3多边形

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中考衔接点3 多边形及其内角和

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第6题图
子题4.1(2024新乡期末)如图，被树叶遮掩的部分是一个正 n 边形，若直线 a ， b 所夹锐角为36°，则 n 的值是( D )
子题4.1图
A. 10
B. 8
C. 6
D. 5
解析：如图，由题意，得∠1＝36°.又∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠2＋∠3＝ 144°.∵正多边形的每个外角都相等，∴∠2＝∠3＝72°.∵正多边形的外角和为 360°，∴这个正多边形的边数是360°÷72°＝5.

解析：依题意可知，小陈所走路径为正多边形.这个正多边形的边数为360°÷20°＝
18，∴他第一次回到出发点 O 时一共走了5×18＝90(米).
(2024驻马店驿城区期末)图中表示被撕掉一块的正 n 边形纸片，若 a ⊥ b ，则 n 的值是( B )
母题4图
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
5. 建筑美学 (2023兰州中考)如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝( A )
A. 45°
B. 40°
第5题图 C. 60°
D. 30°
6. (2024驻马店正阳期末)如图所示的是第四套人民币中菊花1角硬币，则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为 40° .
中考衔接点3 多边形及其内角和
中考早知道：求正多边形的边数、内外角的度数以及多边形内角和与外角和的综合应用，计算不规则图形中多个角的度数和.
(教材P22例2改编)正十二边形的外角和为( C )
A. 30°
B. 150°
C. 360°
D. 1 800°

人教版数学八年级上册11 3 2多边形的内角教学设计(表格式)

教学设计已知：四边形ABCD ，求证：∠A +∠B +∠C +∠D=360∘证明思路：分割成2个三角形,180°×2=360°【学习任务二】用不同的分割方法探究五边形的内角和，探究多边形内角和公式.1.学生先独立思考；2.教师引导学生思考: 你添加辅助线的目的是什么？你能求出n 边形的内角和是多少度吗? 你还有其他的证明方法吗？ 3．学生填表：总结归纳:从n 边形的一个顶点出发,可以作(n-3)条对角线,它们将n 边形分为(n-2)个三角形,这(n-2)个三角形的内角和就是n 边形的内和,所以,n 边形的内角和等于(n-2)·180°4．教师引导：我们在前面的探究中是在多边形的顶点处取一点引对角线将多边形分为三角形来研究内角和,那么这个点除了取在顶点处,还可以取在什么位置时,也能将多边形分成几个三角形,进而得出它的内角和?我们以五边形为例探究。

让学生四人一组进行探究，展示思路。

D CBA方法1：从五边形的一个顶点引对角线，将五边形分成了3个三角形：方法2：从五边形的一条边上的一个点引对角线五边形内角和:4×180°-180°= 3 ×180°= 540°教师提问:若按这种分法,分一个n边形,内角和如何得出吗?n边形内角和：（n-1）×180°－180°=（n-1-1）×180°=（n-2）×180°方法3 ：在五边形内部取点分割成5个三角形五边形内角和：=5×180°－360°= 5×180°－2×180°=（5-2）×180°= 540°n边形内角和：=n×180°－2×180°=（n-2）×180°方法4：从五边形外部的一个点引对角线五边形内角和: =4×180°－180 ° =3×180° =540° n 边形内角和：=（n-1）×180°－180° =（n-1-1）×180° =（n-2）×180°归纳:四种方法都能探究出n 边形的内角和等于（n-2）×180°，可以运用多种方法时,要学会择优选择。

根据26个形状(三年级几何上册)

根据26个形状(三年级几何上册)根据26个形状（三年级几何上册）
三年级几何上册研究的一个重要内容就是认识各种形状，其中包括了26种常见的平面图形。

下面我们来逐一了解这些形状。

一、三角形
三角形是由连个较短的线段与一个较长线段组成的平面图形。

三角形有许多分类方法，比如按照其边长和角的大小。

常见的三角形有等腰三角形、直角三角形等。

二、四边形
四边形是具有四条边的平面图形。

其中，平行四边形的对边相等且平行；矩形是一种特殊的平行四边形，它的对角线长度相等，且各角为直角；正方形同样是矩形的一种，具有四条边和四个角都相等的特点；梯形则是仅有一组对边平行的四边形。

