极值 (1)
16第十六讲 函数极值的第一和第二充分条件
即 x0 是 f ( x)的一个极小值点 .
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
最大值与最小值
定理6.12（极值的第二充分条件）
设 f (x) 在点 x0 的某领域 U ( x0;δ )内可导，f ′′( x0 )
存在. 若 f ′( x0 ) = 0, f ′′( x0 ) ≠ 0 ,
0
0
f ( x) ≥ f ( x0 ) , x ∈ ( x0 − δ , x0 ) .
同理可证 f ( x) 在 [ x0, x0 + δ ) 上递增,故
于是
f ( x) ≥ f ( x0 ) , x ∈ ( x0, x0 + δ ) . f ( x0 ) ≤ f ( x) , x ∈U ( x0; δ ) ,
极值判别
最大值与最小值
定理6.11（极值的第一充分条件）
设函数 f (x) 在 x0 连续，在某邻域U ( x0;δ )上可导. (i) 若当 x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 时,f ′( x) ≤ 0, 当 x ∈ ( x0, x0 + δ )
时，f ′( x) ≥ 0, 则 f ( x) 在点 x0 取得极小值 .
(ii) 若当 x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 时, f ′( x) ≥ 0, 当 x ∈ ( x0, x0 + δ )
时，f ′( x) ≤ 0, 则 f ( x) 在点 x0 取得极大值 .
证 根据导函数的符号判别函数单调性的方法, 可以
知道该定理的几何意义十分明显. 在这里仅给出 (i)
从而当 x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 时, f ′( x) < 0 ;
函数极值的求法(1)
∆x → 0
∆x
异号， 故f ′( x0 + ∆x ) − f ′( x0 )与∆x异号，
当∆x < 0时， 有f ′( x0 + ∆x ) > f ′( x0 ) = 0, 当∆x > 0时， 有f ′( x0 + ∆x ) < f ′( x0 ) = 0,
思考题
下命题正确吗？ 下命题正确吗？
的极小值点， 如果 x 0 为 f ( x ) 的极小值点，那么必存在 的某邻域，在此邻域内， x 0 的某邻域，在此邻域内， f ( x ) 在 x 0 的左侧 下降， 的右侧上升. 下降，而在 x 0 的右侧上升
思考题解答
不正确． 不正确．
1 2 2 + x ( 2 + sin ), x ≠ 0 例 f ( x) = x 2, x=0 1 2 当 x ≠ 0时， f ( x ) − f ( 0) = x ( 2 + sin ) > 0 x
1 e
+
(−1,3) −
−
3 0
极 小 值
( 3,+∞ )
+
f ′( x ) f ( x)
0
极 大 值
↑
↓
↑
极 值 f (−1) = 10, −
极 值 f ( 3) = −22.
f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 5图形如下
M
m
定理3(第二充分条件) 定理3(第二充分条件)设f (x)在 0 处 有 阶 数 3(第二充分条件 x 具 二 导 , 且 f ' ( x0 ) = 0, f '' ( x0 ) ≠ 0, 那 末 f '' ( x0 ) < 0时 函 f ( x)在 0 处 得 大 ; x 取 极 值 (1)当 (1)当 , 数 '' x 取 极 值 (2)当 (2)当f ( x0 ) > 0时 函 f ( x)在 0 处 得 小 . , 数
极值为1的函数
极值为1的函数介绍函数是数学中的一种基本概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。
在数学中，我们经常研究各种不同类型的函数。
本文将讨论一个特殊的函数，即极值为1的函数。
所谓极值为1的函数，是指函数的最大值和最小值都等于1。
在数学中，这样的函数有很多种形式，我们将对其进行探讨和研究。
部分示例以下是一些常见的极值为1的函数的示例：1. 三角函数三角函数是最常见的函数之一，它描述了角度和边长之间的关系。
其中，正弦函数(sin x)和余弦函数(cos x)是典型的极值为1的函数。
它们的图像在幅度为1的范围内上下波动。
2. 指数函数指数函数是由常数e（自然对数的底数）的幂所组成的函数。
例如，y = e^x 是一个极值为1的指数函数。
这个函数在自变量x逐渐增大时，其值也逐渐增大，但增长速率会逐渐减慢。
3. 对数函数对数函数是指以常数b（底数）为底，自变量x的对数。
其中，以底数为e的自然对数函数(ln x)是一个极值为1的对数函数。
这个函数在自变量x逐渐增大时，其值也逐渐增大，但增长速率会逐渐减慢。
4. 反比例函数反比例函数是指两个变量之间的关系为互为倒数的函数。
例如，y = 1/x 是一个极值为1的反比例函数。
当自变量x逐渐增大时，因变量y逐渐减小，而且二者之间的乘积始终等于1。
结论极值为1的函数在数学中扮演着重要的角色。
这些函数在各个领域有着广泛的应用，包括物理学、工程学和经济学等。
它们的性质和特点使得它们在描述事物的变化规律时非常有用。
在实际问题中，我们可以通过研究这些函数的图像、导数和性质，来更好地理解和解决问题。
对于学生而言，了解和掌握极值为1的函数对于数学学习的深入和应用都是非常重要的。
通过学习这些函数可以提高数学思维能力，培养逻辑推理和问题解决的能力。
同时，它们也是后续学习其他更复杂函数的基础，为进一步的数学学习打下坚实的基础。
总结起来，极值为1的函数是一类特殊的函数，在数学中具有重要的地位和作用。
一轮复习--导数与函数的极值、最值
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊 重，相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
高考数学一轮总复习课件：导数的应用(二) ——极值与最值
(2)(2020·河北冀州中学摸底)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x ＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是 __(_－_1_，__0)_．
【解析】 若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝ －1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a>0，当 x∈(－1，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数 f(x)在x＝a处取得极小值；若－1<a<0，当x∈(－1，a)时，f′ (x)>0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝a处取得极 大值；若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，－1)时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．综上所述，a∈(－1， 0)．
第3课时 导数的应用(二) ——极值与最值
[复习要求] 1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和 充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数 不超过三次).3.会求闭区间上的最大值、最小值(其中多项式函 数不超过三次)．
课前自助餐
函数的极值 (1)设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点， 都有 f(x)___<___f(x0)，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值＝f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)__>____f(x0)， 那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)．极大值与 极小值统称为极值．
极值点的第一充分条件和第二充分条件
极值点的第一充分条件和第二充分条件一、极值点的概念1. 极值点是函数在某一区间内的取值最大或最小的点。
极值点分为最大值和最小值两种。
2. 函数的极值点在数学和实际问题中具有重要的意义，它们可以帮助我们找到函数的最优解，比如最大利润、最小成本等。
3. 如果函数在某一点的导数为0，那么该点就有可能是函数的极值点。
二、极值点的第一充分条件1. 极值点的第一充分条件是：如果函数f(x)在点x0处可导，并且在x0的某个邻域内，f'(x)的符号在x0的两侧是相反的，即f'(x0-)与f'(x0+)异号，则x0就是函数f(x)的极值点。
2. 以求取极小值为例，当f'(x0-)表示x0左侧的导数，而f'(x0+)表示x0右侧的导数，如果f'(x0-) < 0且f'(x0+) > 0，那么x0就是函数f(x)的极小值点。
3. 以求取极大值为例，当f'(x0-) < 0且f'(x0+) > 0时，x0就是函数f(x)的极大值点。
4. 第一充分条件告诉我们，通过观察函数在极值点邻域内的导数符号变化，就可以初步判断出该点是否为极值点。
三、极值点的第二充分条件1. 极值点的第二充分条件是：如果函数f(x)在点x0处具有二阶导数，并且f'(x0) = 0，f''(x0)存在，则- 当f''(x0) > 0时，x0就是函数f(x)的极小值点；- 当f''(x0) < 0时，x0就是函数f(x)的极大值点。
2. 第二充分条件告诉我们，在满足第一充分条件的基础上，通过观察函数在极值点的二阶导数符号，可以进一步确定该点是极大值还是极小值。
3. 值得注意的是，第二充分条件只适用于具有二阶导数的函数，对于一阶导数不连续或者无法求导的函数则不适用。
四、极值点的实际应用1. 极值点的求解在实际问题中具有广泛的应用，比如在经济学中，可以通过求取函数的极值点来确定最大利润或最小成本；在物理学中，可以通过求解极值点来确定最短路径或最大速度等。
2025高考数学一轮复习-3.3导数与函数的极值、最值【课件】
极大值，也是最大值 f(1)＝3e，函数无极小值.
