(专题一)求函数最值问题常用的10种方法精品PPT课件
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函数的单调性和最值PPT精品课件
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如 果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数 在区间I上单调递增，且在区间J上单 调递增，则函数在区间I和J的交集上 也是单调递增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数 在区间I上单调递增，且另一个函数在 区间J上单调递增，则这两个函数在区 间I和J的交集上也是单调递增的。
求函数最值的方法
配方法：将函数进行配方，利用二次 函数的性质求最值。
导数法：求出函数的导数，令导数为 0，解出极值点，再比较区间端点和
极值点的函数值，得到最值。
判别式法：对于一些特殊的分式函数， 通过判别式法求最值。
实际问题的解决
利用函数的单调性和最值解决实际问 题，如最大利润、最小成本等问题。
通过建立数学模型，将实际问题转化 为数学问题，利用函数的单调性和最 值求解。
函数的拐点
定义
函数图像上凹凸性发生变化的点，即二阶导数由正变负或由负变正的点。
判断方法
求函数二阶导数，令其等于0，然后检查三阶导数在该点的符号，以确定函数在拐点左 侧是凹还是凸。
极值和拐点的应用
优化问题
通过找到函数的极值点，可以确定使目标函数 取得最大或最小值的自变量取值。
动态分析
拐点可以用于分析经济、物理等系统的变化趋 势和稳定性。
单调性在生活中的应用
单调性在经济学中有着广泛的应用，例如在股票价格、商品价格和供需关系等方面的分析中，可以利用单调性来判断市场的 变化趋势。
单调性在物理学中也有着重要的应用，例如在研究物体的运动规律、热量传递和电磁场等方面，可以利用单调性来分析物理 现象的变化趋势。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数 在区间I上单调递增，且在区间J上单 调递增，则函数在区间I和J的交集上 也是单调递增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数 在区间I上单调递增，且另一个函数在 区间J上单调递增，则这两个函数在区 间I和J的交集上也是单调递增的。
求函数最值的方法
配方法：将函数进行配方，利用二次 函数的性质求最值。
导数法：求出函数的导数，令导数为 0，解出极值点，再比较区间端点和
极值点的函数值，得到最值。
判别式法：对于一些特殊的分式函数， 通过判别式法求最值。
实际问题的解决
利用函数的单调性和最值解决实际问 题，如最大利润、最小成本等问题。
通过建立数学模型，将实际问题转化 为数学问题，利用函数的单调性和最 值求解。
函数的拐点
定义
函数图像上凹凸性发生变化的点，即二阶导数由正变负或由负变正的点。
判断方法
求函数二阶导数，令其等于0，然后检查三阶导数在该点的符号，以确定函数在拐点左 侧是凹还是凸。
极值和拐点的应用
优化问题
通过找到函数的极值点，可以确定使目标函数 取得最大或最小值的自变量取值。
动态分析
拐点可以用于分析经济、物理等系统的变化趋 势和稳定性。
单调性在生活中的应用
单调性在经济学中有着广泛的应用，例如在股票价格、商品价格和供需关系等方面的分析中，可以利用单调性来判断市场的 变化趋势。
单调性在物理学中也有着重要的应用，例如在研究物体的运动规律、热量传递和电磁场等方面，可以利用单调性来分析物理 现象的变化趋势。
函数的最值PPT多媒体教学课件
则a=(A )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
4
2
42
考题点悟
考题4（. 2004年湖北文）
已知x 5 则f(x)= x2 4x 5 有( D )
2
2x 4
A.最大值 5； 4
C.最大值1；
B.最小值 5； 4
D.最小值1.
典型题选讲
例1：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的最值：
阳极：Ag→ Ag+ +e阴极：Ag+＋e－ → Ag
一、电镀
1、定义： 利用电解原理在某些金属的表面镀上 一薄层其它金属或是合金的过程。
2、目的：使金属增强抗腐 蚀的能力，增加美观和 表面硬度。
3、电镀材料的选择：
阴极——镀件
阳极——镀层金属 电镀液——含有镀层金属离子的溶液 4、电镀的特点： 1）阳极本身参加电极反应
典型题选讲
练习：已知函数f(x)=x2 +ax+b(a、b R) 的定义域为[-1，1]，记|f(x)|的最 大值为m. （1）不等式m 1 能成立吗？说明理由.
2 （2）当m= 1 时,求函数f(x)的解析式.
