频率与概率1

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频率与概率的关系

频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点诠释：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
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高中数学北师大版必修一频率与概率课件

合作探
很大时，可以将事件 A 发生的频率mn 作为事件 A 的概率的近似值．
课时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返首页
·
21
[跟进训练]
自主
2．某书业公司对本公司某教辅材料的写作风格进行了
5
次“读
课堂
预
小
习者问卷调查”，结果如下：
结
·
探
提
新知
被调查人数 n
1 001 1 000 1 004 1 003 1 000
合
作
课
探个具体的事件．
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返首页
·
17
·
自
[跟进训练]
课
主
堂
预
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷 1 000 次，那么第小
习
结
·
探新
999 次出现正面朝上的概率是(
)
提素
知
养
合作
A．9199
B．1
1 000
C．1909090
D．12
课
探
时
究
D [抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第 999 次，有两种结果：
·
探新
＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过
300
瓶的概率的估计值为
提素
知
养
0.6.
合
作
(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，
探
课时
究
分
释
若最高气温不低于 25，则 Y＝6×450－4×450＝900；

频率与概率的概念、古典概率

频率与概率的联系
频率是概率的近似值，当实验或观察次数足够多时，频率趋近于概率。
在长期实践中，人们常常根据频率来估计概率，从而做出相应的决策。
概率是频率的极限值，即当实验或观察次数趋于无穷时，频率的值就是该事件的概率。
如何选择频率或概率方法
01
在实际应用中，应根据具体情况选择使用频率或概率方法。
02
古典概率
古典概率的定义
古典概率是指在一系列等可能事件中，某一事件发生的概率。
古典概率的定义基于事件的等可能性，即每个事件发生的可能性是相等的。
古典概率通常用于描述那些可以重复进行且结果已知的实验，例如掷骰子、抽签等。
古典概率的计算方法
计算公式
$P(A) = frac{有利于A的基本事件数}{全部基本事件数}$
频率与概率的关系
频率是概率的估计
通过大量试验或观察，我们可以得到某一事件的频率，这个频率可以作为该事件概率的一个估计值。
概率是频率的极限
当试验次数趋于无穷时，频率趋于概率。也就是说，如果一个随机事件的频率在长期观察中稳定在某个值附近，那么我们可以认为这个值就是该事件的概率。
频率与概率的优缺点
频率和概率在统计学、决策理论、贝叶斯推断等领域中都有广泛应用。
如何更好地理解和应用频率与概率
• 了解频率与概率的基本定义和性质：掌握概率的基本性质，如概率的取值范围、独立性、互斥性等，有助于更好地理解和应用频率与概率。
• 掌握概率计算方法：了解概率的基本计算方法，如加法公式、乘法公式、全概率公式等，有助于计算复杂事件的概率。
可观察性
频率可以直接通过试验或观察获得，不需要复杂的数学模型或理论。
可验证性

§6-1-1频率与概率(1)频率和概率的关系(liushuling )

(1,5) (1,6) (2,5) (2,6) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
概率的综合应用：
3.有长度分别为2cm，2cm，4cm，5cm的小棒各一根，放在不透明的纸盒中，每次从中任意取一根小棒（不放回），取了三次，取得的三根小棒恰好能构成一个三角形的概率是多少？
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
3
4 5 6
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4)(6,5) (6,6)
(2) 取3枚硬币：在第一枚的正面贴上红色标签，反面贴上蓝色；在第二枚的正面贴上蓝色标签，反面贴上黄色；在第三枚的正面贴上黄色标签，反面贴上红色，同时抛三枚硬币，落地后颜色各不相同的机会有多大？
概率是 2/3 ；（2）随机从中摸出一球，记录下颜色后放回袋中，充分混合后再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率为；（3）随机从中一次摸出两个球，两球均为红球的概率是。
（2）随机从中摸出一球，记录下颜色后放回袋中，充分混合后再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率为 4/9 ；
红球红球红球红球兰球兰球 1 2 3 4 5 6
2一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的。表示方式一：
1（或100%）必然事件发生的可能性:_______________ 不可能事件发生的可能性:____________ 用0来表示不确定事件发生的可能性是大于0小于1的。
表示方式二：
用线段图可表示为：
0
不可能发生
½(50%)
明白了
懂得了
合作交流的重要性

