第6章弯曲变形

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第6章弯曲变形(土木)

w x 0 0, w x l 0 A, B

M Fs
x 0 x 0 x 0
0,
xபைடு நூலகம்l
0 B, D 0 B, D 0 A, B, C , D
0, M 0, Fs
x l x l
例题画挠曲线大致形状
依据 1. 约束条件； 2. 荷载情况； 3. 凹凸情况——由w″即M的正负号决定； 4. 光滑连续特性。
~
A
~
A
~
~~
~
A
~
~
~
A
AA
wA = 0
wA 0
A 0
wA
弹簧变形－
挠曲线必受边界约束限制。
AA
~ ~
AA
~ ~
光滑连续条件
在挠曲线的任意点处要保持光滑和连续。
w AL = w AR
w AL = w AR
AL AR
~
A A
A A A
边界条件 A A
A
A
A A
~
~
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。
解
1）由梁的整体平衡分析可得：
L
F
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
2）写出x 截面的弯矩方程
)
y
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
3）列挠曲线近似微分方程并积分 d 2w EI 2 M ( x) F ( x l ) dx dw 1 积分一次 EI EI F ( x l )2 C dx 2 1 再积分一次 EIw F ( x l )3 Cx D 6

材料力学(理工科课件)第六章弯曲变形)

§6-1 基本概念及工程实例（Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2

M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve）近似原因 : （1）略去了剪力的影响; （2）略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2

材料力学第六章弯曲变形

4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω

B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq

+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI

材料力学习题册答案-第6章弯曲变形

第六章弯曲变形一、是非判断题1．梁的挠曲线近似微分方程为EIy’’=M（x）。

（√）2．梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角为零。

（×）3．两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。

（×）4．等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。

（×）5．若梁上中间铰链处无集中力偶作用，则中间铰链左右两侧截面的挠度相等，转角不等。

（√）6．简支梁的抗弯刚度EI相同，在梁中间受载荷F相同，当梁的跨度增大一倍后，其最大挠度增加四倍。

（×）7．当一个梁同时受几个力作用时，某截面的挠度和转角就等于每一个单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。

（√）8．弯矩突变的截面转角也有突变。

（×）二、选择题1. 梁的挠度是（D）A 横截面上任一点沿梁轴线方向的位移B 横截面形心沿梁轴方向的位移C横截面形心沿梁轴方向的线位移D 横截面形心的位移2. 在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（B）是正确的。

A 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关B 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关C 转角和挠度的正负号均与坐标系有关D 转角和挠度的正负号均与坐标系无关3. 挠曲线近似微分方程在（D）条件下成立。

A 梁的变形属于小变形B 材料服从胡克定律C 挠曲线在xoy平面内D 同时满足A、B、C4. 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D）处。

A 挠度最大B 转角最大C 剪力最大D 弯矩最大5. 两简支梁，一根为刚，一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。

跨中作用有相同的力F，二者的（B）不同。

A支反力 B 最大正应力 C 最大挠度D最大转角6. 某悬臂梁其刚度为EI，跨度为l，自由端作用有力F。

为减小最大挠度，则下列方案中最佳方案是（B）A 梁长改为l /2，惯性矩改为I/8B 梁长改为3 l /4，惯性矩改为I/2C 梁长改为5 l /4，惯性矩改为3I/2D 梁长改为3 l /2，惯性矩改为I/47. 已知等截面直梁在某一段上的挠曲线方程为：y(x)=Ax²(4lx - 6l²-x²)，则该段梁上（B）A 无分布载荷作用B 有均布载荷作用C 分布载荷是x 的一次函数D 分布载荷是x 的二次函数 8. 图1所示结构的变形谐条件为：（D ） A f A=f BB f A+△l=fBCfA +fB =△l DfA-fB=△l三、填空题1. 用积分法求简支梁的挠曲线方程时，若积分需分成两段，则会出现 4 个积分常数，这些积分常数需要用梁的边界条件和光滑连续条件来确定。

材料力学第6章弯曲变形

Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程

(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响齿轮的啮合和轴承的配合，造成磨损不匀，产生噪音，降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会使梁上小车行走困难，出现爬坡现象，还会引起较严重的振动。
变形超过允许数值，即使在弹性范围内，也被认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2

