ｃ ）
）ｉ （＝ ｓ Ｆｔ）ｓｎ， 。 ，ｍｇ ） ∞， ｎ （ ＝ｇｘ ￣ｔ ｌ ｆ ｓ ， ｘ ｔ 。假设以下条件成立 ：
Ｈ ｏ。
０（； （）ｓ ）， ； Ｈ ， （ ￡ 币面 的引 理 ：
） 存在函数 ｑ Ｃ （ ， ）Ｒ ）使得 Ｆｔ） ｎ ＞ｑ）ｘＩ ≠Ｏ ∈ 【 。 ， ， ｆ。 ０ （ ｓ ｘ （Ｉ ，ｇ － ｔ ｘ ，
ｔ ｔ Ｄ；
引理 １ 设 Ⅱ ） ｃ Ｒ ） ） （∈ ＋ ｆ ， 最终定号 ， ｕ 则存在 ＞ｔ －。 和整数 ｆ ，
是一个 线性算子 ． 满足
（） ５
其 中ＰＥ ［ ， ， Ｈ Ｅ 咖Ｅ ［ ， ） Ｃ （。 Ｒ ） ｔ ） ， （。 Ｃ ｔ＊ 很容易 验证算子 。
（ ） ∈Ｃ［，。 ， ， ｓｐｔ １７ （０∞）Ｒ） （ ≤￡ｉ （＝。 Ｊｐ （ｏ。）尺） Ｏ （＜ ，∈Ｃ［ ， ， ， ｆ ，ｍ ｒｆ 。 ｔ ） ￡ ｒ） ｌ ）
科技信 息
偶数阶非线性中立型偏微分方程组的振动性
“ ） ｃ （ ｒ ］ （ ＋ ｒ （ ＋ （
［（ ） “ ＋∑
ｃ（ ｒ
（
ｒ （ ］＋
ｒ ｌ ＝
ｑ ｆ ， ＋∑ ∑ ｑ（， （ （， （） ＝口 ｔ ｕ ｆ＋ ， “ ｆ （ ）（ ） ｆ ｕ ａ ｆ ） ） ｉ ， ） ｊ ｒ ） ＾ （Ａ （ ） ∑ ∑ ａ（ Ａｊ ， （ ） （， ∈ × ＋ Ｇｉ ， …， ， ｑｔ ｕ ｌ ｆ ｆ Ｒ ｋ） （ Ｄ ） ） ， ＝１ ， ｍ ２
中 图分 类 号 ： １５ ４ ０ ７ ． 文 献 标 识 码 ： Ａ
近年 来 ， 不少学 者对 偏泛 函微分 方程 组解 的振 动性 进行 了研究 ｎ ， 关 于 高 阶偏 泛 函微 分 方程 组 的 。］但
振 动性研 究还 相对较 少 。． 。笔者研 究 了如下 的一类 偶 数 阶非 线性 中立 型偏泛 函微 分方 程组 （ ） １ 分别 在边 值条 件 （ ） （ ） ２ ，３ 下解 的振 动性 ：
・
收 稿 日期 ：０ ６— ９— ８ ２０ ０ ０
基 金 项 目 ： 南 省 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（５Ｊ ０８ 湖 ０Ｊ ０ ０ ） ４ 作 者 简 介 ： 李 平 （９４ ， ， 罗 １６ 一） 男 湖南 耒 阳人 ， 阳 师范 学 院 数 学 系副 教 授 ， 要从 事 偏 泛 函微 分 方 程 振 动理 论 研 究 衡 主
且 △是 Ｒ 中的 Ｍ 维拉普 拉斯 算子 ； 是 ａ 的单位 外 法 向量 ； ｔ Ｎ ｇ（ ）∈ ｃ ａ ×Ｒ ； ＋ ， ， （ ＋ Ｒ ） ｉ＝ １２ … ， ，，
在讨 论 中 ， 假定 Ｆ 条件成 立 ： 总 列 （ 。 ， ） ｃ ＿， ＋ ， ｆ ＝ ｒｉ｛ ｆ ｝ ｇ ｆ Ｈ ）ｑ（ ｆ ∈ （ Ｒ ） ｑ（ ） ａ ｎ ｑ（ ） ， （ ）＝ ｒ ｎ｛ ｆ ｝ ｉ ， ＝ ｛ ， ， ， ； Ｇ ａ ｉ ｑ（ ） ， ∈ ｍ １２ … ｍ｝ ，
二阶泛函微分方程和偶数阶偏泛函微分方程的振动性质的开题报告
二阶泛函微分方程和偶数阶偏泛函微分方程的振动性质的开题报告一、选题背景微分方程是研究物理、工程、生物等自然科学和现代科技领域中的基础问题的数学理论。
其中，泛函微分方程是一类特殊的微分方程，它在物理学、力学、生物学、经济学等领域中有广泛的应用。
