导数在研究函数中的应用-极值(1课时)课件1
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2020版高中数学第三章利用导数研究函数的极值(第1课时)利用导数研究函数的极值课件新人教B版
＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
由极值点的个数求参数范围
典例 已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，求实数a的取值范围.
素养评析 (1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一 般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝ g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标. (2)将数转化为形，以形助数，体现了直观想象的作用和意义.
知识点二 求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是 极大值 . (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是 极小值 .
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
√B.有极大值－2，极小值2
C.无极大值，但有极小值－2 D.有极大值2，无极小值
12345
4.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为
A.－1<a<2 C.a<－1或a>2
B.－3<a<6
√D.a<－3或a>6
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
A.在(－∞，0)上为减函数 B.在x＝0处取极小值
√C.在(4，＋∞)上为减函数
D.在x＝2处取极大值
反思感悟 通过导函数值的正负号确定函数单调性，然后进一步明确导函 数图象与x轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
由极值点的个数求参数范围
典例 已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，求实数a的取值范围.
素养评析 (1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一 般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝ g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标. (2)将数转化为形，以形助数，体现了直观想象的作用和意义.
知识点二 求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是 极大值 . (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是 极小值 .
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
√B.有极大值－2，极小值2
C.无极大值，但有极小值－2 D.有极大值2，无极小值
12345
4.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为
A.－1<a<2 C.a<－1或a>2
B.－3<a<6
√D.a<－3或a>6
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
A.在(－∞，0)上为减函数 B.在x＝0处取极小值
√C.在(4，＋∞)上为减函数
D.在x＝2处取极大值
反思感悟 通过导函数值的正负号确定函数单调性，然后进一步明确导函 数图象与x轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点.
高中数学1.3.2导数在研究函数中的应用极值课件新人教A选修22.ppt
33
(A) a>0 (B) –1<a<1 (C) a>1 (D) 0<a<1
6、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) • 单调递增函数 • (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
7、 如果质点M的运动规律为S=2t2-1，则在
一小段时间[2，2+Δt]中相应的平均速度等于
分析 由条件知： y=ax2+bx+c在点Q(2，-1) 处的导数为1，于是
4a+b=1
又点P(1，1)、Q(2，-1)在曲线y=ax2+bx+c 上，从而
a+b+c=1且4a+2b+c=-1
例3 已知P为抛物线y=x2上任意一点，则当点 P到直线x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛 物线准线的距离
1.3.2《导数在研究函数 中的应用-极值》
教学目标
• (1)知识目标：能探索并应用函数的极值与导数的关 系求函数极值，能由导数信息判断函数极值的情况。
• (2)能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增 强数形结合的思维意识。
• (3)情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多 观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的 良好习惯。
• 教学重点：探索并应用函数极值与导数的关系求函 数极值。
• 教学难点：利用导数信息判断函数极值的情况。 • 教学方法：发现式、启发式
设函数y=f(x)在某个区间内有导数， 如果在这个区间内y`>0，那么y=f(x)为这 个区间内的增函数；如果在这个区间内 y`<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.
