2014届湖南师大附中高三第二次月考数学试卷及详细答案

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湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考(一)数学试题及答案

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣D. {12}x x <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1ab ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（） A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人 B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（） A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（） A. ()0,1B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x=+，则（）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑ （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣ D. {12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集．【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣，故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（） A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a == 故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=，故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤ ()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（） A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⋅+⋅=⋅ =⋅ ，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈， 2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点，则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =，因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+，即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（） A. ()0,1 B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．�当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；�当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =，因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ，由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =，所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．��BD ．10. 已知函数()5π24f x x=+，则（）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得： 3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确；对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ， ()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4， 5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=，即()()21f x g x +−=①，用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②，由①+②得()()222f x f x ++−=，所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−，所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果．【详解】在6(31)x y +−的展开式中，由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞ 【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论. 【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>. 构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ，所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞. 故答案为：()()1,01,−∪+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ ∠=∈ ，由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=；当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD = 【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =−，所以2π3C =．【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =，又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅，即4816CD =，所以3CD =． 16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ , 【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围．【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =，当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =．【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−．函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′ �若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． �若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．�若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤−，解得1k ≤−．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ，所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ，所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥．【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<，所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点. 【小问1详解】由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b = 所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥，所以当232ι=时，线段PQ . 【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=. 直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=. 由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=. 所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解， 22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−− 代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=， 220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t + （2）433774n n P =+⋅−（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程；（2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新， 12345678959t ++++++++=新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=，所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×，所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−，所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列，故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−. 【小问3详解】解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =；当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =，综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数，当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=，所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。

2014湖南师大附中高考模拟卷数学文试题和答案.

湖南师大附中2014届高三高考模拟卷（一）数学（文）试题命题：朱海棠舒玻洪利民审题：高三文科数学备课组（考试范围：高中文科数学全部内容）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z=1a ii+-（a ∈R, i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则a=（） A ． -1B ．0C ． 1D ．22．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3}，B={3，4}，设集合M={a ，b}，若(U M A B ⊆U ð，则a+b 的最大值为（）A ．6B ．7C ．8D ．93．已知直线l 1：2(1)(3)750m x m y m ++-+-=和l 2：(3)250m x y -+-=，若l 1⊥l 2，则（） A ．m= -2 B ．m=3 C ．m=-1或3 D ．m=3或-24．已知某几何的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．83 B ．8C D ．5．设命题p ：∃x 0>0，使20x +2x 0+a=0（a 为实常数），则p ⌝为假命题的一个充分不必要条件是（） A ．a <0 B ．a ≤-1 C ．a<l D ．a>-2 6．为了解高中生用电脑输入汉字的水平，随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试，右图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分钟输入汉字个数的范围是[50,150]，样本数据分组为[50, 70），[70,90) ,[90,110)，[110 ,130)，[130,150]．已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36，则样本中每分钟输入汉字个数不小于70个且小于130个的人数是 A ．60 B ．66 C ．90 D ．135 7．已知函数f （x ）=Asin （x ωϕ+）（A>0，ω>0，2πϕ≤）在一个周期内的图象如图所示，则()6f π的值为A ．2B CD ．18．已知函数f （x ）=2x，设g （x ）=(),()22,()2f x y x f x ≥⎧⎨<⎩，则函数g （x ）的单调递减区间是（）A ．[0,+∞）B ．[1,+∞）C ．（-∞，0]D ．（-∞，-1]9．设点P 是椭圆222516x y +=1上的动点，F 1为椭圆的左焦点，M （6，4）为定点，则|PM|+|PF 1|的最大值是（） A ．15B ．C ．10D ．10．设A ，B ，C 为圆O 上三点，且AB=3，AC=5，则AO uuu r ·BC =u u ur （）A ． -8B ．-1C ．1D ．8二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把各题答案的最简形式写在题中的横线上。

湖南师范大学附属中学2023届高三上学期第二次月考数学含答案

【详解】（1）因为，所以，
即，
解得，又，
所以；
（2）因为，所以，
即 ①，
又 ②，将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．
18.【答案】（1），，（2）
【详解】解：（1）在中，
，则，即，得，
由得：
当时，，
化简得，
即，
所以数列是以2为首项，2为公比的等差数列，
C.若是对立事件，则 D.若是互斥事件，则
11.已知，下列结论正确的是（）
A.
B.当时，设，则
C.当时，中最大的是
D.当时，
12.已知定义在上函数连续不间断，满足：当时，，且当时，，则下列说法正确的是（）
A.
B. 在上单调递减
C.若，则
D.若是在区间(0，2)内的两个零点，且，则
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.【答案】AD
10.【答案】ABD
11.【答案】AD
12.【答案】ACD
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
21.已知，直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线 .

[化学试卷]炎德英才大联考2014师大附中高三2次月考

85 "@ A B分子式为 7 . & " 6 ) # & "*) 的醇中含有共价键的数目为
炎德英才大联考化学附中版 !" !
常温下! 下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是 % 5
! ! # ! & % 65 )< "的溶液中) H , * / * , G . % % % ! " % ! " # & 由水电离出的 & (F 的溶液中) % 3 5 )& ' <"I" $ @ A B 7 J& % ! ! % 7 B ) 7 * . " # # & ! ! ! & * & 的溶液中) % 75 *)! ' )& ' < " $ 3 6 B * , * 7 B # % . % . & ! " # ! & ' (F 的溶液中) 85 0 1 < $ = "@ A B J& % 7 B *! % / * / 7 ,! % %
同温同压下 ! 在.支相同容积的试管中分别充有等体积混合的#种气体! " . 5 它们是 %, *和 , * * &, ',) #! # 和* #! . 和, #" 现将 . 支试管均倒置充分反应后! 试管中剩余气体的体积分别为 "% 则下于水槽中! #% .! 列关系正确的是 65 "' #' . 75 #' .' " 3 5 "' .' # 85 .' "' #