特别是二阶泛函微分方程和偶数阶偏泛函微分方程，更是在许多科学领域中具有重要意义。
这些方程的振动性质是其中的一个重要研究方向，对于这类方程的研究有助于深入理解振动现象的性质，进而为实际问题的解决提供有力的理论支持。
二、研究内容本文将首先介绍二阶泛函微分方程和偶数阶偏泛函微分方程的基本定义和性质，然后着重讨论这些方程的振动性质。
具体地，我们将探讨这些方程的振动定理、频谱定理、振动模态以及振动衰减等问题，并且给出相应的证明。
此外，我们还将研究这些方程的解的渐近行为以及稳定性等问题，以完整地揭示这些方程的振动性质。
三、研究意义研究二阶泛函微分方程和偶数阶偏泛函微分方程的振动性质，对于深入理解这些方程在自然科学和工程技术领域中的应用具有重要的价值。
具体地说，对于一些振动现象的理论分析和实际问题的解决，这些方程的振动性质的分析和研究将会提供重要的理论基础和指导。
四、研究方法本文将采用数学分析的方法，结合实例和数值模拟，系统研究二阶泛函微分方程和偶数阶偏泛函微分方程的振动性质，并给出相应的证明。
其中，我们将运用 Fourier 分析、比较原理等数学工具，从而深入理解这些方程的本质性质。
五、预期成果本文预计可以系统地研究二阶泛函微分方程和偶数阶偏泛函微分方程的振动性质，并给出详细证明，从而得到相应的振动定理、频谱定理、振动模态以及振动衰减等结果。
此外，我们还将分析这些方程的解的渐近行为以及稳定性等问题，为实际问题的解决提供了深入的理论研究。
偶数阶含阻尼项时滞微分方程的振动性
本文用不 同于文 的方法研究 ３方程 （ ） 得到了判定该类方程振动的几个充分条件． １，
首先我们给出下面的基本假设 ： （ 存 在一个 常数 ＞０和一个 函数 ｑ ｔ Ａ） （）∈Ｃ ［。ｏ ） ［ ， ）使得 （ ｔ，。 ，０ ∞） ，
Ｆ ｔ ）ｇｘ≥ ｑ ｔ Ｉ （， ｓｎ （）ｌ 对 ≠ ０ ｔ ｔ； ，≥ ０
分大 的 ｔ ， Ｍ Ａ ）≥ （
这 里
“ ｌ （） ， 一 一 ｆ Ｉ ｕ
０ ２（ Ｉ 一 ． ＝１÷一Ａ ÷ｌ － ．
引理 ３５ 若 和 ｌ是非负 常数 ， ＿ ， 则有
收 稿 日期 ：０ ０— ８—１ ２１ ０ ０
基金项目： 惠州学院校级项 目（ ２０・２ ９ ；惠州学 院数学与应用数学专业 重点学科经费资助项 目（ ２８・２ ３ ｃ １ ０１） ｃＯ ００ ）
前 文 的振 动 性 ，
研 究 了不 含 阻 尼 项微 分 方 程
‘
（ Ｉ
’ｔ Ｉ （） ～
’ｔ） （） ＋Ｆ ｔ ［ （） ）＝０ （， ｇ ｔ ］
前文 研究 了下面的偶数阶含阻尼项 时滞微分方程 的振动性 ： （（）Ｉ 一 ｔ ～ ‘ （） ＋ （）ｌ ｒｔ （）ｌ ｔ ） Ｐ ｔ 一 （）Ｉ一 （）＋Ｆ ｔｘ ｇ ｔ ］ ｔ ‘ ｔ （ ，［ （ ） ）＝０ ，
第３ ０卷 第 ６期
２１ ０ ０年 １ ２月
惠州学院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ＯＵＲＮ ＡＬ ＯＦ ＨＵＩ Ｈ０Ｕ ＵＮＩ ＲＳ Ｔ Ｚ ＶＥ Ｉ Ｙ
Ｖｏ ． ０． ． １ ３ Ｎｏ ６
Ｄｅ ２ ０ ｅ． Ｏ１
偶数阶含阻 尼项时滞微分方程的振动性
吴 红 叶
（ 惠州学 院 摘 数学系 ， 广东 惠州 ５６０ ） １０ ７
第三章-单自由度系统的受迫振动
对上述微分方程， 对上述微分方程，设其稳态解为