《导数和极值》课件
反函数的导数
若$f'(x) neq 0$，则反 函数在相应点的导数为
$frac{1}{f'(x)}$。
高阶导数
二阶导数
二阶导数表示函数图像的弯曲程度， 即函数在某点的切线斜率的斜率。
三阶导数
高阶导数的计算方法
通过连续求导，直到得到所需的高阶 导数。高阶导数的计算在研究函数的 极值、拐点、曲率等方面具有重要意 义。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率，即函数图像上某一点处切线 的斜率。
详细描述
导数的几何意义是切线的斜率。在函数图像上，任意一点的 切线斜率即为该点的导数值。导数越大，表示函数在该点附 近上升或下降得越快；导数越小，表示函数在该点附近变化 得越慢。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是速度和加速度，可以用于描述物理量随时间的变化率。
05 导数和极值的应用
导数在几何中的应用
切线斜率
导数在几何中常用于求曲 线的切线斜率，从而研究 曲线的形状和变化趋势。
函数单调性
通过导数可以判断函数的 单调性，对于研究函数的 极值和最值问题具有重要 意义。
极值判定
导数在几何中还可以用于 判定函数的极值点，从而 确定函数的最值。
导数在物理中的应用
详细描述
导数在物理中有重要的应用，它可以描述物理量随时间的变化率。例如，速度是 位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。通过导数，可以分析物理现象 的变化规律和动态特性。
02 导数的计算
导数的基本公式
01
02
03
04
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一次函数导数
对于函数$f(x) = ax + b$， 其导数为$f'(x) = a$。
导数的应用：函数的极值问题 高中数学课堂教学ppT课件
练习1.函数f (x) 2x3 3x2 a的极大值为6，则a （C ）
A.5
B.0
C.6
D.1
练习2.函数f (x) x3 ax2 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值，
则a （A）
A.5
B.0
C.6
D.1
练习3，若函数f (x) x3 ax2 3x 9无极值，则a的
(2)如果函数 y＝f(x)在区间(a，x0)上是 单调递减 的，在区 间(x0，b)上是 单调递增 的，则 x0 是极小值点，f(x0)是极小值.
注：在不为单调函数的前提下，极值点是导函数的零点，即方程 的根。
如：已知函数f (x)的图象如下,则函数f (x)在区间[a, h] 上的极大值点和极小值点分别有（ ）个
取值范围为（ C）
注：以下五点点加深对极值的理解 ，所有函数为可导函数
四、课堂小结
1.函数的极值的概念 2.会求函数的极值
答：极大值点有c,e,g 极小值点有：b,d,f
o
abc d e f
gh x
A.2,没有 C.4,0
B.(0,0), (4,0) D.(4,0), (0,0)
三、求函数的极值
注：求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求方程 f′(x)＝0 的根； (3)用方程 f′(x)＝0 的根顺次将函数的定义域分成若干个 小开区间，并列成表格；(写出单调区间) (4)由 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根左右的符号，来判断 f(x) 在这个根处取极值的情况．
提示：f(x)在(a，x0)上单调递增，导数大于零，在(x0，b)上单 调递减，导数小于零．
问题 4：函数 y＝g(x)在(a，b)上，结论如何？ 提示：与 y＝f(x)在(a，b)上结论相反．
导数及其应用讲利用导数求函数的极值与最大小值课件
导数及其应用讲利用导数求函数的极值与最大小值课件xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•导数的概念与运算•利用导数求函数的极值•利用导数求函数的最值•利用导数研究函数的单调性与凸凹性•利用导数求函数的极值与最值的步骤与示例•导数在实际问题中的应用01导数的概念与运算函数在某一点的导数函数在这一点变化率的极限值，记为f'(x)或df/dx(x)。
导数的几何意义函数在某一点处的导数，是该点处曲线切线的斜率。
函数u=g(t)在t=t0处的导数，等于函数y=f(u)在u=g(t0)处的导数乘以g'(t0)。
复合函数的导数复合函数y=f(u)，u=g(x)在x=x0处的导数，等于y=f(u)在u=g(x0)处的导数乘以g'(x0)。
函数y=f(x)在x=x0处的导数，等于曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率。
曲线切线的斜率导数的正负表示曲线在相应点的上升或下降趋势，导数值的大小表示曲线在相应点的变化剧烈程度。
导数与曲线形状导数的几何意义02利用导数求函数的极值极值的定义及计算方法极值点函数在某点处取得极值，则该点称为极值点极值在极值点处取得的函数值称为极值计算方法先求导数，然后求出导数为0的点，再判断这些点是否为极值点常见函数的极值点与极值一次函数：无极值点三角函数：如正弦函数和余弦函数有多个极值点，但不是所有的点都是极值点二次函数：有两个极值点，且在极值点处取得极值幂函数：当指数大于0时，有一个极小值点；当指数小于0时，有一个极大值点最大值和最小值的实际应用利用极值点进行函数的优化利用极值进行函数的插值和拟合极值的应用03利用导数求函数的最值函数在某区间上的最大值和最小值是该区间上函数值的最大和最小值，也是该区间上局部极值。
求导数，找到函数的极值点和区间端点，比较极值点和区间端点的函数值，得到最大和最小值。
最值定义最值计算方法最值的定义及计算方法1函数最值的应用23函数最值的应用广泛，例如在物理、工程、经济等领域中都可以应用。
导数在研究函数中的应用PPT课件
王新敞 wxckt@ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/ 特级教师
王新敞 wxckt@ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@
B.(log2x)′=
1 x ln 2
C.(3x)′=3xlog3e
D.(x2cosx)′=－2xsinx
2.函数y=ln(3－2x－x2)的导数为
c
\.
