八年级上册数学《实数》平方根和立方根_知识点整理
北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题
知识点一、【平方根】
如果一个数x的平方等于a,那么这个数x就叫做a的平方根；即：当x2 a(a 0)时，我们称x是a的平方根，记做：x ...a (a 0)。因此：
1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
2、当a>0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：
x .. a。
3、当a v0时，即a为负数时，它不存在平方根。
例1： (1) ______ 的平方是64,所以64的平方根是 _________ 。
(2) _______ 的平方根是它本身。
(3) _____________________________ 若.x的平方根是立，则x= ; . 16的平方根是 ______________________________________ 。
(4)当x ________________ 时，3-2x有意义。
(5) ______________________________________________ 一个正数的平方根分别是m和叶4,则m的值是 ______________________________________ ，这个正数是_______ 。知识点二、【算术平方根】：
1、如果一个正数x的平方等于a,即x2a，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记
为：“订”，读作，根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。
2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：,a 0(a 0)。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反
4.1平方根(八大题型)(解析版) 八年级数学上学期
八年级上册数学《第4章实数》
4.1平方根
◆1、平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
◆2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根.
◆3、平方根的表示方法：正数a正的平方根可以表示为a，正数a的负的平方根，可以表示为-a.正数a的平方根可以用±a表示，读作“正、负根号a”．
◆4、平方根的性质：
①正数有两个平方根，它们互为相反数；
②0的平方根是0；
③负数没有平方根.
◆1、算术平方根的定义：
我们把正数a的正的平方根叫做a的算术平方根．a的算术平方根记作：a，读作:“根号a”.
规定：0的算术平方根是0.记作:0=0.
◆2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性.
①被开方数一定是非负数，即a≥0.
②一个非负数的算术平方根也是非负数，即a≥0.
◆3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根.
◆4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
【注意】a实际上省略了2中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此a也读作：“二次根号a”.
◆5、算术平方根与平方根的联系和区别：
联系：（1）包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
（2）只有非负数才有平方根和算术平方根.
（3）0的平方根是0，算术平方根也是0.
苏教版八年级上册数学[《实数》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)
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苏教版八年级上册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
《实数》全章复习与巩固——知识讲解（基础）
【学习目标】
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
2.理解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求非负数的平方根，会用立方运算求数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3.了解无理数和实数的概念，理解实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
5.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度，体会近似数在生活中的实际应用.
【知识网络】
【要点梳理】
【389318 实数复习，知识要点】
要点一：平方根和立方根
类型
项目
平方根立方根
被开方数非负数任意实数
符号表示a
3a
性质一个正数有两个平方根，
且互为相反数；
零的平方根为零；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
要点二：实数
有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 ①按定义分： 实数⎧⎨
⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数
②按与0的大小关系分：
实数0⎧⎧⎨
⎪⎩⎪⎪
⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数
要点诠释：
（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…
北师大版八年级上册数学第二章实数知识点总结及经典习题(无答案)
第二章 实数
一、实数的概念及分类
1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3
π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数值，如sin60o 等
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
3、倒数
如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算
三、平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特
别地，0的算术平方根是0。
初二上学期数学《平方根及立方根》知识点
初二上学期数学《平方根及立方根》知识点
平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。0的平方根是0。负数在实数范围内不能开平方，只有在正数范围内，才可以开平方根。例如：-1的平方根为i，-9的平方根为3i。
平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种。
平方根和算术平方根都只有非负数才有。
被开方数是乘方运算里的幂。
求平方根可通过逆运算平方来求。
开平方：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。
若x的平方等于a，那么x就叫做a的平方根，即√a=x
立方根
知识点：
1、立方根的概念：如果一个数x的立方等于a，即x3=a，则这个数x叫做a的立方根.如(-13111)=-，所以-是-的立方根。
2、立方根的的表达形式：一个数a的立方根记作“a”，读作“三次根号a”，a是被开方数，3是根指数。如512551255=()3，则的立方根是，记作=。273273273
3、立方根的*质：任何数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
八年级上册数学《实数》平方根和立方根 知识点整理
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平方根和立方根
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一、本节学习指导
平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，也是中考的必考内容之一，此节我们要掌握平方根和立方根的概念。本节有配套免费学习视频。
二、知识要点
1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，
)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此：
① 当0=a 时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
② 当0>a 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
③ 当0
2、算术平方根
（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2
，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±
。
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例1 求下列各数的算术平方根 （1）64；（2）2
)3(-；（3）49
15
1
. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.
