2015年江苏高考南通密卷二(南通市数学学科基地命题)
2015届江苏高考南通市高考模拟密卷(三)(南通市数学学科基地命题)
2015届江苏高考南通市高考模拟密卷（三）(南通市数学学科基地命题)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．已知集合{}2|20M x x x =-≥,{}|1N x x =≤，则R M N （ ）ð= .2．如果1a bi -+与-b i +互为共轭复数（,a b ∈R ，i 为虚数单位）， 则||a bi += ．3．如右图，该程序运行后输出的结果为 .4．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，1AC =．若sin B ＝13，则AM ＝________.5．某单位有,,A B C 三部门，其人数比例为3∶4∶5，现欲用分层抽样方法抽调n 名志愿者支援西部大开发 ．若在A 部门恰好选出了6名志愿者，那么n ＝________． 6．函数()2sin()(0,f x x ωϕω=+>且||)2πϕ<的部分图像如图所示,则(0)f 的值为 .7．连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a ，b ，则函数2()f x ax bx =-在1x =处取得最值的概率是 .8．在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，已知12128,2,1,2a a b b =-=-==，那么满足n n a b =的n 的所有取值构成的集合是 .9．已知如图所示的多面体EF ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，四边形BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝3π.若BF ＝BD＝2，则多面体的体积 ．10．如果关于x 的方程23ax x +=有两个实数解，那么实数a 的值是 ． 11．设()()2,0,1,0.x a x f x x a x x⎧-⎪=⎨++>⎪⎩… 若()0f 是()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为 .12．已知椭圆2221(3x y a a +=>的中心、右焦点、右顶点依次为,,,O F G直线2x =x 轴 交于H 点，则FG OH取得最大值时a 的值为 .FEDCBA13．在四边形ABCD 中，2AB =，AD BC =，BA BC BABC+3BD BD，则四边形ABCD 的面积是 ．14．()f x 是定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，[)[)12log (1),0,1()13,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩ ，则关于x 的函数()()(10)F x f x a a =+-<<的所有零点之和为 （用a 表示） 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）如图，在xoy 平面上，点(1,0)A ，点B 在单位圆上，AOB θ∠=（0θπ<<）（1）若点34(,)55B -，求tan()4πθ+的值；（2）若OA OB OC +=，1813OB OC ⋅=，求cos()3πθ-.16．（本小题满分14分）在四棱锥P ABC D -中,PAC ⊥平面平面ABC D ,ABC ∆是边长为4的正三角形,AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点,又120ADC ∠=,点N 在线段PB 上,且13PN NB =. (1)求证：PA BD ⊥； (2)求证：//MN 平面PDC .17.（本小题满分14分）2014年8月以“分享青春，共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举行， 为此某商店经销一种青奥会纪念徽章，每枚徽章的成本为30元，并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴a 元（a 为常数，25a ≤≤），设每枚徽章的售价为x 元（3541x ≤≤）.根据市场调查，日销售量与x e （e 为自然对数的底数）成反比例.已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚. （1）求该商店的日利润()L x 与每枚徽章的售价x 的函数关系式；（2）当每枚徽章的售价为多少元时，该商店的日利润()L x 最大？并求出()L x 的最大值.CBP18．(本小题满分16分) 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点)． （1）若A 是椭圆E 的上顶点，12,F F 分别是左右焦点，直线12,AF AF 分别交椭圆于,B C ，直线BO 交AC于D ，求证:3:5ABD ABC S S ∆∆=；（2）若12,A A 分别是椭圆E 的左右顶点，动点M 满足212MA A A ⊥，且1MA 交椭圆E 于点P ．求证：OP OM ⋅为定值.19.（本小题满分16分）已知函数21()ln 2f x ax x =+，()g x bx =-，设()()()h x f x g x =-.（1）若()f x 在x =处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数h (x )的单调区间； （2）若0a =时函数h (x )有两个不同的零点x 1,x 2.①求b 的取值范围；②求证：1221x x e >.20.（本小题满分16分）若数列{}n C1n c +，②存在常数(M M 与n 无关），使n c M ≤.则称数列{}n c 是“和谐数列”.（1）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且442,30a S ==，求证：数列{}n S 是“和谐数列”； （2）设{}n a 是各项为正数，公比为q 的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，求证：数列{}n S 是“和谐数列”的充要条件为01q <<.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ．若AB = 2 BC ， 求证：A C ∠=∠．B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵21a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中,a b 均为实数，若点(3,1)A -在矩阵M 的变换作用下得到点(3,5)B ，求矩阵M 的特征值.C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线1325: 45x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）和曲线22:sin 2cos C ρθθ=相交于A B 、两点，求AB 中点的直角坐标．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知实数a ，b ，c ，d 满足3a b c d +++=，22222365a b c d +++=，求a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．（本小题满分10分）甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X ． （1）求6X =的概率；（2）求X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在数学上，常用符号来表示算式，如记0ni i a =∑=0123n a a a a a +++++，其中i N ∈，n N +∈.（1）若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，且00a =，求证：()0nii n i a C ==∑12n n a -⋅；（2）若22201221(1)nknn k x a a x a x a x =+=+++∑，20n n i i b a ==∑，记11[(1)]niin i n i d b C ==+-∑，且不等式(1)n nt d b ⋅-≤恒成立，求实数t 的取值范围.2015年高考模拟试卷(3)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．(]0,1； 2； 3．1027； 由流程图，b 和a 的值依次为1,1;3,2;10,3;1027,4，结束循环. 45．24；6．7112； 8．{}3,5 ；【解析】 由已知得，1614,2n n n a n b -=-=，令n n a b =，可得16142n n --=，解得3n =或5，所以满足n n a b =的n 的所有取值构成的集合是{}3,5. 9【解析】如图，连接AC ，AC ∩BD ＝O .因为四边形ABCD 是菱形，所以，AC ⊥BD ，又因为ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以，ED ⊥AC .因为，ED ，BD ⊂平面BDEF ，且ED ∩BD ＝D ，所以，AC ⊥平面BDEF ，所以，AO 为四棱锥A -BDEF 的高．又因为，四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝3π，所以，△ABD 为等边三角形．又因为，BF ＝BD ＝2，所以，AD ＝2，AOS四边形BDEF ＝4，所以，V 四棱锥A -BDEF＝10．2± ； 11．[]0,2； 12．2； 13．；【解析】 设BA a BA=，BC b BC=，BD c BD=，则|a |=|b |=|c |=1，a +b ，所以，得cos<a ,b >=12,又由AD BC =，所以，可得图形为有一个3π角的菱形，所以，其面积22S =⨯=. 14．112a⎛⎫- ⎪⎝⎭；【解析】 根据对称性，作出R 上的函数图象，由()()F x f x a =+，所以，零点就是()f x 与()0,1y a =-∈交点的横坐标，共有5个交点，根据对称性，函数()f x 的图象与()0,1y a =-∈的交点在()2,4之间的交点关于3x =对称，所以，126x x +=，在()()5,43,2----之间的两个交点关于3x =-对称，所以，346x x +=-，设(]1,0x ∈-，则[)0,1x -∈，所以，12()log (1)()f x x f x -=-+=-，即12()log (1)f x x =--+，由()0f x a +=，所以，12log (1)0x a --++=，即5112a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，12345112ax x x x x ⎛⎫++++=- ⎪⎝⎭.二、解答题OFEDCBA15. （1）由于34(,)55B -，AOB θ∠=，所以3cos 5θ=-，4sin 5θ= ，所以4tan 3θ=-， 所以1tan 1tan()41tan 7πθθθ++==-- ；（2）由于(1,0)OA =,(cos ,sin )OB θθ=,所以(1cos ,sin )OC OA OB θθ=+=+,22218cos (1cos )sin cos cos sin 13OC OB θθθθθθ⋅=⨯++=++=. 所以5cos 13θ=，所以12sin 13θ=，所以cos()coscos sinsin 333πππθθθ-=+=16．（1）因为ABC ∆是正三角形,M 是AC 中点, 所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥, 又PAC ABCD ⊥平面平面,,PACABCD AC =平面平面BD ⊂平面ABCD ,,BD AC ⊥所以BD ⊥平面PAC .又PA ⊂平面PAC ,所以.PA BD ⊥.(2)在正三角形ABC 中,BM =在ACD 中，因为M 为AC 中点, DM AC ⊥，所以AD CD =, 因为120ADC ∠=,所以60ADM ∠=. 所以, DM =,所以:3:1BM MD =, 所以::BN NP BM MD =,所以//MN PD . 又MN ⊄平面PDC ,PD ⊂平面PDC ,所 以//MN 平面PDC . 17. （1）设日销售量为x k e ，则4010k e =， 所以4010k e =，则日销售量为4010x e e 枚.每枚徽章的售价为x 元时，每枚徽章的利润为(30)x a --元，则日利润40401030()(30)10(3541)x xe x aL x x a e x e e --=--=≤≤.（2）4031()10(3541)x a xL x e x e +-'=≤≤.①当24a ≤≤时，333135a ≤+≤，而3541x ≤≤， 所以()0,()L x L x '≤在[]35,41上单调递减，CBP则当35x =时，()L x 取得最大值为510(5)a e -. ②当45a <≤时，353136a <+≤，令()0L x '=，得31x a =+， 当[]35,31x a ∈+时，()0,()L x L x '>在[]35,31a +上单调递增； 当(]31,41x a ∈+时，()0,()L x L x '<在(]31,41a +上单调递减. 所以当31x a =+时，()L x 取得最大值为910a e -.综上，当24a ≤≤时，每枚徽章的售价为35元时，该商店的日利润()L x 最大,5max ()10(5)L x a e =-; 当45a <≤时，每枚徽章的售价为（31a +）元时，该商店的日利润()L x 最大，9max ()10a L x e -= . 18. （1）易得22211,a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以,椭圆E 的方程为22142x y +=；所以，12(A F F ，所以，直线:AB y x =:AC y x =- 将y x =230x +=，所以(B，同理可得C ， 所以直线BO 为14y x =，联立12y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，得交点D ，所以，88,53AD AC ==，即:3:5AD AC =所以，:3:5ABDABCSS=；（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， 易得直线1MA 的方程为0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=,得()2222000140822y y y x x +++-=，由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以()()2220000022220000284888 (2 )48888y y y y OP OM y y y y y ----⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪++++⎝⎭，，. 19. (1)因为1()f x ax x'=+，所以(1)1f a '=+, 由(1)(1)2f g '=--可得a =b-3. 又因为()f x在x =处取得极值，所以0f '=， 所以a = -2,b =1 . 所以2()ln h x x x x =-++，其定义域为（0，+∞）2121(21)(1)()21=x x x x h x x x x x-++-+-'=-++=令()0h x '=得121,12x x =-=，当x ∈（0,1）时，()>0h x '，当x ∈（1,+∞）()<0h x '，所以函数h (x )在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+∞）上单调减. （2）当0a =时，()ln h x x bx =+，其定义域为（0，+∞）. ①由()0h x =得ln -x b x =，记ln ()x x x ϕ=-，则2ln 1()x x x ϕ-'=, 所以ln ()xx xϕ=-在(0,)e 单调减，在(,)e +∞单调增， 所以当x e =时ln ()x x x ϕ=-取得最小值1e-. 又(1)0ϕ=，所以(0,1)x ∈时()0x ϕ>，而(1,)x ∈+∞时()0x ϕ<,所以b 的取值范围是（1e -，0）.②由题意得1122ln 0,ln 0x bx x bx +=+=,所以12122121ln ()0,ln ln ()0x x b x x x x b x x ++=-+-=, 所以12122121ln ln ln x x x x x x x x +=--，不妨设x 1<x 2,要证212x x e > , 只需要证12122121ln (ln ln )2x x x x x x x x +=->-.即证2121212()ln ln x x x x x x -->+，设21(1)xt t x =>,则2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++, 所以22214(1)()0(1)(1)t F t t t t t -'=-=>++, 所以函数()F t 在（1，+∞）上单调增，而(1)0F =， 所以()0F t >即2(1)ln 1t t t ->+, 所以212x x e > .20. （1）设公比为q ，则3411414161(1)21a a q a a q q s q ⎧==⎧⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩-⎩, 所以51322n n s -=-.(32s =532(22n n --+4223222n -≤+214411)322n n S +--=-=.且513232.2n n S -=-<即存在常数32,所以，数列{}n S 是“和谐数列” . （2）充分性设等比数列{}n a 的公比q ，且0 1.q << 则1111(1)1111n n n a q a a q aS q q q q-==-<----. 令11a M q=-，则.n S M < 因为222222112()(1)(1)()(1)11n n n n n n n a aS S q q q q q q q ++++=--=--+--21222122111()(12)()(1)11n n n n a aq q q S q q++++<-+=-=-- 所以{}n S 是“和谐数列” 必要性等比数列{}n a 各项为正，且n S 是“和谐数列”.C因为0.n a > 所以，0.q >下面用反证法证明，1q <（1）当1,q =则1,n S na =因为10,a >所以，不存在M ，使1na M <对1n N -∈恒成立;当1q >，则111(1)111n n n a q a a S q q q q -==---- 所以，对于给定的正数M ，若11,11n a a q M q q ->-- 因为，1q >，所以，11log (1).q q n M a ->+ 即当11log (1)q q n M a ->+时，有n S M >. 所以，不存在常数M ，使.n S M ≤ 所以，0 1.q <<综上,数列{}n S 是“和谐数列”的充要条件为其公比为01q <<.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 连结OD ，BD ，因为AB 是圆O 的直径，所以902ADB AB OB ∠==o ，．由AB = 2 BC ，所以，AB OC =，因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o ．于是△ADB ≅△CDO ，所以，AD DC =所以，A C ∠=∠.B ．由条件可知233115a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以233,315a b ⨯-=⎧⎨-=⎩， 则3,2a b ==．矩阵的特征多项式为223()(2)(1)(2)(3)3421f λλλλλλλ--==-----=---- 令()0f λ=,得两个特征值分别为121,4λλ=-=．C. 将1C 化为直角坐标方程为4380x y --=将2C 化为直角坐标方程为22y x =将直线方程代入22y x =可得22380y y --=解之可得1232y y +=，124y y =-，所以，2212124128y y x x ++== 所以，中点坐标为341,416⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 由柯西不等式，得()2222111(236)()236b c d b c d ++++++≥， 即()2222236b c d b c d ++++≥．由条件，得()2253a a --≥，解得12a ≤≤== 时等号成立， 代入111,,36b c d ===时，max 2a =；211,,33b c d ===时，min 1a =， 所以a 的取值范围是[1,2]．22. （1）抛掷硬币正面向上、反面向上的概率都为12， ()323511156222216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）X 的分布列为:所以，1155934567.84161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 23. （1）设等差数列的通项公式为0n a a nd =+，其中d 为公差则()0n i i n i a C ==∑12012n n n n n a a C a C a C ++++01120()(2)n n n n n n n n a C C C d C C nC =++++++因为11k k n n kC nC --=所以122n nn n C C nC ++011111()n n n n n C C C ----=+++ 所以()0n i i n i a C ==∑1022n n a nd -⋅+⋅=12n n a -⋅.注：第（1）问也可以用倒序相加法证明.（2）令1x =，则223202(14)22222421n n n n i i a =-=++++==⋅--∑ 令1x =-，则20[(1)]0ni i i a =-=∑，所以20n n i i b a ==∑1(242)412n n =⋅-=- 根据已知条件可知，012233(41)(41)(41)(1)(41)n n n n n n n n nd C C C C C =--+---++-- 01223301234[(4)(4)(4)(4)][(1)]1n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+(14)(11)1(3)n n n =---+=-+，所以(3)1n n d =-+将41n n b =-、(3)1n n d =-+代入不等式(1)n n t d b ⋅-≤得，(3)41n n t ⋅-≤-当n 为偶数时，41()()33n n t ≤-，所以22415()()333t ≤-=； 当n 为奇数，41[()()]33n n t ≥--，所以1141[()()]133t ≥--=-； 综上所述，所以实数t 的取值范围是5[1,]3-.。
2015年江苏高考南通密卷六(南通数学学科基地命题)
2
12.在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c,且 2c cos B 2a b, 若 ABC 的面积为
S
3 c ，则 ab 的最小值为_________. 2
13. 若对任意的 x∈D，均有 f1(x)≤f(x)≤f2(x)成立，则称函数 f(x)为函数 f1(x)到函数 f2(x)在区间 D 上的“折中函数”．已知函数 f(x)＝(k－1)x－1，g(x)＝0，h(x)＝(x＋1)ln x，且 f(x)是 g(x)到 h(x)在区间[1,2e]上的“折中函数”，则实数 k 的取值集合为________． 14. 已知 m R, n R 并且 m+3n=1 则 me 3ne 的最小值__________ . 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.
m 3n
A, B, C 的对边分别是 a, b, c ， 15． (本小题满分 14 分)在 ABC 中， 已知向量 m (sin( C),cos C) ， ，且 m n sin 2 A ．
n (sin( B ),sin B) 2
（1）求 A； （2）若
c b 4 ，求 sinBsinC 的值. b c
16．(本小题满分 14 分)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， 侧棱 PD⊥底面 ABCD，PD＝DC，E 是 PC 的中点. ⑴求证：PA∥平面 BDE； ⑵求证：平面 BDE⊥平面 PBC.
17． （本小题满分 14 分） 如图是一块镀锌铁皮的边角料 ABCD ，其中 AB, CD, DA 都是线段， 曲线段 BC 是抛物线的一部分， 且点 B 是该抛物线的顶点，BA 所在直线是该抛物线的对称轴. AB 2 米，AD 3 米，AB AD ， 经测量， 点 C 到 AD, AB 的距离 CH , CR 的长均为 1 米． 现 要用这块边角料裁一个矩形 AEFG （其中点 F 在曲线段 BC 或线段 CD 上，点 E 在线段 AD 上，点 G 在线段 AB 上）. 设 BG 的长为 x 米，矩形 AEFG 的面积为 S 平方米. （1）将 S 表示为 x 的函数； （2）当 x 为多少米时， S 取得最大值，最大值是多少？ D
江苏省南通市2015届高三高考密卷(五)(数学学科基地命题)数学试题Word版含解析
2015年高考模拟试卷(5) 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（共160分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数y ＝2sin(3x ＋π6)的最小正周期为 ．【答案】2π3【解析】试题分析：根据函数()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期是2T πω=可得.考点：三角函数的周期.2.设复数z 满足z (1+2i )=2－i ，则|z |＝ ． 【答案】1 【解析】试题分析：由已知得(12)2z i i +=-，122z i i ⋅+=-，z =1z =. 考点：复数的运算.3.集合{x |－1≤log 1x10<－12，x ∈N *}的真子集的个数是 ．【答案】290-1 【解析】 试题分析：111log 102x -≤≤-11log 102x ⇒-≤-≤-1log 1012x ⇒≤≤121010x x ≥⎧⎪⇒⎨⎪≤⎩10100x ⇒≤≤，因此集合11{|1log 10,*}2xx x N -≤≤-∈{|10100,*}x x x N =≤≤∈有90个元素，真子集有9021-个.考点：解对数不等式，子集.4.从{1，2，3，…，18}中任取两个不同的数，则其中一个数恰好是另一个数的3倍的概率为．【答案】251【解析】试题分析：从题中18个数里任取两个数方法数为218153C=，“其中一个数恰好是另一个数的3倍”只有(1,3),(2,6),(3,9),(4,12),(5,15),(6,18)共6种取法，因此概率为62 15351=.考点：古典概型.5.运行如图的算法，则输出的结果是．【答案】36【解析】试题分析：第一次循环后x的值为4,第二次循环后x值为36，这里循环结束，输出为36. 考点：循环结构与算法.6.某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段后得到如图的频率分布直方图，请你根据频率分布直方图中的信息，估计出本次考试数学成绩的平均分为．【答案】71【解析】试题分析：第5题(450.01550.015650.015750.03850.025950.005)1071⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.考点：频率分布直方图，用样本估计总体.7.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为 ．【答案】16【解析】试题分析：111111113326D EDF F D ED D DE V V S AB --∆==⋅=⋅⋅=. 考点：几何体的体积.8.已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上．直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 ． 【答案】x +y －3＝0 【解析】试题分析：设圆心为(,0)M a (0)a >，如图，作MN l ⊥，垂足为N ，由于直线l 的倾斜角为4π，所以MN CN ===3a =，因此所求直线方程为(3)y x =--，即30x y +-=.考点：直线和圆的位置关系，直线方程.9.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，并且对任意正整数n 均有S n +2＝4S n +3．则a 2= ．【答案】2或6. 【解析】试题分析：由S n +1=qS n +a 1．得S n +2=q (qS n +a 1)+ a 1＝q 2S n +a 1(q +1)，与已知条件比较得，q 2＝4，a 1(q +1)=3．从而，(q ，a 1)＝(2，1)，或(q ，a 1)＝(-2，-3)．考点：等比数列的前n 项和.10.已知集合A ={x |x 2+2x －8>0}，B ={x |x 2－2ax +4≤0}．若a >0，且A ∩B 中恰有1个整数，则a 的取值范围是 ．【答案】［136，52).【解析】试题分析：A ={x |x <-4，或x >2}．设f (x )＝x 2－2ax +4，则f (x )的对称轴x =a >0，由f (-4)=20+8a >0，知B ∩{x |x <-4}＝ ．因此，A ∩B 中恰有一个整数为3．故f (3)≤0，f (4)＞0．即［136，52)．考点：集合的运算，解一元二次不等式.11.已知点A (1，-1)，B (4,0)，C (2,2)．平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1＜λ≤a ，1＜μ≤b )的点P (x ，y )组成的区域．若区域D 的面积为8，则a +b 的最小值为 ． 【答案】4 【解析】试题分析：由条件可知D 是为平行四边形，其面积为8，又以,AB AC 为邻边的平行四边形的面积为8，故得(a －1)(b －1)=1，故a +b ≥4． 考点：向量的运算，基本不等式.12.设函数f (x )＝ax +12sinx+ 32cos x 的图象上存在两条切线垂直，则a 的值是 ．【答案】0 【解析】试题分析：f (x )=ax +sin(x +π3)，f ′(x )=a +cos(x +π3)由题设可知存在x 1，x 2使(a +cos(x 1+π3))(a +cos(x 2+π3))=-1，不妨设－cos(x 1+π3)＜－cos(x 2+π3)，则(a +cos(x 1+π3))(a +cos(x 2+π3))=-1<0得，－cos(x 1+π3)＜a ＜－cos(x 2+π3)，所以－1＝(a +cos(x 1+π3))(a +cos(x 2+π3))≥(a +1)(a -1)＝a 2－1．故a =0．考点：导数与切线.13.实数x 、y 、z 满足0≤x ≤y ≤z ≤4．如果它们的平方成公差为2的等差数列，则|x －y |+|y －z |的最小可能值 ．【答案】4－2 3 【解析】试题分析：|x －y |+|y －z |＝z －x ＝z 2－x 2z +x ＝4z +x ＝4z + z 2－4≥22+ 3＝4－2 3．考点：等差数列，函数的最值.14.若实数x , y 满足x －4y ＝2x －y ，则x 的取值范围是 ． 【答案】{0} .考点：换元法，数形结合思想.二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.(本小题满分14分)已知△ABC 的内角A 的大小为120（1）若AB =，求△ABC 的另外两条边长；（2）设O 为△ABC 的外心，当BC =AO BC ⋅uuu r uu u r的值．【答案】（1）AC BC =（2）152± 【解析】试题分析：（1）本题是解三角形问题，从已知条件出发，首先利用三角形面积公式1sin 2S bc A =得4bc =，而c =b =a ；（2）同样由余弦定理可得4(1)b c ==或1(4)b c ==，对于AO BC ⋅uuu r uu u r，我们取BC 边中点D ，则有OD BC ⊥，AO BC ⋅uuu r uu u r()AD DO BC AD BC DO BC =+⋅=⋅+⋅2222111()()()()222AB AC AC AB AC AB b c =+⋅-=-=-. 试题解析：（1）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1sin 2bc A =，所以bc =4．因为c AB ==b CA =由余弦定理得BC a = （2）由BC =22421b c ++=，即2216170b b +-=，解得1b =或4． 设BC 的中点为D ，则AO AD DO =+uuu r uuu r uuu r， 因为O 为△ABC 的外心，所以0DO BC ⋅=uuu r uu u r，于是()()22122b c AO BC AD BC AB AC AC AB -⋅=⋅=+⋅-=uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r ．所以当1b =时，4c =，221522b c AO BC -⋅==-uuu r uu u r ；当4b =时，1c =，221522b c AO BC -⋅==uuu r uu u r ．考点：（1）解三角形，余弦定理，三角形面积；（2）向量的数量积，向量的运算.16.(本小题满分14分)已知直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为11,AA CC 的中点，AC BE ⊥,点F 在线段AB 上，且4AB AF =． ⑴求证:1BC C D ⊥；⑵若M 为线段BE 上一点，试确定M 在线段BE 上的位置， 使得1//C D 平面1B FM ．【答案】（1）见解析；（2）BE=4ME 【解析】试题分析：（1）要证明线线垂直，根据线面的性质，可先证明线面垂直，从图中可看出就是要证BC ⊥面11ACC A ，直三棱柱中易刘1BC CC ⊥，因此要证BC AC ⊥，而相应地为了证明BC AC ⊥，从已知出发可证明AC ⊥面11BCC B 即可；（2）由已知1//C D AE ，假设有第16题A BC1B1A1CD E F1//C D 平面1B MF ，则有//AE 平面1B MF ，于是有//AE MF ，而反之只要有//AE MF ，就可得//AE 平面1B MF ，也即1//C D 平面1B MF ，由此可知M 点必须满足4BE ME =. 试题解析：⑴由直三棱柱可知1CC ⊥平面ABC ,所以1CC AC ⊥， 又因为1,AC BE CC BE E ⊥=，AC ⊥面BCE ，故AC BC ⊥， 又在直三棱柱中，11,CC BC ACCC C ⊥=，故BC ⊥面11,ACC C D 在平面1ACC 内，所以1BC C D ⊥⑵连结AE ，在BE 上取点M ，使BE=4ME, 连结FM ，1B M ,F 1B ，在BEA ∆中，由BE=4ME ，AB=4AF 所以MF//AE ， 又在面AA 1C 1C 中，易证C 1D//AE ，所以1//C D 平面1B FM ． 考点：线线垂直与线面垂直，线面平行.17.(本小题满分14分)汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离.某型汽车的刹车距离s(单位米)与时间t(单位秒)的关系为32510s t k t t =-⋅++，其中k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（1）当k =8时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k 的取值范围． 【答案】（1）6752210米；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈461,8k . 【解析】试题分析：（1）要求车刹车距离，就要求得刹车时间，即求刹车开始到速度为零时的时间t ，ABC1B1A1CD E F M由已知求导有2'15161v s t t ==-+，令'0s =，解得115t =或1t =（舍去），即刹车时间为115秒，代入可得刹车距离；（2）21521v t kt =-+，题意说明方程21521v t kt =-+0=在区间[1,2]上有解，可转化为求1215k t t=+[1,2]t ∈时的取值范围.试题解析：（1）当8k =时，325810s t t t =-++， 这时汽车的瞬时速度为V='215161s t t =-+， 令'0s =，解得1t =（舍）或115t =， 当115t =时，6752210=s ， 所以汽车的刹车距离是6752210米． （2）汽车的瞬时速度为'v s =，所以21521v t kt =-+ 汽车静止时0v =，故问题转化为215210t kt -+=在[]1,2内有解又21511215t k t t t+==+，115t t+≥Q ，当且仅当115,t t t ==Q []1,2t =，∴记1()15f t t t=+， '21()15f t t =-，[1,2]t ∈，'21()150f t t ∴=->，()f t ∴单调递增， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴261,16)(t f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈261,162k ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈461,8k ，故k 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈461,8k . 考点：导数的物理意义，方程有解问题.18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆T 的中心在坐标原点，一条准线方程为2y =，且经过点(1，0)．（1）求椭圆T 的方程；（2）设四边形ABCD 是矩形，且四条边都与椭圆T 相切．求证：满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上.【答案】（1）2212y x +=；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）一条准线方程为2y =说明椭圆的焦点在y 轴上，因此可设方程为22221(0)y x a b a b+=>>，再根据椭圆的性质求解；（2）四边形是椭圆的外切矩形，当矩形的边与坐标轴平行时，四个顶点在圆22223x y a b +=+=上，当矩形的边与坐标轴不平行时，可设一组边所在直线方程为y kx m =+，利用它与椭圆相切可得m =即直线方程为y kx -=ky x +=标为方程组y kx ky x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩k 得223x y +=，这说明矩形的顶点在圆223x y +=上.由此得证.试题解析：（1）因为椭圆T 的中心在坐标原点，一条准线方程为y ＝2，所以椭圆T 的焦点在y 轴上，于是可设椭圆T 的方程22221(0)y x a b a b+=>>．因为椭圆T 经过点(1，0)，所以2222011ab =⎪+=⎪⎩，， 解得2221a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，．故椭圆T 的方程为221y x +=．（2）由题意知，矩形ABCD 是椭圆2212y x +=的外切矩形，(i)若矩形ABCD 的边与坐标轴不平行，则可设一组对边所在直线的方程为(0)y kx m k =+≠，则由221y x y kx m ⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，消去y 得222(2)220k x kmx m +++-=， 于是222244(2)(2)0k m k m ∆=-+-=，化简得m =所以矩形ABCD的一组对边所在直线的方程为y kx =y kx -=则另一组对边所在直线的方程为ky x +=于是矩形顶点坐标(x ，y )满足2222()()(2)(12)y kx ky x k k -++=+++， 即2222(1)()3(1)k x y k ++=+，亦即223x y +=．