近世代数2-11

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近世代数-文档资料

这里所说的不同类型的项链，指两个项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。
06.09.2020
11:21
数学上的确切描述
设由m颗珠子做成一个项链，可用一个正m边形来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。
沿逆时针方向给珠子标号，
2
由于每一颗珠子的颜色有n种选
ห้องสมุดไป่ตู้
择，因而用乘法原理，这些有标 3
号的项链共有nm种。
图。问题：n个点的图中互不同构的图有多少个？
06.09.2020
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5.开关线路的构造与计数问题一个有两种状态的电子元件称为一个开关，
例如普通的电灯开关，二极管等。由一些开关组成的二端网络称为开关线路。一个开关线路的两端也只有两种状态：通与不通。
问题：用n个开关可以构造出多少种不同的开关线路？
了几十年。
06.09.2020
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伽利略死后，直到19世纪末期，他的理论才由别的数学家加以进一步的发展和系统的阐述。
这样一门具有悠久历史、充满许多有趣问题和故事的数学分支，在近代又得到了蓬勃发展和广发应用，出现了许多应用与某一领域的专著，正吸引越来越多的科技人员和学生来学习和掌握它。
利用近世代数的方法可得到更高效的检错码与纠错码。
06.09.2020
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7. 几何作图问题
古代数学家们曾提出一个有趣的作图问题：用圆规和直尺能做出哪些图形？
而且规定所用的直尺不能有刻度和不能在其上做记号。为什么会提出这样的问题呢？
一方面是由于生产发展的需要，圆规、直尺是丈量土地的基本工具，且最初的直尺是没有刻度的；另一方面，从几何学观点看，古人认为直线与圆弧是构成一切平面图形的要素。据说，古人还认为只有使用圆规与直尺作图才能确保其严密性。且整个平面几何学是以圆规与直尺作为基本工具。

近世代数知识点教学文稿

近世代数知识点近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.1.2映射●证明映射：●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。

●满射：像集合中每个元素都有原像。

Remark：映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。

1.4等价关系与集合的分类★等价关系：1 自反性：∀a∈A,a a;2 对称性：∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性：∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.Remark：对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。

第二章群2.1 半群1.半群=代数运算+结合律，记作（S,）Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。

ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。

2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。

ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。

iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.3.逆元i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。

ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。

iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。

4.子半群i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群ii.T是S的子半群a,b T,有ab T2.2 群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.ii. 加群=代数运算为加法+交换群iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii.设G是群，则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii.e是G单位元⇔ e2=eiv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4. 群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。

《高等数学》.

近世代数课程教学大纲一、课程说明1、课程性质近世代数课程是数学系本科专业的一门专业必修课，是一门现代数学课，是数学专业较抽象的一门课程。

本课程主要讲现代代数学的研究对象、研究方法。

它的内容包括三个基本的代数结构：群、环、域。

它不仅是一门重要的专业基础课, 也是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课。

它的基本概念、理论和方法不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在其它学科中也有广泛的应用，如理论物理、结构化学、计算机等学科。

其研究的方法和观点，对其他学科有很大的影响。

通过本课程的学习，使学生较好地掌握近世代数的基本内容、理论和方法，加深学生对数学的基本思想和方法的理解，增强学生的抽象思维、逻辑推理能力，培养学生能利用代数学的理论知识对实际问题构建代数模型，培养学生分析问题、解决问题的能力。

2、教学目的和要求群、环、域是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法。

由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各个定理的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。

对于本科学生，要独立完成大部分课后习题，它是学好本课程的重要方法。

并要阅读一定量的课外参考书，扩大视野。

还要注重培养抽象思维和推理的能力。

3、先修课程和后继课程集合论初步与高等代数是学习本课程的准备知识。

本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数等。

4、教学时数分配5、使用教材《近世代数基础》，张禾瑞，高等教育出版社，1978年修订本。

6、教学方法与手段本课程以讲授为主，由于该课程较抽象，在教学中要注重多举例子、多讲习题、多加思考；要注重对教材内容中各个知识点的理解，对教学内容、教学方法与教学手段的改革，认真总结教学经验，不断提高自身的教学水平和理论知识；要突出教材内容所体现的数学思想、方法，加强学生应用数学的能力；要注重对学生证明技巧、证明思路的训练；要增加以学生为主体的启发式、讨论式教学方法；要让学生多加练习、多加思考，提出问题。