频率与概率重难点解析版

突破10.3 频率与概率一、学情分析二、学法指导与考点梳理内容考点关注点概率与频率事件的关系和运算互斥事件、对立事件古典概型概率求值概率的基本性质概率性质、公式事件的相互独立性求概率三、重难点题型突破考点1 随机事件的关系与性质例1．(1)、（2022·全国·高二单元测试）“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（）. A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防；B．小概率事件很少发生，不用怕；C．小概率事件就是不可能事件，不会发生；D．大概率事件就是必然事件，一定发生．【答案】A【解析】【分析】理解谚语的描述，应用数学概率知识改写即可.【详解】“不怕一万，就怕万一” 表示小概率事件很少发生，但也可能发生，需提防；故选：A(2)、（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）（多选题）豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0～10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（）A ．m 的值是32%B ．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星C ．随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56D ．若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件【答案】ACD 【解析】【分析】对A 选项，由题意参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则二星及以上的频率加和为97.6%，即可求解；对B 选项，由频率只能推出可能有24人符合条件；对C 选项，将评价为三星和五星的频率加和即可；对D 选项，“至多1人评价五星”即为无人评价或1人评价五星，依据互斥事件与对立事件定义判断即可. 【详解】对A 选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则24.0%32.9%8.7%97.6%m +++=，所以32%m =，故A 正确；对B 选项，随机抽取100名观众，可能有10024.0%24⨯=人评价五星，但不是一定的，故B 错误；对C 选项，由A 选项，评价是三星或五星的概率约为32%24.0%56%+=，故C 正确；对D 选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故D 正确；故选：ACD【变式训练1-1】、（2022·全国·高一课时练习）(多选题)张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是 A ．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜 B ．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜 C ．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜 D ．张明､李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜【答案】ACD 【解析】分别判断每个游戏每人获胜的概率是否相等即可. 【详解】选项A 中,向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等,A 符合题意;选项B 中,张明获胜的概率是12,而李华获胜的概率是14,故游戏规则不公平,B 不符合题意;选项C 中,扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等,C 符合题意;选项D 中,两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等,D 符合题意. 故选：ACD 【点睛】本题主要考查了根据事件的概率判断游戏是否公平的问题,属于基础题型.【变式训练1-2】、（2022·全国·高二课时练习）已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是（）A ．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈；B ．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈；C ．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%；D ．以上说法都不对．【答案】C 【解析】【分析】根据概率的定义判断即可；【详解】解：使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，即使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，故C 正确；如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，被治愈的人数理论预测值为10090%90⨯=人，不一定必有90人被治愈，故A 错误；如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物被治愈的概率为()21190%99%--=，也可能不被治愈，故B 错误；故选：C考点2 古典概型例2．（2022·全国·高一单元测试）（多选题）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位､十位､百位､千位……，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位､十位､百位､千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A =“表示的四位数能被3整除”，B =“表示的四位数能被5整除”，则（）A ．()38P A =B ．()13P B =C ．()1116P A B ⋃=D ．()316P AB =【答案】ACD 【解析】【分析】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，由此可得四位数的个数，能被3整除，只能是2个1和2个5，求出四位数的个数后可得概率，而被5整除，只要个位数字是5即可．由此计数后可计算出概率，判断各选项．【详解】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，四位数的个数是4216=，能被3整除的数字1和5各出现2个，因此满足条件的四位数和个数是246C =，所以63()168P A ==，能被5带除的四位数个数为328=，81()162P B ==，能被15带除的是能被3整除的四位数的个数是5，因此满足这个条件的四位数的个数是133C =，概率为3()16P AB =， 31311()()()()821616P A B P A P B P AB =+-=+-=．故选：ACD ．【变式训练2-1】、（2022·全国·高一单元测试）1742年6月7日，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和.这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“1＋1”.1966年，我国数学家陈景润证明了“1＋2”，获得了该研究的世界最优成果.若在不超过30的所有质数中，随机选取两个不同的数，则两数之和不超过30的概率是________. 【答案】23【解析】【分析】根据题意，利用列举法求出不超过30的所有质数，再利用古典概型的概率公式进行计算即可．【详解】根据题意可知，不共有超过30的所有质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选取2个不同的数有21045C=种，和超过30的共有(2,29),(3,29)(5,29)(7,29)(11,29)(13,29)(17,29)(19,29)(23,29)(11,23)(13,23)(17,23)(19,23)(13,19)(17,19)15种，所以两数之和不超过30的概率是45152 453-=．【点睛】本题主要考查古典概型概率的求解．考点3 随机模拟例3．（2022·河南·模拟预测（理））在圆224x y +=内随机地取一点(,)P x y ，则该点坐标满足(2)(21)0y x x y -++≤的概率为（） A ．12B ．22C ．6πD ．510π 【答案】A 【解析】【分析】由目标式得20210y x x y -≤⎧⎨++≥⎩或20210y x x y -≥⎧⎨++≤⎩，结合224x y +=画出符合要求的可行域，根据圆的性质及直线20y x -=、210x y ++=的位置关系确定可行域与圆面积的比例，即可得概率.【详解】由20210y x x y -≤⎧⎨++≥⎩或20210y x x y -≥⎧⎨++≤⎩，如下图阴影部分所示：由图知：在圆224x y +=内随机取(,)P x y 在阴影部分，而20y x -=过圆心(0,0)，且20y x -=与210x y ++=相互垂直，所以阴影部分为圆面积的12，故概率为12. 故选：A【变式训练3-1】、（2021·全国·高一课时练习）农历正月初一是春节，俗称“过年”，是我国最隆重、最热闹的传统节日.家家户户张贴春联，欢度春节，其中“福”字是必不可少的方形春联.如图，该方形春联为边长是40cm 的正方形，为了估算“福”字的面积，随机在正方形内撒100颗大豆，假设大豆落在正方形内每个点的概率相同，如果落在“福”字外的有65颗，则“福”字的面积约为（）A ．2500cmB ．2560cmC ．2820cmD ．21040cm【答案】B 【解析】【分析】设“福”字的面积为2cm x ，由几何概型建立比例关系，可以求出. 【详解】设“福”字的面积为2cm x ，根据几何概型可知21006510040x-=，解得()2560cm x =. 