(ii)若矩形ABCD的边与坐标轴平行，则四个顶点(1±±，显然满足223x y +=． 故满足条件的所有矩形的顶点在定圆223x y +=上． 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系.19.(本小题满分16分) 已知函数2()21(),()()f x x ax a f x f x '=++∈R 是的导函数． （1）若[2,1]x ∈--，不等式()()f x f x '≤恒成立，求a 的取值范围； （2）解关于x 的方程()|()|f x f x '=；（3）设函数(),()()()(),()()f x f x f xg x f x f x f x ''⎧=⎨'<⎩≥，求()[2,4]g x x ∈在时的最小值． 【答案】（1）32a ≥；（2）①当1a <-时，1x =-或x =12a -；②当11a -≤≤时，1x =±或x =12a -或(12)x a =-+；③当1a >时，1x =或(12)x a =-+；（3）()2min817, 4,1, 42145, 22124, 2a a a a g x a a a a +-⎧⎪--<<-⎪⎪⎡⎤=⎨+-<-⎣⎦⎪⎪+-⎪⎩≤≤≥.【解析】试题分析：（1）不等式()'()f x f x ≤为22122x ax x a ++≤+，即2(1)2(1)x a x -≤-，由于[2,1]x ∈--，我们可以采用分离参数法求a 的范围，即2(1)12(1)2x xa x --≥=-恒成立，下面只要求出12x-在[2,1]x ∈--时的最大值即可；（2）方程()()f x f x '=为2212x ax x a ++=+，转化为22()210x a x a a +-++-=，解得1x a a +=+或1x a a +=-，下面利用绝对值的定义解这两个方程；（3）本题实质是考查分类讨论的国数学思想，关键是把()g x 具体化，因此首先要比较()f x '()f x 的大小，由于()'()(1)((12))f x f x x x a -=---，因此当12a ≥-时，122a -≤，因此当[2,4]x ∈时()'()f x f x ≥，这样()'()22g x f x x a ==+，当32a <-时，124a ->，当[2,4]x ∈时()'()f x f x <，因此2()()21g x f x x ax ==++，这样问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题，分类的标准是对称轴与给定区间的关系，当3122a -<-≤，则[]2,4x ∈时，221,[2,12)()22,[12,4]x ax x a g x x a x a ⎧++∈-=⎨+∈-⎩，这是一个分段函数，要求它的最小值，必须在两段上分别求出，然后比较两个最小值的大小.最终把上面的讨论综合起来可得结论.试题解析：(1)因为()()f x f x '≤，所以2212(1)x x a x -+-≤，又因为21x --≤≤，所以2212(1)x x a x -+-≥在[2,1]x ∈--时恒成立，因为221132(1)22x x x x -+-=-≤， 所以32a ≥．⑵ 因为()()f x f x '=，所以2212x ax x a ++=+，所以22()210x a x a a +-++-=，则1x a a +=+或1x a a +=-． ①当1a <-时，1x a a +=-，所以1x =-或x =12a -； ②当11a -≤≤时，1x a a +=-或1x a a +=+， 所以1x =±或x =12a -或(12)x a =-+；③当1a >时，1x a a +=+，所以1x =或(12)x a =-+．⑶ 因为()()(1)[(12)]f x f x x x a '-=---，(),()(),()(),()(),f x f x f x g x f x f x f x ''⎧=⎨'<⎩≥① 若12a -≥，则[]2,4x ∈时，()()f x f x '≥，所以()()22g x f x x a '==+， 从而()g x 的最小值为(2)24g a =+；②若32a <-，则[]2,4x ∈时，()()f x f x '<，所以2()()21g x f x x ax ==++，当322a -<-≤时，()g x 的最小值为(2)45g a =+， 当42a -<<-时，()g x 的最小值为2()1g a a -=-， 当4a -≤时，()g x 的最小值为(4)817g a =+．③若3122a -<-≤，则[]2,4x ∈时，221,[2,12)()22,[12,4]x ax x a g x x a x a ⎧++∈-=⎨+∈-⎩当[2,12)x a ∈-时，()g x 最小值为(2)45g a =+； 当[12,4]x a ∈-时，()g x 最小值为(12)22g a a -=-． 因为3122a -<-≤，(45)(22)630a a a +--=+<，所以()g x 最小值为45a +．综上所述，()2min817, 4,1, 42145, 22124, 2a a a a g x a a a a +-⎧⎪--<<-⎪⎪⎡⎤=⎨+-<-⎣⎦⎪⎪+-⎪⎩≤≤≥.考点：不等式恒成立问题，解绝对值方程，函数的最值，分类讨论.20.(本小题满分16分) 已知数列{a n }满足a 1＝a (a ＞0，a ∈N *)，a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0(p ≠0，p ≠－1，n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若对每一个正整数k ，若将a k ＋1，a k ＋2，a k ＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d k .①求p 的值及对应的数列{d k }．②记S k 为数列{d k }的前k 项和，问是否存在a ，使得S k ＜30对任意正整数k 恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝，a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p n －2n ；（2）①p ＝－13，d k ＝9a ·2k －1或p ＝－23，d k ＝9a 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1；②存在，且最大正整数a ＝13.【解析】试题分析：（1）这题类似于已知n S 求n a 的问题，由a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0，得n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1－pa n ＝0，两式相减就可得到a n ＋1a n ＝p ＋1p(n ≥2)，这说明数列{a n }从第二项起是公比为p ＋1p的等比数列，其通项可求；（2）①由于123,,k k k a a a +++的大小关系不确定，因此我们分别就各项为等差中项来讨论求得p 和k d ，p ＝－13，d k ＝9a ·2k －1或p ＝－23，d k ＝9a 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1；②首先求出k S ，这是等比数列的前n 和，当p ＝－13时，S k ＝9a (2k－1)．则由S k ＜30，得a ＜10k －恒成立，当k ≥3时，10k －＜1，因此必定有a ＜1，故不存在这样的最大正整数．当p ＝－23时，S k ＝9a 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ，则由S k ＜30，得a ＜403⎣⎢⎡1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k]恒成立，由于403⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＞403，所以a ＝13时满足S k ＜30恒成立；当a ＝14时，存在k ＝5，使得a ＞403⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ，即S k ＜30，从而满足题意的最大正整数a ＝13.试题解析：(1)因为a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0，所以n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1－pa n ＝0，两式相减，得a n ＋1a n ＝p ＋1p (n ≥2)，故数列{a n }从第二项起是公比为p ＋1p的等比数列，又当n ＝1时，a 1－pa 2＝0，解得a 2＝ap ，从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝，a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p n －2n(2)①由(1)得a k ＋1＝a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p k －1，a k ＋2＝a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p k ，a k ＋3＝a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p k ＋1，若a k ＋1为等差中项，则2a k ＋1＝a k ＋2＋a k ＋3， 即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－2，解得p ＝－13； 此时a k ＋1＝－3a (－2)k －1，a k ＋2＝－3a (－2)k，所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋2|＝9a ·2k －1，若a k ＋2为等差中项，则2a k ＋2＝a k ＋1＋a k ＋3， 即p ＋1p＝1，此时无解； 若a k ＋3为等差中项，则2a k ＋3＝a k ＋1＋a k ＋2， 即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－12，解得p ＝－23， 此时a k ＋1＝－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k －1，a k ＋3＝－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ＋1，所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋3|＝9a 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1，综上所述，p ＝－13，d k ＝9a ·2k －1或p ＝－23，d k ＝9a 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1.②当p ＝－13时，S k ＝9a (2k－1)．则由S k ＜30，得a ＜10k －，当k ≥3时，10k －＜1，所以必定有a ＜1，所以不存在这样的最大正整数． 当p ＝－23时，S k ＝9a 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ，则由S k ＜30，得a ＜403⎣⎢⎡1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ]，因为403⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＞403，所以a ＝13满足S k ＜30恒成立；但当a ＝14时，存在k ＝5，使得a ＞403⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 即S k ＜30，所以此时满足题意的最大正整数a ＝13.考点：由递推公式求通项公式，等差数列的性质，等比数列的前n 项和，不等式恒成立.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. 本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． A.（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE //AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC =ED =1，PA =2． （1）求AC 的长； （2）求证：BE ＝EF ．【答案】（1）AC =；（2）见解析.考点：切割线定理，相似三角形，相交纺弦定理.B.（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵M 有特征值1λ=-及对应的一个特征向量112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵M 对应的变换将点()1,1变换成()0,3-．（1）求矩阵M ；（2）已知向量28⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求5M α的值． 【答案】（1）1141M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）246480-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）要明确特征值与特征向量的关系，那么只要设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，就有1122a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，从而有2122a b c d +=-⎧⎨+=-⎩，再由1013a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦得03a b c d +=⎧⎨+=-⎩，联立可解得,,,a b c d ，即矩阵M ；（2）由已知已经知道M 的一个特征值11λ=-和特征向量112e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，因此关键是求出另一个特征值和特征向量，利用特征多项式可求得另一个特征值为23λ=，相应特征向量为212e -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，然后把α表示为12m n =+αe e ，那么计算5M α5551212(3)3()M M M =+=+e e e e 5511223()λλ=+e e .试题解析：（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1122a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故2122a b c d +=-⎧⎨+=-⎩ . 1013ab c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故03a b c d +=⎧⎨+=-⎩ . 联立以上方程组解得1,1,4,1a b c d ==-=-=，故1141M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （2）由（1）知 1141M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦则矩阵M 的特征多项式为2211()(1)42341f λλλλλλ-==--=--- 令0)(=λf ，得矩阵M 另一个特征值为3. 设矩阵M 的另一个特征向量是2x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ， 则2343x yx M x y y -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦e ，解得20x y +=,故212-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e . 由12m n =+αe e ，得24m n m n -=⎧⎨+=⎩，得3,1m n == .∴5A α5551212(3)3()M M M =+=+e e e e 55551122112463()3(1)322480λλ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⨯-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦e e .考点：矩阵变换，特征值与特征向量.C.（选修４－４：坐标系与参数方程）已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 【答案】（1）()22-；（2）【解析】试题分析：（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可把极坐标方程化为直角坐标方程；（2）可用参数方程形式，设直线l 上任一点P坐标为(,22+，然后求得P 到圆的切线长，再求出切线长函数的最小值即可，也可把直线参数方程化为普通方程0x y -+=，过圆心作直线的垂线，由这个垂足所作切线的长为最小值. 试题解析：（1）θθρsin 2cos 2-= ，θρθρρsin 2cos 22-=∴， 02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆，即1)22()22(22=++-y x，∴圆心直角坐标为(22-. （2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是6224)4(4081)242222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t ， ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62 方法2：直线的普通方程为0x y -+=圆心C 到l 直线距离是52|242222|=++，∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=-.考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，切线长定理，参数方程与普通方程的互化. D.（选修４－５：不等式选讲）已知函数()12f x x x =-+-. 若不等式()a b a b a f x ≥++-),,0(R b a a ∈≠恒成立，求实数x 的范围．【答案】1522x ≤≤【解析】试题分析：不等式()a b a b a f x ≥++-恒成立，我们采取分离参数法，把待求范围的变量x 与另两个变量,a b 分离为||||()||a b a b f x a ++-≥，这样()f x 要小于或等于||||||a b a b a ++-的最小值，由绝对值的性质有||||||2||||a b a b a b a b a a ++-++-=≥，故我们只要解不等式()2f x ≤即能求得x 的范围.试题解析：由()a b a b a f x ≥++-|，且0a ≠，得||||()a b a b f x ++-≥又因为||||||2||||a b a b a b a b a a ++-++-=≥，则有2()f x ≥解不等式122x x -+-≤，得1522x ≤≤考点：不等式恒成立，绝对值的性质，绝对值不等式. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22.（本小题满分10分）某学生在校举行的环保知识大奖赛中，答对每道题的概率都是13, 答错每道题的概率都是23,答对一道题积5分,答错一道题积-5分,答完n 道题后的总积分记为n S .（1）答完2道题后,求同时满足S 1=5且20S ≥的概率； （2）答完5道题后,设5||S ξ=，求ξ的分布列及其数学期望. 【答案】（1）13； （2）ξ的分布列为：92581E ξ=【解析】试题分析：（1）题意“S 1=5且20S ≥”表示“答完2道题后，第一题答对，第二题正确或者错误都可以”，因此其概率为13P =；（2）答完5道题，结果可能是答对0道，此时525S =-，25ξ=；答对1道，此时515S =-，15ξ=；答对2道，此时55,5S ξ=-=；答对3道，此时55,5S ξ==；答对4道，此时515,15S ξ==；答对5道，此时525,25S ξ==，故ξ的取值只能是5,15,25. 试题解析：（1）由题意“S 1=5且20S ≥”表示：“答完2题，第一题答对，第二题答错；或第一题答对，第二题也答对” 此时概率1211133333P =⨯+⨯= ．（2）因为答完5道题，结果可能是：答对0道，此时525S =-，25ξ=；答对1道，此时515S =-，15ξ=； 答对2道，此时55,5S ξ=-=；答对3道，此时55,5S ξ==；答对4道，此时515,15S ξ==；答对5道，此时525,25S ξ==， ∴ξ的取值只能是5,15,25因此23233255211240(5)()()()()333381P C C ξ==⨯+⨯=， 144455211210(15)()()333327P C C ξ==⨯+⨯=， 0555552111(25)()()3381P C C ξ==+=∴ξ的分布列为：∴92581E ξ=考点：随机变量的分布列，数学期望.23.（本小题满分10分）一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”．记集合 {1，2，3，…，3n }的子集中所有“好集”的个数为f (n )． （1）求f (1)，f (2)的值； （2）求f (n )的表达式．【答案】（1）f (1)=3，f (2)＝23；（2）f (n )＝2n(4n－1)3+2n －1．【解析】试题分析：（1）求(1)f 和(2)f 可用列举法，(1)f 即集合{1,2,3}的子集中“好集”个数3，而(2)f 为集合{1,2,3,4,5,6}的子集中“好集”个数，可分类，一元集，二元集，三元集，四元集，五元集，六元集，最终求得(2)23f =；（2）为了求()f n ，我们尝试研究出(1)f n +与()f n 的关系.集合{1，2，3，…，3n ，3n +1，3n +2，3n +3}在集合{1，2，3，…，3n }中加入3个元素3n +1，3n +2，3n +3．因此f (n +1)的组成有以下几部分：①原有的f (n )个集合；②只含有元素3n +1的“好集”是{1，2， 3，…，3n }中各元素之和被3除余2的集合，只含有元素3n +2的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余1的集合，只含有元素3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余0的集合，合计是23n；③含有元素3n +1与3n +2的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n +2与3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n +1与3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余2的集合，合计是23n；④含有元素是3n +1，3n +2，3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中“好集”与它的并，再加上{3n +1，3n +2，3n +3}．于是有f (n +1)＝2 f (n )+2×23n+1，这个等式两边同除以12n 后可求得()f n .试题解析：(1)易得f (1)=3；当n =2时，集合{1，2，3，4，5，6}的子集中是“好集”的有：单元集：{3}，{6}共2个，双元集{1,2}，{1,5}，{2,4}，{4,5}，{3,6}共5个，三元集有：{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}，{4,3,5}，{4,5,6}共8个，四元集有{3,4,5,6}，{2,3,4,6}， {1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4 ,5}共五个，五元集{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共2个，还有一个全集． 故f (2)＝1+(2+5)×2+8＝23． (2)首先考虑f (n +1)与f (n )的关系．集合{1，2，3，…，3n ，3n +1，3n +2，3n +3}在集合{1，2，3，…，3n }中加入3个元素3n +1，3n +2，3n +3．故f (n +1)的组成有以下几部分：①原有的f (n )个集合；②含有元素3n +1的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余2的集合，含有元素是3n +2的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n +,3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余0的集合，合计是23n；③含有元素是3n +1与3n +2的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n +2与3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n +1与3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余2的集合，合计是23n；④含有元素是3n +1，3n +2，3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中“好集”与它的并，再加上{3n +1，3n +2，3n +3}． 所以，f (n +1)＝2 f (n )+2×23n+1． 两边同除以2n +1，得f (n +1)2n +1－f (n )2n＝4n+12n +1，所以 f (n )2n ＝4n -1+4n -2+…+4+12n +12n -1+…+122+32＝4n －13+1－12n ， 即f (n )＝2n (4n －1)3+2n －1． 考点：新定义，子集，归纳推理.。
江苏高考南通密卷二(南通市数学学科基地命题)
2015年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．已知集合，，且，则实数的值为 ．2．设2(12)(,R)i a bi a b +=+∈，其中是虚数单位，则 ． 3．已知函数是奇函数，当时，，且， 则 ．4．右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是 ． 5．设点，，，是球表面上的四个点，，，两两互相垂 直，且，则球的表面积为 ．6．已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+<>>，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =<>->，若向区域上随机投掷一点，则点落入区域的概率为 ． 7．将参加夏令营的名学生编号为：，采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本，且随机抽得的号码为，这名学生分住在三个营区，从到在第一营区，从到在第二营区，从到在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为 ． 8．中，“角成等差数列”是“sin sin )cos C A A B =+”成立的的 条件． (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一) 9．已知双曲线，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条 渐近线分为弧长为的两部分，则双曲线的离心率为 ．10．已知442cos sin ,(0,)32πααα-=∈，则 ．11．已知正数依次成等比数列，且公比．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则公比的取值集合是 ． 12． 如图，梯形中，，，， 若，则 ．13．设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是 ．14．设函数满足，且当时， ．若在区间内，存在个不同的实数，使得312123()()()f x f x f x t x x x ===，则实数的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）在中，，． （1）求的值；（2）若，求的面积．第12题图0,1s n ←←第4题图16．（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱中，侧面是边长为的菱形，．在面中，，，为的中点，过三点的平面交于点．（1）求证：为中点；（2）求证：平面平面．17．（本小题满分14分）某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为，体积为．（1）求关于的函数关系式；（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，的最大值是多少？并求此时的值．18．（本小题满分16分）(第17题图)图B CA1B1C1MNA第16题图已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为，并且椭圆经过点，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上一点满足．（1）求椭圆的方程；（2）证明：为定值；（3）是否存在定圆，使得直线绕原点转动时，恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列是等差数列，是等比数列，且满足，．（1）若，．①当时，求数列和的通项公式；②若数列是唯一的，求的值；（2）若，，均为正整数，且成等比数列，求数列的公差的最大值．20．（本小题满分16分）设函数有且仅有两个极值点．（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数满足？如存在，求的极大值；如不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．．A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AD是∠BAC的平分线，圆O过点A且与边BC相切于点D，与边AB、AC分别交于点E、F，求证：EF∥BC．B．（选修４－２：矩阵与变换）已知，求矩阵．C．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆是以点为圆心，为半径的圆．（1）求圆的极坐标方程；（2）求圆被直线所截得的弦长．D．（选修４－５：不等式选讲）设正数满足，求的最小值．AB DE FO·【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．（本小题满分10分）直三棱柱中，已知，，，.是的中点.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的大小的余弦值.23.（本小题满分10分）设且，集合的所有个元素的子集记为．（1）求集合中所有元素之和；（2）记为中最小元素与最大元素之和，求32015132015CiimC=∑的值．1A1B1CDAC B2015年高考模拟试卷(2) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．； 8．充分不必要；【解析】条件“角成等差数列”；结论“sin sin )cos C A A B =+”sin()cos sin cos A B A B A B +=+cos sin cos A B A B =或或．所以条件是结论的充分不必要条件． 9．； 10．； 11．；【解析】若删去，则成等差数列，，即，（舍去）或或（舍去）；若删去，则成等差数列，，即，（舍去）或或（舍去）或． 12．；【解析】0AD DC CB BA +++=，，22()()()()AD DC BC CD AD BC CD AD BC CD AD BC CD AB CD CD ∴+⋅+=⋅+⋅--=⋅+⋅+-， ，，，，． 13．；【解析】由条件得，不妨设，则，即；同理得当时，．而，的取值范围是． 14．．【解析】，，当时，，，在直角坐标系内作出函数的图象，而表示的是该图象上的点与原点的连线的斜率．图象上的点与与原点的连线的斜率为；当过原点的直线与曲线相切时，斜率为（利用导数解决）．由图可知，满足题意得实数的取值范围为．二、解答题15．（1）因为在中，，所以为锐角，且cos A =．所以sin sin()cos 2C A A π=+=（2）由正弦定理得，所以sin sin BC C AB A === 因为在中，，所以为钝角，且cos C ==． 因为在中，，所以1sin sin()sin cos cos sin (3B AC A C A C =+=+=+=．所以的面积为111sin 223ABC S AB BC B ∆=⨯⨯=⨯=．16． (1)由题意，平面平面，平面与平面交于直线， 与平面交于直线，所以． 因为，所以，所以．因为为的中点，所以，所以为中点． (2)因为四边形是边长为的菱形，． 在三角形中，，，由余弦定理得， 故，从而可得，即． 在三角形中，，，，则，从而可得，即． 又，则．因为，面，面，所以平面． 又平面，所以平面平面．17．正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大．设正三棱锥侧面的高为，高为．由题意得，解得．则h=．所以，正三棱锥体积21133V Sh==设4452100(100)4848x xy V===，求导得，令，得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以，当时，取得极大值也是最大值．此时，所以．答：当底面边长为时，正三棱锥的最大体积为．18．（1）由题设：22111,a b⎪+=⎪⎩解得，椭圆的方程为（2）①直线的斜率不存在或为0时，222221122224233OA OB OM a b++=+=+=；②直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，则，直线的方程为，由得，，同理，22222221123313(1)(1)(1)12122kk kk k k k+++⋅+⋅+⋅+++，2221122OA OB OM∴++=为定值；（3）由（2）得：①直线的斜率不存在或为0时，2222111112133OA OM a b+=+=+=；②直线的斜率存在且不为0时，22222222222111112213133(1)3(1)(1)(1)122k kkOA OM k kkk k k+++=+=+=+++⋅+⋅++原点到直线的距离1d=，直线与圆相切，即存在定圆，使得直线绕原点转动时，恒与该定圆相切．19．（1）①由数列是等差数列及，得，由数列是等比数列及，得．设数列的公差为，数列的公比为，若，则有，解得或9,22dq⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．所以，和的通项公式为或2912,23(2)nnna nb-⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩②由题设，得，即（*）．因为数列是唯一的，所以若，则，检验知，当时，或（舍去），满足题意；若，则，解得，代入（*）式，解得，又，所以是唯一的等比数列，符合题意．所以，或．（2）依题意，，设公比为，则有336(3)(33)d d qq=-+++，（**）记，，则．将（**）中的消去，整理得2()3()360d m n d m n+-++-=，=而，所以的可能取值为：(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4)12,3),(18,2),(36,1)．所以，当时，的最大值为．20．(1)．显然，是直线与曲线两交点的横坐标．由，得．列表：此外注意到： 当时，；当及时，的取值范围分别为和．于是题设等价于<，故实数的取值范围为． (2)存在实数满足题设．证明如下： 由(1)知，，，故1112213111()+2x x x x f x =ax e e e e x =-=，故．记231()(01)2x xe R x e e x x =--<<，则2(1)1()02x x e x R x e x -'=-<， 于是，在上单调递减． 又，故有唯一的零点． 从而，满足的．所以，． 此时，， 又，，，而， 故当时,.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21.A . 如图，连结．因为与圆相切，所以． 因为与为弧所对的圆周角， 所以．又因为是的平分线， 所以． 从而．于是． B ．设则1 0 1 22 2a b a c b d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦B ， 故4,4,3,3,4 3.24,4, 4 221, 2.a ab b ac c bd d =-=-⎧⎧⎪⎪==-⎡⎤⎪⎪=⎨⎨⎢⎥+==-⎣⎦⎪⎪⎪⎪+=-=-⎩⎩解得故B ABDEF O·C ．（1）圆是将圆绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆的极坐标方程是．（2）将代入圆的极坐标方程，得， 所以，圆被直线所截得的弦长为． D. 因为均为正数，且，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是由均值不等式可知()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++9≥=，当且仅当时，上式等号成立． 从而1111323232a b c ++≥+++． 故的最小值为．此时．22．在直三棱柱中，，分别以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C , 是的中点，， （1）111(0,4,0),(1,2,3)AC A D ==-， 设平面的法向量，则，即，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面的法向量， 而，1111113cos ,n DB n DB n DB ⋅∴<>==⋅， 直线与平面所成角的正弦值为； （2），设平面的法向量，则， 即，取222032x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面的法向量，121212130cos ,n n n n n n ⋅∴<>==⋅， 二面角的大小的余弦值．23．（1）因为含元素的子集有个，同理含的子集也各有个，于是所求元素之和为22211(123)(2)(1)4n n C n n n -++++⨯=--； （2）集合的所有个元素的子集中：以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个．222122(1)()n n n C C C --=++++ 22231233(1)()n n n C C C C --=+++++22231244(1)()n n n C C C C --=+++++， 3131n C i i n m n C =∴=+∑． 32015132015201512016C i i m C =∴=+=∑．。
【南通市数学学科基地命题】江苏省2015年高考数学模拟试卷及答案(5)
（2）答完5道题后,设 ，求 的分布列及其数学期望.