三、正多边形
正多边形指所有边和角都相等的多边形，其边数至少为3。

最
常见的正多边形是三角形、正方形和五边形。

四、圆形
圆形是具有同心圆的平面图形。

圆形的特点是圆心到任意一点
的距离相等，这个距离称为半径；圆心到圆上任意一点所在的圆周
的距离为直径。

圆形常见的参数有周长和面积。

五、其他图形
此外，在三年级的几何上册中还会研究到一些其他的平面图形，比如弧形、扇形、椭圆等。

这些图形的特点各不相同，但同样重要。

以上就是三年级几何上册学习的26种图形，希望对你有所帮助。

第三节多边形的边和角-学而思培优

第三节多边形的边和角一、课标导航。

二、核心纲要1.多边形的有关概念 (1)多边形：在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． (2)多边形的内角和外角：多边形相邻的两边组成的角叫做多边形的内角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．(3)多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线． (4)正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．(5)凸、凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的图形叫做凸多边形，否则称为凹多边形．注：没有特殊说明的情况下，我们所说的多边形都是凸多边形．2．多边形的内角和n 边形的内角和公式：.180)2(⋅-n 3．多边形的外角和 n 边形的外角和等于.360注：多边形的外角和与边数无关． 4．多边形的对角线的条数多边形的对角线的条数为：).3(2)3(≥-n n n 5．镶嵌(1)定义：用形状相同或不同的封闭的平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地拼接在一起，这类问题叫做平面镶嵌．(2)镶嵌的条件：拼在同一顶点的几个多边形的内角和恰好为.360注：①用同一种多边形进行镶嵌的图形有：三角形、四边形、正六边形．（其中三角形和四边形是任意的）②用两种正多边形进行镶嵌的图形常用的有：常用的有正三角形和正四边形；正三角形和正六边形；正四边形和正八边形；还有正三角形和正十二边形；正五边形和正十边形，本节重点讲解：一个条件（镶嵌的条件），两个概念（多边形的有关概念和镶嵌），两个定理（多边形的内角和及外角和定理）.三、全能突破基础演练1．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，则这个多边形是( )． A.四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．七边形2．某校初一数学兴趣小组对教材《多边形的内角和与外角和》的内容进行热烈的讨论，甲说：“多边形的边数每增加1，则内角和增加 180”；乙说：“多边形的边数每增加1，则外角和增加 180”；丙说：“多边形的内角和不小于其外角和”；丁说：“只要是多边形，外角和都是 360”．你认为正确的是( ) A.甲和丁 B ．乙和丙 C ．丙和丁 D ．以上都不对3．小华家装修房屋，用同边长的几种不同的正多边形砖铺地，顶点连着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有( )A.正三角形、正六边形 B ．正三角形、正五边形、正八边形 C ．正六边形、正五边形 D ．正八边形、正三角形4．如图11-3—1所示，在锐角△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，且BD ，CE 交于点F ，若=∠A,52 则BFC ∠的度数是( )．108.A 128.B 138.C 158.D5．如图11-3-2所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为( )．2.πA 3.πB 4.πC π2.D6．如图11-3 -3所示，小林从P 点向西直走12米后，向左转，转动的角度为a ，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P ，则=α7．如图11-3 -4所示，求F E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数．8．(1)已知，P AOB ,65=∠是平面上的任意一点，过点P 作,,OB PF OA PE ⊥⊥垂足分别为点E 、F 求∠EPF 的度数．(2)探究AOB EPF ∠∠与有什么关系？（直接写出结论）(3)通过上面这两道题，你能说出如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？9．在四边形ABCD 中，,90=∠=∠D B(1)如图ll-3-5(a)所示，AE 、CF 分别是DCB BAD ∠∠和的角平分线，判断AE 与CF 的位置关系，并证明． (2)如图ll-3-5(b)所示，AE 、CF 分别是HCB GAD ∠∠和的角平分线，直接写出AE 与CF 的位置关系； (3)如图ll-3-5(c)所示，AE 、CF 分别是ECB BAD ∠∠和的角平分线，判断AE 与CF 的位置关系，并证明．能力提升10.在凸十边形的所有内角中，锐角的个数最多是( )． A ．O B ．1 C ．3 D ．511.小学生雷雷要用一块等边三角形的硬纸片(如图ll-3-6(a)所示）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子(边缝忽略不计，如图ll-3-6(b)所示），他在△ABC 内先画了一个等边△DEF，然后打算剪掉三个角(如四边形AMDN)，可是比划了半天，还是不知如何下手，用你学过的知识判断，若想正好剪下三个角，么MDN 的度数应为( )．o A 100. 110.B 120.C 130.D12．已知：如图11-3 -7所示，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠I H G F E D C B A13.过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，K 边形共有K 条对角线，则nK m )(-=14．(1) 一个凸多边形除一个内角外，其余各角之和为,2750这个多边形的边数为，除去的这个内角的度数为(2)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是则原来多边形的边数是 (3)一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为,500那么这个多边形的边数是15.遥控一辆赛车，先前进1m ，然后原地逆时针方向旋转角)1800(<<αα被称为一次操作，若五次操作后，发现赛车回到出发点，则α为16.探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC 中，AB 、BC 是两腰，所以.BCA BAC ∠=∠利用这条性质，解决下面的问题：已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点0，它们所夹的锐角为⋅321,,ααα如图11-3 -8所示：=1α =2α =3α当正多边形的边数是他（n>3）时，则=α17.已知：如图11-3 -9所示，在六边形ABCDEF 中，+∠=∠+∠+∠D C B A ,F E ∠+∠猜想可得六边形ABCDEF 中必有两条边是平行的． (1)根据图形写出你的猜想：(2)请证明你在(1)中写出的猜想．18.在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下空隙，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角)360(时，就拼成了一个平面图形． (1)请根据下列图形，填写表中空格，(2)如图11-3 -10所示，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形． (3)不能用正五边形形状的材料铺满地面的理由是什么？(4)正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．19.阅读理解：如图11-3 -11所示，在正△ABC 中，M 、N 分别在BC 、AC 边上，若,60=∠AMN 则.21∠=∠小强是这样论证的：‘．‘△ABC 是正三角形，.6011.603180+∠=∠+∠=∠∴==∠∴B AMC B又.21.602,60,2∠=∠∴+∠=∠∴=∠∠+∠=∠AMC AMN AMN AMC(1)类比应用：如图11-3 -12所示，将阅读理解中的正三角形换成正四边形ABCD ，M 、N 分别为BC 、CD 上的点，类似地：若=∠AMN ，则.21∠=∠请你用小强的证明方法论证． (2)拓展延伸：请你将上述命题推广到一般，如图11-3 -13所示，ABCDEF--是正n 边形．写出命题：20.如图11-3 -14所示，在四边形ABCD 中，ABC ∠的角平分线及外角DCE ∠的平分线所在的直线相交于点F ，若;,βα=∠=∠D A(1)如图(a)所示，,180>+βα试用βα,表示 ,F ∠直接写出结论； (2)如图(b)所示，,180 <+βα请在图(b)中画出,F ∠并试用βα,表示 ;F ∠(3)一定存在F ∠吗？如有，写出F ∠的值，如不一定，直接写出βα,满足什么条件时，不存在.F ∠中考链接21．（2012．北京）正十边形的每个外角等于( )．18.A 36.B 45.C 60.D22.（2012．四川德阳）已知一个多边形的内角和是外角和的,23则这个多边形是23.（2012．河北）用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图ll-3-15(a)所示，用n 个全等的正六边形按这种方式拼接，如图ll-3-15(b)所示，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n 的值为．巅峰突破24.凸n 边形中有且仅有两个内角为钝角，则n 的最大值是( )． 4.A 5.B 6.C 7.D25．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为,2002则这个多边形的边数是26.如图11-3 -16所示，六边形ABCDEF 中，=∠=∠=∠=∠=∠E D C B A ,F ∠且,3,11=-=+CD FA BC AB 求DE BC +的值.。

