【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章统计单元同步测试(含解析)北师大版必修3

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【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章数列双基限时练10(含解析)北师大版必修5

双基限时练(十)一、选择题1．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( )A.5－12 B.5＋12 C.1－52D.5±12解析由题意得，a 3＝a 1＋a 2， ∴q 2＝1＋q ，得q ＝1±52，又a n >0，∴q >0，故q ＝1＋52.即a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝1＋52. 答案 B2．公差不为0的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析 2a 3－a 27＋2a 11＝0得4a 7－a 27＝0，∴a 7＝4，或a 7＝0(舍)．∵b 7＝a 7，∴b 6b 8＝b 27＝16.答案 D3．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90解析设公差为d ，则a 4＝a 1＋3d ，a 3＝a 1＋2d ，a 7＝a 1＋6d ，由已知得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，得2a 1＝－3d ，又S 8＝ a 1＋a 8 ×82＝32，得d ＝2.∴S 10＝ a 1＋a 10 ×102＝5(2a 1＋9d )＝5×6d ＝60.答案 C4．数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 5，a 8，a 13是等比数列{b n }的相邻三项，若b 2＝5，则b n ＝( )A ．5·⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1B ．5·⎝ ⎛⎭⎪⎫35n －1C ．3·⎝ ⎛⎭⎪⎫35n －1D ．3·⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1解析由题意得a 28＝a 5·a 13.即(a 1＋7d )2＝(a 1＋4d )(a 1＋12d )，得d ＝2a 1. ∴a 8＝15a 1，a 5＝a 1＋4d ＝9a 1，q ＝15a 19a 1＝53.∴b n ＝b 2·q n －2＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －2＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1.答案 D5．数列9,99,999,9999，…的前n 项和等于( ) A ．10n－1 B.109(10n－1)－n C.109(10n－1) D.109(10n－1)＋n 解析 a n ＝10n－1，∴S n ＝10 1－10n1－10－n ＝10 10n－1 9－n .答案 B6．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5D ．－7解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，易得a 1＝－8，a 10＝1，从而a 1＋a 10＝－7；当a 4＝－2，a 7＝4时，易得a 10＝－8，a 1＝1，从而a 1＋a 10＝－7.答案 D 二、填空题7．一个等比数列，它与一个首项为0，公差不为零的等差数列相应项相加后得到新的数列1,1,2，…，则相加以后新数列的前10项和为________．解析设{a n }为等比数列，公比为q ，数列{b n }为等差数列，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋a 1＝1，q ＋d ＝1，q 2＋2d ＝2，a 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，a 1＝0，q ＝2，d ＝－1.∴新数列的前10项的和S 10＝1－2101－2＋10×92×(－1)＝978.答案 9788．1，12，2，14，4，18，…的前2n 项的和是________．解析 S 2n ＝(1＋2＋4＋…＋2n －1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋ (12)＝1－2n1－2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2n－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .答案 2n－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n9．首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和为S n ，则1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝________.解析由已知可知S n ＝2n ＋n n －12×2＝n 2＋n∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 答案nn ＋1三、解答题10．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列．求a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值．解 ∵{a n }为等差数列，且a 1，a 3，a 9成等比数列，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1d ＝d 2，又d ≠0，∴a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.11．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n .求数列{S n }的通项公式．解 (1)∵{a n }为等比数列，a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25.又a n >0，∴a 3＋a 5＝5，又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4.而q ∈(0,1)，∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1. ∴q ＝12，a 1＝16.∴a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝25－n.(2)b n ＝log 2a n ＝5－n ，∴{b n }的前n 项和S n ＝ 4＋5－n n 2＝n 9－n2.12．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，并且满足a 3·a 6＝55，a 2＋a 7＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)如果数列{a n }和数列{b n }都满足等式：a n ＝b 12＋b 222＋…＋b n2n (n 为正整数)，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由{a n }为等差数列，知a 2＋a 7＝a 3＋a 6＝16，由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 6＝55，a 3＋a 6＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝11，a 6＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝5，a 6＝11.又公差d >0，∴a 3＝5，a 6＝11. 由a 6＝a 3＋3d ，得d ＝2. ∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1. (2)当n ＝1时，a 1＝b 12，得b 1＝2.当n ≥2时，由a n ＝b 12＋b 222＋…＋b n －12n －1＋b n2n ，得a n －1＝b 12＋b 222＋…＋b n －12n －1.∴a n －a n －1＝b n2n . ∴b n ＝2n ＋1.又n ＝1时，2n ＋1＝4≠2，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝1 ，2n ＋1n ≥2 .当n ＝1时，S 1＝b 1＝2，当n ≥2时，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2＋b 2 1－2n －11－2＝2n ＋2－6，又n ＝1时，上式也成立， ∴S n ＝2n ＋2－6.思维探究13．已知数列{a n }为等差数列且公差d ≠0，{a n }的部分项组成下列数列：ak 1，ak 2，…，ak n 恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k n .解由题设有a 2k 2＝ak 1ak 3，即a 25＝a 1a 17，∴(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，∴a 1＝2d 或d ＝0(舍去)，∴a 5＝a 1＋4d ＝6d ，∴等比数列的公比q ＝ak 2ak 1＝a 5a 1＝3. 由于ak n 是等差数列的第k n 项，又是等比数列的第n 项，故ak n ＝a 1＋(k n －1)d ＝ak 1q n －1，∴k n ＝2·3n －1－1.。