23．（本小题满分10分）一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”．
记集合{1，2，3，…，3n}的子集中所有“好集”的个数为f(n)．
（1）求f(1)，f(2)的值；
（2）求f(n)的表达式．
10．［，).【解析】A={x|x<-4，或x>2}．设f(x)＝x2－2ax+4，则f(x)的对称轴x=a>0，由f(-4)=20+8a>0，知B∩{x|x<-4}＝．因此，A∩B中恰有一个整数为3．故f(3)≤0，f(4)＞0．即［，)．
(2)若对每一个正整数k，若将ak＋1，ak＋2，ak＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为dk.①求p的值及对应的数列{dk}．
②记Sk为数列{dk}的前k项和，问是否存在a，使得Sk＜30对任意正整数k恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
8．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上．直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为．
9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，并且对任意正整数n均有Sn+2＝4Sn+3．则a2=．
10．已知集合A={x|x2+2x－8>0}，B={x|x2－2ax+4≤0}．若a>0，且A∩B中恰有1个整数，则a的取值范围是．
|x－y|+|y－z|的最小可能值．
14．若实数x,y满足x－4＝2，则x的取值范围是．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.
高考南通密卷六(南通市数学学科基地命题).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015年高考模拟试卷(6)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1. 已知集合{}2,1 0 2 3U =--，，，,{}2,1,3A =--，{}1,2B =-，则()U A B =ðU .2. 已知复数(2)2z i i -=-（i 为虚数单位），则复数z 的模为 .3. 某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的x 值是 .4．如图所示茎叶图是甲乙两组各5名学生的数学竞赛成绩（70分～99分），若甲乙两组的平均成绩一样，则a = ；甲乙两组成绩中相对整齐的是 .5. 假设在6分钟内的任意时刻，两架相同型号的飞机机会均等地进入同一飞机场，若这两架飞机进入机场的时间之差不小于2分钟，飞机不会受到干扰；则飞机受到干扰的概率为_______.6. 若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向左平移π6个单位长度后，与函数cos()4y x pw =+的图象重合，则ω的最小值为_____________. 7. 实数x ，y 满足121,y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩如果目标函数z=x —y 的最小值为-2，则实数m 的值为______.甲 乙 5 7 6 9 8 8 5 9 a 8 9 8 78.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于283cm ，母线与轴的夹角为30，则这个圆台的高为____________.9．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22420x y x y +-+=．若直线3y x b =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数b 的取值范围是__________.10. 在矩形ABCD 中，已知3,2AB AD ==，点E 是BC 的中点，点F 在CD 上，若3AB AF ⋅=则AE BF ⋅的值是 .11．曲线2()(2)ln (1)2f x f x f x x '=-+在点(1,(1))f 处的切线方程为________． 12.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,且2cos 2,c B a b =-若ABC ∆的面积为32S c =，则ab 的最小值为_________. 13. 若对任意的x ∈D ，均有f 1(x)≤f(x)≤f 2(x)成立，则称函数f(x)为函数f 1(x)到函数f 2(x)在区间D 上的“折中函数”．已知函数f(x)＝(k －1)x －1，g(x)＝0，h(x)＝(x ＋1)ln x ，且f(x)是g(x)到h(x)在区间[1,2e]上的“折中函数”，则实数k 的取值集合为________． 14. 已知,m R n R ∈∈并且m+3n=1则33mnme ne +的最小值__________ . 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．(本小题满分14分)在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量(sin(),cos )m C C π=-，(sin(),sin )2n B B π=+，且sin 2m n A ⋅=．（1）求A ； （2）若4c bb c+=，求sinBsinC 的值.16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形， 侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点. ⑴求证：PA ∥平面BDE ；⑵求证：平面BDE ⊥平面PBC.17．（本小题满分14分）如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD ，其中,,AB CD DA 都是线段，曲线段BC 是抛物线的一部分，且点B 是该抛物线的顶点，BA 所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量，AB =2米，3AD =米，AB AD ⊥，点C 到,AD AB 的距离,CH CR 的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形AEFG （其中点F 在曲线段BC 或线段CD 上，点E 在线段AD 上，点G 在线段AB 上）. 设BG 的长为x 米，矩形AEFG 的面积为S 平方米.（1）将S 表示为x 的函数；（2）当x 为多少米时，S 取得最大值，最大值是多少？18．(本小题满分16分) 已知圆M ：()2244x y +-=，点P 是直线l ：20x y -=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ．（1）当切线PA 的长度为23时，求点P 的坐标；（2）若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由； （3）求线段AB 长度的最小值．A B CD E F G R第17题 H19．(本小题满分16分)已知函数2312()23f x x ax =-，函数()()2(1)xg x f x e x =+-，函数'()()g x g x 的导函数为（1）当函数()y f x =在(1,)+∞区间时为减函数，求a 的范围； （2）若a =e(e 为自然对数的底数）； ①求函数g(x)的单调区间； ②证明：'()1ln g x x ≥+20．(本小题满分16分) 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)．(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .求满足不等式T n －22n －1>2 010的n的最小值．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题．．．．．．．．．．．．．．．区域内作答．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图在ABC ∆中，AB=AC ，过点A 的直线与ABC ∆的外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D.求证ABP D ∠=∠B ．（选修４－２：矩阵与变换） 已知矩阵1235A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， (1)求逆矩阵1A -；（2）若矩阵X 满足31AX ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试求矩阵X ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程） 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l 的极坐标方程为sin()224πρθ-=.(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程;(2)已知P 为椭圆22:139x y C +=上一点,求P 到直线l 的距离的最小值.D ．（选修４－５：不等式选讲）已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|5x ＋y |≤1．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22. （本小题满分10分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17。
江苏省2015届高三下学期高考南通密数学试题Word版含解析
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 1.设,a b R ∈，231a bii i+=+-，其中i 是虚数单位，则a b += ． 【答案】6 【解析】 试题分析：23(23)(1)55,161a bii a bi i i a bi i a b a b i+=+⇒+=+-⇒+=+⇒==⇒+=- 考点：复数相等2.已知集合{}P x x a =≤，{}sin ,Q y y R θθ==∈．若P Q ⊇，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[1,)+∞ 【解析】试题分析：sin P Q a θ⊇⇒≤恒成立，因此max (sin )1a θ≥= 考点：集合包含关系，不等式恒成立3.为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm )，所得数据如图．则在这100株树木中，底部周长不小于100cm 的有 株．【答案】70 【解析】试题分析：底部周长不小于100cm 的概率为1(0.010.02)100.7-+⨯=，所以底部周长不小于100cm 的有0.710070⨯=株考点：频率分布直方图4.设向量(1,)a m =r ，(1,2)b m =-r ，且a b ≠r r ，若()a b a -⊥r r r，则实数m = ．【答案】1 【解析】第3题图试题分析：2()(2,2)(1,)032021a b a m m m m m m m -⊥⇒--⋅=⇒-+=⇒==或r r r ，又a b ≠r r，所以2, 1.m m ≠=考点：向量垂直，向量数量积5.如图所示的流程图的运行结果是 ．【答案】20 【解析】试题分析：第一次循环：5,4S a ==，第二次循环：20,34S a ==<，结束循环，输出20.S = 考点：循环结构流程图6.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为 ．3 【解析】试题分析：取AC 中点M，则DM BM ==，222+DM BM BD =，即DM BM ⊥,因为,DM AC ⊥,所以DM ABC ⊥面,三棱锥D ABC -的体积为23111.332ABC DM S a ∆⋅=⨯= 考点：三棱锥体积7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19a =，462a a +=． 当n S 取最大值时，n = ． 【答案】5 【解析】试题分析：设公差为,d 则465219412a a a d d +=⇒=⇒+=⇒=-，因此第5题图219(1)(2)102n S n n n n n =+⨯-⨯-=-+，所以当5n =时，n S 取最大值考点：等差数列前n 项和公式，二次函数最值 8.已知44ππθ-≤≤，且1cos45θ=，则44cos sin θθ-= ．【解析】试题分析：因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos2θθθθθθθ-=-+=，而2213cos42cos 21cos 255θθθ==-⇒=，又2cos 24422ππππθθθ-≤≤⇒-≤≤⇒=44cos sin θθ-=考点：二倍角公式9.若在区间(1,1)-内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线0ax by -=与圆 22(1)(2)1x y -+-=相交的概率为 ．【答案】516【解析】试题分析：由直线0ax by -=与圆22(1)(2)1x y -+-=1(34)0b b a <⇒-<，又0b >，所以340b a -<，其区域为梯形OABC,其中3(00),(10),(11),(1)4O A B C ，，，，,而在区间(1,1)-内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b 构成一个矩形ABDE ,其中(11),(10),D E --，，因此所求概率为梯形OABC 面积与矩形ABDE 面积的比值，即11(1)1524.216⨯+⨯=考点：几何概型概率10.设函数()sin(2),[,]66f x x x a ππ=+∈-的值域是1[,1]2-，则实数a 的取值范围为 ．【答案】[,]62ππ【解析】试题分析：因为[,]2[,2],6666x a x a ππππ∈-⇒+∈-+1()sin(2)[,1]62f x x π=+∈-，所以72[,][,]62662a a πππππ+∈∈, 考点：三角函数性质11.已知函数()f x 满足：当[]1,3x ∈时，()ln f x x =，当1[,1)3x ∈时，1()2()f x f x =．若在区间1[,3]3内，函数()()(0)g x f x ax a =->恰有一个零点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】1(,6ln3]e【解析】考点：函数零点12.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>和圆222:O x y b +=，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ，满足60APB ∠= ，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ．【答案】 【解析】试题分析：在四边形OAPB 中，60APB ∠= ，90OAP OBP ∠=∠= ，OA OB b ==，2OP b ∴=，由题意得，2b a ≤，即a，化解得c a ≥，又在椭圆中1e <，1e ≤<． 考点：圆的切线，椭圆离心率13.设数列{}n a 的通项公式为13()2n n a -=，则满足不等式113n ni i i i a a ==>∑∑的正整数n 的集合为 ．【答案】{1，2，3} 【解析】试题分析：由于数列{}n a 的通项公式为13()2n n a -=，所以数列{}n a 为等比数列，首项为132a =，公比132q =；数列1{}n a 也是等比数列，首项为23，公比223q =．不等式113n ni i i i a a ==>∑∑等价于1113nni i i i a a ==>∑∑，即231()1()3231132n n --⋅>--，解之得22()193n <<，n N *∈ ，n ∴只能取1,2,3．考点：等比数列求和14.设函数()332x x f x x -=--，则满足12(2)(log )0x f x -<的x 的取值范围是 ．【答案】(0,1)(2,)+∞ 【解析】试题分析：()3ln33ln32(33)ln322ln320x x x x f x --'=+-=+-≥-> ，∴函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，且(0)0f =，112220(2)(log )0log 0x x f x x ->⎧⎪∴-<⇔⎨<⎪⎩或1220log 0x x -<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得2x >或01x <<．考点：利用导数解不等式二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan (2)tan b A c b B =-． （1）求角A 的大小；（2）设AD BC ⊥，D 为垂足，若2b =，3c =，求AD AC ⋅u u u r u u u r的值．【答案】（1）3A π=（2）277【解析】试题分析：（1）由正弦定理，将边角关系统一化为角：sin sin sin (2sin sin )cos cos A BB C B A B⋅=-⋅，再利用两角差正弦公式及诱导公式进行化简：sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-⇒sin()2sin cos A B C A +=⇒1cos 2A =解得3A π=（2）先利用AD BC ⊥化简AD AC ⋅uuu r uu u r得：2AD AC AD AD DC AD ⋅=⋅+= （）,因此关键求AD ，这可利用余弦定理解出a =再根据面积公式求出高AD ：11sin 22BC AD AB AC A ⋅=⋅⋅⇒AD =试题解析：（1）tan (2)tan b A c b B =- ， ∴由正弦定理，得sin sin sin (2sin sin )cos cos A BB C B A B⋅=-⋅, 又 在ABC ∆中，sin 0B ≠， sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B ∴=-， 即sin()2sin cos A B C A +=， 又 sin()sin 0A B C +=≠， 1cos 2A ∴=， 又 0A π<<，3A π∴=；（2） 由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-， 2b =，3c =，3A π=，a ∴11sin 22BC AD AB AC A ⋅=⋅⋅32AD =⋅，AD ∴= 227cos 7AD AC AD AC C AD AD ⋅∠∴⋅=== .考点：正余弦定理，向量数量积 16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD BC ⊥，G 为PA 上一点． （1）求证：平面PCD ⊥平面ABCD ；（2）若PC ∥平面BDG ，求证：G 为PA 的中点．【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）证面面垂直，关键证线面垂直，由于PD BC ⊥，又底面ABCD 为矩形BC CD ⇒⊥，因此BC ⊥平面PCD ，进而平面ABCD ⊥平面PCD ；（2）先根据线面平行性质定理，将转化为线线平行：连接AC ，交BD 于O ，连接GO ， //PC 平面BDG //PC GO ∴，再根据中位线性质得G 为PA 的中点.PBC DG试题解析：（1） 底面ABCD 为矩形，BC CD ∴⊥，又PD BC ⊥ ，,CD PD PCD ⊂平面，PD CD D = ， BC ∴⊥平面PCD ，又BC ABCD ⊂ 平面， ∴平面ABCD ⊥平面PCD ； （2）连接AC ，交BD 于O ，连接GO ， //PC 平面BDG ，平面PCA 平面BDG GO =， //PC GO ∴，PG COGA OA∴=， 底面ABCD 为矩形， ∴O 是AC 的中点，即CO OA =， PG GA ∴=， ∴G 为PA 的中点.考点：面面垂直判定定理，线面平行性质定理 17.（本小题满分14分）如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB ．位于该市的某大学M 与市中心O的距离OM =，且AOM β∠=．现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M ．其中 tan 2α=，cos β=15AO km =．（1）求大学M 与站A 的距离AM ； （2）求铁路AB 段的长AB ．【答案】（1）（2） 【解析】试题分析：（1）在AOM ∆中，已知两边一角，利用余弦定理求第三边：2222cos AM OA OM OA OM AOM =+-⋅⋅∠AM ⇒=2）在AOM ∆中，可利用正弦定理求出角4MAO π∠=，这样在AOB ∆中，已知两角及一边，可利用正弦定理求其余两边：sin sin AB AOAOB ABO=∠∠AB ⇒=试题解析：（1）在AOM ∆中，15AO =，AOM β∠=且cos β=OM =由余弦定理得，2222cos AM OA OM OA OM AOM =+-⋅⋅∠2215215=+-⨯13915152315372.=⨯+⨯-⨯⨯⨯=AM ∴=M 与站A 的距离AM为； （2）cos β=，且β为锐角，sin β∴=在AOM ∆中，由正弦定理得，sin sin AM OMMAOβ=∠,，sin MAO ∴∠=，4MAO π∴∠=， 4ABO πα∴∠=-， tan 2α=，sin α∴=，cos α=，sin sin()4ABO πα∴∠=-=AOB πα∠=-，sin sin()AOB πα∴∠=-=，在AOB ∆中，15AO =， 由正弦定理得，sin sin AB AOAOB ABO=∠∠，即15AB =，AB ∴=AB 段的长AB为． 考点：三角函数应用，正余弦定理 18.（本小题满分16分）设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为e =，直线y x =椭圆C的短半轴长为半径的圆O 相切． （1）求椭圆C 的方程； （2）设直线12x =与椭圆C 交于不同的两点,M N ，以线段MN 为直径作圆D ．若圆D 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABD ∆的面积；（3）如图，1A 、2A 、1B 、2B 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线2B P交x 轴于点F ，直线12A B 交2A P 于点E ．设2A P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m k -为定值．【答案】（1）2214x y +=（2（3）详见解析【解析】试题分析：（1）两个独立条件可求出椭圆标准方程，一个根据直线与圆相切得1b =，再利用e =解得2a =（2）本题实质求圆中弦长，先求出11((,22M N ，确定圆心及半径，再根据垂径定理得AB ==，从而可得面积（3）本题实质研究2A P 的斜率与EF 的斜率的关系：解题思路可为利用2A P 的斜率k 表示EF 的斜率，先用2A P 的斜率k 分别表示出222824(,)1414k kP k k --++，2(21)(,0)21k F k -+及424(,)2121k k E k k +--，再表示EF 的斜率421212(21)4242121kk k m k k k k -+-==-+-+-，这里有一定运算量试题解析：（1）圆O 的方程为222x y b +=，直线y x =O 相切，b =，即1b =，又e =，， 2a ∴=， ∴椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由题意，可得11((,22M N ， ∴圆D的半径r =AB ∴==，∴ABD ∆的面积为1122S ==； （3）由题意可知1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)A A B B --，2A P 的斜率为k ，∴直线2A P 的方程为(2)y k x =-， 由2214(2)x y y k x =+=-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222(14)161640k x k x k +-+-=， 其中2A x =，228214P k x k -∴=+，222824(,)1414k kP k k --∴++，则直线2B P 的方程为211221)k y x k +=-+-（， 令0y =，则2(21)21k x k -=+， 即2(21)(,0)21k F k -+， 直线12A B 的方程为220x y -+=，由220(2)x y y k x -+=⎧⎨=-⎩，解得4221421k x k k y k +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，424(,)2121k k E k k +∴--， ∴EF 的斜率421212(21)4242121kk k m k k k k -+-==-+-+- ，∴2112242k m k k +-=⋅-=（定值）． 考点：直线与圆位置关系，直线与椭圆位置关系 19.（本小题满分16分）已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，其中函数()y g x =的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴． （1）确定a 与b 的关系；（2）若0a ≥，试讨论函数()g x 的单调性；（3）设斜率为k 的直线与函数()y f x =的图象交于两点1122(,),(,)A x y B x y 12()x x <，求证：2111k x x <<． 【答案】（1）21b a =--（2）①当0a =时，在(1,)+∞单调减函数，在(0,1)单调增；②当102a <<时，在(11,)2a 上单调减；在(12,)a +∞和(0,1)单调增；③当12a =时，在(0,)+∞单调增；④当12a >时．()g x 在(1,)+∞和(0,12)a 单调增；在(1,1)2a单调减（3）详见解析 【解析】试题分析：（1）利用导数几何意义，确定a 与b 的关系：(1)120g a b '=++=⇒21b a =--（2）根据导函数零点分布情况依次讨论：由(21)(1)()(0)ax x g x x x --'=>知需分0a =，102a <<，12a =，12a >四种情况讨论（3）先分析所证不等式结构，设210x x >>，（3）由题设210x x >>， 21212211ln ln 1111x x k x x x x x x -∴<<⇔<<-21212121ln ln x x x x x x x x --⇔<-<22211111ln 1x x x x x x ⇔-<<- ① 令()ln 1(1)h x x x x =-+>，则11()1(1)x h x x x x-'=-=>， 1x ∴>时，()0h x '<， ∴函数()h x 在(1,)+∞是减函数，而(1)0h =，1x ∴>时，()(1)0h x h <= 210x x >> ，211x x ∴>， 222111()ln 10x x x h x x x ∴=-+<，即2211ln 1x xx x <-， ② 令1()ln 1(1)H x x x x =+->，则22111()(1)x H x x x x x-'=-=>， 1x ∴>时，()0H x '>， ∴()H x 在(1,)+∞是增函数， 1x ∴>时，()(1)0H x H >=，2221111()ln 10x x H x x x x ∴=+->，即221111ln x x x x -< ③由①②③得2111k x x <<．考点：导数几何意义，利用导数求函数单调性，利用导数证不等式 20.（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n n a S An Bn C +=++*(0,)A n N ≠∈． （1）当1C =时，①设n n b a n =-，若132a =，294a =．求实数,A B 的值，并判定数列{}nb 是否为等比数列；②若数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值； （2）当0C =时，若数列{}n a 是等差数列，11a =，且*n N ∀∈，131ni n λ=-≤+ 求实数λ的取值范围．【答案】（1）①13,22A B ==，数列{}n b 是等比数列；②3；（2）3λ≤【解析】试题分析：（1）①由132a =，294a =列出关于,A B 两个独立条件，解出13,22A B ==，利用1(2)n n n a S S n -=-≥解出递推关系式121n n a a n --=+，再根据n n b a n =-，构造11[(1)]2n n a n a n --=--，从而得证数列{}n b 是等比数列；②从数列{}n a 是等差数列出发，将条件转化为关于n 恒等式：2211()122d d n a n a d An Bn +++-=++，消去1a ，d 得出,A B 关系，即可求出1B A -的值；（2）本题实质求和1ni =(1)1111(1)1n n n n n n ++==+-++，以下就简单了，一是裂项相消求和，二是恒成立转化为最值求解试题解析：（1）1C = ，21n n a S An Bn ∴+=++， ①令1n =，可得121a A B =++，即2A B +=， 令2n =，可得122421a a A B +=++，即425A B +=，13,22A B ∴==,213122n n a S n n ∴+=++， ①当2n ≥时，21113(1)(1)122n n a S n n --∴+=-+-+， ②①-②，得121n n a a n --=+(2)n ≥，11[(1)]2n n a n a n -∴-=--，即112n n b b -=，又111102b a =-=≠，0n b ≠， 112n n b b -=∴， ∴数列{}n b 是等比数列； ② 数列{}n a 是等差数列，∴设11(1)(1),2n n n n a a n d S na d -=+-=+， 21n n a S An Bn +=++ ，1221()221d dn a n a An B d n ∴++++=+-，*n N ∈11221d A d B a a d ⎧=⎪⎪⎪∴=+⎨⎪-=⎪⎪⎩，111122122223d d d a a d d d Ad B +--=++-∴===； （2）当0C =时，2n n a S An Bn +=+数列{}n a 是等差数列，11a =，∴(1)1(1),2n n n n a n d S n d -=+-=+， 22(1)122d dn n An Bn d ∴++=++-， 1d ∴=，n a n ∴=，(1)1111(1)1n n n n n n ++=+-++，1111ni n n =+-∴+，13311111n i n n n n λλ=∴-≤-≤+-+++，即211n n λ≤+++， *n N ∴∀∈，211n n λ≤+++， 令2()f x x x =+， 22222()1x f x x x -'=-= ，当2x ≥时，()0f x '>， ()f x ∴在[2,)+∞上是增函数，而12n +≥，min 2(1)31n n ∴++=+， 3λ∴≤．考点：等比数列定义，裂项相消求和，数列最值附加题21.A （选修４－１：几何证明选讲）如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD 的垂直平分线．已知6,AB CD ==AC 的长度．DCBA【答案】AC 【解析】试题分析：因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，在直角三角形ABC 中由射影定理得AC 的长度．试题解析：连接BC ，,AB CD 相交于点E ．因为AB 是线段CD 的垂直平分线， 所以AB 是圆的直径，∠ACB＝90°．设AE x =，则6EB x =-，由射影定理得2CE ＝AE ·EB，又CE (6)5x x -=，解得1x =（舍）或5x =所以，2AC ＝AE ·AB ＝5×6＝30，AC = 考点：射影定理21.B （选修４－２：矩阵与变换）若点(2,1)A 在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应变换的作用下得到点(4,5)B ，求矩阵M 的逆矩阵． 【答案】 【解析】试题分析：先由矩阵对应关系求出2,3.a b =⎧⎨=⎩，再根据逆矩阵公式求逆矩阵 试题解析：2415⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即24215a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， ∴24,21 5.a b +=⎧⎨-=⎩ 解得2,3.a b =⎧⎨=⎩，∴1231M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 解法一：12det()731M ∴==--， 11212777731317777M ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 解法二:设1c d M e f -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由1M M -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得32103201c d c d e fe f +-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦∴31,30,20,2 1.c d e f c d e f+=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩ 解得1,72,73,71.7c d e f ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩112773177M -⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 考点：逆矩阵21.C （选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，设圆C经过点P ，圆心是直线sin()3πρθ-=求圆C 的极坐标方程． 【答案】2cos ρθ= 【解析】试题分析：先求出圆心坐标(1,0)，再利用余弦定理求半径1r ，最后写出圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=．试题解析：因为圆心为直线2sin()sin 33ππρθ-=与极轴的交点，所以令0θ=，得1ρ=，即圆心是(1,0)，又圆C 经过点6P π，）， ∴圆的半径1r =，∴圆过原点，∴圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=．（说明：化为普通方程去完成给相应的分数） 考点：圆极坐标方程21.D （选修４－５：不等式选讲） 设,,a b c 均为正数，1abc =．求证：111a b c++≥ 【答案】详见解析 【解析】试题分析：根据均值不等式，得11a b +≥=，11b c +≥=，11a c +≥=三式相加即得试题解析：由,,a b c 为正数，根据平均值不等式，得11a b +≥，11b c +≥，11a c +≥．将此三式相加，得1112()a b c ++≥111a b c ++≥．由1abc =1=．所以，111a b c ++≥+= 考点：均值不等式【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22.22．（本小题满分10分） 已知数列{}n a 满足11a =-，*1(33)46,n n n a n a n N n++++=∈．