2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高一下学期期中数学试卷 (解析版)

2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．直线ax +y +7＝0与4x +ay ﹣3＝0平行，则a 为（ ） A ．2B ．2或﹣2C ．﹣2D ．−122．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且asinA=bcosB=c cosC，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．有一个内角为30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形3．如果A （1，3）关于直线l 的对称点为B （﹣5，1），则直线l 的方程是（ ） A ．x ﹣3y +8＝0B ．3x +y +4＝0C ．x +3y ﹣4＝0D ．3x ﹣y +8＝04．已知x ＞y ＞z ，且x +y +z ＝0，下列不等式中成立的是（ ） A ．xy ＞yzB ．xz ＞yzC ．xy ＞xzD ．x |y |＞z |y |5．若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y −3≤0x +3y −3≥0，则z ＝3x ﹣y 的最小值为（ ）A ．﹣2B ．1C ．﹣1D ．06．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝a 2+2a 3，S 2是S 1与mS 3的等比中项，则m 的值为（ ） A ．1B ．97C ．67D ．127．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的23，并且球的表面积也是圆柱表面积的23，若圆柱的表面积是6π现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（ ）A．π3B．2π3C．πD．4π38．已知数列{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，则下列命题中正确的是（）A．若a5＞a3，则a8＞0B．若a5＞a3，则S8＞0C．若S5＞S3，则S8＞0D．若S5＞S3，则a8＞09．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P ﹣ABC的三视图的面积之和最大值为（）A．6B．7C．8D．910．若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a取值的集合（）A．{a|a≤2}B．{a|﹣2＜a＜2}C．{a|﹣2＜a≤2}D．{a|a≤﹣2}11．已知x＞0，y＞0，lg4x+lg2y＝lg8，则12x+1+4y的最小值是（）A．3B．94C．4615D．912．如图为一个正方体ABCD﹣A1B1C1D1与一个半球O1构成的组合体，半球O1的底面圆与该正方体的上底面A1B1C1D1的四边相切，O1与正方形A1B1C1D1的中心重合．将此组合体重新置于一个球O中（球O未画出），使该正方体的下底面ABCD的顶点均落在球O的表面上，半球O1与球O内切，设切点为P，若正四棱锥P﹣ABCD的表面积为4+4√10，则球O的表面积为（）A．121π6B．121π9C．12πD．9π二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．数列{a n}的通项公式为a n＝3n2﹣28n，则使a n取最小值的n值为．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tanC=√7，c=2a，b=3√2时，则△ABC的面积为．15．五一期间，要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语，经测量得圆锥的高为2√2，母线长为3，如图所示，为了美观需要，在底面圆周上找一点M拴系彩绸的一端，沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸，彩绸的另一端仍回到原处M，则彩绸长度的最小值为．16．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a﹣2c cos B＝c，则角C的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知公差不为零的等差数列{a n}中，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2a n+n，求数列{b n}的前n项和S n．18．已知△ABC的顶点C在直线3x﹣y＝0上，顶点A、B的坐标分别为（4，2），（0，5）．（Ⅰ）求过点A且在x，y轴上的截距相等的直线方程；（Ⅱ）若△ABC的面积为10，求顶点C的坐标．