2016秋九年级数学上册4锐角三角函数小专题(十)构造基本图形解直角三角形的实际问题练习(新版)湘教版

小专题(十) 构造基本图形解直角三角形的实际问题
类型一构造单一直角三角形解决实际问题
方法归纳：通过构造单一的直角三角形，只要知道其中的一条边长和一个锐角，就可以利用解直角三角形的知识求出其余各边的长．
【例1】如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D与点C、B在同一条直线上，已知AC＝32米，CD＝16米，求荷塘宽BD为多少米？(取3≈1.73，结果保留整数)
1．如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B处)6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度．(结果精确到0.1米，3≈1.732)
类型二构造单一非直角三角形解决实际问题
方法归纳：通过构造一个非直角三角形，已知其中的两角和一边，可过第三个角的顶点作高，将三角形转化为两个直角三角形，再利用解直角三角形的知识求出其余各边长．
【例2】为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200 m，∠CAB＝54°，∠CBA＝30°，求隧道AB的长(参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位)．
2．如图，某天上午9时，向阳号轮船位于A 处，观测到某港口城市P 位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B 处，这时观测到城市P 位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B 与城市P 的距离．(参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈12
5
)
类型三 构造双直角三角形解决实际问题
方法归纳：如图，构造两个直角三角形，利用解直角三角形的知识容易知道如下结果： tan β＝h b ，tan α＝h
a ＋b
，
∴a ＝h tan α－h tan β，b ＝atan αtan β－tan α，h ＝atan βtan α
tan β－tan α
.
【例3】 (张家界中考)如图，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A 点观测到我渔船C 在北
偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B 点，观测我渔船C 在东北方向上．问：渔政310船再按原航向航行多长时间，离渔船C 的距离最近？(渔船C 捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值)
3．(益阳中考)“中国·益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A 、B 两点，小张为了测量A 、B 之间的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线型道路l 上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA ＝68.2°，CD ＝82米．求AB 的长(精确到0.1米)．(参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)
4．(岳阳中考)某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC 垂直于地面，AB 表示楼梯，AE 为舞台面，楼梯的坡角∠ABC ＝45°，坡长AB ＝2 m ．为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修建新楼梯AD ，使∠ADC＝30°.
(1)求舞台的高AC(结果保留根号)；
(2)在楼梯口B 左侧正前方距离舞台底部C 点3 m 处有一株大树，修新楼梯AD 时底端D 是否会触到大树？并说明理由．
5．(常德中考)如图，A ，B ，C 表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB ，BC 表示连接缆车站的钢缆．已知A ，B ，C 所处位置的海拔AA 1，BB 1，CC 1，分别为160米，400米，1 000米，钢缆AB ，BC 分别与水平线AA 2，BB 2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB 和BC 的总长度．(结果精确到1米)
参考答案
例1 在Rt △ACB 中，∠CAB ＝60°，CB ＝AC·tan60°＝32 3. ∴DB ＝CB －CD ＝323－16≈39. 答：荷塘宽DB 的长约为39米． 例2 过点C 作CD ⊥AB 于D.
在Rt △BCD 中，∵∠B ＝30°，BC ＝200 m ． ∴CD ＝1
2BC ＝100 m ，BD ＝100 3 m ．
在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAB ＝CD
AD ，
∴AD ＝100
tan54°
≈72 m ，
∴AB ＝AD ＋BD ＝245 m ．
答：隧道AB 的长约为245 m.
例3 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于D ，则当渔政310船航行到D 处时，离渔船C 的距离最近． 设CD ＝x ，在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝60°，tan ∠ACD ＝AD
CD ，
∴AD ＝3x.
在Rt △BCD 中，∵∠CBD ＝∠BCD ＝45°， ∴BD ＝CD ＝x.
∴AB ＝AD －BD ＝3x －x ＝(3－1)x.设渔政船从B 航行到D 需要t 小时，则AB 0.5＝BD
t
，
∴
（3－1）x 0.5＝x
t
.
∴t ＝
0.53－1
＝
3＋1
4
. 答：渔政310船再航行3＋1
4
小时，离渔船C 的距离最近.1.在Rt △ACE 中，∠CEA ＝60°，CE ＝BD ＝6， ∴tan ∠AEC ＝AC
CE
.
∴AC ＝CE·tan∠AEC ＝6tan60°＝6 3. ∴AB ＝AC ＋BC ＝63＋1.5≈11.9(米)． 答：旗杆AB 的高度为11.9米．
2.设BC ＝x 海里，由题意，易得AB ＝21×(14－9)＝105(海里)，则AC ＝105－x(海里)． 在Rt △BCP 中，tan36.9°＝
PC BC
， ∴PC ＝BC·tan36.9°＝34x.在Rt △ACP 中，tan67.5°＝PC
AC ，
∴PC ＝AC·tan67.5°＝12
5(105－x)．
∴34x ＝12
5(105－x)．解得x ＝80. ∴PC ＝3
4
x ＝60(海里)．
∴PB ＝PC 2
＋BC 2
＝100(海里)．
答：此时轮船所处位置B 与城市P 的距离约为100海里． 3.设AD ＝x 米，则AC ＝(x ＋82)米．在Rt △ABC 中，tan ∠BCA ＝AB
AC ，
∴AB ＝AC·tan∠BCA ＝2.5(x ＋82)．在Rt △ABD 中，tan ∠BDA ＝AB
AD ，
∴AB ＝AD·tan∠BDA ＝4x. ∴2.5(x ＋82)＝4x. ∴x ＝4103
.
∴AB ＝4x ＝410
3
×4≈546.7.
答：AB 的长约为546.7米．
4.(1)在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形，斜边AB ＝2 m ． 在Rt △ABC 中，AC ＝AB·sin45°＝2×2
2
＝2(m)． (2)在Rt △ADC 中，∠ADC ＝30°， ∴CD ＝
AC tan30°＝2
3
3
＝6<3.
∴不会触到大树．
5.在Rt △ABD 中，BD ＝400－160＝240，∠BAD ＝30°，则AB ＝BD
sin30°＝480 m ．
在Rt △BCB 2中，CB 2＝1 000－400＝600，∠CBB 2＝45°.则CB ＝CB 2
sin45°
＝600 2 m ．
∴AB＋BC＝480＋6002≈1 329(米)．
答：钢缆AB和BC的总长度约为1 329米．。