chapter5 函数(11.4)

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高一数学第五章函数知识点

高一数学第五章函数知识点

高一数学第五章函数知识点函数是数学中一种重要的概念,广泛应用于各个领域。

在高中数学的学习中,函数是其中的一个重要内容。

本文将介绍高一数学第五章函数的知识点,包括函数的定义、函数的性质、函数的图像、函数的运算等内容。

一、函数的定义函数是一种特殊的关系,它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一一个元素上。

具体而言,如果存在一个集合A和一个集合B,对于集合A中的任意一个元素a,都存在一个集合B中的唯一元素b与之对应,那么我们就说集合A与集合B之间存在一个函数。

函数通常用符号f来表示,表示为f:A→B。

二、函数的性质1. 定义域和值域:函数的定义域是指所有与自变量对应的值的集合,而值域是指函数所有可能的取值的集合。

2. 单调性:函数的单调性是指函数在定义域内的取值随自变量的增大或减小而增大或减小。

3. 奇偶性:如果对于函数中的任意一个x值,都有f(-x)=f(x),那么函数是偶函数;如果对于函数中的任意一个x值,都有f(-x)=-f(x),那么函数是奇函数。

4. 周期性:如果存在一个正数T,对于函数中的任意一个x值,都有f(x+T)=f(x),那么函数具有周期性。

三、函数的图像函数的图像是用来描述函数关系的一种方法。

在平面直角坐标系中,我们可以通过绘制函数的图像来研究函数的性质。

函数图像的特点包括:在平面直角坐标系中,函数图像是一条曲线;曲线上的每个点都对应着函数中的一个值对(x,y);曲线的形状可以反映函数的单调性、奇偶性等。

四、函数的运算1. 四则运算:对于给定的两个函数f(x)和g(x),我们可以进行加法、减法、乘法和除法运算。

加法和减法的运算规则与常规数的加减法类似,乘法和除法运算需要遵循特定的规则。

2. 复合函数:对于给定的函数f(x)和g(x),我们可以通过将函数g(x)的输出作为函数f(x)的输入来构造一个新的函数。

复合函数的定义为(f ∘ g)(x) = f(g(x))。

3. 反函数:如果一个函数f(x)满足任意两个不同的自变量x1和x2,都有f(x1)≠f(x2),那么我们称函数f(x)为可逆的,并将f(x)的逆函数记为f^{-1}(x)。

高教社2024高等数学第五版教学课件-1.1 函数

高教社2024高等数学第五版教学课件-1.1 函数
= . 它在工程技术上经常用到.
对数函数 = ( > 0, ≠ 1)的定义域为(0, +∞),值域为(−∞, +∞).
⑸ 三角函数
函数 = , = , = , = , = , = 依次叫做
正切函数 = 在区间

− ,
2 2
上的反函数称为反正切函数,记作 = .
余切函数 = 在区间 0, 上的反函数称为反余切函数,记作 = .
2.复合函数
函数 = ( 1 + 2 )是基本初等函数吗?
定义
设函数 = (), = (), ∈ . 存在的某个非空子集1 ,对于每
偶函数的图象关于轴对称,奇函数的图象关于原点对称.
例如,函数 = () = 0, ∈ 就是一个既是奇函数又是偶函数的函数;
= 2 和 = 都是偶函数; = 3 和 = 都是奇函数; = 既
不是奇函数也不是偶函数.
2.函数的周期性
定义4
2 )是复合函数.
根据定义我们知道Y = [()]是由函数 = ()与 = ()复合而成,
那[()]和 是否相同?
显然是不相同的,例如() = 与() = 2 复合,如若将()看成外
值,记作|=0 = (0 ). 当取遍定义域内的所有值,对应的函数值
的集合 = {| = (), ∈ }称为函数 = ()的值域.
函数 = ()中的符号“”表示与之间的对应法则,它也可以
用其它字母表示,如 = (), = ℎ(), = (), = ()等.
2
5
有意义,必有5 2 + 2 ≠ 0,解得 ≠ 0且 ≠ − .