湖南师大附中2014届高三月考试卷

湖南师大附中2014届高三月考试卷(二)数学（理科）命题：湖南师大附中高三数学备课组一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内,复数21iz i=+(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】∵22(1)112i i i z i i -===++，其共轭复数是1i -，故选D ． 2．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（） A ．2- B ．2C ．2-或2D ．0【解析】原式＝ααααcos |sin ||cos |sin +，由题意知角α的终边在第二、四象限，αsin 与αcos 的符号相反，所以原式等于0，故选D ．3．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（） A ．54 B ．27 C ．18 D ． 9 【解析】由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，其体积为1633183.⨯⨯⨯=故选C4.我校高三年级共有24个班，学校为了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到的编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A ．2 B.3 C ．4 D ．5 【解析】设最小编号为x ，则462636483,x x ++⨯+⨯==.故选B5．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM ＝16CB ＋23,CA 则MA MB ⋅＝（）A ．1-BC ．2-D ．【解析】建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)，∴(0,1)MA =,(2)MB =-．∴2MA MB ⋅=-．故选C ．6．设函数)(x f ＝22,0,,0x x bx c x ->⎧⎨++≤⎩，若0)2(),0()4(=-=-f f f ，则关于x 的不等式)(x f ≤1的解集为（）A ．(,3][1,)-∞--+∞B ．[3,1]--C ．[3,1](0,)--+∞D ．[3,)-+∞【解析】当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－4)＝f (0)，故其对称轴为x ＝－b2＝－2，∴b ＝4.又f (－2)＝4－8＋c ＝0，∴c ＝4，当x ≤0时，令x 2＋4x ＋4≤1有－3≤x ≤－1；当x ＞0时，)(x f ＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为[3,1](0,)--+∞．故选C ．7．已知x ，y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且0.95y x a =+，则13x =时，y ＝( ) A ．1.45B ．13.8C ．13D ．12.8 【解析】依题意得，x ＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，y ＝16×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25.又直线y ^＝0.95x ＋a 必过样本中心点(x ，y )，即点(4,5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a ，由此解得a ＝1.45，从而当13x =时，计算得13.8y =，故选B ． 8．已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为（） A ．0B ．3C ．6D ．9【解析】由值域为[0)+∞，，当2=0x ax b ++时有240a b =-=V ，即24a b =， ∴2222()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭．∴2()2a f x x c ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭解得2a x <+<22a a x <<．∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，∴)()622aa --==，解得9c =．故选D ．9．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得213PF PF =，则双曲线的离心率e 的取值范围为（）A ．B ．2]C ．(1,2]D ．(1,)+∞【解析】由213PF PF =及双曲线定义得12||||2PFPF a -=，从而1||3PF a =，2||PF a =，又12||2F F c =．因为点P 在右支上运动，所以1212||||||PF PF F F +≥，得42a c ≥，即2ca≤，又1e >．故填12e <≤．故选C ．10．已知函数()f x 满足：()114f =，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则(2015)f =（）A ．12B ．14C ．14-D ．0【解析】取1x =，0y =得21)0(=f ．法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ，得周期为6，从而1(2015)4f =．法二：取x n =，1y =,有()(1)(1)f n f n f n =++-,同理(1)(2)()f n f n f n +=++，联立得(2)(1)f n f n +=--，所以T =6，故1(2015)(5)4f f ==．故选B ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知曲线12y x -=在点(1,1)处的切线为直线l ，则l 与两坐标轴围成的三角形的面积为．【解析】94．11．从区间[]5,5-内随机取出一个数x ，从区间[]3,3-内随机取出一个数y ，则使得4x y +≤的概率是．【解析】1213．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴四个不同学校支教，不同的分配方案有种（用数字作答）．【解析】先分组，考虑到有2个是平均分组，得221164212222C C C C A A 两个两人组两个一人组，再全排列得：221146421422221080C C C C A A A ⋅⋅=，故填1080． 14．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且sin 0ϕ<，则()f x 的单调递增区间是．【解析】若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()s i n ()163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.又sin 0ϕ<，所以(21),6k k Z πϕπ=++∈，代入()sin(2)f x x ϕ=+，得()sin(2)6f x x π=-+，由3222262k x k πππππ+++剟，得263k x k ππππ++剟，故填2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦． 15．将自然数按如下图排列，其中处于从左到右第m 列从下到上第n 行的数记为(,)A m n ，如(3,1)4A =，(4,2)12A =，则(1,)A n =________，(10,10)A =________．【解析】填(1)2n n +，181 由(1,2)(1,1)2(1,3)(1,2)3(1,4)(1,3)4(1,)(1,1)A A A A A A A n A n n-=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪--=⎪⎩，相加得(1)(2)(1,)(1,1)2n n A n A -+-=，从而(1)(1,)2n n A n +=．类似可求出(1)(,1)12m m A m -=+．进而(,2)(,1)1(,3)(,2)2(,4)(,3)3(,)(,1)1A m A m m A m A m m A m A m m A m n A m n m n -=+⎧⎪-=+⎪⎪-=+⎨⎪⎪--=+-⎪⎩，得(1)(1)(2)(,)122m m n m n A m n --+=++．10(101)(101)(2010)(10,10)118122A --+∴=++=三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点21(,cos )2θP 在角α的终边上，点2(sin ,1)θ-Q 在角β的终边上，且12⋅=-OP OQ ．（1）求θ2cos 的值；（2）求)sin(βα+的值．解：（1）因为12⋅=-OP OQ ，所以2211sin cos 22θθ-=-，即2211(1cos )cos 22θθ--=-，所以22cos 3θ=，所以21cos 22cos 13θθ=-=． ………………5分（2）因为 22cos 3θ=，所以21sin 3θ=，所以)32,21(P 点，)1,31(-Q 点，又点12(,)23P 在角α的终边上，所以54sin =α，53cos =α ． …………………8分同理 10103sin -=β，1010cos =β， …………………10分所以sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+43(55=+⨯=12分 17．（本题满分12分）坛子中有6个阄，其中有3个标记是“中奖”，另外3个标记是“谢谢参与”，甲、乙、丙三人分两轮按甲、乙、丙、甲、乙、丙顺序依次抽取，当有人摸到“中奖”阄时，摸奖随即结束．（1）若按有放回抽取，甲、乙、丙中奖的概率分别是多少？（2）若按不放回抽取，甲、乙、丙中奖的概率分别是多少？（3）按不放回抽取，第一轮摸奖时有人中奖则可获得奖金10000元，第二轮摸奖时才中奖可获得奖金6000元，求甲、乙、丙三人所获奖金总额ξ的分布列与数学期望．B解：（1）若按有放回抽取，设甲、乙、丙中奖分别为事件A 1、B 1、C 1，则甲中奖的概率为)(1A P 16921)21(213=⋅+=乙中奖的概率为)(1B P 32921)21(21214=⋅+⋅=丙中奖的概率为)(1C P 64921)21(2121215=⋅+⋅⋅= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）若按不放回抽取，设甲、乙、丙中奖分别为事件A 2、B 2、C 2，则甲中奖的概率为)(2A P 201141526363=⋅⋅+=乙中奖的概率为)(2B P 1035363=⋅=丙中奖的概率为20310320111)()(1)(222=--=--=B P A P C P ．．．．．．．．．．．．8分（3）设三人获得的奖金总额为ξ，ξ的可能取值有10000和6000元两种情况．法一：201415263)6000(=⋅⋅==ξP 20192011)6000(1)10000(=-==-==ξξP P 法二：按不放回抽取，第一轮摸奖时甲、乙、丙中奖分别为事件A 3、B 3、C 3，则==)10000(ξP )()()()(333333C P B P A P C B A P ++=++2019435263536363=⋅⋅+⋅+=． 20120191)10000(1)6000(=-==-==ξξP P ． ∴奖金总额ξ的分布列为故奖金总额的数学期望98002060002010000=⨯+⨯=ξE 元．．．．．．．．．12分 18．（本题满分12分）如图,四面体A-BCD 中， AD BCD ⊥面,BC CD ⊥，2,AD BD ==M 是AD 的中点,P 是BMD ∆的外心,点Q 在线段AC 上,且 4AC QC =.(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求四面体A-BCD 的体积.【解析】证明(Ⅰ)方法一:如图,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)4AC QC =且3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ⊂面BDC ,所以//PQ 面BDC ;方法二:如图所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1//2PO MD ;取CD 的四等分点H ,使3DH CH =, 且4AC QC =,所以11////42QH AD MD ,所以////PO QH PQ OH ∴,且OH BCD ⊂面,所以//PQ 面BDC ; ………………6分 (Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB ⊥面BDC ,过C 作CG BD ⊥于G ,所以CG BMD ⊥,过G 作GH BM ⊥于H ,连接CH ,所以CHG ∠就是C BM D --的二面角;由已知得到3BM ==,设BDC α∠=,所以cos ,sin ,sin ,,CD CG CBCD CG BC BD CD BDαααααα===⇒=== 在RT BCG ∆中,2sin BGBCG BG BCααα∠=∴=∴=,所以在Rt BHG ∆中,13HG =∴=,所以在Rt CHG ∆中tan tan 603CG CHGHG ∠==== tan (0,90)6060BDCααα∴=∈∴=∴∠=BCD A BCDCD BC S V ∆-∴==∴== (12)注：用向量法解答酌情计分19．（本题满分13分）甲、乙两超市同时开业，第一年的年销售额都为a 万元. 甲超市前n (n ∈N*)年的总销售额为)2(22+-n n a 万元；从第二年起，乙超市第n 年的销售额比前一年的销售额多a n 1)32(-万元.（Ⅰ）设甲、乙两超市第n 年的年销售额分别为a n ，b n 万元，求a n ，b n 的表达式；（Ⅱ）若在同一年中，某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将于当年底被另一超市收购. 若今年（2014年）为第一年，问：在今后若干年内，乙超市能否被甲超市收购？若能，请推算出在哪一年底被收购；若不能，请说明理由. 【解】（Ⅰ）设甲超市前n 年的总销售额为n S 万元，则2(2)2n a S n n =-+. 当2≥n 时，221(2)[(1)(1)2](1)22n n n a aa S S n n n n n a -=-=-+----+=-. 所以(1)(1)(2)n an a n a n =⎧=⎨-≥⎩ ………………3分由题设，当2n ≥时，a b b n n n 11)32(--=-，且1b a =，则)()()(123121--++-+-+=n n n b b b b b b b b2121()22223()()3[1()]2333313nn n a a a a a a --=++++==--L . 显然1b a =满足上式，故23[1()]3nn b a =-. ………………7分（Ⅱ）若乙超市能被甲超市收购，则1(2)2n n b a n <≥，即213[1()](1)32n a n a -<-.因为a ＞0，则216[1()]3n n ->-，即26()70(2)3nn n +⋅->≥.设2()6()7(2)3nf n n n =+⋅-≥，则1222(1)()16[()()]12()0333n n n f n f n ++-=+-=-⋅>，即f (n ＋1)＞f (n )，所以f (n )是增函数. ………………11分因为76522128(6)6()111033148f =⋅-=-=-<，72(7)6()03f =⋅>，则当n ≤6时，f (n )＜0，当n ≥7时，f (n )＞0.故到第7年底，即2020年底乙超市将被甲超市收购. ……………13分20．（本题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值不小于)2a c -. （1）证明：椭圆上的点到2F 的最短距离为a c -；（2）求椭圆的离心率e 的取值范围；（3）设椭圆的短半轴长为1，圆2F 与x 轴的右交点为Q ，过点Q 作斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，若OA ⊥OB ，求直线l 被圆2F 截得的弦长L 的最大值。

湖南师大附中2005--2006学年度高三年级月考试题数学(理)

