2011闫浩微积分习题及答案6

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微积分B(2)第二次习题课题目(第六周)

微积分B（2）第二次习题课题目（第六周）一、隐函数求导、方向导数与梯度1.（1）设函数),(y x f z=是由方程2222=+++z y x xyz 确定的,则函数),(y x f z =在点)1,0,1(-的微分dz =（2）设方程⎪⎩⎪⎨⎧==--0),(0),(y z xy G z y x y F 可以确定隐函数)(),(y z z y x x ==，求dy dz dy dx ,.（3）．),(y x f z =，xy v x y u ==,2，求vzu z ∂∂∂∂,。

（4）),,(z y x f u =，若)cos ,cos ,(cos γβα=l ，其中1cos cos cos 222=++γβα，求u l22 ∂∂2.设(,,)f x y z 可微，123,,l l l 为3中互相垂直的三个单位向量，求证：222222123(()()(()(f f f f f f x y z∂∂∂∂∂∂++=++∂∂∂∂∂∂l l l .二、微分学的几何应用3．给出zx yz xy e z++=确定的隐函数),(y x f z =存在的一个充分条件是，曲面),(y x f z =在点)0,1,1(处的切平面方程，),(y x f z =在点)1,1(处的梯度。

4.设直线L ：⎩⎨⎧=--+=++030z ay x b y x 在平面π上，且平面π又与曲面S:22y x z +=相切于点(1,-2,5)。

求a,b 的值。

5.求过直线:L ⎩⎨⎧=++-=--101523z y x z y x ,且与曲面S :2022222=+-z y x 相切的平面的方程.6．过曲面:S 632),,(222=++=z y x z y x F 上点)1,1,1(P 处指向外侧的法向量为n ,求函数zy x u 2286+=在点P 处沿方向n 的方向导数.7.（1）求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθk z a y a x sin cos 在2πθ=处的切线方程是( )和法平面方程是()（2）求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++021244222z y x z y x 在)1,1,1(M 处的切线方程和法平面方程。

微积分第二册习题六答案

习题六（A ）1．根据定积分的几何意义说明下列各式的正确性（1）0d cos 20=⎰x x π（2）x x x x d )1(2d )1(22222+=+⎰⎰-（3）0d 311=⎰-x x （3）x x dx x d 42111⎰⎰==解：（1）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，由对称性可知正确．（2）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且在) 2 , 2(-范围内对称，所以是正确的．（3）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且关于原点对称，所以正确．（4）原式dx x ⎰-=112等式左边的定积分的几何意义是右边图形阴影部分面积的代数和的2倍，且又因为阴影部分在1) , 1(-范围内关于轴对称，所以等式两边相等．2．不计算积分，比较下列积分值的大小（1）x x d 210⎰与x x d 310⎰ （2）x x d 231⎰与x x d 331⎰（2）x x d ln 43⎰与x x d )(ln 243⎰ （4）x x d sin 20⎰π与x x d 20⎰π解：（1）由定积分的比较性可知在1) , 0(范围内32x x >，所以前者大于后者．（2）由定积分的比较性可知在3) , 1(范围内32x x <，所以前者小于后者．（3）由定积分的比较性可知在4) , 3(范围内2)(ln ln x x <，所以前者小于后者．1=a （4）由定积分的比较性可知在）2, 0(π范围x x <sin ，所以前者小于后者．3．用定积分性质估计下列积分值（1）x d e2x -1⎰（2）x x d )sin 1(2454+⎰ππ（3）x xx d 151+⎰（4）x xxd sin 20⎰π解：（1）因为2x e -在]1 , 0[范围内的最大值为1，最小值为1-e 所以由定积分的估值定理可知：dx dx e dx e x l 12111⎰⎰⎰≤≤--1211≤≤⇒--⎰dx e e x（2）因为x 2sin 1+在22]45 , 4[ππ的最大值为2，最小值为1。

微积分课后题答案习题详解

第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。

2011春微积分期末考试试题参考解答

xdy dz 0 。这是不正确的。实际上
S
xdy dz 2 / 3 。若 x 改为 x
S

2
则根据对称性可知积分为 0.
解答完毕。
3. （10 分）计算积分

2
x 2 y 2 z 2 dxdydz ， ( x, y, z ) x 2 y 2 z 1 x 2 y 2
y2 dl 3 ( x 1) 2 ( y 1) 2 L
6.
L
ydx xdy
S
4 / 3 ，其中 L 为曲线 y x 2 1 从 A(0,1) 到 B(1,0) 。
7. 积分
( xy yz zx 1)dS 2
2 ，其中 S 为锥面 z x 2 y 2 被柱面
x 2 y 2 2 所截得的有限部分。
注：由对称性可以看出
2 2
xydS yzdS zxdS 0 。
S
S
S
8. 柱面 x y 1介于曲面 z 1 x 与平面 z 0 之间的面积为 3 。
2
注：比较简单的解法是利用第一型曲线积分来求这部分柱面的面积：
解：将被积函数 (3x 2 y 1) 展开，注意到在 L 上 9 x 4 y 36 ，并且根据对称性
2
2
2
可知积分 xdl 0
L

ydl 。于是 (3x 2 y 1) dl (36 1)dl
2
L
37a 。解答完毕。
L
L
2. （10 分）求积分的下侧。
V 1/ 3
注：易知所求体积为

微积分A(2)第3次习题课答案

)
]
2 2 2 2 2 2 2 2 2 a - 2 x 0 G ¢( x0 + y0 + z0 ) b - 2 y 0 G ¢( x0 + y0 + z0 ) c - 2 z 0 G ¢( x 0 + y0 + z0 )
a x1 - x 0
b y1 - y 0
g z1 - z 0
=0
3 / 14
作者：闫浩, 章纪民
2 2 2 3. S 由方程 ax + by + cz = G x + y + z 确定, 试证明：曲面 S 上任一点的法线与某定直
æ x-a y-bö , ÷ = 0 上任意一点 è z -c z -c ø
(
)
线相交。证明: 曲面上任意一点 P ( x0 , y 0 , z 0 ) 的法线为
x - x0 y - y0 z - z0 = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a - 2 x 0 G ¢( x 0 + y 0 + z 0 ) b - 2 y 0 G ¢( x 0 + y 0 + z 0 ) c - 2 z 0 G ¢( x0 + y0 + z0 )
ö ÷( z - z 0 ) = 0 ÷ ø
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可以得到：
f 1' ( P0 )(a - x 0 )( z - z 0 ) + f 2' ( P0 )(b - y 0 )( z - z 0 ) = 0.
易见当 x = a, z = c, y = b 时上式恒等于零。于是知道曲面 f ç 处的切平面通过一定点，此定点为 ( a, c, b) ．

微积分习题讲解与答案

习题8。

11。

指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： (1）02)(2=+'-'xy y y y x (2) 02=+'-y y x y x （3）0)(sin 42=+''+'''y x y y x (4）θθ2sin d d =+p p解 (1) 1阶非线性（2） 1阶线性 (3） 3阶线性（4） 1阶线性2。

