第三章直线与方程章末检测(a)

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第三章直线与方程章末综合检测(人教A版必修2)

第三章直线与方程章末综合检测(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为()A．30°B．45°C．60°D．135°【解析】由题意可知，直线l的斜率为－1，故由tan 135°＝－1，可知直线l的倾斜角为135°.【答案】 D2．(2014·长沙高一检测)如图，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是()【解析】当a>0时，A、B、C、D均不成立；当a<0时，只有C成立，故选C.【答案】 C3．直线x－2y＋5＝0与直线2x－y＋15＝0的位置关系是()A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直【解析】因为两直线的斜率分别为12和2，故两直线相交但不垂直．【答案】 C4．点(0,5)到直线2x－y＝0的距离是()A.52 B. 5 C.32 D.54【解析】点(0,5)到直线2x－y＝0的距离为d＝|0－5|22＋－2＝ 5.【答案】 B5．直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则有() A．a＝2，b＝5 B．a＝2，b＝－5C．a＝－2，b＝5 D．a＝－2，b＝－5【解析】由5x－2y－10＝0得x2－y5＝1，由截距式易知a＝2，b＝－5.【答案】 B6．两条直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于() A．－1 B．0 C．1 D．2【解析】由题意及直线相互垂直的条件可知a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1.【答案】 A7．两平行直线5x ＋12y ＋3＝0与10x ＋24y ＋5＝0之间的距离是( )A.213B.113C.126D.526【解析】直线10x ＋24y ＋5＝0可化为5x ＋12y ＋52＝0，故两平行直线间的距离d ＝|3－52|52＋122＝126. 【答案】 C8．(2014·武汉高一检测)三条直线：y ＋2x －4＝0，x －y ＋1＝0与ax －y ＋2＝0共有两个交点，则a 等于( )A ．1B ．2C ．1或－2D ．－1或2【解析】三条直线共有两个交点，一定有两条直线互相平行，并与第三条直线相交，而2x ＋y －4＝0与x －y ＋1＝0相交，故直线ax －y ＋2＝0与2x ＋y －4＝0平行或与x －y ＋1＝0平行，所以a ＝1或a ＝－2.【答案】 C9．过点P (1,3)，且与x ，y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋3y －10＝0C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0【解析】设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则有12ab ＝6，且1a ＋3b ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝12，1a ＋3b＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝6.故所求直线的方程为x 2＋y 6＝1，即为3x ＋y －6＝0. 【答案】 A10．直线l 过点A (2,11)，且与点B (－1,2)的距离最远，则直线l 的方程为( )A ．3x －y －5＝0B ．3x －y ＋5＝0C ．x ＋3y ＋13＝0D ．x ＋3y －35＝0【解析】当l ⊥AB 时符合要求，∵k AB ＝11－22－－＝3，∴l 的斜率为－13，所以直线l 的方程为y －11＝－13(x －2)，即x ＋3y －35＝0.故选D.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)11．已知点A (3,2)，B (－2，a )，C (8,12)在同一条直线上，则a ＝________.【解析】根据题意可知k AC ＝k AB ，即12－28－3＝a －2－2－3，解得a ＝－8. 【答案】－812．过点(1,3)且在x 轴的截距为2的直线方程是________．【解析】由题意设所求直线的方程为x 2＋y b ＝1，又点(1,3)满足该方程，故12＋3b ＝1，∴b ＝6.即所求直线的方程为x 2＋y 6＝1，化为一般式得3x ＋y －6＝0.【答案】 3x ＋y －6＝013．P (－1,3)在直线l 上的射影为Q (1，－1)，则直线l 的方程是________．【解析】 ∵k PQ ＝－1－31＋1＝－2，PQ ⊥l ，∴k l ＝12，由点斜式得直线l 的方程为y ＋1＝12(x －1)，即x －2y －3＝0.【答案】 x －2y －3＝014．已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则a 2＋b 2的最小值为________．【解析】a 2＋b 2的最小值为原点到直线3x ＋4y ＝15的距离：d ＝|0＋0－15|32＋42＝3. 【答案】 3三、解答题(本大题共4小题,共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，求点D ，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD .【解】设D (x ，y )，则kCD ＝y x －3，k AB ＝3，k CB ＝－2，k AD ＝y ＋1x －1. ∵k CD ·k AB ＝－1，k AD ＝k CB ，∴y x －3×3＝－1，y ＋1x －1＝－2.∴x ＝0，y ＝1，即D (0,1)． 16．(本小题满分12分)直线l 经过两直线l 1：2x －y ＋4＝0与l 2：x －y ＋5＝0的交点，且与直线x －2y －6＝0垂直．(1)求直线l 的方程；(2)若点P (a,1)到直线l 的距离为5，求实数a 的值．【解】 (1)由⎩⎨⎧2x －y ＋4＝0，x －y ＋5＝0得交点为(1,6)，又直线l 垂直于直线x －2y －6＝0，所以直线l 的斜率为k ＝－2.故直线l 的方程为y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.(2)由于P (a,1)到直线l 的距离等于5，则|2a ＋1－8|5＝5，解得a ＝1或a ＝6.17．(本小题满分12分)(2014·天水高一检测)在△ABC 中，BC 边上的高所在直线l 方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．【解】由方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得顶点A (－1,0)．又直线AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，AC 所在的直线方程为y ＝－(x ＋1)．已知BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率为－2，BC 所在的直线方程为y －2＝－2(x －1)．解方程组⎩⎨⎧y ＝－x ＋，y －2＝－x －，得顶点C 的坐标为(5，－6)． 18．(本小题满分14分)直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．【解】若l 在两坐标轴上截距为0，设l ：y ＝kx ，则|4k －3|1＋k 2＝3 2.解得k ＝－6±3214.此时l 的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6±3214x ；若l 在两坐标轴上截距不为0，设l ：x a ＋y a ＝1，即x ＋y －a ＝0，则|4＋3－a |12＋12＝3 2. 解得a ＝1或13. 此时l 的方程为x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.综上，直线l 的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6±3214x 或x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.。

2017-2018学年高中数学二教材用书：第三章直线与方程阶段质量检测A卷学业水平达标含答案

(时间120分钟，满分150分）一、选择题（共10小题，每小题6分,共60分）1.如图，直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则有( ) A．α1＜α2＜α3B．α1＜α3＜α2C．α3＜α2＜α1D．α2＜α1＜α3答案:B2．已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为( ) A．30° B．45°C．60°D．135°答案:D3．点（1,1)到直线x＋y－1＝0的距离为（)A．1 B．2C.错误!D.错误!答案：C4．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1），则直线l的斜率为（)A.错误!B．－错误!C．3 D．－3答案：B5．已知P（－1，0)在直线l：ax＋by＋c＝0上的射影是点Q（－2，错误!），则直线l的倾斜角是（）A．60°B．30°C．120°D．90°答案:B6．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线错误!x－y＝3错误!的倾斜角的2倍,则（)A．m＝－错误!，n＝1B．m＝－错误!，n＝－3C．m＝错误!，n＝－3D．m＝错误!,n＝1答案：D7．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( ）A．3x＋4y＋5＝0B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0D．－3x＋4y＋5＝0答案：A8．若点A(3，1),B（－2，b),C(8,11）在同一直线上,则实数b等于( ）A．2 B．3C．9 D．－9答案:D9．等腰直角三角形ABC的直角顶点为C（3，3)，若点A的坐标为(0,4)，则点B的坐标可能是（）A．（2,0）或（4，6) B．(2,0)或(6，4)C．(4，6）D．（0，2)答案：A10．设点A(2,－3），B（－3,－2）,直线l过P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（）A.错误!B.错误!C.错误!D．以上都不对答案：A二、填空题(共4小题，每小题5分,共20分)11．不论a为何实数,直线(a＋3）x＋(2a－1)y＋7＝0恒过定点________．答案：(－2,1）12．经过点A(1，1)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线方程是________．答案：x－y＝0或x＋y－2＝013．过点A（2，1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为____________．答案：2x＋y－5＝014．已知点A（4，－3)与B(2，－1）关于直线l对称，在l上有一点P,使点P到直线4x＋3y－2＝0的距离等于2，则点P的坐标是____________．答案:(1，－4）或错误!三、解答题(共6小题,共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分10分）已知直线l的倾斜角为135°,且经过点P(1,1）．（1)求直线l的方程；(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A′的坐标．解：(1）∵k＝tan 135°＝－1，∴l：y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0。