近世代数课后题答案修改版

a1=56/8=7, b1=88/8=11, m1=96/8=12. 用辗转相除法求 p,q 满足 p a1+q m1=1，得 p=-5。所以方程的解为 x ≡ pb1 (mod m1) ≡ -5 × 11(mod12) ≡ 5(mod12)。或 x=5+12k(k 为任意整数)。 6. 解同余方程组： x≡3(mod5) x≡7(mod9) 解按解同余方程组的三个步骤：首先，计算 M=5×9=45, M1=9, M2=5. 其次，解两个一次同余式，由于这两个同余式有其特殊性：右端都是 1，且(a,m)=1。因而有时可用观察法得到 pa+qm=1,从而得到 p。 1) 9x≡1(mod5), 观察得到 -9+2×5=1, p=-1. 所以此一次同余式的一个特解为 c=-1≡4(mod5). 2)5x≡1(mod9), 观察得到 2×5-9=1, p=2. 所以此一次同余式的一个特解为 c=2(mod9). 最后，将得到的一次同余式的一个特解代入公式，得到同余方程组的解： x=b1c1M1+b2c2M2=3×4×9+2×7×5(mod45)=43(mod45)。 7. 5 行多 1，6 行多 5，7 行多 4，11 行多 10，求兵数。
（2）在乘法表中任取一个 1，在同一列中必有一个 x，在同一行中必有一个 y，设第四个顶点的元素为 z，见下图，

..........a-1.........................c...................
......
...........................................................
......

近世代数2

G有4 个生成元，分别是1, 5, 7, 11。
令a=5，则
50=0 54=8 58=4
51=5 52=10 53=3 55=1 56=6 57=11 59=9 510=2 511=7
二、循环群 (6)
G有6 个循环子群，生成元分别是a1,a2,a3,a4,a6,a12。
令a=1，则
H1=(a1)=(1)={0,1,2,3,4,5 …10,11} 12阶
第二章
2.1
2.2
※2.3
群、环、域
群的基本概念
有限群、循环群域
2.4
域的特征和素域
2.5 交换环与理想
一、域的概念 (1)
1. 定义
定义2.8 设F是至少有两个元素的集合,在F 中规定两种运算。一种叫加法，它的运算结果称为‘和’，记作a+b；另一种叫乘法，它的运算结果称为‘积’，记作a· b。即如果a,b∈F，则a+b∈F，a· b∈F。如果这两个运算满足以下规则：
1. 定义
注意：me的含义
定义2.11 设F为任一个域，e为F的单位元。如果存在正整数m，使me=0，则称F的特征不为0。适合条件pe=0的最小正整数p，称作F的特征。如果对于任意正整数m都有me≠0，就称F的特征为0。域的特征实际上是元素e 在域F上
na是n个元素a的加运算，即na=(a+a+…+a)。与域中定义的乘法无关。
二、域的性质 (3)
2. 关于乘法的性质
性质6：域的单位元是唯一的。性质7：每个非0元素的逆元素也是唯一的。 (a-1)-1=a。性质8：消去律成立：若ab=0，则a,b之中必有一个为0；若ab=ac，且a≠0，则b=c。