19．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m长造价40元，两侧墙砌砖，每1m长造价45元，（1）求该仓库面积S的最大值（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶．顶部每1m2造价20元，求仓库面积S的最大值，并求出此时正面铁栅应设计为多长？20．在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD=π4，AC＝7，cos∠ADB=√210．（1）求sin∠C的值；（2）若BD＝5，求AB的长．21．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosBb+cosCc=2√3sinA3sinC．（1）求b的值；（2）若cos B+√3sin B＝2，求a+c的取值范围．22．若数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝2，且a n b n+b n＝nb n+1．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=a n+1b n+1，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+n2n−1对一切n∈N*，求实数λ的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．直线ax +y +7＝0与4x +ay ﹣3＝0平行，则a 为（ ） A ．2B ．2或﹣2C ．﹣2D ．−12【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解． 解：∵直线ax +y +7＝0与4x +ay ﹣3＝0平行， ∴a4=1a≠7−3，解得a ＝±2． 故选：B ．2．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sinA=b cosB=c cosC，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．有一个内角为30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形【分析】由正弦定理结合条件可得 sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，故有 B ＝C ＝45°且 A ＝90°，由此即可判断三角形的形状． 解：∵在△ABC 中，a sinA=b cosB=c cosC，则由正弦定理可得 sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ， ∴B ＝C ＝45°， ∴A ＝90°，故△ABC 为等腰直角三角形， 故选：C ．3．如果A （1，3）关于直线l 的对称点为B （﹣5，1），则直线l 的方程是（ ） A ．x ﹣3y +8＝0B ．3x +y +4＝0C ．x +3y ﹣4＝0D ．3x ﹣y +8＝0【分析】由题意可得直线l 为线段AB 的中垂线，求得AB 的中点为（﹣2，2），求出AB 的斜率可得直线l 的斜率，由点斜式求得直线l 的方程，化简可得结果．解：∵已知点A （1，3）关于直线l 的对称点为B （﹣5，1），故直线l 为线段AB 的中垂线．求得AB 的中点为（﹣2，2），AB 的斜率为1−3−5−1=13，故直线l 的斜率为﹣3，故直线l 的方程为 y ﹣2＝﹣3（x +2），化简可得3x +y +4＝0． 故选：B ．4．已知x ＞y ＞z ，且x +y +z ＝0，下列不等式中成立的是（ ） A ．xy ＞yzB ．xz ＞yzC ．xy ＞xzD ．x |y |＞z |y |【分析】根据x ＞y ＞z 和x +y +z ＝0，有3x ＞x +y +z ＝0，3z ＜x +y +z ＝0，从而得到x ＞0，z ＜0．再不等式的基本性质，可得到结论． 解：∵x ＞y ＞z∴3x ＞x +y +z ＝0，3z ＜x +y +z ＝0， ∴x ＞0，z ＜0． 由{x ＞0y ＞z 得：xy ＞xz ． 故选：C ．5．若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y −3≤0x +3y −3≥0，则z ＝3x ﹣y 的最小值为（ ）A ．﹣2B ．1C ．﹣1D ．0【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z ＝3x ﹣y 可得y ＝3x ﹣z ，则﹣z 表示直线3x ﹣y ﹣z ＝0在y 轴上的截距，截距越大z 越小，结合图形可求． 