3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl

刘鸿文版材料力学第六章

F6bl
(l2
b2 ) x1
CB 段： a x2 l
y
F
A A
DC
FAy x1
x2
a
ym ax b
B B x
FBy
EI
Fb 2 2l
2
x2
F 2
(
x2
a)2
Fb (l2 6l
b2 )
EIy2
Fb 6l
x32
F 6
(
x2
a)3
F6lb (l2 b2 ) x2
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
目录
§6-5 简单超静定梁
例7 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F = 40kN， q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。
解从B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。
MA
FA FB
FB FB
yB2
yB1
FB
变形协调方程为：物理关系
yB1 yB 2
4
EI
ql 4 48EI
ql 4 16 EI
11ql 4 ( ) 384 EI
3
ql 3
B i 1 Bi 24EI
ql 3 16EI
ql 3 3EI
11ql 3 ( ) 48EI
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形
例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、
yC
EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C
§6-4 用叠加法求弯曲变形
讨论叠加法求变形有什么优缺点？
目录
§6-5 简单超静定梁
1.基本概念：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统

材料力学_陈振中_习题第六章弯曲变形

第六章弯曲变形6．1 写出图示各梁的边界条件。

(a)0=A v 0=B v 0=A v 0=B v0=A v l v B ∆= 0=A v cql v c B 2=∆= 6.4用积分法求图示各梁的挠曲线方程、端截面转角A θ和B θ、跨度中点的挠度和最大挠度。

设EI ＝常量。

(a) 解：求出A 、B 处的约束反力为：l m R A =lm R B = 以A 点为坐标原点，则弯矩方程为：x lm x M =)( 梁AB 的挠曲线微分方程为：x lm EI x M EI v 1)(1''== 由积分法求梁的转角及挠度方程：C x EIlm v +==2'2θ D Cx x EILm v ++=36梁的边界条件：0=A v 、 0=B v ，由此求出积分常数：l EImC 6-= D ＝0 则梁AB 的挠曲线方程为：)(623x l x EIl m v -=;转角方程为:)3(622l x EIlm -=θ x=0:EI ml A 6-=θ; x=l: EI ml B 3=θ ; x=l/2:EIm l f l x 1622/-==由0'==v θ求出：3l x =处为挠度的极值点：EIml f 392max -=b)解：求出A 、B 处的约束反力为：qa R R B A ==以A 点为坐标原点，则弯矩方程分别为AC 段：)0()(a x qax x M ≤≤= CD 段：)3()(21)(2a x a a x q qax x M ≤≤--= DB 段：)43)(4()(a x a x a qa x M ≤≤-= 梁的挠曲线微分方程分别AC 段为：qax EIv 1''= CD 段：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2'')(211a x q qax EI v DB 段： )4(1''x a qa EI v -= 由积分法求梁的转角及挠度方程： AC 段：12'21C qax EI v +==θ 11361D x C qax EIv ++= CD 段: 232')(61211C a x q qax EI v +⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==θ ()2243241611D x C a x q qax EI v ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=DB 段: ()32'421C x a qa EI v +-==θ ()333461D x C x a qa EIv ++-= 梁的边界条件：x=0: 0=A v ;x = a:右左右左＝＝v v ,θθ;x = 3a:右左右左＝＝v v ,θθ; x = 4a: 0=B v由此求出积分常数：4333232131322,611,0,6110611qa EID qa EI C D qa EI C D aq EI C -===-＝－，＝，＝则梁AC 段的转角方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32611211qa qax EI θ 挠曲线方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x qa qax EI v 33611611梁CD 段的转角方程为：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=32261161211qa a x q qax EI θ 挠曲线方程为： ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=x qa a x q qax EI v 343611241611梁DB 段的转角方程为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=32611)4(211qa x a qa EI θ 挠曲线方程为： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=433322611)4(611qa x qa x a qa EI v x=0:3611qa EI A -=θ; x=4a: 3611qa EIB =θ ; 由0'==v θ求出：x=2a 处为挠度的极值点： 4max 2819qa EIf f a x -=== 6.5求图示悬臂梁的挠曲线方程及自由端的挠度和转角。