近世代数图形的对称变换群

fg | , g
而满足 g 的，对应于 g
的同一循环置换中的珠子的颜色必须相同，
因而，每一个循环置换中的珠子颜色共有
n种选择. 而 g 所含的循环置换个数为
12 m
所以满足条件 g 的项链颜色有
n12 m
种选择
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故 fg n12 m
将它代入Burnside公式，就得项链的种类数为
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数学上的确切描述
设由m颗珠子做成一个项链，可用一个正m边形来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。
沿逆时针方向给珠子标号，
2
由于每一颗珠子的颜色有n种选
择，因而用乘法原理，这些有标 3
号的项链共有nm种。
4
但其中有一些可以通过旋转一个角
度或翻转180度使它们完全重合，
5
我们称为是本质相同的，我们要考
容易看出, 正方形的对称变换有两类:
第一类: 绕中心的分别旋转90度，180 度，270度，360度的旋转，
这对应于置换
(1234)， (13)(24)， (1432)，(1). 第二类: 关于正方形的4条对称轴的反射, 这对应于置换
(1 2)(3 4)，(2 4)，(1 4)(2 3)，(1 3).
近世代数
第二章群论 §11 图形的对称变换群、群的应用
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一、图形的对称变换群定义1: 使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换.
定义2：图形的一切对称变换关于变换的乘法构成群，称为这个图形的对称变换群.
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例 1 正三角形的对称变换群.
123
n n1 ,

