2017-2018学年湖南省衡阳县高二上学期期末考试数学(理)试题Word版

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湖南省衡阳市2017届高三上学期期末考试理数试题 Word版含答案

湖南省衡阳市2017届高三上学期期末考试（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数21iz i=-，其中i 为虚数单位，则z 所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.已知集合{12|log 1,|2x A x x B x ⎧⎫⎪⎪=>-=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A B = （）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭ B ． 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()0,+∞D ．()0,2 3.执行如下图所示的程序框图，输出S 的值为（）A ．1B 1-C ．1-D ．1-4.投掷一枚质地均匀的骰子两次，记{A =两次的点数均为奇数}，{B =两次点数之和为4}，则()|P B A =（）A ．112 B ．29 C. 14 D ．235.若正三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则它的侧视图的面积为（）A ．B ．32 D ．346.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A ．B 7.函数()()2sin ln 1f x x x =⋅+的部分图象可能是（）8.过抛物线24y x =的焦点的直线与圆22420x y x y +--=相交，截得弦长最短时的直线方程为（）A ．10x y --=B ．10x y +-= C. 10x y -+= D ．10x y ++=9.在AOB ∆中，0,OA OB OA AB ⋅== 边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅= ，则向量EA在向量OD 上的投影为（）A ．12或32B ． 1 C.1或12 D ．3210.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：“置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h =，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275V L h =相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A ．227B ． 258 C. 15750 D ．35511311.如下图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点,C B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为43,,,55AOC α⎛⎫-∠= ⎪⎝⎭若1BC =2sin cos 222ααα-的值为（）A ．45 B ．35 C. 45- D ．35- 12.设函数()32236222x f x e x x x ae x ⎛⎫=+-+-- ⎪⎝⎭，若不等式()0f x ≤在[2,)-+∞上有解，则实数a 的最小值为（） A ．3122e -- B ．312e -- C. 3142e -- D ．11e-- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.三位女同学两位男同学站成一排，男同学不站两端的排法总数为．（用数字填写答案）14.已知实数,x y 满足401010x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，则x y x +的取值范围是．15.在ABC ∆中，已知角A 的正切值为函数2ln y x x=-在1x =处切线的斜率，且2a b ==，则sin B = ．16.表面积为20π的球面上有四点，,,,S A B C 且ABC ∆是边长为的等边三角形，若平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -体积的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且,,n n n a S 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）记()2log 1n n n b a a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）酒后违法驾驶机动车危害巨大，假设驾驶人员血液中的酒精含量为Q （简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当2080Q ≤≤时，为酒后驾车；当80Q >时，为醉酒驾车，如图为某市交管部门在一次夜间行动中依法查处的60名酒后违法驾驶机动车者抽血检测后所得频率分布直方图.（1）求查获的醉酒驾车的人数；（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数ξ的分布列和数学期望. 19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，,,222,AB AD AB CD AB AD CD E ⊥=== 是PB 上的点.（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.20. （本小题满分12分）椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点为,3b A P ⎫⎪⎪⎭是椭圆C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F . （1）求椭圆C 的方程；（2）设1F 为椭圆C 的左焦点，过右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于不同两点,M N ，记1F MN ∆的内切圆的面积为S ，求当S 取最大值时直线l 的方程，并求出最大值.21. （本小题满分12分）已知()()sin ,ln f x a x g x x ==，其中()1,a R y gx -∈=是()y g x =的反函数.（1）若01a <≤，证明：函数()()()1G x f x g x =-+在区间()0,1上是增函数；（2）证明：()211sinln 21ni k =<+∑；（3）设()()()1221F x gx mx x b -=--++，若对任意的0,0x m ><有()0F x >恒成立，求满足条件的最小整数b 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知曲线1C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的极坐标方程为()cos 2sin 20ρθθ++=.曲线2C 的图象与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点.（1）判断,A B 两点与曲线1C 的位置关系；（2）点M 是曲线1C 上异于,A B 两点的动点，求MAB ∆面积的最大值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()121f x x x =--+的最大值为k . （1）求k 的值；（2）若222,,,2a c abc R b k +∈+=，求()b a c +的最大值.试卷答案一、选择题1-5: BCDBD 6-10: DBBAB 11、12：BC二、填空题13. 36 14. 4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦15. 35 16.三、解答题17.详细分析：（1）,,n n n a S 成等差数列，2n n S n a ∴+=①， 2分又()()11122n n S n a n --∴+-=≥②⋅①②得1122n n n a a a -+=-即121n n a a -=+即()()1212n n a a n +=+≥，4分又当1n =时，1111121,12S a a a +=⇒=∴+=故数列{}1n a +是首项为2公比为2的等比数列，11222n n n a -+=⋅= 即21n n a =-.6分（2）由（1）知，()()()22log 121log 2112n n n n n n b a a n n =⋅+=-⋅-+=⋅-， 8分记231222322n n K n =⋅+⋅+⋅++⋅ ①234121222322n n K n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ② ①-②得()231122122222221n n n n n K n n ++⋅--=++++-⋅-⋅- =()()1112122n n n n K n ++=-⋅∴-⋅+-2,=()()()()1111221231222n n n n n T n n n +++∴=-⋅+-++++=-⋅+-. 12分18. 详细分析：（1）酒精含量大于80的频率为()0.00500.00500.0025200.25++⨯=，所以醉酒驾车的人数为：600.2515⨯=人；4（2）由分层抽样对应比例相同可知抽取8人做样本，则醉酒驾车人数为2人，所以X 的可能取值为0,1,2 6分()()()321126626233388851530,1,2142828C C C C C P X P X P X C C C =========， 8分X 的分布列为10分数学期望值为：4153213012152828284X E =⨯+⨯+⨯==12分19.（1）证明：PC ⊥平面,ABCD AC ⊂平面,ABCD AC PC ∴⊥，2222,1,,AB AD CD AC BC AC BC AB AC BC ===∴==+=∴⊥，又,BC PC C AC =∴⊥ 平面PBC ，AC ⊂平面,EAC ∴平面EAC ⊥平面PBC .4分（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则()()()0,0,0,1,1,0,1,1,0C A B -，设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫⎪⎝⎭()()111,1,0,0,0,,,,222a CA CP a CE ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，6分取()1,1,0m =- ，因为0m CP m CA ⋅=⋅=，所以m 为面PAC 的法向量，设(),,n x y z = ，取EAC ，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取,,2x a y a z ==-=-，则(),,2n a a =--，8分依题意cos ,m n m n m n⋅<>===，则2a = 10分于是()()2,2,2,1,1,2n PA =--=-，设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin cos ,PA n PA n PA n θ⋅=<>==. 12分 20. 详细分析：（1）由题知()()222,0,0,,,03b F c A b P F A F P ⎫⋅=⎪⎪⎭，2分得2203b c -+=？，又P ∴点在椭圆C 上，所以22232199b a b+=解得24a =，又2224a b c =+=？，联立①:解得：22c b ==，故所求椭圆的方程22142x y +=.5分（2）易知直线l 的斜率不为0，可设直线l的方程为：()()1122,,,x my A x y B x y =+，由2224x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()22220m y ++-=，1212222y y y y m -+=⋅=+，7分设内切圆的半径为1,r F MN ∆的周长为C ，面积为1,2S S Cr ''=，由椭圆的定义和48,4C a S r '==∴=，要使内切圆面积S 最大，只需要求1F MN ∆的面积S '最大，1F MN ∆的面积为：12122S c y y '=⨯⨯-=，==，令1t t =≥ 10分S '==≤1t =即0m =时取等号，此时22r S m π===直线l 的方程为：x =.12分21. 解：（1）由题意：()()()()1sin 1ln ,cos 1G x a x x G x a x x=-+=--，当()0,1,01x a ∈<≤时，()11,cos 1,cos 1,0x a x G x x'><∴<∴> 故函数在区间()0,1上是增函数.3分（2）由（1）知，当1a =时，()()sin 1ln G x x x =-+在()0,1单调递增 ∵()()()()1sin 1ln 10?sin 1ln 01x x G x x x-+<=-<<< 5分令()2111x k -=+，所以()2221k kx k +=+∵()()()2222211212sinsin 1ln ln ln 1211k k k k k k k k k k k ⎡⎤++++=-<=-⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦()21133412sinln 2ln ln ln ln ln 22311nk n n n n k =++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭+∑2ln 2lnln 21n n +=-<+8分（3）由()()()12221220x F x g x mx x b e mx x b -=--++=--+->即：()min 0F x >又()()22,2?0xxF x e mx F x e m m '''=--=-< 则()()0,F x F x '>，单调递增；又()()00,10F F ''<>则必然存在()00,1x ∈，使得()()00?F x F x '=在()0,x -∞单调递减，()0,x +∞单调递增，∵()()02000220x F x F x emx x b ≥=--+->则020022x b e mx x >-+++，又00002220?2x x e e mx m x ---==∵00000002221222x x x x e b e x e x x -⎛⎫>-+++=-++ ⎪⎝⎭又0m <，则()00,ln 2x ∈()000012,0,ln 22x x b e x x ⎛⎫>-++∈ ⎪⎝⎭恒成立10分令()()12,0,ln 22xx m x e x x ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭则()()()1111022xx m x x e m x xe ''=-+=>∵()m x 在()0,ln 2x ∈单调跌增又()1002m '=> ∵()0?m x m >在()0,ln 2x ∈单调递增∵()()ln 22ln 2?2ln 2m x m b <=>又b 为整数 ∵最小整数b 的值为：2.12分22. 解：（1）曲线1C 的普通方程为2214x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为220x y ++=联立方程可求得的交点分别是()()2,0,0,1A B --，易知两点,A B 分别是曲线1C 的左顶点和下顶点，故两点,A B 均在曲线1C 上.5分（2）设M 的坐标为()()2cos ,sin ,[0,2)θθθπ∈，则点M 到直线220x y ++=的距离为d 而AB的长度为MAB ∆的面积为14MAB S πθ∆⎛⎫=++ ⎪⎝⎭故max 1MAB S ∆=+.10分11 23. 详细分析：（1）由于()3,131,113,1x x f x x x x x -->⎧⎪=---≤<⎨⎪+≤-⎩所以()()max 12k f x f ==-=5分（2）由已知22222a c b ++=，有()()22224a b b c +++=，因为222a b ab +≥（当a b =取等号），222b c bc +≥（当b c =取等号），所以()()()222242a b b c ab bc +++=≥+，即2ab bc +≤，故()max 2b a c +=⎡⎤⎣⎦.10分。