x = x e iω t
为稳态响应的复振幅。 将其代入问分方程， ， x 为稳态响应的复振幅。 将其代入问分方程，有
x = H (ω ) F0
2 n
H(ω) =
2 iω t n
1 k −m 2 +icω ω
复频响应函数
同时，微分方程可变形为 同时，
引入
F && + 2ξωn x + ω x = Bω e & B= 0 静变形 x k ω ，有 1 1 − s 2 − 2ξsi 1 − iθ s= H (ω ) = [ ] = βe ωn 2 2 2 k (1 − s ) + (2ξs ) k
欧拉公式
显含时间t，非齐次 显含时间 ，
P(cos x+isin x) = Peix
对应齐次线性微分方程 非齐次线性微分方程
非齐次线性微分方程
通解
=
通解
有阻尼自由振动 逐渐衰减
+
特解
持续等幅振动
稳态响应
暂态响应
振动理论与声学原理
一、谐波激励的受迫振动
c k 仍然记系统的固有频率 ω n = 及相对阻尼系数 ξ = 。 m 2 km
振动理论与声学原理
四、受迫振动的过渡阶段
由于是线性系统， 由于是线性系统，也适用叠加原理
& x t & +ω2x =0 & x n m&+kx= F sin ω 0 = &(0) = x0 x(0) = x0, x(0) = x0 + & & & x(0) = x0, x
x = x e iω t
为稳态响应的复振幅。 将其代入问分方程， ， x 为稳态响应的复振幅。 将其代入问分方程，有
x = H (ω ) F0
2 n
H(ω) =
2 iω t n
1 k −m 2 +icω ω
复频响应函数
同时，微分方程可变形为 同时，
引入
F && + 2ξωn x + ω x = Bω e & B= 0 静变形 x k ω ，有 1 1 − s 2 − 2ξsi 1 − iθ s= H (ω ) = [ ] = βe ωn 2 2 2 k (1 − s ) + (2ξs ) k
欧拉公式
显含时间t，非齐次 显含时间 ，
P(cos x+isin x) = Peix
对应齐次线性微分方程 非齐次线性微分方程
非齐次线性微分方程
通解
=
通解
有阻尼自由振动 逐渐衰减
+
特解
持续等幅振动
稳态响应
暂态响应
振动理论与声学原理
一、谐波激励的受迫振动
c k 仍然记系统的固有频率 ω n = 及相对阻尼系数 ξ = 。 m 2 km
振动理论与声学原理
四、受迫振动的过渡阶段
由于是线性系统， 由于是线性系统，也适用叠加原理
& x t & +ω2x =0 & x n m&+kx= F sin ω 0 = &(0) = x0 x(0) = x0, x(0) = x0 + & & & x(0) = x0, x
一类具连续分布滞量的高阶非线性中立型偏微分方程的振动准则
摘 要 ： 研究一类具连续 分布滞量的偶数阶非线性偏泛 函微分方程 的边值 问题 ， 出了该类方程在三类边值条件下 型 ； 泛 函微 分 方程 ； 动 性 ； 续 分布 滞量 非 偏 振 连 中 图 分 类 号 ： ７ ．９ Ｏ１ ５ ２ 文 献 标 识 码 Ａ
１ ｒｏ 】 ． ｏ ｉ
． ．
ａ ｒ
。。
Ｊ ｏ
出一∞；
ｍｉ｛ （ ￡ ｝Ｑ （，）三 ｎ ｐ ｘ，） ， ，￡
（ ）（ ￡ Ｈ２ 户 ｚ，）∈ Ｃ（ Ｒ ） ｑ（ ￡ ）∈ Ｃ（ × ［ ，］ Ｒ ） 户 ￡ 一 ＋ ，ｉｘ，， Ｇ， 一 Ｇ 口 ６ ＋ ， （）
