高中数学思考题(较难)

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高中数学排列与组合练习 (8)

高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
题型三
涂色问题
涂色问题曾在历届高考题中多次出现，下面举几例以期抛砖引玉．例3 如下图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图
着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(以数字作答)
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(3)“恰有一个盒子内放2个球”，即另外的三个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球” 是一回事．故也有144种方法． (4)先从四个盒子中任取两个有C42种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种方法？”从放球数目看，可分为(3，1)，(2，2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C43·C21种方法；第二类：有 C42种方法．因此共有C43·C21＋C42＝14(种)．由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的方法有C42·14＝84(种)．
3．重复计数例3 几种？【错解1】排在排头的有除甲之外的A61种情形，排在排尾 7个人排成一排，甲不在排头，乙不在排尾的排法有
的也有除乙之外的A61种情形，两端排好后余下的排中间有A55种情形，所以不同的排法有A61A61A55＝4 320种．【错解2】头尾两个位置可从甲、乙之外的5人中选两人
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探究1 解排列组合问题的“16字方针”是：有序排列、无序组合；分类为加，分步为乘．
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高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）

高中数学精品试题：截口曲线问题

3.2 截口曲线问题一、飞机舷窗为什么是椭圆形？1954年，英国海外航空公司的客机在飞行途中，接连发生突然爆炸、解体的情况。

最后发现，导致这一场场灾难的罪魁祸首竟然是机舱上的矩形窗户。

原来，在飞机飞行过程中，机舱内需要加压，随着飞行高度的增加，机舱内外的压力差也会越来越大。

机舱内的压力会积压在矩形窗户四个锋利尖锐的角上，而窗户经受不住压力的反复冲撞，时间久了，便会破碎，进而引起飞机爆炸。

为了解决这一问题，飞机设计者把飞机上的窗户设计成椭圆形。

因为椭圆形的舷窗能使压力均匀分布在圆弧的每个点上，然后压力会顺利地穿过材料，保证飞机的飞行安全。

二、椭圆为什么是圆锥曲线之一？1.生活中的椭圆模型生活中，阳光照射球体形成的影子、倾斜水杯的水截面边缘等都给我们以“椭圆”的印象，那么我们数学中的“椭圆”到底是什么样子呢？或者说能不能从实物中抽象出数学模型呢？（1）阳光照射球体形成影子——单球模型（2）倾斜水杯的水截面边缘——圆柱模型两者都有椭圆，其实单球模型进行下列变换就能得到圆柱模型。

圆柱的Dandelin 圆柱的Dandelin 单球模型双球模型通过圆柱的Dandelin 双球模型，我们就能得出椭圆上的点到两个定点的距离之和为常数。

从而给出椭圆的定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数2a （122F F a ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离12F F 叫做焦距。

2.圆锥的截线从圆柱上可以截得椭圆，那为什么我们称椭圆为圆锥曲线，而不是圆柱曲线呢？我们知道用一个平面去截圆锥，当平面垂直于圆锥面的轴时，截线是一个圆。

若将平面逐渐倾斜的过程中:1．当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

2．当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

3．当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。

如何设计高中数学课后思考题之我见

如何设计高中数学课后思考题之我见高中数学课后思考题就是我们在数学课堂教学任务终结时，我们结、内容以及评价等等常常，它是有别于课后常规的书面作业的，学生也有自主选择权。

课后思考题是课堂教学的补充与深化。

为使学生开阔视野，拓宽知识面，增强各种能力，新教材在课后思考题的设置上做了大胆的创新和有益的尝试。

课后思考题对培养高中生积极主动、敢于探索的精神；及促进学生深化性思维，提高学生数学思维能力具有深刻的意义。

根据多年的教学经验，我是怎样看待高中数学课后思考题的。

一、课后思考题的特点及原则（一）高中的数学课后思考题，需要符合以下的要求1、问题性特点由于高中数学课后思考题，是需要教师设计的一个或几个具有数学思维价值的问题作为思考载体的，需要学生通过自主探索，在解决问题的过程中深化对所学知识的理解和运用，因而问题性是课后思考题的形式点，也是其最典型的特点；2、开放性特点高中数学课后思考题的教学目的，不能固守于教学内容的完成度，而需从数学综合素质考虑。

要从高中生的数学探索、求知的欲望，及其意志力培养等等方面考量。

高中教学目标的开放性决定了课后思考题的内容组织的多元化和形式的多样化，也必然决定课后思考题的评价反馈方式和结果运用的多样化和个性化。

我们不难看出开放性是课后思考题的内容特点；3、激励性特点高中数学课后思考题具有一定的数学思维价值趋向，它不仅仅对学生简单的知识与技能的考查，而是把学生引导向新的目标，鼓励学生大胆尝试和探究活动，不要忽视一个简单的小型课题研究，都会为学生带来较强的挑战性，它能激励学生探究的兴趣。

因此激励性是课后思考题的情意特点。

（二）课后思考题应遵循的原则1、综合性原则课后思考题的设置应打破学科间的界限，不要再局限于单一学科知识的巩固上，应树立生活处处皆学问的大课堂观念，力求全面提高学生的综合素质.如体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富的文化价值；以美术史中的作品和趣闻向学生展示镜面对称在艺术创作中的应用，使学生进一步体会镜面对称的文化价值；可以设置一些数学知识在工程建设中的应用题，体会数学与建筑的紧密联系等等。

初中数学思考题（较难）

1、△ABC 中，∠CAB=70°，在同一平面内，在同一平面内，将将△ABC 饶点A 旋转到△AB'C'的位置使得CC'∥AB ，则∠BAB'=_______。

2、在等腰Rt △ABC 中∠C=90°，AC=6，D 是AC 上的一点，若tan ∠DBA=1/5，则AD 的长为_______。

3、正方形ABCD ，M 是BC 的中点，连接AM ，MN 垂直于AM ，将BC 延长至点E 。

MN 交角DCE 的平分线CN 于点N 。

(1)试证明：AM=MN 。

(2)如果去掉条件AM ⊥MN ，N 为CN 上一点，且AM=MN ，是否有结论MN 垂直于AM ？(3)若M 为BC 上任意一点，以上结论是否仍然成立？4、定义：(1)正方形两条对角线的交点称为这个正方形的中心。

(2)若一个点同时在正方形的边上，则称此点为两个正方形的一个公共点。

如图，甲乙两个正方形的中心O1，O2和点P 在直线MN 上，O2和P 为定点，O1为动点，O1由P 开始，自左向右朝O2运动，直至与O2重合为止，与此同时，正方形甲随O1运动向正方形乙靠拢，向正方形乙靠拢，已知已知O1的速度为1cm/s ，O2P=11cm ，正方形甲的边长为1cm(固定不变)，正方形乙的边长a(cm)与O1的运动时间t(s)有如下关系：a=1+t 。

