2013届初三数学课时专题训练---抛物线的性质及应用

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初中数学抛物线与几何专题训练及答案

全国各地中考试题压轴题精选讲座抛物线与几何问题【知识纵横】抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：2y ax bx c =++(a ≠0)；2、顶点式：y=a(x —h) 2-＋k ；3、交点式：y=a(x —x 1)(x —x 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的两个实根。

解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。

【典型例题】【例1】 (浙江杭州) 在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。

平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B ，C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B 。

（1）是否存在这样的抛物线F ，OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO=23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式。

【思路点拨】（1）由关系式OC OB OA ⋅=2来构建关于t 、b 的方程；(2)讨论t 的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。

【例2】(江苏常州)如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O,它的顶点为A,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点.（1）求点A 的坐标;（2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;（3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为x,当46S +≤≤+,求x 的取值范围.【思路点拨】（3）可求得直线l 的函数关系式是y=-2x ，所以应讨论①当点P 在第二象限时，x<0、 ②当点P 在第四象限是，x>0这二种情况。

初三抛物线练习题及答案

初三抛物线练习题及答案抛物线是数学中的基本图形之一，也是初中数学中重要的内容之一。

掌握抛物线的性质和解题方法，不仅能提高数学水平，还有助于培养逻辑思维和分析问题的能力。

下面是一些初三抛物线练习题及答案，希望能对同学们的学习有所帮助。

1. 已知抛物线的顶点为(-1, 4)，经过点(2, 1)，求抛物线的解析式。

解析：设抛物线的解析式为y = ax^2 + bx + c。

由已知顶点坐标(-1, 4)，可得：4 = a(-1)^2 + b(-1) + c化简得：a - b + c = 4 （式1）由已知经过点(2, 1)，可得：1 = a(2)^2 + b(2) + c化简得：4a + 2b + c = 1 （式2）解方程组（式1）和（式2），得到a、b、c的值，即可得到抛物线的解析式。

2. 抛物线y = 2x^2 + 3x + 1的对称轴是什么？解析：对称轴是指抛物线上各点关于该轴对称。

对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c，其对称轴的公式为x = -b/2a。

对于给定的抛物线y = 2x^2 + 3x + 1，将其转化为一般形式，即a = 2，b = 3，c = 1。

代入公式x = -b/2a，可得对称轴的方程：x = -3/(2*2)化简得：x = -3/4所以，抛物线y = 2x^2 + 3x + 1的对称轴方程为x = -3/4。

3. 已知抛物线经过点(1, 5)和(-2, 1)，求抛物线的解析式。

解析：设抛物线的解析式为y = ax^2 + bx + c。

由已知点(1, 5)，可得：5 = a(1)^2 + b(1) + c化简得：a + b + c = 5 （式3）由已知点(-2, 1)，可得：1 = a(-2)^2 + b(-2) + c化简得：4a - 2b + c = 1 （式4）解方程组（式3）和（式4），即可得到a、b、c的值，从而得到抛物线的解析式。