高中数学名师一号高中数学-第一章-导数及其应用单元综合测试-新人教版选

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章导数及其应用单元综合测试新人教版选修2-2(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设函数y ＝f (x )在(a ，b )上可导，则f (x )在(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 y ＝f (x )在(a ，b )上f ′(x )>0⇒y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数，反之，y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数⇒f ′(x )≥0⇒f ′(x )>0.答案 A2．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程是2x ＋y －1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率为f ′(x 0)＝－2<0. 答案 B3．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－53)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°解析 ∵y ′＝x 2，k ＝tan α＝y ′|x ＝－1＝(－1)2＝1， ∴α＝45°. 答案 B4．曲线f (x )＝x 3＋x －2的一条切线平行于直线y ＝4x －1，则切点P 0的坐标为( ) A ．(0，－1)或(1,0) B ．(1,0)或(－1，－4) C ．(－1，－4)或(0，－2)D ．(1,0)或(2,8)解析设P 0(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 20＝1，∴x 0＝1，或x 0＝－1. ∴P 0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．答案 B5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝sin 2xB ．y ＝x 3－xC ．y ＝x e xD ．y ＝－x ＋ln(1＋x )解析对于C ，有y ′＝(x e x)′＝e x＋x e x＝e x(x ＋1)>0. 答案 C6．下列积分值为2的是( ) A.⎠⎛05(2x －4)d xB .⎠⎛0πcos x d xC .⎠⎛131xd xD .⎠⎛0πsin x d x解析 ⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪π0＝－cos π＋cos 0＝2.答案 D7．函数f(x)在其定义域内可导，y ＝f(x)的图象如右图所示，则导函数y ＝f′(x)的图象为( )解析由y ＝f(x)的图象知，有两个极值点，则y ＝f′(x)的图象与x 轴应有两个交点，又由增减性知，应选D 项．答案 D8．已知函数f(x)＝x 3－3x 2－9x ，x∈(－2,2)，则f(x)有( )A ．极大值5，极小值为－27B ．极大值5，极小值为－11C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值解析 f′(x)＝3x 2－6x －9 ＝3(x ＋1)(x －3)．当x<－1时，f′(x)>0，当－1<x<3时，f′(x)<0. ∴x＝－1是f(x)的极大值点．且极大值为f(－1)＝5，在(－2,2)内无极小值．答案 C9．已知f(x)为三次函数，当x ＝1时f(x)有极大值4，当x ＝3时f(x)有极小值0，且函数f(x)过原点，则此函数是( )A ．f(x)＝x 3－2x 2＋3xB ．f(x)＝x 3－6x 2＋xC ．f(x)＝x 3＋6x 2＋9xD ．f(x)＝x 3－6x 2＋9x解析设f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx(a≠0)，则f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a(x －1)(x －3)＝3ax 2－12ax ＋9a. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a ＋b ＋c ＝4，f 3＝27a ＋9b ＋3c ＝0，c ＝9a.解得a ＝1，b ＝－6，c ＝9. 所以f(x)＝x 3－6x 2＋9x. 答案 D10．由抛物线y ＝x 2－x ，直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( )A .23B ．1C .43D .53解析如图所示，阴影部分的面积为S 1＝⎠⎛0－1(x 2－x)d x＝(13x 3－12x 2)⎪⎪⎪ 0－1＝56. S 2＝⎪⎪⎪⎠⎛01(x 2－x)d x⎪⎪⎪ ＝－(13x 3－12x 2)⎪⎪⎪ 10＝16，故所求的面积为S ＝S 1＋S 2＝1. 答案 B11．函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝1a处有极值，则ac ＋2b 的值为( )A ．－3B ．0C ．1D ．3解析 f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，依题意知，3a×(1a )2＋2b×1a ＋c ＝0，即3a ＋2ba ＋c ＝0， ∴2b＋ac ＝－3. 答案 A12．设函数f(x)满足x 2f′(x)＋2xf(x)＝e x x ，f(2)＝e 28，则x>0时， f(x)( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析由题意知，f′(x)＝e xx3－2f xx＝e x －2x 2f xx3.令g(x)＝e x －2x 2f(x)，则g′(x)＝e x－2x 2f′(x)－4xf(x)＝e x－2[x 2f′(x)＋2xf(x)]＝e x－2e xx ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g′(x)＝0，得x ＝2.当x ＝2时，g(x)有极小值g(2)＝e 2－2×22f(2)＝e 2－8·e 28＝0.∴g(x)≥0.当x>0时，f′(x)＝g xx 3≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)既无极大值也无极小值．答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．函数f(x)在R 上可导，且f ′(0)＝2.∀x ，y ∈R ，若函数f (x ＋y )＝f (x )f (y )成立，则f (0)＝________.解析令y ＝0，则有f (x )＝f (x )f (0)． ∵f ′(0)＝2，∴f (x )不恒为0，∴f (0)＝1. 答案 114．解析答案π2－115．若函数f(x)＝13x 3－f′(1)·x 2＋2x ＋5，则f′(2)＝________.解析 ∵f′(x)＝x 2－2f′(1)x＋2， ∴f′(1)＝1－2f′(1)＋2. ∴f′(1)＝1. ∴f′(x)＝x 2－2x ＋2. ∴f′(2)＝22－2×2＋2＝2. 答案 216．一物体以初速度v ＝9.8t ＋6.5米/秒的速度自由落下，且下落后第二个4 s 内经过的路程是________．解析 ⎠⎛48(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t)⎪⎪⎪84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26 ＝261.2. 答案 261.2米三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知函数f(x)＝13x 3－4x ＋m 在区间(－∞，＋∞)上有极大值283.(1)求实数m 的值；(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)的极小值．解 f′(x)＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．令f′(x)＝0，得x ＝－2，或x ＝2. 故f(x)的增区间(－∞，－2)和(2，＋∞)，减区间为(－2,2)．(1)当x ＝－2，f(x)取得极大值，故f(－2)＝－83＋8＋m ＝283，∴m＝4.(2)由(1)得f(x)＝13x 3－4x ＋4，又当x ＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－43.18．(12分)用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．解设容器底面宽为x m ，则长为(x ＋0.5)m ，高为(3.2－2x)m .由⎩⎪⎨⎪⎧3.2－2x>0，x>0，解得0<x<1.6，设容器的容积为y m 3，则有y ＝x(x ＋0.5)(3.2－2x)＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ， y′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6，令y′＝0，即－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，解得x ＝1，或x ＝－415(舍去)．∵在定义域(0,1.6)内只有一个点x ＝1使y′＝0，且x ＝1是极大值点， ∴当x ＝1时，y 取得最大值为1.8. 此时容器的高为3.2－2＝1.2 m .因此，容器高为1.2 m 时容器的容积最大，最大容积为1.8 m 3. 19．(12分)设函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求证：f (x )为R 上的单调递增函数； (2)当x ∈[1,3]时，若f (x )的最小值为4，求实数a 的值．解 (1)证明：当a ＝1时，f (x )＝2x 3－6x 2＋6x ，则f ′(x )＝6x 2－12x ＋6＝6(x －1)2≥0， ∴f (x )为R 上的单调增函数．(2)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )．①当a ≤1时，f (x )在区间[1,3]上是单调增函数，此时在[1,3]上的最小值为f (1)＝3a －1，∴3a －1＝4，∴a ＝53>1(舍去)；②当1<a <3时，f (x )在(1，a )上是减函数，在区间(a,3)上是增函数，故在[1,3]上的最小值为f (a )＝2a 3－3(a ＋1)a 2＋6a 2＝4.化简得(a ＋1)(a －2)2＝0，∴a ＝－1<1(舍去)，或a ＝2；③当a ≥3时，f (x )在区间(1，a )上是减函数，故f (3)为最小值， ∴54－27(a ＋1)＋18a ＝4，解得a ＝229<3(舍去)．综上可知，a ＝2.20．(12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两根分别为1,4.(1)当a ＝3，且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．解由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ，∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两根分别为1,4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0，(*)(1)当a ＝3时，由(*)得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0，解得b ＝－3，c ＝12.又∵曲线y ＝f (x )过原点，∴d ＝0. 故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”，等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)，解⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9a －1a －9≤0，得a ∈[1,9]，即a 的取值范围是[1,9]．21．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．(1)求实数a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)， ∴a ＋b ＝4.①又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b ，由条件f ′(1)(－19)＝－1，得3a ＋2b ＝9.②由①，②解得a ＝1，b ＝3.(2)f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x ，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0，或x ≤－2，若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则 [m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)， ∴m ≥0，或m ＋1≤－2，即m ≥0，或m ≤－3， ∴m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，＋∞)． 22．(12分)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1. (1)若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1，求a 的取值范围； (2)证明：(x －1)f (x )≥0. 解 (1)f ′(x )＝x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1x，xf ′(x )＝x ln x ＋1，题设xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1等价于ln x －x ≤a . 令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x－1.当0<x <1时，g ′(x )>0；当x ≥1时，g ′(x )≤0，x ＝1是g (x )的最大值点， g (x )≤g (1)＝－1.综上，a 的取值范围是[－1，＋∞)． (2)由(1)知，g (x )≤g (1)＝－1，即g (x )＋1≤0，即ln x －x ＋1≤0，当0<x <1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)≤0；当x ≥1时，f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x ＋x (ln x ＋1x－1)＝ln x －x (ln 1x －1x＋1)≥0.所以(x －1)f (x )≥0.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章数列双基限时练2(含解析)北师大版必修5