A.
2
x3
B.
3. f (x) 2x2- x3
1
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞 wxckt@
第18页/共43页
在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一 条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.
f(x1)
f(x3)
y
a
x2
x1
0
x3
f(a)
f(x2)
f(b)
x4 bx
由图可见，最大值点与最小值点 出现在区间端点或者极值点处。
第19页/共43页
例1、求函数f ( x) 1 x3 4x 4 在[0，3]上的最大值与最小
图象见右图。
o1
x
第4页/共43页
(3) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p)
解： f (x)=cosx-1<0
y
从而函数f(x)=sinx-x
o
x
在x∈(0,p)单调递减， 见右图。
f (x) sin x x
第5页/共43页
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;
解： f (x)=6x2+6x-24=6(x2+x-4)>0
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B.(log2x)′=
1 x ln 2
C.(3x)′=3xlog3e
D.(x2cosx)′=－2xsinx
2.函数y=ln(3－2x－x2)的导数为
c
\.
A.
2
x3
B.
3. f (x) 2x2- x3
1
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在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一 条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.
f(x1)
f(x3)
y
a
x2
x1
0
x3
f(a)
f(x2)
f(b)
x4 bx
由图可见，最大值点与最小值点 出现在区间端点或者极值点处。
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例1、求函数f ( x) 1 x3 4x 4 在[0，3]上的最大值与最小
图象见右图。
o1
x
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(3) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p)
解： f (x)=cosx-1<0
y
从而函数f(x)=sinx-x
o
x
在x∈(0,p)单调递减， 见右图。
f (x) sin x x
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(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;
解： f (x)=6x2+6x-24=6(x2+x-4)>0
导数的应用(第1课时)利用导数研究函数的单调性(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第二册)
图 （ １ ） 中的曲线越来越 “ 陡峭 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 上各点处 的切线斜率始终大于 １ ； 图 （ ２ ） 中的曲线由 “ 陡峭 ” 变得 “ 平缓 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 的右半段的切线斜率小于 １ ； 图 （ ３ ） 中的曲线由 “ 平缓 ” 变得 “ 陡峭 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 的左半段的切线斜率小于 １ ； 图 （ ４ ） 中的曲线越来越 “ 平缓 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 上各点处 的切线斜率始终小于 １． 因此 ， 只有图 ５-３-１ （ １ ） 中的图像有可能表示函数 y ＝ f（ 可能成为严格递增区间与严格 递减区间的分界点 ．
例4.确定函数（f x）＝x2的单调区间 ．
解函数在x 0处没有定义 ．当x 0时，f (x)=-2x3，
方程f′（ x )＝０ 无解 ， 所以函数 f（ x ）没有驻点 ． 但当 x ＞０ 时 ，f′（ x ） ＜０ ，f（ x ） 单调递减 ； 当 x ＜０ 时 ，f′（ x） ＞０ ， f（ x ） 单调递增 ． 可 见 ， 函数 f （ x ） 的严格递增区间为 （－∞，０）， 严格 递减区间为（０，＋∞）
课本练习 宋老师数学精品工作室
１． 利用导数研究下列函数的单调性 ， 并说明所得结果与你 之前的认识是否一致 ：
宋老师数学精品工作室 ２． 确定下列函数的单调区间 ：
随堂检测 宋老师数学精品工作室
1、函数y＝x2cos 2x的导数为（ ）
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
