高等数学中若干不等式的证明及推广

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高等数学课程中的不等式的证明

高等数学课程中的不等式的证明不等式是高等数学教学内容的重要组成部分，是高等数学中经常遇到而解决起来又比较困难的问题之一。

下面通过高等数学的一些原理和方法，分享几种不等式证明的常用的方法。

一、利用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则在区间（a,b）内至少存在一点，使得。

二、利用函数的单调性证明不等式函数单调性的判定定理：设函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，那么：（1）如果f?（x)>0,则f（x)在区间[a，b]上单调增加；（2)f?（x)例2.证明：X>0时，1+>证明：令f（x）=，则f?（x）==，因为f（x）在[0，+oo）上连续，在（0，+oo）内f?（x）>0，因此f（x）在[O，+oo）上单调增加。

从而当x>O时，f（x）>f（O）。

由于f（O）=O，故f（x）>f（O）=O。

即>0，亦即1+＞。

注：运用函数的单调性证明不等式，关键在于合理地利用题设条件，构造出相应的辅助函数f（x），将原问题等价代换，根据导数f？(x)的符号判定函数f（x)在所给区间上的单调性，从而导出所证不等式。

三、利用函数的凹凸性证明不等式函数凹凸性的定义：设f（x）在[a,b]上连续，若对[a,b]中任意两点x1，x2,恒有f（（x1+x2）/2）2f（x1)+f（x2）/2,则称f（x)在[a,b]上是凸函数；若恒有f（（x1+x2)/2)sf（x1)+f（x2)/2,则称f（x)在[a,b]上是凹函数。

函数凹凸性的判定定理：设f(x)在[a，b]上连续，在区间（a，b)内有二阶导数，（1)如果在区间（a，b）内，（x）>0，那么曲线y=f（x）在[a，b]内是凹的；（2）如果在区间（a，b）内，（x）例3.证明：a>0,b>0且a#b,n>1时，证明：令f（x）=xn，x?（0，+oo），则f?（x）=nxn-1，=n（n-1）xn-2，当n>1时，对任意的x?（0，+oo），都有>0。

高中数学不等式的证明

高中数学不等式的证明高中数学中，不等式是一种重要的课程内容，也是数学证明的一个重要方向。

在本文中，我将对高中数学不等式的证明进行详细讨论。

不等式证明的一般步骤如下：1.提取已知条件：将不等式中的已知条件提取出来，以得到更清晰的表达式。

2.化简和变形：根据不等式的性质，对不等式进行适当的化简和变形操作，以便于进一步的证明。

3.应用不等式性质：应用已知的不等式性质、定理和公式，将给定的不等式与这些知识相结合，引入新的变量或不等式形式。

4.利用已知条件和定理进行推导：根据已知条件和定理，进行推导，从当前推导出的结论重新应用已知条件和定理。

5.逆向思考和反证法：如果直接的推导困难，可以尝试使用逆向思考或反证法来换一种证明的角度。

下面，我将通过实际的例子，对高中数学不等式的证明进行详细解释。

例子1：证明对于任意正实数a、b，有(a+b)² ≥ 4ab。

解：要证明这个不等式，我们可以根据一般的证明步骤来进行推导。

1.提取已知条件：已知条件为a、b是正实数。

2. 化简和变形：将不等式进行展开和化简得到a² + 2ab + b² ≥4ab。

3. 应用不等式性质：根据已知条件和定理，我们可以将不等式右边的4ab化简成2ab + 2ab，即得到a² + 2ab + b² ≥ 2ab + 2ab。

4. 利用已知条件和定理进行推导：我们可以继续推导，将左边的a² + b²进行分解成(a + b)² - 2ab，得到(a + b)² - 2ab ≥ 2ab + 2ab。

5. 逆向思考和反证法：我们可以将不等式进行变形，得到(a + b)² ≥ 4ab，即相当于证明了(a + b)² - 4ab ≥ 0。

由于(a + b)² - 4ab = (a - b)² ≥ 0，这是显然成立的，因为平方数是非负的。

高数不等式证明

高数不等式证明一、不等式的定义和性质1.1 不等式的定义不等式是代数中的一种关系，表示两个数或者表达式之间的大小关系。

通常使用符号”<“,”>“等来表示。

例如，2 < 3表示2小于3。

1.2 不等式的性质•若a > b，则a + c > b + c，其中c为任意实数•若a > b且c > 0，则ac > bc•若a > b且c < 0，则ac < bc•若a > b且c > d，则a + c > b + d二、不等式证明的基本思路不等式证明是高等数学中的重要内容，也是数学推理的一种形式。

不等式的证明可以通过直接证明、间接证明、反证法等方法进行。

一般来说，不等式证明的基本思路有以下几种：2.1 直接证明法直接证明法是通过对不等式进行等价变形和推理，从而证明不等式的正确性。

常用的等价变形方法有加减变形、乘除变形、换元变形等。

例如，要证明不等式a + b > a，可以通过加减变形得到b > 0，再通过等价推理得到该不等式成立。

2.2 间接证明法间接证明法是通过假设不等式不成立，并导出矛盾的结论，从而证明不等式的正确性。

常用的方法有反证法、条件证明法等。

例如，要证明不等式a + b > 0，可以假设a + b ≤ 0，然后导出矛盾的结论，说明原假设不成立，从而得到不等式成立。

2.3 数学归纳法数学归纳法一般用于证明一类特殊的不等式，或者证明不等式的某种性质。

它的基本思路是通过归纳假设和归纳步骤，逐步推理得到不等式的正确性。

三、具体例子：证明柯西不等式柯西不等式是高等数学中常用的一个重要不等式，用于描述两个向量的内积与其模长的关系。

其数学表达式为：对于任意实数ai和bi，i = 1, 2, …, n，有：(a1b1 + a2b2 + … + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + … + an2)(b12 + b2^2 + … + bn^2)3.1 证明思路我们可以通过直接证明的方法，首先进行等价变形，借助乘法公式展开和合并同类项，得到待证不等式左右两边的表达式。

一些不等式的证明及推广【开题报告】

一些不等式的证明及推广【开题报告】毕业论文开题报告数学与应用数学一些不等式的证明及推广一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）柯西不等式是著名的不等式之一，且不失为至善至美的重要不等式。

它不仅是数学分析的重要工具，还和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间有着密切的联系。

柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，适当、巧妙地引入柯西不等式，可以简化解题过程，起到事半功倍的作用。

因此柯西不等式在初等数学、微分方程和泛函分析等领域都有重要的应用，再加上本身有着优美的对称形式、简洁的统一证法和命题间的内在联系，关于它的研究一直受到人们的关注。