4. 已知抛物线过点(3, 4)，顶点坐标为(-1, -2)，求抛物线的解析式。

课时作业3：3.3.2　第1课时　抛物线的简单几何性质

3.3.2 第1课时抛物线的简单几何性质基础达标练1.已知抛物线C :y 2=x 的焦点为F ,A (x 0,y 0)是C 上一点,若|AF|=54x 0,则x 0等于( ) A.1B.2C.4D.82.若抛物线y 2=4x 上一点P (x 0,y 0)到点(5,0)的距离最小,则点P 的横坐标x 0为( ) A.1B.2C.3D.43.过点P (0,1)与抛物线y 2=2x 有且只有一个交点的直线有( ) A.4条 B.3条C.2条D.1条4.过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,且垂直于x 轴的弦为AB ,O 为抛物线的顶点,则∠AOB 的度数( ) A.小于90° B.等于90° C.大于90°D.不能确定5.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线y 2=2x 上,则这个正三角形的边长是 .6.过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 且倾斜角为45°的直线交抛物线于A ,B 两点,若|AB|=8,则p= .7.已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P .(1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|.8.如图,已知抛物线C :y 2=2px 过点A (1,1).(1)求抛物线C 的方程.(2)过点P (3,-1)的直线与抛物线C 交于M ,N 两个不同的点(均与点A 不重合).设直线AM ,AN 的斜率分别为k 1,k 2,求证:k 1k 2为定值.能力提升练1.(多选题)抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,AB 是经过抛物线焦点F 的弦,M 是线段AB 的中点,经过A ,B ,M 作抛物线的准线l 的垂线AC ,BD ,MN ,垂足分别是C ,D ,N ,其中MN 交抛物线于点Q ,连接QF ,NF ,NB ,NA.下列说法正确的是( ) A.|MN|=12|AB|B.FN ⊥ABC.Q 是线段MN 的一个三等分点D.∠QFM=∠QMF2.已知抛物线x 2=2py (p>0)的焦点为F ,过点F 且倾斜角为150°的直线l 与抛物线在第一、二象限分别交于A ,B 两点,则|BF ||AF |等于( )A.3B.7+4√3C.13D.3+2√23.已知F 为抛物线y 2=x 的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6(其中O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A.17√28B.3C.3√38D.3√1324.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为48√3,则p的值为.5.直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=__________,1|AF|+1|BF|=.6.设A,B为曲线C:y=x24上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且|AB|=2|MN|,求直线AB的方程.7.已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上,求☉M的半径;(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.素养培优练已知抛物线E:y2=2px(p>0),过其焦点F的直线与抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,满足y1y2=-4.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点C的坐标为(-2,0),记直线CA、CB的斜率分别为k1,k2,求1k12+1k22的最小值.参考答案基础达标练1.【答案】A【解析】抛物线C:y2=x的焦点为F(14,0),∵A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,∴54x0=x0+14,解得x0=1.2.【答案】C【解析】∵P (x 0,y 0)在抛物线y 2=4x 上,∴y 02=4x 0,则点P 与点(5,0)的距离d=√(x 0-5)2+y 02 =√x 02-10x 0+25+4x 0=√(x 0-3)2+16.∵x 0≥0,∴当x 0=3时,点P 与点(5,0)的距离最小,此时x 0=3. 3.【答案】B【解析】(1)当过点P (0,1)的直线存在斜率时,设其方程为y=kx+1, 由方程组{y =kx +1,y 2=2x ,消y 得k 2x 2+(2k -2)x+1=0,①若k=0,则-2x+1=0,解得x=12,此时直线与抛物线只有一个交点(12,1); ②若k ≠0,令Δ=(2k -2)2-4k 2=0,解得k=12,此时直线与抛物线相切,只有一个交点. (2)当过点P (0,1)的直线不存在斜率时,该直线方程为x=0,与抛物线相切,只有一个交点.综上,过点P (0,1)与抛物线y 2=2x 有且只有一个交点的直线有3条. 4.【答案】C【解析】设抛物线y 2=2px 的焦点为F ,则其坐标为(p2,0),将x=p2代入抛物线的方程,解得A (p 2,p),B (p2,-p).在直角三角形AOF 中,|OF|<|AF|,故∠AOF>45°.由抛物线的对称性可知, ∠AOB=∠AOF+∠BOF>45°+45°=90°. 5.【答案】4√3【解析】根据抛物线的对称性可知,正三角形另外两个顶点关于x 轴对称,设一个顶点坐标为(y 022,y 0),边长为a ,则有tan π6=2y 0y 02,解得y 0=2√3, 故边长a=4√3. 6.【答案】2【解析】∵F (p2,0),∴直线AB 的方程为y=x -p2,将其与y 2=2px 联立,消去y ,得x 2-3px+p 24=0. 设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),由根与系数的关系知x A +x B =3p ,x A x B =p 24.|AB|=√2√(x A +x B )2-4x A x B =4p=8,解得p=2. 7.解：设直线l :y=32x+t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). (1)由题设得F (34,0), 故|AF|+|BF|=x 1+x 2+32, 由题设可得x 1+x 2=52.由{y =32x +t ,y 2=3x 可得9x 2+12(t -1)x+4t 2=0,则x 1+x 2=-12(t -1)9.从而-12(t -1)9=52,得t=-78.所以l 的方程为y=32x -78. (2)由AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得y 1=-3y 2. 由{y =32x +t ,y 2=3x 可得y 2-2y+2t=0. 所以y 1+y 2=2.从而-3y 2+y 2=2,故y 2=-1,y 1=3. 代入C 的方程得x 1=3,x 2=13. 故|AB|=4√133. 8.解：(1)由题意得2p=1,所以抛物线方程为y 2=x. (2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线MN 的方程为x=t (y+1)+3, 代入抛物线方程,整理得y 2-ty -t -3=0. 因为Δ=(t+2)2+8>0,所以y 1+y 2=t ,y 1y 2=-t -3.所以k 1k 2=y 1-1x 1-1·y 2-1x 2-1=y 1-1y 12-1·y 2-1y 22-1=1(y1+1)(y 2+1)=1y1y 2+y 1+y 2+1=1-t -3+t+1=-12,故k 1k 2是定值.能力提升练1.【答案】ABD【解析】如图,由抛物线的定义,得|AC|=|AF|,|BD|=|BF|.又|MN|=|AC |+|BD |2,则|MN|=|AF |+|BF |2=12|AB|,A 正确.由|MN|=12|AB|,|AM|=|MB|,得|MN|=|AM|,所以∠MAN=∠MNA.而∠MNA=∠CAN ,所以∠MAN=∠CAN ,所以△ANC ≌△ANF ,可知∠ACN=∠AFN=90°,所以FN ⊥AB ,B 正确.在Rt △MNF 中,|QN|=|QF|,可知∠QNF=∠QFN ,所以∠QFM=∠QMF ,D 正确.由∠QFM=∠QMF ,可知|QF|=|QM|,所以|NQ|=|QM|,即Q 是MN 的中点,故C 不正确. 2.【答案】A【解析】(方法1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 直线l 的方程为x=-√3(y -p2),则{x 2=2py ,x =-√3(y -p 2),消去x ,得12y 2-20py+3p 2=0.∵点A 在第一象限,解得y 1=p 6,y 2=3p 2, ∴|BF ||AF |=y 2+p2y 1+p 2=3p 2+p 2p 6+p 2=3.故选A .(方法2)如图,过点A ,B 作准线的垂线,垂足分别为A',B',则由抛物线的定义知|BB'|=|BF|,|AA'|=|AF|.过点A 作BB'的垂线AE , 则|BE|=|BB'|-|AA'|=|BF|-|AF|, 易知∠BAE=30°,故|BE|=12|AB|,所以|BF|-|AF|=12(|BF|+|AF|), 因此|BF|=3|AF|,故|BF ||AF |=3.3.【答案】D【解析】设直线AB 的方程为x=ty+m ,则直线AB 与x 轴的交点为M (m ,0),则m>0. 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).把x=ty+m 代入y 2=x , 可得y 2-ty -m=0,满足Δ>0,则y 1y 2=-m. ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6,∴x 1x 2+y 1y 2=6, 从而(y 1y 2)2+y 1y 2-6=0.∵点A ,B 位于x 轴的两侧,∴y 1y 2=-3, 故m=3.不妨设点A 在x 轴上方,则y 1>0, 又F (14,0),y 2=-3y 1,∴S △ABO +S △AFO =12×3×(y 1-y 2)+12×14y 1=138y 1+92y 1≥2√9×1316=3√132, 当且仅当138y 1=92y 1,即y 1=6√1313时,取等号, ∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3√132.4.【答案】2【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).∵|OA|=|OB|,∴x 12+y 12=x 22+y 22.又y 12=2px 1,y 22=2px 2, ∴x 22−x 12+2p (x 2-x 1)=0,即(x 2-x 1)(x 1+x 2+2p )=0.又x 1,x 2与p 同号,∴x 1+x 2+2p ≠0.∴x 2-x 1=0,即x 1=x 2. 根据抛物线对称性可知点A ,B 关于x 轴对称, 由△OAB 为等边三角形, 不妨设直线OB 的方程为y=√33x ,由{y =√33x y 2=2px ,解得B (6p ,2√3p ),∴|OB|=√(6p )2+(2√3p )2=4√3p , ∵△OAB 的面积为48√3,∴√34(4√3p )2=48√3,解得p 2=4,∴p=2.5.【答案】2 1【解析】由题意知p2=1,从而p=2,所以抛物线方程为y 2=4x.当直线AB 斜率不存在时,x=1代入y 2=4x ,解得y 1=2,y 2=-2,即|AF|=|BF|=2, 从而1|AF |+1|BF |=1.当直线AB 斜率存在时,设AB 的方程为y=k (x -1), 显然k ≠0,联立{y =k (x -1),y 2=4x ,消去y ,整理得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则{x 1+x 2=2k 2+4k 2,x 1x 2=1,从而1|AF |+1|BF |=1x 1+1+1x 2+1=x 1+x 2+2x1+x 2+x 1x 2+1=x 1+x 2+2x 1+x 2+2=1. 6.解：(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1≠x 2,y 1=x 124,y 2=x 224,x 1+x 2=4,于是直线AB 的斜率k=y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 24=1.(2)由y=x 24,得y'=x2.设M (x 3,y 3),由题设知x32=1,解得x 3=2,于是M (2,1).设直线AB 的方程为y=x+m ,故线段AB 的中点为N (2,2+m ),|MN|=|m+1|. 将y=x+m 代入y=x 24,得x 2-4x -4m=0. 当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时, x 1=2+2√m +1,x 2=2-2√m +1, 从而|AB|=√2|x 1-x 2|=4√2(m +1).由题设知|AB|=2|MN|,即4√2(m +1)=2(m+1), 解得m=7,或m=-1(舍). 所以直线AB 的方程为y=x+7.7.解：(1)因为☉M 过点A ,B ,所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线x+y=0上,且A ,B 关于坐标原点O 对称,所以M 在直线y=x 上,故可设M (a ,a ). 因为☉M 与直线x+2=0相切,所以☉M 的半径为r=|a+2|.由已知得|AO|=2,又MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故可得2a 2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4. 故☉M 的半径r=2或r=6.(2)存在定点P (1,0),使得|MA|-|MP|为定值. 理由如下:设M (x ,y ),由已知得☉M 的半径为r=|x+2|,|AO|=2.由于MO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故可得x 2+y 2+4=(x+2)2,化简得M 的轨迹方程为y 2=4x. 因为曲线C :y 2=4x 是以点P (1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1. 因为|MA|-|MP|=r -|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P .素养培优练解：(1)因为直线AB 过焦点F (p 2,0),设直线AB 的方程为x=my+p2,将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立{x =my +p2,y 2=2px ,消去x 得y 2-2mpy -p 2=0,所以有y 1y 2=-p 2=-4,∵p>0,∴p=2, 因此,抛物线E 的方程为y 2=4x ; (2)由(1)知抛物线的焦点坐标为F (1,0), 设直线AB 的方程为x=my+1, 联立抛物线的方程y 2-4my -4=0, 所以y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4, 则有1k 1=m+3y 1,1k 2=m+3y 2,因此1k 12+1k 22=(m +3y 1)2+(m +3y 2)2=2m 2+6m (1y 1+1y 2)+9(1y 12+1y 22)=2m 2+6m ·y 1+y 2y 1y 2+9·(y 1+y 2)2-2y 1y 2y 12y 22=2m 2+6m ·4m -4+9·(4m )2+816=5m 2+92.因此,当且仅当m=0时,1k 12+1k 22有最小值92.。