故选：B. 【点睛】本题考查几何概型的应用，属于基础题. 考点4 概率统计的综合应用例4．（2022·全国·高二课时练习）甲乙两名选手在“10米气步枪”训练赛上的成绩（环数）如茎叶图所示．(1)成绩不低于590环即可通过预选赛进入初赛，估计甲乙两位选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于590环的可能性，据此估计哪位选手更有可能通过预选赛；(2)按往年记录，成绩不低于594环即有大概率进入决赛，估计甲乙两位选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于594环的可能性，据此估计哪位选手更有可能进入决赛．【答案】(1)乙选手 (2)甲选手【解析】【分析】（1）由茎叶图，数出甲乙总共射击的次数和不低于590环的次数，可得到概率，进而比较得出结果；（2）由茎叶图，数出甲乙总共射击的次数和不低于594环的次数，可得到概率，进而比较得出结果；(1)甲选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于590环的可能性为8 15，乙选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于590环的可能性为102 153=，28315>，所以，乙选手更有可能通过预选赛．(2)甲选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于594环的可能性为62 155=，乙选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于594环的可能性为2 15，22515>，所以，甲选手更有可能进入决赛．【变式训练4-1】、（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））家庭教育是现代基础教育必不可少的一个重要组成部分，家庭教育指导师是一个新兴的行业.因为疫情的影响，某家庭教育指导师培训班转为线上教学.已知该培训班推出网课试听的收费标准为每课时100元，现推出学员优惠活动，具体收费标准如下（每次听课1课时）：第n次课第1次课第2次课第3次课第4次课或之后收费比例0.9 0.8 0.7 0.6听课课时数1课时2课时3课时不少于4课时频数50 20 10 20假设网课的成本为每课时50元.(1)根据以上信息估计1位学员消费三次及以上的概率；(2)若一位学员听课4课时，求该培训班每课时所获得的平均利润.【答案】(1)3 10(2)25元【解析】【分析】（1）根据样本数据中，消费三次及以上的频数除以样本容量可得；（2）根据收费标准直接计算出学费，用学费减去成本费，然后除以4可得.(1)由题知，在100名学员中听课三次及以上的有30人，故1位学员消费三次及以上的概率大约为30310010=. (2)当一位学员听课4课时时，学费为100(0.90.80.70.6)300⨯+++=元，网课成本共504200⨯=元，所以培训班每课时所获得的平均利润为300200254-=元.四、课堂定时训练（45分钟）1．（2022·全国·高一课时练习）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件A =“正面向上”，则下列说法正确的是（）A ．抛掷硬币10次，事件A 必发生5次B ．抛掷硬币100次，事件A 不可能发生50次C ．抛掷硬币1000次，事件A 发生的频率一定等于0.5D ．随着抛掷硬币次数的增多，事件A 发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小【答案】D 【解析】【分析】根据频率与概率的关系可得答案. 【详解】不管抛掷硬币多少次，事件A 发生的次数是随机事件，故ABC 错误；随着抛掷硬币次数的增多，事件A 发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小；故选：D2．（2022·全国·高一课时练习）独立地重复一个随机试验()*,1n n N n ∈≥次，设随机事件A 发生的频率为()f n ，随机事件A 发生的概率为P ，有如下两个判断：①如果(){},1f n n N n *∈≥是单元素集，则1P =；②集合(){},1f n n N n *∈≥不可能只含有两个元素，其中（）A ．①正确，②正确B ．①错误，②正确C ．①正确，②错误D ．①错误，②错误【答案】B 【解析】【分析】对于①，举反例可判断①的正误；对于②，利用频率与概率的关系可判断②正误，即可得出结论. 【详解】对于①，比如定义随机试验：从10个红球中任意抽取3个球，定义随机事件:A 三个球中有一个白球，则0P =，且(){}{},10f n n N n *∈≥=，①错；对于②，频率会随着试验的变化而变化，是一个变化的值，但随着试验次数的增加，频率会接近于概率，因此，(){},1f n n N n *∈≥不可能只含有两个元素，②对.故选：B.3．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（） A ．任何事件的概率总是在（0，1）之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定【答案】C【解析】【分析】由频率和概率的定义可得答案.【详解】不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A错；频率是由试验的次数决定的；故B错；概率是频率的稳定值，故C正确，D错. 故选：C.4．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）下列说法错误的是（）A．一对夫妇生2个小孩，恰好一男一女的概率为1 3B．掷一颗骰子2次，两次向上的点数相同的概率为1 6C．若A，B为两个任意事件，则事件A B+对立事件是事件A，B都发生D．试验次数足够多，事件A发生的频率其实就是事件A发生的概率【答案】AD【解析】【分析】由题意得出基本事件的个数由古典概型求概率可判断AB，根据和事件、互斥事件、对立事件的概念判断C，由频率与概率的关系判断D.【详解】对于A，一对夫妇生2个小孩，共有（男，男），（女，女），（男，女），（女，男）四个基本事件，由古典概型可知，恰好一男一女的概率为2142P==，故A错；对于B，掷一颗骰子2次出现的点数为基本事件，共36个，其中两次点数相同的共有(1,1),(2,2),,(6,6)，6个基本事件，故由古典概型可知61366P==，故B正确；对于C，和事件A B+发生，就是A，B事件至少一个发生，它的对立事件就是A，B事件都不发生，即事件A，B都发生，故C正确；对于D，试验次数足够多，事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近，不一定是事件A发生的概率，故D错误.故选：AD5．（2022·山东滨州·高二期中）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过2h ，这些人的近视率约为60%．现从每天玩手机不超过2h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为___________．【答案】110##0.1 【解析】【分析】设该校有a 名同学，根据已知条件，求出每天玩手机不超过2h 的学生的人数及其中近视的人数，再利用频率估计概率即可得答案．【详解】解：设该校有a 名同学，则约有0.3a 的学生近视，约有0.4a 的学生每天玩手机超过2h ，且每天玩手机超过2h 的学生中近视的有0.40.60.24a a ⨯=的学生，所以有0.6a 的学生每天玩手机不超过2h 且其中有0.30.240.06a a a -=的学生近视，所以从每天玩手机不超过2h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为0.0610.610a P a ==．故答案为：110． 6．（2022·全国·高二课时练习）根据某省教育研究机构的统计资料，今在校中学生近视率约为37.4%．某眼镜商要到某一中学给学生配眼镜，若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜不少于______副．【答案】225【解析】【分析】根据题中给出的近视率，估算出近视人数，进而估算出应带的眼镜数【详解】由已知得，该学校需要佩戴眼镜的人数大概为：60037.4%224.4225⨯=<（人），所以，该眼镜商应带眼镜不少于225副故答案为：2257．（2021·全国·高一课时练习）VBA （Visual Basic for Application ）是Excel 自带的一种程序设计语言，它具有一般程序设计语言所具有的功能，可由手工写入或宏记录器两种方式生成．使用VBA 宏记录器无须亲自写VBA 的代码，在计算机内会自动生成VBA 的代码．你只要打开宏记录器，做1次你所需要的操作．例如，画1个经常要用的表格，宏记录器会用代码记录下你的每一步操作，操作完成后，保存为一个叫宏的文件．下次再做同样的事，你只要执行该文件，就可以自动画出已设计好的表格．当然，如果没有相关记录，就要靠人工编写VBA 程序来弥补．如图，在Excel 工作表中，选择“开发工具/VisualBasic 编辑器”．在VB 编辑器窗口中选择“工具/宏”，在弹出的对话框中，在“宏名称”栏内输入宏的名称，如“抛掷硬币”，单击“创建”，出现宏主体语句Sub 和End Sub ，输入你的程序后按F5即可运行．如不满意，可随时修改．当抛掷次数为10000时，可得出现正面的频率为0.4944（你的模拟结果可能与此不同），并填写下表：模拟次数正面向上的频率10100100050001000050000100000500000【答案】见解析【解析】【分析】根据模拟结果直接求出频率即可.【详解】我的试验结果如下表：模拟次数正面向上的频率10 0.6100 0.511000 0.4995000 0.49610000 0.501050000 0.5066100000 0.4996500000 0.50062随着试验次数的增加，正面向上的频率越来越稳定在0.5附近，即试验次数越多，概率的估计值就越来越准确.。