4.某冷饮店的日销售额 y(单位：元)与当天的最高气温 x(单位：℃，20≤x≤40)
的关系式为
y＝19x2－ 1 x3，则该冷饮店的日销售额的最大值约为( 10 30
C
)
A.907 元
B.910 元
C.915 元
D.920 元
解析 ∵y＝1190x2－310x3，20≤x≤40， ∴y′＝159x－110x2＝－110x(x－38). ∴当20≤x≤38时，y′≥0，即函数在[20，38]上单调递增，当38≤x≤40时， y′≤0，即函数在[38，40]上单调递减， ∴当x＝38时，函数取值最大值，∴ymax＝1190×382－310×383≈915.
角度2 求已知函数的极值
例 2 已知函数 f(x)＝ln x－ax(a∈R).
(1)当 a＝21时，求 f(x)的极值； 解 当 a＝12时，f(x)＝ln x－12x，函数的定义域为(0，＋∞)且 f′(x)＝x1－12＝2－ 2xx， 令f′(x)＝0，得x＝2，
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.
x
(0，2)
2
(2，＋∞)f′(x)＋0 Nhomakorabea－
f(x)
ln 2－1
故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值.
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 解 由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1x－a＝1－xax. 当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
解析 f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]， 当x∈[0，2)时，f′(x)＜0，当x∈(2，3]时，f′(x)＞0， 所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增. 又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.
【鼎尖教案】人教版高中数学必修系列：3.7函数的极值(第一课时)
3.7 函数的极值课时安排2课时从容说课从函数图象出发讲述函数的极大值、极小值、极值、极值点的意义.在教法上，让学生从解题过程中概括出利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法.函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，并且函数要在这一点处连续.教学时，可以安排这样的例题来加以说明，加深理解.在求可导函数的极值时，应要求学生注意如下几点：（1）可导函数的极值点一定是它的驻点（即f′（x0）=0），注意这句话中的“可导”两字是必不可少的.例如函数y=|x|在点x=0处有极小值f（0）=0，可是f（x）在x=0处不可导.（2）可导函数的驻点可能是极值点，也可能不是极值点，例如函数y=x3的导数是f′（x）=3x2,在点x=0处有f′（0）=0，即点x=0是f（x）=x3的驻点，但不是极值点.（3）求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.但是值得注意的是不能忘记定义域的作用.在教学时要采用主动学习模式，让学生积极参加，主动建构，不能被动接受.教师的作用就是调节、策划.增加一些新的教学内容，可以让学生自主编拟题目，或者分组编题、解题.培养学生良好的数学素养和个性品质.第十三课时课题3.7.1 函数的极值（一）教学目标一,教学知识点1.极大值的定义和判别方法.2.极小值的定义和判别方法.3.极值的概念.4.求可导函数f（x）的极值的步骤.二,能力训练要求1.理解极大值、极小值的概念.2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.3.掌握求可导函数的极值的步骤.三,德育渗透目标1.加深学生对局部与整体之间的理解.2.培养学生数形结合的数学思想.3.培养学生自己归纳、总结的能力.教学重点极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明,并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.观察图象得出判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号.教学方法建构主义观点下的高中数学教学实践，让学生通过观察图象，得到极大、极小值的定义，并让他们比较其与最大、最小值的区别.让学生自己观察图象得到判别极大、极小值的方法，并通过例1，自己归纳、总结解题的步骤.教具准备幻灯片三张第一张：极大、极小值的定义（记作3.7.1A）1.极大值.一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0）,x0是极大值点.2.极小值.一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0）,x0是极小值点.3.极大值与极小值统称为极值.第二张：判别f（x0）是极大、极小值的方法（记作3.7.1 B）当函数f（x）在点x0处连续时，判别f（x0）是极大（小）值的方法是：（1）如果在x0附近的左侧f′（x）＞0,右侧f′（x）＜0,那么f（x0）是极大值.（2）如果在x0附近的左侧f′（x）＜0,右侧f′（x）＞0,那么f（x0）是极小值.第三张：求可导函数f（x）的极值的步骤（记作3.7.1 C）求可导函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）.（2）求方程f′（x）=0的根.（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f（x）在这个根处无极值.教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们上节课利用学过的导数这个有力工具研究了函数的一种性质——单调性，怎么来判断函数的单调性呢？［生］先对函数进行求导.如果f′（x）＞0,那么函数f（x）为增函数；如果f′（x）＜0,那么函数f（x）为减函数.［师］比较一下，以前判断函数单调性的方法和现在的判断方法，哪个比较简单？［生齐答］现在的.［师］那么，我们再利用导数这种先进有效的工具，再来研究一下函数的另一种性质——函数的极值.Ⅱ.讲授新课图3-17图3-18［师］我们观察一下两张图象中，点a和点b处的函数值与它们附近点的函数值有什么关系？［生］从图3-17可以看出，点a处的函数值f（a）比点a附近的点的函数值大；而从图3-18可以看出，点b处的函数值f（b）比点b附近的点的函数值小.［师］我们把如图3-17情况的点a的函数值f（a）称极大值，把如图3-18情况的点b的函数值f（b）称极小值，那么能给极大值,极小值下个定义吗？［生］如果对点x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0）,那么f（x0）是函数f（x）的一个极大值.如果对点x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），那么f（x0）是函数f（x）的一个极小值.［师］下定义时，要更准确一点，有f（x0）存在，且与附近点的函数值比较.那么首先f（x）在点x0附近有定义，把极大值、极小值统称为极值.