第5章 函数

第5章 函数
–实际上一个printf()有上千行代码 main()中能放多少行代码? 如果所有代码都在main()中,怎么团队合作? 如果代码都在一个文件中,怎么团队合作?
2020/5/17
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问题的提出
《三国演义》中有这样一段描写:
–懿问曰:“孔明寝食及事之烦简若何?”使
者曰:“丞相夙兴夜寐,罚二十以上皆亲览焉 。所啖之食,日不过数升。”懿顾谓诸将曰: “孔明食少事烦,其能久乎?”
【例】 计算整数n的阶乘n!
如何修改这个缺陷? 如何保证不会传入负数实参?
2020/5/17
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程序调试实例
#include <stdio.h> int Factorial(int x);
int Factorial(int x) {
int i, result;
int main() {
int m;
2020/5/17
【例】
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函数原型(Function Prototype)
在调用函数前先声明其返回值类型、函数名和参数 函数原型有助于编译器对函数参数类型的匹配检查
末尾有一个分号, 声明时不要省略形 参和返回值的类型
2020/5/17
【例】
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例5.1b 使用了Average函数的main()
a, b, ave);
}2020/5/17
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#include <stdio.h>
/* 函数功能: 计算平均数 函数入口参数: 整型x,存储第一个运算数 整型y,存储第二个运算数 函数返回值: 平均数
例5.1
*/
int Average(int x, int y)
{

2024版全新函数概念课件

2024版全新函数概念课件

高阶导数定义
高阶导数是指对函数进行多次求导得 到的导数,反映了函数更高层次的变 化规律。
高阶导数计算
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领域有 广泛应用,如加速度、jerk(加加速 度)等概念都涉及到高阶导数。
通过连续应用基本求导法则,可以计 算出函数的高阶导数。
微分概念及其在近似计算中应用
微分定义
02
03
04
一阶、二阶偏导数计算公式
全微分定义及Leabharlann 算方法复合函数偏导数与全微分求解
隐函数偏导数与全微分求解
多元函数极值问题求解策略
无条件极值求解方法
条件极值求解方法
多元函数最值定理及应用
多元函数极值在经济问题中应用
二重积分和三重积分计算方法
01
二重积分定义及性质
02 二重积分计算方法(直角坐标、极坐标)
根据链式法则,将复合函数分解 为多个基本函数进行求导。
参数方程求导法则
将参数方程转化为普通函数方程, 再利用基本求导法则进行求导。
01
基本求导法则
包括常数、幂函数、指数函数、 对数函数、三角函数等基本函数 的求导法则。
02
03
隐函数求导法则
通过对方程两边同时求导,解出 隐函数的导数。
04
高阶导数计算与应用举例
复合函数
设函数$y=f(u)$的定义域为$D_u$,值域为$R_u$;函数$u=g(x)$的定义域为$D_x$,值域为$R_g$。如果$R_g subseteq D_u$,则称由这两个函数所确定的对应关系为一个复合函数,记作$y=f[g(x)]$。
初等函数类型及其图像特征
初等函数类型
基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和 反三角函数等。

第五章函数幻灯片课件

第五章函数幻灯片课件
证明 (1) : x,xdo(mFG)ty(x,tFt,yG) t(xdomFtF(x)tdom)G x{x| xdomFF(x)dom}G (2)x,xdomFF(x)domG x,F(x)FF(x),G(F(x))Gx,G(F(x))FG xdomFGFG(x)G(F(x))
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5.3 函数的复合运算
第五章 函数
函数也叫映射,交换,是数学中的一个基本概念, 在高数中,函数的概念是从变量的角度提出来的, 这种函数一般是连续或间断连续的函数,这里将 连续函数的概念推广到离散量的讨论,即将函数 看作一种特殊的二元关系。
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5.1 函数的基本概念

定义5.1:设f是集合A到B的关系,如果对每个x A为,A都到存B的在函唯数一(yFuncBt,i使on得),<x记,为y>f:Af→,B则。称当关<x系,f
y> f时,正常记为y=f(x),x称为自变量,y为x
在f下的函数值。
(1)dom f=A,称为函数的定义域;
(2)ran f B,称为函数的值域,ran f也可记为
f(A),为A在f下的像;
(3) x ,y f x ,z f y z ;
(4)|f|=|A|;
(5)f(x)仅表示一个变值,f表示一个集合, ∴
f f(x)
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5.1 函数的基本概念
• 例5-1:判断下图的关系是否是函数:
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5.1 函数的基本概念
• 例5-2:设A={a,b},B={1,2},则A×B={<a,1>,
<a,2>,<b,1>,<b,2>},此时A到B的不同关系有 16个;A到B的不同的函数有4个;

00022高等数学目录(工专)

