【高考调研】高中数学(人教A版)选修2-3课后巩固：1-3 二项式定理1
【高考调研】高二数学(新人教A版选修2-3)1-3二项式定理2课后巩固
4．若
(
x＋ y)
9
按
x
的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且
x＋ y＝ 1， xy<0，则
x 的取值范围是 ( )
1
A．( －∞，
) 5
4 B．[ 5，＋∞）
4 C．( －∞，－ 5]
D．(1 ，＋∞）
答案 D
解析
二项式
(
x＋ y)
9
的展开式的通项是
Tr
＋
1＝
r
C9·
x
9－
r
·
y
r
.
C19·x9－ 1· y≤Ｃ29· x · 9－2 y2， 依题意有 x＋ y＝ 1，
展开式中第
r
＋1
项
Tr＋1＝来自rC4·(5
x
)
4－
r
·
(
－
x) r
＝(
－
1)
r
r
4－
·Ｃ4·５
r
·
x4－
r 2.
r 令 4－ ＝ 3，即
r ＝ 2，此时
C24·５2·( － 1) 2＝ 150.
2
3．二项展开式 (2 x－ 1) 10中 x 的奇次幂项的系数之和为 (
)
10
1＋ 3 A.
2
10
1－ 3 B.
2．设 (5 x－ x) 的展开式的各项系数之和为 M，二项式系数之和为
开式中 x3 项的系数为 (
)
N， M－ N＝240，则展
A．500 C．150
B．－ 500 D．－ 150
答案 C
解析
N＝
n
2 ，令
x＝ 1，则
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第一章
1.3
第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-3
1.二项式定理
－1 n 1 n－1 n－r r n－1 公式(a＋b)n＝C0 b＋„＋Cr b ＋„＋Cn na ＋Cna na n ab
n ＋Cn b 所表示的规律叫做二项式定理． n
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第一章
1.3
第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-3
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第一章
1.3
第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-3
n k k (2)二项式(a＋b)n 的通项 Ck b 和(b＋a)n 的展开式的通项 na
－
n k k Ck b a 是有区别的，应用二项式定理时，其中的 a 和 b 是不能 n
－
随便交换的； (3)注意二项式系数 Ck n与展开式中对应项的系数不一定相等， 二项式系数一定为正，而项的系数有时为负．
思考题 2
n 1 n 1 设 n 为自然数，化简 C 0 · 2 － C 2 ＋„＋(－ n n·
－
n－k 1)k· Ck · 2 ＋„＋(－1)n· Cn n n.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思路分析
由题目可获取以下主要信息：
①展开式中“＋”与“－”相间隔； ②2 的指数最高为 n，依次递减至 0，且每一项的指数等于对 应的组合数的下标与上标的差． 解答本题可先分析结构形式，然后逆用二项式定理求解．
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第一章
1.3
第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-3
n k k (1)通项 Tk＋1＝Ck b 是(a＋b)n 的展开式的第(k＋1)项， 这里 na
高中数学人教A版选修2-3练习：1.3.1 二项式定理 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( ) A ．(x －1)3 B ．(x －2)3 C ．x 3D ．(x ＋1)3【解析】 S ＝[(x －1)＋1]3＝x 3. 【答案】 C2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7 的展开式的第4项等于5，则x 等于( )A.17 B ．－17 C ．7D ．－7 【解析】 T 4＝C 37x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝5，则x ＝－17. 【答案】 B3．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12【解析】 x 3＝[2＋(x －2)]3，a 2＝C 23×2＝6. 【答案】 B4．使⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7【解析】 T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n3n －rxn －52r ，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．【答案】 B5．(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3【解析】 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15展开式的通项为：T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25－r ·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10·(－1)r. 当2r －10＝－2，即r ＝4时，有x 2·C 45x －2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5； 当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C 55x 0·(－1)5＝－2. ∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D. 【答案】 D 二、填空题6．(2016·安徽淮南模拟)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为________．【解析】 由题意知，C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8.∴T k ＋1＝C k 8·x 8－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C k 8·x 8－2k ，当8－2k ＝－2时，k ＝5，∴1x 2的系数为C 58＝56.【答案】 567．设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．【解析】 对于T r ＋1＝C r 6x 6－r (－ax －12)r ＝C r 6(－a )r ·x 6－32r ，B ＝C 46(－a )4，A＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a >0，∴a ＝2. 【答案】 28．9192被100除所得的余数为________．【解析】 法一：9192＝(100－9)92＝C 092·10092－C 192·10091·9＋C 292·10090·92－…＋C 9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C 092·1092－C 192·1091＋…＋C 9092·102－C 9192·10＋1， 前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.法二：9192＝(90＋1)92＝C 092·9092＋C 192·9091＋…＋C 9092·902＋C 9192·90＋C 9292. 前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.【答案】 81 三、解答题9．化简：S ＝1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C n n (n ∈N *)．【解】 将S 的表达式改写为：S ＝C 0n ＋(－2)C 1n ＋(－2)2C 2n ＋(－2)3C 3n ＋…＋(－2)n C n n ＝[1＋(－2)]n ＝(－1)n .∴S ＝(－1)n＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为偶数时，－1，n 为奇数时.10．(2016·淄博高二检测)在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．【解】 (1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240. (2)T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ⎝⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k，令3－k ＝2，得k ＝1. 所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.[能力提升]1．(2016·吉林长春期末)若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( )A ．x ＝4，n ＝3B ．x ＝4，n ＝4C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5【解析】 C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅C 适合．【答案】 C2．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x )2＋(1－x )3＋…＋(1－x )n 中x 2项的系数为( )A ．－19B ．19C ．20D ．－20【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的通项公式为T r ＋1＝C r n (x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r n x n 2－5r 6，由题意知n 2－5×36＝0，得n ＝5，则所求式子中的x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.【答案】 C3．对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n (n ∈N *)，有以下四种判断：①存在n ∈N *，展开式中有常数项；②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项．其中正确的是________．【解析】 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n x 4r －n，由通项公式可知，当n ＝4r (r ∈N *)和n ＝4r －1(r ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项．【答案】 ①与④4．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式的常数项. 【导学号：97270023】【解】 法一：由二项式定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝C 05·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5＋C 15·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2＋C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3·(2)2＋C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3＋C 45·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ·(2)4＋C 55·(2)5. 其中为常数项的有： C 15⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2中的第3项：C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2； C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3中的第2项：C 35C 12·12·(2)3；展开式的最后一项C 55·(2)5. 综上可知，常数项为C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2＋C 35C 12·12·(2)3＋C 55·(2)5＝6322. 法二：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5 ＝132x 5·[(x ＋2)2]5＝132x 5·(x ＋2)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5的项的系数，即C 510·(2)5，所以所求的常数项为C 510·(2)532＝6322.。
人教版高中数学选修2-3《1.3 二项式定理》
) C.30 D.35
1 6 【例 2】 (2017 课标Ⅰ高考) (1 2 )(1 x) 展开 x 2 式中 x 的系数为( C )
A.15 B.20 C.30 D.35
1 1 6 6 解： (1 2 )(1 x) (1 x) 2 (1 x) 6 x x
6
2
65 15 (1 x) 的展开式中的 x 的系数为 C 2 1 1 2 6 4 (1 x ) 的展开式中的 x 的系数为 C6 15 2 x
【典型示例】
类型一 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题
【例 1】 (2017 浙江湖州高三考试) 在 (1 x)5 (1 x)6 (1 x)7 (1 x)8 的展开式中, 含 x3 的项的系数是( A.121 B.-74
D
) C.74 D.-121
【例 1】 在 (1 x)5 (1 x)6 (1 x)7 (1 x)8 的 3 展开式中,含 x 的项的系数是( D ) A.121 B.-74 C.74 D.-121
9
4
4 9
5 126 121
【典型示例】
类型一 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题
【例 1】 (2017 浙江湖州高三考试) 在 (1 x)5 (1 x)6 (1 x)7 (1 x)8 的展开式中, 含 x3 的项的系数是( A.121 B.-74
得 k 0, r 0 或 k 2, r 1
2 1 所以展开式中的常数项为 (2)3 C3 (2)C2 20
1 3 【例 3】 (2017 浙江高考冲刺卷) ( x 2) x
D 展开式中的常数项为( )
高中数学人教A版选修2-3教案-1.3 二项式定理_教学设计_教案
教学准备
1. 教学目标
2．重点难点: 二项式定理，和二项展开式的性质。
3．思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。
2. 教学重点/难点
2．重点难点: 二项式定理，和二项展开式的性质。
3．思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
2．重点难点: 二项式定理，和二项展开式的性质。
3．思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。
有理项为。
【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定r。
【思维点拨】密切注意通项公式的使用。
练习：(优化设计P180思考讨论)
【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定。
三、课堂小结：
1、二项式定理及二项式系数的性质。
通项公式。
2、要取分二项式系数与展开式项的系数的异同。
3、证明组合恒等式常用赋值法。
四、作业布置优化设计P180。
高中数学人教A版选修2-3检测：第一章1.3-1.3.1二项式定理 Word版含解析