由此促使我们进一步了解柯西不等式的各种形式及它的应用。

闵可夫斯基不等式是由闵可夫斯基（Minkowski）于1896年证明的，它的出现对于促进泛函空间理论的飞速发展起到了至关重要的作用。

在1881年法国大奖中，闵可夫斯基深入钻研了高斯、狄利克雷和爱因斯坦等人的论著。

因为高斯曾在研究把一个整数分解为三个平方数之和时用了二元二次型的性质，闵可夫斯基根据前人的工作发现：把一个整数分解为五个平方数之和的方法与四元二次型有关。

由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理论体系。

这样一来，上述问题就很容易从更一般的理论中得出，闵可夫斯基交给法国科学院的论文长达140页，远远超出了原题的范围。

闵可夫斯基此后继续研究n元二次型的理论。

他透过三个不变量刻画了有理系数二次型有理系数线性变换下的等价性，完成了实系数正定二次型的约化理论，现称“Minkowski约化理论”。

当闵可夫斯基用几何方法研究n 元二次型的约化问题时，他获得了十分精彩而清晰的结果。

不等式的证明与应用

不等式的证明与应用不等式是数学中常见且重要的概念，用于描述数值之间的大小关系。

不等式的证明和应用在数学问题的解决中起到重要的作用。

本文将介绍不等式的基本概念、证明方法和实际应用，以帮助读者更好地理解和运用不等式。

一、不等式的基本概念不等式是数学中用于描述数值之间的大小关系的工具。

形式上，不等式可以写作a<b、a≤b、a>b或a≥b，其中a和b是实数。

不等式中的“<”表示严格小于，即a小于b；“≤”表示小于等于，即a小于或等于b；“>”表示严格大于，即a大于b；“≥”表示大于等于，即a大于或等于b。

根据不等式的性质和形式，可以进行各种运算和推导。

常见的不等式类型包括线性不等式、二次不等式和绝对值不等式等。

对于不等式的解集，可以用数轴或集合的形式表示。

二、不等式的证明方法1. 代入法对于一些简单的不等式，可以通过代入具体数值来验证不等式的成立。

例如，对于不等式x+2>5，当代入x=3时，得到3+2=5，满足不等式。

2. 数学归纳法数学归纳法常用于证明一般性不等式。

首先验证当n=1时不等式成立，然后假设当n=k时不等式成立，接着通过这个假设证明当n=k+1时不等式也成立。

通过归纳证明可以得到不等式在所有自然数范围内成立的结论。

3. 矛盾法矛盾法常用于证明不等式的否命题。

首先假设不等式不成立，然后推导出矛盾的结论，从而得出原始不等式成立的结论。

4. 数学推导根据不等式的性质和运算规则，可以通过多种数学推导方法证明不等式的成立。

例如，可以利用平方差公式、Cauchy-Schwarz不等式等来推导不等式的结果。

三、不等式的应用不等式广泛应用于数学和实际问题中。

以下是不等式在一些典型应用中的例子：1. 几何问题不等式可以应用于几何问题中，例如证明三角形的边长关系、证明凸多边形的面积性质等。

通过不等式分析，可以得出几何结论。

2. 经济学问题在经济学中，不等式可用于描述资源分配、供求关系等问题。

高等数学中的不等式分类与证明

高等数学中的不等式分类与证明摘要不等式在数学证明中一直是非常实用的工具.本文对高等数学中一些常见的不等式进行了分类，并用不同的方法进行了证明.初步揭示了常见不等式的一些相互联系和应用背景，在开拓视野和交叉运用数学知识的方面进行了一些有益的尝试。

关键词：不等式；分类；证明1.引言不等式在高等数学的学习中占有较大比重，在证明中更是非常实用的工具。

极限的证明过程遍可以看做是不等式的分析过程。

函数的单调性、凹凸性、极值等都要牵扯到不等式，如单调性的判定问题，凹凸性带来的一系列不等式结论，运用极值可证明某些不等式等。

本文首先给出了一些不等式的基本证明方法从而加以分类，方便同学了解记忆；再从其他角度证明进行了一些拓展，让同学更好的理解及运用。

2.分类：2.1.由函数单调性证明的一些常见不等式：例1（面积不等式） 1sin cos 20<<<<x xx x 时，π.证明： 20π<<x 时，x x x ,sin ,cos 均为正数，可将不等式变形为x x x x <<sin cos ，先证左边：令()x x x x f cos sin -=，()0sin >='x x x f 在20π<<x 时成立，所以()()x f f <0即(⎪⎭⎫∈-<2,0,cos sin 0πx x x x同理再证右边：()x x x f sin -=，()0cos 1>-='x x f 在20π<<x 时成立，所以()()x f f <0，即x x sin 0-< 综上，命题得证.高等数学中的不等式分类与证明注：以下同理不再重复证明.例2（对数不等式）()时取等当且仅当其中0,1,1ln 1=->≤+≤+x x x x x x先证右边：令()()x x x f +-=1ln ，则().1x xx f +='由于01<<-x 时，()0;0><'x x f 时，()0>'x f所以1->x 且0≠x 时，()()0f x f >，即()x x +>1ln 。

大学《高等数学》不等式的方法与技巧

大学《高等数学》不等式的方法与技巧在大学《高等数学》课程中，不等式是一个重要的数学概念和解题方法。

掌握不等式的方法与技巧，对学生来说是必不可少的。

本文将介绍一些常见的不等式解题方法与技巧，帮助大家更好地应对《高等数学》中的不等式问题。

一、一元二次不等式的解法一元二次不等式是《高等数学》中常见的问题之一。

解一元二次不等式的方法有两种：图像法和代数法。

1.图像法图像法是通过画出二次曲线图像来解决不等式问题的一种方法。

对于一元二次不等式 ax^2+bx+c>0，首先求出对应的二次函数的零点，然后根据二次函数的凹凸性和零点位置来确定不等式的解集。

2.代数法代数法是通过对不等式进行变形来解决问题的方法。

根据一元二次不等式的形式，可以利用完全平方式将其变形为一个完全平方式的二次不等式，然后通过判别式和求根公式求解。

二、绝对值不等式的解法绝对值不等式是另一种常见的不等式问题。

解绝对值不等式的方法有以下两种：分段函数法和代数法。

1.分段函数法分段函数法是将绝对值函数转化为分段函数，然后通过求解每个分段函数的不等式来得到整个不等式的解集。

2.代数法代数法是通过对绝对值不等式进行变形来解决问题的方法。

对于一个绝对值不等式 |f(x)|<g(x)，可以将其分解为两个不等式 f(x)<g(x)和-f(x)<g(x)来求解。

然后根据两个不等式的解集的交集得到绝对值不等式的解集。

三、常见的不等式技巧在解题过程中，还有一些常见的不等式技巧可以帮助我们更快地求解问题。

1.倍加减法倍加减法是通过加减同一个量来改变不等式的形式。

对于一个形如ax>b的不等式，可以通过加减常数c，得到ax+c>b±c的形式，从而使得不等式的解集更容易求解。

2.代换法代换法是通过将不等式中的变量进行代换，将不等式转化为其他形式的不等式来解决问题。

通过合适的代换，可以使得不等式的解集更容易求得。

3.差法差法是通过对不等式两边进行差的操作来改变不等式的形式。

一些不等式的证明及推广【开题报告】

毕业论文开题报告数学与应用数学一些不等式的证明及推广一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）柯西不等式是著名的不等式之一，且不失为至善至美的重要不等式。