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第六章弯曲变形判断弯曲变形1、“平面弯曲梁的挠曲线必定是一条与外力作用面重合或平行的平面曲线”2、“由于挠曲线的曲率与弯矩成正比，因此横截面的挠度与转角也与横截面的弯矩成正比”3、“只要满足线弹性条件，就可以应用挠曲线的近似微分方程”4、“两梁的抗弯刚度相同、弯矩方程相同，则两梁的挠曲线形状相同”5、“梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间铰，梁的挠曲线仍然是一条光滑、连续的曲线。

”6、“最大挠度处的截面转角一定为0”7、“最大弯矩处的挠度也一定是最大”8、“梁的最大挠度不一定是发生在梁的最大弯矩处。

”9、“只要材料服从虎克定律，则构件弯曲时其弯矩、转角、挠度都可以用叠加方法来求”10、“两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受的载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度和转角相同，而与梁的材料是否相同无关”11、“一铸铁简支梁在均布载荷的作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力和变形均相同”选择弯曲变形1、圆截面的悬臂梁在自由端受集中力的作用，当梁的直径减少一半而其他条件不变时，最大正应力是原来的倍；最大挠度是原来的倍。

若梁的长度增大一倍，其他条件不变，最大弯曲正应力是原来的倍，最大挠度是原来的倍。

A：2； B：16 C：8 D：4；2、y’’=M(x)/EI在条件下成立。

A：小变形； B：材料服从虎克定律；C：挠曲线在xoy面内； D：同时满足A、B、C；3、等直梁在弯曲变形时，挠曲线最大曲率发生在处。

A：挠度最大； B：转角最大 C：剪力最大； D：弯矩最大；4、在简支梁中，对于减少弯曲变形效果最明显。

A：减小集中力P； B：减小梁的跨度；C：采用优质钢； D：提高截面的惯性矩5、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内：①σ=My/I Z,②y’’=M(x)/EI Z哪一个会得到正确的计算结果？A：①正确、②正确；B：①正确、②错误； C:①错误、②正确； D：①错误、②错误；6、应用叠加原理求横截面的挠度、转角时，需要满足的条件是。

工程力学c材料力学部分第六章弯曲变形

q
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为正对称和反对称荷载的叠加，正对称和反对称荷载的叠加，如图所示。如图所示。正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。力分解为关于中截面的对称和反对称力显然，在反对称力( / )作用下，显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁，对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用的问题。的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件变形连续条件：连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁，例1：图示一弯曲刚度为的悬臂梁，在自由端受一集中力作：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下，曲线弯曲平缓，在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2

弯曲变形求解方法

二、研究变形目的
①建立刚度条件，解决刚度问题
②建立变形协调条件，解决超静定问题
③为振动计算奠定基础。
§6.2挠曲线的微分方程
一、概念
以简支梁为例，以变形前的轴线为x轴，垂直向上为y轴，xoy平面为梁的纵向对称面。
①挠曲线：
在对称弯曲情况下，变形后梁的轴线为xoy平面内的一条曲线，此曲线称为挠曲线。
②挠度：
一、梁的刚度条件
在工程中，梁除了要满足强度条件外，还要满足刚度条件。梁的刚度条件为
式中 ——最大挠跨比；
——许用挠跨比。许用挠跨比可从设计规范中查得，一般在～之间。
[例6－2]受力情况如图9－42a所示的简支梁，由型号为45a工字钢制成。材料的许用应力 MPa，，材料的弹性模量为 GPa，试校核梁的强度和刚度。
梁的任一截面形心的竖直位移称为挠度。
③挠曲线的方程式：
w=f(x)
④转角：弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度θ，称为截面转角。根据平面假设，梁的横截面变形前，垂直于轴线，变形后垂直于挠曲线。故
⑤挠度w和转角θ是度量弯曲变形的两个基本量。
⑥挠度与转角符号规定：在图示坐标中，挠度向上为正，反时针的转角为正。
[解]（1）作梁的弯矩图（图9－42b）。
由图可知： kN·m
（2）校核梁的强度。
查型号为45a工字钢知，惯性矩 cm4，抗弯截面系数 cm3。
梁内最大正应力
N/mm2=103.18MPa＜
梁满足强度要求。
（3）校核梁的刚度
用叠加法计算梁跨中的挠度为
mm
=18.5mm
＜ =0.002
梁满足刚度要求。此梁安全。
二、提高梁刚度的措施
要提高梁的刚度，应从影响梁刚度的各个因素来考虑。梁的挠度和转角与作用在梁上的荷载、梁的跨度、支座条件及梁的抗弯刚度有关，因此，要降低挠度，提高刚度，可采用以下措施：