近世代数习题第二章资料讲解

近世代数习题第二章第二章群论近世代数习题第二章第一组 1-13题；第二组 14-26题；第三组 27-39题；第四组 40-52题，最后提交时间为11月25日1、设G 是整数集，则G 对运算4++=b a b a ο是否构成群？2、设G 是正整数集，则G 对运算b a b a =ο是否构成群？3、证明：正整数对于普通乘法构成幺半群.4、证明：正整数对于普通加法构成半群，不含有左右单位元.5、G 是整数集，则G 对运算1=b a ο是否构成群？6、设b a ,是群G 中任意两元素. 证明：在G 中存在唯一元素x ，使得b axba =.7、设u 是群G 中任意取定的元素，证明：G 对新运算aub b a =ο也作成群.8、证：在正有理数乘群中，除1外，其余元素阶数都是无限.9、证：在非零有理数乘群中，1的阶是1，-1的是2，其余元素阶数都是无限.10、设群G 中元素a 阶数是n ，则m n e a m |⇔=.11、设群G 中元素a 阶数是n ，则 ),(||n m n a m =.，其中k 为任意整数. 设（m,n ）=d,m=dk,n=dl,(k,l)=1. 则(a^m)^l=a^(ml)=a^(kdl)=(a^(n))^k=e. 设（a^m ）^s=e,，即a^(ms)=e,所以n|ms,则l|ks,又因为(l,k)=1，所以l|s,即a^m 的阶数为l.12、证明：在一个有限群中，阶数大于2的元素个数一定是偶数.13、设G 为群，且n G 2||=，则G 中阶数等于2的一定是奇数.14、证明：如果群G 中每个元素都满足e x =2，则G 是交换群.对每个x ，从x^2=e 可得x=x^(-1)，对于G 中任一元x ，y ，由于（xy ）^2=e ，所以xy=（xy ）^(-1)=y^(-1)*x(-1)=yx.或者 :(ab)(ba)=a(bb)a=aea=aa=e ，故(ab)的逆为ba ，又(ab)(ab)=e ，这是因为ab 看成G 中元素，元素的平方等于e. 由逆元的唯一性，知道ab=ba15、证明：n 阶群中元素阶数都不大于n .16、证明：p 阶群中有1-p 个p 阶元素，p 为素数.17、设群G 中元素a 阶数是n ，则)(|t s n a a t s -⇔=.18、群G 的任意子群交仍是子群.19、设G 为群，G b a ∈,，证明：a a bab bab k k =⇔=--11)(.20、证明：交换群中所有有限阶元素构成子群.21、证明：任何群都不能是两个真子群的并.证明：任何群都不能是两个真子群的并. 可以用反证法，设G=HUK ，H 、K 均为真子群，存在a,b\in G, a\not\in H,b\not\in K ,从而a\in K, b\in H. ab\in G, 则ab\in H 或ab\in K. 若ab\in H 得出矛盾，ab\in K ，也可得出矛盾.22、设G 为群，H a a G a G H n m ∈∈≤,,,，证明：若1),(=n m ，则H a ∈.23、证明：整数加群是无限循环群.24、证明：n 次单位根群为n 阶循环群.25、证明：循环群的子群仍是循环群.26、设>=<a G 为6阶循环群，给出它的所有生成元及所有子群.27、求模18的剩余类加群(Z 18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元.28、设群G 是24阶群，G 中元素a 的阶是6，则元素a 2的阶为？28、解：在群G 中，对于ㄧa ㄧ=n ，a^r ∈G ，有ㄧa^r ㄧ=n/（n ，r ），所以由ㄧa ㄧ=6 可得：ㄧa^2ㄧ=6/(6,2)=3.29、设H 1和H 2分别是群（G ，ο，e ）的子群，并且| H 1 |＝m ，| H 2 | ＝n ，m 、n 有限，（m ，n ）＝1，试证：H 1∩H 2＝｛e ｝.30、设群中元素a 的阶数为无限，证明：t s a a t s ±=>⇔>=<<.31、设群中元素a 的阶数为n ，证明：),(),(n t n s a a t s =>⇔>=<<.32、设G 是交换群，e 是G 的单位元，n 是正整数，},,|{e a G a a H n =∈=问：H 是否是G 的子群？为什么？32解：H 是G 的子群. 下证：① 由e ∈H ，故H 为非空子集；②对于任意a ，b ∈H ，a^n=e ，b^n=e ，故[b^(-1)]^n=e ，因为G 是交换群，所以有：(a^n)* ﹛[b^(-1)]^n ﹜=aa ···a*[b^(-1)] [b^(-1)]···[b^(-1)]= ﹛a[b^(-1)] ﹜^n=e ，从而a[b^(-1)] ∈H ，故 H 是G 的子群. 证毕.(注：刚才a 和[b^(-1)]展开均为n 个相乘)33、设群G 中两元素满足1|)||,(|,==b a ba ab ，证明：>>=<<ab b a ,.34、证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧ΛΛ,!1,,21,1n 是有理数加群的一个生成系. 35、设b a ,是群G 的两个元，,ba ab =a 的阶是m ，b 的阶是n ，n m ,有限且)(),(,1),(b K a H n m ===，求K H I36、设S 3是3次对称群，a=（123）∈S 3．(1) 写出H ＝< a>的所有元素．(2) 计算H 的所有左陪集和所有右陪集．(3) 判断H 是否是S3的不变子群，并说明理由．37、在5次对称群S 5中，求（12）（145），（4521）－1以及（354）的阶数.37、解：（12）（145）的阶数为[2,3]=6 ；（4521）－1的阶数为4 ；（354）的阶数为3.38、设G 是一交换群，n 是一正整数，H 是G 中所有阶数是n 的因数的元素的集合. 试问：H 是否是G 的子群？为什么？39、设1||>M ，证明：M 的全体变换作成一个没有单位元的半群.40、设1||>M ，证明：M 的全体非双射变换关于变换的乘法不作成群.41、证明：不相连的循环相乘可以交换.42、将3S 所有元素用循环表示.43、将4S 所有元素用循环乘积表示.(1)(12), (13),(14),(23),(24),(34)(123),(124),(134),(132),(142),(143),(234),(243)(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)44、3S 中不能同)123(交换的所有元素.45、写出5S 中阶数等于2的所有元素.46、置换δ与其逆1-δ具有相同的奇偶性.置换\delta=\delta_1\delta_2\cdots\delta_s,\delta_i 为对换，又因为（\delta_1\delta_2\cdots\delta_s ）（\delta_s\delta_(s-1)\cdots\delta_1）=(1),从而得到\delta^{-1},进而得证结果.47、求下列置换的阶数)48)(3172(；)26)(5172(；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛641523123456. 48、设H ＝｛（1），（123），（132）｝是对称群S3的子群，写出H 的所有左陪集和所有右陪集，问H 是否是S3的不变子群？为什么？49、给出4S 的所有子群.50、证明：无限循环群的非e 子群指数均有限.H\not={e},H=(a^s)为G 的子群，其中s 为H 中所含元素的指数最小正整数. 证明G=a^0HUaHU\cdotsUa^{s-1}H,且a^iH 与a^jH 煤油交集，i\not=j.51、设G 是整数集，规定3-+=b a b a ο，证明：G 关于此运算构成群，并求出单位元.52、证明：指数是2的子群必是正规子群.53、证明：素数阶群是循环单群.54、设>=<a N 是群G 的一个正规子群，若N H ≤，则H 也是G 的正规子群.55、证明：若群G 的n 阶子群有且仅有一个，则此子群必为G 的正规子群.56、四次对称群4S 关于Klein 四元群4K 的商群44/K S 与3S 同构.57、证明：群中子群的共轭关系是一个等价关系.58、证明：n S 的所有对换构成一个共轭类.59、写出3S 的所有Sylow p -子群.60、证明：15阶群都是循环群.61、证明：200阶群不是单群.62、证明：196阶群必有一个阶数大于1的Sylow 子群，此子群为正规子群.28、解：在群G 中，对于ㄧa ㄧ=n ，a^r ∈G ，有ㄧa^r ㄧ=n/（n ，r ），所以由ㄧa ㄧ=6 可得：ㄧa^2ㄧ=6/(6,2)=3.32解：H 是G 的子群. 下证：① 由e ∈H ，故H 为非空子集；②对于任意a ，b ∈H ，a^n=e ，b^n=e ，故[b^(-1)]^n=e ，因为G 是交换群，所以有：(a^n)* ﹛[b^(-1)]^n ﹜=aa ···a*[b^(-1)] [b^(-1)]···[b^(-1)]=﹛a[b^(-1)] ﹜^n=e ，从而a[b^(-1)] ∈H ，故 H 是G 的子群. 证毕.(注：刚才a 和[b^(-1)]展开均为n 个相乘)37、解：（12）（145）的阶数为6 ；（4521）－1的阶数为4 ；（354）的阶数为3.。