(1)设O1O2为d(cm)，写出d(cm)与时间t(s)的函数关系式，注明t 的取值范围。

(2)完成下表：(各列从上到下以时间的先后顺序分类，设O1A=r ，O2B=R)两个正方形公共点的个数数量关系时间或时刻12R-r ＜d ＜R+r 1d=R-r 00≤d ＜R-r5、一个梯形ABCD，其中一条对角线AC长12，另一条对角线BD长5，且AC⊥BD，求这个梯形的高。

6、轮船在静水中的速度是每小时18km。

轮船从甲港到乙港去，去时逆水，10小时到达乙港；返回时顺水，8小时到甲港。

高中数学-高一上思考题3

2022年高一上数学思考题3一、单选题1．若不等式2430mx mx -+≠对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（） A ．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3(0,)4C ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．()3,0(,)4-∞+∞ 2．三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个命题（）A ．如果,a b b c >>，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意正实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立D ．如果,0a b c >>，那么ac bc > 3．设M 、P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为{M P x x M -=∈且}x P ∉，则()M M P --等于（） A ．P B ．M C ．M P D ．M P ⋃4．对于非空数集M ，定义()f M 表示该集合中所有元素的和．给定集合1,2,3,4S，定义集合(){},T f A A S A =⊆≠∅，则集合T 中元素的个数是（） A ．集合T 中有1个元素B ．集合T 中有10个元素C ．集合T 中有11个元素D ．集合T 中有15个元素5．有限集合S 中元素的个数记作()card S ，设,A B 都为有限集合，给出下列命题： ①A B =∅的充要条件是()()()card A B card A card B ⋃=+；①A B ⊆的必要条件是()()card A card B ≤；①A 不是B 的子集的充分条件是()()card A card B ≤①A B =的充要条件是()()card A card B =其中真命题的序号是（）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①6．以某些整数为元素的集合P 具有以下性质：（1）P 中元素有正数，也有负数；（2）P 中元素有奇数，也有偶数；（3）1P -∉；（4）若x y P ∈、，则x y P +∈．则下列选项哪个是正确的（）A ．集合P 中一定有0但没有2B ．集合P 中一定有0可能有2C ．集合P 中可能有0可能有2D ．集合P 中既没有0又没有2二、填空题7．关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的取值范围是___________.8．已知关于x 的一元二次不等式2240ax x b ++≤的解集为1x x a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，且a b >，则22a b a b -+的最大值为__________.9．已知,x y 为正实数，则162y x x x y++的最小值为__________．9．若正数a ，b 满足21a b +=，则222a b a b+--的最小值是_10．设()410,0x y x y +=>>，0s t >>，则22221x s ys xy st t ++-的最小值为________.12．已知正数,a b 满足1,a b c +=∈R ，则222312a c bc b abc ab++++的最小值为__________．三、解答题13．已知0,0,0a b c >>>，证明： (1)221188ab a b ++≥； (2)222222a b b c c a abc a b c++≥++.参考答案：1．A【分析】由题意，根据二次方程无解情况，单独考虑参数等于零时，可得答案.【详解】由题意，等价于方程2430mx mx -+=无实数解，则当0m =时，方程为30=，无解；当0Δ0m ≠⎧⎨<⎩时，方程无实数解，即()2244316120m m m m ∆=--⨯⋅=-<，()430m m -<，解得304m <<. 综上所述，30,4m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故选：A.2．C【分析】结合不等式的性质、基本不等式确定正确答案.【详解】ABD 选项是不等式的性质.对于C 选项，设小正方形的边长为,a b大正方形的面积为22a b +，4个小正方形的面积之和为1422ab ab ⨯=，由图可知222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立.故选：C3．C【解析】根据题意，分M P ⋂=∅和M P ⋂≠∅两种情况，结合集合的基本运算，借助venn 图，即可得出结果.【详解】当M P ⋂=∅，由于对任意x M ∈都有x P ∉，所以M P M -=，因此()M M P M M M P --=-=∅=⋂；当M P ⋂≠∅时，作出Venn 图如图所示，则M P -表示由在M 中但不在P 中的元素构成的集合，因而()M M P --表示由在M 中但不在M P -中的元素构成的集合，由于M P -中的元素都不在P 中，所以()M M P --中的元素都在P 中，所以()M M P --中的元素都在M P ⋂中，反过来M P ⋂中的元素也符合()M M P --的定义，因此()M M P M P --=⋂.故选：C.【点睛】本题主要考查集合的应用，熟记集合的基本运算即可，属于常考题型.4．B【分析】对A 的情况分别列出来，计算()f A 的取值情况，最后得出T 集合的元素个数.【详解】1.当A 为单元集合时，集合A 可取{}{}{}{}1,2,3,4，()f A 可取1,2,3,4;2.当A 中的元素个数为2时，集合A 可取{}{}{}{}{}{}12,13,423,2434，，1，，，，，，，()f A 可取3,4,5,6,7；3.当A 中的元素个数为3时，集合A 可取{}{}{}{}123,134,124234，，，，，，，，，，()f A 可取6,7,8,9； 4.当A S =时,()10f A =.综上所述，}{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.T =集合T 中有10个元素.故选:B.5．A【分析】根据∅的定义判断①；根据子集的定义判断①①；根据集合相等判断①；【详解】解：①A B =∅，集合A 与集合B 没有公共元素，所以A B =∅充要条件是()()()card A B card A card B ⋃=+，故①正确；①A B ⊆集合A 中的元素都是集合B 中的元素，则()()card A card B ≤，故①正确； ①当A B ⊆时，则()()card A card B ≤，由()()card A card B ≤无法得到A 不是B 的子集，故①错误；①A B =集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同，但两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，故①错误．故选：A6．A【分析】由（4）得x P ∈，则∈kx P （k 是正整数），由（1）可设,∈x y P ，且0x >，0y <，可得0P ∈.利用反证法可得若2P ∈，则P 中没有负奇数，若P 中负数为偶数，得出矛盾即可求解.【详解】解：由（4）得x P ∈，则∈kx P （k 是正整数）．由（1）可设,∈x y P ，且0x >，0y <，则xy 、()-∈y x P ，而0()=+-∈xy y x P ．假设2P ∈，则2∈k P ．由上面及（4）得0，2，4，6，8，…均在P 中，故22-∈k P （k 是正整数），不妨令P 中负数为奇数21k -+（k 为正整数），由（4）得(22)(21)1-+-+=-∈k k P ，矛盾．故若2P ∈，则P 中没有负奇数．若P 中负数为偶数，设为2k -（k 为正整数），则由（4）及2P ∈，得2,4,6,---均在P 中，即22--∈m P （m 为非负整数），则P 中正奇数为21m +，由（4）得(22)(21)1--++=-∈m m P ，矛盾．综上，0P ∈，2∉P .故选:A ．7．(5,8]【分析】根据二次函数图象的对称性可得出不等式260x x a -+≤的解集中的整数，可得出关于实数a 的不等式组，即求.【详解】因为26y x x a =-+的大概图象如图：若关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为3x =，则2226201610a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩，解得58a <. 所以a 的取值范围是(5,8].故答案为：(5,8].8．14##0.25【分析】由2240ax x b ++≤的解集为1x x a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭可得00a ∆=⎧⎨>⎩，从而得出,a b 的关系，求22a b a b -+的最大值转化成求22a b a b+-的最小值，再结合基本不等式即可得出答案. 【详解】因为一元二次不等式2240ax x b ++≤的解集为1x x a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭ 所以0200ab a a ∆==⎧⎧⇒⎨⎨>>⎩⎩ 因为()()()2222244a b ab a b a b a b a b a b a b a b -+-++===-+---- 由0a b a b >⇒->所以()44a b a b -+≥-（当且仅当4a b a b -=-时取等号）所以22a b a b -+的最大值为14故答案为：149．6 【分析】将原式变形为162y y x x++，结合基本不等式即可求得最值. 【详解】由题得162y x x x y +=+162y y x x++，设(0)y t t x=>，则1616()22282622f t t t t t =+=++-≥=-=++. 当且仅当2t =时取等. 所以162yx x x y ++的最小值为6. 故答案为：61012- 【分析】设22,2u a v b =-=-，得到1231123()()222232a b u v a b u v u v +=+-=++---，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设22,2u a v b =-=-，则2,22u a b v -==-，可得3(,0)u v u v +=>，所以11212311232()()222232u a b v u v a b u v u v u v --+=+=+-=++---1231331(3)(31323222v u u v =++-≥+-=-=，当且仅当63v u =-=时，等号成立，取得最小值．12． 11．【分析】结合()410,0x y x y +=>>，0s t >>，利用均值不等式，依次求解2x y xy+，2st t -，22221x s ys xy st t ++-的最值，即得解【详解】由题意，2222(4)44=1x y x y x y x xy y x y xy xy xy y x+++++==++ 由0,0x y >>，40,0x y y x >>，故44x y y x +≥，当且仅当4x y y x =，即11,36x y ==时等号成立故2415x y x y xy y x+=++≥ 又2221()()24t s t st t t s t s +--=-≤= 当且仅当t s t =-，即2t s =时等号成立22222222222111455x s ys x y s s s xy st t xy st t st t s+++=+≥+≥+≥---当且仅当2245s s =，即s 故22221x s ys xy st t ++-的最小值为11,36x y ==，s t =故答案为：12．2【分析】把1a b +=平方得到2221,0,0a ab b a b ++=>>，代入结论构造基本不等式，再分析计算可求出最小值.【详解】解：由1a b +=，得2221,0,0a ab b a b ++=>>，则222312a c bc b abc ab++++222213221a a ab b c c b ab ⎛⎫++=++ ⎪+⎝⎭2214221a b c c b a ⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭221221c c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭≥+()226212221c c =++-≥=+，当且仅当4a b b a =，即2b a =，()226211c c =++，即()2213c +=时取“等号”，所以当212,,133a b c ==时， 222312a c bc b abc ab++++的最小值为2．故答案为：213．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用均值不等式可证该不等式.（2）利用均值不等式可证()22222222()a b b c c a abc a b c ++≥++，从而可证题设中的不等式.（1）法一：因为0,0a b >>，所以222211118448ab ab ab a b a b ++=+++≥=.当且仅当22114ab a b ==，即a b ==. 法二：因为0,0a b >>，所以22121a b ab ，当且仅当2211a b =，即a b =时等号成立.所以22112888ab ab a b ab ++≥+≥，当且仅当28ab ab =，即12ab =时，等号成立.综上，221188ab a b ++≥，当且仅当a b ==. （2）因为222222a b b c ab c +≥，当且仅当a c =时等号成立；222222b c c a abc +≥，当且仅当a b =时等号成立；222222c a a b a bc +≥，当且仅当b c =时等号成立，所以()22222222()a b b c c a abc a b c ++≥++，当且仅当a b c ==时等号成立. 因为0,0,0a b c >>>，所以0a b c ++>，所以222222a b b c c a abc a b c++≥++.。