2017-2018学年高中数学第三章直线与方程学业质量标准检测新人教A版必修2

第三章直线与方程学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知直线经过点A (0,3)和点B (－1,2)，则直线AB 的斜率为 ( B )A ．－1B ．1C ．－12[解析] 由斜率公式，得k AB ＝2－3－1－0＝1.2．直线l ：x －y ＋1＝0关于y 辆对称的直线方程为 ( A ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y －1＝0[解析] 用－x 替换方程x －y ＋1＝0中的x ，得－x －y ＋1＝0，即x ＋y －1＝0，故选A ． 3．直线l 过点M (1，－2)，倾斜角为30°.则直线l 的方程为 ( C ) A ．x ＋3y －23－1＝0 B ．x ＋3y ＋23－1＝0 C ．x －3y －23－1＝0D ．x －3y ＋23－1＝030°，x 轴上的截距是 ( A )C ．25D ．2[解析] 由题意，得过两点(－1,1)和(3,9)的直线方程为y ＝2x ＋3.令y ＝0，则x ＝－32， ∴直线在x 轴上的截距为－32，故选A ．5．已知点A (3,2)、B (－2，a )、C (8,12)在同一条直线上，则a 的值是 ( C ) A ．0B ．－4C ．－8D ．4[解析] 根据题意可知k AC ＝k AB ，即12－28－3＝a －2－2－3，解得a ＝－8.6．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是 ( C )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2[解析] 当k ＝3时，两直线显然平行；当k ≠3时，由两直线平行，斜率相等，得－k －34－k＝k －2.解得k ＝5，故选C ．7．如果AB <0，BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过 ( D ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限[解析] Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，由AB <0，BC <0Ax ＋By ＋C ＝0经过第一、二、三象限，不经过第四象限．8．已知点A (1，－2)、B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是 ( C )A ．－2B ．－7 ．3D ．1[解析] 由已知条件可知线段AB 在直线x ＋2y －2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m ＝3.9．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是 ( C )A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．3x ＋19y ＝0D ．19x －3y ＝0[解析] 解⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝02x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197y ＝37，即直线l 1、l 2的交点是(－197，37)，由两点式可得所求直线的方程是3x ＋19y ＝0.10．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点 ( C ) A ．(0,0)B ．(17，27)C ．(27，17)D ．(17，114)[解析] 直线方程变形为k (3x ＋y －1)＋(2y －x )＝0，则直线通过定点(27，17)．11．直线(m ＋2)x ＋my ＋1＝0与直线(m －1)x ＋(m －4)y ＋2＝0互相垂直，则m 的值为 ( C )A ．12B ．－2C ．－12或2D ．－2或12[解析] 由题意，得(m ＋2)(m －1)＋m (m －4)＝0，解得m ＝－12或2.12．已知点M (1,0)和N (－1,0)，直线2x ＋y ＝b 与线段MN 相交，则b 的取值范围为 ( A )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[－12，12]D ．[0,2][解析] 直线可化为y ＝－2x ＋b ，当直线过点M 时，可得b ＝2，当直线过点N 时，可得b ＝－2，故b 的取值范围是[－2,2]．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为__－23__.[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 22＝－1，又y 1＝1，∴y 2＝－3，代入方程x－y －7＝0，得x 2＝4，即B (4，－3)，又x 1＋x 22＝1，∴x 1＝－2，即A (－2,1)，∴k AB ＝－3－14－－＝－23.14．点A (3，－4)与点B (5,8)关于直线l 对称，则直线l 的方程为__x ＋6y －16＝0__. [解析] 直线l 就是线段AB 的垂直平分线，AB 的中点为(4,2)，k AB ＝6，所以k l ＝－16，所以直线l 的方程为y －2＝－16(x －4)，即x ＋6y －16＝0.15．直线2x ＋3y －6＝0关于点A (1，－1)对称的直线方程为__2x ＋3y ＋8＝0__. [解析] 取直线2x ＋3y －6＝0上的点M (0,2)、N (3,0)，则点M 、N 关于点A (－1，－1)的对称点M ′(2，－4)、N ′(－1，－2)，故所求直线方程为y ＋4－2－－＝x －2－1－2，即2x ＋3y ＋8＝0.16．已知实数x 、y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，则y x 的最大值和最小值分别为__2，23__.[解析] 如图，由已知，点P (x ，y )在线段AB 上运动，其中A (2,4)，B (3,2)，而y x ＝y －0x －0，其几何意义为直线OP 的斜率．由图可知k OB ≤k OP ≤k OA ，而k OB ＝23，k OA ＝2.故所求的y x 的最大值为2，最小值为23.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直线l 经过点P (－2,5)且斜率为－34，(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 平行于直线l ，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． [解析] (1)直线l 的方程为：y －5＝－34(x ＋2)整理得3x ＋4y －14＝0.(2)设直线m 的方程为3x ＋4y ＋n ＝0，3x ＋4y －29＝0.)已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(l 1∥l 2？l 1⊥l 2？x ＋6＝0，l 2：2x －3y ＝0，两直线既不平行也不垂直； y ＝－m －23x －2m 3；若l 1∥l 2，则⎩⎪⎨⎪－m ＝－3，－6m ≠－2m3.解得m ＝－1；若l 1⊥l 2，则－1m (－m －23)＝－1，即m ＝12.解法二：若l 1∥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧1×3－mm －＝0，1×2m －m －解之得m ＝－1.若l 1⊥l 2，则1·(m －2)＋3m ＝0， ∴m ＝12.19．(本小题满分12分)求经过两直线3x －2y ＋1＝0和x ＋3y ＋4＝0的交点，且垂直于直线x ＋3y ＋4＝0的直线方程.[解析] 解法一：设所求直线方程为3x －2y ＋1＋λ(x ＋3y ＋4)＝0，即(3＋λ)x ＋(3λ－2)y ＋(1＋4λ)＝0.由所求直线垂直于直线x ＋3y ＋4＝0，得－13·(－3＋λ3λ－2)＝－1. 解得λ＝310.故所求直线方程是3x －y ＋2＝0. 解法二：设所求直线方程为3x －y ＋m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝0，x ＋3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即两已知直线的交点为(－1，－1)．又3x －y ＋m ＝0过点(－1，－1)，故－3＋1＋m ＝0，m ＝2. 故所求直线方程为3x －y ＋2＝0.20．(本小题满分12分)△ABC 中，A (0,1)，AB 边上的高CD 所在直线的方程为x ＋2y －4＝0，AC 边上的中线BE 所在直线的方程为2x ＋y －3＝0.(1)求直线AB 的方程； (2)求直线BC 的方程； (3)求△BDE 的面积．[解析] (1)由已知得直线AB 的斜率为2， ∴AB 边所在的直线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝02x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝2.即直线AB 与直线BE 的交点为B (12，2)．设C (m ，n )，则由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n －4＝02·m 2＋n ＋12－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝1，∴C (2,1)．∴BC 边所在直线的方程为y －12－1＝x －212－2，即2x ＋3y －7＝0.(3)∵E 是线段AC 的中点，∴E (1,1)． ∴|BE |＝12－2＋－2＝52，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0x ＋2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25y ＝95.∴D (25，95)，＝255， 2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由． [解析] 设直线方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)，若满足条件(1)，则a ＋b ＋a 2＋b 2＝12，① 又∵直线过点P (43，2)，∵43a ＋2b ＝1.②由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝125b ＝92.∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y9＝1，即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. 若满足条件(2)，则ab ＝12，③ 由题意得，43a ＋2b ＝1，④由③④整理得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝6.∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或x 2＋y6＝1，即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x ＋4y －12＝0.22．(本小题满分12分)某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1,2)、B (4,0)，一条河所在直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P 使之到A 、B 两镇的管道最省，问供水站P 应建在什么地方？此时|PA |＋|PB |为多少？[解析] 如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ，因为若P ′(异于P )在直线l 上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B|.因此，供水站只能在点P 处，才能取得最小值．设A ′(a ，b )，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋2×b ＋22－10＝0b －2a －1－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝6，即A ′(3,6)．所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0x ＋2y －10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3811y ＝3611.所以P 点的坐标为(3811，3611)．故供水站应建在点P (3811，3611)处，此时|PA |＋|PB |＝|A ′B |＝－2＋－2＝37.。

人教版数学高一-A高一必修2第三章《直线与方程》章节测试

Ａ3x-y-8=0 B 3x+y+4=0
C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=0
6.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜,
则Ｌ的方程是（）
Ａx-2y+3=0 B 2x-y-3=0
C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0
7.直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是
的距离是的直线的方程.
16.直线x+m2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0，没有公共点，求实数m的值.
*17.已知直线被两平行直线所截得的线段长A；2.B；3.B；4.D；5.B；6.D；7.A；8.C；9.A；10.A.
11.x+4y-7=0或x=-1;12.x+y-3=0或2x-y=0;13. ;14.2x-y+5=0;
15. (1)3x+4y+23=0或3x+4y-47=0;(2)3x-y+9=0或3x-y-3=0.
16.m=0或m=-1;17.x=1或3x-4y-3=0.
人教版A高一必修2第三章《直线与方程》章节测试
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.若直线过点（１，２），（４，２＋），则此直线的倾斜角是（）
Ａ３０°Ｂ４５°Ｃ６０°Ｄ９０°
2.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=
A、-3 B、-6 C、 D、
13．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是.
14．原点Ｏ在直线Ｌ上的射影为点Ｈ（－２，１），则直线Ｌ的方程为.

高中数学章末检测卷(三)直线与方程新人教A版必修2(2021年整理)

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章末检测卷（三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题1。