近世代数11

由于近世代数在近代物理、近代化学、计算机科学、数字通信、系统工程等许多领域都有重要应用,因而它是现代科学技术的数学基础之一, 许多科技人员都希望掌握它的基本内容与方法.
第一章基本概念
第一节集合与映射
集合
1.集合及元素 : 若干个(有限或无限多个)固定事物的全体谓集合; 组成一个集合的事物谓该集合的元素. 不含任何元素的集合谓空集, 记作 . 集合常用大写拉丁字母 A, B,等来表示, 集合中的元素常用小写拉丁字母a, b,等来表示. 包含有限个元素的集合谓有限集, 否则谓无限集. 有限集A所含元素个数是非负整数, 记作 A .特别, 0. 当a是集合M的元素时, 称a属于M或M包含a, 记作a M . 当a不是集合M的元素时, 称a不属于M或M不包含a, 记作a M .
g ( x) f 2 ( f1 ( x)), x A,
设 IA 是 A 上的一个变换, 若 xA 有 IA(x)=x, 称 IA 是 A上的一个单位变换或恒等变换.
映射
关于映射的复合有以下性质: 定理1(合成运算合结合律) :
设f : A B, g : B C , h : C D, 则h( gf ) (hg ) f .
集合
例1 : 设U x 2 x 10, x Z , A 2,4,6,8, B 2,3,5,7 则 A B, A B, A' , A \ B, A B'. 例2.证明 : 1) A \ B A B; 2) A \ B A A B . 例3.设A, B是全集U的两个子集, 证明 : A B U , A B A B'.
设M及N是集合, 若a M a N , 则M为N的子集合, 记作M N .