概率论与数理统计课件：1-2 概率论的基本概念频率和概率

17
古典概型问题中，样本空间的构造必须保证其中的每个样本点发生的可能性都相同。
练习1.4.1 抛一枚均匀硬币三次，计算P { 恰好出现一次正面 }。提示：这里有两种构造样本空间的形式， ① 以随机试验的全部结果构造 S1 = { HHH，HHT，HTH，HTT，THH， THT，TTH，TTT } 因此 P (A ) = 3/8 ； ② 以正面出现的次数构造 S2 = { 0，1，2，3 } 因此 P (A ) = 1/4 。
概率P (B – A) 的值。பைடு நூலகம்
解。分析：由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。
(1) A、B互不相容即 AB = ，得到 P (B – A ) = 0.5；
(2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2；
频率的这种稳定性表明了随机现象也具有规律性，称为是统计规律(大量试验下体现出来的规律)。
4
概率的频率定义
自然地，可以采用一个随机事件的频率的稳定值去描述它在一次试验中发生的可能性大小，即用频率的极限来作为概率的定义。
然而实际上，我们不可能对每一个随机事件都去做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也无法去定义它们的频率。
16
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A表示事件至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
P( A) N ( A) 7 N(S) 8
i 1

3.1.1 频率与概率

(2)由于频率稳定在常数0.90，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.90. 小结：概率实际上是频率的科学抽象，某事件的概率可以通过该事件的频率来估计.
2.某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下：
时间出生婴儿数出生男婴数
2009年 21 840 11 453
2010年 23 070 12 031
历史上有些学者做过成千上万次的抛掷硬币的试验.结果如下表：
抛掷硬币试验
实验者
德·摩根蒲丰费勒
皮尔逊罗曼洛夫斯基
试验次数(n)
出现正面的次数(m)
出现正面的频率 (m/n)
2 048 4 040 10 000 24 000 80 640
1 061 2 048 4 979 12 012 40 173
2011年 20 094 10 297
2012年 19 982 10 242
(1)试计算男婴各年出生的频率（精确到0.001）. (2)该市男婴出生的概率约是多少？
解：(1)2009年男婴出生的频率为：11 453 0.524.
21 840
同理可求得在2010年、2011年和2012年男婴出生的频率分别为： 0.521,0.512,0.513. (2)每年男婴出生的频率都在0.51～0.53，故该市男婴出生的概率约是0.52.
女/万
28 636 33 806 48 874 54 873 61 228 65 287
性别比（以女性为100） 107.55 105.46 106.28 106.60 106.74 105.20
【动手练习】
用随机数表来模拟抛掷硬币的试验. 用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中的任意5 个表示“正面朝上”，其余5个表示“反面朝上”，每产生一个随机数就完成一次模拟.

1-3,4概率论

注意：概率的定义直观地描述了事件发生的可能性大小,反映了概率的本质内容,但也有其不足,即无法根据此定义计算某事件的概率.
概率的性质
性质1 P() 0. 性质2(有限可加性) 若随机事件 A1 , A2 ,, An 互不相容，则
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An )
一、古典型概率
1.古典概型定义
如果一个随机试验E具有如下特征：
(1)试验所有可能的结果是有限个，设为n个，
即S {e1 , e2 ,, en };
(2)每一个结果在一次实验中发生的可能性相同,
即P ({e1 }) P ({e2 }) P ({en }),
则称该随机试验为等可能概型(或古典概型).

7 5 1 12 12
例2 P ( A) 0.7, P ( A B ) 0.3, 求P ( AB ). 解： P ( AB) P ( A) P( A B) 0.4
P ( AB) 1 P ( AB) 0.6
§1.4
古典概型与几何概型
一、古典概型二、几何概型
一般地,对于任意n个事件 A1 , A2 ,, An 有
P ( A1 A2 An ) P ( Ai )
i 1 n 1 i j n

P ( Ai Aj )
1 i j k n

P ( Ai Aj Ak ) (1)n1 P ( A1 A2 An ).
-P(AB)- P(BC)- P(AC)+ P(ABC)
0 ≤ P(ABC) ≤ P(AB)=0
所以有

简述概率和频率的关系(一)