上面我们用导数值的正负判断函数在某区间的单调性 ． 但导数值还可 以进一步用以判断函数变化速度的快慢 ： 导数f′（ x ０ ） 是函数 f（ x ） 在点 x ０ 的切线的斜率 ， 所以它描述了曲线 y＝f（ x ） 在点 x０ 附近相 对于x轴的倾斜程度 ： 当f′（ x ０ ） ＞０ 时 ，f′（ x０ ） 越大 ， 曲线 y ＝ f （ x ） 在点 x ０ 附近相对于 x 轴倾斜得越厉害 ，f（ x ） 递增得 越快 ； 而当f′（ x ０ ） ＜０ 时 ，f′（ x ０ ） 越小 ， 曲线y ＝ f （ x ） 在点 x０ 附近相对于x轴倾斜得越厉害 ， f （ x ） 递减得越快 ． 综合这 两个方面 ， 导数的绝对值越大 ， 函数图像就越 “ 陡峭 ”， 也就是 函数值变化速度越快 ．
高中数学1 利用导数研究函数的极值(1)优秀课件
【变式 2】 已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且知当 x＝－1 时取得 极大值 7，当 x＝3 时取得极小值，试求函数 f(x)的极小值，并 求 a、b、c 的值． 解 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c， f′(x)＝3x2＋2ax＋b. ∵x＝－1 时函数取得极大值，x＝3 时函数取得极小值． ∴－1,3 是方程 f′(x)＝0 的根，即为方程 3x2＋2ax＋b＝0 的 两个根．
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课堂讲练互动
规律方法 函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究 函数性质时注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系 数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待 定系数法求解后必须验证根的合理性．
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课堂讲练互动
(2)因为f(x)在(－∞，－1)上单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞；
又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞；而a＋
2>a－2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，有
极小值小于0，
(8分)
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如图(1)此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两
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[标准解答] (1)令f′(x)＝－3x2＋3＝0，得x1＝－1，x2＝1. (2分)
又因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
(4分)
所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，f(x)的极大值为f(1)＝a＋2.(6分)
课前探究学习
函数的极值(第一课时)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
在 = 1处取得极小值，故D正确.
练习
题型二：运用导数解决函数的极值问题
例2.求函数() = 2 − 的极值.
解：函数的定义域为，
’ () = 2 − + 2 − ∙ (−1) = 2 − − 2 − = (2 − ) − .
令 ’ () = 0，得(2 − ) − = 0，解得 = 0或 = 2.
(3)解方程 ’ () = 0得方程的根；
(4)利用方程 ’ () = 0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各
个小开区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果 ’ ()的符号在0 处由正(负)变负(正)，则()在0 处取
得极大(小)值.
练习
方法技巧：
2.已知函数极值求参数时的注意点：
答案：√，√，×.
辨析2.函数() = + 2
A.0
6
B.
答案：B.
C.
3
2
D.
在[0， ]上的极大值点为(
2
).
例析
1
l l 3
1
= 3
3
例5.求函数() = 3 − 4 + 4的极值.
解：因为()
− 4 + 4，所以
’ () = 2 − 4 = ( − 2)( + 2).
练习
变1.(多选)已知函数 = ’ ()的图象如图所示，则下列说
法正确的是(
).
A.函数()在区间(1， + ∞)上是增函数
B.函数()在区间(−1，1)上无单调性
C.函数()在 =
1
− 处取得极大值
2
D.函数()在 = 1处取极小值
练习
题型二：运用导数解决函数的极值问题
例2.求函数() = 2 − 的极值.
解：函数的定义域为，
’ () = 2 − + 2 − ∙ (−1) = 2 − − 2 − = (2 − ) − .