材料力学第6章梁的弯曲变形

(c)
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
在本章所取的坐标系中，
上凸的曲线w″为正值，下凸的为负值。
如图6-5所示。按弯矩正负号的规定，正弯矩对应着负的w″，负弯矩对应着正的w″，故（c）式
w
M (x)
(1
w2 )3 2
EI z
在小变形情况下， w dw 是一个很小的量， dx
则 w'2为高阶微量，可略去不计，故
挠曲线的近似微分方程
M x
w EI z
EIw''= −M (x)
(6-1b)
图6-5
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
6.4 积分法计算梁的变形
对于等直梁，可以直接积分，计算梁的挠度和转角。将式(6-1b)积分一次，得到
EIw′ = EIθ = −∫ M (x) dx + C
maxFl 2 2EI来自A xyF
θmax B
x
wmax
l
图6-7 例题 6-1 图
wm a x
Fl 3 3EI
θ max为正值，表明梁变形后，截面B顺时针转动；
wmax为正值，表明点B位移向下。
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
例题6-2 一简支梁受均布荷载q作用，如图6-8所示。试求梁的转角方程和挠度方程，并确定最大挠度和A、B截面的转角。设梁的弯曲刚度为EI。
A x
y
F
θmax B
x
wmax
l
进行两次积分，得到
EIw EI Flx Flx2 C
(a)
2
EIw Flx2 Fx3 Cx D

弯曲成形工艺

应力：材料或构件在单位截面上所承受的垂直作用力应变：在外力作用下，单位长度材料的伸长量或缩短量，称为应变量在一定的应力范围（弹性形变）内，材料的应力与应变量成正比，它们的比例常数称为弹性模量
6.2 弯曲件质量分析与工艺设计
6.2.1 弯曲件的回弹
卸载后弯曲件曲率和角度发生变化的现象，称为弯曲回弹（简称回弹）。弯曲回弹表现为弯曲半径和弯曲中心角的变化。
图3-26 软凹模弯曲
6.2.2 弯裂分析及工艺设计
1.最小相对弯曲半径的概念最小相对弯曲半径是指：在保证毛坯弯曲时外表面不发
生开裂的条件下，弯曲件内表面能够弯成的最小圆角半径与坯料厚度的比值，用rmin/t来表示。该值越小，板料弯曲的性
能也越好。
2. 影响最小弯曲半径的因素（1）材料的力学性能（2）工件的弯曲中心角（图6-13）
顶件力和压料力可近似取弯曲力的30％-80％。压力机公称压力取工艺力的1.2-1.3倍
6.3.2 弯曲件毛坯长度的计算
计算原则：应变中性层在弯曲前后长度不变
应变中性层位置—用曲率半径表示，与弯曲半径、板厚和应变中性层位移系数x等有关。
ρ=r+xt
模具结构和弯曲方式等多种因素，对弯曲变形区应力状态有一定的影响，也会使应变中性层的位置发生改变，
1-凹模；2-凸模；3-定位钉；4-压料板； 5-靠板
图6-24 L形件弯曲模
1-凸模；2-支架；3-定位板；4-活动凹模； 5-转轴；6-支承板；7-顶杆图6-25 V形件精弯模
总结提高学生归纳
1
弯曲变形过程弯曲变形特点
？
2
影响回弹的因素减小回弹的措施
？
3
最小弯曲半径影响因素弯曲毛坯尺寸的确定

