GT直线方程应用(对称问题)

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直线方程中的对称问题分类解析

评注：若点Ｍ（ｘ。，１）与Ｎ（，）关于点
侧
已知光线从点Ａ（一４，一２）射出，到
Ｐ（ Ⅱ，ｂ）对称，则点Ｐ是线段ＭＮ的中点。
直线＝＝＝ｚ上的点Ｂ后被直线 — 反射到
６）。南入射角等于反
图１
射角可知ＡＤ所在的直线经过点Ｂ与点Ｃ。
坐标为（～嚣，）。
评注：若两点Ｐ】（ｚｌ，．ｙＪ）与Ｐ２（ｊ、２，２）关于直线：Ａ＋Ｂｙ＋Ｃ一０对称，则线段
线：３ｘ一２～６ — ０关于直线ｚ的对称直线ｍ的方程。
作者单位：江苏太仓高级中学
（责任编辑郭正华）
６
ｆ２ × （字）一３ × （字）＋一ｏ，
解得
Ｉ
× 了一一，
Ｊｆ “ 一６ ’ 即得点Ｍ，（熹，嚣）。
Ｉ６一，
设直线与直线ｌ的交点为Ｎ，则
，
｛ｆ２＿ｖ一３ｖ＋１ —０．解得Ｎ（４
化为解析几何中的对称问题。解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对
称问题，一般转化为求对称点的问题。
三、直线关于直线的对称问题侧已知直线ｚ：２ｘ一３＋１ —０，求直

直线方程的应用

分析：设所求点为P/（a,b),利用线段PP/的中点在对称轴上；直线PP/与直线l的斜率的积等于-1，列两个方程求出a,b的值.
（14/5，7/5）
且由题意知， k＜0.
S AOB
1 2
(1
2k )(2
1) k
1 2
4
(
4k )
(
1) k
4，
当且仅当 4k 1 ，即k 1 时取最小值，
k
2
故l 的方程为y 1 1 ( x 2)，即x 2 y 4 0. 2
一、线段中点坐标公式
1、已知点A(6,0),O(0,0),则线段OA中点M的坐标是( 3，0 )
4.直线与二元一次方程的关系：直线的方程都是二元一次方程；
任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线。
问题2：直线方程归纳
名称已知条件
标准方程
使用范围
点斜式
斜率k和一点
P0 ( x0 , y0 )
y
y0
k( x x0 )
不包括y轴及与 y轴平行的直线
斜截式
斜率k和y轴上的截距b
y kx b
22
二、对称问题 1、点与点的中心对称
练1：点A(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点A/ 的坐标是( -4,-1)
练2：过点P(1,3)与两坐标轴交成的线段以 P为中点的直线方程_____
分析：用中点坐标公式可求的直线在坐标轴的截距分别为2和6用截距式写出方程为x/2+y/6=1即3x+y-6=0
2、直线关于点的中心对称问题例1：求直线2x-3y+6=0关于点A（1，2）对称的直线方程
方法：用相关点法——设直线上的点为 P(x1,y1),点P关于A点的对称点为P/(x,y),利用中点坐标公式推出用x,y表示x1,y1的表达式后代入直线方程化简即可.

直线方程的对称问题及最值,恒过定点问题

一、点关于点的对称问题例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.练习：1求点A （-3，6）关于点B （2，3）对称的点C 的坐标.2已知点A(5,8),B(4,1),试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标.二、点关于直线的对称问题这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.练习：3求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。

三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n 的方程五最值问题的面积最小时直线l的1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB方程;2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条A 1B 2C 3D 4（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。