人教版高中数学选择性必修第二册4.3.2-专题1 数列通项的求法

【讲评】已知 an ＋ 1 ＝ g(n)·an ，通常利用 an ＝ aan－n 1·aann－－12·…·aa21·a1，求出通项 an.
探究 2 累乘法就是利用以下变形来求通项 an 的方法，an＝ a1·aa12·aa32·…·aan－n 1.
例如，在等比数列{an}中，由于aa12＝aa32＝aa43＝…＝aan－n 1＝q，所以对 n≥2 且 n∈N*，有 an＝a1·aa21·aa32·…·aan－n1＝a1·q·q·…·q ＝a1qn－1，把 n＝1 代入上式也成立，故 an＝a1qn－1(n∈N*)．
(1)设 bn＝an＋1－2an(n∈N*)，求证：{bn}是等比数列； (2)设 cn＝2ann(n∈N*)，求证：{cn}是等差数列； (3)求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式．
【解析】 (1)证明：∵Sn＋1＝4an＋2，① ∴Sn＋2＝4an＋1＋2.② ②－①式，得 Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n∈N*)，即 an＋2＝4an＋1 －4an. an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)． ∵bn＝an＋1－2an(n∈N*)，∴bn＋1＝2bn. 由此可知，数列{bn}是公比为 2 的等比数列．由 S2＝a1＋a2＝4a1＋2，又 a1＝1，得 a2＝5. ∴b1＝a2－2a1＝3，∴bn＝3·2n－1.
专题研究一数列通项的求法
专题讲解
题型一累加法
例 1 在数列{an}中，已知 a1＝1，an＋1＝an＋2n，求 an. 【解析】 ∵a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2×(n －1)(n≥2 且 n∈N*)， ∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋(2×1)＋(2×2)＋…＋[2×(n－1)] ＝1＋2(1＋2＋…＋n－1) ＝1＋2·（n－21）·n＝n2－n＋1(n≥2 且 n∈N*)，把 n＝1 代入上式也成立，故 an＝n2－n＋1(n∈N*)．

结构动力学思考题解答

结构动力学思考题made by 云屹思考题一1、结构动力学与静力学的主要区别是什么？结构的运动方程有什么不同？主要区别为：(1)动力学考虑惯性力的影响，静力学不考虑惯性力的影响；(2)动力学中位移等量与时间有关，静力学中位移等量不随时间变化；(3)动力学的求解方法通常与荷载类型有关，静力学一般无关。

运动方程的不同：动力学的运动方程包括位移项、速度项和加速度项；静力学的平衡方程只包括位移项。

2、什么是动力自由度？什么是静力自由度？区分动力自由度和静力自由度的意义是什么？动力自由度：确定结构体系质量位置的独立参数；静力自由度：确定结构体系在空间中的几何位置的独立参数。