令 ’ () = 0，得(2 − ) − = 0，解得 = 0或 = 2.
(3)解方程 ’ () = 0得方程的根；
(4)利用方程 ’ () = 0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各
个小开区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果 ’ ()的符号在0 处由正(负)变负(正)，则()在0 处取
得极大(小)值.
练习
方法技巧：
2.已知函数极值求参数时的注意点：
答案：√，√，×.
辨析2.函数() = + 2
A.0
6
B.
答案：B.
C.
3
2
D.
在[0， ]上的极大值点为(
2
).
例析
1
l l 3
1
= 3
3
例5.求函数() = 3 − 4 + 4的极值.
解：因为()
− 4 + 4，所以
’ () = 2 − 4 = ( − 2)( + 2).
练习
变1.(多选)已知函数 = ’ ()的图象如图所示，则下列说
法正确的是(
).
A.函数()在区间(1， + ∞)上是增函数
B.函数()在区间(−1，1)上无单调性
C.函数()在 =
1
− 处取得极大值
2
D.函数()在 = 1处取极小值
高中数学选修2《导数在研究函数中的应用》课件
或
x>1
时,
f (x)>0,
-
1 3
x
1
时,
∴ 函数在 (-∞,
f (x)<0.
- 13) 或 (1,
+∞) 上是增函数,
在
(
-
1 3
,
1)上是减函数.
4. 证明函数 f(x)=2x3-6x2+7 在 (0, 2) 内是减函数.
证明: f (x)=6x2-12x,
解不等式 6x2-12x<0 得 0<x<2,
函数是增函数.
例2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f(x)=x3+3x;
(2) f(x)=x2-2x-3;
(3) f(x)=sinx-x, x(0, p);
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1.
y
解: (3) f (x) = cosx-1,
解不等式 cosx-1>0 得
果 f(x)<0, 那么函数 y=f(x)在
这个区域内单调递减.
例1. 已知导函数 f (x) 的下列信息:
当 1<x<4 时, f (x)>0;
当 x>4, 或 x<1 时, f (x)<0;
当 x=4, 或 x=1 时, f (x)=0.
试画出函数 f(x) 图象的大致形状.
解: 在区间 (1, 4) 内, f (x)>0,
解不等式 6x2+6x-24>0 得
x
-
1 2
-
17 2
,
或
x
-
1 2
+
导数及其应用利用导数研究函数的极值最值课件
导数及其应用 利用导数研究函数的极值最值 课件 理 ppt xx年xx月xx日contents •导数及其应用•利用导数研究函数的极值最值•课件制作技巧•案例分析•导数的进一步学习与拓展目录01导数及其应用1导数的定义23导数是函数在某一点的变化率，它描述了函数在某一点的斜率。
导数的定义导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率。
导数的几何意义导数的物理意义是速度的变化率，即物体运动的速度在某一时刻的变化率。
导数的物理意义导数的计算根据导数的定义，通过求极限来计算导数。
定义法公式法表格法图像法利用导数的运算法则和公式来计算导数。
利用导数表来计算导数。
利用函数图像来估计导数。
最优问题导数可以帮助我们找到最优解，例如在经济学、工程学等领域中，利用导数可以找到最优的成本、价格、利润等。
导数在实际问题中的应用运动问题导数可以描述物体的运动状态，例如速度、加速度等，利用导数可以解决运动问题，例如计算轨迹、碰撞时间等。
物理问题导数可以描述物理现象的变化规律，例如温度、压力、电流等，利用导数可以解决物理问题，例如计算热传导、弹性力学等。
02利用导数研究函数的极值最值极值的定义：设函数$f(x)$在点$x_{0}$的附近有定义。
若在$x_{0}$的左侧$f(x)$单调递增。