湖南师大附中2005—2006学年度高三年级月考试题数学（理科）说明：本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.1．若复数i a a a a z )2()2(22--+-=的纯虚数，则（）A ．12≠≠a a 或B ．12≠≠a a 且C ．a =0D ．a =2或a =0 2．若|)|1)(1(,x x R x -+∈那么是正数的充要条件是（）A ．1||<xB ．1<xC ．1||>xD ．111<<--<x x 或3．设全集I=R ，.}0)(|{},0)(|{R Q P x g x Q x f x P ≠≠≠⊂⊂⊂>=<=φ且满足则集合}0)(0)(|{≤≥=x g x f x M 且等于（）A ．C I PB ．C I QC ．φD ．（C I P ）∪（C I Q ）4．已知随机变量p n D E p n B 与则且,4.2,12),,(~==ξξξ的值分别是（）A ．15与0.8B ．16与0.8C ．20与0.4D ．12与0.65．在等差数列{a n }中，若a 2+ a 6+ a 16为一个确定的常数，则下列各个和中也为确定的常数的是（） A ．S 8 B ．S 10 C ．S 15 D ．S 176．已知实数),(,2|1|)3()1(,22y x P y x y x y x 则点满足条件++=-+-的运动轨迹是（）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆7．已知f (x )是奇函数，且当x >0时，)(,0),1()(x f x x x x f 时那么当<+=的解析式是（）A ．)1(x x --B ．)1(x x -C ．)1(x x +-D ．)1(x x +8．设函数f (x )是可导函数，并且='=∆-∆-→∆)(,2)()2(lim0000x f xx f x x f x 则（）A ．21B ．－2C ．0D ．－19．设函数)12(),()(1-==-x f y x f x f y 现将函数的反函数为的图象向左平移2个单位，再关于x 轴对称后，所对应的函数的反函数是（）A ．2)(31x f y --=B ．2)(31x f y ---=C ．2)(31x f y -+-=D ．2)(31x f y -+=10．给出下列4个命题： ①若sin2A=sin2B ，则△ABC 是等腰三角形； ②若sinA=cosB ，则△ABC 是直角三角形； ③若cosAcosBcosC<0，则△ABC 是钝角三角形；④若cos(A －B)cos(B －C)cos(C －A)=1，则△ABC 是等边三角形.其中正确的命题是（）A ．①③B ．③④C ．①④D ．②③第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．函数21)|lg(|xx x y --=的定义域为 .12．已知,)1(x e f x =+则函数)(x f 的解析式是)(x f = . 13．已知函数=-+-++≠>+=)41()21()41()21(),10(11)(f f f f a a a x f x 则且 .14．设向量||3||),sin ,(cos ),sin ,(cos a b y y b x x a =+==若，则=-)c o s (y x .15．求值：= 2222 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知βα,为锐角，且试求,02sin 22sin 3,1sin 2sin 322=-=+βαβα)23c o s (βαπ++的值.17．（12分）已知双曲线2112222+>=-e by a x 的离心率，左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，试推断在双曲线上的左支上是否存在点P ，使得|PF 1|是点P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.18．（14分）一袋中装有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个黑球，现从中随机摸出3个球.（Ⅰ）求至少摸到一个红球的概率；（Ⅱ）求摸到黑球个数ξ的概率分布和数学期望.19．（14分）在三棱锥P —ABC 中，底面△ABC 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 在底面ABC 上的射影H 在线段AC 上且靠近C 点，AC=4，14 PA ，PB 和底面所成角为45°.（Ⅰ）求点P 到底面ABC 的距离. （Ⅱ）求二面角P —AB —C 的正切值.20．（14分）已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x +1.（Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围.21．（14分）已知数列{a n }满足：*).(02,2,81241N n a a a a a n n n ∈=+-==++且（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求和2221224232221n n a a a a a a -++-+-- ；（Ⅲ）设n n n n b b b T N n a n b +++=∈-=21*),()12(1，若存在整数m ，使对任意n∈N*，均有32mT n >成立，求m 的最大值.高三数学（文）参考答案一、选择题：1.C2.D3.B4.A5.C6.A7.B8.D9.C 10.B 二、填空题11．（－1，0） 12．)1ln(-x 13．2 14．823 15．2 三、解答题：16．解：由⎩⎨⎧==βαβα2sin 22sin 32cos sin 32∵.02sin ,02sin ,2,20,2,0≠≠∴<<∴<<βαπβαπβα①÷② .2c o t t a nβα= 即 .2cot )2cot(βαπ=- …………6分又∵220παπ<-<，∴.0)2cot(2cot >-=απβ∴22,22,220πβαβαππβ=+∴=-∴<<. …………10分∴.23)32cos()23cos(-=+=++ππβαπ…………12分 17．设在左支上存在P 点使|PF 1|2=|PF 2|·d ，则,||||||121PF PF d PF = ① ②又||||,||121PF e PF e dPF =∴= ① …………4分又|PF 2|－|PF 1|=2a ②由①、②得.12||,12||21-=-=e aePF e a PF …………8分因在△PF 1F 2中有 |PF 1|+|PF 2|≥2c ，∴c e aee a 21212≥-+- ③ …………10分利用,ace =代入③得.2121,0122+≤≤-∴≤--e e e212111+>+≤<∴>e e e 与矛盾.∴符合条件的点P 不存在. …………12分18．（1）至少摸到一个红球的概率 56551383505=-=C C C P …………4分（2）ξ表示摸到黑球个数，则2815)1(;285)0(382513383503======C C C P C C C P ξξ； …………6分 561)3(;5615)2(38535381523======C C C P C C C P ξξ. …………8分 ∴摸到黑球个数ξ的概率分布为：∴E ξ=.8…………14分19．（1）∵P 在底面ABC 上的射影H 在线段AC 上，过P 作PH ⊥底面ABC ，则H 在AC上且靠近C 点，∴面PAC ⊥面ABC …………2分在等腰Rt △ABC 中，连结BH 取AC 中点O ，连BO. 设PH=h ，由已知∠PBH=45°，则BH=h.…………4分在△OHB 中BO ⊥AC ，OB=222,221-==h OH AC 在Rt △PAH 中，PA 2=HA 2+PH 2. ∴5,14)24(222=∴=+-+h h h∴P 到底面ABC 之距离为5 ………7分（2）在H h OH h ∴=-==,12,522时是CO 中点.……9分在△ABC 中，过点H 作HM ⊥AB 于垂足为M ，连PM.则∠PMH 为二面角P —AB —C …………12分 ∵.3102235tan ,223224343==∠∴=⋅==PMH BC HM …………14分 20．（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即 …………2分而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即 ∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③由①②③得 a =2，b=－4，c=5.∴.542)(23+-+=x x x x f ………………5分（2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f 当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时 13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 …………8分又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13. …………9分（3）y=f (x )在[－2，1]上单调递增，又,23)(2b ax x x f ++='由①知2a +b=0. 依题意)(x f '在[－2，1]上恒有)(x f '≥0，即.032≥+-b bx x ……10分 ① ②①当6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥=b b b f x f b x 时； ②当φ∈∴≥++=-'='-≤=b b b f x f b x ,0212)2()(,26min 时； ③当.60,01212)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时 …………13分综上所述，参数b 的取值范围是),0[+∞ …………14分21．（1）∵n n n n n n n a a a a a a a -=-=-=+++++1121202即∴数列{a n }成等差数列. ………………2分由n a a a d a a n 210,232,81441-=∴-=-===得公差 ……4分（2）2221224232221n n a a a a a a -++-+--)())(())(())((212432121221243432121n n n n n n a a a a a a d a a a a a a a a a a a a ++++++-=-++++-++-=--- ).29(42)(2221n n a a n n -=+⋅= …………9分（3）∵).111(21)1(21)12(1+-=+=-=n n n n a n b n n …………10分 ∴n n b b b T +++= 21]1113121211[21+-++-+-=n n =.)1(2)111(21+=+-n n n …………11分 ∴0)1)(2(21)111(21)211(211>++=+--+-=-+n n n n T T n n ∴{T n }是递增数列. ∴411=T 是T n 的最小值. …………13分由83241<⇒>m m ∴满足条件的最大整数m=7 …………14分。

湖南省师大附中、长沙市一中等六校2014届高三4月联考数学(理)

湖南省2014届高三六校联考数学（理）试题本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。

时量120分钟，满分150分。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数z满足（-1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点所在的象限为A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（l≤X≤5）=0．682 6，则P（X>5）= A．0．158 8 B．0．158 7 C．0．158 6 D．0．158 53．如图所示，程序框图（即算法流程图）运算的结果是A．5 B．6C．7 D．84．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内有1 006个零点，则f（x）的零点共有A．1 006个B．1 007个C．2 012个D．2 013个5．在△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b= 2ccos A，c=2bcosA，则△ABC的形状为A．直角三角形B．锐角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形6．设{a n}是等比数列，则“a1<a2 <a4”是“数列{a n}是递增数列”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为A．B．12πC．D．8．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为A．432 B．288C．216 D．1449．已知双曲线T ：22221x y a b +=（a ，b>0）的右焦点为F （2，0），且经过点R（3，0），△ABC的三个顶点都在双曲线T 上，O 为坐标原点，设△ABC 三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为M ，N ，P ，且三条边所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 1≠0，i=1,2,3．若直线OM,ON ,OP 的斜率之和为-1．则123111k k k ++的值为 A ．-1B ．12-C ．1D ．1210．已知f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）－1og 2x]=3，则方程f （x ）－f ′（x ）=2的解所在的区间是 A ．（0，12） B ．（12，1） C ．（1，2） D ．（2，3）二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 11．在极坐标系中，圆4cos ρθ=的圆心到直线ρsin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的距离为． 12．已知函数f （x ）=log 2（|x+l|+|x －2|－m ）．若关于x 的不等式f （x ）≥1的解集是R ，则m 的取值范围为。