它不仅是数学分析的重要工具，还和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间有着密切的联系。

柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

柯西不等式非常重要，适当、巧妙地引入柯西不等式，可以简化解题过程，起到事半功倍的作用。

由此促使我们进一步了解柯西不等式的各种形式及它的应用。

闵可夫斯基不等式是由闵可夫斯基（Minkowski）于1896年证明的，它的出现对于促进泛函空间理论的飞速发展起到了至关重要的作用。

在1881年法国大奖中，闵可夫斯基深入钻研了高斯、狄利克雷和爱因斯坦等人的论著。

由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理论体系。

这样一来，上述问题就很容易从更一般的理论中得出，闵可夫斯基交给法国科学院的论文长达140页，远远超出了原题的范围。

闵可夫斯基此后继续研究n元二次型的理论。

他透过三个不变量刻画了有理系数二次型有理系数线性变换下的等价性，完成了实系数正定二次型的约化理论，现称“Minkowski约化理论”。

当闵可夫斯基用几何方法研究n 元二次型的约化问题时，他获得了十分精彩而清晰的结果。

不等式的几种证明方法及其应用

不等式的几种证明方法及其应用不等式的证明方法多种多样，常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、凹凸性等方法．本文将对其中一些典型证法给出系统的归纳与总结，并以例题的形式展示这些方法的应用．1 利用构造法证明不等式“所谓构造思想方法就是指在解决数学问题的过程中，为完成从条件向结论的转化，利用数学问题的特殊性设计一个新的关系结构系统，找到解决原问题的具体方法．利用构造思想方法不是直接解决原问题，而是构造与原问题相关或等价的新问题．”)52](1[P 在证明不等式的问题中，构造思想方法常有以下几种形式：1.1 构造函数证明不等式构造函数指根据所给不等式的特征，巧妙地构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式．1.1.1 利用判别式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若根据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能通过等价形式转化为一元二次函数的，都可考虑使用判别式法．例1 设R z y x ∈,,，证明0)(322≥+++++z y x z y xy x 成立．解令22233)3()(z yz y x z y x x f +++++=为x 的二次函数．由2222)(3)33(4)3(z y z yz y z y +-=++-+=∆知0≤∆，所以0)(≥x f ．故0)(322≥+++++z y x z y xy x 恒成立．对于某些不等式，若能根据题设条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数)(x f =(11b x a -)2＋(x a 2－22)b ＋…＋2)(n n b x a -，由0)(≥x f 得出0≤∆，从而即可得出所需证的不等式．例2 设+∈R d c b a ,,,，且1=+++d c b a ，求证614141414<+++++++d c b a )18](2[P ．证明令)(x f =(x a 14+－1)2＋(114-+x b )2＋)114(-+x c 2＋)114(-+x d 2=4)14141414(282++++++++-x d c b a x (因为1=+++d c b a )．由0)(≥x f 得0≤∆ 即0128)14141414(42≤-+++++++d c b a ．所以62414141414<≤+++++++d c b a ．1.1.2 利用函数有界性若题设中给出了所证不等式中各个变量的变化范围，可考虑利用函数的有界性来证明，具体做法是将所证不等式视为某个变量的函数．例3 设,1,1,1<<<c b a 求证1->++ca bc ab )18](2[P ．证明令1)()(+++=ac x c a x f 为x 的一次函数．因为,1,1<<c a 所以0)1)(1(1)1(>++=+++=c a ac c a f ，0)1)(1(1)()1(>--=+++-=-c a ac c a f ．即∀)1,1(-∈x ，恒有0)(>x f ．又因为)1,1(-∈b ，所以0)(>b f ，即01>+++ca bc ab ． 1.1.3 利用函数单调性在某些问题中，若各种式子出现统一的结构，这时可根据这种结构构造函数，把各种式子看作同一函数在不同点的函数值，再由函数的单调性使问题得到解决．例４求证121212121111n n n na a a a aa a a a a a a +++≤++++++++++)53](1[P ．分析通过观察可发现式中各项的结构均相似于式子M M +1，于是构造函数xxx f +=1)()0(≥x ．证明构造函数xxx f +=1)( )0(≥x ．因为0)1(1)(2'>+=x x f ，所以)(x f 在),0[+∞上严格递增．令n a a a x +++= 211，n a a a x +++= 212．因为21x x ≤，所以)()(21x f x f ≤．所以≤+++++++nn a a a a a a 21211nn a a a a a a +++++++ 21211=+++++na a a a 2111++++++ n a a a a 2121nna a a a ++++ 211nna a a a a a ++++++≤1112211 ．1.1.4 利用函数奇偶性例５求证221xx x <-)0(≠x ．证明设)(x f 221x x x --=，对)(x f 进行整理得)(x f )21(2)21(xx x -+=， )(x f -＝)21(2)21(xx x ---+-＝)12(2)12(-+-x x x ＝)21(2)21(x x x -+＝)(x f ，所以)(x f 是偶函数．当0>x 时，12>x ，所以021<-x，所以0)(<x f ．由偶函数的图象关于y 轴对称知，当0<x 时，0)(<x f ．即当0≠x 时，恒有0)(<x f ，即221xx x <- )0(≠x ．注意由以上几种情况可以看出，如何构造适当的函数并利用函数的性质来证明不等式是解题的关键．1.2 构造几何图形证明不等式构造几何图形，就是把题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种数量关系得以在图中表现出来，然后借助几何图形的直观性或几何知识来寻求问题的解答．一般是在问题的条件中数量关系有明显的几何意义，或可以通过某种方式与几何形（体）建立联系时宜采用此方法.)52](1[P 这种方法十分巧妙且有效，它体现了数形结合的优越性．下面将具体介绍用几何法证明不等式的几种途径：1.2.1 构造三角形)1](3[P例６已知z y x ,,为正数，求证22y xy x ++＋22z xz x ++＞22z yz y ++．分析注意到︒-+=++120cos 22222xy y x y xy x ，于是22y xy x ++可看作是以y x ,为两边，夹角为︒120的三角形的第三边，由此，易得出下面的证明:证如图1 ，在BC A ∆内取一点O ，分别连接OC OB OA ,,，使图1B︒=∠=∠=∠120COA BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,则22y xy x AB ++=，22z xz x AC ++=，22z yz y BC ++=．由BC AC AB >+，即得所要证明的不等式．注该题可做如下推广:已知z y x ,,为正数，πα<<0，πβ<<0，πγ<<0，且πγβα2=++，求证++-22cos 2y xy x α>+-22cos 2z xz x β22cos 2z yz y +-γ，令γβα,,为满足条件的特殊角可设计出一系列的不等式．例7 已知正数k n m c b a ,,,,,满足p k c n b m a =+=+=+,求证2p cm bk an <++．证明如图2，构造边长为p 的正三角形ABC ，在边BC AB ,,上依次截取 n FA b CF k EC c BE m DB a AD ======,,,,,．因为ABC FEC DBE ADF S S S S ∆∆∆∆<++所以243434343p bk cm an <++，即2p cm bk an <++． 1.2.2 构造正方形)1](3[P例8 已知+∈R x ,d c b a ,,,均是小于x 的正数，求证+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c x a x d 4)(22<-+．分析观察不等式的左边各式，易联想到用勾股定理，每个式子代表一直角三角形的一斜边，且)()()()(d x d c x c b x b a x a -+=-+=-+=-+，所以可构造边长为x 的正方形．证明如图3，构造边长为x 的正方形ABCD ，在边DA CD BC AB ,,,上依次截取,a AE =,a x EB -=,d BF =c CG d x FC =-=,，b DHc x GD =-=,，b x HA -=．则四边形EFGH 的周长为+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c 22)(a x d -+．由三角形两边之和大于第三边知，四边形EFGH 的周长小于正方形ABCD 的周长，从而命题得证．