应用题抛物线的性质

应用题抛物线的性质抛物线是数学中经常出现的一种曲线形状，具有许多有趣的性质和应用。

本文将探讨抛物线的性质，并介绍一些实际中常见的应用。

一、抛物线的定义与性质抛物线是平面上的一条曲线，其定义可以用平面几何的语言来描述，也可以用二次函数的方程来表示。

一般来说，抛物线是由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定的。

抛物线的性质如下：1. 对称性：抛物线具有对称轴的对称性。

对称轴是通过抛物线的焦点和准线垂直平分的直线。

任意一点到对称轴的距离相等。

2. 焦点与准线的关系：焦点到准线的距离等于焦距的两倍。

焦点和准线之间的距离被称为焦距。

3. 顶点坐标：抛物线的顶点为对称轴与抛物线的交点，也是抛物线的最高（或最低）点。

顶点的坐标可以通过方程求解得到。

二、抛物线的应用1. 抛物线的建筑设计：抛物线在建筑设计中有着广泛的应用。

比如，在设计圆顶建筑如圆顶体育馆或穹顶教学楼时，常常使用抛物线形状，因为抛物线形状能够均匀分散压力，提高建筑的稳定性。

2. 抛物线的发射轨迹：物体受到重力的作用下，竖直向上抛出时，其轨迹是一个抛物线。

这一性质在火箭发射、炮弹发射等领域有着广泛的应用。

利用抛物线轨迹，可以计算出物体的落点、最远射程等信息。

3. 抛物线的碰撞轨迹：在台球游戏中，当一个球以一定的速度和角度撞向另一个球时，其碰撞轨迹可以用抛物线来描述。

利用抛物线的性质，可以预测球的行进路线，帮助玩家制定击球策略。

4. 抛物线的光学：在凹面镜和抛物面反射器中，采用的镜面形状正是抛物线。

因为抛物面反射器能够使平行光线聚焦到一个点上，具有集光效果。

5. 抛物线的电磁波聚焦：抛物面拟似的天线，在通信和雷达领域中广泛使用。

抛物面天线能够将电磁波聚焦到一个点上，提高信号接收效果。

总结：抛物线是一种常见的曲线形状，在几何学、物理学、工程学和日常生活中都有着广泛的应用。

它的对称性、焦点与准线的关系以及顶点坐标等性质使得该曲线在各个领域发挥着重要的作用。

课时作业3：2.3.2 抛物线的几何性质

2.3.2 抛物线的几何性质1．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( )．A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝02．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )．A ．213B ．215C ．217D ．2193．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )．A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－24．抛物线顶点在坐标原点，以y 轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________．5．已知O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是________．6．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线16x 2－9y 2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．7．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )．A.13B.23C.23D.2238．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线相交于M ，N 两点，自M ，N 向准线l 作垂线，垂足分别为M 1，N 1，则∠M 1FN 1等于( )．A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°9．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点，且过A ，B 的抛物线方程是________．10．设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1，0)．直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为(2，2)，则直线l 的方程为________．11．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y ＝2x ＋1截得的弦长为15，求抛物线的方程．12．如图，南北方向的公路l，A地在公路的正东2 k m处，B地在A地东偏北30°方向2 3 k m处，河流沿岸PQ(曲线)上任一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A、B两地转运货物，经测算从M到A，M到B修建公路的费用均为a 万元/k m，那么修建这两条公路的总费用最低是多少？答案：1．解析设直线l 的方程为3x －2y ＋c ＝0，抛物线y 2＝2x 的焦点F (12，0)，所以3×12－2×0＋c ＝0，所以c ＝－32，故直线l 的方程是6x －4y －3＝0.选A. 答案 A2．解析不妨设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，其中x 1>x 2.由直线AB 斜率为－2，且过点(1，0)得直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，代入抛物线方程y 2＝8x 得4(x －1)2＝8x ，整理得x 2－4x ＋1＝0，解得x 1＝2＋3，x 2＝2－3，代入直线AB 方程得y 1＝－2－23，y 2＝23－2.故A (2＋3，－2－23)，B (2－3，23－2)．|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝215.答案 B3．解析抛物线的焦点为F (p 2，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，代入y 2＝2px 得y 2＝2p (y ＋p 2)＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1. 答案 B4．解析 ∵过焦点且与对称轴y 轴垂直的弦长等于p 的2倍．∴所求抛物线方程为x 2＝±16y .答案 x 2＝±16y5．解析 ∵抛物线的焦点为F (1，0)，设A (y 204，y 0)，则OA →＝(y 204，y 0)，AF →＝(1－y 204，－y 0)，由OA →·AF →＝－4，得y 0＝±2，∴点A 的坐标是(1，2)或(1，－2)．答案 (1，2)或(1，－2)6．解 (1)由抛物线的标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为p 2，故p 2＝4，p ＝8.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝±16x 或x 2＝±16y .(2)双曲线方程16x 2－9y 2＝144化为标准形式为x 29－y 216＝1，中心为原点，左顶点为(－3，0)，故抛物线顶点在原点，准线为x ＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，可得p 2＝3，故p ＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝12x .7．解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， ∴x 1x 2＝4，① ∵|F A |＝x 1＋p 2＝x 1＋2， |FB |＝x 2＋p 2＝x 2＋2，且|F A |＝2|FB |， ∴x 1＝2x 2＋2.②由①②得x 2＝1，∴B (1，22)，代入y ＝k (x ＋2)，得k ＝223.故选D. 答案 D8．解析如图，由抛物线的定义，得|MF |＝|MM 1|，|NF |＝|NN 1|.∴∠MFM 1＝∠MM 1F ，∠NFN 1＝∠NN 1F .设准线l 与x 轴的交点为F 1，∵MM 1∥FF 1∥NN 1，∴∠MM 1F ＝∠M 1FF 1，∠NN 1F ＝∠N 1FF 1.而∠MFM 1＋∠M 1FF 1＋∠NFN 1＋∠N 1FF 1＝180°，∴2∠M 1FF 1＋2∠N 1FF 1＝180°，即∠M 1FN 1＝90°.答案 C9．解析该等边三角形的高为32.因而A 点坐标为⎝⎛⎭⎫±32，12或⎝⎛⎭⎫±32，－12.可设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)．A 在抛物线上，因而p ＝±312.因而所求抛物线方程为y 2＝±36x .答案 y 2＝±36x 10．解析抛物线的方程为y 2＝4x ，设直线l 与抛物线C 的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1≠x 2，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2. 两式相减得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1， ∴直线l 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x .答案 y ＝x11．解设抛物线的方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝2x ＋1，消去y ，得 4x 2－(2p －4)x ＋1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2 ＝p －22，x 1x 2＝14. |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝ 5（p －22）2－4×14＝15. 则 p 24－p ＝3，p 2－4p －12＝0， p ＝－2或6.∴y 2＝－4x 或y 2＝12x .12．解分别过点M 、B 、A 作直线MM ′⊥l ，BB ′⊥l ，AA 1⊥l ，垂足分别为M ′、B ′、A 1，过点B 作BB 1⊥AA 1，垂足为B 1，由已知可得|AB 1|＝|AB |·cos 30°＝23×32＝3. 又|AA 1|＝2，可得|BB ′|＝3＋2＝5.由抛物线定义可得|AM |＝|MM ′|，∴修路费用为(|AM |＋|MB |)a ＝(|MM ′|＋|MB |)a ≥|BB ′|a ＝5a (万元)． ∴修建这两条公路的总费用最低是5a 万元．。

抛物线的方程与性质(知识讲解与巩固练习)

zh要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．要点二、抛物线的标准方程标准方程的推导如图，以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴,垂足为K.以F,K 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设|KF|=p(p ＞0)，那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2p x =-. 设点M （x,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合.将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>. ①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p它的准线方程是2p x =-. 抛物线标准方程的四种形式：一般情况归纳：方程图象的开口方向焦点准线2y kx =0k >时开口向右 (,0)4k4k x =-0k <时开口向左2x ky =0k >时开口向上 (0,)4k 4k y =-0k <时开口向下要点三、抛物线的简单几何性质：抛物线标准方程22(0)y px p =>的几何性质范围：{0}x x ≥，{}y y R ∈，抛物线y 2=2px （p ＞0）在y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标（x ，y ）的横坐标满足不等式x ≥0；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

抛物线是无界曲线。

对称性：关于x 轴对称抛物线y 2=2px （p ＞0）关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。

抛物线只有一条对称轴。

}|||{d MF M P ==.|2|)2(|,2|,)2(||2222p x y p x px d y p x MF +=+-∴+=+-=顶点：坐标原点抛物线y 2=2px （p ＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。

课时作业1：2.3.2 抛物线的几何性质（一）

2.3.2 抛物线的几何性质(一)一、基础过关1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y 答案 C解析设抛物线y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，p ＝4.2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2答案 B解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2. 将其代入y 2＝2px ＝2p ⎝⎛⎭⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，故选B.3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影为A 1、B 1，则∠A 1FB 1等于( )A ．45°B ．90°C ．60°D ．120°答案 B解析如图，由抛物线定义知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AF A 1，又∠AA 1F ＝∠A 1FO ，∴∠AF A 1＝∠A 1FO ，同理∠BFB 1＝∠B 1FO ，于是∠AF A 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1.故∠A 1FB 1＝90°.4．抛物线y 2＝8x 的准线方程是________．答案 x ＝－2解析抛物线y 2＝2px (p >0)，p ＝4.5．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案 6解析由题意知B ⎝⎛⎭⎫p 3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1 得p ＝6.6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝______.答案 8解析如图，作AA ′⊥l ，BB ′⊥l ，垂足分别为A ′，B ′.由抛物线定义知|AF |＝|AA ′|＝x 1＋p 2， |BF |＝|BB ′|＝x 2＋p 2. ∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.7．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为坐标原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB 的方程．解如图所示，设A (x 0，y 0)，由题意可知B (x 0，－y 0)，又F ⎝⎛⎭⎫p 2，0是△AOB 的垂心，则AF ⊥OB ，即k AF ·k OB ＝－1，即y 0x 0－p 2·(－y 0x 0)＝－1，得y 20＝x 0⎝⎛⎭⎫x 0－p 2，又y 20＝2px 0，所以x 0＝2p ＋p 2＝5p 2. 因此直线AB 的方程为x ＝5p 2.二、能力提升8．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( ) A.12B.32 C ．1 D. 3 答案 B解析抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线是y ＝±3x ，即3x ±y ＝0， ∴所求距离为|3±0|(3)2＋(±1)2＝32.选B. 9．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为______________．答案 y 2＝4x解析设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2⇒y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2·(y 1＋y 2)＝2p ⇒2p ＝1×4⇒p ＝2. 故y 2＝4x .10．已知O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是________．答案 (1,2)或(1，－2)解析 ∵抛物线的焦点为F (1,0)，设A (y 204，y 0)，则OA →＝(y 204，y 0)，AF →＝(1－y 204，－y 0)，由OA →·AF →＝－4，得y 0＝±2，∴点A 的坐标是(1,2)或(1，－2)．11．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程．解 ∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零．故可设弦所在直线的斜率为k ，且与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点．∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)．∴直线的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x 整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0(k ≠0)．∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. ∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝2k 2＋4k2＋2. 又|AB |＝36，∴2k 2＋4k 2＋2＝36，∴k ＝±24. ∴所求直线方程为y ＝24(x －1)或y ＝－24(x －1)． 12．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y ＝2x ＋1截得的弦长为15，求抛物线的方程．解设抛物线的方程为y 2＝2mx ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2mx ，y ＝2x ＋1，消去y ，得4x 2－(2m －4)x ＋1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝m －22，x 1x 2＝14. |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 5(m －22)2－4×14＝15. 则 m 24－m ＝3，m 2－4m －12＝0， m ＝－2或6.经验证，符合题意．∴y 2＝－4x 或y 2＝12x .三、探究与拓展13．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则称AB 为抛物线的焦点弦．求证：(1)y 1y 2＝－p 2；x 1x 2＝p 24； (2)1|F A |＋1|FB |＝2p； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．证明如图所示．(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程：x ＝－p 2. 设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p 2，把它代入y 2＝2px ，化简，得y 2－2pky －p 2＝0.∴y 1y 2＝－p 2，∴x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝(y 1y 2)24p 2＝(－p 2)24p 2＝p 24. (2)根据抛物线定义知|F A |＝|AA 1|＝x 1＋p 2，|FB |＝|BB 1|＝x 2＋p 2， ∴1|F A |＋1|FB |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝22x 1＋p ＋22x 2＋p ＝2(2x 2＋p )＋2(2x 1＋p )(2x 1＋p )(2x 2＋p )＝4(x 1＋x 2)＋4p 4x 1x 2＋2p (x 1＋x 2)＋p 2＝4(x 1＋x 2＋p )2p (x 1＋x 2＋p )＝2p . (3)设AB 中点为C (x 0，y 0)，过A 、B 、C 分别作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，C 1.则|CC 1|＝12·(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |) ＝12·|AB |. ∴以线段AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．。