第一章计数原理1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理A级基础巩固一、选择题1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是()A．(2x＋2)5B．2x5C．(2x－1)5D．32x5解析：原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.答案：D2．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x＋13x24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有() A．3项B．4项C．5项D．6项解析：T r＋1＝C r24x24－r2·x－r3＝Cr24·x12－56r，则r分别取0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数有5项是整数项．答案：C3．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x－123xn的展开式中第四项为常数项，则n＝() A．4 B．5C ．6D ．7解析：由二项展开式可得T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝(－1)r 2－r C rn x n －r 2·x －r 3，从而T 4＝T 3＋1＝(－1)32－3C 3n x n －52，由题意可知n －52＝0，n ＝5.答案：B4．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是( ) A ．－297 B ．－252 C ．297D ．207解析：(1－x 3)(1＋x )10＝(1＋x )10－x 3(x ＋1)10展开式中含x 5的项的系数为：C 510－C 210＝207.答案：D5．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝5，n ＝5 B ．x ＝5，n ＝4 C ．x ＝4，n ＝4D ．x ＝4，n ＝3解析：C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，检验得B 正确．答案：B 二、填空题6．(2016·北京卷)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________(用数字作答)．解析：T r ＋1＝C r 6·16－r ·(－2x )r ＝(－2)r C r 6·x r ，令r ＝2， 得T 3＝(－2)2C 26x 2＝60x 2.故x 2的系数为60.答案：607.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________．解析：T 4＝C 3623⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x 3＝－160x . 答案：－160x8．如果⎝⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 的展开式中，x 2项为第三项，则自然数n ＝________．解析：T r ＋1＝C rn (3x 2)n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r n x2n －5r3，由题意知r ＝2时，2n －5r3＝2，所以n ＝8. 答案：8 三、解答题9．在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项及项数．解：(1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240.(2)T k ＋1＝C k n (2x )6－k ⎝⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k 26－k C r 6x 3－k ， 令3－k ＝2，得k ＝1.所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.10．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －123x n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1)求展开式的第四项； (2)求展开式的常数项． 解：T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r n x 13n －23r . 由前三项系数的绝对值成等差数列， 得C 0n ＋⎝⎛⎭⎪⎫－122C 2n ＝2×12C 1n ， 解得n ＝8或n ＝1(舍去)． (1)展开式的第四项为：T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 38x 23＝－73x 2.(2)当83－23r ＝0，即r ＝4时，常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 48＝358.B 级 能力提升1．如果⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－2x 3n的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( )A ．3B ．5C ．6D ．10解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－2x 3n展开式的通项表达式为C r n (3x 2)n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3r＝C r n 3n －r(－2)r x 2n －5r ，若C r n 3n －r(－2)r x 2n －5r 为非零常数项，必有2n －5r ＝0，得n ＝52r ，所以正整数n 的最小值为5.答案：B2．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a ＞0)的展开式中，x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．解析：A ＝C 26(－a )2，B ＝C 46(－a )4，由B ＝4A 知，C 26(－a )2＝C 46(－a )4，解得a ＝2(舍去a ＝－2)． 答案：23．如果f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n (m ，n ∈N *)中，x 项的系数为19，求f (x )中x 2项系数的最小值．解：x 项的系数为C 1m ＋C 1n ＝19，即m ＋n ＝19，当m ，n 都不为1时，x 2项的系数为C 2m ＋C 2n ＝m （m －1）2＋（19－m ）（18－m ）2＝m 2－19m ＋171＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1922＋171－1924，因为m ∈N *，所以当m ＝9或10时，x 2项的系数最小，为81.当m 为1或n 为1时，x 2项的系数为C 218＝153>81，所以f (x )中x 2项系数的最小值为81.。
高中数学人教a版选修2-3学案：1.3.1 二项式定理 含解析
1.3 二项式定理1．3.1 二项式定理1．会证明二项式定理．(难点)2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．(重点)[基础·初探]教材整理二项式定理阅读教材P29～P31，完成下列问题．二项式定理及相关的概念判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )(3)C kna n－kb k是(a＋b)n展开式中的第k项．( )(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( ) 【解析】(1)×因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)× 因为二项式的第k ＋1项C k n a n －k b k 和(b ＋a)n 的展开式的第k ＋1项C k n b n－k a k是不同的，其中的a ，b 是不能随便交换的．(3)× 因为C k n an －k b k 是(a ＋b)n 展开式中的第k ＋1项． (4)√ 因为(a －b)n 与(a ＋b)n 的二项式展开式的二项式系数都是C r n . 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ [质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]二项式定理的正用、逆用(1)用二项式定理展开⎝⎛⎭⎪⎫2x －32x 25； (2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C n n .【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【自主解答】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25＝C 05(2x)5＋C 15(2x)4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋…＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 25＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n－k(－1)k ＋…＋C n n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n .1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．[再练一题]1．(1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式； (2)化简：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C nn .【解】 (1)法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x)4＋C 14(3x)3 ·1x ＋C 24(3x)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4 ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. (2)原式＝1＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n.二项式系数与项的系数问题(1)求二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；。
高考数学复习点拨：选修(2-3)1.3二项式定理教材解读
高中新课标选修（2-3）1.3二项式定理教材解读一、二项式定理1．定理：011()()n n n k n k k n n nn n n a b C a C a b C a b C b n --*+=+++++∈N L L ．2．定理的特征：（１）二项展开式共有1n +项；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n ；（3）a 的指数从n 开始逐项减1直到0，而b 的指数从0逐项增1直到n ． 二、通项公式1．公式1k n k k k n T C a b -+=（其中0k n k n *∈∈N N ，，≤≤）．2．说明：（１）1k T +表示的是第k +1项，而非第k 项；（２）公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．3．应用：（１）可以求指定的项及其项的系数．（２）可以求展开式中某一特殊项．应用时要注意以下几点：（1）要能准确地写出通项，特别注意符号问题；（2）要将通项中的系数和字母分离开来，以便解决有关问题； （3）通项公式中含有a ，b ，n ，k ，1k T +五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求第五个元素．在有关二项式定理的问题中，常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题．这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组），这里必须注意n 是正整数，k 是非负整数，且k n ≤．三、系数问题1．二项式系数：二项展开式中，系数01n n n n C C C L ，，，叫做展开式的二项式系数．2．二项式系数的性质：（1）对称性与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即k n k n n C C -=．（2）最大值当n 为偶数时，展开式的项数为奇数，此时，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，展开式的项数为偶数，此时，中间两项的二项式系数相等，共同做二项式系数中的“老大”．（3）各二项式系数的和由0122(1)n k k n n nn n n n x C C x C x C x C x +=++++++L L ， 令x =1，得024135122n n nn n n n n C C C C C C -=+++=+++=L L ，二项式系数的和为2n ．令1x =-，得02413512n nn n n n n C C C C C C -+++=+++=L L ．奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和．说明：在二项展开式中，有关系数的和或组合数中一些和的问题，可对照二项展开式，对a ，b 赋以特殊值，是解决这类问题的基本方法．3．二项式系数与项的系数的区别：如()n a bx +的展开式中，第1k +项的二项式系数为k n C ，而第1k +项的系数为k n k k n C a b -．四、二项展开式的应用利用二项式定理证明整除性或求余数，关键是对被除式进行合理的变形，把它写成恰当的二项式的形式，使其展开后的每一项都是含有除式的因式或只有一、二项不能整除的因式．。
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课后导练基础达标1.(2x 3-x 1)7的展开式中常数项是( )A.14B.-14C.42D.-42解析：由T r+1=r C 7(2x 3)7-r (-x 1)r=（-1）r ·2 7-r ·r C 7·2321r r x -- 令21-3r-2r =0 得r=6.故常数项为 T 7=（-1）6·21·67C =14,故选A. 2.（x+2）10(x 2-1)的展开式中x 10的系数为_____________（用数字作答）. 解析：由x 10项的系数分别来自两个二项式的展开式中两项乘积的系数，应为如下表搭配：x 2-1 (x+2)10常数项：-1 x 10的系数：010Cx 2的系数：1x 8的系数：210C ·22 因为，x 10项的系数是4210C -010C =179.3.若在（1+ax ）5的展开式中，x 3的系数为-80，则a=______________.解析：设x 3的项为T r+1=r C 5(ax)r =r r r x a C 5,则r=3.这样，x 3的系数为335a C =-80，可求得a=-2. 4.求展开式(x+y+z)6中含x 3y 2z 的项.解析：（x+y+z ）6就是6个（x+y+z ）相乘，那么为了组成x 3y 2z 的项，可以分三步完成：(1)从6个括号中选3个括号，抽取3个x(36C )； (2)从剩下的3个括号中，再取2个y(23C )；(3)从最后1个括号中，抽取1个z(11C ). 运用分步计数原理，可知组成一个x 3y 2z 项，选取方式共有36C ·23C ·11C =60.所以展开式中x 3y 2z 项的系数为60，即含x 3y 2z 的项为60x 3y 2z.5.已知(22x x +)n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3，求展开式中不含x 的项.解析：由已知条件及通项公式得：T 5∶T 3=（4n C ·24）∶(2n C ·22)=56∶3⇒n 2-5n-50=0⇒n=10或n=-5(舍).设第r+1项不含x,T r+1=r C 10·2r·2510r x -，所以2510r -=0，解得r=2. 所以，不含x 的项为T 3=210C ·22=180.综合运用6.（2x+x ）4的展开式中x 3的系数是( )A.6B.12C.24D.48解析：由T r+1=r r r x x C )()2(44-=24-r ·244r r r x C +-∙. 令24r r +-=3,得r=2故x 3的系数为24C ·22=24,故选C. 7.若在（xx 15-）n 展开式中，第4项是常数项，则n=____________. 解析：T 4=T 3+1=51833353)1()(---=-n n n n x C x x C .由题意知518-n =0，得n=18. 8.（1）求(3221x x +)12的展开式的第5项.