函数应用题-(2009-2018)高考数学分类汇编含解析

【命题规律】1. 根据待定系数法、几何公式、解三角形确定函数解析式2. 利用导数、基本不等式或解三角形求最值或范围.【真题展示】1【2009江苏，19】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a+；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h.现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35A Bm m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.【答案】(1)详见解析；(2) 20,12BA m m ==时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为5(3) 不能故当1120B m =即20,12B A m m ==时，（3）由（2）知：0h由05h h ≥=甲得：12552A B A B m m m m ++⋅≤，所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立. 2【2015江苏高考，17】（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ，b 为常数）模型.（1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）1000,0;a b ==（2）①()f t =定义域为[5,20]，②min ()t f t ==千米 【解析】（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5．将其分别代入2ay x b =+，得4025 2.5400ab a b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩．答：当t =l的长度最短，最短长度为 【考点定位】利用导数求函数最值，导数几何意义3【2011江苏，17】请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒． E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 【答案】(1) 15 ，(2) x ＝20时，包装盒的高与底面边长的比值为12.4【2016江苏，17】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高1PO 的4倍. （1）若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？（第17题）【答案】（1）312（2）1PO = 【解析】因为在Rt △11PO B 中，2221111O B PO PB +=，所以22362h +=），即()22236.a h =- 于是仓库的容积()()22231132643606333V V V a h a h a h h h h =+=⋅+⋅==-<<柱锥， 从而()()2226'36326123V h h =-=-.令'0V =，得h =或h =-（舍）.当0h <<0V'> ，V 是单调增函数；当6h <<时，0V'<，V 是单调减函数.故h =V 取得极大值，也是最大值.因此，当1PO =时，仓库的容积最大.【考点】函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点等方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言的能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏高考的应用题往往需结合导数知识解决相应的最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握.5【2013江苏，18】如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min ，在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35. (1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】(1) 1 040 m ，(2) 3537t =，(3) 1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(3)由正弦定理sin sin BC AC A B=，得BC ＝12605sin 63sin 1365AC A B ⨯=⨯＝500(m)． 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦(单位：m/min)范围内． 6【2017江苏，18】如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l ,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度.【答案】（1）16（2）20记AM 与水面的焦点为1P ,过1P 作P 1Q 1⊥AC , Q 1为垂足， 则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12， 从而AP 1=1116sin P MACQ ∠.答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)EP 2=2220sin P NEGQ ∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm) 【考点】正余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.7【2018江苏，理17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP△，要求,A B均在线段MN上，,C D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和CDP△的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定sinθ的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2）， 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.【对症下药】1根据待定系数法、几何公式、解三角形确定函数解析式2利用导数、基本不等式或解三角形求最值或范围.【考题预测】1．【江苏省苏州市2018届高三调研测试（三）数学试题】某“”型水渠南北向宽为，东西向宽为，其俯视图如图所示．假设水渠内的水面始终保持水平位置.(1)过点的一条直线与水渠的内壁交于两点，且与水渠的一边的夹角为（为锐角），将线段的长度表示为的函数；(2)若从南面漂来一根长度为的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？试说明理由．【答案】（1）（2）能点睛：（1）函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型．（2）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．（3）注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．2．【江苏省海门中学2018届高三5月考试（最后一卷）数学试题】将一个半径为3dm，圆心角为的扇形铁皮焊接成一个容积为V(dm3)的圆锥形无盖容器(忽略损耗).(1)求V关于的函数关系式(2)当为何值时，V取得最大值(3)容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球?请说明理由.【答案】(1)(2)(3) 能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球.理由见解析.【解析】分析：（1）由题意结合几何关系可得体积表达式为(2) 令换元之后利用导函数研究函数的性质可得时，（3）由题意可得圆锥轴截面三角形内切圆半径，则能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球. 详解：（1），所以能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm 的球.点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.3．【江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考数学调研测试试题】如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地,120ABCD AB =米， 80AD =米，以,AD BC 为直径的半圆1O 和半圆2O （半圆在矩形ABCD 内部）为两个半圆形水上主题乐园， ,,BC CD DA 都建有围墙，游客只能从线段AB 处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着AE FB 、修建不锈钢护栏，沿着线段EF 修建该主题乐园大门并设置检票口，其中,E F 分别为,AD BC 上的动点， //EF AB ，且线段EF 与线段AB 在圆心1O 和2O 连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部门的平均修建费用为400元/米.（1）若80EF =米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？ （2）试确定点E 的位置，使得修建费用最低.【答案】（1）80048003π-；（2）当1AO E ∠为3π时，修建费用最低. 【解析】试题分析：（1）如图,设直线EF 与矩形ABCD 交于,M N 两点，连12,O E O F ，则20ME =米， 1O M =梯形12O O FE 的面积为()1120802⨯+⨯= 矩形12AO O B 的面积为120404800⨯=平方米， 由16AO E π∠=，得扇形1O AE 和扇形2O FB 的面积均为14001600263ππ⨯⨯=平方米，故阴影部分面积为80048003π-平方米．由上表可得当3θ=时，即13AO E ∠=， ()fθ有极小值，也为最小值．故当1AO E ∠为3π时，修建费用最低． 4．