验证下列函数是否是所给微分方程的解（1） xxy x y y x sin ,cos ==+' (2) 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- （C 为任意常数) （3） xCe y y y y ==+'-'',02 （C 为任意常数） (4） x xe C eC y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ，C 2为任意常数）（5) C y xy x y x y y x =+--='-22,2)2( (C 为任意常数) （6） )ln(,02)(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''- 解 (1) 是，左=x x xx x x x xcos sin sin cos 2=+-=右(2）是，左=x x C x x Cx x 2)12(1)1(222=-++---=右（3) 是，左=02=+-xxxCe Ce Ce =右 (4) 是，左=0)())(()(2121212121221121222211=++++-+x x x x x xe C e C e C e C eC e C λλλλλλλλλλλλλλ =右(5) 是,左==-=---y x yx yx y x 222)2(右(6) 是,左=x xy yx xy y y x xy y x x xy xy xy xy x xy ---+-+----2)()(22)(22332=0)())(2()()(222222232=---+-+---x xy x xy y y x xy xy x xy xy xy xy = 右3。

微积分A(1)第2次习题课答案

2
+
n ，显然有 n +n
2
1 n(1 + n) 1 n(1 + n) 1 + n ⋅ < an < 2 ⋅ = 2 2 2n n +n n
两边取极限，由夹逼准则得到
n n
lim ∑
n→∞
1 k = 。 2 k +1 n + k
2
n
1 1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ n −1⎞ （5） ⎜1 − ⎟ = ⎜ → , n → +∞ = ⎟ = n n −1 e ⎝ n⎠ ⎝ n ⎠ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ n ⎞ ⎟ ⎟ ⋅ ⎜1 + ⎜1 + ⎟ ⎜ ⎝ n −1⎠ ⎝ n −1⎠ ⎝ n −1⎠
2 4 n →+∞
(1 + x
2n−1
(1 − x)(1 + x)(1 + x 2 )(1 + x 4 ) ) = lim n →+∞ 1− x (1 − x 2 ) 1 = lim = n →+∞ 1 − x 1− x
n
二、无穷大量 2.(教材 19 页第 6 题) 若 lim an = a ≠ 0 ， lim bn = ∞ . 证明： lim an bn = ∞ .
*
,只要 n, m > N ，就有 | an − am |< ε 。
,只要 n, m > N ，就有 | an − am |< ε 。
（1）利用 Cauchy 收敛准则证明单调有界数列收敛；（2）利用区间套定理证明单调有界数列收敛。证明：（1）假设 {a n } 为单调递增有上界的数列，但发散。由 Cauchy 收敛准则，∃ε 0 > 0 ，∀N ∈

微积分试卷及标准答案6套

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，与是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。

微积分课后题答案

微积分课后习题答案习题一（A ）1．解下列不等式，并用区间表示不等式的解集：（1）74<-x ；（2）321<-≤x ；（3）)0(><-εεa x ；（4）)0,(0><-δδa x ax ；（5）062>--x x ；（6）022≤-+x x ．解：1)由题意去掉绝对值符号可得：747<-<-x ，可解得j .113．x <<-即)11,3(-. 2）由题意去掉绝对值符号可得123-≤-<-x 或321<-≤x ，可解得11≤<-x ,53<≤x .即]5,3[)1，1(⋃-3）由题意去掉绝对值符号可得εε<-<-x ,解得εε+<<-a x a .即)a , (εε+-a ；4）由题意去掉绝对值符号可得δδ<-<-0x ax ,解得ax x ax δδ+<<-00，即ax a x δδ+-00 , () 5）由题意原不等式可化为0)2)(3(>+-x x ,3>x 或2-<x 即）（3， 2）， (∞+⋃--∞. 6）由题意原不等式可化为0)1)(2(≤-+x x ,解得12≤≤-x .既1] , 2[-.２．判断下列各对函数是否相同，说明理由：（1）x y =与x y lg 10=；（2）xy 2cos 1+=与x cos 2；（3）)sin (arcsin x y =与x y =；（4）)arctan (tan x y =与x y =；（5）)1lg(2-=x y 与)1lg()1lg(-++=x x y ；（6）xxy +-=11lg 与)1lg()1lg(x x x +--=．解：1)不同，因前者的定义域为) , (∞+-∞，后者的定义域为) , 0(∞+； 2)不同,因为当))(2 , )212((ππ23k k x k ++∈+∞-∞- 时，02cos 1 >+x ,而0cos 2<x ；3）不同，因为只有在]2, 2[ππ-上成立； 4）相同；5)不同，因前者的定义域为) , (11) , (∞+⋃--∞)，后者的定义域为) , 1(∞+； 6）相同3．求下列函数的定义域（用区间表示）：（1）1)4lg(--=x x y ；（2）45lg 2x x y -=；（3）xx y +-=11；（4）)5lg(312x x x y -+-+-=；（5）342+-=x x y ；（6）xy xlg 1131--=；（7）xy x-+=1 lg arccos 21；（8）6712arccos2---=x x x y ．解：1)原函数若想有意义必须满足01>-x 和04>-x 可解得 ⎩⎨⎧<<-<41 1x x ,即)4 , 1()1 , (⋃--∞.2)原函数若想有意义必须满足0452>-x x ,可解得 50<<x ,即)5 , 0(.3)原函数若想有意义必须满足011≥+-xx,可解得 11≤<-x ,即)1 , 1(-. 4)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-≥-050302x x x ,可解得 ⎩⎨⎧<<<≤5332x x ,即) 5 , 3 (] 3 , 2 [⋃,3]. 5)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥+-0)1)(3(0342x x x x ,可解得 ⎩⎨⎧≥-≤31x x ,即(][) , 3 1 , ∞+⋃-∞.6)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠>0lg 100x x x ,可解得⎩⎨⎧><<10100x x ,即) , 10()10 , 0(∞+⋃. 7)原函数若想有意义必须满足01012≤≤-x 可解得21010--≤<x 即]101 , 0()0 , 101[22--⋃- 8)原函数若想有意义必须满足062>--x x ,1712≤-x 可解得) 4 , 3 (] 2 , 3 [⋃--.4．求下列分段函数的定义域及指定的函数值，并画出它们的图形：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<-=43,13,922x x x x y ，求)3( , )0(y y ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞<<+-≤≤-<=x x x x x x y 1, 1210,30,1，求)5( , )0( , )3(y y y -．解：1）原函数定义域为：)4 , 4(-3)0(==y 8)3(==y .图略2)原函数定义域为：) , (∞+-∞31)3(-=-y 3)0(-==y 9)5(-=y y(5)＝-9.图略5．利用x y sin =的图形，画出下列函数的图形：(1)1sin +=x y ；（2）x y sin 2=；（3）⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y ．解：x y sin =的图形如下(1)1sin +=x y 的图形是将x y sin =的图形沿沿y 轴向上平移1个单位(2)x y sin 2=是将x y sin =的值域扩大2倍。