灵活解决直线中两类对称问题

灵活解决直线中的两类对称问题平面解析几何所研究的图形许多是对称图形,于是相关的对称问题自然成为高考中的考点之一。

由于这类问题涉及的知识面广,综合性强,因而不少同学因解题方法选择不当,而导致解题过程繁琐、运算量大,以致半途而废。

本文仅就有关直线中的对称问题作以下简述。

一、关于点对称问题1.点关于点对称的问题例1: 求点a(3,5)关于点p(-2,1)的对称点。

解:设点a关于点p的对称点为b(x,y),则∴ b(-7,-3)。

反思:其理论根据就是用中点坐标公式。

结论:点a(x,y)关于点p(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y)。

2.直线关于点对称的问题例2:求直线3x-y-4=0 关于点p(2,-1)的对称直线l的方程。

解法(一)定义法设l上任一点(x,y),其关于p(2,-1)的对称点为a(4-x,-2-y), 又∵点a在直线3x-y-4=0上,∴ 3(4-x)-(-2-y)-4=0,即直线l的方程为 3x-y-10=0。

反思:解法(一)体现了转化思想。

解法(二)待定系数法设直线l的方程为3x-y-m=0,∵点p(2,-1)到两条直线的距离相等,∴ ,∴ m=10 或4(舍去)。

∴直线l的方程为 3x-y-10=0。

反思:解法(二)应用了点到直线的距离公式,体现了方程思想。

解法(三)待定系数法设所求直线l的方程为3x-y-m=0,在直线3x-y-4=0上取一特殊点a(0,-4),则a点关于p点的对称点a(4,2)在直线l上,∴ 4×3-2-m=0,∴ m=10,∴直线l的方程为3x-y-10=0。

反思:解法(三)体现了转化思想和方程思想。

解法(四)直接法在直线3x-y-4=0上取一特殊点a(0,-4),则a点关于p点的对称点a(4,2)在直线l上,直线l的斜率为3,∴ y-2=3(x-4),∴直线l的方程为3x-y-10=0。

反思:解法(四)应用了点斜式体现了转化思想。

解法(五)直接法在直线3x-y-4=0上取两个特殊点a(0,-4),b(2,2),则a、b关于p的对称点为(4,2)和(2,-4),由两点式可得,∴直线l的方程为3x-y-10=0。

例谈直线方程中的对称问题

例谈直线方程中的对称问题作者：李莉娟来源：《中学生数理化·学习研究》2016年第05期直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，为使对称问题的知识系统化、条理化、规范化，我们可以把直线中的对称问题主要归纳为：点关于点对称，线关于点对称，点关于线对称，线关于线对称。

一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础。

平面内两点A1（x1，y1），A2（x2，y2），则A1A2的中点坐标为x1+x22，y1+y22，设点P（x，y）关于点（a，b）的对称点为P1（x1，y1），由中点坐标公式可得x1=2a-x，y1=2b-y，所以平面内点P（x，y）关于点（a，b）的对称点坐标为（2a-x，2b-y）。

二、线关于点对称问题例1求直线l1：3x+4y-12=0关于点P（1，3）的对称直线l2的方程。

解析：在直线l2上任取一点P1（x，y），它关于P（1，3）的对称点为P2（x1，y1）。

则x+x12=1，y+y12=3x1-2-x，y1=6-y。

由题意知P2（x1，y1）必在直线l1：3x+4y-12=0上，所以3（2-x）+4（6-y）-12=0，即3x+4y-18=0。

所以直线l2的方程为：3x+4y-18=0。

点评：求直线关于某一点的对称直线，一般转化为直线上的点关于点的对称问题。

三、点关于线对称问题例2已知点P（1，2），直线l：2x-y+3=0，求点P关于直线l的对称点P1的坐标。

解析：设P1（x，y），则PP1的中点坐标为x+12，y+22，且满足直线l的方程2x+12-y+22+3=0，即2x-y+6=0①。

又PP1与l垂直，且PP1，l斜率都存在，所以KAB·Kl=-1，即y-2x-1=-1。

即x+2y-5=0②。

则x=-75，y=165，所以P1-75，165。

点评：求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义，利用：（1）两直线斜率互为负倒数，（2）中点坐标公式来求得。

直线方程专题一：直线对称问题

直线方程专题一：直线对称问题直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称点关于坐标轴的对称一、点关于点的对称（运用中点坐标公式）例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。

练习求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.二、直线关于点的对称求直线l ：0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l 。