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第一章函数§1.1实数一、实数与数轴二、区间与邻域三、绝对值习题1.1§1.2函数的定义及其表示法一、常量与变量二、函数的定义三、常用的函数表示法习题1.2§1.3函数的几种特性一、有界性二、单调性三、奇偶性四、周期性习题1.3§1.4反函数和复合函数一、反函数二、复合函数习题1.4§1.5初等函数一、基本初等函数二、初等函数三、非初等函敷的例子四、初等函数定义域的求法五、建立函数关系举例习题1.5§1.6本章内容小结与学习指导一、本章知识结构图二、内容小结—三、常见题型—四、典型例题解析第二章极限与连续§2.1数列及其极限一、数列的概念二、数列的极限三、收敛数列的性质四、数列极限的运算法则及存在准则习题2.1§2.2数项级数的基本概念一、数项级数的定义及敛散性二、级数的摹本性质和级数收敛的必要条件三、正项级数的敛散性判别习题2.2§2.3函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数f(x)的极限二、自变量趋于有限值x时函数f(z)的极限三、函数极限的性质四,函数极限的运算法则及存在准则五,两个重要极限习题2.3§2.4无穷小量与无穷大量一、无穷小量的概念二,无穷小量的性质三、无穷小量的比较四、无穷大量习题2.4§2.5函数的连续性一、函数连续性的概念二、函数的间断点及其分类三、函数连续性的物理意义四、连续函数的运算与初等函数的连续性五,闭区间上连续函数的性质习题2.5§2.6本章内容小结与学习指导一、本章知识结构图二、内容小结三,常见题型四、典型例题解析第三章导数与微分§3.1导数的概念一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义和物理意义四、可导与连续的关系习题3.1§3.2导数的运算一、基本初等函数的求导公式二、导数的四则运算法则三、反函数的求导法则四、复合函数的求导法则习题3.2§3.3几类特殊函数的求导方法一、幂指函数的求导方法二、隐函数的求导方法三、参数式函数的求导方法习题3.353.4高阶导数习题3.4§3.5微分及其运算一、引例二、微分的定义三、函数的导数与微分的关系四、微分的几何意义五、基本微分公式与微分运算法则六、微分的应用习题3.5§3.6本章内容小结与学习指导一、本章知识结构图二,内容小结三,常见题型四、典型例题解析第四章微分中值定理与导数的应用§4.1微分中值定理一、费马定理二、罗尔定理三、拉格朗日中值定理习题4.1§4.2洛必达法则一、和型型洛必达法则二、其他类型的未定式习题4.2§4.3函数的单调性习题4.3§4.4函数的极值及其求法习题4.4§4.5函数的最大值和最小值及其应用习题4.5§4.6曲线的凹凸性和拐点习题4.6§4.7函数的渐近线一、水平渐近线二、铅直渐近线习题4.7§4.8本章内容小结与学习指导一、本章知识结构图二、内容小结三、常见题型四、典型例题分析第五章一元函数积分学§5.1原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分二、基本积分公式三、不定积分的基本性质习题5.1§5.2不定积分的换元法一、第一换元法(凑微分法)二、第二换元积分法习题5.2§5.3分部积分法习题5.3§5.4微分方程初步一、微分方程的摹本概念二、可分离变量的微分方程三、一阶线性微分方程习题5.45.5定积分的概念及其几何意义一、引例二、定积分的概念三、定积分的存在定理习题5.5§5.6定积分的基本性质习题5.6§5.7微积分基本公式一、积分上限的函数及其导数二、微积分学摹本定理习题5.7§5.8定积分的换元法与分部积分法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法习题5.8§5.9无穷限反常积分习题5.9§5.10定积分的应用一、微元法二、定积分的几何应用三、定积分的物理应用习题5.10§5.11本章内容小结与学习指导一、本章知识结构图二、内容小结三、常见题型四、典型例题分析第六章线性代数初步§6.1二、三元线性方程组和二、三阶行列式一、二元和三元线性方程组二、二阶和三阶行列式习题6.1§6.2行列式的性质和计算一、行列式的基本性质二、行列式的按行(列)展开习题6.2§6.3矩阵的概念及矩阵的初等行变换一、矩阵的概念二、矩阵的初等行变换习题6.3§6.4三元线性方程组的消元法习题6.4§6.5矩阵的运算及其运算规则一、矩阵的加法与数乘运算二、矩阵的乘法三、矩阵的转置四、方阵的行列式性质习题6.5§6.6可逆矩阵与逆矩阵习题6.6§6.7本章内容小结与学习指导一、本章知识结构图二、内容小结三、常见题型四、典型例题分析习题参考答案与提示高等数学(工专)自学考试大纲高等数学(工专)参考样卷后记。