微积分习题答案

习题1-1１．(1) ［－３，３］；（２）（－∞，０）∪（２，＋∞）；（３）（－２，１）；（４）（－１．０１，－１）∪（－１，０．９９）２．（１）［－１，０）∪（０，１）；（２）（１，２］；（３）［－６，１）．３．（１）（－∞，１）∪（１，２］，f(0)=0,f（２)＝１．当a＜０时，f(a)=1a,当0≤a≤1时，f(a)=2a,当１＜a≤2时，f(a)=1．(2) (-2，2)，f(0)=1,f((-a)２，当1＜a＜2时，f(a)=a２－１．４．1．５．（１）偶函数；(2) 非奇非偶函数；(3) 奇函数．８．(1) y=13arcsinx2；(2) y=log２x1-x(3) f－１（x）=１２（x＋１），－１≤x≤1，2-2-x，1＜x≤2．９．（１）y＝１０１＋x２（－∞，＋∞）；（２）y=sinxln２，（－∞，＋∞）；（３）y=arctana２＋x２（－∞，＋∞）．习题1-2１．(1) y=3u，u=arcsinv，v=ax；（２）y=u３，u=sinv,v=lnx;（３）y=au,u=tanv,v=x2;（４）y=lnu,u=v2,v=lnw,w=t3２．（１）［－１，１］，（２）［２kπ，（２k＋１）π］，k∈Z;(3) ［－a，１－a］；（４）（－∞，－１］．３．(1) φ（x)=6+x-x2;(2)g(x)=(1+x)2+(1+x)+1;(3)f(x)=x2-2．习题1-3１．R(x)=4x-12x2．２．R(x)≈１３０x，１１７x＋９１００，０≤x≤７００，７００＜x≤１０００．３．Ｌ＝Ｌ（Ｑ）＝－１５Ｑ２＋８Ｑ－５０，＝－Ｑ５＋８－５０Ｑ．习题2-1略．习题2-2２．f(x)=-1,１，x≤０x＞０，则limx→０f(x)=1，但limx→０－f(x)=-1，limx→０＋f(x)=1，故limx→０f(x)不存在．３．limx→０(x２＋a）＝a,limx→０-e１x＝０，a=0．２．，，，，，，，．３．(1)无穷大量．(2) x→０＋时为无穷大量，x→１时为无穷小量．x→＋∞时为无穷大量．（３）x→０＋时为无穷大量，x→０－时为无穷小量．(4) 无穷小量．（５）无穷小量．(6) 无穷小量．习题2-4５．（１）３/５；（２）０；（３）∞；(4) 1/3；(5) 4/3６．（１）16；(2) ∞；（３）３；（４）－２２；（５）３x２．（６）４３；（７）n（n＋１）２；（８）１；（９）１；（１０）－１；（１１）０．习题2-5１．53；2．２５；３．１；４．２２；５．２１２；６．e－１；７．e３；８．lna；９．２lna；１０．０；１１．e－１2；１２．１；１３．１；１４．１；１５．e１e；１６．e－１．习题2-6３．tanx－sinx=O（x３）４．(1) ab；(2) k２２；(3) 2；(4) 24；(5) 1；(6) 1；(7) 49；(8) 3．习题2-7４．(1) x=1(可去)，定义f(1)=2;x=2(第二类)；(2) x=0(可去)，定义f(0)=1;x=kπ，k≠0，为整数(第二类)；(3) x=0(第一类；(4) x=2(第二类)；x=-2(可去)，定义f(-2)=0;(5) x=0(可去)，定义f(0)=0．６．f(x)=sgnx，x=0（第一类)，f(x)∈C［（－∞，０）∪（０，＋∞）］７．（１）１２；（２）３；（３）０；（４）π3；(5) 1．习题3-1１．２９．２．－１x２０．３．４x-y-4=0,8x-y-16=0４．（１）-f′(x0);(2) -f′(x0);(3) 2f′(x0)５．（１）１２x；（２）－２３x－５３；（３）１６x－５6．６．连续但不可导．８．（１）f′(2) f′12，f′９．f′(x)＝cosx，１，x＜０，x≥０．１０．a=2,b=-1．１１．（１）在x=0处连续，不可导；(2) 在x=0处连续且可导；(3) 在x=1必连续，不可导．１３．(1) -０．７８m/s；(2) 10-gt;(3) 10g（s)．１４．dＱdtt=t0．１５．（１）limΔＴ→０Q(T＋ΔＴ）－Ｑ（Ｔ）ΔＴ；（２）a＋２bＴ．习题3-2１．(1) 3t；(2) xx+12xlnx；(3) 2xsin２x－２xsinx＋cosx－x２cosx－sin２x＋x２sin２x．(4)1-sinx-cosx(1-cosx)2；(5)sec2x；（６）xsecxtanx-secxx2-3secx²tanx；(7)１x１－２ln10＋３ln２；(8)－1+2x(1+x+x2)2．２．（１）２４１＋π２；（２）f′(0)=３２５，f′（２）＝１７１５；（３）f′（１）＝５．３．略．４．(1) 3e3x；(2) 2x1+x4；(3) 12x+1e2x+1；(4) 2xln(x+1+x２）＋１＋x２；(5)２x²sin１x２－２xcos１x２；(6)－3ax２sin２ax３；(7)xx２²x２－１；(8)２arcsinx２４－x２；(9)lnxx²1+ln２x；(10)nsinn-1x²cos(n+1)x;(11)１1-x2+1-x２；(12)－１（1+x）２x(1-x)；(13)-thx；（１４）a２-x2．５．１３．６．2x+3y-3=0; 3x-2y+2=0; x=-1; y=0．７．(1) 2xf′(x2);(2) sin2x［f′（sin２x）-f′(cos2x)］．８．（１）-x2-ayy2-ax；(2) 1-yx(lnx+lny+1)；(3) -ey+yexxey+ex;(4)x+yx-y；(5)ex+y－yx-ex+y．９．（１）x+2(3-x)4(x+1)512(x+2)－43-x-5x+1；(2) sinxcosxcos２xsinx-sinxln sinx；(3) e2x(x+3)(x+5)(x-4)2+1x+1-12(x+5)-12(x-4)．１０．（１）sinat+cosbtcosat-sinbt;(2)cosθ-θsinθ1-sinθ-θcosθ．１１．３－２．习题3-3１．f(n)(x)=(-1)n-1(n-1)!(1+x)n．２．y(n)=(-1)n²an²n!²(ax+b)-(n+1)．f(n)(x)=(-1)n2·n!·1(x-1)n+1-1(x+1)n+1３．(1)0;(2)4e,8e;(3)7200,720．４．(1) -b4a2y3;(2) e2y(3-y)(2-y)3;(3) -2csc2(x+y)cot3(x+y);(4)2x2y［3(y2+1)2+2x4(1-y2)］(y2+1)3．５．(1) -1a(1-cost)2;(2) 1f″(t)．６．(1) 4x２f″(x2)+2f′(x2);(2) f″(x)f(x)-［f′(x)］2f．