双基限时练(二)一、选择题1．若数列{a n }的通项公式a n ＝3n ＋2，则数列{a n }的图像是( ) A ．一条直线 B ．一条抛物线 C ．一群孤立的点D ．一个圆解析 ∵n ∈N ＋，∴数列{a n }的图像是一群孤立的点，且这些点都在直线y ＝3x ＋2上．答案 C2．在数列{a n }中，a n ＝3－2n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列解析 ∵a n ＋1－a n ＝3－2(n ＋1)－3＋2n ＝－2<0，∴数列{a n }为递减数列．答案 B3．已知数列{a n }为递减数列，且a n ＝(3－2a )n ＋1，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <32B ．a >32C ．a ≤32D ．a ≥32解析由{a n }为递减数列，知3－2a <0，即a >32.答案 B4．数列{3n 2－28n }中，各项中最小的项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项解析对称轴n ＝286＝143＝423，∴当n ＝5时，a n 取得最小值．答案 B5．数列{a n }的通项公式是a n ＝anbn ＋1，其中a 、b 都为正实数，则a n 与a n ＋1的大小关系是( )A ．a n >a n ＋1B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．与n 有关解析 a n ＋1－a n ＝a n ＋1b n ＋1 ＋1－anbn ＋1＝abn 2＋abn ＋an ＋a －abn 2－abn －an bn ＋1 [b n ＋1 ＋1]＝abn ＋1 [b n ＋1 ＋1].∵a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋，∴a n ＋1－a n >0. 答案 B6．已知数列{－2n 2＋4an ＋3}中的数值最大的项为第6项，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫112，6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫6，132C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤112，132D ．{6}解析由题意得，对称轴a ∈[5.5,6.5]．答案 C 二、填空题7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n，则a 5＝________. 解析由a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n，得a 2＝12，a 3＝121＋12＝13，a 4＝1343＝14，a 5＝1454＝15.答案 158．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，则a n ＝_______________. 解析由a n ＋1＝a n ＋2，a 1＝1，知a 2＝3，a 3＝5，a 4＝7，…，a n ＝2n －1. 答案 2n －1 9．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n ∈N ＋)，则f (n ＋1)－f (n )＝________. 解析由f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，得f (n ＋1)＝1n ＋1＋1＋1n ＋1＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12 n ＋1， ∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 答案12n ＋1－12n ＋2三、解答题10．已知a n ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(a ≠0且为常数)，试判断{a n }的单调性．解 ∵a n －a n －1＝－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(n ≥2，且n ∈N ＋)，∴当a >0时，a n －a n －1<0.即a n <a n －1，数列{a n }为递减数列．当a <0时，a n －a n －1>0，即a n >a n －1，数列{a n }是递增数列． 11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？求出最小值．解 (1)由a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94当n ＝2时，a n ＝－2，当n ＝3时，a 3＝－2，当n ＝1时，a 1＝0，同理，当n ＝4时，a 4＝0，由函数的单调性可知，当n ≥5时，a n >0，∴数列中只有a 2，a 3这两项为负数． (2)由a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94，知对称轴为n ＝52＝2.5，又n ∈N ＋，∴当n ＝2，或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.12．已知数列{a n }满足a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N ＋，求实数λ的取值范围．解 ∵a n ≤a n ＋1，∴n 2＋λn －(n ＋1)2－λ(n ＋1)≤0，即λ≥－(2n ＋1)，n ∈N ＋.∴λ≥－3.∴实数λ的取值范围是[－3，＋∞)．思维探究13．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n 2＋5n ＋4.(1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？ (2)该数列中有负数项吗？解 (1)对任意n ∈N ＋， ∵a n＋1－a n ＝1n ＋1 2＋5 n ＋1 ＋4－1n 2＋5n ＋4＝－2 n ＋3[ n ＋1 2＋5 n ＋1 ＋4] n 2＋5n ＋4<0，∴数列{a n}是递减数列．(2)令a n<0，即1n＋5n＋4<0，∴n2＋5n＋4<0得(n＋4)(n＋1)<0，∴－4<n<－1. 而n∈N＋，故数列{a n}没有负数项．。

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章数列双基限时练6(含解析)北师大版必修5

双基限时练(六)一、选择题1．等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝12，那么它前8项之和等于( ) A ．12 B ．24 C ．36D ．48解析 S 8＝ a 1＋a 8 ×82＝ a 4＋a 5 ×82＝48.答案 D2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝12，则S 8等于( ) A ．36 B ．40 C ．48D ．24解析由S 2＝4，S 4＝12， ∴S 4－S 2＝8.∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6成等差数列，S 8＝4×4＋4×32×4＝16＋24＝40.答案 B3．已知在等差数列{a n }中，S 13＝26，S 10＝50，则公差d 为( ) A ．2 B ．－2 C ．－4D ．4 解析由S 13＝26，知a 7＝2，又S 10＝ a 4＋a 7 ×102＝50，得a 4＋a 7＝10，得a 4＝8，又a 7＝a 4＋3d ，∴d ＝－2.答案 B4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6解析 ∵S n ＝n 2－9n ，∴{a n }为等差数列，∴a k ＝S k －S k －1＝k 2－9k －(k －1)2＋9(k －1)＝2k －1－9＝2k －10.由5<a k <8，得152<k <9，又k ∈N ＋，∴k ＝8.答案 B5．含2n －1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1nB.nn －1C.n －1n D.n ＋12n解析设公差为d ，S 奇＝na 1＋n n －122d ，S 偶＝(n －1)a 2＋n －1 n －22·2d ，S 奇S 偶＝n [a 1＋ n －1 d ] n －1 [a 2＋ n －2 d ]＝n n －1. 答案 B6．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝200，a 51＋a 52＋…＋a 100＝2700，则a 1等于( )A ．－1221B ．－21.5C ．－20.5D ．－20解析 a 51＋a 52＋…＋a 100＝a 1＋50d ＋a 2＋50d ＋…＋a 50＋50d ＝200＋2500d ＝2700，∴d ＝1，又a 1＋a 2＋…＋a 50＝50a 1＋50×492×1＝200，得a 1＝－20.5.答案 C 二、填空题7．等差数列{a n }共有10项，其中奇数项的和为12.5，偶数项的和为15，则d ＝________. 解析 S 偶－S 奇＝5d ，得d ＝12.答案 128．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. 解析 S 9＝72＝9a 5，a 5＝8，a 2＋a 4＋a 9＝3a 5＝24. 答案 249．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝________.解析 ∵{a n }为等差数列，∴S 9＝9a 5，S 5＝5a 3，∴S 9S 5＝9a 55a 3＝95×59＝1.答案 1 三、解答题10．已知等差数列{a n }的项数n 为奇数，其中S 奇＝44，S 偶＝33，求项数．解 ∵数列的项数n 为奇数， ∴中间项M ＝S 奇－S 偶＝44－33＝11，S n ＝S 奇＋S 偶＝44＋33＝77.又S n ＝nM ＝11n ，∴11n ＝77，∴n ＝7.11．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，求a nb n.解析a nb n ＝ 2n －1 a n 2n －1 b n ＝S 2n －1T 2n －1＝2 2n －1 3 2n －1 ＋1＝4n －26n －2＝2n －13n －1. 12．设a ，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0，若S 5＝5，求S 6及a 1.解 S 5S 6＋15＝0，S 5＝5，得S 6＝－3，由⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝5，6a 1＋6×52d ＝－3，得a 1＝7.∴S 6＝－3，a 1＝7.思维探究13．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0.∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根．又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n n －12×4＝2n－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c .∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12(c ＝0舍去)．。

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章统计双基限时练8(含解析)北师大版必修3

"【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章统计双基限时练8（含解析）北师大版必修3 "一、选择题1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是( )A．正方体的棱长与表面积B．单位面积产量为常数时，土地面积与产量C．日照时间与水稻的亩产量D．电压一定时，电流与电阻解析A、B、D项均为函数关系．答案C2．下列各图形中，其中两个变量不是相关关系的是( )解析由相关关系的概念可知答案为A.答案A3．下列关系中是函数关系的是( )A．将门出虎子B．产品成本与生产数量C．球的体积与表面积D．家庭的收入与支出解析A、B、D项为相关关系，C项为函数关系．答案C4．下列两个变量具有相关关系的是( )A．凸多边形的内角和与边数B．学生的学习态度与学习成绩C．球的半径与表面积D．圆的半径与周长解析A、C、D项为函数关系．答案B5．收看电视中新闻节目与观众年龄是( )A．函数关系B．相关关系C．无任何关系D．以上答案均不对答案B6．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( )A．都可以分析出两个变量的关系B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系C．都可以做出散点图D．都可以用确定的表达式表示两者的关系解析给出一组样本数据，总可以作出相应的散点图，但不一定能分析出两个变量的关系，更不一定符合线性相关或有函数关系．答案C二、填空题7．下列命题中的两个变量具有相关关系的是________．(填序号)①学生的身高与学生的数学成绩；②学生的数学成绩与外语成绩；③人的身高与体重；④正方形的面积及其边长；⑤人体内脂肪含量与人的年龄．解析①②没有必然联系，④是函数关系，只有③⑤是相关关系．答案③⑤8．2010年世博会期间，上海市某旅行社在5.1长假高峰期间接待游客人数如下表：人数与日期不具有相关关系；③根据数据作出散点图，可知日期与人数具有线性相关关系．其中正确的是________．解析画出散点图可知，只有①③正确．答案①③9．根据两个变量x，y之间的观测数据画出散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系(答是与否)________．解析因为此散点图没在一条直线附近分布，故不是相关关系．答案否三、解答题10．关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系的研究中，得到如下一组数据：解以年龄作为x轴，脂肪含量(百分比)作为y轴，可得相应散点图．11．某种树木的树龄与木材体积之间有如下的对应关系：(1)(2)你能从散点图中发现树木的树龄与木材体积近似呈现什么关系吗？(3)若近似呈线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系．解(1)作出数据的散点图如下．(2)从散点图中发现树木树龄与木材体积近似呈线性关系．(3)用一条直线l来近似地表示这种线性关系．(如图所示)12．某公司近年来科研费用支出x万元与公司所获得利润y万元之间有如下的统计数据：(1)(2)观察散点图，判断y与x是否具有线性相关关系．解(1)散点图如下：(2)由图知，所有数据点接近直线排列．因此认为y与x有线性相关关系．思维探究13．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：解画出散点图如图所示．由图可知y与x具有线性相关关系．。