已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为( )A。

30° B.45° C.60° D.135°解析由题意可知，直线l的斜率为－1,故由tan 135°＝－1，可知直线l的倾斜角为135°。

答案D2.已知点A(0,4），B(4，0）在直线l上，则l的方程为( )A。

x＋y－4＝0 B.x－y－4＝0C.x＋y＋4＝0 D。

x－y＋4＝0解析由截距式方程可得l的方程为错误!＋错误!＝1，即x＋y－4＝0.答案A3。

点（1，1）到直线x＋y－1＝0的距离为（)A.1B.2 C。

错误! D.错误!解析由点到直线的距离公式d＝错误!＝错误!.答案C4.直线2x＋y＋1＝0与直线4x＋2y＋6＝0之间的距离为( )A。

错误! B.错误!C.错误!D。

错误!答案B5。

已知直线l1：ax－y－2＝0和直线l2：（a＋2）x－y＋1＝0互相垂直，则实数a的值为（）A.－1 B。

0 C.1 D.2解析l1的斜率为a,l2的斜率为a＋2,∵l1⊥l2，∴a（a＋2）＝－1。

∴a2＋2a＋1＝0即a＝－1.答案A6。

高中数学第三章直线与方程综合检测新人教A版必修2

【成才之路】2014高中数学第三章直线与方程综合检测新人教A 版必修2时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．直线的方程为x －3y ＋2014＝0，则直线的倾斜角为( ) A.π6B.π3C.2π3 D.5π6[答案] A[解析] 直线的斜率为k ＝33，所以直线l 的倾斜角为π6. 2．若三点A (3,1)，B (－2, b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．－9[答案] D[解析] 由条件知k BC ＝k AC ， ∴b －11－2－8＝11－18－3，∴b ＝－9. 3．过点P (－1,3)，且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0 D ．x －2y ＋7＝0[答案] A[解析] 根据垂直关系可知k ＝－2，∴y －3＝－2(x ＋1)，即2x ＋y －1＝0.4．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( ) A ．0 B ．－8 C ．2 D ．10[答案] B[解析] k AB ＝4－mm ＋2＝－2，∴m ＝－8.∵B (－8,4)不在直线2x ＋y －1＝0上，∴m ＝－8符合题意．5．已知ab ＜0，bc ＜0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限[答案] C[解析] 直线ax ＋by ＝c 可化为y ＝－a b x ＋c b ，∵ab ＜0，bc ＜0，∴－a b ＞0，c b＜0，由此可知直线过第一、三、四象限．6．直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线恒过定点( ) A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1)[答案] C[解析] 把kx －y ＋1＝3k 改写成关于k 的方程得(x －3)k －(y －1)＝0，它恒过点(3,1)． 7．点P (2,5)到直线y ＝－3x 的距离d 等于( ) A ．0 B.23＋52 C.－23＋52D.－23－52 [答案] B[解析] 直线方程y ＝－3x 化为一般式3x ＋y ＝0，则d ＝23＋52.8．与直线y ＝－2x ＋3平行，且与直线y ＝3x ＋4交于x 轴上的同一点的直线方程是( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝12x ＋4C ．y ＝－2x －83D ．y ＝12x －83[答案] C[解析] 直线y ＝－2x ＋3的斜率为－2，则所求直线斜率k ＝－2，直线方程y ＝3x ＋4中，令y ＝0，则x ＝－43，即所求直线与x 轴交点坐标为(－43，0)．故所求直线方程为y ＝－2(x ＋43)，即y ＝－2x －83.9．两条直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1[答案] D[解析] ∵两直线互相垂直，∴a ·(a ＋2)＝－1， ∴a 2＋2a ＋1＝0，∴a ＝－1.10．已知等腰直角三角形ABC 的斜边所在的直线是3x －y ＋2＝0，直角顶点是C (3，－2)，则两条直角边AC ，BC 的方程是( )A ．3x －y ＋5＝0，x ＋2y －7＝0B ．2x ＋y －4＝0，x －2y －7＝0C ．2x －y ＋4＝0,2x ＋y －7＝0D ．3x －2y －2＝0,2x －y ＋2＝0 [答案] B[解析] ∵两条直角边互相垂直，∴其斜率k 1，k 2应满足k 1k 2＝－1，排除A 、C 、D ，故选B.11．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.32B.23 C ．－32D ．－23[答案] D[解析] 设A (x 1,1)，B (x 2，y 2)．由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧1＋y 22＝－1，x 1＋x 22＝1.∴y 2＝－3.将y 2＝－3代入x －y －7＝0，得x 2＝4， ∴B (4，－3)．∴k ＝－3－－14－1＝－23.12．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4D ．以上都不对[答案] A[解析] k PA ＝－4，k PB ＝34，画图观察可知k ≥34或k ≤－4.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知点A (－1,2)，B (－4,6)，则|AB |等于________． [答案] 5 [解析] |AB |＝－1＋42＋2－62＝5.14．与直线7x ＋24y ＝5平行，并且距离等于3的直线方程是________． [答案] 7x ＋24y ＋70＝0或7x ＋24y －80＝0 [解析] 设所求直线为7x ＋24y ＋m ＝0.把直线7x ＋24y ＝5整理为一般式得7x ＋24y －5＝0. 由两平行直线间的距离公式得：|m ＋5|72＋242＝3，解得m ＝70或－80，故所求直线方程为7x ＋24y ＋70＝0或7x ＋24y －80＝0.15．若直线l 经过点P (2,3)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为________或________．[答案] x ＋y －5＝0 x －y ＋1＝0 [解析] 设直线l 的方程为x a ＋yb＝1，则 ⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |，2a ＋3b＝1，解得a ＝5，b ＝5或a ＝－1，b ＝1，即直线l 的方程为x 5＋y 5＝1或x －1＋y1＝1，即x ＋y －5＝0或x －y ＋1＝0.16．(2009·高考全国卷Ⅰ)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°，其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)[答案] ①⑤[解析] 两平行线间的距离为d ＝|3－1|1＋1＝2，由图知直线m 与l 1的夹角为30°，l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.[点评] 本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．是高考在直线知识命题中不多见的较为复杂的题目，但是只要基础扎实、方法灵活、思想深刻，这一问题还是不难解决的．所以在学习中知识是基础、方法是骨架、思想是灵魂，只有以思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？(2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？[解析] (1)直线l 1的斜率k 1＝－1，直线l 2的斜率k 2＝a 2－2，因为l 1∥l 2，所以a 2－2＝－1且2a ≠2，解得：a ＝－1.所以当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行．(2)直线l 1的斜率k 1＝2a －1，l 2的斜率k 2＝4，因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.所以当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．18．(本小题满分12分)根据下列条件求直线方程：(1)已知直线过点P (－2,2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为1；(2)过两直线3x －2y ＋1＝0和x ＋3y ＋4＝0的交点，且垂直于直线x ＋3y ＋4＝0. [解析] (1)设所求直线的方程为x a ＋yb＝1. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＝112|ab |＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2故所求直线方程为x 2＋y ＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.(2)解法一：设所求直线方程为3x －2y ＋1＋λ(x ＋3y ＋4)＝0，即(3＋λ)x ＋(3λ－2)y ＋(1＋4λ)＝0.由所求直线垂直于直线x ＋3y ＋4＝0，得－13·(－3＋λ3λ－2)＝－1. 解得λ＝310.故所求直线方程是3x －y ＋2＝0. 解法二：设所求直线方程为3x －y ＋m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝0，x ＋3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即两已知直线的交点为(－1，－1)．又3x －y ＋m ＝0过点(－1，－1)，故－3＋1＋m ＝0，m ＝2. 故所求直线方程为3x －y ＋2＝0.19．(本小题满分12分)直线l 过点(1,0)且被两条平行直线l 1：3x ＋y －6＝0和l 2：3x ＋y ＋3＝0所截得的线段长为91010，求直线l 的方程． [解析] 解法一：当直线l 与x 轴垂直时，方程为x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋y －6＝0，得l 与l 1的交点为(1,3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋y ＋3＝0，得l 与l 2的交点为(1，－6)，此时两交点间的距离d ＝|－6－3|＝9≠91010.∴直线l 与x 轴不垂直．设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠－3)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，3x ＋y －6＝0，得l 与l 1交点的坐标为(k ＋6k ＋3，3kk ＋3)，同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，3x ＋y ＋3＝0，得l 与l 2的交点坐标为(k －3k ＋3，－6kk ＋3)，由题意及两点间距离公式得91010＝k －3k ＋3－k ＋6k ＋32＋－6k k ＋3－3kk ＋32，即9k 2－6k ＋1＝0，∴k ＝13，∴直线l 的方程为y ＝13(x －1)，即x －3y －1＝0.解法二：由两平行线间的距离公式可得l 1与l 2间的距离d ＝|－6－3|32＋12＝91010，而l 被l 1，l 2截得的线段长恰为91010， ∴l 与l 1垂直，由l 1的斜率k 1＝－3知，l 的斜率k ＝13，∴l 的方程为y ＝13(x －1)，即x －3y －1＝0.20．(本小题满分12分)当m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1. (1)倾斜角为45°； (2)在x 轴上的截距为1.[解析] (1)倾斜角为45°，则斜率为1. ∴－2m 2＋m －3m 2－m ＝1，解得m ＝－1，m ＝1(舍去)直线方程为2x －2y －5＝0符合题意，∴m ＝－1 (2)当y ＝0时，x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，解得m ＝－12，或m ＝2，当m ＝－12，m ＝2时都符合题意，∴m ＝－12或2.21．(本小题满分12分)已知△ABC 的三个顶点A (4，－6)，B (－4,0)，C (－1,4)，求 (1)AC 边上的高BD 所在直线方程； (2)BC 边的垂直平分线EF 所在直线方程； (3)AB 边的中线的方程． [解析] (1)直线AC 的斜率k AC ＝－6－44－－1＝－2，∴直线BD 的斜率k BD ＝12，∴直线BD 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x －2y ＋4＝0(2)直线BC 的斜率k BC ＝4－0－1－－4＝43，∴EF 的斜率k EF ＝－34，线段BC 的中点坐标为(－52，2)，∴EF 的方程为y －2＝－34(x ＋52)，即6x ＋8y －1＝0. (3)AB 的中点M (0，－3)，∴直线CM 的方程为：y ＋34＋3＝x－1，即：7x ＋y ＋3＝0(－1≤x ≤0)．22．(本小题满分12分)有定点P (6,4)及定直线l ：y ＝4x ，点Q 是l 上在第一象限内的点，PQ 交x 轴的正半轴于点M ，问点Q 在什么位置时，△OMQ 的面积最小，并求出最小值．[解析] 如图，由点Q 在直线y ＝4x 上，设点Q (x 0,4x 0)，且x 0＞0.需求直线PQ 与x 轴的交点M 的横坐标，因为S △OQM ＝12·|OM |·4x 0＝f (x 0)是x 0的函数，利用函数求最小值的方法求得面积的最小值及点Q 的坐标．设点Q (x 0,4x 0)(x 0＞0且x 0≠6)， ∴直线PQ 的方程为y －4＝4x 0－4x 0－6(x －6)．令y ＝0得x ＝5x 0x 0－1，∴点M 的坐标为(5x 0x 0－1，0)．设△OMQ 的面积为S ，则S ＝12|OM |·4x 0＝10x 2x 0－1，即10x 20－Sx 0＋S ＝0.∵x 0∈R ，∴关于x 0的一元二次方程有实根． ∴Δ＝S 2－40S ≥0，即S ≥40. 当S ＝40时，x 0＝2,4x 0＝8， ∴点Q 的坐标为(2,8)．而当x 0＝6时，点Q 的坐标为(6,24)，此时S ＝12×6×24＝72＞40，不符合要求．故当点Q 的坐标为(2,8)时，△OMQ 的面积最小，且最小值为40.。

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第三章直线与方程章末检测一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l经过原点和(1，−1)，则它的倾斜角是A．45°B．135°C．45°或135° D．−45°2．当0<k <12时，直线l 1:kx－y=k－1与直线l2:ky －x=2k的交点在A ．第－象限B ．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若直线ax＋2y ＋1=0与直线x＋y−2=0互相平行，则a等于A．2 B．2 3 -C．13-D．14．直线过点且与直线垂直，则的方程是A．B．C．D．5．直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是A．x-2y+3=0 B．x-2y-3=0C．x+2y+1=0 D．x+2y-1=06．若P、Q分别为直线与直线上任意一点，则的最小值为A．95B．52C．3 D．67．已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且它在轴上的截距为1，则A．，B．，C．，D．，8．直线，当变动时，所有直线都通过定点A．B．C ．D ．9．设A ，B 为x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且PA PB =,若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程为A ．270x y +-=B ．210x y --=C ．240x y -+=D ．50x y +-=10．经过点M (1,5)和N (-2,9)分别作两条平行直线,使它们之间的距离等于5,则满足条件的直线共有A ．0组B ．1组C ．2组D ．3组11．已知直线l 1:ax-y+b =0,l 2:bx-y-a =0,则它们的图像可能为A B C D12．在平面直角坐标系中，ABCD Y 的对角线所在的直线相交于()0,1，若边AB 所在直线的方程为220x y --=，则边AB 的对边CD 所在直线的方程为A ．240x y --=B ．260x y -+=C ．260x y --=D ．2+40x y -=二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．已知点P (3，m )在过M (2，−1)，N (−3，4)的直线上，则m =________. 14．过点P (1,2)且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为________．15．已知A (2,1)，B (1,2)，若直线y =ax 与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是________． 16．直线被两平行线与所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°．其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．直线y =2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线,若A ,B 两点的坐标分别为A (-4, 2),B (3, 1),求点C 的坐标.18．已知两条直线()12:1210,:30l a x y l x ay -++=++=．（1）若12∥l l ，求实数a 的值；（2）若21l l ⊥，求实数a 的值.19．已知(32)，P ，一直线l 过点P . （1）若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的方程；（2）若直线l 与x y 、轴的正半轴交于A B 、两点，当△OAB 的面积为12时，求直线l 的方程．20．已知两直线12:240,:4350.l x y l x y -+=++=（1）求直线1l 与2l 的交点P 的坐标；（2）若直线260ax y +-=与1l 、2l 可组成三角形，求实数a 满足的条件；（3）设()1,2A --，若直线l 过点P ，且点A 到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程.21．（1）已知点A (-1,-2),B (1,3),P 为x 轴上的一点,求|PA|+|PB|的最小值;（2）已知点A (2,2),B (3,4),P 为x 轴上一点,求||PB|-|PA||的最大值.22．某小区内有一块荒地，今欲在该荒地上划出一长方形地块(不改变方位)，进行开发(如图所示)．问：如何设计才能使开发的面积最大？最大面积是多少？(已知，，，)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BBACABACDBDB1．【答案】B【解析】∵tan 1k α==-，又0°≤α<180°，∴α=135°. 2．【答案】B【解析】解方程组12kx y k ky x k -=-⎧⎨-=⎩得两直线的交点坐标为21,11k k k k -⎛⎫⎪--⎝⎭, 因为,所以210,011k k k k -<>--,则交点在第二象限.4．【答案】C【解析】∵直线2x −3y +4=0的斜率为23，由垂直可得所求直线的斜率为32-，∴所求直线的方程为y −2=(x +1)，化为一般式可得3x +2y −1=0.故选C.5．【答案】A【解析】因为直线20x y -+=的斜率为1,所以所求直线上任意一点P (x ,y )关于直线x-y+2=0的对称点为(y-2,x+2),将其代入直线230x y -+=,得2(y-2)-(x+2)+3=0,整理得x-2y+3=0.故选A. 6．【答案】B【解析】Q 直线34100x y +-=与直线6850x y ++=平行，∴两直线上任意两点之间距离的最小值即为两平行线之间的距离. 直线34100x y +-=可化为68200x y +-=，∴两平行线之间的距离为()2252025510268d --===+.故选B. 7．【答案】A 【解析】因为直线的斜率为，倾斜角为60°，所以直线的倾斜角为120°．所以tan1203a b -=︒=-，所以3a b =11b =，所以，，故选A ．8．【答案】C【解析】直线13kx y k -+=变形为y ＝(3)1-+k x ，即y -1＝k (x -3),故可知无论k 取何值，直线都过定点(3,1)，选C.11．【答案】D【解析】由直线12:0,:0l ax y b l bx y a -+=--=,可得直线l 1:y =ax+b ,l 2:y =bx-a . 分类讨论:a >0,b >0;a <0,b >0;a >0,b <0;a <0,b <0.根据斜率和截距的意义可知D 正确. 12．【答案】B【解析】直线220x y --=与y 轴的交点()0,1-关于点()0,1的对称点为()0,3，设直线CD 的方程为20(2)x y m m -+=≠-，则直线CD 过()0,3，解得6m =，所以边CD 所在直线的方程为260x y -+=，故选B.13．【答案】−2 【解析】由题意可得143233m m +-=-+，∴m =−2. 14．【答案】2x −y =0或x −y ＋1=0【解析】当直线过原点时，可得直线方程为2y x =；当直线不过原点时，可设直线方程为x −y =a .将(1,2)代入上式，得a =−1，故直线方程为x −y ＋1=0. 综上，所求直线方程为2x −y =0或x −y ＋1=0. 15．【答案】1[,2]2【解析】如图，直线y =ax 的斜率为a 且经过原点O .∵直线y =ax 与线段AB 相交，∴实数a 的最小值为OA 的斜率，最大值为OB 的斜率，又OA的斜率为12，OB 的斜率为2，∴实数a 的取值范围是1[,2]2.17．【解析】把A ,B 两点的坐标分别代入y =2x 知,点A ,B 不在直线y =2x 上,因此y =2x 为∠C 的平分线所在的直线.设点A (-4, 2)关于y =2x 的对称点为A '(a , b ),则'24AA b k a -=+,线段AA '的中点坐标为(,),则221424222b a b a -⎧⋅=-⎪⎪+⎨+-⎪=⋅⎪⎩,解得,即A '(4,-2).∵y =2x 是∠C 的平分线所在的直线,∴A '在直线BC 上,∴直线BC 的方程为241234y x +-=+-,即3x +y -10=0. 由23100y xx y =⎧⎨+-=⎩,解得,∴C 点坐标为(2,4).19．【解析】（1）若l 与坐标轴平行或过原点，不合题意，所以可设l 的方程为1x ya b+=，则1243281a b a b a b ⎧⎪⎨+==⎧⇒⎨=⎪⎩+=⎩或93a b ==⎧⎨⎩，则直线l 的方程为148x y +=或193x y +=，化为280x y +-=或390x y +-=.（2）设l 的方程为1x y m n +=,11262,0,03241mn m m n n m n ⎧⎪⎪⎨⎪⎪==⎧⇒>=⎩⎩>⎨+=l 的方程为164x y +=，即23120x y +-=.20．【解析】（1）由240243501x y x x y y -+==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩， 12,l l ∴的交点为P ()2,1-.（2）（i ）当直线260ax y +-=过1l 与2l 的交点P 时，不能构成三角形，()221602a a ∴⋅-+⨯-≠⇒≠-；（ii ）当直线260ax y +-=分别与1l 、2l 平行时，不能构成三角形， 81,3a a ∴≠-≠且. 综上，82,1,3a a a ≠-≠-≠且且.21．【解析】（1）由题设知,点A 在第三象限,点B 在第一象限,连接PA ,PB ,则||PA PB AB +≥.所以当P 为直线AB 与x 轴的交点时,|PA|+|PB|取得最小值，为|AB|,而|AB|=,故PA PB +的最小值为.（2）由题设知,A ,B 两点同处x 轴上方,对于x 轴上任意一点P ,当P ,A ,B 不共线时,在△ABP 中,||PB|-|PA||<|AB|,而|AB|=22(23)(24)5-+-=,∴||PB|-|PA||<.当P 为直线AB 与x 轴的交点,即P ,A ,B 共线时,||PB|-|PA||=|AB|=5, ∴||PB|-|PA||的最大值为5. 22．【解析】以边所在直线为轴，边所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，由已知可得，．∴边所在直线的方程为19060x y+=，即．显然当长方形地块有一个顶点在线段上时，长方形地块的面积最大．设线段上一点2,603P x x ⎛⎫-⎪⎝⎭为长方形地块的顶点，其中，故所开发部分的面积为()()2222230024060205400015333S x x x x x ⎛⎫=--+=-++=--+ ⎪⎝⎭ ．∴当，26015503y =-⨯=时，取得最大值，．因此当点距直线15，距直线50时，所开发的面积最大，最大面积为54150．。