意义：通过适当的假设，当静力自由度数大于动力自由度数时，使用动力自由度可以减少未知量，简化计算，提高计算效率。

3、采用集中质量法、广义坐标法和有限元法都可以使无限自由度体系简化为有限自由度体4、在结构振动的过程中引起阻尼的原因有哪些？(1)材料的摩擦或材料变形引起的热耗散；(2)构件连接处或结构构件与非结构构件之间的摩擦；(3)结构外部介质的阻尼。

5、在建立结构运动方程时，如考虑重力的影响，动位移的运动方程有无改变？如果满足条件：(1)线性问题；(2)重力的影响预先被平衡；则动位移的运动方程不会改变，否则会改变。

思考题二1、刚度系数k ij和质量系数m ij的直接物理意义是什么？如何直接用m ij的物理概念建立梁单元的质量矩阵[M]？k ij：由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力；m ij：由第j自由度的单位加速度所引起的第i自由度的力。

依次令第j（j=1,2,3,4）自由度产生单位加速度，而其他的广义坐标处保持静止，使用平衡方程解出第i自由度上的力，从而得到m ij，集成得到质量矩阵[M]。

2、如何用刚度矩阵和质量矩阵，以矩阵的形式表示多自由度体系的势能和动能？{}[]{}1=2TT u M u {}[]{}1=2TV u K u3、建立多自由度体系运动方程的直接动力平衡法和拉格朗日方程法的优缺点是什么？ (1)直接动力平衡法：优点：概念直观，易于通过各个结构单元矩阵建立整体矩阵，便于计算机编程。

高中数学选择性必修第一册抛物线(习题课)

(1)求抛物线 C 的方程及其准线方程； (2)设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于 M， N 两点，直线 y＝－1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和 B.求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点．
【解析】 (1)由抛物线 C：x2＝－2py 经过点(2，－1)，得 p＝2. 所以抛物线 C 的方程为 x2＝－4y，其准线方程为 y＝1. (2)证明：抛物线 C 的焦点为 F(0，－1)．设直线 l 的方程为 y＝kx－1(k≠0)．由yx＝ 2＝k－x－4y1，，得 x2＋4kx－4＝0.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2＝－4. 直线 OM 的方程为 y＝yx11x.令 y＝－1，得点 A 的横坐标 xA＝－xy11. 同理得点 B 的横坐标 xB＝－xy22.
探究 1 由抛物线的定义，可以导出：若 P(x0，y0)是抛物线 y2＝2px(p＞0) 上的任一点，则该点到抛物线的焦点 F 的距离|PF|＝x0＋p2(焦半径长公式)．这一公式的直接运用会为我们求解有关到焦点或准线的距离的问题带来方便．
思考题 1 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与 y
设点 D(0，n)，则D→A＝－xy11，－1－n，D→B＝－xy22，－1－n， D→A·D→B＝xy11xy22＋(n＋1)2＝－x41x21x－2 x422＋(n＋1)2＝x116x2＋(n＋1)2＝－4＋(n＋ 1)2. 令D→A·D→B＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，则 n＝1 或 n＝－3. 综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点(0，1)和(0，－3)．
4．已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的准线为 l，过 M(1，0)且斜率为 3的直线与 l 相交于点 A，与 C 的一个交点为 B.若A→M＝M→B，则 p＝___2_____．

高中数学“课后思考题”的设计和思考

（）你能设计一个四个面都是直角三角形的四面体２量为ｌｇ糖的质量为ｘｇ糖水的浓度为ｙ试写出ｙｋ，ｋ，，与吗？Ｘ的函数关系式，并用函数单调性说明“ 糖加得越多糖水
就越甜 ” 一特征。这
将适量的糖完全溶解于一碗水中，如果这碗水的质
本例中，１题需要学生动手操作，操作过程中第（）在不断进行分析和调整，直至得到正确答案；而第（）２题要
这个思考题延伸拓展了要研究的内容，即三角函数
３励．性激
ｆ在全国各地近年的高考数学试卷中时有出现，因此结合
在高中数学新课程实验中，出现了许多精彩的“ 课后｝
・
６２・
朱建明：高中数学“ 课后思考题” 的设计和思考
的数值比其周长数值大３，求这个矩形的面积的取值范
征。：距离之比为２那么点Ｍ的坐标应满足什么关系？，你能说
１
２开放性．
ｌ出动点Ｍ的轨迹是什么？
数学“ 课后思考题” 的教学目标不囿于教学内容的完ｌ
求知欲望、研究兴趣、意志力培养等等。教学目标的开放ｆ
（）２根据例题１１，（）完成下面２０年江苏省高考数０８满足条件Ａ＝，Ｃ、２ＡＢ２Ａ＝／Ｂ的＆ＡＣ的面积的最Ｂ
用的多样化和个性化。开放性是“ 课后思考题” 的内容特ｔ波罗尼斯圆” 阿波罗尼斯轨迹” 由于“ 和“ ，阿波罗尼斯圆”
征。
ｌ高考数学试题可以有效激发学生的探究兴趣。数学“ 后思考题” 课具有一定的数学思维价值，它不ｌ例２三角函数的诱导公式（１．《第课时）（》必修４的）是简单的知识、技能的考查，而是把学生引向新的目，标：课后思考题：鼓励学生开展尝试和探究活动，有时它是一个小型研究Ｊ（）１在三角函数的诱导公式中，能由公式二、、你三四

(必考题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(包含答案解析)(1)

一、选择题1．类比推理是一种重要的推理方法.已知1l ，2l ，3l 是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于1l ，2l ，3l 正确的结论类比到空间中仍然正确的是（）①若13//l l ，23//l l ，则12l l //；②若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //；③若1l 与2l 相交，则3l 必与其中一条相交；④若12l l //，则3l 与1l ，2l 相交所成的同位角相等 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④2．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x =确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（）A ．122 B．12- C1 D．13．将正奇数数列1，3，5，7，9，⋅⋅⋅依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，⋅⋅⋅，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中（） A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组4．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 5．下面几种推理中是演绎推理的为（）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 6．下面几种推理中是演绎推理的为（）A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人B ．猜想数列111,,122334⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质7．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（） A ．乙做对了B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了8．在某次诗词大会决赛前，甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军，,,A B C 三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：A 猜测冠军是乙或丁；B 猜测冠军一定不是丙和丁；C 猜测冠军是甲或乙。

高中数学原创新题思考题(含答案)