习题3-4１．(1) sint;(2)－１ωcosωt;(3)ln(1+x);(4) -12e-2x;(5)2x;(6)13tanx;(7) ln2x2;(8)-1-x2．２．（１）０．２１，０．２，０．０１；（２）０．０２０１，０．０２，０．０００１．３．（１）（x+1)exdx;(2)1-lnx〖〗x2dx;(3)-12xsinxdx;(4)2ln5²5ln tanx²1sin2xdx;(5)-12cscx2dx;(6)8［xx(1+lnx)-12e2x］dx;(7) 121-x2arcsinx+2arctanx1+x2dx．４．(1) ey1-xeydx;(2)-b2xa2ydx;(3) 22-cosyds;(4)1-y21+2y²1-y2dx．５．(1)２．００８３；（２）－０．０１；（３）０．７９５４．习题3-5１．（１）１．１；（２）６５０；（３）６５０－５０１２９．２．（１）９６．５６；（２）是，提高2．３．（１）a,axax+b,aax+b;(2)abebx,bx,b;(3) axa-1,a,ax．４．提高8%；提高16%．５．５．９．习题4-1１．ξ＝π２．２．（１）满足，有ξ＝０；（２）不满足第二个条件，没有；(3) 不满足第一和第三个条件，有ξ＝π２．３．有分别位于区间(1，2)，(2，3)，(3，4)内的三个根．４．ξ＝３３．习题4-2１．（１）－３５；（２）１２；（３）mnam-n；（４）１a（５）０；（６）０；（７）1；(8) 32；(9) e；（１０）e－２π；（１１）１e；（１２）∞（１３）１３；（１４）e－１２．２．m=-4,n=3４．f″（x）；习题4-3１．xex=x+x2+x32!+…+xn(n-1)!+1(n+1)!(n+1+θx)eθxxn+1（０＜θ＜１）．２．1x=-1-(x+1)-(x+1)2-…-(x+1)n+(-1)n+1(x+1)n+1［-1+θ(x+1)］n+2（０＜θ＜１）．３．f(x)=-56+21(x-4)+37(x-4)2+11(x-4)3+(x-4)4．４．(1) １６(提示：只要将sinx展开成三次多项式即可)．(2) 12(提示：令u=１x，再将ln(1+u)展开成二次多项式）．习题4-4１．（１）(-∞，-1)和(3，+∞)为增区间，(-1，3)为减区间，f(-1)=3为极大值，f(3)=-61为极小值．(2) (1，+∞)为增区间，(0，1)为减区间，f(1)=1为极小值．（３）（－∞，2)为增区间，(2，+∞)为减区间，f(2)=1为极大值．（４）（－∞，０）和(0，2)为增区间，(2，+∞)为减区间，f(2)=-4为极大值．５．当a=2时，f(x)在x=π３取极大值3．习题4-5１．15元２．x=αcPQ１１－α３．（１）Ｑ＝３；（２）ＭＣ＝＝６４．(1) 1000件；(2) ６０００件５．(1) ４３１．３２５吨(2) 12次(3) ３０．４５２天(4) 13６６４３．９元６．α＝２３（３－６）π．７．t=１４r２．８．v=３２００００≈２７．１４（km/h）习题4-6１．（１）在-∞，１３下凸，１３，＋∞上凸，拐点13，227；(2) 在(-∞，－１）上凸，(-1，1)下凸，(1，+∞)上凸，拐点(-1，ln２)及(1，ln ２）；（３）在(-∞，－２)上凸，(-2，+∞)下凸，拐点(-2，-2e－２)；（４）在(-∞，+∞)下凸，无拐点；(5) 在(-∞，-3)上凸，(-3，6)上凸，(6，+∞)下凸，拐点6，227；(6) 在-∞，12上凸，12，+∞下凸，拐点12，earctan１２．３．a=-32，b=９２．４．（１）垂直渐近线x=0;(2) 水平渐近线y=0;(3) 水平渐近线y=0，垂直渐近线x＝3；(4) 垂直渐近线x=12，斜渐近线y=12x+1〖〗4．５．（１）定义域(-∞，+∞)，极大值f(1)=12，极小值f(-1)=-12,拐点3，34，-3，-34，渐近线y=0；(2) 定义域(-∞，+∞)，极大值f(-1)=π2-1，极小值f(1)=1-π２，拐点(0，0)，渐近线y=x+π,y=x-π;(3) 定义域(0，+∞)，极大值f(1)=2e，拐点，２，４e2，渐近线y=0．习题5-1１．（１）２７x７〖〗２-103x3２+C；(2) 2x-43x3２+25x5２+C；(3) 3xex１＋ln３＋Ｃ；（４）x＋sinx２＋Ｃ；（５）２x－５２３xln２－ln３＋C；（６）－（cotx＋tanx）＋C．２．（１）y＝x2-2x+1;(2) cosx+C;(3)x-sinx;(4)Q=1000１３Ｐ习题5-2１．(1) 1a；(2) 17；(3)110；(4) -12；(5) 112；(6) 12；(7) -2；(8) 15；(9) -1；(10) -1；(11) 13；(12) 12；(13) -1；(14) 32．２．（１）１５e５t＋Ｃ；（２）－１８（３－２x）４＋Ｃ；（３）－１２ln１－２x＋Ｃ；（４）－１２（２－３x）２３＋Ｃ；（５）－２cost＋Ｃ；（６）lnlnlnx＋Ｃ；（７）１１１tan１１x＋Ｃ；（８）－１２e-x２＋Ｃ；（９）lntanx＋Ｃ；（１０）－lncos１＋x２＋Ｃ；（１１）arctanex＋Ｃ；（１２）－１３（２－３x２）１２＋Ｃ；（１３）－３４ln１－x４＋Ｃ；（１４）１２cos２x＋Ｃ；（１５）１２arcsin２x３＋１４９－４x２＋Ｃ；（１６）x２２－９２ln（x２＋９）＋Ｃ；（１７）１２２ln2x-12x+1+C；(18) 13lnx-2x+1+C；(19) t2+14ωsin２（ωt＋φ）＋Ｃ；（２０）－１３ωcos３（ωt＋φ）＋Ｃ；（２１）１２cosx－１１０cos５x＋Ｃ；（２２）１３sin３x２＋sinx２＋Ｃ；（２３）１４sin２x－１２４sin１２x＋Ｃ；（２４）１３sec３x－secx＋Ｃ；（２５）（arctanx）２＋Ｃ；（２６）－１arcsinx＋Ｃ；（２７）１２（lntanx）２＋Ｃ；（２８）－1xlnx＋Ｃ；（２９）a２２（arcsinxa－xa２a２－x２）＋Ｃ；（３０）x１＋x２＋Ｃ；（３１）x９－９－３arccos３x＋Ｃ；（３２）１２（arcsinx＋lnx＋１－x２）＋Ｃ；（３３）arcsinx－x１＋１-x２＋Ｃ；（３４）arcsinxa－a２－x２＋Ｃ；（３５）－４－x２x－arcsinx２＋Ｃ；（３６）ln１＋x＋x２＋２x－２xx２＋２x＋Ｃ；（３７）－１１＋tanx+Ｃ；（３８）x＋lnx１＋xex＋Ｃ．习题5-3１．