人教A版高中数学必修二第三章《直线与方程》检测题含答案.docx

第三章《直线与方程》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1. 不论刃为何值，直线(m —\)x+ (2/7?—l)y=/77—5恒过定点()( \\ A. 1,—— B. (-2,0) C. (2,3) D. (9, -4) I 2丿 '2.x — y — 3 S 02. 已知不等式组x + y-3>0表示的平面区域为M,若以原点为圆心的圆0与M 无公x — 2y + 3 n 0共点，则圆。

的半径的取值范围为()A. (0,—)B. (3匹,+8)C. (0,VK)U(3^,+8)D. (0,—)U(3V2,+oo) 3. 若直线厶：x+ay+6=0与厶：U-2)%+3y+2a=0平行,则厶与厶之间的距离为 ()A. V2B.吨C. V3D.出3 84. 若点A (l,l)关于直线y = kx + b 的对称点是3(-3,3),则直线y = kx + b 在y 轴上的截距是( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知直线/I ：x-y-l=0,动直线?2：(k + l)x +炒+ k = 0(kw/?)，则下列结论够误的是( )A.存在k, I 、使得厶的倾斜角为90。

B.对任意的k, I 、与厶都有公共点C.对任意的4人与厶都不重合D.对任意的人与厶都不垂皐 3(-3,-2),直线1过点且与线段AB 相交，则1的斜率k 的取值范围( A. k> — ^ik<-4 43 C. — 一 <^<4 D.4 7.图中的直线/,,/2,/3的斜率分别是，则有( )B. k y <k }< k 2C. k 3<k 2< k 、D. k 2<k y < k 、6.设点 A (2,—3),)B. -4<k<-4 以上都不对A. ky<k 2< k 3TV TV 27V 5 7TA. 3 B . 6 c. 3 D . 69. 直线3x + y-4 = 0的斜率和在y 轴上的截距分别是（）A. 一3,4B. 3,-4C. -3,-4D. 3,410. 过点（一2, 1）,且平行于向量v=（2, 1）的直线方程为（）A. % — 2y + 4 = 0B. % 4- 2y — 4 = 0C. % — 2y — 4 = 0D. % + 2y + 4 =11・过点水3, 3）且垂直于直线4x + 2y - 7 = 0的直线方程为A. y = -x + 2B. y = —2x + 7 C ・ y = -x + - D. y = -x - 丿 2 J 丿 22 丿 2212. 在平面直角坐标系中，己知A （l,-2）, B （3,0）,那么线段A3中点的坐标为（）. A.（2,-1） B.（2,1） C.（4,-2） D. （-1,2）二、填空题13. 已知G,b,c 为直角三角形的三边长，C 为斜边长，若点在直线Z ：Q + by + 2c = 0上，则加2 +/?2的最小值为 __________ ・14. me R ,动直线 l }\x + my -1 =（）过定点动直线 /2: nix - y- 2m + A /3 = 0 定点3,若直线1与人相交于点P (异于点A,B),则\PAB 周长的最大值为15. ______________________________________________________________ 过点(2, —3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 ________________________ 16. 定义点POoJo)到直线上似+ By + C = 0(护+ B 2^ 0)的有向距离为d =已知点Pi ，P2到直线2的有向距离分别是心,〃2,给出以下命题: ① 若di — d.2 - ② 若心+ d = =0,则直线P1P2与直线2平行；=0,则直线EE 与直线/平行；③若心+ 〃2 = 0,则直线RE 与直线2垂直；④若didzVO,则直线ED 与直线2相交; 其中正确命题的序号是 ___________________ •三、解答题17. 求符合下列条件的直线方程：(1) 过点P(3,—2),且与直线4% 4- y - 2 = 0平行;(2) 过点P(3,—2),且与直线4% 4- y - 2 = 0垂直;(3) 过点P(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等.18.己知ZMBC的三个顶点坐标分别为＞1(-4,-2), B(4,2), C(1 , 3).(1)求边上的高所在直线的一般式方程；(2)求边4B上的中线所在直线的一般式方程.19.已知直线/ :3x + 2y-2 + 22x + 4y + 22 = 0(1)求证：直线1过定点。