2017-2018学年湖南省衡阳县高二上学期期末考试数学(理)试题扫描版含答案

2017年下学期期末质量检测参考答案高二数学（理科）一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卷对应题号的横线上）11.2- 12.5 13.30 14.2115.46三、解答题:（本大题共6小题，满分50分） 16.(本小题10分)解：（1）n n a a 211=+ ，且13=a ，01≠∴a ，∴数列{n a }是公比为31的等比数列，1)31(213=⋅=a a ，91=∴a ，31)31()31(9--=⨯=n n n a …………………………5分（2）由（1）知n b n -=3，11-=-+n n b b ，又21=b ，∴数列}{n b 是首项为2，公差为1-的等差数列，252)32(2nn n n S n +-=-+=…………………………………………………………10分17.(本小题10分)解：（1）当1-=a 时，原不等式化为012>-+x x ，解得251--<x 或251+->x ∴不等式的解集为|{x 251--<x 或251+->x }………………………4分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCBDCDDDAD（2）由已知得：对),1(+∞∈∀x ，12-<x x a 恒成立令1)(2-=x x x f （)1>x ， 4211111)1(2)1)(2≥+-+-=-+-+-=x x x x x x f （当且权当2=x 时取等号，故4<a ……………………………………………10分18.(本小题10分)解：（1） bc a c b 3)22-=-（,即bc a c b -=-+222在ABC ∆中，由余弦定理得212cos 222-=-+=bc a c b A 又π<<A 0，32π=∴A ……………………………………………………5分（2）在ABC ∆中，由正弦定理得A aB b sin sin =，即32sin3sin 1π=B，21sin =∴B ，又20π<<B ，6π=∴B ，6π=∴C ，6sin 1321π⨯⨯⨯=∆ABC S 43=…………10分19.(本小题10分)解：（1）证明： AA 1C 1C 是边长为4的正方形，AC AA ⊥∴1，又AB AA ⊥1，A AB AC = ，⊥∴1AA 平面ABC ， ∴AA 1⊥BC ………………………4分（2）在ABC ∆中，有222BC AC AB =+，AC AB ⊥∴分别以1,,AA AC AB 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 )0,0,3(),4,4,0(),4,0,0(11B C A ，)4,0,3(),0,4,0(111-==B A C A ，设平面11BC A 的法向量为),,(1111z y x n =，则⎩⎨⎧=-=04304111z x y ，yzx。

湖南省衡阳市衡阳县高二数学期末试卷理(含解析)

2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．a2＞b2C．a3＞b3D．＜2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2≤2n B．∃n∈N，n2＜2n C．∃n∈N，n2≤2n D．∀n∈N，n2＜2n3．等比数列{a n}中，已知a2=3，a7•a10=36，则a15等于（）A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣64．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=2，cos（A+B）=，则c=（）A．4 B． C．3 D．5．若，则z=x+2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．D．26．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）8．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=19．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°10．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为．14．若数列{a n}的前n项和S n=a n﹣，则数列{a n}的通项公式a n= ．15．若“m﹣1＜x＜m+1”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分50分）16．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．17．已知等差数列{a n}的前n项的和记为S n．如果a4=﹣12，a8=﹣4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n的最小值及其相应的n的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值．19．徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元（a＞0）．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若AB垂直于x轴，求直线MB的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．a2＞b2C．a3＞b3D．＜【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】利用不等式的基本性质，可得结论．【解答】解：对于A，满足c≤0时成立；对于B，a=1，b=﹣1，结论不成立；对于C，正确；对于D，a=1，b=﹣1，结论不成立．故选：C．【点评】本题考查不等式的基本性质，比较基础．2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2≤2n B．∃n∈N，n2＜2n C．∃n∈N，n2≤2n D．∀n∈N，n2＜2n 【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】直接利用特称命题的否定是全程命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全程命题，所以，命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为：∀n∈N，n2≤2n．故选：A．【点评】本题考查命题的否定特称命题与全程命题的否定关系，是基础题．3．等比数列{a n}中，已知a2=3，a7•a10=36，则a15等于（）A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】则有题意可得 a1q=3， =36，解得q13=4，根据a15 =a1q•q13，运算求得结果．【解答】解：设公比为q，则有题意可得 a1q=3， =36，故有q15=36，q13=4．∴a15 =a1q•q13=3×4=12，故选A．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于基础题．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=2，cos（A+B）=，则c=（）A．4 B． C．3 D．【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】由题意求出cosC，利用余弦定理求出c即可．【解答】解：∵cos（A+B）=，∴cosC=﹣，在△ABC中，a=3，b=2，cosC=﹣，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=9+4﹣=17，∴c=．故选：D．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．5．若，则z=x+2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．D．2【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点O（0，0）时，直线y=的截距最小，此时z最小，此时z=0．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式．【分析】将（1，1）代入直线得： +=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可．【解答】解：∵直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），∴+=1（a＞0，b＞0），所以a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，当且仅当=即a=b=2时取等号，∴a+b最小值是4，故选：C．【点评】本题考察了基本不等式的性质，求出+=1，得到a+b=（+）（a+b）是解题的关键．7．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），∴=1，∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．故选：B．【点评】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础．8．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得焦点的位置，渐近线方程，即可得出结论．【解答】解：由题意，A，B焦点在x轴上，C，D焦点在y轴上，D渐近线方程为y=±x．故选：D．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，是基本知识的考查．9．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】常规题型．【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选C．【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．10．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为 1 ．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．【解答】解：“∀x∈，tanx≤m”是真命题，可得tanx≤1，所以，m≥1，实数m的最小值为：1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．14．若数列{a n}的前n项和S n=a n﹣，则数列{a n}的通项公式a n= （﹣2）n．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】利用递推关系可得：a n=﹣2a n﹣1，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵S n=a n﹣，∴当n=1时，﹣，解得a1=﹣2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣﹣，化为：a n=﹣2a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，首项与公比都为﹣2．∴a n=（﹣2）n．故答案为：（﹣2）n．【点评】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．若“m﹣1＜x＜m+1”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪∪…．（6分）（2）依题意知a，v都为正数，故有，当且仅当，即v=10时，等号成立…（8分）①若≤100，即0＜a≤100时，则当v=时，全程运输成本y最小．（10分）②若＞100，即a＞100时，则当v∈（0，100]时，有y′=﹣=．∴函数在v∈（0，100]上单调递减，也即当v=100时，全程运输成本y最小．…．（14分）综上知，为使全程运输成本y最小，当0＜a≤100时行驶速度应为v=千米/时；当a＞100时行驶速度应为v=100千米/时．…（16分）【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查导数知识，解题的关键是构建函数模型，利用基本不等式求最值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若AB垂直于x轴，求直线MB的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由已知条件先求出椭圆C的半焦距，再由离心率公式和a，b，c的关系可得a，b，由此能求出椭圆C的标准方程；（2）由直线l过D（1，0）且垂直于x轴，设A（1，y1），B（1，﹣y1），求得AE的方程，求得M的坐标，再由直线的斜率公式计算即可得到所求值；（3）直线BM与直线DE平行．分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．【解答】解：（1）由题意可得2c=2，即c=，又e==，解得a=，b==1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）由直线l过D（1，0）且垂直于x轴，设A（1，y1），B（1，﹣y1），AE的方程为y﹣1=（1﹣y1）（x﹣2），令x=3可得M（3，2﹣y1），即有BM的斜率为k==1；（3）直线BM与直线DE平行．证明如下：当直线AB的斜率不存在时，k BM=1．又∵直线DE的斜率k DE==1，∴BM∥DE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y﹣1=（x﹣2），令x=3，则点M（3，），∴直线BM的斜率k BM=，联立，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，由韦达定理，得x1+x2=，x1x2=，∵k BM﹣1====0，∴k BM=1=k DE，即BM∥DE；综上所述，直线BM与直线DE平行．【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。