高中数学原创新题思考题（新高三）1.若向量x 、y 满足|x|=|y|=1，xy=21，向量z 满足|z-8x|+|z-5y|=7，则x ·z+y ·z 的最大值为.2.在平面直角坐标系xoy 中，设圆A ：x 2+y 2+10x-6y+30=0，斜率为-3的直线l 1上有一点M ，直线l 2过点M 且与圆A 恒有公共点.⑴若l 1⊥l 2，点M 与点A 重合，求l 2的方程；⑵若l 2的斜率存在时可为任意实数，求点M 横坐标的取值范围；⑶设l 2与圆A 的一个公共点为T ，若|MT|2+|MA|2≤20，求l 1纵截距的取值范围.3.已知函数f(x)=a x -ax 2，a ∈R 且a>1.⑴若f(x)在区间(0，+∞)上有且仅有一个零点，求a ；⑵设f(x)的两个极值点为x 1、x 2(极值点是函数取极值时对应自变量的值)，证明：f(2x x 21 )<e-aln a 21.|x|=|y|=1，xy=21，设x 、y 的夹角为A ，则cosA=21根据向量的几何意义作图：在△ABC 中，由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·ACcosA=64+25-40=49所以BC=7据|z-8x|+|z-5y|=7可作出z 向量，即z 的尾端恰在线段BC 上所以xz+yz=z(x+y)，即z 与定向量x+y 的数量积z(x+y)=|x+y|·|k|，k 表示|z|在|x+y|上的投影据图形运动，xz+yz 的最大值在z 运动到C 时取得所以有xz+yz ≤8×1+8×1×21=12故xz+yz 的最大值为12.2.⑴圆A ：x 2+y 2+10x-6y+30=0即(x+5)2+(y-3)2=4点M 与点A 重合，即M(-5，3)l 1⊥l 2，l 1的斜率为-3，则l 2的斜率为31-所以l 2的方程为y-3=31-(x+5)，即x+3y-4=0(或y=31-x+34)⑵因为l 2的斜率存在时可为任意实数，l 2过点M 且与圆A 恒有公共点，据平面知识考察以下两种情况：当点M 在圆A 外时，过M 总存在直线与圆A 无公共点即此时l 2的斜率不为任意实数x A BC y 85x A BCy 85z当点M 在圆A 上或圆A 内时，明显l 2始终与圆A 有公共点即此时l 2的斜率为任意实数所以点M 在圆A 上或圆A 内所以点M 的横坐标∈[-5-2，-5+2]，即取值范围为[-7，-3]⑶已知|MT|2+|MA|2≤20解法一：连结AT 并取AT 中点为K ，有|AT|=2|MK|2=|)MA +MT (21|=)MT MA 2|MA |+|MT (|4122⋅+在△MAT 中由余弦定理得2|MT|·|MA|cos ∠AMT=|MT|2+|MA|2-4所以|MK|2=-4)|MA |+2|MT |(24122≤4)-20(241⨯=9，即|MK|≤3据圆的定义，点M 始终在以K 为圆心，3为半径的圆内或圆上；解法二：设M(x ，y)，T(m ，n)所以|MT|2+|MA|2≤20即(x-m)2+(y-n)2+(x+5)2+(y-3)2≤20整理得得x 2+y 2+(5-m)x-(n+3)y+21(m 2+n 2)+7≤0即(x-2m 5-+)2+(y-2n 3+)2≤9，而AT 中点K 的坐标恰为(2m 5-+，2n 3+)所以点M 始终在以K 为圆心，3为半径的圆内或圆上；由T 在圆A 上运动，|AK|=1得点M 也始终在以A 为圆心，4为半径的圆内或圆上且可知M 可为该圆内或圆上的所有点设l 1纵截距为b ，则其方程为3x+y-b=0l 1与以A 为圆心，4为半径的圆有公共点即满足条件得l 1到圆心的距离=2213|b -31--5)(3|+⨯⨯≤4，解得-410-18≤b ≤410-18所以l 1纵截距的取值范围为[-410-18，410-18].3.⑴f(x)在区间(0，+∞)上有且仅有一个零点解法一：转化为方程a x =ax 2仅有一解由a>1，x>0，在a x =ax 2两边取自然对数，得xlna=lna+2lnx 令g(x)=xlna-2lnx-lna ，即g(x)有且仅有一个零点g '(x)=x 2-xlna ，令g '(x)<0、g '(x)>0解出单调区间得g(x)在(0，lna 2)减，(lna 2，+∞)增所以g(lna 2)=0，而g(1)=0，得lna 2=1，a=e 2下证g(lna 2)<0时，g(x)有两个零点先考察函数h(a)=a ln a 2，h '(a)=aln 2-lna 3令h '(a)<0，h '(a)>0解出单调区间，得h(a)在(1，e 2)减，(e 2，+∞)增所以h(a)≥h(e 2)=4e 2，据此可知有2a >lna ①lna 2<1时，只要证g(x)在(0，lna 2)有一个零点因为2a>2a >lna ，即a 1<lna2又g(a 1)=lna a lna >0，故g(x)在(a 1，lna 2)必有一个零点②lna 2>1时，只要证g(x)在(lna 2，+∞)有一个零点x>1时，2x >lnx ，即g(x)>xlna-4x -lna得g((lna 4+1)2)>(lna 4+1)2lna-4(lna4+1)-lna>0故g(x)在(lna 2，(lna 4+1)2)必有一个零点综上a=e 2解法二：考察原函数，f '(x)=a x lna-2ax=F(x)，F '(x)=a x ln 2a-2a 由解法一中a ln a 2≥4e 2，得a ln 2a 2>1，因此令F '(x)<0、F '(x)>0可得F(x)在(0，log a (a ln 2a 2))减，(log a (a ln 2a 2)，+∞)增同理得F(21)=a (lna-a )<0，又F(0)=lna>0所以F(x)在(0，21)上有一个零点，记为x 1又存在x>log a (a ln 2a 2)，F(x)>0所以F(x)在(log a (a ln 2a 2)，+∞)上有一个零点，记为x 2可得f(x)在(0，x 1)增，(x 1，x 2)减，(x 2，+∞)增由f(1)=0，有以下讨论F(1)>0时，存在x<1，f(x)<0，又f(0)=1>0得f(x)在(0，1)有零点，舍去F(1)<0时，存在x>1，f(x)<0，又存在x>x 2，f(x)>0得f(x)在(1，+∞)有零点，舍去所以F(1)=0，即alna-2a=0，a=e 2补证存在x>log a (a ln 2a 2)，F(x)>0；存在x>x 2，f(x)>0只要证对于任意的x 2>a ln 6a 4，x>a ln 3a 3，F(x)>0，f(x)>0考察函数H(x)=3x x a ，H '(x)=4x x 3-xlna a ）（得H(x)≥H(lna 3)>3a ln 3，故a x >3a ln 3x 3所以F(x)>3a ln 4x 3-2ax ，f(x)>3a ln 3x 3-ax 2由此可知得证综上a=e 2(解法二对下一问有帮助作用，但须较强能力)⑵注意到lna 1a =e ，所以f(2x x 21+)<e-a ln a 2即f(2x x 21+)<lna 1a -a 2)lna 1(故证f(2x x 21+)<e-a ln a 2，即证f(2x x 21+)<f(lna 1)f '(lna 1)=elna-2lna a =lna(a ln a -2e 2)<lna(2)2e (-2e )<0所以x=lna 1在f(x)的减区间上又由⑴解法二可知，x=2x x 21+也在f(x)的减区间上所以证明2x x 21+>lna 1即可x 1、x 2满足a x 1lna-2ax 1=0，a x 2lna-2ax 2=0将这两个式子相除，得21x -x 21a x x =，两边取自然对数，得ln 21x x =(x 1-x 2)lna 不妨设x 1<x 2，故证2x x 21+>lna 1即证ln 21x x <2121x x x -x 2+设t=21x x ，证lnt-1t )1-2(t +<0，其中t<1即可设G(t)=lnt-1t )1-2(t +，G '(t)=221)t(t 1)-(t +>0，所以G(t)在(0，1)单调增所以G(t)<G(1)=0，得证因此证明得f(2x x 21+)<e-aln a 2。