（打出幻灯片3.7.1 A）［师］我们看一下极大值、极小值的概念和学过的最大值、最小值的概念有什么区别？［生］极大、极小值是对于点x0附近的点而言的，而最大、最小值是对于整个定义区间上的点而言的.［师］最大、最小值可以有几个？极大、极小值呢？［生］最大、最小值只有1个，极大、极小值可以有多个.（板书）（一）函数的极值1.函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，并且函数要在这点处连续.［师］我们继续观察图3-17和图3-18，点a、b处的切线与点a、b附近的点处的切线有什么特点？［生］点a、b处的切线都与x轴平行，所以点a、b处的切线的斜率为0，即f′（a）=0,f′（b）=0.在点a的左侧的点处的切线的斜率为正，右侧为负；而在点b的左侧的点处的切线的斜率为负，右侧为正.（一开始画图,f′（a）=0,f′（b）=0,f′（x）＞0,f′（x）＜0，可不必标上去，等学生回答后再在图上标出）［师］那么如果函数f （x ）在点x 0处连续，是否可以总结一下判别f （x 0）是极大或极小值的方法.［生］如果在点x 0附近的左侧f ′（x ）＞0,右侧f ′（x ）＜0,那么f （x 0）是极大值.如果在点x 0附近的左侧f ′（x ）＜0,右侧f ′（x ）＞0,那么f （x 0）是极小值.（打开幻灯片3.7.1 B ）［师］我们知道，可导函数如果x 0是极值点，那么f ′（x 0）=0，所以可导函数极值点的导数为0，那么反过来，导数为0的点一定是极值点吗？［生］不是.［师］举个例子.（学生举例，老师板书）（板书）y =x 3,在x =0处.∵y ′=（x 3）′=3x 2,y ′｜x =0=0,当x ＞0时，y ′＞0,当x ＜0时，y ′＞0,∴由极大、极小值的定义知,x =0不是极值点.［师］再来看一个例子.（板书）y =｜x ｜,在x =0处.∵⎩⎨⎧<-≥=,0 ,0x x x x y ∴⎩⎨⎧<->=',0 1,01x x y ∴y =｜x ｜在x =0处不可导.当x ＜0时y ′＜0,当x ＞0时y ′＞0,∴x =0是y =｜x ｜的极小值点.2.对于可导函数，一点是极值点的必要条件是这点的导数为0，而一点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号，即可导函数极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定都是极值点，且对于一般的函数，函数的不可导点也可能是极值点.（二）课本例题［例1］求y =31x 3-4x +4的极值.解：y ′=（31x 3-4x +4）′=x 2-4=（x +2）（x -2）, 令y ′=0,解得x 1=-2,x 2=2.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表：x （-∞,-2）-2 （-2,2）2 （2,+∞）y ′ + 0 -0 +y↗极大值328↘极小值-34 ↗∴当x =-2时，y 有极大值且y 极大值=328；当x =2时，y 有极小值且y 极小值=-34.［例2］求y =（x 2-1）3+1的极值.解：y ′=6x （x 2-1）2=6x （x +1）2（x -1）2，令y ′=0,解得x 1=-1,x 2=0,x 3=1.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表：x （-∞,-1）-1 （-1,0）0 （0,1） 1 （1,+∞）y ′ - 0 - 0 + 0 + y↘无极值↘极小值0↗无极值↗∴当x =0时，y 有极小值且y 极小值=0.［师］这就是我们解极值问题的一般解法，对于可导函数，能否总结一下，求极值的具体步骤呢？［生］第一，求导数f ′（x ）.第二，令f ′（x ）=0求方程的根.第三，列表,检查f ′（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f （x ）在这个根处无极值.［师］这位同学回答得很好，他把无极值的情况也总结了一下.而书本上的总结只是针对例1的情况，我们可以根据例1、例2，把所有的情况都总结一下.但这个解法的前提是对可导函数而言的.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点.（打出幻灯片3.7.1 C ） （三）精选例题［例1］已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值为10,求f （2）的值.解:∵f ′（x ）=3x 2+2ax +b , 又∵在x =1处有极值为10,∴⎩⎨⎧==',10)1(,0)1(f f∴⎩⎨⎧=+++=++.101,0322a b a b a两式相减得a 2-a -12=0,∴a =4,a =-3.当a =4时,b =-11; 当a =-3时,b =3.当f （x ）=x 3+4x 2-11x +16时,f （2）=8+4×4-11×2+16=18;当f （x ）=x 3-3x 2+3x +9时,f （2）=8-3×4+3×2+9=11.［例2］已知函数f （x ）=x 3+ax 2+（a +6）x +1有极大值和极小值,求实数a 的取值范围.解:∵f ′（x ）=3x 2+2ax +a +6,令f ′（x ）=0,∴3x 2+2ax +a +6=0有两个不同的解.∴Δ＞0.∴4a 2-12（a +6）＞0.∴a 2-3a -18＞0. ∴a ＞6或a ＜-3,即所求a 的取值范围是（-∞,-3）∪（6,+∞）.Ⅲ.课堂练习 求下列函数的极值.（1）y =x 2-7x +6;（2）y =x 3-27x .解：（1）y ′=（x 2-7x +6）′=2x -7,令y ′=0，解得x =27.当x 变化时，y ′,y 的变化情况如下表:x （-∞,27） 27 （27,+∞） y ′ - 0 + y↘极小值-425 ↗∴当x =27时，y 有极小值，且y 极小值=-425.（2）y ′=（x 3-27x ）′=3x 2-27=3（x +3）（x -3）,令y ′=0,解得x 1=-3,x 2=3.当x 变化时，y ′,y 的变化情况如下表:x （-∞,-3）-3 （-3,3）3 （3,+∞）y ′ + 0 - 0 + y↗极大值54↘极小值-54↗∴当x =-3时，y 有极大值，且y 极大值=54;当x =3时，y 有极小值，且y 极小值=-54.Ⅳ.课时小结［学生总结］这节课我们主要学习了函数的极大、极小值的定义以及判别方法，求可导函数f （x ）的极值的三个步骤，还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点.Ⅴ.课后作业（一）课本P 130习题3.7 1.（二）复习并总结这节的内容.板书设计3.7.1 函数的极值（一）画图举例:y=x3,在x=0处.y=｜x｜,在x=0处.课本例题1x3-4x+4的极值.例1.求y=3例2.求y=（x2-1）3+1的极值.1.函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大（极小）值，且函数要在这点处连续.2.对于可导函数，一点是极值点的必要条件是这点导数为0，充分条件是这点两侧的导数异号.精选例题例1.例2.课堂练习求下列函数的极值:（1）y=x2-7x+6;（2）y=x3-27x.课时小结课后作业 备课资料关于9sin x +16csc x 值域的研究王思俭第五届“希望杯”高二第二试二4:函数y =9sin x +16csc x ,x ∈（0, 2π］,则函数的最小值为__________.1.