最新人教版高中数学选修2-2第一章《利用导数判断函数的单调性》课后训练
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数的运算》课后导练
课后导练基础达标1.下列运算正确的是( )A.(ax 2-bx+c)′=a(x 2)′+b(-x)′B.(sinx-2x 2)′=(sinx)′-(2)′(x 2)′C.(cosx·sinx)′=(sinx)′cosx+(cosx)′·cosxD.(2cos x x )′=22)()(cos x x x '-' 答案:A2.y=cotx 的导数是() A.y′=x 2sin 1B.y′=x 2cos 1-C.y′=x 2sin 1-D.y′=x 2cos 1答案:C3.曲线f （x ）=x 3+x-2在P 0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P 0点的坐标为( )A.(1,0)或(-1,-4)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,4)答案:A4.设y=-2e x sinx,则y′等于( )A.-2e x cosxB.-2e x sinxC.2e x sinxD.-2e x (sinx+cosx) 解析:y′=-2(e x sinx+e x cosx)=-2e x (sinx+cosx).答案:D5.设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x -100),则f′(0)等于( )A.100B.0C.100×99×98×…×3×2×1D.1解析:∵f(x)=x(x-1)(x-2)…(x -100),∴f′(x)=(x -1)(x-2)…(x -100)+x·［(x-1)·(x-2)…(x -100)］′.∴f′(0)=(-1)(-2)…(-100)=100×99×98×…×3×2×1.答案:C6.过原点作曲线y=e x 的切线，则切点的坐标为____________，切线的斜率为__________. 解析:将e x 求导知(e x )′=e x .设切点坐标为(x 0,e 0x ),则过该切点的直线的斜率为e0x . ∴直线方程为y-e=e0x (x-x 0). ∴y-e 0x =e 0x ·x-x 0·e 0x .∵直线过原点,∴(0,0)符合上述方程.∴x 0·e 0x =e 0x ,∴x 0=1.∴切点为(1,e),斜率为e.答案:(1,e)，e7.曲线y=x 3在点(a,a 3)(a≠0)处的切线与x 轴、直线x=a 所围成的三角形的面积为61,则a=__________________.解析:∵y=x 3,∴y′=3x 2.∴y=x 3在(a,a 3)点的切线斜率k 为k=3a 2.∴切线方程为y-a 3=3a 2(x-a),y=3a 2x-2a 3.令3a 2x-2a 3=0,得x=32a,即y=3a 2x-2a 3与x 轴交点横坐标为32. 令x=a,得y=3a 2×a-2a 3=a 3,即y=3a 2x-2a 3与x=a 交点纵坐标为a3.则S 三角形=21|3a ||a 3|=61， ∴a 4=1，∴a=1或-1.答案：1或-1.8.曲线y=2-21x 2与y=41x 3-2在交点处的切线夹角是.(以弧度数作答)解析:⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.24,2232x y x y x 3+2x 2-16=0⇒(x-2)(x 2+4x+8)=0⇒x=2. ∴两曲线只有一个交点.∵y′=(2-21x 2)′=-x, ∴当x=2时,y′=-2.又∵y′=(43x -2)′=43x 2,∴当x=2时,y′=3. ∴两曲线在交点处的切线斜率分别为-2,3.∴夹角的正切值的绝对值为|3)2(132⨯-+--|=1. ∴夹角为4π. 答案:4π 9.求下列函数的导数.(1)f(x)=(x 3+1)(2x 2+8x-5); (2)f(x)=xtanx-xcos 2; (3)f(x)=22ln xx x+. 分析:为简化运算,一般先化简再求导.解:(1)∵f′(x)=［2x 5+8x 4-5x 3+2x 2+8x-5］′,∴f′(x)=10x 4+32x 3-15x 2+4x+8. (2)f′(x)=]cos 2sin []cos 2cos sin ['-='-xx x x x x x =x x x x x xsix 2cos sin )2sin (cos )2(-+'- =xx x x x x x x x 22cos sin 2sin cos )cos sin (-++ =xx x x x x 2cos sin 2cos sin -++ =tanx+x x x x cos tan 2cos 2-. (3)f′(x)=(222ln xx x x -)′=(2ln x x )′+(22x x)′=4224222ln 22ln 1xx x x x x x x x x ∙-∙∙+∙-∙ =422)22(ln )ln 21(xx x x x x∙-∙+- =32)22(ln ln 21xx x x∙-∙+-. 10.已知f(x)=x 2+ax+b,g(x)=x 2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f′(x)=g′(x),f(5)=30,求g(4). 分析:题设中有四个数a 、b 、c 、d,确定它们的值需要四个方程.解:由f(2x+1)=4g(x),得4x 2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x 2+4cx+4d.于是有⎩⎨⎧=++=+)2(,41)1(,22d b a c a 由f′(x)=g′(x),得2x+a=2x+c,∴a=c. ③由f(5)=30,得25+5a+b=30. ④∴由①③可得a=c=2.由④得b=-5,再由②得d=21-. ∴g(x)=x 2+2x-21. 故g(4)=16+8-21=247. 综合运用 11.y=x x 4的导数是________________. 答案：y′=x x 44ln 1-. 12.设f(x)=x(1+|x|),则f′(x)=_________________.答案：f′(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+0.0,22x x x x x x 13.曲线y=x 2+1上点P 处的切线与曲线y=-2x 2-1也相切,求点P 的坐标. 分析:利用导数的几何意义.解:设P 点坐标为(a,a 2+1),由y=x 2+1,得y′=2x.过P 点的切线方程为y-(a 2+1)=2a(x-a),即y=2ax-a 2+1,由⇒⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=121222x y a ax y 由相切知此方程Δ=0,即a=±332, ∴P 点为(332,37),(332-,37). 14.当常数k 为何值时,直线y=x 才能与函数y=x 2+k 相切?并求出切点. 解:设切点A(x 0,x 20+k),∵y′=2x,∴⎩⎨⎧=+=.,120020x k x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.41,210k x 故当k=41时,直线y=x 与函数y=x 2+41的图象相切于点A 且坐标为(21,21). 15.设直线l 1与曲线y=x 相切于P,直线l 2过P 且垂直于l 1,若l 2交x 轴于Q 点,又作PK 垂直于x 轴于K,求KQ 的长.解:设P(x 0,y 0),则K 1l =y′|0x x ==021x , 由l 2和l 1垂直,故K 2l =-20x ,于是l 2:y-y 0=-20x (x-x 0), 令y=0,则-y 0=-20x (x Q -x 0),即-0x =-20x (x Q -x 0),解得x Q =21+x 0.易得x K =x 0, ∴|KQ|=|x Q -x K |=21. 拓展研究16.已知抛物线C 1:y=x 2+2x 和C 2:y=-x 2+a.如果直线l 同时是C 1和C 2的切线,称l 是C 1和C 2的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.(1)a 取什么值时,C 1和C 2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程.(2)若C 1和C 2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.(1)解:函数y=x 2+2x 的导数y′=2x+2,曲线C 1在点P(x 1,x 12+2x 1)的切线方程是y-(x 12+2x 1)=(2x 1+2)(x-x 1),即y=(2x 1+2)x-x 12.①函数y=-x 2+a 的导数y′=-2x,曲线C 2在点Q(x 2,-x 22+a)的切线方程是y-(-x 22+a)=-2x 2(x-x 2),即y=-2x 2x+x 22+a.②如果直线l 是过P 和Q 的公切线.则①式和②式都是l 的方程⎪⎩⎪⎨⎧+=--=+,,1222121a x x x x 消去x 2得方程2x 12+2x 1+1+a=0,此方程Δ=4-4×2(1+a).由Δ=0,得a=21-,解得x 1=21-,此时P 与Q 重合,即当a=21-时,C 1和C 2有且仅有一条公切线.由①得公切线方程为y=x-41. (2)证明:由(1)可知,当a<21-时,C 1和C 2有两条公切线,设一条公切线上切点为P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2),其中P 在C 1上,Q 在C 2上,则有x 1+x 2=-1,y 1+y 2=x 12+2x 1+(-x 22+a)=x 12+2x 1-(x 1+1)2+a=-1+a,线段PQ 的中点为(21-,21a +-). 同理,另一条公切线段P′Q′的中点也是(21-,21a +-), 所以公切线段PQ 和P′Q′互相平分.。
高中数学选修2-2第一章知识点及测试题
高中数学选修2-2知识点总结第一章 导数及其应用1. 平均变化率 xf x f x y x x ∆-∆+=∆∆)()(00 2. 导数（或瞬时变化率） x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0000导函数(导数)： xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(03. 导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f '(x 0)．4. 导数的运算：(1)几种常见函数的导数：①(C )′＝0(C 为常数)； ②(x α)′＝1x αα-(x ＞0，Q α∈)； ③(sin x )′＝cos x ； ④(cos x )′＝－sin x ； ⑤(e x )′＝e x ； ⑥(a x )′＝a x ln a (a ＞0，且a ≠1)； ⑦xx 1)(ln =； ⑧1(log )ln a x x a =(a ＞0，且a ≠1)．(2)导数的运算法则：①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③)0)(()()()()()(])()([2=/'-'='⋅x v x v x v x u x v x u x v x u . 5. 设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《函数的极值与导数》课后训练1
1.3.2 函数的极值与导数练习1．函数y＝f(x)＝x2＋x＋1的极小值是()A．1 B.3 4C.74D．不存在2．下列函数存在极值的是()A．f(x)＝1xB．f(x)＝x－e xC．f(x)＝x3＋x2＋2x－3 D．f(x)＝x33．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是() A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－3或a＞6 D．a＜－1或a＞25．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是()A．(a，b) B．(a，c)C．(b，c) D．(a＋b，c)6．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为__________．7．函数f(x)＝a ln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________.8．若函数f(x)＝x3－3x－k在R上只有一个零点，则常数k的取值范围为__________．9．求下列函数的极值：(1)f(x)＝3222(1)xx--；(2)f(x)＝x2e－x.10．(2011·重庆高考)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝12-对称，且f′(1)＝0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．解：(1)因f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，故f′(x)＝6x2＋2ax＋b.从而f′(x)＝22666a ax b⎛⎫++-⎪⎝⎭，即y＝f′(x)关于直线x＝6a-对称，从而由题设条件知162a-=-，解得a＝3.又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12.所以，实数a，b的值分别为3，－12.(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0.解得x1＝－2，x2＝1.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；当x∈(－2,1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数；从而函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6. 所以函数f(x)的极大值为f(－2)＝21，极小值为f(1)＝－6.。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数的概念》课后训练
1．1.2 导数的概念练习1．自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化量D ．在区间[x 0，x 1]上的导数2．函数f (x )在x 0处可导，则00()()lim h f x h f x h→+-( ) A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0，h 均无关3．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则0lim x y x ∆→∆∆等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋Δx 24．一个物体的运动方程为s (t )＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s5．函数y ＝x ＝4处的导数是( ) A.18 B ．18- C.116 D ．116- 6．物体运动的规律是s ＝s (t )，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是__________．7．已知函数y ＝f (x )＝1x，则此函数在[1,1＋Δx ]上的平均变化率为__________． 8．路灯距地面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度从路灯在地面上的射影点C 处沿某直线离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯后，在0 s 到10 s 内身影的平均变化率．9．设质点做直线运动，已知路程s 是时间t 的函数：s ＝3t 2＋2t ＋1.(1)求从t ＝2到t ＝2＋Δt 的平均速度，并求Δt ＝1，Δt ＝0.1与Δt ＝0.01时的平均速度；(2)求t ＝2时的瞬时速度．10．已知成本c 与产量q 的函数关系式为c ＝4q 2＋q －6，求当产量q ＝10时的边际成本．(注：边际成本是指在一定产量水平下，增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数)参考答案1. 答案：A2. 答案：B 由导数的概念可知，000()()lim h f x h f x h→+-＝f ′(x 0)，仅与x 0有关，与h 无关．故选B.3. 答案：A ∵邻近一点的坐标为(1＋Δx,2＋Δy )，∴2＋Δy ＝f (1＋Δx )＝(1＋Δx )2＋1＝2＋2Δx ＋(Δx )2.∴Δy ＝(Δx )2＋2Δx .∴y x ∆∆＝2＋Δx . ∴00lim lim x x y x ∆→∆→∆=∆(2＋Δx )＝2.故选A. 4. 答案：C s ′(3)＝0(3)(3)lim t s t s t∆-+∆-∆ ＝220[1(3)(3)](133)lim t t t t∆--+∆++∆--+∆ ＝0lim t ∆- (5＋Δt )＝5. 5. 答案：C ∵Δy ＝＝12=∴y x ∆=∆∴00lim lim x x y x ∆→∆→∆=∆ 116=. ∴y ′|x ＝4＝116. 6. 答案：()()s t t s t t +∆-∆ ()()s s t t s t t t ∆+∆-=∆∆7.答案：11x-+∆11(1)(1)111y f x f xx x x x-∆+∆--+∆===∆∆∆+∆.8.分析：(1)画出示意图，根据平面几何知识，可求y与x之间的关系；(2)由求平均变化率的步骤可得解．解：(1)如图所示，设人从点C运动到B处的路程为x m，AB为身影的长度，AB的长度为y m，由于CD∥BE，则AB BE AC CD=，即1.68yy x=+，所以y＝14 x.(2)84 m/min＝1.4 m/s，当从0 s到10 s时，身影长度增加了14×1.4×10－14×1.4×0＝72(m)，身影的平均变化率为77210020=-，即人离开路灯后，在0 s到10 s内身影的平均变化率为720m/s.9.分析：(1)根据平均变化率的概念可求平均速度；(2)即求函数s在t＝2处的导数．解：(1)从t＝2到t＝2＋Δt内的平均速度为(2)(2)s s t st t∆+∆-=∆∆＝23(2)2(2)134221t tt+∆++∆+-⨯-⨯-∆＝2143()143t ttt∆+∆=+∆∆.当Δt＝1时，平均速度为14＋3×1＝17；当Δt＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3；当Δt＝0.01时，平均速度为14＋3×0.01＝14.03.(2)t＝2时的瞬时速度为v＝00lim limt tst∆→∆→∆=∆(14＋3Δt)＝14.10．分析：由题意，知当q＝10时的边际成本，即为函数c在q＝10处的导数．解：∵Δc＝4(10＋Δq)2＋(10＋Δq)－6－(4×102＋10－6)＝4(Δq)2＋80Δq＋Δq＝4(Δq)2＋81Δq，∴24()81c q q q q∆∆+∆=∆∆＝4Δq ＋81. ∴边际成本为00lim lim q q c q ∆→∆→∆=∆ (4Δq ＋81)＝81. ∴当产量q ＝10时的边际成本为81.。