（2）设（a+b ）20的展开式中，第3r 项与第r+2项是不同的两项，但系数相等，求第r 项的系数.解析：（1）可直接利用通项公式，得T 5=320432821412495)()(x x x C =∙.（2）由通项公式知：T 3r =1313201320-+-+rr r b a C ，T r+2=119120+-+r r r b a C .依题意，有1320-r C =120+r C ，但3r-1≠r+1.故由组合数性质可知，必有3r-1=20-(r+1)，解之得r=5.所以，T 5=420C =4 845.9.将（|x|+||1x -2）3展开，其中值为常数的各项之和等于多少？解析：(|x|+||1x -2)3=(||1||x x -)6其通项为T r+1=r r r x x C )||1()||(66-∙∙-=rC 6·(-1)r ·|x|3-rr=3时，T 4=36C ·（-1）3=-20答案：-20拓展探究10.求实数（5+22）15的个位数字.解析：利用二项式定理展开S=（5+22）15+（5-22）15，得S 为个位是0的整数. 而0＜5-22＜1,所以0＜(5-22)15＜1，因此实数（5+22）15的个位数字是9.备选习题11.若(32x x +)n展开式中存在常数项，则n 的值可以是( )A.8B.9C.10D.12解析：由T r+1=rr n rn x x C )2()(3-=2r ·652rn rn x C -∙，令652rn-=0即r=53n∈N ，则3n 是5的倍数，由选项知，n 只能取10，故选C.12.(2005浙江高考，理5)在（1-x ）5+(1-x) 6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中，含x 3的项的系数是 ()A.74B.121C.-74D.-121解析：先求原式的和再求系数：原式=xx x x x x 9545)1()1()1(1])1(1[)1(---=----- 故x 3的项的系数可由（1-x ）5-（1-x ）9的展开式中x 4项的系数求得，即45C -49C =-|2|，故选D.13.设f(x)=x 5-5x 4+10x 3-10x 2+5x+1，则f(x)的反函数f -1(x)等于( ) A.521-+x B.1+5x C.-1+52-x D.1-52-x解析：f(x)= 4453235232514150505)1()1()1()1()1(-+-+-+-+-x C x C x C x C x C2)1(555+-∙+C =（x-1）5+2故f -1(x)=1+52-x ，故选A. 14.(x x 1-)8展开式中x 5的系数为_________.解析：由通项T r+1=238888)1()1(rr r r r r x C x x C ---=-, 得238r -=5，得r=2. 所以x 5的系数是（-1）228C =28.15.（x 2+1）(x-2)7的展开式中x 3项的系数是____________. 解析：由x 3项的系数分别来自两个二项式的展开式中两项乘积的系数，应为如下表搭配：x 2+1 (x-2)7常数项：1x 3的系数：447)2(-C x 2的系数：1x 的系数：667)2(-C 因为，x 3项的系数是447)2(-C +667)2(-C =1 008.。
人教版数学高二A版选修2-3教学设计1.3二项式定理
教学设计1．3二项式定理整体设计教材分析《二项式定理》是多项式运算的推广．在多项式的运算中，把二项式展开成单项式之和的形式，即二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙，只是在中学阶段还没有显示的机会．将本小节内容安排在计数原理之后来学习，一方面是因为二项式定理的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也为学习随机变量及其分布做准备．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的性质有很大好处．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识．二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思想是“先猜后证”．与以往教科书比较，猜想不是通过对n取1、2、3、4的展开式的形式特征的分析而归纳得出，而是直接应用两个计数原理对(a＋b)2展开式的项的特征进行分析．这个分析过程不仅使学生对二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系获得认识的基础，而且也是为证明猜想提供了基本思路．课时分配3课时1．3.1二项式定理教学目标知识与技能1．能用计数原理证明二项式定理；2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．过程与方法1．运用归纳的方法，经历多项式的展开由2到n的过程；2．引导学生借助计数原理与组合知识证明二项式定理．情感、态度与价值观1．培养学生的归纳思想、化归思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力；3．培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力．重点难点教学重点：用计数原理分析(a＋b)2的展开式，得到二项式定理．教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．教学过程引入新课我们已学过计数原理、排列、组合的有关概念和公式，请同学们回顾：(1)两个计数原理的内容是什么？(2)排列的定义与排列数公式是什么？(3)组合的定义与组合数公式是什么？活动设计：学生先独立回忆，必要时可以看书，也可以求助同学．活动结果：(板书)(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．(2)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！. (3)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！.设计意图：复习已经学过的计数原理、排列、组合的有关知识，让学生回顾认知基础，形成认知环境，为二项式定理的引入打下基础．提出问题：如何利用两个计数原理得到(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3的展开式？活动设计：教师提出问题，引导学生关注展开的两个步骤：(1)用乘法法则展开；(2)合并同类项．学生先独立思考，允许小组合作．活动成果：(a＋b)1＝a＋b(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝(a＋b)2(a＋b)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3设计意图：引导学生将(a＋b)2与(a＋b)3的展开式与两个计数原理联系起来，教师提醒学生，用计数原理分析展开式的项数，应当分析项中的字母是如何选取的，并引导学生分析同类项的个数，得到展开式的系数．探究新知(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)的展开式各项都是4次式，即展开式的各项应该具有如下形式：a4，a3b，a2b2，ab3，b4.提出问题1：(1)以a2b2项为例，有几种情况相乘均可得到a2b2项？这里的字母a，b各来自哪个括号？(2)既然以上字母a，b分别来自4个不同的括号，a2b2项的系数你能用组合数来表示吗？(3)你能将问题(2)所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？活动设计：学生自由发言．活动成果：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a、一个是b.每个括号只能取一个字母，任取两个a、两个b，然后相乘．设计意图：帮助学生找到求出展开式系数的基本方法．提出问题2：请用类比的方法，求出二项展开式中的其他各项系数，并将式子：(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝()a4＋()a3b＋()a2b2＋()ab3＋()b4括号中的系数全部用组合数的形式进行填写．活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．活动成果：展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C04种，a4的系数是C04；恰有1个取b的情况有C14种，a3b的系数是C14，恰有2个取b的情况有C24种，a2b2的系数是C24，恰有3个取b的情况有C34种，ab3的系数是C34，有4个都取b的情况有C44种，b4的系数是C44，∴(a＋b)4＝C04a4＋C14a3b＋C24a2b2＋C34a3b＋C44b4.设计意图：巩固已有的思想方法，建立猜想与证明二项式定理的认知基础与理论依据．提出问题3：根据以上展开式，你能猜想一下(a＋b)n的展开式是什么吗？活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论．活动成果：学生可能猜出正确的展开式，但是不一定按照正确的顺序写出来，也不一定了解其中的规律，我们应该将问题进一步具体化，学生可能更容易发现新知．设计意图：通过学生对(a＋b)n展开式的猜想，提高学生的归纳问题的能力，使学生体会新知，发现新知，理解新知，在获得新知的过程中体会数学的乐趣，从而提高学生学习数学的兴趣．提出问题4：请同学们根据猜想完成下式，并对所给答案给出说明：(a＋b)n＝(_)a n＋(_)a n－1b＋(_)a n－2b2＋…＋(_)a n－r b r＋…＋(_)b n(n∈N*)活动设计：先由学生独立完成，然后组织全班讨论，在讨论过程中要明确每一项的形式及其相应的个数，学生之间可以相互求助、辩论．活动成果：(1)(a＋b)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：a n，a n－1b，…，a n－rb r，…，b n.(2)展开式各项的系数：每个都不取b的情况有1种，即C0n种，a n的系数是C0n；恰有1个取b的情况有C1n种，a n－1b的系数是C1n，…，恰有r个取b的情况有C r n种，a n－r b r的系数是C r n，…，有n个都取b的情况有C n n种，b n的系数是C n n，∴(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)，这个公式叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．呈现二项式定理——(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)设计意图：得出二项式定理，体会二项式定理的形成过程，理解二项式定理是由两个计数原理以及组合数公式得到的．由于这是本大节的起始课，按照学习从问题开始、从学生的原有知识结构开始，通过这样的原则与模式进行设计，而且这种意识要贯穿于整个课堂教学的始终，使学生从整体上把握本节要研究的主要问题、主要脉络是什么样的，这样就会使学生清楚本节的学习目标和路线图，是学有目标，研有方向，胸怀全局，先见森林再见树木的学习，其学习效果是不言而喻的．理解新知提出问题1：二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？活动设计：学生自由发言，教师根据前面总结证明的二项展开式进行引导．活动成果：(1)它有n＋1项，各项的系数C k n(k＝0,1，…n)叫二项式系数；(2)各项的次数都等于二项式的次数n.设计意图：加深对二项式定理、二项展开式等概念、公式的理解．提出问题2：二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？活动设计：学生自由发言，可以相互讨论，教师进行引导．活动成果：(板书)(1)字母a 按降幂排列，次数由n 递减到0，字母b 按升幂排列，次数由0递增到n ；(2)C k n a n －k b k 叫二项展开式的通项，用T k ＋1表示，即通项T k ＋1＝C k n a n －k b k ； (3)字母a ，b 可以是数，式子或其他．设计意图：由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点．运用新知1展开(1＋1x)4. 解法一：(1＋1x )4＝1＋C 14(1x )＋C 24(1x )2＋C 34(1x )3＋(1x )4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x 4. 解法二：(1＋1x )4＝(1x )4(x ＋1)4＝(1x )4[x 4＋C 14x 3＋C 24x 2＋C 34x ＋1]＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x 4. 点评：比较复杂的二项式，有时先化简，再展开会更方便．【巩固练习】求(2x －1x)6的展开式． 解：先将原式化简，再展开，得(2x －1x )6＝(2x －1x)6＝1x 3(2x －1)6＝1x 3[(2x)6－C 16(2x)5＋C 26(2x)4－C 36(2x)3＋C 46(2x)2－C 56(2x)1＋C 66]＝64x 3－192x 2＋240x －160＋60x －12x 2＋1x 3. 2求(1＋2x)7的展开式的第4项的二项式系数、项的系数．思路分析：先把通项写出，分清什么是二项式系数，什么是系数．解：(1＋2x)7的展开式的第4项是T 3＋1＝C 37×17－3×(2x)3＝C 37×23×x 3＝35×8x 3＝280x 3. 所以展开式的第4项的二项式系数是35，系数是280.点评：①要注意展开式的第r ＋1项，对应于二项式系数C r n ；②要注意一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念．有时相等，有时不相等，它们之间没什么必然的联系．【巩固练习】求(x －1x)9的展开式中x 3的系数． 解：(x －1x)9的展开式的通项是 C r 9x 9－r (－1x)r ＝(－1)r C r 9x 9－2r . 根据题意，得9－2r ＝3，r ＝3.因此，x 3的系数是(－1)3C 39＝－84.【变练演编】1．(1＋2x)7的展开式的第几项的二项式系数等于35?2．(x －1x)9的展开式中，含有x 6项吗？若有，系数为多少？含有x 5项吗？若有，系数为多少？请将你所能想到的所有答案都一一列举出来．1．解：C 37＝C 47＝35，所以第4项与第5项的二项式系数等于35.2．解：根据通项(－1)r C r 9x 9－2r ，当9－2r ＝6时，r 无整数解；当9－2r ＝5时，解得r ＝2，所以系数为36.所以展开式中，不含x 6项，含有x 5项，系数为36.设计意图：两个题的设计不仅是为了训练学生根据解题需要能熟练地将一个二项式展开，而且可以培养学生的发散性思维能力，并且可以考查学生对知识、问题理解的深刻性和思维的深刻性、全面性．题型的新颖性、开放性更是不言而喻，学生的兴趣会更浓，思维也会更积极．【达标检测】1．求(2a ＋3b)6的展开式中的第3项．2．求(3b ＋2a)6的展开式中的第3项的系数．3．求(1＋2i)5的展开式．1．解：T 2＋1＝C 26(2a)4(3b)2＝2 160a 4b 2；2．解：T 2＋1＝C 26(3b)4(2a)2＝4 860b 4a 2.所以，(3b ＋2a)6的展开式中的第3项的系数为4 860. 3．解：因为a ＝1，b ＝2i ，n ＝5，由二项式定理，得(1＋2i)5＝C 05＋C 152i ＋C 25(2i)2＋C 35(2i)3＋C 45(2i)4＋C 55(2i)5＝1＋10i －40－80i ＋80＋32i＝41－38i课堂小结1．知识收获：二项式定理；二项式定理的表达式以及展开式的通项、二项式系数与系数的概念．2．方法收获：正确区别“项的系数”和“二项式系数”．3．思维收获：类比思想、化归—归纳—猜想—证明思想．补充练习【基础练习】1．已知(1＋x)n 的展开式中，x 3的系数是x 的系数的7倍，求n 的值．2．已知(ax ＋1)7(a≠0)的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，求a 的值．【答案或解答】1．依题意C 3n ＝7C 1n ，即n(n －1)(n －2)6＝7n ， 由于n ∈N ，整理得n 2－3n －40＝0，解得n ＝8.2．依题意C 57a 2＋C 37a 4＝2C 47a 3.由于a≠0，整理得5a 2－10a ＋3＝0，解得a ＝1±105. 【拓展练习】3．计算：(a ＋1)5－(a －1)5. 4．求证：32n ＋C 1n ·32n －2＋C 2n ·32n －4＋…＋C n －1n ·32＋1＝10n . 答案：3.解：(a ＋1)5－(a －1)5 ＝[(a)5＋C 15(a)4＋C 25(a)3＋C 35(a)2＋C 45a ＋1]－[(a)5－C 15(a)4＋C 25(a)3－C 35(a)2＋C 45a －1]＝2[C 15(a)4＋C 35(a)2＋2]＝10a 2＋20a ＋4.4．