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章三角函数双基限时练11(含解析)新人教A版必修4

双基限时练(十一)1．把函数f (x )的图象向右平移π12个单位后得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，则f (x )为( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋712πB ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋34π C ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12D ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －512π 解析用x －π12代换选项中的x ，化简得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的就是f (x )，代入选项C ，有f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋5π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.答案 C2．下列四个函数中，同时具有：①最小正周期是π，②图象关于x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(x 2＋π6)B ．y ＝sin(2x ＋π6)C ．y ＝sin(2x －π3)D ．y ＝sin(2x －π6)解析当x ＝π3时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1.∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象关于x ＝π3对称，且周期T ＝2π2＝π. 答案 D3．要将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象转化为某一个偶函数图象，只需将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象( )A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π8个单位D ．向右平移π8个单位解析把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移π8个单位即得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象．因为y ＝cos2x 为偶函数，所以符合题意．答案 C4．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6的相位和初相分别是( )A ．－x ＋π6，π6B ．x －π6，－π6C ．x ＋5π6，5π6D ．x ＋5π6，π6解析因为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，所以相位和初相分别是x ＋5π6，5π6.答案 C5．如下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 在一个周期内的图象，那么这个函数的一个解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6－1 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1 C ．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1 D ．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1 解析由图象知A ＝2－－2＝3，b ＝－1，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π. ∴ω＝2πT＝2，故可设解析式为y ＝3sin(2x ＋φ)－1，代入点⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－4，得－4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ－1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－1，∴φ＋7π6＝2k π－π2(k ∈Z )．令k ＝1，解得φ＝π3，所以y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1.答案 C6．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位长度，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析由题意可得，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω＋π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π2ω，则π2ω＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝4k ，k ∈Z ，因为6不是4的整数倍，所以ω的值不可能是6，故选B.答案 B7．使函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称的θ为________．解析 ∵函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称， ∴f (－x )＝f (x )恒成立，∴3sin(－2x ＋5θ)＝3sin(2x ＋5θ)，∴sin(－2x ＋5θ)＝sin(2x ＋5θ)，∴－2x ＋5θ＝2x ＋5θ＋2k π(舍去)或－2x ＋5θ＋2x ＋5θ＝2k π＋π(k ∈Z )，即10θ＝2k π＋π，故θ＝k π5＋π10(k ∈Z )．答案k π5＋π10，k ∈Z 8．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝________， φ＝________.解析由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)．又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π3.答案 2π39．函数y ＝－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3的图象与x 轴的各个交点中，离原点最近的一点是__________．解析令－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3＝0.则4x ＋2π3＝k π，∴x ＝k π4－π6，k ∈Z .故取k ＝1时，x ＝π12.∴离原点最近的一点是⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π12，010．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0) 的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是________．解析把f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得：y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.又所得图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝0. ∴sin ωπ2＝0.∴ωπ2＝k π(k ∈Z )． ∴ω＝2k (k ∈Z )．∵ω>0，∴ω的最小值为2. 答案 211．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0，且以π2为最小正周期． (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6时，求f (x )的最值．解 (1)∵f (x )的最小正周期为π2，∴ω＝2ππ2＝4.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6，得4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＝－12，即x ＝－π12时，f (x )有最小值－32，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＝1，即x ＝π12时，f (x )有最大值3.12．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π4.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)∵x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π4＋φ＝±1. ∴π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∵0<φ<π2，∴φ＝3π8.(2)由(1)知φ＝3π8，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π8.由题意得2k π－π2≤12x ＋3π8≤2k π＋π2，k ∈Z ，即4k π－74π≤x ≤4k π＋π4，k ∈Z .∴函数y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－74π，4k π＋π4(k ∈Z )．13．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )，在一个周期内的图象如下图所示，求直线y ＝3与函数f (x )图象的所有交点的坐标．解由图象得A ＝2，T ＝72π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝4π.则ω＝2πT ＝12，故y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ. 又12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝0，∴φ＝π4. ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4.由条件知3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4，得12x ＋π4＝2k π＋π3(k ∈Z )，或12x ＋π4＝2k π＋23π(k ∈Z )． ∴x ＝4k π＋π6(k ∈Z )，或x ＝4k π＋56π(k ∈Z )．则所有交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋π6，3或⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋5π6，3(k ∈Z )．。

2014-2015学年高中数学第一章统计双基限时练7(含解析)北师大版必修3

"【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章统计双基限时练7（含解析）北师大版必修3 "一、选择题1．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值为( )A ．4.55B ．4.5C ．12.5D ．1.64解析4×3＋3×2＋5×4＋6×211＝5011≈4.55.答案 A2．在方差的计算公式s 2＝110[(x 1－20)2＋(x 2－20)2＋…＋(x 10－20)2]中，数字10和20分别表示( )A ．样本容量和方差B ．平均数和样本的容量C ．样本方差和平均数D ．样本容量和平均数解析由方差的计算公式，可知答案为D 项．答案 D3．期中考试后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均数为N ，那么M N 为( )A .4041B ．1C .4140D ．2解析由题意，得40M ＋M41＝N ，得M ＝N.答案 B 4．在中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A .84,4.84B ．84,1.6C ．84,6.8D ．85,4解析 x －＝80＋15(－1＋4＋5＋6＋6)＝84，s 2＝15[(－5)2＋12＋02＋22＋22]＝6.8.答案 C5．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为 3.2，全年比赛进球个数的标准差为3，乙队平均每场进球数1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.有下列说法：①甲队的技术比乙队好；②乙队的发挥比甲队稳定；③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏．其中正确说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析由x －甲＝3.2，x －乙＝1.8，知甲队的技术比乙队好，由s 甲＝3，s 乙＝0.3，知乙队发挥比甲队稳定，又由s 乙＝0.3，可知乙队几乎每场都进球，由s 甲＝3，可知甲队比赛进球个数的标准差大，比赛时表现时好时坏，故①②③④均正确．答案 D6．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )A ．92 2B ．92 2.8C ．93 2D ．93 2.8解析由平均值和方差公式，得答案B 项．答案 B 二、填空题7．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下：(单位：克)125 124 121 123 127 则该样本的标准差s ＝________(克)．解析 x －＝125＋124＋121＋123＋1275＝124，则样本标准差 s ＝x 1－x－2＋x 2－x－2＋…＋x 5－x－25＝2.答案 28．已知某样本的方差是5，样本中各数据的平方和是280，样本平均数是3，则样本容量是________．解析 5＝x 21＋x 22＋…＋x 2n ＋n x －2－2x－x 1＋x 2＋…＋x nn＝280－n x －2n ，解得n ＝20.答案 209．有一笔统计资料，共有11个数据(不完全以大小排列)；2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x.已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为________．解析由题意，得：2＋2×4＋2×5＋6＋7＋8＋9＋11＋x ＝11×6，得x ＝5. ∴s 2＝111[(2－6)2＋(4－6)2×2＋(5－6)2×3＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2＋(9－6)2＋(11－6)2]＝6.答案 6 三、解答题10．一组样本数据：a,3,5,7的平均数为b ，且a ，b 是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，求样本的方差．解 ∵方程x 2－5x ＋4＝0的两根为x 1＝1，x 2＝4，当a ＝1时，则a,3,5,7的平均数为4，故a ＝1，b ＝4. ∴s 2＝14×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5；当a ＝4时，∵a,3,5,7的平均数不是1.不合题意，故舍去． ∴样本的方差为5.11．甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．解 (1)由图像可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分． x －甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13；x －乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13.s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(2)由s 2甲>s 2乙可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．12．某农场为了从三种不同的西红柿品种中选取高产稳定的西红柿品种，分别在五块试验田上试种，每块试验田均为0.5公顷，产量情况如下表：解 x －1＝15(21.5＋20.4＋…＋19.9)＝21，x －2＝15(21.3＋18.9＋…＋19.8)＝20.06，x －3＝15(17.8＋23.3＋…＋20.9)＝20.5，s 1＝0.756，s 2＝1.104，s 3＝1.901.由x －1>x －3>x －2，而s 1<s 2<s 3，说明第1种西红柿品种既高产又稳定．思维探究13．一组数据的频率分布直方图如图所示，请你在直方图中标出这组数据的众数、中位数和平均数对应的位置(用虚线标明)，并根据直方图读出其相应的估计值．解众数、中位数、平均数对应的位置如图中虚线所示(众数：右端虚线，中位数：左端虚线，平均数：左端虚线)．由直方图观察可得众数为 2.25，中位数为2.02，平均数为2.02.。