挖掘多种解法，揭示解题思想思路1:本题不能直接使用均值不等式求最小值,因为虽然有9sin x +16csc x ≥2x x csc 16sin 9⋅=24,但等号成立的充要条件是9sin x =16csc x ,即sin x =34∉（0,1］,但可借助函数y =9t +t16,t ∈（0,1］的单调性来求解.解：令sin x =t ∈（0,1］,则y =9t +t 16,易证函数y 在（0,1］上是单调递减的，所以当t =1，即x =2π时,y m in =25.思路2：虽然不能直接使用均值不等式求最小值，但只要对xsin 16进行分析就可以利用了.解：y =9（sin x +xsin 1）+x sin 7≥9·2x x sin 1sin ⋅+x sin 7=18+x sin 7≥18+17=25，两处不等式中等号成立的充要条件都是sin x =1. 故y m in =25.思路3：令sin x =t ∈（0,1］,于是问题转化为关于t 的一元二次方程9t 2-yt +16=0在（0,1］中至少有一个根时，求参数y 的取值范围，利用二次函数图象就可求得.解：令sin x =t ,原式化为9t 2-yt +16=0, t ∈（0,1］，（*） 此方程在（0,1］内至少有一个解.首先应有Δ≥0,即y ≥24.由于二次函数f （t ）=9t 2-yt +16的对称轴t =18y＞1,所以有⎪⎩⎪⎨⎧>≤≥∆.0)0(,0)1(,0f f 解得y ≥25.思路4：可从原式中解出sin x ，再利用正弦sin x ∈（0,1］求解.解：原式化为9（sin x ）2-y sin x +16=0,当Δ≥0,即y ≥24时，sin x =1816362⋅-±y y .而y ≥24,0＜sin x ≤1,所以0＜1816362⋅--y y ≤1.解得y ≥25,故y m in =25.2.挖掘试题内涵，培养揭示能力引申1：函数y =ax +xb 的性质（ab ≠0）. （如下表）条件图象与性质项 目⎩⎨⎧>>00b a ⎩⎨⎧><00b a ⎩⎨⎧<<00b a ⎩⎨⎧<>0b a图 象奇偶性 奇函数 奇函数 奇函数奇函数 极 值 y 极大=-2ab ,y 极小=2ab 无极值 y 极大=-2ab ,y 极小=2ab 无极值 图象极值点极大值点：（-a b,-2ab ） 极小值点：（ab,2ab ） 无极大值点：（ab,-2ab ） 极小值点：（-ab,2ab ） 无渐近线方程 x =0及y =ax x =0及y =ax x =0及y =axx =0及y =ax 递增区间（-∞,-ab］和［ab,+∞） 无［-ab ,0）和（0,ab ］ （-∞,0）和（0,+∞）递减区间（-a b ,0）和（0，ab ） （-∞,0）和（0,+∞） （-∞,-ab）和（ab,+∞） 无引申2：函数y =x b a x n m sin sin +（a ＞0,b ＞0,m 、n ∈N ,0＜x ＜2π）.（1）若abn ≥m ，当且仅当sin x =1时，有最小值y m in =a1+b .（2）若abn ＜m ,当且仅当sin x =nm mabnf +时，有最小值y m in =（m +n ）nm nn m ma n mb +.证明：（1）y =axm sin +xa n sin 1+xa n sin 1+…+xa n sin 1≥a1（ab +1）1)sin 1(+-ab mabn x，因为abn -m ≥0,而xsin 1≥1, 所以y m in =a 1（ab +1）=a1+b .取等号的充要条件为sin x =1.（2）y =na x m sin +na x m sin +na x m sin +…+na x m sin +x m b n sin +x m b n sin +…+xm bn sin≥（m +n ）n m mn nm n n m m x x a n m b +⋅)(sin )(sin =（m +n ）nm nn m m a n m b +.3.挖掘应用功能，提高解题能力赛题及引申给出了这类问题的一般图象和性质.引导学生应用这些性质解题，尤其是高考和竞赛题，可以培养灵活解题的能力.［例1］（1988年全国高考,文6）解不等式lg （x -x1）＜0.解：原不等式为0＜x -x1＜1,由函数y =x -x1的图象（如图3-19），知不等式解集为（-1,x 1）∪（1,x 2）（x 1,x 2为方程x -x1=1的两个根,即251±）.图3-19［例2］（1986年上海市高中数学竞赛）设a ＞1,a 、θ均为实数，求当θ变化时，函数θθθsin 1)sin 4)(sin (+++=a y 的最小值.解：令1+sin θ=t ∈（0,2］，则y =tt a t )3)(1(+-+=t +ta )1(3-+2+a ,∵a ＞1,∴a -1＞0. 故u =t +ta )1(3-（a ＞1,0＜t ≤2）的图象是位于第一象限的曲线段（如图3-20）.图3-20根据函数的性质，极小值点为（)1(3-a ,)1(32-a ）. 于是当0＜)1(3-a ≤2,即1＜a ≤37时，y m in =)1(32-a +a +2.当)1(3-a ＞2,即a ＞37时，函数y 在（0,2］上是减函数，所以在t =2时，有最小值y m in =2)1(5+a .［例3］（1990年上海市高三数学竞赛题）设抛物线y =x 2+mx +2与两端点为（0,1）,（2,3）的线段有两个相异的交点，则m 的取值范围是__________.略解：联立方程组⎩⎨⎧≤≤+=++=)20(1,22x x y mx x y化为1-mx =x 2-x +2,易知x =0时不成立.所以1-m =x +x1（0＜x ≤2）.方程的解的问题转化为两函数u =1-m ,u =x +x1（0＜x ≤2）有两个相异交点的问题（如图3-21），其充要条件为2＜1-m ≤u（2）=25,即-23≤m ＜-1.图3-21［例4］（1991年上海高考压轴题）在△ABC 中，BC =a ,AC =b ,BA =c ,∠ACB =θ,现将△ABC 分别以BC 、AC 、AB 所在直线为轴旋转一周，设所得的三个旋转体的体积依次为V 1、V 2、V 3.（1）求T =213V V V +（用a 、b 、c 、θ表示）;（2）若θ为定值，并令cba +=x ,将T 表示为x 的函数，写出这个函数的定义域，并求这个函数的最大值u ;（3）当θ在［3π,π）内变化时，求u 的最大值.略解：（1）在△ABC 中，设BC 、AC 、AB 上的高依次为h 1、h 2、h 3,则h 3=cab θsin , h 1=b sin θ,h 2=a sin θ.而V 1=3πa 2b sin 2θ,V 2=3πb 2a sin 2θ,V 3=31cb a 22sin 2θ,所以T =cb a ab)(+.（2）因为c 2=a 2+b 2-2ab cos θ=（a +b ）2-2ab （1+cos θ），而a +b =cx ,所以ab =)cos 1(2)1(22θ+-c x .故T =)cos 1(21θ+（x -x1）.又因为c2=（a +b ）2-2ab （1+cos θ）≥（a +b ）2-2)(2b a +（1+cos θ）=2)(2b a +（1-cos θ）,所以1＜x 2≤θcos 12-,即1＜x ≤θcos 12-.又因为函数y =x -x1在x ＞0时为增函数,所以当x =θcos 12-时，T max =2sin41 =u .（3）因为3π≤θ＜π,所以21≤sin θ＜1,故u max =21. （原文发表在《数理天地》北京1998年第1期）。
函数的极值(第一课时)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
练习
题型二：运用导数解决函数的极值问题
例2.求函数() = 2 − 的极值.