方法一：设1l ：01=++C By Ax 。

点P 到1l 的距离等于到l 得距离求出1C ；方法二：在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上，再将'M 代入1l 方程求出1C 。

☆转化为点关于点对称的问题例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程练习求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.三，点关于直线的对称求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题必须抓住两个方面：1，直线1PP 必定和l 垂直关系，有11-=⋅l PP k k （k 存在）； 2，1PP 的中点必在l 上例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。

练习：求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标四、直线关于直线的对称（分两种情况）1，关于平行直线的对称求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程（1）设2l ：02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1（2）求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P（3）将点2P 代入2l 的方程求出2C例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。

练习求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。

直线方程中的对称问题

直线对称问题直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称点关于坐标轴的对称一、点关于点的对称（运用中点坐标公式）例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。

练习求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.二、直线关于点的对称求直线l ：0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l ，即设1l ：01=++C By Ax 。

点P 到1l 的距离等于到l 得距离求出1C或者在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上再将'M 代入1l 方程求出1C 。

☆转化为点关于点对称的问题例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程练习求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.三，点关于直线的对称求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题必须抓住两个方面： 1，直线1PP 必定和l 垂直关系，有11-=⋅l PP k k （k 存在）2，1PP 的中点必在l 上例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。

练习：求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标四、直线关于直线的对称分两种：1，关于平行直线的对称求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程（1）设2l ：02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1 （2）求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P（3）将点2P 代入2l 的方程求出2C例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。

练习求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。

解析几何中的对称问题及其应用

解析几何中的对称问题及其应用关键词：对称点、对称直线解析几何中的对称问题在现行中学数学材料中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。

但这部分知识是解析几何中重要的基础内容，也是近年来的高考热点之一。

对称点、对称直线的求法，对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的。

这就要求教师在讲完直线、曲线部分后，需要对对称问题进行适当的归纳、总结。

使学生对这部分知识有一个较完整的、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。

本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题和解决办法。

一、点关于点的对称：理论基础：点A ()y x ,关于P ()b a ,对称点坐标)2,2(/y b x a A --,即P 是/,A B 的中点，特别是中点的应用比较广泛，中点也就是对称的另一种说法而已。

例 1 已知平行四边形ABCD 的四个顶点坐标分别为135153(,),(,),4444A B -- 1119(,),(,)44C D m n -，求,m n 的值。

方法一：利用斜率相等，方法二：利用对角线互相平分，方法三：利用向量相等。

答案：2935,44m n ==练习 1 已知矩形ABCD 的两个顶点(1,3),(2,4)A B --,且它的对角线的交点在x 轴上，求,C D 的坐标。

方法一：设对角线中点，利用邻边垂直；方法二：设对角线中点，利用对角线相等且互相平分；方法三：答案：(9,3),(8,4)C D ----二、直线（曲线）关于点的对称：理论基础：就本质而言，直线关于点的对称即点关于点的对称，结合几何特性，直线关于点的对称直线与已知直线平行（对称点不在直线上），应用几何特性就可以降低解题运算量，提高解题效率。

结论：直线0Ax By C ++=关于点(,)M a b 的对称直线为(2)(2)0A a x B b y C -+-+= 圆关于点的对称：首先圆是关于自己圆心自对称的图形。

直线方程的对称问题

例题1.已知点A（5，8），B（-4，1）试求A点关于B点的对称点C的坐标要点总结：
类型二：线关于点的对称直线
例题2：求直线3x+y-4=0关于P（2，-1）对称的直线方程。

练习：求直线3x+y-4=0关于P（3，1）对称的直线方程。

要点总结：法一：l2上的任意一点的对称点在l1上（动点转移法）
法二：利用两对称直线平行点斜式或对称两点式。

法三：两直线平行且P到两直线距离相等。

例题1.求点P（-2,1）关于直线l：x-2y+1=0的对称点Q的坐标。

练习：求A（-4，4）关于直线3x+y-2=0的对称点M坐标。

解题要点：1.斜率关系2中点在直线上
类型四：线关于线的对称直线
（1）平行线关系
例题4.试求直线l：4x-5y+1=0关于直线4x-5y-3=0对称的直线方程练习：求直线l：x-2y+1=0关于直线x-2y-3=0的对称直线
解题要点：
（2）相交直线
例题5：试求直线L1：x+y-1=0关于直线L2：3x-y-3=0对称的直线L方程。

