人大微积分课件7-6曲面及其方程

解
设 M ( x, y, z)是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA | | MB |,
x 1 y 2 z 3
2 2
2

x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0 .
x y
2
11 ) z x y
2
2
12 )
x
2

y
2
z
4
9
x a
2 2

y c
2 2

z c
2 2
1
2)抛物面(Paraboloids)
x
2
I) 椭圆抛物面 2p (Elliptic Paraboloids)
p=q时，成为旋转抛物面

y
2
Z
(p, q 同号）
2q
z
II)双曲抛物面（马鞍面）
(Hyperbolic Paraboloids)

x
2

y
2
y z 2 x 4 y 0表 示 怎 样 的 曲
2 2
2 2 2
解 原 方 程 可 化 为 ( x 1) ( y 2 ) z 5 所以原方程表示球心为( 1 , 2 , 0 ), 半径为 5 的球面.
x 2 y 2 z 2 2 Ax 2 By 2 Cz D 0 ： A 2 B 2 C 2 D 其特点为缺 ( x A) 当A 2 B A B B 2 xy 、 yz 、 zx 项.配方后化为 (y B) C B C C 2 2 2 (z C ) 2
1 c
x
半径随c 的增大而增 大 .
图形上不封顶，下封底．
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
二、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
2 2 2
2 2
1分别绕 x 轴和z 轴；
y z
2 2
绕 x 轴旋转
c
2
2 2 2
1 1
绕 z 轴旋转
x y a
2

z c
旋 转 双 曲 面
y z 2 2 1 （ 2） 椭 圆 a 绕 y 轴和z 轴； c x 0 2 2 2 y x z 绕 y轴旋转 1 2 2 a c
注：设有三元二次方程
2 2
D 0 时，表示球心为 C 2 D 的球面 .
( A , B , C )，
半径为 当A 当A 2 2
2 2
2 2
D ＝ 0 时 ， 表示点球面. D 0 时，表示的轨迹称为虚 球面.
例 3 已 知 A ( 1 , 2 , 3 ) ， B ( 2 , 1 , 4 ) ， 求 线 段 AB 的 垂直平分面的方程.
2 2
1
b 2 x a
2
2
c 2 y b
2
椭圆柱面 // x 轴
1 双曲柱面 // z 轴
x 2 pz
抛物柱面 // y 轴
四、二次曲面 (Quadratic Surfaces)
1 定义：三元二次方程表示的曲面,称为二次曲 面。
如球面
x 1
2
y 2 z 3 4
2 2
绕 z 轴旋转
2
x y
2
2
a
2

z c
2 2
1
旋 转 椭 球 面
y 2 pz （ 3） 抛 物 线 绕z 轴； x 0
x y 2 pz
2 2
旋转抛物面
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
例4 方程 z ( x 1 ) ( y 2 ) 1 的图形是怎样的？
2 2
解
根据题意有 z 1
用平面 z c 去截图形得圆：
2 2
z
( x 1) ( y 2 ) 1 c
(c 1)
c
o
y
当平面 z c 上下移动时， 得到一系列圆
圆 心 在 (1 , 2 , c ) ， 半 径 为
那 么 ， 方 程 F ( x , y , z ) 0 就 叫 做 曲 面S 的 方 程 ， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建 立 球 心 在 点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 、 半 径 为
R的球面方程.
解
设 M ( x, y, z)是球面上任一点，

y b
2 2

z c
2 2
(Ellipsoids)
a
x
特殊情形：1）当a=b=c时，此时为球面
x y
2
2

z
2

a
2
2）当a=b时，此时为旋转曲面
x
2 2

y
2 2

z
2 2
1
a a c 3) 当a=c时，此时为旋转曲面
x a
2 2

y b
2 2

z a
2 2
1
4) 当c=b时，此时为旋转曲面
f y,

x z
2
2
0.
例 5
直 线 L 绕 另 一 条 与L 相 交 的 直 线 旋 转 一 周 ，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫 圆锥面的 顶点，两直线的夹角 0 叫圆锥面的半顶 2 z 角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 轴，半顶 角 为 的 圆 锥 面 方 程 ．
2 2
圆锥面、旋转曲面等
2、二次曲面的研究方法： (不能用描点法，而用截面法) 用平行于坐标面的平面去截曲面由所得截痕来 勾画曲面的大体形状。 1）对称性：关于坐标面，坐标轴 2）存在范围
z 3）曲面与坐标轴、坐标面的关系 4）曲面弯曲状况。 y
1

3、几种重要的二次曲面：
1）椭球面： x 2
2
2 2 2 2
2)
x
2

2
y
2
z 1
2
4
9
3)
x
2

2
y
2
z 1
2
4)
x

y
2
z 1
2
4
9
4
9
2 2
5) x
y
2
2x
2
6)z 6 x y
8)z
2
7)z 6 x y
2
4 x y
2
2
9 )2 z
x y
2
2
10 ) z 1
2
Z
(p, q 同号）
(0,0,0)
(P>0,q>0)
y
2p
2q
x
z
II)双曲抛物面（马鞍面）

x
2

y
2
Z
(p, q 同号）
2p
2q
o
x y
z
z xy
y
x
y x
3) 双曲面(Hyperboloids)
I)单叶双曲面(Hyperboloids of one sheet)
x
2 2

f ( y1 , z1 ) 0
将 z z1 ,
y1
f
x y
2
2 2
2
代入 f ( y1 , z1 ) 0
得方程

x y , z 0,

yoz 坐 标 面 上 的 已 知 曲 线 f ( y , z ) 0 绕 z 轴 旋 转
一周的旋转曲面方程.
同 理 ： yoz 坐 标 面 上 的 已 知 曲 线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
播放
旋转过程中的特征：
z
如图 设 M ( x , y , z ),
(1 ) z z 1
（ 2） 点 M 到 z 轴 的 距 离
o
M M
d
1
( 0 , y1 , z1 )
f ( y, z ) 0
y
d
x y | y1 |
2 2
x
将 z z1 ,
y1
x y
2
2
代入
第六节 曲面及其方程
一 二 三 四 曲面方程的概念 旋转曲面 柱面 二次曲面
一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程 F ( x, y, z) 0 有下述关系：
（ 1）曲 面 S 上 任 一 点 的 坐 标 都 满 足 方 程 ； （2）不 在曲 面 S 上 的 点的 坐标 都不 满足 方程 ；
z
解
yoz 面 上 直 线 方 程 为
z y cot


M 1 ( 0 , y1 , z1 )
y
圆锥面方程
z x y cot
2 2
o
x x