抛物线的性质及综合应用的练习题及答案

抛物线的性质及综合应用1、已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆422=+y x 相交的公共弦长为32，求这条抛物线的方程。

2、已知B A 、是抛物线()022>=p px y 上的两点，O 为坐标原点，若AOB OB OA ∆=,的垂心恰为抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是。

3、给定x y 22=，设()()P a a A ,00,>是抛物线上一点且d PA =，试求d 的最小值。

4、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，求正三角形的边长。

5、直角三角线的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，且一直角边的方程是x y 2=，斜边长是35，求此抛物线方程。

6、已知过抛物线x y 42=的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程。

7、已知抛物线()022>=p px y 的一条过焦点F 的弦AB 被焦点F 分成长度为n m ,两部分。

求证：nm 11+为定值。

8、抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为︒135的直线，被抛物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程。

9、设抛物线()022>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A 、两点，点C 在抛物线的准线上，且x BC //轴，求证：C O A 、、三点共线。

10、若抛物线2x y =上存在关于直线()3-=x m y对称的两点，求实数m 的取值范围。

11、已知抛物线2xy =，过点()1,2Q 作一条直线交抛物线于B A 、两点，试求弦AB 的中点方程。

12、如图，过抛物线x y =2上一点()2,4A 作倾斜角互补的两条直线AC AB 、交抛物线于C B 、两点，求证：BC 的斜率为定值。

13、已知抛物线py x 22=的焦点为F ，点()()()333222111,,,y x P y x P y x P 、、在抛物线上，且3122y y y +=，则有( ) ;;232221321FP FP FP B FP FP FP A =+=+、、 ;;22231231FP FP FP D FP FP FP C ==+、、14、与直线042=+-y x 平行的抛物线2x y =的切线方程为。

数学物理教案：抛物线的性质与应用

数学物理教案：抛物线的性质与应用一、抛物线的性质实践教案1.1 抛物线的定义与基本性质抛物线是二次函数的图像，具有特殊的几何性质和应用价值。

在数学中，我们常用一般式方程 y=ax^2+bx+c （其中a≠0 ）来描述抛物线。

在这个教案中，我们将重点探讨抛物线的性质与应用。

首先，我们来介绍抛物线的基本性质。

抛物线的对称轴与 x 轴平行，方程形式为 x= -b/2a。

对称轴上的点称为抛物线的顶点，也是对称中心。

通过点对称性，可以得出抛物线关于顶点对称。

抛物线在顶点处取得最值，当 a>0 时，最小值为 -D/4a；当 a<0 时，最大值为 -D/4a。

其中 D=b^2 - 4ac 称为方程的判别式。

抛物线的开口方向由 a 的正负决定，当 a>0 时，抛物线开口向上；当 a<0 时，抛物线开口向下。

1.2 抛物线的性质之焦点与准线接下来，我们将讨论抛物线的焦点和准线。

对于给定的抛物线，焦点F（p, q）是位于对称轴上的一个点，满足距离的性质：焦点到抛物线上任意一点的距离等于焦点到准线上的相应点的距离。

准线是过焦点 F 且垂直于对称轴的一条直线，其方程为 y=-(D/4a)。

我们可以利用这一性质来确定焦点的坐标，通过解方程组将焦点的坐标表示为（p, q）=（-b/2a, -D/4a）。

二、抛物线的应用实践教案2.1 抛物线的应用之物体运动轨迹抛物线不仅在数学领域有重要性质，而且在物理学中也具有广泛的应用。

抛物线可用于描述和分析物体在自由落体或斜抛运动中的轨迹。

在物理学中，我们知道自由落体运动是指只受重力作用的运动。

当一个物体以初速度 v₀进行向下抛掷时，其运动轨迹可以用抛物线来描述。

根据抛物线的性质，我们可以计算物体的最高点、最大高度以及落地点等重要信息。

2.2 抛物线的应用之天体运动除了物体运动轨迹外，抛物线还可以用于描述天体的运动。

在天文学中，行星、卫星和彗星等天体在星际空间中的运动轨迹往往呈现出抛物线形状。

初三抛物线简单练习题

初三抛物线简单练习题抛物线是数学中的一种曲线，具有独特的形状和性质。

在初中数学中，我们经常遇到关于抛物线的简单练习题。

本文将为大家介绍几道初三水平的抛物线简单练习题，帮助大家加深对抛物线的理解。

1. 将抛物线的概念和性质用自己的话进行解释。

抛物线是指平面上的一种曲线，其形状呈现出对称性。

它由一个定点（称为焦点）和一条直线（称为准线）确定。

抛物线的性质包括：焦点到准线的距离与焦点到抛物线上任意一点的距离相等；抛物线关于准线对称；抛物线上任意一点都与焦点和准线的距离成正比关系。

2. 计算以下抛物线的顶点坐标：a) 抛物线的方程为 y = 2x^2 - 4x + 3；b) 抛物线的方程为 y = -x^2 + 6x - 5；a) 对于方程 y = 2x^2 - 4x + 3，我们可以通过求导数找到顶点坐标。

首先，将方程转化为标准形式 y = a(x - h)^2 + k，其中 (h, k) 为顶点坐标。

y = 2x^2 - 4x + 3 = 2(x^2 - 2x) + 3 = 2(x^2 - 2x + 1) + 3 - 2 = 2(x - 1)^2 + 1因此，该抛物线的顶点坐标为 (1, 1)。

b) 对于方程 y = -x^2 + 6x - 5，同样进行转化为标准形式的步骤。

y = -x^2 + 6x - 5 = -(x^2 - 6x) - 5 = -(x^2 - 6x + 9) - 5 + 9 = -(x - 3)^2 + 4因此，该抛物线的顶点坐标为 (3, 4)。

3. 若抛物线的焦点坐标为 (2, 3)，准线方程为 x = 1，求抛物线的方程。

我们已知抛物线的焦点坐标为 (2, 3)，则焦点到准线的距离为焦点到抛物线上任意一点的距离，即2。

根据抛物线性质，直线 x = 1 就是准线。

考虑到焦点到准线的距离可以用焦点坐标与准线的距离差表示，设抛物线的方程为 y = ax^2 + bx + c，则焦点到准线的距离为 2 = 3 - 1 = 3 - (2a + b + c)。

抛物线的性质与定理应用

抛物线的性质与定理应用抛物线是数学中的一个重要概念，它具有许多独特的性质和定理。

作为一位初中数学特级教师，我将在本文中向大家介绍抛物线的性质与定理，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、抛物线的基本性质抛物线是由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定的曲线，具有以下基本性质：1. 对称性：抛物线关于准线对称，即准线是抛物线的对称轴。

这个性质使得我们在研究抛物线时可以利用对称性简化问题，节省计算时间。

2. 焦点与准线的关系：抛物线上的任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

这个性质被广泛应用于抛物线的测量和设计中，例如卫星天线的调整和太阳能聚光器的设计等。

3. 切线性质：抛物线上的切线与准线垂直。

这个性质使得我们可以通过求解切线斜率为零的方程来确定抛物线上的顶点，从而得到抛物线的标准方程。

二、抛物线的定理应用1. 焦半径定理：焦半径定理是抛物线的一个重要定理，它指出抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离的两倍。