1.2.3 构造矩形图2x-c 图3例9 已知z y x ,,为正数，证明))((z y y x yz xy ++≤+．分析两个数的乘积，可看作以这两个数为边长的矩形的面积，也可以看成以这两个数为直角边长的三角形面积的两倍．证明如图4 ，造矩形ABCD ，使,y CD AB ==,x BE =,z EC =设α=∠AED ．由AED ECD ABE ABCD S S S S ∆∆∆++=矩形知 =+)(z x y ++yz xy 2121αsin ))((21z y y x ++．化简得αsin ))((z y y x yz xy ++=+．因为1sin 0≤<α，所以))((z y y x yz xy ++≤+(当且仅当︒=90α时，等号成立)．1.2.4 构造三棱锥例10 设,0,0,0>>>z y x 求证22y xy x +->+-+22z yz y 22x zx z +-)129](4[P ．分析注意到22y xy x +-︒-+=60cos 222xy y x ，可以表示以y x ,为边，夹角为︒60的三角形的第三边，同理22z yz y +-，22x zx z +-也有类似意义．证明如图5，构造顶点为O 的四面体ABC O -，使︒=∠=∠=∠60AOC BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,，则有22y xy x AB +-=，22z yz y BC +-=，22x xz z AC +-=．在ABC ∆中AC BC AB >+，即得原不等式成立．注该题还可做如下推广:已知z y x ,,为正数，,0πα<<,0πβ<<πγ<<0时πγβα20<++<且,βαγβα+<<-求证22cos 2y xy x +-α+22cos 2z xz x +-β>22cos 2z yz y +-γ.例10便是当︒===60γβα时的特殊情况．1.3 构造对偶式证明不等式对偶思想是根据矛盾双方既对立又统一的二重性，巧妙地构造对偶数列，从而将问题解决的一种思想．⌒ADCBE y x +图4图5OAC例11 求证1212124321+<-⨯⨯⨯n nn ．分析令=P nn 2124321-⨯⨯⨯ ，由于P 中分子为奇数、分母为偶数，则由奇数的对偶数为偶数可构造出关于P 的一个对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．证明设=P n n 2124321-⨯⨯⨯ ，构造P 的对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．因为Q P <<0，所以=<PQ P 2)2124321(n n -⨯⨯⨯ 121)1225432(+=+⨯⨯⨯n n n ．所以121+<n P ，即原不等式成立．注构造对偶式的途径很多，本题是利用奇偶性来构造对偶式，此外，还可利用倒数关系、相反关系、对称性关系等来构造对偶式．1.4 构造数列证明不等式这种方法一般用于与自然数有关的不等式证明，当问题无法从正面入手时，可考虑将它转化为数列，然后利用数列的单调性来证明．例12 求证:不等式!21n n ≤-，对任何正整数n 都成立)55](1[P ．分析不等式可变形为,1!21≤-n n n 是正整数，所以可构造数列{},n a 其中1,!211==-a n a n n ，则只需证1a a n ≤即可．对于任意正整数n ，=-+=--+!2)!1(211n n a a n n n n 0)!1(2)1()!1()1(2211≤+-=++---n n n n n n n ，所以{}n a 是递减数列．所以1a a n ≤，即原命题成立．1.5 构造向量证明不等式向量由于其自身的形与数兼备的特性，使得它成了数形结合的桥梁，也是解决一些问题的有利工具．对于某些不等式的证明，若能借助向量模的意义、数量积的性质等，可使不等式得到较易的证明．1.5.1 利用向量模的性质例13 已知,,,,R d c b a ∈求证++++2222c b b a 2222a d d c +++)(2d c b a +++≥．证明在原点为O 的直角坐标系内取四个点：()(),,,,c b b a B b a A ++(),,d c b c b a C ++++(),,a d c b d c b a D ++++++则原问题可转化为+，该不等式显然成立．1.5.2 利用向量的几何特征例14 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，求证)31](5[12.022.02.0log 2log log P n n n S S S ++>+．分析可将上述不等式转化为,212++<⋅n n n S S S 构造向量，用平行四边形的几何特征来证明．证明设该等比数列的公比为q ，如图6，构造向量(),,11a a OA =(),,1n n qS qS OB +=()()12111,,+++=++=n n n n S S qS a qS a OC ，则OB OA OC +=，故B C A O ,,,构成平行四边形．由于OB OA ,在对角线OC 的两侧，所以斜率OB OA k k ,中必有一个大于OC k ，另一个小于OC k ．因为{}n a 是由正数组成的等比数列，所以OA n n OC k S S k =<=++121，所以OC OB k k <，即<+1n n S S 21++n n S S ．所以212++<⋅n n n S S S ．此外，还可以利用向量的数量积证明不等式，一般是根据向量的数量积公式θb a =⋅找出不等关系，如b a ≤⋅≤等，然后利用不等关系证明不等式，在此对这种方法不再举例说明．综上所述，利用构造思想证明不等式时，需对题目进行全面分析，抓住可构造的因素，并借助于与之相关的知识，构造出所求问题的具体形式或是与之等价的新问题，通过解决所构造的问题使原问题获得解决．就构造的对象来说它的表现形式是多样的，这就需要我们牢固的掌握基础知识和解题技巧，综合运用所学知识将问题解决．2 利用换元法证明不等式换元法是数学解题中的一种重要方法，换元的目的是通过换元达到减元，或通过换元得到熟悉的问题形式．换元法主要有以下几种形式：图6O xyABC2.1 三角换元法例15 已知,122≤+y x 求证2222≤-+y xy x ．证明设θθsin ,cos r y r x ==()10≤≤r ，则=-+222y xy x θθθθ22222sin sin cos 2cos r r r -+θθθ222sin 2sin cos -+=r224sin 22sin 2cos 222≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=r r r πθθθ．注这种方法一般是已知条件在结构上与三角公式相似时宜采用．若题设为,12=+y x 可设;sin 2,cos θθ==y x 题设为,122=-y x 可设θθtan ,sec ==y x 等．2.2 均值换元法例16 设,1,,,=++∈z y x R z y x 求证31222≥++z y x )12](2[P ．证明设,31α+=x ,31β+=y ,31γ+=z 其中0=++γβα 则 =++222z y x ++2)31(α++2)31(β=+2)31(γ31)(231222≥++++++γβαγβα(当且仅当γβα==时取等号)．2.3 增量换元法这种方法一般用于对称式(任意互换两个字母顺序，代数式不变)和给定字母顺序的不等式的证明．例17 已知,0>>y x 求证 yx y x -<-)55](6[P ．证明由,0>>y x 可令t y x += )0(>t ．因为2)(2t y yt t y t y +=++<+，所以t y t y +<+，即y x y x -<-．总之，证明不等式时适当的引进换元，可以比较容易的找到解题思路，但具体使用何种代换，则因题而异，总的目的是化繁为简．3 利用概率方法证明不等式)51](7[P利用概率方法证明不等式，主要是根据实际问题，构造适当的概率模型，然后利用有关结论解决实际问题．3.1利用概率的性质：对任意事件A ，1)(0≤≤A P ，证明不等式例18 证明若,10,10≤≤≤≤b a 则1+≤+≤ab b a ab ．分析由,10,10≤≤≤≤b a 可把a 看做事件A 发生的概率，b 看做事件B 发生的概率．证明设事件A 与B 相互独立，且,)(,)(b B P a A P ==则ab b a B A P B P A P B A P -+=-+=)()()()( ．因为,1)(0≤≤B A P 所以10≤-+≤ab b a ，所以1+≤+≤ab b a ab ．3.2 利用Cauchy-Schwarz 不等式：2))((ξηE ≤22ηξE E 例19 设0>i a ，0>i b ，,2,1=i …n ,，则 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．证明设随机变量ξηηξ,,满足下列要求ξ概率分布:P (ξ=i a )=n 1(n i ,,2,1 =)，η概率分布:P (η=i b )=n1(n i ,,2,1 =)，ξη概率分布:⎪⎩⎪⎨⎧≠=== )(0)(1)(j i j i nb a P j i ξη，则 2ξE ＝∑=n i i a n 121，2ηE ＝∑=n i i b n 121，)(ξηE ＝∑=n i i i b a n 11．由2))((ξηE ≤22ηξE E 得 212)(1∑=n i i i b a n ≤)1)(1(1212∑∑==n i i n i i b n a n ．即 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．用概率证明不等式比较新颖，开辟了证明不等式的又一途径．但该法用起来不太容易，因为读者必须对概率这部分知识熟悉掌握，才能选择适当的结论加以利用，因此对这种方法只做简单了解即可．