解：作出约束条件{x −y +1≥0x +y −3≤0x +3y −3≥0，表示的平面区域，如图所示由z ＝3x ﹣y 可得y ＝3x ﹣z ，则﹣z 表示直线3x ﹣y ﹣z ＝0在y 轴上的截距， 截距越大z 越小结合图形可知，当直线z ＝3x ﹣y 过点C 时z 最小 由{x +3y −3=0x −y +1=0可得C （0，1）， 此时z ＝﹣1 故选：C ．6．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝a 2+2a 3，S 2是S 1与mS 3的等比中项，则m 的值为（ ） A ．1B ．97C ．67D ．12【分析】由已知结合等比数列的性质及通项公式即可求解．解：设数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝a 2+2a 3，得a 1=a 1q +2a 1q 2， 易知a 1≠0，所以2q 2+q ﹣1＝0，解得q ＝﹣1或q =12， 当q ＝﹣1时，S 2＝0，这与S 2与S 1与mS 3的等比中项矛盾 当q =12时，S 1=a 1，S 2=32a 1，mS 3=74a 1m ，由S 2与S 1与mS 3的等比中项，得S 22=S 1⋅mS 3，即94a 12=m ⋅74a 12，所以m =97， 故选：B ．7．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的23，并且球的表面积也是圆柱表面积的23，若圆柱的表面积是6π现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（ ）A．π3B．2π3C．πD．4π3【分析】设球的半径为r，利用球的表面积，求出r＝1，然后转化求解即可．解：设球的半径为r，则由题意可得球的表面积为4πr2=23×6π，所以r＝1，所以圆柱的底面半径为1，高为2，所以最多可以注入的水的体积为π×12×2−43π×13=2π3．故选：B．8．已知数列{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，则下列命题中正确的是（）A．若a5＞a3，则a8＞0B．若a5＞a3，则S8＞0C．若S5＞S3，则S8＞0D．若S5＞S3，则a8＞0【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可分别检验，可判断．解：由a5＞a3可得d＞0，但是a8＞0，S8＞0无法判断，故A，B错误；由S5＞S3可得，a4+a5＞0，由等差数列的性质可知，S8＝4（a1+a8）＝4（a4+a5）＞0，故C正确，D错误．故选：C．9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P ﹣ABC的三视图的面积之和最大值为（）A．6B．7C．8D．9【分析】首先利用正方体的直观图求出三视图的面积的最大值的位置，进一步求出结果．解：当点P 与D 1重合时，三棱锥体P ﹣ABC 的三视图的面积最大． 则俯视图为正方形ABCD ，正视图为△D 1DC ，侧视图为△C 1BC ，故三棱锥P ﹣ABC 的三视图的面积之和的最大值为2×2+12×2×2+12×2×2=8．故选：C ．10．若不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 取值的集合（ ） A ．{a |a ≤2}B ．{a |﹣2＜a ＜2}C ．{a |﹣2＜a ≤2}D ．{a |a ≤﹣2}【分析】先对二次项的系数a ﹣2分类讨论，进而利用一元二次不等式的解法解出即可． 解：①a ＝2时，不等式化为﹣4＜0对一切x ∈R 恒成立，因此a ＝2满足题意； ②a ≠2时，要使不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0对一切x ∈R 恒成立，则必有{a −2＜04(a −2)2+16(a −2)＜0解得﹣2＜a ＜2． 综上①②可知：实数a 取值的集合是{a |﹣2＜a ≤2}． 故选：C ．11．已知x ＞0，y ＞0，lg 4x +lg 2y ＝lg 8，则12x+1+4y的最小值是（ ）A ．3B ．94C ．4615D ．9【分析】由已知结合指数与对数的运算性质可得，2x +y ＝3，从而12x+1+4y=14（12x+1+4y）（2x +1+y ）=14(5+y2x+1+4(2x+1)y)，展开后利用基本不等式可求． 解：∵x ＞0，y ＞0，lg 4x +lg 2y ＝lg 8， 4x •2y ＝8，即2x +y ＝3， 则12x+1+4y =14（12x+1+4y）（2x +1+y ）=14(5+y2x+1+4(2x+1)y )≥5+44=94， 当且仅当y 2x+1=4(2x+1)y 且2x +1+y ＝4即x =16，y =83时取等号，则12x+1+4y的最小值是94．故选：B ．12．如图为一个正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1与一个半球O 1构成的组合体，半球O 1的底面圆与该正方体的上底面A 1B 1C 1D 1的四边相切，O 1与正方形A 1B 1C 1D 1的中心重合．