高三数学月考试题及答案-师大附中2014届高三高考适应性月考(二)(理)17

云南师大附中2014届高考适应性月考卷（二）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0,1,2,3,4U =，{}1,2,3,4A =，{}2,4B =，则()U C A B 为A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}0,2,4D ．{}0,2,3,42．已知复数3412iz i-=+，z 是z 的共轭复数，则||z 为 AB ．5CD3．“2a =-”是“函数()||f x x a =-在区间[)2,-+∞上为单调递增函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知实数[]0,8x ∈，执行如图1所示的程序框图，则输出的x 小于或等于55的概率A ．14B ．12C ．34D ．455．已知向量,a b 满足||||||1a b a b ==+=，则向量,a b 的夹角为A ．3π B ．23π C ．6π D ．56π 6．已知某随机变量X 的概率密度函数0,0,(),0,xx P x e x -≤⎧=⎨>⎩则随机变量X 落在区间()1,3内的概率为A ．231e e-B ．21e e- C ．2e e -D ．2e e +7．已知函数()sin())0,||2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=++><⎪⎝⎭，其中图像上相邻的两个最低点之间的距离为π，且0x =为该图像的一条对称轴，则A ．()f x 的最小正周期为2π，且在()0,π上为单调递增函数B ．()f x 的最小正周期为2π，且在()0,π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π，且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π，且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为单调递减函数 8．已知首项是1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，2664a a =，则62S S 的值是 A ．18B ．19C ．20D ．219．已知球的直径4PQ =，A 、B 、C 是该球球面上的三点，△ABC 是正三角形，30APQ BPQ CPQ ∠=∠=∠=，则棱锥P ABC -的体积为ABCD10．定义域为R 的连续函数()f x ，对任意x 都有(2)(2)f x f x +=-，且其导函数()f x '满足(2)()0x f x '->，则当24a <<时，有A ．2(2)(2)(log )a f f f a <<B ．2(2)(2)(log )a f f f a <<C ．2(log )(2)(2)a f a f f <<D ．2(2)(log )(2)a f f a f << 11．已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<12．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为()0f x ≥ A ．3B ．52C ．2D ．32第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知函数()(f x x =-则不等式()0f x ≥的解集是．14．如图2，BC 是单位圆A 的一条直径，F 是线段AB 上的点，且2BF FA =，若DE 是圆A 中绕圆心A 转动的一条直径，则FA FE ⋅的值是．15．设抛物线2:2(0)M y px p =>的焦点F 是双曲线2222:1(0,0)x y N a b a b-=>>的右焦点，若M 与N 的公共弦AB 恰好过点F ，则双曲线N 的离心率e ＝．16．使不等式22sin cos 1cos x a x a x ++≥+对一切x R ∈恒成立的负数a 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知：1tan 42πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，2παπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．（1）求tan α的值；（2）求2sin 4sin 22cos πααα⎛⎫- ⎪⎝⎭-的值． 18．（本小题满分12分）函数3()3f x x tx m =-+（x R ∈，m 和t 为常数）是奇函数．（1）求实数m 的值和函数()f x 的图像与x 轴的交点坐标；（2）求[]()(0,1)f x x ∈的最大值()F t ． 19．（本小题满分12分）已知函数2()sincos 1sin 333x x x f x ⎫=-⎪⎭．（1）将()f x 写成sin()A x B ωϕ++的形式，并求其图像对称轴的方程；（2）如果△ABC 的三边a 、b 、c 的长成等比数列，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此时函数()f x 的值域．20．（本小题满分12分）我校统计调查小组对市民中工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表A BCD EF若对月收入在[)15,25，[)25,35内的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 21．（本小题满分12分）已知函数2()f x x ax =-，()ln g x x =．（1）若()()f x g x ≥对于定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设()()(h x f x g x =+有两个极值点12,x x ，且110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求证：123()()ln 24h x h x ->-；（3）设1()()2ax r x f xg +⎛⎫=+⎪⎝⎭若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(1)r x k a >-成立，求实数k 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图3，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，30DAC DCB ∠=∠=，求证：2AB BC =23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，单位长度保持一致建立极坐标系，已知点M 的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为1,,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（1）求直线OM 的直角坐标方程；（2）求点M 到曲线C 上的点的距离的最大值．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】设函数()2|21|f x mx x =-+-．（1）若2m =，解不等式()3f x ≤；（2）若函数()f x 有最小值，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力【解析】2．34i (34i)(12i)12i1+2i 5z ---===--，得1+2i ||z z =-⇒D ． 3．函数()f x x a=-的图象关于x a =对称，且在(,)a -∞上为单调递减函数，在[,)a +∞上为单调递增函数．当“2a =-”时“函数()f x x a=-在区间[2,)-+∞上为单调递增函数”；当“函数()f x x a=-在区间[2,)-+∞上为单调递增函数”时“2a -≤”. 选A ．4．1,21;2,2(21)143n x n x x =+=++=+；3,2(43)187n x x =++=+．令8755x x +⇒≤≤，得6384P ==．选C ．5．222||||||1(||)||||2=1a b a b a b a b a b ==+=⇒+=++，即2=12|||c o s =1a b a b θ-⇒-⇒ 1cos 2θ=-，a ，b 的夹角为2π3．选B ． 6．（由于+00d |1x xe x e ∞--+∞=-=⎰）又因为233311311d |xx e e x e e e e -----=-=-+=⎰，所以231e P e -=，选A ．7．π()sin())2sin 3f x x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭，由周期πT =，即()f x 的最小正周期为π；2ππ2T ωω==⇒=，则π()=2sin 23f x x ϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由ππ2π32x k ϕ+-=+，令x=0，得5ππ6k ϕ=+，又π||<2ϕ，所以π6ϕ=-，则π()=2s i n 22c o s 22f x x x⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为单调递增函数. 选C ．8．26164a q =，6264,4q q ==∴，所以66612221(1)11164211(1)114S a q q q S q a q q ----=⨯===----．选D ．9．PQ 为直径，则三角形APQ ，BPQ ，CPQ 为全等直角三角形，且|AP|=|BP|=|CP|=，设PQ 交△ABC 于H，则AH ，|PH|=3，|QH|=1，于是2||sin603AH AB ==⨯⨯︒，得|AB|=3，21333P ABC V -=⨯=，选A ． 10．由(2)()0x f x '->，当2x >时，()0f x '>，()f x 是增函数，对称轴为x=2，2(4,16)a∈，2log (1,2)a ∈，所以2(2)(log )(2)a f f a f <<，选D.11．因为ln πln 1x e =>=，又551log 2log ,2y =<=所以10,2y <<又1212z e-==>=．所以112z <<．选D.12．由条件得0,0a b >>，∴对称轴002bx a =-<，(0)0f c =>∴，又240b ac ∆=-≤，又(1)11112(0)f a b c a c f b b +++==+=+='≥；当a c b ==且，即2b a =时，取得最小值2．选C.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）【解析】13．223031x x x x ---∵≥，∴≥或≤.结合()0f x ≥解集是：{|31}x x x =-≥或．14．取BC 所在直线为x 轴，A 为原点，建立直角坐标系，则(cos ,sin )D θθ，(cos ,sin )E θθ--，由于2BF FA =，则F 点坐标为103⎛⎫- ⎪⎝⎭，，于是FD FE 11=cos ,sin cos ,sin 33θθθθ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2218cos sin 99θθ=--=-．或者用特殊位置BC DE ⊥来求．15．由抛物线M ：22(0)y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，双曲线N ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(,0)F c 得2pc =，又公共弦AB 恰好过点F ，得AB 为通径，222b AB p a ==，222=2=2b ac c a ac ⇒-∴，1e =∴．16．22sin cos 1cos x a x a x +++∵≥，2221(1)c o s 24a a x a --⎛⎫-+⎪⎝⎭∴≤．0a <∵，∴当cos 1x =时，函数21cos 2a y x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭有最大值2112a -⎛⎫- ⎪⎝⎭． 2221(1)124a a a --⎛⎫-+⇒ ⎪⎝⎭∴≤22021a a a a +-⇒-≥≤或≥．(,2]a ∈-∞-∴．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）已知π11tan 1tan ,421tan 2ααα+⎛⎫+=-=-⎪-⎝⎭得，解之得tan 3α=-．………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）22πsin cos )42sin 22cos 2sin cos 2cos αααααααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭==--，………………（8分）ππtan 3,2αα<<=-∵且cos α=……………………………………………………………（10分）=∴原式． ………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由于()f x 为奇函数，易得0m =． …………………………………（2分）设32()3(3)0f x x tx x x t =-=-=， ①当0t <时，上述方程只有一个实数根0x =， ()f x x ∴与轴的交点坐标为(0,0)；②当0t =时，上述方程有三个相等实数根0x =， ()f x x ∴与轴的交点坐标为(0,0)；③当0t >时，上述方程的解为12,30,x x ==()f x ∴与x 轴的交点坐标分别为：(0,0),0),(0)． …………（6分）（少一种情况扣1分）（Ⅱ）3()3f x x tx =-，2()3(),[0,1]f x x t x '=-∈∴，①0,()0.[0,1](),t f x f x '≤时≥则在上为增函数()(1)13F t f t ==-故， ……………………………………………………（8分）②0,[0,1]()3(t f x x x '>=时则在上，令12()0,f x x x '==则令()0,f x x x '><>则令()0,f x x '<则又[0,1]x ∈∵，11()(0)03t F t f ==∴当即≥时,， ……………………………………（10分）11,0()(1)133t F t f t<<==-即时,． ………………………………（11分）综上所述，113,,3()10,.3t t F t t ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩≥ ………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）122122()sin 1cos sin233233x x x x f x ⎫=++=+⎪⎝⎭2πsin 33x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………………………………………………（3分）由2πsin 133x ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭即2ππ3ππ()π+,()33224x k k k x k +=+∈=∈Z Z 得，即其图象对称轴的方程3ππ+,()24k x k =∈Z ． ………………………………（6分）（Ⅱ）由已知2b ac =，2222221cos ,2222a c b a c ac ac ac x ac ac ac +-+--===≥1πcos 1,0,23x x <<∴≤≤ π2π5π,3339x <+∵≤ ………………………………………………………（9分）π2πsinsin 1,333x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭∴≤2πsin 133x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭即()f x的值域为1,⎦ ………………………………………………（10分）综上所述，π0,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()f x 的值域为1+⎦ ．………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：ξ的所有可能取值有0，1，2，3， …………………………………………（2分）228422510C C 62884(0),C C 1045225P ξ===⨯=21112882442222510510C C C C C 428616104(1),C C C C 10451045225P ξ==+=⨯+⨯=11122824422222510510C C C C C 4166135(2),C C C C 10451045225P ξ==+=⨯+⨯=124222510C C 412(3),C C 1045225P ξ===⨯= …………………………………………（8分）………………………………………………………………（10分）所以，4()=5E ξ． ……………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()()f x g x ≥，ln (0)xa x x x ->∴≤，22ln ln 1(),()x x x x x x x x ϕϕ+-'=-=设， …………………………………………（2分）当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'<，当(1,)x ∈+∞时，()0,x ϕ'> ()(1)1,(,1]x a ϕϕ=∴∈-∞∴≥． …………………………………………（4分）（Ⅱ）2()ln ,h x x ax x =-+ 221()(0),x ax h x x x -+'∴=>2121211,0,,(1,),21(1,2)22i i x x x x ax x i ⎛⎫=∈∈+∞=+= ⎪⎝⎭∴∵∴且，2212111222()()(ln )(ln )h x h x x ax x x ax x -=-+--+∴22222211122212222221(1ln )(1ln )lnln 2(1)4x x x x x x x x x x x x =--+---+=-+=-->．………………………………………………………………………（6分）2222231(21)()ln 2(1),()0,42x x x x x x x x μμ-'=-->=设≥1233()(1)ln 2,()()ln 2.44x h x h x μμ>=-->-∴即 …………………………（8分）（Ⅲ）2222221211()2,,1122222a ax x a a a a r x x a ax ax a a ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭'=+-==--=++≤ 所以()r x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，0max 1()(1)1ln 2a r x r a +∴==-+，所以得211ln (1),2a a k a +-+>- 设21()1ln(1)((1,2)),2a a a k a a ϕ+=-++-∈ 原命题等价于()0a ϕ>在(1,2)a ∈上恒成立的前提下，求k 的取值范围．……………………………………………………………………（10分）设21()1ln (1)2x x x k x ϕ+=-++-，因为1()21,(1,2),1x kx x x ϕ'=+-∈+①0k =时，()01x x x ϕ-'=<+，所以()x ϕ在(1,2)x ∈上递减，此时()(1)0x ϕϕ<=不符合; ②0k <时，21()1012kx x x x k ϕ⎡⎤⎛⎫'=--< ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，()x ϕ在(1,2)x ∈上递减，此时()(1)0x ϕϕ<=不符合;③0k >时，21()112kx x x x kϕ⎡⎤⎛⎫'=-- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，若1112k -≥，则()x ϕ在区间11,min 2,12k ⎛⎫⎧⎫-⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭上递减，此时()(1)0x ϕϕ<=不符合; 若111124k k-⇒≤≥ ，()x ϕ在(1,2)x ∈上递增，()(1)0x ϕϕ>=符合，综上，实数k 的取值范围为 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． …………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】证明：如右图，连接OD ，因为OA OD =，所以30DAO ODA DCO ∠=∠=∠=︒，……………………………………………（4分）∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO=60︒，……………………………………………（8分）所以90ODC ∠=︒，那么2OC OD =，即OB BC OD OA ===，所以2AB BC =．…………………………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由点M的极坐标为π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，得点M 的直角坐标为（4，4），所以直线OM 的直角坐标方程为y x =. ………………………………………（5分）（Ⅱ）将曲线C的参数方程1,x y θθ⎧=⎪⎨⎪⎩（θ为参数），化成普通方程为：22(1)2x y -+=，圆心为(1,0)A，半径为r =………………………………………………（8分）由于点M 在曲线C 外，故点M 到曲线C上的点的距离的最大值为5MA r +=. ………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】解：（Ⅰ）2m =时，()2221f x x x =-+-，当12x ≥时，()3f x ≤可化为22213x x -+-≤，解之得1322x ≤≤； …………（2分）当12x <时，()3f x ≤可化为22123x x -+-≤，解之得12x <， ………………（4分）综上可得，原不等式的解集为32x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤． ……………………………………（5分）（Ⅱ）1(2)3,,2()2211(2)1,,2m x x f x mx x m x x ⎧+-⎪⎪=-+-=⎨⎪--<⎪⎩≥ …………………………（7分）若函数()f x 有最小值，则当12x <时，函数()f x 递减，当12x ≥时，函数()f x 递增， ∴20,20,m m +⎧⎨-⎩≥≤ 即22m -≤≤， ………………………………………………（8分）即实数m 的取值范围是[2,2]-． ………………………………………………（10分）。