4 用微分方法证明不等式在高等数学中我们接触了微分, 用微分方法讨论不等式,为不等式证明方法开辟了新的视野． 4.1利用微分中值定理微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，下面仅给出拉格朗日中值定理、泰勒定理的应用：拉格朗日中值定理)120](8[P 若函数)(x f 在[]b a ,上连续，()b a ,内可导，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得)('ξf ＝ab a f b f --)()(．例20 已知0>b ,求证b b bb<<+arctan 12．证明函数x arctan 在[]b ,0上满足拉格朗日中值定理的条件，所以有b arctan －0arctan ＝)0()(arctan '-=b x x ξ＝21ξ+b，),0(b ∈ξ．而b bx b <+<+2211ξ，故原不等式成立．泰勒定理)138](8[P 若函数)(x f 在[]b a , 上有直至n 阶的连续导数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的0,x x ()b a ,∈，使得10)1(00)(200''00'0)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-+-+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 该式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式．例21 设函数)(x f 在[]b a ,上二阶可导，且M x f ≤)(''，,1,0)2(=-=+a b ba f 试证 4)()(M b f a f ≤+)69](9[P ．证明将函数)(x f 在点20ba x +=展成二阶泰勒公式 ++-+++=)2)(2()2()('b a x b a f b a f x f 2'')2)((21b a x f +-ξ＝)2)(2('ba xb a f +-+＋2'')2)((21b a x f +-ξ．将b a x ,=代入上式得)21)(2()('b a f a f +-=＋)(811''ξf ，)(81)21)(2(')(2''ξf b a f b f ++=．相加得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +=+．取绝对值得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +≤+≤4M ．4.2 利用极值例22 设12ln ->a 为任一常数，求证xeax x <+-122()0>x )188](10[P ．证明原问题可转化为求证012)(2>-+-=ax x e x f x)0(>x ．因为0)0(=f ,所以只需证022)('>+-=a x e x f x．由02)(''=-=xe xf 得)('x f 的稳定点2ln =x ．当2ln <x 时，0)(''<x f ．当2ln >x 时，0)(''>x f ．所以 02)2ln 1(222ln 22)2(ln )(min ''>+-=+-==>a a f x f x ．所以原不等式成立．4.3 利用函数的凹凸性定义)193](10[P )(x f 在区间I 上有定义，)(x f 称为I 上的凸（凹）函数，当且仅当：21,x x ∀∈I ，有)2(21x x f +≤2)()(21x f x f + （)2(21x x f +≥2)()(21x f x f +）．推论)201](10[P 若)(x f 在区间I 上有二阶导数，则)(x f 在I 上为凸（凹）函数的充要条件是：0)(''≥x f （0)(''≤x f ）．例23 证明na a a n +++ 21≥n n a a a 21 ),,2,1,0(n i a i =>)125](11[P ．证明令,ln )(x x f =则01)(,1)(2'''<-==xx f x x f ，所以 x x f ln )(=在()+∞,0上是凹函数，对),0(,,,21+∞∈n a a a 有)ln ln (ln 1ln 2121n n a a a nn a a a +++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ ，所以na a a n +++ 21≥nn a a a 21．例24 对任意实数,,b a 有)(212b ab a e e e+≤+)80](12[P ．证明设xe xf =)(，则),(,0)(''+∞-∞∈>=x e x f x，所以)(x f 为),(+∞-∞上凸函数．从而对b x a x ==21,有2)()()2(b f a f b a f +≤+．即)(212b ab a e e e+≤+． 5 利用几个著名的不等式来证明不等式5.1 均值不等式)133](4[P定理 1 设n a a a ,,,21 是n 个正数，则)()()()(n Q n A n G n H ≤≤≤称为均值不等式，其中,111)(21na a a nn H +++=,)(21n n a a a n G =,)(21na a a n A n+++=na a a n Q n22221)(+++=分别称为n a a a ,,,21 的调和平均值，几何平均值，算术平均值，均方根平均值．例25 已知,10<<a ,02=+y x 求证812log )(log +≤+a yx a a a ．证明由,10<<a ,0,0>>yxa a 有y x y x y x a a a a a +=⋅≥+22，从而得22log )2(log )(log yx a a a a y x a y x a ++=≤++，故现在只需证812≤+y x 或 41≤+y x 即可．而4141)21(22≤+--=-=+x x x y x (当21=x 时取等号)，所以812log )(log +≤+a yx a a a ．5.2 Cauchy 不等式定理2)135](4[P 设),,2,1(,n i R b a i i =∈，则∑∑∑===≥⋅n i ni i i ni ii b a ba 121122,)(当且仅当nn a b a b a b === 2211时等号成立. 例26 证明三角不等式 2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ≤2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i a ＋2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i b )33](12[P ．证明因为∑=+ni i ib a12)(＝∑=+ni i i i a b a 1)(＋∑=+ni i i i b b a 1)(根据Cauchy 不等式，可得∑=+ni i i ia b a1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i n i i i a b a ．（1）∑=+ni i i i b b a 1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i ni i ib b a ．（2）把（1）（2）两个式子相加，再除以2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ，即得原式成立．5.3 Schwarz 不等式Cauchy 不等式的积分形式称为Schwarz 不等式．定理3)271](10[P )(),(x g x f 在[]b a ,上可积，则⎰⎰⎰≤b ababadx x g dx x f dx x g x f .)()())()((222若)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，其中等号当且仅当存在常数βα,，使得)()(x g x f βα≡时成立(βα,不同时为零)．例27 已知)(x f 在[]b a ,上连续，,1)(=⎰badx x f k 为任意实数，求证2)cos )((⎰bakxdx x f 1)sin )((2≤+⎰b akxdx x f )272](10[P ．证明上式左端应用Schwarz 不等式得2)cos )((⎰bakxdx x f 2)cos )(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰badx kx x f x f⎰⎰⋅≤babakxdx x f dx x f 2cos )()(⎰=bakxdx x f 2cos )(． (1)同理2)sin )((⎰bakxdx x f ⎰≤bakxdx x f 2sin )(． (2)由(1)+(2)即得原不等式成立． 5.4 利用W.H.Young 不等式定理4)288](10[P 设)(x f 单调递增，在),0[+∞上连续，,0)0(=f )(,0,1x fb a ->表示)(x f 的反函数，则⎰⎰-+≤bady y f dx x f ab 010,)()(其中等号当且仅当b a f =)(时成立．例28 设,0,>b a ,1>p ,111=+qp 试证q b p a ab q p +≤)290](10[P ．证明因为,1>p 所以1)(-=p xx f 单调递增且连续 (当0≥x 时)，1111)(---==q p y yy f )111(-=-q p ．应用W.H.Young 不等式有 qb p a dy y f dx x f ab qp ba+=+≤⎰⎰-01)()(．。