第3讲-多边形及其内角和知识点

第3讲多边形及其内角和（11.3）一、知识点总结边形的内角和等于180°（n-2）。

360°。

边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）3、4、6/。

拼成360度的角：3、4。

知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

如正三角形、正方形、正五边形等。

正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。

要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。

(完整版)多边形及其内角和知识点

知识要点梳理边形的内角和等于180°（n-2）。

360°。

边形的对角线条数等于1/2·n （n-3）3、4、6/。

拼成360度的角3、4。

知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

（2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形. 凸多边形凹多边形图1 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n 条边就叫做n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

如正三角形、正方形、正五边形等。

要点诠释： (1)从n 边形一个顶点可以引(n －3)条对角线，将多边形分成(n －2)个三角形。

人教版初二数学上册：多边形(基础) 知识讲解

多边形（基础）知识讲解【学习目标】1.理解多边形的概念；2.掌握多边形内角和与外角和公式；3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【要点梳理】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n ； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形．知识点二、多边形内角和n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；凸多边形凹多边形(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180nn°；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念1．如图，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF 分成哪几个三角形?【答案与解析】解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF.【总结升华】从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数(n-3)条，分成的三角形数是个数（n-2）个．举一反三：【变式】过正十二边形的一个顶点有条对角线，一个正十二边形共有条对角线【答案】9，54。

3 多边形及其内角和

第三讲：多边形及其内角和考点1：多边形内角1.已知一个多边形内角和是360°，则这个多边形是________边形.2.若一个多边形的边数增加m 条，则多边形的内角和增加________度.3.一个多边形的每个内角都为135°，则这个多边形的边数为________.4.用一条宽相等的足够长的纸条打一个结，然后轻轻拉紧，压平就可以得到如图7.3.2-1所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC =________.5.一个多边形的内角不可能都等于（）A.120°B.130°C.140°D.150°6.如图7.3.2-2，国旗上的五角星的五个角的度数是相同的，每个角的度数都是（）A.30°B.35°C.36°D.42°7.一条多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（） A.6条 B.7条 C.8条 D.9条8.多边形的内角中，锐角的个数最多有（）A.1个B.2个C.3个D.4个9.一个五边形的各内角度数之比为2∶3∶4∶5∶6，求这个五边形最小的内角. 考点2：多边形外角10.一个多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形是（）A.五角形B.四边形 C .五边形 D .六边形11.多边形的边数由于增加到n （n >3），其外角度数的和是（）A.增加B.保持不变C.减少D.变成（n -3）×180°12.如果一个正多边形的外角为72°，那么它的边数是（）A.4B.5C.6D.713.如图7.3.2-3，小喜从A 点出发前进10m ，向右转15°，再前进10m ，又向右转15°，……这样一直走下去，他第一次回到出发点A 时，一共走了________m. 14.一个多边形，每个外角相等，它的内角和外角和的和等于720°，则这个多边形的每一个外角等于多少度？图7.3.2-1 图7.3.2-2 图7.3.2-3。