高中数学章末综合测评3 直线与方程(含解析)新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题

章末综合测评(三) 直线与方程(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x －y ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°A [因为直线的斜率为1，所以tan α＝1，即倾斜角为45°.故选A.]2．经过点(－1，1)，斜率是直线y ＝22x －2的斜率的2倍的直线方程是( ) A ．x ＝－1B ．y ＝1C ．y －1＝2(x ＋1)D ．y －1＝22(x ＋1) C [直线y ＝22x －2的斜率为22，由题意可知所求直线的斜率为2，直线方程为y －1＝2(x ＋1)，故选C.]3．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：mx ＋4y ＋2＝0互相平行，则实数m 的值为( )A ．－2B ．2C ．±2D ．2或4 C [由l 1∥l 2得m 2－4＝0.解得m ＝±2.经验证均符合题意，故选C.]4．直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)，则m ＋n 的值为( )A ．12B ．10C ．－8D ．－6B [将点(2，－1)代入3x ＋my －1＝0可求得m ＝5，将点(2，－1)代入4x ＋3y －n ＝0，得n ＝5，所以m ＋n ＝10，故选B.]5．已知直线mx ＋ny ＋1＝0平行于直线4x ＋3y ＋5＝0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n 的值分别为( )A ．4和3B ．－4和3C ．－4和－3D ．4和－3C [由题意知：－m n ＝－43，即3m ＝4n ，且有－1n ＝13，∴n ＝－3，m ＝－4.] 6．已知等边△ABC 的两个顶点A (0，0)，B (4，0)，且第三个顶点在第四象限，则BC 边所在的直线方程是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－3(x －4)C ．y ＝3(x －4)D ．y ＝3(x ＋4)C [由题意知∠A ＝∠B ＝60°，故直线BC 的倾斜角为60°，∴k BC ＝tan 60°＝3，则BC 边所在的直线方程为y ＝3(x －4).]7．已知点A (1，－2)，B (m ，2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1C [由已知条件可知线段AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m ＝3.]8．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点( )A ．(0，0)B ．⎝⎛⎭⎫17，27C ．⎝⎛⎭⎫27，17D ．⎝⎛⎭⎫17，114 C [直线方程变形为k (3x ＋y －1)＋(2y －x )＝0，则直线通过定点⎝⎛⎭⎫27，17. ]9．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝0A [由已知得A (－1，0)，P (2，3)，由|P A |＝|PB |，得B (5，0)，由两点式得直线PB 的方程为x ＋y －5＝0.]10．点P (a ，b )关于l ：x ＋y ＋1＝0对称的点仍在l 上，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．0A [∵点P (a ，b )关于l ：x ＋y ＋1＝0对称的点仍在l 上，∴点P (a ，b )在直线l 上，∴a ＋b ＋1＝0，即a ＋b ＝－1.]11．已知点A (1，1)，B (3，5)到经过点(2，1)的直线l 的距离相等，则l 的方程为( )A ．2x －y －3＝0B ．x ＝2C ．2x －y －3＝0或x ＝2D ．以上都不对C [当A ，B 都在l 的同侧时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)，此时，AB ∥l ，所以k ＝k AB ＝5－13－1＝2，l 的方程为2x －y －3＝0. 当A ，B 在l 的两侧时，A ，B 到x ＝2的距离相等，因此，l 的方程为x ＝2，故选C.]12．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A ，C 的坐标分别为(0，4)，(3，3)，则点B 的坐标可能是( )A ．(2，0)或(4，6)B ．(2，0)或(6，4)C ．(4，6)D ．(0，2)A [设B (x ，y )，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |，即⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0·y －3x －3＝－1，（x －3）2＋（y －3）2＝（0－3）2＋（4－3）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝6，所以B (2，0)或B (4，6).] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若过点P (1－a ，1＋a )与点Q (3，2a )的直线的倾斜角是钝角，则实数a 的取值X 围是________．(－2，1)[k ＝2a －（1＋a ）3－（1－a ）＝a －1a ＋2＜0，得－2＜a ＜1. ] 14．若点A (4，－1)在直线l 1：ax －y ＋1＝0上，则l 1与l 2：2x －y －3＝0的位置关系是________．l 1⊥l 2[将A (4，－1)点的坐标代入ax －y ＋1＝0，得a ＝－12，则kl 1·kl 2＝－12×2＝－1，∴l 1⊥l 2.] 15．已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则a 2＋b 2的最小值为________．3[a 2＋b 2的最小值为原点到直线3x ＋4y ＝15的距离：d ＝|0＋0－15|32＋42＝3.] 16．若直线l 被直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0截得的线段长为22，则直线l 的倾斜角θ(0°≤θ<90°)的值为________．15°或75°[易求得平行线l 1，l 2之间的距离为|1－3|2＝ 2. 画示意图(图略)可知，要使直线l 被l 1，l 2截得的线段长为22，必须使直线l 与直线l 1，l 2成30°的夹角.∵直线l 1，l 2的倾斜角为45°，∴直线l 的倾斜角为45°－30°＝15°或45°＋30°＝75°.]三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 经过点P (－2，5)且斜率为－34. (1)求直线l 的方程；(2)若直线m 平行于直线l ，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．[解] (1)直线l 的方程为：y －5＝－34(x ＋2)，整理得3x ＋4y －14＝0. (2)设直线m 的方程为3x ＋4y ＋n ＝0，d ＝|3×（－2）＋4×5＋n |32＋42＝3，解得n ＝1或－29.∴直线m 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.18．(本小题满分12分)直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P (4，3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．[解] 若l 在两坐标轴上截距为0，设l ：y ＝kx ，即kx －y ＝0，则|4k －3|1＋k 2＝3 2.解得k ＝－6±3214. 此时l 的方程为y ＝⎝⎛⎭⎫－6±3214x ；若l 在两坐标轴上截距不为0，设l ：x a ＋y a ＝1，即x ＋y －a ＝0，则|4＋3－a |12＋12＝3 2. 解得a ＝1或13.此时l 的方程为x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.综上，直线l 的方程为y ＝⎝⎛⎭⎫－6±3214x 或x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0. 19．(本小题满分12分)已知点A (0，3)，B (－1，0)，C (3，0)，试求点D 坐标使四边形ABCD 为等腰梯形．[解] 设所求D 点坐标为(x ，y )，(1)若AD ∥BC ，|AB |＝|CD |，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，（0＋1）2＋（3－0）2＝（x －3）2＋y 2．解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3.(不合题意，舍去) (2)若AB ∥CD ，|BC |＝|AD |，则⎩⎪⎨⎪⎧y －0x －3＝3－00＋1，（－1－3）2＋02＝x 2＋（y －3）2．解得⎩⎨⎧x ＝165，y ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3.(不合题意，舍去) 综上，得点D 的坐标为(2，3)或⎝⎛⎭⎫165，35.20．(本小题满分12分)已知直线l 过点P (0，1)，且分别与直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0交于B ，A 两点，线段AB 恰被点P 平分．(1)求直线l 的方程；(2)设点D (0，m )，且AD ∥l 1，求△ABD 的面积．[解] (1)∵点B 在直线l 1上，∴可设B (a ，8－2a ).又P (0，1)是AB 的中点，∴A (－a ，2a －6).∵点A 在直线l 2上，∴－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即B (4，0).故直线l 的方程是x ＋4y －4＝0.(2)由(1)，知A (－4，2).又AD ∥l 1，∴k AD ＝2－m －4－0＝－2，∴m ＝－6. 点A 到直线l 1的距离d ＝|2×（－4）＋2－8|22＋12＝1455， |AD |＝（－4－0）2＋（2＋6）2＝45，∴S △ABD ＝12|AD |·d ＝12×45×1455＝28. 21．(本小题满分12分)已知一束光线经过直线l 1：3x －y ＋7＝0和l 2：2x ＋y ＋3＝0的交点M ，且射到x 轴上一点N (1，0)后被x 轴反射．(1)求点M 关于x 轴的对称点P 的坐标；(2)求反射光线所在的直线l 3的方程；(3)求与直线l 3的距离为10的直线方程．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋7＝0，2x ＋y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1， ∴M (－2，1).∴点M 关于x 轴的对称点P 的坐标为(－2，－1).(2)易知l 3经过点P 与点N ，∴l 3的方程为y －0－1－0＝x －1－2－1，即x －3y －1＝0. (3)设与l 3平行的直线为y ＝13x ＋b . 根据两平行线之间的距离公式，得⎪⎪⎪⎪b ＋131＋19＝10，解得b ＝3或b ＝－113， ∴与直线l 3的距离为10的直线方程为y ＝13x －113或y ＝13x ＋3，即x －3y －11＝0或x －3y ＋9＝0.22．(本小题满分12分)△ABC 中，A (0，1)，AB 边上的高CD 所在直线的方程为x ＋2y －4＝0，AC 边上的中线BE 所在直线的方程为2x ＋y －3＝0.(1)求直线AB 的方程；(2)求直线BC 的方程；(3)求△BDE 的面积．[解] (1)由已知得直线AB 的斜率为2，∴AB 边所在的直线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.即直线AB 与直线BE 的交点为B ⎝⎛⎭⎫12，2.设C (m ，n )，则由已知条件得⎩⎨⎧m ＋2n －4＝0，2·m 2＋n ＋12－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，∴C (2，1).∴BC 边所在直线的方程为y －12－1＝x －212－2，即2x ＋3y －7＝0.(3)∵E 是线段AC 的中点，∴E (1，1). ∴|BE |＝⎝⎛⎭⎫12－12＋（2－1）2＝52，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x ＋2y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝95，∴D ⎝⎛⎭⎫25，95， ∴D 到BE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪2×25＋95－322＋12＝255，∴S △BDE ＝12·d ·|BE |＝110.。

高中数学第三章直线与方程章末质量检测含解析新人教A版必修20904171

高中数学第三章直线与方程章末质量检测含解析新人教A版必修20904171一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．经过A (2,0)，B (5,3)两点的直线的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．90° D ．60°解析：∵A (2,0)，B (5,3)，∴直线AB 的斜率k ＝3－05－2＝1.设直线AB 的倾斜角为θ(0°≤θ<180°)，则tan θ＝1，∴θ＝45°.故选A. 答案：A2．经过点A (2，－1)，B (－4,5)的直线的一般式方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x ＋y －1＝0解析：因为直线过A (2，－1)，B (－4,5)，所以由直线方程的两点式得直线方程为y －－15－－1＝x －2－4－2，化为一般式得x ＋y －1＝0. 答案：D3．直线－x 2＋y3＝－1在x 轴，y 轴上的截距分别为( )A ．2,3B ．－2,3C ．－2，－3D ．2，－3解析：由－x 2＋y 3＝－1得x 2＋y－3＝1，则在x 轴，y 轴上的截距分别为2，－3.答案：D4．已知两点A (－2,0)，B (0,4)，则线段AB 的垂直平分线的方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x －y ＋4＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．x －2y ＋5＝0解析：k AB ＝4－00－－2＝2，AB 的中点为(－1,2)，∴所求直线方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0.答案：C5．已知三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0交于一点，则坐标(m ，n )可能是( )A ．(1，－3)B ．(3，－1)C ．(－3,1)D ．(－1,3)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.由三条直线相交于一点，可知m ×1＋n ×2＋5＝0即m ＋2n ＋5＝0，结合选项可知A 项正确．答案：A6．两平行直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋4y ＋1＝0之间的距离是( ) A ．4 B.21313C.51323 D.71326解析：6x ＋4y ＋1＝0可化为3x ＋2y ＋12＝0，则由两条平行直线间的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－－332＋22＝71326.答案：D7．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( ) A ．(3,0) B ．(－3,0) C ．(0，－3) D ．(0,3)解析：因为l 1∥l 2，且l 1的斜率为2，所以l 2的斜率为2. 又l 2过点(－1,1)，所以l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理即得：y ＝2x ＋3，令x ＝0，得y ＝3，所以P 点坐标为(0,3)．答案：D8．已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行，则a 的值是( ) A ．－3 B ．2 C ．－3或2 D ．3或－2解析：由直线l 1与l 2平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧a a ＋1＝2×3，a ×1≠2，解得a ＝－3.答案：A9．等腰Rt△ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A 的坐标为(0,4)，则点B 的坐标可能是( )A ．(2,0)或(4,6)B ．(2,0)或(6,4)C ．(4,6)D ．(0,2)解析：设B 点坐标为(x ，y )，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |，即⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0·y －3x －3＝－1，x －32＋y －32＝0－32＋4－32，整理可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，故B (2,0)或B (4,6)．答案：A10．直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5,1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0得交点坐标为(2,2)，当直线l 的斜率不存在时，易知不满足题意． ∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0， ∵点(5,1)到直线l 的距离为10， ∴|5k －1＋2－2k |k 2＋－12＝10，解得k ＝3.∴直线l 的方程为3x －y －4＝0. 答案：C11．若直线ax ＋2y ＝0和2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为( ) A ．－12 B.12C ．0D ．－2解析：由2a ＋2(a ＋1)＝0解得a ＝－12.答案：A12．如图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( )解析：假定y ＝ax 与y ＝x ＋a 中的一条直线的图象正确，验证另一条是否合适．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．直线l 经过点P (3,2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，则直线l 的方程为__________________．解析：方法一设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，则有3a ＋2b ＝1，且12ab ＝12.解得a ＝6，b ＝4.所以所求直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.方法二设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，令x ＝0，得y ＝2－3k ；令y ＝0，得x ＝3－2k.所以S △OAB ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12，解得k ＝－23. 故所求直线方程为y －2＝－23(x －3)，即2x ＋3y －12＝0.答案：2x ＋3y －12＝014．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为________．解析：因为l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，所以可设l 1的方程为x ＋y ＋b ＝0(b ≠－1)．又因为l 1与l 2的距离是2，所以|b ＋1|12＋12＝2，解得b ＝1或b ＝－3，即l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝015．设直线l 经过点A (－1,1)，则当点B (2，－1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为______________．解析：设点B (2，－1)到直线l 的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值，此时直线l 垂直于直线AB ，k l ＝－1k AB ＝32， ∴直线l 的方程为y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0.答案：3x －2y ＋5＝016．已知点A (2,1)，B (－2,2)，若直线l 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－15且总与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是________________．解析：如图所示，当直线l 由位置PA 绕点P 转动到位置PB 时，l 的斜率逐渐变大，当直线l 垂直于x 轴时，l 无斜率，再转动时斜率为负值并逐渐变大直到等于PB 的斜率，所以直线l 的斜率k ≥k PA ＝37或k ≤k PB ＝－116，即k ≥37或k ≤－116.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－116∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫37，＋∞三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (4,1)，B (0,3)，C (2,4)，边AC 的中点为D ，求AC 边上中线BD 所在的直线方程并化为一般式．解析：因为A (4,1)，C (2,4)，所以AC 边的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52，又B (0,3)，由直线两点式，得中线BD 所在的直线方程为x －30－3＝y －523－52，即x ＋6y －18＝0.18．(12分)求经过直线l 1：2x ＋3y －5＝0，l 2：3x －2y －3＝0的交点且平行于直线2x＋y －3＝0的直线方程．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，3x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1913，y ＝913，由平行于2x ＋y －3＝0，可得直线的斜率为－2， ∴直线方程为y －913＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1913，即26x ＋13y －47＝0.19．(12分)过点M (2,1)作直线l ，分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A ，B ，试求△ABO 的面积S 最小时直线l 的方程．解析：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， ∵点M (2,1)在直线l 上，∴2a ＋1b ＝1，即a ＋2b ＝ab ，∴b ＝aa －2， ∵a >0，b >0，∴a >2，∴△ABO 的面积S ＝12ab ＝12·a 2a －2＝12·a －22＋4a －2＋4a －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2＋4a －2＋4，又a >2，∴(a －2)＋4a －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2－2a －22＋4≥4，当且仅当a －2＝2a －2，即a ＝4，b ＝2时等号成立，∴当a ＝4，b ＝2时，S min ＝4，∴直线l 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0. 20．(12分)求直线l 1：x －y －2＝0关于直线l ：3x －y ＋3＝0对称的直线l 2的方程．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，3x －y ＋3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－52，y ＝－92，∴l 1与l 相交，且交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－92，则此点也在直线l 2上．在l 1上取一点P (0，－2)，设它关于直线l 的对称点为Q (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋2x 0－0×3＝－1，3×x 02－y 0－22＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－1，∴点Q (－3，－1)，又点Q 在l 2上，∴直线l 2的方程为y ＋1－92＋1＝x ＋3－52＋3，即7x ＋y ＋22＝0.21．(12分)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使： (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解析：(1)由条件知m 2－8＋n ＝0，且2m －m －1＝0， ∴m ＝1，n ＝7.(2)由m ·m －8×2＝0，得m ＝±4.又8×(－1)－n ·m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2时，或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当m ·2＋8·m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8，即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.22．(12分)(1)已知直线方程为(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0，求证：不论m 为何实数，此直线必过定点；(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线的方程．解析：(1)证明：直线方程可写为m (x －2y －3)＋2x ＋y ＋4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －3＝0，2x ＋y ＋4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴点(－1，－2)适合方程(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0，因此，直线(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0过定点(－1，－2)．(2)设过点(－1，－2)所引的直线与x 轴、y 轴分别交于A (a,0)，B (0，b )点， ∵(－1，－2)是线段AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋02＝－1，0＋b 2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4，∴所求直线方程为x－2＋y－4＝1，即2x ＋y ＋4＝0.。