泛函分析第五章习题答案

泛函分析第五章习题答案

泛函分析第五章习题答案
《泛函分析第五章习题答案》
在泛函分析的学习过程中,习题是检验自己对知识掌握程度的重要方法。

第五章是泛函分析中的重要章节,涉及到诸多基本概念和定理。

通过做习题,我们可以更加深入地理解和掌握这些知识点。

下面我们就来看一下第五章习题的答案。

1. 习题1
答:略
2. 习题2
答:略
3. 习题3
答:略
4. 习题4
答:略
5. 习题5
答:略
通过以上习题答案的简要总结,我们可以看出在第五章的学习中,我们需要掌握的知识点包括……(接着展开对第五章知识点的总结和归纳)。

在学习过程中,我们可能会遇到一些困难和疑惑,但通过认真思考和练习,我们一定可以克服这些困难,掌握好泛函分析的知识。

希望大家在学习泛函分析的过程中能够勤奋钻研,不断提高自己的理解和应用能力。

最后,希望大家都能在学习中取得好成绩,为自己的未来铺平道路。

高一数学必修一第五章知识总结

高一数学必修一第五章知识总结

高一数学必修一第五章知识总结1.本章主要内容是关于一次函数及其应用。

The main content of this chapter is about linear functions and their applications.2.一次函数的定义是f(x)=ax+b。

The definition of a linear function is f(x)=ax+b.3.一次函数的图像是一条直线。

The graph of a linear function is a straight line.4.一次函数的斜率表示为a,截距表示为b。

The slope of a linear function is represented by a, and the intercept is represented by b.5.一次函数的斜率可以表示为Δy/Δx。

The slope of a linear function can be represented asΔy/Δx.6.斜率为正的一次函数是递增的,斜率为负的一次函数是递减的。

A linear function with a positive slope is increasing, while a linear function with a negative slope is decreasing.7.一次函数的零点就是方程f(x)=0的解。

The zero point of a linear function is the solution tothe equation f(x)=0.8.一次函数的图像经过坐标原点时,截距为零。

The graph of a linear function passes through the origin when the intercept is zero.9.一次函数的图像是一条直线,其斜率决定了直线的倾斜程度。

泛函方程第五章

泛函方程第五章

第五章 时滞自治系统的周期解分支第一节 半群和无穷小生成元设[0]k C r -,是[0]r -,上的实的,n 维向量值函数组成的空间,其每个分量均有k 阶连续导数,当0k =时,略记为[0]C r -,或C 。

考虑线性自治系统()()tt L x x=. (1.1) L C :→nR 是连续线性映射,从而存在n n ⨯ 矩阵()ηθ,0r θ-≤≤,使得0()()()rL d C ϕηθϕθϕ-=,∈.⎰设()x ϕ是(1.1)的初始时刻为0,初始函数为ϕ的唯一解,解映射定义为 ()T t C C :→()()t x T t ϕϕ=. (1.2)引理 解映射()0T t t ,≥ 满足下列性质(1)()0T t t :≥是线性变换半群,即对00t τ∀≥,≥,有()()()T t T t T ττ+=.(2)对0(0)()t T I T t ∀≥,=,有界,且()T t 在[0),+∞上是强连续的,即对0t C ϕ∀≥,∈,()()0limT T t tτϕϕτ-=.→(3)()T t 是全连续的。

()T t 的无穷小生成元A 定义为1[()]limt A T t tϕϕϕ→=-, (1.3)则A 是闭线性的且A 的定义域()D A 在C 中稠密。

若()D A C ϕ∈⊆,则[()()]()limt d T t t T t T t dttϕϕ∆→+∆-=∆=()[()(0)]limt T t T t T tϕ∆→∆-∆= T(t)A ϕ = A T(t)ϕ. (1.4)下面计算(1.1)的生成元A. 对[0)r θ∈-,1()[()()()]limt A T t t ϕθϕθϕθ→=-=1[()()]limt t tϕθϕθ→+-=()d d ϕθθ.当0θ=, 由0()()(0)(())t T t L T s ds θϕθϕϕ+=+⎰得1(0)[()(0)(0)]limt A T t tϕϕϕ+→=-=1(())lim t t L T s ds t ϕ+→⎰= L(T(0))ϕ = L()ϕ =0[()]()rd ηθϕθ-⎰因此若()d d ϕθθ存在, 则()()()[()]()0r d r d A L d ϕθθθϕθϕηθϕθθ-⎧-≤<⎪=⎨⎪==.⎩⎰ (1.5)若()A ϕθ在点0连续,则ϕ在[0]r -,有连续导数且 (0)()L ϕϕ=. 第二节 C 空间生成元的谱分解设B B B :→是线性算子,B 是Banach 空间, B 的定义域()D B 在B 中稠密。

高教社2024高等数学第五版教学课件-1.5 函数的连续性

高教社2024高等数学第五版教学课件-1.5 函数的连续性
而2 ∈ [− 5, 5],所以 5 − 2 = 5 − 22 = 1。
→2
(2)因为函数 =
+(4−)
是初等函数,其定义域为[0,9)
−3
而4 ∈ [0,9) ∪ (9, +∞),所以
+(4−)

−3
→4
=
4 + 0
2−3
∪ (9, +∞),
(0 , (0 ))处没有断开;在区间(, )内连续的几何意义是:在区间(, )
内曲线 = ()的图像是一条连绵不断的曲线.
3、初等函数的连续性
定理2 如果函数()与()在点0 处连续,那么这两个函数的和
() + ()、差() − ()、积()()、商
=1 − 0 = 1 − 0 = 0 + − 0 .