多边形重要知识点总结

多边形重要知识点总结多边形重要知识点总结在学习新知识的同时，既要及时跟上老师步伐，也要及时复习巩固，知识点要及时总结，这是做其他练习必备的前提。

以下是小编整理的多边形重要知识点总结，欢迎阅读。

多边形重要知识点总结 1一、多边形1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。

2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。

3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。

4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。

6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。

说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形；有四条边的叫做四边形；有几条边的叫做几边形。

今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。

7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。

8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。

注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。

二、平行四边形1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。

3、平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。

4、平行四边形性质定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等。

5、平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。

6、平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

7、平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

8、平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

9、平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

说明：（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。

同时又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的重要方法。

[初二数学第3讲多边形及其内角和]讲义教师版

多边形及其内角和1.掌握多边形的相关概念；2.掌握多边形对角线的计算公式及其推导过程；3.熟练应用多边形的内角和、外角和进行相关计算；4.会利用多边形的特点处理镶嵌问题.1.多边形的内角和、外角和及对角线的相关计算；2.多边形的镶嵌问题.多边形及其相关概念1、多边形的相关概念（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．（4）多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.（5）多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.2、多边形的分类多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧；①每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．3、多边形的对角线（1）定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（2）多边形条数的计算：n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：()32n n-（n≥3，且n为整数）.例1.如图，下列图形是多边形的有（填序号）．【答案】①①【解析】解：下列图形是多边形的有①①，故答案为：①①．练习1.如图所示的图形中，属于多边形的有（）个．A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【解析】解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第五个．故选A．熟悉多边形的概念，边为直线段，而不是曲线.例2.下列图中不是凸多边形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：选项B、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有A不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．故选A．练习1.如图，下列图形不是凸多边形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：选项A、B、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有C不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．故选C．明确多边形的定义及判定方法，初中阶段常说的多边形一般指凸多边形.例3.下列图形中，是正多边形的是（）A．等腰三角形B．长方形C．正方形D．五边都相等的五边形【答案】C【解析】解：正方形四个角相等，四条边都相等，故选：C．练习1.下列说法正确的有（）（1）由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形；（2）各边都相等的多边形是正多边形；（3）各角都相等的多边形一定是正多边形．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】解：（1）在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形，故此选项错误；（2）各边都相等的多边形是正多边形，错误，例如菱形；（3）各角都相等的多边形一定是正多边形，错误，例如矩形．故选：A．明确正多边形的定义：边、角都相等的多边形才是正多边形，只有边相等或者只有角相等一个条件并不能判断，这一点需要特别注意，并且要能够举出反例来说明.初三学到圆的时候还会学到正多边形，那部分知识主要是针对多边形进行计算.例4.下列图形中具有稳定性有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．显然（2）、（4）、（5）三个．故选B．练习1.要使一个五边形具有稳定性，则需至少添加（）条对角线．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】解：如图需至少添加2条对角线．故选：B．练习2.从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（）个三角形．A．6B．5C．8D．7【答案】B【解析】解：从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7﹣2=5个三角形．故选：B．三角形具有稳定性，若想要多边形也具有稳定性，只需将多边形变成三角形即可，根据这一原理即可进行划分.例5.若从多边形的一个顶点可以引出七条对角线，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【答案】D【解析】解：设这个多边形有n条边，由题意得：n﹣3=7，解得：n=10，故选：D．练习1.从一个多边形的任何一个顶点出发都只有6条对角线，则它的边数是（）A．6B．7C．8D．9【答案】D【解析】解：设多边形有n条边，则n﹣3=6，解得n=9．故选：D．练习2.将已知六边形ABCDEF，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，那么各种不同的剖分方法种数是（）A．6B．8C．12D．14【答案】D【解析】解：①六边形ABCDEF有6个顶点，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，①只能通过同一个顶点作三条对角线（如图1），这种分法有6种，也从一个顶点作两条对角线（如图2），这种分法有2种，如图3，中间是个四边形，两端2个三角形，把四边形加条对角线，这种分法有6种，故各种不同的剖分方法有14种．故选D．首先明确多边形对角线的精确定义，根据多边形对角线的定义逐点计算多边形对角线的条数，理解多边形对角线总条数公式的推导过程，体会推导思想.例6.一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为（）A．5B．5或6C．5或7D．5或6或7【答案】D【解析】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．故选：D．练习1.四边形剪掉一个角后，变为（）边形．A．3B．4C．5D．3或4或5【答案】D【解析】解：如下图所示：观察图形可知，四边形减掉一个角后，剩下的图形可能为五边形，可能为四边形，可能为三角形，故选D．练习2.将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．3个或4个或5个【答案】D【解析】解：正方形桌面砍下一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形，如下图所示：因而还剩下3个或4个或5个角．故选D．多边形截角问题主要考查学生的图形想象力和分类讨论思想.明确截角的不同情况对多边形边数的影响.多边形的内角和、外角和及其应用1、多边形内角和定理：()2180n -⋅（n≥3且n 为整数）注：此公式推导的基本方法是从n 边形的一个顶点出发引出（n ﹣3）条对角线，将n 边形分割为（n ﹣2）个三角形，这（n ﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n 边形的内角和． 2、多边形的外角和等于360°（1）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n 边形取n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．（2）借助多边形的内角和公式及邻补角的概念共同推导出以下结论：外角和()1802180360n n =︒--⋅︒=︒例1.若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A ．6B ．12C ．16D ．18【答案】B【解析】解：设多边形为n 边形，由题意，得（n ﹣2）•180°=150n ，解得n=12，故选：B ．练习1.内角为108°的正多边形是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：外角是：180°﹣108°=72（度），360÷72=5，则这个多边形是正五边形，故选B ．练习2.一个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是（） A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】解：（n ﹣2）•180°＜1999°，n ＜+2=+2①n 为正整数，①n 的最大值是13．故答案为C ．练习3.把n边形变为（n+x）边形，内角和增加了720°，则x的值为（）A．4B．6C．5D．3【答案】A【解析】解：多边形的边数增加1，它的内角和增加180度，720°÷180°=4，①x=4，故选A．明确多边形内角和的计算公式，体会多边形内角和与边数之间的关系.例2.若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A．10B．9C．8D．6【答案】C【解析】解：①多边形外角和=360°，①这个正多边形的边数是360°÷45°=8．故选C．练习1.正五边形的每个外角等于（）A．36°B．60°C．72° D．108°【答案】C【解析】解：360°÷5=72°．故正五边形的每个外角等于72°．故选：C．练习2.一个多边形的每个外角都相等且都小于45°，则这个多边形的边数最少是（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】解：设多边形的边数为n，①多边形的外角和是360°，且多边形的每一个外角都相等，①根据题意得，＜45，①45n＞360，n＞，n＞8，由于n是整数，①n的最小值为9，故选：C．明确多边形的外角和，理解多边形的外角和与边数之间的关系.例3.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【答案】C【解析】解：设所求正n边形边数为n，由题意得（n﹣2）•180°=360°×2，解得n=6．则这个多边形是六边形．故选：C．练习1.