高中数学思考题(较难)

如图，甲乙两个正方形的中心O1，O2和点P在直线MN上，

O2运动，直至与O2重合为止，与此同时，正方形甲随

的速度为1cm/s，O2P=11cm，正方形甲的边长为

O1的运动时间t(s)有如下关系：a=1+t

2、证明：(a-b)/(a+b)+(b-c)/(b+c)+(c-a)/(c+a)+(a-b)(b-c)(c-a)/[(a+b)(b+c)(c+a)]=0。

3、方程x^2+y^2=2009的正整数解为?

4、若a、b为方程x^2+x-1/2007=0的两根，且a=zb，则z^2+2009z=_______。

5、王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好触到路灯AC的底部。当他向前步行12米到达点Q时，发现身前他影子的顶部刚好触到路灯BD的底部。已知他的身高是1.6米，两个路灯的高度都是9.6米。

(1)，求两个路灯之间的距离？

(2)当他走到路灯BD时，他在路灯AC下的影子长是多少？

6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm。当P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，动点Q从C出发，沿CA方向2cm/s的速度移动，若P，Q同时分别从B，C出发，经过多长时间△CPQ与△CBA相似？

7、△ABC中，∠A=3∠B，AB=c，BC=a，AC=b

求证：c×c=(a－b)(a－b)(a＋b)÷b

8、在Rt△ABC中，∠C=90，AC=20cm，BC=15cm。现有动点P从点A出发，沿AC 向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动。设运动的时间为t秒，求：

（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；

（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？

（3）当t为多少秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC……

9、某旅游风景区为方便学生集体旅游，特制学生暑假旅游专用卡，每卡60元。使用规定：不记名，每卡每次一人，每天只限一次，可连续使用一周，胜利学校现有1500名学生，准备趁暑假分若干批去此风景区旅游(来回只需一天)。除需购买若干张旅游卡外，每次都乘坐5辆客车(每辆客车最大客容量为55人)，每辆客车每天费用为500元。若使全体同学都到风景区旅游一次，按上述方案，问每位同学最少要交多少钱若此事让你去办，各项费用不变，只改变买卡及车辆数目，是否还有更为经济的办法?

10、在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形。已知侧面SDC垂直于底面ABCD，且侧面SCD为以角CSD为直角的等腰三角形，N是线段DC中点。求点B到平面SAC的距离。

11、如图，平面直角坐标系中，直线BD分别交x轴、y轴于B、D两点，A、C是过D点的直线上两点，连接OA、OC、BD，∠CBO=∠COB，且OD平分∠AOC。

(1）请判断AO与CB的位置关系，并予以证明；

(2)沿OA、AC、BC放置三面镜子，从O点出发的一条光线沿x轴负方向射出，经AC、CB、OA反射后，恰好由O点沿y轴负方向射出，若AC⊥BD，求∠ODB。

(3)在(2)的条件下，沿垂直于DB的方向放置一面镜子L，从射线OA上任意一点P放

出的光线经B点反射，反射光线与射线OC交于Q点，OQ交BP于M点，给出两个结论：

①∠OMB的度数不变；

②∠OPB+∠OQB的度数不变。

可以证明，其中有且只有一个是正确的，请你坐出正确的判断并求值。

12、如图，欲想一块四边形的耕地中间有一条折路MPN改直，但不影响道路两边的耕地面积，应如何画线

13、直线√2*ax+by=1与圆x^2+y^2=1相交于A、B两点（其中a、b是实数），且△AOB 是直角△（O是坐标原点），则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为（_____）。

A、√2+1

B、2

C、√2

D、√2-1

14、有一个小卖部6天内卖出奶茶和杯数的对照表

气温261813104-1

杯数202434385064

求-5°的时候能卖出多少杯？

15、在△ABC中，∠A=π/6，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），若|向量AB|^2=|向量AD|^2+向量BD*向量DC，则∠B=(____)。

16、已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足向量OP=向量OA+λ（向量AB/(|向量AB|*sinB)+向量AC/(|向量AC|*sinC)），λ∈[0,+∞），则点P 的轨迹一定通过△ABC的（____）

A、外心

B、内心

C、重心

D、垂心

17、f(x)=sin^4(x)+cos^2(x)+1/4*sin2x cos2x(x∈R），则f(x)（____）

A、最大值为2

B、最小正周期为π

C、一条对称轴为x=4/π

D、一个对称中心为（-π/16,7/8）

18、在△ABC中，证明：sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)。

19、已知向量a=(cosθ，sin(π/18—θ))，向量b=(cos(π/18)，cos(5π/18))，若向量a⊥b垂直，求tanθ。

20、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α，则cosα=____。（2006年高考，辽宁理科16题）

21、已知，f(x)是定义在R上的（严格）单调函数，且存在x0，满足条件：

对任意x1,x2，f(x0*x1+x0*x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立。

（1）求x0的值；

（2）若f(x0)=1，求数列{a_n=1+f(1/2^n)}的通项公式。

22、在△ABC中，AB=15,BC=14，CA=13，求BC边上的高AD。

23、证明夹在相邻两个平方数之间的正整数的平方根是无理数。

24、某企业年生产10万件产品,每件200元,由于该产品生产过程中能造成轻微的污染，所以每产销100元国家要征收x元的排污费，这样产品的产销量将较少2x万元。要是每年对该产品征收费用达到24万元，并使该产品的年产销量控制在5万件以内，x应确定为多少元？

25、直线y=-y=-x/√3+1与x轴、y轴分别交于点A、B两点，且AB=2。以线段AB为一边，在第一象限内作等边三角系ABC。如果在第一象限内有一点P(m,1/2)，使得S△ABP=S△ABC，求m的值。

26、设抛物线y=ax²+bx+c经过A(-1,2)、B(2,-1)两点，且与y轴相交于点M。

(1)求b和c（用含a的代数式表示）。

(2)求抛物线y=ax²-bx+c-1上横坐标与纵坐标相等的点的坐标。

(3)在(2)求出的点中，有一个点也在抛物线y=ax²+bx+c上，试着判断直线AM和x轴的位置关系，并说明理由。