（） １
解 的振动 性 ， 中（ ，）∈ ｎ× 兰 Ｇ， ≥ ２是偶 数 ， ＲＭ是有 界域 ，ｎ逐片 光滑 ， ＋ ［ ，ｏ ， 其 ｚ￡ ７ ＂ ／ ｎ ｃ ａ Ｒ 一 ０ ｏ ） 且
△ｚ） 妻 ，一 （￡
（２ Ｂ ）丝
（ ） Ｂ３
．得 果 广 包 了 ［ 的 要 果 文９ 部 结 ． 所 结 推 和 含 文８ 主 结 和 ［ 的 分 果 ］ ］
维普资讯
第 ３ Ｏ卷 第 １ 期
２０ ０ ７年 ３ 月
辽 宁 师 范 大 学 学报 （ 自然 科 学ｇ ） ｔ
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＬｉｏ ｉｇ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｄ ｔｏ ） ｏ ｒ ａ ａ ｎｎ ｒ ｌ ｏ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｙ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅ Ｅ ｉ ｎ Ｓ ｉ
维普资讯
１ ６
辽 宁 师 范 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
第３ Ｏ卷
由 于 方 程 （ ）中 的 积 分 是 Ｓ ｉｌ ｅ １ ｔｅｔ ｓ积 分 ， 而方 程 （ ）包 含 了如 Ｆ时 滞 偏 微 分 方 程 ｊ 因 １ ，
振动的基本理论
该式表明 Dirac 函数的抽样特性。 (4) 尺度变换特性。设 a 为常数，则有
∫∞ y(t)δ′(t) d t = − y′(0) −∞
∫ δ(at) = 1 δ(t) ∞ δ′(t) d t = 0
a
−∞
4
PDF created with pdfFactory Pro trial version
1. 冲激函数
冲激函数也称单位脉冲(unit impulse)函数，用δ(t)表示，它具有以下性质
∫ δ(t) = 大0, t于≠任0 何给定值, 当t = 0时;
但有
∞
δ (t)dt = 1
−∞
(1-4)
并且
∫ δ(t) = t δ′(x) d x −∞
单位脉冲是一种极限脉冲，其物理意义可用图 1-1 来解释。该图说明，若将δ(t)看成是力函数，则δ(t) 是图(a)所示冲量为 1 的矩形脉冲在脉宽ε→0 时的冲击力的极限情况（图(b)）。δ(t)具有力的量纲。
所示。通常将这个旋转矢量画成如图 1-4（b）所示。利用旋转矢量能直观形象地表示出上述位移、 速度和加速度之间的关系，如图 1-4（c）所示。
图 1-4 用旋转矢量表示简谐振动
3. 用复数表示简谐振动
简谐振动也可以用复数表示。记 j = − 1 ,复数
z = Ae j(ωt+α ) = A cos(ωt + α ) + j Asin(ωt + α )
2. 单位阶跃函数
单位阶跃函数也称阶跃函数，用 ε(t) 表示，即
单位阶跃函数有以下特性：
0,
ε(t )
=
1 12,
,
t〈0 t =0 t〉0
（1）
∫∞ y(t)δ′(t) d t = − y′(0) −∞
∫ δ(at) = 1 δ(t) ∞ δ′(t) d t = 0
a
−∞
4
