2016武汉商学院单招数学模拟试题(附答案)

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2016武汉商学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）．
1.若集合，，则“”是“”的
（ A ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.，且，则向量与的夹角为
( C )
A． B． C． D．
3. 一个与球心距离为的平面截球所得圆的面积为，则球的表面积为（ B ）
A． B． C． D．
4.设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为（ B ）
A． B． C． D．
5.已知△ABC的周长为9，且，则cosC的值为
（ A ）
A． B．C．
D．
6.已知直线是函数图象的一条对称轴，则函数
图象的一条对称轴方程是（ B ）
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A． B． C． D．
7．若的方差为3，则的标准差为( B ) A．12 B． C．16 D．4
834
159
672
8.将个正整数填入方格中，使其每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫做阶幻方.记为阶幻方对角线上数的和，如右图就是一个阶幻方，可知.已知将等差数列：前项填入
方格中,可得到一个阶幻方,则其对角线上数的和等于（ C ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
必做题: 以下四题为必做题.
9．程序框图（如图）的运算结果为。

10．展开式中的常数项是。

11.定义在R上的偶函数
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的x的范围为。

12.以下四个关于圆锥曲线的命题中
①过圆内一点（非圆心）作圆的动弦，则中点的轨迹为椭圆；
②设、为两个定点，若，则动点的轨迹为双曲线的一支；
③方程的两个根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④无论方程表示的是椭圆还是双曲线，它们都有相同的焦点。

其中真命题的序号为 . （写出所有真命题的序号）.
选做题: 从以下三题中选做两题，如三题都做，按前两题的得分记分.
13.自极点O向直线l作垂线，垂足是H()，则直线l的极坐标方程
为。

14.若不等式|x-2|+|x+3|<的解集为Æ,则的取值范围为_____________。

15.如图，⊙O和⊙都经过A、B两点，AC是⊙
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的切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的切线，交⊙于
点D，若BC= 2，BD=6，则AB的长为。

三、解答题（本大题共6小题，共80分）
16．（本小题满分12分）
已知
，且
对任意实数x恒成立.
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调增区间.
17．（本小题满分12分）
有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组成.
第一排明文字符A B C D 密码字符11121314
第二排明文字符E F G H 密码字符21222324
第三排明文字符M N P Q
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密码字符1234设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数.
（Ⅰ）求P（ξ=2）
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和它的数学期望.
18．（本题满分14分）
如图：平面，四边形是矩形，，与平面所成的角是，点是的中点，点在边上移动.
（1）当点为的中点时，试判断与平面
的位置关系，并说明理由；
（2）证明：不论点在边上何处，都有；
（3）等于何值时，二面角的大小为.
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19．（本小题满分14分）
设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x＝1处取得极值－2，试用c表示a和b，并求f(x)的单调区间。

20．（本小题满分14分）
如图，已知直线l与半径为1的⊙D相切于点C，动点P到直线l的距离为d，若
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若轨迹上的点P与同一平面上的点G、M分别满足
，
求以P、G、D为项点的三角形的面积.
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21．（本小题满分14分）
设无穷数列{a n}具有以下性质：①a1=1；②当
（Ⅰ）请给出一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式
对于任意的都成立，并对你给出的结果进行验证（或证明）；（Ⅱ）若，其中，且记数列{b n}的前n项和B n，证明：
参考答案
一．选择题 A C B B A B B C
二．填空题；；；③④；；
；。

三．解答题
16．解：（Ⅰ）
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……………2分
由题意知对任意实数x恒成立，
得，
………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由，解得
所以，的单调增区间为……………………12分
17．解：（Ⅰ）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码.
…………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由题意可知，ξ的取值为2，3，4三种情形.
若ξ= 3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4.
若
（或用求得）. ………………………………………………8分的分布列为：
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ξ234
p
………………………………………………12分18．证明：（1）当点为的中点时，与平面平行.
∵在中，、分别为、的中点
∴∥又平面，而平面
∴∥平面. ……………………4分（2）证明（略证）：易证平面，又是在平面内的射影，，∴. ……………………8分
(3)∵与平面所成的角是，∴，，.
过作于，连，则
. …………………10分
易知：，，设，则，，
在中，，
得. ………14分
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解法二:（向量法）（1）同解法一
（2）建立图示空间直角坐标系，则，，，.
设，则，
∴（本小题4分）
（3）设平面的法向量为，由，
得：，依题意，
∴，得. （本小题6分）19．解：依题意有而
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故得从而。

令，得或。

由于在处取得极值，故，即。

（1）若，即，则当时，；
当时，；当时，；
从而的单调增区间为；单调减区间为
（2）若，即，同上可得，
的单调增区间为；单调减区间为
20．解：（Ⅰ）
∴点P的轨迹是D为焦点，l为相应准线的椭圆.
由
以CD所在直线为x轴，以CD与⊙D的另一个交点O为坐标原点建立直角坐标系.
∴所求点P的轨迹方程为………………………………………………6分
（说明：其它建系方式相应给分）
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（Ⅱ）G为椭圆的左焦点.
又
由题意，（否则P、G、M、D四点共线与已经矛盾）
又∵点P在椭圆上，
又
……………………………………………………14分21．解：（Ⅰ）令，
则无穷数列{a n}可由a1 = 1，给出.
显然，该数列满足，且
……………………6分（Ⅱ）
………………………………………………8分又
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…………………………………………………………………14分。