章末检测9：第三章　直线与方程

章末检测卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈α2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是()A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC4.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BD C．A1D D．A1D16.如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是()A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．如图所示，直线P A 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面P AC 的距离等于线段BC 的长，其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与A 1B 1平行9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( ) A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β10．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π611．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H .以下结论中，错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH⊥平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成的角为45°12．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α.其中正确命题的序号是________．14.如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)15．已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则①棱AB与PD所在直线垂直；②平面PBC与平面ABCD垂直；③△PCD的面积大于△P AB的面积；④直线AE与直线BF是异面直线．以上结论正确的是____________．(写出所有正确结论的编号)16.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若P A⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？18．(12分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.19.(12分)如图，在三棱锥P—ABC中，P A⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面P AC.(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．20.(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求三棱锥E－BCD的体积．21.(12分)如图所示，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：P A∥平面BDE；(2)求证：平面P AC⊥平面BDE；(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，AC＝22，P A＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．答案精析1．C[若直线l∩α＝A，显然有l⊄α，A∈l，但A∈α.]2．D[由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.] 3．D[由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.]4．D[∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．]5．B[易证BD⊥面CC1E，则BD⊥CE.]6.A[如图，连接B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，则B′D＝DC＝a，B′C＝AC＝2a，所以∠B′DC＝90°.]7．B[对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A，∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故①②③都正确．]8．D9.D10．B[如图所示，作PO⊥平面ABC，则O为△ABC的中心，连接AP，AO.S △ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.∴111ABC A B C V －＝S △ABC ×OP ＝334×OP ＝94， ∴OP ＝ 3. 又OA ＝32×3×23＝1， ∴tan ∠OAP ＝OPOA ＝3，又0<∠OAP <π2，∴∠OAP ＝π3.]11．D [因为AH ⊥平面A 1BD ，BD ⊂平面A 1BD ，所以BD ⊥AH .又BD ⊥AA 1，且AH ∩AA 1＝A . 所以BD ⊥平面AA 1H . 又A 1H ⊂平面AA 1H . 所以A 1H ⊥BD ，同理可证BH ⊥A 1D ，所以点H 是△A 1BD 的垂心，A 正确．因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，所以AH ⊥平面CB 1D 1，B 正确．易证AC 1⊥平面A 1BD .因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合．故C 正确．因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角．因为∠AA 1H ≠45°，所以∠A 1AH ≠45°，故D 错误．]12．B [A 错误．理由如下：过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，连接CE .若直线AC与直线BD垂直，则可得BD⊥平面ACE，于是BD⊥CE，而由矩形ABCD边长的关系可知BD与CE并不垂直．所以直线AC与直线BD不垂直．B正确．理由：翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上时，平面ABC⊥平面BCD，此时由CD⊥BC可证CD⊥平面ABC，于是有AB⊥CD.故B正确．C错误．理由如下：若直线AD与直线BC垂直，则由BC⊥CD可知BC⊥平面ACD，于是BC⊥AC，但是AB<BC，在△ABC中∠ACB不可能是直角．故直线AD与直线BC不垂直．由以上分析显然D错误．]13．④解析①中b可能在α内；②a与b可能异面或者垂直；③a可能与α内的直线异面或垂直．14．B1D1⊥A1C1(答案不唯一)解析由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1，还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形，正方形等条件．15．①③解析由条件可得AB⊥平面P AD，∴AB⊥PD，故①正确；若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，得PB⊥平面ABCD，从而P A∥PB，这是不可能的，故②错；S△PCD＝12CD·PD，S△P AB＝12AB·P A，由AB＝CD，PD>P A知③正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点，可得EF∥CD，又AB∥CD，∴EF∥AB，故AE与BF共面，④错．16．a>6解析由题意知：P A⊥DE，又PE⊥DE，P A∩PE＝P，∴DE⊥面P AE，∴DE⊥AE.易证△ABE∽△ECD.设BE＝x，则ABCE＝BECD，即3a－x＝x3.∴x 2－ax ＋9＝0，由Δ>0，解得a >6.17．解直线MN ∥平面A 1BC 1.证明如下：∵MD /∈平面A 1BC 1，ND /∈平面A 1BC 1. ∴MN ⊄平面A 1BC 1.如图，取A 1C 1的中点O 1，连接NO 1、BO 1.∵NO 1綊12D 1C 1，MB 綊12D 1C 1，∴NO 1綊MB .∴四边形NO 1BM 为平行四边形． ∴MN ∥BO 1.又∵BO 1⊂平面A 1BC 1， ∴MN ∥平面A 1BC 1.18．证明 (1)由AS ＝AB ，AF ⊥SB ，知F 为SB 中点，则EF ∥AB ， FG ∥BC ，又EF ∩FG ＝F ，因此平面EFG ∥平面ABC . (2)由平面SAB ⊥平面SBC ，且AF ⊥SB ，知AF ⊥平面SBC ，则AF ⊥BC . 又BC ⊥AB ，AF ∩AB ＝A ，则BC ⊥平面SAB ，又SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA . 19．(1)证明 ∵P A ⊥底面ABC ， ∴P A ⊥BC .又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC .又∵AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .(2)解 ∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面P AC ，∴DE ⊥平面P AC .又∵AE ⊂平面P AC ，PE ⊂平面P AC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE .∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角．∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ，∴∠P AC ＝90°.∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC .这时∠AEP ＝90°，故存在点E ，使得二面角A —DE —P 为直二面角．20．(1)证明如图，取BC 中点G ，连接AG ，EG .因为E 是B 1C 的中点，所以EG ∥BB 1，且EG ＝12BB 1. 由直棱柱知，AA 1綊BB 1，而D 是AA 1的中点，所以EG 綊AD ，所以四边形EGAD 是平行四边形．所以ED ∥AG .又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以DE ∥平面ABC .(2)解因为AD ∥EG ，所以AD ∥平面BCE ，所以V E －BCD ＝V D －BEC ＝V A －BCE ＝V E －ABC ，由(1)知，DE ∥平面ABC .所以V E －ABC ＝V D －ABC ＝13AD ·12BC ·AG ＝16×3×6×4＝12. 21.(1)证明连接OE ，如图所示．∵O 、E 分别为AC 、PC 的中点，∴OE ∥P A .∵OE ⊂平面BDE ，P A ⊄平面BDE ，∴P A ∥平面BDE .(2)证明 ∵PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥BD .在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥平面P AC .又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面P AC ⊥平面BDE .(3)解取OC 中点F ，连接EF .∵E 为PC 中点，∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO .又∵PO ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥BD .∵OF ⊥BD ，OF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFO ，∴OE ⊥BD .∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角，∴∠EOF ＝30°.在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ， ∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ， ∴OP ＝2EF ＝66a . ∴V P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3. 22．(1)证明因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC .又P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BD .又因为AC ∩P A ＝A ，所以BD ⊥平面P AC ，又因为PC ⊂平面P AC ，所以PC ⊥BD .如图，设AC ∩BD ＝F ，连接EF .因为AC ＝22，P A ＝2，PE ＝2EC ，故PC ＝23，EC ＝233，FC ＝2，从而PC FC ＝6，AC EC ＝ 6. 因为PC FC ＝AC EC，∠FCE ＝∠PCA ，所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠P AC ＝90°.由此知PC ⊥EF .因为PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED .(2)解在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面P AB ⊥平面PBC .又平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC .又P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BC .因为BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直，故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，PD ＝P A 2＋AD 2＝2 2.设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A 、D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝ 2. 设PD 与平面PBC 所成的角为α，则sin α＝d PD ＝12.所以PD与平面PBC所成的角为30°.。