解：函数的定义域为，
’ () = 2 − + 2 − ∙ (−1) = 2 − − 2 − = (2 − ) − .
令 ’ () = 0，得(2 − ) − = 0，解得 = 0或 = 2.
(3)解方程 ’ () = 0得方程的根；
(4)利用方程 ’ () = 0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各
个小开区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果 ’ ()的符号在0 处由正(负)变负(正)，则()在0 处取
得极大(小)值.
练习
方法技巧：
2.已知函数极值求参数时的注意点：
答案：√，√，×.
辨析2.函数() = + 2
A.0
6
B.
答案：B.
C.
3
2
D.
在[0， ]上的极大值点为(
2
).
例析
1
l l 3
1
= 3
3
例5.求函数() = 3 − 4 + 4的极值.
解：因为()
− 4 + 4，所以
’ () = 2 − 4 = ( − 2)( + 2).
练习
变1.(多选)已知函数 = ’ ()的图象如图所示，则下列说
法正确的是(
).
A.函数()在区间(1， + ∞)上是增函数
B.函数()在区间(−1，1)上无单调性
C.函数()在 =
1
− 处取得极大值
2
D.函数()在 = 1处取极小值
函数的极值与最值(第一课时)课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
Oa
h '(t) 0
h '(t) 0
h '(t) 0
t
函数的极值 如图，函数 y f (x) 在 x = a，b，c，d，e这些点与这些点附近的函数 值有什么关系？在这些点及这些点附近的导数正负性有什么规律？
y
ab
c
de
x
先以 x a 为例，如图，可以发现，函数 y f (x) 在点 x a 处的函数 值 f (a) 比它在点 x a 附近其他点处的函数值都小，f '(a) 0 ，而且在点 x a 附近的左侧 f '(x) 0 ，右侧 f '(x) 0 . 我们把点 a 叫做函数的极小 值点， f (a) 叫做函数 y f (x) 的极小值.
5.3.2 函数的极值与最值(第一课时)
1．了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的 关系，并会灵活应用． 2．结合函数的图象，了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条 件．(重点) 3．会用导数求函数的极大值、极小值．(难点)
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函 数的增减. 如果函数在某些点处的导数为0，那么函数在这些点处有什么 性质呢？
2
因为 f (1) 1 1 2 c 3 ，得 c 1.
2
2
所以 f (x) x 3 1 x 2 2x 1 ，则 f '(x) 3x 2x) ， f (x) 的变化情况如下表
x
，
2 3
2 3
2 3
，1
1
(1，+∞)
f '(x)
+
0
(2) f (x) ln x
x
解：(1)函数 f (x) x 3 3x 2 9x 5 的定义域为 R ，且 f '(x) 3x 2 6x 9 令 f '(x) 0 ，得 x 1 或 x 3 当 x 变化时，f '(x) ， f (x) 的变化情况如下表
极值点第一和第二判定定理
极值点第一和第二判定定理1. 引言：数学中的奇妙世界哎呀，大家好！今天我们来聊聊数学中的一段“奇妙旅程”，主要是关于极值点的第一和第二判定定理。
听起来是不是有点儿晦涩？别担心，咱们轻轻松松就把它搞定，像喝水一样简单。
你要知道，这些定理就像数学界的小侦探，帮我们找到函数的“最值”，就是最大值和最小值。
想象一下，咱们去逛超市，看到一件商品打折，这就是最便宜的价格，恰好就是一个最小值嘛！反过来，如果你看到某个蛋糕价格飞涨，那就是个最大值了，哈哈！2. 第一判定定理：极值点的“探头”2.1 什么是第一判定定理？首先，咱们来看看第一判定定理。
它的意思是，如果一个函数在某个点上导数为零（也就是“停下来”了），那么这个点有可能是极值点。
就像一辆车开到红灯停下，司机可能在想：“哎，这里是个好地方，咱们是不是要停一下？”这就是导数为零的情况。
但是，别急，这个点并不一定就是最值，它可能是个“鱿鱼”点，哈哈，也就是说，它可能是个拐点，可能是个“平平无奇”的地方。
2.2 实际应用那么，如何判断这个点到底是不是极值点呢？很简单，看看旁边的情况！如果周围的值都比这个点要大，那这个点就是个最小值；如果周围的值都比它小，那它就是个最大值。
就好比你在朋友圈里发了一张自拍，大家都夸你漂亮，那你心里肯定乐开了花，觉得自己就是个“最大值”。
相反，如果大家都不太赞同，那你就要思考一下，是不是“太过自恋”了，哈哈！3. 第二判定定理：更深入的探测3.1 第二判定定理的奥秘接下来，我们来聊聊第二判定定理。
这个定理有点儿“高大上”，它通过观察导数的变化来帮助我们判断一个点是不是极值点。
具体来说，如果导数在这个点的左边是负的，右边是正的，那就是个最小值；反之，如果左边是正的，右边是负的，那就是最大值。
就像咱们做一道题，得先了解题意，才能做得又快又好。
3.2 举个例子想象一下你在爬山，山顶就是个最大值，而山脚就是个最小值。
你在爬上山的过程中，首先是上升（导数为正），当你到了山顶后，就开始下山（导数为负）。
向量极值问题(一)
向量极值问题(一)向量极值问题1. 什么是向量极值问题？向量极值问题是数学中与向量相关的一类问题，它通常涉及找到一个向量函数在特定条件下的最大值或最小值。
2. 向量极值问题的常见类型极大值和极小值在向量极值问题中，常常需要找到向量函数的极大值或极小值。
极大值指的是在一定条件下，向量函数取得的最大值；极小值指的是在一定条件下，向量函数取得的最小值。
一元向量函数的极值一元向量函数指的是只有一个自变量的函数，如f(x)=⟨x,x²⟨。
在一元向量函数的极值问题中，我们需要找到函数在特定条件下取得的极值点。
多元向量函数的极值多元向量函数指的是有多个自变量的函数，如f(x,y)=⟨x+y,x²+y³⟨。
在多元向量函数的极值问题中，我们需要找到函数在特定条件下取得的极值点。
无约束和有约束的极值问题向量极值问题可以分为无约束极值问题和有约束极值问题。
无约束极值问题指的是在没有任何限制条件下，寻找向量函数的极值；有约束极值问题指的是在给定一定限制条件下，寻找向量函数的极值。
3. 解决向量极值问题的方法导数法对于一元向量函数，可以通过求导数来找到函数的极值点。
通过求导数后的方程，我们可以判断极值点的位置。
拉格朗日乘数法对于有约束的极值问题，我们可以使用拉格朗日乘数法来解决。
拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘子，将约束条件与目标函数联立，从而找到极值。
线性规划法线性规划法通常用于解决多元向量函数的有约束极值问题。
它通过建立约束条件和目标函数的线性模型，利用线性规划算法来求解极值。
4. 应用领域向量极值问题在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。
例如，在物理学中，求解一元向量函数的极值可以帮助我们找到使物体运动轨迹最短或消耗能量最小的路径。
在工程学中，求解多元向量函数的极值可以用来优化问题，如最小化成本、最大化效益等。
5. 总结向量极值问题是数学中重要的一类问题，包括极大值和极小值、一元和多元向量函数、无约束和有约束的极值问题等。
16第十六讲 函数极值的第一和第二充分条件
时，f ′( x) ≤ 0, 则 f ( x) 在点 x0 取得极大值 .