2、函数连续的定义
定义2
设函数 = ()在点0 的某个邻域内有定义,如果当
自变量 在点0 处的增量 → 0时,函数 = ()相应的增量
= (0 + ) − (0 ) → 0,即
由此可得:初等函数在其定义区间内某点的极限,恰好等于该点处的函
数值. 即如果初等函数()在点0 处连续,那么 = 0 .
→0
例2
计算下列极限。
(1) 5
→2
− 2
(2)
+(4−)

−3
→4
解 (1)因为函数 = 5 − 2 是初等函数,其定义域为[− 5, 5],
= (0 + ) − (0 ) = 0,
→0
→0
那么称函数 = ()在点0 处连续.
该定义表明,函数 = ()在点0 处连续的直观意义为

(完整版)复变函数习题答案第5章习题详解

(完整版)复变函数习题答案第5章习题详解

(完整版)复变函数习题答案第5章习题详解第五章习题详解1.下列函数有些什么奇点?如果是极点,指出它的级:1) ()2211+z z解:2)31z z sin3)1123+--z z z4)()z z lz 1+5)()()z e z z π++1126)11-z e7)()112+z e z 8) n nzz +12,n 为正整数9)21z sin2.求证:如果0z 是()z f 的()1>m m 级零点,那么0z 是()z f'的1-m 级零点。

3.验证:2i z π=是chz 的一级零点。

4.0=z 是函数()22--+z shz z sin 的几级极点?5.如果()z f 和()z g 是以0z 为零点的两个不恒等于零的解析函数,那么()()()()z g z f z g z f z z z z ''lim lim 00→→=(或两端均为∞)6.设函数()z ?与()z ψ分别以z =为m 级与n 级极点(或零点),那么下列三个函数在z =处各有什么性质:1) ()()z z ψ?;2)()()z z ψ?;3) ()()z z ψ?+;7.函数()()211-=z z z f 在1=z 处有一个二级极点;这个函数又有下列洛朗展开式:()()()()345211111111-+---+=-z z z z z Λ,11>-z ,所以“1=z 又是()z f 的本性奇点”;又其中不含()11--z 幂,因此()[]01=,Re z f s 。

这些说法对吗?8.求下列各函数()z f 在有限奇点处的留数:1)zz z 212-+ 2) 421z e z-3)()32411++z z4)zz cos5) z -11cos6) z z 12sin7) z z sin 18) chz shz9.计算下列各积分(利用留数;圆周均取正向)1) ?=23z dz z zsin2) ()?=-2221z zdz ze3) ?=-231z m dz z zcos ,其中m 为整数4)?=-12i z thzdz5) ?=3z zdz tg π6) ()()?=--11z n n dz b z z (其中n 为正整数,且1≠,1≠b ,b =r z13.计算下列积分:1)?+∞+0351??d sin2)?∞++02???d b cos sin ,()0>>b3)()?+∞∞-+dx x 2211 4) ?∞+∞-+dx x x 4215)?+∞∞-++dx x x x 542cos6)?+∞∞-+dx x x x 21sin 14.试用图5.10中的积分路线,求例4中的积分:?+∞0dx x x sin15.利用公式()145..计算下列积分:1) ?=31z dz z 解:2)?=-321z dz z z3)?=3z tgzdz4)()?=+311z dz z z16.设C 为区域D 内的一条正向简单闭曲线,0z 为C 内一点。

高等代数(北大版)第5章习题参考答案

高等代数(北大版)第5章习题参考答案

第五章 二次型1.用非退化线性替换化下列二次型为标准形,并利用矩阵验算所得结果。

1)323121224x x x x x x ++-;2)23322221214422x x x x x x x ++++; 3)32312122216223x x x x x x x x -+--;4)423243418228x x x x x x x x +++; 5)434232413121x x x x x x x x x x x x +++++;6)4342324131212422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++; 7)43322124232221222x x x x x x x x x x ++++++。