高中数学易错题举例解析

a
b
错解 (a+
1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 ) +(b+ ) =a +b + 2 + 2 +4≥2ab+ +4≥4 ab +4=8, a b ab a b ab
∴(a+
1 2 1 2 ) +(b+ ) 的最小值是 8. a b
2 2
分析上面的解答中，两次用到了基本不等式 a +b ≥2ab，第一次等号成立的条件是 a=b=
2 ]+4 ab
= (1－2ab)(1+ 由 ab≤(
ab 2 1 1 1 1 1 )= 得：1－2ab≥1－ = , 且 2 2 ≥16，1+ 2 2 ≥17， 2 4 2 2 a b a b 1 25 1 ∴原式≥ ×17+4= (当且仅当 a=b= 时，等号成立)， 2 2 2 1 2 1 2 25 ∴(a + ) + (b + ) 的最小值是。 2 a b
1 2 a [2 f (2) f (1)], b [2 f (1) f (2)], 3 3 b 16 5 f (3) 3a f (2) f (1). 把 f (1) 和 f (2) 的范围代入得 3 9 9 16 37 f (3) . 3 3
在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。
a1 (1 q 3 ) a1 (1 q 6 ) a1 (1 q 9 ) 错误解法 S3 S 6 2S9 , ， 2 1 q 1 q 1 q
整理得
q 3 (2q 6 q 3 1 ）＝ 0.

高中数学教师面试-问答真题与答案

高中数学第一套一、结构化1.李老师提问学生问题，学生无法回答，其他学生哄笑这个学生为傻子，你怎么办？【答题思路】本题考察的是应急应变类题目，可以参照分析情况、确定任务、解决问题、总结提高四步答题。

【参考答案】课堂上学生回答不出问题也是正常现象，但对于出现其他学生哄笑这个学生为傻子，我们就要加以重视了，对于此类情况，我会做如下处理：首先，我会先让班里的同学安静下来，运用启发性教学原则，启发该生思考，引导他得出问题的答案。

若该生在我的启发下仍没有得出问题的答案，我会让他先坐下，并对他说“你是不是还没有想好该怎么说，我们来看看其他同学是怎么想的，好不好”，从而保护学生的自尊心和积极性，并对该生积极表现的精神给予鼓励。

其次，课后，我会单独找他了解原因，如果是因为知道答案但不知道怎么表达，我会帮助他锻炼语言表达能力；如果是看别人举手他也举手，或者举手是为了得到老师的关注，那么我会告诉他老师提问只是为了检查学生听明白了没有，不举手不代表学生没有学好。

为了保护学生的自尊心，我会和他约定，会的问题举右手，不会的问题举左手，这样老师就知道他有没有听懂。

既保护了学生的自尊心，又有效地解决了问题，同时还能够及时检查自己的授课效果。

再次，我会找到在课堂上哄笑的学生了解情况，询问他们为什么说出这样的话，如果是回答不出问题的学生平时与他们的相处不太融洽，那么在以后的日常教学工作中，我会加以注意，可以通过成立学习、生活小组的方式，促进学生彼此之间的了解。

后期我会组织一次以“尊重他人”为主题的班会，促进班级内的人际关系和谐以及学生的全面进步。

我相信，通过这些做法，我的班级当中不会再出现不尊重学生的情况，同时，学生上课回答不出问题的情况也会逐渐减少，保证学生的学习效果。

2.你最尊重的教育家是谁？【答题思路】本题考察的是自我认知类题目，主要考查考生对于岗位以及自身的认知，可以结合自身情况展开论述。

【参考答案】生活中，存在着很多的榜样值得我们去学习，在他们身上有独特的品质值得我们去继承。

高中数学精品试题：斐波那契数列

2.6斐波那契数列一、“兔子数列”假定一对刚出生的兔子一个月后长成大兔子，再过一个月开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子，设所生每对兔子都为一雄一雌，且无死亡，那么一对刚出生的小兔子一年以后可以繁殖成多少对兔子？我们先对这个问题一起研究一下：用◎表示一对大兔，用○表示一对小兔，逐月统计兔子的对数：第1月底 ○ 第2月底 ◎ 第3月底 ◎ ○第4月底 ◎ ○ ◎第5月底 ◎ ○ ◎ ◎ ○第6月底 ◎ ○ ◎ ◎ ○ ◎ ○ ◎图1-1我们将上图抽象成式子：记第n 月底的兔子对数为n F ，则：1F =1，2F =1，3F =2，4F =3，5F =5，6F =8，…问：你能找出这个数列有怎样的规律吗？从第三项起，每一项都是它前两项的和，即2n F + = 1n F + + n F )(*∈N n那么这样我们就可以得到年底共有144对兔子。

二、文化背景上述“兔子数列”最初就是由著名的意大利数学家斐波那契（Leonardoda Fibonacci ）Leonardoda Fibonacci 于1202年在《算经》一书中提出来的，因此我们称它为“斐波那契数列”。

而这个数列，其实也蕴涵在我们非常熟悉的“杨辉三角”中：将“杨辉三角”中，每一条平行斜线上各数之和列在右侧，自上而下的一列数即为1,1,2,3,5,8,13，……，正好是“斐波那契数列”。

图2-1三、斐波那契数列的特征及性质（一）斐波那契数列的通项公式探究：已知数列{}n F ，)3(,1,12121≥+===--n F F F F F n n n ，求数列{}n F 的通项公式.设)(211211----=-n n n n F F F F λλλ221121---+=n n n F F F λλλλ）（则⎩⎨⎧-=+=+∴112121λλλλ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=∴2512512512512121λλλλ或 {}11n n F F λ+∴-是首项为121-λλ=，公比为2λ的等比数列.n n n F F 211λλ=-∴+ 联立方程，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-+=--∴++n n n n n n F F F F ）（）（25125125125111, 消去1+n F ,得].251)251[(51n n n F ）（--+= 我们发现，这样一个完全由自然数组成的数列，它的通项公式竟然是用无理数来表示的。