（１）-xcosx+sinx+C;(2) -(x+1)e－x +C;(3) xarcsinx+１－x２+C;(4) sinx-cosx2e-x+C;(5)-217e-2xx2＋4sinx2+C;(6) -12x2+xtanx+lncosx+C;(7) -t2+14e－2t+C;(8)x(arcsinx)2+21-x2arcsinx-2x+C;(9) 12-15sin2x-110cos2x）ex+C;(10) 3e3x(３x2-23x+2+C;(11)x2(coslnx+sinlnx)+C;(12) -12x2-32cos2x+x2sin2x+C;(13) 12（x２-1)ln(x-1)-14x2-12x+C;(14) x36+12x2sinx+xcosx-sinx+C;(15) -1x(ln3x+3ln2x+6lnx+6)+C;(16) -14xcos2x+18sin2x+C;(17) -12xcot2x-12x-12cotx+C;(18) 12x2ex2+C;(19)xlnlnx+C;(20) (1+ex)ln(1+ex)-ex+C;(21) 12tanxsecx-12lnsecx+tanx+C;(22) -ln(x+1+x22(1+x2)+x22+x2+C;(23) ex1+x+C;(24) x-121+x2earctanx+C．习题5-4(1) lnx+1x2-x+1+3arctan2x-13+C;(2) x3３+x２2+x+8lnx-3lnx-1-4lnx+1+C；（３）x-tanx+secx+C；（４）14lntanx2-18tan2x2+C．习题6-1１．１３（b3-a3)+b-a．２．（１）１；（２）14πa2．３．(1)∫10x2dx较大；(2) ∫10exdx较大．４．(1)6≤∫41(x2+1)dx≤51;(2)π9≤∫3１3xarctanxdx≤23π；(3)2ae－a2＜∫a-ae-x2dx＜2a；(4)-2e2≤∫02ex2-xdx≤-2e-1〖〗4．习题6-2１．（１）２x１+x4;(2)x5e-3x;(3)(sinx-cosx)cos(πsin2x);(4) sinx-xcosxx2．2．(1)-12;(2) 6;(3) 2．３．cosxsinx-1．4．当x=0时．5．(1)23(8-33);(2) 16;(3) 1+π8；(4) 203．６．－３２．习题6-3１．（１）０；（２）５１５１２；（３）１６；（４）１４；（５）π６-３８；（６）２（３－１）；（７）２－２３３；（８）π２；（９）１２ln３２；（１０）ln２－１３ln５；（１１）７ln２－６ln（６２＋１）；（１２）４３．２．（１）０；（２）０；（３）３２π．习题6-4２．（１）１－２e;(2)14（e２+1);(3) 4(2ln2-1);(4) 14-133π+12ln32;(5)15(eπ-2);(6)2-34ln2；(7) π3６－π4；(8) 12(esin1-ecos1+1);(9) ln2-12;(10)12-38ln3．３．０．习题6-5１．（１）１；（２）２；（３）４３；（４）７６；（５）１２＋ln２；（６）１６；（７）e＋１e-２；（８）b-a．２．（１）Vy=2π;(2) Vx=1287π,Vy=12．8π;(3) Vy=310π;(4) Vx=pa2π;(5)Vy=4π2．３．（１）a=1e，(x0,y0)=(e2,1);(2)S=16e2-12．4．12ln2提示：f(x)=0,x1+x2,x≥０x＜０．5．a=-4,b=6,c=0．６．50;100．7．(1) Q=2．5,L=6．25;(2) 0．25．８．９６．７３习题6-6１．（１）１３；（２）发散；(3) １a；（４）发散；(5) 发散；(6) π；（７）８３；（８）１；（９）π２；（１０）－１；（１１）发散；(12) 1．２．当k＞１时收敛于1(k-1)(ln2)12-1；当k≤1时发散；当k＝１－１lnln２时取得最小值．３．n!．４．（１）π4；(2) π2５．In=-(2n)!!(2n+1)!!=22n(n!)2〖〗(2n+1)!(n=0,1,2,…）．６．（１）1nΓ1n;(2) Γ(α+1);(3)1nΓm+1n;(4)12Γn+12．习题7-1１．略．２．(1) (a,b,-c),(-a,b,c),(a,-b,c);(2) (a,-b,-c),(-a,b,-c),(-a,-b,c);(3) (-a,-b,-c)．３．坐标面：(x0,y0,0),(0,y0,z0),(x0,0,z0)；坐标轴：(x0,0,0),(0,y0,0),(0,0,z0)．４．x轴：34，y轴：41，z轴：5．５．（０，１，－２）．６．略．习题7-2１．ＭＡ→＝－１２（a+b);MB→＝１２（a-b);MC→=12(a+b);MD →=12(b-a)．２．略．３．（２，１，１）．４．（１６，０，－２０）．５．Ｍ１Ｍ２→＝（１，－２，－２），Ｍ１Ｍ２→＝３．１３，－２３，－２３或－１３，２３，２３．习题7-3１．（１）１；（２）４；（３）２８．２．（１）３，５i+j+7k;(2) -18，10i+2j+14k；(3) -10i－２j－１４k．３．－３２．４．±（６２，８２，０）．５．１４．６．略．７．４５j－３５k或－４５j＋３５k．８．∠Ａ＝７６°２２′，∠Ｂ＝７９°２′，∠Ｃ＝２４°３６′．习题7-4１．３x-2y+5z-22=0．２．2x+9y-6z=121．３．略．４．x+z-1=0．５．x+y+z-2=0．６．2x+3y+z-6=0．７．(1)x=2；(2)x+3y=0；(3)x-y=0．８．１３，２３，－２３．９．（１）互相垂直；(2) 互相平行；(3) 斜交(相交但不垂直)．习题7-51．（１）x-23=y-31=z-11；(2)x-31=y-4２=z+4-1；(3)x-21＝y-20=z+1〖〗0；(4)x2=y-31=z+23．２．x+3-5=y=z-25，[JB(｛〗x=-3-5t，y=t，z=2+5t．３．x-2＝y-23=z-4〖〗1．４．x-21=y+22=z3．５．x-10=y+37=z+2〖〗16．６．４６１，６６１，－３６１．７．Ｂ＝１，Ｄ＝－９．８．x-3-1=y-31=z1．９．φ＝arcsin1310．１０．４x-y-2z-1=0．１１．y-z+3=0，x-y-z+1=0．１２．５．１３．（１）垂直，(2) 平行，(3) 重合．习题7-6１．（x+1)2+(y+3)2+(z-2)2=32．２．以点(1，-2，-1)为球心，半径等于6的球面．３．(1) x23+y24+z24=1;x23+y24+z23＝１；(2)x2-y2-z2=1;x2+y2-z2=1．４．（１）母线平行于z轴的椭圆柱面；(2) 母线平行于x轴的抛物柱面；(3) 椭圆锥面；(4) 旋转椭球面；(5) 双叶双曲面；(6) 圆锥面．