高中数学选修2-2讲义：第一章 3 1 利用导数判断函数的单调性 含答案
1.3导数的应用1．3.1 利用导数判断函数的单调性已知函数y 1＝x ，y 2＝x 2，y 3＝1x的图像如图所示．问题1：试结合图像指出以上三个函数的单调性．提示：函数y 1＝x 在R 上为增函数，y 2＝x 2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y 3＝1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．问题2：判断它们的导数在其单调区间上的正、负．提示：y 1′＝1在R 上为正，y 2′＝2x ，在(－∞，0)上为负，在(0，＋∞)上为正，y 3′＝－1x2在 (－∞，0)及(0，＋∞)上均为负．问题3：结合问题1、2探讨函数的单调性与其导函数正负有什么关系？ 提示：当f ′(x )>0时，f (x )为增函数，当f ′(x )<0时，f (x )为减函数．利用导数判断函数单调性的法则函数的单调性与其导数正负的关系(1)利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ′(x )>0(或f ′(x )<0)仅是函数f (x )在某个区间上递增(或递减)的充分条件．(2)在区间(a ，b )内可导的函数f (x )在区间(a ，b )上递增(或递减)的充要条件应是[对应学生用书P14]f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)(x ∈(a ，b ))恒成立且f ′(x )在区间(a ，b )的任意子区间内都不恒等于0.(3)特别地，如果f ′(x )＝0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内是常数函数．[例1] 求证：函数f (x )＝e x －x －1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数． [思路点拨] 根据函数的单调性与导数正负的关系，只要证明f ′(x )在(0，＋∞)上为正，在(－∞，0)上为负即可．[精解详析] 由于f (x )＝e x －x －1， 所以f ′(x )＝e x －1，当x ∈(0，＋∞)时，e x ＞1，即f ′(x )＝e x －1＞0. 故函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数，当x ∈(－∞，0)时，e x ＜1，即f ′(x )＝e x －1＜0. 故函数f (x )在(－∞，0)内为减函数．[一点通] 利用导数判断可导函数f (x )在(a ，b )内的单调性，步骤是：①求f ′(x )；②确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；③得出结论．1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝－x ＋ln (1＋x )解析：y ＝x e x ，则y ′＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )在(0，＋∞)上恒大于0. 答案：B2．证明函数f (x )＝x ＋sin x 在R 上是增函数． 证明：f ′(x )＝1＋cos x ，∵－1≤cos x ≤1，∴0≤1＋cos x ≤2，当且仅当cos x ＝－1，即x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f ′(x )＝0. ∴f (x )＝x ＋sin x 在R 上是增函数．3．讨论函数f (x )＝bxx 2－1(－1＜x ＜1，b ≠0)的单调性．[对应学生用书P15]解：∵f ′(x )＝b (x 2－1)－bx ·2x (x 2－1)2＝－b (x 2＋1)(x 2－1)2，∴当b ＜0时，f ′(x )＞0，故f (x )在(－1,1)上是增函数， 当b ＞0时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－1,1)上是减函数．[例2] 求函数f (x )＝x 2－ln x 2的单调区间．[思路点拨] 求定义域―→求导数f ′(x )并分解因式―→ 在定义域内议论导数f ′(x )的符号―→写出单调区间[精解详析] 函数f (x )＝x 2－ln x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x ＝2(x －1)(x ＋1)x，由f ′(x )＞0得－1＜x ＜0或x ＞1；由f ′(x )＜0得x ＜－1或0＜x ＜1.因此，函数f (x )的单调递增区间是(－1,0)，(1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，－1)，(0,1)． [一点通] 确定可导函数f (x )的单调区间应遵循下列步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )＞0，f ′(x )＜0； (4)写出函数的单调区间．4．函数f (x )＝5x 2－2x 的单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫15，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，15 C.⎝⎛⎭⎫－15，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－15 解析：由f ′(x )＝10x －2＞0得x ＞15，即增区间为⎝⎛⎭⎫15，＋∞. 答案：A5．求函数f (x )＝e xx －2的单调区间．解：函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝e x (x －2)－e x (x －2)2＝e x (x －3)(x －2)2. 因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以e x ＞0，(x －2)2＞0. 由f ′(x )＞0得x ＞3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )＜0得x ＜3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3).[例3] (12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．[精解详析] f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.⇨(2分)要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的， 则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立．⇨(5分)∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立， ∴a ≤(2x 3)min .⇨(7分)∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.⇨(10分)当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))，有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，16]．⇨(12分)[一点通] 已知f (x )在区间(a ，b )上的单调性，求参数范围的方法：(1)利用集合的包含关系处理：f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理：f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在(a ，b )内恒成立，注意验证等号对有限个x 成立．6．如果函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a ≠0)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则常数a 的值为( )A ．1B ．2C ．－6D ．－12解析：f ′(x )＝6x 2＋2ax ，令6x 2＋2ax ＜0，当a ＞0时，解得－a3＜x ＜0，不合题意；当a ＜0时，解得0＜x ＜－a 3，由题意知－a3＝2，a ＝－6.答案：C7．若函数f (x )＝ax 3－x 2－x －5的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1，求实数a 的值． 解：因为f ′(x )＝3ax 2－2x －1，且函数f (x )＝ax 3－x 2－x －5的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1，所以3ax 2－2x －1＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，1，则－13，1是方程3ax 2－2x －1＝0的两根且a ＞0，代入可得a ＝1.8．已知f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围． 解：∵f (x )＝x 3－ax －1，∴f ′(x )＝3x 2－a . 由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)， ∵f (x )在区间(－1,1)上不单调， ∴0＜3a3＜1，即0＜a ＜3.1．在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，只能在定义域内通过讨论导数的符号来确定函数的单调区间．2．一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间． 3．当给定问题中含有字母参数时，需要分类讨论确定单调区间． 4．两个单调性相同的区间，不能用并集符号连接．[对应课时跟踪训练(六)]1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间为( )A ．(0,1)B ．(0,1)∪(－∞，－1)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：y ′＝x －1x ＝(x －1)(x ＋1)x ，∵x ＞0，∴由y ′＜0得x ＜1，∴0＜x ＜1.答案：A2．设f ′(x )是函数f (x )的导数，y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )的图像最有可能是选项中的( )解析：由y ＝f ′(x )的图像得：当－1<x <1时，f ′(x )>0，所以y ＝f (x )在(－1,1)上单调递增．因为当x <－1和x >1时，f ′(x )<0，所以y ＝f (x )在(－∞，－1)，(1 ，＋∞)上分别单调递减．综合选项得只有B 正确．答案：B3．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)解析：在(0，＋∞)上，f ′(x )＝12x ＋1x>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)．答案：A4．若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,1] C ．(－∞，1]D ．(0,1)解析：f ′(x )＝3x 2－2ax －1，∵f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－2ax －1≤0在(0,1)内恒成立，∴f ′(0)≤0，f ′(1)≤0，∴a ≥1. 答案：A5．函数f (x )＝sin x －2x 的单调递减区间是________． 解析：∵f ′(x )＝cos x －2<0，∴f (x )在R 上为减函数． 答案：(－∞，＋∞)6．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．解析：若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b ＞0.答案：(0，＋∞)7．已知函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．解：∵函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，∴a ＜0，b ＜0.由y ＝ax 3＋bx 2＋5，得y ′＝3ax 2＋2bx . 令y ′＞0，得3ax 2＋2bx ＞0， ∴－2b3a＜x ＜0.令y ′＜0，得3ax 2＋2bx ＜0， ∴x ＜－2b3a或x ＞0.∴函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－2b 3a ，0，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－2b 3a 和(0，＋∞)．8．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，且f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0.(1)求a 和b ；(2)试确定函数f (x )的单调区间； (3)求证当x >3时，f (x )>9.解：(1)∵f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，∴f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b ，由f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0得⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋b ＝－4，1＋2a ＋b ＝0.解得a ＝1，b ＝－3.(2)由(1)得f (x )＝13x 3＋x 2－3x ，f ′(x )＝x 2＋2x －3＝(x －1)(x ＋3)． 由f ′(x )＞0得x ＞1或x ＜－3； 由f ′(x )＜0得－3＜x ＜1.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)． (3)证明：由(2)知f (x )在(3，＋∞)上是增函数， ∴x >3时，f (x )>f (3)＝9.。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数的实际应用》课后导练