2014-2015学年高中数学第一章统计双基限时练1(含解析)北师大版必修3

"【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章统计双基限时练1（含解析）北师大版必修3 "一、选择题1．下列调查中适宜于普查的是( )A．考察我国在2011年日本大地震中捐助的总款数B．考察国民对房价问题的看法C．考察中学生的环保意识D．考察某食品厂生产的食品质量答案A2．某校有40个班，每班50人，每班派3人参加“学代会”，这个问题中的样本容量是( )A．40 B．50C．120 D．150解析样本容量为3×40＝120.答案C3．从某班50名学生中抽取6名学生进行视力状况的统计分析，下列说法正确的是( ) A．50名学生是总体B．每个被调查的学生是个体C．抽取的6名学生的视力是一个样本D．抽取的6名学生的视力是样本容量解析由统计的知识，可知答案为C项．答案C4．为了了解某校高二学生高中学业水平考试情况，从该校1150人中选300人进行考查分析，这个问题中，300人的学业水平考试成绩是( )A．个体B．总体C．从总体中抽取的一个样本D．样本容量解析由统计的知识，可知答案为C项．答案C5．某校有12000名学生，为考查全校学生的身体状况，从中抽取600名同学进行全面体检，结果有100名同学不达标．其中样本容量是( )A．12000 B．100C．600 D．不确定解析由统计的知识，可知答案为C项．答案C6．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是( ) A．每个被抽查的学生是样本B．500名学生是总体C．抽取的60名学生的体重是一个样本D．抽取的60名学生的体重是样本总量解析由统计知识，可知答案为C项．答案C二、填空题7．某校有学生5000名，从中抽取200名进行调查，其中总体容量为________，样本容量为________．答案5000 2008．下列关于抽样调查的说法中，正确的是________(写出所有正确的编号)．①样本容量越大，估计越准确；②样本容量越小，估计越准确；③采样必须客观、公正、等可能入样；④抽样调查出来的结果与实际没有误差．解析在抽样调查中，抽样出来的结果与实际情况之间是有误差的，故④不对；为了减少误差，采样时，必须客观、公正、等可能入样，故③正确；同时为了准确地反映总体，样本容量越大，估计当然也越准确，故①正确，②不正确．答案①③9．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，学校举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩进行统计分析，结果发现有5名同学成绩突出，在此项调查中，总体为________，样本为________，总体容量为________，样本容量为________．解析该项调查中900名学生的成绩为总体，样本为抽取的50名学生的成绩，总体容量为900，样本容量为50.答案900名学生的成绩抽取的50名学生的成绩900 50三、解答题10．为了了解某市高三年级学生的体重，作如下调查：调查一：对该市高三年级全体学生的体重进行调查；调查二：对部分学生(例如1000名)的体重进行调查．(1)调查一中的调查属于哪种调查方式？(2)调查二中的调查方式属于哪种？(3)在调查二的调查中总体是什么？(4)在调查二的调查中个体是什么？(5)在调查二的调查中样本是什么？(6)在调查二的调查中样本的容量是多少？答案(1)普查．(2)抽样调查．(3)该市高三年级所有学生的体重．(4)该市高三年级每个学生的体重．(5)被调查的1000名学生的体重．(6)1000.11．假设一个总体共有4个个体，分别记为a，b，c，d，现采用不重复抽样的方法从中抽出容量为2的样本，写出全部的可能的样本．答案可能的样本有：ab，ac，ad，bc，bd，cd12．某轴承厂检验员要检验一批(10万件)轴承的质量，应如何检验？并说明其合理性．解采用抽样调查．由于要检验的轴承数量比较多，不可能每件都检验，因此在检验这批轴承时，可以抽取少量进行检验，由此来推断轴承的质量．思维探究13．判断下列调查是用普查方式，还是用抽样调查方式来收集数据的？(1)为了了解班级中每个学生穿鞋的号码，向全班同学作调查；(2)为了了解某学校高一年级学生穿鞋的号码，向所在班的全体同学作调查；(3)为了了解我们班的同学每天的睡眠时间，在每个小组中各选取2名学生作调查；(4)为了了解我们班的同学每天的睡眠时间，选取班级中学号为双数的所有学生作调查．解(1)因为调查的是班级的每个学生，所以用的是普查．(2)通过某班的全体同学穿鞋的号码来了解学校高一年级学生穿鞋的号码，这是抽样调查，样本是某班的全体同学穿鞋的号码，总体是学校高一年级学生穿鞋的号码．(3)(4)都是抽样调查，样本分别是：每小组中选取的2名学生的睡眠时间；学号为双数的所有学生的睡眠时间；总体都是我们班的同学每天的睡眠时间．。

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章计数原理双基限时练7(含解析)新人教A版选修2-3

双基限时练(七)1．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( ) A ．－27C 510 B ．27C 410 C ．－9C 510 D ．9C 410解析通项T r ＋1＝C r10x10－r(－3)r ＝(－3)r C r 10x10－r.令10－r ＝6，得r ＝4.∴x 6的系数为9C 410. 答案 D2．在(32x －12)20的展开式中，系数是有理数的项共有( )A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项解析 T r ＋1＝C r 20(32x )20－r (－12)r ＝(－1)r C r 20220－r 3－r2 ·x 20－r.要使系数为有理数，只要20－r 3－r 2为整数，即40－5r6为整数．∵0≤r ≤20，∴r ＝2,8,14,20，∴共有4项．答案 A 3．(2x －1x)9的展开式中，常数项为( )A ．－672B ．672C ．－288D ．288解析 T r ＋1＝C r9(2x )9－r(－1x)r ＝(－1)r 29－r C r9·x 9－r －r 2，令9－r －r2＝0，得r ＝6.∴常数项为23C 69＝8C 39＝672. 答案 B4．设P ＝1＋5(x ＋1)＋10(x ＋1)2＋10(x ＋1)3＋5(x ＋1)4＋(x ＋1)5，则P 等于( ) A ．x 5B ．(x ＋2)5C ．(x －1)5D ．(x ＋1)5解析 P ＝C 05＋C 15(x ＋1)＋C 25(x ＋2)2＋…＋C 55(x ＋1)5＝(x ＋1＋1)5＝(x ＋2)5. 答案 B5．在(x ＋2x)n的展开式中，常数项为60，则n 等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析 T r ＋1＝C r n (x )n －r (2x)r ＝2r C rn xn －r2－r .令n －3r2＝0，则n ＝3r .∴2r C r3r ＝60，试验知r ＝2，∴n ＝6. 答案 B6．(x 2＋2x)8的展开式中x 4的系数是( )A ．16B ．70C ．560D ．1120解析 (x 2＋2x )8的展开式的通项是T r ＋1＝C r 8·(x 2)8－r ·(2x)r ＝2r ·C r 8·x 16－3r，令16－3r ＝4，得r ＝4.因此x 4的系数为24·C 48＝1120.答案 D7．对于二项式(1x＋x 3)n(n ∈N ＋)，四位同学作出四种判断：甲：存在n ∈N ＋，展开式中有常数项；乙：对任意n ∈N ＋，展开式中没有常数项；丙：对任意n ∈N ＋，展开式中没有x 的一次项；丁：存在n ∈N ＋，展开式中有x 的一次项．其中判断正确的是________．解析由通项公式T r ＋1＝C r n (1x)n －r ·(x 3)r ＝C r n x 4r －n若r ＝1，则n ＝4，T 2就是常数项，令r ＝1，n ＝3时，就存在x 的一次项．因此应填甲、丁．答案甲丁8．在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)．解析 x 的系数为C 13C 22＋C 23C 11＋C 33＝3＋3＋1＝7. 答案 7 9．若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax－x 29的展开式中x 3的系数为94，则常数a 的值为________．解析答案 410．在(4x －2－x )6的展开式中，常数项为________．解析 (4x －2－x )6展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(4x )6－r·(－2－x )r ＝(－1)r C r 6(2x )2(6－r )－r，由2(6－r )－r ＝0，得r ＝4，∴(－1)4C 46＝15.即常数项为15.答案 1511．设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数是19(m ，n ∈N *)． (1)求f (x )展开式中x 2的系数的最小值；(2)当f (x )展开式中x 2的系数取最小值时，求f (x )展开式中x 7的系数．解 (1)由题设条件，得m ＋n ＝19. ∴m ＝19－n ，x 2的系数为 C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n ＝－n－n2＋n n －2＝n 2－19n ＋171＝(n －192)2＋3234，∵n ∈N *，∴当n ＝9，或n ＝10时，x 2的系数取最小值(12)2＋3234＝81. (2)当n ＝9，m ＝10或n ＝10，m ＝9时，x 2的系数取最小值，此时x 7的系数为C 710＋C 79＝C 310＋C 29＝156.12．已知数列{a n }是公比为q 的等比数列． (1)求和：a 1C 02－a 2C 12＋a 3C 22，a 1C 03－a 2C 13＋a 3C 23－a 4C 33；(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并证明．解 (1)a 1C 02－a 2C 12＋a 3C 22＝a 1－2a 1q ＋a 1q 2＝a 1(1－q )2，a 1C 03－a 2C 13＋a 3C 23－a 4C 33＝a 1－3a 1q ＋3a 1q 2－a 1q 3＝a 1(1－q )3.(2)归纳概括的结论为：若数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列，则a 1C 0n －a 2C 1n ＋a 3C 2n －a 4C 3n ＋…＋(－1)n a n ＋1C n n ＝a 1(1－q )n，n 为正整数．证明：a 1C 0n －a 2C 1n ＋a 3C 2n －a 4C 3n ＋…＋(－1)n a n ＋1C nn ＝a 1C 0n －a 1q C 1n ＋a 1q 2C 2n －a 1q 3C 3n ＋…＋(－1)n a 1q n C nn＝a1[C0n－q C1n＋q2C2n－q3C3n＋…＋(－1)n q n C n n] ＝a1(1－q)n.。