这个定理可以用来解决很多与焦点和准线有关的实际问题，例如抛物线反射器的设计和抛物面反射望远镜的原理等。

2. 焦点坐标定理：焦点坐标定理是抛物线的另一个重要定理，它指出抛物线的焦点坐标为（p，0），其中p是焦准距。

这个定理可以用来确定抛物线的焦点位置，从而进一步求解抛物线的标准方程。

3. 抛物线的最值问题：抛物线在一定范围内的最值问题是数学中常见的优化问题。

通过求解抛物线的最值，我们可以确定抛物线的最高点、最低点以及最值对应的自变量值。

这个问题在物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。

三、抛物线的实际应用举例1. 抛物线的轨迹问题：假设有一个人站在地面上，以一定的初速度和角度抛出一个物体。

我们可以利用抛物线的轨迹性质来计算物体的飞行距离、最大高度和落地点等。

这个问题在射击、投掷和运动等领域都有实际应用。

2. 抛物线的抛物面反射望远镜：抛物面反射望远镜是一种常见的望远镜设计，它利用抛物线的焦点和准线性质来聚集光线，从而实现远距离的观测。

课时作业1：2.3.2 抛物线的几何性质（二）

2.3.2 抛物线的几何性质(二)一、基础过关1．抛物线y 2＝mx 的焦点为F ，点P (2,22)在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 在该抛物线准线的距离为( )A ．1B.32 C ．2 D.52 答案 D解析因为点P (2,22)在抛物线上，所以2m ＝8，m ＝4，所以y 2＝4x .抛物线的焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，由题意可知M ⎝⎛⎭⎫32，2，所以点M 到抛物线准线距离为32－(－1)＝52. 2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且|P 1F |，|P 2F |，|P 3F |成等差数列，则有( )A ．x 1＋x 2＝x 3B ．y 1＋y 2＝y 3C ．x 1＋x 3＝2x 2D ．y 1＋y 3＝2y 2 答案 C解析由抛物线定义及题中条件知2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＋⎝⎛⎭⎫x 3＋p 2，即x 1＋x 3＝2x 2. 3．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( )A.43B.75C.85 D ．3 答案 A解析设与直线4x ＋3y －8＝0平行，且与抛物线相切的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋c ＝0，得4x －3x 2＋c ＝0，令Δ＝16＋12c ＝0，所以c ＝－43. 两平行直线的距离d ＝|－8＋43|42＋32＝43，即抛物线上的点到直线4x ＋3y －8＝0的最小距离．4．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5答案 B解析由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p 2＝3， ∴p ＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2＝8，∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.5．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是______________．答案 x 2＝2y －1解析 y ＝14x 2即x 2＝4y ，∴焦点坐标为(0,1)．设PF 的中点为(x ，y )，∵P (x 0，y 0)在抛物线上，则⎩⎨⎧x 02＝x ，y 0＋12＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y －1.代入x 2＝4y 得(2x )2＝4(2y －1)，即x 2＝2y －1.6．抛物线x 2＝ay (a ≠0)的焦点坐标为__________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，a 4 解析若a >0，焦点在y 轴正半轴上，抛物线x 2＝ay ＝2py (p >0)．∴2p ＝a ，∴p ＝a 2，焦点F ⎝⎛⎭⎫0，a 4；若a <0，焦点在y 轴负半轴上，抛物线x 2＝ay ＝－2py (p >0)，∴p ＝－a 2，焦点F ⎝⎛⎭⎫0，a 4. 故焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，a 4. 7．根据条件求抛物线的标准方程．(1)抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线x ＋y ＋2＝0上；(2)抛物线的顶点在原点，焦点是圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心．解 (1)直线x ＋y ＋2＝0与x ，y 轴的交点坐标分别为(－2，0)和(0，－2)，所以抛物线的标准方程可设为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)，由－p 2＝－2，得p ＝4，所以所求抛物线的方程为y 2＝－8x 或x 2＝－8y .(2)圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心为(2,0)，故抛物线方程的形式为y 2＝2px (p >0)．由p 2＝2得p ＝4，所以所求抛物线方程为y 2＝8x . 二、能力提升8．过点M (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若弦AB 恰被点M 所平分，则弦AB 所在直线的方程是__________．答案 4x －y －15＝0解析设以M 为中点的弦AB 的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝2×4＝8，y 1＋y 2＝2×1＝2，由题知直线AB 的斜率k 存在且不为0，k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 把A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标代入抛物线的方程得y 21＝8x 1，①y 22＝82x 2.②②－①得y 22－y 21＝8(x 2－x 1)，所以8＝y 22－y 21x 2－x 1＝(y 1＋y 2)(y 2－y 1)x 2－x 1＝2k ，所以k ＝4，所以所求弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.9．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF＝________. 答案 45解析设点A 、B 分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由|BF |＝2知x 2＝32，y 22＝3.设直线AB 的方程为x ＝ky ＋3，代入y 2＝2x 得y 2－2ky －23＝0，则y 1y 2＝－23，∴y 21＝4，∴S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝⎪⎪⎪⎪x 2＋12⎪⎪⎪⎪x 1＋12＝y 22＋1y 21＋1＝45. 10．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于Q 点，若过Q 点的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]答案 C解析由Q (－2,0)，可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，Δ＝42(－4k 2＋4)≥0⇒k 2≤1⇒－1≤k ≤1.11.如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O .证明方法一设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C ⎝⎛⎭⎫－p 2，y 2. 联立方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，得y 2－2py k－p 2＝0， ∴y 1y 2＝－p 2，k OA ＝y 1x 1，k OC ＝y 2－p 2＝2p y 1. 又∵y 21＝2px 1，∴k OC ＝y 1x 1＝k OA ，所以AC 经过原点O . 当k 不存在时，AB ⊥x 轴，同理可得k OA ＝k OC ，所以AC 经过原点O .方法二因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，由于直线AB 斜率不为0，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p 2，代入抛物线方程消去x ，得y 2－2pmy －p 2＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2.因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p 2上，所以点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，y 2，故直线CO 的斜率为k ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1，即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O .12．设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)设l 的斜率为2，求|AB |的大小；(2)求证：OA →·OB →是一个定值．(1)解依题意得F (1,0)，所以直线l 的方程为y ＝2(x －1)．设直线l 与抛物线的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝4x ，消去y 整理得x 2－3x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1.方法一所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·32－4×1＝5.方法二所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋2＝5.(2)证明设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，设直线l 与抛物线的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，消去x 整理得y 2－4ky －4＝0，所以y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.因为OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3，所以OA →·OB →是一个定值．三、探究与拓展13．已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．(1)解如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴|O 1M |＝x 2＋42，又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2，∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0.其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bk k 2，① x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．。