如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【答案】A【解析】解：设多边形的边数为n，根据题意（n﹣2）•180°=360°，解得n=4．故选A．熟练掌握多边形的内、外角和公式，能够通过边的数量将两公式进行灵活转化.例4.一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角度数为（）A．120°B．130°C．135°D．150°【答案】B【解析】解：设这个内角度数为x°，边数为n，则（n﹣2）×180﹣x=2570，180•n=2930+x，①n=，①n为正整数，0°＜x＜180°，①n=17，①这个内角度数为180°×（17﹣2）﹣2570°=130°．故选B．练习1.看图回答问题：（1）内角和为2016°，佳佳为什么说不可能？（2）音音求的是几边形的内角和？【答案】解：（1）①n边形的内角和是（n﹣2）•180°，①内角和一定是180度的倍数，①2016÷180=11余36，①内角和为2016°不可能；（2）设漏加的内角为x，依题意有（n﹣2）•180=2016+x，①x=180n﹣2376，①90＜x＜180，①90＜180n﹣2376＜180，解得13.7＜n＜14.2，因而多边形的边数是14，故音音求的是十四边形的内角和．【解析】（1）根据n边形的内角和一定是180度的倍数，进行判断即可；（2）设漏加的内角为x，得出方程（n﹣2）•180=2016+x，求得x=180n﹣2376，再根据90＜x＜180，得到90＜180n﹣2376＜180，最后求得n的范围即可．练习2.一个多边形的内角和除去一个内角后为1720°，试问这个多边形是几边形？它的对角线有多少条？【答案】解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1720°，解得n=11…100，①除去了一个内角，①边数是11+1=12，故这个多边形的边数为12，它的对角线的条数==54．答：这个多边形是十二边形，共有54条对角线．【解析】据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知多边形的内角和是180°的倍数，然后用1720°÷180°所得商的整数部分加1就是（n﹣2）的值；n边形的对角线公式为．在计算多边形内角和时少加一个内角问题，是多边形的角度计算中比较难的一个问题，需要注意的是少算一个角，不能直接把边数减1，而要根据凸多边形的内角的取值范围进行讨论，所以此类题型的条件比较隐晦，需要考虑到在没有特殊说明的情况下，初中阶段所说的多边形就是指的凸多边形，其内角的取值范围是0°~180°.此类例题选讲.多边形的边、角、对角线综合计算1、多边形边、角及对角线计算的本质都是通过计算公式转化成多边形的边的数量（或者顶点的数量），较复杂的综合计算问题，就需要将几种公式结合使用.2、多边形的内角和的计算常会与圆的面积或者周长相结合，其本质关系是多边形的内角和为圆的面积、周长提供了度数这一关键数据.3、凹多边形（如：五角星等）的内角和的计算是对三角形外角性质的一个典型应用.例1.一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（）A．42条B．54条C．66条D．78条【答案】B【解析】解：①一个凸多边形的每一个内角都等于150°，①此多边形的每一个外角是180°﹣150°=30°，①任意多边形的外角和是：360°，①此多边形边数是：360°÷30°=12，①这个多边形所有对角线的条数是：n（n﹣3）÷2=12×（12﹣3）÷2=54．故选B．练习1.若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7B．10C．35D．70【答案】C【解析】解：①一个正n边形的每个内角为144°，①144n=180×（n﹣2），解得：n=10．这个正n边形的所有对角线的条数是：==35．故选C．多边形边、角及对角线计算的本质都是通过计算公式转化成多边形的边的数量（或者顶点的数量），较复杂的综合计算问题，就需要将几种公式结合使用.例2.（选讲）如图所示，分别在三角形、四边形、五边形广场各角修建半径为R的扇形草坪．（1）图1中草坪的面积为．（2）图2中草坪的面积为．（3）图3中草坪的面积为．（4）如果多边形边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为．【答案】，πR2，，【解析】解：（1）三个角的和是：180°，则面积是：=；（2）四个内角的和是：360°，则面积是：=πR2；（3）五个内角的和是：540°，则面积是：=；（4）多边形边数为n，则内角和是：（n﹣2）•180°，则面积是：=．故答案是：，πR2，，．练习1.如图所示，分别在三角形．四边形的广场各角向内或向外修建半径为R的扇形草坪（阴影部分）．求：（1）图a中草坪的面积．（2）图b中草坪的面积．（3）图c中草坪的面积．【答案】解：（1）因为半径为1的圆面积为πR2，故该草坪形成的内角和度数为180°，所以a草坪的面积为πR2；（2）因为半径为1的圆面积为πR2，故b草坪的面积为4πR2﹣πR2=3πR2；（3）因为四边形外角和为360°，因此c草坪的面积为πR2．【解析】①因为半径为R的圆面积为π．图1的草坪形成的内角和度数为180°，为一个半圆，所以草坪的面积为πR2．①图b中草坪的面积为4个圆的面积减去1个圆的面积；①图c 中草坪的面积是1个圆的面积．多边形的内角和的计算常会与圆的面积或者周长相结合，其本质关系是多边形的内角和为圆的面积、周长提供了度数这一关键数据.例3.如图，求证：①A+①B+①C+①D+①E+①F+①G=180°．【答案】解：如图所示，①A+①B=①1，①C+①D=①2，①E+①2=①3，①F+①G=①4，①①A+①B+①C+①D+①E+①F+①G=①1+①3+①4，①三角形的内角和等于180°，①①1+①3+①4=180°，①①A+①B+①C+①D+①E+①F+①G=180°．【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和把这六个角转化为一个三角形的内角，再根据三角形的内角和等于180°解答．练习1.如图，以四边形ABCD各顶点及各边延长线上的点构成①AEF、①BGH、①CMN、①DPQ，求①E+①F+①G+①H+①M+①N+①P+①Q的度数．【答案】解：由三角形外角的性质可得：①FAB=①E+①F，①HBC=①G+①H，①DCN=①M+①N，①QDA=①P+①Q，①四边形的外角和为360°，①①FAB+①HBC+①DCN+①QDA=360°，①①E+①F+①G+①H+①M+①N+①P+①Q=360°．【解析】首先根据外角的性质可得：①FAB=①E+①F，①HBC=①G+①H，①DCN=①M+①N，①QDA=①P+①Q，根据四边形的外角和为360°，所以①FAB+①HBC+①DCN+①QDA=360°，即可解答．练习2.（1）如图①，你知道①BOC=①B+①C+①A的奥秘吗？请你用学过的知识予以证明；（2）如图①﹣1，则①A+①B+①C+①D+①E=°；如图①﹣2，则①A+①B+①C+①D+①E=°；如图①﹣3，则①A+①B+①C+①D+①E=°；（3）如图①，下图是一个六角星，其中①BOD=70°，则①A+①B+①C+①D+①E+①F=°．【答案】解：（1）如下图①，延长BO交AC于点D，①BOC=①BDC+①C，又①①BDC=①A+①B，①①BOC=①B+①C+①A．（2）如下图①，，根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，①①1+①2+①E=180°，①x=①A+①B+①C+①D+①E=180°．如下图③，，根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，①①1+①2+①E=180°，①x=①A+①B+①C+①D+①E=180°．如下图④，延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，，根据外角的性质，可得①GFC=①D+①E，①FGC=①A+①B，①①GFC+①FGC+①C=180°，①x=①A+①B+①C+①D+①E=180°．（3）如下图⑤，，①①BOD=70°，①①A+①C+①E=70°，①①B+①D+①F=70°，①①A+①B+①C+①D+①E+①F=70°+70°=140°．故答案为：180、180、180、140．【解析】（1）首先延长BO交AC于点D，可得BOC=①BDC+①C，然后根据①BDC=①A+①B，判断出①BOC=①B+①C+①A即可．（2）a、首先根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，然后根据①1+①2+①E=180°，可得x=①A+①B+①C+①D+①E=180，据此解答即可．b、首先根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，然后根据①1+①2+①E=180°，可得x=①A+①B+①C+①D+①E=180，据此解答即可．c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得①GFC=①D+①E，①FGC=①A+①B，再根据①GFC+①FGC+①C=180°，可得x=①A+①B+①C+①D+①E=180°，据此解答即可．（3）根据①BOD=70°，可得①A+①C+①E=70°，①B+①D+①F=70°，据此求出①A+①B+①C+①D+①E+①F 的度数是多少即可．凹多边形（如：五角星等）的内角和的计算是对三角形外角性质的一个典型应用.多边形的镶嵌问题利用正多边形进行镶嵌问题的基本原理是同一个顶点处的角能够凑成360°，才能实现密铺.无论由多少种几何图形进行镶嵌，其本质思想都是不变的.例1.下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能够铺满地面的是（）A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形【答案】B【解析】解：A、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；B、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；C、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；D、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺．故选B．练习1.在下列正多边形的地板瓷砖中，单独用其中一种能够铺满地面的是（）A．正方形B．正五边形C．正八边形D．正十边形【答案】A【解析】解：A、正方形每个内角是90°，能整除360°，能密铺；B、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；C、正八边形每个内角为180°﹣360÷8=135°，不能整除360°，不能密铺；D、正十边形每个内角为180°﹣360÷10=144°，不能整除360°，不能密铺；故选A．由同一种正多边形进行镶嵌，只需要保证该正多边形的内角的度数是360°的因数即可.例2.在下列正多边形组合中，不能铺满地面的是（）A．正八边形和正方形B．正五边形和正八边形C．正六边形和正三角形D．正三角形和正方形【答案】B【解析】解：A、正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角是135°，由于90°+2×135°=360°，故能铺满；B、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；C、正六边形和正三角形内角分别为120°、60°，由于60×4+120=360，故能铺满；D、正三角形、正方形内角分别为60°、90°，由于60×3+90×2=360，故能铺满．故选B．练习1.用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是（）A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十二边形【答案】C【解析】解：A、正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°．①3×60°+2×90°=360°，①正方形能匹配；B、正六边形的每个内角是120°，正三角形的每个内角是60度．①2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360°，①正六边形能匹配；C、正三角形的每个内角是60°，正八边形内角为135°，显然不能构成360°的周角，故不能匹配．D、正三角形的每个内角是60°，正十二边形的每个内角是180°﹣360°÷12=150°，①60°+2×150°=360°，①正十二边形能匹配；故选C．练习2.用正四边形和正八边形镶嵌成一个平面，则在某一个顶点处，正四边形和正八边形的个数分别为（）A．2个和1个B．1个和2个C．3个和1个D．1个和3个【答案】B【解析】解：正八边形内角为135°，（360﹣90）÷135=2，所以一个顶点周围应该有两个正八边形，一个正四角形．故选B．由多种正多边形进行镶嵌，问题相对来说比较复杂，需要进行讨论，保证同一个顶点处几个多边形的内角能够凑成360°.本次课的重点内容是对多边形的处理，包括多边形的内角和、外角和及对角线的相关计算，对相关公式的充分理解及是学习本章内容的首要条件.。