（1）求证：数列2n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设1*3,2n n n b n N a -=∈+，求证：当2n ≥，*n N ∈时，12241521n n n b b b n +++++<-+ ． 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）由等比数列定义知即证1221n n a a n n++++与比值为非零常数，代入化简即可1(33)4622(33)(2)2311(1)n n n nn a n a n a a n n n n n n +++++++++===+++（2）由（1）得123n n a n -+=，132n n a n -∴=⋅-，1312n n n b a n -∴==+，即证11141122521n n n n +++<-+++ ，这可利用数学归纳法进行论证 试题解析：（1）令2n n a c n+=， 则11(33)4622(33)(2)23311(1)n n n n n n n a n a n a a n c n n n c n n ++++++++++====+++=， 11210c a =+=≠ ，0n c ∴≠，13n nc c +∴=， ∴数列{}n c ，即2n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由（1）得123n n a n-+=，132n n a n -∴=⋅-，1312n n n b a n -∴==+， 下面用数学归纳法证明当2n ≥，*n N ∈时，12241521n n n b b b n +++++<-+ ． ①当2n =时，不等式的左边341173412b b =+=+=，右边413555=-=，而73125<，∴2n =时，不等式成立；②假设当(2)n k k =≥时，不等式成立，即12241521k k k b b b k +++++<-+ ； 当1n k =+时，11122(1)12221221()()k k k k k k k k k b b b b b b b b b +++++++++++++=+++++- 4111152121221k k k k <-++-++++ 41152214152(1)4152(1)1k k k k =+-++=-+<-++∴当1n k =+时，不等式也成立．由①②可得，当2n ≥，*n N ∈时，12241521n n n b b b n +++++≤-+ ． 考点：等比数列定义，数学归纳法 23.（本小题满分10分）如图，已知点(0,)F p ，直线:(0)l y p p p =->其中为常数且，M 为平面内的动点，过M 作l 的垂线，垂足为N ，且NM NF FM FN ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r．（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设Q 是l 上的任意一点，过Q 作轨迹C 的切线，切点为A 、B ． ①求证：A 、Q 、B 三点的横坐标成等差数列；②若(4,)Q p --，20AB =，求p 的值．【答案】（1）24x py =（2）①详见解析②1p =或4p =. 【解析】试题分析：（1）直接法求轨迹：设点(,)M x y 坐标，将条件NM NF FM FN ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r用坐标表示并化简即可得24x py =（2）①用0(,)Q x p -点横坐标分别表示A 、B 横坐标，22101240x x x p --=及22202240x x x p --=，所以12,x x 是方程220240x x x p --=的两根，得出关系1202x x x +=是解题目标②20AB =⇔2020⇔=20⇔=，再由1221284x x x x p +=-⎧⎨⋅=-⎩1p ⇒=或4p =. 试题解析：（1）设(,)M x y ，则(,)N x p -，(0,)NM y p ∴=+， (,2)NF x p =- ，(,)FM x y p =- ，(,2)FN x p =- ，NM NF FM FN ⋅=⋅，22()2()p y p x p y p ∴+=--，24x py ∴=，即动点M 的轨迹C 的方程为24x py =；另解：设(,)M x y ，则(,)N x p -，NM NF FM FN ⋅=⋅，()0NF MN MF ∴⋅+= ，∴以,MN MF 为邻边的平行四边形是菱形，MF MN ∴=，y p =+ ，24x py ∴=，即动点M 的轨迹C 的方程为24x py =； （2）①设0(,)Q x p -，211(,)4x A x p ，222(,)4x B x p ，则切线QA 的方程2111(,)42x xy x x p p-=-， 21101()42x xp x x p p∴--=-，22101240x x x p ∴--=， ①同理22202240x x x p ∴--=， ② 方法1:①②得12120()(2)0x x x x x -+-=，12120,20x x x x x ≠∴+-= ，1202x x x ∴+=，即A 、Q 、B 三点的横坐标成等差数列. 方法2：由①②得12,x x 是方程220240x x x p --=的两根， 1202x x x ∴+=，即A 、Q 、B 三点的横坐标成等差数列.②由①②得12,x x 是方程220240x x x p --=的两根，12021224x x x x x p +=⎧∴⎨⋅=-⎩， (4,)Q p -- ，1221284x x x x p +=-⎧∴⎨⋅=-⎩， 20AB =，20，20=，20=， 4217160p p ∴-+=，1p ∴=或4p =.考点：直接法求曲线轨迹，直线与抛物线位置关系。
江苏省通锡苏高考密卷数学试题(二).docx
通锡苏2015届高考数学密卷注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共7页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合{}{}=125,=4A B a a +，，,，若=A B B I ,则实数a =___________.2. 若复数()(1)a bi i ++为纯虚数（i 为虚数单位），则a b -=___________.3. 某位同学在中学阶段六年中，每年阅读的文学著作数目分别为6,9,5,8,10,4，则该组数据的方差2=s ___________.4. 通锡苏学大教育欲举办主题为“我环保、我行动”的环保知识竞猜活动.某校区准备从甲、乙、丙、丁四名同学中随机的选取两名代表参加比赛，则甲、乙两人至少有一人被选中的概率为__________.5. 右图是一个算法流程图，则输出的k 值是__________.6. 在平行四边形ABCD 中，E 为BC 中点，32AB AD ==，，则AE DE ⋅=u u u r u u u r__________.7. 函数75()2sin 3,([,])61818f x x x πππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭的图像与直线1y =交于P Q 、两点，则=PQ u u u r__________.8.已知()f x 是定义在R 上的偶函数.当0x ≥时，23()1x f x x -=+，则不等式(ln )f x <1的解集为 ．9. 如图，三棱锥P ABC -的体积为12，D 为PB 中点，且1// //2EF MN AC ，则三棱柱BEF DMN -的体积为________. 10. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，A B 、分别为椭圆上顶点和右顶点，若=2AB BF a +，则椭圆离心率是 ．11. 在ABC ∆中，2AB BC =，则cos A 的最小值是 ．12. 已知函数()2x f x e ax =-与32()(21)g x x ax a x =-+-+的图像不存在相互平行或重合的切线，则实数a 的取值范围为 ．13. 已知函数2+1,1()52,x x x f x x x ⎧+≤=⎨->1⎩，若方程()f x m =有两个不相等的实数根12x x 、，且121x x +<-，则实数m 的取值范围为 ．14.已知等差数列{}n a 通项公式为2n a n =，公比为q 的等比数列{}n b 满足()n n b a n N +≥∈恒成立，且44b a =，则公比q 的取值范围为___________.二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15.(本小题满分14分)如图，单位圆O e 与x 轴正半轴交于点A ，角α与β的终边分别与单位圆交于(,)(,)B B C C B x y C x y 、两点，且满足4πβα-=，其中α为锐角.（1）当AOB ∆为正三角形时，求OC AB ⋅u u u r u u u r；（2）当35C x =-时，求AOB S ∆. 16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱'''ABC A B C -中，侧面''AA C C 为正方形，'5AA =，4BC =，''=3A B ，E F 、分别是''A C BC 、的中点．（1）证明：'//C F 面ABE ； （2）证明：面ABE ⊥面''BB C C .17.（本小题满分14分） 如图，在半径为2，圆心角为2π的扇形金属材料中剪出一个四边形MNQP ，其中M N 、两点分别在半径OA 、OB 上，P Q 、两点在弧AB 上，且OM ON =，//MN PQ .（1）若M N 、分别是OA OB 、中点，求四边形MNQP 面积的最大值. （2）若2PQ =，求四边形MNQP 面积的最大值.18.(本小题满分16分)如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，B A 、分别是其左右顶点，直线AE 交其右准线CE 于点E ，交椭圆于点1(,3)D e,其中e 为椭圆的离心率，B 为线段OC 的中点.圆C 是以C 点为圆心，CB 长为半径的圆.P 为直线AE 上任意一点，过P 向圆C 作切线，切点分别为N M 、.（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：线段MN 的中点在一个定圆上. 19.（本小题满分16分）设函数()||ln f x x b a x =--，其中a b 、均为非负实数. （1）当0b >时，若函数()f x 在x b =处取得极小值，证明：0a b ≤≤.（2）若对1[,]a e e∀∈，不等式()0f x ≥恒成立，求实数b 的值；（3）若(0,)a ∃∈+∞，使得方程2()1f a b =-有解，试求实数b 的取值范围. 20.（本小题满分16分）在数列{}n a 中，3=3()n n a a n N +++∈，11a =，n S 是其前n 项和.记(00,1)n S a n a n b c a c c ++=≥>≠，.（1）设数列{}32()n a n N -+∈的前n 项和为n T ，求n T 表达式； （2）若158=15120S a =，证明：{}n a 为等差数列；（3）若数列{}n b 为等比数列，求数列{}n a 的通项公式，并求此时实数a 的值.通锡苏2015届高考数学密卷数学附加题21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应．．．．．．．．．．．．． 的答题区域内作答．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知AB 为O e 的直径，弦CD 垂直AB 于点E ，线段EF 垂直于BC ，并反向延长交AD 于点M . 证明:M 为AD 中点.B ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵2()21a A a R ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的一个特征值为1-，求矩阵A 的另一个特征值及对应的特征向量. C ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为22sin()4ρθπ=+，求圆C 上的点到直线sin()23πρθ+=-距离的最小值．D ．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）已知正实数x y z 、、满足221x y z ++=.求3xy yz xz ++的最大值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，2,4PA AB AD ===，E 为线段PD 上一动点（不含端点），记PEPDλ=. （1）当1=2λ时，求异面直线PB 与EC 所成角的余弦值. （2）当平面PAB 与平面ACE 所成二面角的余弦值为13时，求λ的值.23. (本小题满分10分).若存在一数列的前n 项和为n na ，则称该数列为数列{}n a 的“一阶衍生数列”，记作{}1()n a ；同样的，若存在一数列的前n 项和为1()n n a ，则称该数列为数列{}n a 的“二阶衍生数列”，记作{}2()n a .记()m k a 为数列{}n a 的“k 阶衍生数列”中的第m 项.已知等差数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （1）写出数列{}2()1n a -的前四项；（2）求证：对任意给定的2m ≥且m N +∈，数列{}()1m n a -为等比数列.。
高考南通密卷九(南通市数学学科基地命题).docx
马鸣风萧萧高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015年高考模拟试卷(9)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．已知集合{}0,1,3M =，集合{}3,N x x a a M ==∈，则MN = ．2．已知复数z 在复平面内对应的点在第一象限，且虚部为1，模为2，则复数z 的实部 为 ． 3．采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，420，则抽取的21人中，编号落入区间[]241,360上的人数为 ．4．运行如图算法语句，则输出的结果为 ．5．将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的 放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ．6．已知{}n a 是等差数列，满足75230a a --=，则a 9 = ． 7．若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ．8．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线3y x =无交点，则离心率e 的取值范围是 ．9．若1cos()33πα-=，则sin(2)απ6-= ．10．ABC ∆是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点，14AM AB m AC =+⋅，向量AM 的终点M在ACD ∆的内部（不含边界），则AM BM ⋅的取值范围是 ．11．已知函数22()21f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，则实212002Print S I WhileS I I S S I End While I ←←≤←+←⨯马鸣风萧萧AE D CB数a 的取值范围为 ．12. 已知直线l 经过点()1,1P ，且被两平行直线011=++y x l ：和062=++y x l ：截得的线段之长为37，则直线l 的方程为 ．13．已知函数x x x f ln )(=，当012>>x x 时，给出以下几个结论：①0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x ；②1)()(2121<--x x x f x f ；③1221)()(x x f x x f +<+； ④)()(2112x f x x f x <，其中正确的命题的序号是 ．14．对于集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅（*,3)n N n ∈≥，定义集合,1}{i j x a a i j n S x =+≤<≤=，若21n a n =+，则集合S 中各元素之和为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）在四边形ABCD 中，CA ＝CD ＝12AB ＝1， AB AC ⋅＝1， sin ∠BCD ＝35．（1）求BC 的长；（2）求三角形ACD 的面积．16．（本小题满分14分）如图，六面体ABCDE 中，面DBC ⊥面ABC ，AE ⊥面ABC ．（1）求证：AE //面DBC ；（2）若AB ⊥BC ，BD ⊥CD ，求证：AD ⊥DC ．C A B马鸣风萧萧O B MC D EF （第17题）N xy17.（本小题满分14分）如图，某小区有一矩形地块OABC ，其中2=OC ，3=OA ，单位百米. 已知OEF 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边EF 相切于点M 的直路l （宽度不 计），交线段OC 于点D ，交线段OA 于点N .现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数()2202y x x =-+剟的图象.若点M 到y 轴距离记为t .(1) 当32=t 时，求直路l 所在的直线方程； (2) 当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？18．（本小题满分16分）已知椭圆C 中心在坐标原点，对称轴为y 轴，且过点(4,2)M 、(6,3)N .（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 上的任一点00(,)R x y ，从原点O 向圆2200:()()8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于,P Q .试探究22OP OQ +是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由．马鸣风萧萧19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝1x －a ＋λx －b(a ，b ，λ为实常数)．（1）若λ＝－1，a ＝1．①当b ＝－1时，求函数f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程；②当b ＜0时，求函数f (x )在[13，12]上的最大值．（2）若λ＝1，b ＜a ，求不等式f (x )≥1的解集构成的区间D 的长度．（定义区间),(d c ，),[d c ，],(d c ，],[d c 的长度均为c d -，其中c d >．）20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{M n }满足条件：M 1=1t S ，当n ≥2时，M n = n t S －1n t S -，其中数列{t n }单调递增，且t n ∈N *．（1）若a n ＝n ，①试找出一组t 1、t 2、t 3，使得M 22＝M 1M 3；②证明：对于数列a n ＝n ，一定存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方；（2）若a n ＝2n －1，是否存在无穷数列{t n }，使得{M n }为等比数列．若存在，写出一个满足条件的数列{t n }；若马鸣风萧萧不存在，说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．． A ．（选修4－1：几何证明选讲）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，BE 切⊙O 于点B ，D 是CE 与⊙O 的交点．若60BAC ∠=， 2BE =，4BC =，求线段CD 的长．B ．（选修4－2：矩阵与变换）变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求点(2,1)P 在1T 作用下的点'P 的坐标；（2）求函数2y x =的图象依次在1T ，2T 变换的作用下所得曲线的方程．C ．（选修4－4：坐标系与参数方程）已知直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角6πα=．（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积．A CB O D E马鸣风萧萧D ．（选修4－5：不等式选讲）对任给的实数a 0a ≠()和b ，不等式()12a b a b a x x ++-⋅-+-≥恒成立，求实数x 的取值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x ，y ．设ξ为随机变量，若x y 为整数，则0ξ=；若x y为小于1的分数，则1ξ=-；若x y为大于1的分数，则1ξ=．（1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．23．（本小题满分10分）已知b a ,为整数且0a b >>，222sin ab a b θ=+，其中02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,，=n A ()22sin na bn θ+，求证：对一切正整数n ，n A 均为整数．马鸣风萧萧2015年高考模拟试卷(9)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．{}0,3； 2．1； 3．6； 4．7； 5．29； 6．3 ； 7．5π； 8． (1,2] ； 9．79-；10．()2,6-．【解析】14AM AB m AC =+⋅，根据向量分解基本定理，可得13,44m ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 所以()1344AM BM AM BA AM AB m AC AB m AC ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅+=+⋅-+⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2133162,644AB m AC AB m AC m ⎛⎫⎛⎫=+⋅-+⋅=-+∈-⎪⎪⎝⎭⎝⎭11．(],2-∞-．【解析】()0f x <的解集为(1,1)a a -+，所以()1f x a ≤-或()1f x a ≥+恒成立，又[)()1,f x ∈-+∞，所以112a a -≥+⇒≤-．12．670x y +-=或670x y +-=．【解析】设直线l 与1l 和2l 的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意可得()()1122221212106037x y x y x x y y ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪-+-=⎪⎩，令12x x t -=，可得125y y t -=-，代入()()22121237x x y y -+-=可得6t =或1t =-，而所求直线的斜率12125y y tk x x t--==-，代入可得16k =-或6k =-，所以所求直线的方程为670x y +-=或670x y +-=． 13． ④.【解析】x x x f ln )(= ，所以()1ln f x x '=+，令()1ln 0f x x '=+<，得10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以x x x f ln )(=在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，而在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内是单调递增，可知①不正确，令()()F x f x x =-，则()()1ln F x f x x ''=-=，可得()()F x f x x =-在()0,+∞不是单调的，马鸣风萧萧所以②③不正确，令()()ln f x G x x x==，得()()f x G x x=是单调递增，所以④正确．14．24212n n +-．【解析】考察(1)i j a a i j n +≤<≤中[]3,21i j n +∈-，S 中的元素组成23n -项的等差数列，1218,4n n a a a a n -+=+=，所以各元素之和为24212n n +-． 二、解答题15．（1）1cos 1cos 2AB AC AB AC BAC BAC ⋅=⋅∠=⇒∠=在⊿ABC 中由余弦定理知2222cos 3BC AC AB AB AC BAC =+-⋅⋅∠= 所以3BC =.（2）在⊿ABC 中, 2222AB AC BC ACB π=+⇒∠=,34sin sin()cos ((0,))sin 255BCD ACD ACD ACD ACD ππ∠=∠+=∠=∠∈⇒∠=,1142sin 112255ACD S CA CD ACD ∆=∠=⨯⨯⨯=.16．（1）过点D 作DO ⊥BC ，O 为垂足．因为面DBC ⊥ 面ABC ，又面DBC ∩面ABC ＝BC ，DO ⊂面DBC ， 所以DO ⊥ 面ABC ．又AE ⊥ 面ABC ，则AE //DO ． 又AE Ø面DBC ，DO ⊂面DBC ，故AE // 面DBC ．（2）由（1）知DO ⊥ 面ABC ，AB ⊂面ABC ，所以DO ⊥AB ． 又AB ⊥ BC ，且DO ∩BC ＝O ，DO ，BC ⊂平面DBC ，则AB ⊥ 面DBC ．因为DC ⊂面DBC ，所以AB ⊥ DC ．又BD ⊥ CD ，AB ∩DB ＝B ，AB ，DB ⊂面ABD ，则DC ⊥ 面ABD ．又AD ⊂ 面ABD ，故可得AD ⊥ DC ．17．(1) 由题意得()214,39M ，又因为2y x '=-，所以直线l 的斜率34-=k ，故直线l 的方程为()1442933y x -=--，即92234+-=x y .(2) 由(1)易知)(2)2(:2t x t t y l --=--，即222++-=t tx y .令0=y 得()122x t t =+，令0x =得22y t =+.由题意()2122,223t tt ⎧+⎪⎨⎪+⎩≤≤解得221t -≤≤. ()()2112222ODN S t t t ∆∴=⋅++()31444t t t =++.令()()31444g t t t t=++，马鸣风萧萧则()()42222143443444t t g t t t t +-'=+-=()()2222324t t t +-=.当63t =时，()603g '=;当()622,3t ∈-时，()603g '<;当6(,1)3t ∈时，6()03g '> ∴当63t =时，min 68()() 6.39g t g == ∴所求面积的最小值为86 6.9-.18．(1)依题意，设此椭圆方程为221mx ny +=，过点(4,2)M 、(6,3)N ，可得1641691m n m n +=⎧⎨+=⎩，解之得11,2412m n ==， 所以椭圆C 的方程为2212412x y +=． (2)(i)当直线,OP OQ 的斜率均存在时,不妨设直线1:OP y k x =,2:OQ y k x = 依题意10021||221k x y k -=+,化简得222010010(8)280x k x y k y --+-= ， 同理222020020(8)280x k x y k y --+-=.所以12,k k 是方程2220000(8)280x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，22201220844228y b b ac b b ac c k k a a a x --+----===-. 因220012412x y +=，所以22001122y x =-. 所以21220141282x k k x -==--, 设1122(,),(,)P x y Q x y ,则121212y y x x ⋅=-,所以2222121214y y x x =，马鸣风萧萧因为221122221241212412x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以2211222211221122y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以22221212111(12)(12)224x x x x --=， 所以221224x x +=， 221212y y +=，所以2236OP OQ +=．(ii)当直线,OP OQ 落在坐标轴上时,显然有2236OP OQ +=综上，2236OP OQ +=．19． (1)①当b ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x ＋1＝2x 2－1，则f ′(x )＝－4x (x 2－1)2，可得f ′( 2)＝－42，又f (2)＝2，故所求切线方程为y －2＝－4 2(x － 2)，即42x ＋y －10＝0． ②当λ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x －b， 则f ′(x )＝－1(x －1)2＋1(x －b )2＝(x －1)2－(x －b )2(x －1)2(x －b )2＝2(b －1)(x －b ＋12)(x －1)2(x －b )2．因为b ＜0，则b －1＜0 ，且b ＜b ＋12＜12故当b ＜x ＜b ＋12时，f ′(x )＞0，f (x )在(b ，b ＋12)上单调递增；当b ＋12＜x ＜12 时，f ′(x )＜0，f (x )在(b ＋12，12)单调递减．(Ⅰ)当b ＋12≤13，即b ≤－13时，f (x )在[13，12]单调递减，所以[f (x )]max ＝f (13)＝9b －92－6b ；(Ⅱ)当13＜b ＋12＜12，即－13＜b ＜0时，[f (x )]max ＝f (b ＋12)＝4b －1．综上所述，[f (x )]max ＝⎩⎨⎧4b －1，－13＜b ＜0，9b －92－6b，b ≤－13．,马鸣风萧萧(2) f (x )≥1即1x －a ＋1x －b≥1． (*) ①当x ＜b 时，x －a ＜0，x －b ＜0，此时解集为空集．②当a ＞x ＞b 时，不等式(*)可化为 (x －a )＋(x －b )≤(x －a )(x －b )，展开并整理得，x 2－(a ＋b ＋2)x ＋(ab ＋a ＋b )≥0，设g (x )＝x 2－(a ＋b ＋2)x ＋(ab ＋a ＋b )，因为△＝(a －b )2＋4＞0，所以g (x )有两不同的零点，设为x 1，x 2(x 1＜x 2)，又g (a )＝b －a ＜0，g (b )＝a －b ＞0，且b ＜a ，因此b ＜x 1＜a ＜x 2，所以当a ＞x ＞b 时，不等式x 2－(a ＋b ＋2)x ＋(ab ＋a ＋b )≥0的解为b ＜x ≤x 1．③当x ＞a 时，不等式(*)可化为 (x －a )＋(x －b )≥(x －a )(x －b )，展开并整理得，x 2－(a ＋b ＋2)x ＋(ab ＋a ＋b )≤0，由②知，此时不等式的解为a ＜x ≤x 2 ,综上所述，f (x )≥1的解构成的区间为(b ，x 1]∪(a ，x 2]，其长度为(x 1－b )＋(x 2－a )＝x 1＋x 2－a －b ＝a ＋b ＋2－a －b ＝2．20．（1）若a n ＝n ，则S n ＝n 2＋n 2， ①取M 1＝S 1＝1，M 2＝S 4－S 1＝9，M 3＝S 13－S 4＝81，满足条件M 22＝M 1M 3， 此时t 1＝1，t 2＝4，t 3＝13．②由①知t 1＝1，t 2＝1＋3，t 3＝1＋3＋32，则M 1＝1，M 2＝32，M 3＝92，一般的取t n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12， 此时n t S ＝3n －12(1＋3n －12)2，1n t S -＝3n －1－12(1＋3n －1－12)2， 则n M ＝n t S －1n t S -＝3n －12(1＋3n －12)2－3n －1－12(1＋3n －1－12)2＝(3n －1)2， 所以n M 为一整数平方．马鸣风萧萧因此存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方．（2）假设存在数列{t n }，使得{M n }为等比数列，设公比为q ．因为S n ＝n 2，所以n t S ＝t n 2，则M 1＝t 12，当n ≥2时，M n ＝t n 2－t n －12＝q n －1 t 12， 因为q 为正有理数，所以设q ＝r s(r ，s 为正整数，且r ，s 既约)． 因为t n 2－t n －12必为正整数，则r n －1s n －1t 12∈N *，由于r ，s 既约，所以t 12sn －1必为正整数． 若s ≥2，且{t n }为无穷数列，则当n ＞log s t 12＋1时，t 12s n －1＜1，这与t 12s n －1为正整数相矛盾．于是s ＝1，即q 为正整数．注意到t 32＝M 3＋M 2＋M 1＝M 1(1＋q ＋q 2)＝t 12 (1＋q ＋q 2)，于是t 32 t 12＝1＋q ＋q 2． 因为1＋q ＋q 2∈N *，所以t 32 t 12∈N *． 又t 3t 1为有理数，从而t 3t 1必为整数，即1＋q ＋q 2为一整数的平方． 但q 2＜1＋q ＋q 2＜(q ＋1) 2，即1＋q ＋q 2不可能为一整数的平方．因此不存在满足条件的数列{t n }．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．A ．因为BE 切⊙O 于点B ，所以CBE ∠60BAC =∠=，因为2BE =，4BC =，所以90BEC ∠=，则23EC =．又因为2BE EC ED =⋅，所以233ED =， 所以23432333CD EC ED =-=-=． B ．（1）10110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，12012111012M --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以点(2,1)P 在1T 作用下的点'P 的坐标是'(1,2)P -.（2）211110M M M -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则00x x M y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，也就是⎧⎨⎩000x y x x y -==，即⎧⎨⎩00x y y y x ==-，所以所求曲线的方程是2y x y -=.马鸣风萧萧C ．（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩． （2）把直线312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x ， 得22231(1)(1)4,(31)2022t t t t +++=++-=，122t t =-， 则点P 到,A B 两点的距离之积为2．D ．由题知，a b a b a x x ++-≤-+-21恒成立， 故|1||2|x x -+-不大于a b a b a ++-的最小值，∵||||2|||≥|a b a b a b a b a -++++-=，当且仅当()()0≥a b a b +-时取等号, ∴a ba b a ++-的最小值等于2.∴x 的范围即为不等式|x －1|＋|x －2|≤2的解，解不等式得1522≤≤x ． 22．（1）依题意，数对（x ，y ）共有16种，其中使x y为整数的有以下8种： （1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），所以81(0)162P ξ===； （2）随机变量ξ的所有取值为1-，0，1，1ξ=-有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）， 故63(1)168P ξ=-==； 1ξ=有以下2种：（3，2），（4，3），故21(1)168P ξ===； 所以ξ的分布列为：3111()1018284E ξ=-⨯+⨯+⨯=-， 答：ξ的数学期望为14-． 23．构造n A 的对偶式()22cos n n B a bn θ=+，下面用数学归纳法证明更强的结论：n A ，n B 都是整数． ξ 1- 0 1 P 38 1218马鸣风萧萧（1）当1=n 时，由222sin ab a bθ=+知2222cos a b a b θ-=+，则()221sin 2A a b ab θ=+=，()22221cos B a b a b θ=+=-，于是1A ，1B 都是整数；（2）假设当k n =时，k A 、k B 都是整数，则当1+=k n 时，()sin 1221+++=k k b a A ()()()Z A B B A k k b a k k k k ∈+=++=++11122sin cos cos sin 1θθθθθ．同理可得，Z A A B B B k k k ∈-=+111．由（1）、（2）知n A 、n B 都是整数．。