湖南省衡阳县高二数学上学期期末统考试题理(扫描版)

湖南省衡阳县2016-2017学年高二数学上学期期末统考试题理（扫描版）2016年下学期期末质量检测高二理科数学参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分二、填空题（20分） 11.325 12. 16 13.（∞-，4) 14. 224 15. 2n三、解答题（50分）16.解:P ⌝ 为真，q P ∨为真P ∴为假，q 为真 ……………………………………………………2分若P 为真命题，则0421>-=∆m ，2-<∴m 或2>m …………………………4分 P ∴为假时，22≤≤-m …………① ……………………………………………5分若q 为真命题，则016)2(1622<--=∆m ………………………………………7分即31<<m ………… ② ………………………………………8分由①②可知m 的取值范围为21≤<m ………………………………………10分17.解:(1)设等差数列}{n a 的公差为d ，由已知得 ⎩⎨⎧=+++=+15634111d a d a d a 解得⎩⎨⎧==131d a (3)分1)1(3⨯-+=∴n a n ，即2+=n a n ……………………………………………5分（2)由(1)知n b nn +=210321b b b b ++++ =++++)22()12(21…+)102(10+=++2122(…+102)+++21( (10)=210)101(21)21(210⨯++-- 2101= (10)分18.解:(1)A c a sin 23= ,由正弦定理得A C A sin sin 2sin 3=又20π<<A ，0sin >A ，23sin =∴C 又20π<<C 3π=∴C ……………………………………………5分（2)由已知得2332321sin 21=⨯==ab C ab S ，6=∴ab ……………7分在ABC ∆中，由余弦定理得73cos222=-+πab b a ……………8分即722=-+ab b a ， 73)(2=-+ab b a又6=ab ，5=+∴b a ……………………………………………9分故ABC ∆的周长为75+=++c b a ………………………………10分19.解:（1）证明:取PA 的中点G ,连接GE BG , E 为PD 的中点，AD GE //∴且AD GE 21=又底面ABCD 是正方形，F 为BC 的中点，∴AD BF //且AD BF 21=∴BF GE //且BF GE =∴四边形BFEG 是平行四边形∴BG EF //又⊄EF 平面PAB ，⊂BG 平面PAB ， ∴//EF 平面PAB …………………………………5分(法2也可用面面平行推线面平行同样给满分)（2）以AP AD AB ,,分别为x 轴， y 轴，z 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设2==AD PA ，直线PF 与平面PAC 所成角为θ )2,0,0(P ,)0,1,2(F ,)2,1,2(-=PF)0,0,0(A ,)0,2,2(C ,)2,0,0(=AP ,)0,2,2(=AC 设平面的法向量),,(z y x n =G则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅==⋅02202y x AC n z AP n ，取⎪⎩⎪⎨⎧=-==011z y x ，)0,1,1(-=…………………………8分||||,cos |sin n PF n PF ⋅>=<=θ=62 ………………………10分20.解:(1)),2(0y D 在抛物线上且3||=DF 由抛物线定义得2,322=∴=+p p故抛物线的方程为x y 42= ………………………4分(2)由方程组⎩⎨⎧=-=xy x y 412消去y 得0162=+-x x设),(11y x A ，),(22y x B ，则621=+x x ………………………6分直线1-=x y 过抛物线x y 42=的焦点F∴826||21=+=++=P x x AB ………………………8分又O 到直线1-=x y 的距离22=d ………………………9分 ∴ABO ∆的面积22||21==d AB S ………………………10分。

湖南省衡阳市高二上学期期末数学试卷(理科)

湖南省衡阳市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知x，y的取值如下表：从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为=0.95x+a，则a=（）x0134y 2.2 4.3 4.8 6.7A . 3.25B . 2.6C . 2.2D . 02. （2分）(2018·郑州模拟) 下列说法正确的是（）A . “若，则”的否命题是“若，则”B . “若，则”的逆命题为真命题C . ，使成立D . “若，则”是真命题3. （2分）设一随机试验的结果只有A和，且P（A）＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D（ξ）等于（）A . mB . 2m（1－m）C . m（m－1）D . m（1－m）4. （2分） (2017高二下·集宁期末) 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和一个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A . 72B . 120C . 144D . 1685. （2分） (2016高二上·鞍山期中) 经过两点（x1 ， y1），（x2 ， y2）的直线方程都可以表示为（）A . =B . =C . （y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）D . y﹣y1=6. （2分）点B是点A（1，2，3）在坐标平面内的射影，则OB等于（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·东丰期末) 圆A :与圆B :的位置关系是（）A . 相交B . 内切C . 外切D . 内含8. （2分） (2015高二下·椒江期中) （2x+1）（1﹣）5的展开式中的常数项是（）A . ﹣11B . ﹣10C . 1D . ﹣99. （2分）已知为两条不同直线,为两个不同平面,给出下列命题:①②③④其中的正确命题序号（）A . ③④B . ②③C . ①②D . ①②③④10. （2分）投掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·浙江) 设0<p<1，随机变量ξ的分布列是ξ012P则当p在（0，1）内增大时，（）A . D（ξ）减小B . D（ξ）增大C . D（ξ）先减小后增大D . D（ξ）先增大后减小12. （2分） (2017高二下·寿光期中) 高考来临之际，食堂的伙食进行了全面升级．某日5名同学去食堂就餐，有米饭，花卷，包子和面条四种主食，每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种．花卷数量不足仅够一人食用，则不同的食物搭配方案种数为（）A . 132B . 180C . 240D . 600二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N（105，102），已知p（95≤X≤105）=0.34，估计该班学生数学成绩在115分以上的有________ 人．14. （1分） (2017高二下·湖北期中) 已知P（A）= ，P（AB）= ，则P（B|A）=________．15. （1分） (2016高二上·临川期中) 如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x= 时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；以上命题中真命题的序号为________．16. （1分）设抛物线C：y2=3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为________三、解答题： (共6题；共60分)17. （10分） (2017高二下·遵义期末) 某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年利润y（单位：万元）的影响，对近5年的宣传费xi和年利润yi（i=1，2，3，4，5）进行了统计，列出了下表：x（单位：千元）2471730y（单位：万元）12345员工小王和小李分别提供了不同的方案．（1）小王准备用线性回归模型拟合y与x的关系，请你建立y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；（2）小李决定选择对数回归模拟拟合y与x的关系，得到了回归方程： =1.450lnx+0.024，并提供了相关指数R2=0.995，请用相关指数说明选择哪个模型更合适，并预测年宣传费为4万元的年利润（精确到0.01）（小王也提供了他的分析数据（yi﹣ i）2=1.15）参考公式：相关指数R2=1﹣回归方程 = x+ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 = ， = ﹣ x，参考数据：ln40=3.688， =538．18. （5分）(2019高二上·阜阳月考) 设关于的不等式的解集为，，若是的必要条件，求的取值范围．19. （5分）(2017·绵阳模拟) 已知矩形ADEF和菱形ABCD所在平面互相垂直，如图，其中AF=1，AD=2，∠ADC=，点N时线段AD的中点．（Ⅰ）试问在线段BE上是否存在点M，使得直线AF∥平面MNC？若存在，请证明AF∥平面MNC，并求出的值，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求二面角N﹣CE﹣D的正弦值．20. （10分）从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．（1）求所选3人中恰有一名男生的概率；（2）求所选3人中男生人数ξ的分布列，并求ξ的期望．21. （15分）已知等差数列{an}的公差为d，a3=5，且（a1x+d）5的展开式中x2与x3的系数之比为2：1．（1）求（a1x﹣a2）6的展开式中二项式系数最大的项；（2）设[a1x2﹣（a3﹣a1）x+a3]n=b0+b1（x﹣2）+b2（x﹣2）2+…+b2n（x﹣2）2n，n∈N*，求a1b1+a2b2+…+a2nb2n 的值；（3）当n≥2时，求证：＞11×16n+8n4．22. （15分）(2016·湖南模拟) 某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数[20，30）3018[30，40）3624[40，50）129[50，60]43（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[20，30）抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段[20，30）和[30，40）内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的概率分布和数学期望．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。