湖南师范大学附属中学2024届高三上学期月考(一)数学试题

A． an 为等差数列
B．an 为等比数列
C．Sn 为等差数列
D．Sn 为等比数列
6．为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精
含量不得超过 0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量
迅速上升到 0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末
D． 1 108
二、多选题 9．下列命题为真命题的是（）
A．若 a b ，且 1 1 ，则 ab 0 ab
C．若 c a b 0 ，则 a b ca cb
B．若 a b 0 ，则 a2 ab b2 D．若 a b c 0 ，则 a a c
b bc
10．设正方体 ABCD A1B1C1D1 中，A1B1 ，BB1 ，BC 的中点分别为 E ，F ，G ，则（）
与 x 轴的交点为 E ，求VABE 的面积的最大值.
22．已知函数 f x x aex 1 ，g x ax ln x x e2 a R ，设 max ,m n 表示 m ，
n 的最大值，设 F x max f x, g x .
(1)讨论 f x 在 0, 上的零点个数；
(2)当 x 0 时 F x 0 ，求 a 的取值范围.
术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数 m ，满足以上两个条件，若
存在，求出 m 的范围；若不存在，说明理由．
21．已知椭圆
C
的中心在坐标原点，两焦点
F1
，F2
在
x
轴上，离心率为
1 2
，点
P
在
C
上，
且△PF1F2 的周长为 6.
(1)求椭圆 C 的标准方程；

湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期月考(二)生物试题(原卷版)

13.为提高苹果果实中的糖含量，研究者利用同位素标记法进行实验，处理及结果如下表。其中M蛋白主要在根表皮细胞表达且定位在细胞膜上。下列说法正确的是（）
苹果根系置于含有13C标记的葡萄糖培养液中
苹果根系置于葡萄糖培养液中，用13C标记的CO2处理苹果叶片
根系13C含量（mg）
地上13C含量（mg）
根系13C含量占比（%）
A.转运蛋白1和2运输H+的方式不同，前者为协助扩散，后者为主动运输
B.Na+经转运蛋白1和2发生的运输过程都不需要消耗能量
C.转运蛋白在运输H2O时，一定会发生构象的改变
D.将H+运出根细胞的过程是主动运输，其载体蛋白还具有催化ATP水解的功能
8.真核生物的mRNA3'末端都有由100~200个A组成的Poly(A)尾。Poly(A)尾不是由DNA编码的，而是转录后的前mRNA以ATP为前体，由RNA末端腺苷酸转移酶，即Poly(A)聚合酶催化聚合到3'末端，如果不能及时合成Poly(A)尾巴，mRNA则不能在细胞质中被检测到。下图为酵母细胞中某种酶分子的作用过程模式图。下列相关叙述错误的是（）
实验共分6组，其中4组的实验处理和结果如下表。
组别
实验处理
实验结果
①
葡萄糖溶液＋无菌水
－
②
葡萄糖溶液＋酵母菌
＋③Leabharlann 葡萄糖溶液＋A溶液－
④
葡萄糖溶液＋B溶液
－
注：“＋”表示有乙醇生成，“－”表示无乙醇生成
回答下列问题：
（1）除表中4组外，其它2组的实验处理分别是：___________；__________。本实验中，这些起辅助作用的小分子和离子存在于酵母菌、___________。

2014年高考湖南师大附中2014届高三第六次月考

2014年高考（130）湖南师大附中2014届高三第六次月考高考模拟2014-02-26 2150湖南师大附中2014届高三月考试卷（六）语文试题一、语言文字运用（12分，每小题3分）1．下列词语中，加点的字读音全都正确的一项是A．躯壳（qiào）横财（hãng）倾轧（yà）乘人之危（chãng）B．勾当（gòu）沏茶（qī）胡诌（zhōu）自怨自艾（yì）C．间距（jiān）稽首（jī）蜃景（shân）翘首以待（qiáo）D．道观（guàn）着落（zhuó）龟裂（jūn）荷枪实弹（hã）2．下列词语中没有错别字的一项是A．编篡节骨眼和盘托出计日成功B．祛除泊来品铃牙俐齿焚膏继晷C．统制手榴弹绿草如茵万事亨通D．缜密绊脚石翻云覆雨改弦更张3．下列各句中，没有语病的一项是A．北京警方启动代号为“平安春运”的春运安全保卫，对铁道、公路、民航的客流进行动态监测，一旦发生旅客、车辆滞留，将增派警力进行疏导。

B．中韩两国在经济上关系密切，据韩国知识经济部发布的最新数据显示，2014年中韩贸易总额达到2139.2亿美元，占韩国全年贸易总额的19.77%。

C．广电总局下发管理办法，要求全国各地电视台自2014年1月起，每集电视剧中间不得再以任何形式插播广告。

这一规定能更好地满足观众的愿望。

D．奇幻文学之所以能得到广大读者的喜爱，是因为正义战胜邪恶、英雄创造历史的主旋律，正好暗合了人们心灵深处对英雄的呼唤，对正义的渴望。

4．在两个横横线处，分别填入一句符合情境，富有寓意的话，最恰当的一项是孩子手拿一个橘子问：“妈妈，橘子为什么不能拿来就吃，先要剥皮，这么麻烦呢？”妈妈说：：“孩子，那是橘子在告诉你：①。