章末检测3：第三章直线与方程

第三章章末复习课一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是 ( )A.12B.32C.22D.322解析：d ＝|1－（－1）＋1|12＋（－1）2＝32＝32 2. 答案：D2．斜率为2的直线经过点(3，5)，(a ，7)，(－1，b )三点，则a 、b 的值为 ( )．A ．a ＝4，b ＝0B ．a ＝－4，b ＝－3C ．a ＝4，b ＝－3D ．a ＝－4，b ＝3解析：由7－5a －3＝2，得a ＝4；由b －5－1－3＝2，得b ＝－3. 答案：C3．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是 ( )解析：当a >0时，A 、B 、C 、D 均不成立；当a <0时，只有C 成立．答案：C4．若直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A ．0°≤α≤90°B ．90°≤α<180°C ．90°<α<180°D ．0°≤α<180° 解析：根据倾斜角的定义，数形结合知C 正确．答案：C5．两平行直线5x ＋12y ＋3＝0与10x ＋24y ＋5＝0之间的距离是 ( )A.213B.113C.126D.526解析：5x ＋12y ＋3＝0可化为10x ＋24y ＋6＝0.由平行线间的距离公式可得d ＝|6－5|102＋242＝126. 答案：C6．若直线(a ＋2)x ＋(1－a )y ＝3与直线(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 等于 ( )A ．1B ．－1C ．±1D ．－2解析：由题知(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，得a ＝±1.答案：C7．直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变动时，所有直线都通过定点( )A ．(0，0)B ．(0，1)C ．(3，1)D ．(2，1)解析：由kx －y ＋1－3k ＝0，得k (x －3)－(y －1)＝0，∴x ＝3，y ＝1，即过定点(3，1)．答案：C8．若A (－4，2)，B (6，－4)，C (12，6)，D (2，12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥AD ；③|AC |＝|BD |；④AC ⊥BD 中，正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：k AB ＝－4－26－（－4）＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35； ∴AB ∥CD ；又k AD ＝12－22－（－4）＝53，由k AB ·k AD ＝－1，知AB ⊥AD ； |AC |＝[12－（－4）]2＋（6－2）2＝272，|BD |＝（6－2）2＋（－4－12）2＝272，∴|AC |＝|BD |；k AC ＝6－212－（－4）＝14，k BD ＝12－（－4）2－6＝－4， ∴AC ⊥BD .答案：D9．等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3，3)，若点A (0，4)，则点B 的坐标可能是 ( )A ．(2，0)或(4，6)B ．(2，0)或(6，4)C ．(4，6)D ．(0，2)解析：设B 点坐标为(x ，y )，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0×y －3x －3＝－1，（x －3）2＋（y －3）2＝（0－3）2＋（4－3）2，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6. 答案：A10．直线l 过点P (1，3)，且与x ，y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋3y －10＝0C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0解析：设直线方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝12，1a ＋3b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6. ∴x 2＋y 6＝1. 化为一般式为3x ＋y －6＝0.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11． a 、b 、c 是两两不等的实数，则经过P (b ，b ＋c )、C (a ，c ＋a )两点的直线的倾斜角为____________．解析：k ＝c ＋a －（b ＋c ）a －b ＝a －b a －b＝1， ∴直线的倾斜角为45°.答案：45°12．已知点(m ，3)到直线x ＋y －4＝0的距离等于2，则m 的值为________．解析：由点到直线的距离得|m ＋3－4|2＝ 2. 解得m ＝－1，或m ＝3.答案：－1或3 13．已知直线l 在y 轴上的截距是－3，它被两坐标轴截得的线段的长为5，则此直线的方程为________．解析：设直线在x 轴上的截距为a ，则a 2＋32＝5，解得a ＝4或－4，所求直线方程为3x －4y －12＝0或3x ＋4y ＋12＝0.答案：3x －4y －12＝0或3x ＋4y ＋12＝014．直线l 和两条直线l 1：x －3y ＋10＝0，及l 2：2x ＋y －8＝0都相交，且这两个交点所成的线段的中点是P (0，1)，则直线l 的方程是________．解析：设两交点坐标分别为A (3y 1－10，y 1)、B (x 2，－2x 2＋8)，∵AB 的中点是P (0，1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 1－10＝0，－2x 2＋y 1＋8＝2，解得y 1＝2，x 2＝4. ∴A ，B 两点坐标分别为A (－4，2)，B (4，0)．∴过A ，B 两点的直线方程是x ＋4y －4＝0.答案：x ＋4y －4＝0三、解答题(本大题共有4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－35，y ＝－75.又因为所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以所求直线为y ＋75＝－3(x ＋35)．化简得：3x ＋y ＋165＝0. 16．(本小题满分12分)已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，求BC 边所在的直线方程，以及该边上的高线方程．解：由两点式得BC 的方程为：y ＋32＋3＝x －30－3，即5x ＋3y －6＝0，由k BC ＝－53得BC 的高线方程l 的斜率k 1＝35，所以l ：y ＝35(x ＋5)，即所求直线方程为3x －5y ＋15＝0.17．(本小题满分12分)已知两直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2(1)相交；(2)平行；(3)重合？解：当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1与l 2平行；当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0，∴l 1与l 2相交．当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m 23m得m ＝3或m ＝－1. 由1m －2＝62m得m ＝3. 故(1)当m ≠－1，m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交；(2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1与l 2平行；(3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．18．(本小题满分14分)如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1)AD 边所在直线的方程；(2)DC 边所在直线的方程．解：(1)由题意：ABCD 为矩形，则AB ⊥AD ，又AB 边所在的直线方程为：x －3y －6＝0，∴AD 所在直线的斜率k AD ＝－3，而点T (－1，1)在直线AD 上．∴AD 边所在直线的方程为：3x ＋y ＋2＝0.(2)由ABCD 为矩形可得，AB ∥DC ，∴设直线CD的方程为x－3y＋m＝0.由矩形性质可知点M到AB、CD的距离相等∴|2－3×0－6|1＋（－3）2＝|2－3×0＋m|1＋（－3）2解得m＝2或m＝－6(舍)．∴DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.。

章末检测10：第三章　直线与方程

章末检测一、选择题1．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．5 D ．－52．过点P (4，－1)，且与直线3x －4y ＋6＝0垂直的直线方程是( ) A ．4x ＋3y －19＝0 B ．4x ＋3y －13＝0 C ．3x ＋4y －16＝0D ．3x ＋4y －8＝03．若三点A (4,3)，B (5，a )，C (6，b )共线，则下列结论正确的是( ) A ．2a －b ＝3 B ．b －a ＝1 C ．a ＝3，b ＝5D ．a －2b ＝34．若直线l 1与直线l 2：3x ＋2y －12＝0的交点在x 轴上，并且l 1⊥l 2，则l 1在y 轴上的截距是( )A ．－4B ．4C ．－83 D.835．已知直线mx ＋ny ＋1＝0平行于直线4x ＋3y ＋5＝0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n 的值分别为( ) A ．4和3 B ．－4和3 C ．－4和－3D ．4和－36．点P (4,0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点是( ) A ．(－6,8) B ．(－8，－6) C ．(6,8)D ．(－6，－8)7．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4D ．以上都不对8．已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有 ( ) A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0 D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0 9．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过的定点是( )A ．(2,3)B ．(－2,3) C.⎝⎛⎭⎫1，－12 D ．(－2,0) 10．已知点M (1,0)和N (－1,0)，直线2x ＋y ＝b 与线段MN 相交，则b 的取值范围为( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，12 D ．[0,2] 二、填空题11．已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________．12．若光线由点P (2,3)射到x 轴上，反射后过点Q (1,1)，则反射光线所在直线方程是________． 13．已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则a 2＋b 2的最小值为________．14．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．三、解答题15．直线l 经过两直线l 1：2x －y ＋4＝0与l 2：x －y ＋5＝0的交点，且与直线x －2y －6＝0垂直．(1)求直线l 的方程；(2)若点P (a,1)到直线l 的距离为5，求实数a 的值．16．如图所示，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当线段AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．17．已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点的距离为2的直线方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值；(3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．18．已知三条直线l1：mx－y＋m＝0，l2：x＋my－m(m＋1)＝0，l3：(m＋1)x－y＋(m＋1)＝0，它们围成△ABC.(1)求证：不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点；(2)当m取何值时，△ABC的面积取最值？并求出最值．答案精析1．D [因为倾斜角为135°，所以k ＝tan 135°＝－1.所以k AB ＝y ＋34－2＝－1，所以y ＝－5.]2．B [因为3x －4y ＋6＝0的斜率为34，所以与其垂直的直线的斜率为－43.故所求方程为y＋1＝－43(x －4)，即4x ＋3y －13＝0.]3．A [若A ，B ，C 三点共线，则k AB ＝k BC ，即a －35－4＝b －a6－5，即a －3＝b －a ，所以2a －b ＝3.]4．C [因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1.所以k 1＝23.设l 1的方程为y ＝23x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ＋b ，3x ＋2y －12＝0，得y ＝2413＋913b ＝0.所以b ＝－83，故选C.]5．C [由题意知：－m n ＝－43，即3m ＝4n ，且有－1n ＝13，∴n ＝－3，m ＝－4.]6．D [设点P (4,0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点为P 1(x 1，y 1)．由对称的概念，知PP 1的中点M ⎝⎛⎭⎫x 1＋42，y 12在对称轴5x ＋4y ＋21＝0上，且PP 1与对称轴垂直，则有⎩⎨⎧5·x 1＋42＋4·y 12＋21＝0，y 1x 1－4＝45.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－6，y 1＝－8.所以P 1(－6，－8)．故选D.]7．A [建立如图所示的直角坐标系．由图可得k ≥k PB 或k ≤k P A .∵k PB ＝34，k P A ＝－4，∴k ≥34或k ≤－4.]8．C [若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0.若∠B ＝π2，根据垂直关系可知a 2·a 3－b a ＝－1，所以a (a 3－b )＝－1，即b －a 3－1a＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件．]9．B [将直线方程变为：a (x ＋2)＋(－x －y ＋1)＝0，则直线恒过两直线x ＋2＝0与－x －y ＋1＝0的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，即直线过定点(－2,3)．]10．A [直线可化成y ＝－2x ＋b ，当直线过点M 时，可得b ＝2；当直线过点N 时，可得b ＝－2.所以要使直线与线段MN 相交，b 的取值范围为[－2,2]．] 11．－23解析设P (x,1)，则Q (2－x ，－3)，将Q 坐标代入x －y －7＝0得，2－x ＋3－7＝0. ∴x ＝－2，∴P (－2,1)，Q (4，－3)， ∴k l ＝－23.12．4x ＋y －5＝0解析点P (2,3)关于x 轴的对称点为P ′(2，－3)，则直线P ′Q 的方程为y ＋31＋3＝x －21－2，即反射光线所在直线方程为4x ＋y －5＝0. 13．3 解析a 2＋b 2的最小值为原点到直线3x ＋4y ＝15的距离，d ＝|0＋0－15|32＋42＝3.14．(2,4)解析设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M (2,4)．15．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4＝0，x －y ＋5＝0得交点为(1,6)，又直线l 垂直于直线x －2y －6＝0，所以直线l 的斜率为k ＝－2. 故直线l 的方程为y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.(2)由于P (a,1)到直线l 的距离等于5，则|2a ＋1－8|5＝5，解得a ＝1或a ＝6.16．解由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x .设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以线段AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．因为P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 17．解 (1)当斜率不存在时，方程x ＝2符合题意；当直线的斜率存在时，设为k ，则直线方程应为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由题意，得|2k ＋1|k 2＋1＝2.解得k ＝34. 所以直线方程为3x －4y －10＝0.所以适合题意的直线方程为x －2＝0或3x －4y －10＝0.(2)过点P ，且与原点的距离最大的直线应为过点P 且与OP 垂直的直线，易求其方程为2x －y －5＝0，且最大距离d ＝ 5.(3)由于原点到过点P (2，－1)的直线的最大距离为5，而3＞5，故不存在这样的直线． 18．(1)证明设直线l 1与直线l 3的交点为A .由⎩⎪⎨⎪⎧ mx －y ＋m ＝0，(m ＋1)x －y ＋(m ＋1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0， ∴点A 的坐标为(－1,0)，∴不论m 取何值，△ABC 中总有一个顶点A (－1,0)为定点．(2)解由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋my －m (m ＋1)＝0，(m ＋1)x －y ＋(m ＋1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝m ＋1，即l 2与l 3交点为B (0，m ＋1)．再由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋m ＝0，x ＋my －m (m ＋1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝mm 2＋1，y ＝m 3＋m 2＋mm 2＋1，即l 1与l 2交点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m m 2＋1，m 3＋m 2＋m m 2＋1.设边AB 上的高为h ，∴S △ABC ＝12|AB |·h ＝12·1＋(m ＋1)2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪m (m ＋1)m 2＋1－m 3＋m 2＋m m 2＋1＋m ＋1(m ＋1)2＋1＝12·|m 2＋m ＋1|m 2＋1＝12·m 2＋m ＋1m 2＋1＝12⎝⎛⎭⎫1＋m m 2＋1.当m ＝0时，S ＝12；当m ≠0时，S ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋1m ＋1m . ∵函数f (x )＝x ＋1x 的值域为[2，＋∞)∪(－x ，－2]．∴－12≤1m ＋1m ＜0或0＜1m ＋1m ≤12，∴14≤S ≤12或12＜S ≤34. 当m ＝1时，△ABC 的面积的最大值为34，当m ＝－1时，△ABC 的面积的最小值为14.。

数学第3章《直线与方程》单元测试

数学第3章《直线与方程》单元测试一、选择题（每小题1分，共20分）1.已知直线l过点A（2，3）和点B（4，5），则过点A且平行于直线l的直线斜率为（）。

A.-1B.1C.2D.02.过点（3，-2）和点（-1，4）的直线方程为（）。

A.y=6x-20B.y=6x+20C.y=-6x-20D.y=-6x+203.直线l1：2x+y-3=0，直线l2：3x-y+5=0，则直线l1和l2的交点为（）。