法1：动点转移法
法2：取特殊点法
法3：两点对称法
法4：角平分线法。

直线方程对称问题

直线方程的对称问题是一个重要的数学问题，它涉及到直线的几何性质和对称性质。

对于一条直线，我们可以通过找到它关于某一点的对称点来找到它的对称直线。

假设我们有一条直线方程y = kx + b，其中k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距。

如果我们想找到这条直线的对称直线，我们可以找到一个点(x, y) 在这条直线上，然后找到这个点关于原点的对称点(-x, -y)。

这个对称点一定在直线y = -kx - b 上，因为这两条直线关于原点对称。

因此，我们可以得出结论：如果两条直线关于原点对称，那么它们的斜率和截距也互为相反数。

这个性质对于解决直线方程的对称问题非常重要。

例如，如果我们有一条直线方程y = 2x + 1，并且我们知道它的一个对称直线方程是y = -2x - 1，那么我们可以很容易地找到原直线方程的对称点。

另外，这个性质也可以用来判断两条直线是否关于原点对称。

如果我们有一条直线方程y = kx + b，并且我们知道它的一个对称直线方程是y = -kx - b，那么我们可以将这两个方程进行比较，看看它们的斜率和截距是否互为相反数。

如果是，那么这两条直线就是关于原点对称的。

总之，直线方程的对称问题是一个非常有趣的数学问题，它涉及到直线的几何性质和对称性质。

通过找到关于某一点的对称点来找到对称直线，我们可以更好地理解直线的性质和对称性质，从而更好地解决相关的数学问题。

高中数学：直线方程中的对称问题

高中数学：直线方程中的对称问题在高中数学必修二的第三章“直线方程”中，可以有一个小专题为直线中的“对称问题”。

这主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。

一、对称问题的求解方法1、点关于点的对称【例1】已知点A（－2，3），求关于点P（1，1）的对称点B。

分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。

2、直线关于点的对称【例2】求直线3x-y-4=0关于点P（2，－1）对称的直线l的方程。

分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为3x-y+b=0。

说明：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P到两条直线的距离相等。

几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。

此题还可在直线3x-y-4=0上取两个特殊点，并分别求其关于点P（2，－1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。

3、点关于直线的对称【例3】求点A（2，2）关于直线2x-4y+9=0的对称的点的坐标。

分析：利用点关于直线对称的性质求解。

4、直线关于直线的对称二、关于对称常见的几种题型1、角平分线问题已知的一顶点A的坐标为(x0,y0),∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0,求边BC所在的直线方程。

根据角平分线的性质，点Ａ分别关于∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的对称点P、D均在直线BC上,所以只要分别计算出P、D的坐标,再由两点式方程即可得BC所在直线方程。

例1：已知△ABC的顶点A（-1，-4），内角B、C的平分线所在直线分别为1：y+1=0，2：x+y+1=0 ，求BC边所在的直线方程。

2、入射光线和反射光线问题关于过点A(x0,y0),入射光线遇直线A1x+B1y+C1=0的反射光线经过点B(x1,y1),求反射线所在直线方程的有关问题。

根据光学性质，点A关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C在反射光线所在的直线上.因此,只要求出A点关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C的坐标。

直线方程中的对称问题(2)