解 1)已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=, 先作非退化线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x (1)则()222333142y y y y ++--=, 再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=33223112121zy z y z z y (2)则原二次型的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=,最后将(2)代入(1),可得非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=++=333212321121212121z x z z z x z z z x (3)于是相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100211212102110001021021100011011T , 且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='100040001AT T 。

2)已知()=321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++,由配方法可得()()2322212x x x x +++=,于是可令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=333222112xy x x y x x y ,则原二次型的标准形为()2221321,,y y x x x f +=,且非退化线性替换为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321122yx y y x y y y x ,相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100210211T ,且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='000010001100210211420221011122011001AT T 。

《复变函数》第5章

《复变函数》第5章
(第四版)
P( z ) , z0是P( z )的k 级零点, 是Q( z ) 一般: 若 f ( z ) Q( z ) 的 m 级零点, 则 当 k m 时,z0 是 f ( z ) 的 m k 级极点;
k m 时,z0 是 f ( z ) 的 k m 级零点.
1 的一级极点. 例: z 0 是 e z2 ( z 1) 3 z 1 是 的二级零点. sin( z 1)
2. 留数定理 Th1 ( 留数定理 ): 设函数 f (z)在区域 D 内除有 限个孤立奇点 z1, z2,…, zn 外处处解析, C 是
D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线 .
那末
2014-10-20
c f ( z ) dz 2 i Re s [ f ( z ) , zk ]
k 1
3
1 z 0是 g ( z )的一系列奇点 的极限. n ( lim 1 0 ) n n z 0 不是 g ( z )的孤立奇点.
从而 z =∞ 不是 f (z)的孤立奇点.
2014-10-20 《复变函数》(第四版) 第五章 第16页
总之, 判别奇点类型
c n ( z z0 )
( c-m≠0 )
第3 页
《复变函数》(第四版) 第五章
() 中含无穷多个 z0为 f (z)的本性奇点 ( z-z0 )的负幂项 sin z 1 1 3 1 5 例: ( z z z ) z z 3! 5! 1 2 1 4 1 z z 3! 5!
3. 留数的计算(有限远奇点) 基本算法: 1 Re s [ f ( z ) , z0 ] f ( z ) d z = c –1 c 2 i C 是 zo 某去心邻域内一条简单正向闭曲线. ( 当 z0 是 f (z) 的本性奇点或孤立奇点类型 不清楚时, 只能用这一方法求 ) (1) zo是 f (z) 的可去奇点. Re s [ f ( z ) , z0 ] 0 (2) zo是 f (z) 的本性奇点. f (z) 展成洛朗级数 Re s [ f ( z ) , z ] c 0 1 1 1 1 1 z2 z2 ) 例:Re s [ e , 0 ] 0 ( e 1 2 4 z 2! z

JHY-第五章 函数

JHY-第五章 函数

逆就不是函数。
一.定义:设f:XY是双射的函数,fC:YX 也是函数, 称
之为 f 的逆函数。并用f-1代替fC 。 f-1存在,也称f 可逆。
显然, f-1也是双射的函数。
15
二.性质
1.定理5-3.1 设f:XY是双射的函数,则(f-1)-1= f 。
结论显然成立,证明从略。
2.定理5-3.2 设f:XY是双射的函数,则有
y=ax+b 双射的
y=x2 映内的
y=2x 映内的 入射的
思考题:如果 f:XX是入射的函数,则必是满射的,所 以 f 也是双射的。此命题成立吗?
8
答案是:不一定。例如f:NN, f(n)=2n,f是入射的, 但不是满射的函数。
只有当X是有限集合时,上述命题才成立。
本节重点掌握:函数的定义、函数的类型的判定和证明。
⑴证f和g都可逆。因为gf= IX , IX是双射的,由 关系复合性质3得, f是入射的和g是 满射的。同理由 fg = IY,得g是入射的和f 是 满射的。所以f和g都可逆。 ⑵显然f-1和g具有相同的定义域和陪域。
17
⑶证明它们的对应规律相同。
任取yY, f-1(y)= f-1 IY (y) = f-1 (f g) (y) = (f-1 f) g (y) =( IX g) (y) =g(y) 所以f-1 =g 顺便说明: f-1 =g 的两个条件必须同时满足,缺一不可。
YX ={f| f:XY} YX :它是由所有的从X到Y函数构成的集合 例 X={1,2,3} Y={a,b} 所有的从X到Y函数:
123X。。。
f1
。Ya 。b
123X。。。
f5
Y
。a 。b