近世代数学习课件

注：X上的一元和二元代数运算均满足运算的封闭性。
定义4 结合律：设“”是X上的一个
二元代数运算。如果a,b, c X
有：(a b) c a (b c)
则称此二元代数运算适合结合律。
交换律：若对a,b X 有： ab ba
则称此二元代数运算适合交换律。
定义5 设“”是非空集合S上的一个
近世代数课件
教材：离散数学引论王义和，哈工大出版社
参考教材： 1）近世代数，熊全淹，武大
2）近世代数基础习题指导，北师大
3）离散数学及其在计算机中的应用
4）代数结构与组合数学
引言
一、近世代数的研究对象
代数最初主要研究的是数，以及由数所衍生出来的对象，如代数方程的求根。数的基本特征是可以进行加法、乘法等运算，其共同点是对任两个数，通过相应法则可唯一求得第三个数。而对于很多抽象的对象也都具有类似数的这一特征，因此对于它们的结构和性质的研究就导致了近世代数的产生和发展。
同理：A为 M , , e 的非空子集，则
包含A的所有子幺半群的交成为由A生成的子幺半群。
注：根据集合交的性质知道由A生成的子（幺）半群 (A) 是包含A的所有子（幺）半群中最小的，即对任意包含A的
子（幺）半群 A 有：A A
定义4 左（右）理想：半群 S ,
的一个非空子集A为S的一个左（右）
定义乘法“”：N N N
a b a b 1, a,b N,
其中*为普通乘法
定义6 设(S,,) 是具有两个二元
代数运算“”和“+”的代数系。
如果a,b, c S 有：
a (b＋c) (a b) (a c)
则称“”对“＋”满足左分配律。
如果a,b, c S 有：

2.11近世代数

§2.11群的直积和有限交换群§2.11.1群的直积定理1设G1，G2为两个群，G1×G2≡D{(a，b)|a∈G1，b∈G2}。

定义运算(a1,b1)•(a2,b2)=(a1a2,b1b2)，则G1×G2关于运算“•”成群。

证明：(a∀1,b1)，(a2,b2)∈G1×G2有(a1a2,b1b2) ∈G1×G2，易见 G1×G2对“•”封闭。

若设1为G1的单位元，1’为G2的单位元，易验证（1，1’）为G1×G2的单位元。

运算满足结合律，∀(a1,b1)，(a2,b2)，(a3,b3)∈G1×G2有[(a1,b1)(a2,b2)] (a3,b3)= (a1,b1)[(a2,b2) (a3,b3)]；∀(a，b)∈G1×G2，由(a，b)(a-1，b-1)= (a-1，b-1) (a，b)= (1，1’)，知(a，b)-1=(a-1，b-1)。