５．3y2-z2=16,3x2+2z2=16６．x2+y2+(1-x)2=9，z=0；(1-z)2+y2+z2=9，x=0；x+z=1，y=0．７．（１）椭圆；(2) 双曲线；(3) 抛物线．８．略．习题8-1１．（１）（x,y)x2a2+y2b2≤１；(2)｛(x,y)x＞y,且x-y≠１｝；(3)(x,y)-1≤yx≤１，且x≠０＝｛x＞０，－x≤y≤x；x＜０，x≤y≤－x｝；（４）｛(x,y)x≥y，x2+y2≤１，y≥０｝．２．（１）３１；（２）１x３－４xy＋１２y２；（３）（x+y）3－２（x２－y２）＋３（x－y）２．３．f(x)＝（x＋２）x，Ｆ（x,y）＝y＋x－１．４．略习题8-2１．（１）不存在，(2) 存在．２．（１）０，（２）１，（３）２，（４）０．３．｛（x,y)y２＝２x，x∈Ｒ｝．习题8-3１．（１）z′x=y(1+x)y-1,z′y=(1+x)yln(1+x);(2) z′x=-yx２cotyx²sec2yx，z′y=1xcotyx²sec2yx；（３）z′x=-yx2+y2，z′y=xx2+y2；(4)u′x=-zlnyx2²yzx，u′y=zx²yzx-1，u′z=１xyzx²lny．２．－１，２．３．１，１＋π６．４．略．５．偏导数存在．６．α＝π４．７．Δz=-0．12,dz=-0．1．８．（１）du＝dx-dy；（２）dz=-xy（x２＋y２）３／２dx＋xy（x２＋y２）３／２dy．习题8-4１．（１）２e2cost＋３t２［３t-sint］；（２）３－４t－３＋３２t１２sec23t+2t2+t32．２．（１）z′u=(2xy-y2)cosv+(x2-2xy)sinv；(2)z′v=-(2xy-y2)usinv,z′y=euvx２+y２（ux+vy）．３．（１） u x=1yf′1， u y＝－xy２f′１＋１zf′２， u z＝－yz２f′２；（２） z x＝２xf′， zy＝２yf′；（３） u x＝f′1+yf′2+yzf′3， u y＝xf′2+xzf′３， u z＝xyf′2．４．略．５．（１）dz=(x２+y２)sin（２x＋y）２sin（２x＋y）x２＋y２（xdx＋yd y）＋cos（２x＋y）ln（x２＋y２）（２dx＋dy）；（２）du＝１f（x２＋y２－z２）dy－yf′（x２＋y２－z２）f（x２＋y２－z２）（２xd x＋２ydy－２zdz）．６．（１）z′x＝ex＋y＋yzez－xy，z′y＝ex＋y＋xzez－xy；（２） z x＝zx＋z，z y＝z２y（x＋z）．７．略．８． z x＝（vcosv－usinv）e－u， z y＝（ucosv+vsinv)e-u．９．dudx＝f′x+y２f′y1-xy+zf′zxz-x．习题8-5１．（１）２z x２＝１２x２－８y２，２z y２＝１２y２－８x２，２z x y＝－１６xy；（２）２z x２＝２xy（x２＋y２）２，２z y２＝－xy（x２＋y２）２，２z xy＝y２－x２（x２＋y２）２；（３）２z x２＝yxln２y，２zy２＝x（x－１）yx-2；２z xy＝yx－１（１＋xlny）；（４）２z x＝１x，２z y２＝－xy２，２z x y＝１y．２．（１）２z x２＝４xf″（x２＋y２）＋２f′（x２＋y２），２z y２＝４yf″（x２＋y２）＋２f′（x２＋y２）；（２）２z x２＝y２f″１１＋２yf″１２＋f″２２，２z y２＝x２f″１１＋４xf″１２＋４f″２２，２z x y＝xyf″１１＋２yf′１２＋f′1+xf″２１＋２f″２２．３．２z x２＝z（２x－２－z２）x２（z－１）３，２z y２＝z（２z－２－z２）y２（z－１）３，２z x y＝－zxy（z－１）３．习题8-6１．１＋２３．２．２３．３．α＝π４时取得最大值2；α＝５π４时取得最小值-2；α＝７π４时，方向导数为零．习题8-7１．（１）极大值f(0,0)=3；(2) 极小值f１２，－１＝－e２；（３）极大值fa３，a３＝a３２７（a＞０)，极小值fa３，a３＝a３２７（a＜０）．２．极大值z（４，１）＝７，最小值z４３＋２２３，－１≈-１１．６７．３．极小值z(2,2)=4．４．a≥１２，最小距离为a－１４；a≤１２，最小距离为a．５．a的分法是三等分时，乘积最大为a３２７．６．x=100,y=25,f(100,25)=1250．７．x=70,y=30,λ＝－７２，Ｌ＝１４５（万元)．习题8-8１．（１）∫１－１dx∫３－３f(x,y)dy, ∫３－３dy∫１－１f(x,y)dx;（２）∫４０dx∫２xxf(x,y)dy,∫４０dy∫y１４y２f(x,y)dx;（３）∫r－rdx∫r２－x２０f(x,y)dy,∫r０dy∫r２－y２－r２－y２f(x,y)dx．２．（１）∫１０dx∫xx２f（x，y）dy；（２）∫a０dy∫a＋a２－y２a－a２－y２f （x，y）dx;（３）∫１０dy∫２－yyf（x，y）dx．３．（１）e－１e２；（２）２９１５；（３）－１２；（４）２３；（５）１－２π；（６）２πＲ２２＋Ｒ３；（７）３６４π２；（８）２－π２．４．５１４４．５．π．６．８π．７．ＳＤ＝１２e－１，ＶＤ＝１２e２－e－１２．习题9-1１．（１）a＞１收敛；0＜a≤１发散；(2) 发散；(3) 发散；(4) 收敛；(5) 发散；(6) 发散；(7) 发散；(8) 发散．２．（１）收敛，s＝３２；（２）收敛，s＝１４；（３）发散；(4) 发散．习题9-2１．（１）收敛；(2) 发散；(3) 发散；(4) 收敛；(5) a＞１，收敛；0＜a≤１发散；(6) 发散；(7) 发散；(8) 收敛；(9) 发散；(10) 发散；(11) 收敛；(12) 收敛；(13) 收敛；(14) 收敛；(15) 收敛；(16) 收敛．习题9-3１．（１）条件收敛；(2) 绝对收敛；(3) 绝对收敛；(4) 绝对收敛；(5) 绝对收敛；(6) 条件收敛；(7) 绝对收敛；(8) 条件收敛．习题9-4１．（１）（-∞，+∞)；(2) (-e，e）；(3) (-2，2)；(4) (-1，1)；(5) (-4，0)；(6) １２，３〖〗２．２．（１）－ln（１＋x）；x＜１；（２）２x（１－x２）２，x＜１；（３）当x≠０且x＜１时，s(x)＝１＋１x－１ln（１－x）；当x＝０时，s(x)＝０；（４）１＋x（１－x）２，x＜１．３．（１）１５３２；（２）１２ln（１＋２）；（３）１０９；（４）４．习题9-5１．（１）１－x２２²２！＋x４２²４！－…＋（－１）nx２n２²（２n）！＋…（－∞＜x＜＋∞）；（２）∑∞n=1（－１）n-1（２n－１）！