高一数学思考题分析解答

高一数学思考题分析解答2023年，数学学科一直是高中学生备考重点之一。

然而，数学学科并非只是题海战术的练习，而是需要培养学生的思维能力、逻辑思维和分析能力。

因此，在教学中，高一数学思考题的讲解及分析解答显得尤为重要。

高一数学思考题，是指解答过程较为复杂、需要一定的思考和分析能力的数学问题。

这类思考题不仅要求学生掌握基本的数学知识和解题方法，还需要他们理解问题的本质、寻找问题的关键点以及运用数学工具来解决问题。

下面，我们就针对某一高一数学思考题进行分析和解答。

题目如下：已知一组数列 {an} 满足 an = （n^2+2n+2）/(n+1)，n≥1，试证明：在{an}中不存在单调递减的序列。

首先，我们需要理解题目的意思。

问题就是要证明这个数列不存在单调递减的序列。

在证明之前，我们可以先尝试理解一下数列 an 的性质。

将数列 a1、a2、a3、...代入公式，可以得到：a1=2, a2=4/3, a3=10/4, a4=20/5, a5=34/6, a6=52/7, a7=74/8, a8=100/9，......等等。

显然，当n增大时，得到的数列依次增大。

如果我们继续计算，就会发现一个有趣的现象——随着n的不断增大，an的值相较于上一项的增长速度逐渐减慢。

换句话说，在n值足够大的情况下，该数列的增量将会越来越小，表现为“微弱趋势上升”。

有了这个前置知识，我们现在可以进入证明了。

假设存在单调递减的序列，为了证明该序列的存在性，我们就需要用反证法证明它们不存在。

假设存在单调递减的序列 a(k), a(k+1), a(k+2),...，其中k≥1。

由于数列 {an} 随着 n 的增加而不断增大，因此必然有一个数a(k) 是 {an} 中的最大值。

根据假设，a(k+1) < a(k)，那么由数列的定义可知：a(k+1) = (k^2+4k+5)/(k+2)a(k) = (k^2+2k+2)/(k+1)我们可以对上式进行简化，得到：(k^2+4k+5)/(k+2) < (k^2+2k+2)/(k+1)化简后得到：(k^2+2k+3)/(k+2)(k+1) < 0由于分母始终都是正数，因此悬而未决的是分子的正负性。

高中数学教学难点思考

高中数学教学难点思考【摘要】本文对高中数学教学存在的四个主要难点问题进行论述，并有针对性地进行思考.【关键词】高中数学；难点；思考引言针对当前的高中数学教学存在的四个难点问题——一是教学情境的设计，二是教学要求的把握，三是探究活动的组织，四是教学方法的创新，本人谈一些想法.1.教学情境的设计问题1对创设教学情境的必要性缺乏认识情境设计是课堂教学设计的重要环节，但对“为何要创设情境”这一问题，部分教师未作深层次的思考.新教学理念倡导自主、合作、探究等学习方式，而要将这些学习方式落实到课堂上，体现在教学中，有一个基本的前提条件，那就是要把按照学科逻辑程序呈现的知识转化为学生待探究的问题或问题情境.没有问题或问题情境做前提，自主学习、合作学习、探究学习等也就无从谈起了.从培养创新精神的角度讲，任何创新都来源于问题的解决，如果没有问题解决的活动，创新就失去了依托.问题2把“创设情境”与“导入新课”混为一谈“情境”追求的是引发学生自然合理的思考，而“导入”追求的是教学的现实背景.教学中的“导入”相当于说书人的“开场白”，目的仅在于把听众（学生）的兴趣吸引过来，因此”导入”往往是为教师的讲解铺垫一下，教学用时不多；而创设情境则不同，情境是教师为学生创设的，一般要学生自己去经历、体会、理解，要有让学生思考的时间和空间.导入用于上课之初，情境不一定创设于上课之初，而是可以出现在课堂教学过程中的任何一个环节.两者的区别是明显的.2.教学要求的把握问题3对新课标的变化缺乏了解课标下的数学教材与大纲下的数学教材相比，降低了什么、加强了什么、删减了什么、增加了什么、处理或调整了什么等问题，作为一名合格的高中数学教师，应该对此了如指掌.3.探究活动与合作学习的组织问题4对探究活动与合作学习的认识不到位新课程的一条重要理念是：学生的数学学习方式不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还必须倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，力求发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.为此，新课标建议在教师指导下，可以采用让学生去收集资料、调查研究、探究学习的方式；可以在上课之前由教师提供一些配合教材的阅读材料和思考题，在课堂上采用教师讲解和小组讨论、全班交流相结合，课后采用写读书报告、撰写论文等的学习方式；还可以采用在教师引导下自主探究与合作交流相结合的学习方式等.问题5教师讲得太多，学生没时间探索讲授是教师传授知识与思维方法的主要载体，但也要给学生留出思考回味的时间.《道德经》里有这样一句话：“少则得，多则惑.”然而实际上我们却常常违背这样的教学指导思想.我们的课堂，基本上是“教”的.其实，像“学生通过看书基本上能懂的”“不是大多数学生能接受的”“只有短期效果的”和“目前较为复杂日后显而易见的”等内容是可以不教或少教的.4.教学方法的创新问题6教学设计的理念不新不少教师的教学设计理念仍是传统的，认为教学设计就是例题和练习的设计，习惯于通过例题教学达到传授知识和巩固知识的目的.笔者认为，教学设计应该是为学习设计教学.例如在引入概念时，应设法使学生了解引入概念的必要性，使学生的学习具有明确的目的性，从而达到调动学生学习的主动性、积极性，使学生具有强烈的求知欲望，迫不及待地参与建立概念的活动，同时使学生从感性上体验到抽象数学概念的本质属性和适用范围.概括定义时，应力求使学生看出抽象定义与现实存在的具体事实和现象之间的联系，为此设计时应着重使学生明白为什么要概括出抽象的定义；不把现有的定义告诉学生，而让学生探索应怎样定义才恰当.解剖定义时，要使学生看到抽象的数学术语和符号与现实存在的具体事物和概念之间的联系，不但要了解定义的结构，还应举些反例，让学生从反面来加深对概念的内涵与外延的理解，从而来巩固这个概念.问题7对课件的认识与使用存在误区上课使用课件的目的是改善和优化教学，从而提高学生的认知水平和实践动手能力.但若盲目使用，不但没有好处，还可能弄巧成拙.事实上，课件的快速计算、快速成像容易阻碍学生对数学的深入理解；课件的信息量特大，频繁使用会使学生感到应接不暇，剥夺了学生思考的时间；教师利用课前设计好的课件上课，难以对学生在课堂上的反应作出调整，师生之间的互动交流受到影响.在当前课堂教学中，存在着“流于形式，用课件代替板书”以及“过于重视技术形式的外在表现，导致画蛇添足、喧宾夺主”等现象.正如有了车不废腿一样，有了现代化的教学设备，并不能废除传统的教学手段，而且要发扬它的优势，用现代教学手段去补充它的不足.比如板书的功夫不能废，因为多媒体教学虽然有一些优势，但对于一些课程中的重点和难点，利用多媒体讲解，速度太快，学生接受起来很困难，而用板书慢慢在黑板上展示，给学生留下的印象会更深刻.现在的问题不是教师不会做课件，而是不少教师不会板书了.事实上，板书是数学教师传授知识与思维方法的重要载体.因此，追求板书达到“冗繁削尽留清瘦”的境界，仍是优秀数学教师应该努力的一个方向.当然，对于那些诸如呈现图形状态等方面板书就没有优势了.。