2014-2015学年高中数学第一章达标测试卷北师大版必修5

2014-2015学年高中数学第一章达标测试卷北师大版必修5（100分，45分钟）一、选择题（每题6分,共48分）1.等差数列1a ,2a ,3a ,…, n a 的公差为d ,则数列c 1a ,c 2a ,…,c n a (c 为常数，且c ≠0)是（）A.公差为d 的等差数列B.公差为cd 的等差数列C.非等差数列D.以上都不对2.已知等比数列{n a }的前三项依次为a －1,a +1,a +4,则n a 等于( )A.4·n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32B.4·n ⎪⎭⎫ ⎝⎛23 C.4·132-⎪⎭⎫ ⎝⎛n D.4·123-⎪⎭⎫⎝⎛n3.等比数列{n a }的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{n a }的首项为（） A.2 B.4 C.6 D.84.〈济南外国语学校考试〉已知等比数列{n a }满足1a =3,且41a ,22a ,3a 成等差数列，则数列{n a }的公比等于（）A.1B. －1C. －2D.2 5.〈江西吉安高三模拟〉若{n a }为等差数列，n S 是其前n 项和，且13S =326π,则tan 7a 的值为（）A. 3B. －3C.±3D. －33 6.〈郑州模拟〉已知各项均不为0的等差数列{n a }满足23a －27a +211a =0,数列{n b }为等比数列，且7b =7a ,则6b 8b 等于( )A.2B.4C.8D.167.〈新课标Ⅰ理〉设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若1-m S =－2, m S =0, 1+m S =3,则m 等于( )A.3B.4C.5D.68.各项都是实数的等比数列{n a }，前n 项和记为n S ,若10S =10, 30S =70,则40S 等于（） A.150 B. －200 C.150或－200 D.400或－50 二、填空题（每题5分，共15分）9.等比数列{n a }的前n 项和为n S ,且41a ,22a ,3a 成等差数列.若1a =1,则1S = . 10.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若2a =1, 5S =10,则7S = .11.〈新定义题〉若数列{n a }满足12++n n a a －n n a a 1+=k (k 为常数)，则称{n a }为等比差数列，k 叫作公比差.已知{n a }是以2为公比差的等比差数列，其中1a =1, 2a =2,则5a = . 三、解答题（12~13每题12分，14题13分，共37分）12.〈全国大纲理〉等差数列{n a }的前n 项和为n S ,已知3S =22a ,且1S ,2S ,4S 成等比数列，求{n a }的通项公式.13.〈辽宁高二上学期期中考试〉数列{n a }的前n 项和为n S ,1a =1, 1+n a =2n S +1(n ∈N +),等差数列{n b }满足3b =3, 5b =9.（1）分别求数列{n a },{n b }的通项公式；（2）设22++=n n n a b c (n ∈N +),求证：1+n c ＜n c ≤31.14.〈河南师大附中高二上学期期中〉已知数列{n a }的前n 项和为n S ,且n a =21(3n +n S )对一切正整数n 成立.（1）求数列{n a }的通项公式；（2）设n b =3nn a ,求数列{n b }的前n 项和n B .参考答案及点拨一、1.B 点拨：∵n a －1-n a =d ,c ≠0,∴c n a －c 1-n a =c (n a －1-n a )=cd (常数), ∴数列{c n a }是公差为cd 的等差数列.2.D 点拨：由等比数列性质可得(a +1)2=(a －1)(a +4),解得a =5.∴1a =5－1=4,公比q =415+=23,∴n a =4·123-⎪⎭⎫⎝⎛n .3.C 点拨：设等比数列{n a }的公比为q ，由4S －(2a +4a )=60得1a +3a =60,∴q =3142a a a a ++ =3.又1a +3a =1a +1a ·q 2=60,∴1a =6.4.D 点拨：设等比数列的公比为q (q ≠0)，因为41a ,22a ,3a 成等差数列，所以41a +1a q 2=41a q ,即q 2－4q +4=0,解得q =2.5.B 点拨：由等差数列前n 项和的性质得13S =137a =326π,则7a =32π,从而tan 7a =tan 32π=－3.6.D 点拨：因为{n a }是等差数列，所以3a +11a =27a .所以已知等式可化为47a －27a =0,解得7a =4或7a =0（舍去），又{n b }为等比数列，所以6b 8b =27b =16. 7.C 点拨：∵{n a }是等差数列,1-m S = －2, m S =0, ∴m a =m S －1-m S =2.∵1+m S =3,∴1+m a =1+m S －m S =3, ∴d =1+m a －m a =1. 又m S =2)(1m a a m + =2)2(1+a m =0, ∴1a =－2.∴m a =－2+(m －1)·1=2.∴m =5.8.A 点拨：由题设可用“基本量”法，或用性质：n S ,n S 2－n S ,n S 3－n S 2,…,仍成等比数列，或用性质: n m S +=m S +q mn S .方法一：由n m S +=m S +q mn S ,得30S =20S +q 2010S =10S + q 1010S + q 2010S ，从而有q 20+ q 10－6=0,∴q 10=2(q 10=－3舍去).∴40S =30S +q 3010S =70+23×10=150.故选A.方法二：由40S =30S +q 3010S ,又30S ＞0, q 30＞0, 10S ＞0,知40S ＞0,从而排除B 、C 、D,故选A. 二、9.15 点拨：设{n a }的公比为q (q ≠0).∵41a ,22a ,3a 成等差数列，∴41a +3a =42a ,即41a +1a q 2=41a q .∴q 2－4q +4=0,解得q =2,∴4S =212114--⨯）（=15.10.21 点拨：设{n a }的公差为d ,由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=-⨯+=+,102)15(55,111d a d a 解得⎩⎨⎧==.0,11a d 故7S =71a +d 2)17(7-⨯=21. 11.384 点拨：由23a a －12a a =2得，3a =8, 由34a a －23a a =2得，4a =48, 由45a a －34a a =2得，5a =384. 三、12.解：设{n a }的公差为d . 由3S =22a ,得32a =22a ,故2a =0或2a =3. 由1S =2a －d , 2S =22a －d , 4S =42a +2d , 故(22a －d )2=(2a －d )(42a +2d ).若2a =0,则d 2=－2d 2,所以d =0,此时n S =0,不合题意；若2a =3,则(6－d )2=(3－d )(12+2d ),解得d =0或d =2. 因此{n a }的通项公式为n a =3或n a =2n －1. 13.（1）解：由1+n a =2n S +1① 得n a =21-n S +1②, ①－②得1+n a －n a =2(n S －1-n S ),∴1+n a =3n a . ∴n a =13-n .设等差数列{n b }的公差为d ，则b 5－b 3=2d =6,∴d =3.∴n b =3n －6.（2）证明：∵2+n a =3n +1,b n +2=3n .∴n c =133+n n =nn3. ∴1+n c －n c =1321+-n n＜0.∴1+n c ＜n c ＜…＜1c =31.∴1+n c ＜n c ≤31.14.解：（1）由已知得S n =2n a －3n ,S n +1=21+n a －3(n +1)，两式相减并整理得：1+n a =2n a +3. 所以3+1+n a =2(3+n a ).又1a =S 1=21a －3, 1a =3可知3+1a =6≠0,进而可知n a +3≠0. 所以nn a a +++331=2,故数列{3+n a }是首项为6，公比为2的等比数列，所以3+n a =6×12-n ,即n a =3(2n－1).（2）n b =n (2n－1)=n 2n－n .设T n =1×2+2×22+3×23+…+n ×2n①，2T n =1×22+2×23+…+（n －1）2n +n ×2n +1②，由②－①得T n =－(2+22+23+…+2n )+n 2n +1=21221---+n + n 2n +1=2+(n －1)2n +1.所以B n =T n －(1+2+3+…+n )=2+(n －1)2n +1－2)1(+n n .。