课后导练基础达标1.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（ ）A.6B.8C.10D.12解析：设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3，由题意，得V=x(48-2x)2(0＜x ＜24)，V′=12(24-x)(8-x).令V′=0，则在(0,24)内有x=8.故当x=8时，V 有最大值. 答案:B2.在半径为r 的半圆内作一内接梯形,使其底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形的面积最大时,梯形的上底长为（ ） A.2r B.r 23 C.r 33 D.r 解析:设梯形的上底长为2x,高为h,面积为S, 因为h=22x r +, ∴S=2222)(222x r x r x r x r -+=-+ ∴S′=2222222222))(2(2)(xr x r x r xr x rx r xr x r x x r -+-=---=-+--.令S′=0得x=2r ,h=23. 当x ∈(0,2r )时,S′>0;当2r<x<r 时,S′<0. ∴当x=2r时,S 取极大值. 当梯形的上底长为r 时,它的面积最大. 答案:D3.设底为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D.23V 解析：设底面边长为x ，侧棱长为l ，则V=21x 2·sin60°·l ， ∴l=234x V .∴S 表=2S 底+3S 侧=x 2·sin60°+3·x·l=23x 2+xV34. ∴V′=3x-234xV =0.∴x 3=4V .即x=34. 又当x ∈(0,34)时，y′＜0,x ∈(34,V)时，y′＞0，∴x=34时，表面积最小.答案：C4.以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为（ ） A.10 B.15 C.25 D.50解析：如图，设∠NOB=θ，则矩形面积S=5sinθ·2·5cosθ=50sinθ·cosθ=25sin2θ，故S max =25.答案：C5.函数f(x)=x 3-3x(|x|＜1)( )A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，也无最小值D.无最大值，但有最小值 答案:C6.某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁.当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________________. 解析：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短.如右图所示，设场地宽为x 米，则长为x 512米，因此新墙总长度为L=2x+x 512(x ＞0),则L′=2-2512x.令L′=0,得x=±16.∵x ＞0，∴x=16.当x=16时,L 极小值=L min =64,∴堆料场的长为16512=32(米).答案：32 m,16 m7.(006江西南昌一模) 函数y=2x 3-3x 2-12x+5在［0，3］上的最大值、最小值分别是__________. 答案:5，-158.函数y=sin2x-x,x ∈［2π-,2π］的最大值是___________，最小值是____________.答案:2π 2π-9.将一段长为100厘米的铁丝截成两段，一段弯成圆，一段弯成正方形，问如何截能使正方形与圆面积之和最小，并求出最小面积.解：设弯成圆的一段长为x ，另一段长为100-x,正方形与圆的面积之和为S ，则S=π（π2x-）2+(4100x -)2(0＜x ＜100),所以S′=812-πx (100-x). 令S′=0得x=4100+ππ≈44(cm).由于在（0，100）内函数只有一个导数为0的点，故当x=4100+ππ时，S 最小,此时S=42500+π. ∴截成圆的一段铁丝长为4100+ππ时可使正方形与圆的面积之和最小，最小值为42500+π.10.货车欲以x km/h 的速度行驶，去130 km 远的某地.按交通法规，限制x 的允许范围是50≤x≤100.假设汽油的价格为2元/升，而汽车耗油的速率是（2+3602x ）升/小时，司机的工资是14元/小时，试问最经济的车速是多少？这次行车的总费用最低是多少？解：汽车运行的时间为x 130小时，耗油量为x 130×（2+3602x ）升，耗油费用为2×x 130×(2+3602x )元，司机的工资为14×x130元. 故这次行车的总费用为y=2×x 130×（2+3602x ）+14×x 130=130(x x 18180+). ∴y′=130(2181801x+). 由y′=0,得50≤x≤100内的唯一解为x=1810≈57 km/h. ∴最经济的车速为57 km/h ，最低费用为130×(571818057+)≈82.2(元). 综合运用11.如图，一艘渔船停泊在距岸9千米的A 处,今需派人送信给距渔船334千米处的海岸渔站C,若送信人步行速度为每小时5千米,船速为每小时4千米,问在何处上岸可以使抵站的时间最省?［参考导数公式（)()(21))(x f x f x f '∙='］解：设上岸点为D ，BD=x ，BC=15，AD=281x +,所用时间t(x)=5154812xx -++. ∴t′(x)=41·281x x+-51=0，解得x=12. ∴15-x=15-12=3(km).∴上岸点在距渔站3 km 处.12.如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为______________时,其容积最大.解析：设被切去的全等四边形的一边长为x,如题图,则正六棱柱的底面边长为1-2x,高为3x,∴正六棱柱的体积V=6×43(1-2x)2×3x(0<x<21),化简得V=29(4x 3-4x 2+x). 又V′=29(12x 2-8x+1),由V′=0,得x=21(舍去)或x=61. ∵当x ∈(0,61)时，V′>0,V 是增函数;当x ∈(61,21)时，V′<0,V 是减函数，∴当x=61时，V 有最大值，此时正六棱柱的底面边长为2[]3.答案：32拓展研究13.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未出租的车辆数为5030003600-=12,∴这时租出了88辆车.(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租凭公司的月收益为 f(x)=(100-503000-x )(x-150)-503000-x ×50=502x -+162x-21 000f′(x)=25x-+162,由f′(x)=0得 ∴当x=4 050时，f(x)最大，其最大值为f(4 050)=307 050(元).。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《函数的极值与导数》课后训练2
课后训练1．函数y＝2x3－3x2()A．在x＝0处取得极大值0，但无极小值B．在x＝1处取得极小值－1，但无极大值C．在x＝0处取得极大值0，在x＝1处取得极小值－1D．以上都不对2．若函数f(x)＝ax－ln x在x=处取得极值，则实数a的值为()A BC．2 D．1 23．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)4．三次函数当x＝1时，有极大值4，当x＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数可能是()A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则f(2)＝()A．7 B．11C．18 D．11,186．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad＝______．7．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a＞0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是__________．8．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是__________．9．函数f(x)＝x2e x－1＋ax3＋bx2，已知x＝－2和x＝1为f(x)的极值点．(1)求a和b的值；(2)讨论f(x)的单调性．10．设13()ln122f x a x xx=+++，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．参考答案1答案：C解析：y′＝6x(x－1)，令y′＝0，得x＝0，或x＝1．当x单调递增单调递减单调递增(0)＝时有极小值2答案：A解析：f′(x)＝1ax-，令'02f⎛=⎝⎭，即0a=，解得a=3答案：D解析：由图可得函数y＝(1－x)f′(x)的零点为－2,1,2，则当x＜1时，1－x ＞0，此时在(－∞，－2)上f(x)＞0，f′(x)＞0，在(－2,1)上f(x)＜0，f′(x)＜0；当x＞1时，1－x＜0，此时在(1,2)上f(x)＞0，f′(x)＜0，在(2，＋∞)上f(x)＜0，f′(x)＞0．所以f(x)在(－∞，－2)为增函数，在(－2,2)为减函数，在(2，＋∞)为增函数，因此f(x)有极大值f(－2)，极小值f(2)，故选D．4答案：B解析：三次函数过原点，且四个选项中函数的最高次项系数均为1，∴此函数可设为f(x)＝x3＋bx2＋cx，则f′(x)＝3x2＋2bx＋c．由题设知'(1)320,'(3)2760.f b cf b c=++=⎧⎨=++=⎩解得6,9.bc=-⎧⎨=⎩∴f(x)＝x3－6x2＋9x．∴f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)．可以验证当x＝1时，函数取得极大值4；当x＝3时，函数取得极小值0，满足条件．5答案：C解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有2'(1)320,'(1)10.f a bf a b a=++=⎧⎨=+++=⎩解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3．但当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，f(x)在R上单调递增，不可能有极值，应舍去，故只有a＝4，b＝－11．这时f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，f(2)＝18．6答案：2解析：∵y′＝3－3x2，令y′＝0得x＝±1，且当x＞1时，y′＜0，当－1≤x≤1时，y′≥0，当x＜－1时，y′＜0，故x＝1为y＝3x－x3的极大值点，即b＝1，又c＝3b－b3＝3×1－1＝2，∴bc＝2．又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2．7答案：2⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭解析：f′(x)＝3x2－3a2，令f′(x)＝0即x2－a2＝0．∴x＝±a．∵a＞0，∴当x＜－a，或x＞a时，y′＞0；当－a＜x＜a时，y′＜0．∴f(－a)＝2a3＋a是极大值，f(a)＝－2a3＋a是极小值．依题意得－2a 3＋a ＜0,2a 3＋a ＞0，由a ＞0得a >． 8答案：a ＞2，或a ＜－1 解析：∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0．∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2，或a ＜－1．9答案：解：因为f ′(x )＝e x －1(2x ＋x 2)＋3ax 2＋2bx ＝x e x －1(x ＋2)＋x (3ax ＋2b )，又x ＝－2和x ＝1为f (x )的极值点，所以f ′(－2)＝f ′(1)＝0． 因此620,3320.a b a b -+=⎧⎨++=⎩解方程组得13a =-，b ＝－1． 答案：因为13a =-，b ＝－1， 所以f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1．因为当x ∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f ′(x )＞0．所以f (x )在(－2,0)和(1，＋∞)上单调递增；在(－∞，－2)和(0,1)上单调递减．10答案：解：因f (x )＝13ln 122a x x x +++， 故f ′(x )＝21322a x x -+． 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而13022a -+=，解得a ＝－1． 答案：由(1)知f (x )＝13ln 122x x x -+++(x ＞0)， f ′(x )＝211322x x --+ ＝223212x x x-- ＝2(31)(1)2x x x +-． 令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，213x =-（因213x =-不在定义域内，舍去）． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3．。
人教版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数
第一章 导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用函数的单一性与导数A 级基础稳固一、选择题2 1)1．函数 y ＝ 4x ＋ 的单一增区间是 (xA ． (0，＋ ∞ )B ． (－ ∞， 1)C. 1，＋ ∞D ． (1，＋ ∞)21 11分析： y ′＝ 8x － 22＞ 0 得 x ＞2.x，令 y ′＞ 0，即 8x － x 答案： C2．若在区间 (a ， b)内有 f ′(x)＞ 0，且 f(a) ≥0，则在 (a ， b) 内有 ( )A ． f( x)＞ 0B ． f(x)＜ 0C ． f( x)＝ 0D ． f(x) ≥0分析：依题意， f(x)在 (a ， b)内单一递加， f( a) ≥0，因此 f(x)＞ 0.答案： A3．以下区间中，使函数 y ＝ x ·cos x － sin x 为增函数的区间是 ()π 3πA. ，2B ． ( π， 2π)2 C. 3π 5πD ． (2 π， 3π)2 ，2分析： f ′(x)＝ cos x － xsin x － cos x ＝－ x ·sin x ，当 x ∈( π， 2π)时， f ′(x)＞ 0.答案： B4．若函数 y ＝ a(x 3－ x)的单一减区间为－ 3，3，则 a 的取值范围是 ()33A ． (0，＋ ∞ )B ． (－ ∞， 0)C ． (1，＋ ∞ )D ． (－ ∞，－ 1)分析：依题意f ′(x)＝ a(3x 2－ 1)＝ 3a x －3x ＋3＜0 的解集为 － 3，3，因此 a ＞33330.答案： A5．已知函数 f(x)＝ x 3－ ax － 1，若 f( x)在 (－ 1， 1)上单一递减，则 a 的取值范围为 ()A． a≤ 3 B． a＜ 3 C ．a＞ 3D． a≥ 322在 (－ 1， 1)上恒成分析： f′(x)＝ 3x － a，由已知 f′(x)≤0在 (－ 1， 1)上恒建立，因此 a≥3x2立．又 0≤3x≤ 3，因此 a≥3.答案： D二、填空题6．若函数 f(x)＝ x3＋ ax＋ 5 的单一递减区间是(－2， 2)，则实数 a 的值为 ________．分析： f′(x)＝ 3x2＋ a，依题意 3x2＋ a＜ 0 的解集为 (－ 2，2)，因此 a＝－ 12.答案：－ 127．若函数 y＝－4x3＋ ax 有三个单一区间，则 a 的取值范围是 ________．3分析：由于 y′＝－ 4x2＋ a，且函数有三个单一区间，因此方程－4x2＋ a＝ 0 有两个不等的实根，因此＝ 02－ 4× (－ 4) ×a＞ 0，因此 a＞ 0.答案： (0，＋∞)8．若 f(x)＝－1x2＋ bln (x＋2)在 (－ 1，＋∞)上是减函数，则 b 的取值范围是 ________．2分析：由于 f(x)在 (－ 1，＋∞)上为减函数，因此f′(x)≤0在 (－1，＋∞)上恒建立，由于f′(x)＝－ x＋b，x＋ 2b因此－ x＋≤ 0，即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒建立，得b≤－ 1.答案： (－∞，－ 1]三、解答题329．若函数f(x)＝ x ＋ bx ＋ cx＋ d 的单一减区间为(－ 1， 3)，求 b 和 c 的值．由条件知f′（－1）＝0，f′（ 3）＝ 0，3－ 2b＋ c＝ 0，即27＋ 6b＋ c＝ 0，解得b＝－ 3， c＝－ 9.10．