五年级 3 多边形面积 (二)

1、如图，每个小正方形的面积是1平方厘米。（1）用实线在方格内画出面积是2平方厘米的正方形。（2）用实线在方格内画出面积是17平方厘米的正方形。
1×1÷2×4 =0.5×4 =2（平方厘米）
1×4÷2×4＋3×3 =+9 =17（平方厘米）
2.画一个面积是5平方厘米的正方形，连接各边中点，可得一个小正方形。小正方形的面积是（）。 A、4cm2 B、3cm2 B、5cm2的一半
小正方形的边长：（96-4×4）÷2÷4=10（厘米）小正方形的面积：10×10=100（平方厘米）大正方形的面积：（10+4）×（10+4）=196（平方厘米）答：大正方形的面积是196平方厘米，小正方形的面积是 100平方厘米。
1、分一分，能感受到组合图形可分成很多基本图形；拼一拼，能感受到很多基本图形可拼成组合图形。 2、添加两条辅助线比添加一条辅助线无论从寻找需要的条件还是计算基本图形的面积来说都更复杂，所以尽量添加最少的辅助线解决问题。在添加一条辅助线的情况下，还是要转化成自己最熟悉的基本图形，使得在寻找条件的时候比较简单。 3、堆放的圆木，逐层很有规律，形成了连续自然数，所以利用梯形面积公式计算根数很方便。
（1+8）×8÷2=36（根）
（3）你有什么发现？答：我发现用梯形的面积公式计算圆木的根数与实际根数相同。
2.从下面梯形，三角形，平行四边形的面积公式变化中，你认为哪个公式最具代表性，举例算一算再做判断。
梯形面积公式具有代表性
例4 大正方形中的小正方形
如图，大正方形的边长是7厘米，4个相同的长方形的宽是2.5厘米。阴影部分是一个小正方形，它的面积是多少？
2×25-2÷2×3 =50-3 =47（平方厘米）答：围成的面积是47平方厘米。

考点3 多边形的内角和与外角和

(如图M11-18①)；
(2)小红是在n边形的一边
上任取一点P，然后分别连
接
(如图M11-18②).
请你评判这两种方案是否可行. 如果不行的话，请你说明理由；如果可行的话，请你沿着方案的设计思路把多边形的内角和求出来.
解：根据三角形的内角和定理,结合两个图形的特征,依次分析即可作出判断. (1)n边形的内角和为 180°×n-360°=(n-2)×180°； (2)n边形的内角和为 180°×(n-1)-180°=(n-2)×180°. 所以这两种方案均可行.
形的边数是( B )
A. 6
B. 12
C. 16
D. 18
4. (2017苏州)如图M11-14，在正五边形ABCDE中，连接BE，
则∠ABE的度数为( B )
A. 30° B. 36°
C. 54°
D. 72°
5. 如图M11-15，小亮从A点出发前进10 m，向右转15°，再前进10 m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/272021/8/272021/8/272021/8/278/27/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月27日星期五2021/8/272021/8/272021/8/27 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/272021/8/272021/8/278/27/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/272021/8/27August 27, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/272021/8/272021/8/272021/8/27

《三角形》多边形的认识PPT课件(第3课时)