湖南省衡阳市衡阳县四中2017-2018学年高二上学期模块数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（上）模块数学试卷一．选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）1．设甲为：0＜x＜5，乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．已知p：所有有理数都是实数，q：正数的对数都是负数，则下列中为真的是（） A．（￢p）∨q B． p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）3．“若α=，则tan α=1”的逆否是（）A．若α≠，则tan α≠1 B．若α=，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α=4．双曲线的渐近线方程为（）A． y=± B． y=±x C． y=±2x D． y=±4x5．已知f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则x0等于（）A． e2 B． e C． D． ln 26．双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A． B． 2 C． 3 D． 67．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 38．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B． C． D．9．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A． 2 B． 3 C． D．10．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（）A．﹣=1 B．=1C．﹣=1（x＞3） D．=1（x＞4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．若a≤b，则ac2≤bc2，则的原、逆、否和逆否中正确的个数是．12．“p或q”为真是“p且q”为真的条件．13．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且过点P（﹣2，2），则抛物线的方程为．14．若函数存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是．15．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2的大小为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．17．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点．（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值．18．已知椭圆上的点P到左右两焦点F1，F2的距离之和为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点，若y轴上一点满足|MA|=|MB|，求直线l的斜率k的值．19．已知二次函数f（x）满足：①在x=1时有极值；②图象过点（0，﹣3），且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（x2）的单调递增区间．20．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．21．已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（上）模块数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）1．设甲为：0＜x＜5，乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：如果能从甲推出乙，且能从乙推出甲，那么条件乙与条件甲互为充分必要条件，简称充要条件，如果只是其中之一，则是充分不必要条件或是必要不充分条件．解答：解：∵：|x﹣2|＜3，∴﹣1＜x＜5，显然，甲⇒乙，但乙不能⇒甲，故甲是乙的充分不必要条件．故选A．点评：本题主要考查了充要条件，以及绝对值不等式的解法，属于基础题．如果能从p推出q，且能从q推出p，那么条件q与条件p互为充分必要条件，简称充要条件．2．已知p：所有有理数都是实数，q：正数的对数都是负数，则下列中为真的是（） A．（￢p）∨q B． p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）考点：复合的真假．分析：先判断p和q的真假，p为真，q为假，再由真值表对照答案逐一检验．解答：解：不难判断p为真，q为假，从而¬p为假，¬q为真，所以A、B、C均为假，故选D．点评：本题考查复合的真值判断，属基本题．3．“若α=，则tan α=1”的逆否是（）A．若α≠，则tan α≠1 B．若α=，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α=考点：四种．专题：简易逻辑．分析：根据“若p，则q”的逆否是“若￢q，则￢p”，直接写出它的逆否即可．解答：解：“若α=，则tan α=1”的逆否是“若tan α≠1，则α≠”．故选：C．点评：本题考查了和它的逆否之间的关系的应用问题，解题时应根据四种之间的关系进行解答，是基础题．4．双曲线的渐近线方程为（）A． y=± B． y=±x C． y=±2x D． y=±4x考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把双曲线，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线方程．解答：解：双曲线，其渐近线方程，整理得y=±．故选：A．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．5．已知f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则x0等于（）A． e2 B． e C． D． ln 2考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：先对函数进行求导，然后根据f′（x0）=2，建立等式关系，解之即可求得答案．解答：解：∵f（x）=xln x，（x＞0）∴f′（x）=lnx+1，∵f′（x0）=2，∴f′（x0）=lnx0+1=2，解得x0=e，∴x0的值等于e．故选：B．点评：本题主要考查了导数的运算，以及函数求值和对数方程的求解，同时考查了运算求解的能力，注意函数的定义域，属于基础题．6．双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A． B． 2 C． 3 D． 6考点：双曲线的简单性质；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r．解答：解：双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±y=0，圆心（3，0）到直线的距离d==，∴r=．故选A．点评：本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式．7．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 3考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．解答：解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．8．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．解答：解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选D．点评：本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．9．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A． 2 B． 3 C． D．考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：先确定x=﹣1为抛物线y2=4x的准线，再由抛物线的定义得到P到l2的距离等于P 到抛物线的焦点F（l2，0）的距离，进而转化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F （l2，0）和直线l2的距离之和最小，再由点到线的距离公式可得到距离的最小值．解答：解：直线l2：x=﹣1为抛物线y2=4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F（l2，0）的距离，故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F（l2，0）和直线l2的距离之和最小，最小值为F（l2，0）到直线l2：4x﹣3y+6=0的距离，即d=，故选A．点评：本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，考查基础知识的综合应用．圆锥曲线是高考的热点也是难点问题，一定要强化复习．10．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（）A．﹣=1 B．=1C．﹣=1（x＞3） D．=1（x＞4）考点：轨迹方程．专题：计算题；数形结合．分析：根据图可得：|CA|﹣|CB|为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．解答：解：如图设△ABC与圆的切点分别为D、E、F，则有|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．根据双曲线定义，所求轨迹是以B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为﹣=1（x＞3）．故选C点评：本题考查轨迹方程，利用的是定义法，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．若a≤b，则ac2≤bc2，则的原、逆、否和逆否中正确的个数是 2 ．考点：四种．专题：简易逻辑．分析：首先，判断原为假，然后，分别写出它的其它三种形式的，然后，分别判断真假．解答：解：若a≤b，则ac2≤bc2，为真；逆为：若ac2≤bc2，则a≤b，为假；否：若a＞b，则ac2＞bc2，为假；逆否：若ac2＞bc2，则a＞b，为真；故正确的个数为2，故答案为：2．点评：本题重点考查了四种的真假判断，属于中档题．12．“p或q”为真是“p且q”为真的必要不充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据复合之间的关系进行判断即可．解答：解：若“p或q”为真，则p，q至少有一个为真，则此时“p且q”不一定为真，若“p且q”为真，则p，q同时为真，必要性成立，故“p或q”为真是“p且q”为真的必要不充分条件，故答案为：必要不充分点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复合之间的关系是解决本题的关键．13．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且过点P（﹣2，2），则抛物线的方程为y2=﹣4x ．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设抛物线方程为y2=mx，代入P（﹣2，2），得到方程，解方程即可得到所求抛物线方程．解答：解：设抛物线方程为y2=mx，代入P（﹣2，2），可得，8=﹣2m，即有m=﹣4，则抛物线的方程为y2=﹣4x．故答案为：y2=﹣4x．点评：本题考查抛物线的方程的求法，考查待定系数法的运用，考查运算能力，属于基础题．14．若函数存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是[2，+∞）．考点：导数的几何意义．分析：先对函数f（x）求导，然后令导函数等于0得到关于a，x的关系式，再由基本不等式可求出a的范围．解答：解：∵∴f'（x）=x﹣a+由题意可知存在实数x＞0使得f'（x）=x﹣a+=0，即a=x+成立∴a=x+≥2（当且仅当x=，即x=1时等号取到）故答案为：[2，+∞）点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于切点为该点的切线的斜率．15．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2的大小为120°．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|，再利用余弦定理，即可求得结论．解答：解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=4，∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中，cos∠F1PF2==﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：120°点评：本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；的否定；一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：利用不等式的解法求解出p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：x2﹣4ax+3a2=0对应的根为a，3a；由于a＜0，则x2﹣4ax+3a2＜0的解集为（3a，a），故p成立有x∈（3a，a）；由x2﹣x﹣6≤0得x∈[﹣2，3]，由x2+2x﹣8＞0得x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故q成立有x∈（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）．若¬p是¬q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，因此有（3a，a）⊊（﹣∞，﹣4）或（3a，a）⊊[﹣2，+∞），又a＜0，解得a≤﹣4或；故a的范围是a≤﹣4或．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意数形结合思想的运用．17．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点．（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值．考点：抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=﹣5代入求得Q的坐标．（2）设出P的坐标，利用P到直线0Q的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得QO的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．解答：解：（1）解方程组得或即A（﹣4，﹣2），B（8，4），从而AB的中点为M（2，1），由k AB═，直线AB的垂直平分线方程y﹣1=﹣2（x﹣2）．令y=﹣5，得x=5，∴Q（5，﹣5）．（2）直线OQ的方程为x+y=0，设P（x，x2﹣4）．∵点P到直线OQ的距离d==．，∴S△OPQ=|OQ|d=∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，∴﹣4≤x＜4﹣4或4﹣4＜x≤8．∵函数y=x2+8x﹣32在区间[﹣4，8]上单调递增，∴当x=8时，△OPQ的面积取到最大值30．点评：本题主要考查了抛物线的应用，点到直线的距离公式．考查了对解析几何基础知识的灵活运用．18．已知椭圆上的点P到左右两焦点F1，F2的距离之和为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点，若y轴上一点满足|MA|=|MB|，求直线l的斜率k的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义求出a，根据离心率为，求出c，从而可求b，即可求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为y=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程，可得AB的中点坐标，确定AB 的中垂线方程，利用|MA|=|MB|，即可求直线l的斜率k的值．解答：解：（Ⅰ），∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴b2=a2﹣c2=2﹣1=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴椭圆的标准方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）已知F2（1，0），设直线的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1）B（x2，y2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）联立直线与椭圆的方程，化简得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴，∴AB的中点坐标为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）①当k≠0时，AB的中垂线方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵|MA|=|MB|，∴点M在AB的中垂线上，将点M的坐标代入直线方程得：，即，解得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）②当k=0时，AB的中垂线方程为x=0，满足题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴斜率k的取值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知二次函数f（x）满足：①在x=1时有极值；②图象过点（0，﹣3），且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（x2）的单调递增区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：（1）先根据函数模型设出函数解析式，然后对函数f（x）求导，令f'（1）=0，f'（0）=﹣2，f（0）=﹣3建立方程组，解之即可得到答案；（2）将函数f（x）的解析式代入求出函数g（x）的解析式后求导，令导函数大于0求出x 的范围即可求出函数g（x）的单调递增区间．解答：解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f¢（x）=2ax+b．由题设可得：即解得所以f（x）=x2﹣2x﹣3．（2）g（x）=f（x2）=x4﹣2x2﹣3， g′（x）=4x3﹣4x=4x（x﹣1）（x+1）．列表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣ 0 + 0 ﹣ 0 +f（x）↘↗↘↗由表可得：函数g（x）的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞）．点评：本题主要考查导数的几何意义、导数的正负情况和原函数的增减性的关系，属基础题．20．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；综合题．分析：（1）先对函数进行求导，然后根据f（2）=﹣．f'（2）=0可求出a，b的值，进而确定函数的解析式．（2）根据（1）中解析式然后求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而确定函数的大致图象，最后找出k的范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2﹣b由题意；，解得，∴所求的解析式为（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=x2﹣4=（x﹣2）（x+2）令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，∴当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0 因此，当x=﹣2时，f（x）有极大值，当x=2时，f（x）有极小值，∴函数的图象大致如图．由图可知：．点评：本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系．导数是高等数学下放到高中的内容，是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．21．已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．分析：（Ⅰ）求出f′（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f'（1）=0求出m与n 的关系式；（Ⅱ）令f′（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（Ⅲ）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m（x ﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，又因为m＜0，分x=1和x≠1，当x≠1时g（t）=t﹣，求出g （t）的最小值．要使＜（x﹣1）﹣恒成立即要g（t）的最小值＞，解出不等式的解集求出m的范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+n．因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m﹣6（m+1）+n=0．所以n=3m+6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+3m+6=3m（x﹣1）[x﹣（1+）]当m＜0时，有1＞1+，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：x （﹣∞，1+） 1+（1+，1） 1 （1，+∞）f′（x）＜0 0 ＞0 0 ＜0f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减由上表知，当m＜0时，f（x）在（﹣∞，1+）单调递减，在（1+，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（Ⅲ）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，∵m＜0．∴（x﹣1）[x﹣1（1+）]＜1．（*）10x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．∴m＜0．20x≠1时∵x∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x﹣1＜0．（*）式化为＜（x﹣1）﹣．令t=x﹣1，则t∈[﹣2，0），记g（t）=t﹣，则g（t）在区间[﹣2，0）是单调增函数．∴g（t）min=g（﹣2）=﹣2﹣=﹣．由（*）式恒成立，必有＜﹣⇒﹣＜m，又m＜0．∴﹣＜m＜0．综上10、20知﹣＜m＜0．点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，利用导数研究函数极值和单调性的能力，以及掌握不等式恒成立的条件．。