已知 a≥0，函数 f(x)＝ (x2－ 2ax)e x .设 f(x)在区间上是单一函数，求 a 的取值范围．解： f′(x)＝ (2x－ 2a)e x＋ (x2－ 2ax)e x＝e x．令 f′(x)＝ 0，即 x2＋ 2(1－ a)x－ 2a＝ 0，解得 x1＝ a－ 1－ 1＋ a2， x2＝ a－ 1＋ 1＋ a2(x1＜ x2)．当 x 变化时， f′ (x)， f( x)的变化状况见下表：x(－∞， x1)x1(x1， x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f( x)由于 a＞ 0，因此 x1＜－ 1， x2≥ 0， f(x)在 (x1， x2)上单一递减．由此可得f( x)在上是单一函数的充要条件为x2≥ 1，即 a－1＋21＋a≥1，解得3 a≥4.故所求 a 的取值范围为3，＋∞.4B 级能力提高1.已知函数y＝ f(x)的图象是以下四个图象之一，且其导函数则该函数y＝ f (x)的图象是 ()y＝ f′(x)的图象如右图所示，分析：由于f′(x)＞ 0，因此 f(x)在 (－ 1， 1)为增函数，又 x∈(－ 1， 0)时， f′ (x)为增函数，因此 f(x)图象愈来愈峻峭， x∈ (0， 1)时，f′ (x)为减函数，因此f(x)图象愈来愈缓和．答案： B2．函数 f(x)＝ 2x＋ x3－ 2 在区间 (0， 1)内的零点个数是____．分析：由于f(x)＝ 2x＋ x3－ 2， 0＜ x＜ 1，x2因此 f′(x)＝ 2 ln 2＋ 3x ＞ 0 在 (0， 1)上恒建立，又 f(0)＝－ 1＜ 0， f(1) ＝ 1＞ 0， f (0)f(1) ＜ 0，则 f(x)在 (0， 1)内起码有一个零点，又函数 f(x)在 (0， 1)上单一递加，故函数 f(x)在 (0， 1)内有且仅有一个零点．答案： 11＋ ax(a ∈ R)，求 f( x)在 [2，＋ ∞)上是单一函数时 a 的取值范围．3．已知 f(x)＝ ln x ＋ x1 1ax 2＋ x － 1 解： f ′(x)＝ x － x 2＋ a ＝x 2 .x － 1(1)当 a ＝ 0 时， f ′ (x)＝ x 2 在 x ∈ [2，＋ ∞)上，有 f ′(x)＞ 0，因此 f(x)在 [2，＋ ∞)上是单调函数，切合题意．(2)当 a ＜ 0 时，令 g(x)＝ ax 2＋ x － 1，则 f(x)在 [2，＋ ∞)上只好单一递减，因此 f ′(x)≤0在 [2，＋ ∞)上恒建立，因此 g( x) ≤0在 [2，＋ ∞)上恒建立．1 21－11 ，又由于 g(x)＝ ax 2＋ x － 1＝ a x ＋ － 的对称轴为 x ＝－ 2a 4a2a 因此－ 1 14a － 1≤0，因此 a ≤－ .4 (3)当 a ＞ 0 时， f(x)在 [2，＋ ∞)上只好递加，因此 f ′(x)≥0在 [2，＋ ∞)上恒建立，因此 g( x) ≥0在 [2，＋ ∞)上恒建立．又由于 g(x)＝ ax 2＋ x － 1 的对称轴 x ＝－1＜ 0，2a1因此 g(2) ≥0，因此 a ≥－ .4又由于 a ＞ 0，因此得 a ＞ 0.综上所述，实数 a 的取值范围为－ ∞，－ 1∪ [0，＋ ∞)．4。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数
1．3.1 函数的单调性与导数明目标、知重点1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．1．一般地，在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：2.一般地，在区间(a，b)情境导学]以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小．但在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单．本节我们就来研究这个问题．探究点一函数的单调性与导函数正负的关系思考1 观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．答(1)从起跳到最高点，h随t的增加而增加，即h(t)是增函数，h′(t)>0；(2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h′(t)<0.思考2 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？答(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－1x2<0，y是减函数．小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．思考3 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？答不一定．由思考2中(3)知f′(x)≥0恒成立．思考4 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？答(1)不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．思考2中(4)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．(2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．例1 已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．解当1<x<4时，f′(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x ＝4，或x ＝1时，f ′(x )＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”． 综上，函数f (x )图象的大致形状如图所示．反思与感悟 本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．跟踪训练1 函数y ＝f (x )的图象如图所示，试画出导函数f ′(x )图象的大致形状．解 f ′(x )图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一． 例2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1； (2)f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ； (4)f (x )＝3tx －x 3解 (1)f ′(x )＝6x 2＋6x －36. 由f ′(x )>0得x <－3，或x >2， 由f ′(x )<0解得－3<x <2，故f (x )的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)； 单调递减区间是(－3,2)． (2)f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立， 故函数f (x )的单调递减区间为(0，π) (3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x>0， 解得－33<x <0或x >33.又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x<0，解得x <－33或0<x <33. 又∵x >0，∴0<x <33. ∴f (x )的单调递增区间为(33，＋∞)， 单调递减区间为(0，33)． (4)f ′(x )＝3t －3x 2.令f ′(x )≥0时，得3t －3x 2≥0，即t ≥x 2， ∴当t ≤0时，无解；当t >0时，函数的单调递增区间是－t ，t ]． 令f ′(x )≤0时，得3t －3x 2≤0，即t ≤x 2， 当t ≤0时，f ′(x )≤0恒成立， 函数的单调递减区间是(－∞，＋∞)；当t >0时，函数的单调递减区间是(－∞，－t ]，t ，＋∞)．综上所述，当t ≤0时，函数的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；当t >0时，函数的单调增区间是－t ，t ]，单调减区间是(－∞，－t ]，t ，＋∞)． 反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤是(1)优先确定f (x )的定义域；(2)计算导数f ′(x )；(3)解f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)定义域内满足f ′(x )>0的区间为增区间，定义域内满足f ′(x )<0的区间为减区间． 跟踪训练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝x 3－x 2－x . 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x －1x＝(2x －1)(2x ＋1)x.由f ′(x )>0得－22<x <0或x >22， 又∵x >0，∴x >22， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞；由f ′(x )<0得x <－22或0<x <22， 又∵x >0，∴0<x <22， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22. (2)f ′(x )＝3x 2－2x －1 ＝(3x ＋1)(x －1)．由f ′(x )>0得x <－13或x >1；由f ′(x )<0得－13<x <1，故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－13，1)．探究点二 函数的变化快慢与导数的关系思考 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？答 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．如图所示，函数y ＝f (x )在(0，b )或(a,0)内的图象“陡峭”，在(b ，＋∞)或(－∞，a )内的图象“平缓”．例3 如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象．解 (1)→B，(2)→A，(3)→D，(4)→C.反思与感悟 通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．跟踪训练3 已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是( )答案 D解析 从f ′(x )的图象可以看出，在区间⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内，导数递增；在区间⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内，导数递减．即函数f (x )的图象在⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内越来越陡，在⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内越来越平缓．1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数 答案 A解析 ∵f ′(x )＝1＋1x>0，∴函数在(0,6)上单调递增．2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知D正确．3．函数f (x )＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为________． 答案 (－∞，－1) 解析 f ′(x )＝2x －1x 2－x －2，令f ′(x )<0得x <－1或12<x <2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故单调递减区间为(－∞，－1)．4．(1)函数y ＝x 2－4x ＋a 的单调递增区间为________，单调递减区间为________． (2)函数y ＝x 3－x 的单调递增区间为______，单调递减区间为________． 答案 (1)(2，＋∞) (－∞，2) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 解析 (1)y ′＝2x －4，令y ′>0，得x >2； 令y ′<0，得x <2，所以y ＝x 2－4x ＋a 的单调递增区间为(2，＋∞)， 单调递减区间为(－∞，2)． (2)y ′＝3x 2－1，令y ′>0，得x >33或x <－33； 令y ′<0，得－33<x <33， 所以y ＝x 3－x 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，单调递减区间为(－33，33)．呈重点、现规律]1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤为： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.一、基础过关1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是( )．A ．(0,1)B ．(0,1)∪(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，＋∞)答案 A解析 ∵y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，∴y ′＝x －1x ，令y ′<0，即x －1x<0，解得：0<x <1或x <－1.又∵x >0，∴0<x <1，故选A.3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b <0时，f (x )是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．常数D ．既不是增函数也不是减函数 答案 A解析 求函数的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f ′(x )＝0的Δ＝4(a 2－3b )<0，所以f ′(x )>0恒成立，故f (x )是增函数． 4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin xB ．y ＝x e 2C ．y ＝x 3－x D ．y ＝ln x －x答案 B解析 显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e 2，因e 2为大于零的常数，不用求导就知y ＝x e 2在(0，＋∞)内为单调增函数； 对于C ，y ′＝3x 2－1＝3(x ＋33)(x －33)， 故函数在(－∞，－33)，(33，＋∞)上为单调增函数， 在(－33，33)上为单调减函数；对于D ，y ′＝1x－1 (x >0)． 故函数在(1，＋∞)上为单调减函数， 在(0,1)上为单调增函数．故选B.5．函数y ＝f (x )在其定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪2,3) 6．若三次函数f (x )＝ax 3＋x 在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则a 的取值范围是________． 答案 (0，＋∞)解析 f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f (x )在R 上为增函数， ∴3ax 2＋1≥0在R 上恒成立．又a ≠0，∴a >0.7.已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，试画出函数y ＝f (x )的大致图象． 解 由y ＝f ′(x )的图象可以得到以下信息：x <－2或x >2时， f ′(x )<0，－2<x <2时，f ′(x )>0，f ′(－2)＝0，f ′(2)＝0.故原函数y ＝f (x )的图象大致如右： 二、能力提升8．如果函数f (x )的图象如图，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )答案 A解析 由f (x )与f ′(x )关系可选A.9．设f (x )，g (x )在a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，有( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b ) 答案 C解析 ∵f ′(x )－g ′(x )>0，∴(f (x )－g (x ))′>0， ∴f (x )－g (x )在a ，b ]上是单调增函数， ∴当a <x <b 时f (x )－g (x )>f (a )－g (a )， ∴f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )．10．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在(12，＋∞)是增函数，则a 的取值范围是 ( )A ．－1,0]B ．－1，＋∞)C ．0,3]D ．3，＋∞)答案 D解析 把函数在某一区间上的单调递增转化为其导函数在该区间上大于或等于零恒成立，分离参数后求新函数的最值．由题意知f ′(x )≥0对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞恒成立， 又f ′(x )＝2x ＋a －1x2，所以2x ＋a －1x 2≥0对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞恒成立， 分离参数得a ≥1x 2－2x ， 若满足题意，需a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－2x max . 令h (x )＝1x 2－2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 因为h ′(x )＝－2x 3－2， 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )＜0， 即h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减， 所以h (x )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，故a ≥3. 11．求下列函数的单调区间：(1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x， 由y ′>0，得x >1；由y ′<0，得0<x <1.∴函数y ＝x －ln x 的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．(2)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为(－32，＋∞)． ∵y ＝ln(2x ＋3)＋x 2，∴y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3. 当y ′>0，即－32<x <－1或x >－12时， 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递增；当y ′<0，即－1<x <－12时， 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递减．故函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的单调递增区间为(－32，－1)和(－12，＋∞)，单调递减区间为(－1，－12)． 12．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2b －c ＝－3b －c ＝0.解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2 (m 、n ∈R ，m ≠0)，函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行．(1)用关于m 的代数式表示n ；(2)求函数f (x )的单调增区间．解 (1)由已知条件得f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，又f ′(2)＝0，∴3m ＋n ＝0，故n ＝－3m .(2)∵n ＝－3m ，∴f (x )＝mx 3－3mx 2，∴f ′(x )＝3mx 2－6mx .令f ′(x )>0，即3mx 2－6mx >0，当m >0时，解得x <0或x >2，则函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 当m <0时，解得0<x <2，则函数f (x )的单调增区间是(0,2)．综上，当m >0时，函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m <0时，函数f (x )的单调增区间是(0,2).。
高中数学第一章导数及其应用1.3.1利用导数判断函数的单调性课后训练新人教B版选修2_2
1.3.1 利用导数判断函数的单调性课后训练1．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是( )．A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)2．下列函数中，在(0，＋∞)内是增函数的是( )．A．f(x)＝sin2x B．f(x)＝x e xC．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln(1＋x)3．已知f(x)，g(x)均为(a，b)内的可导函数，在[a，b]内没有间断点，且f′(x)＞g′(x)，f(a)＝g(a)，则x∈(a，b)时有( )．A．f(x)＞g(x) B．f(x)＜g(x)C．f(x)＝g(x) D．大小关系不能确定4．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时有( )．A．f(x)g(x)＞f(b)g(b)B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)C．f(x)g(b)＞f(b)g(x)D．f(x)g(x)＞f(a)g(a)5．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解区间是( )．A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)6．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．7．使函数y＝sin x＋ax在R上是增函数的实数a的取值范围为________．8．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处切线的斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调减区间为__________．9．已知π0<<2x，求证：tan x＞x.10．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．参考答案1. 答案：B f′(x )＝3x 2＋a .令3x 2＋a ≥0，得a ≥－3x 2.由题意a ≥－3x 2在x (1，＋∞)恒成立，∴a ≥－3.2. 答案：B 选项B 中，f (x )＝x e x ，则在区间(0，＋∞)上，f (x )′＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )＞0.3. 答案：A ∵f′(x )＞g′(x )，∴f′(x )－g′(x )＞0，即[f (x )－g (x )]′＞0， ∴f (x )－g (x )在(a ，b )内是增函数．∴f (x )－g (x )＞f (a )－g (a )．∴f (x )－g (x )＞0，∴f (x )＞g (x )．4. 答案：C 记()=f x F x g x ()()，则2()=f'x g x f x g'x F'x g x ()()-()()(). ∵f′(x ) g (x )－f (x ) g′(x )＜0，∴F′(x )＜0，即F (x )在(a ，b )内是减函数．又a ＜x ＜b ，∴F (x )＞F (b )．∴f x f b g x g b ()()>()().∴f (x )g (b )＞g (x )f (b )． 5. 答案：D ∵[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g′(x )，∴由题意知，当x ＜0时，[f (x )g (x )]′＞0.∴f (x )g (x )在(－∞，0)内是增函数．又g (－3)＝0，∴f (－3)g (－3)＝0.∴当x (－∞，－3)时，f (x )g (x )＜0；当x (－3,0)时，f (x )g (x )＞0.又∵f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，∴f (x )g (x )在R 上是奇函数，其图象关于原点对称．∴当x (0,3)时，f (x )g (x )＜0.故不等式f (x )g (x )＜0的解区间是(－∞，－3)∪(0,3)．6. 答案：(－1,11) f′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)，令3(x ＋1)(x －11)＜0，得－1＜x ＜11，故减区间为(－1,11)．7. 答案：[1，＋∞) y′＝cos x ＋a ，∴cos x ＋a ≥0恒成立，∴a ≥－cos x ，又－1≤cos x ≤1，∴a ≥1.8. 答案：(－∞，2) 由于切线的斜率就是函数在该点的导数值，所以由题意知f′(x )＝(x －2)(x ＋1)2＜0，解得x ＜2，故单调减区间为(－∞，2)．9. 答案：分析：设f (x )＝tan x －x ，x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，注意到f (0)＝tan 0－0＝0，因此要证的不等式变为：当0＜x ＜π2时，f (x )＞f (0)．这只要证明f (x )在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数即可．证明：令f (x )＝tan x －x ，显然f (x )在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是连续的，且f (0)＝0. ∵f′(x )＝(tan x －x )′＝211cos x-＝tan 2x ， ∴当x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，f′(x )＞0， 即在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内f (x )是增函数． 故当0＜x ＜π2时，f (x )＞f (0)＝0， 即tan x －x ＞0. ∴当0＜x ＜π2时，tan x ＞x . 10. 答案：分析：根据题意，列方程组求出b ，c ，d 的值．再应用导数求单调区间． 解：(1)由f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，所以f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由f (x )在点M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0， 所以f (－1)＝1，又f′(－1)＝6.所以326,121,b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩即23,0.b c b c -=-⎧⎨-=⎩解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f′(x )＝3x 2－6x －3.令3x 2－6x －3＝0，即x 2－2x －1＝0，解得1=12x 2=1+2x 当12x <-1+2x >时，f′(x )＞0；当12＜x ＜12时，f′(x )＜0.故f (x )的单调增区间为(－∞，12和(1+2，＋∞)，单调减区间为(12，1+2)．。
数学选修2-2训练：1 利用导数判断函数的单调性 含解析
预习导航1．常数函数与幂函数的导数对任意幂函数y ＝x α，当α∈Q 时，都有(x α)′＝αx α－1.2．基本初等函数的导数公式表思考 (1)(2x )′＝x ·2x －1；(2)(x 3)′＝x 3ln 3；(3)⎝⎛⎭⎫sin π4′＝cos π4；(4)(ln 2)′＝12. 提示：这几个求导结果均错误．(1)中函数y ＝2x 是指数函数，应为(2x )′＝2x ln 2；(2)中函数y ＝x 3是幂函数，应为(x 3)′＝3x 2；(3)和(4)中两函数实质均为常数函数，应为⎝⎛⎭⎫sin π4′＝0，(ln 2)′＝0. 3．导数的四则运算法则 (1)函数和(或差)的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则(f (x )±g (x ))′＝f ′(x )±g ′(x )．即，两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数和(或差)．(2)函数积的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．由上述法则立即可以得出[Cf (x )]′＝Cf ′(x )．即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数．(3)函数的商的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，g (x )≠0，则⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ). 特别地，当f (x )＝1时，有⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ). 点拨 正确理解导数运算法则应注意以下几点：(1)两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到若干个函数和(差)的情形：即[f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f ′1(x )±f ′2(x )±…±f ′n (x )．(2)准确记忆公式形式，应注意：[f (x )g (x )]′≠f ′(x )·g ′(x )≠f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′≠f ′(x )g ′(x )≠f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )g 2(x ).4．复合函数及其求导法则对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f [g (x )]．如函数y ＝(2x ＋3)2是由y ＝u 2和u ＝2x ＋3复合而成的．复合函数y ＝f [g (x )]的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x . 即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 点拨 复合函数求导的主要步骤是：(1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量； (2)求每一层基本初等函数的导数；(3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数．。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章导数及其应用章末检测卷Word版含解析
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6．已知曲线 y＝x2＋2x－ 2 在点 M处的切线与 x 轴平行，则点 M的坐标是 ( )
A． ( －1,3)
B．( － 1，－ 3)
C． ( －2，－ 3)
D．( － 2,3)
答案 B
解析 ∵ f ′（x) ＝ 2x＋ 2＝ 0，∴ x＝－ 1. f ( － 1) ＝ ( － 1) 2＋2×( － 1) － 2＝－ 3.
C． ( －1,1)
D．( －∞，－ 1) 和 (1 ，＋∞）
答案 A
解析
y′＝ 4x3 －4x＝ 4x( x2－ 1) ，令 y′<0 得 x 的范围为 ( －∞，－ 1) ∪(0,1) ，故选 A.
3．函数 f ( x) ＝ x3＋ ax2＋ 3x－ 9，在 x＝－ 3 时取得极值，则 a 等于 ( )
综上所述， 当 2≤a≤4，每件产品的售价为 35 元时，该产品一年的利润最大， 最大利润为 500(5 － a)e 5 万元；当 4<a≤5，每件产品的售价为 (31 ＋ a) 元时，该产品一年的利润最大，最大利润 为 500e9 －a 万元． 21． (12 分 ) 设 f ( x) ＝ a( x－ 5) 2＋ 6ln x，其中 a∈ R，曲线 y＝ f ( x) 在点 (1 ， f (1)) 处的切线与
1 ＝，
2 所以 f (1) ＋ f ′(1) ＝ 3.