高等数学教材第五章

高等数学教材第五章

高等数学教材第五章第一节:函数的概念和性质函数是数学中的重要概念之一,它描述了两个数集之间的对应关系。

在高等数学教材的第五章中,我们将学习函数的概念和性质。

函数的定义:给定两个非空数集A和B,如果存在一种对应关系f,使得对于集合A中的任意一个元素x,都存在唯一一个元素y属于集合B,且f(x) = y,我们就称这个对应关系f为从A到B的函数。

函数的符号表示:通常用f(x)或者y = f(x)表示函数,其中x是自变量,f(x)是函数对应的因变量或函数值。

函数的性质:1. 定义域和值域:函数的定义域是自变量可能取值的集合,值域是函数值可能取值的集合。

2. 单调性:函数在定义域内的取值随自变量的增大而增大或随自变量的减小而减小,分别称为单调递增和单调递减。

3. 奇偶性:函数满足f(-x) = -f(x)的称为奇函数,满足f(-x) = f(x)的称为偶函数。

4. 周期性:存在一个正数T,对于任意自变量x,有f(x+T) = f(x),则函数具有周期T。

第二节:常用函数的性质和图像在高等数学教材的第五章中,我们还将学习常用函数的性质和图像。

1. 反比例函数:对于函数y = k/x,其中k为常数且k≠0,它是一种特殊的函数形式。

当x趋近于0时,y的值趋近于无穷大;当x趋近于无穷大时,y的值趋近于0。

它的图像是一个开口向下的双曲线。

2. 幂函数:对于函数y = x^a,其中a为实数且a≠0,它描述了自变量x的幂指数关系。

当a>1时,函数图像呈现上升的趋势;当0<a<1时,函数图像呈现下降的趋势。

3. 指数函数:对于函数y = a^x,其中a为正实数且a≠1,它是幂函数的特殊形式。

指数函数的图像在x轴的右侧呈现上升趋势,且图像都经过点(0,1)。

4. 对数函数:对于函数y = loga(x),其中a为正实数且a≠1,它是指数函数的反函数。

对数函数的图像在x轴的右侧呈现上升趋势,且图像经过点(1,0)。

大连理工大学软件学院 离散数学 第五章 函数-2nd

大连理工大学软件学院 离散数学 第五章 函数-2nd
证明:当x A B时, A B 1,同时 x A B x A x B A 1 B 0 得 A A B 1 1 0 1, 上式成立。 当x A - B时,有 A B 0,同时 x A B ( x A B ) ( x A x B ) x A x B A 0 B 1 于是有 ( a ) A A B 0 0 0 0 (b) A A B 1 1 1 0 (c) A A B 0 0 1 0 即x A - B时,总有 A B A A B。 得证。
(3) f-g: X→Y ,对每个x∈X,皆有 (f-g)(x)=f(x)-g(x),称f-g为f和g的差。 (4) f*g: X→Y ,对每个x∈X,皆有 (f*g)(x)=f(x)*g(x),称f*g为f和g的积。
11/46
特征函数
定义:设E为全集,A E,Ψ A为如下定义的从E到 {0,1}的函数:
13/46
特征函数的性质
(8) AB A B A B
x 证明:当 x A B时,AB 1,由于x A B x A, B 于是可能有这样几种情况: x a) x A 使 A 1 , B 使 B 0,于是 A B A B 1 b) x B 但x A ,此时也有 A B A B 1 c) x A 并且 x B ,此时 A B A B 1111 1 即当 x A B 时, AB A B A B
可以证明
f1 g1 f2 g1 f1 g2 I N
可见,g1和g2都是f1的右逆,而f1和f2又都是g1 的左逆。此例说明,一个函数的左逆和右逆不 一定是唯一的。
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2. 内联函数注意事项: 内联函数的函数体内不允许出现大型循环语句与 开关语句。否则与普通函数同等处理。
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函数存储类

所谓存储类,即函数在内存中存放的类别。
1. 函数的存储类:外部函数 ① 外部函数:默认
extern int fun(); 作用域是整个程序
内部函数
② 内部函数 static int fun(); 作用域是当前文件
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#include <iostream.h> 2. #include <string.h> 3. void ptr_test(char *p);//要求:对主调共享堆内存 4. void main() 5. { 6. char *str = 0; //NULL 7. ptr_test (str); 8. strcpy(str, "hello world"); 9. cout<<str<<endl; 10. delete str;
{
a=0; b=&a;
c=0;
int i=0; while(d[i]) { d[i]='0'; i++; } }//调试查看内存变化
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cout<<a<<","<<b<<",“
cout<<c<<","<<d<<endl; }
四种参数比较
参数数据传递方向(MSDN: getsockname ) in: 传入参数 out:传出参数(函数需要返回两种以上不同的值)
1.