2017-2018年湖南省衡阳八中高二(上)期末数学试卷(理科)及答案

2017-2018学年湖南省衡阳八中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i2．（5分）已知命题p：x+y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）A．90B．100C．180D．3004．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.455．（5分）用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式（）A．B．C．D．6．（5分）抛物线y=﹣4x2的焦点坐标是（）A．（0，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（﹣，0）7．（5分）设随机变量ξ：N（2，2），则D（ξ）=（）A．1B．2C．D．48．（5分）设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x﹣2016）2f（x﹣2016）﹣4f（2）＞0的解集为（）A．（2014，+∞）B．（0，2014）C．（0，2018）D．（2018，+∞）9．（5分）曲线y=x2与直线x+y=2围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．510．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3B．=2x﹣2.4C．=﹣2x+9.5D．=﹣0.3x+4.411．（5分）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）A．288个B．240个C．144个D．126个12．（5分）已知在椭圆方程+=1（a＞b＞0）中，参数a，b都通过随机程序在区间（0，t）上随机选取，其中t＞0，则椭圆的离心率在（，1）之内的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为．14．（5分）（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是．15．（5分）若双曲线的实轴长是10，则此双曲线的渐近线方程为．16．（5分）设函数f（x）=e x﹣e﹣x，若对所有x≥0都有f（x）≥ax，则实数a 的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数．18．（12分）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．19．（12分）某校高二年级设计了一个实验学科的能力考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过该学科的能力考查．已知6道备选题中考生甲能正确完成其中4道题，另2道题不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都为．（Ⅰ）分别求考生甲、乙能通过该实验学科能力考查的概率；（Ⅱ）记所抽取的3道题中，考生甲能正确完成的题数为ξ，写出ξ的概率分布列，并求Eξ及Dξ．20．（12分）（理科班选做此题）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，，AF=1．（1）求二面角B﹣DE﹣C的大小；（2）求点F到平面BDE的距离．21．（12分）函数f（x）=x2﹣（a+m）x+aln x，且f'（1）=0，其中a，m∈R．（1）求m的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．22．（12分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0），曲线C1上任意一点M满足；曲线C上的点N在y轴的右边且N到F2的距离与它到y轴的距离的差为1．（1）求C1，C2的方程；（2）过F1的直线l与C1相交于点A，B，直线AF2，BF2分别与C2相交于点C，D 和E，F．求的取值范围．四、附加题：（共20分）23．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种24．当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+x n+…=两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+…+x n dx+…=dx从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=．25．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．2017-2018学年湖南省衡阳八中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i【解答】解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，∴．故选：C．2．（5分）已知命题p：x+y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵命题p：x+y≠3，命题q：x≠1或y≠2，￢q：x=1且y=2，￢p：x+y=3，∴￢q⇒￢p，反之不成立，例如x=，y=．因此命题p是q的充分不必要条件．故选：A．3．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）A．90B．100C．180D．300【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，故选：C．4．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．5．（5分）用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式（）A．B．C．D．，n＞1）时，第一【解答】解：用数学归纳法证明（n∈N+步应验证不等式为：；故选：B．6．（5分）抛物线y=﹣4x2的焦点坐标是（）A．（0，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（﹣，0）【解答】解：抛物线y=﹣4x2可化为∵2p=，∴∴抛物线y=﹣4x2的焦点坐标是故选：C．7．（5分）设随机变量ξ：N（2，2），则D（ξ）=（）A．1B．2C．D．4【解答】解：∵随机变量ξ：N（2，2），∴δ2=2，则D（ξ）=δ2=2，∴D（ξ）=×D（ξ）=．故选：C．8．（5分）设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x﹣2016）2f（x﹣2016）﹣4f（2）＞0的解集为（）A．（2014，+∞）B．（0，2014）C．（0，2018）D．（2018，+∞）【解答】解：根据题意，设g（x）=x2f（x），x＞0，其导数g′（x）=[x2f（x）]′=2xf（x）+x2f′（x）=x（2f（x）+xf′（x）），又由2f（x）+xf′（x）＞x2≥0，且x＞0，则g′（x）≥0，则函数g（x）在区间（0，∞）上为增函数，（x﹣2016）2f（x﹣2016）﹣4f（2）＞0⇒（x﹣2016）2f（x﹣2016）＞22f（2）⇒g（x﹣2016）＞g（2），又由函数g（x）在区间（0，∞）上为增函数，则有x﹣2016＞2，解可得：x＞2018，即不等式（x﹣2016）2f（x﹣2016）﹣4f（2）＞0的解集为（2018，+∞）；故选：D．9．（5分）曲线y=x2与直线x+y=2围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．5【解答】解先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为﹣2曲线y=x2与直线x+y=2围成的图形的面积为：S=∫﹣21（2﹣x﹣x2）dx而∫﹣21（2﹣x﹣x2）dx=（2x﹣﹣）|﹣21=∴曲边梯形的面积是故选：C．10．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3B．=2x﹣2.4C．=﹣2x+9.5D．=﹣0.3x+4.4【解答】解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A．11．（5分）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）A．288个B．240个C．144个D．126个【解答】解：根据题意，分个位是0和个位不是0两类情形讨论；①个位是0时，比20000大的五位偶数有1×4×A43=96个；②个位不是0时，比20000大的五位偶数有2×3×A43=144个；故共有96+144=240个；故选：B．12．（5分）已知在椭圆方程+=1（a＞b＞0）中，参数a，b都通过随机程序在区间（0，t）上随机选取，其中t＞0，则椭圆的离心率在（，1）之内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：e=∈（，1），，﹣，，本题可视为二维几何概型，由于且a＞b＞0，满足b且椭圆的离心率在（，1）之内的概率为p==．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为13+23+33+43+53+63=212．【解答】解：∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；，右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里3+3=6，6+4=10），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为10+5+6=21．又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为13+23+33+43+53+63=212．故答案为：13+23+33+43+53+63=212．14．（5分）（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是180．【解答】解：∵（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴n=10．==2r，∴的通项公式为：T r+1令=0，解得r=2．∴展开式的常数项==180．故答案为：180．15．（5分）若双曲线的实轴长是10，则此双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：根据题意，双曲线的实轴长是10，即2a=10，则a=5，又由双曲线的焦点在x轴上且b=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x；故答案为：y=±x．16．（5分）设函数f（x）=e x﹣e﹣x，若对所有x≥0都有f（x）≥ax，则实数a 的取值范围为（﹣∞，2] ．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣ax，则g'（x）=f'（x）﹣a=e x+e﹣x﹣a，（ⅰ）若a≤2，当x＞0时，g'（x）=e x+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0，故g（x）在（0，+∞）上为增函数，所以x≥0时，g（x）≥g（0）=0，即f（x）≥ax；（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）=0的正根为x1=ln，此时，若x∈（0，x1），则g'（x）＜0，故g（x）在该区间为减函数．所以，x∈（0，x1）时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax 相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，月均用水量在[0，0.5）的频率为0.08×0.5=0.04．同理，在[0.5，1），（1，5，2]，[2，2.5），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5]等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02．由1﹣（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30．（2）由（1）知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为：0.06+0.04+0.02=0.12．由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为：300000×0.12=36000．（3）设中位数为x吨．∵前5组的频率之和为：0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，而前4组的频率之和为：0.04+0.08+0.15+0.21=0.48＜0.5，∴2≤x≤2.5．由0.50×（x﹣2）=0.5﹣0.48，解得x=2.04．故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．18．（12分）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，令g（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）=e x（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2e x•sinx，当x∈[0，]，可得g′（x）=﹣2e x•sinx≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）=0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；最小值为f（）=e cos﹣=﹣．19．（12分）某校高二年级设计了一个实验学科的能力考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过该学科的能力考查．已知6道备选题中考生甲能正确完成其中4道题，另2道题不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都为．（Ⅰ）分别求考生甲、乙能通过该实验学科能力考查的概率；（Ⅱ）记所抽取的3道题中，考生甲能正确完成的题数为ξ，写出ξ的概率分布列，并求Eξ及Dξ．【解答】解：（Ⅰ）设甲、乙能过关的事件分别为A、B，则P（A）==，P（B）=×+=．（Ⅱ）由题意ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：E（ξ）=0.2+1.2+0.6=2，D（ξ）=（1﹣2）2×=．20．（12分）（理科班选做此题）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，，AF=1．（1）求二面角B﹣DE﹣C的大小；（2）求点F到平面BDE的距离．【解答】解：∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，分别以AB，AD，AF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（，0，0），C（，，0），D（0，，0），E（，，1），F（0，0，1）．…（1分）（1）设平面CDE的法向量为，平面BDE的法向量，…（2分）由解得．…（4分）∴，…（6分）∴二面角B﹣DE﹣C等于60°．…（7分）（2），…（8分），…（10分）．可得．设点到平面BDF的距离为h，则h=|EF||cos|=2×．…（12分）∴．所以点F到平面BDE的距离为．…（14分）21．（12分）函数f（x）=x2﹣（a+m）x+aln x，且f'（1）=0，其中a，m∈R．（1）求m的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=x2﹣（a+m）x+aln x，其导数f'（x）=x﹣（a+m）+．由f'（1）=0得1﹣（a+m）+a=0，解得m=1．（2）由（1）得，f'（x）=x﹣（a+1）+==（x＞0）．当a＞1时，由f'（x）＞0，得x＞a或0＜x＜1，此时f（x）的单调递增区间为（a，+∞）和（0，1）；当a=1时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当0＜a＜1时，由f'（x）＞0，得x＞1或0＜x＜a，此时f（x）的单调递增区间为（1，+∞）和（0，a）；当a≤0时，由f'（x）＞0，得x＞1，此时f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．综上，当a＞1时，f（x）的单调递增区间为（a，+∞）和（0，1）；当a=1时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当0＜a＜1时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞）和（0，a）；当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．22．（12分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0），曲线C1上任意一点M满足；曲线C上的点N在y轴的右边且N到F2的距离与它到y轴的距离的差为1．（1）求C1，C2的方程；（2）过F1的直线l与C1相交于点A，B，直线AF2，BF2分别与C2相交于点C，D 和E，F．求的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，为实轴长的双曲线的左支，故有，∴C1的方程为，设N（x，y）（x＞0），则有，化简得y2=4x（x＞0），即C2的方程为y2=4x（x＞0）．（2）设直线l的方程为x=ky﹣1（0≤k2＜1），联立方程组，消去x得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，设AF2，BF2的斜率分别为k1，k2，则有，∴，，直线AF2的方程为y=k1（x﹣1），代入y2=4x有，设C（x3，y3），D（x4，y4），则有，∴，同理．∴，∴．四、附加题：（共20分）23．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【解答】解：4项工作分成3组，可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6×=36种．故选：D．24．当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+x n+…=两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+…+x n dx+…=dx从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=．【解答】解：二项式定理得C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n，对C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n两边同时积分得：从而得到如下等式：=故答案为：．25．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．。

湖南省衡阳市高二上学期期末数学试卷(理科)