9．曲线 y＝ sin
x， y＝ cos
x 与直线
x＝
0，x＝
π 2
所围成的平面区域的面积为
(
)
π
A．
2 0
(sin
x－ cos x)d x
π
B．2
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最新人教版高中数学选修2-2第一章《函数的单调性与导数》课后训练2
课后训练1．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间为( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)和(2，＋∞)2．函数f (x )＝2+1x x 的单调区间是( ) A ．在R 上单调递增B ．在(－∞，－1)和(－1，＋∞)上单调递增C ．在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上单调递增D ．在R 上单调递减3．如果函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则常数a 的值为( )A ．1B ．2C ．－6D ．－124．若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥1B ．a ＝1C ．a ≤1D ．0＜a ＜15．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如下图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能是( )6．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x ＞0时，f ′(x )＞0，g ′(x )＞0，则x ＜0时( )A ．f ′(x )＞0，g ′(x )＞0B ．f ′(x )＞0，g ′(x )＜0C ．f ′(x )＜0，g ′(x )＞0D ．f ′(x )＜0，g ′(x )＜07．函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x ＋1的单调递增区间是__________，单调递减区间是__________．8．设()2e =1+xf x ax ，其中a 为正实数．若f (x )为R 上的单调函数，则a 的取值范围是__________．9．已知函数y ＝ax 与b y x=-在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．10．设函数f(x)＝x e kx(k≠0)．(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增，求k的取值范围．参考答案1答案：A 解析：f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令6x 2－18x ＋12＜0，得1＜x ＜2．2答案：B 解析：函数定义域是{x |x ∈R ，且x ≠－1}．3答案：C 解析：f ′(x )＝6x 2＋2ax ＝2x (3x ＋a )．当a ＞0时，不合题意，∴a ＜0．令f ′(x )＜0，求得0＜x ＜3a -． 又f (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)内单调递增， ∴23a -=．∴a ＝－6． 4答案：A 解析：∵f ′(x )＝3x 2－2ax －1，又f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－2ax －1≤0在(0,1)内恒成立，∴f ′(0)≤0，f ′(1)≤0，∴a ≥1．5答案：C 解析：由f ′(x )图象知，x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．只有C 项符合题意，故选C 项．6答案：B 解析：f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x ＜0时，f ′(x )＞0，g ′(x )＜0．7答案：(－∞，1)和5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 解析：f ′(x )＝3x 2－8x ＋5．令f ′(x )＞0，则3x 2－8x ＋5＞0，解得x ＜1或53x >． ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，1)和5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．令f ′(x )＜0，则3x 2－8x ＋5＜0，解得1＜x ＜53． ∴f (x )的单调递减区间为51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭． 8答案：(0,1] 解析：若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合f ′(x )＝e x ·22212(1)ax ax ax +-+与条件a ＞0，知1＋ax 2－2ax ≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1．所以a 的取值范围为{a |0＜a ≤1}．9答案：解：∵数y ＝ax 与b y x =-在(0，＋∞)上都是减函数， 则a ＜0，b ＜0，由y ＝ax 3＋bx 2＋5，得y ′＝3ax 2＋2bx ．令y ′＞0，得3ax 2＋2bx ＞0，∴203b x a -<<． ∴当x ∈2,03b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，函数为增函数． 令y ′＜0，即3ax 2＋2bx ＜0，∴23b x a<-，或x ＞0．∴当x∈2,3ba⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和(0，＋∞)时，函数为减函数．故函数在2,3ba⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，(0，＋∞)上单调递减；在2,03ba⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增．10答案：解：∵f′(x)＝(1＋kx)e kx，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x．答案：由f′(x)＝(1＋kx)e kx＝0得1xk=-(k≠0)．若k＞0，则当x∈1,k⎛⎫-∞-⎪⎝⎭时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈1,k⎛⎫-+∞⎪⎝⎭时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．若k＜0，则当x∈1,k⎛⎫-∞-⎪⎝⎭时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈1,k⎛⎫-+∞⎪⎝⎭时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．答案：由(2)知，若k＞0，则当且仅当11k-≤-，即0＜k≤1时，函数f(x)在(－1,1)内单调递增；若k＜0，则当且仅当11k-≥，即－1≤k＜0时，函数f(x)在(－1,1)内单调递增．综上可知，函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增时，k的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．。
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选修 2-2 第一章 1.3 1.3.1一、选择题1．函数 y ＝ x 4－ 2x 2＋ 5 的单调递减区间为 ( )A ． (－∞，－ 1]和[0,1]B ． [－ 1,0] 和 [1，＋∞ )C ．[ －1,1]D ． (－∞，－ 1]和 [1，＋∞ )[答案 ]A[解析 ]y ′ ＝ 4x 3－ 4x ，令 y ′ <0，即 4x 3－ 4x<0，解得 x<－1 或 0<x<1 ，所以函数的单调减区间为 ( －∞ ，－ 1)和 (0,1)，故应选 A. 2．函数 f(x)＝ ax 3－ x 在 R 上为减函数，则 ( )A ． a ≤ 0B ． a<1C ．a<2D ． a ≤ 13[答案 ] A[解析 ]f ′ (x)＝ 3ax 2－ 1≤0 恒成立，∴ a ≤ 0.3．已知对任意实数 x ，有 f(－x)＝－ f(x)，g(－ x)＝ g(x)，且 x>0 时，f ′ (x)>0 ，g ′ (x)> 0 ，则 x<0 时 ()A ． f ′ ( x)>0 ，g ′ (x)>0B ． f ′ (x)>0 ， g ′ (x)<0C ．f ′ (x)<0 ，g ′ (x)>0D ． f ′ (x)<0， g ′ (x)<0[答案 ] B[解析 ]f(x)为奇函数， g(x)为偶函数，奇 (偶 )函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同 (反 )，∴ x<0 时， f ′ (x)>0， g ′ (x)<0.4． (2013 武·汉市实验中学高二期末 )设 p ： f(x)＝ x 3＋2x 2＋ mx ＋ 1 在 (－∞，＋∞ )内单调递增， q ：m>4，则 p 是 q 的 ()3A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案 ]B[解析 ]f ′ (x)＝ 3x 2＋ 4x ＋m ，∵ f(x)在 R 上单调递增，∴ f ′ (x)≥0 在 R 上恒成立，∴＝ 16－ 12m ≤ 0，∴ m ≥43，故 p 是 q 的必要不充分条件．5．设 f ′(x)是函数 f(x)的导函数， y ＝ f ′ (x)的图象如图所示，则y ＝f(x)的图象最有可能的是 ()[答案 ] C[分析 ]由导函数 f ′ (x)的图象位于 x 轴上方 (下方 )，确定 f(x)的单调性，对比 f(x)的图象，用排除法求解．[解析 ]由 f ′ (x) 的图象知， x ∈ (－ ∞， 0)时， f ′( x)>0 ， f(x)为增函数， x ∈ (0,2)时，f ′ (x)<0 ， f(x)为减函数， x ∈ (2，＋ ∞ )时， f ′( x)>0， f(x)为增函数．只有 C 符合题意，故选 C.6．(2014 福·建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数 F(x) ＝f xx 是定e义在 R 上的函数，其中 f(x)的导函数 f ′ (x)满足 f ′ (x)<f( x)对于 x ∈ R 恒成立，则 ()A ． f(2)>e 2f(0) ， f(2012)>e 2012f(0)B ． f(2)<e 2f(0) ， f(2012)>e 2012f(0)C ．f(2)<e 2f(0)， f(2012)<e 2012f(0)D ． f(2)>e 2f(0) ， f(2012)<e 2012f(0)[答案 ]Cf x的导数[解析 ]∵函数 F(x)＝ e xf ′ x e x － f x e x f ′ x － f xF ′ (x)＝ e x 2 ＝<0，e xf x∴函数 F(x)＝x 是定义在R 上的减函数，∴ F(2)< F(0) ，即f 2 <f 0，故有 f(2)<e 2 f(0)． e 2 e 0同理可得 f(2012)<e 2012f(0)．故选 C. 二、填空题7．函数 y ＝ ln(x 2 － x － 2)的单调递减区间为 ________．[答案 ] (－∞，－ 1)[解析 ]函数 y ＝ ln( x 2－ x －2)的定义域为(2，＋ ∞ )∪ (－∞ ，－ 1)，令 f(x) ＝x 2－ x － 2， f ′ (x)＝ 2x － 1<0，得 x<1，2∴函数 y ＝ ln( x 2－ x －2)的单调减区间为 (－ ∞ ，－ 1)．8．(2014 ·建省闽侯二中、福 永泰二中、 连江侨中、 长乐二中联考 )已知函数 f(x)＝ x 3－ ax 2－3x 在区间 [1 ，＋∞ )上是增函数，则实数a 的取值范围是 ________．[答案 ](－∞， 0][解析 ]∵ f(x)＝ x 3 －ax 2－ 3x ，∴ f ′ (x)＝ 3x 2－ 2ax － 3，又因为 f(x)＝ x 3－ ax 2－ 3x 在区间 [1，＋ ∞)上是增函数， f ′ (x) ＝3x 2－2ax － 3≥0 在区间 [1，＋ ∞ )上恒成立，a≤1，解得 a ≤0，∴3f ′ 1 ＝ 3× 12－ 2a － 3≥ 0，故答案为 (－ ∞ ， 0]．9． (2014 郑·州网校期中联考 )若 f(x)＝－ 1 22 x ＋ bln(x ＋ 2)在 (－ 1，＋∞ )上是减函数，则 b的取值范围是 __________________ ．[答案 ] b ≤－ 1[解析 ]f( x)在 (－1，＋ ∞ )上为减函数，∴ f ′( x)≤ 0 在 (－ 1，＋ ∞) 上恒成立，∵ f ′( x)＝－ x ＋ b ，∴－ x ＋ b≤ 0，∵ b ≤ x(x ＋ 2)在 (－ 1，＋ ∞ )上恒成立，∴ b ≤－ 1.x ＋ 2 x ＋ 2三、解答题10． (2014 甘·肃省金昌市二中期中 )已知函数 f(x)＝ x 3 ＋ ax 2＋ bx(a 、 b ∈ R )的图象过点P(1,2)，且在点 P 处的切线斜率为 8.(1)求 a 、 b 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间．[解析 ] (1)∵函数 f(x)的图象过点 P(1,2)，∴ f(1) ＝ 2.∴ a ＋ b ＝ 1.①又函数图象在点 P 处的切线斜率为 8，∴ f ′ (1) ＝ 8，又 f ′ (x)＝ 3x 2＋ 2ax ＋ b ，∴ 2a ＋b ＝ 5.②解由①②组成的方程组，可得a ＝ 4，b ＝－ 3.(2)由 (1) 得 f ′ (x)＝ 3x 2＋8x － 3，令 f ′ (x)>0，可得 x<－ 3 或 x>13；令 f ′ (x)<0，可得－ 3<x<1.3∴函数 f(x)的单调增区间为(－∞ ，－ 3)， (13，＋ ∞ )，单调减区间为(－3， 13)．一、选择题11． (2012 ·津理，天 4)函数 f(x)＝ 2x ＋x 3 － 2 在区间 (0,1)内的零点个数是( )A ． 0B ． 1C ．2D ． 3[答案 ]B[解析 ]本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．∵ f(x)＝2x ＋ x 3－ 2,0<x<1，∴ f ′ (x)＝ 2x ln2 ＋3x 2>0 在 (0,1) 上恒成立， ∴ f(x)在 (0,1)上单调递增．又 f(0)＝ 20＋ 0－2＝－ 1<0， f(1) ＝ 2＋1－ 2＝ 1>0， f(0)f(1)<0 ，则 f(x)在 (0,1)内至少有一个零点，又函数 y ＝ f(x)在 (0,1)上单调递增，则函数 f(x)在 (0,1)内有且仅有一个零点．12．(2014 北·京西城区期末 ) 已知函数 f(x)及其导数 f ′(x)，若存在 x ，使得 f(x )＝ f ′ (x )，则称 x 0 是 f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是()① f(x)＝x 2，② f(x)＝ e －x，③ f(x)＝ lnx ，④ f(x)＝ tanx ，⑤ f(x)＝ x ＋1xA ． 2B ． 3C ．4D ． 