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章数列双基限时练1(含解析)北师大版必修5

双基限时练(一)一、选择题1．数列3,7,13,21,31，…的通项公式是( ) A ．a n ＝4n －1 B ．a n ＝n 2＋n －2 C ．a n ＝n 2＋n ＋1 D ．不存在解析逐个检验．答案 C2．数列12，13，14，15，…，中的第9项为( )A.19B.110C.18D.111答案 B3．已知数列3，9，15，21，…，那么9是这个数列的第( ) A ．12项 B ．13项 C ．14项D ．15项解析 a n 中根号内的每个数比它相邻的前一个数多6，故a n ＝3＋ n －1 6＝6n －3，令6n －3＝81，得n ＝14.答案 C4．已知数列12，23，34，45，…，n n ＋1，…，那么0.98,0.96,0.94中属于该数列中某一项值的应当有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析令0.98＝n n ＋1，得n ＝49，∴0.98是这个数列的第49项．令nn ＋1＝0.96，得n＝24，∴0.96是这个数列的第24项．令nn ＋1＝0.94，解得n ＝473∉N ＋， ∴0.94不是这个数列中的项．答案 C5．数列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的一个通项公式a n 等于( ) A.19(10n－1) B.13(10n－1) C.13⎝⎛⎭⎪⎫1－110nD.310(10－n－1)解析 ∵0.3＝310＝13×10－110＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110，0．33＝33100＝13×100－1100＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102，0．333＝3331000＝13×9991000＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103，0．3333＝333310000＝13×999910000＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1104，…∴a n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n .答案 C6．已知数列1,2,4,7,11,16，x,29,37，…，则x 等于( ) A ．20 B ．21 C ．22D ．23解析 ∵该数列有如下特点：2－1＝1,4－2＝2,7－4＝3,11－7＝4,16－11＝5，x －16＝6，∴x ＝22.答案 C 二、填空题7．数列1，22，34，48，…的通项公式为________；数列2，32，1，12，0，…的通项公式为________．解析对于数列2，32，1，12，0，…可写成42，32，22，12，02，…答案 a n ＝n2n －1a n ＝5－n 28．已知数列{a n }对于任意p 、q ∈N ＋，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.解析由a 1＝19，得a 2＝a 1＋a 1＝29，a 4＝a 2＋a 2＝49，a 8＝a 4＋a 4＝89， a 16＝2a 8＝169，a 32＝2a 16＝329， a 36＝a 32＋a 4＝329＋49＝369＝4.答案 49．数列－1，12，－13，14，…的通项公式为________；数列32，83，154，245，…的通项公式为________；数列7,77,777，…的通项公式为________．答案 a n ＝－1 nn a n ＝ n ＋1 2－1n ＋1 a n ＝79×(10n－1)三、解答题10．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)1，－3,5，－7,9，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)12，16，112，120，130，…； (4)3,5,9,17,33，….解 (1)a 1＝2×1－1，a 2＝－(2×2－1)，a 3＝2×3－1，a 4＝－(2×4－1)，a 5＝2×5－1，…，∴a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)∵a 1＝12，a 2＝2＝42＝222，a 3＝92＝322，a 4＝8＝162＝422，a 5＝252＝522，…，∴a n ＝n22.(3)∵a 1＝12＝11×2，a 2＝16＝12×3，a 3＝112＝13×4，a 4＝120＝14×5，a 5＝130＝15×6，…，∴a n ＝1n n ＋1.(4)∵3＝21＋1,5＝4＋1＝22＋1,9＝8＋1＝23＋1,17＝16＋1＝24＋1,33＝32＋1＝25＋1，…，∴a n ＝2n＋1.11．已知数列{n (n ＋2)}．(1)写出这个数列的第8项和第20项；(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？解 (1)a 8＝8×(8＋2)＝80，a 20＝20×(20＋2)＝440. (2)由n (n ＋2)＝323，得(n －17)(n ＋19)＝0，得n ＝17，或n ＝－19(舍)．∴323是这个数列中的项，是第17项．12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n (项数)的一次函数． (1)求这个数列{a n }的通项公式； (2)88是否是数列{a n }中的项？解 (1)设a n ＝an ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，17a ＋b ＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2.(2)设88为{a n }的第n 项，则88＝4n －2，n ＝904＝452，而n ＝452∉N ＋，故88不是数列{a n }中的项．思维探究13．已知数列{a n }中，a 1＝67，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12＜a n≤1，(1)求a 2，a 3，a 4； (2)求a 2015的值．解 (1)∵a 1＝67，∴a 2＝2a 1－1＝2×67－1＝57，又12<57<1，∴a 3＝2a 2－1＝107－1＝37，又0≤37<12，∴a 4＝2a 3＝67. (2)由(1)知{a n }为周期数列，且周期为3，又2015＝671×3＋2，∴a 2015＝a 2＝57.。

