2018浙江数学二轮复习专题限时训练：立体几何中的向量方法word含答案

专题限时集训(十) 立体几何中的向量方法(对应学生用书第137页) [建议用时：45分钟]1．如图10­11，在四棱锥P ­ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.图10­11(1)求证：PD ⊥平面PAB .(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．[解] (1)证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， 所以AB ⊥平面PAD .所以AB ⊥PD .2分又因为PA ⊥PD ， 所以PD ⊥平面PAB .4分(2)取AD 的中点O ，连接PO ，CO . 因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD .又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CO . 因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD .5分如图，建立空间直角坐标系O ­xyz .由题意得，A (0,1,0)，B (1,1,0)，C (2,0,0)，D (0，－1,0)，P (0,0,1). 6分设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·PC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y －z ＝0，2x －z ＝0.令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2.所以n ＝(1，－2,2). 8分又PB →＝(1,1，－1)，所以cos 〈n ，PB →〉＝n ·PB →|n ||PB →|＝－33.所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33. 10分(3)设M 是棱PA 上一点， 则存在λ∈[0,1]使得AM →＝λAP →.11分 因此点M (0,1－λ，λ)，BM →＝(－1，－λ，λ).12分因为BM ⊄平面PCD ，所以要使BM ∥平面PCD 当且仅当BM →·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0.解得λ＝14.所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝14.15分2．如图10­12，在四棱锥P ­ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD ，E 为棱AD的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.图10­12(1)在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由； (2)若二面角P ­CD ­A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.【导学号：68334118】[解] (1)在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行．如图(1)，延长AB ，DC ，相交于点M (M ∈平面PAB )，点M 即为所求的一个点.2分(1)理由如下：由已知，知BC ∥ED ，且BC ＝ED ， 所以四边形BCDE 是平行四边形，从而CM ∥EB .4分又EB ⊂平面PBE ，CM ⊄平面PBE ， 所以CM ∥平面PBE .6分(说明：延长AP 至点N ，使得AP ＝PN ，则所找的点可以是直线MN 上任意一 点)(2)法一：由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面PAD ，从而CD ⊥PD ， 所以∠PDA 是二面角P ­CD ­A 的平面角， 所以∠PDA ＝45°.7分设BC ＝1，则在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝2.如图(1)，过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH ，易知PA ⊥平面ABCD ，从而PA ⊥CE ，于是CE ⊥平面PAH . 所以平面PCE ⊥平面PAH .11分过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE ， 所以∠APH 是PA 与平面PCE 所成的角． 在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1，所以AH ＝22. 在Rt △PAH 中，PH ＝PA 2＋AH 2＝322，所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.15分法二：由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面PAD ，于是CD ⊥PD . 从而∠PDA 是二面角P ­CD ­A 的平面角， 所以∠PDA ＝45°.又PA ⊥AB ，所以PA ⊥平面ABCD .7分设BC ＝1，则在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝2，作Ay ⊥平面PAD ，以A 为原点，以AD →，AP →的方向分别为x 轴、z 轴的正方向，建立如图(2)所示的空间直角坐标系A ­xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)，(2)所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2). 9分设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0.设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1). 12分设直线PA 与平面PCE 所成角为α，则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋ －2 2＋12＝13，所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13.15分3．在平面四边形ACBD (如图10­13(1))中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB ，设AB ＝2，∠BAD ＝30°，∠BAC ＝45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图10­13(2)所示的三棱锥C ′­ABD ，且使C ′D ＝ 2.(1) (2)图10­13(1)求证：平面C ′AB ⊥平面DAB ；(2)求二面角A ­C ′D ­B 的余弦值. 【导学号：68334119】 [解] (1)证明：取AB 的中点O ，连接C ′O ，DO ， 在Rt △AC ′B ，Rt △ADB 中，AB ＝2，C ′O ＝DO ＝1. 又∵C ′D ＝2，∴C ′O 2＋DO 2＝C ′D 2，即C ′O ⊥OD . 2分又∵C ′O ⊥AB ，AB ∩OD ＝O ，AB ，OD ⊂平面ABD ， ∴C ′O ⊥平面ABD .4分 又∵C ′O ⊂平面ABC ′，∴平面C ′AB ⊥平面DAB .5分(2)以O 为原点，AB ，OC ′所在的直线分别为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (0，－1,0)，B (0,1,0)，C ′(0,0,1)，D ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0， ∴AC ′→＝(0,1,1)，BC ′→＝(0，－1,1)，C ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1.6分设平面AC ′D 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥AC ′→，n 1⊥C ′D →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC ′→＝0，n 1·C ′D →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋z 1＝0，32x 1＋12y 1－z 1＝0，令z 1＝1，则y 1＝－1，x 1＝3，∴n 1＝(3，－1,1).8分设平面BC ′D 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2⊥BC ′→，n 2⊥C ′D →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC ′→＝0，n 2·C ′D →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＋z 2＝0，32x 2＋12y 2－z 2＝0，令z 2＝1，则y 2＝1, x 2＝33， ∴n 2＝⎝⎛⎭⎪⎫33，1，1，12分∴cos 〈n 1，n 2〉＝3×33＋ －1 ×1＋1×13＋1＋1×13＋1＋1＝15×73＝10535，二面角A ­C ′D ­B 的余弦值为－10535.15分4．(2017·杭州学军中学高三模拟)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．图10­14(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点．求证：GH ∥平面ABC ； (2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC .求二面角F ­BC ­A 的余弦值．[解] (1)证明：设FC 的中点为I ，连接GI ，HI (图略)． 在△CEF 中，因为点G 是CE 的中点，所以GI ∥EF . 又EF ∥OB ，所以GI ∥OB .3分在△CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI ∥BC . 又HI ∩GI ＝I ，所以平面GHI ∥平面ABC . 因为GH ⊂平面GHI ，所以GH ∥平面ABC . 6分 (2)法一：连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC . 又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径，所以BO ⊥AC .8分以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O ­xyz .由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)， 所以BC →＝(－23，－23，0)， 10分过点F 作FM 垂直于OB 于点M .所以FM ＝FB 2－BM 2＝3，可得F (0，3，3)． 故BF →＝(0，－3，3).12分设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0，可得⎩⎨⎧－23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0，可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，33. 因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝77.所以二面角F ­BC ­A 的余弦值为77.15分法二：连接OO ′.过点F 作FM 垂直于OB 于点M ， 则有FM ∥OO ′.又OO ′⊥平面ABC ，所以FM ⊥平面ABC . 9分 可得FM ＝FB 2－BM 2＝3.OB ＝23，OM ＝O ′F ＝3，BM ＝OB －OM ＝3，过点M 作MN 垂直BC 于点N ，连接FN .可得FN ⊥BC ，从而∠FNM 为二面角F ­BC ­A 的平面角． 又AB ＝BC ，AC 是圆O 的直径， 所以MN ＝BM sin 45°＝62. 13分从而FN ＝FM 2＋MN 2＝422， 可得cos ∠FNM ＝MN FN＝77， 所以二面角F ­BC ­A 的余弦值为77.15分。