P
C
D
方法小结
直线m上任取两点A、B求出n上的对称点C、D后，由两点确定一条直线
对称中心到两平行直线的距离相等，利用平行直线系。
n上的任意一点的对称点在m上，利用相关点法。
（二）直线关于点的对称
求直线y=3x–4关于点P(2,–1)的对称直线方程.
y
O
x P(2,–1)
y=3x–4
求直线y=3x–4关于点P(2,–1)的对称直线方程.
对称问题
点关于于点的对称
中心对称问题
对
线关于点的对称
称
问
题
点关于线的对称
轴对称问题
线关于线的对称
1.点关于点对称
①点关于点对称：
Q
P
M
说明两点P和Q关于点M对称的几何特征点M是线段PQ的中点
点关于点的对称
A(x, y) O(m,n) A' (2m x,2n y) 注： (x, y) (0,0) (x, y)
P
垂直
l
中点 O
Q
说明两点P和Q关于直线l对称的几何特征
直线l是线段PQ的垂直平分线，即
1.线段PQ的中点在直线l上， 2.线段PQ和直线l垂直
问题研讨
l：ax+by+c=0，a≠0,b ≠0,点
P(x0,y0),如何求点P关于直线l
的对称点Q的坐标？
y
P
Q
O
x
练一练、求点A(3,2)关于直线ｌ: y=2x+1的对称点B的坐
Y 3x-2y+6=0
x-2y+1=0 A
由两直线方程联立方程组可求
得交点P，
O
X