在乘法里，一个因数不变，另一个因数乘一个数或除以一个不为0的数，积也乘或除以相同的数。
多边形的认识三角形内角和
例3.一个旅游团有150人，中午安排自助餐。
算一算：选择A、B两种自助餐个需要多少元钱？选择A种自助餐需要……
多边形的认识三角形内角和
150×18= 2700 （元）
150 ×1 8
多边形的认识三角形内角和
算一算，判一判。∠1，∠2，∠3是三角形的三个内角。
(1) ∠1＝50°，∠2＝35°，∠3＝( 95°)。这是一个( 钝 )角三角形。 (2) ∠1＝42°，∠2＝48°，∠3＝( 90° )。这是一个( 直 )角三角形。 (3) ∠1＝70°，∠2＝55°，∠3＝( 55° )。这是一个( 锐 )角三角形，也是一个( 等腰 )三角形。
294×38 =1117 2
294 × 38
2352
882 11172
425×76 =32300
42 ×5 7 6 2550 2975 32300
多边形的认识三角形内角和
123×29=3567 104×65=6760 108×17=1836
123 × 29
1107 246
3567
104 × 65
选择B种自助餐需要……
120
150×20= 3000 （元）
15 270 0
150 × 20
300 0
150×20可以口算。
多边形的认识三角形内角和
例4.估算一下：这列火车大约有多少个座位？
这列火车挂了12节这样的车厢。
多边形的认识三角形内角和
118×12 ≈120 把12看成10， 0 118×12≈1180 （个）

人教版八年级数学上册第11章第3节多边形及其内角和课件(共40张PPT)

D
这种探索方法你掌握了吗？请完成下表
多边形的边数
3
4
5
6
7
…
n
从一个顶点出发对角线数分成的三角形个数
0
1
1
2
2
3
3 4
4 5
…
n-3
n-2
180° 180° 180° 180° 多边形的 (n-2) ×180 180° … ×2 ×3 ×4 ×5 内角和
n边形的内角和等于(n－2)．180°
多边形外角和
探索
（1）什么是三角形的外角？外角有什么性质？（2）类似地，在多边形中找出外角
E D C
多边形的一边与另一边的延长线的夹角，叫做多边形的外角。
A
B
F
（2）四边形的外角和等于多少度？
C
3 4 2 1
B
D
A
思考：任何一个外角和它相邻的内角有什么关系？
四边形的四个外角加上与它们相邻的内角总和是多少？
6、一个多边形的每个内角都比相邻的外角3倍多20度,求这个多边形的边数, 7、两个多边形的边数比是1:2,两个多边形的内角和为1440度,求这两个多边形的边数,
1. 三角形三个内角的度数分别是（x+y)o, (x-y)o,xo,且x>y>0,则该三角形有一个内角为（ C ） A、30O B、45O C、60O D、90O 2.一个正多边形每一个内角都是120o，这个多边形是（ C ） A、正四边形 B、正五边形 C、正六边形 D、正七边形
探究活动：
ＡＥＤ
ＢＥ
Ｃ
如图， ∠Ａ＝４５°， ∠Ｂ＝２ ° ∠Ｃ＝３０ ° ，则 ∠Ｄ＝ 100 ° 。

多边形及角平分线.doc

教师:秦国荣学科:数学年级:初二课题名称：多变形及角平分线凸多边形加油绽个性化辅导教案时间:2014 年11 月9 日8:00-10:00f定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。

凸多边形分类1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

分类2：形' ' 非正多边形：r 1、n边形的内角和等于180。

（n-2）o 多边形的定岫2、任意凸形多边形的外角和等于360。

L 3、n边形的对角线条数等于l/2・n （n-3）r 只用一种正多边形：3、4、6/。

'I镶嵌' 〔拼成360度的角I 只用一种非正多边形（全等）：3、4。

（点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

（2）在定义中应注意：%1一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；%1首尾顺次相连，二者缺一不可；%1理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件，其目的是为了排除几个点不共面的情况，即空间多边形.2、多边形的分类：（1）多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凹多边形(2)多边形三角知识点二：正各个角都相可见多边形内角和与边数n有关，每增加图1通常还以边数命名，多边形有〃条边就叫做〃边形.三角形、四边形都属于多边形，其中形是边数最少的多边形.多边形等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

如正三角形、正方形、正五边形等。

要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的内角和公式1.公式：％边形的内角和为5-©1町32刃要点诠释：(1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。