简述概率和频率的关系(一)
简述概率和频率的关系
1. 概率和频率的定义
•概率指的是某一事件在大量重复试验中发生的可能性或可能出现的结果。

•频率指的是某一事件在实际观察中的出现次数或出现的相对比例。

2. 概率与频率的关系
•概率和频率的基本关系：概率和频率是有着密切关系的，两者在一定条件下是可以相互靠近的。

•大数定律：根据大数定律的原理，当试验次数趋近于无穷大时，频率会无限接近概率。

换言之，当试验次数足够多时，频率会逐渐收敛于概率。

3. 概率与频率的解释和说明
•频率的解释和说明：频率是通过实际观察得到的结果，是一种直接可观察和统计的数据。

通过统计实验的结果，我们可
以计算出频率。

•概率的解释和说明：概率则是从理论上对某一事件发生的可能性进行估计和计算。

概率可以通过推理、模型、公式等
方式得出。

•概率和频率之间的关系：概率是对频率的理论估计和计算，而频率则是实际观察到的结果。

通过大数定律，我们可以认为频率是概率的一个近似值，概率可以通过频率来进行验证。

•应用概率和频率的场景：在实际问题中，我们往往通过频率来验证概率的正确性。

例如，在赌博游戏中，我们可以根据理论上的概率来计算赢钱的可能性，然后通过实际的试验和观察来验证我们的计算是否准确。

总结
概率和频率是统计学中两个重要的概念，它们描述了事件发生的可能性和实际观察到的结果。

概率是对事件理论上可能发生的估计，而频率是通过实际观察和统计得到的结果。

通过大数定律，我们可以认为频率逐渐收敛于概率。

在实际应用中，我们常常通过频率来验证概率的准确性。

频率与概率(1)练习

频率与概率（1）练习目标导航经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.基础过关1.当试验次数很大时，稳定在相应的概率附近，所以我们可以通过多次试验，同一个事件发生的来估计这事件发生概率.2.有两组完全相同的给牌，每组两张，牌面数字分别是2、3以每给牌中各摸出一张牌为一次试验，小红与小刚共做了100次试验后，将试验结果记录如下.根据试验结果，估计牌面数字和为4、5、6的概率分别是.3.袋中装有3个红球，1个白球，除颜色外完全相同.（1）用试验的方法估计，从袋中随意摸出一个球是白球概率.（2）计算从袋中任意摸出一个球是白球的理论概率是多少？（3）试验估计的结果与理论概率一样吗？为什么？你认为要得到较为准确的估计值应注意哪些问题？4.某市场设立一个可以自由转动的转盘（如图），并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在那一区就可以获得相应的奖品，下列是活动进行中的一组统计数据.（1）计算并完成表格；（2）请估计，当n很大时，频率将会接近多少？（3）假如你去转动该转盘1次，获得铅笔的概率约是多少？（4）在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少度？5.用试验的方法估计下列事件的频率.（1）掷一枚均匀的硬币两次，出现一正一反的概率是多少？（2）袋中有2个红球，1个白球，除颜色外都相同.第一次摸出的是红球，放回摇匀，第二次摸到的是白球的概率.6.在抛啤酒瓶盖测定落地时“正面朝上”的概率的试验中，会遇到各种情况，你觉得下面的说法正确吗？谈谈你的看法：（1）一位同学说：“我只做了10次试验就可以得出瓶盖落地后正面朝上的概率约为30％”. （2）一位同学用的啤酒瓶盖不小心滚得不见了，另一位同学出主意说：“用可乐瓶盖代替一下，就能接着试验了”.（3）一位同学说：“用一个瓶盖抛速度太慢，用5个相同型号的啤酒瓶盖同时抛，每抛一次，这样可以提高试验速度”.7.三张除数字外完全相同的纸牌，数字会别为1、2、3，每次抽取一张，为一次试验，多次试验后汇总为下表.（1（2（3）通过对表格的仔细观察，你有什么感想或启发与同伴交流.能力提升8.下列说法正确的是（）A.在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天；B.彩标中将的机会是1％，买100张一定会中奖；C.天气预报说明天下雨的概率是50％，所以明天将有一半的时间在下雨；D.抛一枚图钉钉尖着地和钉尖朝上的概率一样大.9.某足球评论员预测：“6月13日进行的世界杯小组赛意大利队对加纳队的比赛，意大利队有80％的机会获胜”.与“有80％的机会获胜”意思最接近的是（）A.意大利队步定会赢这场比赛B.意大利队肯定会输这场比赛C.假如这两支球队进行10场比赛，意大利队会赢8场左右D.假如这两支球队进行10场比赛，意大利队恰好会赢8场10.如图，创新广场上铺设了一种新颖的石子图案，它由五个过同一点且半径不同的圆组成，其中阴影部分铺黑色石子，其余部分铺白色石子.小鹏在规定地点随意向图案内投掷小球，每球都能落在图案内，经过多次试验，发现落在一、三、五球（阴影）内的概率分别是0.04、0.2、0.36，如果最大圆的半径是1m，那么黑色石子区域的总面积约为m2（精确到0.01m2）.11.下列事件是必然事件的是（）A.小婷上学一定坐公交车B.买一张电影票，座位正好是偶数C.小红期末考试数学成绩一定得满分D.将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上聚沙成塔将一枚硬币抛起，使其自然下落，每抛两次作为一次实验，当硬币落定后，一面朝上，我们叫做“正”，另一面朝上，我们叫做“反”.（1）一次实验中，硬币两次落地后可能出现几种情况图片来源，百度搜索→硬币.（3）根据上表，制作相应的频数分布直方图.（4）经观察，哪种情况发生的频率较大.（5）实验结果为“正反”的频率是多大.（6）5个同学结成一组，分别汇总其中两人，三人，四人，五人的实验数据，得到40次，（7）依上表，绘制相应的折线统计图.（8）计算“正反”出现的概率.（9）经过以上多次重复实验，所得结果为“正反”的频率与你计算的“正反”的概率是否相近.。

《频率与概率》教学设计1 详案

一、复习历史起源概率论是一门应用非常广泛的学科。

在数学史上,它的产生是以帕斯卡和费马在1654 年的七封通信为标志的。

由于这些信件中所解决的问题多是与赌博有关的点数问题,因此人们总是把概率论的产生归功于赌博这项机遇游戏。

（二）情景引入：下面是火箭08-09赛季十佳球一段视频，请大家观看：（放视频）问1：姚明罚篮一次命中概率有多大？学生先思考、讨论、发言后媒体出示甲、乙、丙的说法：甲：100% 姚明是世界明星嘛！乙：50% 因为只有进和不进两种结果，所以概率为50%. 丙：80% 姚明很准的，大概估计有80%的可能性.同学们，你们同意谁的观点？请大家再看一段视频，问：姚明的命中率是92%？对吗？师：那它究竟有没有规律，或者说还有没有办法探求概率呢？屏幕上显示08—09赛季姚明罚篮命中率86. 6%.师：姚明的命中率从何而来？（统计结果）怎么统计的？（罚中个数与罚球总数的比值）学完本节课的知识，我们就能轻而易举的解决此类问题了。