课时作业11：第2课时　抛物线的几何性质的应用

第2课时抛物线的几何性质的应用一、选择题1．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程为( )A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0 考点直线与抛物线的位置关系题点求抛物线中的直线方程答案 D解析设直线方程为2x －y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋m ＝0，y ＝x 2，得x 2－2x －m ＝0，Δ＝4＋4m ＝0，∴m ＝－1，∴直线方程为2x －y －1＝0.2．已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2与抛物线D ：y 2＝20x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝8，则圆C 的面积是( )A ．5πB ．9πC ．16πD ．25π考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线的位置关系的综合应用答案 D解析抛物线D ：y 2＝20x 的准线方程为x ＝－5.圆C 的圆心(－2,0)到准线的距离d ＝3.又由|AB |＝8，∴r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫AB 22＝25，故圆C 的面积S ＝25π，故选D.3．已知抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为( )A ．(1,2)B ．(0,0) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1,4)考点直线与抛物线的位置关系题点距离的最值问题答案 C解析因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交，设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m .则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ，即4x 2－4x －m ＝0.① 设此直线与抛物线相切有Δ＝0，即Δ＝16＋16m ＝0，∴m ＝－1.将m ＝－1代入①式，得x ＝12，y ＝1，所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1.4．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5考点抛物线的定义题点由抛物线定义求距离答案 B解析由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则点M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p 2＝3， ∴p ＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2＝8，∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.5．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案 B解析 ∵抛物线的焦点为F (1,0)，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，AF →＝⎝⎛⎭⎫1－y 204，－y 0，由OA →·AF →＝－4，得y 0＝±2，∴点A 的坐标是(1,2)或(1，－2)．6．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 的中点的横坐标为2，则k 等于( )A ．2或－2B ．－1C ．2D ．3 考点直线与抛物线的位置关系题点弦中点问题答案 C解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝2，即x 1＋x 2＝4，∴x 1＋x 2＝4k ＋8k2＝4， ∴k ＝2或－1，经判别式检验知k ＝2符合题意．7．已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M ，N ，若|AM |＝2|BN |，则k 的值是( )A.13B.23 C ．2 2 D.223考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线的位置关系的综合应用答案 D解析设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为m ：x ＝－2.直线y ＝k (x ＋2)(k >0)恒过定点P (－2,0)，如图，过点A ，B 分别作AM ⊥m 于点M ，BN ⊥m 于点N .由|AM |＝2|BN |，得点B 为AP 的中点，连接OB ，则|OB |＝12|AF |， ∴|OB |＝|BF |，∴点B 的横坐标为1，∴点B 的坐标为(1,22)．把B (1,22)代入直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)，解得k ＝223，故选D. 二、填空题8．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是______________．考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线公共点的个数答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析由题意知机器人进行的轨迹为以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x .设过点P (－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)．代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0.∵机器人接触不到该直线，∴Δ＝(2k 2－4)2－4k 4<0，∴k 2>1，∴k >1或k <－1.9．抛物线焦点在y 轴上，截得直线y ＝12x ＋1的弦长为5，则抛物线的标准方程为_______．考点直线与抛物线的位置关系题点弦长问题答案 x 2＝－20y 或x 2＝4y解析设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝12x ＋1，得x 2－a 2x －a ＝0. 设直线与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝－a ， |AB |＝1＋14·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝ 1＋14·a 24＋4a ＝5，得a ＝－20或4，经检验，a ＝－20或4都符合题意．∴抛物线方程为x 2＝－20y 或x 2＝4y .10．已知抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称．若2x 1x 2＝－1，则2m 的值是_______．考点直线与抛物线的位置关系题点对称问题答案 3解析由题意，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2x 22－2x 21x 2－x 1＝2(x 2＋x 1)＝－1， ∴x 2＋x 1＝－12. ∵y 1＋y 22＝x 1＋x 22＋m ， ∴y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ，∴2x 21＋2x 22＝－12＋2m ，即2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝－12＋2m ，∴2m ＝3. 11．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.考点抛物线与其他曲线结合有关问题题点抛物线与其他曲线结合有关问题答案 6解析抛物线的焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2.代入x 23－y 23＝1，得|x |＝ 3＋p 24.若△ABF 为等边三角形，则tan π6＝|x |p ＝3＋p 24p ＝33，解得p 2＝36，p ＝6.三、解答题 12．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线的位置关系的综合应用(1)证明如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)，消去x ，得ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得y 1y 2＝－1，y 1＋y 2＝－1k. 因为A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，所以y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，所以y 21·y 22＝x 1x 2.因为k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，所以OA ⊥OB .(2)解设直线与x 轴交于点N ，显然k ≠0，令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1,0)，因为S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2| ＝12|ON |·|y 1－y 2|，所以S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝12 ⎝⎛⎭⎫－1k 2＋4. 因为S △OAB ＝10，所以10＝121k 2＋4，解得k ＝±16. 13．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．考点直线与抛物线的位置关系题点定点(定值)问题解 (1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4.所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b .因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ，又OA →·OB →＝－4，∴b 2－4b ＝－4，解得b ＝2，故直线l 过定点(2,0)．四、探究与拓展14．如图，已知点F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点P 是其准线l 上的动点，直线PF 交抛物线C 于A ，B 两点．若点P 的纵坐标为m (m ≠0)，点D 为准线l 与x 轴的交点，则△DAB 的面积S 的取值范围为________．考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线的位置关系的综合运用答案 (4，＋∞)解析由抛物线C ：y 2＝4x 可得焦点F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线PF 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫2＋4k 22－4＝4(1＋k 2)k 2. 点D (－1,0)到直线AB 的距离d ＝|2k |k 2＋1， ∴S ＝12d ·|AB |＝|k |1＋k 2·4(1＋k 2)k 2＝4 1k 2＋1＞4，∴△DAB 的面积S 的取值范围为(4，＋∞)． 15．已知F 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (4,2)为抛物线内一定点，点P 为抛物线上一动点，|P A |＋|PF |的最小值为8.(1)求抛物线的方程；(2)是否存在定点M ，使过点M 的动直线与抛物线交于B ，C 两点(异于坐标原点)，且以BC 为直径的圆恰好过坐标原点？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．考点直线与抛物线的位置关系题点定点(定值)问题解 (1)设抛物线的准线为l ，过点P 作PD ⊥l 于点D ，过A 作AE ⊥l 于点E (图略)．由抛物线的定义，知|PF |＝|PD |，所以|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PD |≥|AE |，当且仅当A ，P ，E 三点共线时取等号．由题意知|AE |＝8，即4＋p 2＝8，得p ＝8，所以抛物线的方程为y 2＝16x .(2)假设存在点M ，当直线BC 的斜率存在时，设过点M 的直线方程为y ＝kx ＋b .显然k ≠0，b ≠0，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由以BC 为直径的圆恰好过坐标原点，得OB →·OC →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，把y ＝kx ＋b 代入y 2＝16x ，得k 2x 2＋2(bk －8)x ＋b 2＝0，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝－2(bk－8)k 2，x 1x 2＝b 2k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝k 2x 1x 2＋bk (x 1＋x 2)＋b 2，所以y 1y 2＝16b k，所以16b k ＋b 2k 2＝0，得b ＝－16k . 所以过点M 的直线方程为y ＝kx －16k ＝k (x －16)，必过定点(16,0)．当直线BC 的斜率不存在时，直线x ＝16交抛物线于B (16，－16)，C (16,16)或B (16,16)，C (16，－16)，仍然有OB →·OC →＝0.综上，存在点M (16,0)满足条件．。

(完整版)抛物线基础练习题

完整版)抛物线基础练习题抛物线基础练习题1.抛物线方程及性质1.1 抛物线的标准方程为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是实数常数。

a 的值决定了抛物线的开口方向。

当 $a。

0$ 时，抛物线开口向上。

当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。

1.2 抛物线的对称轴是垂直于 x-轴的直线，可以通过以下公式求得：x = -\frac{b}{2a}$$2.抛物线图像绘制2.1 绘制抛物线图像的步骤：确定抛物线的方程。

找出对称轴的 x 坐标。

绘制对称轴，并确定对称轴上的一点。

根据对称轴上的点，绘制抛物线的图像。

2.2 使用上述步骤绘制以下抛物线的图像：2.2.1 $y = x^2$，开口向上的抛物线。

首先，我们可以得知对称轴的 x 坐标为 $x = 0$。

确定对称轴上的一点 P(0,0)，然后根据 P 点的坐标起始绘制抛物线图像。

绘制结果如下图所示：抛物线图像](image.png)3.练习题请计算并回答下列问题：1.当抛物线方程为 $y = -2x^2 + 3x + 1$ 时，求其对称轴的 x 坐标。

2.给定抛物线方程 $y = 4x^2 + 2x + 1$，求其开口方向。

4.答案解析解答上述练习题：1.根据公式 $x = -\frac{b}{2a}$，代入 $a=-2$ 和 $b=3$，我们可以计算得到对称轴的 x 坐标为 $x = -\frac{3}{2}$。