湖南省衡阳市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·宜春期末) 在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2AD=2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的圆交AB于G，点P在上运动（如图）．若=λ +μ ，其中λ，μ∈R，则6λ+μ的取值范围是（）A . [1， ]B . [ ，2 ]C . [2，2 ]D . [1，2 ]2. （2分） (2015高二上·仙游期末) 若平面α与平面β的法向量分别是 =（4，0，﹣2），与 =（1，0，2），则平面α与平面β的位置关系是（）A . 平行B . 垂直C . 相交不垂直D . 无法判定3. （2分） (2015高二上·仙游期末) “x＞1”是“ ＜1”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2015高二上·仙游期末) 已知，，且，则（）A .B .C .D . x=1，y=﹣15. （2分） (2015高二上·仙游期末) 已知双曲线与椭圆 + =1共焦点，它们的离心率之和为，双曲线的方程应是（）A . ﹣ =1B . ﹣ =1C . ﹣ =1D . ﹣ =16. （2分） (2015高二上·仙游期末) 双曲线﹣ =1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A .B . 2C . 3D . 67. （2分） (2015高二上·仙游期末) 设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高二上·仙游期末) 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ， CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2015高二上·仙游期末) 若曲线y=e2x的一条切线l与直线x+2y﹣8=0垂直，则l的方程为（）A . y= x+1B . y=﹣2x+1C . y=2x﹣1D . y=2x+110. （2分） (2015高二上·仙游期末) 已知命题p：x2﹣4x+3＜0与q：x2﹣6x+8＜0；若“p且q”是不等式2x2﹣9x+a＜0成立的充分条件，则实数a的取值范围是（）A . （9，+∞）B . {0}C . （﹣∞，9]D . （0，9]11. （2分） (2015高二上·仙游期末) 在曲线y=x2（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，则切点A的坐标为（）A . （1，1）B . （2，4）C . （，2）D . （，）12. （2分） (2015高二上·仙游期末) 如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则b的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣2）B . （﹣∞，﹣1）C . （﹣3，1）D . （1，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·徐水模拟) 不等式组表示的平面区域为Ω，直线x=a（a＞1）将Ω分成面积之比为1：4的两部分，则目标函数z=ax+y的最大值为________．14. （1分） (2015高二上·仙游期末) 命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为________．15. （1分） (2015高二上·仙游期末) 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值等于________．16. （1分） (2015高二上·仙游期末) 已知点P是抛物线y2=4x上一点，设点P到此抛物线准线的距离为d1 ，到直线x﹣2y+4=0的距离为d2 ，则d1+d2的最小值是________．三、解答题． (共6题；共75分)17. （10分）(2020·漳州模拟) 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）写出曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程为（为参数）.若直线与曲线交于、两点，且点，求的值.18. （10分） (2017高二下·河北期末) 已知函数（1）求证：；（2）若方程有解，求的取值范围.19. （10分）(2020·成都模拟) 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.（1）求直线和曲线的普通方程；（2）设为曲线上的动点，求点到直线距离的最小值及此时点的坐标.20. （15分） (2015高二上·仙游期末) 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB 上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3） AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．21. （15分） (2015高二上·仙游期末) 椭圆中心是原点O，它的短轴长为，右焦点F（c，0）（c＞0），它的长轴长为2a（a＞c＞0），直线l：与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q 两点．（1）求椭圆的方程和离心率；（2）若，求直线PQ的方程；（3）设（λ＞1），过点P且平行于直线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明：．22. （15分） (2015高二上·仙游期末) 函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）= v，g（x）=f（x）+af′（x）．（1）若a＜0，试判断g（x）在定义域内的单调性；（2）若g（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值；（3）证明：当a≥1时，g（x）＞ln（x+1）在（0，+∞）上恒成立．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题． (共6题；共75分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。

湖南省衡阳市衡阳县高二上期末数学试卷理科

2016-5=2017学年湖南省衡阳市衡阳县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线y=﹣x2的准线方程是（）A．B．y=2 C．D．y=﹣22．已知命题P：“∀x＞0，e x＞x+1”，则￢P为（）A．∃x≤0，e x≤x+1 B．∃x≤0，e x＞x+1 C．∃x＞0，e x≤x+1 D．∀x＞0，e x ≤x+13．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．634．在△ABC中，若b2+c2﹣a2=bc，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．“x＞1”是“x2＞x”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件6．已知x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．47．已知椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e=，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．在正项等比数列{a n}中，若a1，a4029是方程x2﹣10x+16=0的两根，则log2a2015的值是（）A．2 B．3 C．4 D．510．已知实数a＞0，b＞0，是4a与2b的等比中项，则的最小值是（）A．B．C．8 D．4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题纸上）11．在△ABC中．若b=5，，sinA=，则a=．12．双曲线的焦距是10，则实数m的值为．13．若不等式x2﹣ax+4＞0对∀x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是．14．一船以每小时12海里的速度向东航行，在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，到达C处，看到这个灯塔B在北偏东15°，这时船与灯塔相距为海里．15．已知数列{a n}各项均为正数，其前n项和为S n，且满足，则a n=．三、解答题：本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．设p：方程x2+mx+1=0有两个不等的实根，q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0在R 上恒成立，若￢p为真，p∨q为真，求实数m的取值范围．17．在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且．（1）确定角C的大小；（2）若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，E、F分别是棱PD、BC的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）求直线PF与平面PAC所成角的正弦值．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．2016-5=2017学年湖南省衡阳市衡阳县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线y=﹣x2的准线方程是（）A．B．y=2 C．D．y=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把抛物线转换为标准方程x2=﹣8y，然后再求其准线方程．【解答】解：∵，∴x2=﹣8y，∴其准线方程是y=2．故选B．2．已知命题P：“∀x＞0，e x＞x+1”，则￢P为（）A．∃x≤0，e x≤x+1 B．∃x≤0，e x＞x+1 C．∃x＞0，e x≤x+1 D．∀x＞0，e x ≤x+1【考点】命题的否定．【分析】由已知中的原命题，结合全称命题否定的定义，可得答案．