（设计意图：从学生熟悉、感兴趣的事物和最喜欢的球星引入，激发学习兴趣的同时，得出姚明罚篮命中的可能性不相等，由此引发认知冲突，导入新课）（二）试验探究问题2：怎样用频率估计概率？1、抛掷一枚硬币正面（有数字的一面）向上的概率是二分之一，这个概率能否利用刚才计算命中率方法──通过统计很多掷硬币的结果来得到呢？（设计意图：已知概率的情况下引入试验，基于以下原因：（1）抛掷硬币试验所需条件容易实现，可操作性强；（2）硬币试验历史上积累了大量数据，更有利于问题的说明；（3）用频率估计概率可以和前两节学习的概率的古典定义统一，两种不同的方法求得的是同一个概率，且概率的统计定义比古典定义更具一般性）2、试验一（掷硬币试验）全班共分6个小组，每小组10人，设组长一名，每人抛20次，共1200次。

组长不参与抛掷.1）抛掷要求：①两人一组合，完成25次抛掷，一人抛一人画“正”记数，抛掷一次划记一次，“正面向上”一次划记一次；②抛的高度要达到自己坐姿的头顶高度，若硬币掉在地上，本次不作记录.（2）组长职责：①检查组员抛掷是否符合要求；②收集本组数据，把数据录入教师机中的抛掷情况表. 全班共同填写硬币抛掷统计表（表3），将第1组数据填在第一列，第1、2组的数据之和填在第二列，……8个组的数据之和填在第8列.（设计意图：①“在相同条件下”使数据更真实有效；②合理分组，可以减少劳动强度，加快试验速度，同时在培养动手能力与探索精神中，培养团队协作精神.）表1（个人抛掷情况统计表）由此我们可以得到，随着抛掷次数的不断增加，频率越来越集中在0.5的附近。

高中数学频率与概率

况出现了8次,若用A表示“正面朝上”这一事件,则A
的( )
A.概率为 4
5
C.频率为8
B.频率为 4
5
D.概率接近于8
2.下面是某批乒乓球质量检查结果表:
抽取球数 50 优等品数 45
优等品出现的频率
100 200 500 1000 2000 92 194 470 954 1902
(1)在上表中填上优等品出现的频率. (2)中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等.
【习练·破】某中学为了了解高中部学生的某项行为规范的养成情况,在校门口按系统抽样的方法:每2分钟随机抽取一名学生,登记佩戴胸卡的学生的名字.结果,150名学生中有60名佩戴胸卡.第二次检查,调查了高中部的所有学生,有500名学生佩戴胸卡.据此估计该中学高中部一共有多少名学生.
C.任意取定10 000个标准班,其中大约9 700个班A发生 D.随着抽取的标准班数n不断增大,A发生的频率逐渐稳定在0.97,在它附近摆动
【思维·引】抓住事件的概率是在大量试验基础上得到,它只反映事件发生的可能性大小来判断.
【解析】1.选D.一对夫妇生两小孩可能是(男,男),(男, 女),(女,男),(女,女),所以A不正确;中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不正确;10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1, 所以C不正确,D正确.
提示:概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小,概率意义下的“可能性”是大量随机事件的客观规律,与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.

人教版高中数学必修2《频率与概率》PPT课件

④抛掷骰子 100 次，得点数是 1 的结果有 18 次，则出现 1 点的频率是590.
其中正确的命题为
()
A．①
B．②
C．③
D．④
[解析] ①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对 200 件产品来说
的．②③混淆了频率与概率的区别．④正确．
[答案] D
[方法技巧] 理解概率与频率应关注的三个方面 (1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件 A 的本质属性，随机事件 A 发生的概率是大量重复试验中事件 A 发生的频率的近似值． (2)由频率的定义我们可以知道随机事件 A 在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映． (3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
(1)若每辆车的投保金额为 2 800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率； (2)在样本车辆中，车主是新司机的占 10%，在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中，车主是新司机的占 20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4 000 元的概率．
[解] (1)设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元”，B 表示事件“赔付金额为 4 000 元”，以频率估计概率得 P(A)＝1105000＝0.15，P(B)＝1102000＝0.12.
•10．3 频率与概率
明确目标
发展素养
1.结合实例，会用频率估计概率．了 1.通过对频率与概率的联系和区别的学
解随机数的意义．
习，培养数学抽象素养．
2.会用模拟方法(包括计算器产生随 2.通过利用随机模拟的方法估计事件的
机数进行模拟)估计概率.

频率与概率练习题(1)

频率与概率练习题一、〖预习练习〗1、指出下列事件是必然事件，还是随机事件，还是不可能事件？①5张卡片上各写2，4，6，8，10中的一个数，从中任取一张是偶数；②从（1）题的5张中任取一张是奇数；③从（1）题的5张卡片中任取一张是3的倍数.2、下列事件，哪些是必然发生的事件？哪些是不可能发生的事件？哪些是随机事件？（1）13人至少有两人出生的月份是相同的（）（2）十五的月亮像一条弯弯的小船（）（3）小明买彩票，中500万奖金（）（4）打开书本任意翻开一页，其页码是85页（）（5）2006年我们将搬到太阳上去（）（6）你在一大串中随便选中一把，用它打开了门（）（7）一个有理数的绝对值是负数（）（8）闭上眼睛，从装了1万只标有1～10000的小球的口袋中一次任意某处三个球，它们的号吗是3，33，333（）3、下列事件中，是确定事件的是（）A、掷一枚6个面分别标有1～6的数字的均匀骰子，骰子停止运动后偶数点超上；B、从一副扑克牌中任意抽出一张牌，花色是红桃；C、任意选中电视的某一个频道，正在播放动画片；D、在一年出生的367名学生中，至少有两个人的生日在同一天4、从一副扑克牌中抽取5张红桃，4张梅花、3张黑桃放在一起，洗匀后，从中抽取10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事（）A、可能发生B、不可能发生C、很可能发生D、必然发生5、下列事件，哪些是必然发生的事件？哪些是不可能发生的事件？哪些是随机事件？（1）有一副洗好的只有数字1～10的10张扑克牌。