5[答案 ] B[解析 ]①中的函数 f(x)＝ x 2， f ′ (x)＝ 2x ，要使 f(x)＝ f ′( x)，则 x 2＝ 2x ，解得 x ＝ 0 或2，可见函数有巧值点；对于②中的函数，要使－－x ，f(x) ＝f ′( x)，则 e x ＝－ e x ，由对任意的 有 e －x >0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于③中的函数，要使f(x)＝ f ′ (x)，则 lnx＝1x ，由函数 f( x)＝ lnx 与 y ＝ 1x 的图象有交点知方程有解，所以原函数有巧值点；对于④中的数，要使f(x)＝ f ′ (x)，则 tanx ＝ 12 ，即 sinxcosx ＝ 1，显然无解，所以原函数没有巧值cos x点；对于⑤中的函数，要使f(x) ＝f ′(x)，则 x ＋1x ＝ 1－ x 12 ，即 x 3－ x 2＋ x ＋ 1＝ 0，设函数 g( x)＝x 3－x 2＋x ＋ 1，g ′ (x) ＝3x 2－ 2x ＋ 1>0 且 g(－ 1)<0 ，g(0)>0 ，显然函数 g( x)在 (－ 1,0)上有零点，原函数有巧值点，故①③⑤正确，选C.13． (2014·门市调研天)已知函数f(x)是定义在R 上的可导函数，其导函数记为f ′ (x)，若对于任意实数 x ，有 f(x)>f ′ (x)，且 y ＝ f(x)－ 1 为奇函数， 则不等式 f(x)<e x 的解集为 ()A ． (－∞， 0)B ． (0，＋∞ )C ．( －∞， e 4)D ． (e 4，＋∞ )[答案 ] B[解析 ]令 g(x)＝ f xx，则ef ′ x ·e x － f x ·e x f ′ x － f xg ′ (x)＝ e x 2 ＝<0，e x 所以 g(x)在 R 上是减函数， 又 y ＝f(x)－ 1 为奇函数， 所以 f(0) － 1＝ 0，所以 f(0) ＝1，g(0)f x＝ 1，所以原不等式可化为 g(x)＝ e x <1＝ g(0) ，所以 x>0，故选 B.14．已知函数 y ＝xf ′ (x)的图象如图 (1)所示 (其中 f ′ (x)是函数 f(x)的导函数 )，下面四个图象中， y ＝ f(x)的图象大致是 ()[答案 ] C[解析 ]当 0<x<1 时 xf ′ (x)<0 ，∴ f ′ (x)<0 ，故 y ＝ f(x)在 (0,1)上为减函数．当 x>1 时 xf ′ (x)>0，∴ f ′ (x)>0 ，故 y ＝ f(x)在 (1，＋ ∞ )上为增函数，因此否定A 、B 、D 故选 C.二、填空题15． (2014 衡·阳六校联考 )在区间 [－ a ， a]( a>0)内图象不间断的函数 f( x)满足 f(－ x)－ f(x)＝ 0，函数 g( x)＝ e x ·f(x)，且 g(0) g(a)<0·，又当 0<x<a 时，有 f ′ (x)＋ f(x)>0 ，则函数 f(x)在区间[ －a ， a] 内零点的个数是 ________．[答案 ] 2[解析 ]∵ f(－x)－f( x)＝0，∴f(x)为偶函数，∵g(x)＝ e x·f(x)，∴ g′ (x)＝ e x[f ′ (x)＋f(x)]>0 ，∴ g(x)在 [0， a] 上为单调增函数，又∵ g(0) ·g(a)<0，∴函数 g(x)＝ e x·f(x)在 [0， a]上只有一个零点，又∵ e x≠ 0，∴ f(x)在[0 ， a] 上有且仅有一个零点，∵ f(x)是偶函数，且f(0)≠ 0，∴ f( x)在 [－ a，a]上有且仅有两个零点．三、解答题16．设函数 f(x)＝x3－ 3ax2＋ 3bx 的图象与直线12x＋ y－ 1＝0 相切于点 (1，－ 11)．(1)求 a、 b 的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．[解析 ](1)求导得 f ′ (x)＝ 3x2－ 6ax＋ 3b.由于 f(x)的图象与直线12x＋y－ 1＝ 0 相切于点 (1，－ 11)，所以 f(1) ＝－ 11， f ′ (1)＝－12，1－ 3a＋ 3b＝－ 11即，3－ 6a＋ 3b＝－ 12解得 a＝ 1， b＝－ 3.(2)由 a＝ 1， b＝－ 3 得f ′ (x) ＝3x2－6ax＋ 3b＝ 3(x2－2x－ 3)＝3(x＋ 1)(x－ 3)．令f ′ (x)>0，解得 x<－ 1 或 x>3；又令 f ′(x)<0，解得－ 1<x<3.所以当 x∈ (－∞，－ 1)时， f(x) 是增函数；当x∈ (3，＋∞ )时， f(x)也是增函数；当x∈ (－ 1,3)时， f(x)是减函数．17． (2014 山·师附中学分认定考试2a2 ＋x(a>0)．若函数 y＝f(x)在)已知函数 f(x)＝ alnx＋x点(1 ， f(1)) 处的切线与直线x－ 2y＝ 0 垂直．(1)求实数 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间．(1)f ′(x)＝a 2[解析 ] －2a2＋ 1，x x∵f ′ (1) ＝－ 2，∴ 2a2－ a－ 3＝0，3∵ a>0 ，∴ a ＝ 2.39(2) f ′ (x)＝ 2x－2x 2 ＋1＝ 2x 2＋ 3x － 9 2x － 3 x ＋ 3 ， 2x 2 ＝ 2x 2∵当 x ∈(0， 3)时， f ′ (x)<0；当 x ∈( 3，＋ ∞ )时， f ′ (x)>0 ，2 2∴ f(x)的单调递减区间为 33 ，＋ ∞ ) ．(0， )，单调递增区间为 ( 2 2。
数学选修2-2讲义：第1章 3 1 利用导数判断函数的单调性 含答案
1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性用函数的导数判定函数单调性的法则(1)如果在(a ，b )内，f ′(x )>0，则f (x )在此区间是增函数，(a ，b )为f (x )的单调增区间；(2)如果在(a ，b )内，f ′(x )<0，则f (x )在此区间是减函数，(a ，b )为f (x )的单调减区间．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )在定义域上都有f ′(x )>0，则函数f (x )在定义域上单调递增． (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大． [答案] (1)× (2)× (3)√2．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则( ) A ．f ′(3)>0 B ．f ′(3)<0C．f′(3)＝0D．f′(3)的正负不确定[解析]由图象可知，函数f(x)在(1,5)上单调递减，则在(1,5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0.[答案] B3．已知函数f(x)＝12x2－x，则f(x)的单调递增区间为________．[解析]∵f′(x)＝x－1，令f′(x)>0，解得x>1，故f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．[答案](1，＋∞)①函数y＝f(x)的定义域是[－1,5]；②函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2,4]；③函数y＝f(x)在定义域内是增函数；④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0.其中正确的序号是()A．①②B．①③C．②③D．②④(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()[思路探究]研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．[解析](1)由图象可知，函数的定义域为[－1,5]，值域为(－∞，0]∪[2,4]，故①②正确，选A.(2)由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.[答案](1)A(2)D1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可．2．通过图象研究函数单调性的方法(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．1．(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是()A B C D(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()A B C D[解析](1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．(2)因为y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则从左到右函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的．[答案](1)D(2)A【例2】求函数f(x)＝x＋ax(a≠0)的单调区间．[思路探究]求出导数f′(x)，分a>0和a<0两种情况．由f′(x)>0求得单调增区间，由f′(x)<0求得单调减区间．[解]f(x)＝x＋ax的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－a x2.当a>0时，令f′(x)＝1－ax2>0，解得x>a或x<－a；令f′(x)＝1－ax2<0，解得－a<x<0或0<x<a；当a<0时，f′(x)＝1－ax2>0恒成立，所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)和(a，＋∞)；单调递减区间为(－a，0)和(0，a)．当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤1．确定函数f(x)的定义域．2．求导数f′(x)．3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．4．结合定义域写出单调区间．2．(1)函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)(2)函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间是()A．(－∞，1) B．(0,1)C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)[解析](1)∵f′(x)＝(e x－e x)′＝e x－e，由f′(x)＝e x－e>0，可得x>1．即函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调增区间为(1，＋∞)，故选D.(2)函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝1x－1，由f′(x)＝1x－1>0，得0<x<1，所以函数f (x )＝ln x －x 的单调递增区间是(0,1)，故选B. [答案] (1)D (2)B1．已知函数f (x )＝x 3－ax －1为单调递增函数，如何求实数a 的取值范围． 提示：由已知得f ′(x )＝3x 2－a ，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ＞0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ＜3x 2对x ∈R 恒成立，因为3x 2≥0，所以只需a ＜0. 又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0， f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0.2．若函数f (x )＝x 3－ax －1的单调递减区间为(－1,1)，如何求a 的取值范围． 提示：由f ′(x )＝3x 2－a ， ①当a ≤0时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3， 当－3a 3＜x ＜3a3时，f ′(x )＜0. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数， ∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3， ∴3a3＝1，即a ＝3.【例3】 已知关于x 的函数y ＝x 3－ax ＋b .(1)若函数y 在(1，＋∞)内是增函数，求a 的取值范围；(2)若函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a 的值．[思路探究] (1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y ′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a 的取值范围．(2)函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a 的值．[解] y ′＝3x 2－a .(1)若函数y ＝x 3－ax ＋b 在(1，＋∞)内是增函数． 则y ′＝3x 2－a ≥0在x ∈(1，＋∞)时恒成立， 即a ≤3x 2在x ∈(1，＋∞)时恒成立， 则a ≤(3x 2)最小值． 因为x >1，所以3x 2>3.所以a ≤3，即a 的取值范围是(－∞，3]． (2)令y ′>0，得x 2>a3.若a ≤0，则x 2>a3恒成立，即y ′>0恒成立，此时，函数y ＝x 3－ax ＋b 在R 上是增函数，与题意不符． 若a >0，令y ′>0，得x >a3或x <－a 3.因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以a3＝1，即a ＝3.1．解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是()[解析]∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x ＜0时，f ′(x )＜0.[答案] D2．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)＜f (e)＜f (3) B ．f (e)＜f (2)＜f (3) C ．f (3)＜f (e)＜f (2)D ．f (e)＜f (3)＜f (2)[解析] 因为在定义域(0，＋∞)上，f ′(x )＝12x＋1x ＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以有f (2)＜f (e)＜f (3)．故选A.[答案] A3．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________．[解析] f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )＜0，即6x 2－18x ＋12＜0，解得1＜x ＜2.[答案] (1,2)4．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．[解析] f ′(x )＝2a －1(x ＋2)2，由题意得f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a ≤12，但当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，125．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． [解] h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)， 所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 即a ≥1x 2－2x 恒成立， 所以a ≥G (x )最大值， 而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1．因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )最大值＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716. 当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x＝(7x －4)(x －4)16x .因为x ∈[1,4]，所以h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x ≤0，即h (x )在[1,4]上为减函数．故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.。