高中数学直线方程及其应用

题目高中数学复习专题讲座直线方程及其应用高考要求直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容应达到熟练掌握、灵活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的重难点归纳1对直线方程中的基本概念，要重点掌握好直线方程的特征值(主要指斜率、截距)等问题；直线平行和垂直的条件；与距离有关的问题等2对称问题是直线方程的一个重要应用，中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于直线的对称中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具3线性规划是直线方程的又一应用线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式(组)表示的平面区域求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设t=ax+by,则此直线往右(或左)平移时，t值随之增大(或减小)，要会在可行域中确定最优解4由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行，考查学生的综合能力及创新能力典型题例示范讲解例1某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a＞b)问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？命题意图本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力知识依托三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值错解分析解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tan ACB的最大值如果坐标系选择不当，或选择求sin ACB的最大值都将使问题变得复杂起来技巧与方法欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取最Array大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值解建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取得最大值由三角函数的定义知 A 、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、(b cos α,b sin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为k AC =tan xCA =x a a -ααcos sin ,.cos sin tan xb b xCB k BC -==αα 于是 tan ACB =AC BC AC BC k k k k ⋅+-1ααααcos )(sin )(cos )(sin )(2⋅+-+⋅-=++-⋅-=b a x xab b a x x b a ab x b a 由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,则tan ACB ≤ααcos )(2sin )(b a ab b a +-⋅-, 当且仅当xab =x ，即x =ab 时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为C (ab ,0), 因此，学生距离镜框下缘ab cm 处时，视角最大，即看画效果最佳例2预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1 5倍，问桌、椅各买多少才行？命题意图利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，本题主要考查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解知识依托约束条件，目标函数，可行域，最优解错解分析解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设技巧与方法先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解解设桌椅分别买x ,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≥≤+0,05.120002050y x x y x y y x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+72007200,20002050y x x y y x 解得 ∴A 点的坐标为(7200，7200)由⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+27525,5.120002050y x x y y x 解得 ∴B 点的坐标为(25，275) 所以满足约束条件的可行域是以A (7200，7200)，B (25，275)，O (0，0)为顶点的三角形区域(如右图) 由图形直观可知，目标函数z =x +y 在可行域内的最优解为(25，275)，但注意到x ∈N ,y ∈N *,故取y =37故有买桌子25张，椅子37张是最好选择例3抛物线有光学性质由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y 2=2px (p ＞0) 一光源在点M (441,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P ，折射后又射向抛物线上的点Q ，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l 2x －4y －17=0上的点N ，再折射后又射回点M (如下图所示) (1)设P 、Q 两点坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，证明 y 1·y 2=－p 2； (2)求抛物线的方程；(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M 关于PN 所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由命题意图对称问题是直线方程的又一个重要应用本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力知识依托韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程错解分析在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ 的斜率不存在时技巧与方法点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键(1)证明由抛物线的光学性质及题意知光线PQ 必过抛物线的焦点F (2p ，0)，设直线PQ 的方程为y =k (x －2p ) ① 由①式得x =k 1y +2p ,将其代入抛物线方程y 2=2px 中，整理，得y 2－k p 2y －p 2=0,由韦达定理，y 1y 2=－p 2当直线PQ 的斜率角为90°时，将x =2p 代入抛物线方程，得y =±p ,同样得到y 1·y 2=－p 2(2)解因为光线QN 经直线l 反射后又射向M 点，所以直线MN 与直线QN 关于直线l 对称，设点M (441，4)关于l 的对称点为M ′(x ′,y ′)，则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+'⨯-+'⨯-=⨯-'-'017244244121214414y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧-='='1451y x 直线QN 的方程为y =－1,Q 点的纵坐标y 2=－1，由题设P 点的纵坐标y 1=4，且由(1)知 y 1·y 2=－p 2,则4·(－1)=－p 2, 得p =2,故所求抛物线方程为y 2=4x(3)解将y =4代入y 2=4x ,得x =4，故P 点坐标为(4，4)将y =－1代入直线l 的方程为2x －4y －17=0,得x =213, 故N 点坐标为(213，－1) 由P 、N 两点坐标得直线PN 的方程为2x +y －12=0,设M 点关于直线NP 的对称点M 1(x 1,y 1)⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+++⨯-=-⨯--14101224244121)2(44111111y x y x x y 解得则又M 1(41,－1)的坐标是抛物线方程y 2=4x 的解，故抛物线上存在一点(41，－1)与点M 关于直线PN 对称例3已知|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1,求证 abc +2＞a +b +c 证明设线段的方程为y =f (x )=(bc －1)x +2－b －c ,其中|b |＜1,|c |＜1,|x |＜1,且－1＜a ＜1∵f (－1)=1－bc +2－b －c =(1－bc )+(1－b )+(1－c )＞0f (1)=bc －1+2－b －c =(1－b )(1－c )＞0∴线段y =(bc －1)x +2－b －c (－1＜x ＜1)在x 轴上方，这就是说，当|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1时，恒有abc +2＞a +b +c 学生巩固练习 1 设M =120110,1101102002200120012000++=++N ，则M 与N 的大小关系为( ) A M ＞N B M =N C M ＜N D 无法判断 2 三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为( ) A 15 B 30 C 36 D 以上都不对 3 直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差最大，则P 点坐标是_________ 4 自点A (－3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0相切，则光线l 所在直线方程为_________ 5 函数f (θ)=2cos 1sin --θθ的最大值为_________，最小值为_________ 6 设不等式2x －1＞m (x 2－1)对一切满足|m |≤2的值均成立，则x 的范围为_________ 7 已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点(1)证明点C 、D 和原点O 在同一直线上(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标 8 设数列{a n }的前n 项和S n =na +n (n －1)b ，(n =1,2,…),a 、b 是常数且b ≠0(1)证明 {a n }是等差数列(2)证明以(a n ,nS n －1)为坐标的点P n (n =1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程(3)设a =1,b =21,C 是以(r ,r )为圆心，r 为半径的圆(r ＞0)，求使得点P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围参考答案: 1 解析将问题转化为比较A (－1，－1）与B (102001，102000）及C (102002，102001）连线的斜率大小，因为B 、C 两点的直线方程为y =101x ，点A 在直线的下方，∴k AB ＞k AC ,即M ＞N 答案 A 2 解析设三角形的另外两边长为x ,y ,则⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<≤<11110110y x y x点(x ,y ）应在如右图所示区域内当x =1时，y =11；当x =2时，y =10,11；当x =3时，y =9,10,11；当x =4时，y =8,9,10,11;当x =5时，y =7,8,9,10,11以上共有15个，x ,y 对调又有15个，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六组，所以共有36个答案 C 3 解析找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点答案 P (5，6） 4 解析光线l 所在的直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0关于x 轴对称的圆相切答案 3x +4y －3=0或4x +3y +3=0 5 解析 f (θ)=2cos 1sin --θθ表示两点(cos θ,sin θ)与(2,1)连线的斜率答案 34 0 6 解析原不等式变为(x 2－1)m +(1－2x )＜0,构造线段f (m )=(x 2－1)m +1－2x ,－2≤m ≤2,则f (－2)＜0,且f (2)＜0 答案 213217+<<-x 7 (1)证明设A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2，由题设知x 1＞1,x 2＞1,A (x 1,log 8x 1),B (x 2,log 8x 2) 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =,又点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1）、(x 2,log 2x 2)由于log 2x 1=3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,则228222118112log 3log ,log 3log x x x x k x x x x k OD OC ==== 由此得k OC =k OD ,即O 、C 、D 在同一直线上(2)解由BC 平行于x 轴，有log 2x 1=log 8x 2,又log 2x 1=3log 8x 1∴x 2=x 13 将其代入228118log log x x x x =,得x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1, 由于x 1＞1知log 8x 1≠0,故x 13=3x 1x 2=3,于是A (3，log 83) 9 (1)证明由条件，得a 1=S 1=a ,当n ≥2时，有a n =S n －S n －1=［na +n (n －1)b ］－［(n －1)a +(n －1)(n －2)b ］=a +2(n －1)b 因此，当n ≥2时，有a n －a n －1=［a +2(n －1)b ］－［a +2(n －2)b ］=2b 所以{a n }是以a 为首项，2b 为公差的等差数列(2)证明 ∵b ≠0,对于n ≥2,有21)1(2)1()1(2)1()11()1(11=--=--+--+=----b n b n a b n a a a b n n na a a S n S n n ∴所有的点P n (a n ,nS n －1)(n =1,2,…)都落在通过P 1(a ,a －1)且以21为斜率的直线上此直线方程为y －(a －1)= 21 (x －a ),即x －2y +a －2=0 (3)解当a =1,b =21时，P n 的坐标为(n ,22-n ),使P 1(1,0)、P 2(2, 21)、P 3(3,1)都落在圆C 外的条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+->-+->+-222222222)1()3()21()1()1(r r r r r r r r r 222(1)0 1750 48100 r r r r r ⎧->⎪⎪-+>⎨⎪⎪-+>⎩①即②③ 由不等式①,得r ≠1由不等式②，得r ＜25－2或r ＞25+2 由不等式③，得r ＜4－6或r ＞4+6再注意到r ＞0,1＜25－2＜4－6=25+2＜4+6故使P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围是 (0，1)∪(1,25－2)∪(4+6,+∞) 课前后备注。