证 根据导函数的符号判别函数单调性的方法, 可以
知道该定理的几何意义十分明显. 在这里仅给出 (i)
当 3 − 5 < x < 3 + 5 时, f ′( x) > 0 ;
2
2
当 x > 3 + 5 时, f ′( x) < 0 . 2
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
最大值与最小值
所以 x1 是 f ( x) 的极小值点, y
4
x2 是 f ( x)的极大值点 .
极值判别
最大值与最小值
证 同样我们仅证(i). 因为
f
′′( x0 )
=
lim
x→ x0
f ′( x) − f ′( x0 ) = lim f ′( x)
x − x0
x→ x0 x − x0
> 0,
所以由保号性，存在δ > 0, 当 x ∈ U ( x0; δ ) 时,
f ′( x) > 0.
x − x0
的证明.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
最大值与最小值
因为
f ′( x) ≤ 0 , x ∈ ( x − δ , x ) ,
0
0
f (x) 在 (x −δ , x ]
0
极值为1的函数
极值为1的函数
我们常常会遇到一些函数，它们在某些特定的输入下会取到最大值或最小值。
但是，有一类函数，它们的取值范围始终在[0,1]之间，而且在某些输入下取到最大值1，这就是极值为1的函数。
举个例子，sigmoid函数就是一种极值为1的函数。
它的数学表达式为：
$$
sigma(x)=frac{1}{1+e^{-x}}
$$
可以看出，当$x$趋近于正无穷时，$sigma(x)$趋近于1。
因此，sigmoid函数在输入足够大的时候可以取到极值1。
另一个例子是softmax函数，它常用于多分类问题。
softmax函数的数学表达式为：
$$
mathrm{softmax}(x_i)=frac{e^{x_i}}{sum_{j=1}^{n}e^{x_j}}
$$
可以发现，softmax函数的输出都在[0,1]之间，并且所有输出的和为1。
在某些情况下，softmax函数可以取到极值1，比如当输入向量中的某个分量远大于其他分量时。
极值为1的函数在机器学习和深度学习中有广泛的应用，比如用于激活函数、损失函数等方面。
它们可以让我们更好地处理概率和概
率分布，提高模型的表现力和泛化能力。
人教版数学高二下册课件：函数的极值与最大(小)值(1)
右侧_______
数 y＝f (x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数 y＝f (x)在点 x＝b 的函数值 f (b)比它在点 x＝b 附近其他
f ′(x)＞0 ，
点的函数值都大，f ′(b)＝__
0 ，而且在点 x＝b 附近的左侧_________
f ′(x)＜0，就把点 b 叫做函数 y＝f (x)的极大值点，______
且在 = 点附近的左侧 ′ > 0，右侧 ′ < 0.
概念解析
1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值
若函数 y＝f (x)在点 x＝a 的函数值 f (a)比它在点 x＝a 附近其他
f
′(x)＜0
，
__________
附近的左侧
x＝a
而且在点
，
点的函数值都小，f ′(a)＝__
0
f ′(x)＞0，就把点 a 叫做函数 y＝f (x)的极小值点，_____
3、阅读理解课本P91例5.
4、完成课本P92练习第1-2。.
• 课前检查：
• 1、课前1分钟检查并强调学生拿出课本、草
稿纸、笔、错题本等学习用品。
• 2、课前检查晚修预习布置的学习内容（可
以是核对答案、提问、上台板演）
学习目标
1．了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值
的关系.
2．初步掌握求函数极值的方法．
3．通过导函数方程的解进一步了解极值与单调区间的关系。
预习检测
1．已知函数 f (x)的导函数 f ′(x)的图象如图所示，则函数 f (x)有(
)
A．两个极大值，一个极小值 B．两个极大值，无极小值
2023年高考数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用3导数与函数的极值最值练习含解析
导数与函数的极值、最值考试要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．( ×)(2)函数的极小值一定是函数的最小值．( ×)(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．( √)(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．( ×)教材改编题1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 由题意知只有在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正． 2．函数f (x )＝x 3－ax 2＋2x －1有极值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－6]∪[6，＋∞) B ．(－∞，－6)∪(6，＋∞) C ．(－6，6) D ．[－6，6] 答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋2，由题意知f ′(x )有变号零点，∴Δ＝(－2a )2－4×3×2>0， 解得a >6或a <－ 6.3．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，则m ＝________.答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.题型一 利用导数求函数的极值问题 命题点1 根据函数图象判断极值例1 (2022·广州模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(x －1)f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)答案 D解析由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．命题点2 求已知函数的极值例2 已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解(1)因为f(x)＝x－1＋ae x ，所以f′(x)＝1－ae x，又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，即1－ae1＝0，所以a＝e.(2)由(1)知f′(x)＝1－ae x ，当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值；当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，令f′(x)<0，则x<ln a，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且f(ln a)＝ln a，但是无极大值，综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，但是无极大值． 命题点3 已知极值(点)求参数例3 (1)(2022·大庆模拟)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则a ＋b 等于( ) A ．－7 B ．0 C ．－7或0 D ．－15或6答案 A解析 由题意知，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， 可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 因为f (x )在x ＝1处取得极值10， 可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝3＋2a ＋b ＝0，f1＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3，检验知，当a ＝－3，b ＝3时，可得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，此时函数f (x )单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a ＝4，b ＝－11时，可得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)， 当x <－113或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－113<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，符合题意． 所以a ＋b ＝－7.(2)(2022·南京模拟)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0，e)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eC.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 答案 C解析 f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－a＝ln x ＋1－2ax ，由题意知ln x ＋1－2ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，2a ＝ln x ＋1x，设g (x )＝ln x ＋1x，则g ′(x )＝1－ln x ＋1x 2＝－ln x x2. 当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， 所以g (x )的极大值为g (1)＝1， 又当x >1时，g (x )>0， 当x →＋∞时，g (x )→0， 当x →0时，g (x )→－∞， 所以0<2a <1，即0<a <12.教师备选1．(2022·榆林模拟)设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋π4等于( )A.m －1m ＋1B.m ＋1m －1 C.1－mm ＋1D.m ＋11－m答案 B解析 由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0， 得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m，故tan ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 2．已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( ) A ．1≤b <a B ．b <a ≤1 C ．a <1≤b D ．a <b ≤1答案 B解析 令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0，得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析． 对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意；对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意； 对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意．思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1 (1)(2022·长沙模拟)若x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极大值为( ) A ．－1 B ．－2e －3C ．5e －3D ．1答案 C解析 因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，故可得f ′(x )＝(2x ＋a )ex －1＋(x 2＋ax －1)ex －1＝ex －1[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]，因为x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，故可得f ′(1)＝0，即2a ＋2＝0，解得a ＝－1. 此时f ′(x )＝ex －1(x 2＋x －2)＝ex －1(x ＋2)(x －1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1， 由f ′(x )>0可得x <－2或x >1； 由f ′(x )<0可得－2<x <1，所以f (x )在区间(－∞，－2)上单调递增， 在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x )的极大值点为x ＝－2.则f (x )的极大值为f (－2)＝(4＋2－1)e －3＝5e －3.