证明不等式的若干方法

(〖jf(z〗baf(x)g(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf2(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗bag2(x)dx〖jf)〗
柯西施瓦茨不等式是一个常用的不等式，在证明过程中我们可以直接利用常用不等式进行证明，即方便又快捷。
例6 设f(x)在区间［a,b］上连续，且f(x)>0,证明〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2 。〖jf)〗
证明：(〖jf(z〗baf(x)1f(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf(x))2 dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba（1f(x))2dx〖jf)〗
即得〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2〖jf)〗
5 利用函数图形的凹凸性进行证明
解一：令f(x)=xlna-alnx(x≥a),因为f′(x)=lna-ax>1-ax≥0(x≥a)
所以f(x)在x≥a时单调增加。因此当bφa时，有f(b)>f(a)=0，即有blna>al,x>e,则有f′(x)=1-lnxx2<0(x>e)，因此f(x)单调减少，故当b>a>e时，有lnaa>lnbb即ab>ba。
例7 xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2,(x>0,y>0,x≠y)
令 f(t)=tlnt(t>0), f′(t)=lnt+1, f′(t)=1t>0, 故 f(t)=tlnt在（x,y）或（y,x）,x>0,y>0是凹的，于是
12［f(x)+f(y)］>f(x+y2)
函数的凹凸性证明方法首要是找到辅助函数f(x)，利用函数f(x)在所给区间［a,b］的二阶导数确定函数的凹凸性。

高等数学中证明不等式的几种方法

高等数学中证明不等式的几种方法
高等数学中证明不等式是一个重要的技能，它可以帮助我们更好地理解数学问题，并且可以帮助我们更好地解决实际问题。

证明不等式的几种方法有：反证法、极限法、函数法、图形法、数学归纳法、数学归纳法等。

反证法是证明不等式的最常用的方法，它的基本思想是：假设不等式不成立，从而得出矛盾，从而证明不等式成立。

极限法是另一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是：当变量的值趋近于某个值时，不等式的结果也会趋近于某个值，从而证明不等式成立。

函数法是另一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是：通过求解函数的极值，从而证明不等式成立。

图形法是另一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是：通过绘制函数的图形，从而证明不等式成立。

数学归纳法是另一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是：通过对一系列数学问题的归纳，从而证明不等式成立。

数学归纳法是一种比较复杂的证明不等式的方法，它的基本思想是：通过对一系列数学问题的归纳，从而证明不等式成立。

以上就是证明不等式的几种方法，它们都有各自的优点和缺点，因此，在实际应用中，我们应该根据实际情况选择最合适的方法。

只有这样，我们才能更好地理解数学问题，并且可以帮助我们更好地解决实际问题。

不等式的证明与应用

不等式的证明与应用不等式是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域，包括代数、几何、不等式方法、不等式证明等。

本文将讨论不等式的证明方法以及其在实际问题中的应用。

一、不等式的基本性质在证明不等式前，我们首先需要了解一些不等式的基本性质。

不等式在数学中是一种大小关系的描述，可分为等号不等式和不等号不等式。

等号不等式即不等式中包含等号，例如a ≤ b，a = b。

不等号不等式指的是不等式中不包含等号，例如 a < b。

不等式具有一些基本的运算性质，与等式运算性质相似，包括加减乘除运算性质和不等号运算性质。

根据不等式运算性质，我们可以对不等式进行加减乘除等运算，得到与原不等式等价的不等式。

二、不等式的证明方法1. 代数证明法代数证明法是一种通过代数运算来证明不等式的方法。

我们可以通过代数方程的变形、公式的运用和基本的代数运算来推导出所需证明的不等式。

例如，要证明a² + b² ≥ 2ab，我们可以通过将等式变形为(a - b)² ≥ 0，再运用平方性质和不等式性质来证明。

2. 几何证明法几何证明法通过几何图形的性质来证明不等式。

我们可以利用几何形状和图像来构造不等式，并通过几何推理来证明。

例如，证明直角三角形斜边的长度大于直角边的和。

我们可以通过构造一个直角三角形图形，然后应用三角不等式和勾股定理来证明不等式成立。

3. 数学归纳法数学归纳法是一种通过递归推理来证明不等式的方法。

我们可以通过证明初始条件成立，然后通过递推关系来证明不等式在所有情况下都成立。

例如，要证明n² ≥ n，我们首先证明当 n = 1 时，不等式成立；然后假设对于任意的k ≥ 1，n = k 时不等式成立，即k² ≥ k；最后通过证明n = k + 1 时不等式成立来完成归纳证明。