PDF created with pdfFactory Pro trial version
1. 冲激函数
冲激函数也称单位脉冲(unit impulse)函数，用δ(t)表示，它具有以下性质
∫ δ(t) = 大0, t于≠任0 何给定值, 当t = 0时;
但有
∞
δ (t)dt = 1
−∞
(1-4)
并且
∫ δ(t) = t δ′(x) d x −∞
单位脉冲是一种极限脉冲，其物理意义可用图 1-1 来解释。该图说明，若将δ(t)看成是力函数，则δ(t) 是图(a)所示冲量为 1 的矩形脉冲在脉宽ε→0 时的冲击力的极限情况（图(b)）。δ(t)具有力的量纲。
所示。通常将这个旋转矢量画成如图 1-4（b）所示。利用旋转矢量能直观形象地表示出上述位移、 速度和加速度之间的关系，如图 1-4（c）所示。
图 1-4 用旋转矢量表示简谐振动
3. 用复数表示简谐振动
简谐振动也可以用复数表示。记 j = − 1 ,复数
z = Ae j(ωt+α ) = A cos(ωt + α ) + j Asin(ωt + α )
2. 单位阶跃函数
单位阶跃函数也称阶跃函数，用 ε(t) 表示，即
单位阶跃函数有以下特性：
0,
ε(t )
=
1 12,
,
t〈0 t =0 t〉0
（1）
偶数阶中立型时滞微分方程的振动性
文 章编 号 ：１ ０ ．３ ２（ ０ ０ ２０ ０ ． ６ ０ ６７ ０ ２ １ ）０ ． ０ ６ ４
偶数 阶 中立型 时滞微 分 方 程 的振 动性
林丹 玲
（ 山 师 范 学 院 数 学 与信 息 技 术 系 ，广 东 潮 州 ５ ｌ４ ） 韩 ２ ０ １ 摘 要 ： 究 一 类 非 线 性 的 偶 数 阶 中立 型 时 滞 微 分 方 程 ， 到 了该 类 方 程 解 振 动 的 几 个 新 的 判 别 研 得 准 则 ，得 到 的 结 果 推 广 了 已有 文 献 中 的 结 果 ． 关键 词 ：非 线 性 ； 中 立 型 ； 时 滞 微 分 方程 ；振 动 中 图 分 类 号 ：Ｏ１ ５ ７ 文 献标 志 码Ｉ （（ ｐ） ｏｔｓ ［｝ Ｉ ，） ｇ一 Ｉ ｓ｛ （ ２ ）ｌ ｓ Ｈｑ－ ］
ｓｕ ｉｄ． ｅ ｒ ｓ ｌｓｏ ｔ ｉ ｅ ｘ ｅ ｄ ｓ ｖ ｒ ｌｒ ｓ ｌｓｉ ｎ ｗｎ ｌ ｅ ａｕ ｅ ｔ ｄ ｅ Ｔｈ ｅ ｕ ｔ ｂ ａ ｎ ｄ ｅ ｔｎ ｅ ｅ ａ ｅ ｕｔ ｎ ｋ ｏ ｉ ｒ ｔ ｒ ． ｔ
Ｋｅ ￣Ｓ ｎ ｎｌ ｅ ｒ ｎ ｕ ｒ ｌ ｄ ｌｙ ｄｆｅｅ ｔａ ｑ ａｉ ｎ ｏ ｃ ｌａｉ ｎ ｙ ＷＯ ： ｏ ｉ ａ ； ｅ ｔａ ； ｅ ａ ｉ ｒ ｎ ｉ ｌ ｕ ｔｏ ； ｓ ｉ ｔｏ ｎ ｆ ｅ ｌ
近年 对 中立 型 时滞 微 分 方 程振 动 性 的研 究 增长 很快 【 ， 而 已有 文献 大 多研 究 一 阶或 二 阶的情 卜１然
况 ，对 高 阶研 究 较 少 ．本 文考 虑 如下 一 般 形式 的 非线 性偶 数 阶中 立型 方 程 ： 【 （） Ｐ ， ｔ ） ‘’ （） 【 ，】 ０ ， ｔ ｘ ｔ ＋ （） （ —ｆ 】 ＋ ｔｆ（ ｇ（） ）＝ ， ０＞０ ， （ ） １
具有分布时滞的高阶中立型双曲偏微分方程的振动准则
和 （ ） ｒ（） Ｒ＋ 的单调 不减 函数 ； ｍｉ （）＝ ｔ ， ｔ是 上 ｌ ｔ ｔ ｉ