《高中数学解题》(精美word版)

三、数学思维的严密性
考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。
四、数学思维的开拓性
对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。
什么”转变，从而培养他们的思维能力。
《思维与思想》的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了全面验证。
一、高中数学解题思维策略
第一讲数学思维的变通性
例1已知都是实数，求证
思路分析从题目的外表形式观察到，要证的
结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而
左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，
可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。
证明不妨设如图1－2－1所示，
则
在中，由三角形三边之间的关系知：
当且仅当O在AB上时，等号成立。
例如，已知 , ,
求证、、三数中必有两个互为相反数。
恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：
思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。
一、概念
数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：
（1）善于观察
心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。

高中数学排列与组合练习 (3)

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高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
4．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是________．(用数字作答)
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高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
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高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
②分步进行，首先将甲、乙两人排好，有A22种排法，再从余下的5人中选3人排在甲、乙二人中间，有A53种排法，这时把已排好的5人视为一个整体，与最后剩下的2人再排，即看作3个元素的全排列，又有A33种排法，这样，由分步计数原理总共有 A22A53A33＝720种不同排法．
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高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
【解析】 (1)在7个位置上任意排列7名学生，有排法A77 种，由于女生的顺序一定，而在A77中每一种情况均以A33计算， A77 故三名女生顺序一定的排法有A 3＝840种． 3 (2)五人并排站成一排有A55种排法，A，B排列有A22种排 A55 法，故B必须站在A的右边的排法有A 2＝60种． 2 【答案】 (1)840 (2)60
【解析】 (1)4个空位连在一起，看成1个元素，与3辆不同型号的车进行全排列有A44＝24种不同放车方法． (2)①3名女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有A33 种排法，由于3名女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体再与男同学一起排队，这时是5个元素的全排列，应有 A55种排列，由分步计数原理可得，有A33A55＝720种不同排法．
思路
本题以工程问题为背景，是带有多个限制条件的排
列组合混合问题，对题目中的3个条件可以采用直接法与插空法．解析依题意可分两类，(1)剩余的两个工程不相邻，只需

高中数学选择性必修第一册抛物线的简单几何性质(第2课时)

1．涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦所在的直线的斜率问题，注意韦达定理的应用．过焦点的弦的问题，注意抛物线的定义的应用．
2．直线和抛物线的相交问题，一般常用“设而不求”的解题思想．
课后巩固
1．直线 2x－y－4＝0 与抛物线 y2＝6x 交于 A，B 两点，则线段 AB 的长度为
(B )
A．8
故所求动点 P 的轨迹方程为 y2＝4x(x≥0)或 y＝0(x＜0)．
(2)若动圆 M 与圆 C：(x－2)2＋y2＝1 外切，又与直线 x＋1＝0 相切，求动圆圆心的轨迹方程．
【解析】设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R，由已知可得定圆圆心为 C(2， 0)，半径 r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1. 又动圆 M 与已知直的距离 d＝R. 所以|MC|＝d＋1. 即动点 M 到定点 C(2，0)的距离等于它到定直线 x＋2＝0 的距离．由抛物线的定义可知，点 M 的轨迹是以 C 为焦点，x＝－2 为准线的抛物线，且p2＝2，p＝4，故动圆圆心 M 的轨迹方程为 y2＝8x.
285 B. 2
C.
305 2
D.
335 2
2．已知 AB 是过抛物线 y＝2x2 的焦点的弦，若|AB|＝4，则 AB 的中点的纵坐
标是( D )
A．1
B．2
5
15
C.8
D. 8
3．(2018·北京)已知直线 l 过点(1，0)且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 y2＝4ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为__(_1_，_0_)__．
当二次项系数 A≠0 时，Δ＝B2－4AC.
若 Δ＜0，则直线与抛物线没有公共点；若 Δ＝0，则直线与抛物线有且只有一个公共点；若 Δ＞0，则直线与抛物线有两个不同的公共点．

高中数学选择性必修第一册专题研究四圆锥曲线中的定点、定值问题

思考题 1 已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点 A(1，2)是
抛物线 C 上一点． (1)求 C 的方程； (2)若点 B(1，－2)在 C 上，过点 B 作 C 的两弦 BP 与 BQ，若 kBP·kBQ＝－2，
求证：直线 PQ 过定点．
【解析】 (1)由题得 C 的方程为 y2＝4x 或 x2＝12y. (2)证明：∵点 B(1，－2)在 C 上，∴曲线 C 的方程为 y2＝4x. 设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线 PQ：x＝my＋b(b≥0)，与方程 y2＝4x 联立，消去 x 得 y2－4my－4b＝0，易知 Δ>0，∴y1＋y2＝4m，y1·y2＝－4b. ∵kBP·kBQ＝－2，∴yx11＋－21·yx22＋－21＝－2，∴y1－4 2·y2－4 2＝－2，即 y1y2－2(y1 ＋y2)＋12＝0.∴－4b－8m＋12＝0，即 b＝3－2m. 直线 PQ：x＝my＋b＝my＋3－2m，即 x－3＝m(y－2)． ∴直线 PQ 过定点(3，2)．
直线 PB 的方程为 y＝3t (x－3)，所以 y2＝3t (x2－3)．可得 3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)．由于x922＋y22＝1，故 y22＝－（x2＋3）9（x2－3），可得 27y1y2＝－(x1＋3)(x2 ＋3)，即(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0.① 将 x＝my＋n 代入x92＋y2＝1 得 (m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0，所以 y1＋y2＝－m22m＋n9，y1y2＝mn22－＋99.
【解析】 (1)由题意得 a＝2，b＝1，所以椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1. 又 c＝ a2－b2＝ 3，
所以椭圆 C 的离心率 e＝ac＝ 23. (2)证明：设 P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，则 x02＋4y02＝4. 又 A(2，0)，B(0，1)，所以直线 PA 的方程为 y＝x0y－0 2(x－2)．令 x＝0，得 yM＝－x02－y02，