证明：右边＝10n ＝(9＋1)n ＝(32＋1)n ＝32n ＋C 1n ·32(n－1)＋C 2n ·32(n －2)＋…＋C n －1n ·32＋1＝32n ＋C 1n ·32n －2＋C 2n ·32n －4＋…＋C n －1n ·32＋1＝左边， 故原式得证．设计说明二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题——探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．再以(a＋b)4为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导(a＋b)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．备课资料二项式定理的妙用在数学中，有许多美妙的命名和定理．二项式定理就是其中之一．首先，看一看我们的二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)．这个公式所表示的定理就是二项式定理．T r＋1＝C r n a n－r b r叫做二项展开式的通项公式，在这里r＋1才是项数，第一个位置的a按降幂排列，次数由n次降到0次，第二个位置的b按升幂排列，次数由0次升到n次，a、b可以是任意实数，也可以是任意式子，能深刻理解二项式定理的结构特征、通项公式，就有许多美妙的用处．其次，谈谈二项式定理的妙用：1)若在二项式定理中，令a＝1、b＝1，就能得到C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n，即各二项式系数之和等于2n，也是含n个元素的集合的所有子集有2n个，其中非空子集、真子集都有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个．2)若令a＝1、b＝－1，则可得C0n－C1n＋C2n－C3n＋…＋(－1)n C n n＝(1－1)n＝0，即C0n＋C2n ＋…＝C1n＋C3n＋…＝2n－1，也就是在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和且等于2n－1.3)在二项式定理中，若令a＝1、b＝x，则得到公式(1＋x)n＝1＋C1n x＋C2n x2＋…＋C r n x r＋…＋C n n x n ，其有鲜明的形式特征，可快速准确地展开类似的二项式．4)充分利用二项式的通项公式可以求出我们所要的任意一项．5)在二项式定理中，若令未知数的系数等于1，就可以得到二项展开式中各项系数之和． f(x)＝(px ＋q)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n ，则有a 0＋a 1＋a 2＋……＋a n＝f(1)，a 0－a 1＋a 2－a 3＋……＋(－1)n a n ＝f(－1)，a 0＋a 2＋a 4＋……＝12[f(1)＋f(－1)]，a 1＋a 3＋a 5＋……＝12[f(1)－f(－1)]． 6)用二项式定理可以很好地解决整除问题．例如①求证32n ＋2－8n －9能被64整除．②求证5151－1能被7整除等．7)在二项式系数表中，淋漓尽致地体现了组合数的两个重要性质：①C r n ＝C n －r n ，②C r n ＋1＝C r －1n ＋C r n . 8)二项式系数C r n (r ＝0、1、2…、n)中，当n 为偶数时，中间一项C n 2n 取得最大值，当n 为奇数时，中间两项C n －12n ，C n ＋12n 相等且同时取得最大值，且分别是第n 2＋1项与第n －12＋1项和第n ＋12＋1项． 9)在二项式定理中，使用递推法，即T r ，T r ＋1，T r ＋2系数间的关系可以解决系数最值问题．10)利用二项式定理可以解决近似计算问题．11)理解透彻二项式定理的结构关系，能应用它求解、证明许多式子．例如：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n －1C n －1n ＋2n C n n＝3n ； 2n －C 1n 2n －1＋C 2n 2n －2＋…＋(－1)n －1C n －1n2＋(－1)n ＝1； C 1n ＋2C 2n ＋4C 3n ＋…＋2n －1C n n ＝？ 在(2－x)n 中若x n 项的系数为a n (n ＝2,3,4，…)则22a 2＋23a 3＋24a 4＋ (2)a n＝？ …总之，巧妙地应用二项式定理可以解决许多有趣实用的问题．希望大家都能喜欢数学，学习数学，应用数学．(设计者：毕晓岩)1．3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标知识与技能1．利用二项式定理得出二项式系数的一些性质；2．能运用二项式系数的性质解决一些简单问题．过程与方法1．熟知二项式系数的对称性、单调性、最大项及所有二项式系数之和等结论；2．熟练运用赋值法求一些代数式的值．情感、态度与价值观1．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．2．通过学习“杨辉三角”的有关知识，了解我们国家悠久的文化传统，陶冶学生的爱国主义情操，进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气，提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：了解“杨辉三角”的结构与规律，掌握二项式系数的一些性质，掌握赋值法．教学难点：二项式系数性质的得到和证明，利用二项式系数的性质解决有关问题．教学过程引入新课前面我们学习了二项式定理，请回顾：(1)(a＋b)n＝__________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的__________________，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做____________，通项是指展开式的第________________项，展开式共有______________项．(2)什么是二项式系数？什么是系数？活动设计：学生先独立回忆，然后独立发言，其他同学进行补充，必要时可以看书．活动结果：(答案展示)(1)(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)、展开式、二项式系数、r＋1、n＋1.(2)二项式系数是C r n，系数是变量前的常数．设计意图：通过复习二项式定理的有关知识，为发现杨辉三角的有关性质打下基础，形成知识储备，引出本节课要研究的内容．提出问题：计算(a＋b)n展开式的二项式系数并填入下表活动设计：通过学案或者投影展示表格，学生填空，学生之间可以交流，教师指导．活动成果：设计意图：当二项式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数．通过计算填表，让学生发现其中的规律．探究新知提出问题：当表示形式为“三角形”时，该表格有什么规律？活动设计：学生自主解决，自由发言，自主探究．活动成果：(这个表在我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，称为杨辉三角．但是在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的，他们把这个表称为帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的)设计意图：为了使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉，要求学生填表，观察表格，探索规律，体会“表示形式的变化有时能帮助我们发现规律”这句话的深刻哲理与方法，由学生自己说说其中的规律．理解新知提出问题1：观察杨辉三角的每一行，正数第1个数与倒数第1个数，正数第2个数与倒数第2个数，正数第3个数与倒数第3个数，…它们有什么样的等量关系？你能把你的想法概括成一句话吗？活动设计：通过展示表格与杨辉三角，让学生自己观察，发现结论，踊跃发言，勇于探索．活动成果：正数第1个数与倒数第1个数相等，正数第2个数与倒数第2个数相等，正数第3个数与倒数第3个数相等，…(板书)二项式系数的性质(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等，即C m n ＝C n－mn.设计意图：引导学生猜想，猜想是发现的开始．通过杨辉三角得到“对称性”，进一步加深学生对二项式系数性质的掌握，这条性质实际上是组合数的一个性质．提出问题2：观察杨辉三角的相邻两行，看看下一行中除了“1”之外的数与上一行中的数有什么关系？活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论． 活动成果：表中任一不为1的数都等于它肩上的两个数的和，即(板书)(2)C r n ＋1＝C r －1n ＋C r n .设计意图：通过新发现(杨辉三角)，重新验证旧知识，能够提升学生对此公式的理解与掌握，加深学生对二项式系数性质的理解，能够在最大程度上提升学生的认知水平，这条性质实际上是组合数的另外一个性质．提出问题3：观察每一行中的二项式系数的大小变化情况，有单调性吗？有最值吗？ 活动设计：学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生说，让他们积极参与．教师始终是引导者，学生始终是课堂的主体．引导学生从多个方面分析二项式系数的大小关系，如利用特殊值法观察归纳、利用函数图象画图观察等等．先由学生独立完成，然后组织全班讨论，学生之间可以相互求助．活动成果：因为C k n＝n(n －1)(n －2)…(n －k ＋1)(k －1)！k＝C k －1nn －k ＋1k， 所以C k n 相对于C k －1n 的增减情况由n －k ＋1k决定．由n －k ＋1k >1 k<n ＋12可知，当k<n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n ，即C n －12n ，C n ＋12n最大．(板书)(3)增减性与最大值：二项式系数由两边向中间增大，并且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n 最大．设计意图：由于二项式系数组成的数列是一个离散函数，所以我们应该引导学生从函数的角度或从特殊值的角度研究二项式系数的性质．这样处理便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，体会由特殊到一般的化归思想．难点是需要根据n 的奇偶性确定相应的分界点，教学时应该引导学生分析其对称轴实际上是k ＝n2，从而学生可以比较容易地理解并记住最值在哪一项被取到．提出问题4：计算“杨辉三角”中每一行的和，观察其规律，并写出其公式．活动设计：学生自主探究，归纳整理，踊跃发言，教师应该多加鼓励，但是不能代替学生，自始至终都要保护学生的积极性，保持学生的主体性，教师仅仅是一名导演而已．活动成果：已知(1＋x)n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C r n x r ＋…＋C n n x n，令x ＝1，则2n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n .即二项式系数之和等于2n .我们把这样的方法称为赋值法，赋值法是一类解决二项式系数的性质的优越办法． (板书)(4)各二项式系数的和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n＝2n . 设计意图：本环节的设置与本节的大环境一致，都是通过特殊的例子发现最一般的结论，提高学生的认知能力、观察能力及化归能力，加深对二项式系数性质的掌握与应用．实际上这条性质，我们在组合数或者集合的子集中遇到过，教师也可以从这方面入手进行引导，能够进一步加深学生对这一部分知识的理解与掌握，让学生体会到数学知识的前后联系，能够最大限度地达到教学目标．运用新知例1下面的二项展开式中，哪些项的二项式系数最大？是多少？填在相应的横线上．(1)(a＋b)20第________________项的二项式系数最大，是______________________；(2)(a＋b)19第________________项的二项式系数最大，是______________________．思路分析：根据二项式系数的性质(3)即可解决，但要分清n的奇偶性．解：(1)若n＝20，则当r＝10时，二项式系数最大，所以第11项的二项式系数最大，是C1020.(2)若n＝19，则当r＝9或10时，二项式系数最大，所以第10或11项的二项式系数最大，是C919＝C1019.点评：通过n的奇偶性的不同，考查了二项式系数的性质(3)，但是要注意这是二项式系数的最大值，不一定就是系数的最大值．【巩固练习】(1＋2x)n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意C4n＝C7n，所以n＝4＋7＝11，从而展开式中二项式系数最大的项是中间两项，即第6项与第7项．例2证明：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．思路分析：奇数项的二项式系数的和为C0n＋C2n＋C4n＋…，偶数项的二项式系数的和为C1n＋C3n＋C5n＋…，由于(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)中的a，b可以取任意实数，因此我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和．这一点可以从性质(4)的推导来获得．证明：在展开式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)中，令a＝1，b＝－1，则得(1－1)n＝C0n－C1n＋C2n－C3n＋…＋(－1)n C n n，即0＝(C0n＋C2n＋…)－(C1n＋C3n＋…)，所以C0n＋C2n＋…＝C1n＋C3n＋…，即在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．点评：赋值法是解决二项式定理与二项式系数的一种很重要的方法，凡是与二项式系数和或者系数和有关的问题，都有可能通过赋值法获得解决．实际上我们还可以利用函数思想解决这个问题，即令f(x)＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C r n x r ＋…＋C n n x n，由f(－1)＝0，即可很容易地得到要证明的结果． 【巩固练习】C 17＋C 27＋C 37＋…＋C 77＝__________ 解：因为C 07＋C 17＋C 27＋C 37＋…＋C 77＝27＝128，所以 C 17＋C 27＋C 37＋…＋C 77＝128－1＝127. 【变练演编】1．当C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2 048时，n ＝________. 2．当C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2 048时，n ＝________.3．当C x n ＝C y n 时，其中n≥x ，n≥y ，x ，y ，n ∈N *，则x ，y 所满足的关系式是__________． 4．当(1＋2x)n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大时，n ＝________________. 请将你所能想到的所有答案都一一列举出来． 1．解：由2n ＝2 048＝211，得n ＝11. 2．解：由2n －1＝2 048＝211，得n ＝12. 3．解：由题意x ＝y 或x ＋y ＝n.4．解：由性质(3)知，n2＋1＝7，所以n ＝12.设计意图：本环节的设计源于一种非常好的教学方法：变练演编．这种开放性的设计，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维．一堂好的数学课必须让学生创新，使得学生有所收获．通过这种方式的训练，让学生去创造题目，解决问题，增加了中学生学习数学的兴趣，进一步掌握了“杨辉三角”的有关性质，能力得到了提高．【达标检测】1．展开式1＋2C 110＋4C 210＋…＋210C 1010＝________.2．(x y －12y x)13展开式的中间项是__________．3．已知(x 3＋1x2)n 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，求展开式中不含x 的项．1．解：在(1＋x)10＝r ＝010C r 10x r中，令x ＝2，得1＋2C 110＋4C 210＋…＋210C 1010＝(1＋2)10＝310＝59 049.2．解：中间项是第7、8项，即42916x 10y 192、－42932y 10x 192.。
人教A版高中数学选修2-3配套课件：1.3.1 二项式定理
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
例 4 试判断 7777-1 能否被 19 整除.