专题：直线方程中的对称问题2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2
2
点 M 在直线 3x 2 y 6 0 上，将 (*) 式代入，得 3( y 2) 2( x 2) 6 0 ，
化简得 2 x 3 y 4 0 ，即为 l1 关于 l2 对称的直线方程．故选：C
光的反射问题
入射光线经过点A，被直线L反射，反射光线经过点B，点A关于直
对称问题
学习目标
• 1.明确常见的三类对称问题的实质，掌握其解题方法
• 2.会利用点关于直线对称的思想处理光的反射问题
几类常见的对称问题
点关于点的对称
点关于直线的对称
直线关于直线的对称
自学指导（6min）
1.点1 1 , 1 关于点(, )的对称点为2 2 , 2 ，这三个点的
第二步：在 l1 上任找一点（非交点）Q( x1 ，y1 ) ，求出关于直线对称的点Q( x2 ，y2 )
第三步：利用两点式写出 l3 方程
2、当 l1 与 l 平行时：对称直线与已知直线平行.
两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。
题型四
三直线关于直线的对称问题
点关于点的对称
点关于直线的对称
直线关于直线的对称
光的反射问题
·－＝－1，
a 3

a
b

8×2＋6×2＝25，
a＝4，
解得
b＝3，
∴A的坐标为(4,3).
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等，
故反射光线所在直线的方程为y＝3.
光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
课堂小结
对称问题

