函数解析式的七种求法(讲解)之令狐文艳创作

函数解析式的七种求法

令狐文艳

一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求

)(x f

解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则

二、配凑法：已知复合函数

[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，

常用配凑法。但要注意所求函数

()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2已知221)1(x x x x f +=+)0(>x ，求

()f x 的解析式。 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 三、换元法：已知复合函数

[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3已知

x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f

解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一

般用代入法。

例4已知：函数

)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式。

解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点

)3,2(-的对称点

则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'322

2y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64，

点),(y x M '''在)(x g y =上

把⎩⎨⎧-='--='y y x x 64代入得：

整理得

672---=x x y 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求

)(x f 解 x x f x f =-)1(2)(①

显然,0≠x 将x 换成x 1

，得：

x x f x f 1)(2)1(=-②

解①②联立的方程组，得：

例6设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又

,11)()(-=+x x g x f 试求

)()(x g x f 和的解析式 解

)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数， 又11

)()(-=+x x g x f ① ，

用x -替换x 得：

11

)()(+-=-+-x x g x f 即11

)()(+-=-x x g x f ②

解①②联立的方程组，得

11)(2-=x x f ， x x x g -=21)(

六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式

)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 解对于任意实数x 、y ，等式

)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成

立，

不妨令0x =，则有

1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f

七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推

得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

例8设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任

意的自然数b

a ,都有a

b b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f

解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，

∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，

又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故①

分别令①式中的1,21x n =- 得：

将上述各式相加得：n f n f ++=-32)1()(，