ｌ ｊ ｔ ＋∞ ，＝１２ … ， ； ， ， ， ． ｉ （）＝ ｍｒ ｉ ， ， ｎ ＝１２ … ｍ
×［。∞ ） ， 得 （ ｔ不 变 号 ， 称 Ｍ ，） ｔ， 时 使 ，） 则 （ ｔ 在
解 的振动性 ． 中 △是 Ｒ 其 上的 Ｌ ｐ ｃ 算子 ， 是 Ｒ ａｌ ｅ ａ 中的具有连 续分 片光滑边界 ａ 的有界 区域． 是边 界 ａ 上 的单位 外法 向量 ， Ｒ＋＝［ ０，
＋∞） 方 程 （ ． Ｅ）中 的积 分 是 Ｓｉ ｏ ｓ积 分． （ ｔ ｔ ｌｅ ｅ ，）∈Ｃ（ ×Ｒ＋ ａ ， Ｒ＋ ． ）
准 则
地 丰 富 了泛 函偏微 分 方程 理 论 ． 目前 为 止 ， 到 具有 连 续 分 布滞 量 的泛 函偏微 分方 程振 动理 论 已有 不 少成 果 ¨ Ｊ但 对 于具 有 连续 分 布 时 滞 ， 的泛 函偏微 分方 程 的边 值 问题 的振 动 性 的讨 论 ， 有 的文 献 大 多 使 现
解 产生 振动 的条 件 ．
本 文采 用特 征值 的方 法 ， 其他 文 献 与 刮不 同 的是 在 处理 不 等 式
的时候 ， 留 了调 和项 ， 而 得 出 了 由调 和项 的扰 动 而使 方 程解 产 生 保 从
振 动 的充分 条件 ．
研 究 如下形 式 的高 阶 （ 中 ｎ 其 ≥２为偶 数 ） 立 型双 曲偏 微 分 方 中
程（ ： Ｅ）
ｎ ｎ
【 ｘｔ Ａ（） （ ， ）＋ ｉ （
（）】 ｆ） ＝
Ⅱ ）ｕｘ ） （ Ａ （， ＋∑ ｂ Ａ （，（） 一 （， ｕｘ ）一 ｊ ）ｕｘ ｆ） ｐｘ ）（， （
具连续分布滞量的偶数阶非线性中立型偏泛函微分方程组的振动性
考 虑如 下 ２类边值 条件 ：
＋ ） ｉ Ｕ（ ）一 ０，
Ｇ 上满 足 系统 （ ） 在 ａ２ ＋ 满 足边 值 条件 （） １且 ｇ×Ｒ 上
（ 一 ２， ） ｉ ３．
定义 ２ 称 数 值 函数 ｖ ｘ 在 Ｇ 内振 动 ， 对 （ ，） 若
任意正数 ， 在 点 （ ｏ ｔ）∈ ｎ Ｘ ［ ∞ ） 使 得 存 Ｘ ，ｏ ， ，
（ ， Ｅ Ｃ × ， ， ）ｑ （ ， ＞ Ｏ ， 一 ｔ ， ６ Ｒ ， ｈｚｔ ］ ｓ ， ， ＾
Ｉ 』
（ 州
）＋
如，
ｊ １ ＝
］ 一
ｒｎｑ （ ， ） ０（ 一 ｍａ ＾ ， ｌＱ ＠， 一 ｒ ｛ｏ ｚｔ ＇ｈ ｉ ｆ ＾ ， ｑ ， ｘ （ ｔ ， Ｊ ， ９
摘 要 ： 虑 一 类 具 连 续 分布 滞量 的偶 数 阶 非线 性 中立 型 偏 泛 函微 分 方 程 组 ， 用 微 分 不 等 式 方 法 及 微 积 分技 巧 ， 考 利 建 立 了该 类 系统 在 ２类 不 同边 值 条 件 下 所有 解振 动 的 若 干 充分 判 据 ． 关 键 词 ： 数 阶 ； 泛 函微 分 方 程 组 ； 线 性 中立 型 ； 续分 布 滞 量 ； 动 性 偶 偏 非 连 振
方程 组 的振动性 的研 究还 不多见
方 程 组
＾ ｄ
（ ） （） Ｃ（）Ｅ Ｈ１ ￡ ， ￡
（ ， ）口 （）ｂ （） Ｏ（） １ Ｒ ， ￡ Ｌ ￡ ，ｒ￡ ， ＇
（）Ｅ Ｃ（ ， ＿ ， （）≤ ， （）≤ ｔ 且 ｌ ａ （）一 ｉ ） ｔ Ｐ Ｊ ， ｉ ｒ￡ ｍ ｌ ｉ （）一 ∞ ， 一 ｛ ， ， ， ，， ∈ Ｌ ； ｍ ｒ∈ １ ２ … ｄ｝ｉ
＋ ） ｉ Ｕ（ ）一 ０，