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章三角函数单元同步测试(含解析)北师大版必修4

阶段性检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下列说法中，正确的是( ) A ．第一象限的角都是锐角B ．第三象限的角必大于第二象限的角C ．－831°是第二象限角D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角解析对于A 项来说，如390°是第一象限角，但它不是锐角；对于B 项来说，－170°是第三象限角，120°是第二象限角，但120°>－170°；对于C 项来说，－831°＝－2³360°－111°，因为－111°是第三象限角，所以－831°是第三象限角；对于D 项来说，984°40′＝3³360°－95°20′，264°40′＝360°－95°20′. 所以角984°40′，264°40′都与－95°20′角的终边相同．答案 D2．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的最小正周期是( )A.π6 B.π3C.π2D.23π 解析 T ＝π3.答案 B3．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4 B.3π4 C.5π4D.7π4解析 sin 34π＝cos 74π，cos 34π＝sin 74π.答案 D4．把y ＝sin x 的图像向右平移π8后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π8 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π8C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π8D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 答案 A5．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的简图是( )解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2³π6－π3＝0，故C ，D 不正确，又f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－sin π3＝－32<0. ∴B 不正确．答案 A 6．函数y ＝sin x ＋lgcos xlg x 2＋2的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x <2k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x <2k π＋π2，k ∈ZC.{}x |2k π<x < 2k ＋1 π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z解析由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，2k π≤x ＜2k π＋π2或2k π＋3π2＜x ≤2k π＋2π，k ∈Z ，即2k π≤x ＜2k π＋π2，k ∈Z ，所以选A. 答案 A7．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图像关于x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ，显然f (x )为偶函数，不是奇函数．答案 D8．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 在( )A ．[－π，0]上是增加的B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4上是增加的C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上是增加的解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，当2k π－π≤x －π4≤2k π(k ∈Z )时，函数是增加的，解得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )．当k ＝0时，－3π4≤x ≤π4，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4时，函数是增加的．答案 B9．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <bD ．a <c <b解析 a ＝－sin1，b ＝cos1，c ＝－tan1， ∵a <0，c <0，b >0，又sin1<tan1，∴－sin1>－tan1，故选C. 答案 C10．已知函数f (x )＝3sin πxk的图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x 2＋y 2＝k 2上，则f (x )的最小正周期是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析由题意可知点⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，3在圆x 2＋y 2＝k 2上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫k22＋(3)2＝k 2，解得k ＝±2.此时，函数的最小正周期是T ＝2ππ|k |＝2|k |＝4.答案 D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知角α的终边过点P (－4m,3m )，(m ≠0)，则2sin α＋cos α＝________. 解析当m >0时，|OP |＝5m,2sin α＋cos α＝6m 5m ＋－4m 5m ＝25；当m <0时，|OP |＝－5m,2sin α＋cos α＝6m －5m ＋－4m －5m ＝－25. 答案 25或－2512．sin4π＋cos 32π＋tan3π－sin 52π＋cos5π＝________.解析 sin4π＋cos 32π＋tan3π－sin 52π＋cos5π＝sin0＋cos π2＋tan π－sin π2＋cos π＝0＋0＋0－1－1＝－2. 答案－213．已知半径为2的扇形的面积为4，则这个扇形的圆心角为________．解析设这个扇形的弧长为l ，则4＝12³2³l ，∴l ＝4，∴这个扇形的圆心角θ＝lr ＝42＝2. 答案 214．若函数f (x )＝sin x ＋m cos x 图像的一条对称轴方程为x ＝π6，则实数m 的值为________．解析由题意得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即m ＝32＋m 2，得m ＝ 3. 答案315．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －34π，有下列命题：①其最小正周期为23π；②其图像由y＝2sin3x 向左平移π4个单位得到；③其表达式可写成f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋34π；④在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，512π为单调增函数．则其中真命题为________．解析由T ＝2π3，故①正确；将y ＝2sin3x 的图像向左平移π4个单位得到y ＝2sin3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋34π，故②不正确；y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋34π＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫－3x －34π＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x －34π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋54π ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋54π－2π＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －34π，故③正确；当π12<x <5π12时，－π2<3x －34π<π2，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，512π上单调递增，故④正确．答案 ①③④三、解答题(本大题共6道题，共75分) 16．(12分)化简：(1)sin420°cos330°＋sin(－690°)²cos(－660°)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos π＋α＋sin π－α cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α.解 (1)sin420°cos330°＋sin(－690°)²cos(－660°)＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝1.(2)原式＝cos αsin α－cos α＋sin α －sin α－sin α＝－sin α＋sin α ＝0.17．(12分)已知扇形的圆心角θ＝π3，它所对的弦长为2，求扇形的弧长和面积．解 ∵扇形的圆心角θ＝π3(如图)，∴△AOB 为等边三角形，∴R ＝AB ＝2，∴扇形的弧长l ＝R θ＝2³π3＝23π.S 扇＝12Rl ＝12³2³23π＝23π.18．(12分)如图，点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做匀速圆周运动，求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系式，并求点P 的运动周期和频率．解当质点P 从位置P 0开始转动t s 时，点P 转过的角度为ωt .设此时点P 所在的位置为P ′，则∠P ′Ox ＝ωt ＋φ.由任意角的三角函数得点P 的纵坐标为y ＝r sin(ωt ＋φ)，此即为所求的函数关系式．点P 的运动周期为T ＝2πω，频率为f ＝1T ＝ω2π.19．(13分)如图所示，是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的一段图像． (1)求此函数解析式；(2)分析该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？解 (1)由图像知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2³⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT＝2. ∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2³π6＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图像．20．(13分)如果关于x 的方程sin 2x －(2＋a )sin x ＋2a ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有两个实数根，求实数a 的取值范围．解 sin 2x －(2＋a )sin x ＋2a ＝0，即(sin x －2)(sin x －a )＝0.∵sin x －2≠0，∴sin x ＝a ，即求在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上sin x ＝a 有两根时a 的范围．由y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6与y ＝a 的图像知12≤a ＜1.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 21．(13分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8， (1) 求φ；(2) 求函数y ＝f (x )的单调增区间；(3) 画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像．解 (1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图像的对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2³π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，(k ∈Z )，φ＝k π＋π4，(k ∈Z )． ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，(k ∈Z )．即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，(k ∈Z )．(3)由y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4知，故函数y＝。

高中数学第一章统计双基限时练6含解析北师大版必修3

"【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章统计双基限时练6（含解析）北师大版必修3 "一、选择题1．已知样本：11,12,11,10,9,12,9,11,9,10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8.那么频率为的范围是( )A ．～B ．～C ．～D ．～解析逐个查验．答案 C2．从容量为100的样本数据中，按从小到大的顺序分成8个小组，如下表A ．和和137 C ．和和637解析第三小组的频率为14100＝，积累频率为14100＋13100＋10100＝.答案 A3．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：A ．B ．0.39C ．D ．解析 P ＝13＋24＋15100＝.答案 C4．如图所示的是对某种电子元件利用寿命跟踪调查取得的样本频率散布直方图，由图可知该批电子元件寿命在100～300小时的电子元件的数量与寿命在300～600小时的电子元件的数量比是( )解析 (12000＋32000)(1400＋1250＋32000)＝416 ＝14.答案 C5．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率散布图如图．若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为( )A ．760B ．790C ．810D ．900解析由90×10＝n×10，得n ＝810.答案 C6．统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，取得样本频率散布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为合格，则合格率是( )A ．20%B ．25%C ．6%D ．80%解析按照频率散布直方图，可知合格的频率为＋＋×2)×10＝. 答案 D 二、填空题7．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同窗们上交作品的件数依照5天一组分组统计，绘制了频率散布直方图(如图所示)，已知从左到右各长方形的高的比为234641，第三组的频数为12，则本次活动共有________件作品参加评比．解析由题可知第三组的频率为： 42＋3＋4＋6＋4＋1＝15＝12n ，得n ＝60.答案 608．如图是样本容量为200的频率散布直方图，按照样本的频率散布直方图估量，样本落在6～10内的频数为________，数据落在2～10内的频率为________．解析样本落在6～10上的频率为×4＝＝n200，得n＝64.数据落在2～10内的频率为＋×4＝.答案649.某中学举行的电脑知识竞赛，满分100分，80分以上(含80分)为优秀．现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组，绘制频率散布直方图如图所示，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组频率别离为,,,.第二小组的频数为40，则第二小组的频率为________，参赛人数为________，参赛的人成绩优秀的频率为________．解析第二小组的频率为1－－－－＝，参赛人数为错误!＝100，优秀的频率为＋＝.答案100三、解答题10.为了了解中学生的身高情况，对某校中学生同年龄的若干名学生的身高进行了测量，将所得数据整理后，画出频率散布直方图如图所示，已知图中从左到右五个小组的频率别离是,,,,，第三小组的频数为6.(1)参加这次测试的学生人数是多少？(2)身高在哪个范围内的学生人数最多？这一范围内的人数是多少？解(1)∵第三小组的频数为6，频率为，∴参加这次测试的学生人数为错误!＝60.(2)从图中可看身世高在157.5 cm～160.5 cm之间的人数最多，共有60×＝18(人)．11.某校100名学生期中考试语文成绩的频率散布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)按照频率散布直方图，估量这100名学生语文成绩的平均分．解(1)由(2a＋＋＋×10＝1，解得a＝.(2)×55＋×65＋×75＋×85＋×95＝73.12．某市2010年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85 ,75,71,49,45.(1)完成频率散布表；(2)作出频率散布直方图．解(1)频率散布表(以10为组距)分组频数频率41～51 21 1551～61 11 3061～71 42 1571～81 6 1 581～91 10 1 391～101 5 1 6101～111 21 15总计30 1(2)思维探究13．有同一型号的汽车100辆．为了解这种汽车每耗油1 L所行路程的情况，现从中随机抽出10辆在同一条件下进行耗油1 L所行路程的实验，取得如下样本数据(单位：km)：13．7,,,,,,,,,.(1)完成频率散布表；分组频数频率～～～～合计10(2)解(1)频率散布表：分组频数频率～ 2～ 3～ 4～ 1合计10(2)估量整体数据落在～的频率为＋×＝.。

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