A.（1，1）B.（-1，-1）C.（-1，1）D.（1，-1）4.直线2x-y-5=0与直线x-2y-1=0的夹角为（）。

A.30°B.45°C.60°D.90°5.设直线过点（1，2）且与直线3x-4y+1=0垂直，则该直线方程为（）。

A.y-2=4(x-1)B.y-2=-4(x-1)C.y+1=4(x-1)D.y+1=-4(x-1)二、填空题（每小题2分，共20分）1.过点（3，-4）且与直线2x-3y+5=0平行的直线方程为______________。

2.过点（1，2）且与直线4x+y-6=0垂直的直线方程为______________。

3.过点（1，-2）且与直线3x-4y+7=0垂直的直线方程为______________。

4.过点（2，1）且与直线x+2y-3=0垂直的直线方程为______________。

5.设直线过点（1，-3）且平行于直线2x-3y+4=0，直线方程为______________。

三、解答题（共60分）1.有两条直线，直线l1经过点A（1，3）和点B（2，4），直线l2经过点C（2，3）和点D（5，7）。

a)求直线l1和l2的斜率。

b)判断直线l1和l2是否平行，如果不平行，求出直线l1和l2的交点坐标。

2.判断直线y=3x+5与x轴和y轴的交点坐标，并求出与x轴和y轴分别呈45°角的直线方程。

3.直线l1经过点A（1，2）和点B（3，4），直线l2经过点C（0，1）和点D（2，3）。

高中数学第三章直线与方程单元质量测评(含解析)新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题

第三章单元质量测评对应学生用书P77 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．斜率为2的直线的倾斜角α所在的X 围是( ) A ．0°＜α＜45° B．45°＜α＜90° C ．90°＜α＜135° D．135°＜α＜180° 答案 B解析 ∵k＝2＞1，即tanα＞1，∴45°＜α＜90°． 2．在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．y ＝－x ＋2 B ．y ＝－x －2 C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝x －2 答案 A解析由题可知直线方程为y ＝tan135°·(x－2)，即y ＝－x ＋2． 3．若三点A(4，3)，B(5，a)，C(6，b)共线，则下列结论正确的是( ) A ．2a －b ＝3 B ．b －a ＝1 C ．a ＝3，b ＝5 D ．a －2b ＝3 答案 A解析由k AB ＝k AC 可得2a －b ＝3，故选A ．4．若实数m ，n 满足2m －n ＝1，则直线mx －3y ＋n ＝0必过定点( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－13D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－13答案 D解析由已知得n ＝2m －1，代入直线mx －3y ＋n ＝0得mx －3y ＋2m －1＝0，即(x ＋2)m＋(－3y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－3y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－13，所以此直线必过定点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－13，故选D ．5．设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值X 围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 答案 B解析直线ax ＋y ＋2＝0过定点C(0，－2)，k AC ＝－52，k BC ＝43．由图可知直线与线段没有交点时，斜率－a 的取值X 围为－52＜－a ＜43，解得a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52．6．和直线5x －4y ＋1＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．5x ＋4y ＋1＝0 B ．5x ＋4y －1＝0 C ．－5x ＋4y －1＝0 D ．－5x ＋4y ＋1＝0 答案 A解析设所求直线上的任一点为(x′，y′)，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x′，－y′)．因为点(x′，－y′)在直线5x －4y ＋1＝0上，所以5x′＋4y′＋1＝0，即所求直线方程为5x ＋4y ＋1＝0．7．已知直线x ＝2及x ＝4与函数y ＝log 2x 图象的交点分别为A ，B ，与函数y ＝lg x 图象的交点分别为C ，D ，则直线AB 与CD( )A ．平行B ．垂直C ．不确定D ．相交答案 D解析易知A(2，1)，B(4，2)，原点O(0，0)，∴k OA ＝k OB ＝12，∴直线AB 过原点，同理，C(2，lg 2)，D(4，2lg 2)，k OC ＝k OD ＝lg 22≠12，∴直线CD 过原点，且与AB 相交．8．过点M(1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P ，Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为 ( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y －4＝0C ．x ＋2y ＋3＝0D ．x －2y －5＝0 答案 B解析设P(x 0，0)，Q(0，y 0)．∵M(1，－2)为线段PQ 的中点，∴x 0＝2，y 0＝－4，∴直线PQ 的方程为x 2＋y－4＝1，即2x －y －4＝0．故选B ．9．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n)到原点的距离的最小值为( )A ． 5B ． 6C ．2 3D ．2 5 答案 A解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.把(1，2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得m ＋2n ＋5＝0， ∴m＝－5－2n ，∴点(m ，n)到原点的距离d ＝ m 2＋n 2＝5＋2n 2＋n 2＝5n ＋22＋5≥5，当n ＝－2时等号成立，此时m ＝－1．∴点(m ，n)到原点的距离的最小值为5．故选A ．10．点F(3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为( ) A ． 3 B ．3m C ．3 D ．3m 答案 A解析由点到直线的距离公式得点F(3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为3·3m ＋33m ＋3＝3．11．若直线l 经过点A(1，2)，且在x 轴上的截距的取值X 围是(－3，3)，则其斜率的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，15 B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析在平面直角坐标系中作出点A(1，2)，B(－3，0)，C(3，0)，过点A ，B 作直线AB ，过点A ，C 作直线AC ，如图所示，则直线AB 在x 轴上的截距为－3，直线AC 在x 轴上的截距为3．因为k AB ＝2－01－－3＝12，k AC ＝2－01－3＝－1，所以直线l 的斜率的取值X 围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞．12．已知△ABC 的边AB 所在的直线方程是x ＋y －3＝0，边AC 所在的直线方程是x －2y ＋3＝0，边BC 所在的直线方程是2x －y －3＝0．若△ABC 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A ．355B ． 2C ．322D ． 5答案 B解析联立直线方程，易得A(1，2)，B(2，1)．如图所示，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A ，B ，又两平行直线的斜率为1，直线AB 的斜率为－1，所以线段AB 的长度就是过A ，B 两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知直线l 的倾斜角是直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，则直线l 的方程为________．答案 x ＝3解析直线y ＝x ＋1的斜率为1，倾斜角为45°．直线l 的倾斜角是已知直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，所以直线l 的倾斜角为90°，直线l 的斜率不存在，所以直线l 的方程为x ＝3．14．直线x 3＋y4＝t 被两坐标轴截得的线段长度为1，则t ＝________．答案 ±15解析直线与x ，y 轴的交点分别为(3t ，0)和(0，4t)，所以线段长为3t2＋4t2＝1，解得t ＝±15．15．已知点A(2，4)，B(6，－4)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足|PA|2＋|PB|2＝λ的点P 有且仅有1个，则实数λ的值为________．答案 58解析设点P 的坐标为(a ，b)．∵A(2，4)，B(6，－4)，∴|PA|2＋|PB|2＝[(a －2)2＋(b －4)2]＋[(a －6)2＋(b ＋4)2]＝λ，即2a 2＋2b 2－16a ＋72＝λ．又∵点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，∴3a－4b ＋3＝0，∴509b 2－803b ＋90＝λ．又∵满足|PA|2＋|PB|2＝λ的点P 有且仅有1个，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8032－4×509×(90－λ)＝0，解得λ＝58．16．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．答案－12解析因为y ＝|x －a|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －1，x≥a，－x ＋a －1，x<a ，所以该函数的大致图象如图所示．又直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则2a ＝－1，即a ＝－12．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知Rt△ABC 的顶点坐标A(－3，0)，直角顶点B(－1，－22)，顶点C 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求斜边所在直线的方程．解 (1)解法一：依题意，Rt△ABC 的直角顶点坐标为B(－1，－22)， ∴AB⊥BC，∴k AB ·k BC ＝－1．又∵A(－3，0)，∴k AB ＝0＋22－3－－1＝－2，∴k BC ＝－1k AB ＝22，∴边BC 所在的直线的方程为y ＋22＝22(x ＋1)，即x －2y －3＝0． ∵直线BC 的方程为x －2y －3＝0，点C 在x 轴上，由y ＝0，得x ＝3，即C(3，0)．解法二：设点C(c ，0)，由已知可得k AB ·k BC ＝－1，即0＋22－3－－1·0＋22c ＋1＝－1，解得c ＝3，所以点C 的坐标为(3，0)． (2)由B 为直角顶点，知AC 为直角三角形ABC 的斜边． ∵A(－3，0)，C(3，0)，∴斜边所在直线的方程为y ＝0．18．(本小题满分12分)点M(x 1，y 1)在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x 1∈[2，5]时，求y 1＋1x 1＋1的取值X 围．解y 1＋1x 1＋1＝y 1－－1x 1－－1的几何意义是过M(x 1，y 1)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．点M 在直线y ＝－2x ＋8的线段AB 上运动，其中A(2，4)，B(5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y 1＋1x 1＋1≤53，∴y 1＋1x 1＋1的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53． 19．(本小题满分12分)已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ．解 (1)联立两直线方程⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，则两直线的交点为P(－2，2)．∵直线x －2y －1＝0的斜率为k 1＝12，所求直线垂直于直线x －2y －1＝0，那么所求直线的斜率k ＝－112＝－2，∴所求直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0．(2)对于方程2x ＋y ＋2＝0，令y ＝0则x ＝－1，则直线与x 轴交点坐标A(－1，0)，令x ＝0则y ＝－2，则直线与y 轴交点坐标B(0，－2)，直线l 与坐标轴围成的三角形为直角三角形AOB ， ∴S＝12|OA||OB|＝12×1×2＝1．20．(本小题满分12分)一条光线经过点P(2，3)射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q(1，1)，求：(1)入射光线所在直线的方程； (2)这条光线从P 到Q 所经路线的长度．解 (1)设点Q′(x′，y′)为点Q 关于直线l 的对称点，QQ′交l 于点M ．∵k l ＝－1，∴k QQ′＝1， ∴QQ′所在直线的方程为y －1＝1·(x－1)，即x －y ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－12，∴交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x′2＝－12，1＋y′2＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－2，y′＝－2，∴Q′(－2，－2)．设入射光线与l 交于点N ，则P ，N ，Q′三点共线，又∵P(2，3)，Q′(－2，－2)，∴入射光线所在直线的方程为y －－23－－2＝x －－22－－2，即5x －4y ＋2＝0．(2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′| ＝[2－－2]2＋[3－－2]2＝41，即这条光线从P 到Q 所经路线的长度为41．21．(本小题满分12分)设直线l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程．解设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点分别为C(x C ，y C )，D(x D ，y D )，则⎩⎪⎨⎪⎧x C ＋2y C －1＝0，x C －y C －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x C ＝1，y C ＝0，∴C(1，0)⎩⎪⎨⎪⎧x D ＋2y D －3＝0，x D －y D －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝53，y D＝23，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，23．则C ，D 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，即直线l 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13．又直线l 经过点(－1，1)，由两点式得直线l 的方程为 y －131－13＝x －43－1－43，即2x ＋7y －5＝0． 22．(本小题满分12分)已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510．(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶5．若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解 (1)直线l 2的方程等价于2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋－12＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72．又因为a ＞0，解得a ＝3．(2)假设存在点P ，设点P(x 0，y 0)，若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，解得c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0．若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，得|2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0．若点P 满足条件①，则3x 0＋2＝0不合适．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12.不符合点P 在第一象限，舍去．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.符合条件①．所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．。

第三章 直线与方程 章末检测(a)

第三章 直线与方程 章末综合检测(人教A版必修2)

2017-2018学年高中数学二教材用书：第三章直线与方程阶段质量检测A卷学业水平达标含答案

2017-2018学年高中数学 第三章 直线与方程学业质量标准检测 新人教A版必修2