”孩子又问：“妈妈，橘子的果肉为什么是分成一小块一小块的，而不是一个完整的呢？”妈妈说：“孩子，那是橘子承告诉你：②。

湖南师大附中2014届高三月考试卷(七)理科数学

湖南师大附中2014届高三月考试卷(七)数学(理科)总分:150分时量:120分钟一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.1.已知i 为虚数单位,则31ii-=+( )A. 12i +B. 1i +C. 1i -D. 12i - 2.在ABC ∆中,若2cos a b C =,则ABC ∆是( )A. 锐角三角形B. 等腰三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形 3.如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为12,则该几何体的俯视图可以是( )4.已知,x y 满足,2,y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩目标函数2z x y =+的最大值为M ,最小值为N ,且4M N =,则a 的值是( ) A. 13B. 14C. 15D. 165.若不等式[(1)]lg 0a n a a --<对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( )A. 1a >B. 102a <<C. 102a <<或1a >D. 103a <<或1a >6.右图是某同学为求1007个偶数:2,4,6,…,2014的平均数而设计的程序框图的部分内容,则在该程序框图中的空白判断框和处理框中应填入的内容依次是( )A. 1007?1007x i x >=B. 1007?1007xi x ≥=C. 1007?1007x i x <=D. 1007?1007xi x ≤=7.已知22()|1|f x x x kx =-++,若关于x 的方程()0f x =在(0,2)上有两个不相等的实根,则k 的取值范围是( )A. (1,0)-B. 7(,)2-+∞C. 7(,)(1,)2-∞--+∞D. 7(,1)2--A 正视图侧视图B C D8.已知在等差数列{}n a 中,201320140,,d a a >是方程2350x x --=的两个根,那么使得前n 项和n S 为负值的最大的n 的值是( )A. 2013B. 2014C. 4025D. 40269.设,P Q是双曲线22x y -=上关于原点O 对称的两点,将坐标平面沿双曲线的一条渐近线l 折成直二面角,则折叠后线段PQ 长的最小值为( )A.B.C. D. 410.已知满足条件221x y +≤的点(,)x y 构成的平面区域的面积为1S ,满足条件22[][]1x y +≤点(,)x y 构成的平面区域的面积为2S (其中[][]x y 、分别表示不大于,x y 的最大整数),则点12(,)S S 一定在( )A. 直线0x y -=上B. 直线210x y --=右下方的区域内C. 直线80x y +-=左下方的区域内D. 直线20x y -+=左上方的区域内二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题(请考生在11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)11.(极坐标与参数方程)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为,(1x t t y kt =⎧⎨=+⎩为参数),以O 为原点,Ox 轴为极轴,单位长度不变,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为: 2sin 4cos ρθθ=,若直线l 和曲线C 相切,则实数k 的值为 .12.(几何证明选讲:2012•佛山一模)如图,P 为圆O 外一点,由P引圆O 的切线PA 与圆O 切于A 点,引圆O 的割线PB 与圆O 交于C 点.已知,2,1AB AC PA PC ⊥==,则圆O 的面积为 . 13.(不等式选讲)若不等式|1|22a x y z -≥++,对满足2221x y z ++= 的一切实数,,x y z 恒成立,则实数a 的取值范围是 . （二）必做题(14 ～16题)14.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC 内,曲线2y x =和曲线y (阴影部分),向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的), 则所投的点落在叶形图内部的概率是 .15.在ABC ∆中有如下结论:“若点M 为ABC ∆的重心,则MA MB MC ++=0”,设,,a b c 分别为ABC ∆的内角,,A B C 的对边,点M 为ABC ∆的重心.如果aMA bMB cMC +=0,则内角A 的大小为 ;若3a =,则ABC ∆的面积为 .16.(03 年全国卷)设数列{}n a 是集合{22|0s t s t +≤<,且,}s t Z ∈中所有的数从小到大排列成的数列,即1233,5,6,a a a === 4569,10,12,a a a === ,将数列{}n a 各项按照“上小下大,左小右大”的原则写成如右的三角形数表:(1)这个三角形数表的第四行各数从左到右依次为 ; (2)100a = .B CP三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知向量(2cos ,cos ),,2cos )x x x x ==a b ,函数()3f x =⋅+a b .(Ⅰ)当(0,)2x π∈时,求函数()f x 的值域;(Ⅱ)若28()5f x =,且5(,)612x ππ∈,求cos(2)12x π-的值.18.(本小题满分12分)某高中社团进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次是否开通“ 微博”的调查,若开通“微博”的称为“时尚族”,否则称为“非时尚族”.通过调查分别得到如图1所(Ⅱ)从[40,45)和[45,50)岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛,其中选取3人作为邻队,若选取的3名领队年龄在[40,45)岁的人数为X ,求X 的分布列和期望()E X .19.(本小题满分12分)(2013·盐城三模)如图,三棱锥P ABC -中,已知PA ⊥平面,ABCABC ∆是边长为2的正三角形,,D E 分别为,PB PC 中点. (Ⅰ)若2,PA =求直线AE 与PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)若平面ADE ⊥平面PBC ,求PA 的长.AD CB EP20.(本小题满分13分)由于澳大利亚只有一些袋类低级动物,兔子在这里称王称霸,无限制地繁殖,并与牛羊争草吃,使得全澳牧业损失掺重.澳大利亚政府为维持生态平衡,需从宏观上考察兔子的再生能力及捕杀强度对免子总量的影响,用n x 表示兔子在第*()n n N ∈年年初的总量,且10x >,不考虑其它因素,设在第n 年内兔子的繁殖量及被捕杀量都与n x 成正比,死亡量与2n x 成正比,这些比例系数依次为正常数,,.a b c (Ⅰ)求1n x +与n x 的关系式;(Ⅱ)若2,1a c ==,为保证对任意1(0,2)x ∈,都有*0,n x n N >∈,则捕杀强度b 的最大允许值是多少?证明你的结论. 21.(本小题满分13分) 如图,HIJK 是边长为2的正方形纸片,沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折后点I 都落在边HK 上,记为I ',折痕l 与HI 交于点E ,点M 满足关系式EM EI EI '=+ .若以 I 为原点,IJ 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(如图).(Ⅰ)求点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)若将轨迹C 的方程中的x 的范围扩充为全体实数R ,得到曲线L 的方程,再将曲线L 的图象先向下平移一个单位,然后沿直线y x =轴翻折,最后每个点的横坐标伸长为原来的两倍(纵坐标不变)得到曲线D 的图象,设Q 为曲线D 上的一个动点,点B C 、在y 轴上,若QBC ∆为圆22(1)1x y ++=的外切三角形,求QBC ∆面积的最小值.22.(本小题满分13分)已知函数3(),()2,x x f x e e g x x ax a -=+=+为实常数. (Ⅰ)求()f x 在区间[1,ln 2]-上的最大值;(Ⅱ)当1a =-时,证明:0x R ∃∈,使得()y f x =和()y g x =的图象在0x x =处的切线互相平行; (Ⅲ)若对任意x R ∈不等式()'()f x g x ≥恒成立,求a 的取值范围.参考答案一、选择题D B C B C ;A D C D B 二、填空题11. 1. 12.94π. 13.4a ≥或2a ≤-. 14.13. 15.6π. 16.(1)17,18,20,24;(2)16640.三、解答题17.【解】(Ⅰ)由已知2()22cos 32cos24f x x x x x =++=++ 2sin(2)46x π=++…………………………………………………3分当(0,)2x π∈时,72(,)666x πππ+∈,故1sin(2)(,1]62x π+∈-.故函数()f x 的值域为(3,6]………………………………………………………………6分(Ⅱ)由28()5f x =,得282sin(2)465x π++=,即4sin(2)65x π+=. 因为5(,)612x ππ∈,则2(,)62x πππ+∈,所以3cos(2)5x π+=-…………………………8分故cos(2)cos[(2)]cos(2)sin(212646x x x x πππππ-=+-=+++=………12分 18.【解】(Ⅰ)依题分布直方图知第二组的频率为 21(0.040.040.030.020.0f =-++++⨯= 所以第二组的高为220.065f h ==,频率分布直方图如右所示:又结合表(1)知第一组的人数为1202000.6=,又10.0450.2f =⨯=,所以样本容量为1200n f == 又第二组的人数有221000300n f =⨯=,故1950.65300p ==……………………………4分同理第四组人数有41000(0.035)150n =⨯⨯=人,故1500.460a =⨯=………………5分 (Ⅱ)因为[40,45)岁和[45,50)岁年龄段的“时尚族”的人数比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取18人,[40,45)岁中有12人,[45,50)岁中有6人,…………6分故随机变量X 服从超几何分布.X 的所有可能值为0,1,2,3.且0312********1818515(0),(1),20468C C C C P X P X C C ====== 21301261263318183355(2),(3),68204C C C C P X P X C C ====== 所以随机变量X 的分布列为所以数学期望5153355()012322046868205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………………………12分 19.【解】(Ⅰ)如图,取AC 中点F ,连接BF ,则BF AC ⊥,以A 为坐标原点,过A 且与FB 平行的直线为x 轴,AC 为y 轴, AP 为z 轴,建立空间直角坐标系 (2)则(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1)A B C P E ,从而有 ,1,2),(0,1,1)P B A E =-=,设直线AE 与PB 所成的角为 θ,则||1cos 4||||PB AE PB AE θ⋅==⨯,即直线AE 与PB 所成角的余弦值为14.……………………………………………………6分(Ⅱ)设0PA a =>,则(0,0,)P a ,从而),PB a =-(0,2,)P C a =- ,设平面PBC 的法向量为1(,,)x y z =n ,则110,0PB PC ⋅=⋅=n n,即有 0,20y az y az +-=-=⎪⎩令2z =时,则,3x y a ==.所以1,,2)3a =n ………………8分又因为,D E 分别是,PB PC 的中点,所以1,),(0,1,),222a aD E 则1,),(0,1,).222a aAD AE == 设平面ADE 的法向量为2(,,)x y z =n ,则220,0AD AE ⋅=⋅=n n ,有10,220,2ax y z a y z ++=⎨⎪+=⎪⎩,令2z =时,有,x y a ==-,故2(,,2)a =-n ……………………………………………………………………10分又因为平面ADE ⊥平面PBC ,所以12120()()220a a ⊥⇔⋅=⇔⨯+⨯-+⨯=n n n n解得a =,即PA =分20.【解】(Ⅰ)从第n 年初到第1n +年初,兔子的繁殖量为n ax ,被捕杀量为n bx ,死亡量为2n cx ,因此2*1,n n n n nx x ax bx cx n N +-=--∈,即*1(1),n n n x x a b cx n N +=+--∈,……………4分 (Ⅱ)当2,1a c ==时,则*1(3),n n n x x b x n N +=--∈,若b 的值使得0n x >,则只需30n b x -->对*n N ∈恒成立,即03n x b <<-,于是令1n =时,必有103x b <<-也成立.而1(0,2)x ∈,于是23b ≤-,即(0,1]b ∈.由此猜想b 的最大允许值是1.……………………………………………………………8分下面用数学归纳法证明,当1(0,2),1x b ∈=时,都有(0,2)n x ∈ ①当1n =时,结论显然成立;②假设当*(,1)n k k N k =∈≥时,结论成立,即有(0,2)k x ∈,则当1n k =+时,由*1(3),n n n x x b x n N +=--∈得,212(2)()12k k k k k x x x x x ++-=-≤=(当1k x =时取到“=”)所以1(0,1](0,2)k x +∈⊆,即当1n k =+时,结论也成立.综上①②可知对一切*n N ∈,都有(0,2)n x ∈.故捕杀强度b 的最大允许值为1.………………………………………………………13分 21.【解】(Ⅰ)设(,)M x y ,由题可知(0,0)I ,设(0,),(0,2)E t t ∈,(,2)I s '，连结II EJ A ''= ,则,(,1)2s II EJ A ''⊥,又(,2),II s '= (,1)2s E A t =- ,所以22202s t +-=,即244s t =-………3分又EM EI EI '=+ 得,,2x s y t =⎧⎨=-⎩代入上式得214x y =-+, 又因为点I 都落在边HK 上,故0,2]x s =∈[,即21,024x y x =-+≤≤…………………5分(Ⅱ)依题意曲线D 的方程是22(0)y x x =-≤………………………………………………6分(参考:22222121244424y=x ,x x y x y y y x y x =-+=-=-=-⇔=-沿直线向下平移横坐标伸长为原来个单位的倍纵坐标不变轴翻折 )设200000(,),0,2Q x y x y x <=-,显然直线,QB QC 的斜率都存在,记(0,),(0,),B b C c b c ≠,又设直线00:,y b QB y kx b k x -=+=,1=, 即2210b kb --=,也所以200210y bb b x ---=, 可化为2000(2)20x b y b x +--=. 显然同理可得2000(2)20xc y c x +--=,所以,b c 是2000(2)20x x y x x +--=两根,且200044(2)y x x ∆=++=故00002,22y x b c bc x x -+==++,所以002|||||2|x b c x -=+, 所以20001||||2|2|QBCx S BC x x ∆=⨯=+,又注意到,B C 在原点两侧,故0002x bc x =-<+, 即020x +<,于是20001||||22QBCx S BC x x ∆=⨯=-+,令0(2)m x =-+,则0m >, 于是2(2)44QBC m S m m m∆--==++≥8(当2m =,即04x =-时取到等号).所以QBC ∆面积的最小值为8.…………………………………………………………13分 22.【解】(Ⅰ)21(1)(1)()'x x x xxx xe e ef x e e e e --+-=-==, 显然当(0,)x ∈+∞时,'()0,()f x f x >递增;当(,0)x ∈-∞时,'()f x 所以()f x 在区间[1,ln 2]-上的最大值为(1),(ln 2)f f - 因为1(1)(1)(ln 2)f e f f e -=+=>,所以()f x 在区间[1,ln 2]-上的最大值为1(1)f e e-=+.(Ⅱ)当1a =-时,2(),'()23'x x f x e e g x x -=-=-, 依题意0x R ∃∈,使得00'()'(),f x g x =且00()()f x g x ≠, 令2()'()'()32x x h x f x g x e e x -=-=-+- (结合函数2,32x x y e e y x -=-=-+草图如右)由1(0)20,(1)10h h e e=-<=-+>,所以0(0,1)x ∃∈,使得000()0'()'()h x f x g x =⇔=.又当(0,1)x ∈时,()2x x f x e e -=+≥=,而3()2,(0,1)g x x x x =-+∈,由222'()233()3(3g x x x x x =-=--=-可知,当)x ∈时,'()0g x >,当(3x ∈时,'()0g x <,所以当x =时,()g x 有极大值,也是最大值,此时2()(2))23g x g ≤-<所以当(0,1)x ∈时,()()g x f x <恒成立,即00()()f x g x ≠.所以当1a =-时,0x R ∃∈,使得()y f x =和()y g x =的图象在0x x =处的切线互相平行. (Ⅲ)令2()()()23'x x F x f x g x e e ax -=-=+--,显然()F x 为R 上偶函数,故()'()f x g x ≥恒成立()0F x ⇔≥对[0,)x ∈+∞恒成立. 又因为(0)0F =,可知此时函数min ()0F x =.则又'()()6,0x x F x e e ax x -=--≥,注意到000x x e e e e ---≥-=,所以 ①当0a ≤时,'()0F x ≥,则()F x 在[0,)+∞上递增,符合题意; ②当0a >时,()6"x x F x e e a -=+-,注意到2x x e e -+≥,所以1)当103a <≤时,则"()0,'()F x F x ≥在[0,)+∞上递增,于是'()'(0)0F x F ≥=, 也所以()F x 在[0,)+∞上递增,符合题意;……………………………………………11分2)当13a >时,令"()0F x =的零点为0x t =>,易知函数"()F x 为增函数(其导函数在[0,)+∞上恒大于0),故可知当[0,)x t ∈时,"()0F x <,也所以'()F x 在[0,)t 上递减,故有 ()'(0)0'F x F ≤=,从而()F x 在[0,)t 上递减,于是出现()(0)0F x F <=,这与min ()0F x =矛盾!舍去;综上可知a 的取值范围为1(,]3-∞为所求.………………………………………………13分。