材料力学简明教程(景荣春)课后答案第六章

( ) wA
= − q0l 4 30EI
↓
，θB
= q0l3 24EI
（顺）
讨论：请读者按右手坐标系求 wA ，θB 并与以上解答比较。
(c)
(c1)
解图(c1)
( ) ∑ M B = 0 ， FC
= − Me l
↓
CA 段
M
=
−
Me l
x1
⎜⎛ 0 ⎝
≤
x1
<
l 2
⎟⎞ ⎠
AB 段
M
=
−
Me l
l 2
≤
x2
≤
l ⎟⎞ ⎠
Ew1′′
=
3 8
qlx1
−
1 2
qx12
EIw1′
=
3 16
qlx12
−
1 6
qx13
+
C1
EIw1
=
1 16
qlx13
−
1 24
qx14
+
C1 x1
+
D1
EIw′2′
=
3 8
qlx2
−
ql 2
⎜⎛ ⎝
x2
−
l ⎟⎞ 4⎠
EIw′2
=
3 16
qlx22
−
ql 4
⎜⎛ ⎝
x2
24
EIw′(l) = 0 ，− q l 3 + 3Al 2 + 2Bl = 0
6
解式（a），（b）得
A = ql ， B = − ql 2
12
24
即挠曲线方程为
EIw = − q x4 + ql x3 − ql 2 x2 24 12 24

弯曲变形

EIf

P(a 0

x)
(0 x a) (a x L)
EIf

1 2
P(a

x)2

C1
D1
EIf

1

6
P(a

x)3

C1
x

C2
D1 x D2
应用位移边界条件求积分常数
EIf
(0)

1 6
Pa3

C2Байду номын сангаас

0
EI
(0)

1 2
Pa2
EIf (x) M(x)dx C1
EIf (x) ( M(x)dx)dx C1x C2
如何确定积分常数 C1 C2 ?
2.确定积分常数的方法
P
A
C
B
D
P
边界条件：
f A 0 fB 0
fD 0 D 0
光滑连续条件：
f C fC 或写成fC 左 fC 右
第六章弯曲变形
§6-1 工程中的弯曲变形问题 §6–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §6–3 按叠加原理求梁的挠度与转角 §6–4 梁的刚度校核 §6-5 提高弯曲刚度的一些措施
§6－１工程中的弯曲变形问题
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。
研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。
最大挠度及最大转角
max
(L)

PL2 2EI
PL3 fmax f ( L) 3EI
例2 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。

第六章弯曲变形分析

第六章弯曲变形分析梁是机械与工程结构中最常见的构件。

本章内容包括梁的内力、平面弯曲中横截面上的正应力和切应力分布规律，以及梁的变形计算。

6.1 梁的内力● 梁的概念当杆件受到矢量方向垂直于轴线的外力或外力偶作用时，其轴线将由直线变为曲线，如图6–1(a)。

以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲，凡是以弯曲变形为主的杆件，工程上称为梁，如车辆的轮轴、房屋的梁及桥梁等。

在分析计算中，通常用梁的轴线代表梁，如图6–1(b)。

在工程实际中，大多数梁都具有一个纵向对称面；而外力也作用在该对称面内。

在这种情况下，梁的变形对称于纵向对称面，且变形后的轴线也在对称图6–1 梁图6–2 对称弯曲图6–3 梁的约束图6–4 三类静定梁面内，即所谓的对称弯曲，如图6–2。

它是弯曲问题中最基本、最常见的情况。

本章只讨论梁的对称弯曲。

图6–3表示了梁的三种常见约束形式及相应的约束力：可动铰支座(图6–3(a))，固定铰支座(图6–3(b))和(平面)固定端约束(图6–3(c))。

在以上三种约束方式下，有三种常见的梁形式，如图6–4所示。

图6–4(a)为简支梁，两端分别为固定铰支座和活动铰支座；图6–4(b)为悬臂梁，一端固定端约束，一端自由；图6–4(b)为外伸梁，它是具有一个或两个外伸部分的简支梁。