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试数学试题】如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道AD ， PB ， PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上， AD 分别与PB ， PC 相交于点E ， F .（道路宽度忽略不计）（1）若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离； （2）设POD θ∠=， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大.【答案】（1）（2）①最小值为)264001m ②当sin 2θ=-时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大（2）①由题意，得()40cos ,40sin P θθ. 直线PB 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ++=++，令0y =，得设sin 2t θ+=，则23t <<，()212160026400t S S t-++=.816004t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()16004≥ )64001=.当且仅当t =，即sin 2θ=时“=”成立.所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为)264001m .答：当sin 2θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.5．【河南省中原名校（即豫南九校）2017-2018学年高一上学期第二次联考数学试题】如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中,A B 在直径上，点,C D 在圆周上.（1）设AD x =，将矩形ABCD 的面积y 表示成x 的函数，并写出其定义域； （2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD 的面积最大？并求出最大面积.【答案】(1)x ∈（0，20）.(2)截取时，才能使矩形材料ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm .6．【江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校2018届高三12月联考数学试题】如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD 及其矩形附属设施EFGH ，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化.其中半圆的圆心为O ，半径为R ，矩形的一边AB 在直径上，点C D G H 、、、在圆周上，E F 、在边CD 上，且3BOG π∠=，设BOC θ∠=.（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为()fθ，求()f θ的表达式；（2）当cos θ为何值时，能符合园林局的要求？【答案】（1）()22sin cos sin ,0,23f R πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2) cos θ=【解析】试题分析：（1）由已知分别用θ表示两个矩形的长和宽， ,sin 2HG R EH R R θ==-可得f （θ）ABCD EFGH S S =+的表达式；（2）要符合园林局的要求，只要f （θ）最小，求导()()224cos cos 2f R θθθ=--'，利用导数法分析当()00,θθ∈时， ()0f θ'<， ()f θ是单调减函数，当0,3πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f θ'>， ()f θ是单调增函数，所以当0θθ=时， ()fθ取得最小值即可得答案．由（1知， ()()()222222cos 2sin cos 4cos cos 2f R R θθθθθθ=--=--'令()0f θ'=，即24cos cos 2=0θθ--，解得1cos 8θ+=或1cos 8θ-=（舍去），令001cos 0,83πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭当()00,θθ∈时， ()0f θ'<， ()f θ是单调减函数，当0,3πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f θ'>， ()f θ是单调增函数，所以当0θθ=时， ()fθ取得最小值.答：当θ满足cosθ=.7．【江苏省无锡市2018届高三第一学期期末检测数学试卷】如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.【答案】（1）见解析;（2）.又，所以观光专线的总长度，，因为当时，，答：当时，观光专线的修建总成本最低.【点睛】在一定条件下“成本最低”、“用料最省”、“面积最大”、“效率最高“等问题，在生产、生活中经常遇到，在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外，还可用求导法求函数的最值，但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.8．【江苏省镇江市2018届高三上学期期末统考数学试题】如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC 与BD 焊接而成，焊接点D 把杆AC 分成,AD CD 两段，其中两固定点,A B 间距离为1米， AB 与杆AC 的夹角为60︒，杆AC 长为1米，若制作AD 段的成本为/a 元米，制作CD 段的成本是2/a 元米，制作杆BD 成本是4/a 元米.设ADB α∠=，则制作整个支架的总成本记为S 元.（1）求S 关于α的函数表达式，并求出α的取值范围； （2）问AD 段多长时， S 最小？【答案】（1）3S 2a ⎫=⎪⎪⎝⎭， 2,33ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）当AD =时S 最小∴当1cos 4α=时， S 最小，此时sin 4α=， 152sin 210AD αα+=+=.答：（1）S 关于α的函数表达式为32sin 2S a αα⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭，且2,33ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）当510AD =时S 最小. 点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.9．【江苏省启东中学2018届高三上学期第二次月考数学试题】园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米，圆心角为θ（弧度）的扇形观景水池，其中()0,2θπ∈， O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边(即： OA OB 、和θ所对的圆弧)建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元.(1)若总费用恰好为24万元，则当r 和θ分别为多少时，可使得水池面积最大，并求出最大面积； (2)若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少？【答案】（1）20r =，2θ=，面积最大值为400平方米.（2）水池的最大面积为337.5平方米.【解析】试题分析：（1）先根据总费用确定r 和θ关系，再根据扇形面积公式得关于r 函数，利用导数或基本不等式求最值（2）先根据步道长确定r 和θ关系，再根据扇形面积公式得关于r 二次函数 ，根据对称轴与定义区间位置关系求最值试题解析：解(1)法1：弧长AB 为r θ，扇形AOB 面积为212S r θ=， 则()2140010002240000.2r r r θθ⨯++=即()2521200.r r r θθ++=所以2120010.5rr r θ-=+ 22211120010225r S r r r r θ-==⨯⨯+()()625650556505400.5r r ⎡⎤=-++≤-⨯=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦当且仅当6255,205r r r +==+即时取等号，此时()20,2θπ=∈ 答： 20r =，2θ=，面积最大值为400平方米.法2：利用基本不等式.()222525r r r r r θθθθ++≥+⨯=+所以45r =， 13θ=时，水池的最大面积为337.5平方米. 答： r 的取值范围为105452r ≤<，且当45r =， 13θ=，水池的最大面积为337.5平方米.10．【江苏省邗江中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（文）试题】日前，扬州下达了2018年城市建设和环境提升重点工程项目计划，其中将对一块以O 为圆心，R （R 为常数，单位：米）为半径的半圆形荒地进行治理改造，如图所示，△OBD 区域用于儿童乐园出租，弓形BCD 区域（阴影部分）种植草坪，其余区域用于种植观赏植物．已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元，儿童乐园出租的利润是每平方米95元． （1）设∠BOD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形BCD 的面积S 弓=f （θ）；（2）如果市规划局邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD 的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．【答案】(1)见解析;(2)当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值R2（50π）.【解析】分析：根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，即可求解弓形的面积；（2）由题意列出函数的关系式，利用导数判断函数的单调性，即可求解最大值．点睛：本题考查了导数在实际问题中的应用，解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值等问题，试题属于中档试题，其中正确读懂题意，列出函数关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的的能力．。