湖南省师大附中2014届高三物理上学期第二次月考试题新人教版

湖南师大附中2014届高三第二次月考试题物理试卷（运动的描述、相互作用、力与运动、曲线运动、机械能）时量：90分钟满分：110分一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分。

其中1～8小题只有一个选项正确，9～12小题至少有一个选项正确，选不全的得2分，错选或不选得0分。

将选项填写在答题卷）1、伽利略在对自由落体运动的研究过程中，开创了如下框所示的一套科学研究方法，其中方框2和4中的方法分别是( )A ．提出假设，实验检验B ．数学推理，实验检验C ．实验检验，数学推理D ．实验检验，合理外推2．一质量为m 的物块在倾角为θ的足够长斜面上匀减速下滑．现对物块施加一个竖直向下的恒力F ，如图所示．则物块减速到零的时间与不加恒力F 相比较将( ) A ．变大 B ．变小C ．不变D ．不能确定3.在墙与地面之间用三块长木板并排搭成如图所示的三个固定斜面1，2和3，斜面1与2底边相同，斜面2和3高度相同，一小物体与三个斜面间的动摩擦因数相同，它分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端，在这三种情况下（）A.物体沿斜面1下滑损失的机械能量多B.物体沿斜面3下滑克服摩擦力做的功最多C.物体沿斜面2和3下滑到达底端时速度大小相等D.物体沿斜面3下滑到底端的时间一定最长4．质量m =50g 的小球在竖直平面内运动，若以水平方向为x 轴的方向，竖直向下为y 轴的方向，建立平面直角坐标系，其运动方程为66x t =+，255y t =+。

式中t 的单位为秒，x 、y 的单位为米，重力加速度g=10m/s 2。

下列说法不．正确．．的是：( ) A ．t =0时小球的坐标为（6 m ，5 m ）B．t=1s时小球的速率为11 m/sC．t=2s时小球的加速度的大小为10 m/s2D．小球的运动轨迹是一条抛物线5．如图所示，建筑工地上载人升降机用不计质量的细钢绳跨过定滑轮与一有内阻的电动机相连，通电后电动机带动升降机沿竖直方向先匀加速上升，后匀速上升。