高考南通密卷六(南通市数学学科基地命题)
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）2015年高考模拟试卷(6)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1. 已知集合{}2,1 0 2 3U =--，，，,{}2,1,3A =--，{}1,2B =-，则()U A B =ðU .2. 已知复数(2)2z i i -=-（i 为虚数单位），则复数z 的模为 .3. 某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的x 值是 .4．如图所示茎叶图是甲乙两组各5名学生的数学竞赛成绩（70分～99分），若甲乙两组的平均成绩一样，则a = ；甲乙两组成绩中相对整齐的是 .5. 假设在6分钟内的任意时刻，两架相同型号的飞机机会均等地进入同一飞机场，若这两架飞机进入机场的时间之差不小于2分钟，飞机不会受到干扰；则飞机受到干扰的概率为_______.6. 若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向左平移π6个单位长度后，与函数cos()4y x pw =+的图象重合，则ω的最小值为_____________. 7. 实数x ，y 满足121,y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩如果目标函数z=x —y 的最小值为-2，则实数m 的值为______.甲 乙 5 7 6 9 8 8 5 9 a 8 9 8 78.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于283cm ，母线与轴的夹角为30，则这个圆台的高为____________.9．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22420x y x y +-+=．若直线3y x b =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数b 的取值范围是__________.10. 在矩形ABCD 中，已知3,2AB AD ==，点E 是BC 的中点，点F 在CD 上，若3AB AF ⋅=则AE BF ⋅的值是 .11．曲线2()(2)ln (1)2f x f x f x x '=-+在点(1,(1))f 处的切线方程为________． 12.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,且2cos 2,c B a b =-若ABC ∆的面积为32S c =，则ab 的最小值为_________. 13. 若对任意的x ∈D ，均有f 1(x)≤f(x)≤f 2(x)成立，则称函数f(x)为函数f 1(x)到函数f 2(x)在区间D 上的“折中函数”．已知函数f(x)＝(k －1)x －1，g(x)＝0，h(x)＝(x ＋1)ln x ，且f(x)是g(x)到h(x)在区间[1,2e]上的“折中函数”，则实数k 的取值集合为________． 14. 已知,m R n R ∈∈并且m+3n=1则33mnme ne +的最小值__________ . 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．(本小题满分14分)在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量(sin(),cos )m C C π=-，(sin(),sin )2n B B π=+，且sin 2m n A ⋅=．（1）求A ； （2）若4c bb c+=，求sinBsinC 的值.16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形， 侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点. ⑴求证：PA ∥平面BDE ；⑵求证：平面BDE ⊥平面PBC.17．（本小题满分14分）如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD ，其中,,AB CD DA 都是线段，曲线段BC 是抛物线的一部分，且点B 是该抛物线的顶点，BA 所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量，AB =2米，3AD =米，AB AD ⊥，点C 到,AD AB 的距离,CH CR 的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形AEFG （其中点F 在曲线段BC 或线段CD 上，点E 在线段AD 上，点G 在线段AB 上）. 设BG 的长为x 米，矩形AEFG 的面积为S 平方米.（1）将S 表示为x 的函数；（2）当x 为多少米时，S 取得最大值，最大值是多少？18．(本小题满分16分) 已知圆M ：()2244x y +-=，点P 是直线l ：20x y -=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ．（1）当切线PA 的长度为23时，求点P 的坐标；（2）若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由； （3）求线段AB 长度的最小值．A B CD E F G R第17题 H19．(本小题满分16分)已知函数2312()23f x x ax =-，函数()()2(1)xg x f x e x =+-，函数'()()g x g x 的导函数为（1）当函数()y f x =在(1,)+∞区间时为减函数，求a 的范围； （2）若a =e(e 为自然对数的底数）； ①求函数g(x)的单调区间； ②证明：'()1ln g x x ≥+20．(本小题满分16分) 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)．(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .求满足不等式T n －22n －1>2 010的n的最小值．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题．．．．．．．．．．．．．．．区域内作答．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图在ABC ∆中，AB=AC ，过点A 的直线与ABC ∆的外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D.求证ABP D ∠=∠B ．（选修４－２：矩阵与变换） 已知矩阵1235A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， (1)求逆矩阵1A -；（2）若矩阵X 满足31AX ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试求矩阵X ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程） 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l 的极坐标方程为sin()224πρθ-=.(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程;(2)已知P 为椭圆22:139x y C +=上一点,求P 到直线l 的距离的最小值.D ．（选修４－５：不等式选讲）已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|5x ＋y |≤1．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22. （本小题满分10分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17。
南通市高三第二次调研测试数学.docx
I ← 1While I < 7 S ← 2 I + 1 I ← I + 2 End While Print S（第4题）南通市2015届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 命题“x ∃∈R ，20x >”的否定是“ ▲ ”．【答案】x ∀∈R ，20x ≤2． 设1i i 1ia b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab 的值为 ▲ ．【答案】03． 设集合{}11 0 3 2A =-，，，，{}2 1B x x =≥，则A B = ▲ ．【答案】{}1 3-，4． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．【答案】115． 一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2) 如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 ▲ ．【答案】0.026． 若函数()π()2sin 3f x x ω=+(0)ω>的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为 ▲ ．【答案】π2BDC（第12题）A7． 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线ln y x =在e x =(e 为自然对数的底数)处的切线与直线30ax y -+=垂直，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】e -8． 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =3 cm ，AD =2 cm ，1AA =1 cm ，则三棱锥11B ABD -的体积为 ▲ cm 3．【答案】19． 已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为2，前n 项和为n S ． 若544k k S a +-=(k *∈N )，则k 的值为 ▲ ．【答案】710．设32()4(3)f x x mx m x n =++-+(m n ∈R ，)是R 上的单调增函数，则m 的值为 ▲ ． 【答案】611．在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ⋅=⋅3=，则线段AC 的长为 ▲ ．【答案】312．如图，在△ABC 中，3AB =，2AC =，4BC =，点D 在边BC 上，BAD ∠=45°，则tan CAD ∠的值为 ▲ ．【答案】8157+13．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg lg 4lg lg z zx y+的最小值为 ▲ ．【答案】9814．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA AB =，则半径r 的取值范围是 ▲ ．AA 1 B不C不B 1不C 1不D 1不D不（第8题）A BC DMNQ（第15题）【答案】[]5 55，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，BAD ∠=90°．M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．（1）求证：//CD 平面MNQ ； （2）求证：平面MNQ ⊥平面CAD ．证明：（1）因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点， 所以//MQ CD ， …… 2分又CD ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ， 故//CD 平面M． …… 6分（2）因为M ，N 分别为棱AD ，BD 的中点，所以//MN AB ， 又90BAD ∠=°，故M ⊥． …… 8分因为平面BAD ⊥平面CAD ，平面BAD平面CAD AD =， 且MN ⊂平面ABD ，所以MN ⊥平面ACD ． …… 11分又MN ⊂平面MNQ ，平面M ⊥平面C． …… 14分（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN ⊥平面ACD ”，扣1分．）16．（本小题满分14分）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率； （2）测试成绩为“优”的3名男生记为1a ，2a ，3a ，2名女生记为1b ，2b ．现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛． ① 写出所有等可能的基本事件； ② 求参赛学生中恰有1名女生的概率．解：（1）记“测试成绩为良或中”为事件A ，“测试成绩为良”为事件1A ，“测试成绩为中”为事件2A ，事件1A ，2A 是互斥的. …… 2分 由已知，有121923()()5050P A P A ==，． …… 4分因为当事件1A ，2A 之一发生时，事件A 发生， 所以由互斥事件的概率公式，得1212192321()()()()505025P A P A A P A P A =+=+=+=． …… 6分（2）① 有10个基本事件：12()a a ，，13()a a ，，11()a b ，，12()a b ，，23()a a ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，，12()b b ，．…… 9分② 记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件B ．在上述等可能的10个基本事件中，等级优 良 中 不及格 人数519233事件B 包含了11()a b ，，12()a b ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，． 故所求的概率为63()105P B ==．答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为2125；（2）参赛学生中恰有1名女生的概率为35． ……14分 （注：不指明互斥事件扣1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣1分．事件B 包含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分．）17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=a (1，0)，=b (0，2).设向量=+x a (1cos θ-)b ， k =-y a 1sin θ+b ，其中0πθ<<.（1）若4k =，π6θ=，求x ⋅y 的值；（2）若x //y ，求实数k 的最大值，并求取最大值时θ的值.解：（1）（方法1）当4k =，π6θ=时，()123=-，x ，=y (44-，)，…… 2分则⋅=x y ()1(4)234443⨯-+-⨯=-． …… 6分（方法2）依题意，0⋅=a b ， …… 2分则⋅=x y ()()()223314242122⎡⎤+-⋅-+=-+⨯-⎢⎥⎣⎦a b a b a b()342144432=-+⨯-⨯=- ． …… 6分（2）依题意，()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ，因为x //y ，所以2(22cos )sin k θθ=--，整理得，()1s i nc okθθ=-， …… 9分 令()()sin cos 1f θθθ=-，则()()cos cos 1sin (sin )f θθθθθ'=-+- 22c o s c o s 1θθ=--()()2cos 1cos 1θθ=+-. …… 11分令()0f θ'=，得1cos 2θ=-或cos 1θ=，又0πθ<<，故2π3θ=.列表：故当2π3θ=时，min ()f θ=334-，此时实数k 取最大值439-. ……14分（注：第（2）小问中，得到()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ，及k 与θ的等式，各1分．）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222 1 ( 0 )y x a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为(0)F c ，.00( )P x y ，为椭圆上一点，且PA PF ⊥.（1）若3a =，5b =，求0x 的值； （2）若00x =，求椭圆的离心率；xyO PAF （第18题）θ()2π0 3， 2π3()2π π3， ()f θ' - 0 +()f θ↘极小值334-↗（3）求证：以F 为圆心，FP 为半径的圆与椭圆的右准线2a x c=相切.解：（1）因为3a =，5b =，所以2224c a b =-=，即2c =， 由PA PF ⊥得，0000132y yx x ⋅=-+-，即220006y x x =--+, …… 3分又2200195x y +=，所以2004990x x +-=，解得034x =或03x =-(舍去) ． …… 5分 （2）当00x =时,220y b =，由PA PF ⊥得，001y ya c⋅=--，即2b a c =，故22a c ac -=， …… 8分所以210e e +-=，解得512e -=（负值已舍）． ……10分（3）依题意，椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c -，且2200221x y a b+=，① 由PA PF ⊥得，00001y y x a x c⋅=-+-,即2200()y x c a x ca =-+-+, ② 由①②得，()2002()0a b ac x a x c ⎡⎤-⎢⎥++=⎢⎥⎣⎦， 解得()2202a a ac c x c --=-或0x a=-(舍去). …… 13分 所以()2200PF x c y =-+()22000()x c x c a x ca =--+-+0c a x a=-()222a a ac c c a a c --=+⋅2a c c =-，所以以F 为圆心，FP 为半径的圆与右准线2ax c=相切. …… 16分（注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c-，得1分；直接使用焦半径公式扣1分．）19．（本小题满分16分）设a ∈R ，函数()f x x x a a =--． （1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）当4a >时，求函数()()y f f x a =+零点的个数．解：（1）若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-， 令0x =得，(0)(0)f f =-，即(0)0f =， 所以0a =，此时()f x x x =为奇函数． …… 4分（2）因为对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，所以min ()0f x ≥．当0a ≤时，对任意的[2 3]x ∈，，()0f x x x a a =--≥恒成立，所以0a ≤； …… 6分当0a >时，易得22 () x ax a x a f x x ax a x a ⎧-+-<⎪=⎨--⎪⎩，，，≥在(2a ⎤-∞⎥⎦，上是单调增函数，在 2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调减函数，在[) a +∞，上是单调增函数， 当02a <<时，min ()(2)2(2)0f x f a a ==--≥，解得43a ≤，所以43a ≤；当23a ≤≤时，min ()()0f x f a a ==-≥，解得0a ≤，所以a 不存在； 当3a >时，{}{}min ()min (2)(3)min 2(2)3(3)0f x f f a a a a =----，=，≥，解得92a ≥，所以92a ≥；综上得，43a ≤或92a ≥． ……10分（3）设[]()()F x f f x a =+， 令()t f x a x x a =+=-则()y f t ==t t a a --，4a >， 第一步，令()0f t =t t a a ⇔-=，所以，当t a <时，20t at a -+=，判别式(4)0a a ∆=->，解得2142a a a t --=，2242a a a t +-=；当t a ≥时，由()0f t =得，即()t t a a -=，解得2342a a a t ++=； 第二步，易得12302a t t a t <<<<<，且24a a <，① 若1x x a t -=，其中2104a t <<， 当x a <时，210x ax t -+=，记21()p x x ax t =-+，因为对称轴2a x a =<，1()0p a t =>，且21140a t ∆=->，所以方程210t at t -+=有2个不同的实根；当x a ≥时，210x ax t --=，记21()q x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，1()0q a t =-<，且22140a t ∆=+>，所以方程210x ax t --=有1个实根， 从而方程1x x a t -=有3个不同的实根；② 若2x x a t -=，其中2204a t <<， 由①知，方程2x x a t -=有3个不同的实根；③ 若3x x a t -=，当x a >时，230x ax t --=，记23()r x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，3()0r a t =-<，且23340a t ∆=+>，所以方程230x ax t --=有1个实根； 当x a ≤时，230x ax t -+=，记23()s x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，3()0s a t =>，且2334a t ∆=-，2340a t ->⇔324160a a --<， ……14分记32()416m a a a =--，则()(38)0m a a a '=->，故()m a 为(4 )+∞，上增函数，且(4)160m =-<，(5)90m =>， 所以()0m a =有唯一解，不妨记为0a ，且0(45)a ∈，， 若04a a <<，即30∆<，方程230x ax t -+=有0个实根； 若0a a =，即30∆=，方程230x ax t -+=有1个实根； 若0a a >，即30∆>，方程230x ax t -+=有2个实根，所以，当04a a <<时，方程3x x a t -=有1个实根； 当0a a =时，方程3x x a t -=有2个实根； 当0a a >时，方程3x x a t -=有3个实根．综上，当04a a <<时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为7； 当0a a =时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为8； 当0a a >时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为9． …… 16分（注：第（1）小问中，求得0a =后不验证()f x 为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分离参数法参照参考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分．）20．（本小题满分16分）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q (1q ≠)的等比数列．记n n n c a b =+． （1）求证：数列{}1n n c c d +--为等比数列； （2）已知数列{}n c 的前4项分别为4，10，19，34．① 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；② 是否存在元素均为正整数的集合A ={1n ，2n ，…，} k n (4k ≥，k *∈N )，使得数列1n c ，2n c ，…，k n c 为等差数列？证明你的结论． 解：（1）证明：依题意，()()111n n n n n n c c d a b a b d +++--=+-+- ()()11n n n n a a d b b ++=--+-(1)0n b q =-≠， …… 3分从而2111(1)(1)n n n n n n c c d b q q c c d b q ++++---==---，又211(1)0c c d b q --=-≠，所以{}1n n c c d +--是首项为1(1)b q -，公比为q 的等比数列． …… 5分（2）① 法1：由（1）得，等比数列{}1n n c c d +--的前3项为6d -，9d -，15d -， 则()29d -=()()615d d --， 解得3d =，从而2q =， …… 7分且11114 3210 a b a b +=⎧⎨++=⎩，，解得11a =，13b =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． …… 10分法2：依题意，得1111211311410219334a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，， …… 7分 消去1a ，得1121132116915d b q b d b q b q d b q b q +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩，，，消去d ，得2111321112326b q b q b b q b q b q ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，消去1b ，得2q =，从而可解得，11a =，13b =，3d =， 所以32n a n =-，132n n b -=⋅． …… 10分② 假设存在满足题意的集合A ，不妨设l ，m ，p ，r A ∈()l m p r <<<，且l c ，m c ，p c ，r c 成等差数列， 则2m p l c c c =+，因为0l c >，所以2m p c c >， ① 若1p m >+，则2p m +≥，结合①得，112(32)32(32)32m p m p --⎡⎤-+⋅>-+⋅⎣⎦13(2)232m m ++-+⋅≥， 化简得，8203m m -<-<， ②因为2m ≥，m *∈N ，不难知20m m ->，这与②矛盾， 所以只能1p m =+， 同理，1r p =+，所以m c ，p c ，r c 为数列{}n c 的连续三项，从而122m m m c c c ++=+， 即()11222m m m m m m a b a b a b +++++=+++，故122m m m b b b ++=+，只能1q =，这与1q ≠矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A ． ……16分（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分．）南通市2015届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点．求证：AP BC AC CP⋅=⋅．证明：因为PC为圆O的切线，所以P∠=，……3分又CPA CPB∠=∠，故△C∽△BCP，……7分所以AC APBC PC=，即AP BC AC CP⋅=⋅．……10分B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M的一个特征向量，求实数a的值．解：设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量，B ACPO（第21 - A题）则232a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23⎡⎤⎢⎥⎣⎦， …… 5分 故262 123 a λλ+=⎧⎨=⎩，，解得4 1. a λ⎧⎨=⎩=，…… 10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线π3θ=与曲线210cos 40ρρθ-+=相交于A ，B 两点，求线段AB中点的极坐标．解：（方法1）将直线π3θ=化为普通方程得，3y x =，将曲线210c o s 40ρρθ-+=化为普通方程得，221040x y x +-+=, …… 4分联立2231040y x x y x ⎧=⎪⎨+-+=⎪⎩，并消去y 得，22520x x -+=， 解得112x =，22x =，所以AB中点的横坐标为12524x x +=，纵坐标为532， …… 8分化为极坐标为()5π 23，． …… 10分 （方法2）联立直线l 与曲线C 的方程组2π310cos 40θρρθ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，，…… 2分 消去θ，得2540ρρ-+=，解得11ρ=，24ρ=， …… 6分所以线段AB 中点的极坐标为()12π 23ρρ+，，即()5π 23，． …… 10分 （注：将线段AB 中点的极坐标写成()5π 2π ()23k k +∈Z ，的不扣分．）D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设实数a ，b ，c 满足234a b c ++=，求证：22287a b c ++≥．证明：由柯西不等式，得()()222222123ab c ++++≥()223a b c ++， …… 6分因为234a b c ++=， 故22287a b c ++≥， …… 8分当且仅当123a b c ==，即27a =，47b =，67c =时取“=”． ……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系x O y 中，点(84)A -，，(2)P t ，(0)t <在抛物线22y p x =(0)p >上．（1）求p ，t 的值；（2）过点P 作PM 垂直于x 轴，M 为垂足，直线AM 与抛物线的另一交点为B ，点C 在直线AM 上．若PA ，PB ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且By OC M1232k k k +=，求点C 的坐标．解：（1）将点(84)A -，代入22y px =，得1p =， …… 2分 将点(2)P t ，代入22y x =，得2t =±，因为0t <，所以2t =-． …… 4分（2）依题意，M 的坐标为(20)，， 直线AM 的方程为2433y x =-+，联立224332y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，并解得B ()112，， …… 6分 所以113k =-，22k =-，代入12k kk +=得，376k =-， …… 8分从而直线PC 的方程为7163y x =-+，联立24337163y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，并解得C ()823-，． …… 10分23．（本小题满分10分）设A ，B 均为非空集合，且A B =∅，AB ={ 123，，，…，}n (n ≥3，n *∈N )．记A ，B 中元素的个数分别为a ，b ，所有满足“a ∈B ，且b A ∈”的集合对(A ，B )的个数为n a ． （1）求a 3，a 4的值； （2）求n a ．解：（1）当n =3时，AB ={1，2，3}，且AB =∅，若a =1，b =2，则1B ∈，2A ∈，共01C 种；若a =2，b =1，则2B ∈，1A ∈，共11C 种， 所以a 3=01C 11+ C 2=； …… 2分 当n =4时，A B ={1，2，3，4}，且A B =∅，若a =1，b =3，则1B ∈，3A ∈，共02C 种； 若a =2，b =2，则2B ∈，2A ∈，这与AB =∅矛盾；若a =3，b =1，则3B ∈，1A ∈，共22C 种， 所以a 4=02C 22+ C 2=． …… 4分（2）当n 为偶数时，A B ={1，2，3，…，n }，且A B =∅，若a =1，b 1n =-，则1B ∈，1n -A ∈，共02C n -（考虑A ）种； 若a =2，b 2n =-，则2B ∈，2n -A ∈，共12C n -（考虑A ）种； ……若a =12n -，b 12n =+，则12n -B ∈，12n +A ∈，共222C n n --（考虑A ）种； 若a =2n ，b 2n =，则2n B ∈，2n A ∈，这与AB =∅矛盾；若a 12n =+，b 12n =-，则12n +B ∈，12n -A ∈，共22C n n -（考虑A ）种； ……若a =1n -，b 1=，则1n -B ∈，1A ∈，共（考虑A ）22C n n --种，所以a n =02C n -+12C n -+…+222C n n --+22C nn -+…+122222C2C n n n n n -----=-； …… 8分当n 为奇数时，同理得，a n =02C n -+12C n -+…+222C 2n n n ---=， 综上得，θ ()2π0 3，2π3 ()2π π3，f θ'f θ334-122222C 2 .n n n n n n a n ----⎧⎪-=⎨⎪⎩，为偶数，，为奇数 …… 10分。
江苏省2015届高三下学期高考南通密数学试题 含解析
一、填空题:本大题共14个小题，每小题5分,共70分。
1。
设,a b R ∈,231a bii i+=+-，其中i 是虚数单位，则a b += ．【答案】6 【解析】试题分析：23(23)(1)55,161a bii a bi i i a bi i a b a b i+=+⇒+=+-⇒+=+⇒==⇒+=- 考点:复数相等2.已知集合{}P x x a =≤，{}sin ,Q y y R θθ==∈．若P Q ⊇,则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[1,)+∞ 【解析】试题分析：sin P Q a θ⊇⇒≤恒成立,因此max(sin )1a θ≥=考点：集合包含关系,不等式恒成立3.为了了解一片经济林的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ),所得数据如图．则在这100株树木中，底部周长不小于100cm 的有 株．【答案】70 【解析】试题分析：底部周长不小于100cm 的概率为1(0.010.02)100.7-+⨯=，所以底部第3题图周长不小于100cm的有0.710070⨯=株考点：频率分布直方图4.设向量(1,)a m=，(1,2)b m=-，且a b ≠,若()a b a-⊥，则实数m=．【答案】1【解析】试题分析:2()(2,2)(1,)032021a b a m m m m m m m-⊥⇒--⋅=⇒-+=⇒==或，又a b ≠，所以2, 1.m m≠=考点：向量垂直，向量数量积5。