综合实例2
str=0; ….
11. }
void ptr_test(char * &r)//修改至正确,用完释放堆内存 13. { //char s[ ]= " test "; p=?; 14. r = new char[100]; //注意[ ]与( )的区别 中国传媒大学版权所有 15. }
位置,继续执行。
2. 运行栈用来存放返回地址、函数参数以及函数内部
定义的数据等。运行栈随程序的运行而动态变化。
3. 函数调用约定
(setting-C/C++-code gen-calling convention) _stdcall: 右左传参,被调函数处理堆栈平衡

_cdecl* :
右左传参,主调函数处理堆栈平衡
1. 2. 3. 4.
值:in
指针:地址传递,需创建指针变量;in,out; 数组:其实就是指针形式; in,out; 引用: 本质是地址传递;in,out;与指针相比调 用形式更规范。
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设计数值交换函数
1. 2. 3. 4. 5. 6.
#include <iostream.h> void exchange (?) //完成交换函数,使输出为3,1 { ? } void main()
定义: 返回值类型 函数名(参数列表)//head { //body return 返回值;//结束函数调用 } 2.数据共享: 参数(列表括号不能省)、返回值(如没有,则为void) 3.函数原型声明:调用语句前一定要定义或声明函数。
2.
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函数调用机制
--中断+运行栈
1. 中断:暂停主调,转向被调代码处,返回主调暂停
7.
8. 9.
{ int a=1,b=3;
exchange ( ?); cout<<a<<“,”<<b<<endl;
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10. }
三种返回值形式
数值类型 //返回一个值 – int fun() – {static int a=10;return a;} 指针类型 //返回一个地址值 – int * fun() – {static int a=10;return &a;} 引用类型 //返回一个变量 – int & fun() – {static int a=10; return a;} 测试:cout<<fun(); cout<<++fun();
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函数调用
1. 嵌套调用
2. 递归调用(理解递归调用的思参数
1. 传参顺序:_stdcall, _cdecl* 右至左 int a=10; fun(- -a,a-1); //自增减赋值符的副作用 2. 实参与形参结合顺序:从左至右 int fun(int a,int b); fun(1,2); 3. 默认形参(需在声明语句中给出) int fun(int a,int b=0,int c=0); 几种调用形式? 4. 四种传参形式:值、指针、数组、引用
12.
重载函数
1. 重载函数: C++允许同名函数(重要!自学) 在函数的参数类型、参数个数和参数顺序上有所不同。 根本原则:调用不产生二义性。
2. 实例1: ① int fun(int a); ② int fun(double a); ③ void fun(double a); ④ int fun(int a,int b); ⑤ int fun(int a,double b); ⑥ int fun(double a,int b);//以上哪些函数可以构成重载 fun((double)5); fun(„a‟); fun(1,2);
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#include <iostream.h>
int i(3); static int reset();
void main( )
{ int i=reset( ); } static int reset()
{
return i;
}
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重载函数
3. 实例2: ① int fun(int a); ② int fun(int a,int b=1); //以上两个函数能重载吗?
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内联函数
1. 内联函数 inline(自学) 在程序编译时将内联函数体嵌入到被调用的地方
如多次调用会增加代码量,但省去了跳转的时间。 – 原理与符号宏类似,写法与一般函数相同。在函数说明 前增加了inline的修饰符。 inline int add(int a,int b) { return a+b; }
指针、引用:注意返回生存期有效的变量。
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1.
2. 3. 4. 5. 6. 7.
8.
9. 10. 11. 12. 13. 14.
综合实例1 #include <iostream.h> int* fun(); int main() //3.应该在哪里delete手动释放堆内存? { int *p=fun(); //*p=*p+1; cout<<"the value of a is "<<++(*p); return 0; } int* fun() //2.能实现fun中堆内存对外共享目的? {//注意[ ]与( )的区别 int *p=new int(5); //1.整数5所在堆内存的生存期? return p; }
C++程序设计
第五章 函数
马海燕 sea2002@
本章主要内容
1. 函数的定义与声明
2. 函数的调用机制 3. 函数的参数与返回值 4. 重载函数和内联函数(inline)
5. 函数的存储类
重点:调用已有函数,设计自己的函数
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函数
1.
函数作用?设计一个求商的函数?字符串查找函数?
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四种参数形式实例
void fun_para(int a,int *b,int &c,char d[ ]) #include <iostream.h> void fun_para(int, int *, int &,int [ ]) ; void main() { int a=1,b=2,c=3; char d[6]=“hello”; // fun_para( ); //补全实参
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