将此组合体重新置于一个球O 中（球O 未画出），使该正方体的下底面ABCD 的顶点均落在球O 的表面上，半球O 1与球O 内切，设切点为P ，若正四棱锥P ﹣ABCD 的表面积为4+4√10，则球O的表面积为（）A．121π6B．121π9C．12πD．9π【分析】设球O，半球O1的半径分别为R，r，由题意知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2r，四棱锥P﹣ABCD为正四棱锥．设该正方体的底面ABCD的中心为G，连接AC，PG，则四棱锥P﹣ABCD的高PG＝3r，其各侧面的高为√(3r)2+r2=√10r．求出r＝1．球O的球心在线段O1G上，连接OC，由勾股定理，得OC=R，OG=3−R，CG= 12AC=12×2√2=√2，求出R=116，由此能求出球O的表面积．解：如图，设球O，半球O1的半径分别为R，r，由题意知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2r，四棱锥P﹣ABCD为正四棱锥．设该正方体的底面ABCD的中心为G，连接AC，PG，则四棱锥P﹣ABCD的高PG＝3r，其各侧面的高为√(3r)2+r2=√10r．由题意得(2r)2+4×12×2r×√10r=4+4√10，解得r＝1．由题意知球O的球心在线段O1G上，连接OC，则在Rt△OGC中，由勾股定理，得OC=R，OG=3−R，CG=12AC=12×2√2=√2，解得R=116，所以球O的表面积S=4πR2=121π9，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2﹣28n ，则使a n 取最小值的n 值为 5 ． 【分析】直接根据二次函数的性质即可求解． 解：因为数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2﹣28n ， 对称轴为286=143，离其最近的正整数为：5；故使a n 取最小值的n 值为5； 故答案为：5．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若tanC =√7，c =2a ，b =3√2时，则△ABC 的面积为√72． 【分析】因为tan C =√7＞0，所以C 为锐角，由同角三角函数的平方关系和商数关系，可解得sinC =√144，cosC =√24，由正弦定理知，a sinA=c sinC，结合c ＝2a ，可得sin A =√148，cosA =5√28，所以sin B ＝sin （A +C ）=3√78，再由正弦定理知，a sinA =b sinB，可求得a ＝2，最后利用S △ABC =12absinC 即可得解．解：∵tanC =sinCcosC=√7，且sin 2C +cos 2C ＝1， ∴C 为锐角，sinC =√144，cosC =√24，由正弦定理知，asinA=c sinC，∵c ＝2a ，∴A 也为锐角，sinA =12sinC =√148，cosA =5√28，∴sin B ＝sin[π﹣（A +C ）]＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C =√148×√24+5√28×√144=3√78，由正弦定理知，asinA=b sinB，∴√148=√23√78，解得a ＝2，∴S △ABC =12absinC =12×2×3√2×√144=3√72．故答案为：3√72． 15．五一期间，要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语，经测量得圆锥的高为2√2，母线长为3，如图所示，为了美观需要，在底面圆周上找一点M 拴系彩绸的一端，沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸，彩绸的另一端仍回到原处M ，则彩绸长度的最小值为 3√3 ．【分析】根据已知，求出圆锥的母线长，进而根据小虫爬行的最小距离是侧面展开图中的弦长，可得答案．【解答】答案：把圆锥沿过点M 的母线剪开，并铺平得扇形MOM 1，如图所示，这样把空间问题转化为平面问题，易知动点M 所经过的最短距离即为线段MM 1的长度，由已知条件得底面圆半径r =√32−(2√2)2=1，扇形圆心角∠MOM 1=2πr3=2π3， 所以MM 1=2OMsin ∠MOM 12=3√3，即彩绸最少要3√3． 故答案为：3√3．16．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ﹣2c cos B ＝c ，则角C 的取值范围是 （π6，π4） ．【分析】由余弦定理化简已知等式可得b 2＝c 2+ac ，根据余弦定理可得{(c 2+ac)+c 2−a 2＞0a 2+c 2−(c 2+ac)＞0(c 2+ac)+a 2−c 2＞0，解得1＜ac ＜2，由余弦定理得cos C =12√1+ac ，可得√22＜cosC ＜√32，结合范围0＜C ＜π2，即可求解C 的取值范围． 