初二数学课件-湘教版八年级数学上册第1章《实数》复习课件 最新
a
3
a”，读
三实 数
自然数 有理数
实数 非负数(有理数) 负数(有理数) 分数 正整数 零
(有限小数或无限循环小数)
无理数
(无限不循环小数)
实数和数轴
每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示. 数轴上每一个点都表示唯一的一个实数. 实数和数轴上的点一一对应
4
x
-1 D
B
-2 -3 -4
坐标平移和轴反射 x’=x+3 y’=y 平移公式(translation formulas) x’= -x y’=y y 轴的轴反射公式(formulas of reflection with y-axis )
比较两个含有二次根式的数的大小的方法：
（1）平方法 （2）差值法 （3）比值法 （4）倒数法
四 平面直角坐标系
一根叫横轴(abscissa axis,通 常称为 x 轴) 另一根叫纵轴 (ordinate axis， 通常称为 y 轴) 它们的交点O是这两根数轴的原点 这样建立的两根数轴称为平面直角 坐标系(orthogonal coordinate system),记作O x y
义务教育课程标准实验教科书
第1章 小结与复习
湖南教育出版社
一，平方根
如果r 是正数a 的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个： r与- r. 我们把的正平方根叫做的算术平方根 (arithmetic square root),记作 a ，读作“根号 a”；把 a的负平方根记作 a . 零的平方根有且只有一个：0. 由于同号两数相乘得正数，所以：负数没有平方根. 求一个非负数的平方根，叫做开平方(extraction of square root).
专题14-10 《实数》全章复习与巩固(知识讲解)-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项
专题14.10 《实数》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 【要点梳理】
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数
按与0的大小关系分：
实数0⎧⎧⎨⎪
⎩⎪⎪
⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数
特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其
中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2
⎧⎨
⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数
②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形
式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； （2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
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《实数》全章复习与巩固——知识讲解（提高）
【学习目标】
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
2.理了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求非负数的平方根，会用立方运算求数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
5.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度，体会近似数在生活中的实际应用.
【知识网络】
【要点梳理】
【389318 实数复习，知识要点】
要点一：平方根和立方根
类型
项目
平方根立方根
被开方数非负数任意实数
符号表示a
3a
性质一个正数有两个平方根，
且互为相反数；
零的平方根为零；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
要点二：实数
有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 ①按定义分： 实数⎧⎨
⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数
②按与0的大小关系分：
实数0⎧⎧⎨
⎪⎩⎪⎪
⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数
要点诠释：
（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…
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《实数和二次根式》全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
5.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.
6.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.
7.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、平方根和立方根
要点二、无理数与实数
有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类
实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪
⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩
正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数
负无理数 要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形
式.
2.实数与数轴上的点一 一对应
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
华师大版-数学-八年级上册-《数的开方》知识点
实数 《数的开方》知识点
1．平方根和算术平方根的概念及其性质：
（1）概念：如果2x a =，那么x 是a
的平方根，记作：
a 的算术平
方根；
（2）性质：①当a ≥0
；当a ＜0
②2＝a
a =。
（3）开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，期中a 叫做被开方数.
2．立方根的概念及其性质：
（1）概念：若3x a =，那么x 是a
；
（2
a =；
②3a =；
（3）开立方：求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方，期中a 叫做被开方数.
3．有理数、无理数概念：
有理数：任何有限小数和无限循环小数都是有理数；
无理数：无限不循环小数叫做无理数.
4．实数的概念及其分类：
（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；
（2）分类：
a 按定义分
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数实数
b 按大小分:
⎪⎩⎪⎨⎧负实数零正实数
在数轴上表示的两个实数,右边的数总比左边的数大.
5．与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的.
