微积分课件1-2数列的极限

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问题: 当 n 无限增大时,x n 是否无限接近于某 一确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察:
当 n 无限增大时 , xn 1
( 1) n
n1
无限接近于
1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
x n 1 ( 1)
n 1
1 n
第二节 数列的极限
一 数列极限的定义
二 收敛数列的性质 三 小节与思考判断题
一、数列极限的定义
1.数列
定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的 项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n }.
xn 0 q
取N [
, n ln q ln ,
n
ln ln q
,
ln ln q
],
n
则当 n N 时 ,
就有 q
n
0 ,
lim q 0 .
n
二、收敛数列的性质
1.收敛数列的唯一性 定理1 收敛的数列只有一个极限. 证 设 lim x n a , 又 lim x n b , 由定义, n n
n1
,
发散
因为它有两个子列
1, 1, 1, 1,
1， 1， 1，
分别收敛于1和-1两个不同的数值.
三、小结与思考判断题
数列极限：极限思想，精确定义， 几何意义. 收敛数列的性质: 有界性, 唯一性,
保号性.
收敛数列与子数列的关系.
lim x n a , 或 x n a ( n )
n
如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 不等式 x n a 刻划了 x n 与 a 的无限接近; 1.
2 . N 与任意给定的正数 越小 ， N 越大 .
有关 .一般地 ，
N 定义：
lim x n a
且 lim x n a , 那么 a 0 ( 或 a 0 ).
数列的子数列 子数列(子列):在数列{ x n } 中任意抽取无限多项, 并保持这些项在原数列中的先后次序得到的数列, 称为原数列的子列. 记作 { x n }.
k
即
{ x n }, { x n }, { x n } , { x n },
则 N , 使得当 n N 时恒有
x n a 1,
即有 a 1 x n a 1 .
记 M max{ x 1 , , x N , a 1 , a 1 },
则对一切自然数
n , 皆有 x n M , 故 x n 有界 .
注1
注2
有界性是数列收敛的必要条件.
而 x n 无休止地反复取1,
成立,
1 2
,a
1 2
2 ), 区间长度为1.
1两个数,
不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上, { x n } 是有界的, 但却发散.
2.收敛数列的有界性 定理1 收敛的数列必定有界. 证 设 lim x n a , 由定义, 取 1 ,
n
x n b x n a 2 .
上式仅当 a b 时才能成立 .
故收敛数列极限唯一.
例4 证
证明数列 x n ( 1 )
设 lim x n a ,
n
n1
是发散的 .
由定义, 对于
1
1 2
,
则 N , 使得当 n N 时, 有 x n a 即当 n N 时, x n ( a
则当 n N 时 ,
1
即 lim
n ( 1) n
n1
n
n
1.
例2 证明 lim
n1
证
任给
n1 2 n1 xn 1 1 n1 n1
n
1.
0 , 要 x n 1 , 只要 , 或 n 1, n1 2 所以, 取 N [ 1 ], 则当 n N 时 , n1 n1 即 lim 1. 就有 1 n n 1 n1

1 n
给定
1 100
, 由
1 n

1 100
, 只要 n 100 时 , 有 x n 1 1 1000 1 10000
1 100
,
给定
1 1000
, 1
只要 n 1000 时 ,
有 xn 1
,
给定
10000
给定
, 只要 n 10000 时 , 有 x n 1
,
例如
2 , 4 ,8 , , 2 , ;
n
{2 }
{ 1 2
n
n
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
}
1 , 1 ,1 , , ( 1 )
n1
, ;
n 1
{( 1)
{
n1
}
n1
1 4 n ( 1) 2 , , , , 2 3 n
3, 3 3 , ,
也收敛于 a .
证 设数列 { x n } 是数列 { x n }的任一子数列.
k
lim x n a , 由定义， 0 , N , 使得
n
当 n N 时恒有 | x n a |
;
取 K N , 则当 k K 时，有 n k n K n N N .
, ;
3
n ( 1) n
}
3

3 ,
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x 1 , x 2 , , x n , .
x3
x1
x2 x4
xn
2.数列是整标函数 x n f ( n ).
2.数列的极限
观察数列
{1
( 1) n
n1
} 当 n 时的变化趋势
| x n a | .
这就证明了
lim x n a
n
k
推论1 如果数列{ x n } 有一个子列发散,则数列{ x n } 发散. 推论2 如果数列{ x n } 有两个子数列不同的极限则 数列 { x n } 发散.
例如 数列
x n ( 1)
n1
.
1 , 1 , 1 , 1 ,1 , , ( 1 )
(至多只有 N 个) 落在其外.
注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证明 lim
证
任给
n ( 1)
n1
n
1.
1
1 n
xn 1
n n1 n ( 1)
n
1 n
1
0 , 要 x n 1 , 只要
1
, 或n

,
就有
所以, 取 N [ ], n1 n ( 1)
1 2 3 k
其中 n 1 n 2 n k n k 1 , n k k .
2 3 例如 自然数列 { x n } { n }, 即 1，，
而 { x n } { 2 k } 就是 { n }的子数列 .
k
4.收敛数列与其子列的关系
定理4
如果数列 { x n }收敛于 a , 那么它的任意子列
无界数列必定发散. 数列 x n 2 .
n
注3
有界数列不一定收敛.
数列 x n ( 1) .
n
3.收敛数列的保号性
定理3 设 lim x n a , 且 a 0 ( or a 0 ), 那么存在
n
正整数 N 0 , 当 n N 时，都有 x n 0 ( x n 0 ).
n
0 , N 0 , 使 n N 时 ,恒有 x n a .
其中
: 每一个或任给的;
: 至少有一个或存在
.
几何解释:
a
x 2 x1
x N 1
2
a
x N 2
a
x3
x
当 n N 时 , 所有的点 只有有限个
x n 都落在 ( a , a ) 内 ,
2
2
注意：用定义证明数列极限存在时，关键是任意 给定任给 0 ,寻找 N ,但不是求最小的N .
例3 证明 lim q 0 , 其中 q 1 .
n n
证
任给
n 0 , 若 q 0 , 则 lim q lim 0 0 ; n
n
n
若 0 q 1,
0 , 只要 n N ( [ ]) 时 , 有 x n 1 成立 .
1
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小)总存在正数 N ，使得对于 n N 时的一切 x n 不等式 | x a | 都成立, 那末就称常数 a n 为数列 x n 的极限，或者称数列收敛于 a ,记为
0 , N 1 , N 2 . 使得 当 n N 1 时, 恒有 x n a ;
当 n N 2 时恒有 x n b
; 取 N max N 1 , N 2 ,
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则当 n N 时, 有
a b ( xn b) ( xn a )
证 不妨设 a 0 , 对
a
, a 2 0. ,
2
则 N ,使得当 n N 时恒有 | x n a | 即有 a