(2)(2022·芜湖模拟)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，103B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，103C.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，103 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103答案 B解析 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)，∴f ′(x )＝1x＋x －a ，∵函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上有且仅有一个极值点， ∴y ＝f ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上只有一个变号零点． 令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x＋x .设g (x )＝1x ＋x ，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增， ∴g (x )min ＝g (1)＝2， 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52，g (3)＝103，∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上只有一个变号零点．∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，103.题型二 利用导数求函数最值例4 已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )． (1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值； (2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )． 解 (1)∵a ＝1， ∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ， ∴g ′(x )＝1x＋2x －3＝2x －1x －1x，∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0， ∴g (x )在[1，e]上单调递增， ∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1. (2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－a ＋2x ＋ax＝2x －a x －1x.①当a2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1； ②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a 2，e 上单调递增，h (a )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＝a ln a 2－14a 2－a ；③当a2≥e，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，1－e a ＋e 2－2e ，a ≥2e.教师备选已知函数f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有最大值M ，且M >a －4，求实数a 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)可得f ′(x )＝1x－a ， 当a <0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a，所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，综上所述，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最大值， 当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减， 所以当x ＝1a时，f (x )取得最大值，即f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a ×1a－2＝ln 1a－3＝－ln a －3，因此有－ln a －3>a －4，得ln a ＋a －1<0， 设g (a )＝ln a ＋a －1，则g ′(a )＝1a＋1>0，所以g (a )在(0，＋∞)上单调递增， 又g (1)＝0，所以g (a )<g (1)，得0<a <1， 故实数a 的取值范围是(0,1)．思维升华 (1)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．(2)若所给的闭区间[a ，b ]含参数，则需对函数f (x )求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．跟踪训练2 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大. 解 (1)∵蓄水池的侧面的总成本为 100×2πrh ＝200πrh (元)， 底面的总成本为160πr 2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元． 由题意得200πrh ＋160πr 2＝12000π， ∴h ＝15r(300－4r 2)．从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0，可得0<r <5 3. 故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上单调递增； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上单调递减． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8， 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．课时精练1．若函数f (x )＝x 2＋2xex的极大值点与极小值点分别为a ，b ，则a ＋b 等于( )A ．－4 B. 2 C ．0 D ．2答案 C解析 f ′(x )＝2－x2e x ，当－2<x <2时，f ′(x )>0； 当x <－2或x >2时，f ′(x )<0. 故f (x )＝x 2＋2xex的极大值点与极小值点分别为2，－2，则a ＝2，b ＝－2，所以a ＋b ＝0.2．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，下列结论中正确的是( )A ．f (x )在[－2，－1]上单调递增B ．当x ＝3时，f (x )取得最小值C ．当x ＝－1时，f (x )取得极大值D ．f (x )在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减 答案 D解析 根据题图知，当x ∈(－2，－1)，x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(－1,2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以y ＝f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故选项A 不正确，选项D 正确；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，选项C 不正确；当x ＝3时，f (x )不是取得最小值，选项B 不正确．3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln2D ．－2＋2ln2答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3，∵f (x )在x ＝2处取得极小值， ∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12，∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ，f ′(x )＝2x＋x －3＝x －1x －2x，∴f (x )在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减， ∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52.4．(2022·重庆联考)函数f (x )＝x ＋2cos x 在[0，π]上的最大值为( ) A ．π－2 B.π6 C ．2 D.π6＋ 3 答案 D解析 由题意得，f ′(x )＝1－2sin x ，∴当0≤sin x ≤12，即x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增；当12<sin x ≤1，即x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6上时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (x )有极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π6＋3，有极小值 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝5π6－3，而端点值f (0)＝2，f (π)＝π－2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f (0)>f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，∴f (x )在[0，π]上的最大值为π6＋ 3.5．(多选)已知x ＝1和x ＝3是函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x ＋k (a ，b ∈R )的两个极值点，且函数f (x )有且仅有两个不同零点，则k 值为( )A ．－43B.43 C ．－1 D ．0答案 BD解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意1,3是f ′(x )＝0的两个根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝－2b3a ，1×3＝－33a，解得a ＝－13，b ＝2.故f (x )＝－13x 3＋2x 2－3x ＋k .易求得函数f (x )的极大值为f (3)＝k 和极小值为f (1)＝－43＋k .要使函数f (x )有两个零点，则f (x )极大值k ＝0或f (x )极小值－43＋k ＝0，所以k ＝0或k ＝43.6．(多选)已知函数f (x )＝x ＋sin x －x cos x 的定义域为[－2π，2π)，则( ) A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在[0，π)上单调递增C ．f (x )恰有4个极大值点D ．f (x )有且仅有4个极值点 答案 BD解析 因为f (x )的定义域为[－2π，2π)， 所以f (x )是非奇非偶函数，故A 错误； 因为f (x )＝x ＋sin x －x cos x ，所以f ′(x )＝1＋cos x －(cos x －x sin x )＝1＋x sin x ，当x ∈[0，π)时，f ′(x )>0，则f (x )在[0，π)上单调递增，故B 正确； 显然f ′(0)≠0，令f ′(x )＝0，得sin x ＝－1x，分别作出y ＝sin x ，y ＝－1x在区间[－2π，2π)上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f (x )在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f (x )只有2个极大值点，故C 错误，D 正确．7．(2022·潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f (x )＝________. 答案 sin x (答案不唯一)解析 正弦函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在极值．8．(2021·新高考全国Ⅰ)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________． 答案 1解析 函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞)． ①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ，所以f ′(x )＝2－2x＝2x －1x， 当12<x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln1＝1；②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减， 所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2ln 12＝2ln2＝ln4>lne ＝1.