①任意抽取一张牌，它比6小②一次任意抽出两张牌，它们的和是24 。

③一次任意抽出两张牌，它们的和不小于2 。

（2）在一个不透明的口袋中，装有10个大小和外形一模一样的小球，其中有5个红球，3个蓝球，2个白球，并在口袋中搅匀。

①从口袋中摸出一个球，它们恰好是白球②从口袋中任意抽出2个球，它们恰好是白球③从口袋中一次摸出3个球，它们的颜色分别是红色、蓝色、白色④从口袋中一次摸出5个球，它们恰好是1个红色、1个蓝色和3个白色6、同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能事件的是( )(A)点数之和为12. (B)点数之和小于3.(C)点数之和大于4且小于8. (D)点数之和为13.7、掷一个质地均匀的骰子，观察向下的一面的点数，求下列事件的概率（1）点数为2 （2）点数为奇数（3）点数大于2且小于5 8、一副扑克牌共有54张，含大、小王，大王看成红色，小王看成是黑色，任意抽出一张回答下列问题。

8.3频率和概率(1)

0 不可能事件 P(A)=0 随机事件 P(A)是0 和1之间的数
1 必然事件 P(A)=1
对于一个随机事件,它发生的概率是由它自身决定的,并且是客观存在的,概率是随机事件自身的属性.
概率反映这个随机事件发生的可能性大小
但是我们用什么方法知道一个随机事件发生的概率呢?
抛掷硬币试：将试验数据汇总填入下表
从表以及图中可以看出，当抽查的足球数很多时，抽到优等品的频率 m/n接近于某一个常数，并在它附近摆动
某种绿豆在相同条件下的发芽实验结果表
每批粒数n 2 10 50 100 500 1000 1500 2000
发芽的粒数m 发芽的
2 9
44
92
463
928
1396 1866
m 1 0.9 0.88 0.92 0.926 0.928 0.931 0.931 频率 n
（1）从一副扑克牌（除去大小王）中任抽一张。１－ P （抽到红心） = ４；１－ P （抽到黑桃） = ４；１ P （抽到红心3）= － 52 ；１ P （抽到5）= －。 13
（2）有5张数字卡片，它们的背面完全相同，正面分别标有1，2，2，3，4。现将它们的背面朝上，从中任意摸到一张卡片，则：
0.47 0.49 0.46 0.52 0.48 0.51 0.49 0.49

当抛掷硬币次数很大时,正面朝上的频率是否比较稳定?
频率
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
抛掷次数
根据上表，完成下面的折线统计图：

事件的相互独立性、概率与频率知识点 (人教A版2019选择性必修第二、三册)

事件的相互独立性、概率与频率屾一1事件的相互独立性＠独立事件对任意两个事件A与B,如果P(A B)= P(A)P(B)成立，则我们称事件A与事件B相互独立，简称独立。

@ n个事件独立n个事件A1,A2,…,A n两两独立时，等式P(A1A2…儿）＝P(A1)P(A2)... P(A n)成立。

2频率与概率(I)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离的概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率几(A)会逐渐稳定千事件A发生的概率P(A)我们称频率的这个性质为频率的稳定性。

因此，我们可以用频率儿(A)估计概率P(A)。

案例我扔骰子前3次都是6,那第4次投出骰子是6的可能性有多大呢？理性分析，应该是－，因为第4次投骰子的概率与前三次无关；那假如我扔骰子前300次都是6,那第301次是6的可能性又有多大呢？此时，频率的稳定性会告诉你第301次是6的可能性很大，只能说明骰子是有问题的，这数学不就告诉你赌博十赌九输的原因了么！案例估值兀值。

（可百度下“用概率计算圆周率旷＇）(2)随机模拟蒙特卡洛方法：利用随机模拟解决问题的方法。

硌)＿【题型一】概率与频率【典题1】下列说法中，正确的是（）A概率是频率的稳定值，频率是概率的近似伯B做n次随机试验，事件发生m次，则事件发生的频率巴就是事件的概率C频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖千试验次数的理论值D任意事件A发生的概率P(A)总满足0< P(A) < 1。

【解析】根据题意，依次分析选项：对千A,由概率与频率的关系，A正确；对千B,概率是频率的稳定值，B错误；对千C,由概率与频率的关系，C正确；对千D,任意事件A发生的概率率P(A)总满足0:5 P(A)三1,D错误；故选：AC。

【点拨】正确理解概率与频率之间的关系。

【题型二】独立事件【典题1】已知事件A,B,且P(A)= 0.4, P(B) = 0.2,则下列结论正确的是()A 如果B c;;;A,那么P(AUB)= 0.4, P(AB) = 0.2B如果A与B互斥，那么P(AUB)= 0.6, P(AB) = 0C如果A与B相互独立，那么P(AUB)= 0.6, P(AB) = 0D如果A与B相互独立，那么P(AB)= 0.48, P(AB) = 0.12【解析】事件A,B,且P(A)= 0.4, P(B) = 0.2,对千A,若BgA，则P(AUB)= P(A) = 0.4, P(AB) = P(B) = 0.2,故A正确；对千B,若A与B互斥，则P(AUB)= P(A) + P(B) = 0.6, P(AB) = 0,故B正确；对于C,若A与B相互独立，则P(AB)= P(A)P(B) = 0.08,P(AUB) = P(A) + P(B) -P(AB) = 0.4 + 0.2 -0.08 -0.52,故C错误；对千D,若A与B相互独立，则P（刀B)= P(A)P(B) = 0.6 x 0.8 = 0.48,P（AB) = P(A)P(B) = 0.6 x 0.2 = 0.12,故D正确。