所以G1×G2对“•”形成一个群。

注：1°群G1×G2称为群G1与群G2的直积。

2°|G1×G2|=|G1||G2|。

3°对于G1×G2来说，含有子群H＝{(a，1’)|a∈G1}，易见H≌G1，并可证明H G1×G2。

4°若G1，G2都为Abel群，则G1×G2也为Abel群。

例子（1）若G={(1，a|a2=1)}⇒G×G为Klein四元群，即G×G≌{1，(12)(34)，(12)，(34)}。

（2）C n表示阶数为n的循环群，若(m，n)=1，则C m×C n≌C mn。

（3）R为实数域，（R，＋）×（R，＋）同构于平面上所有向量关于向量加法所成的群。

（位置向量）定理2 . G 为群，A ，B 为群G 的两个正规子群，使得G 的每一个元素均可表为A ，B 中的元素之积，并且表示法是唯一的，则G ≌A ×B 。

第2章近世代数

几个概念
– 一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除。
2. 合数
– 一个大于1的正整数，除了能被1和本身整除以外，还能被其他的正整数整除。
例2-1
– – – 2，3，5，7，9，11，13，17，19…都是质数； 4，6，8，9，10，…都是合数；这样，全体正整数又分为：全体素数和全体合数。
天津大学电子信息工程学院 2
2015年11月24日5时20分天津大学电子信息工程学院 27
域存在定理
2015年11月24日5时20分天津大学电子信息工程学院 26
3. 多项式循环群（Cycle Group）
–定义：群内的所有元素由多项式的各次幂构
成，称为多项式循环群。
• 多项式是一个群元素，被称为循环群的生成元。
–例2-7，{1， 1， 2， 3， 4， 5，…，}
构成无限循环群； – 若7 =1，以{1， 1， 2， 3， 4， 5， 6} 为周期，则称{0 =1， 1， 2， 3， 4， 5， 6}为 7阶有限循环群。
f ( x) f n x n f n 1 x n 1 ... f1 x f 0 , f ( x) 0
–若以f(t)为模，对全体多项式做模乘运算，
q为模，对系数做模加运算，得到的多项式
剩余类的全体，可以构成一个交换环，称为
多项式剩余类环，记为Rq(x)f(x)。
2015年11月24日5时20分天津大学电子信息工程学院 18
第2章近世代数简介
– 线性分组码中最重要的一个子类---循环码 (RS、BCH码)，它的结构完全建立在有限域的基础之上，被称为代数几何码。 – 有限域以近世代数为基础。 – 近世代数的运算对象：整数、多项式、矩阵等。

近世代数2-12习题

[G : N ] 6 / 3 2 N
(132)(132) (123)
G
16:47
G / N { N , (12) N }
2018/11/9
15. (1) 15 (12345) 51 (13524) 51 1 (14253) 51 1 (15432) 5 5 2 (25) (34) 11 22 (13) (45) 11 22 (15) (24) 11 22 3 4 (14) (23) 11 22 1 22 (12) (35) 1 1 5 N 3 4 3 5 33 30 10
h1n1 , h2n2 HN , (h1 , h2 H , n1 , n2 N ) 1 1 1 h1n1 h2n2 n1 h1 h2 n2 1 n1 h3n2 h3n3n2 h3 n3n2 HN
2018/11/9 16:47
10. 指数为2的子群一定是不变子群. 证明： [G : H ] 2
得证一一变换群的单位元是恒等变换.
6. 找出3次对称群的所有子群. 解：
S3 6 S3 (1),(12),(13),(23),(123),(132)
子群的阶整除群的阶 1阶子群只含1阶元，即单位元 2阶子群只含1个1阶元和1个2阶元 3阶子群只含1个1阶元和2个3阶元 6阶子群是其本身
2 3 4 5 6 1 (123)(46) 3 1 6 5 4 1 2 (321)(46) 2 3 4 5 6 1 (1362) 1 6 4 5 2 1 3 (2631) 求（1）循环置换分解， | | 6 | | 6 | | 4 （2）逆元，（3）阶 , (23654) (346) （4）

近世代数抽象代数ppt课件

第一章群论
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1
目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
2
§1 代数运算
设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)都是集合.我们将集合
{(a1, a2 , , an ) | ai Ai , i 1, 2, n} 称为 A1, A2 , , An 的直积或笛卡儿积,记作
s
ns
a ai , b as j .
i 1
j 1
n
所以 a b ai . i 1
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10
§1 代数运算
例 4 设 K4 {e, a, b, c} ,我们可以利用下表来定义 K4 上的乘法“ ”:
· eabc e eabc aaecb bb c e a c cba e
11
§1 代数运算
定义 1.2 设“ ”是非空集合 A 上的一个代数运算.
(1)若对于任意的 a, b, c A 总有 (ab)c a(bc) ,
17
§1 代数运算
但是,当“ ”适合结合律时,我们可以定义 A 中任意有限 n ( n 3 )个元素 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an .这是因为,容易证明,对于 A 中任意 n 个元素 a1, a2 , , an ,只要不改变它们的次序,运算结果与加括号的方式无关(见习题 2).这样一来,我们便可定义 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an 就是按任意一种方式添加括号后的算出的结果.
A1 A2 An . 特别地,当 A1 A2 An A 时, A1 A 2 A n 可以简记作 An (读作 A 的 n 次方).这里约定,当 n 1 时, A1 A 2 A n 就是 A1 .