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
问题 2:根据问题 1 猜想(a+b)n 的展开式,并简要说明每一项的形成
过程.
提示:(a+b)n=C0 an+C1 an-1b+…+C an-kbk+…+C bn(n∈N*).
因为(a+b)n 由 n 个(a+b)相乘,每个(a+b)中的 a 或 b 都选定后,才能
5,则 a=(
A.-4
).
B.-3
C.-2
D.-1
答案:D
解析:因为(1+x)5 的二项展开式的通项为C5 xr(0≤r≤5,r∈Z),则含 x2
的项为C52 x2+ax·C51 x=(10+5a)x2,所以 10+5a=5,a=-1.
第十六页，编辑于星期日：六点 十五分。
1.3.1
问题导学
二项式定理
KETANG HEZUO TANJIU
预习导引
(2)(x+1)n 的展开式共有 11 项,则 n 等于(
A.9
B.10
C.11
).
D.12
提示:B
(3)
1 7
2的展开式中第
的系数为
提示:21
3 项的二项式系数为
,x 的次数为 5 的项为
-84
,第 6 项
.
-448x5
(完整版)高中数学(人教A版)选修2-3之1.3.1二项式定理(二)
1、已知
a x
x 2
的9 展开式中x3的系数
为 9 ，则常数a的值是_______
4
2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（
）
A.-297 B.-252 C. 297 D. 207
3、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是 _4_._已_知__(_1_+_x2_)n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
四、二项式定理的灵活运用
例7、 （1）（0.997）3 的近似值（精确到
0.001）
（2）（1.002）6的近似值（精确到0.001）.
补充：
例1、已知 (1 2x)5 展开式中第2项大于它的相邻
两项，求x的范围。
例2、(1)已知(
x
1 3x2
)n的第5项的二项式系数与第3
解:
Tr 1
C9r
(
x 3
)9r
(
3 )r x
C9r
(
1 3
)9r
3r
9r
x
1 2
r
由9-r-
1 2
r
0得r
6.
T7
C96
(
1 3
)96
36
2268
一、求展开式的特殊项
例2’ 求 ( x 3 )9的展开式的中间两项 3x
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
T5
T41
C94
(
x 3
)94
数学人教A版选修2-3教材梳理：1.3二项式定理 含解析 精品
庖丁巧解牛知识·巧学一、二项式定理1.公式(a+b)n =n n n k k n k n n n n n b C b a C b a C a C ++++-- 1110(n ∈N *).对二项式公式，令a=1,b=x ，则得一个比较常用的公式：(1+x)n =1+r r n n n x C x C x C +++ 221+…+x n .（1）(a+b)n 的二项展开式共有ｎ＋1项，其中各项的系数k n C （ｋ∈｛0,1，2,…，ｎ｝）叫做二项式系数；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数ｎ.方法归纳 （1）字母ａ的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由ｎ逐次减1直到零，字母ｂ的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到ｎ;（2）由于二项式定理表示的是一个恒等式，在二项展开式中，有关系数的或组合数中一些和的问题，可对照二项展开式，对ａ、ｂ赋以特殊值，是解决这类问题的基本方法;(3)有关三项展开问题，可将三项中某两项看做一项，然后利用二项式定理处理.（4）二项式系数n nn n n C C C C 210,,只与第n 项有关，与a,b 的大小无关. 2.通项公式二项展开式中第ｋ＋1项k k n k n b a C -叫做二项展开式的通项，即T k+1=k nC a n-k b k . （1）通项公式表示的是二项展开式中的任意一项，只要ｎ与ｒ确定，该项也随之确定；对于一个具体的二项式，它的二项展开式中的项依赖于ｒ；（2）通项公式表示的是第ｋ＋1项，而非第ｋ项；（3）公式中的第一个量ａ与第二个量ｂ的位置不能颠倒.疑点突破 利用通项公式可以解决以下问题：（1）求指定项；（2）求特征项；（3）求指定项、特征项的系数.在应用通项公式时要注意以下几点：（1）要能准确地写出通项，特别注意符号问题；（2）要将通项中的系数和字母分离开来，以便解决有关问题；（3）通项公式中含有a,b,n,k,T k+1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求第五个元素，在有关二项式定理的问题中，常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程或方程组，这里必须注意ｎ是正整数，ｒ是非负整数，且ｒ≤ｎ.二、二项式系数及其性质二项展开式中，各项系数r n C (r=0,1,2,…，n)叫做展开式的二项式系数.它们是一组仅与二项式的幂指数ｎ有关的ｎ＋1个组合数，与a,b 无关.其性质如下：（1）对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可以由m n nm n C C -=得到.（2）增减性与最大值：如果二项式的幂指数ｎ是偶数，那么其展开式中间一项，即12+n T 的二项式系数最大；如果ｎ是奇数，那么其展开式中间两项21+n T 与121++n T 的二项式系数相等且最大.（3）各二项式系数的和：n nn n n C C C C ++++ 210=2n ，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即531420nn n n n n C C C C C C ++=+++ +…=2n-1. 方法点拨 对形如(ax+b)n ,(a 2+bx+c)m 的式子求其展开式的各项系数之和，只需令ｘ=1即可，对形如(ax+by)n 的式子求其展开式各项系数之和，只需令ｘ=ｙ=1即可.辨析比较 二项式系数与项的系数是不同的概念.如(a-b)n 的二项展开式的通项公式只需把-ｂ看成ｂ代入原来的二项式定理可得：T r+1=(-1)r r n C a n-r b r ，则第ｒ＋1项的二项式系数为r nC ，而第ｒ＋1项的系数是(-1)r r n C . 知识拓展 如求（a+bx ）n 展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A 1,A 2,…，A n+1，设第ｒ＋1项系数最大，应有⎩⎨⎧≥≥+++.,211r r r r A A A A 从而解出ｒ的值即可.问题·探究问题1什么叫做二项式系数？什么叫做二项式项的系数？它们本质相同吗？有什么区别？思路:(a+b)n 的二项展开式共有ｎ＋1项，其中各项的系数k n C (k ∈{0,1,2,…，n})叫做二项式系数.而二项式项的系数是在二项式系数的前面加相应符号.二者是有区别的，如(a+bx)n 的展开式中，第ｒ＋1项的二项式系数为r n C ，而第ｒ＋1项的系数为r n C a n-r b r探究:在有关二项展开式问题中，要注意二项式系数与总分项的系数的区别和联系，同时注意“取特殊值法”在求系数和中的作用.如在（1+2x ）7的展开式中，第四项是T 4=37C ·17-3·（2x ）3，其二项式系数是37C ，则第4项的系数是37C ·23=280，它们既有区别，又有联系.求二项式系数的和是2n ，求二项展开式各项的系数和一般用赋值法解决.问题2在数的整除问题中，我们经常会遇到这样的问题：今天是星期天，220天后是星期几？11827的末位数字是几？34n+2+5m+1能被14整除吗？等等.你能对此类问题提供一种较好的解决方法吗？试说明之. 并由此谈谈你对二项式定理的理解.思路:对类似的整除问题，可以借助于二项式定理来解决.把一个数的指数幂的底数分解为两个数的和或差，利用二项式定理展开，对展开项的数字特征进行分析.对二项式定理的理解应注意它是一个恒等式，左边是二项式幂的形式.表示简单，右边是二项式的展开式，表示虽然复杂，但很有规律，规律特点为：①它有ｎ＋1项，是和的形式；②各项的次数都等于二项式的幂的次数ｎ；③字母ａ按降幂排列，次数由ｎ减到0，字母ｂ按升幂排列，次数由0增到ｎ.④各项的二项式系数依次为：n nn n C C C ,,10 ，利用展开式解决问题时可以根据需要而选择.探究:上题中的“11827的末位数字是几”这一问题，可以利用二项式定理看做（10+1）827，由二项式展开，得82782682723282721827082711011011010∙∙+∙∙+∙∙+∙C C C C容易发现，其个位数字即为1.二项式定理中，ａ、ｂ是任意的，于是我们可以根据需要对其赋值，利用二项式定理来解决一些实际问题.如令ａ=1，ｂ=ｘ，则（1+x ）n =1+n n n r n n n xC xr C x C x C +++++ 2221这也为我们解决问题提供了“取特例”的思想方法.如上式中再令ｘ=-1，或令ａ、ｂ取一些特殊的值还可以得到许多有用的结果.典题·热题例1(2005全国高考)(2x-x 1)9的展开式中，常数项为______________.（用数字作答）.思路分析:二项展开式的通项为T r+1=r C 9(2x)9-r (-x 1)r =(-1)r 29-r r C 929rr x --. 令9-r-2r =0，得ｒ=6.故常数项为T 7=(-1)6×2369C =672. 答案:672方法归纳 凡涉及到展开式的项及其系数等问题时，常是先写出其通项公式T r+1=r n C a n-r b r ，然后再根据题意进行求解，往往是结合方程思想加以解决.拓展延伸 (2005山东高考)如果(3x 321x -)n 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（ ） A.7 B.-7 C.21 D.-21思路分析:分清某一项的系数与它的二项式系数是否相同，常规解法是利用通项公式T r+1=r n C a n-r b r ，先确定ｒ，再求其系数.令ｘ=1，即(3-1)n =128，得ｎ=7.由通项公式，得T r+1=rC 7(3x)7-r (321x -)r =(-1)r ·37-r ·r C 7·357r x -，由7-35r =-3.解得r=6.故31x的系数是(-1)6·3·67C =21. 答案:C深化升华 在求二项式中参数的值及特定项的系数等问题时，通常是利用展开式的通项与题目提供的信息及各量之间的制约关系，巧妙构造方程，利用方程的思想求解.例2（1+2x ）n 的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.思路分析:根据已知条件可求出ｎ，再根据ｎ的奇偶性，确定出二项式系数最大的项.解:T 6=5n C (2x)5,T 7=6n C (2x)6，依题意有5n C ·25=6n C ·26，解得n=8.所以(1+2x)n 的展开式中，二项式系数最大的项为T 5=48C ·（2x ）4=1 120x 4.设第ｒ＋1项系数最大，则有⎪⎩⎪⎨⎧∙≥∙∙≥∙++--,22,2211881188r r r r r r r r C C C C .解得5≤r≤6. 由于r ∈{0，1，2，…，8}，所以ｒ=5或ｒ=6.则系数最大的项为T 6=1 792x 5,T 7=1 792x 6.方法归纳 二项式系数最大项的问题，可直接根据二项式系数的性质求解.ｎ为奇数时，中间两项的二项式系数最大;ｎ为偶数时，中间一项的二项式系数最大.误区警示 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，要根据各项系数的正、负变化情况，采用列不等式，解不等式的方法求.例3求(1+2x-3x 2)6展开式中含x 5的项.思路分析:幂函数6是个不大的数目，显然可以按多项式乘法法则把(1+2x-3x 2)6乘开为多项式，再从中取出含x 5的项，但是计算量较大.如果把1+2x-3x 2中的两项结合起来，则可看成二项式，从而可利用二项式定理，展开后，再把结合为一组的两项展开，就能得到含x 5的系数.解:原式=［1+(2x-3x 2)］6=1+16C (2x-3x 2)+26C (2x-3x 2)2+36C (2x-3x 2)3+…+66C (2x-3x 2)6.可以看出，继续将右端展开后，在36C (2x-3x 2)3,46C (x-3x 2)4,56C (2x-3x 2)5这三部分的展开式中都含有x 5的项，它们分别是：36C 23C ×2×(-3)2x 5,46C 14C ×23×(-3)x 5,56C 05C 25x 5.把这三项合并后，就得到(1+2x-3x 2)6展开式中含的项是-168x 5.方法归纳 用结合的方法，把三项式做为二项式处理，这是一种较为普遍的转化方法.通过转化.可以把较生疏的问题转化为较熟悉的问题，把较困难的问题转化为较容易的问题. 例4求0.9986的近似值，使误差小于0.001.思路分析:因为直接对0.9986进行求值难度较大，而0.9986=(1-0.002)6，故可用二项式定理展开计算.解:0.9986=(1-0.002)6=1+6×（-0.002）1+15×(-0.002)2+…+（-0.002）6.因为T 3=26C ·（-0.002）2=15×(-0.002)2=0.000 06<0.001，且第三项以后的绝对值都小于0.001，所以从第三项起，以后的项可以忽略不计.则0.9986=(1-0.002)6≈1+6×(-0.002)=1-0.012=0.988.深化升华 由(1+x)n =1+1n C x+2n C x 2+…+n n C x n ，当ｘ的绝对值与1相比很小且ｎ很大时，x 2,x 3,…，x n 等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此，可用近似计算公式：(1+x)n ≈1+nx.在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍.若精确度要求较高，则可使用较为精确的公式：(1+x)n ≈1+nx+2)1(-n n x 2. 例5求证：对任何非负整数ｎ，33n -26n-1可被676整除.思路分析:当ｎ=0或1时，所给式子为具体数，可以验证.当ｎ≥2时，由于注意到676等于262，而33n =27n =(26-1)n .可以用二项式展开，看各项中是否均能含有262.解:当ｎ=0时，原式等于0，可被676整除.当ｎ=1时，原式=0，也可被676整除.当ｎ≥2时，原式=27n -26n-1=(26+1)n -26n-1=(26n +1n C 26n-1+…+2-n n C 262+1-n n C 26+1)-26n-1=26n +1n C 26n-1+…+2-n n C 262.每一项都含有262这个因数，故可被262=676整除.综上所述，对一切非负整数ｎ，33n -26n-1可被676整除.方法归纳 此类问题可以用二项式定理证明，证明此类问题的关键在于将被除式进行恰当的变形.使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都含有除式这个因式，就可证得整除.。