北师大版八年级上册第二章 《实数》(平方根、立方根、估算)学案
实数（平方根、立方根、估算）
教学目标
1.定义及性质（平方根、算术平方根、立方根）
2.平方（立方）、开平方（开立方）；
3.估算
重点难点
1.定义及性质（平方根、算术平方根、立方根）
2.平方（立方）、开平方（开立方）；
3.估算
知识解析
知识要点：
一、无理数
概念：无限不循环小数叫无理数。
满足条件：（1）小数 （2）是无限小数 （3）不循环
二、平方根
1．算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，
读作“根号a ”，a 被称为被开方数。
性质：（1）正数有一个算术平方根 （2）0的算术平方根是0
（3）负数没有算术平方根 （4
0a ≥）是一个非负数
2．平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个数x 就叫做a 的平方根。
性质：（1）正数有两个平方根，它们互为相反数
（2）0的平方根为0
（3）负数没有平方根
3．开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数，开平方时，被开方数a 必须
是非负数。
注：()20a a =≥
()()00a a a a a ≥⎧⎪==⎨-<⎪⎩
三、立方根
1．立方根：如果一个数x 的立方等于a ，即3x a =，那么这个数x 就叫做a 的立方根。
性质：（1）正数有一个正的立方根
（2）负数有一个负的立方根
（3）0的立方根是0
2．开立方的概念：求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方，其中a 叫做被开方数。开立
方与立方互为逆运算。开立方时，被开方数可以是正数也可以是负数。
典例解析
考点一：定义及基本性质
湘教版八年级数学第3章《实数》知识清单
实数知识点总结
3.1平方根
知识点1 平方根及其性质
1、定义
如果有一个数x,使得x²=a,那么我们把x叫作a的一个平方根，或者二次方根.这就是说，若x²=a,则x是a的一个平方根。
表示方法：一个非负数a的平方根记作±√a,读作“正、负根号a”，其中a叫作被开方数。
例：49的平方根是±7，表示方法：±√49 = ±7 .
2.平方根的性质：
(1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
(2)0的平方根是0;
(3)负数没有平方根。
3.开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方。
常用平方数（熟记）
12=1 22=4 32=9 42=16 52=25
62=36 72=49 82=64 92=81 102=100
112=121 122=144 132=169 142=196 152=225
162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 302=900 402=1600 502=2500 602=3600 702=4900 802=6400 152=225 252=625 352=1225 452=2025 552=3025 652=4225 752=5625 852=7225 952=9025
知识点2 算术平方根及其性质
1.定义：正数a的正平方根叫作a的算术平方根.
规定：0的算术平方根是0.
表示方法：非负数a的算术平方根记作√a,读作“根号a”.
特别解读：√a
(1)算术平方根√a具有双重非负性：
①根号内的数a是非负数，即a≥0;
②算术平方根√a是非负数，即√a≥0
八年级数学上册第二章实数复习点整理
八年级数学上册第二章实数复习点整理
八年级数学上册第二章实数复习点整理
一实数的组成
实数又可分为正实数，零，负实数
2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应
二相反数、绝对值、倒数
1.相反数：只有符号不同的两个数称为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零.性质：互为相反数的两个数之和为0。
2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为
3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为.0没有倒数。
4.相反数是它本身的数只有0,;绝对值是它本身的数是非负数(0和正数);倒数是它本身的数是±1.
三、平方根与立方根
1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作(a≥0)
特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。
正数a的正的平方根也叫做a的.算术平方根，零的算术平方根还是零。
开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。数a的立方根用表示。
任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。
开立方：求一个数的立方根(三次方根)的运算，叫做开立方。
四实数的运算
1.有理数的加法法则：
a)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;
b)异号两数相加。绝对值相等时和为0;绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.任何数与零相加等于原数。
2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
北师大版八年级数学上册第二章平实数第6节《实数》PPT
分数
∵ 12=1, 22=4
∴ 1 < < 2
∵ 1.42=1.96, 1.52=2.25
∴ 1.4 < < 1.5
∵ 1.412=1.9881, 1.422=2.0164
∴ 1.41 < < 1.42
∵ 1.4142=1.9881, 1.4152=2.002225
四边形ABCD的面积=AB×AD =
(2)由已知AB=5-2=3,AD=
综合运用
解:(1)过点B作BD⊥x轴于点D.
D
(3)四边形OABC的面积=OC×BD =
则
所以
),
0
,
3
(
),
3
,
3
2
(
,
)
3
,
0
(
2
C
B
A
点的坐标是
）所得四边形的四个顶
（
O(0,0)
t≈2×3.14×0.22
t≈1.4 （s）
0.12345678910111213 …〔小数部分有相继的正整数组成〕
有理数和无理数统称为实数。
实数
有理数
无理数
实数
有理数
正有理数
负有理数
零
无理数
正无理数
负无理数
有理数和无理数统称为实数。
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平方根和立方根
一、知识要点
1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此：
① 当0=a 时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
② 当0>a 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。