大学课程课件近世代数教学课件

A1 , A2 ,, An
和
A1 A2 An 我们有
A1 A2 An
( x A1 A2 A) ( x至少属于某一Ai , i 1, 2,, n)
( x A1 A2 A) ( x属于每一Ai , i 1, 2,, n)
全体复数的集合，表示为C
设A，B是两个集合，如果A 的每一元素都是B 的
元素，那么就说Ａ是Ｂ的子集，记作作，或记
. 根据这个定义，Ａ是Ｂ的的子集当且仅当
A B
.
BA 对于每一个元素 x，如果
，就有
x A
A是B的子集，记作：
xB
( A B) (x : x A x B)
f :x y
这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 . f (x )
例1 设
A B {1,2,3,4}
这是A到B的一个映射.
f : 1 2,2 3,3 4,4 1
例2 设A是一切非负数的集合，B是一切实数的集合. 对于每一与它对应. f 不是A到B的映射， x ，令 A f ( x) x 因为当时，不能由x唯一确定.
设 f :AB 如果对于每一 x A 与g是相等的. 记作
，B g:A ，都有
f ( x) g ( x)
都是A到B的映射，，那么就说映射f
f g
例3
令
f : R R, x | x |
2 g : R R , x x 那么 .
f g
定义4：设是A到B 的一个映射， g : B C f :AB 是B 到C 的一个映射. 那么对于每一个， x A g ( f ( x)) 是C中的一个元素. 因此，对于每一，就有C 中唯一的确定 x A 的元素与它对应，这样就得到A到C 的一个映射，这映 g ( f ( x和 )) 射是由所决定的，称为 f 与g 的合成（乘积），记作 f : A . B 于是有 g:BC

《近世代数》作业参考答案

《近世代数》作业参考答案一．概念解释1．代数运算：一个集合B A ⨯到集合D 的映射叫做一个B A ⨯到D 的代数运算。

2．群的第一定义：一个非空集合G 对乘法运算作成一个群，只要满足：1）G 对乘法运算封闭；2）结合律成立：)()(bc a bc a =对G 中任意三个元c b a ,,都成立。

3）对于G 的任意两个元b a ,来说，方程b ax =和b ya =都在G 中有解。

3．域的定义：一个交换除环叫做一个子域。

4．满射：若在集合A 到集合A 的映射Φ下，A 的每一个元至少是A 中的某一个元的象，则称Φ为A 到A 的满射。

5．群的第二定义：设G 为非空集合，G 有代数运算叫乘法，若：（1）G 对乘法封闭；（2）结合律成立；（3）单位元存在；（4）G 中任一元在G 中都有逆元，则称G 对乘法作成群。

6．理想：环R 的一个非空子集N 叫做一个理想子环，简称理想，假若：（1）N b a N b a ∈-⇒∈,（2）N ar N ra N r N a ∈∈⇒∈∈,,7．单射：一个集合A 到A 的映射，a a →Φ:，A a A a ∈∈,，叫做一个A 到A 的单射。

若：b a b a ≠⇒≠。

8．换：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。

9．环：一个环R 若满足：（1）R 至少包含一个不等于零的元。

（2）R 有单位元。

（3）R 的每一个非零元有一个逆元，则称R 为除环。

10．一一映射：既是满射又是单射的映射，叫做一一映射。

11．群的指数：一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数，叫做群H 在G 里的指数。

12．环的单位元：设R 是一个环，R e ∈，若对任意的R a ∈，都有a ae ea ==，则称e 是R 的单位元。

二．判断题1．×；2．×；3． √；4．×；5．√；6．√；7．√； 8，√；9．√；10．√；11．×；12．√13、√ 14、× 15、√三．证明题1．证：G 显然非空，又任取A ，B G ∈，则1,1±=±=B A ，于是AB 是整数方阵，且1±=⋅=B A AB ，故G AB ∈，即G 对乘法封闭。

《近世代数》习题及答案

《近世代数》作业一．概念解释1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元二．判断题1．Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。

2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。

3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算能作成一个群。

4．假如一个集合A 的代数运算适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。

5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。

6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是：1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。

7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。

8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。

9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。

10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。

11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。

12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么*F 的任何有限子群G 必为循环群。

13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。

（）14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ⋃也为G 的子群。

（）15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。

（）三．证明题1．设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个群。