x２２n－１（－∞＜x＜＋∞）；（３）∑∞n=1（－１）n-1x2n-1〖〗（n－１）！（－∞＜x＜＋∞）；（４）∑∞n=0x2n,x＜１；（５）２２∑∞n=0（－１）nx2n（2n）！＋x2n+1（２n+1）！（－∞＜x＜＋∞）．２．（１）∑∞n=0１２n+1（x－１）n（－１＜x＜３）；（２）∑∞n=0[ＪＢ（（〗（－１）n２²x－π３２n（２n）！＋（－１）n＋１３２x－π２２n＋１（２n＋１）！（－∞＜x＜＋∞）；（３）∑∞n=0(－１）n１２n＋２－１２２n＋３（x－１）n（－１＜x＜３）；（４）∑∞n=0（－１）n３n＋１（x－３）n（０＜x＜６）．３．（１）２．７１８２８；（２）０．２５０４９．习题10-1１．（１）一阶，(2) 二阶，(3) 三阶，(4) 一阶．２．略．３．y′=y-xx．４．y′＝y－x＋１．习题10-2１．（１）（１－x)(1+y)=Ｃ（Ｃ为任意常数，以下Ｃ，Ｃ１，Ｃ２…均为任意常数)；(2) １－x２＝lny＋Ｃ；（３）y２＝Ｃ（１－x２）－１；（４）secx＋tany＝Ｃ；（５）２y３＋３y２－２x３－３x２＝５；（６）（y＋１）e－y＝１２（１＋x２）；（７）ey＝１２（e２x＋１）．２．Ｔ＝Ｔ０e－kt＋α（１－e－kt），k为比例系数．３．（１）y+x２+y2=Ｃx2;(2) y=2xarctan(Ｃx);(3) x3+y3=Ｃx2;(4) y=2x1+x2;(5) y=xe1-x;(6) (x+3)２+(y+1)2=Ｃe-arctanyx;(7)x+3y+2ln2-x-y=Ｃ．４．（１）y=Ｃex－12（sinx+cosx);(2) y=xn(Ｃ+ex);(3) x=2(y-1)+Ｃe-y;(4) x=y+Ｃcosy；(5) y=(x+1)ex;(6) y=2(1+x3)3(1+x2);(7) y=2lnx-x+2;(8) y=(1+sinx-xcosx)²e－x2；(9) y3=Ｃx3+3x4;(10)１x2=1-y2+Ｃe-y2．５．y′=３yx2－2²yx，y-x=-x3y．６．x=ab+x0-abe-bt．７．f(x)=-2e-3x-1．８．Ｃ(x)=(x+1)［Ｃ０+ln(x+1)］．９．x＝ab（Ｃ０x０－a）１b＋１²x０．习题10-3１．（１）y=(x-3)ex+12Ｃ1x2+Ｃ2x+Ｃ3;(2) y=xarctanx-12ln（１＋x２）＋C1x＋C2；(3) y=C１arctanx+C2;(4) y=-lnx+c１+c2；(5) 1+C1x2=(C2t+C2)2；（６）lny=C1(y-x)+C2．２．（１）y=16x3lnx-1136(x3-1);（２）y=lnx+12ln２x;(3) y=x．３．C１＋C２ex＋x．４．（１）y=(Ｃ１＋Ｃ２x)e２x；（２）y＝Ｃ１e－x＋Ｃ２e２x；（３）y＝９e－２x－８e－３x；（４）y＝－１３exxcos３x．５．（１）y＝（１－１２x）e－２x＋Ｃ１e－５x＋Ｃ２e２x；（２）y＝（x＋１）２＋Ｃ１e２x＋Ｃ２e４x；（３）y＝１１８cosx＋４sinx－１８cos３x；（４）y＝x＋１２x２e４x．６．f（x）＝２（ex－x）．７．a=-3,b=2,α=-1;y=Ｃ１ex＋Ｃ２e２x＋xex．８．φ（x）＝１２（sinx＋cosx＋ex）．９．y＝２３e２x－２３e－x－xe－x．１０．y＝－７e－２x＋８e－x＋（３x２－６x）e－x１１．s＝mgkt－m２gk２（１－e－kmt）．习题10-4１．C（x)=3ex（１＋２e３x）－１．２．Ｒ＝abs０（ebt－１），Ｓ（t）＝s０e－bt．３．Ｙ（t）＝Ｙ０eγt，Ｄ（t）＝αＹ０γeγt＋βt＋Ｄ０－αＹ０γ，limt→＋∞Ｄ（t）Ｙ（t）＝α〖〗γ．４．（１）Ｙ（t）＝（Ｙ０－Ｙe）eμt＋Ｙe，Ｙe＝b１－a，μ＝１－aka，Ｃ（t)=a(Ｙ０－Ｙe）eμt＋Ｙe，Ｉ（t)=(1-a)(Ｙ０－Ｙe）eμt；(2) limt→＋∞Ｙ（t）Ｉ（t）＝１１－a．５．y(6)=５０００１＋１１．５e－３（ln１１．５－ln８）．习题11-1１．（３），（４）．２．（１）一阶；(2) 五阶；(3) 三阶；(4) 六阶；(5) 二阶．３．（１）Δ２yt＝２；（２）Δyt＝（e－１）２et；（３）Δ２yt＝６（t＋１），Δ３yt＝６；（４）Δ２yt＝lnt２＋４t＋３t２＋４t＋４．４．略．习题11-2１．yＡ(t)＝Ａ１＋Ａ２t＋１（Ａ１，Ａ２为任意常数．以下A，A１，Ａ２…均为任意常数)．２．a(t)＝－１＋１５，f(t)＝１－１t²２t．３．略．４．（１）yt＝Ａ－１３t＋１；（２）yt＝Ａ－１２t＋７９＋１３t ；（３）yt＝Ａ（－１）t＋１３²２t；（４）yt＝Ａ－１３²２tcosπt．５．（１）yt＝０．１³３８t＋０．１；（２）yt＝１２t－２＋t；（３）yt＝２t－t＋４；（４）yt＝（－４）t＋sinπt．６．yt＝Ａ（－a）t＋b１＋a．７．（１）略；(2) yt＝１y０－bＣ－aaＣt＋bＣ－a）－１，１y０＋bat－１，当Ｃ≠a时，当Ｃ=a时．（３）yt＝１２t＋１＋３２－１．习题11-3１．（１）yＡ(t)＝Ａ１（－１）t＋Ａ２１２t；（２）yＡ（t）＝（３）t（Ａ１cosωt＋Ａ２sinωt），tanω＝－２；（３）yＡ（t）＝（Ａ１＋Ａ２t）²４t；（４）yＡ（t）＝Ａ１cosπ３t＋Ａ２sinπ３t；（５）yＡ（t）＝Ａ１（１．８）t＋Ａ２（２．１）t；（６）yＡ（t）＝Ａ１［２（a＋１）＋２a＋１）］t＋Ａ２［２（a＋１）－２a＋１］t．２．（１）yt＝Ａ１５＋１７２t＋Ａ２５－１７２t－１；（２）yt＝２tＡ１cosπ３t＋Ａ２sinπ３t＋１３（a＋bt）；（３）yt＝Ａ１＋Ａ２²２t＋１４³５t；（６）yt＝Ａ１（－２）tt＋Ａ２²３t²t１１５t－２２５．３．（１）t＝２５t２＋１２５t＋６４１２５＋１８６１２５（－４）t；（２）t＝４t＋４３（－２）t－４３；（３）t＝１９５１３０－２０〖〗１３０（－４）t－９２６１３t；（４）t＝４＋３２１２t＋１２－７２t．习题11-4１．Ｙt＝（Ｙ０－Ｙe）αt＋Ｙe，Ｙe＝１＋β１－α；Ｃt＝（Ｙ０－Ｙe）αt＋αＩ＋β１－α．２．Ｙt＝（Ｙ０－Ｙe）²λt＋Ｙe，其中λ＝１＋r（１－α），Ｙe＝β１－α；Ｃt＝α（Ｙ０－Ｙe)λt＋Ｙe；Ｉt＝（１－α）（Ｙ０－Ｙe）λt．３．Ｙt＝Ｙ０＋βα²λt－βα，其中λ＝δrδr－α；Ｓt＝（αＹ０＋β）²λt；Ｉt＝１δ（αＹ０＋β）²λt．４．Ｄn（t）＝Ａ１λt１＋Ａ２λt２，其中λ１，２＝２［（ab＋１）±１＋２ab］．。