在$x_{0}$的右侧$f(x)$单调递减定义法：判断导数由正变负的点，这些点为可能极值点，再检验这些点两侧的导数值，确定是否为极值点。
表格法：通过列表计算函数在各点的导数值，并判断其正负，从而得到极值点。
极值的判定方法极值的概念及判定方法最值的定义及求法最值的定义：函数在某区间内取得最大（小）值的点称为最值点。
对于连续函数，还可以利用介值定理求解最值。
最值的求法利用定义法或表格法求极值点，然后比较极值与端点函数值的大小关系，从而得到最值。
1导数在极值最值问题中的综合应用23导数在极值最值问题中的应用非常广泛，例如在经济、物理、工程等领域都有应用。
函数的极值 课件(第1课时)
知识点 1 极值点与极值 (1)极小值点与极小值 若函数 y＝f (x)在点 x＝a 的函数值 f (a)比它在点 x＝a 附近其他 点的函数值都小，f ′(a)＝_0，而且在点 x＝a 附近的左侧__f_′(_x_)_＜__0___， 右侧__f_′_(x_)_＞__0___，就把点 a 叫做函数 y＝f (x)的极小值点，f __(_a_) _叫 做函数 y＝f (x)的极小值．
A．y＝x3 B．y＝x2＋1 C．y＝|x| D．y＝2x BC [对于 A，y′＝3x2≥0，∴y＝x3 单调递增，无极值；对于 B， y′＝2x，x＞0 时 y′＞0，x＜0 时 y′＜0，∴x＝0 为极值点；对于 C，根 据图象，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，∴C 符合； 对于 D，y＝2x 单调递增，无极值．故选 BC．]
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
学习任务
核心素养
1．了解极大值、极小值的概念．(难 1．通过极值点与极值概念的
点) 学习，培养数学抽象的核心
2．了解函数在某点取得极值的必 素养．
要条件和充分条件．(重点、易混 2．借助函数极值的求法，提
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
↗
极大值 ↘ 极小值
↗
∴当 x＝－1 时，函数 y＝f (x)有极大值，且 f (－1)＝10； 当 x＝3 时，函数 y＝f (x)有极小值，且 f (3)＝－22．
(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5) ＝5x2(x－3)(x－5)． 令 y′＝0，即 5x2(x－3)(x－5)＝0， 解得 x1＝0，x2＝3，x3＝5．当 x 变化时，y′与 y 的变化情况如下 表：
1.3 导数的应用函数的极值优秀课件
右侧f /(x0)<0, 那么f(x0)是极大值
y
f(x 0)0
f(x )0 f (x)0
o a X0 b x
0
(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)<0
右侧f /(x0)>0, 那么f(x0)是极小值
y
f(x)0
f(x 0)0
o a X0
f(x )0
1、利用极值判断或讨论方程根的个数 例题4：《智力报 》P8上文例题1 方法： （1）求导 （2）表格法（确定单调区间和极值） （3）画草图
（4）判断
练习：〈智力报〉P37 B 2
五、极值应用
2、已知极值求参数
3 2 已知 f ( x ) ax bx cx (a 0 )在 x 1 例题5 时取得极值，且 f( 1 ) 1 .
x f’(x) f(x) (-∞, 0) ↘ 0 不存在 极小值0 (0,1) + ↗ 1 0 极大值1 (1,2) ↘ 2 不存在 极小值0 (2,+∞) + ↗
当 x 0 或 x 2 时 , f ( x ) 0 ; 当 x 1 时 f ( x ) 1 极小值 极大值
五、极值应用
作业：1、〈智力报〉P 37 B 7
2 2 .已知 f (x) x3 ax bxc当 x 1 时，取
得极大值 7 ，当 x 3 时，取得极小值，求这 个 极小值及 a 、 b 、 c的值 .
ax b f(x ) 2 ( a0 ). 课后思考:已知: x 1 (1)证明:f(x)恰有一个极大值点和一个极小值点;
又5a=3b,
解得a=3,b=5,c=2.