【人教版】数学选修2-2《导数的应用-判断单调性》课后练习(1)(含答案)
学科：数学专题：导数的应用——判断单调性题1求下列函数的单调区间：(1)y ＝x 3－12x 2－2x ＋5；(2)y ＝2x 2－ln x ．题2设函数f (x )＝a e x ＋1a e x ＋b (a >0)． (1)求f (x )在题3已知3x -3-y ≥5-x -5y 成立，则下列正确的是（ ）．A ．x +y ≤0B ．x +y ≥0C ．x -y ≥0D ．x -y ≤0题4已知x ∈R ,求证：e x ≥x +1．题5设函数f (x )＝ax ＋cos x ，x ∈．(1)讨论f (x )的单调性；(2)设f (x )≤1＋sin x ，求a 的取值范围．题6已知函数f （x ）=32ax bx cx d +++的图象如图所示，则实数b 的取值范围是什么？课后练习详解题1答案：见详解．详解: (1)∵y ‘＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，∴令y ‘>0，得x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞)．当y ‘<0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1． ∴函数的增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23，(1，＋∞)；函数的减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1． (2)∵y ‘＝4x －1x ＝4x 2－1x，定义域为(0，＋∞)，令y ‘<0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，12．令y ‘>0，得x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞． ∴函数的增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞，函数的减区间为⎝⎛⎭⎫0，12．题2答案：(1) 当0＜a ＜1时，最小值为f (－ln a )＝2＋b ；a ≥1时，最小值为f (0)＝a ＋1a＋b ； (2)a ＝2e 2，b ＝12． 详解: (1)f ‘(x )＝a e x －1a e x ． 当f ‘(x )＞0，即x ＞－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增；当f ‘(x )＜0，即x ＜－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上递减；①当0＜a ＜1时，－ln a ＞0，f (x )在(0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f (x )在[)0，＋∞上的最小值为f (－ln a )＝2＋b ；②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[)0，＋∞上递增，从而f (x )在题3答案：见详解．详解: (1)f ‘(x )＝a －sin x ．①当a ≥1时，f ‘(x )≥0，且仅当a ＝1，x ＝π2时，f ‘(x )＝0，所以f (x )在上是增函数；②当a ≤0时，f ‘(x )≤0，且仅当a ＝0，x ＝0或x ＝π时，f ‘(x )＝0，所以f (x )在上是减函数； ③当0<a <1时，由f ‘(x )＝0解得x 1＝arcsin a ，x 2＝π－arcsin a ．当x ∈时，sin x <a ，f ‘(x )>0，f (x )是增函数．(2)由f (x )≤1＋sin x 得f (π)≤1，a π－1≤1，所以a ≤2π． 令g (x )＝sin x －2πx ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2，则g ‘(x )＝cos x －2π． 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，arccos 2π时，g ‘(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫arccos 2π，π2时，g ‘(x )<0． 又g (0)＝g ⎝⎛⎭⎫π2＝0，所以g (x )≥0，即2πx ≤sin x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2． 当a ≤2π时，有f (x )≤2πx ＋cos x ． ①当0≤x ≤π2时，2πx ≤sin x ，cos x ≤1，所以f (x )≤1＋sin x ；②当π2≤x ≤π时，f (x )≤2πx ＋cos x ＝1＋2π⎝⎛⎭⎫x －π2－sin ⎝⎛⎭⎫x －π2≤1＋sin x ． 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，2π．题4答案：b ∈(－∞，0)．详解：由图象可知，当x ＝0时，f (0)＝a ·03＋b ×0＋c ×0+d ＝0 ∴d ＝0，∴f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＝x (ax 2＋bx ＋c )又∵当x ＝1，x ＝2时，f (1)＝f (2)＝0∴1,2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根 ∴021＞ab -=+ 又∵由图象可知，a ＞0，∴b ＜0∴b ∈(－∞，0)．。
人教B版高中数学选修22第1章13第1课时《利用导数判断函数的单调性》课时作业
【成才之路】2015—2016学年高中数学第1章 1、3第1课时利用导数判断函数的单调性课时作业新人教B版选修2—2一、选择题1。
函数f（x)＝（x－3)e x的单调增区间是（）A。
(－∞,2) B.(0，3)C.(1，4)D.(2，＋∞）［答案] D[解析]f′(x)＝（x－3）′e x＋（x－3)(e x）′＝（x－2)e x,令f′(x）>0,解得x〉2，故选D、2。
函数f（x)＝2x－sin x( )A.是增函数B.是减函数C.在（0，＋∞）上增，在(－∞，0)上减D。
在(0,＋∞)上减,在（－∞，0)上增［答案] A[解析]f′(x）＝2－cos x〉0在(－∞，＋∞）上恒成立.故选A、3。
函数y＝x ln x在区间(0,1）上是( ）A.单调增函数B.单调减函数C。
在错误!上是减函数,在错误!上是增函数D。
在错误!上是增函数，在错误!上是减函数［答案] C[解析］f′（x)＝ln x＋1,当0〈x<错误!时,f′（x)<0，当1e<x〈1时,f′(x）>0、∴函数在错误!上是减函数，在错误!上是增函数。
4.函数y＝f(x）的图象如图所示,则导函数y＝f′(x)的图象可能是( ）［答案］ D[解析］当x∈（－∞，0）时，f(x)为减函数，则f′（x)〈0,当x∈(0,＋∞）时,f(x)为减函数,则f′(x）〈0、故选D、5。
三次函数y＝f(x)＝ax3＋x在x∈（－∞，＋∞)内是增函数,则（）A.a〉0B.a〈0C。
a<1 D。
a<错误![答案］ A［解析］由题意可知f′(x）≥0恒成立，即3ax2＋1≥0恒成立，显然B,C，D都不能使3ax2＋1≥0恒成立,故选A、6。
若在区间（a,b）内有f′（x)＞0,且f（a）≥0,则在(a,b）内有（）A.f(x)＞0B.f(x）＜0C。
f（x）＝0 D。
不能确定［答案］ A[解析]∵在区间（a，b)内有f′(x)>0，∴函数f（x)在区间（a,b）内是递增的，∵f（a)≥0,∴f（x）>f（a)≥0、故选A、7.（2015·湖南文,8）设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x),则f(x）是( ）A。
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课后训练
1．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是()．A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)
2．下列函数中，在(0，＋∞)内是增函数的是()．
A．f(x)＝sin2x B．f(x)＝x e x
C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln(1＋x)
3．已知f(x)，g(x)均为(a，b)内的可导函数，在[a，b]内没有间断点，且f′(x)＞g′(x)，f(a)＝g(a)，则x∈(a，b)时有()．
A．f(x)＞g(x) B．f(x)＜g(x)
C．f(x)＝g(x) D．大小关系不能确定
4．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0，则当a ＜x＜b时有()．
A．f(x)g(x)＞f(b)g(b)
B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)
C．f(x)g(b)＞f(b)g(x)
D．f(x)g(x)＞f(a)g(a)
5．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解区间是()．
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
6．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
7．使函数y＝sin x＋ax在R上是增函数的实数a的取值范围为________．
8．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处切线的斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调减区间为__________．
9．已知
π
0<<
2
x，求证：tan x＞x.
10．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
参考答案
1. 答案：B f ′(x )＝3x 2＋a .令3x 2＋a ≥0，
得a ≥－3x 2.
由题意a ≥－3x 2在x (1，＋∞)恒成立，
∴a ≥－3.
2. 答案：B 选项B 中，f (x )＝x e x ，则在区间(0，＋∞)上，f (x )′＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )＞0.
3. 答案：A ∵f ′(x )＞g ′(x )，∴f ′(x )－g ′(x )＞0，即[f (x )－g (x )]′＞0，
∴f (x )－g (x )在(a ，b )内是增函数．
∴f (x )－g (x )＞f (a )－g (a )．
∴f (x )－g (x )＞0，∴f (x )＞g (x )．
4. 答案：C 记()=f x F x g x ()()，则2()=f'x g x f x g'x F'x g x ()()-()()(). ∵f ′(x ) g (x )－f (x ) g ′(x )＜0，
∴F ′(x )＜0，即F (x )在(a ，b )内是减函数．
又a ＜x ＜b ，∴F (x )＞F (b )． ∴f x f b g x g b ()()>()()
.∴f (x )g (b )＞g (x )f (b )． 5. 答案：D ∵[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，
∴由题意知，当x ＜0时，[f (x )g (x )]′＞0.
∴f (x )g (x )在(－∞，0)内是增函数．
又g (－3)＝0，
∴f (－3)g (－3)＝0.
∴当x (－∞，－3)时，f (x )g (x )＜0；
当x (－3,0)时，f (x )g (x )＞0.
又∵f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，
∴f (x )g (x )在R 上是奇函数，其图象关于原点对称．
∴当x (0,3)时，f (x )g (x )＜0.故不等式f (x )g (x )＜0的解区间是(－∞，－3)∪(0,3)．
6. 答案：(－1,11) f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)，令3(x ＋1)(x －11)＜0，得－1＜x ＜11，故减区间为(－1,11)．
7. 答案：[1，＋∞) y ′＝cos x ＋a ，∴cos x ＋a ≥0恒成立，∴a ≥－cos x ，又－1≤cos x ≤1，∴a ≥1.
8. 答案：(－∞，2) 由于切线的斜率就是函数在该点的导数值，所以由题意知f ′(x )＝(x －2)(x ＋1)2＜0，解得x ＜2，故单调减区间为(－∞，2)．
9. 答案：分析：设f (x )＝tan x －x ，x π0,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，注意到f (0)＝tan 0－0＝0，因此要证的不等式变为：当0＜x ＜π2时，f (x )＞f (0)．这只要证明f (x )在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上是增函数即可．
证明：令f (x )＝tan x －x ，显然f (x )在π0,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是连续的，且f (0)＝0. ∵f ′(x )＝(tan x －x )′＝211cos x
-＝tan 2x ， ∴当x π0,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
时，f ′(x )＞0， 即在区间π0,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭内f (x )是增函数． 故当0＜x ＜π2
时，f (x )＞f (0)＝0， 即tan x －x ＞0. ∴当0＜x ＜
π2时，tan x ＞x . 10. 答案：分析：根据题意，列方程组求出b ，c ，d 的值．再应用导数求单调区间． 解：(1)由f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，
所以f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .
由f (x )在点M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0， 所以f (－1)＝1，又f ′(－1)＝6.
所以326,121,
b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩ 即23,0.b c b c -=-⎧⎨-=⎩
解得b ＝c ＝－3.
故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.
(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令3x 2－6x －3＝0，
即x 2－2x －1＝0，
解得1=1x 2x
当1x <x >时，f ′(x )＞0；
当1x ＜1f ′(x )＜0.
故f (x )的单调增区间为(－∞，1和(，＋∞)，单调减区间为(1)．。