这三种梁都是静定梁。

作用在梁上的外载荷，常见的有集中力偶M (图6–5(a))、分布载荷q (图6–5(b))和集中力F (图6–5(c))。

在实际问题中，q 为常数的均布载荷较为常见。

● 梁的剪力与弯矩在4.2中已经介绍了求杆件内力的通用方法，即截面法。

具体到梁，其内力分量为剪力和弯矩，规定当剪力相对于横截面的转向为顺时针为正，使杆件发生上凹下凸的弯矩为正，如图4–5(b)和(c)。

例6–1：如图6–6所示悬臂梁，受均布载荷q ，在B 点处受矩为2qa M =的力偶作用，试绘梁的剪力图与弯矩图。

解：设固定端的约束力和约束力偶为C R 和C M ，则由平衡方程00=-=∑qa R F C y ，qa R C =05.102=--⋅=∑C C M qa qa a m ，221qa M C = 以杆件左端为坐标原点，以B 为分界面，将梁分为AB 和BC 两段。

精品课件-材料力学(张功学)-第6章

梁的抗弯刚度EI为常量，求此梁的转角方程和挠曲线方程，并确定最大挠度值。
图6－4
6.1 引言
解（1）求约束力。建立坐标系如图所示,求得约束力为
方向均竖直向上。
FAy
b l
F
,
FBy
a l
F
（2）写出弯矩方程。由于集中力加在两支座之间，弯矩方
程在AC、BC两段各不相同。
AC段:
M
1(
x)
b l
Fx
w(a )w(a ), (a ) (a )
(f)
利用式（e）和式（f），即可解得
D1 D2 0,
C1
C2
Fb(b 6l
2
l
2
)
于是，求得梁的转角方程和挠曲线方程分别为
6.1 引言
AC段:
EI (x) Fb(3x2 b2 l 2 )
6l
EIw(x) Fbx[x3 (b2 l 2 )x] 6l
（a）（b）（c）
6.1 引言
确定积分常数C和D的边界条件为：在固定端截面处，挠度和转角均为零。即
w00, 00
将（b）、(c)两式代入，得
D0, C0
将所得积分常数代入（b）、(c)两式，得到梁的转角方程和挠
度方程分别为
(x)dw
1
Wx 2 (
Wlx )
dx EI 2
w(x) 1 (Wx 3 Wlx 2 ) EI 6 2
6.1 引言显然在自由端处转角与挠度最大，即当x=l时，得
m
ax
B
1 EI
(Wl 2
2
Wl
2
Wl 2 )
2EI
1 Wl 3 Wl 3 Wl 3

工程力学(第二版)章图文 (6)

跳板，木板横截面尺寸b=500 mm，h=50 mm，木板材料的许用应力［σ］=6 MPa 。试求：
(1) 一体重为700 N (2) 要求两名体重均为700 N的工人抬着1500 N的货物安全走过，木板的宽度不变，重新设计木板厚度h。
第6章弯曲
解 (1) 计算弯矩的最大值Ｍmax。当工人行走到跳板中央
(2) 横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧(或右侧）所有外力对该截面形心的力矩的代数和。
第6章弯曲
为了使所求得的剪力与弯矩符合前面的符号规定，按此规律计算剪力时，截面左侧梁上外力向上取正值，向下取负值，截面右侧梁上外力向下取正值，向上取负值；计算弯矩时，截面左侧梁上外力对该截面形心的力矩顺时针转向取正值，逆时针转向取负值，截面右侧外力对该截面形心的力矩逆时针转向取正值，顺时针转向取负值。可以将这个规则归纳为一个简单的口诀：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。
第6章弯曲图 6.10
第6章弯曲解设截面m-m与B端之间的距离为x，取m-m截面的右段
为研究对象，画出受力图，如图6.10(b)所示。根据平衡条件：
由Fs=qx可绘出剪力图，如图6.10(c)所示；由描点可绘出弯矩图，如图6.10(d)
第6章弯曲
6.3 弯曲时的正应力与强度计算
m，材料的许用应力[σ]=150 MPa，求此悬臂梁的许可载荷。
图 6.15
第6章弯曲解绘出悬臂梁的弯矩图，如图6.15(b)所示。图中，Mmax=Fl=4000F 梁的横截面抗弯截面系数为
由梁的弯曲正应力强度条件得
因此, 悬臂梁的许可载荷为F=25 000 N。
第6章弯曲【例6.5】某建筑工地上, 用长l=3 m的矩形截面木板做