解：∵a ﹣2c cos B ＝c ，∴由余弦定理可化为a −2c ⋅a 2+c 2−b 22ac=c ，即b 2＝c 2+ac ．∵根据△ABC 是锐角三角形，得{cosA ＞0cosB ＞0cosC ＞0，∴根据余弦定理，得{b 2+c 2−a 2＞0a 2+c 2−b 2＞0b 2+a 2−c 2＞0，即{(c 2+ac)+c 2−a 2＞0a 2+c 2−(c 2+ac)＞0(c 2+ac)+a 2−c 2＞0，∴解得1＜ac ＜2，∵由余弦定理得：cosC =a 2+b 2−c 22ab =a 2+ac 2ab =a+c 2b =12√(a+c)2b2=12√(a+c)2c 2+ac=12√a+c c =12√1+ac， ∴√22＜cosC ＜√32， ∵0＜C ＜π2，∴π6＜C ＜π4，即角C 的取值范围是（π6，π4）．故答案为：（π6，π4）．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =2a n +n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出． （2）利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 解：（1）设数列{a n }公差为d ， ∵a 1，a 3，a 9成等比数列， ∴a 32=a 1a 9，∴（1+2d ）2＝1×（1+8d ）． ∴d ＝0（舍）或d ＝1， ∴a n ＝n ．（2）令b n =2a n +n =2n +n ；S n ＝b 1+b 2+b 3+…+b n ＝（21+1）+（22+2）+（23+3）+…+（2n +n ）＝（21+22+…+2n）+（1+2+3+…+n）=2(1−2n)1−2+n(n+1)2=2n+1−2+n(n+1)2，S n=2n+1−2+n(n+1)2．18．已知△ABC的顶点C在直线3x﹣y＝0上，顶点A、B的坐标分别为（4，2），（0，5）．（Ⅰ）求过点A且在x，y轴上的截距相等的直线方程；（Ⅱ）若△ABC的面积为10，求顶点C的坐标．【分析】（Ⅰ）分点A且在x，y轴上的截距等于零和不等于零两种情况，分别用点斜式求得所求直线的直线方程．（Ⅱ）设C（x0，3x0），先求出AB所在的直线方程，再顶点C到直线AB的距离d，由S△ABC=12|AB|•d＝10，求得x0的值，可得顶点C的坐标．解：（Ⅰ）当所求直线过原点时，k=12，∴y=12x，即x﹣2y＝0；当截距不为0时，k＝﹣1，∴y﹣2＝﹣（x﹣4），即x+y﹣6＝0．∴所求直线方程为x﹣2y＝0或x+y﹣6＝0．（Ⅱ）由顶点C在直线3x﹣y＝0上，可设C（x0，3x0），可求直线AB的方程为3x+4y﹣20＝0，则顶点C到直线AB的距离d=|3x0+4×3x0−20|√32+42=|3x0﹣4|，且|AB|=√42+(2−5)2=5，∴S△ABC=12|AB|•d＝10，即|3x0﹣4|＝4，∴x0＝0或x0=83，故顶点C的坐标为（0，0）或（83，8）．19．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m长造价40元，两侧墙砌砖，每1m长造价45元，（1）求该仓库面积S的最大值（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶．顶部每1m2造价20元，求仓库面积S的最大值，并求出此时正面铁栅应设计为多长？【分析】（1）设铁栅长x，一侧砌墙长y，根据基本不等式求出xy的最大值即可；（2）根据基本不等式求出xy的范围，得出结论．解：（1）设铁栅长为x（x＞0）米，一侧砖墙长为y（y＞0）米，则仓库面积S＝xy，由题意可得：40x+2×45y＝3200，∴4x+9y＝320，∵4x +9y ≥2√36xy =12√xy ，当且仅当4x ＝9y 时取等号， ∴320≥12√xy ， ∴xy ≤64009，即仓库的面积S 的最大值为64009． （2）由题意得：40x +2×45y +20xy ＝3200，由基本不等式得3200≥2√40x ⋅90y +20xy =120√xy +20xy =120√S +20S ， 当且仅当40x ＝90y 时取等号，则S +6√S −160≤0，解得：0＜√S ≤10，∴0＜S ≤100， 所以S 的最大值是100．此时4x ＝9y 且√xy =10，即x ＝15， 即铁栅的长是15米．20．在△ABC 中，点D 在BC 边上，∠CAD =π4，AC ＝7，cos ∠ADB =√210．（1）求sin ∠C 的值； （2）若BD ＝5，求AB 的长．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin ∠ADB 的值，由于∠C =∠ADB −π4，利用两角差的正弦函数公式即可计算求解sin ∠C 的值．（2）在△ACD 中，由正弦定理可求AD 的值，进而利用余弦定理可求AB 的值．