人教版高中数学人教A版选修2-3第一章：1.3.3二项式定理的应用
探究三
(a b)n (a b)( ab )(ab)
n
①项： a n a n1b a nk bk bn
②系数：
C
0 n
C
1 n
C
k n
C
n n
个(a b)中选b
个(a b)相乘
C
k n
个(a b)中选a
二项式定理
①项数： 共有n＋1项
②次数：各项的次数都等于n， 字母a按降幂排列，次数由n递减到0 , 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
人教A版选修2-3 第一章
1.3.3 二项式定理的应用
探究
请按照乘法的运算律把下列式子展开
(a b)2 a?2 2ab b2
(a b)3 ?(a b)a b(a b)
a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)4 (?a b)(a b)(a b)(a b) a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
思考：
1.试求(x+2y+z)6 的展开式中含 xy2z3 项的系数.
2.若
(ax
1 x
)(2 x
1 x
)5
展开式中的常数项为－40，
则 a= (2016 年理科省质检第 15 题)
变式 1：求 1 2x7 的展开式的倒数第 4 项
题型二：求二项式展开式的特定项
变式 2：求 1 2x7 的展开式的中间两项； 变式 3：思考 1 2x7 展开式的第 4 项与 2x 17 展开式
的第 4 项相同吗？
课堂练习
书本第31页
6
6
书本第 8 项的二项式系数相等，
③二项式系数: ④二项展开式的通项: ⑤a与b之间用加号连接
数学人教A版选修2-3目标导引：1.3二项式定理 含解析
1.3二项式定理一览众山小三维目标1.熟练掌握二项式定理、二项式展开式及二项式系数的性质，并能利用其解决相关问题，掌握二项式定理应用题的解题思路和基本方法.2.了解杨辉三角，从不同的角度得出二项式系数的性质.感受我国古代数学的研究成就，增强民族自豪感.3.通过本节的学习，培养观察、分析、归纳和总结的能力，并且在学习中体验“发现”的乐趣，培养学习数学的兴趣，通过对“杨辉三角”的认识，激发我们的爱国热情.学法指导二项式定理是多项式乘法的继续，研究的是(a+b)n 的展开式，而展开式的得出要依赖于分类加法计数原理和分步乘法计数原理以及排列组合的知识.所以在学习本节前，要对本章前两节的内容进行重点复习，以推导出二项式的展开式.通过对ｎ=2、3、4等特殊数的情况分析，猜想出相应公式并证明之.再由这一公式借助杨辉三角总结二项式系数的性质.在学习中要注意区别二项式系数的最大项与项的系数的最大项不一定相同.诱学导入材料：杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图1-3-1：图1-3-1杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和.其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.问题：认真观察并分析杨辉三角，你能发现它的哪些数字特征规律？看看你能写出多少？ 导入：杨辉三角是我们本节的一个重要内容.杨辉三角表中蕴含着许多的规律，我们通过认真观察就不难发现.下面仅列举部分相关特征:①杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第2k-1行中的各个数字都是奇数;②在相邻两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和;③杨辉三角中，质数P 行中，P 整除除1以外的所有数;④杨辉三角中，第n 行中，n n n n n n C C C C 2210=++++ ;⑤杨辉三角中，有：1121+-++=++++r n r n r r r r r r C C C C C (n>r).。
人教版高中数学选修2-3知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：专题1.3 二项式定理
1.3 二项式定理知识一、二项式定理 1．二项式定理011()C C C C ()n n n k n k k n nn n n n a b a ab a b b n --*+=+++++∈L L N ， 这个公式叫做二项式定理（binomial theorem ），等号右边的多项式叫做()na b +的二项展开式，共有n +1项，其中各项的系数C ({0,1,2,,})kn k n ∈L 叫做二项式系数（binomial coefficient ）.【注】二项式定理是一个恒等式，这里的a ,b 既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.如果设a =1，b =x ，则得到公式：(1)nx +=.2．二项展开式的通项 二项展开式中的C kn kk n ab -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第1k +项：1k T += .通项的应用：利用二项展开式的通项可以求出展开式中任意指定的项（或系数），如常数项、有理项等.【注】二项式(a ＋b )n (n ∈N *)展开式的特点：（1）它有n ＋1项；（2）各项的次数(即a 与b 的指数的和)都等于二项式的次数n ；（3）字母a 按降幂排列，次数由n 递减到0；字母b 按升幂排列，次数由0递增到n . 二、“杨辉三角”与二项式系数的性质 1．杨辉三角当n 依次取1,2，3，…时，(a ＋b )n展开式的二项式系数可以表示成如下形式：(a ＋b )1………………………………1 1 (a ＋b )2……………………………1 2 1 (a ＋b )3…………………………1 3 3 1 (a ＋b )4………………………1 4 6 4 1 (a ＋b )5……………………1 5 10 10 5 1 (a ＋b )6…………………1 6 15 20 15 6 1… …上表称为“杨辉三角”.从上面的表示形式可以直观地看出“杨辉三角”的特点：（1）在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数 ； （2）在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和. 由此可知，当二项式次数不大时，可借助“杨辉三角”直接写出各项的二项式系数. 2．二项式系数的性质 （1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式C C m n mn n -=得到.（2）增减性与最大值 当12n k +<时，二项式系数是逐渐增大的；当12n k +>时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数2C nn最大；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数1122C,Cn n nn-+相等且最大.（3）各二项式系数的和已知0122(1)C C C C C n k k n n n n n n n x x x x x +=++++++L L .令1x =，则0122C C C C n nn n n n =++++L .也就是说，()na b +的展开式的各个二项式系数的和为 .（4）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即02131C C C C 2n n n n n -++=++=L L .知识参考答案：一、1．0122C C C C C k k n nn n n n n x x x x ++++++L L2．C k n kk n ab -二、1．相等2．2n重点重点 利用二项式的通项公式求特定项的系数等 难点 二项式定理与二项式系数的性质的综合易错混淆二项展开式中各项的系数与各项的二项式系数致误，不能正确区分项数与项的次数致误1．利用通项公式求展开式中的特定项 （1）求二项展开式的特定项的常见题型①求第r 项，T r =C r －1n an－r ＋1b r －1；②求含x r 的项(或x p y q 的项)； ③求常数项； ④求有理项．（2）求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【例1】在二项式3312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. （1）求展开式的第四项； （2）求展开式的常数项.【解析】二项式3312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为()3131C 2rn rrr nT x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭12331C 2rn r r n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由前三项系数的绝对值成等差数列，得202111C C 2C 22n nn ⎛⎫+-=⨯ ⎪⎝⎭,解这个方程得n ＝8或n ＝1(舍去).（1）展开式的第4项为：323323481C 7.2T x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭（2）当82033r -=,即r ＝4时,常数项为448135C 28⎛⎫-= ⎪⎝⎭.【例2】二项式312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍. 求：（1）n .（2）展开式中的所有的有理项.2．二项式定理的正用与逆用（1）运用二项式定理展开二项式，要记准展开式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷； （2）逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 【例3】（1）求(3x ＋1x)4的展开式； （2）化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1). 【解析】（1）解法一：(3x ＋1x )4=C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x ＋C 24(3x )2·(1x )2＋C 34(3x )·(1x )3＋C 44·(1x)4 =81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.解法二：(3x ＋1x )4=42(31)x x +=1x2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) =81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.（2）原式=C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55(x －1)0－1=[(x －1)＋1]5－1 =x 5－1.【思路点拨】（1）可直接用二项式定理展开，也可以通分后再用二项式定理展开．（2）解答本题可先分析结构形式，然后逆用二项式定理求解．【名师点睛】（1）展开二项式可按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．（2）对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．（3）对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． 3．二项式系数与项的系数问题二项式系数是指0C n ，1C n ，…，C nn ，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关．如()na bx +的展开式中，第r ＋1项的二项式系数是C rn ，而该项的系数是C rn rr n ab -.当然，某些特殊的二项展开式如(1)n x +，各项的系数与二项式系数是相等的．【例4】已知12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的第二项和第三项的系数相等．（1）求n 的值；（2）求展开式中所有二项式系数的和； （3）求展开式中所有的有理项．【解析】二项式12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为32111C C 22rrrn r n r r r n n T x x x --+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得21211C C 22nn ⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝⎭，即()111242n n n -=⋅，解得n =5；（2）展开式中所有二项式系数的和为0123455555555C C C C C C 232+++++==.