刘鸿文版材料力学课件

EIiy'M 'i(x)
n
由弯矩的叠加原理知：Mi(x)M(x)
i1
n
n
所以， E Iy''i E( I yi)''M (x)
i1
i1
7-4
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形
n
故
y'' ( yi )''
i 1
由于梁的边界条件不变，因此
n
y yi i 1
重要结论：
n
§6-1 工程中的弯曲变形问题
目录
§6-2 挠曲线的微分方程
1.基本概念 y
x
转角
挠度
y
挠曲线
x
挠曲线方程：
y y(x)
挠度y：截面形心在y方向的位移
y向上为正
转角θ：截面绕中性轴转过的角度。逆时针为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
挠度转角关系为： tan dy
yC1
yC2 yC3
3）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和
yC

3 i1
yCi
5ql4 ql4 ql4 384EI 48EI 16EI
11ql4 ( ) 384EI
B

3 i1
Bi

ql3 24EI
ql3
16EI
ql3
3EI
11ql3 ( ) 48EI
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
3）列挠曲线近似微分方程并积分
AC 段： 0x1 a
EIdd2yx121 M(x1)Fl bx1
Ed d I1 1x yEI(x1)F 2l x b1 2C1

第六章弯曲的能量原理

梁右端的转角为: 梁的变形能为:
Mel Fl 2 θ 16 EI 3 EI
2
1 1 1 F 2 l 3 M e 2 l M e Fl 2 Vε F 1 M e 2 ( ) 2 2 EI 96 6 16 共1页
4
(Energy Method)
先加力 F 后,再加力偶 Me
l/2
l/2
（1）先加力F后,C 点的位移
F
A C B
Fl 1 48 EI
力F 所作的功为
3
1
1 1 Fl 3 W F 1 F 2 2 48 EI
（2）力偶由零增至最后值 Me
A
l/2
l/2
F
C
Me
B
Mel B 截面的转角为 θ 3 EI

1 1 Mel 力偶 Me 所作的功为 W2 共1页 M eθ M e 2 2 3 EI
1 W F wC 2
由Vε=W 得
共1页
Fa 2b 2 wC 3 EIl
3
(Energy Method)
例题5 以弯曲变形为例证明应变能Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次序无关. 解: 梁中点的挠度为:
A
l/2 l/2
F
C
Me
B
1
2
Me l 2 Fl 3 1 48 EI 16 EI
F
A C x1 a l x2 b B
面的挠度.
M 2 ( x) Vε dx l 2 EI Fb 2 Fa ( x1 ) ( x2 )2 a b l dx1 l dx 2 0 0 2 EI 2 EI F 2b 2 a 3 F 2a 2 b 3 F 2a 2b 2 2 2 6 EIl 2 EIl 3 2 EIl 33 NhomakorabeaA

材料力学第六章

解 1）将梁上的载荷分解
wC wC1 wC2 wC3
B B1 B2 B3
2）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。
wC1
5ql 4 384EI
wC 2
ql 4 48EI
ql 4 wC3 16EI
B1
ql 3 24EI
B1
ql 3 16EI
B3
ql 3 3EI
wC1
wC2 wC3
3）进行变形比较，列出变形协调
条件
wB 0
4）叠加法
wB (wB )F (wB )FBy 0
MA A
MFAAy A
FAy A
A
MA A FA y
MA A AA
MA A A
F
B
C
2a (a) B
aF C
2a
Ba C
((ba))
B B (b)
F C
C
(c)
FBy F
B
FF C
BB
(c)
FBy
CC
B12 a
Fa 2l 3EI
w1 wB11 wB12
w2
B2a
Fl 2a 16 EI
w w1 w2
用叠加法求跨度中点挠度
解： wc wc1 wc2
由于 wc wc2
=
故
wc
1 2
wc1
1 5q0l 4 5q0l 4 2 384EI 768EI
-
解： wc wc1 wc2
当 d w 0 时，w为极值
dx
EI1
Fb 2l
x2 1
Fb 6l
(l 2
b2 )
E I 2
Fb 2l
x22

第6章弯曲变形