【解答】解：∵命题P：“∀x＞0，e x＞x+1”，∴￢P为：“∃x＞0，e x≤x+1”，故选：C3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即a1+a7=a2+a6，求出a1+a7的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S7，将a1+a7的值代入即可求出．【解答】解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，所以故选C．4．在△ABC中，若b2+c2﹣a2=bc，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】余弦定理．【分析】根据题中的等式，利用余弦定理算出cosA=，结合0°＜A＜180°可得A=60°．【解答】解：∵在△ABC中，b2+c2﹣a2=bc，∴根据余弦定理，得cosA===，又∵0°＜A＜180°，∴A=60°．故选：B．5．“x＞1”是“x2＞x”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由x2＞x得x＞1或x＜0，则“x＞1”是“x2＞x”成立的充分不必要条件，故选：A6．已知x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：先根据约束条件，画出可行域，由得A（1，0），当直线z=2x﹣y过点A（1，0）时，z最大值是2，故选：C．7．已知椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e=，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的标准方程．【分析】设椭圆的标准方程为，由于椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e=，可得，解得即可．【解答】解：设椭圆的标准方程为，∵椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e=，∴，解得．故椭圆的方程为．故选C．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：如图，将EF平移到AC，连结B1C，则∠B1AC为异面直线AB1与EF所成的角，∵三角形B1AC为等边三角形，∴故异面直线AB1与EF所成的角60°，∴cos∠B1AC=．故选A．9．在正项等比数列{a n}中，若a1，a4029是方程x2﹣10x+16=0的两根，则log2a2015的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】等比数列的通项公式．【分析】由韦达定理得a1•a4029==16，从而得到a2015=4，由此能求出log2a2015的值．【解答】解：∵在正项等比数列{a n}中，a1，a4029是方程x2﹣10x+16=0的两根，∴a1•a4029==16，∵a n＞0，∴a2015=4，∴log2a2015=log24=2．故选：A．10．已知实数a＞0，b＞0，是4a与2b的等比中项，则的最小值是（）A．B．C．8 D．4【考点】基本不等式．【分析】利用等比中项的性质可得2a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵实数a＞0，b＞0，是4a与2b的等比中项，∴2=4a•2b，∴2a+b=1．则=（2a+b）=4++≥4+2=8，当且仅当b=2a=时取等号．其最小值是8．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题纸上）11．在△ABC中．若b=5，，sinA=，则a=．【考点】正弦定理．【分析】直接利用正弦定理，求出a 的值即可．【解答】解：在△ABC中．若b=5，，sinA=，所以，a===．故答案为：．12．双曲线的焦距是10，则实数m的值为16．【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过双曲线的几何性质，直接求出a，b，c，然后求出m即可．【解答】解：双曲线的焦距为10，所以a=3，c=5，所以m=25﹣9=16，故答案为：16．13．若不等式x2﹣ax+4＞0对∀x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，4）．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化，结合基本不等式进行求解即可【解答】解：∵不等式x2﹣ax+4＞0对∀x∈（0，+∞）恒成立，∴对于∀x∈（0，+∞），不等式x2+4＞ax都成立，即a＜=x+，∵当x∈（0，+∞），x+≥2=4，当且仅当x=，即x=2时取等号，∴a＜4，即实数a的取值范围是（﹣∞，4）．故答案为：（﹣∞，4）．14．一船以每小时12海里的速度向东航行，在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，到达C处，看到这个灯塔B在北偏东15°，这时船与灯塔相距为24海里．【考点】解三角形的实际应用．【分析】根据题意求出∠B与∠BAC的度数，再由AC的长，利用正弦定理即可求出BC的长【解答】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，在△ABC中，根据正弦定理得：BC==24海里，则这时船与灯塔的距离为24海里．故答案为：24．15．已知数列{a n}各项均为正数，其前n项和为S n，且满足，则a n=2n．【考点】数列递推式．【分析】把n=1代入已知的式子求出a1的值，当n≥2时可得，利用a n=S n﹣S n两式作差后化简得到递推公式，由等差数列的定义和通项公式求出答案．﹣1【解答】解：由题意知，，当n=1时，，解得a1=2或a1=0（舍去），当n≥2时，，①，②，①﹣②得，，则，所以（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，因为数列{a n}各项均为正数，所以a n﹣a n﹣1﹣2=0，即a n﹣a n﹣1=2，则数列{a n}是以2为首项、公差的等差数列，所以a n=2+2（n﹣1）=2n，故答案为：2n．三、解答题：本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．设p：方程x2+mx+1=0有两个不等的实根，q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0在R 上恒成立，若￢p为真，p∨q为真，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由¬P为真，P∨q为真，可得P为假，q为真，求出P为假、q为真时，m的取值范围，再求交集．【解答】解：∵¬P为真，P∨q为真∴P为假，q为真P为真命题，则，∴m＜﹣2或m＞2…∴P为假时，﹣2≤m≤2…①…若q为真命题，则…即1＜m＜3…②…由①②可知m的取值范围为1＜m≤2 …17．在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出．（2）利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知得，解得…∴a n=3+（n﹣1）×1，即a n=n+2．…（2）由（1）知，∴b1+b2+b3+…+b10=21+22+…+210==2046．…18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且．（1）确定角C的大小；（2）若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知可求，结合范围，求得，结合范围，即可得解C的值．（2）由已知及三角形面积公式可求ab=6，进而利用余弦定理可求a+b=5，即可得解△ABC的周长．【解答】（本题满分为10分）解：（1）∵，由正弦定理得，又，sinA＞0，∴，又，∴．…（2）由已知得，∴ab=6…在△ABC中，由余弦定理得，…即a2+b2﹣ab=7，（a+b）2﹣3ab=7，又∵ab=6，∴a+b=5，…故△ABC的周长为．…19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，E、F分别是棱PD、BC的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）求直线PF与平面PAC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PA的中点G，连接BG，GE，证明四边形BFEG是平行四边形，即可证明EF∥平面PAB；（2）以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的平面直角坐标系，求出平面PAC的法向量，即可求直线PF与平面PAC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取PA的中点G，连接BG，GE，∵E为PD的中点，∴GE∥AD且又底面ABCD是正方形，F为BC的中点，∴BF∥AD且，∴GE∥BF且GE=BF，∴四边形BFEG是平行四边形，∴EF∥BG，又EF⊄平面PAB，BG⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB…（2）解：以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的平面直角坐标系，设PA=AD=2，直线PF与平面PAC所成角为θ，P（0，0，2），F（2，1，0），，A（0，0，0），C（2，2，0），，设平面PAC的法向量，则，取，…sinθ=|cos＜，＞|=…20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）根据题意，由抛物线的定义，可得，解可得p=2，代入标准方程，即可得答案；（2）联立直线与抛物线的方程，消去y得x2﹣6x+1=0，进而设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=6，结合抛物线的几何性质，可得|AB|的长，由点到直线距离公式可得O到直线y=x﹣1，进而由三角形面积公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，D（2，y0）在抛物线y2=2px，上且|DF|=3由抛物线定义得，∴p=2故抛物线的方程为y2=4x；（2）由方程组，消去y得x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6；∵直线y=x﹣1过抛物线y2=4x的焦点F，∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8又O到直线y=x﹣1的距离，∴△ABO的面积．2017年3月1日。