三、不等式在实际问题中的应用不等式在实际问题中有广泛的应用，包括优化问题、约束条件问题、最大最小值问题等。

例谈高观点证明不等式的若干途径

（而一例１们），（ｎ求＞１证，ｎ：∈，Ｎ～＋厶＋）．去＋～去Ｊ＋．一＋～ｌ‘去＞２
证明由于函数八戈）：｛在区间［后，七＋１］（矗ｏｘ＝ｌ，２，３，…，ｎ）上的定积分满足
去＝去．１＞』∥去如，对后进行求和可得
砉＝２（扣丽一护１》）．州＋１》＿［２船“
（收稿日期：２００７０７２８）
万方数据
例谈高观点证明不等式的若干途径
其中ｆ在戈与兰譬之间，
令戈：ｎ则有ｇ（。）：ｇ（掣）＋ｇ，（半）．
（字）＋扣～１）（字）２，其％小，字）
再令石：６则有ｇ（６）：ｇ（与竽）＋ｇ”（与竽）
（字）＋扣纠（字）２．其％∈（半＇６）
两式相加可得ｇ（ｏ）＋ｇ（６）
＝２９（字）＋丢（字）２［ｇ，，（¨＋ｇ『，（纠］，
从而有ｇ（ｏ）＋ｇ（６）一２９（｝警）
８
中。？般’７（２００７年第９期）
·教学论坛·
例谈高观点证明不等式的若干途径
１６３３１６大庆实验中学毕明黎
众所周知，不等式的证明以其变形复杂、方法多样成为学习的难点，为此人们始终在苦苦寻求运用数学的其它分支来证明不等式，过去人们十分重视利用高中教材内部的横向、纵向的有机联系寻求不等式的证明，新教材引入之后我们也理应探索新旧教材之间的联系，运用高等数学的观点来实现不等式的证明，本文将在这一方面进行总结，旨在为不等式的证明探索出一套新的证明途径，仅供参考．１向量方法的应用
√７２６＋１），贝０有ｚｉ·ｚ２＝￣／７２ｎ＋１＋￣／２６＋１，再由ｎ＋６＝１，可知ＩｚｌＩ＝以，Ｉｚ２｜＿２，又ｚｌ·ｚ２
≤Ｉｚ．Ｉ·Ｉｚ，Ｉ可得√２０＋１＋￣／２６＋ｌ≤２√２．２极限思想的应用
２．１利用无穷递缩等比数列求和公式Ｓ＝
＃Ｌ其中（ｏ＜ＩｇＩ＜１）证明不等式．其实质是将有

一些不等式的证明及推广【文献综述】

毕业论文文献综述数学与应用数学一些不等式的证明及推广一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）不等式是数学的基本内容之一, 它是研究许多数学分支的重要工具, 在数学中有着重要的地位。

数学家们给我们留下了一些经典的不等式, 这些不等式在学习中经常遇见。

本课题的主要任务是: 在查阅文献的基础上, 总结一些重要不等式( 如柯西不等式、赫尔德不等式等)的证明方法以及它们的推广形式。

首先，我们介绍这些重要的不等式。

柯西不等式[1]：设有两组实数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，则222111n n ni i i i i i i a b a b，当且仅当1212nna a ab b b 时，等号成立。

赫尔德不等式[2]：设有两组实数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1 p ，111 qp ，则 11111nnnpqp q i i i i i i i a b a b，当且仅当1212nna a ab b b 时，等号成立。

当2p 时，赫尔德不等式即为柯西不等式。

反向赫尔德不等式[3]：设有两组实数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1p 且0p ，111 qp ，则11111nn n pqp q i i i i i i i a b a b。

闵可夫斯基不等式[3]：设有两组正数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1 p ，则111111nnnpppp p p i i i i i i i a b a b，当且仅当1212nna a ab b b 时，等号成立。

反向闵可夫斯基不等式[3]：设有两组正数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1p 且0p ，则111111n n n pppp p p i i i i i i i a b a b。

二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）柯西不等式是著名的不等式之一，且不失为至善至美的重要不等式。

关于不等式的证明及推广

百度文库- 让每个人平等地提升自我I关于不等式的证明及推广摘要在初等代数和高等代数中，不等式的证明都占有举足轻重的位置。

初等代数中介绍了许多具体的但相当有灵活性和技巧性的证明方法，例如换元法、放缩法等研究方法；而高等数学中，可以利用的方法更加灵活技巧。

我们可以利用典型的柯西不等式的结论来证明类似的不等式；除此还可以利用导数，微分中值定理，泰勒公式，积分中值定理等有关的知识来证明不等式；结合凸函数的性质，凸函数法也可以证明一类不等式；在正定的情况下，也可以用判别式法；掌握了定积分化为重积分的内容之后，对于某类不等式，也可以将定积分化为重积分，再证明所求的不等式。

由此我们可以看到，不等式的的求解证明方法并不唯一，但是初等数学里的不等式，都可以用高等数学的知识来解决，解答更为简洁。

所以，高等数学对初等数学的教学和学习具有重要的指导意义。

本文归纳和总结了一些求解证明不等式的方法与技巧，突出了不等式的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握不等式的思想方法；注重对一些著名不等式的论证、推广及应用的介绍。

本篇论文一共分为三章，其中第三章和第四章为正文部分。

第三章分两小节，第一节介绍了23种初等代数中不等式的证明方法。

而第二节则介绍了6种高等代数中不等式的证明方法。

第四章介绍了一些著名不等式的证明、推广和应用。

关键词：不等式证明方法百度文库- 让每个人平等地提升自我IIAbstractIn elementary algebra and advanced algebra,The inequality proof all holds the pivotalposition. In the elementary algebra introduced many concrete but has quite had mystical powers activeness and skill the proof method,For example the structure proof method, the comparison test, puts item by item shrinks research technique and so on the law; But in higher mathematics,We may a use method more nimble skill. We may use the model west the tan oak the inequality conclusion to prove the similar inequality; Eliminates this also to be possible to use the derivative, Differential theorem of mean, Taylor formula; integra intermediate value theorem And so on the related knowledge proves the inequality;Union convex function nature,The convex function law also may prove a kind of inequality; In is deciding in situation,Also may use the discriminant law; After grasped the definite integral to change into the multiple integral the content, Regarding some kind of inequality,Also may change into the definite integral the multiple integral, Again proved asks inequality. May see from this us to, Inequality solution proof method not only, But in elementary mathematics inequality, All may use the higher mathematics the knowledge to solve, answer is ,The higher mathematics has the important guiding sense to the elementary mathematics teaching and the study, Not only must grasp in the elementary mathematics each inequality proof method,Must grasp in the higher mathematics the inequality proof method, This article induced and summarized some solution proof inequalities methods and the skill,Has highlighted the inequality basic thought and the essential method, Is advantageous for understands each part of inner links well, Grasps the inequality from the overall the thinking method; Attention to some famous inequalities proofs.This paper altogether divides into three chapters, third chapter and fourth chapter is the main chapter minutes two sections, First section introduceds in 23 kind of elementary algebras the inequality proof method. But second then introduced in 6 kind of advanced algebras the inequality proof chapter introduced some famous inequalities proofs, the promotion and the application.Key word: Inequality proof method百度文库- 让每个人平等地提升自我III 目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)第一章引言（绪论） (1)第二章文献综述 ·······················································································第三章不等式的证明方法 ·······································································初等代数中不等式的证明 ·····································································3.1.1比较法····················································································3.1.2分析法 ·······························································································3.1.3反证法·······························································································3.1.4数学归纳法 ························································································3.1.5换元法 ·······························································································3.1.6放缩法 ·······························································································3.1.7调整法 ·······························································································3.1.8构造法 ·······························································································3.1.9利用已知的不等式证明 ·······································································3.1.10利用一元二次方程的判别式证明 ·······················································3.1.11用几何特性或区域讨论 ·····································································3.1.12利用坐标和解析性证明 ·····································································3.1.13利用复数证明 ···················································································3.1.14参数法 ·····························································································3.1.15利用概率证明 ···················································································3.1.16利用向量证明 ···················································································3.1.17面积法 ·····························································································3.1.18化整法 ·····························································································百度文库- 让每个人平等地提升自我IV 3.1.19步差法 ·····························································································3.1.20通项公式法 ······················································································3.1.21转化成数列法 ···················································································3.1.22增量法 ·····························································································3.1.23裂项法 ·····························································································高等代数中不等式的证明 ·······································································3.2.1由函数的上、下限证明·····································································3.2.2由柯西不等式证明 ···········································································3.2.3由Taylor公式及余项证明·································································3.2.4由积分的性质证明 ···········································································3.2.5由中值定理证明···············································································3.2.6利用求函数的最值证明·····································································第四章几个著名不等式的证明、推广及其应用···································关于绝对值不等式 ·················································································4.1.1三角形不等式 ··················································································4.1.2三角形不等式的推广 ········································································4.1.3三角形不等式的应用 ········································································平均值不等式··························································································4.2.1算术平均数与几何平均数 ·································································4.2.2几个平均数的关系 ···········································································4.2.3平均值不等式的应用 ········································································贝努利不等式··························································································排序不等式······························································································柯西不等式······························································································4.5.1柯西不等式的定理和初等证明 ··························································4.5.2柯西不等式的推广 ···········································································百度文库- 让每个人平等地提升自我V 闵可夫斯基不等式 ·················································································赫尔德不等式··························································································契比雪夫不等式 ·····················································································琴生不等式······························································································艾尔多斯—莫迪尔不等式 ·····································································结论··············································································································致谢··············································································································参考文献······································································································附件··············································································································。