（3）二项式展开式的通项公式为355215511C C 22r rr r r r r T x xx --+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当r =0，2，4时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为0055151C 2T x x ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭，225323515C 22T x x -⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭，44565515C 216T x x -⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭. 【技巧点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．利用二项展开式的通项时注意下列问题： （1）C kn kk n ab -是第k ＋1项，而不是第k 项．（2）通项公式中a ，b 的位置不能颠倒．（3）通项公式中含有a ，b ，n ，k ，T k ＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”. 【例5】已知二项式.（1）若,展开式中含项的系数为960,求的值;（2）若展开式中各项系数和为,且,求展开式的所有二项式系数之和.【解析】（1）的展开式的通项为,令,得，解得.4．二项展开式的系数的性质【例6】（系数最大问题）已知()12nx + 的展开式中，第六项和第七项的二项式系数最大 （1）求n 的值；（2）求展开式中系数的最大的项.【解析】（1）因为第六项和第七项的二项式系数最大，所以56C C n n =且最大，所以11n =.（2）设()1112x +展开式中系数最大的项为第1r +项，易知1112C r r rr T x +=，令1112Crrr t +=，则111111111111C C C C 2222r r r r r r r r -+-+≥≥⎧⎪⎨⎪⎩，则78r ≤≤， 因为*r ∈N ，所以7r =或8r =.当7r =时，77778112C 42240T x x ==； 当8r =时，88889112C 42240T x x ==，故展开式中系数最大的项有两项，即第八项742240x 和第九项842240x .【名师点睛】注意展开式中某一项、某一项的二项式系数、某一项的系数三者的区别． 【例7】（求和问题）已知(1－2x )7=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋···＋a 7x 7.求： （1）a 1＋a 2＋···＋a 7； （2）a 1＋a 3＋a 5＋a 7； （3）a 0＋a 2＋a 4＋a 6； （4）|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋···＋|a 7|.【解析】令x =1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7=－1，① 令x =－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7=37.② （1）∵a 0=C 07=1， ∴a 1＋a 2＋a 3＋···＋a 7=－2.（2）由(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7=－1－372=－1 094.（3）由(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6=－1＋372=1 093.（4）方法一：(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋···＋|a 7|=(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) =1 093＋1 094=2 187.方法二：∵|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋···＋|a 7|是(1＋2x )7展开式中各项的系数和， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋···＋|a 7|=37=2 187.【技巧点拨】“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x =0可得常数项，令x =1可得所有项系数之和，令x =－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差． 5．与杨辉三角有关的问题（1）杨辉三角的作用①直观地看出或探究二项式系数的性质；②当二项式系数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数．（2）杨辉三角问题解决的一般方法观察—分析；实验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察，如表所示：【例8】如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，···，记其前n项和为S n，求S19的值.【解析】由图知，数列的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第18项是C110，第19项是C211，∴S19=C22＋C12＋C23＋C13＋···＋C210＋C110＋C211=(C12＋C13＋C14＋···＋C110)＋(C22＋C23＋C24＋···＋C211)=(2＋3＋4＋···＋10)＋(C33＋C23＋···＋C211)=(210)92+⨯＋C312=54＋12×11×101×2×3=274.【名师点睛】观察数列的各项在杨辉三角中的位置，联系二项式系数的性质，直接对数列求和即可． 6．整除问题利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开. 【例9】求证：5151－1能被7整除. 【解析】因为.所以可以看出，展开式中除251－1外，其余各项都能被7整除.而，因其各项均可被7整除，故251－1可被7整除. 所以5151－1能被7整除.7．混淆二项展开式中各项的系数与各项的二项式系数致误【例10】已知(3x ＋1)6展开式中各项系数的和为m ，且n =log 2m ，求(x －2x )n 展开式中二项式系数最大的项的系数.【错解】由二项式系数的性质及条件可得m =26， ∴n =log 2m =6，∴(x －2x )6展开式中共有7项，中间一项的二项式系数最大，∴所求项为第四项．【错因分析】错解有两处错误，一是m 应为各项系数的和而不是各项二项式系数的和；二是求二项式系数最大的项的系数，而不是求二项式系数最大的项是第几项．【答案】59136【易错警示】一个二项展开式的第1k +项的二项式系数是C kn ，所有的二项式系数是一组仅与二项式的次数n 有关的1n +个组合数，与,a b 的取值无关，且是正数；而第1k +项的系数则是二项式系数C kn 与数字系数的积，可能为负数.只有当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数.基础训练1．10(1)x +的二项展开式中的一项是 A ．45 B ．290x C ．3120x D ．4252x2．在(x 2－2x)6的二项展开式中，x 2的系数为 A ．－154B ．154C ．－38D ．383．二项式(x －1)n 的所有奇数项的二项式系数和是64，则n 等于A ．5B ．6C ．7D ．84．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝ A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 5．的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是A ．28B ．C ．70D ．6．若(3ax＋x )8的展开式中x 4的系数为7，则实数a =__________. 7．在二项式61122x x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,第3项为,则__________.8．在63512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，二项式系数最大的项为__________. 9．若,则20181222018222a a a ++⋅⋅⋅+=__________. 10．化简.11．对二项式(1－x )10.（1）展开式的中间项是第几项？写出这一项； （2）求展开式中各二项式系数之和；（3）求展开式中除常数项外，其余各项的系数和． 12．已知是正实数)的展开式的二项式系数之和为128,展开式中含项的系数为84. （1）求的值；（2）求的展开式中有理项的系数和.能力提升13．展开式中的系数为A ．92B ．576C ．192D ．38414．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a = A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－115．若二项式的展开式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为 A ． B ． C ． D ．2 16．记=,则的值为A ．1B ．2C ．129D ．218817．设,则的展开式中常数项是A ．-160B ．160C ．-20D ．2018．若(2x ＋3)4=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为________． 19．已知(31)na b展开式中第4项与第2项系数比为15：1，求展开式中的倒数第3项.20．若41()2n x x+展开式中前三项系数成等差数列，求展开式中系数最大的项.真题练习21．（2018新课标全国Ⅲ）522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．8022．（2019四川模拟）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 423．（2019新课标全国Ⅰ）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30D ．3524．（2019北京）()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．80-B ．40-C ．40D ．8025．（2019浙江）二项式831()2x x+的展开式的常数项是___________．26．（2019天津模拟）在51()2x x-的展开式中，2x 的系数为 .27．（2019浙江模拟）已知多项式32543212345(1)(2)x x x a x a x a x a x a +++++++=，则4a =________，5a =________．28．（2019山东模拟）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 29．（2019湖南模拟）5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案）参考答案1 2 3 4 5 13 14 C C C D A B D 15 16 17 21 22 23 24 BCACACC1．【答案】C【解析】由通项公式110C k k k T x +=可知，当3k =时，有34120T x =.2．【答案】C【解析】∵T r ＋1=C r6(x 2)6－r·(－2x )r =C r 6(－1)r 22r －6x 3－r (r =0，1，2，…，6)， 令3－r =2得r =1.∴x 2的系数为C 16(－1)1·2－4=－38，故选C ．3．【答案】C【解析】二项式(a ＋b )n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， ∴2n −1=64，∴n =7.故选C ．5．【答案】A 【解析】的展开式中只有第5项的二项式系数最大，故n 为偶数，展开式共有9项，故．即，它的展开式的通项公式为，令，求得，则展开式中的常数项是，故选A .6．【答案】12 【解析】由题意得T r ＋1=C r 8·x r (3a x)8－r =C r 8·483r x -·a 8－r .令4r －83=4，∴r =5，则x 4的系数为C 58a 3=7，解之得a =12. 7．【答案】【解析】由题可得,该二项展开式的通项公式为()63216611C 2C 22rrrx rx rxr r x T --++-⎛⎫== ⎪⎝⎭.因为第3项为,所以,解得.8．【答案】【解析】由n =6，知展开式的第4项的二项式系数最大， 易得()32333546515C 22T x x x ⎛⎫=⋅⋅-=- ⎪⎝⎭.10．【解析】原式.11．【解析】（1）由题意可知，展开式共11项，中间项为第6项，且T 6=C 510(－x )5=－252x 5. （2）C 010＋C 110＋C 210＋···＋C 1010=210=1024. （3）设(1－x )10=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋···＋a 10x 10，令x =1，得a 0＋a 1＋a 2＋···＋a 10=0，令x=0，得a0=1，∴a1＋a2＋···＋a10=－1.12．【解析】（1）由题意可知，解得．故二项式展开式的通项为，令得含项的系数为，由题意得，又，∴．（2）由（1）得展开式的通项为，∴展开式中的有理项分别为，，，∴的展开式中有理项的系数和为0．14．【答案】D【解析】(1＋x)5展开式的通项为T r＋1=C r5x r，令r=1,2得，T2=C15x，T3=C25x2，因此题中表达式的展开式中含x2的项的系数为C25＋a C15=5，解之得a=－1.15．【答案】B【解析】令x=1，可得a=2n，令x=﹣1，可得b=4n．∴=（）n，=2n，∴+=（）n+2n≥+2=，故选B．16．【答案】C【解析】,令x=0可得,的展开式的通项,则,所以17．【答案】A【解析】因为,所以的通项公式为.令,解得.所以常数项为.故选A ．18．