1.2事件的频率与概率

件, 称实值函数 P(A) 为 A 的概率，如果 P(A) 满足下述三条
公理
1 （非负性）对任一事件 , 有P( A) 0 A 2 （规范性）对必然事件 , 有P( ) 1 3 （完全可加性）对两两互斥事件列 A1 , A2 ,, 有
P Ai P ( Ai ) i 1 i 1
P ( A) p f n ( A) （无法计算）
频率的稳定性和基本性质启示我们给出如下的公理化定义
概率统计（ZYH）
二、概率的公理化体系
柯尔莫哥洛夫
1933年 , 苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公
理化体系, 给出了概率的严格定义, 使概率论有了迅速发展.
定义2 设Ω为试验 E 的样本空间, Ω 的子集 A 是随机事
3 设A, B是任意两个随机事件 A B, 则有 ,若
P B A P( B) P( A), P( B) P( A)
4 对任一随机事件, 有 A
P A 1, P( A ) 1 P( A)
概率统计（ZYH）
性质的证明
1 对不可能事件 , 有 P() 0
k k P Ai P ( Ai ) i 1 i 1
证令Ai (i k ), 则由公理与公理3 得 1
k k P Ai P Ai P ( Ai ) P ( Ai ) i 1 i 1 i 1 i 1
概率统计（ZYH）
例1 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. 试验序号
1 2 3 4 5 6
n5
nA
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学案1：10.3 频率与概率(一)

10.3 频率与概率(一)【自主预习】1．频率的稳定性一般地，随着试验次数n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率f n (A )会逐渐事件A 发生的概率P (A )，我们称频率的这个性质为频率的稳定性． 2．频率稳定性的作用可以用频率f n (A )估计概率P (A )．思考：频率和概率有什么区别和联系？【基础自测】1．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A 表示“正面朝上”这一事件，则A 的( ) A ．概率为45B ．频率为45C ．频率为8D ．概率接近于82．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共12道选择题，某同学说：“每个选项正确的概率是14，若每题都选择第一个选项，则一定有3道题的选择结果正确”．这句话( ) A ．正确B ．错误C ．有一定道理D ．无法解释3．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有()A．64个B．640个C．16个D．160个【合作探究】【例1】下列说法正确的是()A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1【规律方法】理解概率与频率应关注的三个方面(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．(2)由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．【跟踪训练】1．“某彩票的中奖概率为1100”意味着()A．买100张彩票就一定能中奖B．买100张彩票能中一次奖C．买100张彩票一次奖也不中D．购买彩票中奖的可能性为1100【例2】某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：(1)将各组的频率填入表中；(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．[思路探究]根据频率的定义计算，并利用频率估计概率．【规律方法】1．频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率，频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．【跟踪训练】2．某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．[探究问题]1．判断某种游戏规则是否公平的标准是什么？2．小明和小红通过抓阄决定谁代表班级参加学校举行的演讲比赛，规则如下：在一个不透明的盒子里有三个质地完全相同的小卡片，上面分别写有“参加”“不参加”“谢谢参与”，小明和小红分别从中摸取一个小卡片，摸到“参加”者代表班级参加学校举行的演讲比赛．这个游戏规则公平吗？请说明理由．【例3】某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？[思路探究] 计算和为偶数时的概率是否为12，概率是12就公平，否则不公平．[母题探究]1．在例3中，若把游戏规则改为：两人各自转动转盘一次，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果是偶数，那么(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．游戏规则公平吗？为什么？2．若在例3中，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的数字相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种：A．猜“是奇数”或“是偶数”；B．猜“不是4的整数倍数”．请回答下列问题：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？【规律方法】游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．【课堂小结】1．概率与频率的区别：频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性．2．概率与频率的关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，频率则随试验次数的变化而变化，次数越多频率越接近其概率，因此可以用随机事件的频率来估计其概率．【当堂达标】1．判断正误(1)随机事件的频率和概率不可能相等．( )(2)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化．( ) (3)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能．( ) 2．给出下列3种说法：①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．其中正确说法的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．33．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数可能为( ) A ．160B ．7 840C ．7 998D ．7 8004．试解释下面情况中概率的意义：(1)某商场为促进销售，举办有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20； (2)一生产厂家称，我们厂生产的产品合格的概率是0.98.【参考答案】【自主预习】2．思考： [提示] 区别：(1)在相同的条件下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An 为事件A 出现的频率．(2)概率是度量随机事件发生的可能性大小的量(3)频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性．联系：对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．【基础自测】1．B [做n 次随机试验，事件A 发生了m 次，则事件A 发生的频率为m n .如果多次进行试验，事件A 发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A 的概率．故810＝45为事件A 的频率．]2．B [从四个选项中正确选择选项是一个随机事件，14是指这个事件发生的概率，实际上，做12道选择题相当于做12次试验，每次试验的结果是随机的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3个，…，12个正确．因此该同学的说法是错误的．]3．C [由题意得80×(1－80%)＝80×20%＝16个．]【合作探究】【例1】D [一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A 不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B 不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C 不正确，D 正确．] 【跟踪训练】1．D [某彩票的中奖率为1100，意味着中奖的可能性为1100，可能中奖，也可能不中奖．][解](1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042. (2)样本中使用寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600.所以样本中使用寿命不足1 500小时的频率是6001 000＝0.6，即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.【跟踪训练】2．[解](1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12，由于投保额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.[探究问题]1．[提示]如果参加比赛的双方获胜(或失败)的概率是一样的，那么就说明这个游戏规则是公平的；否则就是不公平的．2．[提示]公平．因为每个人摸到“参加”的概率都是1 3.【例3】[解]该方案是公平的，理由如下：各种情况如表所示：由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P 1＝612＝12，(2)班代表获胜的概率P 2＝612＝12，即P 1＝P 2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的． [母题探究]1．[解] 不公平．因为乘积出现奇数的概率为412＝13，而出现偶数的概率为812＝23.2．[解] (1)为了尽可能获胜，乙应选择方案B.猜“不是4的整数倍”，这是因为“不是4的整数倍”的概率为810＝0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B.(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A ，这是因为方案A 是猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性．【当堂达标】1．[提示] (1)错误．二者可能相等．(2)错误．频率会发生变化，是变量，而概率是不变的，是客观存在的． (3)错误．频率和概率都能反映随机事件发生的可能性的大小． [答案] (1)× (2) × (3) ×2．A [由频率与概率之间的联系与区别知，①②③均不正确．]3．B [次品率为2%，故次品约8 000×2%＝160(件)，故合格品的件数可能为7 840.] 4．[解] (1)指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%. (2)是说该厂生产的产品合格的可能性是98%.。