2、已知极值求参数
(2)若a<0,列表如下:
y
f(x 0)0
f(x )0 f (x)0
o a X0 b x
0
(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)<0
右侧f /(x0)>0, 那么f(x0)是极小值
y
f(x)0
f(x 0)0
o a X0
f(x )0
1、利用极值判断或讨论方程根的个数 例题4：《智力报 》P8上文例题1 方法： （1）求导 （2）表格法（确定单调区间和极值） （3）画草图
（4）判断
练习：〈智力报〉P37 B 2
五、极值应用
2、已知极值求参数
3 2 已知 f ( x ) ax bx cx (a 0 )在 x 1 例题5 时取得极值，且 f( 1 ) 1 .
x f’(x) f(x) (-∞, 0) ↘ 0 不存在 极小值0 (0,1) + ↗ 1 0 极大值1 (1,2) ↘ 2 不存在 极小值0 (2,+∞) + ↗
当 x 0 或 x 2 时 , f ( x ) 0 ; 当 x 1 时 f ( x ) 1 极小值 极大值
五、极值应用
作业：1、〈智力报〉P 37 B 7
2 2 .已知 f (x) x3 ax bxc当 x 1 时，取
得极大值 7 ，当 x 3 时，取得极小值，求这 个 极小值及 a 、 b 、 c的值 .
ax b f(x ) 2 ( a0 ). 课后思考:已知: x 1 (1)证明:f(x)恰有一个极大值点和一个极小值点;
又5a=3b,
解得a=3,b=5,c=2.
2、已知极值求参数
(2)若a<0,列表如下:
江苏省高考数学二轮复习第16讲利用导数研究函数的单调性极值与最值课件 (1)
题型一
导数与函数的单调性
例1 (2018盐城高三模拟)若对任意实数k,b都有函数y=f(x)+kx+b的图象与直 线y=kx+b相切,则称函数f(x)为“恒切函数”.设函数g(x)=aex-x-pa,a,p∈R.
(1)讨论函数g(x)的单调性;
(2)已知函数g(x)为“恒切函数”. ①求实数p的取值范围;
因为h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,
1 所以当x∈(0,+∞)时, -ax-2<0有解, x 1 2 即存在x∈(0,+∞),使得a> . 2 - x x 1 2 设G(x)= - (x∈(0,+∞)),所以只要a>G(x)min即可. x2 x
1 -1,所以当x∈(0,+∞)时,G(x) =-1, 而G(x)= min 1 x
x g'(x) g(x) (-∞,1) + ↗ 1 0 极大值 (1,+∞) ↘
1 1 故g(x)max=g(1)= ,所以b> . e e
( x 1)(ae x x) 1 (2)f(x)的定义域为(0,+∞),其导函数为f '(x)= ,当a= 时, f '(x)= 2 x e ( x 1)(e x1 x) 2 , x 1 x x-1 由(1)知 ≤ , 即 e -x≥0,当且仅当x=1时取等号, x e e
1 1 2 1 ( x0 1) + =- x0(x0+2)=- , 4 4 4 1 3 3 3 3 2 1 2, 上递增,r(-2)=0,r = 函数r(x)=- (x+1) + 在 ,故0<m< .综上所 4 4 16 2 2 16 3 述,0≤m< . 16
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∴
例6:下列说法正确的是( 极小值大
C
)
A.函数在闭区间上的极大值一定比 B.函数在闭区间上的最大值一定是 极大值 C.对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|＜ 6 ， 则f(x)无极值 D.函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值
例7.求y e cos x 的极值. e x cos x sin x , 令y 0, 解: y
解： y ' ( x3 4 x 4) ' x 2 4 ( x 2)( x 2)
令y′=0，解得x1=－2，x2=2
3
1 3 例２：求 y x 4 x 4 的极值 3 1
当x变化时，y′，y的变化情况如下表 x
(-∞,-2) -2 0 极大值 28 3 (-2,2) 2 0 极小值
B
)
2 B.y=x
3 A.y=－x
C.y=x2－x
D.y=1/x
分析：做这题需要按求极值的三个步 骤，一个一个求出来吗？不需要，因为 它只要判断 x=0是否是极值点，只要看 x=0点两侧的导数是否异号就可以了。
练习：Ｐ７４
1 例4:函数 f ( x) a sin x sin 3x 在 3 处具有极值，求a的值 x
(, ) 2
2
0
1 极小值f ( ) 2
( ,) 2
1 1 因此,当x 时, f(x)有极小值f( ) 9 . 2 2 4
3、 求函数f(x)的极值的步骤: (1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根(x为极值点.) (3)用函数的导数为0的点，顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间，并 列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的 值的符号，求出极大值和极小值.