多边形的概念及特征

多边形的概念及特征一、多边形的定义多边形是由多条线段组成封闭平面图形，其中每条线段称为边，相邻两边之间的夹角称为内角，多边形的每个内角都大于0度而小于180度。

二、多边形的边和角1.边：多边形有若干条边，边数称为多边形的边数，用n表示，n≥3。

2.角：多边形有n个内角，每个内角都大于0度而小于180度，多边形的外角和为360度。

三、多边形的分类1.根据边数不同，多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形等。

2.根据边是否相等，多边形可分为不等边多边形和等边多边形。

3.根据角是否相等，多边形可分为不等角多边形和等角多边形。

四、多边形的面积1.面积公式：多边形的面积=（边长1×边长2×……×边长n）/（n×（n-2）×π）。

2.特殊多边形面积公式：三角形面积=底×高/2；平行四边形面积=底×高；矩形面积=长×宽；正方形面积=边长×边长。

五、多边形的对角线1.对角线：多边形的一条线段，连接两个非相邻顶点。

2.对角线数量：n边形的对角线数量为(n(n-3))/2。

3.对角线长度：对于任意多边形，对角线长度小于等于边长，且对角线将多边形分成两个面积相等的三角形。

六、多边形的性质1.多边形内角和定理：n边形的内角和为（n-2）×180度。

2.多边形外角和定理：n边形的外角和为360度。

3.多边形对角线定理：n边形的对角线数量为(n(n-3))/2，且对角线将多边形分成n-2个三角形。

七、多边形与圆的关系1.圆内接多边形：多边形的所有顶点都在圆上。

2.圆外切多边形：多边形的所有边都与圆相切。

3.圆的内接与外切多边形，其边数、内角和等性质均有所不同。

八、多边形的应用1.平面几何中的多边形问题，如计算面积、周长、对角线长度等。

2.实际生活中的多边形应用，如设计图形、计算土地面积等。

以上是对多边形的概念及特征的详细归纳，希望对您的学习有所帮助。

小学四年级数学上册教案认识多边形

小学四年级数学上册教案认识多边形认识多边形的教案教学目标：1. 让学生了解什么是多边形，并能够正确命名各种多边形。

2. 培养学生观察和分类的能力，能够将各种多边形进行分类。

3. 培养学生的逻辑思维和判断能力，能够判断一个图形是否为多边形。

教学重点：1. 认识多边形的概念。

2. 能够分辨不同种类的多边形。

3. 判断一个图形是否为多边形。

教学准备：1. 教材：小学四年级数学上册课本。

2. 教具：多边形的图片、纸张、彩色笔。

教学过程：Step 1: 导入新课1. 老师出示一些具有不同形状的图形，如长方形、正方形、三角形等，并提问学生这些图形有什么共同的特点。

2. 引导学生思考，帮助他们发现这些图形都是封闭的，并有各种边和顶点。

3. 引导学生思考多边形的概念，提问是否这些图形都是多边形。

Step 2: 认识多边形1. 出示一个多边形的图片，告诉学生这是一个多边形，并解释多边形是由直线段组成的封闭图形。

2. 让学生观察多边形的边和顶点，并引导他们理解边是直线段，顶点是边的交叉点。

3. 引导学生观察并数数多边形的边和顶点的个数，告诉他们多边形有多少条边和多少个顶点。

Step 3: 学习命名多边形1. 出示不同种类的多边形图片，如三角形、四边形、五边形等。

2. 引导学生观察并命名这些多边形。

例如，问学生这个有三条边的多边形叫什么？学生回答“三角形”。

3. 让学生自己观察一些多边形图片，并尝试用正确的名称来命名。

Step 4: 分类多边形1. 出示一些多边形的图片，并让学生观察它们的形状和特点。

2. 引导学生分析这些多边形，将它们进行分类。

可以让学生用彩色笔在纸上进行分类标记。

3. 让学生展示自己的分类结果，并进行讨论和比较。

Step 5: 判断图形是否为多边形1. 出示一些不是多边形的图形，如圆形、椭圆形等。

2. 引导学生观察这些图形，帮助他们理解这些图形不是由直线段组成的封闭图形，因此不是多边形。

3. 让学生自己观察一些图形，并判断它们是否为多边形。

3第三讲多边形的面积(等积变形)

第三讲多边形的面积(等积变形)【知识概述】三角形面积的公式是底×高÷2,两个三角形只要是底和高分别相等,它们的面积就相等,而这两个三角形的形状不一定完全相同,例如,下面的两个三角形面积就是相等的。

在解答一些平面图形的面积时,我们可以巧用等底等高两个三角形面积相等的方法来解答。

例题精学例1 四边形ABCD中,M为AB 的中点,N为CD 的中点,如果四边形ABCD 的面积是80 平方厘米,求阴影部分BNDM 的面积是多少平方厘米。

【思路点拨】图中阴影部分BNDM 是一个不规则的四边形,不能直接求出它的面积。

如果用一条对角线BD 将四边形ABCD 分成两个三角形。

(如右图所示)。

在△ABD和△BDC中,由于M,N 分别是AB,CD 的中点,根据等底等高三角形面积相等的道理,可知S△AMD=S△MBD,S△DNB=SΔcNB。

所以阴影部分的面积与空白部分的两个三角形的面积之和相等。

同步精练1. 如图,六边形ABCDEF 的面积是16 平方厘米,M,N,P,Q 分别是AB,CD,DE,AF 的中点。

求图中阴影部分的面积。

2. 如图,平行四边形的面积为50 平方厘米.P 是其中任意一点,求阴影部分面积3. 如图,正方形的边长是6 厘米,E,H 是所在边的二等分点,F,G，L,M 是所在边的三等分点,求阴影部分的面积和。

例2 如下图,三角形ABC 为等边三角形,D为AB 边上的中点。

已知三角形BDE 的面积为5 平方厘米。

求等边三角形ABC 的面积。

【思路点拨】我们在三角形ABC的AC 边上取中点F,BC 边上取中点G,然后连接DF,FG,GD(如右图)。

我们看到,三角形ADF,BDG,FGC,GFD 为四个完全一样的等边三角形。

因为DE为△DBG底BG上的高,所以S△DBE=S△DGE。

由此,我们可以想到三角形ABC 的面积是三角形DBE 面积的8倍。

同步精练1. 如图,平行四边形ABCD中,AE=EF=FB,AG=2CG,三角形GEF 的面积是6 平方厘米,平行四边形的面积是多少平方厘米?2.如图,已知长方形ABCD,三角形ABG 的面积为20 平方厘米,三角形CDQ 的面积为35 平方厘米,求阴影部分的面积是多少平方厘米。

3多边形

中考衔接点3 多边形及其内角和

人教版数学八年级上册11 3 2多边形的内角教学设计(表格式)

根据26个形状(三年级几何上册)

第三节 多边形的边和角-学而思培优

第3讲-多边形及其内角和知识点

(完整版)多边形及其内角和知识点

人教版初二数学上册：多边形(基础) 知识讲解

3 多边形及其内角和

多边形重要知识点总结

[初二数学 第3讲 多边形及其内角和]讲义教师版

五年级 3 多边形面积 (二)

考点3 多边形的内角和与外角和

《三角形》多边形的认识PPT课件(第3课时)

人教版八年级数学上册 第11章 第3节 多边形及其内角和 课件(共40张PPT)

多边形及角平分线.doc

多边形的概念及特征

小学四年级数学上册教案认识多边形

3第三讲 多边形的面积(等积变形)

第三节多边形的边和角-学而思培优

[初二数学第3讲多边形及其内角和]讲义教师版

人教版八年级数学上册第11章第3节多边形及其内角和课件(共40张PPT)

3第三讲多边形的面积(等积变形)