2
典型题选讲
[思路]：m是在x [-1.1]上的最大值， 所以f | f (1) |, m | f (1) |, m | f (0) |,
内单调递增. b f (1) 1 b c或 b f (1) 1 b c.
1 c 0或1 c 0
显然正确，故存在 x [1,1], 使得 | f ( x ) | b.
点评：如果从“存在”的思想方法来理解并解答该问题， 则解题思路非常清晰，才能写出上面既简洁，又严密的解 题过程.
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
4
2
42
考题点悟
考题4（. 2004年湖北文）
已知x 5 则f(x)= x2 4x 5 有( D )
2
2x 4
A.最大值 5； 4
C.最大值1；
B.最小值 5； 4
D.最小值1.
典型题选讲
例1：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的最值：
阳极：Ag→ Ag+ +e阴极：Ag+＋e－ → Ag
一、电镀
1、定义： 利用电解原理在某些金属的表面镀上 一薄层其它金属或是合金的过程。
2、目的：使金属增强抗腐 蚀的能力，增加美观和 表面硬度。
3、电镀材料的选择：
阴极——镀件
阳极——镀层金属 电镀液——含有镀层金属离子的溶液 4、电镀的特点： 1）阳极本身参加电极反应
典型题选讲
练习：已知函数f(x)=x2 +ax+b(a、b R) 的定义域为[-1，1]，记|f(x)|的最 大值为m. （1）不等式m 1 能成立吗？说明理由.
2 （2）当m= 1 时,求函数f(x)的解析式.
2
典型题选讲
[思路]：m是在x [-1.1]上的最大值， 所以f | f (1) |, m | f (1) |, m | f (0) |,
内单调递增. b f (1) 1 b c或 b f (1) 1 b c.
1 c 0或1 c 0
显然正确，故存在 x [1,1], 使得 | f ( x ) | b.
点评：如果从“存在”的思想方法来理解并解答该问题， 则解题思路非常清晰，才能写出上面既简洁，又严密的解 题过程.
(专题一)求函数最值问题常用的10种方法
【练习】(江苏)将边长为1m正三角形薄片，沿一 条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形
，记
s
（
梯梯形形周面长积）2 ,则S的最小值是____▲_
设剪成的小正三角形的边长为x
s(x)
(3 x)2
1 (x 1) 3 (1 x)
4 3
(3 1
x)2 x2
2
2
4 2(3x 1)( x 3)
【例aa2b6＋≤】ba＋2设2≥2bxa，2b≤(yaa，2，＋2bz b为为2(正实 a，实数b数)； 为，a实＋x2－数b≥2)y．＋ab3(za＝≥00，，b则≥0)y；2
的最小值为________．
xz
解析 y＝x＋23z，所以xyz2＝x2＋94zx2z＋6xz≥6xz4＋xz6xz＝3, 当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
【 练 习 】 求y x2 2x 3 ,( x 1)的 最 小值. 2
x1
注：分子转化为分母的形式
七、数形结合法
【例 7】对 a，b∈R，记 max|a，b|＝ab，，aa≥<bb，， 函数 f(x) ＝max||x＋1|，|x－2||(x∈R)的最小值是________．
专题一 求函数最值问题常用的十种方法
一、定义法
前提 设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数 M满足
①对于任意x∈I， ①对于任意x∈I，都
都有_f_（__x_）___≤_M__； 有_f_（__x_）__≥__M___；
条件 ②存在x0∈I,使得 ②存在x0∈I,使得
___f_（__x_0_）__=_M__. ___f_（__x_0_）__=__M___.
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【练习】求y x2 2x 3 ,( x 1)的最小值. 2
x1
注：分子转化为分母的形式
七、数形结合法
【例 7】对 a，b∈R，记 max|a，b|＝ab，，aa≥<bb，， 函数 f(x) ＝max||x＋1|，|x－2||(x∈R)的最小值是________．
解析 由|x＋1|≥|x－2|，得(x+1)2≥(x-2)2，所以 x≥ 1 .
则 f(x0)是函数 f(x)的最大值．
这些命题中，真命题的个数是( C )
A．0
B．1
C．2
D．3
二、函数单调性法 先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单
调性求函数的最值．这种求解方法在高考中是必考 的，且多在解答题中的某一问中出现．
【例 2】函数 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上的最大值与最
【练习】(江苏)将边长为1m正三角形薄片，沿一 条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形
，记
s
（梯形周长）2 梯形面积
,则S的最小值是____▲_
设剪成的小正三角形的边长为x
s(x)
(3 x)2
1 (x 1) 3 (1 x)
4 3
(3 1
x)2 x2
2
2
4 2(3x 1)( x 3)
2
所以f
(x)
| |
x x
1 |, 2 |,
x x
1 2 1 2
, ,
其图象如图所示 .