如图所示的流程图的运行结果是．【答案】20【解析】试题分析：第一次循环：5,4S a==，第二次循环:20,34S a==<，结束循环,输出20.S=考点：循环结构流程图6。
将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使BD a=，则三棱锥D ABC-的体积为．【答案】3【解析】试题分析：取AC中点M，则DM BM==，222+DM BM BD=，即DM BM⊥，因第5题图为,DM AC ⊥,所以DM ABC ⊥面,三棱锥D ABC -的体积为23111.332ABCDM S a ∆⋅=⨯ 考点：三棱锥体积7。
江苏高考南通密卷二(南通市数学学科基地命题)
2015年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．已知集合，，且，则实数的值为 ．2．设2(12)(,R)i a bi a b +=+∈，其中是虚数单位，则 ． 3．已知函数是奇函数，当时，，且， 则 ．4．右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是 ． 5．设点，，，是球表面上的四个点，，，两两互相垂 直，且，则球的表面积为 ．6．已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+<>>，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =<>->，若向区域上随机投掷一点，则点落入区域的概率为 ． 7．将参加夏令营的名学生编号为：，采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本，且随机抽得的号码为，这名学生分住在三个营区，从到在第一营区，从到在第二营区，从到在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为 ． 8．中，“角成等差数列”是“sin (3cos sin )cos C A A B =+”成立的的 条件． (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一) 9．已知双曲线，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条 渐近线分为弧长为的两部分，则双曲线的离心率为 ．10．已知442cos sin ,(0,)32πααα-=∈，则 ．11．已知正数依次成等比数列，且公比．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则公比的取值集合是 ． 12． 如图，梯形中，，，， 若，则 ．13．设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是 ．14．设函数满足，且当时， ．若在区间内，存在个不同的实数，使得312123()()()f x f x f x t x x x ===，则实数的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）在中，，． （1）求的值；（2）若，求的面积．D A BC第12题图0,1s n ←←第4题图16．（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱中，侧面是边长为的菱形，．在面中，，，为的中点，过三点的平面交于点． （1）求证：为中点； （2）求证：平面平面．17．（本小题满分14分）某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为，体积为． （1）求关于的函数关系式；（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，的最大值是多少？并求此时的值．18．（本小题满分16分）(第17题图)B C A 1B 1C 1M NA第16题图已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为，并且椭圆经过点，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上一点满足．（1）求椭圆的方程；（2）证明：为定值；（3）是否存在定圆，使得直线绕原点转动时，恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列是等差数列，是等比数列，且满足，．（1）若，．①当时，求数列和的通项公式；②若数列是唯一的，求的值；（2）若，，均为正整数，且成等比数列，求数列的公差的最大值．20．（本小题满分16分）设函数有且仅有两个极值点．（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数满足？如存在，求的极大值；如不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．．A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AD是∠BAC的平分线，圆O过点A且与边BC相切于点D，与边AB、AC分别交于点E、F，求证：EF∥BC．B．（选修４－２：矩阵与变换）已知，求矩阵．C．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆是以点为圆心，为半径的圆．（1）求圆的极坐标方程；（2）求圆被直线所截得的弦长．D．（选修４－５：不等式选讲）设正数满足，求的最小值．AB D CE FO·【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．（本小题满分10分）直三棱柱中，已知，，，.是的中点.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的大小的余弦值.23.（本小题满分10分）设且，集合的所有个元素的子集记为．（1）求集合中所有元素之和；（2）记为中最小元素与最大元素之和，求32015132015CiimC=∑的值．1A1B1CDAC B2015年高考模拟试卷(2) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．； 8．充分不必要；【解析】条件“角成等差数列”；结论“sin sin )cos C A A B =+” sin()cos sin cos A B A B A B +=+cos sin cos A B A B =或或．所以条件是结论的充分不必要条件． 9．； 10．； 11．；【解析】若删去，则成等差数列，，即，（舍去）或或（舍去）；若删去，则成等差数列，，即，（舍去）或或（舍去）或． 12．；【解析】0AD DC CB BA +++=，， 22()()()()AD DC BC CD AD BC CD AD BC CD AD BC CD AB CD CD ∴+⋅+=⋅+⋅--=⋅+⋅+-， ，，，，． 13．；【解析】由条件得，不妨设，则，即；同理得当时，．而，的取值范围是． 14．．【解析】，，当时，，，在直角坐标系内作出函数的图象，而表示的是该图象上的点与原点的连线的斜率．图象上的点与与原点的连线的斜率为；当过原点的直线与曲线相切时，斜率为（利用导数解决）．由图可知，满足题意得实数的取值范围为．二、解答题15．（1）因为在中，，所以为锐角，且cos A ===．所以sin sin()cos 2C A A π=+=（2）由正弦定理得，所以sin sin BC C AB A === 因为在中，，所以为钝角，且cos C =． 因为在中，，所以1sin sin()sin cos cos sin (3B AC A C A C =+=+==．所以的面积为111sin 223ABC S AB BC B ∆=⨯⨯=⨯=．16． (1)由题意，平面平面，平面与平面交于直线， 与平面交于直线，所以． 因为，所以，所以．因为为的中点，所以，所以为中点． (2)因为四边形是边长为的菱形，． 在三角形中，，，由余弦定理得， 故，从而可得，即． 在三角形中，，，，则，从而可得，即． 又，则．因为，面，面，所以平面． 又平面，所以平面平面． 17．正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大．设正三棱锥侧面的高为，高为．由题意得，解得．则h=．所以，正三棱锥体积21133V Sh x===．设4452100(100)4848x xy V==-=，求导得，令，得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以，当时，取得极大值也是最大值．此时，所以．答：当底面边长为时，正三棱锥的最大体积为．18．（1）由题设：22111,a b=⎪+=⎪⎩解得，椭圆的方程为（2）①直线的斜率不存在或为0时，222221122224233OA OB OM a b++=+=+=；②直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，则，直线的方程为，由得，，同理，22222221123313(1)(1)(1)12122kk kk k k k+++⋅+⋅+⋅+++，2221122OA OB OM∴++=为定值；（3）由（2）得：①直线的斜率不存在或为0时，2222111112133OA OM a b+=+=+=；②直线的斜率存在且不为0时，22222222222111112213133(1)3(1)(1)(1)122k kkOA OM k kkk k k+++=+=+=+++⋅+⋅++原点到直线的距离1d=，直线与圆相切，即存在定圆，使得直线绕原点转动时，恒与该定圆相切．19．（1）①由数列是等差数列及，得，由数列是等比数列及，得．设数列的公差为，数列的公比为，若，则有，解得或9,22dq⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．所以，和的通项公式为或2912,23(2)nnna nb-⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩②由题设，得，即（*）．因为数列是唯一的，所以若，则，检验知，当时，或（舍去），满足题意；若，则，解得，代入（*）式，解得，又，所以是唯一的等比数列，符合题意．所以，或．（2）依题意，，设公比为，则有336(3)(33)d d qq=-+++，（**）记，，则．将（**）中的消去，整理得2()3()360d m n d m n+-++-=，=而，所以的可能取值为：(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4),(12,3),(18,2),(36,1)．所以，当时，的最大值为．20．(1)．显然，是直线与曲线两交点的横坐标．由，得．列表：此外注意到： 当时，；当及时，的取值范围分别为和．于是题设等价于<，故实数的取值范围为． (2)存在实数满足题设．证明如下： 由(1)知，，，故1112213111()+2x x x x f x =ax e e e e x =-=，故．记231()(01)2x x e R x e e x x =--<<，则2(1)1()02x xe x R x e x -'=-<， 于是，在上单调递减． 又，故有唯一的零点． 从而，满足的．所以，． 此时，， 又，，，而， 故当时,.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21.A . 如图，连结．因为与圆相切，所以． 因为与为弧所对的圆周角， 所以．又因为是的平分线， 所以． 从而．于是． B ．设 则1 0 1 22 2a b a c b d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦B ， ABDEF O·故4,4,3,3,4 3.24,4, 4 221, 2.a ab b ac c bd d =-=-⎧⎧⎪⎪==-⎡⎤⎪⎪=⎨⎨⎢⎥+==-⎣⎦⎪⎪⎪⎪+=-=-⎩⎩解得故B C ．（1）圆是将圆绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆的极坐标方程是．（2）将代入圆的极坐标方程，得， 所以，圆被直线所截得的弦长为． D. 因为均为正数，且，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是由均值不等式可知()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++9≥，当且仅当时，上式等号成立． 从而1111323232a b c ++≥+++． 故的最小值为．此时．22．在直三棱柱中，，分别以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C , 是的中点，， （1）111(0,4,0),(1,2,3)AC A D ==-， 设平面的法向量，则，即，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面的法向量， 而，111111335cos ,n DB n DB n DB ⋅∴<>==⋅， 直线与平面所成角的正弦值为； （2），设平面的法向量，则， 即，取222032x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面的法向量，121212130cos ,n n n n n n ⋅∴<>==⋅， 二面角的大小的余弦值．23．（1）因为含元素的子集有个，同理含的子集也各有个，于是所求元素之和为22211(123)(2)(1)4n n C n n n -++++⨯=--； （2）集合的所有个元素的子集中：以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个．222122(1)()n n n C C C --=++++ 22231233(1)()n n n C C C C --=+++++22231244(1)()n n n C C C C --=+++++， 3131n C i i n m n C =∴=+∑． 32015132015201512016C i i m C =∴=+=∑．。
江苏省南通市2015届高三高考密卷(四)(数学学科基地命
2015年高考模拟试卷(4) 南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，{}3,5B =，则()U C A B =．【答案】{1,2,4,5} 【解析】 试题分析：因为{3}A B =,，所以()U C A B ={1,2,4,5}.考点：集合的运算.2.已知复数z 满足i z i 51)1(+-=+，(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z =. 【答案】23i - 【解析】试题分析：由题意15(15)(1)155231(1)(1)2i i i i i z i i i i -+-+--+++====+++-，所以23z i =-. 考点：复数的运算.3.已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是．【答案】56【解析】试题分析：从这4瓶饮料中随机取2瓶共有246C =种方法，而两瓶中没有果汁饮料的方法只有1种，其概率为16，因此两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是15166P =-=. 考点：古典概型，对立事件的概率.4.某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为．【答案】1200 【解析】试题分析：总数量为x ，则1802346413x =+++++，1200x =.考点：频率分布直方图. 5.如图程序运行的结果是．【答案】14 【解析】试题分析：依程序框图，,,a b i 的值依次为：1,1,4，2,4,5，6,14,6，这时65i =>，因此输出14b =. 考点：程序框图.6.顶点在原点且以双曲线1322=-y x 的右准线为准线的抛物线方程是． 【答案】26y x =-【解析】试题分析：双曲线中1a b ==，2c =，右准线为232a x c ==，故抛物线中322p =，3p =，所以其标准方程为26y x =-. 考点：双曲线的几何性质，抛物线的标准方程. 7.给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； （2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； （3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面． 则其中所有真命题的序号是． 【答案】①②考点：面面平行的性质与面面垂直的性质. 8.已知π()3sin(2)6f x x =-，若存在π(0,)2α∈，使()()f x f x αα+=--对一切实数x 恒成立，则α=． 【答案】12π【解析】试题分析：()()f x f x αα+=--对一切实数x 恒成立，则()()f f αα=-，因此()3sin(2)06f παα=-=，又(0,)2πα∈，所以12πα=.考点：三角函数的性质.9.设实数x ，y ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b，若z ＝2x ＋y 的最小值为3， 则实数b 的值为．【答案】94【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图射线OA ，OB 所夹区域且在直线AB 上方(含边界)(AB 待定)，作直线:20l x y +=，平移直线l ，可见当l 过点A 时，z 取得最小值，此时2y x =代入得223x x +=，34x =，故有33(,)42A ，因此3324b =-+，94b =.考点：简单线性规划问题，已知最值求参数.10.若0,0,x y >>的最小值为．【解析】，当且仅当x y =时，取等号.考点：基本不等式的应用.11.在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2 【解析】试题分析：以CA 、CB 所在直线为x 、y 轴，建立平面直角坐标系，设M(x,y )，则x ＋y ＝2，y＝2－x ，即M(x , 2－x )，又MN ＝2，所以点N 坐标为(x ＋1，2－x －1)，即N(x ＋1，1－x )，于是CM CN ⋅＝x (x ＋1)＋(2－x ) (1－x )＝2x 2－2x ＋2＝2132()22x -+(0≤x ≤1)，所以x ＝12时CM CN ⋅取最小值32，x ＝0或1时CM CN ⋅取最大值2，因此CM CN ⋅的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2. 考点：向量的数量积.12.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60，则圆M 的方程为．【答案】22(1)1x y -+=考点：直线与圆的位置关系.13.三次函数)(x f y =的两个极值点为12,.x x 且11,())P x f x （与原点重合，22(,())Q x f x 又在曲线221x x y -+=上，则曲线)(x f y =的切线斜率的最大值的最小值为_________.【答案】43【解析】试题分析：设d cx bx ax x f +++=23)(，依题意知0)0(0)0('==f f 且，∴0==d c ，故23)(bx ax x f +=，bx ax x f 23)(2'+=，由221x x y -+=及点Q 在其上，可设Q 点的坐标为],0[),sin 1,cos 1(πθθθ∈++. 由Q 为)(x f y =的一个极值点得⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+)cos 1(2)cos 1(30)cos 1()cos 1(sin 1223θθθθθb a b a ，显然πθθ≠-≠,1cos ，∴a b 32cos 1-=+θ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=23)cos 1()sin 1(3)cos 1()sin 1(2θθθθb a ，∵0<a ，∴bx ax x f 23)(2'+=存在最大值θθθcos 1sin 123)2cos 1()32(''++⋅=+=-f a b f ， 数形结合可求得OQ k ⋅=++⋅23cos 1sin 123θθ，其最小值为43. 考点：导数的几何意义，导数与切线，极值.14.设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为． 【答案】92 【解析】试题分析：易知d =0，成立．当d >0时，d a d a a 5320142014531154-=⇒=+=d )k (d )k (a a k 5420145454-+=-+=[][]2014201454201438535420145320141254⨯=-+-=-+-==d )k ()d (d )k ()d (a a a k []20143854201438⨯=-+-)d k ()d ()k (d )k (d )k (d )k (1073854010738542-=-⇒=-+--107385438107383854⨯-=-⇒⨯-=-k )d (d d kd*N dd d )d (d d k ∈-⨯+=-⨯+=-⨯-⨯+-=-⨯-=3853385438533854381073838543854381073854又⎩⎨⎧>>-⇒>-=-=038038535320141d d )d (d a 38380<-<∴d381,2,19d ∴-=，37,36,19d ∴=，所以公差d 的所有可能取值之和为92．考点：等差数列的综合应用.二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A B C A B +=+.（1）求C ；（2）若△ABC 的外接圆直径为1,求a b +的取值范围.【答案】(1)3C π=；a b <+≤【解析】试题分析：(1)本题属于解三角形问题，已知条件只有sin sin tan cos cos A B C A B +=+，因此我们三角公式进行变形求解，由已知得sin sin sin cos cos cos C A B C A B+=+,即sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+,整理得sin()sin()C A B C -=-，由于,,A B C 是三角形的内角，因此有C A B C -=-,2C A B =+,从而有3C π=；(2)由正弦定理得sin ,sin a A b B ==，即sin sin sin()sin()33a b A B ππαα+=+=-++α=，而33ππα-<<a b <+≤也可以用2sin sin sin sin()3a b A B A A π+=+=+-来求得结果. 试题解析：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+,即sin sin sin cos cos cos C A B C A B+=+,所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+, 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-, 得 sin()sin()C A B C -=-，所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立). 即 2C A B =+, 得 3C π=；(2)法一：由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-.因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====,故(sin sin )sin()sin()33a b A B ππαα+=+=++-α=，33ππα-<<，1cos 12α<≤a b <+≤法二：23sin sin sin sin()sin 32a b A B A A A A π+=+=+-=)6A π=+，250,3666A A ππππ<<<+<，1sin()1,26A a b π∴<+≤<+≤考点：(1)同解三角函数的关系，两角和与差的正弦(余弦)公式，(2)三角函数的性质.16.(本小题满分14分)在正四棱锥S ABCD -中，底面边长为a ，P 为侧棱SD 上的一点.（1）当四面体ACPS的体积为318时，求SP PD 的值；（2）在（1）的条件下，若E 是SC 的中点，求证：//BE APC 平面【答案】（1）2；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）本题主要是几何体的体积问题，一种方法就是设PD x =，我们只要作PH BD ⊥于H ，在正四棱锥中可证明PH ⊥平面ABCD ，SO 是正四棱锥的高，因此PH PD SO SD =，这样我们可求出PH x =，从而求出P ACD V -，再利用3SPAC V =求得x a =，于是有2SP PD =，另一种方法就是直接用P ACDS ACDV PD PH SD SO V --==求解；（2）要证明线面平行，根据线面平行的判定定理要在平面PAC 中找一条直线与BE 平行，也可应用面面平行的性质定理，过BE 找一个平面与平面PAC 平行，由于E 是SC 中点，P 是SD 的三等分点，我们取SP 中点Q ，由中位线定理，则有//EQ PC ，//BQ PO ，因此平面//BQE 平面PAC ，从而证得//BE 平面PAC .试题解析：（1）设PD x =，过P 作PH BD ⊥于H ，SBD ABCD ⊥平面平面且BD 为交线，则PH ⊥平面ABCD ，又SO ABCD ⊥平面//PH SO ∴，在Rt SOB ∆中，2SO a ==，x PH PD PD SOPH x SO SD SD⋅=∴==，311()()322218SPAC S ACD P ACD V V V a a x a --∴=-=⨯⨯⨯-=，解得3x a =221SP PD ∴==.DCB（2）取SP 中点Q ，连结,QE BQ ，则//,,//EQ PC EQ PAC PC PAC EQ PAC ⊄⊂∴平面，平面平面， 则//,,//BQ PO BQ PAC PO PAC BQ PAC ⊄⊂∴平面，平面平面， 而EQ BQ 与为平面BEQ 内的两条相交直线，//BEQ PAC ∴平面平面，而BE BEQ ⊂平面，//BE APC ∴平面．【注】第（2）问，也可以连结ED ，ED 交CP 于Q ，用平几知识证明Q 为ED 中点，进而证明OQ ∥BE ，从而获证.考点：（1）几何体的体积；（2）线面平行的判定.17.（本小题满分14分）如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知AB 为直径，且2AB =km,O 为圆心，C 为圆周上靠近A 的一点，D 为圆周上靠近B 的一点，且CD ∥AB ．现在准备从A 经过C 到D 建造一条观光路线，其中A 到C 是圆弧AC ，C 到D 是线段CD .设rad AOC x ∠=，观光路线总长为km y . （１）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （２）求观光路线总长的最大值.【答案】（1）2cos y x x =+，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）6π+ 【解析】试题分析：（1）首先由弧度的定义可得1AC xr x x ==⨯=，其次2cos 2cos CD OC x x ==，因此2cos y x x =+，其中02x π<<，这就是（1）的结论；（2）这个最大值我们用导数来求，'12sin y x =-，6x π=时，'0y =，06x π<<时，'0y >，62x ππ<<时，'0y <，可说明6x π=就是函数的最大值点，最大值为2cos666y πππ=+=+试题解析：(1)由题意知，1AC x x =⨯=，2cos CD x =，因为C 为圆周上靠近A 的一点，D 为圆周上靠近B 的一点，且//CD AB ，所以02x π<<, 所以2cos y x x =+，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. (2)记()2cos f x x x =+,则()12sin f x x '=-， 令()0f x '=，得6x π=， 列表所以函数()f x 在6x =处取得极大值，这个极大值就是最大值， 即()66f ππ=答：观光路线总长的最大值为6π+ (第17题图)O考点：（1）弧度的定义，弦长；（2）导数与最值.18.（本小题满分16分）如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F ∆的面积为2. （1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的圆，其方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：(1)从已知条件可看出，由于121212,F F F F c DF ==，因此1DF =，从而1212112DF F S F F DF ∆=122c =⨯=于是得1c =，由勾股定理可得2DF =于是122a DF DF =+=a =2221b a c =-=，椭圆方程即得；（2）本题是解析几何中的存在性问题，我们都是假设存在，如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，()()111222,,,P x y P x y 是两个交点，120,0y y >>，11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P ，下面就是去计算推理求出圆的方程.由圆和椭圆的对称性，易知2112,x x y y =-=,， 由（1）知()()121,0,1,0F F -，所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--，再由11F P ⊥22F P 得()221110x y -++=，由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =，然后结合题设，就不同的1x 的值，求出相应的圆，如能求出圆，就说明存在，不能求出圆，说明不存在.试题解析：（1）设()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =-，由121F F DF =,得1DF ==.从而12211212DF F S DF F F ∆=⋅==故1c =.从而12DF =112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此22DF =.所以122a DF DF =+=2221a b a c ==-=.因此，所求椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，()()111222,,,P x y P x y 是两个交点，120,0y y >>，11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P 由圆和椭圆的对称性，易知2112,x x y y =-=由（1）知()()121,0,1,0F F -，所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--，再由11F P ⊥22F P 得()221110x y -++=， 由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=， 解得143x =-或10x =. 当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. 当143x =-时，过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ，设()00,C y 由111,CP F P ⊥得101111,1y y y x x -⋅=-+而1111,3y x =+=故053y =.圆C 的半径13CP =. 综上，存在满足条件的圆，其方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.考点：椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，圆锥曲线的19.（本小题满分16分）已知函数()()32ln ,g x a x f x x x bx ==++.（1）若()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，求实数b 的范围；（2）若对任意[]1,x e ∈，都有()2(2)g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0b =时，设()()1()1f x x F xg x x -<⎧=⎨≥⎩，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由.【答案】（1）165b -<<-；（2）1a ≤-；（3）存在. 【解析】试题分析：（1）根据导数怀函数单调性的关系，题意说明不等式'()0f x >与'()0f x <在区间[1,2]上都有争，简单一点就是函数'()y f x =在区间[1,2]上的最大值为正，最小值为负；（2）不等式()()x a x x g 22++-≥恒成立问题，一般把问题进行转化，首先不等式变为()x x a x x 2ln 2-≤-，又当[1,]x e ∈时，ln 0x ->因此我们只要求出22()ln x xt x x x-=-的最小值0t ，然后就有结论0a t ≤；（3）()⎩⎨⎧≥<+-=1,ln 1,23x x a x x x x F ,假设存在,P Q 两点，则,P Q 在y 轴两侧，因此我们可设()()()0,>t t F t P ，则()23,t t t Q +-，且1≠t ,于是题设条件转化为0OP OQ ⋅=,即()()2320t F t t t -++=，这样问题转化为此方程在0>t且1≠t 是否有解，有解，说明存在，无解，说明不存在.试题解析：（1）由()bx x x x f ++=23得()b x x x f ++='232，因()x f 在区间[]2,1上不是单调函数.所以()b x x x f ++='232在[]2,1上最大值大于0，最小值小于0,()313132322-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++='b x b x x x f ,()()⎩⎨⎧+='+='∴bx f bx f 516min max ，516-<<-∴b . (2)由()()x a x x g 22++-≥，得()x x a x x 2ln 2-≤-,[]x x e x ≤≤∴∈1ln ,,1 ，且等号不能同时取，x x <∴ln ，即0ln >-x x . x x x x a ln 22--≤∴恒成立，即min2ln 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤x x x x a . 令()[]()e x x x x x x t ,1,ln 22∈--=，求导得()()()()2ln ln 221x x x x x x t --+-=',当[]e x ,1∈时，0ln 22,1ln 0,01>-+≤≤≥-x x x x ，从而()0≥'x t .()x t ∴在[]e ,1上是增函数，()()11max -==∴t x t .1-≤∴a .(3)由条件，()⎩⎨⎧≥<+-=1,ln 1,23x x a x x x x F ,假设曲线()x F y =上存在两点Q P ,满足题意，则Q P ,只能在y 轴两侧, 不妨设()()()0,>t t F t P ，则()23,t t t Q +-，且1≠t ,POQ ∆ 是以O 为直角顶点的直角三角形，0=⋅∴OQ OP ,()()0232=++-∴t t t F t ()*是否存在Q P ,等价于方程()*在0>t 且1≠t 是否有解.