湖南省衡阳市高二上学期期末数学试卷(理科)

湖南省衡阳市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设、是两个单位向量，其夹角为θ，则“”是“|﹣|＜1”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）(2019·临沂模拟) 已知双曲线的一个焦点F(2，0)，一条渐近线的斜率为，则该双曲线方程为（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·全国Ⅰ卷理) 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。

圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A .B .C .D . 24. （2分）(2013·浙江理) 在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2 ，则（）A . 平面α与平面β垂直B . 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°C . 平面α与平面β平行D . 平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°5. （2分） (2017高一下·河北期末) 过不重合的A（m2+2，m2﹣3），B（3﹣m﹣m2 ， 2m）两点的直线l倾斜角为45°，则m的取值为（）A . m=﹣1B . m=﹣2C . m=﹣1或2D . m=l或m=﹣26. （2分）“”是“圆经过原点”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）(2014·新课标I卷理) 已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A . [1，2）B . [﹣1，1]C . [﹣1，2）D . [﹣2，﹣1]8. （2分） (2019高三上·广州月考) 正方体的棱长为2，点为的中点，点为线段上靠近的三等分点，平面交于点，则的长为（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·河西模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A . 25πB . 50πC . 75πD . 100π10. （2分） (2018高二上·台州月考) 已知为椭圆上一个动点，直线过圆的圆心与圆相交于两点，则的取值范围为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二上·阳高期末) 已知椭圆和双曲线有公共焦点，则（）A .B .C .D .12. （2分）在直角坐标系中，A(-2,3)，B(3,-2)沿X轴把直角坐标系折成的二面角，则此时线段AB的长度为（）A .B .C .D .二、填空题． (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二上·蚌埠期末) 若命题“存在实数x0∈[1，2]，使得ex+x2+3﹣m＜0”是假命题，则实数m的取值范围为________．14. （1分）已知△ABC中线AD=2，设P为AD的中点，若 =﹣3，则 =________．15. （1分） (2017高一上·福州期末) 若圆锥的侧面展开图是圆心角为90°的扇形，则这个圆锥的侧面积与底面积的比是________．16. （1分） (2018高二上·成都月考) 已知圆和点 , 是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是________．三、解答题． (共6题；共45分)17. （5分） (2017高二上·莆田月考) 设为中的对边.求证：成等差数列的充要条件是： .18. （15分） (2015高二上·常州期末) 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，底面ABCD，SA=2，M为SA的中点．（1）求异面直线AB与MD所成角的大小；（2）求直线AS与平面SCD所成角的正弦值；（3）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．19. （5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=4（1）求过点P（3，3）且与圆C相切的直线l的方程；（2）已知直线m：x﹣y+1=0与圆C交于A、B两点，求|AB|.20. （5分） (2017高三上·甘肃开学考) 己知⊙O：x2+y2=6，P为⊙O上动点，过P作PM⊥x轴于M，N为PM 上一点，且．（Ⅰ）求点N的轨迹C的方程；（Ⅱ）若A（2，1），B（3，0），过B的直线与曲线C相交于D、E两点，则kAD+kAE是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．21. （5分）(2018·齐齐哈尔模拟) 在四棱锥中，底面是等腰梯形, ,是等边三角形，点在上.且 .（I）证明: 平面 ;(Ⅱ)若平面⊥平面 ,求二面角的余弦值.22. （10分） (2019高三上·天津期末) 已知椭圆的焦距为8，其短轴的两个端点与长轴的个端点构成正三角形.（1）求的方程；（2）设为的左焦点，为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点 .（ⅰ）证明: 平分线段 (其中为坐标原点)；（ⅱ）当取最小值时，求点的坐标.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题． (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题． (共6题；共45分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、。

湖南省衡阳市数学高二上学期理数期末考试试卷

B . A＜0，V=S﹣T
C . A＞0，V=S+T
D . A＜0，V=S+T
6. （2分）已知函数的图象如图所示（其中是定义域为的函数的导函数），则以下说法错误的是（）
A .
B . 当时，函数取得极大值
C . 方程与均有三个实数根
D . 当时，函数取得极小值
7. （2分） (2018高二上·黑龙江期末) 已知空间向量，，若与垂直，则等于（）
22. （10分） (2017·成都模拟) 已知函数f（x）=（x﹣k）ex+k，k∈Z，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）当k=0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x∈（0，+∞）时，不等式f（x）+5＞0恒成立，求k的最大值．
参考答案
一、单选题 (共12题；共24分)
1、
湖南省衡阳市数学高二上学期理数期末考试试卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2018高三上·海南期中) 设，则“ ”是“ ”的
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积和表面积．
21. （5分）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 =（cosA，sinA）， =（ ﹣sinA，cosA），若 • =1．
（1）求角A的大小；
（2）若b=4 ，且c= a，求△ABC的面积．

2017-2018学年湖南省衡阳县高二上学期期末考试数学(理)试题Word版

湖南省衡阳市2017届高三上学期期末考试理数试题 Word版含答案

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2017-2018年湖南省衡阳八中高二(上)期末数学试卷(理科)及答案

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