由图形易知,当x 1 时,函数有最小值, 2
所以f ( x)min
f (1) 2
1 1 2
3 .故填 3 .
2
2
【练习】(天津)函数g( x)
x2Βιβλιοθήκη 2,f(x)
g( x)
g(
x)
x 4，x g( x) x，x g( x)
x2 y2 的最小值等于________，最大值等于________．
画出可行域，如图所示． 由条件，得 A(2,2)，|OA|=2； B(1,3)，|OB|= 10 ；
C(1,1)，|OC|= 2 .
故最大值为 10 ， 最小值为 2 . 【练习】求 y 的最大最小值.
x2
九、平方法 对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方法，
【例aa2b6＋≤】ba＋2设2≥2bxa，2b≤(yaa，2，＋2bz b为为2(正实 a，实数b数)； 为，a实＋x2－数b≥2)y．＋ab3(za＝≥00，，b则≥0)y；2
的最小值为________．
xz
解析 y＝x＋23z，所以xyz2＝x2＋94zx2z＋6xz≥6xz4＋xz6xz＝3, 当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
小值之差为12，则 a＝________. 4或 1 4
【变式】函数 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上的最大值与最 小值之和为 4，则 a＝________.
2
三、导数法 利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数
在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函数值 f(a)、 f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函 数的最值．
af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑
用配方法．
【例 5】已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，
a≠0)，求函数 y 的最小值．
配方法
解析 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.
令 t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2.
∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2 的定
义域为[2，＋∞)．
∵抛物线 y＝f(t)的对称轴为 t＝a， ∴当 a≤2 且 a≠0 时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2； 当 a>2 时，ymin＝f(a)＝a2－2.
换元法
六、不等式法
常常使用的基本不等式有以下几种：
分析：a2 b2 1
63
令 a＝ 6cos α， b＝ 3sin α，α∈R.
椭圆的 参数方
∴a＋b＝ 6cos α＋ 3sin α＝3sin(α＋φ)． 程
∴a＋b 的最小值是－3.故填－3.
【练习】求值域：y x - 1 - 2x
五、配方法
配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F(x)＝
s'( x) 3
(1 x2 )2
1 32 3
s(
x)min
s(
) 3
3
x (0, 1], s'( x) 0,递减；x ( 1 ，1), s'( x) 0,递增；
3
3
四、换元法 换元法换元法有两类，即代数换元和三角换元
【例 4】设 a，b∈R，a2＋2b2＝6，则 a＋b 的最小
值是______．
专题一 求函数最值问题常用的十种方法
一、定义法
前提 设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数 M满足
条件 结论
①对于任意x∈I， ①对于任意x∈I，都
都有_f_（__x_）___≤_M__； 有_f_（__x_）__≥__M___；
②存在x0∈I,使得 ②存在x0∈I,使得
___f_（__x_0_）__=_M__. ___f_（__x_0_）__=__M___.
M为最大值
M为最小值
【例 1】设函数 f(x)的定义域为 R，有下列三个命题：
① 若存在常数 M，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤M，
则 M 是函数 f(x)的最大值；
② 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，且 x≠x0，有
f(x)<f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的最大值；
③ 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤f(x0)，
则f ( x)的值域是 ( ) D
A.[ 9 ,0] (1,) 4
B.[0,)
C.[ 9 ,) 4
D.[ 9 ,0] (2,) 4
x2 2 x 4，x x2 2
f
(x)
x
2
2
x，x
x2
2
x2 x 2，x 1或x 2
f
(x)
x
2
x
2， 1
x
2
八、线性规划法 【例 8】已知点 P(x，y)的坐标同时满足以下不等式： x＋y≤4，y≥x，x≥1，如果点 O 为坐标原点，那么
【例 3】 函数 f(x)＝x3－3x＋1 在闭区间[－3,0]上 的最大值、最小值分别是________．
解析 因为 f′(x)＝3x2－3，所以令 f′(x)＝0，得 x＝－1(舍 正)．又 f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，比较得，f(x)的 最大值为 3，最小值为－17.故填 3，－17.