①当10<<t 时，方程()*为()()232320t t t t t -+-++=，化简0124=+-t t ，此方程无解；②当1>t 时，方程()*为()0ln 232=++-t t t a t ，即()t t aln 11+= 设()()()1ln 1>+=t t t t h ，则()11ln ++='tt t h ,显然，当1>t 时，()0>'t h ，即()t h 在()+∞,1上为增函数.()t h ∴的值域为()()+∞,1h ，即()+∞,0，∴当0>a 时，方程()*总有解.∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上. 考点：导数与函数的单调性，导数与极值，导数的综合应用.20.（本小题满分16分）已知a ，b 是不相等的正数，在a ，b 之间分别插入m 个正数a 1，a 2，…，a m 和正数b 1，b 2，…，b m ，使a ，a 1，a 2，…，a m ，b 是等差数列，a ，b 1，b 2，…，b m ，b 是等比数列．（1）若m ＝5，a 3b 3＝54，求ba的值；（2）若b ＝λa (λ∈N *，λ≥2)，如果存在n (n ∈N *，6≤n ≤m )使得a n －5＝b n ，求λ的最小值及此时m 的值；（3）求证：a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．【答案】（1）b a ＝4或14；（2）λ最小值为4，此时m 为29；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由于5m =是具体的数字，根据已知条件很容易求得,a b 之间的关系，公差6b a d -=，公比q =（或者直接根据等差数列与等比数列的性质得出）32a b a +=，3b =3354a b =可得4b a =或14；（2）本题关键是对等式5n n a b -=的处理分析，首先根据等差数列与等比数列的定义可得11d a m λ-=+，11m q λ+=，从而有11n a a an m λ-=++，1nm n b a λ+=⨯，于是等式5n n a b -=就是1(1)(5)1nm n a a a m λλ+--+⨯=⨯+，由于0a >，因此我们得到了,,m n λ的关系1(1)(5)11nm n m λλ+--+=+①，下面对这个等式进行分析，要紧紧抓住条件,,*m n N λ∈，等式①左边是有理数，左边1n m m ≤<+，要λ的最小值，可以从最小的允许值进行分析讨论，当2,3λ=时，1n m λ+一定是无理数，不成立，4λ=时，1n m λ+21142n n m m ++==，这样就要求212n m +为有理数，即21nm +为整数，因此只有21n m =+，代入①式可解得n ＝15，m ＝29．（3）本小题难度较大，关键是n a 与n b 之间的联系是什么？为此我们可以先证明一个命题“设c n ＞0，S n 为数列{c n }的前n 项的和．若{c n }为递增数列，则{S nn}为递增数列；若{c n }为递减数列，则{S n n}为递减数列”.然后，分类讨论，当b a >时，1q >，数列{}n b 是递增数列，n S 是{}n b 的前n 项和，则当n m≤时，11m n S S m n +>+，由等比数列前n 项和公式可得11m n aq a aq am n+-->+，其中1m aq b +=，n n aq b =，1b ad m -=+，那么就有n b a d n->，即n n a b >，同理b a <时也成立. 试题解析：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则d ＝b －a6，q ＝6ba． a 3＝a ＋3d ＝a ＋b 2，b 3＝aq 3＝ab ．因为a 3b 3＝54，所以2a －5ab ＋2b ＝0，解得b a ＝4或14．（2）因为λa ＝a ＋(m ＋1)d ，所以d ＝λ－1m ＋1a ，从而得a n ＝a ＋λ－1m ＋1a ×n ．因为λa ＝a ×qm ＋1，所以q ＝λ1m ＋1，从而得b n ＝a ×λnm ＋1．因为a n －5＝b n ，所以a ＋(λ－1)(n －5)m ＋1×a ＝a ×λnm ＋1．因为a ＞0，所以1＋(λ－1)(n －5)m ＋1＝λnm ＋1（*）．因为λ，m ，n ∈N *，所以1＋(λ－1)(n －5)m ＋1为有理数．要使（*）成立，则λnm ＋1必须为有理数． 因为n ≤m ，所以n ＜m ＋1．若λ＝2，则λnm ＋1为无理数，不满足条件． 同理，λ＝3不满足条件．当λ＝4时，4nm ＋1＝22n m ＋1．要使22nm ＋1为有理数，则2nm ＋1必须为整数．又因为n ≤m ，所以仅有2n ＝m ＋1满足条件． 所以1＋3(n －5)m ＋1＝2，从而解得n ＝15，m ＝29．综上，λ最小值为4，此时m 为29．(3)证法一：设c n ＞0，S n 为数列{c n }的前n 项的和． 先证：若{c n }为递增数列，则{S n n}为递增数列． 证明：当n ∈N *时，S n n ＜nb n ＋1n＝b n ＋1．因为S n ＋1＝S n ＋b n ＋1＞S n ＋S n n ＝n ＋1n S n ，所以S n n ＜S n ＋1n ＋1，即数列{S nn}为递增数列．同理可证，若{c n }为递减数列，则{S nn}为递减数列． ①当b ＞a 时，q ＞1．当n ∈N *，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＞S nn． 即aq (q m ＋1－1)q －1m ＋1＞aq (q n －1)q －1n ，即aq m ＋1－a m ＋1＞aq n －a n．因为b ＝aq m ＋1，b n ＝aq n，d ＝b －am ＋1， 所以d ＞b n －an，即a ＋nd ＞b n ，即a n ＞b n ． ②当b ＜a 时，0＜q ＜1，当n ∈N *，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＜S nn．即aq (q m ＋1－1)q －1m ＋1＜aq (q n －1)q －1n．因为0＜q ＜1，所以aq m ＋1－a m ＋1＞aq n －a n．以下同①．综上， a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．考点：等差数列与等比数列的定义、通项公式，方程的整数解，数列的单调性，数列与不等式的综合.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21.本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ，求证：∠PDE =∠POC ．【答案】证明见解析. 【解析】试题分析：本题证明两角相等，从图中可看出∠PDE 是圆内接四边形的外角，根据外角定理有∠PDE ＝EAC ∠，而由圆的性质及条件AE AC =，有EAC ∠2EAO CAO CAO =∠+∠=∠CAO ACO =∠+∠ POC =∠，命题得证.试题解析：因AE=AC ，AB 为直径， 故∠OAC=∠OAE ．所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC ．又∠EAC=∠PDE ，所以，∠PDE=∠POC ．考点：圆外接四边形的性质，圆的性质.B ．（选修４－２：矩阵与变换）若二阶矩阵M 满足：12583446M ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.(第21-A 题图)A B PO E DC·(Ⅰ）求二阶矩阵M ；(Ⅱ）若曲线22:221C x xy y ++=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程.【答案】(Ⅰ）2111⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(Ⅱ）22451x xy y -+=． 【解析】试题分析：（1）这是矩阵运算，我们设1234A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，只要求出其逆矩阵1A -，则有15846M A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）本题是矩阵变换（平面变换）问题，由x x M y y '⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦可解得,2,x x y y x y ''=-⎧⎨''=-+⎩，代入原方程即可得新方程.试题解析：（1）设1234A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则12234A ==-，1213122A --⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥-⎣⎦，21582131461122M -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2）11112x x x x x M M y y y y y -'''-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'''-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即,2,x x y y x y ''=-⎧⎨''=-+⎩代入22221x xy y ++=可得()()()()2222221x y x y x y x y ''''''''-+--++-+=，即22451x x y y ''''-+=，故曲线C '的方程为22451x xy y -+=． 考点：矩阵运算，矩阵变换（平面变换）.C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知点(1)P αα-（其中[)0,2)απ∈，点P 的轨迹记为曲线1C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q 在曲线21:)4C ρπθ=+上．(Ⅰ)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程;(Ⅱ)当0,02ρθπ≥≤<时，求曲线1C 与曲线2C 的公共点的极坐标． 【答案】(Ⅰ)212cos ρρθ=-；1y x =-；（2）3(1,)2π． 【解析】试题分析：(Ⅰ)由P点坐标1cos x y αα⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去参数α得曲线1C 的直角普通方程22(1)2x y ++=，再由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入可得极坐标方程为212cos ρρθ=-，同样由此公式代入2C 的极坐标方程可得其直角坐标方程；(Ⅱ) 由曲线1C 与曲线2C 的直角坐标方程联立方程组可得其公共点的坐标为(0,1)-，化为极坐标为3(1,)2π． 试题解析：(Ⅰ)曲线1C ：22(1)2x y ++=，极坐标方程为212cos ρρθ=-，曲线2C 的直角坐标方程为1y x =-；(Ⅱ) 曲线1C 与曲线2C 的公共点的坐标为(0,1)-，极坐标为3(1,)2π． 考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化.D ．（选修４－５：不等式选讲）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yx z yz zx xy x y z≥++++．【答案】见解析. 【解析】试题分析：这种类型的不等式可用基本不等式来证明，由已知12()x y x y yz zx z y x z+=+≥，22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥，三式相加再除以2可得要证不等式. 试题解析：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥． 同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++++≥． 考点：不等式的证明，基本不等式.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22.（本小题满分10分）从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M =中任取三个元素构成子集{,,}a b c （1）求,,a b c 中任意两数之差的绝对值不小于2的概率；（2）记,,a b c 三个数中相邻自然数的组数为ξ（如集合{3,4,5}中3和4相邻，4和5相邻， 2ξ=），求随机变量ξ的分布率及其数学期望()E ξ. 【答案】（1）512； （2）2()3E ξ=【解析】试题分析：（1）本题是古典概型问题，从9个不同的元素中任取3个不同元素的取法共有39C 种，而这三个数中任意两数之差的绝对值不小于2可以这样去取，先取6个位置，然后再在这6个数之间（可以在两端）插入3个位置，这样9个位置依次对应了9个数，而插入的3个位置的对应的数就是,,a b c ，这样共有37C 种方法，概率即为3739C C ；（2）因为是3个数，相邻组数ξ可能值分别为0,1,2，“0ξ=”就是第（1）题的情形，“1ξ=”即只有1组相邻数，选取的方法数为625642⨯+⨯=，“2ξ=”即有两组相邻数，选取的方法数为7种，因此可得颁布列，数学期望.试题解析：（1）从9个不同的元素中任取3个不同的元素，为古典概型.记“,,a b c 中任意两数之差的绝对值均不小于2”为事件A ，其基本事件总数为39n C =．由题意，,,a b c 均不相邻，利用插空法得，事件A 包含基本事件数37m C =，所以，,,a b c 中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率为512． （2）5112()012122123E ξ=⨯+⨯+⨯=. 考点：古典概型，随机变量的分布列与数学期望.23.（本小题满分10分）设整数n ≥3，集合P ={1，2，3，…，n }，A ，B 是P 的两个非空子集．记a n 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ，B )的个数． （1）求a 3； （2）求a n ．【答案】（1）5；（2）a n 1(2)21n n -=-⋅+． 【解析】试题分析：（1）用列举法求出结果，3n =时{1,2,3}P =，它的所有非空子集有7个，按A中的最大数小于B 中的最小数配对共有5对，即35a =；（2）设A 中最大数为k ，11k n ≤≤-，则A 中必有元素k ，另元素1,2,,1k -可在A 中也可不在A 中，这样A 的个数为01111112k k k k k C C C -----+++=，集合B 中一定没有元素1,2,,k ，而元素1,2,,k k n ++可在B ，但不能全不在B 中，这样B 的个数为1221n k n kn k n k n kC C C -----+++=-，于是集合对(,)A B 的个数为1112(21)22k n kn k -----=-，于是有1111(22)n n k n k a ---==-∑.试题解析：（1）当n =3时，P ={1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， 则所有满足题意的集合对(A ，B )为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})， ({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对， 所以a 35=；（2）设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤,整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，n 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n kn k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-， 从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---， 所以a n ()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑． 考点：子集，列举法，二项式系数的性质.。
2015年江苏高考南通密卷(全十份带答案)(南通市数学学科基地命题)
C． （选修４－４：坐标系与参数方程） 的图象在点 处的切线平行于 轴．
3 在极坐标系中，设圆 C 经过点 P ，圆心是直线 sin( ) 与极轴的交点，求圆 C 的 （ 3， ） 3 2 6
极坐标方程．
，求证：
．
D． （选修４－５：不等式选讲） 设 a, b, c 均为正数， abc 1 ．求证：
D
C
B
23． （本小题满分 10 分） 如图，已知点 F (0, p) ，直线 l : y p(其中p为常数且p 0) ， M 为平面内的动点，过 M 作 l 的垂线，垂 uuu u r uuu r uuur uuu r 足为 N ，且 NM NF FM FN ． （ 1）求动点 M 的轨迹 C 的方程； （ 2）设 Q 是 l 上的任意一点，过 Q 作轨迹 C 的切线，切点为 A 、 B ． ①求证： A 、 Q 、 B 三点的横坐标成等差数列； y ②若 Q(4, p) ， AB 20 ，求 p 的值． M
n 3 1 1 1 2 2 ， n 22． （本小题满分 10 分） 已知数列 an 满足 a1 1 ， an 1
(3n 3)an 4n 6 ,n N* ． n
是等差数列，求
（ 2） 当 C 0 时，若数列 求实数 的取值范围．
A B M
N C
第 4 题图
第 16 题 17． （ 本小题满分 14 分 ） 图 某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为 10cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三 棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶
点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为 xcm ，体积为 Vcm3 ． ． （ 1）求 V 关于 x 的函数关系式； （ 2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中， V 的最大值是多少？并求此时 x 的值．
2015年江苏高考南通密卷十(南通市数学学科基地命题)
2015 年高考模拟试卷(10)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160 分）一、填空题：本大题共 14 小题，每题5 分，共 70 分 ．1. 复数 z 3 4i 的虚部为.2. 函数 f ( x)2sin(x ) 的最小正周期为，此中 0 ，则.643. 函数 y x 1 的值域为会合 A ，函数 y lg 2 x 的定义域为会合 B ，则 A B =4. 已知双曲线x 2y 2 1 的一个焦点为（ 5， 0），则实数 m =．9m5．若五个数 1,2,3,4， a 的均匀数为 3，则这五个数的标准差是 ．开始6． 履行右边的程序图，那么输出 n 的值为 ．7. 若以连续掷两次骰子分别获得的点数m 、 n 作为点 P 的横、纵坐标， n ← 1则点 P 在直线 x ＋ y = 5 下方的概率为．．已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，又是周期为 2 的周期函数，当 S ← 0 8x [0,1) 时， f ( x)2x 1，则 f (log 0.5 6) 的值为 _____．S> 202，则该9．已知正六棱锥 P ABCDEF 的底面边长为 1 cm ，侧面积为 3 cm N棱锥的体积为 ________cm 3.n ← n 1 ．Y输出 n 结束S ←2S 110.在△ ABC 中， ( AB 3AC ) CB0 ，则角 A 的最大值为 _________．Y11. 已知圆 ( x 1)2 y 29 与直线 y tx 3交于 A, B 两点，点 P(a,b)（第 6 题）在直线 y 2x 上， 且 PAPB ,则 a 的取值范围为.2x12.若对于 x的方程log 2 4－x= kx + 1-2k(k 为实数 )有三个实数解，则这三个实数解的和 _ .13. 已知数列 a 1,a 2 ,,a n ， 知足 a 1 a 21,a 3 2 ，且对于随意 n N ， a n a n 1a n 21 ，又a na n 1a n 2an 3a na n 1an 2a n 3 ，则 a 1 a 2 a 3a 2015 =.14. 已知对于全部x ， y ∈ R ，不等式 x 281 2xy 18 2 y 2 a0 恒成立，则实数 ax 2x的取值范围是．二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.15.（本小题满分14 分）在 ABC 中，已知 A 454， cos B .5( 1) 求 cosC 的值；(2) 若 BC 10, D 为 AB 的中点，求 CD 的长 .（本小题满分14分）在四周体 ABCD 中， CB CD,AD BD ，且E, F 分别是AB, BD16.的中点 .求证：（1）直线 EF ∥面 ACD；（ 2）平面 EFC ⊥平面 BCD ．17. (本小题满分14 分)如图，有一块矩形草坪ABCD ， AB=100米，BC =50 3 米，欲在这块草坪内铺设三条小道OE、 EF 和 OF ，要求 O 是 AB 的中点，点 E 在边 BC 上，点 F 在边上，且∠ EOF =90°；（ 1）设∠ BOE=，试求OEF 的周长 l 对于的函数分析式，并求出此函数的定义域；AD（2）经核算，三条路每米铺设花费均为400 元，试问怎样设计才能使铺路的总花费最低？并求出最低总花费．D CEFA O B18.(本小题满分x2y21(a b 0) 的左极点为A(-2,0)，且过点(1, e)，（ e 16 分 ) 已知椭圆b2a2为椭圆的离心率）；过 A 作两条相互垂直的弦AM ，AN交椭圆于M,N两点。
江苏省南通市2015届高三高考密卷(四)(数学学科基地命题)数学试题 含解析
2015年高考模拟试卷(4)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题,共160分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1.全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，{}3,5B =，则()UC A B =．【答案】{1,2,4,5} 【解析】试题分析：因为{3}AB =，，所以()U C A B ={1,2,4,5}. 考点：集合的运算。
2.已知复数z 满足i z i 51)1(+-=+，（i 是虚数单位）,则复数z 的共轭复数z =. 【答案】23i - 【解析】试题分析：由题意15(15)(1)155231(1)(1)2i i i i i z i ii i -+-+--+++====+++-，所以23z i =-。
考点：复数的运算。
3。
已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料,从这4瓶饮料中随机取2瓶,则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是． 【答案】56【解析】试题分析：从这4瓶饮料中随机取2瓶共有246C=种方法，而两瓶中没有果汁饮料的方法只有1种，其概率为16,因此两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是15166P =-=.考点：古典概型，对立事件的概率。
4。
某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位:支）进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计,绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位:支）为．【答案】1200 【解析】试题分析：总数量为x ,则1802346413x =+++++，1200x =.考点：频率分布直方图. 5.如图程序运行的结果是．【答案】14 【解析】试题分析：依程序框图，,,a b i 的值依次为：1,1,4，2,4,5,6,14,6，这时65i =>，因此输出14b =。
2015年江苏省南通市高三二模考试数学试题及答案
南通市2015届高三第二次调研测试数学学科一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．命题“x ∃∈R ，20x >”的否定是“ ▲ ”．【答案】x ∀∈R ，20x ≤2．设1i i 1ia b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab 的值为 ▲ ．【答案】03．设集合{}11 0 3 2A =-，，，，{}2 1B x x =≥，则AB = ▲ ．【答案】{}1 3-，4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．【答案】115．一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2)如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 ▲ ． 【答案】0.026．若函数()π()2sin 3f x x ω=+(0)ω>的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为▲ ．【答案】π27．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线ln y x =在e x =(e 为自然对数的底数)处的切线与直线30ax y -+=垂直，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】e -8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =3 cm ，AD =2 cm ，1AA =1 cm ，则三棱锥11B ABD -的体积为 ▲ cm 3． 【答案】19．已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为2，前n 项和为n S ． 若544k k S a +-=(k *∈N )，则k 的值为 ▲ ．【答案】710．设32()4(3)f x x mx m x n =++-+(m n ∈R ，)是R 上的单调增函数，则m 的值为 ▲ ．AA 1B不CB 1不C 1不D 1不D（第8题）I ← 1While I < 7 S ← 2 I + 1 I ← I + 2 End While Print S（第4题）【答案】611．在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ⋅=⋅3=，则线段AC 的长为 ▲ ．解1：()3a b a +=，()()3a b a b +-=，（1）×2-（2解2：AC BD ⋅-0AC AD ⋅=，得()0AC BD AD ⋅-=，即0AC BA ⋅=，射影得AC AD ⋅=2AC =3，AC =．12．如图，在△ABC 中，3AB =，2AC =，4BC =，点D在边BC 上，BAD ∠=45°，则tan CAD ∠的值为 ▲ ．13．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg lg 4lg lg z zx y+的最小值为 ▲ ． 【答案】9814．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 交于点A ，B ，满足2PA AB =，则半径r 的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]5 55，设00(,)P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ． 则由2PA AB =得10232x x x -=，10232y y y -=． 将A ，B 坐标代入圆1C 的方程，得222112220011(1)(6)5,21210()()().333x y x y x y ⎧++-=⎪⎨-+-+-=⎪⎩此方程组有解等价于两方程对应的两圆有公共点，于是10105533-≤≤+，整理得525≤≤有解．令d=525d ≤≤有解．BDC（第12题）A当点1C 在圆2C 外时，min 30d r =-，max 30d r =+； 当点1C 在圆2C 内时，min 30d r =-，max 30d r =+． 于是305r +≥，|30|25r -≤，解得555r ≤≤．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，BAD ∠=90°．M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．（1）求证：//CD 平面MNQ ； （2）求证：平面MNQ ⊥平面CAD ．证明：（1）因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点，所以//MQ CD ． ……2分 又CD ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，故//CD 平面MNQ ． ……6分 （2）因为M ，N 分别为棱AD ，BD 的中点，所以//MN AB ．又90BAD ∠=°，故MN AD ⊥． ……8分 因为平面BAD ⊥平面CAD ，平面BAD平面CAD AD =，且MN ⊂平面ABD ，所以MN ⊥平面ACD ． ……11分又MN ⊂平面MNQ ，平面MNQ ⊥平面CAD ． ……14分（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN ⊥平面ACD ”，扣1分．）16．（本小题满分14分）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；（2）测试成绩为“优”的3名男生记为1a ，2a ，3a ，2名女生记为1b ，2b ．现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛． ①写出所有等可能的基本事件；A BCDMNQ（第15题）②求参赛学生中恰有1名女生的概率．解：（1）记“测试成绩为良或中”为事件A ，“测试成绩为良”为事件1A ，“测试成绩为中”为事件2A ，事件1A ，2A 是互斥的. ……2分由已知，有121923()()5050P A P A ==，． ……4分因为当事件1A ，2A 之一发生时，事件A 发生， 所以由互斥事件的概率公式，得1212192321()()()()505025P A P A A P A P A =+=+=+=． ……6分（2）①有10个基本事件：12()a a ，，13()a a ，，11()a b ，，12()a b ，，23()a a ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，，12()b b ，． ……9分②记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件B ．在上述等可能的10个基本事件中，事件B包含了11()a b ，，12()a b ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，．故所求的概率为63()105P B ==．答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为2125；（2）参赛学生中恰有1名女生的概率为35． ……14分（注：不指明互斥事件扣1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣1分．事件B 包含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分．）17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=a (1，0)，=b (0，2).设向量=+x a (1cos θ-)b ，k =-y a 1θ+b ，其中0πθ<<．（1）若4k =，π6θ=，求x ⋅y 的值；（2）若x //y ，求实数k 的最大值，并求取最大值时θ的值．解：（1）（方法1）当4k =，π6θ=时，(12=，x ，=y (44-，)， ……2分则⋅=x y (1(4)244⨯-+-⨯=- ……6分（方法2）依题意，0⋅=a b ， ……2分则⋅=x y (()(22142421⎡⎤+-⋅-+=-+⨯⎢⎥⎣⎦a b a b a b(421443=-+⨯⨯=． ……6分 （2）依题意，()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ， 因为x //y ，所以2(22cos )k θθ=--，整理得，()1sin cos 1kθθ=-， ……9分令()()sin cos 1f θθθ=-，则()()cos cos 1sin (sin )f θθθθθ'=-+-22c o s c o s 1θθ=-- ()()2cos 1cos 1θθ=+-. ……11分令()0f θ'=，得1cos 2θ=-或cos 1θ=，又0πθ<<，故2π3θ=．列表：故当2π3θ=时，min ()f θ=，此时实数k 取最大值 ……14分（注：第（2）小问中，得到()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ，及k 与θ的等式，各1分）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222 1 ( 0 )y x a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为(0)F c ，．00( )P x y ，为椭圆上一点，且PA PF ⊥．（1）若3a =，b 0x 的值； （2）若00x =，求椭圆的离心率；（3）求证：以F 为圆心，FP 为半径的圆与椭圆的右准线2a x c=相切． 解：（1）因为3a =，b =2224c a b =-=，即2c =． 由PA PF ⊥得，0000132y y x x ⋅=-+-，即22006y x x =--+． ……3分 又22001x y +=，所以204990x x +-=， 解得034x =或03x =-(舍去)． ……5分（2）当00x =时，220y b =， 由PA PF ⊥得，001y y a c⋅=--，即2b ac =，故22a c ac -=， ……8分 所以210e e +-=，解得e ． ……10分（3）依题意，椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c -，且2200221x y a b+=．① 由PA PF ⊥得，00001y y x a x c⋅=-+-，即2200()y x c a x ca =-+-+． ② 由①②得，22000()()()0x a b x a a x c ⎡⎤+---=⎣⎦，解得()2202a a ac c x c --=-（0x a =-舍去）. ……13分所以PF ==0c a x a =-()222a a ac c c a a c --=+⋅2a c c =-，所以以F 为圆心，FP 为半径的圆与右准线2a x c=相切． ……16分（注：第（3）小问中，得到椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c-，得1分；直接使用焦半径（第18题）公式扣1分）19．（本小题满分16分）设a ∈R ，函数()f x x x a a =--． （1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）当4a >时，求函数()()y f f x a =+零点的个数．