解：（1）因为cos∠ADB =√210，所以sin∠ADB =1−(−√210)2=7√210，因为∠CAD =π4， 所以∠C =∠ADB −π4，所以sin∠C =sin(∠ADB −π4)=sin∠ADB ⋅cos π4−cos∠ADB ⋅sin π4=7√210×√22−√210×√22=35． （2）在△ACD 中，由ADsinC =ACsin∠ADC ，得：AD =AC⋅sinC sin∠ADC =7×357√210=3√2， 可得：AB 2=AD 2+DB 2−2AD ⋅DBcos∠ADB =18+25−2×3√2×5×√210=37，解得：AB =√37．21．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosB b+cosC c =2√3sinA3sinC． （1）求b 的值；（2）若cos B +√3sin B ＝2，求a +c 的取值范围． 【分析】（1）应用正弦、余弦定理化简cosB b+cosC c=2√3sinA3sinC，即可求出b 的值；（2）根据cos B +√3sin B ＝2与平方关系sin 2B +cos 2B ＝1，求得sin B 、cos B ，从而求得B 的值，再由正弦定理求得a ＝sin A ，c ＝sin C ；利用A +B +C ＝π求得C =2π3−A ，且0＜A ＜2π3； 再利用三角恒等变换求a +c ＝sin A +sin C 的取值范围． 解：（1）△ABC 中，cosB b+cosC c=2√3sinA3sinC，∴a 2+c 2−b 22abc +b 2+a 2−c 22abc=2√3a3c， ∴2a 22abc=2√3a3c， 解得b =√32；（2）∵cos B +√3sin B ＝2， ∴cos B ＝2−√3sin B ，∴sin 2B +cos 2B ＝sin 2B +(2−√3sinB)2=4sin 2B ﹣4√3sin B +4＝1， ∴4sin 2B ﹣4√3sin B +3＝0，解得sin B =√32；从而求得cos B =12， ∴B =π3； 由正弦定理得asinA=b sinB=c sinC=√32sinπ3=1，∴a ＝sin A ，c ＝sin C ；由A +B +C ＝π得A +C =2π3， ∴C =2π3−A ，且0＜A ＜2π3； ∴a +c ＝sin A +sin C ＝sin A +sin （2π3−A ）＝sin A +sin2π3cos A ﹣cos 2π3sin A=32sin A +√32cos A =√3sin （A +π6）， ∵0＜A ＜2π3，∴π6＜A +π6＜5π6， ∴12＜sin （A +π6）≤1， ∴√32＜√3sin （A +π6）≤√3，∴a +c 的取值范围是（√32，√3]． 22．若数列{a n }是公差为2的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n +b n ＝nb n +1． （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n }满足c n =a n +1b n+1，数列{c n }的前n 项和为T n ，若不等式（﹣1）nλ＜T n +n2n−1对一切n ∈一、选择题*，求实数λ的取值范围．【分析】（I ）数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n +b n ＝nb n +1．可得a 1+1＝2，解得a 1．利用等差数列的通项公式可得a n ．可得2nb n ＝nb n +1，化为2b n ＝b n +1，利用等比数列的通项公式可得b n ．（Ⅱ）设数列{c n }满足c n =a n+1bn+1=2n 2n =n2n−1，利用“错位相减法”可得数列{c n }的前n 项和为T n ，再利用数列的单调性与分类讨论即可得出． 解：（I ）∵数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n +b n ＝nb n +1． ∴a 1+1＝2，解得a 1＝1．又数列{a n }是公差为2的等差数列， ∴a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1． ∴2nb n ＝nb n +1，化为2b n ＝b n +1， ∴数列{b n }是等比数列，公比为2．∴b n ＝2n ﹣1．（Ⅱ）设数列{c n }满足c n =a n+1bn+1=2n 2n =n2n−1， 数列{c n }的前n 项和为T n ＝1+22+322+⋯+n2n−1， ∴12T n =12+22+⋯+n−12+n 2，∴12T n =1+12+122+⋯+12n−1−n2n =1−12n1−12−n2n =2−n+22n ， ∴T n ＝4−n+22n−1． 不等式（﹣1）n λ＜T n +n2n−1，化为：（﹣1）nλ＜4−22n−1，n ＝2k （k ∈N *）时，λ＜4−22n−1，∴λ＜3．n ＝2k ﹣1（k ∈N *）时，﹣λ＜4−22n−1，∴λ＞﹣2．综上可得：实数λ的取值范围是（﹣2，3）．。