分析：f(x)在 x 处有极值，根据一点是极值点的
3
必要条件可知， f
'(
3
3
) 0 可求出a的值.
1 解： f '( x) (a sin x sin 3x) ' a cos x cos 3x 3 ∵ f '( ) 0 ， 3 1 ∴ a cos cos(3 ) 0 a 1 0
2、如果x0 是f′(x)=0的一个根，并 且在x0的左侧附近f′(x)<0，在x0右 侧附近f′(x)>0，那么是f(x0)函数 f(x)的一个极小值。
例１：求f（x）＝x２－x－２的极值.
解：
x f (x) f (x)
1 f ( x) 2 x 1, 令f ( x) 0, 解得x .列表 2 1 1 1
4 3
(2,+∞)
f (x)
f (x)
+ ↗
－
+
↗
↘
∴当x=－2时，y有极大值且y极大值= 28
当x=2时，y有极小值且y极小值= 4 3
3
x
(-∞,-2)
-2 0 极大值 28 3
(-2,2)
2 0 极小值
4 3
(2,+∞)
f (x)
f (x)
+ ↗
－
+
↗
↘
例3:下列函数中，x=0是极值点的函数 是(
4
k Z ,
2 因此当x=2k k Z 时, y极大值 e 4 2
2 k
4,
3 2 当x=2k k Z 时, y极小值 e 4 2
2 k
3 4 .
数在某区间上或定义域内极大值或 极小值可以不止一个。
4、极大值与极小值之间无确定的大小关 系即一个函数的极大值未必大于极小值 x4 x1 ，如下图所示， 是极大值点， 是极 f ( x4 小值点，而 ) f ( x1 )
二、导数的应用：求函数的极值 1、如果x0是f′(x)=0的一个根，并 且在x0的左侧附近f′(x)>0，在x0右 侧附近f′(x)<0，那么f(x0)是函数 f(x)的一个极大值。
新
课
讲
授
一、函数极值的定义
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果 f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就 说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0 是极大值点。如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函
数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记
作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统
称为极值.
注
意
1、在定义中，取得极值的点称 为极值点，极值点是自变量(x)
的值，极值指的是函数值(y)。
2、极值是一个局部概念，极值只 是某个点的函数值与它附近点的函
数值比较是最大或最小,并不意味
着它在函数的整个的定义域内最大
或最小。
3、函数的极值不是唯一的即一个函
3 3 2
∴a=2.
例5:y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处
有极值，求a、b的值
解： y ' (a ln x bx 2 x) '
a 2bx 1 x
因为在x=1和x=2处,导数为0
2 a 2b 1 0 a 3 a 2 4b 1 0 b 1 6
x
即cos x sin x 0得,x k
5 当x 2k , 2k k Z 时,y 0, f x 为减函数, 4 4
3 当x 2k , 2k k Z 时,y 0, f x 为增函数, 4 4
知识回顾
1、一般地,Leabharlann 函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数;
王新敞
奎屯 新疆
如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
２、用导数法确定函数的单调性时的 步骤是： （1）求出函数的导函数 求解不等式f′(x)>0，求得其解集， （2） 再根据解集写出单调递增区间 求解不等式f′(x)<0，求得其解集， （3） 再根据解集写出单调递减区间