2.根据抛物线方程 $y = 4x^2 + 2x + 1$，我们可以得知 $a = 4.0$，所以抛物线的开口方向是向上。

希望以上内容能够帮助你理解抛物线的基本概念和绘制方法。

如果还有其他问题，请随时提问。

课时作业3：3.3.2　第2课时　抛物线的方程及性质的应用

3.3.2第2课时抛物线的方程及性质的应用基础练一、选择题1.过点P(0，1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有()A.4条B.3条C.2条D.1条2.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程为()A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x-y-1=03.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是()A. B.[-2，2]C.[-1，1]D.[-4，4]4.已知抛物线C:x2=6y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则|AF|+|BF|=()A.8B.11C.13D.16二、填空题5.抛物线x=8y2的通径(通径即过焦点垂直于对称轴的弦)长为.6.设F为抛物线C:y2=8x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|=.三、解答题7.已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线截直线x-2y-1=0所得的弦长为，求此抛物线的方程.8.已知抛物线y2=2px(1<p<3)的焦点为F，抛物线上的点M(x0，1)到准线的距离为.(1)求抛物线的标准方程.(2)设直线MF与抛物线的另一交点为N，求的值.能力练1.若抛物线y2=x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y=x+b对称，且y1y2=-1，则实数b的值为()A.-3B.3C.2D.-22.已知P为抛物线y2=4x上一个动点，P到其准线的距离为d，Q为圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上一个动点，d+|PQ|的最小值是()A.5B.4C.2+1D.+13.已知抛物线y2=4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则+的最小值是.4.已知点M和抛物线C:y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若∠AMB=90°，则k=.加练·固已知O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，若·= -4，则点A 的坐标是.5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，P(5，a)为抛物线C上一点，且|PF|=8.(1)求抛物线C的方程.(2)过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过Q(0，-3)，求直线l的方程.培优·练1.已知在抛物线y=x2上存在两个不同的点M，N关于直线y=kx+对称，则k的取值范围为.2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(x0，-4)到焦点F的距离|PF|=2x0.(1)求抛物线C的方程.(2)设直线l与抛物线C交于A，B两点(A，B异于点P)，且k AP+k BP=-2，试判断直线l是否过定点?若过定点，求出该定点的坐标;若不过定点，请说明理由.参考答案基础练一、选择题【解析】当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条;当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条.2.【答案】D【解析】设切线方程为2x-y+m=0，与y=x2联立得x2-2x-m=0，Δ=4+4m=0，m=-1，即切线方程为2x-y-1=0.3.【答案】C【解析】准线x=-2，Q(-2，0)，设l:y=k(x+2)，由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.当k=0时，得x=0，即交点为(0，0)，当k≠0时，Δ≥0，-1≤k<0或0<k≤1.综上，k的取值范围是[-1，1].4.【答案】C【解析】抛物线C:x2=6y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，若AB的中点的纵坐标为5，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1+y2=10，则|AF|+|BF|=y1+y2+p=10+3=13.二、填空题5.【答案】【解析】抛物线x=8y2，即y2=x，可得2p=，因此通径长为.【解析】由y2=8x，得2p=8，p=4，则F(2，0)，所以过A，B的直线方程为y=(x-2)，联立得x2-28x+4=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=28，所以|AB|=x1+x2+p=28+4=32.三、解答题7.解：设抛物线方程为x2=ay(a≠0).由方程组消去y，得2x2-ax+a=0.因为直线与抛物线有两个交点，所以Δ=(-a)2-4×2×a>0，即a<0或a>8.设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=，所以|AB|===，因为|AB|=，所以=，即a2-8a-48=0，解得a=-4或a=12，所以所求抛物线的方程为x2=-4y或x2=12y.8.解：(1)由题意知消去x0得2p2-5p+2=0，因为1<p<3，解得p=2，所以x0=，所以抛物线标准方程为y2=4x.(2)因为F(1，0)，M，所以k MF=-，直线MF的方程为4x+3y-4=0，联立方程得方程组消去x得y2+3y-4=0，解得y=-4或1，将y=-4代入y2=4x，解得x=4，则|MF|=+1=，|NF|=4+1=5，所以==.能力练1.【答案】D【解析】因为抛物线y2=x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y=x+b对称，所以=-1，所以=-1，所以y1+y2=-1.因为y1y2=-1，所以x1+x2=+=(y1+y2)2-2y1y2=3，所以两点A(x1，y1)，B(x2，y2)中点坐标为.代入y=x+b，可得b=-2.2.【答案】B【解析】点P是抛物线y2=4x上的点，又点P到抛物线准线的距离为d，点P到圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上的动点Q的距离为|PQ|，由抛物线定义知:点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，如图所示，连接圆心C与F，交圆于Q.FC交抛物线的点即为使d+|PQ|最小时P的位置，所以d+|PQ|的最小值为:|FC|-1，因为C(-2，4)，F(1，0)，所以|FC|==5，|CQ|=1，所以d+|PQ|的最小值为5-1=4.3.【答案】32【解析】设AB的方程为x=my+4，代入y2=4x得y2-4my-16=0，则y1+y2=4m，y1y2=-16，所以+=(y1+y2)2-2y1y2=16m2+32，当m=0时，+的最小值为32.4.【答案】2【解析】由抛物线的方程y2=4x可知其焦点F的坐标为(1，0)，所以直线AB的方程为y=k(x-1)，由得k2x2-2(k2+2)x+k2=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1+x2=，x1x2=1，因为∠AMB=90°，所以MA·MB=(x1+1，y1-1)·(x2+1，y2-1)=(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=(x1+1)(x2+1)+[k(x1-1)-1]·[k(x2-1)-1]=(1-k-k2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+k2+2k+2=(1-k-k2)+(1+k2)+k2+2k+2=0，整理可解得k=2.加练·固【答案】(1，2)或(1，-2)【解析】因为抛物线的焦点为F(1，0)，设A，则OA=，AF=，由OA·AF=-4得y0=±2，所以点A的坐标是(1，2)或(1，-2).5.解：(1)由抛物线定义，可得5+=8，解得p=6，所以抛物线C的方程为:y2=12x.(2)由(1)知，F(3，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x=my+3，联立方程消去x，整理得y2-12my-36=0，则Δ=144m2+144>0，且y1+y2=12m，y1y2=-36.因为以线段AB为直径的圆过点Q(0，-3)，所以QA·QB=0，即x1·x2+(y1+3)·(y2+3)=0，所以x1x2+3(y1+y2)+y1y2+9=0，所以(my1+3)(my2+3)+3(y1+y2)+y1y2+9=0，所以(m2+1)y1y2+(3m+3)(y1+y2)+18=0，-36m2-36+36m2+36m+18=0，所以m=.所以直线l的方程为:x=y+3，即2x-y-6=0.培优·练1.【答案】∪【解析】设M(x1，)，N(x2，)，两点关于直线y=kx+对称，显然k=0时不成立，所以=-，即x1+x2=-.设MN的中点为P(x0，y0)，则x0=-，y0=k×+=4.又中点P在抛物线y=x2内，所以4>，即k2>，所以k>或k<-.2.解：(1)由题可得:解得x0=2，p=4，所以抛物线的方程为y2=8x. (2)过定点(-2，0).设直线l的方程为x=my+n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消x得:y2-8my-8n=0，Δ=32(2m2+n)>0，所以y1+y2=8m，y1y2=-8n，所以k AP===，同理k BP=，又k AP+k BP=-2，所以y1y2-16=0，所以n=-2，所以直线l的方程为:x=my-2，过定点(-2，0).。

课时作业1：3.3.2　第2课时　抛物线的方程及性质的应用

第2课时抛物线的方程及性质的应用1．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆答案 A解析设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r ，由两圆外切可得，圆心C 到点(0,3)的距离为r ＋1，所以点C 到点(0,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹是抛物线．2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2答案 B解析抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，代入y 2＝2px 消去x ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.3．已知点(x ，y )在抛物线y 2＝4x 上，则z ＝x 2＋12y 2＋3的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．0答案 B解析因为点(x ，y )在抛物线y 2＝4x 上，所以x ≥0，因为z ＝x 2＋12y 2＋3＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，所以当x ＝0时，z 最小，最小值为3.4．(多选)已知抛物线C ：y ＝x 28的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，且|AF |＝2y 0，则x 0等于( ) A ．2 B ．－2 C ．－4 D ．4答案 CD解析 ∵抛物线C ：y ＝x 28，∴x 2＝8y ， ∴焦点F (0,2)，准线方程为y ＝－2.∵A (x 0，y 0)是C 上一点，且|AF |＝2y 0，由抛物线的定义，得y 0＋2＝2y 0，∴y 0＝2，∴x 20＝16，∴x 0＝±4.5．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，||AF ·||BF ＝16，则p 的值为( )A ．2B ．4C ．2 2D ．8答案 C解析抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) ∴直线AB 的方程为y ＝x －p 2，代入y 2＝2px 可得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，由抛物线的定义可知，||AF ＝x 1＋p 2，||BF ＝x 2＋p 2， ∴||AF ·||BF ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2 ＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24＋32p 2＋p 24＝2p 2＝16，解得p ＝2 2.6．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 答案 2 2解析双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为(－2，0)，所以－p 2＝－2，故p ＝2 2. 7．已知A ，B 为抛物线y 2＝2x 上两点，且A 与B 的纵坐标之和为4，则直线AB 的斜率为________．答案 12解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝4，∵A ，B 在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，相减得 y 21－y 22＝2(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝24＝12. 8．已知抛物线C ：y 2＝2x ，直线l 的斜率为k ，过定点M (x 0，0)，直线l 交抛物线C 于A ，B两点，且A ，B 位于x 轴两侧，OA →·OB →＝3(O 为坐标原点)，则x 0＝________.答案 3解析设直线l 的方程为y ＝k (x －x 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，与抛物线方程联立可得⎩⎨⎧ y 2＝2x ，y ＝k()x －x 0，消y 并整理可得，k 2x 2－(2k 2x 0＋2)x ＋k 2x 20＝0，由根与系数的关系可得，x 1x 2＝x 20，则y 1y 2＝－4x 1x 2＝－2x 0，∵OA →·OB →＝3，∴x 1x 2＋y 1y 2＝3，即x 20－2x 0＝3，解得x 0＝3.9．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值．求曲线C 1的方程．解方法一设点M 的坐标为(x ，y )，由已知得|x ＋2|＝(x －5)2＋y 2－3.易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧，于是x ＋2＞0，所以(x －5)2＋y 2＝x ＋5. 化简得曲线C 1的方程为y 2＝20x .方法二由题设知，条件“对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值”等价于“曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x ＝－5的距离”．所以，曲线C 1是以点(5,0)为焦点，直线x ＝－5为准线的抛物线，所以曲线C 1的方程为y 2＝20x .10．已知抛物线y 2＝－8x 的顶点为O ，点A ，B 在抛物线上，且OA ⊥OB ，求证：直线AB 经过一个定点．证明设直线OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为－1k，则直线OA 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝－8x ，得A ⎝⎛⎭⎫－8k 2，－8k ，同理可得B (－8k 2,8k )，于是直线AB 的方程为y －8k ＝8k ＋8k 8k 2－8k 2(x ＋8k 2)，整理可得y ＝k 1－k 2(x ＋8)，因此直线AB 经过定点(－8,0)．11．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94答案 D解析由题意可知，直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，代入抛物线的方程可得4y 2－123y －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－94，故所求三角形的面积为12×34×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝94. 12．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3答案 C解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．联立方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧ x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝2 3. ∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)．∵MN ⊥l ， ∴N (－1,23)．∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4，|MF |＝|MN |＝3＋1＝4. ∴△MNF 是边长为4的等边三角形．∴点M 到直线NF 的距离为2 3.13．已知点A ，B 在抛物线y 2＝4x 上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝5(其中O 为坐标原点)，则直线AB 在x 轴上的截距是( )A ．5 B.15 C.14D ．4 答案 A解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A ，B 在抛物线上，所以y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 2216＋y 1y 2＝5，因为y 1y 2<0，所以y 1y 2＝－20. 设直线AB 在x 轴上的截距为m ，若AB 斜率不存在，则y 1＝－y 2，所以y 1＝25，从而x 1＝5，m ＝5，若AB 斜率存在，设直线AB 方程为y ＝k (x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )，y 2＝4x ，得ky 2－4y －4km ＝0，y 1y 2＝－4m ＝－20，m ＝5.综上，直线AB 在x 轴上的截距是5.14．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 且倾斜角为π4的直线与抛物线交于A ，B 两点，则|F A |·|FB |的值为________．答案 8解析过抛物线y 2＝4x 的焦点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x 得x 2－6x ＋1＝0，Δ＝36－4＝32>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1>0，x 2>0，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，F (1,0)，|F A |·|FB |＝(x 1－1)2＋y 21·(x 2－1)2＋y 22＝x 21－2x 1＋1＋4x 1·x 22－2x 2＋1＋4x 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝8.15．已知直线l 与抛物线y 2＝6x 交于不同的两点A ，B ，直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1·k 2＝3，则直线l 恒过定点( )A ．(－63，0)B ．(－33，0)C ．(－23，0)D ．(－3，0) 答案 C解析设直线l 为x ＝my ＋n ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝6x ，消去x 可得y 2－6my －6n ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1y 2＝－6n ，因为k 1·k 2＝3，即y 1x 1·y 2x 2＝3，所以y 1y 2y 216·y 226＝36y 1y 2＝36－6n ＝3，所以n ＝－23，所以x ＝my －23，所以直线l 一定过点()－23，016．已知动圆E 经过定点D (1,0)，且与直线x ＝－1相切，设动圆圆心E 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设过点P (1,2)的直线l 1，l 2分别与曲线C 交于A ，B 两点，直线l 1，l 2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB 的斜率为定值．(1)解由已知，动点E 到定点D (1，0)的距离等于E 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义知E 点的轨迹是以D (1，0)为焦点，以x ＝－1为准线的抛物线，故曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明由题意可知直线l 1，l 2的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 1的方程为y ＝k (x －1)＋2，k ≠0.直线l 2的方程为y ＝－k (x －1)＋2，由⎩⎨⎧y ＝k ()x －1＋2y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2－4k ＋4)x ＋(k －2)2＝0，已知此方程一个根为1，∴x 1×1＝()k －22k 2＝k 2－4k ＋4k 2，即x 1＝k 2－4k ＋4k 2，同理x 2＝()－k 2－4()－k ＋4()－k 2＝k 2＋4k ＋4k 2， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋8k 2，x 1－x 2＝－8k k 2＝－8k ， ∴y 1－y 2＝[k (x 1－1)＋2]－[－k (x 2－1)＋2]＝k (x 1＋x 2)－2k ＝k ·2k 2＋8k 2－2k ＝8k， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8k －8k＝－1，所以，直线AB 的斜率为定值－1.。