直线方程对称问题知识点总结

直线方程对称问题知识点总结直线方程对称问题是解析几何中的重要概念，其中包括关于直线的对称性质和对称方程的应用。

下面将从对称性质、对称方程的性质和常见应用三个方面对直线方程对称问题进行总结。

一、对称性质1. 直线的对称性质：直线是平面中具有对称性质的图形，即直线上的一点关于直线的对称点仍然在直线上。

对称性质是直线方程对称问题的基础，也是研究直线方程的重要性质之一。

2. 点关于直线的对称点：设点A(x1, y1)关于直线y=kx+b对称的点为A'(x2, y2)，则有两个关系式：(1)点A和A'位于直线上，即y1=kx1+b，y2=kx2+b；(2)点A关于直线的斜率k的条件反射，即k1=k2。

3. 点和直线关于坐标轴的对称性质：若点(x, y)关于x轴对称，则对称点为(x, -y)；若点(x, y)关于y轴对称，则对称点为(-x, y)；若点(x, y)关于原点对称，则对称点为(-x, -y)。

对于直线来说，若直线关于x轴对称，则对称直线的方程为y=-kx-b；若直线关于y轴对称，则对称直线的方程为y=kx-b。

二、对称方程的性质1. 直线关于x轴对称的对称方程：当一条直线关于x轴对称时，这条直线的方程可以通过将直线上的点(x, y)的y坐标取相反数得到，即对称方程为y=-kx-b。

2. 直线关于y轴对称的对称方程：当一条直线关于y轴对称时，这条直线的方程可以通过将直线上的点(x, y)的x坐标取相反数得到，即对称方程为y=kx-b。

3. 直线关于原点对称的对称方程：当一条直线关于原点对称时，这条直线的方程可以通过将直线上的点(x, y)的x和y坐标都取相反数得到，即对称方程为y=-kx+b。

三、常见应用1. 求直线关于x轴、y轴、原点的对称直线方程：根据对称方程的性质，可以通过将直线方程中的坐标轴或原点的坐标取相反数来求得求对称直线方程。

2. 求直线关于给定直线的对称直线方程：给定一条直线l:y=kx+b，要求直线l关于直线y=k1x+b1的对称直线方程，可根据点关于直线的对称点的特性进行求解。

两点关于直线对称公式

两点关于直线对称公式直线对称是几何学中一个非常重要的概念，在实际生活中也有着广泛的应用。

直线对称的概念可以用来描述许多图形和物体的性质，同时也是解决许多几何学问题的基础。

直线对称公式是描述直线对称性质的数学表达方式，它可以帮助我们更加深入地理解直线对称的特性和应用。

在本文中，我们将重点介绍直线对称的概念和性质，以及直线对称公式的推导和应用。

直线对称的概念直线对称是指对于任意一点，其关于某一直线的对称点也在这个直线上，这个直线就被称为对称轴。

直线对称是一种基本的几何学概念，它在解决各种几何问题中有着重要的作用。

在实际生活中，直线对称也有很多应用，比如在建筑设计、艺术创作、机械设计等方面都可以看到直线对称的影子。

直线对称的性质直线对称具有一些独特的性质，这些性质对于理解直线对称的概念和应用非常重要。

首先，在一条对称轴上的点与其对称点的距离相等，这是直线对称的基本性质。

其次，对称轴的中点是对称图形的中点，也就是说，对称图形关于对称轴的两部分是完全对称的。

除此之外，对称轴上的点与其对称点之间的连线垂直于对称轴，这也是直线对称的一个重要性质。

这些性质对于直线对称的几何性质和应用都有着重要的意义。

直线对称公式的推导直线对称公式可以用数学语言来描述直线对称的性质，它是直线对称的数学表达方式。

假设直线对称的对称轴方程为l: ax+by+c=0，点P(x0,y0)关于l轴对应点为P'(x1,y1)，那么P和P'满足以下关系式：（1）两点P和P'关于l对称，即P和P'在l上的投影是重合的；（2） P和P'的连线过l的垂直平分线；（3） l上每一点到P和P'的距离相等。

根据以上关系，可以推导出直线对称公式。

首先定义对称轴的斜率为-k，那么对于点P(x0,y0)和点P'(x1,y1)：（1） P和P'在对称轴l上的投影是重合的，因此有x0 = x1;（2） P和P'的连线QP过l的垂直平分线，即斜率为1/k，所以有(y1-y0)/(x1-x0) = -1/k。