微积分第一章课外习题参考答案

微积分第一章课外习题参考答案
9
p4.3.证明 : { xn }有界, M 0, 使得 | xn | M , n 1,2,
n
.
0, lim yn 0, N ,当n N 时, | yn |

M | xn yn || xn || yn | , lim xn yn 0.
微积分课外习题参考答案
微积分第一章课外习题参考答案
1
第一章极限与连续
微积分第一章课外习题参考答案
2
预备知识(1-2)
p1. 一.1. { x | x 3且x 0} . 2. [1,1],[2k ,(2k 1) ], k Z . 1 x 3. 1 1 e x 1 1 x1 , x2 , 1 x1 1 e x 1 x 1 . x 1
x0 1 三. f [ g ( x )] 0 x0 1 x 0 e | x | 1 g[ f ( x )] 1 | x | 1 注意作图形. 1 | x | 1 e
微积分第一章课外习题参考答案 5
p2. 四 . 证明: f ( x ) f (2a x ) f (2b 2a x ) f [2(b a ) x ] 周期 T 2 | b a | . 五 . 证明 f ( x ) log a ( x x 1)
8
p4.
2.
解 :由题意,
n 2
1 1 1 ( 1) P1 Pn 1 2 3 2 2 2 2n 2 1 n 1 1 n 1 1 ( ) 2 2( ) 2 2 1 3 1 2 1 n 1 2 2( ) 2 2 lim P1 Pn lim n n 3 3

实用文档之《微积分》各章习题及详细答案

实用文档之"第一章函数极限与连续"一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题 1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

微积分课后题答案习题详解

微积分3第四次习题课答案(2011春)_195108059

⎧y 2 = 2 z 13.设 Ω是由曲线⎨ 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面 z = 4 所围成的立体。则 ⎩x = 0
∫∫∫ ( x
Ω
2
。 + y 2 + z )dv =（ D ）
(A)
256π . 4
(B)
256π . 8
2
(C)
2
256π . 2
2π
(D)
256π . 3
2
【解】旋转成曲面方程为 x + y = 2 z ，用柱坐标表示为 r = 2 z
∫∫∫ z
Ω
1 0
x 2 + y 2 + z 2 dxdydz 在球坐标系下的表达式为
∫
2π 0
dθ ∫ 6 sin φ cos φdφ ∫ ρ 4 dρ ；其值 I 等于
0
π
π
20
。
r
【解】球面 x + y + z
2
2
2
= 1 与锥面 z = 3( x 2 + y 2 ) 在
2 2
作者:闫浩 (2011 年 3 月)
7.求三重积分:
I = ∫∫∫ ( x + y + z )dv , 其中
Ω
2 2 ⎧ ⎧ ⎪ ⎪0 ≤ z ≤ 1 − y − x Ω = ⎨( x, y, z ) ⎨ 2 2 ⎪ ⎪ ⎩z ≥ x + y ⎩
⎫ ⎪ ⎬. ⎪ ⎭
解：由函数与域的对称性；
I = ∫∫∫ ( x + y + z )dv = ∫∫∫ z dv
2 2
上半空间交成旋转扇形面球冠部分底面圆为 x + y + z 交线是半径为 r =

微积分各章习题及详细答案

《微积分》各章习题及详细答案(总42页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章函数极限与连续一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为。

5、=-∞→x e x x arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数x xx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

6微积分II期末练习解答.doc

1、2、3、A.必要分条件; B•充分条件; C•充分必要条件; D•无关条件。

设/（兀y）=戶（无+ 2y +尸）,A•在（1-1）取极大值;C.在（一1）取极大值;幕级数工罕的收敛区间是（n=\3A. (—3,3)；则其B.D.在（1-1）取极小值;在（丄1）取极小值。

B.3 3C.（-巧,希）；D.A. /(x) = 0 ；B. f (x) = e x；C. /(x) =ce xD. /(无)="+C oA.(X + c)COSB. xcosx + cC. xcos(x + c):D. xcosx o微积分II期末复习题（6）答案一、填空题（将答案直接填在横线上，每小题3分，共5小题）1、过z轴，且过点（-3,1-2）的平面方程是x + 3y = 0。

2、设z = e2x In4- y2 ,则dz（〔门=（— + 21n2）/力+ —。

2 23 交换积分次加畑 y）dy = £ dy^L f（x, y）dx+[ dyj爲,f{x, y）dx。

OO4、一//=1 J25、微分方程（x2 + y2）dx-xydy = 0的通解是丄〒=In兀+ c。

2x二、选择题（每小题3分，共5小题）函数z = f（x.y）在点（兀y）处可微是其在该点偏导存在的（B ）4、已知/（劝是连续函数，且/（%）= £,则/（兀）为：（5、方程—+ ytanx = cosx的通解是（dxdz代xzj 兀 2 + y2 + z2 +ydy 一 F (10-1).0,-0yx^2 + / + z 2+z 所以叽）dy = dx- 41dy(10-1)解:计算积分的值，其中D 是由xy n yZy = \^x\x = 2所围成的区域。

血『沪T 叫叫TJ+i 2 -f (1 一 777 - +血=~i+arctan W8.■ ^-^ + arctan28 4三、求解下列各题（每小题5分，共8小题）1、求由xyz + Jx 2 + / + z 2 =42所确定的隐函数z = z(x,y)在(1,0,-1)出的全微分。

2011闫浩微积分习题及答案2

0
n →∞
二、数列极限的运算（四则运算）与数列极限存在的充分条件（单调有界定理，夹逼准则） 4．求极限 lim ( a1 n + 1 + a 2 n + 2 + L + a m n + m ) ，其中 a1 + a2 + L + am = 0 ．
n→∞
解：因为 a1 + a2 + L + am = 0 ，所以 ( a1 + a2 + L + am ) n + 1 = 0 ．从而 lim ∑ a k n + k = lim ∑ a k n + k − a k
(3) lim
n →∞
k = n2
∑
1 k
(4) lim
n →∞
∑ [(nk + 1)
k =1
n
−Байду номын сангаас
1 k
+ (n k − 1) k ]
−
1
解：（1）解法 1：因为
2=
1+ 3 3+5 (2n − 1) + (2n + 1) > 1 ⋅ 3 ，4 = > 3 ⋅ 5 ，…，2n = > (2n − 1)(2n + 1) ， 2 2 2 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ L ⋅ (2n − 1) 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ L ⋅ (2n − 1) < = 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ L ⋅ ( 2n ) 1 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ L ⋅ (2n − 1)(2n + 1) ) 1 2n + 1 = 0 ，所以 lim 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ L ⋅ (2n − 1) =0． n → ∞ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ L ⋅ ( 2 n)

清华大学微积分考试真题6

α
M > 0, α > 1 是常数。证明： f ( x ) 在 [a, b] 上恒为常数。
12．设 f ( x ) 在 ( a, b) 内有定义，且在 x 0 ∈ ( a, b) 处可导.数列 {x n }, { y n } 满足条件：
a < x n < x 0 < y n < b, lim x n = lim y n = x0 .
1 α x cos x 0
x>0 x=0
则 α 的取值范围是[ 在 x = 0 处右连续但右导数不存在，
]
B 0 < α ≤ 1．
C α > 1． D α < 1．
3．设 f ( x ) 在 x = 0 的某邻域内有定义， F ( x ) = x f ( x ) ，则 F ( x) 在 x = 0 处可导的充分必要条件是[
′ dy x + 1 x + 1 x +1 −2 ， = f ′( ) • = arctan dx x −1 x −1 x − 1 ( x − 1) 2
所以
dy dx
x=2
2 = −2 arctan 3 = − π . 3
（3）设函数 y = y ( x ) 由方程 x y + y 2 ln x + 4 = 0 确定，求 y ′ ；
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作者：闫浩
2011 年 9 月
解（隐函数求导，幂指型函数求导）在 x y + y 2 ln x + 4 = 0 两端关于 x 求导得
2
ey
2
ln x
(2 yy ′ ln x +
5.已知 f ( x) =