初三上册数学抛物线练习题

初三上册数学抛物线练习题抛物线是数学中的重要概念之一，研究抛物线可以帮助我们更好地理解数学中的曲线和函数。

在初三上册数学课程中，抛物线的相关知识有一定的难度，需要同学们进行充分的练习。

下面将为大家提供一些抛物线的练习题，希望能够对大家的学习有所帮助。

题目一：抛物线的基本形式1. 将抛物线的标准形式 y = ax^2 + bx + c 转化成顶点形式 y = a(x -h)^2 + k。

2. 已知抛物线的顶点为 V(3, -2)，求抛物线的标准形式方程。

3. 抛物线的顶点为 V(4, -3)，经过点 P(2, 5)，求抛物线的方程。

题目二：抛物线的性质及应用1. 抛物线的对称轴是 x = h，如何通过方程的形式确定抛物线的对称轴？2. 已知抛物线的焦点为 F(1, 2)，直径所在直线方程为 2x + y - 7 = 0，求抛物线的方程。

3. 一架火箭垂直发射，其运动轨迹形如抛物线。

已知火箭从地面起飞经过点 A(0, 0)，最高点为 B(2, 3)，点 P 在抛物线上且 x 坐标为 4，求点 P 的纵坐标。

题目三：抛物线的图像与变化1. 已知抛物线的焦点为 F(2, -1)，直径所在直线为 x + y - 4 = 0，求抛物线的方程。

2. 如果抛物线的开口向上，顶点在 x 轴上，且焦点为 (0, 4)，求抛物线的方程。

3. 抛物线 y = k(x - a)(x - b) 所表示的图像开口向上还是向下？这里 a、b 和 k 均为常数。

题目四：抛物线的解析式1. 已知抛物线的顶点为 V(h, k)，过点 P(x1, y1)，求抛物线的解析式。

2. 已知抛物线经过两点 A(1, 2) 和 B(3, 4)，求抛物线的解析式。

3. 抛物线的顶点为 V(0, 0)，过点 P(-3, 4)，求抛物线的解析式。

以上就是一些初三上册数学抛物线练习题，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握抛物线的相关知识。

通过反复练习和解答这些题目，相信大家能够在数学学习中取得更好的成绩。

培优训练之：抛物线性质应用

培优训练----抛物线性质的应用以抛物线)0(22>=p px y 为例。

焦点为)0,2(p F ，准线l 为2px -=，过焦点F 的直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，作l BB l AA ⊥⊥11,，垂足为11,B A 。

当弦x AB ⊥时，此时弦MN 叫做抛物线的通径。

当弦AB 所在直线的斜率存在时，设直线斜率为)0(≠k k ，则方程)2(px k y -=，联立得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(2整理得：0222=--p y kpy 或者04)2(22222=++-p k x p p k x k结论1：22212212,4kp p k x x p x x +=+=结论2：kpy y p y y 2,21221=+-= 结论3：弦长p x x BF AF AB ++=+=21 结论4：焦点弦中通径最小。

证法一：设)(2:R m pmy x AB ∈+=联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=px y p my x 222得：0222=--p mpy y ，所以mp y y p y y 2,21221=+-=，从而2122124)(1y y y y mAB -++=p m p 2)1(22≥+=证法二：设过焦点F 的弦AB 所在直线的倾斜角为α。

则αcos 1AF p AA AF +==，αcos 1BF p BB BF -==所以ααcos 1,cos 1+=-=pBF p AF ，从而p pBF AF AB 2sin 2cos 1122≥=-=+=αα结论5：若此焦点弦被分成长为n m ,两部分，则nm 11+为定值简证：由抛物线定义得：2,221p x n p x m +=+= p px x p x x p x x mnnm n m 24)(2112212121=+++++=+=+ 结论6：以焦点弦AB 为直径的圆与准线l 相切。

简证：取AB 的中点C ，作l CC ⊥1，则AB BF AF CC 21)(211=+=结论7：以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切。

抛物线的应用与性质

抛物线的应用与性质抛物线是一种重要的数学曲线，具有广泛的应用和独特的性质。

本文将探讨抛物线的应用以及其相关性质。

一、抛物线的应用1. 物理学中的应用抛物线的形状与物体在重力作用下的运动轨迹密切相关。

当一个物体受到水平速度和重力的作用时，其运动轨迹将是一个抛物线。

这一现象被广泛应用于运动学、球体运动以及火箭轨迹的研究中。

2. 工程学中的应用由于抛物线的对称性和稳定特性，它被广泛应用于工程学中的设计和建筑中。

例如，拱桥的形状通常是一个抛物线，这样可以有效地分散桥墩上的重力，增强桥梁的稳定性。

此外，抛物线的形状还广泛应用于抛物面天窗、反射镜和天线的设计中。

3. 无线通信中的应用由于抛物面天线的特殊性质，它被广泛应用于无线通信系统中。

抛物面天线能够将电磁波聚焦在一个点上，从而增强信号的强度和覆盖范围。

同时，抛物面天线还可以减少杂散信号的干扰，提高无线通信的质量和稳定性。

二、抛物线的性质1. 对称性抛物线的一个重要性质是它的对称性。

对于一个标准的抛物线，其焦点、顶点和直线称为准线之间具有对称关系。

具体而言，抛物线上任意一点与焦点和准线的距离相等，这种对称性在抛物线的各种应用中起着关键作用。

2. 焦点与准线的关系焦点是抛物线的一个重要特性。

对于一个标准的抛物线，焦点是准线的中点，且与顶点的距离称为焦距。

焦点与准线的关系决定了抛物线的形状和特性。

3. 切线与斜率抛物线上的任意一点处的切线与该点的斜率密切相关。

对于一个标准的抛物线，切线与通过该点的直径垂直相交，且切线的斜率等于该点的横坐标的两倍。

这一性质在解析几何中的抛物线方程推导和曲线的切线问题中起着重要作用。

4. 集束性质由于抛物线的形状，它具有集束效应，即平行光线入射于抛物线上后会被折射到焦点上。

这一性质在光学中的抛物面镜和抛物面反射器的设计和制造中得到应用，用于集中和聚焦光线。

综上所述，抛物线作为一种重要的数学曲线，具有广泛的应用和独特的性质。

在物理学、工程学和通信领域，抛物线的应用广泛且重要。