湖南省师大附中高三数学上学期第二次月考试题理新人教A版

第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：（本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集{2,4,6,8,10}U =，集合,M N 满足{4}MN =,(){10}U C N M =，则M =（）A ．{2,4}B ．{4,8,10}C ．{4,6,10}D ．{4,10}2.已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－3x ＋3≤0，则下列说法正确的是 ( ) A ．p ⌝：∃x ∈R ，2330x x >－＋，且p ⌝为真命题 B ．p ⌝：∃x ∈R ，2330x x >－＋，且p ⌝为假命题 C ．p ⌝：∀x ∈R ，2330x x >－＋，且p ⌝为真命题 D ．p ⌝：∀x ∈R ，2330x x >－＋，且p ⌝为假命题3.动点(cos ,sin )P θθ()R θ∈关于直线2y x =-的对称点是P '，则PP '的最大值为（） A ．222 B 21 C ．22．2224.已知函数2()2f x x ax b =-+，则“12a <<”是“(1)(3)f f <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.若1OA =，4OB =，2OA OB ⋅=，OA OB OC +=，则△ABC 的面积是（） A ．1 B ．2 C 3 D ．23【答案】C 【解析】试题分析：因为OA OB OC +=，所以OA OC OB BC =-=，OB OC OA AC =-=，又6.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A.12πB.43πC.3πD.123π考点：三视图、球的表面积、正方体的外接球7.点P是双曲线22122:1(0,0)x yC a ba b-=>>与圆22222x y a bC:+=+的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，其中12F F 、分别为双曲线C 1的左右焦点，则双曲线1C 的离心率为（）A ．31+B ．31+ C ．51+ D ．51-8.在平面直角坐标系中，记抛物线2y x x =-与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为（）A.13 B.23 C.12 D.34第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分35分，将答案填在答题纸上） 9.复数1ii+的虚部等于 . 【答案】-1 【解析】试题分析：因为21(1)111i i i i i i i ++-===--，所以复数1ii+的虚部等于-1. 考点：复数的定义与运算10.设常数R ∈a ，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则a = .11.若数列{}n a 满足：11a =，且对任意的正整数m ，n 都有2m n m n a a a mn +=++，则数列{}n a 的通项公式n a = ．11a =，所以2,(2)n a n n =≥，又11a =满足该式.所以数列{}n a 的通项公式2n a n =.考点：累加法求数列的通项公式、等差数列的求和公式12.某种机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：x2 3 4 5 6 y2.23.85.56.57.0根据上表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+，据此模型估计，该种机器使用年限为10年时维修费用约万元（结果保留两位小数）．13.设0t >，函数122()log xx tf x xx t ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩的值域为M .若4M ∉，则t 的取值范围是 .12224121log 41616t t t t t ≤⎧⎧≤⎪⎪⇒⇒<≤⎨⎨<>⎪⎪⎩⎩.即t 的取值范围为1(,2]16. 考点：指数函数与对数函数的单调性与值域14.5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有________种．15.对于函数f (x )，若在其定义域内存在两个实数a ，b (a ＜b )，使当x ∈[a ，b ]时，f (x )的值域也是 [a ，b ]，则称函数f (x )为“布林函数”，区间[a ，b ]称为函数f (x )的“等域区间”. （1）布林函数()f x x =的等域区间是 .（2）若函数2)(++=x k x f 是布林函数，则实数k 的取值范围是 .【答案】（1）[0,1]；（2）]2,49(--. 【解析】试题分析：（1）因为()f x x =x ∈[a ，b ]时，f (x )∈[f (a )，f (b )].令f (a )＝a ，且f (b )＝b a a =(0)b b b a =>≥，则a ＝0，b ＝1. 故布林函数()f x x =[0,1].（2）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.(本题满分12分)已知向量2(cos ,1),(3sin ,cos )222x x xm n =-=，设函数()f x m n = （1）求()f x 在区间[]0,π上的零点；（2）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别是,,a b c ，且满足2b ac =，求()f B 的取值范围．范围.（2）在ABC∆中，2b ac =，所以222221cos 2222a cb ac ac ac B ac ac ac +-+-==≥=. 由1cos 2B ≥且(0,)B π∈，得(0,],3B π∈--666B πππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦从而， ……10分11sin()(,]622B π-∈-∴， 1()sin()(1,0]62f B B π=-+∈-∴……12分考点：1.数量积的坐标表示；2.余弦定理；3.三角函数的性质.17.（本题满分12分）一个袋子里装有7个球,其中有红球4个, 编号分别为1，2，3，4；白球3个,编号分别为1，2，3.从袋子中任取4个球(假设取到任何一个球的可能性相同). (Ⅰ)求取出的4个球中, 含有编号为3的球的概率；(Ⅱ)在取出的4个球中, 红球编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.72C C )3(4735===X P ， 74C C )4(4736===X P ， ……8分所以随机变量X 的分布列是X 1 2 3 4P35135472 74随机变量X 的数学期望57473352351=⨯+⨯+⨯+⨯=EX . ……12分考点：1.随机事件的概率；2.离散型随机变量及分布列；3.期望.18.（本题满分12分）在三棱锥S-ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点. （Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；（Ⅱ）求二面角N-CM-B 的余弦值.取z=1，则x=2，y=－6，∴n =（2，－6，1），又OS =（0，0，22）为平面ABC 的一个法向量， ∴cos （n ，OS ）=||||OS n OSn ⋅=31． ∴二面角N-CM-B 的余弦值31． ……12分解法二：（Ⅰ）取AC 中点D ，连结SD 、DB ．19.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>5(2,0)M ，椭圆短轴的端点是12B B 、，且12MB MB ⊥. （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点.试问x 轴上是否存在异于M 的定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）22194x y +=；（2）存在，9(,0)2P . 【解析】试题分析：（15a b 、的方程，再根据MB 1⊥MB 2即可得2,3b a ==；（2）本题采用“设而不求”的方法，将A ，B 两点坐标设出，但不求出.注意到PM 平分APB ∠，则直线,PA PB 的倾斜角互补这个性质,从而由斜率着手，以韦达定理为辅助工具，得出点P 的坐标.试题解析：（1）由222222519a b a e a b -===-得23b a =20.（本小题满分13分）某企业为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的设备维修、燃料和动力等消耗的费用（称为设备的低劣化值）会逐年增加，第一年设备低劣化值是4万元，从第二年到第七年，每年设备低劣化值均比上年增加2万元，从第八年开始，每年设备低劣化值比上年增加25%．（1）设第n 年该生产线设备低劣化值为n a ，求n a 的表达式；（2）若该生产线前n 年设备低劣化平均值为n A ,当n A 达到或超过12万元时，则当年需要更新生产线，试判断第几年需要更新该生产线，并说明理由.当17n ≤≤时，24(1)3n S n n n n n =+-=+当8n ≥时，由777751()55470,1680()1054414n n n S S S ---==+⨯⨯=⋅--21.（本小题满分13分）已知函数2()ln (0,1)xf x a x x a a a =+->≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 满足：①对任意的12,m m ，12m m ≠，当12()()f m f m =时，有120m m +<成立； ②对12,[1,1],x x ∀∈-12()()1f x f x e -≤-恒成立.求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 在(,0)-∞上单调递减，()f x 在(0,)+∞上单调递增；（2）(1,]e . 【解析】试题分析：（1）先对()f x 求导，分析出导函数是单调递增的，并得(0)0f '=.从而得到(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>.即求出函数()f x 的单调区间；（2）先由（1）中的单调区间知12m ,m 异号.再证明结论：当1a >时，对任意的0x >有()()f x f x >-成立；01a <<时，对任意的0x >有()()f x f x <-成立.从而得出当1a >当1a >时，211()()()f m f m f m =>-，由于()f x 在∞（-，0）上单调递减，所以21m m <-，120m m +<.同理01a <<，120m m +>.当12()()f m f m =时，当且仅当1a >时，有120m m +<成立. ……8分 ②1a >时，由（1）可得min [()](0)1f x f ==，max [()]max{(1),(1)},f x f f =-。

湖南省师大附中2014届高三上学期第二次月考数学(理)试题含解析

第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.已知全集{2,4,6,8,10}M N=,(){10}U=,集合,M N满足{4}C N M=，则M=U（）A．｛2,4｝B．{4,8，10｝C．｛4，6，10｝D．｛4,10}2.已知命题p:∃x∈R,x2－3x＋3≤0，则下列说法正确的是（)A．p⌝：∃x∈R，2330－＋，且p⌝为真命题x x>B．p⌝：∃x∈R，2330－＋，且p⌝为假命题x x>C．p⌝：∀x∈R，2330－＋，且p⌝为真命题x x>D．p⌝：∀x∈R,2330－＋，且p⌝为假命题x x>3.动点(cos ,sin )P θθ()R θ∈关于直线2y x =-的对称点是P '，则PP '的最大值为（ ) A ．222- B ．21+ C ．22 D ．222+4。

已知函数2()2f x xax b =-+，则“12a <<”是“(1)(3)f f <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.若1OA =，4OB =，2OA OB ⋅=，OA OB OC +=，则△ABC 的面积是（） A ．1 B ．2 C ．3D ．23【答案】C 【解析】试题分析：因为OA OB OC +=，所以OA OC OB BC =-=,OB OC OA AC =-=，又6。

一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( ）A 。

12π B.3πC 。

3π D.123π考点:三视图、球的表面积、正方体的外接球7。

点P 是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆22222x y a b C :+=+的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，其中12F F 、分别为双曲线C 1的左右焦点，则双曲线1C 的离心率为（） A 31B 31+ C 51+ D 518。