Ｇ 上满 足 系统 （ ） 在 ａ２ ＋ 满 足边 值 条件 （） １且 ｇ×Ｒ 上
（ 一 ２， ） ｉ ３．
定义 ２ 称 数 值 函数 ｖ ｘ 在 Ｇ 内振 动 ， 对 （ ，） 若
任意正数 ， 在 点 （ ｏ ｔ）∈ ｎ Ｘ ［ ∞ ） 使 得 存 Ｘ ，ｏ ， ，
（ ， Ｅ Ｃ × ， ， ）ｑ （ ， ＞ Ｏ ， 一 ｔ ， ６ Ｒ ， ｈｚｔ ］ ｓ ， ， ＾
Ｉ 』
（ 州
）＋
如，
ｊ １ ＝
］ 一
ｒｎｑ （ ， ） ０（ 一 ｍａ ＾ ， ｌＱ ＠， 一 ｒ ｛ｏ ｚｔ ＇ｈ ｉ ｆ ＾ ， ｑ ， ｘ （ ｔ ， Ｊ ， ９
摘 要 ： 虑 一 类 具 连 续 分布 滞量 的偶 数 阶 非线 性 中立 型 偏 泛 函微 分 方 程 组 ， 用 微 分 不 等 式 方 法 及 微 积 分技 巧 ， 考 利 建 立 了该 类 系统 在 ２类 不 同边 值 条 件 下 所有 解振 动 的 若 干 充分 判 据 ． 关 键 词 ： 数 阶 ； 泛 函微 分 方 程 组 ； 线 性 中立 型 ； 续分 布 滞 量 ； 动 性 偶 偏 非 连 振
方程 组 的振动性 的研 究还 不多见
方 程 组
＾ ｄ
（ ） （） Ｃ（）Ｅ Ｈ１ ￡ ， ￡
（ ， ）口 （）ｂ （） Ｏ（） １ Ｒ ， ￡ Ｌ ￡ ，ｒ￡ ， ＇
（）Ｅ Ｃ（ ， ＿ ， （）≤ ， （）≤ ｔ 且 ｌ ａ （）一 ｉ ） ｔ Ｐ Ｊ ， ｉ ｒ￡ ｍ ｌ ｉ （）一 ∞ ， 一 ｛ ， ， ， ，， ∈ Ｌ ； ｍ ｒ∈ １ ２ … ｄ｝ｉ
偶数阶中立型时滞偏微分方程系统的振动性定理
，
∑ （ ） ； ￡ ≥ｏ ）
≠Ｉ
（ ） ｎ （ ）， （ ） Ｅ ＋， ＋） ｉ Ｉ Ｈ３ ｉ ￡ ￡ Ｅ Ｃ（ ， Ｅ ，是 Ｉ Ｅ
（ ４ ｃ￡ （ ，（ ，￡ ＣＥ＋ ） ∑ ｃ￡ ， Ｈ） ，） ￡Ｐ ￡ ） （ ， ， ，） （ ） ） （ Ｅ ＋ （ ≤１
［ 基金项 目］国家 自然科学基金资助项 目（０ ７０ ６ ； １ ４ １ ８ ） 湖南省教育厅 ２０ ０ ５年科研 计划项 目
维普资讯
６ ２
大 学 数 学
第２ ３卷
定义 ） … ， ｚ，） 为 系统 （ ） （） ，） （ ￡ 一（ ｚ， “ （ ￡ ， “ （ ￡） ） １ ， （＝２ ３ 的解 ， 若它
（ ）Ｐ （ ￡ ＥＣ（ ） （ ￡＞ｏ Ｐ （）＝ Ｈｚ ｚ，） Ｇ， ， ｚ，） ， ｖ ￡ ＝ ＝
Ｑ（ － ｒ ｛ （ 一 ａｉ Ｐ ￡ ｎ ）
ｌ ｊ ∈
，
（ ￡ ）Ｐ （）＝ ｚ，） ， ￡ ： — ＝
｛
（ ￡ 『 ，， ＥＩ ， ｚ，） ） ｊ ｍ
ｒ ｌ ＝
，
Ｎ 是ａ 的单 位 外 法 向 ｎ
量 ，，ｚ，） ａ２ ＋； ＋） ＋： Ｅ ，。 ， 一１ ２ … ， ｇ （ ￡ ＥＣ（ｇ× ， ＝ ｏ 。 ） ＝ ， ， ｍ．
本文 我们 总假定 下列 条件 成立 ：
（ Ｐ Ｅ （，＋， （一 ｛（，｝∈， ｛， …， ，‘ ＝ ｐ ｔ ； Ｈ） ｉ ， ５嗵 ） ） 孥 ｚ ）， ＝ ２ ） ：∈ ｛ｉ） （ ）Ｃ 户 ， ｔ ， 户 ＝ｉ （ ） ｍ埘 『 ｎ
言
近年来 ， 多学 者对 偏泛 函微 分方程 系统 的振 动性进 行 了研究 ， 获 得 了许 多 好 的结 果 ， 如 见文 许 并 例
相关主题