【答案】1【解析】对于(2x ＋3)4=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4， 令x =1得(2＋3)4=a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， 令x =－1得(3－2)4=a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4， 两式相乘得1=(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2，故答案为1.19．【解析】二项展开式的通项为321C k n k rr nT ab --+=，由31C :C 15:1n n =，得()()1290n n --=，解得11n =，所以倒数第3项为911993321011C 55T a bab ---==.20．【解析】由题意得，41()2n x x+展开式通项为：T r ＋1=C r n ·(x )n －r ·(412x)r .由已知条件知：C 0n ＋C 2n ·122=2C 1n ·12，解得n =8（n =1舍去）.记第r 项的系数为T r ，设第k 项系数最大，则有T k ≥T k ＋1且T k ≥T k －1.又T r =C r －18·2－r ＋1，于是有：⎩⎪⎨⎪⎧C k －18·2－k ＋1≥C k 8·2－k C k －18·2－k ＋1≥C k －28·2－k ＋2，即8!8!2(1)!(9)!!(8)!8!8!2(1)!(9)!(2)!(10)!k k k k k k k k ⎧⨯≥⎪---⎪⎨⎪≥⨯⎪----⎩，∴21912110k kk k⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪--⎩，解得3≤k ≤4.∴展开式中系数最大的项为第3项T 3=7·52x 和第4项T 4=7·74x . 21．【答案】C【解析】由题可得，令,则，所以.故选C. 22．【答案】A【解析】二项式6(i)x +的展开式的通项为616C i r r r r T x -+=，令64r -=，则2r =，故展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A ．【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式6(i)x +可以写为6(i )x +，则其通项为66C i r r rx -，则含4x 的项为464446C i 15x x -=-．【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含2x 的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的r 不同. 24．【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-； 当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=. 故选C ．【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.26．【答案】【解析】结合二项式定理的通项公式有：，令可得：，则的系数为：.27．【答案】16，4【解析】由二项式展开式可得通项公式为：223232C C 2C C 2r r m m m r m mr m x x x --+⋅=⋅⋅⋅，分别取0,1r m ==和1,0r m ==可得441216a =+=，取r m =，可得25124a =⨯=．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题． 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用． 28．【答案】4【解析】()13nx +的展开式的通项公式为1C (3)C 3r r r r r r n n T x x +==⋅，令2r =，得22C 354n ⋅=，解得4n =．【名师点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等. 29．【答案】10【解析】5(2)x x +的展开式的通项为555255C (2)()2C r rrr rr x x x---=(0r =，1，2，…，5)，令532r-=得4r =，所以3x 的系数是452C 10=.【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项1r T +,再确定r 的值,从而确定指定项系数.。
人教新课标版数学高二-A版选修2-3课后巩固 1-3-1二项式定理
1．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( )A ．－27C 610B ．27C 410C ．－9C 610D ．9C 410 答案 D2．(2012·天津)在(2x 2－1x )5的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40D ．－40 答案 D3．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 B解析 x 3＝[2＋(x －2)]3，由二项式定理的通项公式知：T 2＋1＝C 23·2·(x －2)2＝a 2(x －2)2， 得a 2＝C 23·2＝6. 4．(2x ＋5y )n 展开式中第k 项的二项式系数为( )A ．C k nB ．C k n 2n －k 5k C ．C k －1nD ．C k －1n 2n ＋1－k 5k －1 答案 C解析 本题考查二项式系数的概念，第k 项二项式系数为C k －1n .5．(2010·辽宁)(1＋x ＋x 2)(x －1x )6的展开式中的常数项为________．答案 －5解析 (1＋x ＋x 2)(x －1x )6＝(1＋x ＋x 2)[C 06x 6·(－1x )0＋C 16x 5(－1x )1＋C 26x 4(－1x )2＋C 36x 3(－1x )3＋C 46x 2(－1x )4＋C 56x (－1x )5＋C 66x 0(－1x )6]＝(1＋x ＋x 2)(x 6－6x 4＋15x 2－20＋15x 2－6x 4＋1x 6)． 所以常数项为1×(－20)＋x 2·15x 2＝－5. 6．对于二项式(x 3＋1x )n (n ∈N *)，四位同学作出了四种判断： ①存在n ∈N *，使展开式中有常数项；②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项．上述判断中正确的是________．答案 ①④7．(2011·山东理)若(x －a x 2)6展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．答案 4解析 二项式(x －ax 2)6展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x6－r (－a )r x －2r ＝C r 6x6－3r (－a )r ，当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C26a，根据已知C26a＝60，解得a＝4.。
数学人教A版选修2-3教案：1.3.3二项式定理习题课含解析
二项式定理习题课教学目标知识与技能1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．3．能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质．4．会用二项式系数的性质解决一些简单问题，并能熟练地使用赋值法．过程与方法1．能解决二项展开式的有关概念问题：项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等．2．能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题．3．能用二项式系数的有关性质，解决诸如：最值、二项式系数和、系数和等问题．情感、态度与价值观1．培养学生对整个数学知识的驾驭能力，能在一定高度上进行数学知识的应用．2．培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力．3．进一步提升学生学好数学用好数学的积极性，进一步提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：掌握二项展开式，掌握二项式系数的有关性质，掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法．教学难点:利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题．错误!错误!前面我们学习了二项式定理，请回顾：1．（a＋b)n＝________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理,公式右边的多项式叫做（a＋b）n的______________,其中C错误!(r＝0，1,2,…,n）叫做______________，通项是指展开式的第__________________项，共有____________项．其中二项式系数是____________，系数是____________．2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律）(1）对称性：____________________。
（2）性质2：______________________.(3)二项式系数的最大值________________________．(4)二项式系数之和____________________，所用方法是____________________．答案:1．（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋C错误!a n－2b2＋…＋C错误!a n－r b r ＋…＋C n n b n(n∈N）、展开式、二项式系数、r＋1、n＋1、C错误!、变量前的常数2．(1）C m，n＝Cn－mn （2)C r，n＋1＝C错误!＋C错误!（3）当n是偶数时,中间的一项取得最大值，即C错误!n最大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C错误!n＝C错误!n最大（4）C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＋…＋C错误!＝2n赋值法错误!类型一：二项展开式的有关概念例1试求:（1）(x3－2x2）5的展开式中x5的系数；（2）（2x2－错误!）6的展开式中的常数项；（3)在（3x＋错误!)100的展开式中,系数为有理数的项的个数．思路分析：理解二项展开式的有关概念,什么是二项式系数，什么是系数，什么是项，什么是常数项、有理项、无理项等，其实都是由通项入手,根据变量的系数、指数进行判断，当指数为0时是常数项，当指数是整数时是有理项，当指数是分数时是无理项．解：（1）T r＋1＝C错误!（x3）5－r(－错误!）r＝(－2)r C错误!x15－5r，依题意15－5r＝5,解得r＝2。
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1-3 二项式定理1
1．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( )
A ．－27C 610
B ．27
C 410
C ．－9C 610
D ．9C 410 答案 D
2．(2012·天津)在(2x 2
－1x )5的二项展开式中，x 的系数为( ) A ．10
B ．－10
C ．40
D ．－40
答案 D 3．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
答案 B
解析 x 3＝[2＋(x －2)]3，
由二项式定理的通项公式知：
T 2＋1＝C 23·2·(x －2)2＝a 2(x －2)2，
得a 2＝C 23·2＝6. 4．(2x ＋5y )n 展开式中第k 项的二项式系数为( )
A ．C k n
B ．
C k n 2n －k 5k C ．C k －1n
D ．C k －1n 2
n ＋1－k 5k －1 答案 C
解析 本题考查二项式系数的概念，第k 项二项式系数为C k －1n .
5．(2010·辽宁)(1＋x ＋x 2
)(x －1x )6的展开式中的常数项为________．
答案 －5
解析 (1＋x ＋x 2
)(x －1x )6＝(1＋x ＋x 2)[C 06x 6·(－1x )0＋C 16x 5(－1x )1＋C 26x 4(－1x )2＋C 36x 3(－1x )3＋C 46x 2(－1x )4＋C 56x (－1x )5＋C 66x 0(－1x
)6]＝(1＋x ＋x 2)(x 6－6x 4＋15x 2－20＋15x 2－6x 4＋1
x 6)．
所以常数项为1×(－20)＋x 2
·15x 2＝－5. 6．对于二项式(x 3＋1x )n (n ∈N *)，四位同学作出了四种判断：
①存在n ∈N *，使展开式中有常数项；
②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；
③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项；
④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项．
上述判断中正确的是________．
答案 ①④
7．(2011·山东理)若(x －a x 2)6展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．
答案 4
解析 二项式(x －a x 2)6展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x 6－r (－a )r x －2r ＝C r 6x
6－3r (－a )r ，当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知C 26a ＝60，解得a ＝4.。