不等式的证明方法和应用的推广

不等式的证明方法和应用的推广摘要：不等式是数学中一个基础性的概念，其证明方法具有很强的技巧性，灵活多变，是对知识的综合性灵活运用，本文将对文献出现的不等式的证明方法进行综述，最后提出一些仍然值得去研究和探讨的问题。

关健词：不等式；方法；归纳一. 引言长久以来，不等式的证明都是数学界的热门研究课题。

不等式的证明方法灵活多变，应注重常用方法的训练，其中比较法、分析法、综合法、放缩法证明不等式的最基本方法，尤其要加强分析法的训练。

在应用平均值不等式来证明不等式时，一要验证条件，二要考虑等号能否取到。

但是往往用上述方法在解决一些不等式的证明时是很困难的，或者说根本证不出来。

近年来，在数学研究工作中涌现了很多关于不等式证明的方法的相关论文，本文收集了的若干文献，对不等式证明的方法进行综述，并且也涉及到不等式证明方法的一些应用的思考。

二、不等式证明方法的发展现状不等式在数学中占有非常重要的地位，由于其本身的完美性及其证明的困难性，使不等式成为近几年来各类考试中的热门试题。

文[1]不等式证明之初探对常见不等式证明的方法做了一个比较详细的总结,包括比较法、分析法、综合法、反正法。

不等式的证明都离不开不等式的性质，基本不等式的应用和一些函数。

但对于一些特殊的问题，应用以上常见方法证明可能会显得比较困难，甚至根本证不出来。

而赵会娟等在文[2]给出了不等式证明的几种特殊方法，包括数学归纳法、用函数的单调性、转化成数列、利用拉格朗日中值定理、利用导函数的增减性和向量法，让我们在证明一些特殊的不等式时有“盾”可循。

文[3]更是给出了一些高等数学中不等式证明的一些方法，涉及的知识点越来越广。

文[4]分别对一些多项式不等式的证明和对两个新不等式的证明进行了研究并且进行推广,研究的方向越来越深。

下面便专题来探讨下以上对于不等式证明方法的重要文献，将对文献中出现的不等式证明的方法进行总结归纳。

1、利用函数的单调性证明不等式函数不等式是函数之间的大小关系，应用函数单调性的判别法可证明一些函数的不等式例题1：例题1：已知求证：。

不等式的证明归纳举例,方程根的个数,作图.

11
x −1 为奇函数，即可。解：定义域为 x ≠ ±1 f ( x ) 为奇函数，所以在 x ≥ 0 , x ≠ 1 内讨论即可。 2 x ( x 2 + 3) − (1 + x 2 ) f ′( x ) = f ′′( x ) = , , 2 2 2 3 ( x − 1) ( x − 1) 由 f ′′( x ) = 0 ⇒ x = 0 f ′( x ) = 0 无解。无解。
5
π
6.利用连续函数在闭区间 ( 上有最大小)值：
证明： 3 例证明：当 x ≤ 2时， x − x 3 ≤ 2 . 证明： ∵ 证明： 3 x − x 3 是偶函数∴由对称性只需在 [0，]上讨论 . 2
设 f ( x ) = 3 x − x 3 , ∵ f ( x ) 在[0，]上可导， f ′( x ) = 3 − 3 x 2 = 0 ⇒ 2 上可导，由
x
式时有时需适当变形注：用单调性证明不等 arctan x x 如：证明当 > 0 时有 ln(1 + x) > 1+ x ( 可转化为证明1 + x) ln(1 + x) > arctan x
3
4,利用极值：利用极值：
令 f ( x ) = e x − (1 + x ) , f ′( x ) = e x − 1 ⇒ f ′(0) = 0，
13
斜渐近线 L: y = ax + b
14
例作函数 y =
x
2
的图形
12
渐近线：渐近线：
因 lim x
x →∞ x 2 − 1
=0⇒ y =0
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高等数学中几个常见不等式及其应用

本科毕业论文（设计）题目：高等数学中几个常见不等式及其应用学生：学号：学院：专业：入学时间：年月日指导教师：职称：完成日期：年 0 月日高等数学中几个常见不等式及其应用摘要：在高等数学中，不等式的证实和应用是我们学习高等数学知识常见难题之一。

本文将的介绍这些不等式，并讨论它们的证明、变形及应用。

关键词：均值不等式；柯西不等式；施瓦茨不等式；H..lder不等式；Minkowski不等式A few common inequality in the application of higher mathematicsAbstract: In higher mathematics, the proof of inequality and application is one of the common problems we study higher mathematics knowledge. This article will introduce these inequalities, and the proofs are discussed, deformation and applications.Key words: Average inequality; Cauchy inequality; Holder inequality; Minkowski inequality目录0 引言（绪论） (4)1.1 平均值不等式 (4)1.2 平均值不等式应用 (5)1.3 平均值不等式的推广 (5)2 柯西不等式 (6)2.1 柯西不等式定理及证明 (6)3 施瓦茨等式 (8)3.1施瓦茨不等式定理 (8)3.2 施瓦茨不等式应用 (9)4 H..οlder不等式 (10)4.1 H..οlder不等式定理形式及证明 (10)4.2 H..οlder不等式的应用 (11)5 Minkowski不等式 (12)5.1 Minkowski不等式定理及证明 (12)6 结束语 (13)参考文献 (13)致谢 (14)0 引言不等式是高等数学知识研究的基本工具之一，具有非常重要的地位。