综上，f (x )min ＝1.9．已知函数f (x )＝ln x －2x －2x ＋1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝f (x )－4＋ax ＋1＋2(a ∈R )，若x 1，x 2是函数g (x )的两个极值点，求实数a 的取值范围．解 (1)由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x－2x ＋1－2x －1x ＋12＝x －12x x ＋12≥0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)因为g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2＝ln x －ax ＋1，所以g ′(x )＝1x＋ax ＋12＝x 2＋2＋a x ＋1x x ＋12(x >0)．由题意知x 1，x 2是方程g ′(x )＝0在(0，＋∞)内的两个不同的实数解． 令h (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋1，又h (0)＝1>0，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧－2－a >0，Δ＝2＋a2－4>0，解得a <－4，即实数a 的取值范围为(－∞，－4)．10．(2022·珠海模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，其中e 为自然对数的底数． (1)若x ＝1为f (x )的极值点，求f (x )的单调区间和最大值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )的最大值是－3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]， ∴f ′(x )＝1－axx，由f ′(1)＝0，得a ＝1. ∴f ′(x )＝1－x x，∴x ∈(0,1)，f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]；f (x )的极大值为f (1)＝－1，也即f (x )的最大值为f (1)＝－1.(2)∵f (x )＝ln x －ax ， ∴f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x，①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递增， ∴f (x )的最大值是f (e)＝1－a e ＝－3， 解得a ＝4e>0，舍去；②当a >0时，由f ′(x )＝1x －a ＝1－axx＝0，得x ＝1a，当0<1a <e ，即a >1e时，∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，e 时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，e ，又f (x )在(0，e]上的最大值为－3，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－1－ln a ＝－3，∴a ＝e 2；当e≤1a ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝1－a e ＝－3， 解得a ＝4e >1e，舍去．综上，存在a 符合题意，此时a ＝e 2.11．若函数f (x )＝(x 2－a )e x的两个极值点之积为－3，则f (x )的极大值为( ) A.6e 3 B ．－2eC ．－2e D.4e2 答案 A解析 因为f (x )＝(x 2－a )e x， 所以f ′(x )＝(x 2＋2x －a )e x， 由f ′(x )＝(x 2＋2x －a )e x＝0， 得x 2＋2x －a ＝0，由函数f (x )＝(x 2－a )e x的两个极值点之积为－3， 则由根与系数的关系可知，－a ＝－3，即a ＝3， 所以f (x )＝(x 2－3)e x ，f ′(x )＝(x 2＋2x －3)e x， 当x <－3或x >1时，f ′(x )>0； 当－3<x <1时，f ′(x )<0， 故f (x )在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的极大值为f (－3)＝6e3.12．函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b 在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29(a >0)，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝2，b ＝－29B ．a ＝3，b ＝2C．a＝2，b＝3 D．以上都不对答案 C解析函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出0<x<4，此时函数单调递减，由f′(x)>0，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增，即函数在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值，则f(0)＝b＝3，则f(x)＝ax3－6ax2＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，则f(－1)>f(2)，即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29，计算得出a＝2，b＝3.13．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则( ) A．a<b B．a>bC．ab<a2D．ab>a2答案 D解析当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.图1当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图2所示，观察可知a>b.图2综上，可知必有ab>a2成立．14．(2022·河南多校联考)已知函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x＋2，若f(x1)＝g(x2)，则x1－x2的最小值为______．答案4－2ln2解析设f(x1)＝g(x2)＝t，即2ln x1＝t，x2＋2＝t，解得x 1＝2e t ，x 2＝t －2， 所以x 1－x 2＝2e t －t ＋2，令h (t )＝2e t －t ＋2，则h ′(t )＝21e 2t －1，令h ′(t )＝0，解得t ＝2ln2， 当t <2ln2时，h ′(t )<0， 当t >2ln2时，h ′(t )>0，所以h (t )在(－∞，2ln2)上单调递减，在(2ln2，＋∞)上单调递增， 所以h (t )的最小值为h (2ln2)＝e ln2－2ln2＋2＝4－2ln2， 所以x 1－x 2的最小值为4－2ln2.15．(多选)已知函数f (x )＝x ln x ＋x 2，x 0是函数f (x )的极值点，以下几个结论中正确的是( ) A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋2x 0<0D ．f (x 0)＋2x 0>0答案 AD解析 函数f (x )＝x ln x ＋x 2(x >0)， ∴f ′(x )＝ln x ＋1＋2x ， ∵x 0是函数f (x )的极值点， ∴f ′(x 0)＝0，即ln x 0＋1＋2x 0＝0，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2e>0，当x >1e 时，f ′(x )>0，∵当x →0时，f ′(x )→－∞， ∴0<x 0<1e，即A 正确，B 不正确；f (x 0)＋2x 0＝x 0ln x 0＋x 20＋2x 0＝x 0(ln x 0＋x 0＋2)＝x 0(1－x 0)>0，即D 正确，C 不正确．16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a ln x (a >0)． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，不等式f (x 1)≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2x 2－2x ＋a x，x >0，一元二次方程2x 2－2x ＋a ＝0的Δ＝4(1－2a )，①当a ≥12时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当0<a <12时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1－1－2a 2>0，x 2＝1＋1－2a 2>0，所以当0<x <1－1－2a2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当1－1－2a 2<x <1＋1－2a2时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1＋1－2a 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上所述，当a ≥12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当0<a <12时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2a 2，＋∞.(2)由(1)知，0<a <12，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝a2，则0<x 1<12<x 2，由f (x 1)≥mx 2恒成立， 得x 21－2x 1＋a ln x 1≥mx 2，即(1－x 2)2－2(1－x 2)＋2(1－x 2)x 2ln(1－x 2)≥mx 2， 即m ≤x 2－1x 2＋2(1－x 2)ln(1－x 2)，记h (x )＝x －1x＋2(1－x )ln(1－x )，1>x >12，则h ′(x )＝1x 2－2ln(1－x )－1>0⎝⎛⎭⎪⎫1>x >12， 故h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－32－ln 2，3 2－ln 2.故m≤－。
一轮复习：函数的极值与最值问题
一轮复习 函数的极值一 基础知识1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点 （2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理（大学内容 了解即可）：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点⇒()0'0f x =说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点⇒导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点）5、求极值的步骤：（1）筛选： 令()'0fx =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'fx 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、检验导数零点：对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题。
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1.2.1函数的极值
学习目标：
了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强自己的数形结合意识；
掌握利用导数求函数的极值的一般步骤.
学习过程：
一、自主学习：
自学课本第81-82页例2上方内容，完成下列内容：
1
图1
图1中，函数()
f x的一个极大值点是_______，一个极大值是_______；
函数()
f x的一个极小值点是_______，一个极小值是_______。
思考1：函数的极值点和极值相同吗？
极大值点、极小值点、极值点是指_________________________的值；
极大值、极小值、极值是指____________________________的值。
2、极大值和极小值的定义：
极大值：
极小值：
思考2：极大值一定比极小值大吗？
图2
2、观察下图，看函数的极值与函数的导数有怎样的关系呢? （完成下表）
图4
3、请问如何判断0()f x 是极大值或是极小值？
二、合作探究：
阅读教材82、83页例2、例3,求下列函数的极值。
1、3x x y -=
2、142y 23+-+=x x x
3、2)1)(1(+-=x x y
三、作业：课本第84页习题4-1A 组3.。