解：（1）若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-， 令0x =得，(0)(0)f f =-，即(0)0f =，所以0a =，此时()f x x x =为奇函数． ……4分（2）因为对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，所以min ()0f x ≥． 当0a ≤时，对任意的[2 3]x ∈，，()0f x x x a a =--≥恒成立，所以0a ≤；……6分 当0a >时，易得22 () x ax a x a f x x ax a x a ⎧-+-<⎪=⎨--⎪⎩，，，≥在(2a ⎤-∞⎥⎦，上是单调增函数，在 a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调减函数，在[) a +∞，上是单调增函数． 当02a <<时，min ()(2)2(2)0f x f a a ==--≥，解得43a ≤，所以43a ≤；当23a ≤≤时，min ()()0f x f a a ==-≥，解得0a ≤，所以此时a 不存在； 当3a >时，{}{}min ()min (2)(3)min 2(2)3(3)0f x f f a a a a ==----，，≥， 解得92a ≥，所以92a ≥；综上得，43a ≤或92a ≥． ……10分（3）设[]()()F x f f x a =+．令()t f x a x x a =+=-，则()y f t ==t t a a --，4a >．第一步，()0f t =t t a a ⇔-=，所以，当t a <时，20t at a -+=，判别式(4)0a a ∆=->，解得1t =2t =；当t a ≥时，由()0f t =得，即()t t a a -=，解得3t 第二步，易得12302a t t a t <<<<<，且24a a <． ①若1x x a t -=，其中2104a t <<， 当x a <时，210x ax t -+=，记21()p x x ax t =-+，因为对称轴2a x a =<，1()0p a t =>，且21140a t ∆=->，所以方程210t at t -+=有2个不同的实根； 当x a ≥时，210x ax t --=，记21()q x x ax t =--，因为对称轴a x a =<，1()0q a t =-<，且22140a t ∆=+>，所以方程210x ax t --=有1个实根， 从而方程1x x a t -=有3个不同的实根；②若2x x a t -=，其中2204a t <<，由①知，方程2x x a t -=有3个不同的实根；③若3x x a t -=，当x a >时，230x ax t --=，记23()r x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，3()0r a t =-<，且23340a t ∆=+>，所以方程230x ax t --=有1个实根； 当x a ≤时，230x ax t -+=，记23()s x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，3()0s a t =>，且2334a t ∆=-，2340a t ->⇔324160a a -->， ……14分记32()416m a a a =--，则()(38)0m a a a '=->，故()m a 为(4 )+∞，上增函数，且(4)160m =-<，(5)90m =>， 所以()0m a =有唯一解，不妨记为0a ，且0(45)a ∈，， 若04a a <<，即30∆<，方程230x ax t -+=有0个实根； 若0a a =，即30∆=，方程230x ax t -+=有1个实根； 若0a a >，即30∆>，方程230x ax t -+=有2个实根．所以，当04a a <<时，方程3x x a t -=有1个实根； 当0a a =时，方程3x x a t -=有2个实根； 当0a a >时，方程3x x a t -=有3个实根．综上，当04a a <<时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为7； 当0a a =时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为8；当0a a >时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为9． ……16分 （注：第（1）小问中，求得0a =后不验证()f x 为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分离参数法参照参考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分）20．（本小题满分16分）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q (1q ≠)的等比数列．记n n n c a b =+． （1）求证：数列{}1n n c c d +--为等比数列； （2）已知数列{}n c 的前4项分别为4，10，19，34． ①求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；②是否存在元素均为正整数的集合A ={1n ，2n ，…，} k n (4k ≥，k *∈N )，使得数列1n c ，2n c ，…，k n c 为等差数列？证明你的结论．解：（1）依题意，()()111n n n n n n c c d a b a b d +++--=+-+-()()11n n n n a a d b b ++=--+-(1)0n b q =-≠， ……3分 从而2111(1)(1)n n n n n n c c d b q q c c d b q ++++---==---，所以{}1n n c c d +--是首项为1(1)b q -，公比为q 的等比数列． ……5分（2）①法1：因数列{}n c 的前4项分别为4，10，19，34，故{}1n n c c d +--的前3项为6d -，9d -，15d -， 由（1）得，{}1n n c c d +--是等比数列，则()29d -=()()615d d --，解得3d =，从而2q =， ……7分 且11114 3210 a b a b +=⎧⎨++=⎩，，解得11a =，13b =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． ……10分法2：依题意，得1111211311410219334a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，， ……7分消去1a ，得1121132116915d b q b d b q b q d b q b q +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩，，，消去d ，得2111321112326b q b q b b q b q b q ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，， 消去1b ，得2q =，从而可解得，11a =，13b =，3d =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． ……10分 ②假设存在满足题意的集合A ，不妨设l ，m ，p ，r A ∈()l m p r <<<， 且l c ，m c ，p c ，r c 成等差数列，则2m p l c c c =+， 因为0l c >，所以2m p c c >， （*） 若1p m >+，则2p m +≥，结合（*）得，112(32)32(32)32m p m p --⎡⎤-+⋅>-+⋅⎣⎦13(2)232m m ++-+⋅≥， 化简得，8203m m -<-<， （**）因为2m ≥，m *∈N ，不难知20m m ->，这与（**）矛盾， 所以只能1p m =+． 同理，1r p =+．所以m c ，p c ，r c 为数列{}n c 的连续三项，从而122m m m c c c ++=+， 即()11222m m m m m m a b a b a b +++++=+++，故122m m m b b b ++=+， 由132n n b -=⋅得45=，矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A ． ……16分（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分）南通市2015届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C 为切点．求证：AP BC AC CP ⋅=⋅． 证明：因为PC 为圆O 的切线，所以PCA CBP ∠=∠， ……3分 又CPA CPB ∠=∠，故△CAP ∽△BC P ， ……7分 所以AC AP =，即AP BC AC CP ⋅=⋅． ……10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征向量，求实数a 的值． 解：设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则232a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ……5分 故262 123 a λλ+=⎧⎨=⎩，，解得4 1. a λ⎧⎨=⎩=，……10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线π3θ=与曲线210cos 40ρρθ-+=相交于A ，B 两点，求线段AB 中点的极坐标．解：（方法1）将直线π3θ=化为普通方程得，y =，将曲线210cos 40ρρθ-+=化为普通方程得，221040x y x +-+=， ……4分联立221040y x y x ⎧=⎪⎨+-+=⎪⎩，并消去y 得，22520x x -+=，解得112x =，22x =，P（第21 - A 题）所以AB 中点的横坐标为12524x x +=……8分 化为极坐标为()5π 23，． ……10分（方法2）联立直线l 与曲线C 的方程组2π310cos 40θρρθ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，，……2分 消去θ，得2540ρρ-+=，解得11ρ=，24ρ=， ……6分 所以线段AB 中点的极坐标为()12π 23ρρ+，，即()5π 23，． ……10分（注：将线段AB 中点的极坐标写成()5π 2π ()23k k +∈Z ，的不扣分）D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设实数a ，b ，c 满足234a b c ++=，求证：2228a b c ++≥．证明：由柯西不等式，得()()222222123a b c ++++≥()223a b c ++， ……6分 因为234a b c ++=，故22287a b c ++≥， ……8分当且仅当123a b c ==，即27a =，47b =，67c =时取“=”． ……10分【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(84)A -，，(2)P t ，(0)t <在抛物线22y px =(0)p >上． （1）求p ，t 的值；（2）过点P 作PM 垂直于x 轴，M 为垂足，直线AM 与抛物线的另一交点为B ，点C 在直线AM 上．若PA ，PB ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1232k k k +=，求点C 的坐标． 解：（1）将点(84)A -，代入22y px =，得1p =， ……2分 将点(2)P t ，代入22y x =，得2t =±，因为0t <，所以2t =-． ……4分 （2）依题意，M 的坐标为(20)，， 直线AM 的方程为2433y x =-+，（第22题）联立224332y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，并解得B ()112，， ……6分所以113k =-，22k =-，代入1232k k k +=得，376k =-， ……8分从而直线PC 的方程为7163y x =-+，联立24337163y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，并解得C ()823-，． ……10分23．（本小题满分10分）设A ，B 均为非空集合，且AB =∅，AB ={ 123，，，…，}n (n ≥3，n *∈N )．记A ，B 中元素的个数分别为a ，b ，所有满足“a ∈B ，且b A ∈”的集合对(A ，B )的个数为n a ． （1）求a 3，a 4的值； （2）求n a 的表达式．解：（1）当n =3时，AB ={1，2，3}，且AB =∅．若a =1，b =2，则1B ∈，2A ∈，共01C 种；若a =2，b =1，则2B ∈，1A ∈，共11C 种．所以a 3=01C 11+ C 2=； ……2分当n =4时，A B ={1，2，3，4}，且A B =∅．若a =1，b =3，则1B ∈，3A ∈，共02C 种； 若a =2，b =2，则2B ∈，2A ∈，这与AB =∅矛盾；若a =3，b =1，则3B ∈，1A ∈，共22C 种．所以a 4=02C 22+ C 2=． ……4分（2）当n 为偶数时，A B ={1，2，3，…，n }，且A B =∅．若a =1，b 1n =-，则1B ∈，1n -A ∈，共02C n -（考虑A ）种；若a =2，b 2n =-，则2B ∈，2n -A ∈，共12C n -（考虑A ）种； ……若a =12n -，b 12n =+，则12n -B ∈，12n +A ∈，共22C nn --（考虑A ）种； 若a =2n ，b 2n =，则2n B ∈，2n A ∈，这与AB =∅矛盾；若a 12n =+，b 12n =-，则12n +B ∈，12n -A ∈，共22C nn -（考虑A ）种； ……若a =1n -，b 1=，则1n -B ∈，1A ∈，共（考虑A ）22C n n --种．所以a n =02Cn -+12Cn -+…+222C n n --+22Cn n -+…+122222C2Cn n n n n -----=-． ……8分当n 为奇数时，同理得，a n =02C n -+12C n -+…+222C 2n n n ---=． 综上得，122222C 2 .n n n n n n a n ----⎧⎪-=⎨⎪⎩，为偶数，，为奇数 ……10分。
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2015年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1．已知集合{1,1}A k =-，{2,3}B =，且{2}A B = ，则实数k 的值为 ． 2．设2(12)(,R)i a bi a b +=+∈，其中i 是虚数单位，则ab = ． 3．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()(R)f x x ax a =+∈，且(2)6f =，则a = ．4．右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是 ．5．设点P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两互相垂 直，且1PA PB PC cm ===，则球的表面积为 2cm ．6．已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+<>>，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =<>->，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ． 7．将参加夏令营的500名学生编号为：001,002,,500 ，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为 ．8．ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“sin sin )cos C A A B =+”成立的的 条件． (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1:2的两部分，则双曲线的离心率为 ．10．已知442cos sin ,(0,)32πααα-=∈，则2cos(2)3πα+= ．11．已知正数1234,,,a a a a 依次成等比数列，且公比1q ≠．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则公比q 的取值集合是 ．12． 如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，2AD DC ==， 若12AC BD ⋅=-uu u r uu u r ，则AD BC ⋅=u u u r u u u r．13．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则sin sin BA 的取值范围是 ．14．设函数()f x 满足()(3)f x f x =，且当[1,3)x ∈时，()ln f x x =．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数123,,x x x ，使得312123()()()f x f x f x t x x x ===，则实数t 的取值范围为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，2C A π-=，sin A =． （1）求sin C 的值；第12题图 0,1s n ←←第4题图（2）若BC =ABC ∆的面积． 16．（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC 是边长为2的菱形，160A AC ∠= ．在面ABC中，AB =4BC =，M 为BC 的中点，过11,,A B M 三点的平面交AC 于点N ．（1）求证：N 为AC 中点；（2）求证：平面11A B MN ⊥平面11A ACC ．17．（本小题满分14分）某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为cm x ，体积为3cm V ． （1）求V 关于x 的函数关系式；（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．B A 1 B 1C 1 M NA 第16题图18．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，并且椭圆经过点(1,1)，过原点O 的直线l与椭圆C 交于A B 、两点，椭圆上一点M 满足MA MB =． （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：222112OA OB OM ++为定值； （3）是否存在定圆，使得直线l 绕原点O 转动时，AM 恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且满足1239a a a ++=，12327b b b =． （1）若43a b =，43b b m -=．①当18m =时，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；②若数列{}n b 是唯一的，求m 的值；（2）若11a b +，22a b +，33a b +均为正整数，且成等比数列，求数列{}n a 的公差d 的最大值．(第17题图)图20．（本小题满分16分）设函数2()()x f x ax e a =+∈R 有且仅有两个极值点1212,()x x x x <． （1）求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a 满足2311()f x e x =？如存在，求()f x 的极大值；如不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题．．．．．．．．．．．．．．．区域．．内作答．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AD 是∠BAC 的平分线，圆O 过点A 且与边BC 相切于点D ，与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，求证：EF ∥BC ．ABDCEF O·B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知1 0 4 31 2 4 1-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B ，求矩阵B ． C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C 是以点(2,)6C π-为圆心，2为半径的圆．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）求圆C 被直线5:12l πθ=-所截得的弦长．D ．（选修４－５：不等式选讲） 设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．（本小题满分10分）直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =. D 是BC 的中点.（1）求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值.1A 1B 1C DACB23.（本小题满分10分）设*n N ∈且4n ≥，集合{}1,2,3,,M n = 的所有3个元素的子集记为312,,,nC A A A ．（1）求集合312,,,nC A A A 中所有元素之和S ；（2）记i m 为i A 3(1,2,,)ni C = 中最小元素与最大元素之和，求32015132015C ii mC=∑的值．2015年高考模拟试卷(2) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．3； 2．12-； 3．5； 4．27； 5．3π； 6．29； 7．14； 8．充分不必要；【解析】条件“角,,A B C 成等差数列”⇔3B π=；结论 “sin sin )cos C A A B =+”⇔sin()cos sin cos A B A B A B ++⇔cos sin cos A B A B =⇔cos 0A =或sin B B =⇔A π=或3B π=．所以条件是结论的充分不必要条件．9； 10．11．⎪⎪⎩⎭；【解析】若删去2a ，则134,,a a a 成等差数列，3142a a a ∴=+，即231112a q a a q =+，1q ∴=（舍去）或q =或q =（舍去）；若删去3a ，则124,,a a a 成等差数列，2142a a a ∴=+，即31112a q a a q =+，1q ∴=（舍去）或q =或q =∴q =12．0；【解析】0AD DC CB BA +++= ，∴AD BC AB CD -=+，22()()()()AD DC BC CD AD BC CD AD BC CD AD BC CD AB CD CD ∴+⋅+=⋅+⋅--=⋅+⋅+- ，12AC BD ⋅=- ，//AB CD ，6AB =，2AD DC ==，0AD BC ∴⋅=．13．；【解析】由条件得2b ac =，不妨设a b c ≤≤，则2b c a b a=<+，即2210b b a --<；同理得当a bc ≥≥1b a <≤．而sin sin B b A a =，∴sin sin BA 的取值范围是． 14．ln31(,)93e ．【解析】()(3)f x f x = ，()()3x f x f ∴=，当[3,9)x ∈时，[1,3)3x ∈，()ln 3xf x ∴=，在直角坐标系内作出函数()f x 的图象，而()f x x表示的是该图象上的点与原点的连线的斜率．图象上的点(9,ln 3)与与原点的连线的斜率为ln 39；当过原点的直线与曲线()ln ,[3,9)3x f x x =∈相切时，斜率为13e（利用导数解决）．∴由图可知，满足题意得实数t 的取值范围为ln31(,)93e．二、解答题15．（1）因为在ABC ∆中，2C A π-=，所以A 为锐角，且cos A =．所以sin sin()cos 2C A A π=+==（2）由正弦定理得sin sin BC ABA C=，所以sin sin BC C AB A ===因为在ABC ∆中，2C A π-=，所以C为钝角，且cos C ==． 因为在ABC ∆中，()B A C π=-+，所以1sin sin()sin cos cos sin (3B AC A C A C =+=+==． 所以ABC ∆的面积为111sin 223ABC S AB BC B ∆=⨯⨯=⨯．16． (1)由题意，平面//ABC 平面111A B C ，平面11A B M 与平面ABC 交于直线MN ，与平面111A B C 交于直线11A B ，所以11//MN A B ．因为11//AB A B ，所以//MN AB ，所以CN CMAN BM=． 因为M 为AB 的中点，所以1CNAN=，所以N 为AC 中点．(2)因为四边形11A ACC 是边长为2的菱形，160A AC ∠= ． 在三角形1A AN 中，1AN =，12A A =，由余弦定理得1A N = 故22211A A AN A N =+，从而可得190A NA ∠= ，即1A N AC ⊥． 在三角形ABC中，AB =2AC =，4BC =，则222BC AB AC =+，从而可得90BAC ∠= ，即AB AC ⊥． 又//MN AB ，则AC MN ⊥．因为1MN A N N = ，MN ⊂面11A B MN ，1A N ⊂面11A B MN ， 所以AC ⊥平面11A B MN ． 又AC ⊂平面11A ACC ，所以平面11A B MN ⊥平面11A ACC ． 17．正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大． 设正三棱锥侧面的高为0h ，高为h ．010x h +=，解得010h =-．则h =x ∈．所以，正三棱锥体积21133V Sh x ==．设4452100(100)4848x x y V ===求导得3410012x y '=-，令0y '=，得x =当x ∈时，0y '>，∴函数y在上单调递增，当x ∈时，0y '<，∴函数y在上单调递减，所以，当x =时，y 取得极大值也是最大值． 此时15360y =，所以3max V =．答：当底面边长为时，正三棱锥的最大体积为3．18．（1）由题设：22111,a b ⎪+=⎪⎩解得2233,2a b ==，∴椭圆C 的方程为2221;33x y += （2）①直线l 的斜率不存在或为0时，222221122224233OA OB OM a b ++=+=+=； ②直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为(0)y kx k =≠，则MA MB = ，∴直线OM 的方程为1y x k=-，由2223y kx x y =⎧⎨+=⎩得22(12)3k x +=，222312A B x x k ∴==+， 同理22232M k x k ∴=+，222112O A O B O M ∴++= 2221123313(1)(1)(1)12122k k k k k k k +++⋅+⋅+⋅+++ 22222(12)2(2)3(1)3(1)k k k k ++=+++ 2=，2221122OA OB OM ∴++=为定值； （3）由（2）得：①直线l 的斜率不存在或为0时，2222111112133OA OM a b +=+=+=；②直线l 的斜率存在且不为0时， 22222222222111112213133(1)3(1)(1)(1)122k k k OA OM k k k k k k +++=+=+=+++⋅+⋅++∴原点O 到直线AM的距离1d ==， ∴直线AM 与圆221x y +=相切，即存在定圆221x y +=，使得直线l 绕原点O 转动时，AM 恒与该定圆相切． 19．（1）①由数列{}n a 是等差数列及1239a a a ++=，得23a =，由数列{}n b 是等比数列及12327b b b =，得23b =． 设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，若18m =，则有2323,3318d q q q +=⎧⎨-=⎩，解得3,3d q =⎧⎨=⎩ 或9,22d q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩． 所以，{}n a 和{}n b 的通项公式为133,3n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或2912,23(2)n n na nb -⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ ② 由题设43b b m -=，得233q q m -=，即2330q q m --=（*）．因为数列{}n b 是唯一的，所以若0q =，则0m =，检验知，当0m =时，1q =或0（舍去），满足题意；若0q ≠，则2(3)120m -+=，解得34m =-，代入（*）式，解得12q =，又23b =，所以{}n b 是唯一的等比数列，符合题意．所以，0m =或34-．（2）依题意，113336()()a b a b =++，设{}n b 公比为q ，则有336(3)(33)d d q q=-+++， （**）记33m d q=-+，33n d q =++，则36mn =． 将（**）中的q 消去，整理得2()3()360d m n d m n +-++-=， d=而,m n N *∈，所以 (,)m n 的可能取值为：(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4)12,3),(18,2),(36,1)．所以，当1,36m n ==时，d． 20．(1)()2x f x ax e '=+．显然0a ≠，12,x x 是直线12y a =-与曲线()x xy g x e==两交点的横坐标．由1()0xxg x-'==，得1x =．列表： 此外注意到：当0x <时，()0g x <；当[0,1]x ∈及(1,)x ∈+∞时，()g x 的取值范围分别为1[0,]e 和1(0,)e ．于是题设等价于1102a e <-<<⇒2e a <-，故实数a 的取值范围为(,)2e-∞-． (2)存在实数a 满足题设．证明如下：由(1)知，1201x x <<<，111()20x f x ax e '=+=，故1112213111()+2x x x x f x =ax e e e e x =-=，故11231102x x e e e x --=． 记231()(01)2x x e R x e e x x =--<<，则2(1)1()02x x e x R x e x -'=-<，于是，()R x 在(0,1)上单调递减．又2()03R =，故()R x 有唯一的零点23x =．从而，满足2311()f x e x =的123x =．所以，1231324x e a e x =-=-． 此时2233()4x f x e x e =-+，233()2x f x e x e '=-+，又(0)0f '>，(1)0f '<，(2)0f '>，而12(0,1)3x =∈，故当2334a e =-时,2312()()3f x f x e ==极大.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21.A . 如图，连结DF ．因为BC 与圆相切，所以CDF DAF ∠=∠．AEF O·因为EFD ∠与EAD ∠为弧DE 所对的圆周角， 所以EFD EAD ∠=∠．又因为AD 是BAC ∠的平分线，所以EAD DAF ∠=∠． 从而CDF EFD ∠=∠．于是//EF BC ． B ．设 , a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 则1 01 22 2a b a c b d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦B ， 故4,4,3,3,4 3.24,4, 4 221, 2.a ab b ac c bd d =-=-⎧⎧⎪⎪==-⎡⎤⎪⎪=⎨⎨⎢⎥+==-⎣⎦⎪⎪⎪⎪+=-=-⎩⎩解得故B C ．（1）圆C 是将圆4cos ρθ=绕极点按顺时针方向旋转6π而得到的圆，所以圆C 的极坐标方程是4cos()6πρθ=+．（2）将512πθ=-代入圆C 的极坐标方程4cos()6πρθ=+，得ρ= 所以，圆C 被直线5:12l πθ=-所截得的弦长为 D. 因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是由均值不等式可知()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++9≥，当且仅当13a b c ===时，上式等号成立．从而1111323232a b c ++≥+++． 故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13a b c ===． 22． 在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，∴分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C ,D 是BC 的中点，∴(1,2,0)D ，（1）111(0,4,0),(1,2,3)AC A D ==- ， 设平面11A C D 的法向量1111(,,)n x y z = ，则1111100n AC n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴平面11A C D 的法向量1(3,0,1)n =， 而1(1,2,3)DB =-，111111cos ,n DB n DB n DB ⋅∴<>==⋅ ， ∴直线1DB 与平面11A C D（2）11(2,0,0)A B = ，1(1,2,3)DB =-设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z = ，则211210n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取22232x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴平面11B A D 的法向量2(0,3,2)n =，121212cos ,n n n n n n ⋅∴<>==⋅， ∴二面角111B A D C --． 23．（1）因为含元素1的子集有21n C -个，同理含2,3,4,,n 的子集也各有21n C -个，于是所求元素之和为22211(123)(2)(1)4n n C n n n -++++⨯=-- ； （2）集合{}1,2,3,,M n = 的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有21n C -个，以n 为最大元素的子集有21n C -个；以2为最小元素的子集有22n C -个，以1n -为最大元素的子集有22n C -个；以2n -为最小元素的子集有22C 个，以3为最大元素的子集有22C 个．31nC i i m =∴∑312nC m m m =+++222122(1)()n n n C C C --=++++ 22231233(1)()n n n C C C C --=+++++ 22231244(1)()n n n C C C C --=+++++ 3(1)n n C ==+ ，3131n C ii nmn C =∴=+∑． 32015132015201512016C ii mC=∴=+=∑．。